MATEMATIKA LANJUT UNTUK TEKNIK
Penulis: Dr. Ir. H. Iskandar B. Paggaru, M.Sc. Editor: Ir. Jonbi, MT., MM., MSi Pengetikan Naskah dan Penggambaran: Didi Wahyudi Penerbit: John Hi-Tech Idetama Edisi dan cetakan pertama, 2012 SN : 31 ISBN 978 – 979 – 1124 –13 - 3
MATEMATIKA LANJUT UNTUK TEKNIK FUNGSI BERVARIABEL BEBAS JAMAK, MATRIKS, PERSAMAAN SIMULTAN LINIER, VEKTOR DAN PROBLEM EIGEN KATA PENGANTAR Matematika adalah ilmu dasar yang sangat penting. Kita ingat bahwa yang paling pertama dipelajari dalam ranah kognitif, adalah pelajaran pertambahan bilangan asli pada pelajaran pertama belajar berhitung di sekolah dasar. Dalam perkembangannya, matematika telah merasuki dunia pendidikan di hampir semua disiplin ilmu, termasuk sains, rekayasa, ekonomi dan bahkan sosial budaya. Sebagai alat utama, khususnya dalam disiplin ilmu sains dan rekayasa, matematika memberikan dampak yang sangat luar biasa di dalam cara berpikir dan bertindak manusia, karena pertama, matematika mendidik manusia untuk berpikir sistematika, kedua, matematika membantu manusia untuk dapat manganalisis kondisi yang dihadapi dan menentukan pilihan yang lebih menguntungkan secara efisien dengan hasil yang optimal. Di lain pihak, perekayasa kerap memulai pengembangan ilmunya dengan dasar fisis yang terdefinisi dengan baik, lalu mencoba rumus-rumus matematika yang cocok digunakan dalam formulasi formal. Itulah sebabnya, perumusan matematika selalu memerlukan pembuktian yang lengkap, sementara masalah rekayasa mengambil problem nyata sebagai jaminan bahwa masalah yang dihadapi adalah nyata serta absah. Dalam kesempatan ini, penulis menghaturkan ucapan terima kasih kepada Universitas Muslim Indonesia (UMI) Makassar yang telah mendidik dan memberikan kesempatan dalam pengajaran, pendidikan, dan pengabdian penerapan dalam dunia rekayasa pada khususnya. Bimbingan dari staf dosen pengajar yang penulis peroleh selama dalam bangku perkuliahan di beberapa kampus, termasuk kesempatan studi lanjut di Institut Teknologi Bandung dan Universitas Tarumanagara merupakan harta yang tak ternilai besarnya. Penulis menghaturkan ucapan terima kasih kepada bapak Prof. Binsar Hariandja atas kesediaanya memberikan koreksi dan masukan dalam penyusunan buku ini. Dan kepada Sdr. Didi Wahyudi atas pengetikan dan penggambaran dan kepada Ir.Jonbi, MT., MM., MSi., sebagai editing serta pencetakan naskah yang dilakukan oleh Yayasan John Hi-Tech Idetama, Jakarta. Untuk semua upaya tersebut, penulis mengucapkan banyak terima kasih. Wassalam. Makassar, Juli 2012 Penulis
iii
DAFTAR ISI BAB
HALAMAN
KATA PENGANTAR...............................................................................................
iii
DAFTAR ISI............................................................................................................
v
FUNGSI BERVARIABEL BEBAS JAMAK…………………………….………….
1
I
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12
Umum……………………………………………………………………..…. Fungsi Bervariabel Jamak………………………..…………………….…. Diferensiasi Fungsi Bervariabel Jamak……………..……………………. Turunan Parsial dan Turunan Total………………………………………. Turunan Fungsi Bervariabel Jamak Dalam Koordinat Polar…………… Turunan Parsial Berorde Tinggi………………………………………..…. Diferensiasi Fungsi Implisit Bervariabel Jamak…………………………. Aturan Diferensiasi Parsial ………………………………….……………. Integrasi Lipat………………………………………………………………. Integrasi Parsial.................................................................................... Integrasi Lipat dan Transformasi Koordinat…………………………..…. Penerapan Integrasi Lipat…………………………………………………. 1.12.1 Luas, Titik Berat dan Momen Inersia Permukaan Datar.........… 1.12.2 Volume, Titik Berat dan Momen Inersia Benda Pejal.............… 1.13 Contoh Penerapan.............................................................................… 1.14 Rangkuman…………………………………………………………………. 1.15 Soal-soal............................................................................................…
II
1 1 2 3 5 7 8 9 9 11 12 14 14 15 18 22 22
TEOREMA MATRIKS………………………………………………………………. 25 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Umum………………………………………………………………………….. Sistem Persamaan Linier Simultan…………………………………………. Sistem Persamaan Simultan Dalam Notasi Matriks………………………. Definisi Matriks………………………………………………………………… Penggolongan Matriks……………………………………………………….. 2.5.1 Penggolongan Matriks Berdasarkan Ukuran……………………… 2.5.2 Penggolongan Matriks Berdasarkan Nilai Unsur…………………. Beberapa Hubungan Antara Matriks……………………………………….. Beberapa Operasi Matriks………………………………………………..…. 2.7.1 Perjumlahan Matriks……………………………………………...…. 2.7.2 Perkalian Matriks…………………………………………….………. 2.7.3 Transpos Matriks…………………………………………….………. 2.7.4 Inversi Matriks ………………………………………………..……….
v
25 25 27 29 29 30 30 31 31 32 32 32 32
BAB
HALAMAN
2.8 2.9
Beberapa Kaidah Operasi Matriks……………………………….…………. Metoda Inversi Matriks……………………………………………….…...…. 2.9.1 Determinan Matriks………………………………………….………. 2.9.2 Matriks Kofaktor dan Adjoin……………………..…………………. 2.9.3 Penentuan Determinan Matriks……………………………………. 2.9.4 Penentuan Matriks Invers………………………………………..…. 2.9.5 Determinan dan Invers Beberapa Matriks……………..…………. 2.10 Contoh Penerapan…………………………………………………..………. 2.11 Rangkuman………………………………………………………………..…. 2.12 Soal-soal……………………………………………………………………….
33 34 34 36 37 37 38 39 43 43
III SISTEM PERSAMAAN LINIER SIMULTAN……………………………..………. 45 3.1 3.2 3.3 3.4
Umum………………………………………………………………...………. Rank Dari Sistem Persamaan Simultan………………………….………. Skema Solusi Sistem Persamaan Simultan………………….……………. Beberapa Sifat Dari Matriks Koefisien………………………………..……. 3.4.1 Persebaran Unsur-unsur……………………………………………. 3.4.2 Kesimetrian Matriks Koefisien………………………………..……. Penggolongan Teknik Solusi Sistem Persamaan Simultan……………. Metoda Triangulasi…………………………………………………………. Metoda Diagonalisasi………………………………………………………. Metoda Crout……………………………………………….…………….…. Metoda Iterasi Gauss-Seidel…………………………….………….………. Metoda Relaksasi………………………………………………………..…. Contoh Penerapan…………………………………………………………. Rangkuman…………………………………………………………………. Soal-soal………………………………………………………….………….
45 45 47 49 49 49 50 52 53 54 56 57 57 63 63
IV TEOREMA VEKTOR……………………………………………………….……….
65
3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
4.6 4.7 4.8
4.9
Umum……………………………………………………………...…………. Sistem Koordinat dan Perjanjian Tanda…………………….……………. Definisi dan Jenis Vektor……………………………………………..……. Beberapa Hubungan Antara Komponen Vektor………….……………... Operasi Vektor………………………………………………………………. 4.5.1 Kesamaan Vektor……………………………………………..……. 4.5.2 Keberlawanan Vektor………………………………………………. 4.5.3 Penguraian Vektor………………………………………….………. 4.5.4 Perjumlahan Vektor…………………………………………………. Metoda Perjumlahan Vektor………………………………………………. 4.6.1 Metode Perjumlahan Vektor Secara Analitis……………………. 4.6.2 Metoda Perjumlahan Vektor Secara Grafis…………..…………. Keseimbangan Vektor………………………………………………..……. Analisis Vektor………………………………………………………………. 4.8.1 Representasi Vektor…………………………………….…………. 4.8.2 Perkalian Skalar Vektor……………………………………………. 4.8.3 Perkalian Silang Vektor……………………………………………. 4.8.4 Perkalian Campuran Vektor………………………………………. 4.8.5 Beberapa Operasi Vektor…………………………………………. Contoh Penerapan…………………………………………………….……. vi
65 65 66 68 69 69 69 69 70 71 71 71 74 75 75 76 78 80 81 82
BAB
HALAMAN
4.10 Rangkuman…………………………………………………………….……. 4.11 Soal-soal…………………………………………………………………..…. V KALKULUS VEKTOR………………………………………………………………. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15
92 92 95
Umum…………………………………………………………………..……. 95 Diferensiasi Vektor…………………………………………………….……. 95 Gradien Fungsi dan Turunan Berarah…………………………………..…. 96 Operator Del dan Laplace……..……………………………………….……. 99 Integral Garis…………………………………………………………….……. 100 Integral Garis Bebas Tapak…………………………………………………. 101 Teorema Kerja………………………………………………………………. 103 Integrasi Permukaan…………………………………………………………. 104 Teorema Divergensi……………………………………………………….…. 106 Teorema Green………………………………………………………………. 108 Persamaan Laplace……………………………………..…………..………. 109 Teorema Stokes…………………………………………………...…………. 110 Contoh Penerapan………………………………………………...…………. 111 Rangkuman………………………………………………………….………. 112 Soal-soal………………………………………………………………………. 112
VI OPERATOR TURUNAN DALAM KOORDINAT KURVILINIER…………….…. 115 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10
Umum……………………………………………………………………..…. Rumusan Koordinat Kurvilinier……………………………………………. Panjang Kurva, Luas Permukaan dan Volume……………………………. Operator Gradien……………………………………………..………….…. Operator Laplace………………………………………………………….…. Operator Curl…………………………………………………………………. Operator Dalam Koordinat Cartesius………………………………………. Operator Dalam Koordinat Tabung………………………………...………. Operator Dalam Koordinat Bola………………………………….…………. Rangkuman ………………………………………………………………….
115 115 117 118 119 121 122 123 125 127
VII GARIS, KURVA DAN LINTASAN DALAM VEKTOR ………………...……..…. 129 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10
Umum…………………………………………………………………………. Kurva Lintasan……………………………………………………………….. Geometri Garis Kurva Dalam Ruang…………………………….…..……. Garis Lurus Dalam Ruang………………………….…………………....…. Luas Permukaan Bidang Datar………….……………………..………..…. Luas Permukaan Bidang Lengkung…….……………………..………..…. Volume Paralelepipedum………………………………………….…..……. Contoh Penerapan………………………….………………………..…..…. Rangkuman ………………………….………………………………..…... Soal-soal…………………………………………………………………….
vii
129 129 130 133 135 136 137 138 141 141
BAB
JUDUL
HALAMAN
VIII PROBLEM EIGEN……………………………………………………….…………. 143 8.1 8.2 8.3
Umum…………………………………………………………………..……. Skema Penyelesaian Problem Eigen………………………….…………. Bentuk Problem Eigen Non-Standard………………………….…………. 8.3.1 Cara Inversi…………………………………………………………. 8.3.2 Cara Dekomposisi Cholesky…………..……………….…………. 8.4 Metoda Solusi Problem Eigen……………………………………..………. 8.5 Metoda Pangkat………………………………………………………….…. 8.6 Metoda Deflasi Hotteling………………………………………………….... 8.7 Sifat Ortogonal Transformasi ……………………………………………... 8.8 Contoh Penerapan……………………………………………………….…. 8.9 Rangkuman………………………………………………………….………. 8.10 Soal-soal…………………………………………………………..………….
143 145 146 146 147 149 149 151 151 152 156 156
IX PENUTUP……………………………………………………….…………............ 159 9.1 9.2
Rangkuman……………………………..……………………………..……. Kesimpulan.......................................….……………………….………….
159 159
REFERENSI ………..…………………………………………………….……….
161
INDEKS ………..…………………………………………………….………….....
163
viii
BAB I FUNGSI BERVARIABEL BEBAS JAMAK 1.1
Umum
Dalam terapan sehari-hari sering dihadapi permasalahan yang jika ingin dituangkan ke dalam formulasi matematika, membutuhkan variabel yang berjumlah lebih dari satu. Sebagai contoh sederhana, luas dari persegi panjang dengan panjang dan lebar yang bervariasi, memberikan luas permukaan yang bervariasi pula. Panjang dan lebar dipandang sebagai dua variabel bebas (independent variables), sedangkan luas permukaan merupakan variabel yang tidak bebas (dependent variables). Kadang-kadang, salah satu variabel bebas dipegang bernilai tetap sementara variabel lainnya diperkenankan mengambil nilai yang bervariasi, lalu pengaruh variasi dari satu variabel bebas ini ditinjau terhadap variasi dari variabel tidak bebas. Ini sangat berbeda dengan apa yang kita hadapi dalam kasus fungsi bervariabel bebas tunggal. Bab ini ditujukan bagi pembahasan fungsi bervariabel bebas jamak (lebih dari satu). Bahasan mencakup pengenalan fungsi bervariabel bebas jamak, diferensiasi parsial dan total, turunan berarah dan gradien fungsi, integrasi lipat beserta beberapa penerapan dalam problem rekayasa, antara lain penentuan panjang, luas permukaan, letak titik berat dan momen inersia serta volume benda. 1.2
Fungsi Bervariabel Jamak
Fungsi bervariabel jamak didefinisikan serta dituliskan dalam format yang standard dalam contoh-contoh berikut ini.
z f ( x, y) u f ( x, y, z)
v f ( x1 , x2 ,..., xn )
(a ) (b)
(1.2.1)
(c )
Dalam contoh Pers. (1.2.1a) ada dua variabel bebas, yaitu ( x, y) sedangkan z adalah variabel tidak bebas. Dalam contoh Pers. (1.2.1b) ada tiga variabel bebas, yaitu ( x, y, z) sedangkan u adalah variabel tidak bebas. Dalam contoh Pers. (1.2.1c) ada n variabel bebas, yaitu ( x1 , x2 ,..., xn ) sedangkan v adalah variabel tidak bebas. Dalam contoh di atas, fungsi yang menyangkut kaitan variabel bebas terhadap variabel tidak bebas, memiliki peran tertentu, antara lain sebagai operator dan sebagai pemetaan (mapping) dari kumpulan bilangan-bilangan variabel bebas kepada kumpulan bilangan variabel tidak bebas. Contoh di atas juga melibatkan fungsi yang eksplisit;
1
dengan perkataan lain, variabel bebas terkumpul pada ruas yang sama dari tanda persamaan. Berikut ini merupakan contoh-contoh dari bentuk fungsi yang implisit.
yz sin( x2 y z) 0
u x sin( xu ) 0 x y
(a ) (1.2.2)
(b)
Yang sering menjadi masalah dalam menghadapi bentuk fungsi yang implisit adalah bahwa kita tidak dapat menetapkan dengan jelas, yang mana merupakan variabel bebas dan yang mana yang tidak bebas. Untuk membedakannya, fungsi sering dituliskan dalam format yang dapat membedakan antara variabel yang bebas dan tidak bebas, misalnya
y z ( x, y) sin[ x2 y z( x, y)] 0 u ( x, y) x sin[ x u ( x, y)] 0 x y
(a ) (b)
(1.2.3)
Dalam contoh Pers. (1.2.3a) di atas, jelas bahwa ( x, y) adalah variabel bebas sedangkan z variabel tidak bebas. Dalam contoh Pers. (1.2.3b) di atas, ( x, y) adalah variabel bebas sedangkan u variabel tidak bebas. 1.3
Diferensiasi Fungsi Bervariabel Jamak
Tanpa mengurangi keabsahan, pandanglah suatu fungsi bervariasi bebas ganda sebagai representasi dari fungsi bervariabel bebas banyak,
z f ( x, y)
(1.3.1)
yang terdefinisi pada daerah di sekitar ( x, y) . Perobahan x dan y dalam x dan y , memberikan perobahan f dalam f , yang diberikan oleh
f ( x, y) f ( x x, y y) f ( x, y) atau
f ( x, y) f ( x x, y y) f ( x, y y) f ( x, y y) f ( x, y)
(1.3.2)
(1.3.3)
yang memberikan
f ( x x, y y) f ( x, y y) x x f ( x, y y) f ( x, y) y y
f ( x, y)
2
(1.3.4)
Dalam keadaan limit untuk x 0 dan y 0, dari Pers. (1.3.4) diperoleh
df ( x, y)
f ( x, y) dx f ( x, y) dy x y
(1.3.5)
di mana besaran
f ( x x, y) f ( x, y) f ( x, y) lim x x x 0
f ( x, y y) f ( x, y) f ( x, y) lim y y y 0
(a ) (1.3.6)
(b)
merupakan turunan parsial dari ( x, y) untuk masing-masing arah x dan y , dengan memegang variabel lainnya konstan. Sebagai contoh, bentuk dalam Pers. (1.3.6a) dihitung dengan y 0, dan Pers. (1.3.6b) dihitung dengan x 0. Bentuk-bentuk dalam Pers. (1.3.6) dinamakan turunan parsial (partial derivatives), yang untuk membedakannya dengan turunan total, dituliskan di dalam notasi (...) / .... Sebagai contoh, untuk fungsi
f ( x, y) xy2 2 x sin y
f y 2 2 (0) x f 2 xy (0) cos y x
diperoleh
Menyimak bentuk-bentuk dalam Pers. (1.3.5) dan (1.3.6), maka persyaratan agar suatu fungsi bervariabel bebas jamak dapat diturunkan pada suatu titik adalah sebagai berikut.
Nilai fungsi terdefinisi pada titik tersebut Nilai limit dari turunan fungsi harus terdefinisi dan harus sama didekati dari semua arah
(1.3.7)
Boleh jadi dapat dihadapi kondisi di mana salah satu limit dalam Pers. (1.3.6) terdefinisi, tetapi nilai limit lainnya tidak. Ini berarti bahwa fungsi hanya dapat diturunkan pada satu arah. Namun dalam kasus yang demikian, fungsi tidak diferensiabel pada titik tersebut. 1.4
Turunan Parsial dan Turunan Total
Bentuk dalam Pers. (1.3.4) dapat dituliskan dalam bentuk diferensi, yaitu dengan memperhatikan hakekat perobahan dari masing-masing besaran. Kita melihat bahwa 3
f ( x, y) merupakan perobahan total dari f ( x, y) sebagai perobahan akibat x dan
y yang terjadi serentak. Namun, kita akan memberikan notasi bagi perobahan fungsi
akibat perobahan nilai variabel secara sendiri-sendiri, yaitu
x f ( x, y) f ( x x, y) f ( x, y)
y f ( x, y) f ( x, y y) f ( x, y)
(1.4.1)
yang merupakan perobahan parsial dari f ( x, y) untuk perobahan x atau y yang bersangkutan. Dengan demikian Pers. (1.3.4) dapat dituliskan dalam bentuk
f ( x, y)
y f ( x, y) x f ( x, y) y x y x
(1.4.2)
Sekarang, andaikanlah x dan y dinyatakan sebagai fungsi dari suatu parameter s
sehingga f ( x, y) juga merupakan fungsi dari parameter tunggal s . Perobahan s
menimbulkan perobahan total x , y dan f ( x, y) sedemikian hingga Pers. (1.4.2) memberikan
f ( x, y) x f ( x, y) x y f ( x, y) y y s x s s
(1.4.3)
yang jika untuk s 0 memberikan nilai limit
lim s0
y f ( x, y) y f ( x, y) x f ( x, y) lim s0 lim s0 x y s x s s
(1.4.4)
Limit-limit dari perbagian yang berkaitan dengan semua perobahan total dinamakan turunan total yang diberi notasi Leibnitz d (...) / d ... , sementara limit-limit yang berkaitan dengan perobahan parsial dinamakan turunan parsial yang diberi notasi (...) / .... Dengan demikian, dari Pers. (1.4.4) diperoleh rumus baku penurunan parsial sebagai
df f dx f dy ds x ds y ds
(1.4.5)
yang merupakan aturan rantai dalam diferensiasi parsial. Besaran df / ds adalah turunan total dari f terhadap s , dx/ ds adalah turunan total dari x terhadap s , sementara dy / ds adalah turunan total dari y terhadap s . Di lain fihak, besaran f / x adalah turunan parsial dari f terhadap x dan f / y adalah turunan parsial dari f terhadap y. 4
Notasi d (...) / d ... merupakan operator turunan yang dapat dan sering dituliskan terpisah karena merupakan perbagian dari dua besaran perobahan total. Pemisahan ini merupakan operasi yang diperkenankan. Dengan demikian misalnya, bentuk dalam Pers. (1.4.5) dapat juga dituliskan dalam bentuk
df
f f dx dy x y
(1.4.6)
Namun, tidak demikian halnya dengan operator turunan (...) / .... yang tidak dapat dipisahkan, karena merupakan perbagian dari dua perobahan yang tidak setingkat, yaitu perobahan parsial dibagi perobahan total. Jika x dan y merupakan fungsi dari dua parameter, katakanlah s dan t , bentuk dalam Pers. (1.4.5) dapat dikembangkan ke dalam bentuk
f f x f s x s y f f x f t x t y
y s y t
(a ) (1.4.7)
(b)
dalam mana turunan-turunan total berobah menjadi turunan-turunan parsial karena munculnya dua parameter akhir yang bebas, yaitu s dan t . Bentuk dalam Pers. (1.4.7) memberikan operator turunan parsial sebagai
.. x s s .. x t t
.. y .. x s y .. y .. x t y
(a ) (1.4.8)
(b)
di mana dalam posisi (...) dapat diisikan fungsi beserta turunannya. Operator-operator tersebut juga dapat diterapkan untuk mendapatkan turunan-turunan yang berorde lebih tinggi, dengan memasukkan turunan-turunan pada posisi tersebut, lalu dioperasikan. Penerapan dari operator tersebut akan dijelaskan nantinya. 1.5
Turunan Fungsi Bervariabel Jamak Dalam Koordinat Polar
Sejauh ini, kita telah menurunkan bentuk fungsi beserta turunan dan operator penurunan yang dinyatakan dalam sistem koordinat Cartesius. Kita dapat menemukan bentuk operator penurunan dalam sistem koordinat lainnya, termasuk koordinat polar dengan metoda transformasi koordinat berikut ini. Pertama, dilakukan pertukaran variabel
x r cos ; y r sin 5
(1.5.1)
sehingga dihadapi korelasi hirearkis variabel-variabel dalam skema
f ................ x, y.................. r ,
(1.5.2)
dalam mana x dan y berada pada satu level dan merupakan variabel antara yang
tidak bebas, dan r dan merupakan variabel akhir yang bebas. Sekarang, dari Pers.
(1.5.1) diperoleh turunan parsial
x cos ; r y sin ; r dalam mana (r , )
x r sin ; y r cos
(1.5.3)
menempati posisi ( s, t ) dalam Pers. (1.4.7). Substitusi bentuk-
bentuk dalam Pers. (1.5.3) ke dalam Pers. (1.4.8) memberikan
.. .. .. sin cos y x r .. .. .. r cos r sin y x
(a ) (1.5.4)
(b)
yang dapat diinversikan dalam memberikan
.. cos x .. sin y
.. 1 sin r r .. 1 cos r r
.. ..
(a ) (1.5.5)
(b)
Namun, intensi kita dalam kaitan ini adalah untuk mendapatkan turunan-turunan dari f terhadap r dan . Untuk ini digunakan hubungan skema hirearkis
f .................................. r ,
(1.5.6)
yang dapat digunakan untuk mencari turunan parsil f / r dan f / dalam turunan total
df A dr B d
(1.5.7)
Ini dapat disusun dengan menggunakan hubungan dalam Pers. (1.5.5), di mana f / x
akan memberikan A untuk nilai 0, dan f / x akan memberikan B untuk nilai
/ 2. Dengan demikian, Pers. (1.5.7) akan memberikan 6
df 1.6
f 1 f d dr r r
(1.5.8)
Turunan Parsial Berorde Tinggi
Jika terdefinisi, turunan-turunan berorde lebih tinggi dapat disusun bagi fungsi. Dalam contoh fungsi bervariabel ganda, operator turunan parsial dapat digunakan berulang-ulang. Sebagai contoh,
2 ( ) x x x2 2 2 ( ) ( ) x y y x xy yx 2 ( ) 2 y y y
(a ) (b)
(1.6.1)
(c )
Kesamaan dalam bentuk Pers. (1.6.1b) adalah didasarkan atas manunggalnya nilai limit pada saat penentuan turunan, didekati dari semua arah. Sekarang kita meninjau kasus di mana dihadapi skema hirearkis antar variabel seperti yang dinyatakan dalam bentuk Pers. (1.5.2). Untuk menentukan turunan-turunan parsial dengan variabel yang setingkat, sebagai mana dicontohkan dalam bentuk-bentuk Pers. (1.6.1), proses dapat dilakukan secara langsung. Namun, penentuan turunanturunan parsial terhadap variabel yang tidak setingkat membutuhkan elaborasi. Sebagai contoh, ingin disusun turunan parsial
f f f f ( ); ( ); ( ); ( ) x r y r x y atau
f f f f ( ); ( ); ( ); ( ) r x r y x y
(1.6.2)
(1.6.3)
Untuk kasus dalam Pers. (1.6.2), proses penurunan dapat dilakukan secara lebih mudah, yaitu dengan menggunakan operator dalam Pers. (1.5.5). Misalnya, contoh pertama dalam Pers. (1.6.2) dapat diperoleh dengan memasukkan bentuk f / r ke dalam operator dalam Pers. (1.5.5a), dengan hasil
1 f f f 2 f 2 f 1 ( ) cos ( ) sin ( ) cos sin x r r r r r r r 2 r
(1.6.4)
Cara serupa juga dapat diterapkan terhadap bentuk contoh-contoh lainnya. Untuk kasus dalam Pers. (1.6.3), turunan-turunan parsial terhadap x dan y perlu dinyatakan terlebih dahulu dalam turunan parsial terhadap r dan . Setelah itu, operator turunan dapat
dikenakan secara langsung. Sebagai contoh, untuk bentuk kedua dalam Pers. (1.6.3), 7
turunan parsial f / y dinyatakan terlebih dahulu sebagai turunan dalam r dan , yaitu dengan menggunakan operator dalam Pers. (1.5.5b), dengan hasil
f f 1 f sin cos y r r
(1.6.5)
yang kemudian digunakan untuk menghitung
f f 1 f cos ( ) (sin ) r r r y r
2 f 2 f f 1 1 cos cos sin r r r 2 r 2
1.7
(1.6.6)
Diferensiasi Fungsi Implisit Bervariabel Jamak
Dalam terapan, sering dihadapi kasus di mana suatu fungsi dinyatakan dalam bentuk implisit. Sebagai contoh, untuk fungsi bervariabel bebas ganda, ketimbang bentuk eksplisit (1.7.1) z f ( x, y) dihadapi bentuk implisit
F ( x, y, z) F [ x, y, f ( x, y)] 0
(1.7.2)
yang setara. Untuk mendapatkan turunan parsial, dilakukan teknik yang menggunakan bentuk operasi dalam Pers. (1.4.6) atas F ( x, y, z) , dan menyamakan hasilnya dengan nol, yaitu
sehingga
dF
F F F dx dy dz 0 x y z
dz
F / y F / x dy dx F / z F / z
(1.7.3)
(1.7.4)
Di lain fihak, penerapan Pers. (1.4.6) atas bentuk eksplisit fungsi dalam Pers. (1.7.1) memberikan
dz df
f f dx dy x y
(1.7.5)
sehingga, perbandingan atas bentuk dalam Pers. (1.7.4) dan (1.7.5) memberikan
f F / x x F / z f F / y y F / z 8
(1.7.6)
1.8
Aturan Diferensiasi Parsial
Untuk diferensiasi parsial, berlaku beberapa aturan operasional sebagai berikut ini. Aturan operasional dicontohkan terhadap fungsi bervariabel ganda f ( x, y) dan g ( x, y) dengan ( x, y) sebagai variabel antara dan ( s, t ) sebagai parameter akhir.
f f (k f ) k ; (k f ) k ; k tetapan y x y x f f k, l tetapan (b) (k f l g ) k l ; x x x f g g f (c ) ( f g) x x x f 1 f g f (d ) ( ) x g g 2 x x g (a )
(1.8.1)
df f x f y ds x s y s df f x f y (f) ds x s y s df f x f y dt x t y t
(e)
1.9
Integrasi Lipat
Integrasi merupakan proses kebalikan dari diferensiasi. Untuk menerangkan hal ini, maka pandanglah suatu fungsi bervariabel tunggal F (x) yang jika diturunkan, menghasilkan fungsi turunan f (x) yang merupakan hasil limit dari pada bentuk
F ( x x) F ( x) F ( x) f ( x) x x
(1.9.1)
Dari bentuk Pers. (1.9.1) dapat diperoleh suatu bentuk modifikatif
F ( x x) F ( x) f ( x)x
(1.9.2)
Pandanglah contoh di atas dengan prosedur yang berbalikan, di mana suatu fungsi f (x) yang merupakan turunan dari pada F (x) , ditinjau pada domain [ x, x x] sebagai sub-domain dari domain awal [a , b] seperti dalam Gambar 1.9.1 berikut ini. Untuk x a , Pers. (1.9.2) memberikan dan untuk x a x
F (a x) F (a ) f (a )x
F [(a x) x] F (a x) f (a x)x 9
(1.9.3)
(1.9.4)
Penerapan prosedur di atas secara berturutan hingga x b memberikan persamaanpersamaan yang dihimpun sebagai berikut
F (a x) F (a ) f (a )x F (a 2x) F (a x) f (a x)x F [a ( j ) x] F [a ( j 1)x] f [a ( j 1)x]x
(1.9.5)
F (b) F (b x) f (b x)x Sumasi dari semua persamaan di dalam Pers. (1.9.5) memberikan bentuk
f ( x)x F (b) F (a ) xb
(1.9.6)
xa
f (x)
f (a x)
f (a )
a
f (b x)
a x
b x
f (b)
X b
Gambar 1.9.1: Konsep Integrasi yang untuk x 0 memberikan suatu sumasi yang secara matematis dituliskan dalam notasi
f ( x) dx F (b) F (a ) b
(1.9.7)
a
yang dinamakan proses integrasi atas f (x) pada domain [a , b] . Untuk b x, diperoleh bentuk
f ( x) dx F ( x) F (a ) x
(1.9.8)
a
atau
f ( x) dx F ( x) C 10
(1.9.9)
yang sudah sangat kita kenal sebagai bentuk integrasi tak tentu untuk fungsi bervariabel bebas tunggal. Besaran C adalah untuk memperhitungkan kondisi awal proses integrasi. Dengan demikian, proses integrasi dapat diinterpretasikan sebagai operasi perjumlahan, baik sebagai operasi pertambahan maupun perkurangan. Bentuk integrasi fungsi bervariabel bebas tunggal dapat diperluas kepada integrasi fungsi bervariabel bebas jamak. Sebagai contoh, tanpa mengurangi keabsahannya yang umum, ditinjau integrasi fungsi bervariabel ganda dan bervariabel tiga sebagai berikut.
f ( x, y) dxdy F ( x, y) C f ( x, y, z) dxdydz F ( x, y, z) C
(a ) (1.9.10)
(b)
Dalam proses integrasi lipat, prosedur integrasi dilakukan satu per satu secara berturutan mulai dari integrasi paling dalam, dengan catatan bahwa batas-batas integrasi yang dilakukan kemungkinan merupakan fungsi dari pada variabel yang di luar. Sebagai contoh, dalam proses integrasi bentuk dalam Pers. (1.9.10a), integrasi pertama adalah dalam variabel x dengan batas-batas integrasi yang kemungkinan merupakan fungsi dari y sebagai variabel dari integrasi terluar. 1.10 Integrasi Parsial Integrasi dari bentuk-bentuk diferensial merupakan problem yang mencakup bahasan yang sangat luas, sehingga perlu dimuat secara tersendiri dalam sajian khusus. Dalam kesempatan ini, kita hanya membahas suatu kasus yang sangat khusus, yaitu integrasi turunan parsial berorde pertama, di mana turunan-turunan tersebut dinyatakan dalam fungsi yang diketahui. Untuk memulai, andaikanlah dihadapi suatu fungsi
z F ( x, y)
(1.10.1)
yang memiliki turunan parsial yang diketahui, yaitu
F ( x, y) f ( x, y) ; F ( x, y) g ( x, y) x y
(1.10.2)
Fungsi F ( x, y) dapat disusun dengan mengintegrasikan turunan parsial secara bertahap, misalnya integrasi bentuk dalam Pers. (1.10.2a) terhadap x , lalu kemudian menyamakan hasilnya dengan bentuk dalam Pers. (1.10.2b) sebelum akhirnya mengintegrasikan terhadap y . Dengan melakukan prosedur ini, pertama-tama diperoleh
F ( x, y)
F dx C ( y) x
(1.10.3)
yang memuat tetapan integrasi C ( y) dalam fungsi y . Tetapan integrasi ini berbeda dari tetapan integrasi yang biasa, karena dalam konteks diferensiasi parsial, fungsi dalam y 11
merupakan konstanta dalam diferensiasi parsial terhadap x . Diferensiasi bentuk dalam Pers. (1.10.3) terhadap y memberikan
F d F ( x, y) dx C ( y) y y x dy
(1.10.4)
Perbandingan antara bentuk dalam Pers. (1.10.4) dan (1.10.2b) memberikan bentuk dari pada tetapan integrasi parsial C ( y) . Dengan ditetapkannya konstanta integrasi ini, maka hasil akhir integrasi juga telah diperoleh. Sebagai contoh, turunan parsial dari F ( x, y) diketahui sebagai
F ( x, y) 2 x y ; F ( x, y) x 2 y y x
(1.10.5)
sehingga untuk contoh ini, Pers. (1.10.3) memberikan
F ( x, y) x2 xy C ( y)
(1.10.6)
Penurunan bentuk ini secara parsial terhadap y menghasilkan
d F ( x, y) x C ( y) y dy
(1.10.7)
yang jika dibandingkan dengan Pers. (1.10.5b) memberikan
d C ( y) 2 y dy C ( y) y2 c0
dan karenanya,
(1.10.8)
(1.10.9)
Akhirnya, hasil integrasi menjadi
F ( x, y) x2 xy y2 c0
(1.10.10)
1.11 Integrasi Lipat dan Transformasi Koordinat Dalam bahasan pasal sebelumnya, kita telah menurunkan bentuk-bentuk integrasi dengan fungsi-fungsi yang dinyatakan dalam sistem koordinat polar. Untuk integrasi dalam sistem koordinat lainnya, bentuk integrasi dalam koordinat Cartesius dapat dirobah menjadi bentuk integrasi dalam suatu sistem koordinat yang lain, dengan jalan proses transformasi koordinat. Sebagai contoh, integrasi lipat dua
I f ( x, y) dx dy b d
a c
12
(1.11.1)
dapat dikonversikan menjadi bentuk integrasi dalam sistem koordinat polar dengan melakukan transformasi
x r cos ; y r sin
(1.11.2)
sehingga menurut Pers. (6.8.10a),
dx dy r dr d
(1.11.3)
dan integrasi menjadi
I f (r , ) r dr d
(1.11.4)
di mana , , , merupakan batas-batas integrasi dalam sistem koordinat polar yang koresponden dengan batas-batas a , b, c, d dalam sistem koordinat Cartesius. Untuk integrasi lipat tiga
I f ( x, y, z) dx dy dz b d m
(1.11.5)
a c l
dapat dikonversikan menjadi bentuk integrasi dalam sistem koordinat polar dengan melakukan transformasi
x r cos ; y r sin ; z z sehingga menurut Pers. (6.8.10b),
dan integrasi menjadi
dx dy dz r dr d dz
I f (r , ) r dr d
(1.11.6)
(1.11.7)
(1.11.8)
di mana , , , , , merupakan batas-batas integrasi dalam sistem koordinat polar yang koresponden dengan batas-batas a , b, c, d , l , m dalam sistem koordinat Cartesius. Untuk konversi ke tata sumbu bola, integrasi lipat tiga
I f ( x, y, z) dx dy dz b d m
(1.11.9)
a c l
dapat dikonversikan menjadi bentuk integrasi dalam sistem koordinat bola dengan melakukan transformasi 13
x r cos cos ; y r sin cos ; z r sin
(1.11.10)
sehingga menurut Pers. (6.9.6a),
dx dy dz r 2 cos dr d d
(1.11.11)
dan integrasi menjadi
I f (r , , ) r 2 cos dr d d
(1.11.12)
di mana , , , , , merupakan batas-batas integrasi dalam sistem koordinat bola yang koresponden dengan batas-batas a , b, c, d , l , m dalam sistem koordinat Cartesius. 1.12 Penerapan Integrasi Lipat Integrasi lipat sering dihadapi sebagai formulasi antara dari pada problem fisis yang sedang dihadapi. Terapan integrasi lipat dapat ditemukan dalam berbagai variasi problem rekayasa. Namun, dalam kesempatan ini hanya disajikan problem geometri, antara lain panjang garis, luas dan titik berat serta momen inersia permukaan datar atau lengkungan, dan volume serta titik berat benda pejal. 1.12.1 Luas, Titik Berat dan Momen Inersia Permukaan Datar Suatu bidang datar yang ditempatkan pada bidang (XY), diperlihatkan dalam Gambar 1.12.1. Besaran yang kita minati dalam hal ini adalah luas, momen statis terhadap sumbu X, Y dan Z , letak titik berat dan momen inersia terhadap sumbu
X, Y dan Z. Untuk memulai, kita meminjau suatu diferensial luas dA pada titik ( x, y) , sehingga luas menjadi
A dx dy
(1.11.1)
Momen statis permukaan terhadap sumbu X dan Y masing-masing diberikan oleh
Sx y dA
S y x dA
(1.11.2)
Titik berat adalah titik yang jika semua permukaan dipusatkan (lumped) di sana, akan memberikan momen statis yang sama dengan momen statis akibat permukaan. Jika letak titik berat dinyatakan dengan ( x0 , y0 ) , maka per definisi dituliskan
A y0 Sx A x0 S y 14
(1.11.3)
Y
A
y dy y
dA
C ( x0 , y0 )
dy dx
x x dx
Z
X
Gambar 1.12.1: Permukaan Datar yang dengan mengingat Pers. (1.11.1) dan (1.11.2) memberikan
y0
Sx A
y dA ; dx dy
x0
Sy A
x dA dx dy
(1.11.4)
Momen kedua atau momen inersia permukaan datar terhadap sumbu-sumbu X dan Y diberikan oleh
I xx y2 dA ; I yy x2 dA; I xy xy dA
(1.11.5)
sedangkan momen inersia polar terhadap sumbu Z diberikan oleh
I zz 2 dA ( x2 y2 ) dA
(1.11.6)
Luas permukaan, letak titik berat dan momen inersia bidang datar telah dipaparkan dalam bahasan sebelumnya. Untuk permukaan berbentuk lengkung, pembahasan disajikan dalam Bab VII. 1.12.2 Volume, Titik Berat dan Momen Inersia Benda Pejal Dalam kesempatan ini, Volume berat dan letak titik berat, serta momen inersia benda pejal. Akan disusun dalam integrasi lipat tiga. Untuk itu, dalam suatu benda pejal dengan volume V , dipandang suatu elemen volume pada lokasi ( x, y, z) sebagai
dV dx dy dz
(1.11.12)
Jika massa persatuan volume pada titik ( x, y, z) adalah m ( x, y, z) , maka berat diferensial elemen menjadi
dW m( x, y, z) g dV m( x, y, z) g dx dy dz 15
(1.11.13)
di mana g adalah percepatan gravitasi. Momen statis terhadap bidang YZ , ZX dan
XY berturut-turut adalah dS yz x dW m ( x, y, z) g x dx dy dz
dSzx y dW m ( x, y, z) g y dx dy dz
(1.11.14)
dSxz z dW m ( x, y, z) g z dx dy dz
Dengan demikian, volume dan berat total adalah
V dx dy dz
W m ( x, y, z) g dx dy dz
(a ) (1.11.15)
(b)
dan momen statis total adalah
S yz m ( x, y, z) g x dx dy dz
Szx m ( x, y, z) g y dx dy dz
Sxz m ( x, y, z) g z dx dy dz
(1.11.16)
Titik berat merupakan titik di mana jika seluruh berat dipusatkan di sana, akan memberikan momen statis yang sama. Dengan demikian, jika pusat berat dinyatakan dengan ( x0 , y0 , z0 ) , maka
x0 .G S yz ; y0 .G Szx ; z0 .G Sxy sehingga diperoleh
x0 y0 z0
S yz G Szx G Sxy G
m g x dx dy dz m g dx dy dz m g y dx dy dz m g dx dy dz m g z dx dy dz m g dx dy dz
(1.11.17)
(1.11.18)
Sekarang, melalui titik berat kita bentuk salib sumbu ( S, T , U ) yang sejajar sumbu awal ( X, Y, Z ) sedemikian hingga
s x x0 ; t y y0 ; u z z0 16
(1.11.19)
Momen statis terhadap terhadap bidang TU , US dan ST menjadi
Stu mg ( s)dV m g ( x x0 ) dV
Sus mg (t )dV m g ( y y0 ) dV
Sst mg (u )dV m g ( z z0 ) dV atau
Stu S yz x0 .G
Sus Szx y0 .G
Sst Sxz z0 .G
(1.11.20)
Dengan mengingat bentuk dalam Pers. (1.11.16) dan Pers. (1.11.19), Pers.(1.11.20) memberikan
Stu 0 ;
Sus 0 ;
Sst 0
(1.11.21)
Berkenaan dengan hasil dalam Pers. (1.11.21), maka dapat dikeluarkan pernyataan berikut. Momen statis benda pejal terhadap bidang yang melalui titik berat, bernilai nol.
(1.11.22)
Momen inersia benda pejal terhadap bidang YZ, ZX dan XY didefinisikan sebagai besaran
I yz m g x2 dV
I zx m g y2 dV I xz m g z 2 dV
(1.11.23)
Namun, dalam praktek, yang lazim digunakan adalah momen inersia terhadap bidang yang melalui garis berat, yaitu
I tu m g s 2 dV I us m g t 2 dV
I st m g u 2 dV yang mengingat bentuk dalam Pers. (1.11.19), memberikan 17
(1.11.24)
I tu I yz 2 x0 S yz x02G
I us I zx 2 y0 Szx y02G
I st I xy 2 z0 Sxy z02G
(1.11.25)
Sehubungan substitusi bentuk dalam Pers. (1.11.17) ke dalam Pers. (1.11.25), diperoleh
I tu I yz x02G
I us I zx y02G
I st I xy z G
(1.11.26)
2 0
Dalam praktek, yang dilakukan adalah memilih tata sumbu ( X, Y, Z ) , sedemikian hingga besaran G, ( x0 , y0 , z0 ) dan I yz , I zx dan I xy mudah dihitung. Setelah itu, momen inersia terhadap bidang-bidang yang melalui titik berat, dapat dihitung dengan menerapkan Pers. (1.11.26). 1.13 Contoh Penerapan Di dalam memberikan pengertian serta peningkatan pendalaman materi bahasan bab ini, maka disajikan beberapa contoh penerapan seperti berikut ini. Contoh 1.1: Tentukanlah diferensial parsial dari fungsi bervariabel jamak berikut ini. Hitung hingga diferensial berorde paling tinggi.
a ) z f ( x, y) 2 x2 y 3x
b) z f ( x, y) xe y Penyelesaian: (a)
Karena fungsi berorde dua dalam x dan linier dalam y , maka turunan paling tinggi berorde empat.
z z 4 xy 3 ; 2 x2 x y
2 z 2 z 2z 2z y x 4x 4 ; 4 ; 0 ; x2 yx y2 xy 3 z 3 z 3 z 3 z 0 ; 4 ; 0 ; 0 x3 yx2 xy2 y3
Perhatikan bahwa hasil memberikan 2 z / yx 2 z / xy ; ini menandakan bahwa fungsi memiliki turunan yang menerus. 18
(b)
Karena fungsi mengandung faktor berupa fungsi transenden e, maka fungsi memiliki turunan parsial berorde tinggi.
z z xe y ey ; y x
2z 2z 2z 2z y y e ey xe 0 ; ; ; 2 2 x yx y xy
3 z 3 z 3 z 3 z y xe y e 0 ; 0 ; ; 3 2 2 3 x yx xy y
4z 4z 4z 4z 4z y xe y 0 ; e 0 ; 0 ; ; 4 3 2 2 3 4 x yx x y xy y Proses dapat dilanjutkan untuk menyusun turunan parsial berorde yang lebih tinggi. Contoh 1.2: Tentukanlah diferensial parsial dari fungsi implisit bervariabel jamak berikut ini. Hitung hingga diferensial berorde pertama saja.
a ) x2 y 3xz( x, y) 0
b) z( x, y) e y sin( xy) 0 Penyelesaian: Kedua soal telah mengambil bentuk seperti dalam Pers. (1.7.2) sehingga formula dalam Pers. (1.7.6) secara langsung dapat diterapkan. (a)
Turunan parsial orde pertama dapat dihitung sebagai
F F F 2 xy 3z ; 3x x2 ; x z y
sehingga menurut Pers. (1.7.6),
z x2 x 2 xy 3z z ; x y 3x 3x 3 (b)
Turunan parsial orde pertama dapat dihitung sebagai
F F F y cos( xy) ; ey ze y x cos ( xy) ; x z y
sehingga menurut Pers. (1.7.6),
z y cos( xy) z ze y x cos ( xy) ; x y ey ey 19
Contoh 1.3: Tentukanlah luas permukaan serta koordinat titik berat dari seperempat lingkaran beradius R pada kuadran pertama, relatif terhadap titik awal yang diambil sebagai titik pusat lingkaran seperti dalam Gambar 1.13.1. Penyelesaian: Untuk soal ini digunakan tata sumbu polar dengan hubungan
x r cos ; y r sin sehingga luas permukaan datar menjadi
A dxdy
r drd 4 R
/2 R
A
2
0 0
R
r dr r
d
X
Gambar 1.13.1: Permukaan Perempat Lingkaran Untuk menentukan ordinat titik berat permukaan, kita menghitung momen statis pertama terhadap sumbu polar, yang dalam hal ini diimpitkan dengan sumbu X ,
Sx ydxdy A
sehingga
r
/2 R
y0
2
sin drd
0 0
1 3 R 3
Sx 4 R A 3
Karena permukaan simetris terhadap garis y x, maka x0 y0 permukaan diberikan oleh
4 4 C R, R 3 3 20
dan titik berat
Contoh 1.4: Tentukanlah luas permukaan serta koordinat titik berat dari permukaan datar yang ditutup oleh garis y x dan kurva y x2 seperti dalam Gambar 1.13.2. Penyelesaian: Untuk soal ini, permukaan dibatasi oleh garis dan kurva pada domain [0,1]. Luas permukaan menjadi
A dA dydx ( x x2 )dx A
1 x
1
0 x2
0
1 6
Y
y x y x2
X
x 1
x0
Gambar 1.13.2: Permukaan Contoh 1.4. Untuk menentukan ordinat titik berat permukaan, kita menghitung momen statis pertama terhadap sumbu X dan Y ,
Sx y dA y dydx 0 x2
1 1 ( x2 x4 )dx 20 15
1 x
1
0 x2
0
1 x
1
S y x dA x dydx ( x2 x3 )dx A
A
sehingga
y0
S Sx 2 1 ; x0 y A 5 A 2
Dengan demikian, letak titik berat permukaan diberikan oleh
1 2 C , 2 5 21
1 12
1.14 Rangkuman Bahasan bab ini telah memaparkan fungsi bervariabel jamak. Paparan mencakup definisi fungsi bervariabel jamak, diikuti dengan konsep mengenai penurunan parsial dan penurunan total, dari orde pertama hingga orde yang lebih tinggi. Dalam kasus penurunan parsial, juga telah dibahas mengenai aturan diferensiasi parsial. Bahasan kemudian diikuti dengan paparan integrasi lipat, paparan mencakup integrasi lipat tentu dan tidak tentu, termasuk teknik integrasi parsial. Integrasi lipat kemudian diterapkan dalam berbagai kasus, termasuk penentuan luas permukaan serta letak titik berat dan penentuan volume benda serta letak titik berat. Integrasi dipaparkan dalam berbagai sistem koordinat, yaitu koordinat Cartesius, tabung dan koordinat bola. 1.15 Soal-soal Soal 1.1: Tentukanlah turunan parsial dari pada fungsi eksplisit bervariabel jamak berikut ini, hingga turunan kedua, jika ada.
a ) z f ( x, y) 2 x2 y 3x sin y
b) z f ( x, y) xe y xln y
Soal 1.2: Tentukanlah turunan parsial dari pada fungsi implisit berikut ini, hingga turunan kedua, jika ada.
a ) F ( x, y, z) 2 x2 y x z( x, y) sin y 0
b) F ( x, y, z) x z( x, y) e y xln y
Soal 1.3: Dengan metoda integrasi parsial, carilah fungsi
f ( x, y) yang memiliki
turunan parsial sebagai berikut.
f ( x, y) 2 xy y2 ; f ( x, y) x2 2 xy y x f ( x, y) 2 xe y ; b) f ( x, y) x2 e y x y a)
Soal 1.4: Dengan menggunakan integrasi lipat dua, hitung luas permukaan dan tentukan letak titik berat permukaan yang dibatasi oleh garis y x, y 2 x, x 0 dan x 2 seperti dalam Gambar S1.1. Soal 1.5: Permukaan dalam Soal 1.4 diputar penuh terhadap sumbu X . Dengan metoda integrasi lipat, hitung volume benda putar tersebut. Pertanyaan yang sama, diajukan untuk benda yang diperoleh dengan memutar penuh permukaan terhadap sumbu Y .
22
Y y 1
y x
y 1/ 2
y
x 2
x 1
x0
Gambar 1.15.1: Permukaan Soal 1.4
23
X
24
BAB II TEOREMA MATRIKS
2.1
Umum
Dalam kehidupan sehari-hari, sering dihadapi kasus di mana beberapa besaran (entities) terkait dalam hubungan yang bersifat linier. Secara matematis, hubungan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk beberapa persamaan yang melibatkan besaran-besaran. Jika persamaan-persamaan tersebut digabungkan, diperoleh suatu sistem persamaan linier simultan. SIstem persamaan tersebut lalu dapat disolusikan secara simultan sekali jalan (one-time solution) atau secara iteratif (iteration). Dalam bab ini dibahas konsep-konsep awal dari problem semacam itu, mulai dari penyusunan persamaan, notasi pernyataan dan kriteria eksistensi solusi. Bahan dalam bahasan bab ini kemudian diformalisir secara lebih matematis dalam apa yang dinamakan formulasi matriks. Sistem persamaan simultan yang dituliskan dalam formulasi matriks kemudian diselesaikan dengan metoda-metoda solusi yang semuanya dituliskan dalam formulasi matriks. Bab ini mencakup penjelasan mengenai munculnya sistem persamaan simultan, dan cara penulisan dalam bentuk matriks. Kemudian, aspek mengenai notasi matriks, termasuk definisi, penggolongan serta operasi matriks diberikan dalam bab ini. Teknik solusi sistem persamaan simultan kemudian disajikan secara rinci dalam bab berikut. 2.2
Sistem Persamaan Simultan
Berikut ini disajikan beberapa contoh problem yang dihadapi dalam kehidupan sehari-hari serta yang bermuara kepada sistem persamaan simultan linier. Sebagai contoh pertama, seorang anak desa disuruh ibunya membeli 2 kilo gula dan 1 kilo kopi. Dengan uang selembar Rp. 50,000, pemilik toko memberikan uang kembali Rp. 15,000. Minggu berikutnya, si anak kembali disuruh ibunya membeli 1 kilo gula dan 1 kilo kopi, dan dengan selembar Rp. 50,000, pemilik toko memberikan uang kembalian Rp. 25,000. Si anak beruntung karena pemilik toko sejauh ini selalu memiliki uang kembalian yang cukup. Jika tidak, pemilik toko selalu meminta pelanggan membawa uang pas. Jika tidak, pelanggan diminta kembali dulu untuk membawa uang pas, padahal jarak toko ke rumah pelanggan di desa tersebut umumnya berjarak jauh. Suatu hari, ibu kembali menyuruh anaknya membeli 1 kilo kopi dan ½ kilo gula. Sekarang si anak bingung, karena dia tidak pernah menanyakan harga kopi dan gula per kilo. Karena dia tidak ingin berjalan dua kali jika tidak membawa uang pas. Dia tidak bisa memperkirakan harga satuan tersebut berdasarkan pengalaman pembelian yang sebelumnya. Untunglah dia mempunyai seorang kakak yang telah duduk di bangku tingkat II Teknik Sipil ITB, yang kebetulan lagi libur semesteran di desa. Kakaknya memisalkan harga per kilo gula dan kopi masing-masing sebagai x1 dan x2 . 25
Berdasarkan pembelian pertama dan kedua, dia menuliskan dua persamaan yang digabungkan sebagai berikut.
2 x1 x2 35,000 x1 x2 25,000
(2.2.1)
Karena adiknya menunggu dan buru-buru, kakaknya akhirnya mengambil cara penyelesaian yang cepat. Secara sederhana x1 dia hitung dengan mengurangi
persamaan pertama dengan persamaan kedua yang menghasilkan x1 10,000. Hasil ini dia masukkan ke dalam persamaan kedua untuk mendapatkan x2 15,000. Dengan demikian harga kopi per kilo adalah Rp. 15,000 dan harga gula per kilo adalah Rp. 10,000. Pembelian 1 kilo kopi dan ½ kilo gula menjadi Rp. 20,000. Dia menyuruh adiknya membawa uang pas sebesar itu. Contoh lainnya adalah penentuan reaksi perletakan suatu balok sederhana akibat gaya luar, dengan analisis statika sistem struktur statis tentu seperti dalam Gambar 2.2.1a. Gambar 2.2.1b memperlihatkan reaksi perletakan berupa gaya ujung vertikal pada ujung balok A dan B , yang dipandang sebagai besaran yang tidak diketahui. Penerapan keseimbangan gaya di arah vertical dan momen terhadap titik A memberikan
Y a
P
(L – a) B
A
(a) struktur
Z
P (b) reaksi perletakan Rav
Rbv
Gambar 2.2.1: Balok Sederhana Dengan Gaya Luar Terpusat
F 0 R R P 0 M 0 R L P a 0 y
av
thd A
bv
(2.2.2)
bv
yang dapat dituliskan dalam sistem persamaan simultan
Ra v Rbv P
LRbv P a
dengan solusi 26
(2.2.3)
Ra v
L a a P ; Rbv P L L
(2.2.4)
Tentu saja kita dapat menyajikan beberapa contoh lainnya, yang muncul secara natural dari kehidupan sehari-hari, namun beberapa hal yang lebih penting yang berkaitan dengan sistem persamaan simultan, diberikan berikut ini. Pertama adalah, bagai mana memantau bahwa sistem persamaan akan memiliki solusi yang manunggal. Kedua, teknik solusi apa saja yang dapat digunakan untuk menentukan jawaban. Ketiga, bagai mana dan notasi apa yang dapat digunakan untuk menuliskan sistem persamaan dengan besaran tidak diketahui yang berjumlah besar. Hal-hal inilah yang akan dibahas dalam pasal-pasal berikut ini. 2.3
Sistem Persamaan Simultan Dalam Notasi Matriks
Kita meninjau suatu problem yang setelah diformulasikan, bermuara kepada suatu sistem persamaan simultan yang melibatkan n besaran anu (unknowns), yaitu
( xi i 1, n) dan terdiri atas m baris sebagai berikut.
a11x1 a12 x2 ... a1 j x j ... a1n xn b1
a 21x1 a 22 x2 ... a 2 j x j ... a 2 n xn b2 .
(2.3.1)
.
a m1 x1 a m2 x2 ... a mj x j ... a mn xn bm
Untuk m dan/atau n bernilai besar (misalnya orde ribuan), penulisan format Pers. (2.3.1) tidak lagi praktis atau bahkan tidak mungkin dilakukan. Untuk menyingkatkan penulisan, dapat digunakan notasi sumasi sebagai berikut.
a n
j 1
ij
x j bi ; i 1, m
(2.3.2)
Cara penulisan lain adalah dengan menggunakan notasi matriks sebagai berikut.
a11 a12.........a1 j .........a1n x1 b1 a 21 a 22.........a 2 j .........a 2 n x2 b2 a i1 a i 2 .........a ij ...........a in x j bi a m1 a m2 .........a mj .........a mn xn bm atau
AX B 27
(2.3.3)
(2.3.4)
di mana
a11 a12 .........a1 j .........a1n a 21 a 22 .........a 2 j .........a 2 n A a i1 a i 2 .........a ij ...........a in a m1 a m2 .........a mj .........a mn
x1 b1 x b 2 2 ; X ; B xn bm
(2.3.5)
Dengan [ A] sebagai matriks persegi berukuran (m n) , dan {X} serta {B} matriks kolom, atau vektor yang masing-masing berukuran (n 1) dan (m 1) . Dalam matriks persegi, (a ij , j 1, n) adalah barisan, dan (a ij , j 1, m) adalah kolom dari matriks
persegi. Dengan demikian, baris pertama dari Pers. (2.3.1) diberikan oleh bentuk Pers. (2.3.5), di mana unsur-unsur baris pertama dari matriks [ A] dikalikan dengan unsurunsur kolom yang berkaitan dalam matriks kolom {X} , misalnya a11 dengan x1 , a12 dengan x2 , dan seterusnya lalu semua dijumlahkan untuk disamakan dengan b1 . Cara sama juga dilakukan atas baris 2, 3, ..., i, ..., m untuk disamakan dengan
b2 , b3 , ..., bi , ..., bm . Dengan demikian, sistem persamaan simultan dalam Pers. (2.2.1) dapat dituangkan dalam formulasi matriks sebagai
2 1
1 x1 35,000 1 x2 25,000
(2.3.6)
dan persamaan simultan dalam Pers. (2.2.3) sebagai
1 0
1 Ra v P L Rbv P a
(2.3.7)
Penulisan sistem persamaan simultan dalam formulasi matriks memberikan manfaat ganda. Pertama, penulisan dapat dimungkinkan secara simbolis untuk sistem persamaan simultan berorde besar. Kedua, penyelesaian sistem persamaan simultan dapat dilakukan dengan teknik solusi matriks yang standard. Selain itu, penggunaan formulasi matriks dapat dikaitkan dengan penggunaan komputer sebagai alat bantu hitung. Dengan komputer, penyimpanan (storing) data ke dalam dan pemanggilan (retrieving) data keluar memori komputer dapat dilakukan dengan cepat. Kedua, penyelesaian sistem persamaan juga dapat dilakukan secara sangat cepat oleh komputer. 28
Berikut ini kita akan membahas formula matriks secara mendalam. Bahasan mencakup definisi, penggolongan dan operasi-operasi yang terkait dengan matriks. Pengetahuan dan pendalaman materi akan diupayakan lewat contoh penerapan dan soal-soal yang diberikan pada akhir bab ini. 2.4
Definisi Matriks
Seperti telah dibahas dalam pasal sebelumnya, bentuk matriks yang telah dituliskan dalam bab sebelumnya, dengan bentuk yang paling umum
Am x n
a11 a12 .........a1 j .........a1n a 21 a 22 .........a 2 j .........a 2 n a i1 a i 2 .........a ij ...........a in a m1 a m2 .........a mj .........a mn
(2.4.1)
di mana [ A] adalah matriks persegi berukuran (m n) , dengan a ij sebagai unsur baris
i dan kolom j . Untuk i j , unsur dinamakan unsur diagonal utama, dan untuk i j dinamakan unsur luar diagonal (off diagonal). Untuk n 1 , diperoleh matriks kolom, seperti yang dituliskan untuk {X} serta {B} dalam bentuk
x1 b1 x b 2 X ; B 2 xn bm
(2.4.2)
dengan x1 dan b1 sebagai unsur baris i . Demi penghematan tempat, matriks kolom yang seyogyanya disusun dalam kolom manunggal, sering dituliskan berbaris tunggal dalam format
X x1 x2 ... xm
(2.4.3)
dengan penggunaan tanda kurung {...} sebagai tanda bahwa matriks ini adalah matriks kolom. Untuk m 1, dihadapi matriks baris yang dituliskan dalam format
X x1 x2 ... xn
(2.4.4)
dengan x j sebagai unsur kolom j . 2.5
Penggolongan Matriks
Penggolongan matriks dapat dilakukan berdasarkan beberapa konsiderasi, antara lain berdasarkan bentuk dan ukuran, serta nilai unsur-unsur, sebagai berikut ini. 29
2.5.1 Penggolongan Matriks Berdasarkan Ukuran Dalam kaitan ukuran, untuk suatu matriks, katakanlah [ A] berukuran m n , dihadapi jenis-jenis matriks sebagai berikut ini. (1)
(2)
(3)
Matriks dinamakan jenis matriks persegi panjang, jika m n , dalam bentuk
A mn ; m n
Matriks dinamakan jenis matriks bujur sangkar, jika m n , dalam bentuk
A nn
(5)
(2.5.2)
Matriks dinamakan jenis matriks baris, jika hanya memiliki baris tunggal, dalam hal ini m 1, dalam bentuk
A 1n
(4)
(2.5.1)
(2.5.3)
Matriks dinamakan jenis matriks kolom, jika hanya memiliki kolom tunggal, dalam hal ini n 1 , dalam bentuk
Am1
(2.5.4)
Matriks yang hanya memiliki baris dan kolom tunggal, dalam hal ini m n 1 , merupakan matriks berukuran 11 yang berobah menjadi besaran skalar.
2.5.2 Penggolongan Matriks Berdasarkan Nilai Unsur Dalam kaitan nilai-nilai unsur suatu matriks, katakanlah [ A] berukuran m n , dihadapi jenis-jenis matriks sebagai berikut ini. (1)
Matriks dinamakan jenis matriks tidak nol, jika paling tidak ada satu unsur yang bernilai tidak nol.
(2)
Matriks dinamakan jenis matriks nol jika semua unsur-unsur bernilai nol.
(3)
Dalam kasus [ A] suatu matriks bujur sangkar, dapat dihadapi beberapa kasus sebagai berikut. a. Matriks adalah simetri, jika
b. Matriks adalah anti-simetri, jika
a ij a ji
(2.5.5)
a ij a ji
(2.5.6)
c. Matriks adalah diagonal, jika unsur-unsur non-diagonal bernilai nol,
a ij 0 ; i j 30
(2.5.7)
A I
d. Matriks identitas, yang dituliskan
jika
2.6
1 untuk i j a ij 0 untuk i j
(2.5.8)
(2.5.9)
Beberapa Hubungan Antara Matriks
Andaikanlah dihadapi matriks [ A] yang berukuran (m n) dan [B] yang berukuran ( p q) di mana m, n, p dan q merupakan bilangan asli. Antara kedua matriks tersebut dapat dihadapi beberapa kemungkinan hubungan sebagai berikut. (1)
A mn Bpq
Kedua matriks dikatakan sama, yaitu
jika dan hanya jika
(2)
(2.6.2)
A mn Bpq
(2.6.3)
m p ; n q ; a ij bij
(2.6.4)
Salah satu matriks dikatakan sebagai transpos dari matriks lainnya, yaitu
jika dan hanya jika (4)
m p ; n q ; a ij bij
Kedua matriks dikatakan berlawanan, yaitu
jika dan hanya jika
(3)
(2.6.1)
A BT
p n ; q m; bij a ji
(2.6.5) (2.6.6)
Dalam kasus matriks bujur sangkar, suatu matriks dinamakan invers dari matriks lainnya, yaitu
A B 1
(2.6.7)
jika perkalian kedua matriks menghasilkan matriks identitas,
A[B] [B][ A] [B][B] 1 [ I ]
2.7
(2.6.8)
Beberapa Operasi Matriks Andaikanlah dihadapi matriks [ A] yang berukuran (m n) dan [B] yang
berukuran ( p q) . Atas kedua matriks tersebut dapat dilakukan beberapa operasi matriks sebagai berikut. 31
2.7.1 Perjumlahan Matriks Jika [C ] merupakan perjumlahan matriks [ A] dan [B] , yaitu
[C ] A B
(2.7.1)
cij a ij bij
(2.7.2)
maka matriks hasil perjumlahan hanya akan terdefinisi jika m p dan n q ; unsur matriks perjumlahan diberikan oleh
2.7.2 Perkalian Matriks Jika [C ] merupakan matriks perkalian dari matriks [ A] dan [B] , yaitu
[C ] AB
(2.7.3)
maka matriks hasil perkalian hanya akan terdefinisi jika n p dan matriks hasil berukuran (m q) dengan unsur-unsur yang diberikan oleh
cij a ikbkj n
k 1
(2.7.4)
2.7.3 Transpos Matriks Transpos dari suatu matriks [ A] , yaitu
B AT
(2.7.5)
diperoleh dengan mempertukarkan garis dan kolom; baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris sedemikian hingga
p n ; q m; bij a ji
(2.7.6)
2.7.4 Inversi Matriks Operasi inversi hanya berlaku untuk matriks bujur sangkar. Matriks invers dari [ A] , yaitu
B A 1
(2.7.7)
dapat diperoleh dengan proses sedemikian hingga perkalian invers dengan matriks awal memberikan matriks identitas, yaitu
A[ A] 1 [ A]1[ A] [ I ]
(2.7.8)
Operasi inversi matriks secara lebih rinci dipaparkan dalam Pasal 2.9 mendatang. 32
2.8
Beberapa Kaidah Operasi Matriks
Berikut ini diberikan beberapa kaidah operasional yang berlaku terhadap matriks. Operasi-operasi ini dapat dibandingkan dengan operasi-operasi yang berlaku terhadap bilangan. 1.
Aturan Komutasi Untuk matriks yang kompatibel dijumlahkan, berlaku aturan komutatif (penulisan bolak-balik) sebagai berikut ini.
A B B A
2.
(2.8.1)
Aturan Asosiasi Aturan asosiasi berlaku bagi operasi perjumlahan dan perkalian sebagai berikut ini.
A (B C ) (A B) C A (B C ) (A B) C
(2.8.2)
Dalam perkataan, operasi perjumlahan atau perkalian tidak memiliki urutan operasi yang hierarkis. 3.
Aturan Distribusi
A (B C) A B A C
Aturan distribusi berlaku bagi operasi perjumlahan matriks, yaitu
4.
(2.8.3)
Sifat Anti Komutasi Dalam Perkalian Jika kedua perkalian di bawah ini terdefinisi, maka berlaku sifat anti komutasi perkalian matriks sebagai berikut.
A B B A
(2.8.4)
5.
Operasi perbagian tidak terdefinisi bagi matriks.
6.
Berikut ini diberikan beberapa kaidah operasi yang berlaku bagi matriks.
(A BC ) T C B
AT T T T T (a A b B) T a A bB bB a A kA B; dengan bij kaij A[ A] 1 [ A]1[ A] [ I ] A[ I ] [ I ][ A] [ A] A[O] [O][ A] [O] A B AC O B C T
T
33
(a ) (b) (c ) (d ) ( e) (f) (g)
(2.8.5)
2.9
Metoda Inversi Matriks
Dalam paparan terdahulu telah dinyatakan bahwa matriks invers dari suatu matriks bujur sangkar adalah suatu matriks lain yang jika dikalikan dari depan atau dari belakang dengan matriks yang pertama, akan menghasilkan matriks identitas. Apa persyaratan agar matriks invers terdefinisi, serta bagai mana menentukan matriks invers tersebut, merupakan bahan bahasan pasal ini. 2.9.1 Determinan Matriks Definisi serta penentuan formal secara matematis dari determinan matriks, merupakan bahan yang sudah umum dan baku, namun terkadang sulit dicerna. Determinan adalah suatu besaran skalar yang dihitung dari suatu matriks, yang berfungsi vital di dalam mencerminkan perilaku matriks. Jika matriks ini merupakan matriks koefisien dari suatu persamaan simultan, maka determinan matriks akan menentukan eksistensi dari pada solusi sistem persamaan. Untuk memberikan gambaran mengenai determinan, maka sekali lagi kita meninjau contoh dalam Pasal 2.2 dengan persamaan simultan yang disajikan dalam Pers. (2.2.1),
2 x1 x2 35,000 x1 x2 25,000
(2.9.1)
dan dituliskan secara lebih umum dalam bentuk
a 11x1 a12 x2 b1
a 21x1 a 22 x2 b2
(2.9.2)
atau secara lebih umum dalam bentuk matriks
a11 a12 x1 b1 a a x b AX B 21 22 2 2
(2.9.3)
Dalam aljabar, kita telah mengetahui bahwa salah satu metoda penyelesaian sistem persamaan simultan adalah dengan teknil eliminasi sebagai berikut.
a 11x1 a12 x2 b1 a 22 a 21x1 a 22 x2 b2
a12
(2.9.4)
Perkurangan antar baris kedua dan baris pertama memberikan
(a 11a 22 a12a 21) x1 a 22b1 a12b2 34
(2.9.5)
Dengan cara analog diperoleh
a 11x1 a12 x2 b1 a 21 a 21x1 a 22 x2 b2
a11
(2.9.6)
dan perkurangan antar baris kedua dan baris pertama memberikan
(a 11a 22 a12a 21) x2 a 21b1 a11b2
(2.9.7)
Penggabungan solusi dari Pers. (2.9.5) dan (2.9.7) memberikan
x1 a 22 a12 b1 1 X A'B x2 (a 11a 22 a12a 21) a 21 a11 b2
(2.9.8)
Dari pemeriksaan atas Pers. (2.9.3) dan (2.9.8) terlihat bahwa
A[ A' ] [ A' ][ A] [I ]
(2.9.10)
yang dengan Pers. (2.8.5d) memberikan
[ A' ] [ A] 1
(2.9.11)
Dengan demikian, secara simbolis solusi dari Pers. (2.9.3) adalah dengan mengalikan dari depan persamaan tersebut dengan invers dari [ A] ,
dengan
A1AX I X X A1B
(2.9.12)
A1
(2.9.13)
a 22 a12 1 (a 11a 22 a12a 21) a 21 a11
Bentuk penyebut dalam Pers. (2.9.13) yang dinyatakan dengan
D A a 11a 22 a12a 21
(2.9.14)
dinamakan determinan dari matriks [ A] . Determinan ini merupakan penentu dari eksistensi solusi dari pada Pers. (2.9.3). Agar sistem persamaan simultan mempunyai solusi, maka determinan tidak bernilai nol; jadi,
D0 35
(2.9.15)
Menyangkut nilai determinan dari suatu matriks maka kita dapat mengeluarkan pernyataan berikut ini. (a) Jika matriks memiliki nilai determinan nol, maka matriks dinamakan matriks singulir, dengan matriks invers yang tidak terdefinisi. (2.9.16) (b) Jika matriks memiliki nilai determinan yang tidak nol, maka matriks dinamakan matriks non-singulir, dengan matriks invers yang terdefinisi. 2.9.2 Matriks Kofaktor dan Adjoin Setelah usai memperkenalkan determinan dengan proses kemunculannya dari proses peninjauan solusi persamaan simultan, maka kita siap untuk membahas penentuan matriks invers secara lebih matematis dalam paparan berikut. Pertama-tama, kita mendefinisikan suatu langkah yang dinamakan sebagai penguraian matriks. Jika dalam format matriks kita memegang unsure a ij , dan melalui unsur tersebut ditarik garis horisontal yang mencoret semua unsur baris i dan garis vertikal yang mencoret semua unsur kolom j , maka tertinggal unsur-unsur sisa yang jika dipadatkan kembali untuk mengisi baris i dan kolom j yang hilang, mendapatkan suatu sub-matriks baru yang dinyatakan dengan
a11 a 21 Aij a i11 a i11 a n1
dengan nilai determinan
a12.........a1 j 1 a 22.........a 2 j 1 a i 12.......a i 1 j 1 a i 12.......a i1 j 1 a n 2 .........a nj1
a1 j 1.........a1n a 2 j 1.........a 2 n a i1 j 1 .....a i 1n a i1 j 1 .....a i1n a nj1.......a mn
Aij det Aij Aij
(2.9.17)
(2.9.18)
Kemudian, kita mendefinisikan suatu besaran
ij (1)i j Aij
(2.9.19)
di mana faktor ini memberikan suatu pola papan catur yang berisikan unsur yang 1 dan 1 secara bergantian mulai dengan nilai 1 pada lokasi i j 1 . Besaran ini digunakan untuk menyusun suatu matriks yang dinamakan matriks kofaktor dari matriks [ A] , yaitu
36
11 21 Cof A i1 n1
12.........1 j .........1n 22......... 2 j ......... 2 n
i 2 .........ij .........in n 2 ......... nj ......... mn
(2.9.20)
Kemudian dari pada itu, dapat didefinisikan suatu matriks yang dinamakan matriks adjoin dari matriks [ A] , yang diperoleh dari
Adj A Cof AT
(2.9.21)
yang akan dimanfaatkan dalam penyusunan matriks invers. 2.9.3 Penentuan Determinan Matriks Menurut Cramer, penentuan determinan dari suatu matriks dapat dilakukan dengan cara penguraian atas baris atau atas kolom, dengan menggunakan rumus
det A A aik ik ( penguraian atas baris i ) n
k 1
atau
det A A a kj kj ( penguraian atas kolom j )
(2.9.22)
n
k 1
(2.9.23)
2.9.4 Penentuan Matriks Invers Dengan tersusunnya matriks adjoin dan matriks kofaktor serta nilai determinan, maka matriks invers dapat disusun dengan
A1
1 Adj A 1 Cof AT det A det A
(2.9.24)
Berdasarkan semua uraian di atas, penentuan matriks invers dari suatu matriks [ A] dapat dilakukan dengan prosedur sebagai berikut. (1) Susunlah matriks kofaktor dan/atau matriks adjoin dari matriks yang ditinjau, yaitu dengan rumus
di mana
ij (1)i j Aij
(2.9.25)
Aij det Aij Aij
(2.9.26)
dengan Aij yang merupakan matriks yang disusun menurut Pers. (2.9.17) 37
(2) Hitunglah nilai determinan dengan rumus
det A A aik ik ( penguraian atas baris i ) n
k 1
atau
det A A a kj kj ( penguraian atas kolom j )
(2.9.27)
n
k 1
(2.9.28)
(3) Jika matriks adalah non-singulir, susunlah matriks invers dengan rumus
A1
1 Adj A 1 Cof AT det A det A
(2.9.29)
2.9.5 Determinan dan Invers Beberapa Matriks Dalam terapan, kita akan sering menghadapi penentuan determinan dan invers dari suatu matriks. Berikut ini diberikan determinan dan matriks invers dari matriks nonsingulir berorde dua dan tiga. Untuk matriks [ A] berukuran (2 2) , diperoleh
dan
A 1
det A a11a 22 a12a 21
a 22 a12 1 (a 11a 22 a12a 21 ) a 21 a11
(2.9.30)
(2.9.31)
Untuk matriks [ A] berukuran (3 3) , diperoleh
A11 a 22a 33 a 32a 23
A12 a 21a 33 a 31a 23
A13 a 21a 32 a 31a 22
A21 a12a 33 a 32a13 A22 a11a 33 a 31a13
A31 a12a 23 a 22a13
A23 a11a 32 a 31a12
(2.9.32)
A32 a11a 23 a 21a13
A33 a11a 22 a 21a12 Penguraian atas baris pertama memberikan determinan yang setelah suku-sukunya disusun, diberikan oleh
det A a11a 22a 33 a12a 23a 31 a13a 21a 32
a11a 23a 32 a13a 22a 31 a12a 21a 33
(2.9.33)
Dengan diperolehnya data-data dalam Pers. (2.9.32) dan (2.9.33), matriks invers untuk [ A] dapat disusun (tidak dituliskan di sini secara eksplisit). 38
Gambar 2.9.1 menunjukkan bagan cara perhitungan determinan, yang diperagakan hingga matriks berorde tiga. Dalam gambar diperlihatkan kolom ketiga yang dipindah ke depan kolom pertama, dan kolom pertama yang dipindah ke belakang kolom ketiga. Suku-suku determinan diperoleh dengan mengalikan unsur-unsur diagonal menurut arah panah, dan diberi tanda positif untuk perkalian unsur-unsur diagonal yang mengarah dari kiri atas ke kanan bawah, dan negatif untuk perkalian diagonal yang mengarah dari kanan atas ke kiri bawah.
+
+
+
-
-
-
13
11
12
13
11
23
21
22
23
21
33
31
32
33
31
Gambar 2.9.1: Bagan Perhitungan Determinan
2.10 Contoh Penerapan Di dalam memberikan pengertian serta peningkatan pendalaman materi bahasan bab ini, maka disajikan beberapa contoh penerapan seperti berikut ini. Contoh 2.1: Jika terdefinisi, maka carilah matriks hasil perjumlahan berikut ini.
2 1 0 2 3 0 1 1 4 7 Penyelesaian: Karena kedua matriks yang dijumlahkan tidak memiliki ukuran (jumlah baris dan jumlah kolom) yang sama, maka perjumlahan tidak terdefinisi, dan matriks hasil perjumlahan juga tidak terdefinisi.
39
Contoh 2.2: Jumlahkanlah matriks berikut ini.
Penyelesaian:
2 0 1 1 1 3 ; 5 2
Karena ukuran kedua matriks sama, maka perjumlahan terdefinisi. Hasilnya menurut Pers. (2.7.2) adalah
1 1 (2 1) (0 1) 3 1 2 0 1 3 5 2 (1 5) (3 2) 6 1 Contoh 2.3: Tentukanlah matriks hasil kali dari perkalian berikut ini.
2 0 1 2 3 1 3 2 0 2 Penyelesaian: Karena ukuran kolom matriks depan dan ukuran baris matriks belakang sama, maka perkalian terdefinisi. Menurut Pers. (2.7.4), matriks hasil kali adalah
2 0 1 2 3 (2)(1) (0)(2) (2)(2) (0)(0) (2)(3) (0)(2) 2 4 6 1 3 2 0 2 (1)(1) (3)(2) (1)(2) (3)(0) (1)(3) (3)(2) 7 2 9 Contoh 2.4: Buktikanlah bahwa suatu matriks bujur sangkar sembarang selalu dapat didekomposir atas bagian matriks yang simetris dan bagian matriks yang anti-simetris. Penyelesaian: Andaikanlah dihadapi matriks bujur sangkar sembarang [ A] dengan unsur-unsur
a ij , yang selalu dapat dituliskan dalam bentuk a ij
1 1 (a ij a ji ) (a ij a ji ) 2 2
Selanjutnya, jika bagian pertama dan bagian kedua dari ruas kanan diambil sebagai unsur-unsur dari dua matriks, yang masing-masing dinyatakan sebagai [ As ] dan [ Aa ] , maka terlihat bahwa masing-masing matriks ini merupakan matriks yang simetris dan anti-simetris. Ini berarti bahwa suatu matriks bujur sangkar sembarang selalu dapat didekomposir atas sub-matriks yang simetris dan sub-matriks yang antisimetris. 40
Contoh 2.5: Kalikanlah dua matriks berikut ini untuk dua kasus yang diperoleh dengan mempertukarkan urutan dalam proses perkalian.
A
2 1 ; B 1 1
Penyelesaian:
1 1 3 2
Perhatikan bahwa karena kedua matriks berukuran (2 2) maka perkalian dengan
urutan yang dipertukarkan, terdefinisi. Hasil adalah
A B
2 1 1 1 1 3 1 3 2 B A 3 2 1
3 5 2 4 1 5 1 8
8 5
4 5
Melihat hasil di atas, disimpulkan bahwa hasil perkalian matriks tergantung dari urutan dalam perkalian. Selain itu, juga terlihat bahwa matriks hasil kali dua matriks simetris belum tentu merupakan matriks simetris. Contoh 2.6: Tunjukkanlah bahwa kedua matriks berikut ini memiliki hubungan yang bersifat inversi.
A
2 1 ; B 1 1
1 1 1 2
Penyelesaian: Jika kedua matriks memiliki hubungan yang bersifat inversi, maka hasil kali kedua matriks merupakan matriks identitas. Kita menghitung,
A B
2 1 1 1 1 0 1 1 1 2 0 1 1 1 2 1 1 0 B A 1 2 1 1 0 1
Dengan mengamati matriks hasil kali di atas, yang untuk kedua urutan memberikan matriks identitas, maka matriks yang satu merupakan inversi dari matriks lainnya. Contoh 2.7: Buktikanlah kebenaran dari pernyataan berikut ini.
A B C AB A C 41
Penyelesaian: Jika kita memisalkan bahwa
B C D ;
A D E
eij a ik d kj a ik (bkj ckj ) a ik bkj a ik ckj
maka diperoleh unsur-unsur
yang sekaligus membuktikan kebenaran dari pada pernyataan yang dikeluarkan. Contoh 2.8: Buktikanlah pernyataan berikut ini.
D AB AC 0 B C
Penyelesaian: Menurut definisi, ruas kiri dari pernyataan memberikan
dij a ik bkj a ik ckj ) a ik (bkj ckj ) 0
yang memberikan dua kemungkinan yaitu cik 0 dan bkj ckj 0. Karena matriks [A] sembarang, maka
sekalipun
pada
umumnya
a ij 0,
namun
kondisi
d ij 0
kemungkinan tidak selalu diberikan oleh kondisi bkj ckj 0, namun oleh a ij 0. Dengan demikian, pada umumnya bkj ckj 0, dan karenanya, [ B] [C ] .
Contoh 2.9: Hitunglah hasil operasi matriks berikut ini, secara langsung maupun secara aturan distributif.
1 3 4 0 1 1 2 3 4 2 1 1 1 0 2 Penyelesaian: Secara langsung, diperoleh hasil yang diberikan oleh
2 6 4 2
12 0 4 4 2 6 16 4 50 74 3 3 0 8 4 2 3 11 70 38
Secara aturan distribusi hasil dapat diperoleh dengan
7 3 6 8 9 1
1 7 50 74 2 4 70 38 42
Terlihat bahwa kedua cara memberikan hasil yang sama, sehingga merupakan cara numerik dalam membuktikan aturan distributif dalam Pers. (2.8.3). Contoh 2.10: Tentukanlah hasil dari operasi. yang mengisyaratkan bahwa kedua cara perhitungan memberikan hasil akhir yang sama. 2.11 Rangkuman Dalam bab ini telah dipaparkan definisi dari pada matriks. Bahasan dilengkapi dengan penggolongan matriks menurut bentuk atau ukuran, maupun menurut nilai unsur-unsur. Bahasan dilanjutkan dengan hubungan antara beberapa matriks. Bahasan mengenai sifat-sifat operasional matriks juga diberikan, yaitu sifat asosiatif, distributif dan anti-komutatif. Bahasan dalam bab diakhiri dengan aturan operasional matriks. Contoh penerapan sebagai pendalaman materi juga diberikan. Suatu proses yang sangat penting dalam teori matriks, yaitu mengenai inversi matriks, disajikan secara khusus di dalam bab yang akan datang. Penerapan metoda matriks dan inversi matriks di dalam kaitan penyelesaian sistem persamaan simultan linier, diberikan dalam bab tersendiri dalam bahasan mendatang. 2.12 Soal-soal Soal 2.1: Jika terdefinisi, maka carilah matriks hasil perjumlahan berikut ini.
2 1 0 2 0 9 1 4 Soal 2.2: Jumlahkanlah matriks berikut ini.
8 4 1 1 1 3 ; 5 2 Soal 2.3: Tentukanlah matriks hasil kali dari perkalian berikut ini.
2 0 1 2 3 4 3 5 10 2 Soal 2.4: Kalikanlah dua matriks berikut ini untuk dua kasus yang diperoleh dengan mempertukarkan urutan dalam proses perkalian.
A
4 3 ; B 1 1 43
5 1 3 11
Soal 2.5: Tunjukkanlah bahwa kedua matriks berikut ini memiliki hubungan yang bersifat inversi.
A
3 1 ; B 2 1
1 1 2 3
Soal 2.6: Hitunglah hasil operasi matriks berikut ini, secara langsung maupun secara aturan distributif.
5 0 4 3 6 1 2 3 4 2 0 0 2 9 7 Soal 2.7: Tentukanlah hasil dari operasi.
2 1 0 1 1 0 1 2
44
T
BAB III SISTEM PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
3.1
Umum
Dalam uraian bab terdahulu, telah dicontohkan bagai mana suatu problem seharihari bermuara kepada suatu sistem persamaan simultan linier dalam urutan proses analisis. Penyelesaian sistem persamaan simultan linier mencakup penentuan besaran anu atau yang belum diketahui (unknowns) yang di dalam notasi matriks, dimuat dalam suatu matriks kolom yang dengan matriks koefisien, dihubungkan dengan matriks kolom lain yang diketahui. Merujuk kembali kepada sistem persamaan simultan linier yang dituangkan dalam formulasi matriks
AX B
(3.1.1)
maka upaya pencarian solusi mencakup penentuan matriks kolom {X} untuk matriks koefisien [ A] dan matriks kolom {B} yang diketahui. Jika kita memisalkan secara umum, matriks koefisien [ A] berukuran (m n) dan
matriks kolom {X} berukuran (n 1) sehingga dengan perkalian, matriks {B}
berukuran (m 1) . Secara umum pula, m tidak selalu sama dengan n . Matriks koefisien [ A] boleh jadi memiliki jumlah baris yang melampaui jumlah kolom; jadi,
m n . Matriks koefisien [ A] boleh jadi pula memiliki jumlah baris yang kurang dari jumlah kolom; jadi, m n , atau mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama. Dari matematika, akan diketahui bahwa eksistensi dari solusi sistem persamaan simultan linier tergantung dari pada beberapa hal, salah satu di antaranya adalah perbandingan antara besar m dan n . Bab ini bertujuan untuk membahas konsep dan metoda penyelesaian sistem persamaan simultan linier. Pertama, aspek mengenai eksistensi solusi sistem persamaan simultan, dibahas sebagai dasar bagi kelanjutan upaya penentuan solusi. Dalam artian, kita hanya akan melanjutkan proses penentuan solusi jika telah terbukti bahwa sistem persamaan simultan memiliki solusi, sekalipun solusi tersebut belum tentu manunggal atau unik (unique solution). Dalam bab ini, kita terutama tertarik kepada penyelesaian sistem persamaan simultan linier dengan solusi yang manunggal. Memang, ada juga kasus di mana dibutuhkan pencarian solusi sistem persamaan simultan linier yang memiliki solusi atau jawab jamak. 3.2
Rank Dari Sistem Persamaan Simultan
Sekali lagi, kita menuliskan sistem persamaan simultan linier dalam bentuk yang telah kita tuliskan dalam bab terdahulu, yaitu 45
a11x1 a12 x2 ... a1 j x j ... a1n xn b1
a 21x1 a 22 x2 ... a 2 j x j ... a 2 n xn b2 .
(3.2.1)
.
a m1 x1 a m2 x2 ... a mj x j ... a mn xn bm
yang dituangkan dalam format matriks
Amn Xn1 Bm1
(3.2.2)
Andaikanlah bahwa dari matriks koefisien [ A] dengan ukuran m n , dapat dipilih beberapa baris dan beberapa kolom dengan jumlah sama yang dinyatakan dengan r , sedemikian hingga jika unsur-unsur disusun dalam suatu matriks yang non-singulir. Dapat kita lihat bahwa r paling tinggi sama dengan nilai terkecil dari m dan n . Dikatakan bahwa rank dari matriks [ A] adalah r , yang diberikan oleh
r min( m, n)
(3.2.3)
Sesuai dengan bahasan di atas, maka baris-baris dan kolom-kolom yang berurutan dalam matriks yang berukuran (r r ) tersebut, belum tentu berurutan dalam matriks [ A] yang asal. Biasanya, baris-baris dan kolom-kolom dalam matriks asal, dipilih lalu dicoba-coba, sedemikian hingga didapatkan suatu sub-matriks yang nonsingulir dengan rank r tertinggi. Boleh jadi, dalam kasus m n , determinan matriks
[ A]nn tidak nol sehingga diperoleh rank r n . Lihat skema dalam Gambar 3.2.1
sebagai penjelasan.
1
r
n<m
1
r
m
m>n Gambar 3.2.1: Rank Dari Matriks Koefisien 46
n>m
3.3
Skema Solusi Sistem Persamaan Simultan Seturut dengan kaitan antara nilai m, n dan r sebagai mana telah dibahas dalam
pasal yang terdahulu, maka berikut ini diberikan skema dari penyelesaian sistem persamaan simultan linier. (1)
Kasus di mana r m n
Untuk kasus seperti ini, sejumlah s (n r ) kolom dipindahkan ke ruas kanan
untuk membentuk sistem persamaan yang baru dalam format
Arr Xr1 Br1 [ A]rs {X}s1
(3.3.1)
Arr Xr1 B'r1
(3.3.2)
{B'}r 1 Br 1 [ A]r s {X}s1
(3.3.3)
atau
di mana
Karena sub-matriks [ A]r r disusun sedemikian hingga non-singulir maka pada hematnya, sistem persamaan modifikasi dalam Pers. (3.3.2) dapat diselesaikan. Namun, matriks kolom {B ' }r 1 tidak diketahui, karena matriks kolom { X}S1 dalam Pers. (3.3.3). Solusi dapat diperoleh dengan mengasumsikan nilai-nilai unsur {X}sx1, memasukkannya ke dalam Pers. (3.3.3), serta memasukkan {B’}rx1 dari persamaan ini ke dalam Pers. (3.3.2) untuk mendapatkan {X}rx1. Kemudian, {X}sx1 yang diasumsikan dan {X}rx1 yang dihitung lalu digabungkan dalam memperoleh solusi. Melihat cara penyelesaian ini, solusi kasus semacam ini tidak manunggal, tetapi jamak. (2)
Kasus di mana r n m Untuk kasus seperti ini, sejumlah t (n r ) baris ditinggalkan dan dipindahkan ke
suatu sistem persamaan yang baru, sehingga diperoleh dua sub-persamaan simultan dalam format
Arr Xr1 Br1
[ A' ]tr { X}r 1 {B'}tx1
(a ) (b)
(3.3.4)
Sebagai mana biasa, Pers. (3.3.4a) disolusikan untuk mendapatkan {X}rx1, lalu dimasukkan ke dalam Pers. (3.3.4b). Jika solusi ini memenuhi persamaan tersebut maka hasil ini merupakan solusi sistem persamaan simultan yang diharapkan; jika tidak, maka sistem persamaan simultan tidak memiliki solusi. Dalam hal sistem persamaan simultan memiliki solusi, maka sistem persamaan sisa dalam Pers. (3.3.4b) merupakan sistem persamaan dengan baris-baris yang merupakan kombinasi linier dari baris-baris dalam Pers. (3.3.4a). 47
(3)
Kasus di mana r m dan r n
Kasus ini merupakan kombinasi dari dua kasus yang terdahulu, dan yang dapat dituliskan dalam format
Solusi
Xr 1 dari
Ar r Xr 1 Br 1 [ A]r s {X}s1 Asr Xr 1 [ A]txs {X}sx1 Bt1
(a ) (b)
(3.3.5)
Pers. (3.3.5a) untuk { X}s1 yang diasumsikan, dicobakan ke
dalam Pers. (3.3.5b). Jika memenuhi, maka sistem persamaan simultan memiliki solusi jamak; jika tidak, sitem persamaan simultan tidak memiliki solusi. Yang menarik dari bentuk Pers. (3.3.5) adalah kemungkinan adanya solusi di mana { X}sx1 dari Pers. (3.3.5b) dimasukkan ke dalam Pers. (3.3.5a) untuk mendapatkan sistem persamaan yang baru. Solusi Xr 1 dari sistem persamaan baru
ini kemudian digunakan untuk menghitung { X}sx1 . Sistem persamaan simultan hanya memiliki solusi jika matriks koefisien dari sistem persamaan simultan yang baru tersebut bersifat non-singulir. (4)
Kasus di mana m n
Kasus semacam ini merupakan yang paling sering dihadapi dalam terapan. Kasus ini masih dapat dibagi atas beberapa sub-kasus sebagai berikut. (a)
Sub-kasus sistem persamaan simultan linier homogen
Sistem persamaan simultan linier homogen adalah persamaan dengan matriks {B} yang semua unsurnya bernilai nol, jadi diperoleh
Ann Xn1 On1
(3.3.6)
yang untuk kondisi r n , memiliki solusi trivial, yaitu
Xn1 On1
(3.3.7)
Untuk kondisi r n , sub-kasus ini berobah menjadi kasus 3 dengan kondisi {B} = {O}, sehingga tidak perlu lagi diulangi di sini. (b)
Sub-kasus sistem persamaan simultan linier non-homogen
Untuk kasus ini juga dihadapi dua sub-kasus. Jika r n , maka sistem persamaan simultan linier
Ann Xn1 Bn1 48
(3.3.8)
memiliki solusi yang manunggal. Jika r n , maka sistem persamaan simultan linier non-homogen tidak memiliki solusi. Dalam bahasan pasal-pasal berikut ini, kita akan membahas kasus sistem persamaan simultan dalam Pers. (3.3.8) untuk kondisi r n secara lebih rinci dan mendalam. 3.4
Beberapa Sifat Dari Matriks Koefisien
Sebelum mambahas teknik sdusi, maka terlebih dahulu kita akan mencermati sifat-sifat yang kemungkinan dimiliki oleh matriks koefisien dan sistem persamaan linier simultan non-homogen,
Ann Xn1 Bn1
(3.4.1)
yang tercermin dari nilai unsur-unsur a ij dalam
Ann
a11 a 21 a i1 a n1
a12.........a1 j .........a1n a 22.........a 2 j .........a 2 n a i 2 .........a ij ...........a in a n 2 .........a nj .........a nn
(3.4.2)
Beberapa sifat matriks koefisien yang penting untuk disimak karena berkaitan dengan pemilihan metoda penyelesaian, adalah sebagai berikut. 3.4.1 Persebaran Unsur-unsur Aspek persebaran (sparseness) unsur-unsur yang menjauhi unsur-unsur diagonal utama, mencerminkan kuat-lemahnya kaitan antara baris persamaan. Semakin menyebar unsur-unsur yang tidak nol menjauhi diagonal utama (off diagonal), semakin kuat keterkaitan (coupling) sesame baris persamaan, dan sebaliknya. Jika unsur-unsur yang tidak nol mengumpul di sekitar diagonal utama, maka semakin mudah sistem persamaan simultan untuk disolusikan. Ini akan terlihat nantinya dalam pemilihan teknik solusi yang dilakukan berdasarkan persebaran dari unsur-unsur yang tidak nol menjauh dari diagonal utama matriks koefisien. 3.4.2 Kesimetrian Matriks Koefisien Dalam bahasan teori matriks, diketahui bahwa setiap matriks bujur sangkar selalu dapat didekomposir atas bagian yang simetri dan bagian yang anti-simetri sebagai berikut,
A [ As ] [ Aa ] 49
(3.4.3)
dalam mana [ As ] adalah bagian yang simetri dan [ Aa ] bagian yang anti-simetri, sedemikian hingga
a ij a ijs a ija
dengan
(3.4.4)
a ijs
1 (a ij a ji ) 2 1 a ija (a ij a ji ) 2
Untuk matriks simetri,
dan untuk matriks anti-simetri,
a ija 0
(a ) (3.4.5)
(b)
(a )
a ijs a ij a ji
(b)
a ijs 0
(a )
a a ij a ji a ij
(3.4.6)
(3.4.7)
(b)
Dalam teknik solusi numerik, semakin kecil bagian yang anti-simetri, semakin efisien sistem persamaan simultan untuk disolusikan. Hal ini akan dibahas dalam teknikteknik solusi dalam pasal-pasal mendatang. 3.5
Penggolongan Teknik Solusi Sistem Persamaan Simultan
Dalam penyelesaian sistem persamaan simultan linier non-homogen, tersedia beberapa metoda solusi yang dapat diterapkan. Secara garis besar, teknik solusi dapat digolongkan atas dua kelompok besar, yaitu metoda eksak dan metoda tidak eksak. Etoda eksak mencakup penentuan invers dari matriks koefisien secara formal, lalu mengalikan sistem persamaan simultan dari depan (pre-multiplication) dengan matriks invers sehingga diperoleh rentetan bentuk persamaan modifikasi sebagai berikut,
AX B A 1 AX A 1 B I X A 1 B X A 1 B
(a ) (b) (c )
(3.5.1)
(d )
di mana bentuk dalam Pers. (3.5.1a) diproses hingga menjadi bentuk dalam Pers.(3.5.1d) dalam format
X A 1B
50
(3.5.2)
Keuntungan dari metoda eksak berupa inversi formal seperti ini adalah bahwa dalam penyusunan matriks invers, diperoleh nilai determinan yang sekaligus dapat digunakan untuk memeriksa eksistensi dari solusi. Selain itu, didapatkan bentuk matriks invers secara formal, yang dapat digunakan untuk keperluan lain. Kerugian dari metoda eksak ini adalah kenyataan bahwa proses penyusunan matriks invers secara formal menyita upaya yang sangat panjang; padahal, dalam terapan tertentu, yang diminati hanya solusi saja dan bukan bentuk formal dari matriks invers. Metoda tidak eksak pada umumnya dilakukan secara numerik, sehingga sering dinamakan sebagai metoda numerik. Dalam metoda semacam ini, penentuan solusi dilakukan secara numerik dan kerap tanpa menyusun matriks invers secara formal. Tergantung kepada cara perhitungan solusi, metoda numerik dibagi atas dua kelompok, yaitu kelompok metoda numerik langsung (direct numerical methods) dan metoda numerik tidak langsung (indirect numerical methods). Kelompok metoda numerik langsung melakukan serentetan proses modifikasi atas bentuk dari matriks koefisien, yang pada akhirnya dicapai suatu bentuk modifikasi akhir yang memungkinkan perhitungan solusi sekali jalan. Metoda-metoda solusi yang termasuk kelompok ini umumnya didasarkan atas teknik eliminasi Gauss. Contoh dari kelompok ini antara lain adalah metoda triangulasi, metoda diagonalisasi, metoda Crout, Cholesky dan lain-lain. Kelompok metoda numerik tidak langsung melakukan serentetan proses modifikasi bentuk dari persamaan simultan, dan pada akhir setiap proses, dilakukan perhitungan solusi. Solusi sementara ini kemudian dimanfaatkan dalam proses berikutnya untuk mendapatkan solusi yang terbarukan. Demikian proses dilakukan secara iteratif sehingga solusi berkonvergen kepada nilai akhir dengan tingkat ketelitian yang dapat ditentukan atau dipilih. Contoh dari kelompok metoda numerik tidak langsung antara lain adalah teknik relaksasi Seidel-Southwell. Lihat Tabel 3.5.1 sebagai penjelasan.
Tabel 3.5.1: Penggolongan Metoda Solusi Numerik kelompok 1
contoh
metoda eksak
inversi
langsung 2
metoda tidak eksak tidak langsung
51
triangulasi diagonalisasi Crout Cholesky relaksasi iterasi Gauss-Seidel
Satu per satu metoda solusi sistem persamaan simultan linier non-homogen dibahas dalam paparan berikut ini. 3.6
Metoda Triangulasi
Metoda triangulasi didasarkan atas teknik eliminasi Gauss, berupa operasi antar baris persamaan, baik ruas kiri maupun ruas kanan secara bersamaan sedemikian hingga matriks koefisien berobah menjadi matriks segi tiga atas (upper triangle) atau matriks segi tiga bawah (lower triangle). Matriks segi tiga atas memiliki unsur-unsur di bawah diagonal utama yang bernilai nol, sedangkan matriks segi tiga bawah memiliki unsur-unsur di atas diagonal utama yang bernilai nol. Untuk itu, dalam kasus modifikasi matriks koefisien menjadi matriks segi tiga atas, proses modifikasi secara simbolis dituliskan
L AX L B T
(3.6.1)
T
di mana [ LT ] mewakili rentetan operasi antar baris sedemikian hingga matriks koefisien termodifikasi menjadi matriks segi tiga atas, dan persamaan simultan menjadi
U X B'
di mana
U nn
u11 0 0 0 0 0
u12 u 22 0 0 0 0
(3.6.2)
u13.........u1 j .................u1n u 23.........u 2 j ................u 2 n u 33.........u3 j ................u 3n 0............u ij .................u in 0............u ij ......uin1 .....u in 0............0.........0........u nn
(3.6.3)
Rentetan operasi yang merobah [A] menjadi matriks segi tiga atas [U] dinamakan proses triangulasi, sementara proses terkait di ruas kanan, berupa perobahan dari {B} menjadi {B’} dinamakan proses reduksi. Proses penentuan besaran
xi dimulai dari bawah, yaitu
xnk 1
1 a nk 1,nk 1
[b' nk 1
a
nk 2 l 1
n k 1, l
xl ]
(3.6.4)
yang merupakan perhitungan unsur-unsur mulai dari xn , xn1 ,..., x2 dan x1 , secara mundur. Rentetan operasi ini dinamakan substitusi balik (back substitution). 52
Dalam kasus modifikasi matriks koefisien menjadi matriks segi tiga bawah, proses modifikasi secara simbolis dituliskan
L AX L B B
B
(3.6.5)
di mana [ LB ] mewakili rentetan operasi antar baris sedemikian hingga matriks koefisien
LX B"
termodifikasi menjadi matriks segi tiga bawah, dan persamaan simultan menjadi
di mana
Lnn
u11 u21 u 31 u i1 un1
0 u22 u32 ui 2 un 2
0...........0............0 0...........0............0 u33..........0............0 ui 3 ..........uij ...........0 un 3 ..........unj .........unn
(3.6.6)
(3.6.7)
Rentetan operasi yang merobah [A] menjadi matriks segi tiga atas [L] dinamakan proses triangulasi, sementara proses terkait di ruas kanan, berupa perobahan dari {B} menjadi {B”} dinamakan proses reduksi. Proses penentuan besaran xi dimulai dari atas, yaitu
xk
n 1 [b"k a k l xl ] a kk l k 1
(3.6.8)
yang merupakan perhitungan unsur-unsur mulai dari x1 , x2 ,..., xn1 dan xn , secara maju. Rentetan operasi ini dinamakan substitusi balik (back substitution). 3.7
Metoda Diagonalisasi
Pada hematnya, metoda diagonalisasi merupakan gabungan dari proses triangulasi atas dan bawah atau sebaliknya, sedemikian hingga diperoleh bentuk matriks koefisien yang diagonal; dalam artian, semua unsur-unsur selain unsur-unsur diagonal utama, dibuat nol. Proses dimulai dari bentuk matriks koefisien segi tiga, misalnya segi tiga atas dalam Pers. (3.6.2), yang dikalikan dengan operator dari depan,
yang menghasilkan
[ L' ] U X [ L' ]B'
(3.7.1)
DX B' ' '
(3.7.2)
53
di mana
Dnn
d11 0 0 0 0
0 d 22 0 0 0
0...........0............0 0...........0............0 d 33..........0............0 0...........d ii ...........0 0............0...........d nn
(3.7.3)
Proses penentuan besaran xi dimulai dari atas, yaitu
xk
1 [bk ' ' ' ] d kk
(3.7.4)
yang merupakan perhitungan unsur-unsur mulai dari x1 , x2 ,..., xn1 dan xn , secara maju. Rentetan operasi ini dinamakan substitusi balik (back substitution). 3.8
Metoda Crout
Pada dasarnya, metoda Crout merupakan metoda triangulasi dengan suatu proses sistemisasi seperti akan diterangkan berikut ini. Di dalam proses triangulasi, baik matriks koefisien maupun matriks {B} dimodifikasi secara bersamaan. Pada akhir proses, dilakukan proses substitusi balik dalam menentukan {X}. Namun di dalam terapan, sering dibutuhkan penghitungan {X} untuk {B} yang berbeda-beda; namun, dengan [A] yang sama. Untuk itu, proses triangulasi diselesaikan terlebih dahulu. Setelah itu, untuk setiap kasus {B}, dilakukan proses reduksi dan substitusi balik untuk menghitung {X} yang bersangkutan. Demikian dilakukan proses reduksi dan substitusi balik untuk setiap kasus dari {B}. Hal ini dimungkinkan dengan melakukan pencatatan faktor-faktor eliminasi antar baris, seperti akan diterangkan berikut ini. Pertama, kita menuliskan persamaan simultan awal sebagai berikut.
a11x1 a12 x2 a13x3 ... a1n xn b1
a 21x1 a 22 x2 a 23x3 ... a 2 n xn b2 a 31x1 a 32 x2 a 33x3 ... a 3n xn b3
a i1 x1 a i 2 x2 a i 3 x3 ... a in xn bi
a n1 x1 a n 2 x2 a n 3 x3 ... a nn xn bn 54
(3.8.1)
Proses modefikasi triangulasi dimulai dengan melakukan teknik eliminasi, di mana dengan menggunakan unsur a11, unsur-unsur kolom ini di bawahnya dibuat menjadi nol. Ini dapat dilakukan dengan mengalikan baris ke-I dengan factor a i1 / a11 , lalu mengurangi baris pertama. Proses ini dinamakan pemegangan (devoting on) pada a11 . Di akhir proses ini, unsur-unsur matriks koefisien menjadi
a ij1 a ij0
a i01 0 a ij ; i 2, n ; j 1, n 0 a11
(3.8.2)
Perhatikan bahwa superskrip (0) menandakan bahwa nilai adalah nilai awal, dan (1) menandakan nilai diakhir proses eliminasi pertama. Di akhir proses ini, a i11 0, (i 2, n). Karena kita akan melakukan proses reduksi atas {B} secara terpisah, 0 padahal kita membutuhkan factor-faktor eliminator a i01 / a11 nantinya, maka pada lokasi 0 tersebut. Seterusnya, a 122 a i11 yang sudah bernilai nol, dicatatkan besaran a i01 / a11
dipegang untuk menolkan unsur-unsur a i12 , (i 3, n), yaitu dengan menggunakan faktor-
faktor eliminasi a i12 / a 122 , (i 3, n). Di akhir proses kedua ini, diperoleh unsur-unsur bernilai baru
a ij2 a ij1
yang
a i12 1 a ij ; i 3, n ; j 2, n a 122
a i22 , 0, (i 3, n), dan
menghasilkan
pada
lokasi
(3.8.3)
ini
dicatatkan
nilai
(a i12 / a 122 , i 3, n). Proses yang sama dilakukan berturutan, dengan nilai pada akhir
pemegangan pada a kk sebesar
a ijk a ijk1
a ikk1 k1 a ij ; i k 1, n ; j k, n a kkk1
(3.8.4)
hingga berakhir pada pemegangan pada unsur diagonal utama baris ke- (n 1) . Isi dari Pada matriks koefisien menjadi seperti yang diperlihatkan dalam Tabel 3.8.1, yang untuk kesederhanaan hanya diberikan untuk (n 4) . Pada akhir proses triangulasi ini, matriks koefisien telah berbentuk segi tiga, sekalipun pada lokasi unsur-unsur di bawah diagonal utama yang seharusnya bernilai nol, telah terisikan faktor-faktor eliminasi yang dapat digunakan untuk mereduksi {B} nantinya. Untuk matriks {B} yang akan diproses untuk mendapatkan solusi {X} yang bersangkutan, dapat dilakukan proses reduksi dengan rumus
b b k i
k 1 i
a ikk1 k1 k1 bk ; i k 1, n ; k 1, n 1 a kk 55
(3.8.5)
Tabel 3.8.1: Isi Matriks Koefisien, Cara Crout (n 4) 1
2
3
4
1
2
3
4
0 a11
0 a12
0 a13
0 a14
0 a 21 0 a11
a 122
a 123
a 124
0 a 31 0 a11
1 a 32 a 122
2 a 33
2 a 34
0 a 41 0 a11
a 142 a 122
2 a 43 2 a 33
2 a 44
yang dilakukan secara berturutan terhadap vektor {B} satu per satu. 3.9
Metoda Iterasi Gauss-Seidel Metoda Gauss-Seidel merupakan metoda numerik tidak langsung, yang secara
iteratif menghitung nilai xi . Untuk itu, Pers. (3.8.1) dituangkan dalam bentuk modifikatif sebagai berikut,
x1 x2
xn
1 (b1 a11
a12 x2 a13 x3 ... a1n xn )
1 (b2 a11x1 a 22
a13 x3 ... a1n xn )
1 (bn a11x1 a12 x2 a13 x3 ... a nn
(3.9.1)
)
yang hanya berlaku untuk (a ii 0 ; i 1, n) . Perhatikan bahwa penerapan Pers. (3.9.1) pertama-tama dimulai dengan mengambil ( xi 0 ; i 1, n) , dan ini dimasukkan ke dalam
ruas kanan persamaan, dan kemudian nilai ( xi ; i 1, n) yang baru. Nilai baru ini
kemudian dimasukkan ke dalam ruas kanan untuk menghitung nilai yang lebih baru. Proses iterasi ini dilakukan secara menerus hingga solusi berkonvergen ke nilai akhir dengan tingkat ketelitian yang dapat diatur. Efisiensi dari penerapan metoda iterasi numerik ini sangat tergantung kepada nilai rasio a ij / a ii , yaitu rasio dari unsur-unsur di luar diagonal terhadap unsur-unsur diagonal utama. Konvergensi akan lebih cepat tercapai jika nilai rasio-rasio ini relatif kecil. Dengan perkataan lain, nilai-nilai unsur diagonal utama relatif jauh lebih besar dibandingkan nilai-nilai unsur di luar diagonal. 56
3.10 Metoda Relaksasi Metoda relaksasi menggunakan kriteria residu, yaitu beda atau selisih dari ruas kiri dan ruas kanan persamaan simultan. Untuk solusi yang sebenarnya, xi adalah sedemikian hingga dipenuhi bentuk modifikasi
a n
j 1
ij
x j bi 0 ; i 1, n
(3.10.1)
Namun, jika pasangan xi belum memenuhi, maka setiap baris persamaan memiliki selisih yang dapat dinyatakan dengan ri , sedemikian hingga
ri a ij x j bi ; i 1, n n
j 1
(3.10.2)
Mulai dari taksiran awal xi , residu (ri , i 1, n) lalu dihitung. Baris dengan residu paling besar lalu ditinjau, dengan meninjau nilai xi yang bersangkutan, sedemikian hingga r yang bersangkutan dibuat nol. Dengan melakukan ini, nilai r lainnya akan berobah, lalu dipegang lagi baris dengan residu paling besar dan nilainya dibuat nol dengan merevisi nilai x yang bersangkutan. Proses relaksasi ini diteruskan hingga residu lebih kecil dari pada toleransi yang ditetapkan. 3.11 Contoh Penerapan Untuk melaksanakan metoda-metodayang telah disajikan dalam pasal-pasal sebelumnya, maka berikut ini diberikan contoh penerapan. Contoh 3.1: Dengan metoda iteratif Gauss-Seidel, hitunglah xi (i 1, n) yang memenuhi sistem persamaan simultan non-homogen sebagai berikut.
3x1 x2 x3 8
x1 2 x2 x3 2
(3.11.1)
x1 2 x2 3x3 6
Penyelesaian: Menurut cara seperti dalam Pers. (3.9.1), sistem persamaan dalam Pers. (3.11.1) dapat dirobah ke dalam bentuk sebagai berikut.
x1
8 1 1 x2 x3 2 3 3 1 1 x2 1 x1 x3 2 2 1 2 x3 2 x1 x2 3 3 57
(a ) (b) (c )
(3.11.2)
x1 8 3 . Kemudian, dengan x1 8 3 dan x3 0, Pers. (3.11.2b) memberikan x2 1 1 2 ( 8 3 ) + 1 (0) 1 . Nilai paling baru dari x dan x lalu dimasukkan ke dalam Pers. (3.11.2c), 3 2 1 2 8 2 1 1 untuk memberikan x3 2 3 ( 3 ) + 3 ( 3 ) 8 9 . Putaran pertama memberikan x1 8 3 , x2 13 , dan x3 8 9 . Putaran kedua, ketiga dan seterusnya dilakukan dengan cara serupa untuk menghasilkan hasil yang konvergen ke nilai akhir dari xi sebagai berikut. Pertama, dengan mengambil
x2 x3 0,
Pers. (3.11.2a) memberikan
x1 1.0 ; x2 2.0 ;
x3 3.0
(3.11.3)
Suatu program yang sederhana dapat dituliskan untuk alogaritma iteratif GaussSeidel di atas. Untuk konvergensi, digunakan suatu besaran pembantu berupa norm dari pada vektor {X}, yaitu XNOR = ( x12 x22 ... xn2 )1 / 2 . Nilai mutlak pertambahan xi dibagi
dengan norm lalu dibandingkan dengan suatu nilai toleransi TOL positif yang diambil kecil menurut ketelitian yang diinginkan. Jumlah iterasi dibatasi dengan suatu jumlah iterasi maksimum MAXIT yang nilainya ditetapkan terlebih dahulu. Jika iterasi belum berkonvergensi hingga jumlah iterasi MAXIT, maka proses dihentikan, atau iterasi diberi tambahan dengan merobah nilai MAXIT hingga proses iterasi konvergensi. Contoh 3.2: Dengan proses eliminasi Gauss, hitunglah solusi dari sistem persamaan simultan linier non-homogen berorde tiga sebagai berikut.
2 x1 3x2 x3 13
3x1 3x2 x3 1
x1 2 x2 2 x3 7
(3.11.4)
Penyelesaian: Pertama, koefisien-koefisien dalam Pers. (3.11.4) disusun sebagai berikut.
2 3 1 13 3 3 1 16
(3.11.5)
1 1 2 7 Proses eliminasi dapat dimulai dengan ”memegang” a11 , di mana baris pertama tetap, baris kedua dikurangi dengan (a 21 / a11 ) kali baris pertama, dan baris ketiga dikurangi dengan (a 31 / a11 ) kali baris pertama, hasilnya adalah
2 3 0 3/ 2 0
1 13 1/ 2 7 / 2
1/ 2 3 / 2 1/ 2
(3.11.6)
Kemudian, proses yang sama dilakukan dengan memegang a 22 , untuk membuat unsur-unsur kolom kolom ke-2 di bawahnya menjadi nol. Hasilnya adalah 58
2 3 1 13 0 3 / 2 1/ 2 7 / 2 0
5/3 5/3
0
(3.11.7)
Pada tahap ini, matriks koefisien sudah termodifikasi menjadi matriks segi tiga atas. Sekarang, proses substitusi balik dapat dilakukan mulai dari bawah.
3 5 x3 1 5 3
2 7 1 x2 x1 2 3 2 2 1 x1 13 3x2 x3 3 2
(3.11.8)
Contoh 3.3: Selesaikanlah sistem persamaan simultan linier non-homogen dalam Pers. (3.11.4), namun kali ini dengan metoda relaksasi Seidel-Southwell. Penyelesaian:
11
b a 21 a 13 3 1 ; 12 12 ; 1 ; 1 1 13 a11 2 a 22 a11 2 2
16 a11 a 1 1 ; 22 22 1 ; 23 ; 2 3 3 a11 a 22 7 1 1 1 31 ; 32 ; 33 ; 3 2 1 2 2
21
sehingga Pers. (3.11.4) menjadi
1 13 3 x1 x2 x3 0 2 2 2 1 16 x2 x1 x3 0 3 3
(3.11.9)
(3.11.10)
1 7 1 x3 x1 x2 0 2 2 2
Pasangan
( x1 , x2 , x3 ) suatu tahap diandaikan memberikan residu sebesar
(r1 , r2 , r3 ), sehingga Pers. (3.11.10) dituliskan dalam bentuk 1 13 3 r1 x1 x2 x3 2 2 2 1 16 r2 x2 x1 x3 3 3
1 7 1 r3 x3 x1 x2 2 2 2 59
(3.11.11)
yang berarti, minimisasi (r1 , r2 , r3 ), untuk ( x1 , x2 , x3 ) memberikan solusi yang memenuhi Pers. (3.11.10), dan tentunya juga Pers. (3.11.4). Prosedur relaksasi dimulai dengan taksiran awal ( x1 , x2 , x3 ) , misalnya (0,0,0) sehingga dari Pers. (3.11.11) diperoleh
r1
7 16 13 ; r2 ; r3 2 3 2
(3.11.12)
di mana r1 13 / 2 merupakan residu terbesar. Ini dibuat nol dengan mengoreksi
x1 13 / 2, sehingga
13 r1 13 0 0 13 0 2 2 x1 2 7 13 16 x2 r2 0 0 6 3 2 x 0 3 1 13 7 0 r3 0 0 4 2 4
(3.11.13)
Sekarang, r2 sekarang sebagai residu terbesar dibuat nol dengan x2 7 / 6, maka
13 7 7 13 13 r1 0 2 6 4 2 x1 2 7 13 16 7 x2 6 r2 0 0 6 2 3 x 3 10 13 7 7 0 r3 0 12 4 12 2
(3.11.14)
Begitulah, proses relaksasi diteruskan sedemikian hingga konvergensi ke nilai sebenarnya. Perlu diperhatikan bahwa nilai eksak solusi tidak akan diperoleh dengan cara ini, kecuali dengan menggunakan tebakan ”jitu” dalam proses relaksasi. Cara ini mencakup proses berulang yang sangat cocok dilakukan dengan bantuan komputer. Contoh 3.4: Gunakanlah metoda Crout untuk menyelesaikan sistem persamaan simultan linier non-homogen untuk dua kasus, yaitu seperti dalam persamaa
4 2 1 x1 7 2 2 1 x 5 2 1 1 2 x3 4 (1)
12 8 7
(3.11.15)
( 2)
Penyelesaian: Pertama, proses modifikasi atas matriks koefisien dilakukan lebih dahulu. Pivotisasi pada a11 memberikan 60
2 1 4 2 / 4 1 1 / 2 1 / 4 1 / 2 7 / 4
(3.11.16)
Pivotisasi pada unsur a 22 memberikan
2 1 4 2 / 4 1 1 / 2 1 / 4 1 / 2 3 / 4
(3.11.17)
Sekarang, bentuk dalam Pers. (3.11.17) siap untuk digunakan menghitung {X}. Untuk kasus pertama,
b1 7 B b2 5 b 4 3
(3.11.18)
direduksi (reduction process) dengan menggunakan koefisien dalam bentuk Pers. (3.11.17), yaitu
b1(1) b1( 0) 7
2 2 1 b2(1) b2( 0) b1( 0) 5 7 1 4 4 2 1 1 9 b3(1) b3( 0) b1( 0) 4 7 4 4 4
dan
b2( 2) b2(1) 1 ( 2) 3
b
1 2
1 9 1 3 6 b b2(1) 2 4 2 2 4
(3.11.19)
(3.11.20)
(1) 3
sehingga hasil {B} tereduksi menjadi
7 B 3 / 2 3/ 2
(3.11.21)
Akhirnya, proses substitusi balik memberikan
2 3 x3 1 3 2 1 1 x2 1 1 1 1 2 2 1 x1 7 2 1 11 1 4 61
(3.11.22)
dan solusi akhir untuk kasus pertama adalah
x1 1 X x2 1 x 1 3
(3.11.23)
Untuk kasus kedua, dipunyai {B} sebagai
12 B 8 7
(3.11.24)
Proses reduksi vektor {B} adalah sebagai berikut
b1(1) b1( 0) 12
2 2 b2(1) b2( 0) b1( 0) 8 12 2 4 4 1 1 b3(1) b3( 0) b1( 0) 7 12 4 4 4 dan
(3.11.25)
b1( 2) b1(1) 12 b2( 2) b2(1) 2
1 1 b3( 2) b3(1) b2(1) 4 2 3 2 2
(3.11.26)
sehingga akhirnya vektor {B} tereduksi adalah
12 B 2 3
(3.11.27)
Substitusi balik memberikan
2 x3 3 2 3 1 x2 1 2 2 1 2 1 x1 12 2 1 1 2 2 4 sehingga solusi menjadi
2 X 1 2 62
(3.11.28)
(3.11.29)
3.12 Rangkuman Bahasan dalam babi ni mencakup penyelidikan sifat dan penyelesaian sistem persamaan simultan linier. Beberapa hal penting yang dapat dicatat adalah sebagai berikut. (1)
Sistem peramaan simultan dengan jumlah baris yang lebuh besar dari jumlah kolom, tidak memiliki solusi, kecuali jika jumlah baris yang berlebihan hanyalah sekedar kombinasi linier dari baris lainnya.
(2)
Untuk sistem persamaan simultan dengan matriks koefisien yang bujur sangkar, dihadapi kasus sebagai berikut. (a) Untuk persamaan simultan yang homogen, solusi hanya hanya ada jika determinan dari matriks koefisien, bernilai nol. Dalam hal ini, solusi tidak unik. (b) Untuk sistem persamaan yang non-homogen, solusi hanya ada jika matriks koefisien adalah non-singulir. Dalam hal non-singulir; solusi adalah unik.
(3)
Untuk sistem persamaan dengan jumlah kolom yang lebih besar dari jumlah baris, kolom kelebihan dapat dipindahkan keruas kanan. Dengan melakukan ini, dihadapi kasus yang sama dengan butir (2)(a).
(4)
Untuk sistem persamaan simultan dalam butir (2)(b), dapat diterapkan beberapa teknik penyelesaian yang umumnya digolongkan atas tiga kelompok, yaitu metoda inversi, metoda numerik langsung dan metoda numerik tidak langsung.
3.13 Soal-soal Soal 3.1: Dengan metoda eliminasi Gauss, tentukan solusi dari sistem persamaan simultan linier non homogen
4 x1 x2 x3 15
x1 2 x2 3 x3 10 x1 3x2 4 x3 13
Soal 3.2: Dengan metoda diagonal, selesaikanlah sistem persamaan simultan linier non-homogen dalam Soal 3.1. Soal 3.3: Dengan metoda relaksasi, selesaikanlah sistem persamaan simultan linier non-homogen dalam Soal 3.1. Hentikan proses iterasi dengan toleransi 0.001, dari inkrementasi xi terhadap norm dari {X} yang diperoleh sesaat. Soal 3.4: Dengan metoda Crout, selesaikanlah sistem persamaan simultan linier nonhomogen dengan 3 kasus sebagai berikut.
3 1 3 x1 7 1 4 1 x 6 2 3 1 5 x3 9 (1)
63
10 7 14 ( 2)
10 7 12 ( 3)
Soal 3.5: Dengan metoda Gauss-Seidel, selesaikanlah sistem persamaan simultan linier non-homogen sebagai berikut.
12 1 1 x1 14 1 6 1 x 6 2 1 1 5 x3 5 Berikan komentar mengenai kecepatan dari proses berkonvergen ke solusi. Jelaskan alasan Saudara, mengapa?
64
perhitungan
BAB IV TEOREMA VEKTOR
4.1
Umum
Semua entitas kuantitatif memiliki besar atau magnitudo serta satuan, misalnya uang 5000 rupiah, panjang tali 2 meter, berat badan 70 kilo, jarak perjalanan 180 kilo meter, anak SD 30 orang per kelas, dan lain sebagainya. Untuk beberapa jenis entitas, besar atau magnitudo sudah cukup untuk menerangkannya, misalnya berat badan 70 kilo atau uang 5000 rupiah. Dalam hal semacam ini, kita menghadapi besaran scalar (scalar). Namun, ada juga entitas yang tidak cukup diterangkan hanya dengan besar dan satuan saja. Sebagai contoh, jarak perjalanan 180 kilo meter tetapi ke arah mana? Dari Bandung ke Jakarta atau sebaliknya? Dari barat ke timur atau sebaliknya? Jarak tempuh 25 km dari Jakarta, ke arah timur akan tiba di Cibitung, namun dari Jakarta ke arah barat akan tiba di Bitung! Dalam hal ini, arah sangat memegang peranan. Atau, melancong 25 km dari Jakarta ke arah timur dengan berjalan mundur justru akan tiba di Bitung! Dari contoh-contoh di atas, kita melihat beberapa kasus entitas yang selain besar dan satuan, juga memerlukan kelengkapan data informatif lainnya, seperti orientasi (barat ke timur, atas ke bawah dan sebagainya), arah (misalnya maju atau mundur), dan titik awal (misalnya, berangkat dari Jakarta). Dalam hal ini, kita menghadapi entitas yang dinamakan vektor. Bab ini khusus ditujukan bagi pembahasan vektor. Bahasan mencakup definisi, konsep dasar serta teori-teori yang menyangkut vektor. Dalam perkembangannya, pengetahuan serta pemahaman konsep vektor nantinya membuka jalan ke arah pengembangan matematika lainnya, seperti geometri dan kalkulus vektor. 4.2
Sistem Koordinat dan Perjanjian Tanda
Sebelum melanjutkan pembahasan, terlebih dahulu kita akan mendefinisikan sistem koordinat yang akan digunakan sebagai referensi perumusan. Dalam hal ini, kita akan menggunakan sistem koordinat Cartesius atau koordinat silang, seperti dalam Gambar 4.2.1. Tata koordinat jenis lain, seperti koordinat polar atau kutub (polar coordinates), tabung atau silinder (cylindrical coordinates), koordinat bola (spherical coordinates) dan lain-lain juga dapat dipilih sesuai dengan bentuk geometri struktur yang dihadapi. Dalam system koordinat Cartesius seperti dalam Gambar 4.2.1a, sumbu-sumbu ( X, Y, Z ) diambil dengan arah positif yang sesuai dengan permutasi sesuai aturan tangan atau sekrup kanan (right-hand-screw rule), seperti dalam Gambar 4.2.1b. 65
Sebagai contoh, putaran sumbu X positif ke sumbu Y positif berakibat gerakan sekrup ke arah sumbu Z positif. Putaran sumbu Y positif ke sumbu Z positif berakibat gerakan sekrup ke sumbu X positif, dan putaran dari sumbu Z positif ke sumbu X positif memberikan gerak sekrup ke sumbu Y positif, dan seterusnya. Posisi dari suatu titik cirian dalam ruang, ditentukan oleh koordinat ( x, y, z) dalam bentuk
Gambar 4.2.1: Sistem Koordinat Kartesius
P : P ( x, y, z)
(4.2.1)
Jika kita meninjau jarak dari pada titik P terhadap titik awal O tata sumbu Cartesius ( X, Y, Z ) yang dinyatakan dengan R , maka diperoleh
r 2 x2 y2 z2
(4.2.2)
dengan koefisien arah ( , , ) yang diberikan oleh
cos
x y z ; cos ; cos r r r
(4.2.3)
Dalam kaitan ini, kita memilih perjanjian tanda, di mana arah vektor atau putaran yang positif adalah yang mengarah ke sumbu-sumbu ( X, Y, Z ) yang positif dan negatif untuk yang sebaliknya. Ini sesuai dengan apa yang dinamakan dengan aturan sekrup kanan (right-hand-screw rule). 4.3
Definisi dan Jenis Vektor
Vektor dapat dibagi atas dua macam yaitu vektor translasi dan vektor momen. Dalam terapan sehari-hari, vektor translasi disebut sebagai “ vektor” dan vektor momen sebagai ”momen” atau “koppel”. Apapun istilah yang digunakan tidaklah menjadi masalah asalkan tetap diingat bahwa momen juga merupakan vektor. 66
Seperti telah diutarakan sebelumnya, vektor memilki besar (magnitude), garis kerja (line of direction), titik kerja atau titik tangkap (point of application) dan arah (sense). Vektor digambarkan pada garis kerja dengan arah yang diberikan oleh bentuk panah, seperti dalam Gambar 4.3.1, di mana vektor sebagai vektor diberi tanda (-) di atasnya. Dalam Gambar 4.3.1, vektor F bekerja pada garis kerja I dan titik tangkap P dengan arah yang menjauhi bidang XY seperti yang ditandai oleh bentuk panah di ujungnya.
Gambar 4.3.1: Visualisasi Vektor Sesuai dengan sifat pengaruhnya terhadap obyek pada mana vektor bekerja, dikenal tiga kelas vektor, yaitu : (a) vektor bebas (free vector), (b) vektor luncur (sliding vector), (c) vektor tetap (fixed vector). Vektor bebas merupakan vektor yang dapat dipindahkan pada garis lain yang sejajar dengan garis kerjanya tanpa menimbulkan perobahan. Ini misalnya terjadi pada vektor kecepatan suatu sistem yang bergerak seragam. Vektor luncur adalah vektor yang titik tangkapnya dapat dipindahkan pada garis kerjanya tanpa menimbulkan perobahan. Dalam kasus vektor tetap, baik garis kerja maupun titik tangkap tidak dapat dirubah tanpa menimbulkan perobahan. Vektor momen adalah efek memutar yang diakibatkan oleh suatu gaya akibat adanya suatu jarak yang berperan sebagai lengan putar (lever atau arm). Dalam Gambar 4.3.2, terlihat suatu vektor F yang bekerja pada garis I pada bidang XY , dan berjarak d dari suatu garis lain m yang sejajar sumbu Z . Momen yang ditimbulkan oleh vektor F atas garis m adalah
M F d
(4.3.1)
dengan visualisasi sebagai vektor berpanah dua seperti dalam Gambar 4.3.2. Karena arah vektorial momen ini searah sumbu Z positif, momen M dalam contoh ini diberi nilai positif. Jika garis I berpotongan dengan garis m , maka d 0 dan akibatnya
M 0 . Sehingga kita dapat mengatakan hal berikut ini. 67
Z
z1
Mz
Y Mz1 d
l
r F
X
Gambar 4.3.2: Vektor Momen atau Koppel dalam Notasi Vektorial Momen yang dilakukan oleh suatu vektor terhadap titik yang terletak pada garis kerja vektor tersebut bernilai nol.
(4.3.2)
Sekalipun bernilai nol, momen yang merupakan besaran vektor tidaklah serta merta menjadi besaran skalar sehingga vektor nol tetap diberi tanda (-) di atas nol. 4.4
Beberapa Hubungan Antara Vektor
Berikut ini diberikan beberapa kondisi yang dapat terjadi di antara lebih dari satu vektor yang berada dalam ruang, bidang maupun garis, lengkap dengan istilah yang lazim digunakan untuk menyatakan hubungan antara sesama vektor tersebut. (a)
Sistem Vektor yang Konkuren
Vektor-vektor yang konkuren adalah kasus di mana semua garis kerja vektor berpotongan pada satu titik. Vektor-vektor dapat bekerja pada ruang ataupun bidang. Karena itu, mengingat pernyataan dalam Pers. (4.5), momen total akibat semua vektor terhadap titik potong tersebut bernilai nol. (b)
Sistem Vektor Paralel
Dalam kondisi ini, semua garis kerja vektor-vektor adalah sejajar, dalam ruang maupun dalam bidang. Dengan perkataan lain, semua garis kerja memiliki koefisien arah yang sama, relatif terhadap suatu sistem koordinat dalam ruang ataupun bidang. Secara matematis vektor-vektor sejajar memiliki titik potong di tempat tak hingga. (c)
Sistem Vektor Koplanar
Dalam keadaan ini, semua garis kerja vektor-vektor terletak pada satu bidang datar, atau sebidang, akan tetapi umumnya tidak perlu sejajar atau saling berpotongan 68
di suatu titik. Dengan perkataan lain, garis-garis kerja semua vektor terletak pada satu bidang datar. (d)
Sistem Vektor Kolinier
Dalam kondisi ini, semua garis kerja vektor-vektor berada atau berimpit dalam satu garis. Dengan demikian, sistem vektor-vektor kolinier juga merupakan sistem vektor yang sejajar (dengan jarak garis-garis kerja sesamanya yang nol), dan juga merupakan sistem vektor yang koplanar. (e)
Sistem Vektor Ortogonal
Dalam kondisi ini, garis-garis kerja vektor saling tegak lurus sesamanya, dengan demikian, suatu vektor tidak memiliki proyeksi atau komponen pada garis kerja vektorvektor yang lain. Untuk kondisi seperti ini, secara matematis dikatakan bahwa vektorvektor bebas satu sama lain. 4.5
Operasi Vektor
Berikut ini dirangkum beberapa operasi penting dalam analisis vektor yang nantinya akan banyak kita jumpai dan tangani dalam bahasan buku ini. 4.5.1 Kesamaan Vektor Dua gaya atau lebih dikatakan sama jika vektor-vektor memiliki garis kerja, titik tangkap, arah dan besar yang sama. Dituliskan
F1 F 2 ....... F n
(4.5.1)
4.5.2 Keberlawanan Vektor Dua vektor F1 dan F2 dikatakan berlawanan jika keduanya memiliki garis kerja, titik tangkap dan besar yang sama, tetapi memiliki arah yang saling berlawanan. Untuk kasus ini, hubungan keduanya secara matematis dapat dituliskan di dalam format sebagai
F1 F 2 atau
F1 F 2 o
(a) (4.5.2) (b)
4.5.3 Penguraian Vektor Penguraian suatu vektor F1 dengan garis kerja , pada dua garis 2 dan 3 yang berpotongan, adalah berupa vektor F2 dan F3 pada 2 dan 3 , yang diperoleh dengan cara menggambarkan suatu jajaran genjang dengan F1 yang diambil sebagai diagonal panjang (long diagonal) dari bentuk jajaran genjang. Lihat Gambar 4.5.1 sebagai penjelasan. 69
l1 F3
F1
l2 F2
Gambar 4.5.1: Penguraian Vektor Dengan perkataan lain, uraian vektor F1 atas vektor pada 2 dan 3 adalah menentukan F2 dan F3 yang penjumlahannya menghasilkan F1 . Dituliskan,
F1 F 2 F3
(4.5.3)
Lebih lanjut, jika garis 2 dan 3 saling orthogonal, bentuk jajaran genjang dalam Gambar 4.5.1 berobah menjadi bentuk persegi panjang dengan sisi-sisi F2 dan F3 , sedangkan F1 sebagai diagonal panjang. Lebih jauh lagi, jika kita menguraikan vektor
F atas sumbu X,Y, dan Z yang tentunya saling orthogonal, maka dapat dituliskan
F F x F y Fz
(4.5.4)
Jika pada sumbu ( X, Y, Z ) kita menyediakan vektor satuan (iˆ, ˆj , kˆ), maka dapat dituliskan (4.5.5) F Fx Lˆ F y Jˆ Fz kˆ di mana ( Fx , F y , Fz ) adalah besaran skalar yang mewakili besar ( F x , F y , F z ) atau
F x Fx ; F y F y ; Fz F
z
(4.5.6)
sebagai komponen dari pada F pada sumbu ( X, Y, Z ) . 4.5.4 Perjumlahan Vektor Operasi perjumlahan vektor merupakan kebalikan dari operasi penguraian. Dalam hal ini, dua vektor F2 dan F 3 dijumlahkan dengan gaya hasil perjumlahan atau dinamakan vektor resultan yang diperoleh dengan jalan membentuk suatu bentuk
70
jajaran genjang dengan F2 dan F3 sebagai sisi, dan vektor resultan F1 sebagai diagonal panjang seperti dalam Gambar 4.5.1. Dituliskan
F 2 F 3 F1
(4.5.7)
Dengan demikian, proses operasi penguraian dan perjumlahan vektor sebenarnya adalah serupa, keduanya hanya merupakan proses yang saling berlawanan. Proses perjumlahan aljabar (berarti pertambahan dan perkurangan) akan kita bahas tersendiri dalam pasal yang berikut. 4.6
Metoda Perjumlahan Vektor
Operasi perjumlahan vektor merupakan proses yang sangat penting dalam statika, sehingga akan dibahas secara rinci dan mendalam tersendiri dalam pasal ini. Operasi penjumlahan dapat dibagi dua macam yaitu: (a) operasi perjumlahan analitis, dan (b) operasi perjumlahan grafis. 4.6.1 Metode Perjumlahan Vektor Secara Analitis Penjumlahan aljabar beberapa vektor F1 , F2 ,.....dan F n yang memberikan vektor resultan Rn yaitu
F1 F 2 ..... F n R
(4.6.1)
secara analitis dapat diperoleh dengan menjumlahkan secara aljabar komponenkomponen dari semua vektor pada masing-masing sumbu, yaitu
R X Fxi ; R Y FYi ; R Z FZi n
n
n
i 1
i 1
i 1
(4.6.2)
4.6.2 Metoda Perjumlahan Vektor Secara Grafis Sesuai dengan namanya, metoda perjumlahan vektor dalam hal ini dilakukan dengan cara penggambaran. Karena hasil akhir didasarkan atas penggambaran, maka dalam cara ini, sangat diperlukan cara penggambaran dan pengukuran yang dilakukan dengan ketelitian yang semaksimal mungkin. Jika diinginkan, maka dapat digunakan kertas gambar yang dilengkapi dengan blok milimeter. (a)
Cara Segi Tiga
Perjumlahan grafis gaya dilakukan dengan cara menggambarkan segi tiga di mana vektor-vektor yang dijumlahkan merupakan sisi segi tiga, dan vektor resultan merupakan gaya yang bermula dari titik awal gaya yang pertama, dan berakhir pada ujung akhir gaya yang kedua. Lihat Gambar 4.6.1 sebagai penjelasan. Dalam Gambar 4.6.1, perjumlahan vektor F1 dan F2 yang menghasilkan vektor resultan R ,
F1 F2 R 71
(4.6.3)
juga dapat digunakan untuk perkurangan, misalnya
F2 R F1
(4.6.4)
di mana gaya F2 merupakan hasil perkurangan, sebagai gaya yang berawal pada awal gaya pengurang F1 , serta berakhir pada akhir gaya yang dikurangi, yaitu R .
Gambar 4.6.1: Perjumlahan Grafis Vektor dengan Cara Segitiga (b)
Cara Jajaran Genjang
Perjumlahan grafis vektor dilakukan dengan cara jajaran genjang telah dibahas dalam pasal terdahulu, sehingga tidak akan diulang lagi dalam pembahasan ini. Hanya saja dapat ditambahkan bahwa cara ini tidak berbeda jauh dari cara segitiga, yaitu mengambil vektor-vektor yang ditambahkan sebagai sisi-sisi dari suatu jajaran genjang, dengan diagonal panjang sebagai vektor resultan. (c)
Cara Poligon
Perjumlahan grafis vektor secara poligon merupakan cara grafis yang paling populer dan cocok digunakan dalam proses perjumlahan banyak gaya. Cara poligon ini, dijelaskan langsung sambil menyajikan contoh penerapan, seperti disajikan dalam Gambar 4.6.2. Untuk sederhananya, hanya ditinjau penjumlahan 3 vektor yang koplanar, sebagai berikut. (1)
Pertama, dari gambar vektor-vektor dan garis kerja dalam Gambar 4.6.2a, pindahkanlah vektor-vektor dengan besar menurut skala yang diteliti, ke dalam Gambar 4.6.2b dengan garis-garis kerja yang sejajar. Dalam hal ini, segmen garisgaris dalam Gambar 4.6.2b adalah
AB F1 ; BC F2 ; CD F3 di mana garis AB, BC , dan CD masing-masing sejajar dengan 1 , 2 , 3 .
72
(4.6.5)
(2)
Dengan hasil penggambaran tersebut, vektor resultan R diperoleh sebagai
R AD
(4.6.6)
dengan arah garis kerja dan besar yang diperoleh dalam Gambar 4.6.2b, namun dengan garis kerja yang belum diketahui dalam Gambar 4.6.2a. Garis kerja ini dapat ditentukan dengan melakukan proses lanjut sebagai berikut. (3)
Pada Gambar 4.6.2b, pilihlah titik O yang sembarang, dan terhadapnya digambarkan garis-garis AO, BO, CO dan DO . Namun, titik O perlu dipilih sedemikian hingga sudut apit AOB, BOC, COD dan AOD cukup moderat (tidak terlalu lancip dan juga tidak terlalu tumpul), sehingga garis AO, BO, CO dan DO memiliki kecuraman yang berbeda signifikan antara sesamanya, tetapi tidak terlalu curam.
(4)
Pindahkanlah garis AO, BO, CO dan DO secara sejajar ke dalam Gambar 4.6.2a, dimulai dari garis sejajar AO yang memotong garis 1 sebagai garis kerja F1 pada titik E yang dipilih sembarang. Dari E ditarik garis yang sejajar BO serta yang memotong 2 sebagai garis kerja F2 di titik F , berikut menarik garis dari F yang sejajar dengan CO serta yang memotong 3 sebagai garis kerja F3 , di titik
G . dari titik G , ditarik garis yang sejajar dengan DO . (5)
Dalam Gambar 4.6.2a, garis kerja gaya AO dan BO berpotongan dengan garis kerja F1 di titik E , garis kerja gaya BO dan CO berpotongan dengan garis kerja
F2 di titik F , garis kerja gaya CO dan DO berpotongan dengan garis kerja F3 di titik G . Dengan melihat bahwa garis kerja vektor AO dan DO berpotongan dengan garis kerja vektor AO dan DO harus berpotongan dengan garis kerja vektor resultan R menurut poligon vektor dalam Gambar 3.6.2b, maka perpotongan garis kerja vektor AO dan DO pada Gambar 4.6.2a, yaitu titik H , harus dilewati oleh garis kerja vektor resultan R . (6)
Akhirnya, melalui titik H , pada Gambar 4.6.2a ditarik garis sejajar dengan garis
AD dalam Gambar 4.6.2b, yang merupakan garis kerja vektor resultan R . Perhatikanlah bahwa dari Gambar 4.6.2b diperoleh hubungan sebagai berikut,
F1 AO OB
F2 BO OC
F3 CO OD
(4.6.7)
yang jika dijumlahkan, memberikan
F1 F2 F3 AO (OB BO) (OC CO) OD Namun, melihat kenyataan bahwa 73
(4.6.8)
OB BO OB (OB) 0
OC CO OC (OC) 0
(4.6.9)
maka dari Pers. (4.6.9) diperoleh
R F1 F2 F3 AO OD
(4.6.10) A
F1 F1
B F2
E
F2
G F
O F3
l1
C
R
l2
F3
l3 H D
(a) gaya dan garis kerja
(b) poligon gaya
Gambar 4.6.2: Perjumlahan Vektor Secara Grafis dengan Poligon Ini juga berarti bahwa perpotongan garis kerja AO dan gaya OD dalam Gambar 4.6.2a sebagai vektor yang mengapit vektor resultan R dalam Gambar 4.6.2b, yaitu titik
H , harus dipotong oleh garis kerja R pada Gambar 4.6.2a tersebut. Dengan demikian, arah dan besar vektor resultan R diukur secara teliti dari Gambar 4.6.2b, sedangkan garis kerja yang sebenarnya diperoleh dari Gambar 4.6.2a. Perlu ditambahkan bahwa titik O dalam Gambar 4.6.2b serta titik E dalam Gambar 4.6.2a, dipilih secara sembarang. Pemilihan titik lain akan menghasilkan poligon yang berbeda, tetapi akan menghasilkan besar, arah dan garis kerja vektor resultan R yang sama. 4.7
Keseimbangan Vektor
Kriteria kesetimbangan menyatakan bahwa vektor-vektor akan berada dalam kondisi berseimbang jika komponen-komponen vektor di arah yang bebas, dalam hal ini diambil pada arah sumbu ( X, Y, Z ) , bernilai nol. Jadi, keseimbangan dicirikan oleh persamaan 74
F n
i 1
xi
0;
F n
i 1
yi
0;
F n
i 1
zi
0
(4.7.1)
Di dalam konteks analisis statika struktur misalnya, Pers. (4.7.1) lebih-lebih merupakan persamaan yang cocok untuk pemeriksaan keseimbangan struktur di bawah pengaruh gaya-gaya sebagai vektor. Dalam arti, jika ada gaya-gaya F1 , F2 , ...Fn yang bekerja pada suatu sistem struktur, ingin diperiksa apakah sistem berada di dalam keadaan seimbang atau tidak. Dalam pola ini, gaya-gaya ( Fi , i 1, n) mencakup semua gaya, baik gaya luar maupun gaya reaksi. Dalam analisis statika, kita menghadapi problem di mana terhadap gaya-gaya luar ( Fi , i 1, n) ) yang bekerja, ingin ditentukan gaya reaksi sedemikian hingga sistem struktur berada di dalam keadaan seimbang. Ini dapat kita lakukan dengan mengolah Pers. (4.6.1) menjadi
F1 F2 ... Fn R 0
sehingga
F
xi
Rx 0
(a )
yi
Ry 0
(b)
zi
Rz 0
(c )
n
i 1
F n
i 1
F n
i 1
(4.7.2)
(4.7.3)
Pengamatan atas bentuk dalam Pers. (4.7.3) mengindikasikan bahwa gaya reaksi terhadap gaya-gaya luar ( Fi , i 1, n) yang memberikan keseimbangan sistem struktur adalah lawan dari resultan gaya-gaya luar tersebut. Dengan perkataan lain, gaya R inilah yang dibagikan kepada reaksi-reaksi perletakan yang ada. Proses ini dapat dilakukan secara analitis maupun secara grafis. 4.8
Analisis Vektor
Dalam bahasan pasal-pasal sebelumnya telah didefinisikan dan dinyatakan vektor sebagai entitas dengan besaran yang tetap; dalam hal ini, vektor juga memiliki komponen-komponen yang konstan. Dalam pasal ini, dibahas vektor dengan besar, dan dengan demikian juga komponen-komponen, yang tidak tetap. Sebagai konsekuensinya, atas vektor dapat dikenakan operasi-operasi yang berlaku terhadap fungsi. 4.8.1
Representasi Vektor Identik dengan bahasan sebelumnya, suatu vektor yang bertitik tangkap pada titik
awal suatu tata sumbu ( X, Y, Z ) yang dilengkapi dengan vektor satuan ( iˆ, ˆj , kˆ ), dapat dinyatakan sebagai vektor posisi (position vector) dalam format 75
r x iˆ y ˆj z kˆ
(4.8.1)
di mana ( x, y, z) merupakan titik puncak atau ujung dari vektor. Juga kemungkinan bahwa ( x, y, z) merupakan fungsi dari satu atau beberapa parameter, misalnya
x x(s, t ) ; y y(s, t ) ; z z(s, t )
(4.8.2)
yang berimplikasi bahwa komponen-komponen dari vektor merupakan fungsi, dan demikian juga halnya dengan vektor itu sendiri. Perhatikan bahwa dalam hal Pers. (4.8.2), vektor posisi memiliki besar
r [ x(s, t )] 2 [ y(s, t )] 2 [ z(s, t )] 2
(4.8.3)
Operasi aljabar atas vektor tetap juga berlaku atas vektor fungsi seperti ini. Operasi kalkulus atas vektor fungsi seperti ini, akan sepenuhnya dibahas dalam bab mendatang. Berikut ini diberikan beberapa operasi yang berlaku umumnya bagi vektor tetap maupun tidak tetap. 4.8.2
Perkalian Skalar Vektor Secara definisi, perkalian skalar (scalar product) atau perkalian titik (dot product)
antara dua vektor, misalkanlah a dan b , dinyatakan dalam format
a .b menghasilkan besaran skalar sebesar
a . b a b cos
(4.8.4)
(4.8.5)
di mana a dan b adalah besar dari masing-masing vektor, dan merupakan sudut apit dari kedua vector. Untuk kasus bidang (dua dimensi), perkalian skalar antara dua vektor didepiksi dalam Gambar 4.8.1. Untuk kasus ini, bentuk rumus dalam Pers. (4.8.5) dapat dimodifikasi dengan melihat bahwa
b a
(4.8.6)
dalam mana b dan a merupakan sudut arah dari masing-masing vektor, sehingga dapat dituliskan
cos cos b cos a sin b sin a
(4.8.7)
Di lain fihak, diketahui bahwa
cos b
bx a ; cos a x ; b a b a sin b y ; sin a y b a 76
(4.8.8)
Y by
b
ay
a
b
a
X ax
bx
Gambar 4.8.1: Perkalian Skalar Vektor yang jika dimasukkan ke dalam Pers. (4.8.5), memberikan Untuk = 0, diperoleh
a . b a xbx a yby
(4.8.9)
a. b ab
(4.8.10)
a. b 0
(4.8.11)
dan untuk / 2 diperoleh
Dengan demikian, dapat dituliskan pernyataan berikut ini. Perkalian titik antara dua vektor yang tegak lurus sesamanya, bernilai nol.
(4.8.12)
Sebagai konsekuensi dari bentuk Pers. (4.8.10), untuk tiga vektor satuan (iˆ, ˆj , kˆ) di arah ( X, Y, Z ) yang saling tegak lurus sesamanya menurut aturan tangan kanan, dapat dituliskan
iˆ . iˆ 1; ˆj . ˆj 1; kˆ . kˆ 1
dan
iˆ . ˆj ˆj . iˆ 0 ; ˆj . kˆ kˆ . ˆj 0 ; kˆ . iˆ iˆ . kˆ 0
(4.8.13) (4.8.14)
Sebagai pemeriksaan atas bentuk dalam Pers. (4.8.9), maka kita dapat menuliskan vektor a dan b dalam komponen-komponen, sehingga
a . b (a x iˆ a y ˆj ) . (bx iˆ by ˆj )
a xbx iˆ . iˆ a xby iˆ . ˆj a ybx ˆj . iˆ a yby ˆj . ˆj a x bx a y b y
77
(4.8.15)
yang identik dengan hasil penurunan berdasarkan telaah geometri dalam Pers. (4.8.9) tersebut. Dan pada dasarnya, hasil dalam Pers. (4.8.9) dan (4.8.15) dapat dikembangkan ke pada kasus tiga dimensi. Sebagai rangkuman, kita dapat menuliskan beberapa sifat perkalian skalar antara dua vektor sebagai berikut. (1)
a . b b .a
(2)
a . b a xbx a yby a zbz
(3)
(4) 4.8.3
a b a. b 0
(sifat komutatif perkalian skalar )
(4.8.16)
jika kedua vektor sejajar jika kedua vektor saling ortogonal
1 untuk i j iˆ . ˆj ij 0 untuk i j
Perkalian Silang Vektor Secara definisi, perkalian silang (cross product) antara dua vektor, misalkanlah a
dan b dengan hasil c , dinyatakan dalam format
c a b
menghasilkan vektor dengan besar
c a b sin
(4.8.17)
(4.8.18)
dan garis kerja yang tegak lurus bidang yang dibentuk oleh vektor a dan b , dan arah yang dengan kedua vektor menuruti aturan tangan kanan seperti dalam Gambar 4.8.2. Vektor a dan b yang terletak pada bidang XY menghasilkan c sebagai vektor hasil perkalian silang dengan arah sumbu X yang tegak lurus bidang XY .
Untuk = 0, diperoleh sin = 0 sehingga
c a b 0
dan untuk / 2 diperoleh sin = 1 sehingga
ca b
(4.8.19)
(4.8.20)
Dari peragaan dalam Gambar 4.8.2 juga dapat diperoleh hubungan
a b b a
(4.8.21)
yang mengisyaratkan bahwa perkalian silang vektor bersifat anti-komutatif. Hasil dalam Pers. (4.8.19) dapat digunakan untuk menurunkan 78
Z //Z
c a b Y
b
X
a Gambar 4.8.2: Perkaliian Silang Vektor
iˆ iˆ 0 ;
ˆj ˆj 0 ; kˆ kˆ 0
(4.8.22)
dan Pers. (4.8.17) dan (4.8.21) dapat digunakan untuk menurunkan
iˆ ˆj ˆj iˆ kˆ ˆj kˆ kˆ ˆj iˆ
kˆ iˆ iˆ kˆ ˆj
(4.8.23)
Hasil perkalian silang dalam Pers. (4.8.17) dapat dinyatakan dalam komponenkomponen kedua vektor dengan melakukan proses pengembangan sebagai
a b (a x iˆ a y ˆj a z kˆ) (bx iˆ by ˆj bz kˆ) a xbx (iˆ iˆ) a xby ( iˆ ˆj ) a xbz (iˆ kˆ)
a ybx ( ˆj iˆ) a yby ( ˆj ˆj ) a ybz ( ˆj kˆ) a zbx (kˆ iˆ) a zby (kˆ ˆj ) a zbz (kˆ kˆ)
yang dengan mengingat bentuk-bentuk dalam Pers. (4.8.22) dan (4.8.23) dapat disederhanakan dalam bentuk
c a b (a ybz a zby ) iˆ (a xbz a zbx ) ˆj (a xby a ybx ) kˆ
(4.8.24)
yang juga dapat dituangkan dalam notasi determinan sebagai
iˆ ˆj kˆ c a b ax ay az bx by bz 79
(4.8.25)
Sebagai rangkuman, kita dapat menuliskan beberapa sifat perkalian silang antara dua vektor sebagai berikut. (1) (2)
a b b a
a b (a ybz a zby ) iˆ (a xbz a zbx ) ˆj (a xby a ybx ) kˆ
(3) (4)
(sifat anti komutatif perkalian skalar )
iˆ ax
ˆj ay
kˆ az
bx
by
bz
iˆ iˆ 0 ;
ˆj ˆj 0 ; kˆ kˆ 0
(4.8.26)
iˆ ˆj ˆj iˆ kˆ ˆj kˆ kˆ ˆj iˆ kˆ iˆ iˆ kˆ ˆj
4.8.4
Perkalian Campuran Vektor
Dalam terapan sering dihadapi pernyataan-pernyataan yang melibatkan campuran antara perkalian titik dan perkalian silang, selagi masih terdefinisi. Sebagai contoh, bentuk-bentuk
(a b) c ; a . ( b c) ; (a b). c
(4.8.27)
terdefinisi, sedangkan bentuk-bentuk
(a . b) c ; (a . b b c ) . d
(4.8.28)
tidak terdefinisi. Pada hematnya terdapat banyak varian dari pada campuran perkalian titik dan perkalian silang, namun beberapa di antaranya yang paling terkenal dan kerap dipandang sebagai rumus umum adalah berikut ini. (a) a . (b c) (b c) . a
(b) a . (b c) a x (bycz bzc y ) a y (bxcz bzcx ) a z (bxc y bycx )
ax ay az
bx by bz
(4.8.29)
cx c y cz (c) iˆ . ( ˆj kˆ) 1;
ˆj . (kˆ iˆ) 1;
kˆ . (iˆ ˆj ) 1
Bentuk dalam Pers. (4.8.29b) secara fisis dapat diinterpretasikan sebagai volume dari pada paralellepipedum yang dibentuk oleh ketiga vektor sebagai sisi-sisinya, seperti yang diperlihatkan oleh Gambar 4.8.3. 80
volume : a . ( b c)
tegak lurus bidang
a
c
bidang
b
Gambar 4.8.3: Interpretasi Fisis Pers.(4.8.29b) 4.8.5 Beberapa Operasi Vektor Sebagai pelengkap dari berbagai bentuk pernyataan yang telah dituliskan bagi vektor dalam paparan sebelumnya, berikut ini diberikan beberapa operasi yang berlaku terhadap besaran vektor. (a) c a b ; dengan
cx a x bx ; c y a y by ; cz a z bz
(b) c ka l b ;
k, l tetap dengan cx kax lbx ; c y ka y lby ; cz kaz lbz
a b b a ; sifat komutatif perjumlaha n
(c) a b b a ;
sifat anti komutatif perkalian silang
a . b b . a ; sifat komutatif perkalian skalar
(d)
(e)
(f)
( a b) c a (b c ) (a b) c a (b c )
sifat asosiatif perjumlaha n sifat asosiatif perkalian silang
a (b c) a b a c sifat distributi f perkalian silang
a . ( b c) a . b a . c
sifat asosiatif perkalian skalar
k a (l b m c) k l a b k m a c
k a . (l b m c) k l a . b k m a . c ; 81
k, l dan m tetapan
(4.8.30)
4.9
Contoh Penerapan
Contoh 4.1:
Secara grafis dan analitis, jumlahkanlah dua vektor
F1 4iˆ 3 ˆj ; F2 3iˆ 4 ˆj
(4.8.31)
yang bertitik tangkap pada titik awal sumbu Cartesius seperti dalam Gambar 4.9.1. Penyelesaian: Secara analitis, gaya resultan F1 dan F2 yang dinyatakan dengan
R Rxiˆ Ry ˆj
(4.8.32)
yang menurut Pers. (4.6.2), komponen Rx dan Ry dapat dihitung dengan
Rx Fxi Fx1 Fx2 4 3 7 ; Ry F yi F y1 F y2 3 4 7 2
2
i 1
i 1
Gambar 4.9.1: Perjumlahan Grafis Vektor, Contoh 4.1 sehingga
R 7iˆ 7 ˆj
(4.8.33)
Secara grafis, R merupakan diagonal panjang dari jajaran genjang yang dibentuk dengan F1 dan F2 sebagai sisi, seperti dalam Gambar 4.9.1. 82
Contoh 4.2:
Secara analitis, jumlahkanlah 3 vektor yang memiliki besar, arah dan garis kerja seperti dalam Gambar 4.9.2.
Penyelesaian: Sesuai dengan cara penjumlahan analitis vektor atau gaya. Menurut Pers. (4.6.2) maka
R F1 F2 F3
(4.8.34)
Rx Fxi (4) (2) (2) 0 ; Ry Fyi (5) (2) (3) 0
dengan
3
3
i 1
i 1
sehingga
R0
(4.8.35)
F 3 (2,3) F2 (4,2)
(2,0)
F1 (-4,-5)
Gambar 4.9.2: Perjumlahan Vektor Secara Analitis, Contoh 4.2 Contoh 4.3:
Tentukan gaya resultan dari 4 vektor seperti dalam Gambar 4.9.3, yaitu garis kerja, arah dan besarnya.
Penyelesaian:
Menurut Pers. (4.6.2), gaya resultan R dengan
R F1 F2 F3 F4 R Rxiˆ Ry ˆj sehingga
Rx (4) (0) (3) (0) 1 ; Ry (0) (4) (0) (3) 1 83
(4.8.36)
Karena F1 dan F 2 berpotongan di titik awal O , dan F3 serta F 4 yang
berpotongan di titik (4.4) maka dengan melihat bahwa Rx Ry 1 , maka garis kerja
R melalui titik O dan berarah seperti dalam Gambar 4.9.3. Dalam hal ini, gaya R berupa vektor luncur pada garis OA.
Y
(0,4)
F3 (3.4)
F 4 (4,3)
O
F2 (-4,0)
(4,0)
X
R
F 1 (0,-4)
Gambar 4.9.3: Perjumlahan Vektor, Contoh 4.3 Contoh 4.4:
Periksa apakah keempat vektor dalam keseimbangan terhadap suatu sistem.
Gambar 4.9.4 menjamin
Penyelesaian: Kita memeriksa apakah komponen gaya di arah X dan Y memenuhi Pers. (4.7.1). Dalam hal ini diperoleh
Fxi (3) (0) (0) (3) 0 ; 4
i 1
Fyi (0) (3) (3) (0) 0 4
i 1
(4.8.37)
Kemudian kita perlu memeriksa apakah keempat gaya memberikan momen atau kopel yang nol terhadap sumbu yang ortogonal bidang XY ; dalam hal ini kita pilih sumbu Z . Jadi
M ( 3 )( 5 ) ( 3 )( 5 ) ( 3 )( 1 ) ( 3 )( 1 ) 0 thd.z 84
(4.8.38)
Y F1 (3.5)
(0,5)
F 2 (5,3)
(-1,0) X
(5,0) F 4(-3,-1)
(0,-1)
F 3 (-1,-3)
Gambar 4.9.4: Keseimbangan Gaya, Contoh 4.4
Dengan demikian, F1 , F2 , F3 dan F4 berada di dalam keseimbangan. Contoh 4.5:
Seseorang dengan berat badan W , naik di atas suatu ujung balok yang terletak di atas perletakan silinder yang licin, dengan ujung-ujung balok berada pada jarak L1 dan L2 dari perletakan silinder seperti dalam Gambar 4.9.5. Berapa anak timbangan yang harus diletakkan di ujung hingga berada di dalam keseimbangan.
Penyelesaian: Kita mengambil model balok dengan perletakan seperti Gambar 4.9.5(b). Kita menarik sumbu X, Y melalui titik kontak balok dengan silinder di titik C . Keseimbangan gaya mengharuskan bahwa
Fx 0 Fy 0 P R W 0
(4.8.39)
di mana syarat dalam persamaan pertama otomatis dipenuhi, dan pada persamaan kedua masih ada 2 besaran yang belum diketahui yaitu R dan gaya P yang harus diletakkan sebagai anak timbangan. Karena keseimbangan momen harus dipenuhi, maka kita mengambil momen terhadap C , sehingga
M
thd.C
0 ( P ) ( L1 ) ( R)(0) (W)( L2 ) 0 85
(4.8.40)
W
P C
A
B
(a) sistem
licin
Y W
P A
B
C R
L1
(b) model
x
L2
Gambar 4.9.5: Keseimbangan Balok, Contoh 4.5 yang menghasilkan
P
L2 W L1
(4.8.41)
Substitusi hasil dalam Pers. (4.8.41) ke dalam Pers. (4.8.39b) memberikan
R W P
L1 L2 W L1
(4.8.42)
dan terhadap garis horizontal. Berapa gaya tarikan yang terjadi
Suatu benda berbobot W , digantung dengan dua kabel miring sesudut
Contoh 4.6:
pada kedua tali? Lihat Gambar 4.9.6. Y Sa a
Sb
b
X
α
W W (a) sistem
(b) model
Gambar 4.9.6: Sistem Kabel Gantungan, Contoh 4.6 86
Penyelesaian: Gaya tarik pada tali a dan b dalam Gambar 4.9.6(a) masing-masing dinyatakan dengan Sa dan Sb . Dengan demikian, kita perlu menentukan keseimbangan antara tiga gaya, yaitu W yang diketahui, dan Sa dan Sb yang ingin ditentukan. Karena ketiga gaya konkuren (berpotongan pada satu titik), maka secara otomatis keseimbangan momen dipenuhi, dan kini hanya tinggal dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu keseimbangan gaya di dua arah yang paling ortogonal. Dalam contoh ini, kita nyatakan di arah sumbu ( X, Y) , sehingga
F
yang memberikan
X
0
F
Y
0
Sa cos Sb cos 0
Sa sin Sb sin W 0
(4.8.43)
Solusi dari Pers. (4.8.43) untuk Sa dan Sb adalah
cos W cos sin sin cos cos Sb W cos sin sin cos
Sa
(4.8.44)
Jika tali a dan b bersifat lunak, maka Sa dan Sb tidak boleh bernilai negatif, karena jika negatif, tali berarti kendor dan ini tidak sesuai dengan kenyataan bahwa akibat bobot W , kedua tali berada dalam keadaan menegang. Contoh 4.7:
Suatu tangga sepanjang L disandarkan pada dinding licin dan lantai kasar sesudut α dengan arah horizontal, dipijak oleh orang berbobot W pada tengah tangga. Abaikanlah bobot tangga karena relatif sangat kecil dibandingkan bobot orang tersebut. Tentukan berapa gaya reaksi dinding dan tangga terhadap tangga. Lihat Gambar 4.9.7.
Penyelesaian: Karena dinding licin, gaya reaksi Rd dari dinding terhadap ujung atas tangga berarah tegak lurus terhadap dinding yang vertical, jadi beraarah horizontal, dengan garis kerja yang memotong garis kerja gaya W pada titik D . Di lain pihak, reaksi lantai kasar terhadap ujung bawah tangga, dapat membentuk sudut terhadap tangga, sesuai kebutuhan. Karena hanya ada tiga gaya yang bekerja pada tangga, yaitu Rd , W dan
Rb , dan telah diketahui bahwa garis kerja Rd dan garis kerja W berpotongan di titik D , maka demi keseimbangan, garis kerja Rb juga harus melalui titik D . 87
Y
dinding licin Rd
D A L sin α 2
C L sin α 2
W
α
W
α
lantai kasar
L cosα 2
B
x
L cos α 2
(b) gaya-gaya
(a) tangga
Gambar 4.9.7: Tangga Bersandar, Contoh 4.7
Selanjutnya, keseimbangan gaya mensyaratkan bahwa
F F
X
Y
di mana
sehingga
0 Rd Rb sin 0
0 W Rb cos 0
(4.8.45)
1 cos 1 tan 2 cot 2 L sin
1 cot 2 cos ; sin 1 1 1 cot 2 1 cot 2 4 4 1
(4.8.46)
Substitusi bentuk Pers. (4.8.46) dalam Pers. (4.8.45) menghasilkan
1 1 Rb W 1 cot 2 ; Rd W cot 4 2 Contoh 4.8:
(4.8.47)
Suatu bola seberat W terletak di atas lantai yang licin dan rata seperti dalam Gambar 4.9.8. Tentukan gaya yang terjadi antara bola dan lantai pada bidang kontak.
88
W
W W
(a) sistem
A
A
R
R
(b) badan bebas
(c) arah gaya sebenarnya
Gambar 4.9.8: Bola di Atas Lantai, Contoh 4.8 Penyelesaian: Bidang kontak antara bola dan lantai dalam hal ini merupakan suatu titik pada bola dan lantai. Gaya antara bola dan lantai merupakan gaya-gaya dalam yang hanya akan terlihat jika kita ”memotong” kontak antara bola dan lantai. Dalam hal ini, kita memisahkan bola dan lantai, dan pada titik kontak tadi kita mengerjakan gaya gaya yang merupakan ”aksi-reaksi”, seperti dalam Gambar 4.9.8(b). Artinya kedua gaya memiliki garis kerja dan besar yang sama, tetapi arah yang berlawanan, dan jika menggabungkan bola dan lantai kembali, kedua gaya akan hilang. Sekarang, bola kita isolir sebagai badan bebas yang harus seimbang. Keseimbangan gaya di arah X otomatis dipenuhi, karena tidak ada gaya yang bekerja di arah tersebut. Yang ada hanya dua gaya, yaitu W dan A di arah Y dan kolinier, sehingga keseimbangan momen juga otomatis terpenuhi. Satu-satunya yang perlu ditinjau adalah keseimbangan gaya di arah Y , yaitu:
yang menghasilkan
W A 0 A W
(4.8.48)
Tanda minus dalam Pers. 4.34 menandakan bahwa arah gaya A yang sebenarnya, berlawanan dengan arah yang kita andaikan semula. Ini direvisi dalam Gambar 4.9.8(c). Perhatikan bahwa sekalipun contoh ini cukup sederhana, namun contoh ini cukup jelas di dalam menerangkan konsep badan bebas, yang digabungkan dengan hukum aksi-reaksi, dalam menentukan gaya-gaya reaksi dalam yang timbul pada struktur akibat gaya luar. Contoh 4.9:
Seorang anak diminta ibunya untuk menimba air dari sumur. Berat timba berisi air penuh dinyatakan dengan W . Jika bobot tali diabaikan, berapa gaya tarikan yang harus dilakukan oleh anak tersebut? Roda pada alat timba cukup licin. Lihat Gambar 4.9.9. 89
Penyelesaian : Sistem timba diperlihatkan dalam Gambar 4.9.9, dengan badan bebas seperti dalam Gambar 4.9.9(b) keseimbangan timba sebagai badan bebas mengharuskan:
W S1 0
(4.8.49)
sehingga S1 W . Selanjutnya, keseimbangan potongan tali sebagai badan bebas memberikan
S1 S 2 0
(4.8.50)
sehingga S 2 S1 W . Kemudian, dalam badan bebas roda, gaya tarikan tangan T dan gaya tarik S 2 pada tali harus sama karena pada 1 roda licin, tidak ada perlawanan terhadap gaya dalam tali timba. Dengan demikian,
T S 2 W
(4.8.51)
Gaya reaksi pada dudukan roda juga dapat dihitung dengan keseimbangan Ry T
Rx
S2
S1
W
W
(a) sistem timba
(b) badan bebas
Gambar 4.9.9: Timba Air, Contoh 4.9
Rx T 0
Ry S2 0
yang memberikan
Rx W ;
R y W 90
(4.8.52)
Contoh 4.10: Seorang berjalan pada jembatan melintas Sungai Cikapundung yang membentang sepanjang L . Jika orang berbobot W tersebut telah berada sejarak a dari tepi kiri, berapa gaya reaksi antara jembatan dan tanggul? Sementara, abaikan bobot sendiri jembatan. Penyelesaian: Sistem dan badan bebas papan titian, diperlihatkan dalam Gambar 4.9.10. Perhatikan bahwa Ra dan Aa , serta Rb dan Ab merupakan gaya aksi-reaksi. Gaya Ra dikerjakan oleh tumpuan kepada papan, dan Aa gaya yang dilakukan tumpuan pada tumpuan. Dalam sistem badan bebas titian, keseimbangan gaya dia rah horizontal otomatis dipenuhi karena tidak ada gaya yang berkerja di arah tersebut. Tinggal keseimbangan gaya di arah Y , dan keseimbangan momen yang harus dipenuhi, yaitu
F 0 R R W 0 M 0 (R )(L) (W)(L a ) 0 a
Y
b
a
thd. B
B
A C
y
a
W
x
Ra
Rb L Ab
Aa
Gambar 4.10.10: Jembatan Sungai Cikapundung, Contoh 4.10 yang memberikan
Ra
a L a P ; Rb P L L
91
(4.8.53)
Karena 0 a L , R a dan Rb bernilai positif dalam Pers. (4.3.53), maka arah yang semula kita andaikan sudah betul. 4.10 Rangkuman Dalam bab ini, kita telah mempelajari kaidah, istilah dan operasi matematis yang berlaku terhadap vektor. Karena gaya adalah besaran vektor, maka semua aturanaturan dan kaidah-kaidah yang kita bahas untuk vektor, juga berlaku untuk gaya. Operasi vektor yang mencakup perjumlahan, penguraian dan kriteria keseimbangan telah kita bahas secara rinci . Khususnya dalam contoh telah disajikan bahasan mengenai perihal keseimbangan sistem struktur yang sehari-hari kita alami. Sajian contoh-contoh sederhana ini akan memberikan kita bekal pengetahuan awal dalam analisis statika sistem struktur yang merupakan bahasan utama dalam buku ini. Sekalipun sederhana, prosedur dalam analisis contoh-contoh inilah juga yang pada hakekatnya akan kita tempuh di dalam analisis struktur dengan statika. 4.11 Soal-soal Soal 4.1: Untuk sistem gaya koplanar (sebidang) dan konkuren dalam Gambar 4.11.1, tentukan resultanta seluruh gaya secara analitis dan grafis. Soal 4.2: Tentukanlah resultanta dari empat gaya planar non konkuren seperti dalam Gambar 4.11.2. Periksa apakah sistem gaya tersebut memberikan sistem yang berseimbang? Berikan penjelasan selengkapnya.
Y F3
Y
F2
F1 (3,3)
(3,3)
(-3,2)
F1 X
X
F2
(4,0)
F4
(-3,0)
F4
F3
(-4,-3)
Gambar 4.11.1: Sistem Gaya, Soal 4.1
(0,-3)
(3,-3)
Gambar 4.11.2: Sistem Gaya, Soal 4.2
Soal 4.3:
Periksa apakah sistem yang terdiri atas tiga gaya planar nonkonkuren dalam Gambar 4.11.3 merupakan suatu sistem yang seimbang atau tidak. Berikan ulasan secukupnya.
Soal 4.4:
Tentukan resultanta dari tiga gaya planar Gambar 4.11.4, secara analitis dan secara grafis.
92
non-konkuren
dalam
Y
F1
(0,-3)
(4,3)
F3 (-4,3)
Y F1 (0,3)
F2 X
X
F2 (4,0)
F3 (-4,-3)
F2 (3,-4)
Gambar 4.11.3: Sistem Gaya, Soal 4.3
Gambar 4.11,4: Sistem Gaya, Soal 4.4
Soal 4.5:
Dalam sistem gaya yang ditampilkan dalam Gambar 3.11.5, diinginkan agar gaya R mengimbangi dua gaya lainnya. Dengan cara analitis, tentukan garis kerja dan besar gaya R tersebut.
Soal 4.6: Soal 4.7:
Kerjakanlah Soal 4.5, namun kali ini dengan menggunakan cara grafis. Suatu batang sepanjang 4 meter, memikul beban sebesar 10 kN pada jarak 1 meter dari ujung kiri. Berapa gaya yang dibutuhkan untuk mengangkat balok, tepat pada saat balok terlepas dari lantai?
Y
F1
(4,3)
(0,-3)
R (1,0)
F2
α=?
X
(-3,-2) (0,-2)
Gambar 4.11.5: Sistem Gaya, Soal 4.5 dan Soal 4.6 Soal 4.8:
Gambar 4.11.6: Balok Ungkit, Soal 4.7
Sekiranya beban W dalam Soal 4.7 ditempatkan sejarak 3 meter dari ujung kiri A atau 1 meter dari ujung B , berapa gaya yang dibutuhkan pada ujung B untuk mengungkit beban tersebut? Bandingkan dengan hasil dalam Soal 4.7 dan berikan ulasan secukupnya.
93
Soal 4.9:
Suatu batang yang pada ujung kiri diberi engsel, dan diharapkan mengangkut suatu beban seberat W . Berapa gaya vertikal yang perlu dikerjakan pada ujung lainnya, agak beban tepat pada saat terangkat?
Soal 4.10: Jika gaya yang dilakukan apda ujung kanan berupa kabel tarik sesudut yang diketahui, berapa gaya yang dibutuhkan untuk mengangkat beban dalam Soal 4.9? Bandingkan kedua hasil yang diperoleh, dan berikan komentar seperlunya.
F (a)
W a L F
α
(b)
W Gambar 4.11.7: Tuas Angkat, Soal 4.9 dan Soal 4.10
94
BAB V KALKULUS VEKTOR 5.1
Umum
Dalam bab-bab terdahulu telah dibahas perihal bilangan, variabel serta fungsi skalar. Bahasan mencakup definisi, operasi aljabar, serta didiferensiasi dan integrasi fungsi-fungsi skalar. Sekarang, operasi-operasi tersebut akan kita terapkan kepada entitas vektor. Tentu saja operasi-operasi yang menyangkut entitas skalar, berlaku juga terhadap entitas vektor. Perbedaan terletak pada hakekat bahwa dibandingkan dengan besaran skalar, vektor memiliki arah. Dengan demikian misalnya, dalam kalkulus vektor kita mengenal turunan berarah. Bahasan dalam bab ini merupakan kelanjutan dan pengembangan dari teorema dasar vektor yang telah dibahas sebelumnya. Kalkulus vektor dibahas dalam bab ini dengan menggunakan berbagai sistem koordinat, karena penerapan nantinya akan disiapkan untuk berbagai problem rekayasa dengan bentuk geometris yang berbedabeda dan dengan demikian dinyatakan dalam tata sumbu yang berbeda pula. 5.2
Diferensiasi Vektor Untuk memulai, kita memandang suatu vektor v yang dinyatakan menurut
komponen { f (t ), g (t ), h(t )} pada arah tata sumbu ( X, Y, Z ) yang dilengkapi dengan vektor satuan ( iˆ, ˆj , kˆ ) di mana t merupakan suatu parameter skalar, demikian hingga dapat dituliskan
v(t ) f (t )iˆ g (t ) ˆj h(t )kˆ
(5.2.1)
Turunan dari v(t ) terhadap parameter t dinyatakan dalam formulasi formal turunan, yaitu dalam bentuk
d v(t t ) v(t ) v(t ) lim t 0 dt t yang memberikan
d v(t ) ˆ df ˆ dg ˆ dh i j k dt dt dt dt
(5.2.2)
(5.2.3)
Seturut dengan definisi turunan vektor dalam Pers. (5.2.2), maka berikut ini diberikan beberapa formulasi penurunan vektor fungsi. 95
(a)
d dv du (kv l u ) k l dt dt dt
(b)
d dv du (v . u ) .uv. dt dt dt
(c)
d dv du (v u ) u v dt dt dt
(d)
d du dv dw (u . v w) . v w u . w u . v dt dt dt dt
(5.2.4)
Dari Pers. (5.2.4b) dapat diperoleh suatu aturan yang sangat penting mengenai diferensiasi sebagai berikut. Jika a adalah suatu vektor konstan, maka
a . a a2
(5.2.5)
di mana a adalah magnitude dari vektor. Penurunan bentuk ini memberikan
d da da da (a . a ) .a a . 2 .a dt dt dt dt dan
d 2 a 0 dt
(5.2.6)
(5.2.7)
Mengingat bentuk Pers. (5.2.5) hingga (5.2.7), diperoleh
da .a 0 dt
(5.2.8)
Karena d a / dt adalah juga vektor yang merupakan turunan dari vektor pertama dengan magnitudo konstan, maka vektor turunan ini berarah tegak lurus dengan vektor awal. Dengan demikian dapat dikeluarkan pernyataan berikut ini. Turunan dari suatu vektor tetap adalah suatu vektor lain yang berarah orthogonal terhadap arah vektor tetap tersebut.
(5.2.9)
Interpretasi lain dari pada bentuk dalam Pers. (5.2.8) adalah bahwa
da 0 dt
(5.2.10)
yang menandakan d a / dt sebagai vektor nol. 5.3
Gradien Fungsi dan Turunan Berarah
( x, y, z) . Jika x, y dan z berobah, maka kita dapat menuliskan perobahan di arah Kita meninjau suatu fungsi skalar dalam ruang yang kita nyatakan dengan
s , sebagai 96
XY
d dx dy dz . . ds x ds y ds z ds
(5.3.1)
yang dapat dipandang sebagai perkalian titik dari dua besaran vektor
d ˆ ˆ k j z y dx dz dy dx d r iˆ ˆj kˆ ds ds ds
iˆ
sehingga
dr d . ds ds
atau
d . d r
(a ) (5.3.2)
(b)
(5.3.3)
Dalam Pers. (5.3.2a) didefinisikan suatu operator yang mengambil bentuk
Grad iˆ
ˆ ˆ j k x y z
(5.3.4)
yang dinamakan operator “del” serta yang merupakan vektor sekaligus bersifat operator yang efektif ke sebelah kanan. Mengamati bentuknya, terlihat bahwa gradien dari suatu fungsi merupakan vektor yang komponennya merupakan turunan dari fungsi tersebut. Ini berarti bahwa vektor turunan tersebut mengarah kepada arah di mana turunan dari fungsi tersebut bernilai maksimum, sehingga magnitudo dari vektor turunan tersebut sama dengan nilai maksimum dari turunan fungsi. Selain itu, gradien dari suatu fungsi tidak memiliki komponen pada arah di mana turunan fungsi tersebut bernilai nol. Dengan demikian, gradien fungsi tegak lurus terhadap bidang atau permukaan yang dicirikan oleh nilai fungsi yang konstan. Sifat-sifat dari operator del akan dibahas secara lebih mendalam dalam pasal berikut. Dalam bahasan sebelumnya telah diulas mengenai turunan parsial, yaitu turunan fungsi di arah masing-masing variabel bebas secara terpisah. Sekarang kita akan menentukan turunan fungsi di arah tertentu, yaitu pada suatu arah yang diberikan oleh kombinasi tertentu dari semua variabel yang ada. Untuk itu, kita akan memandang suatu fungsi bervariabel bebas ganda
z f ( x, y)
(5.3.5)
untuk merepresentasikan fungsi bervariabel bebas jamak. Turunan berarah fungsi f ( x, y) di arah s seperti dalam Gambar 5.3.1 diberikan oleh
fs ( p) lim s0
f ( p s s ) f ( p) s
97
(5.3.6)
Z
( x, y, z)
z f ( x, y)
kˆ
ˆj
Y
iˆ s
p
X Gambar 5.3.1: Turunan Berarah Fungsi Jelaslah kiranya bahwa untuk s hiˆ, diperoleh
fx ( p) lim h 0
f ( p h iˆ) f ( p) h
(5.3.7)
sebagai turunan parsial di arah x , dan jika s h ˆj, diperoleh
f y ( p) lim h 0
f ( p h ˆj ) f ( p) h
(5.3.8)
sebagai turunan parsial di arah y. Turunan berarah dalam Pers. (5.3.5) dapat ditafsirkan sebagai koefisien arah dari garis kurva perpotongan antara fungsi f ( x, y) dengan bidang vertikal, dengan garis kerja sebagai perpotongan bidang tersebut dengan bidang (XY) , pada titik yang didefinisikan oleh p. Sekarang kita mendefinisikan vektor sˆ sebagai vektor satuan yang dituliskan dalam komponen-komponen sebagai
sˆ sxiˆ s y ˆj
(5.3.9)
Di lain fihak, kita telah mendefinisikan gradien dari pada suatu fungsi skalar dalam Pers. (5.3.4). Dengan demikian, gradien dari pada fungsi f ( x, y) diberikan oleh 98
f ( p) fx ( p) iˆ f y ( p) ˆj
(5.3.10)
dan turunan berarah fungsi f ( x, y) di arah sˆ diberikan oleh
fs ( p) f ( p) . sˆ sˆ . f ( p) 5.4
(5.3.11)
Operator Del dan Laplace
Operator del, memiliki bentuk berbeda sesuai dengan tata sumbu yang digunakan. Dalam tata sumbu Cartesius, operator del mengambil bentuk
iˆ
ˆ ˆ j k x y z
(5.4.1)
Karena del bersifat operator yang efektif ke sebelah kanan, maka dalam suatu pernyataan, fungsi-fungsi yang dikenakan operator tersebut harus dinyatakan dengan jelas, misalnya
(. F ) ; . ( F )
Jika F adalah suatu vektor yang dituliskan dalam komponen-komponen pada tata sumbu Cartesius ( X, Y, Z ) ,
F iˆFx ˆjF y kˆFz
(5.4.2)
yang diferensiabel, maka berikut ini dapat dituliskan beberapa bentuk pernyataan yang sekaligus berperan sebagai rumus standard, yaitu
divergence F . F
Fx F y Fz y z x
iˆ curl F F x Fx
ˆj y Fy
atau
curl F iˆ(
kˆ z Fz
F y Fx F F Fz F y ) ˆj ( x z ) kˆ( ) y x x z z y
(a ) (5.4.3)
(b)
(5.4.4)
Beberapa rumus-rumus yang berkaitan dengan operator del diberikan sebagai berikut ini.
99
( k l ) k l ;
k, l tetapan
(u . v) (u ) . v u . (v ) u ( v) v ( u ) ( u ) ( ) u ( u )
. ( u v) v . (u ) u . (v ) u ( . v) v( . u )
( u v) (v . ) u (u . ) v
(5.4.5)
curl ( grad ) 0
. ( u ) grad (curl u ) 0
( u ) curl (curl u ) ( . u ) . u grad (div u ) 2 u
. (1 2 ) 0
Sebagai tambahan, kita juga memiliki operator dengan orde yang lebih tinggi sebagai pengembangan dari operator del, yaitu
2 .
2 2 2 x2 y2 z 2
(5.4.6)
yang dinamakan operator Laplace, dan
4 4 4 4 4 4 ( ) 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 z x x x y y y z z 4
5.5
2 2
(5.4.7)
Integral Garis
Kita meninjau suatu vektor yang dinyatakan dalam komponen-komponen di titik ( x, y, z) pada suatu kurva C seperti dalam Gambar 5.5.1, yaitu
F iˆP ( x, y, z) ˆjQ( x, y, z) kˆR( x, y, z)
(5.5.1)
Jika r adalah vektor posisi titik yang bersangkutan, maka dapat dituliskan
dr
dr ds tˆ ds ds
(5.5.2)
di mana tˆ adalah vektor satuan yang berarah tangensial terhadap kurva dan ds diferensial panjang kurva pada titik yang bersangkutan. Integral garis di sepanjang kurva didefinisikan sebagai
F . d r ( F . tˆ) ds
C
C
100
(5.5.3)
sb
Z
F
tˆ
sa r Y
X
Gambar 5.5.1: Kerja Dalam Integral Garis Jika F adalah gaya, maka integral garis memberikan kerja (work) yang dilakukan gaya di sepanjang kurva yang ditinjau. Lihat Gambar 5.5.1 sebagai penjelasan. Perhatikan bahwa dalam Pers. (5.5.3), baik F maupun tˆ akan berobah pada kurva sesuai perpindahan dari suatu titik ke titik lain. Dari bentuk Pers. (5.5.3) dan (5.5.1), diperoleh bentuk alternatif integral garis sebagai
F . d r ( Pdx Qdy R dz)
C
5.6
(5.5.4)
C
Integral Garis Bebas Tapak
Nilai integrasi garis dalam Pers. (5.5.4) umumnya tergantung kepada lintasan atau tapak (path) yang dilalui lintasan dari titik awal ke titik akhir sebagai batas-batas integrasi. Namun dalam beberapa kasus, nilai integrasi tersebut tidak tergantung kepada lintasan, tetapi hanya tergantung kepada nilai besaran batas pada titik awal dan titik akhir lintasan. Kasus yang demikian dinamakan integrasi bebas lintasan atau tapak (path independent). Kasus seperti ini diperoleh jika integran dalam Pers. (5.5.4) merupakan diferensiasi total dari suatu fungsi skalar, katakanlah , sedemikian hingga
P dx Q dy R dz d
(5.6.1)
yang jika demikian halnya, Pers. (5.5.4) menjadi
F . d r d (b) (a )
C
C
101
(5.6.2)
di mana a dan b merupakan nilai parameter yang berkaitan dengan titik awal dan titik akhir sebagai batas-batas integrasi garis pada kurva C . Dalam hal ini, fungsi skalar bernilai tunggal di sepanjang lintasan atau tapak a, b . Dilain fihak, kita dapat menuliskan
d
dx dy dz x y z
(5.6.3)
sehingga untuk integrasi bebas tapak diperoleh
P; Q; R x y z
(5.6.4)
Ini berarti bahwa jika untuk P, Q dan R dapat dibuktikan adanya suatu fungsi skalar sedemikian hingga hubungan dalam Pers. (5.6.4) dipenuhi, maka integrasi garis adalah bebas lintasan, dengan nilai yang diberikan oleh Pers. (5.6.2). Persyaratan dalam Pers. (5.6.4) juga memberikan hubungan
P Q Q R R P ; ; y x z y x z
(5.6.5)
yang dapat dituliskan dalam format
P Q Q R R P 0; 0; 0 y x z y x z
(5.6.6)
Di lain fihak, kita melihat bahwa
F (
Q R ˆ R P ˆ P Q ˆ )i ( ) j ( )k z y x z y x
(5.6.7)
Dengan demikian, untuk integrasi garis yang bebas lintasan, Pers. (5.6.6) dan (5.6.7) memberikan persyaratan
F 0
(5.6.8)
Agar integrasi garis bernilai tunggal, maka lintasan C harus memiliki bentuk yang
sedemikian hingga lintasan C tertutup membentuk daerah cakupan yang sederhana (simply connected region). Seterusnya, jika integrasi garis yang bebas lintasan ditinjau untuk titik awal dan titik akhir yang sama, maka diperoleh integrasi garis tertutup yang bernilai nol, yang dituliskan dengan
F . dr 0
(5.6.9)
C
Jika integrasi tertutup tidak bebas lintasan, maka nilai integrasi tidak nol, namun dengan nilai yang dinamakan sirkulasi dari F di seputar C , yaitu 102
Sirkulasi F di seputar C F . d r
(5.6.10)
C
5.7
Teorema Kerja
Teorema kerja merupakan pokok bahasan yang sangat penting dalam disiplin ilmu rekayasa, khususnya dalam mekanika. Untuk itu, kita secara khusus akan membahas integrasi garis dalam konteks kerja yang dilakukan oleh suatu gaya F
pada suatu
lintasan, seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 5.7.1. Jika kita menuliskan gaya F dalam komponennya,
F iˆFx ˆjF y kˆF t
(5.7.1)
t b
Z
F
s (t )
tˆ
ta r Y
X
Gambar 5.7.1: Kerja Gaya dan Lintasan maka kerja W yang dilakukan oleh gaya F pada lintasan S dituliskan di dalam
W F . d r F . tˆ ds S
(5.7.2)
S
yang dengan mengingat Pers. (5.4.2), menjadi
W ( Fxdx F y dy Fz dz)
(5.7.3)
S
Jika F merupakan gradien dari pada suatu fungsi skalar maka
F
sehingga diperoleh
W ( ) . d r S
103
(5.7.4)
(5.7.5)
dalam mana
( ) . d r
dx dy dz d x y z
(5.7.6)
Dengan demikian, kerja yang dilakukan F pada lintasan S dari tˆ a hingga tˆ b dalam Gambar 5.7.1 menjadi
W F . d r ( ) . d r d (b) (a ) b
S
S
(5.7.7)
a
Kerja yang dilakukan oleh suatu gaya dengan nilai yang tergantung keadaan awal dan akhir serta tidak tergantung lintasan, membentuk medan gaya yang konservatif. Seiring dengan ini, dapat dikeluarkan beberapa pernyataan sebagai berikut. Gaya yang diperoleh sebagai griadien dari Suatu fungsi skalar, membentuk medan gaya yang konservatif. Kerja yang dilakukan oleh suatu gaya konservatif tidak tergantung kepada lintasan
(5.7.8)
(5.7.9)
Selanjutnya, ditinjau suatu lintasan tertutup yang dilalui oleh oleh gaya F yang konservatif. Karena tidak tergantung kepada lintasan, maka Pers. (5.6.9) memberikan
W F . dr 0
(5.7.10)
S
Lintasan tertutup dapat berupa lintasan berangkat dan lintasan kembali yang berlainan atau yang sama, seperti dalam Gambar 5.7.1. Sesuai dengan Pers. (5.7.10), dapat dikeluarkan pernyataan berikut ini. Kerja yang dilakukan oleh suatu gaya konservatif pada suatu lintasan tertutup, bernilai nol
(5.7.11)
Sifat yang dimiliki oleh suatu gaya yang konservatif, diberikan oleh Pers. (5.6.8), yaitu
Curl F F 0 5.8
(5.7.12)
Integrasi Permukaan Andaikanlah dihadapi suatu vektor F yang bekerja pada permukaan ruang
As dengan proyeksi A pada bidang XY seperti dalam Gambar 5.8.1. Permukaan dinyatakan dengan fungsi implisit
g ( x, y, z) 0 104
(5.8.1)
z f ( x, y)
atau fungsi eksplisit
(5.8.2)
Vektor normal nˆ pada permukaan lengkung tersebut diberikan oleh
nˆ
g g
(5.8.3)
Selanjutnya, suatu diferensial permukaan dAs diproyeksikan pada bidang XY dengan menggunakan
nˆ . kˆ dAs dA
(5.8.4)
g z nˆ . kˆ dAs cos g 2 g 2 g 2 ( ) ( ) ( ) x y z
dalam mana
Z
(5.8.5)
kˆ
F
nˆ
As
dAs
Y
A
dA
X
Gambar 5.8.1: Integrasi Permukaan Integrasi permukaan dari F untuk As didefinisikan dalam bentuk
F . d A
s
(5.8.6)
d As nˆ dAs
(5.8.7)
As
yang dengan mengingat
dapat dituliskan sebagai
F . d A F . nˆ dA s
As
s
As
105
(5.8.8)
dan yang selanjutnya dapat dirobah menjadi integrasi permukaan dalam daerah proyeksi A pada bidang datar XY dengan bantuan Pers. (5.8.5), dalam mana
dAs dAsec
(
g 2 g 2 g 2 ) ( ) ( ) z y x dA g z
(5.8.9)
Khusus untuk bentuk fungsi eksplisit dalam Pers. (5.8.2), diperoleh
g f g f g ; ; 1 x x y y z sehingga
5.9
dAs 1 (
f 2 f 2 ) ( ) dA x y
(5.8.10)
(5.8.11)
Teorema Divergensi Divergensi suatu vektor yang telah didefinisikan dalam Pasal 5.4, yaitu
div F . F
Fx Fy Fz y z x
(5.9.1)
merupakan bentuk operasi yang sangat penting dalam disiplin ilmu terapan. Berdasarkan hal ini, kita akan menyusun suatu teorema yang didasarkan atas teorema divergensi, serta yang dapat digunakan untuk merobah integrasi permukaan menjadi integrasi volume dan sebaliknya. Sebagai contoh, kerja yang dilakukan oleh gaya traksi permukaan (surface traction forces) terdistribusi dinyatakan dalam bentuk integrasi permukaan, sedangkan kerja yang dilakukan oleh gaya badan (body forces) terdistribusi dinyatakan dalam bentuk integrasi volume. Kedua integrasi tersebut dapat dituangkan dalam bentuk integrasi yang sama (integrasi permukaan atau volume) dengan merobah bentuk salah satu integrasi. Untuk lebih memaknai hakekat fisisnya, maka tanpa mengurangi keabsahannya yang umum, kita meninjau suatu aliran fluida dengan mengamatinya dalam suatu volume (control volume) V yang dibatasi permukaan (control surface) S . Kecepatan aliran dinyatakan dengan F sehingga vektor laju aliran menjadi Q F dengan
Q iˆQx ˆjQy kˆQz
(5.9.2)
Melalui suatu diferensial volume dV dx dy dz pada titik ( x, y, z) , diperoleh laju yang keluar sebesar 106
dQ (
Qx Qy Qz )dx dy dz ( . Q)dV z y x
(5.9.3)
Bentuk dalam persamaan di atas juga dapat dipandang sebagai pengurangan massa fluida per satuan volume, sehingga
.Q . ( F ) yang demi kekekalan massa, berlaku
.Q atau
.Q
(5.9.4)
t
(5.9.5)
0 t
(5.9.6)
Untuk kasus fluida yang tak mampu mampat (incompressible fluid), / t 0 sehingga bagi kasus semacam ini, diperoleh
.Q . F 0
(5.9.7)
yang mengindikasikan bahwa divergensi vektor kecepatan fluida yang tidak mampu mampat adalah nol. Sekarang kita memisalkan bahwa ada fluida yang masuk ke dalam dan keluar dari
satuan volume dV dx dy dz sebesar d . F dV, sehingga total menjadi
. F dV
(5.9.8)
V
Jika fluida dikonservasi, maka harus ada aliran keluar lewat permukaan S sebesar
F . d A F . nˆ dA S
(5.9.9)
S
Dengan demikian, untuk konservasi fluida, Pers. (5.9.8) dan (5.9.9) memberikan
. F dV F . nˆ dA V
(5.9.10)
S
yang dikenal sebagai teorema divergensi Gauss. Teorema ini secara operasional dapat diterapkan untuk merobah integrasi volume menjadi integrasi permukaan atau sebaliknya. Bentuk integral pada ruas kanan Pers. (5.9.10), yaitu
F . nˆ dA S
107
(5.9.11)
kerap dinamakan fluks (flux) dari pada F melalui permukaan A. Dengan demikian, Pers. (5.9.11) mengandung implikasi bahwa fluks dari suatu vektor melalui suatu permukaan, merupakan pengukur dari pada divergensi vektor tersebut dalam volume. Selanjutnya, jika F memiliki sifat bahwa
. F 0
(5.9.12)
F . nˆ dA 0
maka
(5.9.13)
S
Untuk kasus dua dimensi, teorema divergensi dalam Pers. (5.9.10) menciut menjadi
. F dA F . nˆ ds A
(5.9.14)
C
yang dinamakan teorema Stokes, di mana nˆ adalah vektor satuan yang berarah normal terhadap kurva C , yang diberikan oleh
dy nˆ iˆ ds
ˆj dx ds
(5.9.15)
Dengan demikian, Pers. (5.9.14) menjadi
( x Fx
A
Fy y
)dx dy ( P dy Q dx)
(5.9.16)
C
yang dinamakan teorema Green untuk kasus bidang. Bentuk umum dari teorema ini diberikan dalam paparan pasal berikut ini. 5.10 Teorema Green Teotera Green memiliki bentuk-bentuk yang bervariasi seperti akan disajikan dalam bahasan berikut ini. Pertama, untuk
F 12
(5.10.1)
teorema divergensi dalam Pers.(5.9.10) memberikan
. ( ) dV nˆ . ( ) dA 1
2
1
V
atau
{ 2
1
V
2
A
2
(1 ) . (2 ) } dV nˆ . (12 ) dA A
108
(5.10.2)
teorema Green dapat diperoleh dari Pers. (5.10.2) dengan mempertukarkan 1 dan 2
yang merupakan bentuk varian pertama dari teorema Green. Suatu versi lain dari serta memperkurangkan bentuk yang diperoleh dengan bentuk awal, sehingga diperoleh
{ 2
1
2
V
2 21 } dV nˆ . (12 21 ) dA
(5.10.3)
A
yang merupakan bentuk varian kedua dari teorema Green.
Dalam bentuk-bentuk persamaan di atas, 1 dan 2 merupakan fungsi skalar
yang minimal dapat dideferensir dua kali dalam batas volume. Untuk 1 = 2 = , Pers. (5.10.2) memberikan
{ ( ) 2
2
V
} dV nˆ . dA
(5.10.4)
A
dalam mana ( ) 2 ( ) . ( ) dan nˆ . adalah turunan dari pada arah nˆ , yang dapat dituliskan dalam bentuk
nˆ .
n
(5.10.5)
Dengan demikian, bentuk Pers. (5.10.4) menjadi
{ ( ) 2
V
2
} dV A
dA n
(5.10.6)
Suatu versi yang paling sederhana dari teorema Green dapat diperoleh dengan
memasukkan 1 dan 2 1 dalam Pers. (5.10.3), sehingga dalam hal ini ( ) 2 0 dan 2 0, dan bentuk persamaan menjadi
dV 2
V
A
dA n
(5.10.7)
5.11 Persamaan Laplace Jika kita simak, curl dari suatu vektor merupakan vektor lain yang tegak lurus terhadap vektor dan gradien. Untuk kasus dalam mana aliran fluida hanya berupa rotasi, suatu vektor F dapat dituliskan dalam bentuk
F r
(5.11.1)
. F . ( r ) r . ( ) . ( r )
(5.11.2)
di mana adalah kecepatan rotasional fluida dan r vektor posisi. Oleh karena itu diperoleh Untuk konstan, diperoleh
109
. F 0 dan selain itu,
(5.11.3)
F ( r ) . (. r ) ( . ) r
atau
F 2
(5.11.4)
Jadi, untuk fluida yang bergerak dengan kecepatan rotasi yang konstan, divergensi dari kecepatan adalah nol, dan curl dari kecepatan bernilai dua kali kecepatan rotasional. Untuk kasus di mana
F 0
(5.11.5)
gerakan fluida dikatakan irrotasional. Selanjutnya, untuk gerak fluida yang irrotasional dan tak mampu mampat, dan selain itu tidak ada aliran yang masuk maupun keluar dari control volume, diperoleh
F 0; . F 0
(5.11.6)
2 0
(5.11.7)
dan juga diperoleh
atau
2
2 2 2 0 x2 y2 z2
(5.11.8)
yang dinamakan persamaan Laplace. Berkenaan dengan ini, dapat dituliskan pernyataan sebagai berikut. Jika suatu vektor F adalah diferensiabel dalam suatu daerah sederhana , dengan divergensi dan curl yang bernilai nol dalam daerah tersebut,
(5.11.9)
maka vektor F merupakan gradien dari pada solusi persamaan Laplace. Fungsi-fungsi yang memenuhi persamaan Laplace dalam Pers. (5.11.8) dinamakan fungsi-fungsi harmonik (harmonic functions). 5.12 Teorema Stokes Sepintas lalu, teorema Stokes telah diturunkan dalam Pasal 5.9 yang lalu. Teorema ini menyatakan bahwa jika kita mempunyai suatu vektor F pada permukaan A yang dibatasi oleh kurva C , maka fluks dari curl F dalam A bernilai sama dengan sirkulasi dari F pada C . Dalam rumus, 110
nˆ . ( F ) dA F . d r A
(5.12.1)
C
Teorema Stokes dapat digunakan untuk merobah integrasi permukaan menjadi integrasi garis dan sebaliknya. Dalam terapan, sering dihadapi situasi di mana salah satu bentuk integrasi menjadi lebih sederhana untuk diselesaikan ketimbang bentuk lainnya yang setara. 5.13 Contoh Penerapan Contoh 5.1: Hitunglah luas permukaan lengkung ellips
( x / a ) 2 ( y / b) 2 1 Penyelesaian:
Dari fungsi permukaan ellips, kita dapat memperoleh bahwa P y dan Q x, sehingga kita dapat menuliskan bentuk integrasi dalam Pers. (5.9.16) dalam bentuk
A ( x dy y dx) C
Selanjutnya, kita menggunakan transformasi koordinat dalam bentuk
x a cos ;
y b sin ;
0 2
A ( x dy y dx) ab(cos 2 sin 2 ) d 2 ab
sehingga
2
0
C
Contoh 5.2: Hitunglah integrasi permukaan dari vektor fungsi
F xiˆ y ˆj atas bagian permukaan dari bola
S:
x2 y2 z2 1;
z0
Penyelesaian: Dari fungsi permukaan ellips, kita dapat memperoleh bahwa
nˆ xiˆ y ˆj z kˆ dan
nˆ . kˆ ( xiˆ y ˆj z kˆ) . kˆ z Dengan demikian,
dA
dx dy z
111
dan integrasi permukaan menjadi
2 2 F . d A ( x y ) S
D
dx dy 4 z 3
Contoh 5.3: Dengan menggunakan teorema Stokes, hitunglah integrasi
I [(e x yz) dx (e y xz 2 x)dy e z dz] 2
2
2
C
di mana C adalah lingkaran dengan
x cos ;
y sin ;
z 2; 0 2
Penyelesaian: Kita melihat bahwa
V xiˆ y ˆj (2 2 z) kˆ Selanjutnya, karena kita mengambil S sebagai permukaan yang dibatasi C pada
bidang z 2, maka nˆ kˆ sehingga
nˆ .V kˆ .[ xiˆ y ˆj (2 2 z) kˆ] 4 pada S sehingga
I 4 d 4 S
5.14 Rangkuman Dalam bab ini telah dibahas kalkulus dari vektor dengan komponen-komponen yang merupakan fungsi. Pertama, diferensiasi vektor didefinisikan dan operasi-operasi turunan vektor juga diberikan. Kemudian gradien vektor fungsi serta turunan berarah juga dibahas. Bahasan kemudian dilanjutkan dengan pendefinisian beberapa operator, antara lain operator del dan curl. Berikutnya disajikan beberapa konsep yang berkaitan dengan kalkulus vektor, antara lain integrasi garis, integrasi garis bebas tapak, teorema kerja, integrasi permukaan, teorema divergensi, teorema Green, teorepa Laplace dan teorema Stokes. 5.15 Soal-soal Soal 5.1: Jika F merupakan fungsi dari pada t maka tentukanlah turunan dari pada bentuk berikut
F.
dF d2F 2 dt dt 112
Soal 5.2: Untuk masing-masing fungsi vektor berikut,
(a ) F 2 xyz 3 iˆ ( x2 z3 2 y) ˆj 3x2 yz 2 kˆ (b) F 2 xy iˆ ( x2 2 yz) ˆj ( y2 1)kˆ tentukan apakah persamaan
F memiliki solusi. Tentukanlah solusi itu jika memang ada. Soal 5.3: Jika r merupakan vektor posisi dari titik cirian ( x, y, z) , maka tunjukkanlah bahwa
(a )
r . nˆ d 3V
x r . nˆ d 4V x S
(b)
S
di mana V adalah volume yang dicakup oleh S dan x absis dari pada pusat gravitasi. Soal 5.4: Jika S merupakan sebagian permukaan yang dinyatakan oleh z f ( x, y) , maka tunjukkanlah bahwa vektor normal satuan nˆ yang mengarah ke z positif dari S diberikan oleh
nˆ
(f / x) iˆ (f / y) ˆj kˆ 1 (f / x) 2 (f / y) 2
Soal 5.5: Jika S merupakan permukaan terbuka yang dibatasi oleh kurva tertutup sederhana C , maka lakukanlah hal berikut ini. (a) Susunlah hubungan
d d r S
C
dalam koordinat Cartesius dengan cara menerapkan teorema Stokes. (b) Tunjukkanlah bahwa
1
C
2
. d r 2 1 . d r C
113
114
BAB VI OPERATOR TURUNAN DALAM KOORDINAT KURVILINIER 6.1
Umum
Sistem koordinat digunakan untuk menyatakan posisi titik bermateri ataupun kurva fungsi dalam ruang. Sebagai mana kita ketahui, tersedia berbagai macam sistem koordinat yang dapat digunakan, pemilihannya disesuaikan dengan pernyataan yang dihadapi, sedemikian hingga pilihan tersebut mempermudah dan menyederhanakan penulisan. Sebagai contoh, lingkaran lebih mudah diformulasikan dengan menggunakan sistem koordinat polar, persegi panjang dengan sistem koordinat Cartesius, dan lain sebagainya. Dalam bab terdahulu, kita telah menurunkan berbagai operasi kalkulus vektor yang dituliskan dalam bentuk-bentuk yang menggunakan sistem koordinat Cartesius. Namun, problem rekayasa yang dihadapi kerap menggunakan sistem koordinat yang lain. Dengan demikian, dihadapi kebutuhan akan penulisan operator-operator dalam tata sumbu yang lain dari pada tata sumbu Cartesius. Oleh karena itu, untuk menjawab kebutuhan tersebut, kita akan menuliskan operator-operator dalam tata sumbu kurvilinier sebagai formulasi dasar. Bentuk-bentuk operator dalam masing-masing tata sumbu merupakan sub-kasus dari pada tata sumbu kurvilinier. Bab ini membahas sistem koordinat kurvilinier, dilanjutkan dengan perumusan operator-operator dalam tata sumbu ini. Kemudian, secara berturutan dibahas rumusrumus operator dalam beberapa tata sumbu, antara lain dalam tata sumbu Cartesius, tata sumbu tabung dan tata sumbu bola. 6.2
Rumusan Koordinat Kurvilinier Gambar 6.2.1 memperlihatkan suatu tata sumbu Cartesius ( X, Y, Z ) yang relatif
terhadapnya dinyatakan suatu sistem koordinat kurvilinier (u1 , u2 , u3 ) yang saling orthogonal,
x x(u1 , u2 , u3 ) ; y y(u1 , u2 , u3 ) ; z z(u1 , u2 , u3 )
(6.2.1)
Jika sistem koordinat ( x, y, z) berkorespondensi satu-satu dengan (u1 , u2 , u3 ) , maka hubungan sebaliknya juga dapat dituliskan dalam bentuk
u1 u1 ( x, y, z) ; u2 u2 ( x, y, z) ; u3 u3 ( x, y, z)
(6.2.2)
Suatu titik bermateri cirian P ( x, y, z) dinyatakan dengan vektor posisi r ( x, y, z) dalam format 115
Z
s3
uˆ3
uˆ2
s2 uˆ1
P ( x, y, z)
r z
s1
Y
O
X
x
y
Gambar 6.2.1: Sistem Koordinat Kurvilinier
r xiˆ y ˆj z kˆ maka diperoleh
dr
r r r du3 du2 du1 u1 u2 u3
(6.2.3)
(6.2.4)
Perhatikan bahwa ( r / ui ; i 1,3) merupakan vektor tangensial terhadap (ui ; i 1,3) yang masing-masing diberikan oleh
r dsi r ; i 1,3 Ti s i dui ui
(6.2.5)
dalam mana s i adalah panjang kurva di arah u i , sehingga r / si adalah vektor satuan di arah u i yang dituliskan dalam notasi
r uˆi ; i 1,3 si Jika dituliskan
dsi r hi dui ui 116
(6.2.6)
(6.2.7)
maka bentuk dalam Pers. (6.2.4) menjadi
d r T1 du1 T 2 du2 T 3 du3
(6.2.8)
yang sekaligus memberikan
ds 2 d r . d r T1 .T1 du12 T 2 . T 2 du22 T 3 . T 3 du32
(6.2.9)
Mengingat bentuk Pers. (6.2.5) dan (6.2.7), maka Pers. (6.2.9) menjadi
ds 2 h12 du12 h22 du22 h32 du32
(6.2.10)
Mengingat Pers. (6.2.2), diferensial dui dapat dituliskan dalam bentuk
dui
u u ui dx i dy i dz ; i 1,3 z y x
(6.2.11)
dalam mana turunan-turunan parsial pada ruas kanan dapat disusun dengan menggunakan bentuk dalam Pers. (6.2.2). 6.3
Panjang Kurva, Luas Permukaan dan Volume
Bentuk-bentuk dalam Pasal 6.2 dapat digunakan untuk menyusun formulasi panjang kurva, luas permukaan dan volume. Untuk menghitung panjang kurva, kita dapat menggunakan satu parameter, katakanlah t , yang ditanam pada kurva tersebut sedemikian hingga
ui ui (t ) ; i 1,3
(6.3.1)
dan karenanya dari Pers. (6.2.10) dapat diperoleh
ds h12 (
u u1 2 u ) h22 ( 2 ) 2 h32 ( 3 ) 2 t t t
(6.3.2)
Panjang kurva dari titik awal A(t a ) hingga titik akhir B(tb ) dengan demikian dapat dihitung dengan rumus dalam Pers. (6.3.2), yaitu
La b ds h12 ( tb
S
ta
u u1 2 u ) h22 ( 2 ) 2 h32 ( 3 ) 2 dt t t t
(6.3.3)
Diferensial luas permukaan dA1 , dA2 dan dA3 pada masing-masing permukaan
(u2 , u3 ), (u3 , u1 ) dan (u1 , u2 ) diberikan oleh 117
dA1 dA2 dA3
r r du 2 du3 h2 h3 du 2 du3 u 2 u3 r r du3 du1 h3 h1 du3 du1 u3 u1
(6.3.4)
r r du1 du 2 h1 h2 du1 du 2 u1 u 2
yang dapat diintegrasikan untuk menghitung luas permukaan. Volume dapat dihitung dengan menggunakan diferensial volume
dV (T1 du1 ) (T 2 du2 ) . (T 3 du3 ) yang dengan mengingat rumus-rumus perkalian skalar dan silang vektor-vektor, memberikan
dV h1 h2 h3 du1 du2 du3
(6.3.5)
yang dapat diintegrasikan untuk menentukan volume. 6.4
Operator Gradien
Dalam bahasan berikut ini kita akan menurunkan bentuk operator gradien dalam sistem koordinat kuvilinier. Kita mengetahui bahwa gradien dari pada suatu fungsi skalar f diberikan oleh
df (f ) . d r
(6.4.1)
yang juga dapat dituliskan dalam bentuk
df
f f f du3 du2 du1 u2 u2 u1
(6.4.2)
Di lain fihak, f adalah besaran vektor yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi dari pada (u1 , u2 , u3 ) dalam bentuk
f 1 uˆ1 2 uˆ2 3 uˆ3
(6.4.3)
sementara Pers. (6.2.4) memberikan
d r uˆ1 h1 du1 uˆ2 h2 du2 uˆ3 h3 du3 sehingga Pers. (6.4.1) dapat dirobah menjadi
118
(6.4.4)
df 1 h1 du1 2 h2 du2 3 h3 du3
(6.4.5)
Perbandingan bentuk dalam Pers. (6.4.2) dan (6.4.5) memberikan hubungan
i
1 f ; i 1,3 hi ui
(6.4.6)
Substitusi bentuk ini dalam Pers. (6.4.3) menghasilkan
f
1 f 1 f 1 f uˆ1 uˆ2 uˆ3 h1 u1 h2 u2 h3 u3
(6.4.7)
Dengan demikian, operator gradien dalam sistem koordinat kurvilinier (u1 , u2 , u3 ) mengambil bentuk
uˆ uˆ1 uˆ2 3 h1 u1 h2 u2 h3 u3
(6.4.8)
Berbeda dengan bentuk operator gradient yang telah kita temukan untuk sistem koordinat Cartesius dan tuliskan dalam format
iˆ ˆj kˆ x y z
(6.4.9)
dengan vektor (iˆ, ˆj, kˆ) yang memiliki besar (satu satuan) dan arah yang tetap, maka dalam koordinat kurvilinier, (uˆ1 , uˆ2 , uˆ3 ) memiliki besar (satu satuan) yang tetap namun arah yang berobah. Dengan demikian, operator gradient dalam Pers. (6.4.8) memiliki vektor dasar (base vectors) yang berobah sesuai dengan lokasi pada sistem koordinat kurvilinier. 6.5
Operator Laplace
Berikut ini, kita akan menurunkan bentuk dari operator Laplace yang paling umum, yaitu dalam sistem koordinat kurvilinier. Penuangan bentuk operator Laplace dalam beberapa sistem koordinat, akan diberikan dalam pasal-pasal tersendiri. Untuk memulai, kita menuliskan vektor cirian dalam tata sumbu kurvilinier, yaitu
F F1 uˆ1 F2 uˆ2 F3 uˆ3
(6.5.1)
. F . ( F1 uˆ1 ) . ( F2 uˆ2 ) . ( F3 uˆ3 )
(6.5.2)
sehingga diperoleh
119
Untuk memproses bentuk-bentuk dalam ruas kanan persamaan di atas, kita melakukan proses manipulasi sebagai berikut. Pertama, dari Pers. (6.4.8) diperoleh
ui dan
uˆi ; i 1,3 hi
(6.5.3)
uˆ ( i ) 0 ; i 1,3 hi
(6.5.4)
Kemudian, juga dapat dituliskan hubungan
.(
uˆ1 ) 0 ; h2 h3
.(
uˆ2 ) 0 ; h3h1
.(
uˆ3 ) 0 h1h2
(6.5.5)
Dengan menggunakan bentuk-bentuk di atas, kita dapat menyusun hubungan
. ( F1uˆ1 ) .[(h2 h3 F1 )( atau umumnya,
. ( F1uˆ1 ) . ( F2uˆ 2 ) . ( F3uˆ3 )
1 uˆ1 (h2 h3 F1 ) ) h2 h3 h1h2 h3 u1
(6.5.6)
1 (h2 h3 F1 ) h1h2 h3 u1
1 (h3 h1 F2 ) h1h2 h3 u 2
(6.5.7)
1 (h1h2 F3 ) h1h2 h3 u3
Karena itu, bentuk dalam Pers. (6.2.2) dapat dituliskan sebagai
. F
1 [ (h2 h3 F1 ) (h3h1 F2 ) (h1h2 F3 ) ] h1h2 h3 u1 u3 u2
(6.5.8)
Jika dalam persamaan di atas kita mengambil vektor F sebagai gradien dari suatu fungsi skalar f , maka
F f
sehingga menurut Pers. (6.4.8) dan (6.5.1),
Fi
1 f ; i 1,3 hi ui
(6.5.9)
(6.5.10)
yang merobah bentuk Pers. (6.5.8) menjadi
. f 2 f
1 h1h2 f h3h1 f h2 h3 f [ ( ) ( ) ( )] h1h2 h3 u1 h1 u1 u2 h2 u2 u3 h3 u3
120
(6.5.11)
Dengan demikian, operator Laplace dalam sistem koordinat kurvilinier mengambil bentuk sebagai
2 6.6
h1h2 h3h1 h2 h3 1 [ ( ) ( ) ( )] h1h2 h3 u1 h1 u1 u2 h2 u2 u3 h3 u3
(6.5.12)
Operator Curl
Dalam bahasan terdahulu, curl dari pada suatu medan vektor F didefinsikan sebagai (6.6.1) curl F F yang dengan mengingat bentuk Pers. (6.5.1), dapat dirobah menjadi
F ( F1 uˆ1 ) ( F2 uˆ2 ) ( F3 uˆ3 )
(6.6.2)
Suku-suku ruas kanan dapat diproses dengan cara
uˆ uˆ uˆ ( F1uˆ1 ) [(h1 F1 )( 1 ) ( 1 ) (h1 F1 ) (h1 F1 ) ( 1 ) h1 h1 h1 atau
uˆ ( Fi uˆi ) ( i ) (hi Fi ) ; hi
i 1,3
(6.6.3)
di mana rumus dalam Pers. (6.5.4) telah diterapkan. Perhatikan juga bahwa
uˆ uˆ 1 uˆ 3 ] ( 1) [ 2 h1 h1 h2 u2 h3 u3
sehingga
( F1uˆ1 ) ( F2uˆ2 ) ( F3uˆ3 )
(6.6.4)
1 h3 uˆ3 [h2 uˆ2 ] u3 u2 h1h2 h3 1 h1 uˆ1 [h3 uˆ3 ] u1 u3 h1h2 h3
(6.6.5)
1 h2 uˆ2 [h1 uˆ1 ] u1 u2 h1h2 h3
Substitusi bentuk dalam Pers. (6.6.5) dalam Pers. (6.6.2) menghasilkan
F
h1uˆ1
1 h1h2 h3 u1
h1 F1 121
h2uˆ 2
h3uˆ3
u2
u3
h2 F2
h3 F3
(6.6.6)
Sejauh ini kita telah merampungkan formulasi operator gradien, Laplace dan curl dalam sistem koordinat kurvilinier. Operator-operator ini akan dituangkan dalam beberapa sistem koordinat yang paling kerap digunakan, yaitu sistem koordinat Cartesius, tabung dan bola. 6.7
Operator Dalam Koordinat Cartesius
Dalam sistem koordinat Cartesius ini, sebagai mana diperlihatkan dalam Gambar 6.7.1, digunakan
u1 x;
dan
u 2 y;
u3 z
(6.7.1)
u3 z uˆ1 iˆ ; uˆ 2 ˆj ; uˆ3 kˆ ; u2 y
; u1 x
(6.7.2)
Z
z kˆ P ( x, y, z)
ˆj
y
iˆ
r
Y x X Gambar 6.7.1: Sistem Koordinat Cartesius Vektor posisi r diberikan oleh
sehingga
yang memberikan
r x iˆ y ˆj z kˆ
(6.7.3)
d r dx iˆ dy ˆj dz kˆ
(6.7.4)
ds 2 dx2 dy2 dz2
(6.7.5)
122
Jika bentuk di atas dibandingkan dengan bentuk dalam Pers. (6.2.10), maka disimpulkan bahwa
h1 1;
h2 1;
h3 1
(6.7.6)
yang menyiratkan bahwa tata sumbu Cartesius memiliki sifat sistem koordinat tanpa distorsi. Operator gradien dalam tata sumbu ini menjadi
iˆ ˆj kˆ x y z
(6.7.7)
Operator Laplace untuk sistem koordinat Cartesius dapat diperoleh dari Pers.
(6.5.12) dengan memasukkan nilai-nilai hi ; i 1,3 dalam Pers. (6.7.6); hasilnya adalah
2 2 2 2 2 2 z y x 2
(6.7.8)
Operator curl dapat diperoleh dari Pers. (6.6.6) dengan memasukkan nilai-nilai
hi ; i 1,3 dalam Pers. (6.7.6); hasilnya adalah
iˆ F x Fx
6.8
ˆj y Fy
kˆ z Fz
(6.7.9)
Operator Dalam Koordinat Tabung
Dalam sistem koordinat tabung ini, sebagai mana diperlihatkan dalam Gambar 6.8.1, digunakan
u1 r ; dan
x r cos ;
u2 ;
u3 z
y r sin ;
z z
(6.8.1) (6.8.2)
Vektor posisi r diberikan oleh
sehingga
r x iˆ y ˆj z kˆ
(6.8.3)
d r dx iˆ dy ˆj dz kˆ
(6.8.4)
123
yang memberikan
Dengan demikian,
dx dr cos d r sin
dy dr sin d r cos
(6.8.5)
ds 2 dr 2 r 2 d 2 dz2
(6.8.6)
dz dz
z
P (r , , z)
uˆ
uˆ z uˆr
r
z
O
Gambar 6.8.1: Sistem Koordinat Tabung Jika bentuk di atas dibandingkan dengan bentuk dalam Pers. (6.2.10), maka disimpulkan bahwa
h1 1;
h2 r ;
h3 1
(6.8.7)
Selanjutnya, dengan (uˆr , uˆ , uˆ z ) sebagai vektor satuan di arah (r , , z) maka operator gradien untuk sistem koordinat tabung menjadi
uˆr di mana
1 uˆ uˆ z r r z
uˆr iˆ cos ˆj sin uˆ iˆ sin ˆj cos uˆ z kˆ
124
(6.8.8)
(6.8.9)
Diferensial luas permukaan dan volume diberikan dalam bentuk
dA r dr d
dV r dr d dz
(6.8.10)
Operator Laplace untuk sistem koordinat tabung dapat diperoleh dari Pers. (6.5.12)
dengan memasukkan nilai-nilai hi ; i 1,3 dalam Pers. (6.8.7); hasilnya adalah
1 1 2 2 (r ) 2 r 2 z2 r r r 2
(6.8.11)
Operator curl dapat diperoleh dari Pers. (6.6.6) dengan memasukkan nilai-nilai
hi ; i 1,3 dalam Pers. (6.8.7); hasilnya adalah
F
6.9
uˆr
r Fr
r uˆ
rFr
uˆ z
z Fz
(6.8.12)
Operator Dalam Koordinat Bola
Dalam sistem koordinat bola ini, sebagai mana diperlihatkan dalam Gambar 6.9.1, digunakan parameter (r , , ) dengan hubungan transformatif terhadap ( x, y, z) dalam bentuk
x r cos cos ;
y r sin cos ;
z r sin
(6.9.1)
Vektor posisi r diberikan oleh
r iˆr cos cos ˆj r sin cos kˆ r sin sehingga
d r dx iˆ dy ˆj dz kˆ
yang memberikan
dx dr cos cos d r sin cos d r cos sin dy dr sin cos d r cos cos d r sin sin dz dr sin d r cos Dengan demikian, 125
(6.9.2)
(6.9.3)
ds 2 dr 2 r 2 cos 2 d 2 r 2 d 2
(6.9.4)
Jika bentuk di atas dibandingkan dengan bentuk dalam Pers. (6.2.10), maka disimpulkan bahwa
h1 1;
h2 r cos ; Z
h3 r
(6.9.5)
uˆr
uˆ P (r , , )
r
uˆ
r
X
z
y
x
Y
Gambar 6.9.1: Sistem Koordinat Bola Diferensial luas permukaan dan volume diberikan dalam bentuk
dA h2 h3 dr d r 2 cos dr d
dV h1h2 h3 dr d d r 2 cos dr d d
(6.9.6)
Selanjutnya, dengan (uˆr , uˆ , uˆ ) sebagai vektor satuan di arah (r , , ) maka operator gradien untuk sistem koordinat tabung menjadi
uˆr di mana
1 1 uˆ uˆ r r cos r
uˆr iˆ cos cos ˆj sin cos kˆ sin uˆ iˆ sin ˆj cos
uˆ iˆ cos sin ˆj sin sin kˆ cos 126
(6.9.7)
(6.9.8)
Operator Laplace untuk sistem koordinat tabung dapat diperoleh dari Pers.
(6.5.12) dengan memasukkan nilai-nilai hi ; i 1,3 dalam Pers. (6.9.5); hasilnya adalah
2
2 1 2 1 1 2 r (sin ) ( ) 2 2 2 2 r r r r cos r cos
(6.9.9)
Operator curl dapat diperoleh dari Pers. (6.6.6) dengan memasukkan nilai-nilai
hi ; i 1,3 dalam Pers. (6.9.5); hasilnya adalah
F
uˆr
r Fr
r cos uˆ
r cos Fr
r uˆ
rF
(6.9.10)
6.10 Rangkuman Bab ini telah membahas formulasi fungsi berparameter dalam sistem koordinat kurvilinier ortonormal. Konsep-konsep dasar dipaparkan dan dilanjutkan dengan penerapan dalam beberapa aspek, antara lain geometri yang mencakup panjang kurva, luas permukaan lengkung dan volume benda pejal. Bahasan dilanjutkan dengan perumusan dasar operator-operator turunan dalam sistem koordinat kurvilinier, antara lain operator gradien, operator curl dan operator Laplace. Berdasarkan perumusan dasar tersebut, bentuk-bentuk operator dalam beberapa sistem koordinat, kemudian dituliskan, antara lain dalam koordinat Cartesius, koordinat tabung dan koordinat bola.
127
128
BAB VII GARIS, KURVA DAN LINTASAN DALAM VEKTOR 7.1
Umum
Teorema vektor telah dibahas dalam Bab IV, dilanjutkan dengan kalkulus vektor dalam Bab V. Bahasan dalam Bab IV menerangkan definisi dan teorema dasar mengenai vektor, sementara bahasan dalam Bab V menerangkan operasi-operasi atas fungsi yang dinyatakan dalam notasi vektor. Kemudian, operator-operator yang telah dibahas dalam Bab V, dituliskan dalam sistem koordinat kurvilinier dalam Bab VI untuk mendapatkan bentuk-bentuk operator yang paling umum, dan yang setelah itu dituliskan dalam sistem-sistem koordinat yang paling sering digunakan, yaitu sistem koordinat Cartesius, tabung dan bola. Bab ini membahas penerapan dari teorema vektor dalam berbagai aspek. Pertama, penerapan dalam problem lintasan diberikan dalam Pasal 7.2. Bahasan mencakup lintasan, kecepatan dan percepatan dari suatu gerakan yang dituliskan dalam notasi vektor. Kemudian, penerapan dalam penjabaran geometri diberikan dalam pasalpasal berikutnya. Bahasan mencakup panjang garis lurus atau garis kurva, permukaan lengkung dan volume. 7.2
Kurva Lintasan Jika t dalam perumusan Pasal 5.2 mereferensikan waktu, maka kurva C menjadi
lintasan, dan d r / dt menjadi kecepatan, yang diberikan oleh Pers. (5.2.2) sebagai
dr v vtˆ dt
(7.2.1)
di mana v adalah magnitudo kecepatan dan tˆ vektor satuan yang berarah tangensial terhadap lintasan C . Persamaan (7.2.1) selanjutnya dapat diturunkan lagi terhadap t untuk memberikan percepatan yang dinyatakan dengan a , dalam rumus
a
d 2 r dv ˆ d 2s dtˆ t ( 2 ) (v 2 ) 2 dt ds dt dt
(7.2.2)
atau
a
v2
nˆ
dv ˆ dr t ; v dt dt
(7.2.3)
di mana nˆ merupakan vektor satuan yang berarah normal terhadap lintasan, radius kelengkungan dari kurva lintasan. Perhatikan bahwa v memiliki komponen-komponen pada sumbu-sumbu koordinat sebagai mana dituliskan dalam Pers. (5.2.1). 129
7.3
Geometri Garis Kurva Dalam Ruang
Andaikanlah dihadapi kurva C dalam ruang, dengan titik cirian P yang dinyatakan adalah koordinat
x x(t ) ; y y(t ) ; z z(t )
(7.3.1)
seperti dalam Gambar 7.3.1. Dengan demikian, P dinyatakan dengan
Px(t ), y(t ), z(t ) P (t )
(7.3.2)
Qx(t t ), y(t t ), z(t ) Q(t t )
(7.3.3)
untuk t t , ditemukan titik Q dalam kurva, dengan
Jika titik P dinyatakan oleh suatu vektor posisi r , yaitu
r iˆ x(t ) ˆj y(t ) kˆ z(t )
(7.3.4)
dan titik Q dengan vector posisi r r ,
r r iˆ ( x x) ˆj ( y y) k( z z)
(7.3.5)
maka diperoleh pertambahan vektor posisi
r iˆ x ˆjy) kz)
(7.3.6)
dengan laju perobahan terhadap t sebesar
r ˆ x ˆ y ˆ z i j k t t t t
(7.3.7)
Dalam rumus-rumus di atas, t adalah parameter sembarang yang digunakan untuk mendeskripsikan tahapan dari formulasi; misalnya gaya, t merupakan waktu. Untuk menuangkan formulasi di atas di dalam telaah geometri, kita menggunakan parameter s yang menyatakan panjang kurva. Dalam hal ini, Pers. (7.3.6) memberikan
r ˆ x i t s
ˆj y kˆ z s s t s
(7.3.8)
d r ˆ dx i dt ds
ˆj dy kˆ dz ds ds ds dt
(7.3.9)
yang dalam kondisi limit untuk t 0, memberikan
yang merupakan vektor tangensial terhadap kurva c pada titik P . Jika pada arah vektor ini diambil suatu vektor satuan tˆ , maka dari Pers. (7.3.8) diperoleh 130
d r ˆ dx tˆ i ds ds
ˆj dy kˆ dz ds ds
(7.3.10)
di mana
ds (dx) 2 (dy) 2 (dz) 2
(7.3.11)
ds (
(7.3.12)
atau
dx 2 dy 2 dz 2 ) ( ) ( ) dt dt dt dt Q( x x, y y, z z)
Z
r r
P ( x, y, z) r Y
X
Gambar 7.3.1: Geometri Kurva Ruang Dengan demikian, dari Pers. (7.3.9) dan (7.310) diperoleh
d r ˆ ds t dt dt
(7.3.13)
yang jika didiferensiasikan sekali lagi terhadap t , diperoleh
d2 d 2 s ˆ ds dtˆ r t . dt 2 dt 2 dt dtˆ
(7.3.14)
dalam mana
dtˆ dtˆ ds ˆ d 2 x . i dt ds dtˆ ds 2 131
2 2 ˆj d y kˆ d z ds ds 2 ds 2 dt
(7.3.15)
Vektor dtˆ / ds dalam Pers. (7.3.15) berarah tegak lurus terhadap tˆ , dan dalam hal ini dinyatakan dengan vektor satuan normal rˆ , di mana
dtˆ 1 nˆ ds
(7.3.16)
dengan besaran yang merupakan radius kelengkungan kurva, yang diberikan oleh
1
(
d 2x 2 d2y 2 d 2z 2 ) ( ) ( ) ds 2 ds 2 ds 2
(7.3.17)
Dalam hal ini, Pers. (7.3.15) menjadi
dtˆ 1 ds 2 d 2 s ˆ nˆ ( ) ( 2 ) . t dt dt dt
(7.3.18)
Sekarang, vektor satuan tangensial tˆ dan normal nˆ pada titik P dilengkapi lagi
dengan satu vektor satuan bˆ sedemikian hingga
bˆ tˆ nˆ
(7.3.19)
Dengan demikian, vektor satuan (tˆ, nˆ, bˆ) membentuk vektor triad titik P pada kurva C . Jika Pers. (7.3.19) didiferensiasikan terhadap s , diperoleh
dtˆ dtˆ dnˆ nˆ tˆ ds ds ds
(7.3.20)
yang dengan mengingat Pers. (7.3.16), berobah menjadi
dtˆ ˆ dnˆ t ds ds
(7.3.21)
Dari Pers. (7.3.21) terlihat bahwa karena bˆ adalah vektor satuan, maka vektor dbˆ / ds Tegak lurus terhadap tˆ dan bˆ . Dengan demikian, dtˆ / ds memiliki garis kerja yang berimpit dengan garis kerja nˆ , sehingga dapat dituliskan
dtˆ 1 nˆ ds
(7.3.22)
di mana besaran scalar 1 / dinamakan torsi dari kurva, dengan sebagai radius torsi.
132
Untuk menentukan vektor dnˆ / ds , kita dapat menggunakan permutasi dari Pers. (7.3.19) dalam susunan (tˆ, nˆ, bˆ) yaitu
nˆ bˆ tˆ
(7.3.23)
sehingga
dnˆ dbˆ ˆ ˆ dtˆ t b ds ds ds
(7.3.24)
yang dengan mengingat Pers. (7.3.21) dan (7.3.22), memberikan
dnˆ 1 ˆ 1 ˆ b t ds
(7.3.25)
Dari Pers. (7.3.24) diperoleh
1
bˆ .
dnˆ ˆ dnˆ dnˆ d 2tˆ (t nˆ ) . 2 (tˆ ) . 2 ds ds ds ds
(7.3.26)
atau
dx ds 2 1 d x 2 2 ds d 3x ds 3
dy ds d2y ds 2 d3y ds 3
dz ds d 2z ds 2 d 3z ds 3
(7.3.27)
Besaran ρ dalam Pers. (7.3.27) dapat dihitung dengan Pers. (7.3.17). 7.4
Garis Lurus Dalam Ruang
Garis lurus dalam ruang seperti dalam Gambar 7.4.1, dapat dinyatakan dengan suatu vektor satuan, katakanlah vˆ , yang terletak pada garis. Jika koefisien arah suatu garis dinyatakan dalam (a , b, c) , maka dapat dituliskan
vˆ a iˆ bˆj ckˆ
133
(7.4.1)
Z
l (a , b, c) ( x0 , y0 , z0 )
r0
v
( x, y, z)
r
Y X Gambar 7.4.1: Penyataan Garis Secara Vektorial Jika garis melalui ( x0 , y0 , z0 ) yang dinyatakan dengan vektor posisi r 0 maka vektor posisi r untuk titik ( x, y, z) dapat dituliskan dalam bentuk
r r 0 vˆ t
(7.4.2)
di mana t adalah parameter yang diberikan oleh
t
x x0 y y0 z z0 a b c
(7.4.3)
Untuk kasus di mana garis melalui dua titik ( x1 , y1 , z1 ) dan ( x2 , y2 , z2 ) yang diketahui, maka Pers. (7.4.3) dapat digunakan untuk mendapatkan nilai koefisienkoefisien arah, dimulai dengan
a t x1 x2 ; b t y1 y2 ; c t z1 z2 yang memberikan
b y1 y2 c z1 z2 c z1 z2 ; ; a x1 x2 a x1 x2 b y1 y2
(7.4.4)
(7.4.5)
Substitusi bentuk Pers. (7.4.5) ke dalam Pers. (7.4.3) memberikan
x x1 y y1 z z1 x1 x2 y1 y2 z1 z2
yang merupakan persamaan garis lurus melalui dua titik dalam ruang. 134
(7.4.6)
Sudut apit antara dua garis lurus yang melalui titik awal sumbu dapat ditentukan dengan cara berikut ini. Jika dalam Gambar 7.4.2 yang memperlihatkan suatu segi tiga OAB dengan A dan B sebagai sisi-sisi yang secara berturutan dinyatakan dengan vektor posisi
ra xa iˆ ya ˆj rb xb iˆ yb ˆj
(7.4.7)
dengan perkalian skalar
ra . rb xa xb ya yb
(7.4.8)
yang juga diberikan oleh
ra . rb ra rb cos(b a ) ra rb cos
(7.4.9)
Dengan demikian, sudut apit antara dua garis diberikan oleh
arccos (
ra . rb ) ra rb
(7.4.10)
Y
B( xb , yb )
b
Z
A( xa , ya )
a
X
O(0,0) Gambar 7.4.2: Sudut Apit Dua Garis dan Luas Segi Tiga
7.5
Luas Permukaan Bidang Datar
Luas permukaan segi tiga seperti dalam Gambar 7.4.2 dapat ditentukan dengan meninjau perkalian silang
ra rb ( xa yb ya xb )kˆ 135
(7.5.1)
yang juga memberikan
ra rb xa yb ya xb ra rb sin 2 A
(7.5.2)
Dengan demikian, luas segi tiga menjadi
A
1 ra rb 2
(7.5.3)
Luas permukaan lengkung dapat dihitung dengan menggunakan metoda seperti yang telah disajikan dalam Pasal 5.8. 7.6
Luas Permukaan Bidang Lengkung
Sebagai betuk dari penerapan integrasi, kita ingin mendapatkan suatu rumus yang dapat digunakan untuk menentukan luas dari suatu permukaan lengkung
z f ( x1 y)
(7.7.1)
yang dibatasi oleh suatu permukaan proyeksi pada bidang (XY) , seperti dalam Gambar 7.6.1. Untuk suatu titik cirian, suatu diferensial permukaan pada bidang lengkung yang memiliki proyeksi A x. y pada bidang (XY) , membentuk suatu jajaran genjang dengan ukuran sisi di arah x dan sisi di arah y , dinyatakan sebagai magnitudo dari vektor sebagai berikut.
Z
Y
f / y
f ( x, y)
A
f / x
( x, y)
x
y
X
Gambar 7.6.1: Permukaan Lengkung
136
f x kˆ x f a y ˆj y y kˆ x a x iˆ x
(7.7.2)
di mana (tˆ, ˆj , kˆ) adalah sistem vektor satuan dalam ( X, Y, Z ). Luas permukaan tersebut merupakan magnitudo dari perkalian silang a x dan a y ,
iˆ
a x a y x 0
kˆ
ˆj
f f f x y iˆ x y ˆj x y kˆ x x x y f y y x
0
sehingga
A 1 (
f 2 f 2 ) ( ) x y y x
(7.7.3)
Dalam keadaan limit, diperoleh
dA 1 (
f 2 f 2 ) ( ) dx dy y x
(7.7.4)
sehingga luas permukaan lengkung menjadi
A 1 ( 7.7
f 2 f 2 ) ( ) dx dy y x
(7.7.5)
Volume Paralelepipedum
Jika kita meninjau tiga vektor yang membentuk paralelepipedum dengan titik-titik A( xa , ya , za ), B( xb , yb , zb ), C ( xc , yc , zc ) dan O(0,0,0) sebagai sudut-sudut seperti dalam Gambar 7.7.1, yang diberikan oleh
ra xa iˆ ya ˆj za kˆ r x iˆ y ˆj z kˆ rc xc iˆ yc ˆj zc kˆ b
b
b
b
(7.7.1)
maka untuk menghitung volume benda yang berbentuk paralelepipedum, kita dapat menggunakan perkalian campuran ketiga vektor, dengan hasil
r c . (ra rb ) xc ( ya zb za yb ) yc ( xa zb za xb ) zc ( xa yb ya xb ) 137
(7.7.2)
Dengan demikian, volume benda paralelepipedum menjadi
V r c . (ra rb )
(7.7.3)
atau
xc V xa
yc ya
zc xa za xb
ya yb
za xb zb xc
yb yc
zb zc
xb
yb
zb
xc
yc
zc
ya
za
xa
(7.7.4)
Y
C ( xc , yc , zc )
B( xb , yb , zb )
X
O(0,0,0)
Z A( xa , ya , za )
Gambar 7.7.1: Paralelepipedum Dalam Ruang 7.8
Contoh Penerapan
Di dalam memberikan pengertian serta peningkatan pendalaman materi bahasan bab ini, maka disajikan beberapa contoh penerapan seperti berikut ini. Contoh 7.1: Tentukanlah kurva pada bidang datar (XY) yang diberikan oleh fungsi parametrik berikut.
x 1 t2 ;
yt ;
1 t 1
Penyelesaian: Persamaan kurva dapat diperoleh dengan mengeliminasi parameter t dari x dan y . Ini mudah dilakukan dengan hasil
x 1 y2 atau x2 1 y2 138
yang memberikan
x2 y2 1
yang merupakan lingkaran berpusat pada titik (0,0) dan beradius satuan panjang. Contoh 7.2: Tentukanlah kurva pada bidang datar (XY) yang diberikan oleh fungsi parametrik berikut.
x
1 t2 ; 1 t2
y
2t ; 1 t2
1 t 1
Penyelesaian: Persamaan kurva dapat diperoleh dengan mengeliminasi parameter t dari x dan
y . Ini dilakukan dengan menentukan nilai t dari x , dengan hasil t2
1 x 1 x atau t 1 x 1 x
Substitusi bentuk ini ke dalam y memberikan
y
2 (1 x) /(1 x) 1 (1 x) /(1 x)
yang dapat diolah ke dalam bentuk yang lebih definitif sebagai
x2 y2 1 juga merupakan lingkaran berpusat pada titik (0,0) dan beradius satuan panjang. Contoh 7.3: Suatu benda bermassa m dilontarkan dengan kecepatan awal v0 dari suatu titik awal dengan arah sesudut diukur dari bidang datar. Tetapkan kurva lintasan yang akan ditempuh oleh benda tersebut. Penyelesaian: Kecepatan awal di arah X dan Y diberikan oleh
d x(t ) v0 cos ; dt
d y(t ) v0 sin g t dt
yang jika diintegrasikan memberikan
x(t ) v0 t cos x0 ;
y(t ) v0 t sin
Tetapan integrasi ditentukan dengan meninjau syarat batas 139
1 2 g t y0 2
x(0) 0 ; x0 0 ;
yang memberikan
dan lintasan menjadi
y(0) 0
x(t ) v0 t cos ;
y0 0
y(t ) v0 t sin
1 2 gt 2
Kedua persamaan dapat digunakan untuk mengeliminir t sedemikian hingga
t
2v0 y (sin cos ) g x
Substitusi bentuk ini ke dalam kedua persamaan memberikan hubungan antara lintasan s dengan x dan y dalam g dan v0 , lewat hubungan
s(t ) x2 (t ) y2 (t ) Pembaca dipersilahkan mencoba sendiri proses ini. Contoh 7.4: Suatu benda bermassa m jatuh bebas secara vertikal dari ketinggian H dengan kecepatan awal v0 yang nol. Tetapkan kurva lintasan yang akan ditempuh oleh benda tersebut. Penyelesaian: Kecepatan awal di arah X dan Y diberikan oleh
d x(t ) 0 ; dt
d y(t ) g t dt
yang jika diintegrasikan memberikan
x(t ) x0 ;
1 y(t ) g t 2 y0 2
Tetapan integrasi ditentukan dengan meninjau syarat batas
x(0) 0 ;
yang memberikan dan lintasan menjadi
y(0) H
x0 0 ;
x(t ) 0 ;
y0 H
1 y(t ) g t 2 H 2 140
Waktu dibutuhkan benda bermassa hingga menyentuh dasar ditentukan oleh
1 y(t ) g t 2 H 0 atau t 2H / g 2 Substitusi hasil ini ke dalam fungsi kecepatan lintasan memberikan
vy (t ) 7.9
d y(t ) g 2 H / g dt
Rangkuman
Bab ini telah menyajikan beberapa penerapan dari pada formulasi kalkulus vektor yang dituliskan dalam sistem koordinat kurvilinier ortonormal. Pertama, disajikan pembahasan mengenai kurva sebagai lintasan yang mencakup kurva lintasan, kecepatan dan percepatan. Kedua, dibahas mengenai geometri kurva dalam ruang, yang mencakup aspek-aspek yang terkait, antara lain kelengkungan, torsi serta radius torsi. Kemudian, problem garis lurus serta kaitan antara beberapa garis lurus juga dibahas, dilanjutkan dengan penentuan luas permukaan bidang datar, luas permukaan bidang lengkung dan volume paralelepipedum. Semuanya dinyatakan dalam formulasi vektor. Bahasan bab diakhiri dengan beberapa contoh penerapan dan soal-soal latihan. 7.10 Soal-soal
Soal 7.1: Jika merupakan sudut polar, tunjukkanlah bahwa
uˆ1 iˆ cos ˆj sin ;
uˆ2 iˆ sin ˆj cos
merupakan vektor-vektor satuan yang ortogonal masing-masing pada arah radial dan sirkumferensial bidang (XY). Soal 7.2: Tentukanlah vektor satuan tangensial tˆ , normal nˆ dari heliks lingkaran putaran kanan yang diberikan oleh
x a cos t ; y a sin t ;
z ct
Soal 7.3: Untuk heliks dalam Soal 7.2, kerjakanlah beberapa hal sebagai berikut. (a) Tunjukkanlah bahwa
ds a 2 c 2 dt
(b) Tunjukkanlah bahwa kelengkungan dan torsional kurva adalah
a 2 c2 ; a 141
a 2 c2 c
Soal 7.4: Tentukanlah kelengkungan dan torsional dari kurva yang diberikan oleh
x t ; y t2 ;
z t3
pada titik (1,1,1). Soal 7.5: Buktikanlah bahwa (a)
(b)
1
nˆ
(d r / dt ) (d 2 r / dt 2 ) (d r / dt ) 3
[(d r / dt ) (d 2 r / dt 2 )] (d r / dt ) (d r / dt ) (d 2 r / dt 2 ) (d r / dt )
142
BAB VIII PROBLEM EIGEN 8.1
Umum
Problem Eigen muncul secara natural dari berbagai fenomena fisik. Dalam disiplin ilmu rekayasa, problem Eigen kerap muncul pada langkah antara analisis. Sebagai contoh yang dapat disebutkan, antara lain masalah penentuan frekuensi alamiah (natural frequency) getaran dinamis, masalah tekuk (buckling) komponen struktur, penentuan arah dan besar tegangan ekstremum, dan lain-lain. Sebagai contoh, kita meninjau penentuan besar dan arah tegangan ekstremum dalam masalah tegangan dua dimensi seperti terlihat dalam Gambar 8.1.1. Suatu problem tegangan dua dimensi yang dinyatakan dalam tata sumbu Cartesius ( X, Y),
diberikan oleh kondisi dengan komponen-komponen tegangan ( xx , xy ) pada bidang
orthogonal terhadap sumbu Y , dengan nilai-nilai yang diketahui. Komponen-komponen
ini merupakan komponen dari pada vektor tegangan x dan y , sehingga berlaku hubungan
x iˆ xx ˆj xy
y iˆ yx ˆj yy
(8.1.1)
Pada bidang S yang orthogonal terhadap suatu garis berarah vektor satuan nˆ yang dinyatakan oleh koefisien arah (l , m) sedemikian hingga
di mana
nˆ l iˆ m ˆj
(8.1.2)
l 2 m2 1
(8.1.3)
s iˆ sx ˆj sy
(8.1.4)
bekerja vektor tegangan s yang dinyatakan di dalam komponen ( sx , sy ) di arah
( X, Y), dengan hubungan
Karena sistem berada di dalam kondisi seimbang, maka terdapat hubungan antara
s dengan vektor x dan y yang diketahui, dalam bentuk
s l x m y 143
(8.1.5)
ˆj, Y
s
xx x
a
nˆ
xx
S
yx y
X , iˆ
yy
Gambar 8.1.1: Kondisi Keseimbangan Karena itu, Pers. (8.1.1), 8.1.4) dan (8.1.5) memberikan
sx xxl xy m
sy yxl yy m
(8.1.6)
Secara umum, s tidak normal terhadap bidang S tempatnya bekerja. Nilai
mutlak s menjadi ekstrim jika s bekerja normal terhadap bidang S , sehingga dapat dituliskan
s x nˆ nˆ
(8.1.7)
di mana adalah nilai mutlak (magnitudo) dari s berupa skalar.
Sekarang pertanyaan yang muncul dan harus dijawab adalah: berapa besar s , dan pada bidang mana bekerjanya tegangan ini sehingga nilainya mencapai
ekstremum? Ini memiliki implikasi penentuan nilai dan (l , m) , untuk ( xx , xy ) dan
( yy , yx ) yang diketahui.
Dari bentuk Pers. (8.1.7) dan (8.1.5) serta (8.1.1) diperoleh
xx l xy m l
yx l yy m m
(8.1.8)
yang di dalam notasi matriks, dapat dituliskan dalam bentuk
xx xy l l yx yy m m 144
(8.1.9)
( xx ) l
atau
xy m 0
yx l ( yy ) m 0
(8.1.10)
Bentuk dalam Pers. (8.1.9) merupakan problem Eigen, dengan sasaran berupa penentuan nilai dari yang dinamakan nilai Eigen, serta (l , m) yang dinamakan vektor Eigen. Karena (l , m) akan ditentukan seiring dengan besarnya nilai , maka dalam
problem Eigen, tersirat pencarian suatu solusi di dalam solusi itu sendiri (seeking solution within the solution itself). 8.2
Skema Penyelesaian Problem Eigen
Contoh yang kita tampilkan dalam pasal sebelumnya dapat diproses lenjut dengan mengolah bentuk Pers. (8.1.10) menjadi
xy l 0 ( xx ) ( yx ) ( yy ) m 0
(8.2.1)
yang merupakan sistem persamaan linier simultan homogen. Penyelesaian sistem persamaan semacam ini, untuk (l , m) antara lain adalah
l 0 m 0
(8.2.2)
yang merupakan solusi trivial (trivial solution) yang tidak kita minati. Menurut teori matriks yang telah kita pelajari dalam Bab II, solusi non-trivial dapat diperoleh jika sistem dalam Pers. (8.2.1) mengalami defisiensi rank (rank deficient), yang diperoleh jika matriks koefisien dalam Pers. (8.2.1) bersifat singulir. Dengan demikian, kita dapat menggunakan syarat
( xx ) ( yx )
yang memberikan
xy
( yy )
0
2 ( xx yy ) ( xx yy xy yx ) 0
(8.2.3)
(8.2.4)
yang dinamakan persamaan karakteristik (characteristic equation) dari pada problem Eigen yang dihadapi. Secara umum, persamaan polinomial berorde n akan menghasilkan n akar-akar. Setiap akar dari Pers. (8.2.4), dimasukkan secara bergiliran ke dalam salah satu dari baris Pers. (8.2.1), untuk menentukan (l,m) yang bersangkutan. Sebagai contoh, pemasukan akar yang pertama, dengan hasil yang kemudian digabung dengan persyaratan dalam Pers. (8.1.3), digunakan untuk menghitung (l , m) yang bersangkutan, yaitu 145
( xx 1 ) l xy m 0 l 2 m2 1 0
(8.2.5)
Pasangan (l , m) merupakan vektor yang berkaitan dengan nilai Eigen yang ditinjau.
Dengan demikian, secara umum problem dinyatakan berupa penentuan nilai Eigen dengan X yang bersangkutan dalam persamaan
A(nn) X(n1) X(n1)
(8.2.6)
serta yang memenuhi persyaratan
f ( x1 , x2 ,..., xn ) 0
(8.2.7)
persamaan tunggal yang berisikan unsur-unsur xi dari X, dalam bentuk linier maupun
Bentuk persyaratan dalam Pers. (8.2.7) pada umumnya merupakan suatu
non-linier. 8.3
Bentuk Problem Eigen Non-Standard
Bentuk dalam Pers. (8.2.6) kita pandang sebagai bentuk yang standard. Dalam pola pandang yang demikian ini, kebanyakan metoda dan teknik penyelesaian didasarkan kepada bentuk standard tersebut. Sayangnya, dalam beberapa situasi, formulasi sering bermuara kapada suatu bentuk lain yang secara umum dapat dituliskan di dalam bentuk
AX BX
(8.3.1)
di mana matriks A dan B merupakan matriks bujur sangkar yang berukuran sama.
Metoda solusi bisa saja didasarkan atas bentuk dalam Pers. (8.3.1); namun, untuk dapat menggunakan teknik-teknik solusi yang standard, bentuk dalam Pers. (8.3.1) perlu dikonversikan kepada bentuk standard dalam Pers. (8.2.6), yaitu dengan melakukan sesuatu operasi matriks sedemikian hingga bentuk persamaan tereduksi dan matriks
B berobah
menjadi matriks identitas. Proses reduksi bentuk persamaan yang
dimaksudkan ini, dapat dilakukan dengan beberapa cara, antara lain cara inversi dan cara dekomposisi Cholesky, seperti yang akan dipaparkan berikut ini. 8.3.1 Cara Inversi Cara inversi ini adalah dengan menyusun invers
B 1
dari matriks
mengalikannya dari depan terhadap Pers. (8.3.1), sehingga diperoleh
B1 AX B1 BX
atau 146
B serta
A'X [I ] X X
(8.3.2)
Dalam penerapannya, penentuan matriks invers B 1 serta perkaliannya dengan
yang merupakan bentuk standard seperti dalam Pers. (8.2.6).
matriks A umumnya menyita proses perhitungan yang panjang terutama untuk sistem
A
B 1
persamaan berukuran besar. Selain itu, matriks koefisien simetri, bahkan untuk
dan
A' yang
umumnya tidak
yang simetris sekalipun. Dengan demikian,
penerapan dari metoda ini tidak kompetitif, sehingga orang cenderung menggunakan metoda lain, di antaranya metoda dekomposisi Cholesky seperti akan dibahas berikut ini. 8.3.2 Cara Dekomposisi Cholesky yang ditujukan bagi matriks B yang definit positif, dan bagi yang tidak definit positif.
Cara dekomposiasi menurut Cholesky diterapkan dalam dua bentuk, yaitu cara
Untuk kasus B yang definit positif, proses reduksi sistem persamaan dimulai dengan merobah matriks B sebagai perkalian dari matriks segi tiga bawah L
B LLT
(8.3.3)
L1 A X L1L LT X
(8.3.4)
L1 A LT LT X LT X
(8.3.5)
Jika bentuk dalam Pers. (8.3.1) dikalikan dari depan dengan L 1, diperoleh
Atau
dalam mana bentuk
L L L 1
T 1
T
LT LT L1 L I telah digunakan. Jika dalam Pers. (8.3.5) digunakan notasi
L 1 A LT A' LT X X '
(8.3.6)
maka Pers. (8.3.5) memberikan
A' X' X' 147
(8.3.7)
yang merupakan bentuk yang standard. Nilan Eigen yang diberikan oleh Pers. (8.3.7) sama dengan yang diberikan oleh persamaan asal dalam Pers. (8.3.1). Selain itu, jika
A adalah simetris, maka A' L 1 AL T juga akan simetris.
Untuk matriks B yang tidak definit positif, maka Pers. (8.3.1) dapat dituliskan di
B X 1 A X 'A X
dalam bentuk
menukarkan peran antara A dan B .
(8.3.8)
yang dapat ditangani dengan cara yang telah diterangkan sebelumnya, yaitu dengan
B
Proses dekomposisi matriks
dalam Pers. (8.3.3) dilakukan dengan
menentukan matriks segi tiga bawah
0 l11 l l 22 21 l l L 31 32 ln1,1 ln1, 2 ln 2 ln1
0 0 l33
0 0 0
l n1,3 ln1,n1 ln 3 ln ,n1
0 0 0 0 lnn
(8.3.9)
dengan unsur-unsur yang diberikan oleh cara dekomposisi Cholesky sebagai
l11 b11 lij
j 1 1 (bij lik l jk ), j 1,2, ... , i 1; i 1, n l jj k 1
lii bii lik2 ; i 1
k 1
i 1, n
(8.3.10)
li 1, j 0 ; j i , i 1, i 2 , ... , n
Sesuai sifat matriks operator
L 1 L I
(8.3.11)
maka dapat dituliskan bahwa
lii1 lii 1 ;
l i
k j
i 1, n
l 0;
1 ik kj
i 2, n ;
j k 1, k 2 ,...
Dengan demikian, dari Pers. (8.3.10) dan (8.3.12) dapat diperoleh
148
(8.3.12)
lii1 lij1 8.4
1 ; lii
l i
k j 1
l jj
i 1, n 1 ik kj
l
; j i 1, i 2 , ...,2,1
(8.3.13)
Metoda Solusi Problem Eigen
Secara umum, penyelesaian problema didasarkan atas dua cara, yaitu cara eksak dan cara numerik. Cara eksak adalah dengan menghitung nilai-nilai Eigen dari persamaan karakteristik dalam bentuk
det (a ij ij ) ( nn 0
(8.4.1)
yang merupakan persamaan polinomial berorde n dalam . Penentuan akar-akar persamaan polinomial berorde hingga tiga atau empat masih praktis dapat dilakukan dengan cara eksak; namun untuk persamaan yang berorde tinggi, cara eksak semacam ini sudah tidak praktis lagi. Dalam cara numerik, baik nilai dan xi dihitung secara iteratif. Untuk hal seperti
ini, penggunaan alat hitung berkapasitas tinggi seperti komputer, menjadi sangat taktis dan sangat menolong. Berikut ini diberikan beberapa macam metoda numerik yang kerap diterapkan orang. Di dalam penerapan metoda numerik, baik nilai dan xi dihitung secara iteratif.
Untuk hal seperti ini, penggunaan alat hitung berkapasitas tinggi seperti komputer menjadi sangat taktis dan menolong. Berikut ini diberikan beberapa macam metoda numerik yang kerap digunakan orang. Dalam penerapan metoda eksak, semua nilai Eigen yang merupakan akar-akar persamaan karakteristik, mulai dari nilai terkecil hingga nilai terbesar, diperoleh dengan kans yang sama. Berbeda dengan hal ini, suatu metoda numerik kerap berkecenderungan konvergen terhadap suatu nilai Eigen tertentu, misalnya, yang terkecil atau yang terbesar. Di lain fihak, dalam suatu problema tertentu, nilai-nilai Eigen tertentu mendapatkan relevansi khusus. Misalnya, di dalam problema vibrasi, nilai Eigen terkecil memberikan moda pertama yang dinamakan moda fundamental, nilai Eigen yang lebih besar memberikan moda yang lebih tinggi namun semakin kurang relevan. Dengan alasan tersebut di atas, maka disarankan bahwa jika ingin menerapkan metoda numerik, perlu dipilih metoda numerik yang cenderung akan menghasilkan nilai Eigen yang lebih diutamakan. 8.5
Dalam metoda ini, kita memandang X sebagai suatu vektor dengan xi , i 1, n
Metoda Pangkat
sebagai komponen. Di samping itu persamaan dasar 149
berlaku bagi suatu solusi
X
A X X
(8.5.1)
tertentu maupun kelipatannya. Maka karena itu, salah
satu komponen, misalnya yang terbesar dapat diambil bernilai satuan, sehingga kita berurusan dengan besaran-besaran komponen lainnya yang bernilai kurang dari 1. Karena kita akan melakukan perhitungan konvergensi, kita dapat menggunakan norm dari vektor X, yaitu
X x12 x22 ... xn2
(8.5.2)
sebagai besaran pembanding atau referensi. Dalam metoda pangkat, kita menggunakan kombinasi linier dari vektor
Xi
sebagai estimator atau taksiran, yaitu
V c1 X1 c2 X2 ... cn Xn
Jika bentuk dalam Pers. (8.5.3) dikalikan dari depan dengan A , diperoleh
(8.5.3)
A V c1 AX1 c2 AX2 ... cn AXn
yang karena A Xi i Xi , maka bentuk di atas menjadi
A V c11 X1 c22 X2 ... cnn Xn
(8.5.4)
Proses yang dilakukan secara berulang akan memberikan
A..AV c11k X1 c2k2 X2 ... cn kn Xn
(8.5.5)
k
Pengamatan atas bentuk dalam Pers. (8.5.5) mengisyaratkan bahwa hasil operasi perkalian akan cenderung konvergen ke arah nilai Eigen terbesar, dalam orde pangkat dari nilai Eigen. Inilah alasan kenapa metoda ini dinamakan metoda pangkat. Setelah beberapa kali operasi, suku paling kanan dalam Pers. (8.5.5) akan mendominasi sukusuku lainnya. Perkalian Pers. (8.5.3) dengan A
Metoda pangkat ini juga dapat digunakan untuk menentukan nilai Eigen terkecil. 1
dari depan menghasilkan
A1 V c1 A1X1 ... c2 A1X2 ...
atau
150
A1 V c1 X1 c2 X2 ... cn Xn 1
2
n
dan jika proses yang sama dilakukan k -kali, diperoleh
A1 AV
c1 k 1
X1 c2k X2 ... cnk Xn 2
n
(8.5.6)
dengan hasil yang konvergen ke nilai yang memberikan 1 , karena suku pertama yang
c1 / 1k akan lebih dominan dibanding suku lainnya. Dengan
didapatnya c1 / 1 , maka tentu saja nilai 1 dapat diperoleh. memiliki koefisien
8.6
Metoda Deflasi Hotteling
Dalam pasal sebelumnya telah dipaparkan bagai mana metoda pangkat dapat digunakan untuk mendapatkan nilai Eigen terbesar dan terkecil. Jika diinginkan untuk menghitung nilai-nilai Eigen lainnya, maka dapat diterapkan metoda deflasi Hotteling, sebagai mana akan dibahas berikut ini.
n dengan vektor Xn yang bersangkutan. Kemudian, kita menyusun suatu matriks
Dalam proses sebelumnya, kita mengandaikan bahwa nilai Eigen terbesar adalah
D A n X2 T X2 Xn Xn T
(8.6.1)
Perkalian dari depan Pers. (8.5.3) dengan matriks D memberikan akibat yang
sama dengan proses perkalian dengan A seperti dalam Pers. (8.5.5), kecuali bahwa
memberikan nilai kedua terbesar, yaitu n1. Dengan melakukan proses serupa, nilaiakan diperoleh penghilangan suku ke-n, sehingga proses iterasi akan cenderung nilai Eigen lainnya dapat diperoleh secara berturutan, mulai dari n2 , n3 , ..., 3 dan 2 . 8.7
Andaikanlah kita memiliki suatu matriks S yang non-singulir dan berukuran sama
Sifat Ortogonal Transformasi
dengan matriks koefisien memberikan
A .
Perkalian dari depan Pers. (8.5.1) dengan
S1 AX S 1X
Selanjutnya, jika kita menyatakan
S1 X Z 151
SJ 1
(8.7.1)
(8.7.2)
maka Pers. (8.7.1) berobah menjadi
atau
di mana
S1 ASZ Z
(8.7.3)
DZ Z
(8.7.4)
D S1AS
(8.7.5)
Perbandingan antara Pers. (8.5.1) dengan Pers. (8.7.4) mengisyaratkan bahwa dengan transformasi ini, nilai Eigen tetap, namun vektor Eigen berobah, sesuai dengan kaitan yang diberikan oleh Pers. (8.7.2), yaitu
X S Z
(8.7.6)
Rumus-rumus di atas berlaku bagi matriks S yang non-singulir. Jika kita memilih
matriks S sebagai suatu matriks Q dengan sifat
Q 1 QT
maka Pers. (8.7.5) menjadi
(8.7.7)
D Q T AQ
(8.7.8)
yang mencakup transformasi ortogonal. Untuk A yang simetri, D akan simetri untuk
Q
yang tidak perlu simetri, tetapi memiliki sfat dalam Pers. (8.7.7) yang dinamakan
sifat kontragrediens (contragredience), serta yang mencakup transformasi ortogonal dalam persamaan
X QZ Z Q 1 X QT X
(a ) (b)
(8.7.9)
Transformasi ortogonal seperti telah dipaparkan di atas, mendapatkan penerapan yang sangat penting dalam metoda penyelesaian problema Eigen, seperti sering diterapkan kepada problema rekayasa. 8.8
Contoh Penerapan
Di dalam memberikan pengertian serta peningkatan pendalaman materi bahasan bab ini, maka disajikan beberapa contoh penerapan seperti berikut ini. Contoh 8.1: Robahlah bentuk problem Eigen yang tidak standard berikut menjadi bentuk standard. 152
9 0 0 x1 4 7 3 x1 7 8 2 x 0 4 0 x 2 2 3 2 1 0 0 2 x3 x3 Penyelesaian: Karena bentuk matriks dalam ruas kanan merupakan matriks diagonal dengan unsur-unsur diagonal yang positif, maka dekomposisi sangat mudah dilakukan. Menurut skema dekomposisi Cholesky, ini dapat dilakukan dengan menyusun matriks operator dengan mengambil akar dari unsur-unsur diagonal sebagai berikut.
9 L 0 0
0 4 0
0 T 0 L ; 2
L
1
1 / 9 0 0 T 0 1/ 4 0 L 0 0 1 / 2
Dengan Pers. (8.3.6a), matriks koefisien modifikasi menjadi
1/ 9 0 0 A' 0 1/ 4 0 0 0 1 / 2
0 0 2 / 3 7 / 6 1/ 2 4 7 3 1 / 9 7 8 2 0 1 / 4 0 7 / 6 2 1 / 2 3 2 1 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0
dan bentuk ruas kanan menjadi
9 X ' 0 0
0 4 0
0 0 2
x1 x1 9 z1 x2 x2 4 z2 x x 2 z 3 3 3
Dengan demikian, bentuk standard yang baru serta yang setara dengan bentuk awal adalah
2 / 3 7 / 6 1 / 2 z1 2 1 / 2 z2 7/6 1 / 2 1 / 2 1 / 2 z 3
z1 z2 z 3
Contoh 8.2: Lakukanlah proses dekomposisi Cholesky terhadap matriks berikut.
8 1 3 B 1 6 4 3 4 4 Penyelesaian: Menurut skema dekomposisi Cholesky dalam Pers. (8.3.10), dihitung 153
l11 b11 8 2.828427
l 21 (b21 l 2 k l1k ) / l11 b21 / l11 1 / 2.828427 0.353553 0
k 1
l 22 (b22 l 2 k l 2 k ) 6 (0.353553) 2 2.423840 1
k 1
l31 (b31 l3k l1k ) / l11 b31 / l11 3 / 2.828427 1.060660 0
k 1
l32 (b32 l3k l 2 k ) / l 22 (b32 l31 l 21 ) / l 22 1.495561 1
k 1
l33 (b33 l3k l3k ) 4 (1.060660) 2 (1.495561) 2 0.798937 2
k 1
Dengan demikian, menurut Pers. (8.3.9), diperoleh matriks operator segi tiga bawah sebagai berikut.
0 0 2.828427 L 0.353553 2.423840 0 1.060660 1.495561 0.798937 Contoh 8.3: Robahlah bentuk problem Eigen yang tidak standard berikut menjadi bentuk standard.
8 1 3 x1 7 4 3 x1 4 8 2 x 1 6 4 x 2 2 3 4 4 3 2 6 x3 x3 dan tentukanlah nilai Eigen serta vektor yang koresponden. Penyelesaian: Menurut skema dekomposisi Cholesky dalam Pers. (8.3.13), maka dari hasil Contoh 8.2, dihitung
l111 1 l 22 1 l 33
1 1 0.353553 l11 2.828427 1 l 22
1 0.412568 2.423840
1 1 1.251663 l 33 0.798937
154
l 2k1 l k1 2
1 l 21
k2
l11
l 3k1 l k 2 3
l
1 32
k 3
l 22
l 3k1 l k1 3
l
1 31
k2
l11
1 l 22 l 21 0.051571 l11
1 l 33 l 32 0.772303 l 22 1 1 l 32 l 21 l 33 l 31 0.372836 l11
Dengan demikian, diperoleh matriks operator invers segi tiga bawah sebagai berikut,
L
1
0 0 0.353553 0.051571 0.412568 0 0.372836 0.772303 1.251663
dan yang dapat digunakan untuk menghitung
H L AL 1
T
0.455828 0.687333 0.874995 0.455828 1.210105 2.031250 0.687333 2.031250 10.781510
yang pada gilirannya dapat digunakan untuk menyusun persamaan
H Z Z; Z L TX
Dengan cara standard, kita dapat menghitung nilai-nilai Eigen yang paling besar dituliskan pada urutan pertama, sebagai berikut,
1 11.251100 ;
dan vektor Zi yang koresponden,
2 1.116762 ;
Z1 0.073535 Z2 0.717446 Z3 0.692721
3 0.498742
0.200948 0.976838
0.669696 0.191774
0.714931 0.094923
Akhirnya, vektor Eigen dapat disusun berdasarkan hasil di atas; misalnya,
X1 LT Z1 0.379835 155
0.837319 1.222672
8.9
Rangkuman
Dalam bab ini telah disajikan paparan mengenai problema Eigen, mulai dari contoh munculnya problem, bentuk dasar dan penggolongan jenis. Ada dua macam bentuk problem Eigen, yaitu bentuk yang standard dan bentuk yang non-standard. Teknik yang dapat digunakan untuk merobah bentuk yang non-standard ke dalam bentuk yang standard, juga diberikan. Kemudian, teknik solusi problem Eigen berupa penentuan nilai dan vektor yang koresponden, disajikan dalam beberapa alternatif antara lain, metoda pangkat dan metoda deflasi Hotteling. Metoda pangkat dapat digunakan untuk menentukan nilai Eigen yang terbesar atau yang terkecil, sementara metoda Hotteling digunakan untuk menentukan nilai-nilai lainnya (di antara yang terbesar dan yang terkecil). Beberapa contoh penerapan juga diberikan sebagai peningkatan akan pengertian dan pemahaman bahan yang telah disajikan dalam keseluruhan cakupan bab ini. 8.10 Soal-soal Soal 8.1: Inversikanlah matriks segi tiga bawah berikut ini.
4 0 0 9 3 0 1 2 7 Soal 8.2: Dengan menggunakan skema dekomposisi Cholesky, konversikanlah matriks berikut ini ke dalam bentuk perkalian matriks segi tiga atas dan segi tiga bawah.
5 4 2 3
3 2 3 10 1 2 1 13
4 8
2 3
Soal 8.3: Dengan menggunakan metoda pangkat, tentukanlah nilai Eigen yang terbesar berikut vektor yang koresponden dari problem Eigen standard dengan matriks koefisien berikut ini.
2 3 8 3 9 4 8 4 1 Soal 8.4: Dengan menggunakan metoda pangkat, tentukanlah nilai Eigen yang terkecil berikut vektor yang koresponden dari problem Eigen standard dengan matriks koefisien seperti dalam Soal 8.3.
156
Soal 8.5: Dengan menggunakan metoda deflasi Hotteling, tentukanlah nilai Eigen lainnya (di antara yang terkecil dan yang terbesar) berikut vektor yang koresponden dari problem Eigen standard dengan matriks koefisien seperti dalam Soal 8.3.
157
158
BAB IX PENUTUP 9.1
Rangkuman
Buku ini telah disusun secara berturutan dengan bahan yang dipersiapkan bagi para perekayasa dalam menerapkan matematika dalam pekerjaan. Pertama, fungsi bervariabel bebas jamak dibahas dalam Bab I. Bahan ini diperlukan bagi telaah rekayasa dalam mana problem rekayasa umumnya bermuara kepada formulasi matriks yang melibatkan fungsi bervariabel bebas jamak. Bahasan dilanjutkan dengan teorema matriks yang belakangan ini sangat banyak diterapkan dalam problem rekayasa, khususnya problem yang dituangkan dalam formulasi matriks. Bahan bahasan ini dilanjutkan oleh Bab III yang membahas sistem persamaan linier simultan, mulai dari teori hingga penerapan dalam menyelesaikan sistem persamaan linier simultan. Teorema vektor dibahas dalam Bab IV. Telah diketahui bahwa besaran dalam disiplin rekayasa kebanyakan merupakan besaran vektor; misalnya jarak, kecepatan, percepatan, gaya dan lain-lain. Bab ini dilanjutkan dengan kalkulus vektor dalam Bab V yang membahas mengenai operator, integrasi garis, teorema kerja, teorema divergensi, teorema Green, teorema Laplace, teorema Stokes, dan lain-lain. Semua teorema ini sangat kerap ditemukan dalam analisis rekayasa. Beberapa aspek lain yang kerap diterapkan di lapangan ditambahkan dalam babbab berikutnya, termasuk operator turunan dalam koordinat kurvilinier, garis, kurva dan lintasan dalam vektor serta problem Eigen. 9.2
Kesimpulan
Dengan dibahasnya bahan-bahan matematika dalam buku ini, para perekayasa diharapkan dapat memanfaatkan dan menerapkannya dalam pekerjaan telaah dan analisis problem rekayasa. Penerapan lanjut dari buku ini akan disusun menyusul untuk melengkapi khasanah penerapan teori matematika.
159
160
REFERENSI
1.
Hildebrand, F.B., Advanced Calculus for Applications, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, edisi kedua (1976).
2.
Hornbeck, R.W., Numerical Methods, QPI Series, Quantum Publishers, Inc., New York (1975).
3.
Purcell, E.J., dan D. Varberg, Calculus with Analytic Geometry, terjemahan oleh Penerbit Erlangga, Jakarta (1987).
4.
Stroud, K.A., dan D.J. Booth, Engineering Mathematics, terjemahan oleh Penerbit Erlangga, Jakarta (2001).
161
162
INDEKS A: aturan asosiasi,33; aturan diferensiasi parsial,9; aturan distribusi,33; aturan komutasi,33; B: bentuk implisit,8; besaran skalar,65; besar,67; besaran vector,65; C: cara dekomposisi Cholesky,147; cara jajaran genjang,72; cara polygon,72; cara segi tiga,71; Cramer,37; D: determinan matriks,34; difrerensiabel,3; diferensiasi vector,95; E: eliminasi Gauss,52; F: fluks,108; fungsi bervariabel bebas jamak,1; fungsi eksplisit,1; fungsi harmonik,110; fungsi implisit,2; G: garis,129; garis kerja,67; gaya badan,106; gaya traksi permukaan,106; gerakan fluida irrotasional,110; gradien fungsi,96; I: integral garis,100; integral garis bebas tapak,101; integrasi lipat,9,12; Integrasi parsial,11; integrasi permukaan,104; invers,31; J: jenis vektor,66; K: kalulus vektor,95; kerja,101; keseimbangan vektor,74; koordinat bola,125; koordinat Cartesius,5,65,122; koordinat kurvilinier,115; koordinat polar,5; koordinat tabung,123; koppel,66; kurva,129; kurva lintasan,129; L: lintasan,129; luas,14; luas permukaan,117; luas permukaan bidang datar,135; luas permukaan bidang lengkung,136; M: matriks adjoin,36; matriks anti simetri,30,50; matriks baris,30; matriks bujur sangkar,30; matriks diagonal;,30; matriks identitas,31; matriks invers,34; matriks kofaktor,36; matriks kolom,30; matriks nol ,30; matriks persegi panjang,30; matriks segi tiga atas,52; matriks segi tiga bawah,52; matriks simetri,30,50; matriks tidak nol,30; metoda Cholesky,51; metoda Crout,51; metoda deflasi Hotteling,151; metoda diagonalisasi,53; metoda eksak,50; metoda iterasi Gauss-Seidel,56; metoda numerik langsung,51; metoda numerik tidak langsung,51; metoda pangkat,149; metoda relaksasi,57; metoda tidak eksak,50; metoda triangulasi,52; momen,66; momen inersia,15; momen kedua,15; momen pertama,14; momen statis,14;
163
O: operator curl,121; operator del,97,99; operator gradient,118; operator Laplace,99,119; operator turunan,115; P: panjang kurva,117; pemetaan,1; penguraian vektor,69; perjumlahan analitis,71; perjumlahan grafis,71; perjumlahan vector,70; perkalian campuran vektor,80; perkalian silang vektor,78 perkalian silang vektor,78; perkalian skalar vektor,76; persamaan Laplace,109; persamaan linier simultan,45; persamaan simultan,25; problem Eigen,143; problem Eigen non-standard,146; R: rank,45; relaksasi Seidel-Southwell,51; T: teorema divergensi,106; teorema divergensi Gauss,107; teorema Green,108; teorema kerja,103; teorema matriks,25; teorema Stokes,108,110; teorema vektor,65; titik berat,14; titik kerja,67; titik tangkap,67; transpos,31; turunan berarah,96; turunan parsial,3; turunan total,3; V: variabel bebas,1; variabel yang tidak bebas,1; vektor bebas,67; vektor kolinier,69; vektor konkuren,68; vektor koplanar,68; vektor luncur,67; vektor momen,66; vektor ortogonal,69; vektor paralel,68; vektor tetap,67; vektor translasi,66; volume,15,117; volume paralellepipedum,137;
164
