MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

24. 2. 2015

MATEMATIKA II - vybran´ eu ´ lohy ze zkouˇ sek (2015) doplnˇ en´ e o dalˇ s´ı u ´ lohy Nalezen´e nesrovnalosti ve v´ ysledc´ıch nebo pˇripom´ınky k tomuto souboru sdˇelte laskavˇe F. Mr´azovi (e-mail: [email protected] ).

´ ´I POCET ˇ ˇ ´ 1. ˇc´ast DIFERENCIALN FUNKC´I V´ICE PROMENN YCH 2. ˇc´ast ( Dvojn´ y a trojn´ y integr´al) bude vyd´ana v polovinˇe bˇrezna 2015 Nˇekter´e u ´lohy jsou pˇrevzaty ze skript [1] a [2]. Jedn´a se o z´ akladn´ı doporuˇcenou literaturu pro pˇredmˇet Matematika II, a to v u ´rovni A i B. ˇ [1] J. Neustupa: Matematika II. Skriptum Strojn´ı fakulty. Vydavatelstv´ı CVUT, Praha 2015. [2] E. Broˇz´ıkov´a, M. Kittlerov´a: Sb´ırka pˇ r´ıklad˚ u z Matematiky II. Skriptum Strojn´ı ˇ fakulty. Vydavatelstv´ı CVUT, Praha 2003, 2007. (Sb´ırka ˇreˇsen´ych i neˇreˇsen´ych pˇr´ıklad˚ u) Pro z´ajemce o dalˇ s´ı procviˇ cen´ı z´ akladn´ıch znalost´ı a dovednost´ı budou postupnˇe na ´ webov´ ych str´ank´ach UTM pod pˇredmˇetem Matematika II dostupn´e soubory ”Diferenci´aln´ı poˇcet (parci´aln´ı derivace, z´akladn´ı u ´lohy)”a ”Implicitn´ı funkce”. Podstatn´a ˇc´ast tˇechto u ´loh odpov´ıd´a i poˇzadavk˚ um zkouˇsky u ´rovnˇe B (Beta). N´asleduj´ıc´ı v´ yˇcet nelze ch´apat jako jednoznaˇcn´e zaˇrazen´ı uveden´e u ´lohy do zkouˇsky u ´rovnˇe A (alfa), resp. u ´rovnˇe B, ale jako orientaˇ cn´ı rozliˇsen´ı. ´ Ulohy ˇc. 1 aˇz 4 ( vˇcetnˇe variant), 5a), b) vyˇzaduj´ı z´akladn´ı znalosti, proto jejich ˇc´asti odpov´ıdaj´ıc´ı poˇzadavk˚ um zkouˇsky u ´ rovnˇ e B jsou pouˇziteln´e i pro tuto zkouˇsku. Z okruhu Implicitn´ı funkce odpov´ıdaj´ı poˇzadavk˚ um zkouˇsky u ´rovnˇe B sv´ ym zamˇeˇren´ım a n´aroˇcnost´ı napˇr. u ´lohy 7 a 8 a d´ale napˇr. u ´lohy 9 a 10 (bez druh´e derivace) a u ´loha ˇc. 12 (bez varianty 12.1). Z okruhu Lok´aln´ı extr´emy odpov´ıdaj´ı zkouˇsce B u ´lohy ˇc. 15 aˇz 20. Pokud jsou vyˇzadov´any obr´azky, pak je staˇc´ı naˇcrtnout, mus´ı vˇsak obsahovat vˇse podstatn´e: popis os, mˇeˇr´ıtko, popis kˇrivek (ploch) a vyznaˇcen´ı bod˚ u, kter´e jsou pro ˇreˇsen´ı u ´lohy d˚ uleˇzit´e, napˇr. pr˚ useˇc´ıky kˇrivek. 1. Definiˇ cn´ı obor, graf, izokˇ rivky, parci´ aln´ı derivace, gradient, diferencovatelnost, teˇ cn´ a rovina, diferenci´ al, derivace ve smˇ eru, popis chov´ an´ı funkce V u ´loh´ach 1 a 2, kromˇe formulovan´ ych u ´kol˚ u, nejprve urˇcete ( zapiˇste) definiˇcn´ı obor D(f ). D´ale pak pojmenujte a naˇcrtnˇete v E3 plochu, kter´a je grafem dan´e funkce. Pro lepˇs´ı pˇredstavu o ˇreˇsen´e u ´loze si do obr´azku m˚ uˇzete t´eˇz zakreslit dalˇs´ı vyˇsetˇrovan´e u ´tvary – body, vektory, pˇr´ıpadnˇe i teˇcnou rovinu a norm´alu. 1. a) Napiˇste postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku pro diferencovatelnost funkce n-promˇenn´ ych v otevˇren´e mn. M ⊂ E . Urˇ c ete a naˇ c rtnˇ e te v E mnoˇ z inu D, ve kter´ e je funkce z = f (x, y) = n 2 √ 2 2 18 − x − 2y diferencovateln´a. b) Vypoˇc´ıtejte derivaci funkce f v bodˇe A = [1, −2] ve smˇeru, kter´ y je urˇcen vektorem −−→ ⃗s = AB, kde bod B = [0, 0]. Popiˇste chov´an´ı funkce f v bodˇe A v dan´em smˇeru (funkce roste, resp. kles´a, jak rychle (odhad)). c) Napiˇste rovnici teˇcn´e roviny a parametrick´e vyj´adˇren´ı norm´aly ke grafu funkce f v bodˇe dotyku [1, −2, ?]. d) Napiˇste rovnice izokˇrivek (tj. f (x, y) = k) t´eto funkce pro k = 0, k = 3. Izokˇrivky naˇcrtnˇete. √ 2. a) Napiˇste (a zd˚ uvodnˇete), ve kter´ ych bodech [x, y] ∈ E2 je funkce z = f (x, y) = − 5y − x2 diferencovateln´a. Mnoˇzinu tˇechto bod˚ u naˇcrtnˇete. b) Vypoˇc´ıtejte parci´aln´ı derivace 1. ˇr´adu dan´e funkce v bodˇe A = [4, 5]. Popiˇste chov´an´ı dan´e funkce v bodˇe A (funkce roste, resp. kles´a, v jak´em smˇeru a odhadnˇete, jak rychle).

1

c) Urˇcete smˇer ⃗s, ve kter´em funkce f v bodˇe A nejrychleji kles´a. Vypoˇc´ıtejte derivaci funkce f v bodˇe A v tomto smˇeru ⃗s. d) Napiˇste diferenci´al funkce f v bodˇe A = [4, 5]. Vypoˇc´ıtejte pˇribliˇznˇe hodnotu funkce f v bodˇe [4.3, 5.3 ]. 3. a) Urˇcete (se zd˚ uvodnˇen´ım) a naˇcrtnˇete v E2 mnoˇzinu, ve kter´e je funkce z = f (x, y) = ln(xy − 4) diferencovateln´a. b) Urˇcete gradient t´eto funkce f v bodˇe A = [−2, −4]. Popiˇste, co vypoˇcten´ y vektor ud´av´a. Urˇcete velikost derivace zadan´e funkce v bodˇe A ve smˇeru gradientu. c) Urˇcete vektor ⃗s, v jehoˇz smˇeru je derivace dan´e funkce v bodˇe A nulov´a. Nulovou hodnotu derivace ovˇeˇrte v´ ypoˇctem. d) Napiˇste rovnice izokˇrivek t´eto funkce pro k = 0 a pro k = ln 4. Izokˇrivky naˇcrtnˇete (tj. kˇrivky f (x, y) = k). 4. Dalˇs´ı varianty u ´loh ˇc. 1 aˇz 3 s jinou funkc´ı f a jin´ ym bodem A. ´ Ulohy 4.7 aˇz 4.11 ˇreˇste bez izokˇrivek, u ´lohy 4.4 aˇz 4.11 bez grafu. √ A = [−7, 1] 4.1. f (x, y) = x2 − 9y 2 − 36 √ A = [−3, 4] 4.2. f (x, y) = 4 − x2 + y 2 √ A = [3, −1] 4.3. f (x, y) = x − y 2 + 2 4.4. f (x, y) = ln (3x − y + 2)

A = [−1, −2]

3x − 2y y

A = [−1, 2]

4.6. f (x, y) = ln (xy 2 )

A = [2, −1]

4.5. f (x, y) =

1 sin y − 3 2 y √ 4.8. f (x, y) = √ − x y x 4.7. f (x, y) = cos x +

4.9. f (x, y) = (x2 + y) e−2x

A = [0, π/2] A = [4, 1] A = [0, 1]

(y) xy 2 A = [1, 1] + arctg 2 x √ 4.11. f (x, y) = ln(xy) − x2 + y 2 − 20 A = [−2, −5]

4.10. f (x, y) =

5. a) Vypoˇc´ıtejte derivaci funkce f (x, y) = x2 − y 2 + 6xy + 2x v bodˇe A = [−1, 2] ve smˇeru urˇcen´em vektorem ⃗s = (2, −2). Je to smˇer maxim´aln´ıho r˚ ustu funkce f v bodˇe A? Zd˚ uvodnˇete ! b) Urˇcete vˇsechny body, v nichˇz je gradient funkce f roven nulov´emu vektoru. c) Najdˇete dotykov´ y bod a rovnici teˇcn´e roviny τ ke grafu funkce f rovnobˇeˇzn´e s rovinou ϱ : 4x + 6y − z + 3 = 0. 6. a) Vypoˇc´ıtejte parci´aln´ı derivace 1. ˇr´adu funkce z = f (x, y) = y 2 sin(x2 − y 2 ). b) Napiˇste rovnici teˇcn´e roviny ke grafu funkce f v bodˇe dotyku [1, 1, ?]. V´ ysledku pouˇzijte pro v´ ypoˇcet pˇribliˇzn´e hodnoty funkce f v bodˇe [0.9, 1.1]. c) Dokaˇzte, ˇze dan´a funkce vyhovuje pro vˇsechna [x, y] ∈ E2 diferenci´aln´ı rovnici ∂f ∂f y2 + xy = 2xz. ∂x ∂y 6.1. Varianta u ´lohy c): Ovˇeˇrte, ˇze funkce u(x, t) = sin(x− ct) a funkce u(x, t) = sin ωct ·sin ωx ∂2u ∂2u vyhovuj´ı diferenci´aln´ı rovnici 2 = c2 (tzv. vlnov´a rovnice). ∂t ∂x2 6.2. Varianta u ´lohy c): Ovˇeˇrte, ˇze funkce u(x, y) = ex sin y vyhovuje diferenci´aln´ı rovnici 2 2 ∂ u ∂ u + 2 = 0 (Laplaceova rovnice). ∂x2 ∂y

2

V´ysledky: 1. Graf: ”horn´ı”ˇc´ast (tj. z ≥ 0) elipsoidu x2 + 2y 2 + z 2 = 18 a) D √ = {[x, y] ∈ E2 : 18 − x2 − 2y 2 > 0}, tj. vnitˇrek elipsy se stˇredem v poˇc´atku, poloosy: a = 3 2, b = 3, v mnoˇzinˇe D m´a dan´a funkce spojit´e parci´aln´ı derivace √ ∂f − b) gradf (A) = (−1/3, 4/3), → s = (−1, 2), → (A) = 3 5/5, dan´a funkce v bodˇe A v dan´em − ∂s smˇeru roste, a to se sklonem asi 50◦ c) τ : z = 3 − (x − 1)/3 + 4(y + 2)/3, po u ´pravˇe: x − 4y + 3z = 18, norm´ala n : (x, y, z) = [1, −2, 3] + t (1, −4, 3), t ∈ R d) Izokˇrivky (vrstevnice) jsou elipsy: x2 + 2y 2 = 18 (hranice D(f ), pro k=0), resp. x2 + 2y 2 = 9 (pro k = 3). 2. Graf: ”doln´ı”ˇc´ast (z ≤ 0) rotaˇcn´ıho paraboloidu y = (x2 + z 2 )/5, osa v ose y. a) V bodech [x, y] ∈ E2 : 5y − x2 > 0, tj. vnitˇrek paraboly s vrcholem v poˇc´atku a osou v ose y, v tˇechto bodech m´a dan´a funkce spojit´e parci´aln´ı derivace. ∂f b) (A) = 4/3, dan´a funkce v bodˇe A v kladn´em smˇeru osy x roste, a to se sklonem asi ∂x ∂f (A) = −5/6, dan´a funkce v bodˇe A v kladn´em smˇeru osy y kles´a, a to se sklonem 50◦ − 55◦ , ∂y ◦ asi 40 . √ ∂f . − c) → s = −gradf (A) = (−4/3, 5/6), − (A) = −∥gradf (A)∥ = − 89/6 = −1.6, tedy pokles se → ∂s . sklonem t´emˇeˇr 60◦ d) df (A) = 43 dx − 56 dy, f (4.3, 5.3 ) = f (A) + 43 0.3 − 56 0.3 = −2.85. 3. a) D = {[x, y] ∈ E2 : xy − 4 > 0}, v mnoˇzinˇe D m´a dan´a funkce spojit´e parci´aln´ı derivace. D je otevˇren´a mnoˇzina ohraniˇcen´a kˇrivkou y = 4/x, D = D1 ∪D2 (mnoˇzina v 1. a 3. kvadrantu) → b) gradf (A) = (−1, −1/2) ud´av´a smˇer maxim´aln´ıho r˚ ustu dan´e funkce v bodˇe A c) − s ⊥gradf (A), − → napˇr. s = (1/2, −1) d) C1 = {[x, y] ∈ E2 : ln(xy − 4) = 0}, tj. kˇrivka y = 5/x, C2 = {[x, y] ∈ E2 : ln(xy − 4) = ln 4}, tj. kˇrivka y = 8/x. 4.1. Graf: ”horn´ı”ˇc´ast (z ≥ 0) dvoud´ıln´eho hyperboloidu x2 − 9y 2 − z 2 = 36, vrcholy v bodech [6, 0, 0], [−6, 0, 0]. 4.2. Graf: ”doln´ı”ˇc´ast rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy, osa v ose z, vrchol v bodˇe [0, 0, 4]. 4.3. Graf: ”horn´ı”ˇc´ast (z ≥ 0) rotaˇcn´ıho paraboloidu x = y 2 + z 2 − 2, osa v ose x, vrchol [−2, 0, 0]. √ ∂f (A) = 11 2. Nen´ı to smˇer maxim´aln´ıho r˚ ustu dan´e funkce v bodˇe A, t´ım je smˇer 5. a) → − ∂s (vektor) gradf (A) = (12, −10) b) x = −1/10, y = −3/10 c) viz [2], pˇr. 140: T = [1, 0, 3], 4x + 6y − z − 1 = 0. 6. a) fx′ (x, y) = 2xy 2 cos(x2 − y 2 ), fy′ (x, y) = 2y sin(x2 − y 2 ) − 2y 3 cos(x2 − y 2 ). . b) z = 2x − 2y, f (0.9, 1.1 ) = −0.4.

3

2. Implicitn´ı funkce 2.1. Funkce jedn´ e promˇ enn´ e y = f (x) definovan´ a implicitnˇ e rovnic´ı F (x, y) = 0 √ 7. a) Vypoˇc´ıtejte parci´aln´ı derivace 1. ˇr´adu funkce F (x, y) = x2 y − x3 − 2 · y + 1. b) Ovˇeˇrte, ˇze rovnic´ı F (x, y) = 0 je v okol´ı bodu [x0 , y0 ] = [1, 4] implicitnˇe urˇcena funkce y = f (x), kter´a m´a spojitou derivaci f ′ (x). c) Urˇcete hodnotu derivace f ′ (1) a napiˇste rovnici teˇcny ke grafu funkce f v bodˇe dotyku [1, 4]. d) Rovnici teˇcny uˇzijte k pˇribliˇzn´emu v´ ypoˇctu hodnoty y = f (x) v bodˇe x = 0.8. 8. Dalˇs´ı varianty t´eto u ´lohy s jinou funkc´ı F a bodem [x0 , y0 ]: 8.1. F (x, y) = y ex + y 2 − 2x2 y − 2, [x0 , y0 ] = [0, 1]; v´ ypoˇcet f ′ (0), rovnice teˇcny a rovnice norm´aly ke grafu funkce y = f (x) v bodˇe [0, 1], popis chov´an´ı t´eto funkce v bodˇe x0 = 0, tj. rostouc´ı, resp. klesaj´ıc´ı, jak rychle (odhad). y2 − x2 y − 1, [x0 , y0 ] = [1, 2]; v´ ypoˇcet f ′ (1), rovnice teˇcny ke grafu funkce 2 y = f (x) v bodˇe [1, 2], popis chov´an´ı t´eto funkce v bodˇe x0 = 1. Pokud v´ıte, ˇze f ′′ (1) = 1, naˇcrtnˇete do jednoho obr´azku teˇcnu a tvar grafu funkce y = f (x) v okol´ı bodu x0 = 1. 8.2. F (x, y) = x3 +

N´asleduj´ıc´ı ˇctyˇri u ´lohy maj´ı spoleˇcnou ˇc´ast a) Napiˇste postaˇ cuj´ıc´ı podm´ınky pro existenci spojit´e funkce y = f (x) urˇcen´e implicitnˇe rovnic´ı F (x, y) = 0 v okol´ı bodu [x0 , y0 ] a pro spojitost jej´ı derivace f ′ (x) v okol´ı bodu x = x0 . 9. b) Ovˇeˇrte (vˇsechny pˇredpoklady), ˇze rovnic´ı F (x, y) = x3 + 2x2 y + y 4 − 1 = 0 je implicitnˇe urˇcena funkce y = f (x), jej´ıˇz graf proch´az´ı bodem [x0 , y0 ] = [2, −1] a kter´a m´a spojitou 1. a 2. derivaci v okol´ı bodu x0 = 2. c) Urˇcete hodnoty derivac´ı f ′ (2) a f ′′ (2). d) Napiˇste Taylor˚ uv polynom 2. stupnˇe T2 (x) funkce f se stˇredem v bodˇe x0 = 2. Pomoc´ı T2 (x) pak vypoˇc´ıtejte pˇribliˇznˇe hodnotu f (x) pro x = 2.2 . 10. b) Ovˇeˇrte (vˇsechny pˇredpoklady), ˇze rovnic´ı F (x, y) = x3 + xy 2 + xy − 7 = 0 je v okol´ı bodu x0 = 1 definov´ana diferencovateln´a kladn´ a funkce y = f (x). Urˇcete hodnotu y0 = f (x0 ). c) Vypoˇctˇete hodnotu derivace f ′ (1) a napiˇste rovnici teˇcny ke grafu funkce f v bodˇe [x0 , y0 ]. d) Zjistˇete, zda je funkce f konvexn´ı nebo konk´avn´ı v okol´ı bodu x0 = 1. Naˇcrtnˇete tvar grafu funkce f v okol´ı bodu [x0 , y0 ]. 11. b) Ovˇeˇrte, ˇze rovnic´ı F (x, y) = x2 + 2y 2 − 2xy − y = 0 je implicitnˇe urˇcena diferencovateln´a funkce y = f (x), jej´ıˇz graf proch´az´ı bodem [x0 , y0 ] = [1, 1]. c) Vyˇsetˇrete, zda funkce y = f (x) m´a v bodˇe x0 = 1 lok´aln´ı extr´em. Pokud ano, urˇcete, zda se jedn´a o lok´aln´ı maximum nebo lok´aln´ı minimum. (Zd˚ uvodnˇete.) 12. b) Ovˇeˇrte, ˇze rovnic´ı F (x, y) = ln(x + y) + 2x + y = 0 je implicitnˇe urˇcena funkce y = f (x), kter´a m´a spojitou derivaci v okol´ı bodu x0 = −1 a splˇ nuje podm´ınku f (−1) = 2. ′ c) Urˇcete hodnotu derivace f (−1). Napiˇste rovnici teˇcny a rovnici norm´aly ke grafu funkce f v bodˇe [−1, 2]. d) Rovnici teˇcny uˇzijte k v´ ypoˇctu pˇribliˇzn´e hodnoty funkce f v bodˇe x = −0.9 . 12.1. Varianta pˇredch´azej´ıc´ı u ´lohy: F (x, y) = xyex−y − 2e = 0, x0 = 1, f (1) = 2, teˇcna ke grafu funkce f v bodˇe [1, 2], v´ ypoˇcet pˇribliˇzn´e hodnoty funkce f v bodˇe x = 1.1 , v´ ypoˇcet ′′ hodnoty 2. derivace f (1).

4

2.2. Funkce dvou promˇ enn´ ych z = f (x, y) definovan´ a implicitnˇ e rovnic´ı F (x, y, z) = 0 13. a) Napiˇste a ovˇeˇrte (vˇsechny pˇredpoklady), ˇze rovnic´ı F (x, y, z) = z 3 + 3x2 z − 2xy = 0 je implicitnˇe urˇcena funkce z = f (x, y), jej´ıˇz graf proch´az´ı bodem A = [−1, −2, 1] a kter´a m´a spojit´e parci´aln´ı derivace 1. ˇr´adu v okol´ı bodu [x0 , y0 ] = [−1, −2]. ∂f b) Urˇcete hodnoty derivac´ı ∂f e [−1, −2]. Napiˇste gradient funkce f v bodˇe ∂x a ∂y v bodˇ [−1, −2]. c) Napiˇste rovnici teˇcn´e roviny τ a rovnici norm´aly n ke grafu funkce f v bodˇe A (tj. t´eˇz k ploˇse popsan´e rovnic´ı F (x, y, z) = z 3 + 3x2 z − 2xy = 0). d) Rovnici teˇcn´e roviny uˇzijte k v´ ypoˇctu pˇribliˇzn´e hodnoty funkce f v bodˇe [−0.9, −2.1].

14. a) Ovˇeˇrte (vˇsechny pˇredpoklady), ˇze rovnic´ı F (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 + xyz − 6 = 0 je implicitnˇe urˇcena funkce z = f (x, y), jej´ıˇz graf proch´az´ı bodem A = [1, 2, −1] a kter´a m´a spojit´e parci´aln´ı derivace 1. ˇr´adu v okol´ı bodu [x0 , y0 ] = [1, 2]. ∂f b) Urˇcete hodnoty parci´aln´ıch derivac´ı ∂f e [1, 2]. ∂x a ∂y v bodˇ − → c) Urˇcete derivaci funkce f v bodˇe [1, 2] ve smˇeru u = (−1, 2). d) Napiˇste smˇer ⃗s, ve kter´em funkce f v bodˇe [1, 2] nejrychleji kles´a. Vypoˇc´ıtejte derivaci funkce f v bodˇe [1, 2] v tomto smˇeru ⃗s.

V´ysledky: . 7. Fx′ (x, y) = 2xy − 3x2 , Fy′ (x, y) = x2 − √1y , f ′ (1) = −10, teˇcna: y = 4 − 10(x − 1), f (0.8) = 6. 8.1 Fx′ (x, y) = y ex −4xy, Fy′ (x, y) = ex +2y −2x2 , f ′ (0) = −1/3, teˇcna: y = 1−x/3, norm´ala: y = 1 + 3x, funkce f je v bodˇe x0 = 1 klesaj´ıc´ı, sklon teˇcny je menˇs´ı neˇz 30o , pˇresnˇeji asi 20o . 8.2 Fx′ (x, y) = 3x2 − 2xy, Fy′ (x, y) = y − x2 , f ′ (1) = 1, teˇcna: y = x + 1, funkce f je v bodˇe x0 = 1 rostouc´ı, sklon teˇcny je 45o . 9. c) f ′ (2) = f ′′ (2) = −1 d) T2 (x) = 1 − x − (x − 2)2 /2, f (2.2) = −1.22. 10. b) y0 = 2 f ′ (1)

c)

f ′′ (1)

− 1) d) = 138/125, f je konvexn´ı. = −9/5, teˇcna: y = 2 − ′ ′′ 11. c) f (1) = 0, f (1) = −2, funkce f m´a v bodˇe x0 = 1 lok´aln´ı maximum. 9 5 (x

12. viz [2], pˇr. 195, f ′ (1) = −3/2. y + xy 12.1 Fx′ (x, y) = (y + xy) ex−y , Fy′ (x, y) = (x − xy) ex−y , f ′ (x) = − , f ′ (1) = 4, x − xy . teˇcna: y = 2 + 4(x − 1), f (1.1) = 2.4, f ′′ (1) = −10. 13. a), b) viz [2], pˇr. 187 c) τ : x − y − 3z + 2 = 0, norm´ala n : (x, y, z) = [−1, −2, 1] + t (1, −1, −3), t ∈ R. Pozn. Teˇcnou rovinu k ploˇse F (x, y, z) = 0 lze urˇcit t´eˇz uˇzit´ım vztahu grad F (A) · (X − A) = 0. √ ∂f ∂f ∂f 14. viz [2], pˇr. 197 b) (1, 2) = −1/5, (1, 2) = −11/5 c) − (1, 2) = −21 5/25 → ∂x ∂y ∂u √ ∂f → − d) s = −gradf (1, 2) = (1/5, 11/5), (1, 2) = − 122/5. → ∂− s

5

3. Extr´ emy funkc´ı dvou promˇ enn´ ych V n´asleduj´ıc´ıch u ´loh´ach a) Napiˇste nutnou podm´ınku pro lok´aln´ı extr´em funkce n-promˇenn´ ych v bodˇe A. Napiˇste postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky pro lok´aln´ı minimum (resp. maximum) funkce f (x, y) v bodˇe A. b) Vyˇsetˇrete lok´ aln´ı extr´ emy dan´e funkce f , tj. urˇcete jejich polohu, typ a funkˇcn´ı hodnotu. 15. f (x, y) = x2 + 12y 2 − 6xy + 4x

21. f (x, y) = xy +

16. f (x, y) = x3 + y 2 − 12x + 6y

22. f (x, y) = x3 + 8y 3 − 6xy + 5

17. f (x, y) = 2y − y 2 − x ex 18. f (x, y) = x3 + y 2 − 2x2 − 2xy + 6

23. f (x, y) = x3 + y 3 + 29 x2 − 12x − 3y √ 24. f (x, y) = x2 + y − x y − 6x + 12

19. f (x, y) = x3 + 3y 2 − 6xy − 9x + 8

25. f (x, y) = ex/2 (x + y 2 )

20. f (x, y) = x2 + 2x + y 4 − 4y + 7

26. f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 6 ln x

50 x

+

20 y

V´ysledky: 15. fmin (−8, −2) = −16. 16. fmin (2, −3) = −25, v bodˇe [−2, −3] nen´ı extr´em. 17. fmax (−1, 1) = 1 + 1/e. 18. fmin (2, 2) = 2, v bodˇe [0, 0] nen´ı extr´em. 19. fmin (3, 3) = −19, v bodˇe [−1, −1] nen´ı extr´em. 20. fmin (−1, 1) = 3. 21. fmin (5, 2) = 30. 22. fmin (1, 1/2) = 4, v bodˇe [0, 0] nen´ı extr´em. 23. fmin (1, 1) = −17/2, fmax (−4, −1) = 58, v bodech [1, −1], [−4, 1] nen´ı extr´em. 24. fmin (4, 4) = 0. 25. fmin (−2, 0) = −2/e. 26. fmin (2, −1) = 3 − 6 ln 2, bod [−2, 1] ∈ / D(f ). 27. a) Vyˇsetˇrete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x, y) = 2x2 + y 2 − xy + 3x + y + 1 . b) Zd˚ uvodnˇete existenci a najdˇete absolutn´ı extr´ emy t´eto funkce na u ´seˇcce AB, kde A = [0, 2], B = [1, 1]. [ a) lok´aln´ı fmin (−1, −1) = −1, b) fmin (1/2, 3/2) = 6, fmax (0, 2) = fmax (1, 1) = 7]. V n´asleduj´ıc´ıch tˇrech u ´loh´ach a) Zd˚ uvodnˇete existenci absolutn´ıch extr´ em˚ u funkce f na dan´e mnoˇzinˇe M . b) Absolutn´ı extr´ emy vyˇsetˇrete, tj. stanovte jejich polohu a vypoˇc´ıtejte hodnotu maxima i minima funkce f na mnoˇzinˇe M . 28. f (x, y) = x2 + xy − 3x − y, M = { [x, y] ∈ E2 ; x + y ≤ 3, x ≥ 0, y ≥ 0 }. [ fmin (0, 3) = −3, fmax (0, 0) = fmax (3, 0) = 0]. 29. f (x, y) = x2 − 2x + y 2 , M = { [x, y] ∈ E2 ; x2 + y 2 ≤ 9, y ≥ 0 } (Pro vyˇsetˇren´ı bod˚ u na hranici m˚ uˇzete uˇz´ıt pol´arn´ıch souˇradnic, u ´lohu vˇsak lze ˇreˇsit i bez nich.) [ fmin (1, 0) = −1, fmax (−3, 0) = 15]. 30. f (x, y) = x + ln x − y 2 , M = { [x, y] ∈ E2 ; y = x + 1, 1/4 ≤ x ≤ 1}. . . [ fmin (1, 2) = −3, fmax (1/2, 3/2) = −7/4 − ln 2 = −2, 4, f (1/4, 5/4) = −21/16 − ln 4 = −2, 7 nen´ı extr´em ] .

6