Matematika Ekonomi, MKK30234 FEBI, IAIN Palopo
©Aswad2016
9/20/2016
1
©Aswad2016
9/20/2016
2
Definisi 1.1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggotaanggota dari himpunan. Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital seperti A, B, D, dsb. Sementara untuk menyatakan setiap elemennya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dsb.
a ∈ A : a adalah anggota/elemen dari himpunan A b ∉ A : b bukan anggota dari himpunan A
©Aswad2016
9/20/2016
3
Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam beberapa cara: 1. Enumerasi Contoh 1: A = {1, 2, 3, 4} 2. Notasi pembentuk himpunan Contoh 2: A = {x| x < 5, x ∈ ℕ} B = {x| 0 ≤ x < 1, x ∈ ℝ} Cara ke-2 sangat sering digunakan terutama untuk kasus himpunan yang tidak berhingga (infinite set).
©Aswad2016
9/20/2016
4
Definisi 1.2. Suatu himpunan dengan jumlah elemen yang berhingga disebut dengan himpunan berhingga (finite set). Jumlah elemen dari himpunan berhingga A disebut dengan kardinal dari himpunan A dan dinotasikan dengan n(A) atau |A|. Himpunan dengan jumlah elemen yang tidak berhingga disebut dengan himpunan tak berhingga (infinite set).
©Aswad2016
9/20/2016
5
Contoh 3. Berdasarkan Contoh 2, maka n(A) = 4, dan n(B) = ∞
©Aswad2016
9/20/2016
6
Definisi 1.3. 1. Himpunan B disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan A (B ⊆ A) jika setiap anggota di B adalah juga anggota di A. 2. Dua buah himpunan A dan B dikatakan sama (A = B) jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A. 3. Himpunan A dikatakan himpunan kosong / empty set (A = ∅ atau A = {}) jika himpunan A tidak memiliki elemen. Atau dengan kata lain kardinal dari A samadengan 0 (n(A) = 0).
©Aswad2016
9/20/2016
7
Contoh 4. 1. Misalkan A = {1, 3, 5}, dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Maka A ⊆ B. 2. Jika K = {0, 1} dan L = {x | x(x – 1) = 0}, maka K = L. 3. S = {orang indonesia yang pernah ke bulan} =∅
©Aswad2016
9/20/2016
8
Definisi 1.4. Misalkan diberikan himpunan A. Himpunan dari semua himpunan bagian dari A disebut dengan power set dari A, disimbolkan dengan P(A).
©Aswad2016
9/20/2016
9
Contoh 5. Misalkan K = {1, 3, 5}. Himpunan bagian dari K adalah K1 = {1}, K2 = {3}, K3 = {5}, K4 = {1, 3}, K5 = {1, 5}, K6 = {3, 5}, K7 = {1, 3, 5}, dan K8 = ∅. Karena K1 sampai dengan K8 merupakan himpunan bagian dari K maka power set dari K = P(K) = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, K7, K8}.
©Aswad2016
9/20/2016
10
Banyaknya elemen / kardinal dari suatu power set dari suatu himpunan terbatas A, ditulis n(P(A)) sama dengan 2 dipangkatkan dengan kardinal dari himpunan A. n((P(A)) = 2n(A)
©Aswad2016
9/20/2016
11
Contoh 6. Perhatikan kembali Contoh 5. Diketahui n(K) = 3. Sehingga n(P(K)) = 2n(K) = 23 = 8.
©Aswad2016
9/20/2016
12
©Aswad2016
9/20/2016
13
Definisi 2.1. Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A atau himpunan B. Notasi : A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}.
©Aswad2016
9/20/2016
14
Definisi 2.2. Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B. Notasi : A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}.
©Aswad2016
9/20/2016
15
Definisi 2.3. Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B. Notasi: A – B = {x | x ∈ A dan x ∉ B} = A ∩ B
©Aswad2016
9/20/2016
16
Definisi 2.4. Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A. Notasi: Ac = {x | x ∈ U dan x ∉ A}.
©Aswad2016
9/20/2016
17
Contoh 7. Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {3, 5, 7}, dan B = {2, 3, 4, 7, 8}. Maka: a) A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 7, 8}. b) A ∩ B = {3, 7}. c) A – B = {5}. d) B – A = {2, 4, 8}. e) Ac = {1, 2, 4, 6, 7, 8} f) Bc = {1, 5, 6}.
©Aswad2016
9/20/2016
18
Misalkan diberikan suatu himpunan A, B, dan C. Beberapa sifat dasar yang berlaku pada himpunan tersebut diantaranya: 1. Komutatif A∩B=B∩A A∪B=B∪A 2. Assosiatif (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 3. Distributif (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ©Aswad2016
9/20/2016
19
Contoh 8. Misalkan A = {3, 4, 5}, B = {3, 5, 6, 7}, dan C = {2, 3}. Maka: (A ∩ B) ∪ C = {3, 5} ∪ {2, 3} = {2, 3, 5} (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = {2, 3, 4, 5} ∩ {2, 3, 5, 6, 7} = {2, 3, 5} Jadi terlihat bahwa (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = {2, 3, 5}.
©Aswad2016
9/20/2016
20
Misalkan A dan B adalah suatu himpunan berhingga. |A| dan |B| melambangkan kardinal dari A dan B. Maka: a) |A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B| b) |A – B| = |A| – |A ∩ B| = |A ∪ B| – |B|
©Aswad2016
9/20/2016
21
Contoh 9. Suatu dealer mobil telah menjual 350 buah mobil sepanjang tahun ini. Dari jumlah tersebut, 130 mobil memiliki ekstra penyejuk udara, 255 mobil memiliki power steering, dan 110 mobil memiliki sistem navigasi. Sementara itu, 75 mobil memiliki power steering dan sistem navigasi, 10 mobil hanya memiliki sistem navigasi, 20 mobil tidak memiliki ekstra penyejuk udara, power steering, maupun sistem navigasi, dan 10 mobil lagi justru memiliki ketiganya. Jika dimisalkan A adalah himpunan mobil yang memiliki ekstra penyejuk udara, P adalah himpunan mobil yang memiliki power steering, dan N adalah himpun mobil dengan sistem navigasi, gambarkan diagram venn-nya. ©Aswad2016
9/20/2016
22
Penyelesaian: Diketahui |S| = 350, |A| = 130, |P| = 255, |N| = 110, |P ∩ N| = 75, |N – (A ∪ P)| = 10, |A ∪ P ∪ N|c = 20, dan |A ∩ P ∩ N| = 10.
©Aswad2016
9/20/2016
23
Berdasarkan diagram venn tersebut, maka x + y + 35 = 130 atau x + y – 95 = 0 (1) y + z + 75 = 255 atau y + z – 180 = 0 (2) x + y + z + 110 = 350 – 20 atau x + y + z – 220 = 0 (3) dari (1) dan (2) diperoleh x = z – 85 dari (3) diperoleh y = 180 – z Selanjutnya, subtitusi x = z – 85 dan y = 180 – z ke persamaan (3) x + y + z – 120 = 0 ⇔ (z – 85) + (180 – z) + z – 220 = 0 ⇔ (z – 85) + (180 – z) – + z – 220 = 0 ⇔ z = 125 Jadi, x = 125 – 85 = 40 dan y = 180 – 125 = 55.
©Aswad2016
9/20/2016
24
Sehingga diagram venn-nya menjadi:
©Aswad2016
9/20/2016
25
Definisi 2.5. Suatu pasangan terurut (a, b) dengan a ∈ A dan b ∈ B disebut hasil kali produk/cartesian product dari A x B. Notasi: A x B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B}.
©Aswad2016
9/20/2016
26
Contoh 10. Misalkan A = {2, 3} dan B = {3, 4, 5}. A x B = {(2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5)} B x A = {(3, 2), (4, 2), (5, 2), (3, 3), (4, 3), (5, 3)}
©Aswad2016
9/20/2016
27
Misalkan A dan B himpunan berhingga dengan |A| = n dan |B| = m. Maka |A x B| = |B x A| = |A| . |B| = n . m.
Contoh 11. Perhatikan kembali Contoh 10 |A| = 2 dan |B| = 3. Jadi, |A x B| = |B x A| = 2 . 3 = 6.
©Aswad2016
9/20/2016
28
©Aswad2016
9/20/2016
29
©Aswad2016
9/20/2016
30
©Aswad2016
9/20/2016
31
©Aswad2016
9/20/2016
32
