Matematika – B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: • •
povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry
Rozsah předmětu: • •
prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr
Zakončení předmětu: • •
ZS zápočet LS zkouška (komb.), zápočet + zkouška (prez.)
Požadavky: • •
zápočet – samostatná práce a/nebo test (min. 50%) zkouška – písemná, min. 50% úspěšnost
Literatura • JIRÁSEK – BENDA: Matematika pro bakalářské studium, Ekopress 2006 • HORÁK: Matematika I, BIVŠ 2005 • HORÁK: Matematika II, BIVŠ 2006 • JIRÁSEK – KRIEGELSTEIN - TICHÝ: Sbírka řešených příkladů z matematiky, SNTL 1990 • FINNEY – THOMAS: Thomas´ Calculus – Alternate Edition, Addison-Wesley 2003 • učebnice matematiky pro 1. ročníky VŠE, ČVUT, … • učebnice středoškolské matematiky, sbírky úloh
0. Úvod, základní pojmy a označení Výrazové prostředky – matematický jazyk: • symboly (abeceda) • pravidla (gramatika) – z matematické logiky
Výrok: každé sdělení, o němž lze rozhodnout, zda je pravdivé nebo nepravdivé. • 3 + 2 = 5 … pravdivý výrok • 22 + 32 > 20 … nepravdivý výrok • 𝑥 2 > 4 … není výrok, pokud neznáme hodnotu x … výroková forma
Kvantifikovaný výrok: obsahuje údaj o množství objektů, pro něž je splněna daná podmínka – uvedeno kvantifikátorem.
Kvantifikátory: • obecný (velký) – symbol ∀ – „pro každý prvek platí…“ • existenční (malý) – symbol ∃ – „existuje (alespoň jeden) prvek, pro který platí…“ Kvantifikovaný výrok – zápis: ∀𝑥 ∈ 𝑀: 𝑃(𝑥), resp. ∃𝑥 ∈ 𝑀: 𝑃 𝑥 (pro každý prvek x množiny M platí podmínka P(x), resp. existuje alespoň jeden prvek…)
Úloha – rozhodněte o pravdivosti výroků (R je množina reálných čísel): • ∀𝑥 ∈ 𝐑: 𝑥 2 ≥ 0,
∀𝑥 ∈ 𝐑: 𝑥 2 > 0,
• ∀𝑥 ∈ 𝐑 ∃𝑦 ∈ 𝐑: 𝑦 > 𝑥 2 , • ∀𝑥 ∈ 𝐑 ∀𝑦 ∈ 𝐑: 𝑥 2 + 𝑦 2 < 1
∃𝑥 ∈ 𝐑: 𝑥 2 = 4
∃𝑦 ∈ 𝐑 ∀𝑥 ∈ 𝐑: 𝑦 > 𝑥 2
Operace s výroky, logické operátory (V, V1, V2 výroky) Operátor negace
Zápis ¬𝑉
Vyjádření „není pravda, že V“, „neplatí V“
konjunkce disjunkce implikace
𝑉1 ∧ 𝑉2 𝑉1 ∨ 𝑉2 𝑉1 ⇒ 𝑉2
„V1 a zároveň V2“ „V1 nebo V2“ (nevylučovací) „jestliže V1, pak V2“
ekvivalence
𝑉1 ⇔ 𝑉2
„V1 právě tehdy, když V2“
Implikace – poznámky: • • • •
z (vlastnosti) V1 plyne (vlastnost) V2 , V1 je postačující podmínka (pro V2), V2 nutná podm. (pro V1), pokud V1 neplatí, nelze rozhodnout o platnosti V2 , tvrzení nelze mechanicky obrátit.
Ekvivalence – poznámky: • V1 a V2 jsou ekvivalentní (znamenají totéž), • z (vlastnosti) V1 plyne (vlastnost) V2 a naopak, • V1 je nutná a postačující podmínka pro V2 (a naopak).
Většina matematických tvrzení (vět) je formulována ve tvaru implikace nebo ekvivalence: „Má-li funkce f v bodě 𝑐 ∈ 𝐑 derivaci (vlastnost V1), je v tomto bodě spojitá (vlastnost V2).“
Úloha: Jaký tvar má negace kvantifikovaného výroku? Rozmyslete pro výše uvedené příklady výroků.
Pojem množiny, množinové operace • základní pojem moderní matematiky, • množina intuitivně: soubor nějakých objektů (prvků množiny), • lze rozhodnout, zda konkrétní objekt do dané množiny patří (je jejím prvkem – zápis 𝑥 ∈ 𝑀) nebo nepatří (zápis 𝑦 ∉ 𝑀).
Nejčastější zadání množiny: • výčtem prvků: 𝑀 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 𝐹 = 𝐽𝑜𝑠𝑒𝑓 𝐵𝑒𝑘, 𝑅𝑢𝑑𝑜𝑙𝑓 𝐷𝑒𝑦𝑙, 𝐽𝑎𝑛 𝑊𝑒𝑟𝑖𝑐ℎ • pomocí vlastnosti prvků množiny: zápis 𝑀 = 𝑥; 𝑉(𝑥) .
Některá běžná označení: • N – přirozená čísla, 𝐍 = 1, 2, 3, … ; R – reálná čísla; • Z – celá čísla; ∅ - prázdná množina. Příklad: 𝑀 = 𝑥 ∈ 𝐑; 𝑥 2 < 0 = ∅ .
Množinové operace (A, B jsou množiny) Operace Zápis sjednocení 𝐴∪𝐵 průnik 𝐴∩𝐵 rozdíl (doplněk) 𝐴 ∖ 𝐵 podmnožina 𝐴⊂𝐵
Význam - obsah prvky 𝑥 ∈ 𝐴 nebo 𝑥 ∈ 𝐵 prvky 𝑥 ∈ 𝐴 a zároveň 𝑥 ∈ 𝐵
prvky 𝑥 ∈ 𝐴 a zároveň 𝑥 ∉ 𝐵 jestliže 𝑥 ∈ 𝐴, pak také 𝑥 ∈ 𝐵
Poznámka: 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ - množiny A, B nemají společné body, jsou disjunktní. Úloha: Platí rovnost 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥; 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 . Popište obdobným způsobem množiny 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∖ 𝐵.
I. Lineární algebra I.1. Vektory, vektorové prostory Poznámka – geometrický přístup: • vektor – založen na pojmu orientované úsečky (spojuje dva body v rovině, příp. v prostoru), • pro 𝐴 = 𝑎1 , 𝑎2 (počáteční bod), 𝐵 = 𝑏1 , 𝑏2 (koncový bod) definujeme vektor 𝒖 = 𝑏1 − 𝑎1 , 𝑏2 − 𝑎2 , • velikost vektoru 𝒖 = vzdálenost bodů A, B: 𝒖 = 𝑑 𝐴, 𝐵 = (𝑏1 − 𝑎1 )2 +(𝑏2 − 𝑎2 )2 . • Rovina s takto definovanou vzdáleností bodů představuje dvourozměrný euklidovský prostor E2. • Analogicky: n-rozměrný euklidovský prostor En.
Aritmetické vektory Def: Aritmetickým n-rozměrným vektorem nazýváme uspořádanou n-tici reálných čísel tvaru 𝒖 = 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 , 𝑢𝑖 ∈ 𝐑 (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛). Čísla 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 se nazývají souřadnice vektoru 𝒖. Množinu všech n-rozměrných aritmetických vektorů označujeme 𝑉𝑛 (𝑛 ∈ 𝐍).
Poznámky: • „uspořádané“ n-tice… vektory 𝒖 = 1, 2, 3 , 𝒗 = 2, 3, 1 , 𝒘 = (3, 2, 1) jsou navzájem různé (𝑛 = 3);
• příklad: vektor 𝒐 = (0, 0, 0, 0) je tzv. nulový vektor (ve 𝑉4 ).
Operace s vektory Pro libovolné vektory 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑉𝑛 (𝑛 ∈ 𝐍), 𝒖 = 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 , 𝒗 = (𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ) a libovolné 𝑐 ∈ 𝐑 definujeme: • 𝒘 = 𝒖 + 𝒗 = (𝑢1 + 𝑣1 , 𝑢2 + 𝑣2 , … , 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 ) (součet vektorů 𝒖 a 𝒗), • 𝒛 = 𝑐 ⋅ 𝒖 = 𝑐𝑢1 , 𝑐𝑢2 , … , 𝑐𝑢𝑛 (násobek vektoru 𝒖 skalárem 𝑐). Poznámka: Součet vektorů z množiny 𝑉𝑛 a číselný násobek vektoru z množiny 𝑉𝑛 jsou opět vektory patřící do 𝑉𝑛 … množina 𝑉𝑛 je uzavřená vzhledem k uvedeným operacím.
Vlastnosti operací (ve Vn) Pro libovolné vektory 𝒖, 𝒗, 𝒘 ∈ 𝑉𝑛 a libovolné hodnoty 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐑 platí: (a) 𝒖 + 𝒗 ∈ 𝑉𝑛 , 𝑐 ⋅ 𝒖 ∈ 𝑉𝑛 (uzavřenost), (b1) 𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖 (komutativnost), (b2) 𝒖 + 𝒗 + 𝒘 = 𝒖 + (𝒗 + 𝒘) (asociativnost), (b3) 1 ⋅ 𝒖 = 𝒖, (b4) 𝑐 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝒖 = 𝑐𝑑 ⋅ 𝒖, (b5) 𝑐 ⋅ 𝒖 + 𝒗 = 𝑐 ⋅ 𝒖 + 𝑐 ⋅ 𝒗 (distributivnost), (b6) 𝑐 + 𝑑 ⋅ 𝒖 = 𝑐 ⋅ 𝒖 + 𝑑 ⋅ 𝒖,
Vlastnosti operací - pokračování (c) existuje nulový vektor 𝒐 = (0, 0, … , 0) ∈ 𝑉𝑛 , pro který platí 𝒖 + 𝒐 = 𝒖 (pro každé 𝒖 ∈ 𝑉𝑛 ), (d) k vektoru 𝒖 ∈ 𝑉𝑛 existuje právě jeden vektor −𝒖 ∈ 𝑉𝑛 (tzv. opačný vektor), pro který platí 𝒖 + −𝒖 = 𝒐.
Vlastnosti (a) až (d) … axiomy vektorového prostoru. Def: Neprázdná množina V, na níž jsou definovány operace součtu a násobku reálným číslem s vlastnostmi (a) až (d), se nazývá vektorový prostor (místo Vn píšeme V).
Jednoduché vlastnosti vektorových prostorů
Pro vektory 𝒖 = (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 ), 𝒗 = (𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ) ∈ 𝑉𝑛 platí: 𝒖 = 𝒗 ⇔ (𝑢1 = 𝑣1 , 𝑢2 = 𝑣2 , … , 𝑢𝑛 = 𝑣𝑛 ). V libovolném vektorovém prostoru V platí: (a) Existuje jediný nulový prvek 𝒐 ∈ 𝑉 (neutrální vzhledem ke sčítání – jednoznačnost nulového prvku). (b) Pro každé 𝒖 ∈ 𝑉 a každé 𝑐 ∈ 𝐑 je • 0 ⋅ 𝒖 = 𝒐, • 𝑐 ⋅ 𝒐 = 𝒐, • −1 ⋅ 𝒖 = −𝒖.
Lineární kombinace V – vektorový prostor; jsou dány vektory 𝒖1 , 𝒖2 , … , 𝒖𝑛 ∈ 𝑉 a konstanty 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 ∈ 𝐑. Výraz 𝑐1 𝒖1 + 𝑐2 𝒖2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝒖𝑛 se nazývá lineární kombinace daných vektorů (s koeficienty 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 ). Problém: Pro jaké hodnoty 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 platí rovnost (1) 𝑐1 𝒖1 + 𝑐2 𝒖2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝒖𝑛 = 𝒐 ? • Rovnost (1) platí pro 𝑐1 = 𝑐2 = ⋯ = 𝑐𝑛 = 0. • Rovnost může platit i pro některé 𝑐𝑖 ≠ 0 (závisí na daných vektorech). Příklad pro 𝑛 = 2: (a) 𝒖1 = 1, 3 , 𝒖2 = 𝒐; (b) 𝒖1 = 1, 3 , 𝒖2 = (3, 9).
Lineární závislost a nezávislost Def: Skupina vektorů 𝒖1 , 𝒖2 , … , 𝒖𝑛 ∈ 𝑉 se nazývá • lineárně závislá (LZ), jestliže existují konstanty 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 ∈ 𝐑 ne všechny nulové, pro něž platí (1); • lineárně nezávislá (LN), jestliže není LZ. Poznámka: Skupina n vektorů je LN právě tehdy, když rovnost (1) platí pouze pro 𝑐1 = 𝑐2 = ⋯ = 𝑐𝑛 = 0. Úloha: Rozhodněte o lineární závislosti/nezávislosti dané n-tice vektorů (𝑛 = 2, 𝑛 = 3): (a) 𝒖1 = 1, 2 , 𝒖2 = 3, 4 ; (b) 𝒖1 = 2, −5 , 𝒖2 = −4, 10 ; (c) 𝒖1 = 2, −1, 0 , 𝒖2 = 1, 4, 7 , 𝒖3 = 3, 3, 7 ; (d) 𝒖1 = 1, 2, 3 , 𝒖2 = −2, 0, 5 , 𝒖3 = 4, 0, 0 .
Zjišťování lineární závislosti/nezávislosti Věta: Skupina vektorů 𝒖1 , 𝒖2 , … , 𝒖𝑛 ∈ 𝑉 je LZ právě když některý z nich je možno vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Příklad – předchozí úloha (c): 𝒖3 = 𝒖1 + 𝒖2 . Úloha: Zformulujte odpovídající tvrzení pro případ 𝑛 = 2. (Porovnejte s předchozí úlohou (a), (b).)
Poznámka: Je-li skupina vektorů 𝒖1 , 𝒖2 , … , 𝒖𝑛 ∈ 𝑉 LZ, pak každá skupina vektorů, která tyto vektory obsahuje, je rovněž LZ. Problém – příklad: Jak početná může být LN skupina vektorů v prostoru Vn? Uvažujme 𝑛 = 2; 𝒖1 = 1, 2 , 𝒖2 = 3, 0 , 𝒖3 = 1, 8 .
Báze a dimenze vektorového prostoru Def: Nechť 𝑛 ∈ 𝐍. Řekneme, že vektorový prostor V je n-rozměrný (má dimenzi n, píšeme dim 𝑉 = 𝑛), jestliže platí: • v prostoru V existuje LN skupina n vektorů, • každá skupina více než n vektorů z prostoru V je LZ. Je-li V n-rozměrný vektorový prostor, pak každou LN skupinu n vektorů ve V nazýváme bází prostoru V. Poznámka – ekvivalentní definice: • báze prostoru V = maximální LN skupina vektorů prostoru V, • dimenze prostoru V = počet prvků jeho báze.
Vztah báze – vektorový prostor
Věta: Skupina vektorů 𝒖1 , 𝒖2 , … , 𝒖𝑛 ∈ 𝑉 tvoří bázi prostoru V právě když každé 𝒖 ∈ 𝑉 lze vyjádřit jednoznačně jako jejich lineární kombinaci 𝒖 = 𝑐1 𝒖1 + 𝑐2 𝒖2 + … + 𝑐𝑛 𝒖𝑛 . Příklad: Vektory 𝒆1 = 1, 0, 0 , 𝒆2 = 0, 1, 0 , 𝒆3 = (0, 0, 1) tvoří bázi prostoru V3. Úloha: Navrhněte bázi analogického tvaru pro prostory V4, V5, Vn (𝑛 ∈ 𝐍).
Prostor Vn n-rozměrných aritmetických vektorů je n-rozměrný, neboli 𝐝𝐢𝐦 𝑽𝒏 = 𝒏.
Báze vektorového prostoru - poznámky • Každá báze vektorového prostoru V je LN. Ale: ne každá LN skupina vektorů ve V je báze. Příklad: 𝑉 = 𝑉3 , 𝒆1 = 1, 0, 0 , 𝒆2 = (0, 1, 0). • Báze vektorového prostoru V není určena jednoznačně. • Každou LN skupinu vektorů z prostoru V lze doplnit na bázi prostoru V. Typická úloha: Je dána skupina vektorů 𝒖1 , … , 𝒖𝑘 ∈ 𝑉𝑛 . a) Zjistěte, zda dané vektory jsou LN, resp. tvoří bázi. b) Vyjádřete daný vektor 𝒗 jako lineární kombinaci 𝒗 = 𝑐1 𝒖1 + 𝑐2 𝒖2 + ⋯ + 𝑐𝑘 𝒖𝑘 .
Podprostor vektorového prostoru Def: Nechť V je vektorový prostor, 𝑊 ⊂ 𝑉. Množina W je podprostor prostoru V, je-li uzavřená vzhledem k operacím součtu a číselného násobku ve V, tj. platí ∀𝒖 ∈ 𝑊 ∀𝒗 ∈ 𝑊 ∀𝑐 ∈ 𝐑: 𝒖 + 𝒗 ∈ 𝑊, 𝑐 ⋅ 𝒖 ∈ 𝑊 .
Příklad: 𝑉 = 𝑉3
• 𝑊1 = 𝑐, 𝑑, 0 ; 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐑 je podprostor V, • 𝑊2 = 𝑐, 𝑑, 1 ; 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐑 , 𝑊3 = 𝑐, 𝑑, 0 ; 𝑐 ∈ 𝐑, 𝑑 > 0 nejsou podprostory prostoru V (proč?).
Věta: Je-li 𝒖1 , 𝒖2 , … , 𝒖𝑘 skupina vektorů z prostoru V, pak množina W všech lineárních kombinací tvaru 𝒗 = 𝑐1 𝒖1 + 𝑐2 𝒖2 + ⋯ + 𝑐𝑘 𝒖𝑘 je podprostorem prostoru V.
Lineární obal, jeho báze a dimenze Def: Množina (prostor) W z předchozí věty se nazývá lineární obal skupiny vektorů 𝒖1 , 𝒖2 , … , 𝒖𝑘 a značí se Lin(𝒖1 , 𝒖2 , … , 𝒖𝑘 ). (Prostor W je generován skupinou vektorů 𝒖1 , 𝒖2 , … , 𝒖𝑘 .)
Věta: Nechť 𝑊 = Lin(𝒖1 , 𝒖2 , … , 𝒖𝑘 ) je podprostor prostoru Vn. Pak platí: a) Je-li skupina 𝐵 = 𝒖1 , 𝒖2 , … , 𝒖𝑘 LN, pak tvoří bázi prostoru W, dim 𝑊 = 𝑘. b) Je-li skupina B LZ, pak dim 𝑊 < 𝑘, bázi prostoru W tvoří maximální LN část skupiny B. Úloha: Jaký vztah může být mezi hodnotami k a n?
Skalární součin Def: Skalárním součinem vektorů 𝒖 = (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 ), 𝒗 = (𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ) v prostoru Vn nazýváme číslo 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 + ⋯ + 𝑢𝑛 𝑣𝑛 . Velikost vektoru 𝒖 ∈ 𝑉𝑛 definujeme předpisem 𝒖 = 𝑢1 2 + 𝑢2 2 + ⋯ + 𝑢𝑛 2 . Vlastnosti: Pro libovolné 𝒖, 𝒗, 𝒘 ∈ 𝑉𝑛 a libovolné 𝑐 ∈ 𝐑 platí: (a) 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒗 ∙ 𝒖 ; (b) 𝒖 + 𝒗 ∙ 𝒘 = 𝒖 ∙ 𝒘 + 𝒗 ∙ 𝒘 ; (c) 𝑐 ⋅ 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝑐 ⋅ (𝒖 ∙ 𝒗) ; (d) 𝒖 ∙ 𝒖 ≥ 0, přičemž rovnost platí pouze pro 𝒖 = 𝒐.
Součinový prostor, ortogonalita Def: Vektorový prostor V, v němž lze zavést skalární součin s vlastnostmi (a) až (d), se nazývá součinový prostor. Velikost vektoru 𝒖 ∈ 𝑉 definujeme předpisem 𝒖 = 𝒖∙𝒖.
Def: Nechť V je součinový prostor. (a) Vektory 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑉 nazveme ortogonální, jestliže platí 𝒖 ∙ 𝒗 = 0. (b) Vektory 𝒖1 , 𝒖2 , … , 𝒖𝑘 tvoří ortogonální soustavu ve V, jestliže platí 𝒖𝑖 ∙ 𝒖𝑗 = 0 pro všechna 𝑖, 𝑗 ∈ 1, 2, … , 𝑘 , 𝑖 ≠ 𝑗.
V součinovém prostoru V platí:
• Nulový vektor je ortogonální k libovolnému vektoru 𝒖 ∈ 𝑉, tedy 𝒖 ∙ 𝒐 = 0 pro každé 𝒖 ∈ 𝑉. • Ortogonální soustava nenulových vektorů je LN. Příklad – ortogonální soustava ve 𝑉 = 𝑉3 : (a) 𝒆1 = 1, 0, 0 , 𝒆2 = 0, 1, 0 , 𝒆3 = (0, 0, 1); (b) 𝒖1 = 1, 2, 3 , 𝒖2 = 3, 0, −1 , 𝒖3 = (1, −5, 3). Úloha: Jaký je vztah mezi pojmy ortogonální soustava ↔ lineárně nezávislá soustava ? Uvažujte ve V3 skupinu vektorů 𝒗1 = 1, 2, 3 , 𝒗2 = −1, 1, 0 , 𝒗3 = (0, 2, 0).
