Matematika – B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: • •
povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry
Rozsah předmětu: • •
prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr
Zakončení předmětu: • •
ZS zápočet LS zkouška (komb.), zápočet + zkouška (prez.)
Požadavky: • •
zápočet – samostatná práce a/nebo test (min. 50%) zkouška – písemná, min. 50% úspěšnost
I.2. Matice a determinanty
Def: Maticí typu 𝒎 × 𝒏 nazýváme schéma 𝑚𝑛 reálných čísel tvaru 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,𝑛 𝑎2,1 𝑎2,2 ⋯ 𝑎2,𝑛 𝑨= . ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑚,1 𝑎𝑚,2 ⋯ 𝑎𝑚,𝑛 • 𝑚, 𝑛 jsou přirozená čísla; 𝑎𝑖,𝑗 ∈ 𝐑 – prvky matice; • matice má m řádků (vektorů z Vn) a n sloupců (vektorů z Vm); • zkrácený zápis: 𝑨 = (𝑎𝑖,𝑗 ); • 𝑎1,1 , 𝑎2,2 , 𝑎3,3 , … - hlavní diagonála matice.
Základní pojmy … 𝑨 = 𝒂𝒊,𝒋 je matice typu 𝒎 × 𝒏 • 𝑎𝑖,𝑗 = 0 pro všechna i, j … 𝑨 = 𝑶 (nulová matice); • 𝑎𝑖,𝑗 = 0 pro všechna i, j, 𝑖 > 𝑗 … trojúhelníková matice. 3 Příklad: 𝑨 = 0 0
4 7 2 1 0 5
0 6 , 𝑚 = 3, 𝑛 = 4. 2
• Matice 𝑩 = (𝑏𝑖,𝑗 ) typu 𝑛 × 𝑚, 𝑏𝑖,𝑗 = 𝑎𝑗,𝑖 pro všechna i, j … m. transponovaná k matici A, 𝑩 = 𝑨𝑇 . 3 Příklad: 𝑨 = 2
3 2 1 0 , 𝑩 = 𝑨𝑇 = 1 5 . 5 6 0 6
Základní pojmy - pokračování • Matice A typu 𝑛 × 𝑛 … čtvercová matice stupně n; • 𝑨 = 𝑨𝑇 … symetrická matice;
• čtvercová matice E stupně n tvaru 1 0 0 ⋯ 0 1 0 𝑬= … jednotková matice; ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 (𝑒𝑖,𝑖 = 1 pro všechna i, 𝑒𝑖,𝑗 = 0 pro 𝑖 ≠ 𝑗).
• Rovnost matic: 𝑨 = 𝑩, jestliže platí: o obě matice jsou stejného typu 𝑚 × 𝑛, o 𝑎𝑖,𝑗 = 𝑏𝑖,𝑗 pro všechna 𝑖 = 1, … , 𝑚, 𝑗 = 1, … , 𝑛.
Operace s maticemi Nechť 𝑨 = 𝑎𝑖,𝑗 , 𝑩 = (𝑏𝑖,𝑗 ) jsou matice typu 𝑚 × 𝑛, 𝑘 ∈ 𝐑. Pak definujeme: • 𝑨 + 𝑩 = 𝑪 = (𝑐𝑖,𝑗 ), 𝑐𝑖,𝑗 = 𝑎𝑖,𝑗 + 𝑏𝑖,𝑗 (𝑖 = 1, … , 𝑚, 𝑗 = 1, … , 𝑛) … součet matic A a B; • 𝑘 ∙ 𝑨 = 𝑫 = 𝑑𝑖,𝑗 , 𝑑𝑖,𝑗 = 𝑘𝑎𝑖,𝑗 (𝑖 = 1, … , 𝑚, 𝑗 = 1, … , 𝑛) … násobek matice A skalárem k.
Poznámka: Matice 𝑪 = 𝑨 + 𝑩, 𝑫 = 𝑘 ∙ 𝑨 jsou opět matice typu 𝑚 × 𝑛. Úloha: Definujte rozdíl matic 𝑭 = 𝑨 − 𝑩, jsou-li matice A, B typu 𝑚 × 𝑛. Jakého typu je matice F?
Operace s maticemi - pokračování
Věta: Množina 𝑊𝑚,𝑛 všech matic typu 𝑚 × 𝑛 s operacemi sčítání matic a násobení matice skalárem tvoří vektorový prostor. Nulovým prvkem tohoto prostoru je nulová matice O (typu 𝑚 × 𝑛). Úloha: a) Jaká matice je opačným prvkem k matici 𝑨 ∈ 𝑊𝑚,𝑛 ? b) Jaká je dimenze prostoru 𝑊𝑚,𝑛 ? Jaké matice mohou tvořit jeho bázi?
Operace násobení matic: • definována pomocí skalárního součinu vektorů, • obecně nelze násobit matice stejného typu (!)
Operace s maticemi - pokračování Def: Nechť 𝑨 = 𝑎𝑖,𝑗 je typu 𝑚 × 𝑛, 𝑩 = (𝑏𝑖,𝑗 ) je typu 𝑛 × 𝑝. Součinem matic A a B (v tomto pořadí) nazýváme matici 𝑪 = (𝑐𝑖,𝑗 ) typu 𝑚 × 𝑝, jejíž prvky jsou definovány přepisem 𝑐𝑖,𝑗 = 𝑎𝑖,1 𝑏1,𝑗 + 𝑎𝑖,2 𝑏2,𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖,𝑛 𝑏𝑛,𝑗 (𝑖 = 1, 2, … , 𝑚, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑝), zapisujeme 𝑪 = 𝑨 ∙ 𝑩. Poznámky: • počet sloupců matice A = počet řádků matice B; • 𝑐𝑖,𝑗 = skalární součin i-tého řádku 𝒂𝑖 matice A a j-tého sloupce 𝒃𝑗 matice B, 𝑐𝑖,𝑗 = 𝒂𝑖 ∙ 𝒃𝑗 ; • matici A násobíme maticí B zprava, matici B násobíme maticí A zleva, násobení matic není komutativní (ani pro čtvercové matice).
Vlastnosti maticových operací
Věta: Nechť 𝑨, 𝑩, 𝑪 jsou matice. Pak platí rovnosti (a) 𝑨 ∙ 𝑩 + 𝑪 = 𝑨 ∙ 𝑩 + 𝑨 ∙ 𝑪, (b) 𝑨 + 𝑩 ∙ 𝑪 = 𝑨 ∙ 𝑪 + 𝑩 ∙ 𝑪, (c) 𝑨 ∙ 𝑩 ∙ 𝑪 = 𝑨 ∙ (𝑩 ∙ 𝑪), (d) 𝑨 ∙ 𝑬 = 𝑬 ∙ 𝑨 = 𝑨, (e) (𝑨 + 𝑩)𝑇 = 𝑨𝑇 + 𝑩𝑇 , (f) (𝑨 ∙ 𝑩)𝑇 = 𝑩𝑇 ∙ 𝑨𝑇 , (g) 𝑨 ∙ 𝑶 = 𝑶 ∙ 𝑨 = 𝑶, mají-li výrazy na levých stranách smysl. Poznámka: Rovnosti platí např. pro všechny matice čtvercové a stejného stupně.
Hodnost matice Def: Hodnost matice A = maximální počet LN řádků matice A (aritmetických vektorů). Značíme ℎ(𝑨). Věta: Pro hodnost matice A typu 𝑚 × 𝑛 platí: (a) ℎ(𝑨) ≤ min(𝑚, 𝑛); (b) ℎ 𝑨 = ℎ(𝑨𝑇 ); (c) je-li A trojúhelníková a má všechny prvky na hlavní diagonále nenulové, pak ℎ 𝑨 = min(𝑚, 𝑛).
Příklad: 2 1 𝑨= 0 3 0 0
0 7 1
4 8 , ℎ 𝐴 = 3. 6
Ekvivalentní úpravy – nemění hodnost matice 1) změnit pořadí řádků matice; 2) vynásobit některý řádek matice číslem 𝑘 ≠ 0; 3) vynechat řádek, který je lineární kombinací ostatních řádků (vynechat násobek jiného řádku); 4) přičíst k některému řádku lineární kombinaci ostatních řádků (přičíst násobek jiného řádku). Určování hodnosti matice – idea: Pomocí 1) až 4) převést matici A na (ekvivalentní) trojúhelníkovou matici B, pak ℎ 𝑨 = ℎ(𝑩). Postup převodu – tzv. Gaussův algoritmus; postupné vynulování prvků pod hlavní diagonálou.
Determinanty Def: Nechť 𝑨 = (𝑎𝑖,𝑗 ) je čtvercová matice stupně n. Determinant matice A (značíme det 𝑨) je reálné číslo definované předpisem: (a) Pro 𝑛 = 1 je det 𝑨 = 𝑎1,1 . (b) Pro 𝑛 > 1 a 𝑖 ∈ 1, 2, … , 𝑛 libovolné je (2) det 𝑨 = 𝑎𝑖,1 𝐴𝑖,1 + 𝑎𝑖,2 𝐴𝑖,2 + ⋯ + 𝑎𝑖,𝑛 𝐴𝑖,𝑛 , kde 𝐴𝑖,𝑗 je tzv. doplněk prvku 𝑎𝑖,𝑗 v matici A. • 𝐴𝑖,𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 ⋅ 𝐷𝑖,𝑗 , 𝐷𝑖,𝑗 je subdeterminant stupně 𝑛 − 1 matice A. • Vzorec (2) je tzv. rozvoj determinantu podle i-tého řádku. • det 𝑨 lze vyjádřit rovněž rozvojem podle sloupce.
Výpočet determinantu
Pro čtvercovou matici 𝑨 = (𝑎𝑖,𝑗 ) stupně n platí: Je-li 𝑛 = 2, pak det 𝑨 = 𝑎1,1 ⋅ 𝑎2,2 − 𝑎2,1 ⋅ 𝑎1,2 . Je-li 𝑛 = 3, pak det 𝑨 = 𝑎1,1 𝑎2,2 𝑎3,3 + 𝑎2,1 𝑎3,2 𝑎1,3 + 𝑎3,1 𝑎1,2 𝑎2,3 − − 𝑎3,1 𝑎2,2 𝑎1,3 + 𝑎1,1 𝑎3,2 𝑎2,3 + 𝑎2,1 𝑎1,2 𝑎3,3 (Sarrusovo pravidlo). Je-li matice A trojúhelníková, pak det 𝑨 = 𝑎1,1 ⋅ 𝑎2,2 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑛,𝑛 .
Pro 𝑛 ≥ 4 lze matici A převést na trojúhelníkovou a použít uvedený vzorec … jaké použít operace?
Vlastnosti determinantu Pro čtvercovou matici A platí: (a) det 𝑨 = det 𝑨𝑇 ; (b) je-li některý řádek matice A lineární kombinací ostatních řádků, pak det 𝑨 = 0; (c) po záměně dvou řádků matice A (→ matice B) je det 𝑩 = − det 𝑨; (d) po vynásobení některého řádku matice A číslem k (→ matice B) je det 𝑩 = 𝑘 ⋅ det 𝑨; (e) po přičtení k některému řádku matice A lineární kombinace ostatních řádků je det 𝑩 = det 𝑨. Úloha: Porovnejte (b) až (e) s ekvivalentními úpravami matice.
Další vlastnosti
Platí: Jsou-li A, B čtvercové matice stejného stupně , pak det(𝑨 ∙ 𝑩) = det 𝑨 ⋅ det 𝑩. Pozor: podobné pravidlo neplatí pro součet!
Def: Nechť A je čtvercová matice stupně n. a) Matici A nazýváme regulární, platí-li ℎ 𝑨 = 𝑛. Není-li matice A regulární, nazývá se singulární. b) Čtvercovou matici B stupně n nazýváme inverzní maticí k matici A, platí-li 𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑬. Inverzní matici k matici A značíme 𝑨−1 . Poznámka: A je regulární matice ⟺ všechny řádky (sloupce) matice A jsou LN.
Důležité souvislosti Věta: Nechť A je čtvercová matice. Pak následující výroky jsou ekvivalentní: (a) Matice A je regulární. (b) Platí det 𝑨 ≠ 0. (c) K matici A existuje matice inverzní 𝑨−1 . Vlastnosti regulárních matic: • Je-li matice A regulární, pak rovněž 𝑨−1 je regulární a platí (𝑨−1 )−1 = 𝑨, 𝑨 ∙ 𝑨−1 = 𝑨−1 ∙ 𝑨 = 𝑬. • Jsou-li matice A a B regulární, stejného stupně, pak matice 𝑨 ∙ 𝑩 je rovněž regulární a platí (𝑨 ∙ 𝑩)−1 = 𝑩−1 ∙ 𝑨−1 .
Výpočet inverzní matice Je-li 𝑨 = (𝑎𝑖,𝑗 ) regulární matice stupně n, pak
𝐴1,1
𝐴1,2
⋯ 𝐴1,𝑛 1 −1 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑨 = ⋅ det 𝑨 𝐴𝑛,1 𝐴𝑛,2 ⋯ 𝐴𝑛,𝑛 kde 𝐴𝑖,𝑗 jsou doplňky prvků 𝑎𝑖,𝑗 v matici A.
𝑇
,
Jiný způsob výpočtu: matici 𝑨 𝑬 typu 𝑛 × 2𝑛 pomocí ekvivalentních úprav převést na matici tvaru 𝑬 𝑩 . Pak B je inverzní matice k matici A, 𝑩 = 𝑨−1 . Úloha: Vyjádřete hodnotu det 𝑨−1 pomocí det 𝑨, je-li A regulární matice.
I.3. Soustavy lineárních algebraických rovnic Obecný tvar soustavy – zápis v souřadnicích: 𝑎1,1 𝑥1 + 𝑎1,2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎2,1 𝑥1 + 𝑎2,2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 … 𝑎𝑚,1 𝑥1 + 𝑎𝑚,2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 Označení: 𝑎𝑖,𝑗 , 𝑏𝑖 ∈ 𝐑 jsou dané konstanty, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 jsou neznámé hodnoty.
Jde o soustavu m rovnic o n neznámých.
Maticový zápis soustavy Zápis ve tvaru 𝑨 ⋅ 𝑿 = 𝑩 • 𝑨 = (𝑎𝑖,𝑗 ) je matice soustavy typu 𝑚 × 𝑛, • 𝑩 ∈ 𝑉𝑚 je sloupcový vektor (pravá strana soustavy), • 𝑿 ∈ 𝑉𝑛 je sloupcový vektor neznámých. Řešení soustavy: každý vektor 𝒖 ∈ 𝑉𝑛 , který dané soustavě vyhovuje. Budeme značit velkým písmenem. Rozšířená matice soustavy: 𝑎1,1 𝑎1,𝑛 𝑏1 𝑎2,1 ⋯ 𝑎2,𝑛 𝑏2 𝑨𝑩 = ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑚,1 ⋯ 𝑎𝑚,𝑛 𝑏𝑚
Homogenní soustavy rovnic Soustavy tvaru 𝑨 ⋅ 𝑿 = 𝑶 (pravá strana 𝑩 = 𝑶) Věta: Pro řešení homogenní soustavy platí: • Množina 𝑊 všech řešení tvoří vektorový prostor; • Je-li matice A regulární, má soustava jediné řešení 𝑿 = 𝑶; • Dimenze prostoru 𝑊 všech řešení je rovna dim𝑊 = 𝑛 − ℎ(𝑨). Poznámky: • Hodnost ℎ 𝑨 matice soustavy splňuje ℎ(𝑨) ≤ 𝑛. • Je-li A regulární, pak ℎ 𝑨 = 𝑛 a dim 𝑊 = 0.
Nehomogenní soustavy rovnic Soustavy tvaru 𝑨 ⋅ 𝑿 = 𝑩, 𝑩 ≠ 𝑶 Frobeniova věta: Soustava rovnic 𝑨 ⋅ 𝑿 = 𝑩 má řešení právě tehdy, když platí ℎ 𝑨 = ℎ 𝑨 𝑩 . Poznámka: vždy platí ℎ(𝑨) ≤ ℎ 𝑨 𝑩 . Pro soustavu rovnic tvaru 𝑨 ⋅ 𝑿 = 𝑩 nastává právě jedna z možností: (a) ℎ(𝑨) < ℎ 𝑨 𝑩 , soustava nemá řešení; (b) ℎ 𝑨 = ℎ 𝑨 𝑩 = 𝑛, soustava má jediné řešení; (c) ℎ 𝑨 = ℎ 𝑨 𝑩 < 𝑛, soustava má nekonečně mnoho řešení.
Soustavy rovnic - poznámky • Uvedené tvrzení zahrnuje i homogenní soustavy rovnic, kdy může nastat pouze možnost (b) nebo (c) (rozmyslete). • Množina 𝑊N všech řešení nehomogenní soustavy netvoří vektorový prostor (proč?).
Příklad: Homogenní soustava rovnic 𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 0 5𝑥1 − 2𝑥2 − 8𝑥3 = 0 3𝑥1 − 4𝑥2 − 2𝑥3 = 0 splňuje ℎ 𝑨 = 2, dim 𝑊 = 1, řešení soustavy má tvar 𝑿 = 𝑿OH = 2𝑡, 𝑡, 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝐑 je libovolné (tzv. obecné řešení). Vektor 𝒙 = 2, 1, 1 představuje bázi prostoru 𝑊.
Množina řešení nehomogenní soustavy • Možnost (b) odpovídá situaci, kdy A je regulární: ⟹ soustava má jediné řešení 𝑿 = 𝑨−1 ⋅ 𝑩. • Možnost (c): ℎ(𝑨) < 𝑛, prostor 𝑊 všech řešení soustavy 𝑨 ⋅ 𝑿 = 𝑶 má dimenzi 𝑑 = 𝑛 − ℎ(𝑨), její obecné řešení je tvaru 𝑿OH = 𝑐1 𝑿1 + 𝑐2 𝑿2 + ⋯ + 𝑐𝑑 𝑿𝑑 , kde 𝑐𝑖 ∈ 𝐑, vektory 𝑿1 , … , 𝑿𝑑 tvoří bázi prostoru 𝑊. Je-li 𝑿p jedno (pevné) řešení nehomogenní soustavy, pak její obecné řešení má tvar 𝑿ON = 𝑿p + 𝑿OH = 𝑿p + 𝑐1 𝑿1 + 𝑐2 𝑿2 + ⋯ + 𝑐𝑑 𝑿𝑑 .
Metody řešení soustav lineárních rovnic Poznámka: Přímé metody – poskytují přesné řešení po provedení konečně mnoha kroků – vhodné pro „malé“ soustavy. Alternativa: metody iterační – vedou na přibližné řešení.
(a) Cramerovo pravidlo Matice A je regulární ⟹ soustava 𝑨 ⋅ 𝑿 = 𝑩 má jediné řešení 𝑿 = 𝑨−1 ⋅ 𝑩. Označme 𝑨𝑖 matici, která vznikne z matice 𝑨 záměnou i-tého sloupce (prvky 𝑎𝑗,𝑖 ) vektorem 𝑩 (prvky 𝑏𝑗 ). Pak řešení soustavy je 𝑿 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), kde 𝑥𝑖 =
det 𝑨𝑖 ,𝑖 det 𝑨
= 1, 2, … , 𝑛.
(b) Gaussova eliminační metoda Poznámka: Metoda použitelná pro obecné soustavy, umožňuje určit obecný tvar řešení (i s parametry). Založena na úpravách rozšířené matice 𝑨 𝑩 - převod na ekvivalentní trojúhelníkovou matici (operace s řádky matice).
1. fáze řešení – přímý chod: Matici 𝑨 𝑩 upravujeme na tvar 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,𝑛 𝑏1 0 𝑎2,2 ⋯ 𝑎2,𝑛 𝑏2 𝑨𝑩 = , ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ 𝑎𝑝,𝑝 … 𝑎𝑝,𝑛 𝑏𝑝 0 0 kde 𝑝 ≤ 𝑛, ℎ 𝑨 𝑩 = 𝑝.
Další postup: • Je-li ℎ(𝑨) < 𝑝 (v posledním řádku je pouze 𝑏𝑝 ≠ 0), pak soustava nemá řešení (Frobeniova věta). • Je-li ℎ 𝑨 = ℎ 𝑨 𝑩 = 𝑝, lze řešení původní soustavy určit řešením upravené soustavy – „zdola nahoru“: 2. fáze řešení – zpětný chod. Dva možné případy: (b1) 𝑝 = 𝑛, poslední rovnice upravené soustavy je 𝑎𝑛,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 , 𝑎𝑛,𝑛 ≠ 0. Z poslední rovnice vyjadřujeme 𝑥𝑛 , z předchozí 𝑥𝑛−1 …, získáme jednoznačně určené řešení 𝑿.
Případ (b2) 𝑝 < 𝑛
Soustava obsahuje 𝑝 rovnic pro 𝑛 neznámých, poslední rovnice obsahuje neznámé 𝑥𝑝 , 𝑥𝑝+1 , … , 𝑥𝑛 . Řešení pak obsahuje 𝑛 − 𝑝 volitelných parametrů, např. 𝑥𝑝+1 , 𝑥𝑝+2 , … , 𝑥𝑛 , ostatní neznámé vyjadřujeme postupně z rovnic soustavy. Poznámka: volba neznámých 𝑥𝑝+1 , 𝑥𝑝+2 , … , 𝑥𝑛 za parametry (libovolná reálná čísla) je vhodná, jestliže 𝑎𝑝,𝑝 ≠ 0. Pokud 𝑎𝑝,𝑝 = 0, zahrnujeme mezi parametry neznámou 𝑥𝑝 a z poslední rovnice vyjadřujeme některou z neznámých 𝑥𝑝+1 , 𝑥𝑝+2 , … , 𝑥𝑛 .
Geometrická aplikace
(a) Vzájemná poloha přímek v rovině 𝐄2 : Obecná rovnice přímky: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐑. Úloha: Uvažte možnosti vzájemné polohy • dvou přímek v rovině; • tří přímek v rovině.
(b) Vzájemná poloha rovin v prostoru 𝐄3 : Obecná rovnice roviny: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐑. Společný bod (dvou nebo tří) rovin = řešení soustavy lineárních rovnic.
