Matematika

Limit

610.12.005 Matematika Limit Fungsi dan Kekontinuan

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia


610.12.005 Matematika

Limit

Pendahuluan Definisi Sifat-sifat Limit Kontinuitas

Ilustrasi 1

Nol mutlak, yaitu temperatur TC di mana semua aktivitas molekular berhenti, dapat didekati namun tidak pernah dapat dicapai dalam praktiknya.

2

Ahli ekonomi yang berbicara mengenai keuntungan dalam kondisi ideal atau engineer yang menggambarkan spesifikasi ideal dari suatu mesin, sesungguhnya sedang berurusan dengan perilaku limit.

Proses limit merupakan suatu perilaku dari sebuah fungsi f (x) sebagaimana x mendekati suatu nilai konstan c yang mungkin termasuk atau tidak termasuk dalam domain f .



Limit


Definisi

Definisi Limit Limit f (x), x mendekati c sama dengan L, ditulis lim f (x) = L

x→c

jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c, tetapi x 6= c, maka f (x) mendekati L.



Limit


Secara geometris, pernyataan limit lim f (x) = L berarti bahwa x→c

ketinggian grafik y = f (x) mendekati L seiring x mendekati c.




Limit

Contoh 1 Tentukan nilai dari

√ lim

x→1

x−1 x−1

Solusi:

Nilai√f (x) mendekati 0.5 ketika x mendekati 1, maka x−1 lim x−1 = 0.5

x→1



Limit


Perlu diperhatikan bahwa limit menggambarkan perilaku dari suatu fungsi yang mendekati suatu titik tertentu, belum tentu pada titik itu sendiri.



Limit


Perilaku Limit Fungsi di mana lim f (x) = 4 x→3



Limit


Grafik berikut menunjukkan dua fungsi yang tidak memiliki limit ketika x mendekati 2.




Limit

Sifat-sifat Limit

Sifat-sifat Limit Jika lim f (x) dan lim g(x) ada, maka x→c

1

x→c

lim [f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x)

x→c 2

x→c

x→c 3

x→c

lim [f (x)g(x)] = [lim f (x)][lim g(x)]

x→c 4

5

x→c

lim [kf (x)] = k lim f (x), untuk suatu k konstan

lim f (x) x→c g(x)

x→c lim f (x)

=

lim [f (x)]p x→c

x→c

lim g(x) ,

x→c

= [lim

x→c

x→c

jika lim g(x) 6= 0

x→c p f (x)] , jika


[lim f (x)]p ada x→c



Limit

Contoh 2

a. Tentukan lim (2x2 − 7x + 6). x→2

lim (2x2 − 7x + 6) = lim 2x2 − lim 7x + lim 6

x→2

x→2

x→2

x→2

2

= 2 lim x − 7 lim x + lim 6 x→2 x→2 x→2 2 = 2 lim x − lim 7x + lim 6 x→2 2

x→2

=2·2 −7·2+6=0



x→2

Limit


√ b. Tentukan lim 7x 2x − 1 x→1

√ √ lim 7x 2x − 1 = lim 7x · lim 2x − 1 x→1 x→1 x→1 q = 7 lim x lim (2x − 1) x→1 x→1 √ = (7 · 1) 2 · 1 − 1 = 7



Limit


Limit Dua Fungsi Linier

Limit Dua Fungsi Linier Untuk suatu k konstan, lim k = k dan lim x = c

x→c

x→c

yaitu, limit dari suatu konstan adalah konstan itu sendiri, dan limit dari fungsi f (x) = x bilamana x mendekati c adalah c.



Limit




Limit


Limit Polinomial

Limit Polinomial Jika p(x) dan q(x) adalah polinomial, maka lim p(x) = p(c)

x→c

dan

p(x) p(c) = , jika q(c) 6= 0 x→c q(x) q(c) lim



Limit


Contoh 3

1

x2 −1 2 x→1 x −3x+2

Tentukan lim

Solusi: 2 −1 lim x2x−3x+2 = lim x→1 2

Tentukan

(x−1)(x+1) x→1 (x−1)(x−2) √ x−1 lim x−1 x→1

Solusi: √ x−1 lim x−1 = lim x→1

lim √ 1 x→1 x+1

=

√ √ ( x−1)( x+1) √ x→1 (x−1)( x+1) 1 2


x+1 x→1 x−2

= lim

=

2 −1

= −2

x−1 √ x→1 (x−1)( x+1)

= lim


=

Limit


Limit Kanan dan Limit Kiri

Limit Kanan lim f (x) = L berarti bahwa bilamana x mendekati c dari kanan, x→c+

maka f (x) dekat dengan L. Limit Kiri lim f (x) = L berarti bahwa bilamana x mendekati c dari kiri,

x→c−

maka f (x) dekat dengan L.



Limit


Teorema 1 lim f (x) = L jika dan hanya jika lim f (x) = lim f (x) = L.

x→c

x→c−

x→c+

Akibat Jika lim f (x) 6= lim f (x) maka lim f (x) tidak ada. x→c−

x→c+


x→c


Limit


Contoh 4 Tentukan lim f (x) jika ada, dengan x→1

( 2x − 1, x < 1 f (x) = x3 , x>1 Solusi: Untuk x < 1, f (x) = 2x − 1, maka lim f (x) = lim (2x − 1) = 1

x→1−

x→1−

Untuk x > 1, lim f (x) = lim x3 = 1

x→1+

x→1+

Karena lim f (x) = 1 = lim f (x), maka lim f (x) = 1. x→1−

x→1+


x→1


Limit


Contoh 5 Tentukan lim f (x) di mana f (x) = x→0

x |x| .

Solusi: Fungsi f((x) mempunyai dua nilai yaitu: −1, x < 0 f (x) = 1, x > 0

diperoleh lim f (x) = −1 dan lim f (x) = 1, maka f (x) tidak x→0−

x→0+

memiliki limit ketika x mendekati 0.610.12.005 Matematika Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Limit


Latihan 1

1

2

3

4

5

6

2 lim x −4 x→2 x−2 3 2 +x+6 lim x −4x x+1 x→−1 √ x−3 lim x−9 x→9

x2 −3x+2 2 x→2 x −4 x−1 lim √ √ x→1 x− 1

lim

x3 +8 4 x x→2 −16

lim



Limit


Limit Menuju Tak Hingga

Limit Menuju Tak Hingga Jika nilai dari f (x) mendekati L ketika x bertambah tanpa batas, lim f (x) = L

x→+∞

Sama halnya dengan lim f (x) = M

x→−∞

jika nilai fungsi f (x) mendekati M ketika x turun tanpa batas.



Limit


Secara geometrik ditunjukkan oleh grafik berikut



Limit


Reciprocal Power Rules (Aturan Pangkat Berbanding Terbalik) Jika A dan k adalah konstanta dengan k > 0 dan xk berlaku untuk semua x, maka A = 0 dan x→+∞ xk lim


A =0 x→−∞ xk lim


Limit


Langkah Pengerjaan Limit Menuju Tak Hingga dari f (x) =

p(x) q(x)

1

Bagi masing-masing komponen pada f (x) dengan pangkat terbesar dari xk yang muncul pada penyebut polinomial q(x)

2

Hitung lim f (x) atau lim f (x) menggunakan sifat-sifat x→+∞

x→−∞

aljabar limit dan reciprocal power rules



Limit


Contoh 6 2x2 +3x+1 2 x→+∞ 3x −5x+2

Hitunglah lim Jawab:

2+ 2x2 + 3x + 1 = lim 2 x→+∞ 3x − 5x + 2 x→+∞ 3 − 2+0+0 = 3−0+0 2 = 3 lim


3 x 5 x


+ +

1 x2 2 x2

Limit


Limit Tak Hingga

Limit Tak Hingga Suatu lim f (x) disebut limit tak hingga naik atau turun tanpa x→c adanya batas x → c, dapat ditulis lim f (x) = +∞

x→c

Jika f (x) naik tanpa batasan seperti x → c lim f (x) = −∞

x→c

Jika f (x) turun tanpa batasan seperti x → c



Limit


Contoh 7 −x3 +2x+1 x−3 x→+∞

Hitunglah lim Jawab:

3

− xx + 2x −x3 + 2x + 1 x + = lim x 3 x→+∞ x→+∞ x−3 x − x lim

−x2 + 2 + x→+∞ 1 − x3

= lim = −∞



1 x

1 x

Limit


Kontinuitas

Suatu fungsi f (x) dikatakan kontinu di x = c jika memenuhi tiga kondisi sebagai berikut: 1 2

f (c) terdefinisi/ada lim f (x) ada

x→c 3

lim f (x) = f (c)

x→c

Jika f (x) tidak kontinu di x = c, maka f (x) dikatakan diskontinu di titik tersebut.



Limit


Contoh 8

x+1 x−2

Tunjukkan bahwa f (x) = Penyelesaian: 1 2

f (3) =

= 4, ada x+1 x→3 x−2

lim f (x) = lim

x→3 3

3+1 3−2

kontinu di x = 3

3+1 x→3 3−2

= lim

= 4, ada

lim f (x) = 4 = f (3)

x→3

∴ f (x) kontinu di titik x = 3.



Limit


Contoh 9 Periksa kekontinuan ( x + 1, x < 1 f (x) = 2 − x, x ≥ 1 Penyelesaian: 1 2

f (1) = 2 − 1 = 1, ada lim f (x) = lim x + 1 = 1 + 1 = 2 dan

x→1−

x→1−

lim f (x) = lim 2 − x = 2 − 1 = 1. Karena

x→1+

x→1+

lim f (x) 6= lim f (x), maka lim f (x) tidak ada

x→1−

x→1+

x→1

∴ f (x) diskontinu di x = 1 Atina Ahdika, S.Si, M.Si


Limit


Latihan 2

1. Periksa kekontinuan fungsi-fungsi berikut: √

x−2 di x = 4 (x−4 2 x + 1, x ≤ 3 b. f (x) = 2x + 4, x > 3

a. f (x) =


di x = 3


Limit


2. Misalkan temperatur udara pada hari tertentu adalah 30◦ F . Kemudian, temperatur yang diakibatkan oleh angin (dalam ◦ F ) dengan kecepatan v mph, diberikan dengan rumus berikut   30, 0 ≤ v ≤√4 W (v) = 1.25v − 18.67 v + 62.3, 4 < v < 45   −7, v ≥ 45 a. Berapakah temperatur yang diakibatkan angin dengan v = 20mph? Ketika v = 50mph? b. Berapakah kecepatan yang dihasilkan oleh angin dengan temperatur 0◦ F ? c. Apakah fungsi W (v) kontinu di v = 4? Bagaimana dengan v = 45?



Matematika

Recommend Documents