Matematika (10-13.)- középszintű (K)

K

Matematika 9-12. (10-13.) középszintű (K)

Ez a tanterv az Országos Közoktatási Intézet tantervi adatbankjában az OKI96PÁLMAT1-12 változat alatt szereplő minősített tanterv 9-12. osztályokra lebontott része. E minősítéssel az Országos Közoktatási Intézet szakmai felelősséget vállal azért, hogy ez a tanterv az általa megjelölt NAT követelményeknek megfelel. Ez a kiadvány az adatbankban tárolt tantervek összefésülésével készült a 3 órás és a 4 órás változatból az érettségi általános követelményeinek ismeretében. Átdolgozva a kerettantervi rendelet és az új iskolai ped. program alapján 2001. májusában, 2004.júniusában illetve 2007. decemberében

Alkalmazható a négyosztályos gimnázium 9-12. illetve az ötosztályos gimnázium (HHT-AJTP, informatika, német nemzetiségi és angol nyelvi) specializációinak 1013. évfolyamain a középszintű érettségire előkészítő csoportokban. (lásd Matematika Tantárgyi Program K jelű tanterve)

Matematika 9-12. illetve 10-13.középszintű

9(10).K

Részei Matematika 9(10) Matematika 10(11) Matematika 11(12) Matematika 12(13) Óraszám Iskolai:

480 óra

Megjegyzés A tanterv készítői Lajos Józsefné főmunkatárs OKSZI, Pálmay Lóránt vezető-szaktanácsadó FPI. Átdolgozták 1998-ban veszprémi Lovassy László Gimnázium tanárai: Dr. Molnár Attiláné, Báder Anikó és Békefi Zsuzsa. Kerettantervhez igazította 2001-ben és 2004-ben: Békefi Zsuzsa, valamint 2007-ben Böcskei Ákos és Pozsgainé Becze Boglárka A 9-12. (10-13.) évfolyamon heti 3,5+ 3 + 3 + 4 órára készült a tanterv. A 9-12. (10-13.) évfolyam figyelembe veszi a kerettanterv valamennyi követelményét. Fő témái a kerettantervben megfogalmazott témák (Gondolkodási módszerek; Számtan-algebra; Függvények-sorozatok; Geometria; Valószínűség-statisztika). Ezen témákat bontottuk altémákra. A tanterv spirális felépítésű. Az éves összóraszámot egyetlen évfolyamon sem osztottuk szét teljesen az öt témakörnek. Mindenütt időt biztosítottunk az ismétlésre, a pedagógus által fontosnak tartott, a tanulócsoport igényeihez igazodó foglalkozásra (gyakorlásra, az anyag elmélyítésére vagy bővítésére), a munkaközösség által jóváhagyott közös témazáró dolgozatok iratására, azok eredményeinek és hibáinak megbeszélésére. A tanterv minden évfolyamon azzal indul, hogy meghatározza az évfolyamra vonatkozólag a tanítás célját, követelményeit, az előzményeket, a tartalmat, az értékelést, s a feltételeket. Az egyes témáknál (altémáknál) ezekre történnek visszautalások, illetve elsősorban a cél, a követelmény és a tartalom esetében részletes kifejtések. Egyaránt fontosnak tartjuk a számfogalom, műveletfogalom fejlesztését és a logikus, rugalmas gondolkodásra nevelést. A tantervben szerepet kap a tapasztalatokra épülő matematika oktatás, az irányított felfedeztetés, az induktív módszer. Ugyanakkor fontos a tapasztalatok által megszerzett ismereteknek az életkornak megfelelő pontossággal történő megfogalmazása, tudása, s a matematikán belül, illetve más tantárgyakban való alkalmazási készsége. A 9.(10.) évfolyamtól az induktív módszerek, a tevékenykedtető ismeretszerzés mellett folytatódik a deduktív módszerek alkalmazása és az elvont bizonyításokra való felkészítés. Ez hosszú folyamat, s természetesen a tanulók képességei és érdeklődése is meghatározza az elérhető szintet, de az érettségiig megfelelő szintre el kell juttatni a tanulókat. Fontosnak tartjuk a kerettantervben is leírt rugalmas, fegyelmezett gondolkodásra nevelést, a megfelelő szintű problémamegoldást. Azt gondoljuk, hogy a kisebb de, megértett és begyakorolt ismeretanyag, a megfelelően fejlesztett gondolkodási képesség többet ér, mint a nagy, de kellően meg nem értett tananyag. A 11-12. (12-13.) évfolyam tananyagának összeállításakor figyelembe vettük a középszintű érettségi általános követelményeit. Kellő időt biztosítottunk a rendszerezésre.

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra

Ajánlás Ezen tanterv első két évre szóló része a speciális matematika tagozaton kívül minden osztályra érvényes. Az utolsó két év a középszintű érettségire készülőknek szól. Így emelt szintű érettségi vizsgára a tanterv ezen része alapján tanuló diák nincs felkészítve, hiszen annak a vizsgának több előírt anyagát nem dolgozza fe az utolsó két év ( pl. analízis).

Óraszámok évfolyamok

9.(10)

10.(11.) 11.(12.) 12.(13.)

óra/hét

3,5

3

3

4

összóraszám

130

111

111

128

Cél • A tanterv a kerettantervben megjelölt időszakaszokig a követelmények mindegyikét teljesíti. • A két utolsó évfolyamra írt tantervekben követelmény az ismeretek pontosítása, rendszerezése, összefoglalása s kellő szintű feladatmegoldással a középszintű érettségi eredményes letételére való felkészítés. • A minimális teljesítmény a kerettantervben foglaltaknál kevesebb nem lehet. A tantervet használó pedagógus tudja eldönteni a többlet-követelményt. Ezt a tanulóknak ismerniük kell. Értékelés Az értékelés módját évfolyamonként adjuk meg a munkaközösségi ajánlások elvrendszerét figyelembevéve. Feltételek • • • •

• • • • •

A tantervek tanításához a szükséges képesítést a Közoktatási Törvény előírja. (KT 17.§) Szükséges, hogy a szaktanárnak legyenek alapfokú számítástechnikai - felhasználói ismeretei. A javasolt taneszközöket évfolyamonként meghatározzuk. A matematikában használt demonstrációs és tanulói eszközök az iskolánkban nagyrészt megvannak. Bővíteni kell a tanári felkészülésben és az órai demonstrációban használható személyi számítógépeket és teljesítményüket. A tankönyvi segédletek tárát állandóan modernizálni kell. Ezeket a könyveket kiegészíthetik a CD-ROMok. Az érdeklődő tanulóknak szorgalmi feladatként adhatók általános iskolai szakköri ill. versenyfeladatok. Példásul a Zrínyi verseny feladatai. Tesztes versenybe, a nemzetközi KENGURU versenybe is beneveztethetők ezek a tanulók. A matematikatörténeti részek feldolgozását önálló otthoni feladat keretében is végzik a tanulók beszámolási kötelezettséggel: kiselőadások tartásával. A térgeometriai ismeretek megalapozását a tanulók által elkészített modellek jobban szolgálják, mint a demonstrációs céllal tanórára bevitt testek, a függvényfogalom elmélyítését is jobban szolgálják a tanulók által készített sablonok, mint a túl korán használt gépi grafika. A kerettantervben foglaltaknak megfelelően sokfüggvényes zsebszámológépre szüksége van minden tanulónak. Fontosnak tartjuk a jól megválasztott tankönyvek, a gyakorlást és az egyszerűbb alkalmazásokat tartalmazó feladatgyűjtemények használatát.

Lovassy Gimnázium

-2-

2007


Matematika 9(10)

9.(10.) K

Részei Halmazok, logika, kombinatorika Valós számkör, műveletek, algebra, számelmélet Egyenletek, egyenlőtlenségek Függvények, függvénytranszformációk Alakzatok, geometriai mértékek Szerkesztések, bizonyítások Geometriai transzformációk Valószínűség, statisztika Óraszám Iskolai: 130 óra (37 hét) Tanítási ciklus: 3,5 óra / 1 hét Cél • Az első nyolc év tananyagának rendszerezett áttekintése, a tanultak gyakorlati alkalmazásának megmutatása jól választott feladatokkal. • Az ismétlés során jól választott feladatokkal mutassuk meg a matematika különböző területeinek összekapcsolódását. • Az év során igyekezzünk az ismétlésből kiindulva tanítani és megértetni az új témákat. • A folyamatos fejlesztés feltételezi, hogy a − számkörbővítés során szemléletes alapon jussunk el a valós számok halmazának ismeretéhez, a szemléletes fogalomalkotáshoz; − kapjon hangsúlyt a halmazszemlélet erősítése a tanult alakzatok rendszerező áttekintésében; − a szemléletes fogalomalkotással kiérleljük a definiált fogalmak megjelenését; − a függvényszemléletet erősíti az egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása (pl. grafikus megoldás), a geometriai transzformációk áttekintése. • A tanulók érdeklődését a tantárgy iránt a célszerű alkalmazások, (kapcsolat más műveltségterületekkel, illetve a gyakorlati élettel) ötletes megoldások és matematikatörténeti érdekességek tehetik folyamatossá. • Felkészítjük a tanulókat az intézményi belső vizsgára. A belső vizsgának fontos szerepe van a pályaorientálásban. Az emelt szintű érettségi felé törekvő tanulókat a 10.(11.) osztálytól a szakkörökbe, 11.(12.) évfolyamtól fakultációra irányítjuk. Követelmény • • • • • • • • • • • •

Ismerje a valós számkört, tudjon benne műveleteket végezni helyes sorrendben. Legyen képes egyszerű műveletek elvégzésére halmazokkal. Tudja az algebrai kifejezéseket célszerű formára alakítani, s azokkal műveleteket végezni. Ismerje és alkalmazza a nevezetes szorzatokat. Értse az egész kitevőjű hatvány fogalmát, tudja az azonosságokat. Tudja felírni a számokat normálalakban. Értse a függvény fogalmát, tudja a megadásának módjait, a tanult függvények tulajdonságait, egyszerűbb transzformációit. Ismerje a nevezetes egyenlőtlenségeket, tudja alkalmazni feladatok megoldásában. Legyen képes lineáris egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek egyszerű paraméteres egyenletek megoldására. Ismerje a legfontosabb síkbeli alakzatokat, azok tulajdonságait, mértékeit. Tudja a háromszögek oldalai, szögei közötti összefüggéseket és nevezetes vonalaikkal kapcsolatos tételeket. Tudja a vektor fogalmát, jelölését.

Lovassy Gimnázium

-3-

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra • Tudja két vektor összegét, különbségét, számmal való szorzatát, összetevőkre bontását megszerkeszteni, végrehajtani. Ismerje a helyvektor fogalmát. • Tudja a kör középponti szögéhez tartozó körív hosszát, a körcikk területét. • Értse a geometriai transzformáció, mint függvény fogalmát, tudja az egybevágósági transzformációkról és a hasonlóságról tanultakat. Ismerje fel a szimmetriákat különböző alakzatokon. • Tudjon néhány bizonyítást (pl. Thalész, Pitagorasz), ismerjen nevezetes ponthalmazokat. Előzmény • Az első nyolc év tananyagának megfelelő szintű elsajátítása; a korosztálynak megfelelő szintű írásbeli és szóbeli kommunikációs készség, az értő-elemző olvasási készség megléte, birtoklása. • Nyitottság, érdeklődés, szorgalom. Tartalom

Tananyagegységek: I. Gondolkodási módszerek: 1. Halmazok, logika, kombinatorika II. Számtan, algebra: 1. Valós számkör, műveletek, algebra, egész kitevőjű hatványok, számelmélet 2. Egyenletek, egyenlőtlenségek III. Függvények, függvénytranszformáció: IV. Geometria: 1. Alakzatok, geometriai mértékek 2. Szerkesztések, bizonyítások 3. Geometriai transzformációk

8 óra + folyamatos (10 óra) 44 óra

V. Valószínűség, statisztika: VI. Rendszerezés, ismétlés, összefoglalás:

10 óra 8 óra

(24 óra) (20 óra) 18 óra 34 óra (14 óra) (12 óra) ( 8 óra)

VII. Témazáró dolgozat írása és értékelése:

8 óra.

A tanév folyamán négy egész órás témazáró felmérést iratunk a tanárok által közösen összeállított feladatsor alapján. Ezt követően egy-egy dolgozatjavító, értékelő órát iktatunk be. A tanév anyagának felsorolása nem jelent feltétlenül feldolgozási sorrendet, a tanár felcserélheti és apróbb egységekre is felbonthatja az év matematika anyagát. Értékelés • A tanuló munkájának értékelésekor megfelelő arányban kapjon szerepet a szóbeliség is. Figyelemmel kísérjük az órai munkát, a tanulói aktivitást, rendszeresen ellenőrizzük a házi feladatok elkészítését. • A szóbeli feleletek és a rövid felmérések (röpdolgozatok) mellett négy egész órás témazáró felmérést iratunk. Feltételek • Egyetemet végzett matematika tanár. • Megfelelően felszerelt matematika "szertár". • A tanulóknak: tankönyv, melyet a matematika munkaközösség választ. Matematikai, geometriai feladatgyűjtemény. Füzetek, körző, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszámológép, a matematika iránt nagyobb érdeklődést mutatók számára a KÖMAL című folyóirat. • A tanároknak: a tanulóknál felsoroltakon túl: kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, , színes kréta, írásvetítő fóliákkal, személyi számítógép használati lehetőség, oktatóprogramok (szoftverek), matematikai témájú videokazetták, lehetőség sokszorosításra.

Lovassy Gimnázium

-4-

2007


Halmazok, logika, kombinatorika Óraszám Iskolai:

9.(10.)K

8 óra

Cél • • • • • • •

Halmazszemlélet fejlesztése. Halmazműveletek megismerése. A szaknyelv és a fokozatosan bővülő jelölésrendszer helyes alkalmazása. A kommunikációs készség továbbfejlesztése érvelésekben, vitákban, bizonyításokban. Definiciók és tételek megkülönböztetése. Többféle megoldás keresése. Kombinatorikus gondolkodás továbbfejlesztése. Ponthalmazok a koordinátarendszerben.

Követelmény • • • • •

Gyakorlottság az összes eset rendszerezett felsorolásában kis elemszám esetén. Ismerkedjen a matematikai jelölésekkel. Legyen képes egyszerűbb matematikai szövegek értő elemzésére, tudja használni a szaklexikont. Ismerje és értse a legalapvetőbb műveleteket, halmazokkal, tudja alkalmazni konkrét példák esetében. Ponthalmazok a koordinátarendszerben.

Előzmény A témához kapcsolódó követelmények teljesítése 8. osztállyal bezárólag. Tartalom • • • • • • • •

Számhalmazok, kapcsolatuk. Jelöléstípusok használata. Részhalmaz, üreshalmaz. Halmazok egyenlősége. Unióképzés, metszetképzés, különbségképzés, komplementerhalmaz képzése. Venn-diagram használata feladatok megoldásában. Alaphalmaz, megoldáshalmaz. Példák a skatulyaelv alkalmazására. Egyszerű kombinatorikai feladatok kapcsán az összes eset megkeresése. Ponthalmazok a koordinátarendszerben.

Értékelés • A házi feladatok rendszeres megbeszélése. • Szóbeli és rövid, egyszerű feladatokat tartalmazó írásbeli felmérés. Feltételek Írásvetítő fóliák, színes tollak, szemléltető eszközők.

Lovassy Gimnázium

-5-

2007


Valós számkör, műveletek, algebra, számelmélet Óraszám Iskolai:

9.(10)K

24 óra

Cél • A számfogalom fejlesztése.A műveletek kiterjesztése algebrai egész és törtkifejezések esetében. A műveleti tulajdonságok áttekintése. Helyes műveleti sorrend biztos alkalmazása. • A matematikai szimbólumok elmélyítése, alkalmazása különböző problémák lejegyzésére. • Nevezetes összefüggések, azonosságok megismerése és alkalmazása. • A hatványozás értelmezésének kiterjesztése egész kitevőkre. • A tanult számelméleti ismeretek áttekintése, alkalmazása algebrai kifejezéseket tartalmazó feladatokban. • A bizonyítási igény fejlesztése. Követelmény • Ismerje a számírás alapelveit. Legyen tisztában a tízes számrendszerrel, a helyiérték fogalmával. • Tudja és értse a tanuló az algebrai egész és törtkifejezés fogalmát, tudja azok célszerű átalakítását elvégezni, helyettesítési értéküket kiszámítani. • Ismerje a nevezetes azonosságokat és a nevezetes közepeket, és legyen képes alkalmazni egyszerűbb feladatok megoldásában. • Tudja az egész kitevőjű hatvány fogalmát, értse és igazolja a hatványozás azonosságait. • Az oszthatósági alapismeretek: prímtényezős felbontás, osztó, többszörös, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös egyszerű feladatokban történő alkalmazása, relatív prím. • Oszthatósági szabályok. • Tudja alkalmazni a tanult számelméleti ismereteket, a műveleti és algebrai azonosságokat, valamint a hatványozás azonosságait algebrai kifejezést tartalmazó oszthatósági feladatok megoldása esetén. • Számelmélet alaptételét ismerje. • Számrendszerek. átváltás 10-es számrendszerből 2-es alapú számrendszerbe és viszont. Előzmény • Az előző nyolc év e témákhoz kapcsolódó követelményeinek teljesítése. Tartalom • Valós számkör. Számhalmazok kapcsolata.Műveletek: alapműveletek a valós számok körében, műveleti tulajdonságok, kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás, betűs kifejezések körében, halmazok körében (unió, metszet, különbség, kiegészítő halmaz). • Algebrai egész és törtkifejezések átalakításai (kiemelés, beszorzás). Helyettesítési érték. • Nevezetes azonosságok: kéttagú betűkifejezések 2. és 3. hatványa, háromtagú kifejezés négyzete. • Egész kitevőjű hatványok (0 és negatív kitevő). • A hatványozás azonosságai és igazolásuk. • A számok normálalakja. • Gyakorlati alkalmazások. Kerekítés. Közelítő érték. • Nevezetes egyenlőtlenségek, számtani- és mértani közép fogalma, kapcsolata. Értékelés • Házi feladatok rendszeres megbeszélése, ellenőrzése. • Rövid szóbeli és írásbeli feleletek. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a halmazok és valós számkör, műveletek, algebra és számelmélet témakörökből.

Lovassy Gimnázium

-6-

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra Feltételek Feladatgyűjtemények. Írásvetítő és fóliák, tollak. Prímszámtáblázatok. Sokfüggvényes zsebkalkulátor.

Egyenletek, egyenlőtlenségek Óraszám Iskolai:

9.(10.)K

20 óra

Cél • • • •

Értő-elemző olvasás fejlesztése. Különböző problémák matematikai modelljének felírása. Ellenőrzés igényének fejlesztése. Szövegértelmezés, szöveges feladatok.

Követelmény • • • •

Tudjon elsőfokú- és elsőfokúra vezető törtes egyenleteket és egyenlőtlenségeket megoldani. Tudjon elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszereket megoldani. Legyen képes százalékszámítási és kamatszámítási feladatok önálló megoldására. Szöveges feladatok.

Előzmény A témához kapcsolódó előző évi követelmények teljesítése. Tartalom • • • • • • • • • •

Törtes egyenletek, egyenlőtlenségek algebrai megoldása és ellenőrzése. Alaphalmaz, igazsághalmaz. Egyenletek ekvivalenciája. Hamis gyök. Egyszerűbb paraméteres elsőfokú egyenletek megoldása diszkusszióval. Fizikai és kémiai képletekből a különböző mennyiségek kifejezése a kémia és fizika tankönyvek felhasználásával. Egyszerűbb abszolutértéket tartalmazó egyenletek. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek és megoldásuk algebrai (behelyettesítő módszer, egyenlő együtthatók módszere, új ismeretlen bevezetése) és grafikus úton. Százalék- és kamat számítási feladatok. Példák a gazdasági élet területéről is a történelem és földrajz tankönyv felhasználásával. Szöveges feladatok megoldása. Ellenőrzés a szöveg alapján. Egyenes és fordított arányosság. Egyenlőtlenségek megoldása grafikus úton.

Értékelés • A házi feladatok rendszeres ellenőrzése. • Rövid írásbeli és szóbeli felmérések. • Egy egész órás témazáró felmérés írása függvények témakörrel együtt.

a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a

Feltételek Feladatgyűjtemény. Írásvetítő a grafikus megoldások kivetítésére, együttes ellenőrzésére.

Lovassy Gimnázium

-7-

2007


Függvények, függvénytranszformációk Óraszám Iskolai:

9.(10.)K

18 óra

Cél • Függvényszemlélet fejlesztése. • A matematika különböző területeinek összekapcsolása (pl. függvénytranszformációk és geometriai transzformációk). • A különböző gyakorlati alkalmazások megmutatása. Követelmény • Ismerje és tudja jellemezni a tanult alapfüggvényeket, legyen képes azok legegyszerűbb transzformációit végrehajtani. • Tudjon saját készítésű sablon alapján rendezett ábrát készíteni a vizsgált függvényekről. • Legyen képes a függvényekről tanultakat alkalmazni egyenletek, lineáris kétismeretlenes egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek megoldásában, természet- és társadalomtudományos jelenségek, folyamatok leírásában. Előzmény Az előző évek megfelelő témája követelményeinek teljesítése. Tartalom • • • • • • • •

Függvény definíciója. Az egyenes arányosság, a fordított arányosság fogalma, a függvény jellemzői, ábrázolása. Lineáris függvények, négyzetgyökfüggvény, elsőfokú törtfüggvény. Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása. Abszolútérték függvény A másodfokú függvény és transzformációi. Egészrész- és törtrész függvény, szignum függvény fogalma, ábrázolása. Függvénytani alapfogalmak: hozzárendelés fajtái, az egyértelmű hozzárendelés, értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, növekedési viszonyok, szélsőérték szemléletes fogalma, paritás. • Konkrét függvények konkrét transzformációi.

Értékelés • • • • •

Házi feladatok gyakori ellenőrzése. A megoldások leírásának külalakjának, rendezettségének értékelése. A megoldás ellenőrzésének értékelése. Rövid szóbeli és írásbeli feleletek. Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján az egyenletek, egyenlőtlenségek témakörrel együtt.

Feltételek Feladatgyűjtemények. Írásvetítő.

Lovassy Gimnázium

-8-

2007


Alakzatok, geometriai mértékek Óraszám Iskolai:

9.(10.)K

14 óra

Cél • A már tanult síkbeli és térbeli alakzatok ismétlése és újabb alakzatok megismerése. • Az alakzatok jellemzőinek, tulajdonságainak mértékeinek rendszerező áttekintése, kapcsolatok, összefüggések felfedezése, rögzítése. Követelmény • • • • • • • • •

Nevezetes mértani helyek: kör, gömb, szögfelező, szakaszfelező merőleges. A tanuló tudja a háromszög megadási módjait; szerkesztésének feltételeit. Ismerje a háromszög szögei és oldalai közötti összefüggéseket. Ismerje a háromszög nevezetes vonalait, pontjait, köreit, tudja megszerkeszteni azokat. Tudja a sokszög szögösszegének, átlói számának meghatározását. Tudjon szöget mérni fokban, radiánban. Legyen képes adott kör középponti szögét, körívének hosszát, a körcikk területét kiszámítani. Értse a háromszög, négyszög középvonalának fogalmát, ismerje a középvonalak tulajdonságait. Vektor fogalma, vektorműveletek.

Előzmény A téma 8. osztály végi követelményeinek teljesítése. Tartalom • • • • • • • • • • • • • • • • •

Axiómák és alapfogalmak fontossága. Szögek nagyság szerinti csoportosítása, nevezetes szögpárok. Háromszögek jellemzői, csoportosításuk. Összefüggések a háromszög szögei között, oldalai között, a derékszögű háromszög oldalai között. A háromszögekben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szög, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. Sokszögek, szabályos sokszögek. Alaptulajdonságaik. Négyszögek fajtái és tulajdonságai. Konvex sokszög belső szögeinek összege, átlóinak száma. Háromszögek nevezetes vonalai: oldalfelező merőlegesek, szögfelezők, magasságvonalak. Beírt kör középpontja, köré írt kör középpontja, magasságpont. A háromszög beírt köre, köréírt köre. Háromszögek, négyszögek középvonalai. Kör és részei. A kör középponti szöge, körív hossza, körcikk területe. Szögek mérése fokban, radiánban. Összefüggés sokszögek külső és belső szögei között. Vektor fogalma, vektorok összeadása, kivonása, szorzása számmal.

Értékelés • Házi feladatok gyakori ellenőrzése. • Rövid írásbeli és szóbeli feleletek. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a szerkesztések, bizonyítások témakörrel együtt.

Lovassy Gimnázium

-9-

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra Feltételek Mérőeszközök, síkbeli modellek.

Szerkesztések, bizonyítások Óraszám Iskolai:

9.(10.)K

12 óra

Cél • • • • •

A bizonyítás, cáfolás, ellenpélda lényegének megmutatása. A definició fogalmának mélyítése. Pontos munkára nevelés szerkesztések kapcsán. Esztétikus külalak igényének kialakítása. Vázlat, megoldási terv szerepének megmutatása.

Követelmény • Igényes kivitelű szerkesztés, törekvés a diszkusszióra. • Pitagorasz- és Thalész-tétel, valamint bizonyításuk és megfordításuk ismerete. • A háromszöggel kapcsolatos tételek biztos ismerete és a bizonyításokban való jártasság. Előzmény A téma 8. osztályig megfogalmazott követelményeinek teljesítése és az előző téma követelményeinek teljesítése. Tartalom • • • • • • • • • • • • • • •

A definíció, a tétel, a tétel megfordítása, „akkor és csak akkor” használata. Thalesz- és Pitagorasz- tételek , bizonyításuk. Thalesz-tétel, Pitagorasz-tétel megfordítása, bizonyítás. Érintőszerkesztési feladatok. Vázlat, megoldási terv készítése. Thalesz-tétel felhasználása egyszerűbb bizonyításos feladatokban. A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. A háromszög köré írt kör és tulajdonságai. A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. A háromszög beírt köre és tulajdonságai. A háromszöghöz hozzáírt körök szerkesztése. A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Magasságpont. A háromszög középvonalaira vonatkozó tétel. A négyszögek középvonalai. A fentiek felhasználása egyszerűbb szerkesztéses és bizonyításos feladatokban. Háromszög súlypontja, súlypontra vonatkozó tétel.

Értékelés • Házi feladatok ellenőrzése. • Rövid szóbeli és írásbeli felmérések. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján az alakzatok, geometriai mértékek témakörrel együtt. Feltételek Tanulói szerkesztési eszközök, színes kréták, színes ceruzák.

Lovassy Gimnázium

- 10 -

2007


Geometriai transzformációk Óraszám Iskolai:

9.(10.)K

8 óra

Cél • Függvényszemlélet fejlesztése. • A transzformációs szemlélet fejlesztése. • Egybevágósági transzformációk ismétlő összefoglalása után újabb tulajdonságok, definíciók megismerése. Követelmény • • • •

Legyen képes a szerkesztések pontos kivitelezésére, vázlat készítésére. Legyen képes a tanult geometriai transzformációk rendszerező áttekintésére, összefoglalására. Tudja az alakzatok egybevágóságának feltételeit. Vegye észre adott esetben a különböző alakzatok szimmetriáit.

Előzmény A témában nyolcadik osztályig tanultak követelményeinek ismerete. Tartalom • • • • • • • •

Példák különböző geometriai transzformációkra. A geometriai transzformáció fogalma. Fixpontok, invariáns alakzatok. Egybevágósági transzformációk (tengelyes és középpontos tükrözés, eltolás és a pont körüli elforgatás) síkban és térben. Alakzatok (háromszögek, sokszögek, kör) egybevágóságának feltételei. Szimmetrikus alakzatok. Példák nem egybevágósági transzformációkra. Szerkesztési feladatok transzformációkkal (diszkusszió).

Értékelés • • • •

Házi feladatok ellenőrzése. Szerkesztések pontos kivitelezésének ellenőrzése. Szóbeli és írásbeli feleletek. Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a valószínűség, statisztika témakörrel együtt.

Feltételek Írásvetítő, fóliák, tollak, tanulói rajzeszközök, színes kréták, színes ceruzák.

Valószínűség, statisztika Óraszám Iskolai:

9.(10.)K

10 óra

Cél • A valószínűség fogalmának alakítása. • Statisztikai adatok helyes értelmezés, értékelés, ábrázolása, jellemzők leolvasásának megtanítása.

Lovassy Gimnázium

- 11 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra Követelmény • Valószínűségi kísérletek kimenetelére becslés adása. • Tudja a statisztikai adatokat táblázatba gyűjteni, ábrázolni. • Tudjon helyesen értelmezni különféle grafikonon megjelenített statisztikai adatokat. Előzmény • A 8. osztály végéig tanultak ismerete. Tartalom • • • • •

Kísérletek végzése, a kimenetel vizsgálata. Gyakoriság, relatív gyakoriság kiszámítása konkrét példák kapcsán. Gyűjtött adatok rendszerezése, ábrázolása ( kördiagram, oszlopdiagram) Statisztikai jellemzők (számtani közép, módusz, medián, terjedelem) keresése, megfogalmazása. Különféle grafikonon megjelenített statisztikai adatok értelmezése a történelem és földrajz tankönyvekből vett példák alapján is. • Szerkesztőprogramok ismertetése, a zsebkalkulátorok statisztikus üzemmódja.

Értékelés • Szóbeli számonkérés, órai munka értékelése. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a geometriai transzformációk témakörrel együtt. Feltételek Statisztikai adatok, kockák, pénzérmék, kártyák a kísérletekhez.

Matematika 10(11)

10.(11.)K

Halmazok,logika Kombinatorika Számkörök, műveletek. Algebra. Egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú függvények, szögfüggvények Geometriai alakzatok, mértékek Geometriai bizonyítások Geometriai transzformációk Valószínűség, statisztika Rendszerező összefoglalás Óraszám Iskolai: Tanítási ciklus:

111 óra 3 óra / 1 hét

Cél • • • • • • •

A valós számkörben végzett műveletek hibátlan elvégzése. A tanult témák rendszerező áttekintése, egymással és a gyakorlati élettel való kapcsolatának megmutatása. A tanult fogalmak, tételek, bizonyítások öszefoglalása. Eljárások, algoritmusok erősítése gyakorlati feladatok megoldása. A függvény- és geometriai transzformációk kapcsolatának bemutatása koordinátarendszerben. A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése. A valószínűség szemléletes fogalmának kialakítása.

Lovassy Gimnázium

- 12 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra Követelmény • A valós számkör fogalmának és a benne végzett műveleteknek a biztos tudása. • Jártasság az algebrai kifejezésekkel, a halmazokkal, a vektorokkal való műveletek elvégzésében. • Tudja a hatványozás, a négyzetgyök és az n-edik gyök fogalmát, azonosságait, legyen járatos alkalmazásaban egyszerű esetekben. • Egyszerű egyenletek, egyenlőtlenségek, lineáris kétismeretlenes egyenletrendszerek és lineáris kétismeretlenes egyenlőtlenségrendszerek készségszintű megoldása, a megoldás ellenőrzése. • Jártasság egyszerű szöveges feladatok megoldásában. • A tanult függvények fogalmának ismerete, ábrázolásuk derékszögű koordinátarendszerben, tulajdonságaik leolvasása, egyszerű transzformáltjaik megrajzolása. • A tanult alakzatok - definiciójának - jellemzőinek, mértékeinek biztos tudása. • A geometriai transzformációk és jellemzőik biztos ismerete, alkalmazásuk szerkesztési, bizonyítási feladatokban. • Hasonlóságon alapuló geometriai tételek. • A tanult tételek biztos tudása, jártasság ezek bizonyításában és alkalmazásaikban. • A halmaz- és függvényszemlélet fejlesztés a rendszerezés alapján is. • Szögfüggvények fogalma, alkalmazása derékszögű háromszögben. • A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése, a valószínűségi szemlélet fejlesztése. Előzmény Az első 9 év követelményeinek megfelelő szintű teljesítése. Tartalom Az első 9.(10.) év tananyagának folyamatos ismétlése mellett, • a négyzetgyök azonosságai • az n-edik gyök fogalma és azonosságai, • másodfokú egyenletek egyenlőtlenségek és megoldásuk, • középpontos hasonlóság, hasonló alakzatok és ezek kerülete, területe, • párhuzamos szelők tétele, • háromszögekre vonatkozó tételek (szögefelező téte, derékszögű háromszögben magasság-, befogó-tétel) • háromszögek területének kiszámítási módjai, • sokszögekre vonatkozó ismeretek, • körrel kapcsolatos ismeretek, • térgeometriai ismeretek, • trigonometriai alapismeretek, • vektorok a koordinátasíkon, • kombinatorikai feladatok, módszerek • valószínűségi és statisztikai alapfogalmak előkészítése.

Tananyagbeosztás: I. Gondolkodási módszerek: 1.Halmazok,logika 2.Kombinatorika II. Számtan, algebra: 1.Számkörök, műveletek. Algebra 2.Egyenletek, egyenlőtlenségek III. Függvények: 1.Másodfokú függvények, szögfüggvények IV. Geometria: 1.Geometriai alakzatok, mértékek 2.Geometriai bizonyítások 3.Geometriai transzformációk V. Valószínűség, statisztika:

Lovassy Gimnázium

7 óra (3 óra) (4 óra) 32 óra (14 óra) (18 óra) 19 óra (19 óra) 33 óra (12 óra) (12 óra) (9 óra) 6 óra

- 13 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra VI.Rendszerező összefoglalás: VII.Témazáró dolgozatok írása és értékelése:

6 óra 8 óra

A tanév folyamán négy egész órás témazáró felmérést iratunk a tanárok által közösen összeállított feladatsor alapján. Ezt követően egy-egy dolgozatjavító, értékelő órát iktatunk be. Értékelés • • • •

Házi feladatok alapján. Szóbeli feleletek, rövid írásbeli dolgozatok alapján. Házi dolgozatok (kutatási feladatok kapcsán) értékelése. Választott és önállóan feldolgozott versenyfeladatok vagy matematikatörténeti érdekességekből tartott kiselőadások alapján. • Négy egy órás témazáró dolgozat alapján. Feltételek • Érettségit adó iskolatípus esetén egyetemet végzett matematika tanár. • Megfelelően felszerelt matematika "szertár". • A tanulóknak: tankönyv, melyet a szaktanár vagy a matematika munkaközösség választ. Matematikai, geometriai feladatgyűjtemény. Füzetek, körző, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszámológép, a matematika iránt nagyobb érdeklődést mutatók számára a KÖMAL folyóirat, KENGURU verseny előkészítő tesztjei. • A tanároknak: a tanulóknál felsoroltakon túl: kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, színes kréta, írásvetítő fóliákkal, oktatóprogramok (szoftverek), matematikai témájú videokazetták, lehetőség sokszorosításra.

Halmazok,logika Óraszám Iskolai:

10.(11.) K

3 óra

Cél • Halmazokról tanultak alkalmazása az első tíz év anyagának rendszerező áttekintésére. • A logika elemeinek, nyelvének helyes és pontos használata. • Újabb bizonyítási módszerekkel való ismerkedés. Követelmény • A legegyszerűbb halmazműveletek ismerete és konkrét feladatok megoldásában való felhasználása. • Tájékozottság a "skatulyaelv", a teljes indukció és a szitamódszer (logikai szita) legfontosabb jellemzőiről. Előzmény E témában a 9. osztály végéig tanultak követelményeinek teljesítése. Tartalom • A halmazokról, halmazműveletekről tanultak alkalmazása más tananyagegységekben. • A nyelv logikai elemeinek helyes használata. • A skatulyaelv, a teljes indukció, a logikai szita, mint bizonyítási módszer bemutatása konkrét egyszerűbb feladatok kapcsán. • Az indirekt bizonyítás

Lovassy Gimnázium

- 14 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra Értékelés • Konkrét - más témákhoz kapcsolódó - feladatok megoldása során történik az értékelés. Feltételek Az általános részben megfogalmazott feltételek szükségesek.

Kombinatorika Óraszám Iskolai:

10.(11.)K

4 óra

Cél • Legyen képes a tanuló módszeresen megkeresni adott (kevés) elemszám esetén az összes lehetséges sorrendet. (Permutációk) • Legyen képes néhány elemű halmaz összes lehetséges részhalmazát felsorolni, a részhalmazok számát felsorolás nélkül is megadni (Kombinációk). Követelmény • A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése. • Az összes megoldás megkeresésével kapcsolatos igény fejlesztése. • A matematika szépségének bemutatása. Előzmény Az első 9(10) év során összegyűjtött tapasztalatok, módszerek ismerete, a követelmények teljesítése. Tartalom • • • • •

Egyszerű kombinatorikus feladatok. Ismerkedés a Pascal-háromszöggel kis n-ek esetén, a Pascal-háromszög elemeinek tulajdonságai. Adott kis elemszám esetén a sorrendek összeszámolása. Adott kis elemszám esetén részhalmazok kiválasztása az összes lehetséges módon. Kiválasztási és sorrendi kérdéseket tartalmazó érdekes feladatok megoldása.

Értékelés • A házi feladatok részletes megbeszélése. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a tanév végén a számtan, algebra, logika, kombinatorika, halmazok, valószínűség, statisztika témakörökből. Feltételek Az évfolyamra megfogalmazott feltételek teljesítése.

Számkörök, műveletek. Algebra. Óraszám Iskolai:

10.(11.)K

14 óra

Cél • Számolási készség fejlesztése a valós számkörben. • Az algebrai kifejezésekkel végzett műveletek értő elvégzése. • Nevezetes összefüggések alkalmazása gyakorlati példákban.

Lovassy Gimnázium

- 15 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra Követelmény • Értse a valós szám fogalmát. Tudja igazolni, hogy négyzetgyök 2 irracionális szám. • Tudja elvégezni helyes sorrendben a tanult műveleteket a valós számok körében: alapműveletek, négyzetgyökvonás, hatványozás. Legyen tisztában a zárójel használatával. • n-edik gyökvonás fogalma és azonosságai • Legyen járatos az egyszerű algebrai kifejezésekkel végzett alapműveletekben. • Tudja kiszámítani egy adott algebrai kifejezés helyettesítési értékét. • Tudja meghatározni egyszerű esetekben az algebrai kifejezés értelmezési tartományát. • Tudja a tanult azonosságokat felhasználni algebrai kifejezések egyszerűbbé tételében. • Tudja kifejezni adott egyszerű képletek esetén a bennük szereplő változót. Előzmény Az előző 9(10) év során e témában tanultak megfelelő szintű ismerete, a témához kapcsolódó követelmények teljesítése. Tartalom • Példák irracionális számokra. • A négyzetgyök 2 irracionális szám. • Négyzetgyökvonás, hatványozás algebrai kifejezésekben, n-edik gyökvonás számolási feladatokban, valamint ezek azonosságainak • Táblázatok és a zsebszámológép célszerű használata a számítások gyorsítására. • Kerekítés, becslés. • Algebrai egész és törtkifejezések, és ezek célszerű átalakításai a műveleti tulajdonságok és a tanult azonosságok felhasználásával. • Algebrai kifejezések helyettesítési értéke, értelmezési tartománya. Értékelés • • • •

Házi feladatok ellenőrzése. Alapműveletek helyes és gyors végzésének ellenőrzése tesztlapokkal, szoftverekkel. Rövid írásbeli és szóbeli számonkérés Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a tanév végén a számtan, algebra, logika, kombinatorika, halmazok, valószínűség, statisztika témakörökből.

Feltételek Táblázatok és zsebszámológép.

Egyenletek, egyenlőtlenségek Óraszám Iskolai:

10.(11.)K

18 óra

Cél • • • •

Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása során a mérlegelv mellett a tanult azonosságok alkalmazása. Az alaphalmaz és a megoldáshalmaz, igazsághalmaz vizsgálata. A másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldási módjainak megismerése. Másodfokú összefüggésekre vezető feladatok a természet- és társadalomtudományok és a gazdasági számítások köréből. • Szélsőérték problémák megoldásával való ismerkedés.

Követelmény • Tudja alkalmazni a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Értse a diszkrimináns szerepét. • Ismerje a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket.

Lovassy Gimnázium

- 16 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra • • • • •

Gyöktényezős alak. Tudjon megoldani másodfokú egyenletre - , egyenlőtlenségre vezető feladatokat. Tudja a szöveges feladatokat megfogalmazni a matematika nyelvén. Alakuljon ki az önellenőrzés igénye. Másodfokú törtes egyenletek, másodfokúra visszavezethető magasabbfokú egyenletek.

Előzmény • Lineáris egyenletek, egyenlőtlenségek és törtes egyenletek megoldása. Szöveges feladatok megoldása. • A témához kapcsolódó első 9 év követelményeinek teljesítése. Tartalom • • • • • • • • • • •

Ismétlés szinten a lineáris egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldása. Nevezetes szorzatok. Másodfokú egyenletek szorzat alakja teljes négyzetté alakítással. Másodfokú egyenletek megoldása, megoldóképlet. Másodfokú egyenletek gyöktényezős alakja, Viéte-formulák. Egyszerűbb másodfokú egyenlőtlenségek. Másodfokúra visszavezethető egyszerűbb egyenletek. Szöveges feladatok. Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között Grafikus megoldások Ekvivalens és nem ekvivalens átalakítások Az ellenőrzés szerepének kiemelése.

Értékelés • Házi feladatok ellenőrzése. • Több rövid írásbeli ellenőrzés. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján az egyenletek, egyenlőtlenségek és a másodfokú függvények témakörből. Feltételek Az általános részben megfogalmazottakon túl írásvetítő és fóliák, színes tollak.

Másodfokú függvények, szögfüggvények, trigonometrikus fgv.-ek Óraszám Iskolai:

10.(11.)K

19 óra

Cél • A függvényszemlélet erősítése. • Szövegek lefordítása a matematika nyelvére, a talált összefüggések ábrázolása derékszögű koordinátarendszerben. • A hegyesszög szögfüggvényeinek megismerése. • Ismerje a trigonometrikus függvényeket. Követelmény • • • •

Tudja ábrázolni a másodfokú függvényt, legyen képes szemléltetni tulajdonságait, jellemzőit. Legyen képes a másodfokú függvény egyszerű transzformációit elvégezni. Értse és tudja a szögfüggvények definícióját hegyesszögre és forgásszögre. Trigonometrikus függvények grafikonjai, jellemzése, transzformációi.

Előzmény A függvényekről az első 9(10) év során tanultak ismerete, a hozzájuk kapcsolódó követelmények teljesítése.

Lovassy Gimnázium

- 17 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra Tartalom • • • • • • • •

Másodfokú függvények és vizsgálatuk (ismétlésként). Szélsőérték számítások. Hegyesszögek szögfüggvényei (definíciók) és összefüggéseik. Pótszögek szögfüggvényei. Pitagoraszi összefüggés. Néhány hegyesszög pontos szögfüggvényértéke. Derékszögű háromszög, szabályos sokszög adatainak számítása. Forgásszög szögfüggvényei, szögfüggvények tulajdosnágai, függvények ábrázolása, transzformációi és jellemzései, alkalmazása egyszerűbb egyenletekben, egyenlőtlenségekben. • Szögfüggvények közötti összefüggések. • A fizika tantárgyban előforduló egyszerűbb problémák matematikai modellje is.

Értékelés • Házi feladatok megbeszélése. • Több rövid írásbeli és szóbeli beszámoló. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján az egyenletek, egyenlőtlenségek és a másodfokú függvények témakörből. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a szögfüggvényekből a geometriai alakzatok, mértékek témakörrel együtt. Feltételek Az általános részben megfogalmazottakon túl írásvetítő és fóliák, színes tollak.

Geometriai alakzatok, mértékek Óraszám Iskolai:

10.(11.)K

12 óra

Cél A témában eddig tanultak rendszerező összefoglalása és kiegészítése. Követelmény • Tudja a háromszögek, négyszögek, sokszögek definícióját, jellemzőit, kerület- és terület számítási módjait. • Ismerje és alkalmazza szerkesztési és bizonyításos feladatokban a háromszög nevezetes vonalairól, pontjairól tanultakat. • Tudja kiszámítani ismert alakzatok kerületét, területét, térfogatát. • Tudjon kocka-, téglatest-, tetraéder-, gúla modellt készíteni, és tudja ezen testek rendezett "beszédes " ábráit a füzetében megjeleníteni. • Tudjon területet, térfogatot számolni a hasonlóság segítségével is. • Tudja meghatározni ismert és tanult geometriai alakzatok kölcsönös helyzetét, kiszámítani hajlásszögüket, távolságukat. Előzmény A 9. évfolyam végéig e témában tanultak követelményeinek teljesítése. Tartalom • • • • •

Háromszögekről, négyszögekről, sokszögekről tanult ismeretek áttekintése. A körről tanultak áttekintése. Pitagorasz tétele és a szögfüggvények kapcsolata, számításos feladatok megoldása. Hasonló alakzatok kerület-, terület- és térfogataránya. Két kitérő egyenes hajlásszöge és távolsága.

Lovassy Gimnázium

- 18 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra • • • • •

Egyenes és sík hajlásszöge, két sík hajlásszöge. Síkra merőleges egyenes. Pont távolsága síktól. Vektorok a koordinátasíkon. Egyszerűbb testek méretes vonatkozásai, térelemek távolsága és szöge a kocka, téglatest, tetraéder, szabályos gúlák esetében . • A tanultak rendszerező összefoglalása.

Értékelés • Házi feladatok rendszeres ellenőrzése. • Rövid írásbeli felmérések. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a szögfüggvények és ezen téma geometriai számításos részéből. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján ezen téma elemi geometriával, hasonlósággal kapcsolatos részéből a geometriai bizonyítások és a geometriai transzformáció témakörrel együtt. Feltételek • Geometriai alakzatok modelljei, melyekkel a tartalomban leírtakat szemléltethetjük. • Rajzeszközök, színes kréták és ceruzák.A POLYDRON testépítő készlet.

Geometriai bizonyítások Óraszám Iskolai:

10.(11.)K

12 óra

Cél • A tanulók bizonyítási igényének fejlesztése. • A pontos, logikus következtetések egymásra épülése a bizonyítás során. • A gondolkodás szépségének, eredményességének megmutatása. Követelmény • Tudja a párhuzamos szelők tételét, megfordítását, szelőszakaszok tételét (utóbbit bizonyítással). • Tudja a szögfelező osztásarányát, ismerje a bizonyítást. • Ismerje a derékszögű háromszögben a befogótételt, ismerje a bizonyítást. Előzmény Az előző kilenc év megfelelő követelményeinek teljesítése. Tartalom • • • • • • •

A háromszög különböző területképletei. Párhuzamos szelők tétele és a tétel megfordítása. Szelőszakaszok tétele. Szögfelező osztásaránya. Befogótétel. Magasságtétel. Irracionális mérőszámú szakaszok szerkesztése. A tételek alkalmazása feladatokban.

Értékelés • Házi feladatok ellenőrzése. • Több rövid felmérés írása.

Lovassy Gimnázium

- 19 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján ezen téma elemi geometriával, hasonlósággal kapcsolatos részéből a geometriai bizonyítások és a geometriai transzformáció témakörrel együtt. Feltételek Tanulói rajzeszközök. Írásvetítő és fóliák, színes tollak.

Geometriai transzformációk Óraszám Iskolai:

10.( 11.)K

9 óra

Cél • Az egybevágósági transzformációk áttekintése. • A hasonlósági transzformáció fogalmának és tulajdonságainak, a hasonló alakzatoknak a megismerése. Követelmény • Tudja az egybevágósági és a középpontos hasonlósági transzformáció fogalmát, tulajdonságait. • Tudja a geometriai transzformációkról tanultakat alkalmazni szerkesztési, bizonyításos és számítási feladatok megoldása során. • Ismerje meg a vektor számmal szorzását , a vektorok felbontását a síkban Előzmény A témában a 9.(10.) osztály végéig tanultak ismerete, és a követelmények teljesítése. Tartalom • • • • • •

Egybevágósági transzformációk átismétlése konkrét feladatok kapcsán. Középpontos hasonlóság fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma, tulajdonságai. Hasonló alazatok. Háromszögek hasonlóságának alapesetei. A vektor szorzása számmal, vektor felbontása a síkban

Értékelés • • • •

Házi feladatok ellenőrzése. Szóbeli feleletek. Több rövid írásbeli felmérés. Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján ezen téma elemi geometriával, hasonlósággal kapcsolatos részéből a geometriai bizonyítások és a geometriai transzformáció témakörrel együtt.

Feltételek • Feladatgyűjtemény. • Tanulói szerkesztési eszközök. Írásvetítő.

Lovassy Gimnázium

- 20 -

2007


Valószínűség, statisztika Óraszám Iskolai:

10.(11.)K

6 óra

Cél • • • •

A valószínűség szemléletes fogalmának kialakítása. A valószínűség becslése és kiszámítása egyszerű esetekeben. Statisztikai adatok rendezése, jellemzése, ábrázolása. Statisztikai témákhoz kapcsolódó ábrák értelmezése.

Követelmény • Tudja a gyakoriság, a relatív gyakoriság fogalmát, legyen képes kiszámítani egyszerű esetekben. • Találkozzon konkrét feladatok kapcsán a kombinatorikus valószínűségi modellel és a geometriai mértékkel jellemezhető valószínűségi modellel (pl. lottó, totó). Előzmény A témával kapcsolatos tapasztalatok és ismeretek az előző 9 évben, és az ezekhez kapcsolódó követelmények teljesítése. Tartalom • • • •

Gyakoriság vizsgálata kisérletekkel. Relatív gyakoriság fogalma. A valószínűség személetes fogalma Egyszerü problémák megoldása a klasszikus valószínűségi modell alapján.

Értékelés • Házi feladatok megbeszélése. • Az órai problémák elsősorban frontális, közös megbeszélése. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a tanév végén a számtan, algebra, logika, kombinatorika, halmazok, valószínűség, statisztika témakörökből. Feltételek Az évfolyamra megfogalmazott feltételeken túl néhány előre megrajzolt, elkészített pörgettyű (színezve, számokkal). Kockák, kártyák, pénzérmék a valószínűségi kísérletekhez.

Rendszerező összefoglalás Óraszám Iskolai:

10.(11.)K

6 óra

Cél • Az első tíz évben tanult ismeretek, fogalmak, összefüggések, eljárások, algoritmusok, tételek, bizonyítások rendszerezett áttekintése, átismétlése. • Különböző matematikai témakörök kapcsolatának bemutatása konkrét feladatokon keresztül. • Feladatok a való életből a matematika hasznosságának igazolására. • Segítségnyújtás a pályairány megválasztásához.

Lovassy Gimnázium

- 21 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra Követelmény • Az első tíz évben megfogalmazott tananyag ismeretéhez kapcsolódó követelmények teljesítése, a rugalmas, fegyelmezett gondolkodás kialakulása. • Az életkornak megfelelő szóbeli és írásbeli kommunikációs készség kialakulása. • Problémahelyzetekben törekvés a helyes megoldás keresésére. Előzmény A matematika műveltség területén az első 10 (11) évre megfogalmazottak teljesítése. Tartalom Az első tíz(tizenegy) évben tanultak legfontosabb, legalapvetőbb részeinek kiemelése, a témakörök közötti kapcsolatok megmutatása sokszínű, érdekes gyakorlati és matematikai alkalmazásokon keresztül.

Matematika 11(12)

11.(12.)K

Részei Halmazok, matematikai logika elemei Kombinatorika Egyenletek, egyenlőtlenségek, azonosságok, egyenletrendszerek Függvények Vektorok, trigonometria Koordináta-geometria Valószínűségszámítás Ismétlés, a felhasználható további órakeret Óraszám Iskolai: Tanítási ciklus


Cél • Logikus gondolkodásra, elemi következtetésekre, szöveges indoklásokra (okfejtésre) azoknak a tanulóknak is szükségük van, akik felsőfokú tanulmányaik során nem matematika igényes stúdiumokon vesznek részt, sőt azoknak is, akik a középszintű érettségivel lezárják tanulmányaikat. A z e m e l t s z i n t ű érettségire nem készíti fel iskolánk az ezen (K) tanterv szerint tanulókat! • Aki ezen (K) tanterv szerint tanult, és emelt szintű érettségire lesz szüksége, a tizenharmadik/tizennegyedik évben szintemelő foglalkozásokra járhat iskolánkban. A 13. ill 14. évfolyamon fogja megtanulni pl. az analízis elemeit, és a valószínűségi változókról szóló mélyebb ismereteket. A középszintű és emelt szintű érettségire felkészítő két utolsó évfolyam matematika tananyagában kb. 130 tanórányi különbség van. • A helyes gondolkodás fejlesztéséhez ismeretekre van szükség. Az ismeretek az évek múltával elhalványulhatnak, de a tanulásuk során, az ismeretekhez kapcsolódó feladatok, problémák megoldása során a tanuló látásmódja fejlődik. A természettudományos, a technikai sőt a humán területek tanulmányozásához komoly segítséget nyújt a matematika, s annak nyelve. • Azon tanulók számára, akik a későbbiekben humán területeken dolgoznak majd, komoly pozitív motivációt jelenthet, ha megmutatjuk a matematika és humán műveltség kapcsolatát, matematikatörténeti ismeretekkel fűszerezzük tanításunkat. Erre mód van a szöveges feladatok tanításakor, a trigonometria és az analitikus geometria tanításában is. Ehhez használjuk fel az iskolai könyvtárban megtalálható megfelelő enciklopédiákat lexikonokat, folyóiratokat, könyveket. a tanulók böngészhetnek az INTERNET-en is matematikatörténeti vonatkozásokat, életrajzi adatokat keresve. • Ezen területek ugyanakkor alkalmat nyújtanak a matematika gyakorlati használhatóságának bemutatására is. • A 11. ill. 12. évfolyamon elkezdődhet a különböző anyagrészek rendszerezése, folytatódhat az egyes tanult anyagrészek összekapcsolása (például az analitikus geometriában az algebra és a geometria összefésülése).

Lovassy Gimnázium

- 22 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra Követelmény • A tanulók ismerjék a permutáció, a variáció, a kombináció fogalmát, tudjanak egyszerűbb kombinatorikai feladatokat megoldani. • Tudjanak másodfokúra visszavezethető, exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus egyenleteket, egyenlőtlenségeket megoldani, egyszerű azonosságokat igazolni. Tudják, hogy a megoldás során mikor végeznek ekvivalens lépéseket, s miként lehet a fellépő hamis gyököket kiszűrni. Tudjanak egyszerű kétismeretlenes másodfokú egyenletrendszert megoldani. Ismerjék, hogy szöveges feladatokat hogyan lehet lefordítani a matematika nyelvére. Tudják, hogy a megoldásokat ellenőrizni kell. • Ismerjék, hogy a hatványozás általánosításakor a permanencia elvét alkalmazzuk. Ismerjék az exponenciális, logaritmus és trigonometrikus függvények definícióját, elemi tulajdonságait és ábráit. • Zsebszámológép célszerű felhasználásával legyenek képesek megfelelő pontosságú számításokat végezni. • Ismerjék a skaláris szorzat fogalmát, tulajdonságait. Tudják alkalmazni a trigonometriában és a koordinátageometriában. Ismerjék a sinus- és cosinustételt, s tudják ezeket feladatok megoldásában alkalmazni. • Tudják az egyenes, a kör tanult egyenleteit. Tudjanak metszési, érintési s egyszerű ponthalmaz keresési feladatokat koordináta-geometriai módszerekkel megoldani. • Ismerjék a statisztikai alapfogalmakat, az átlag, modus, medián, szórás fogalmát, és tudják ezeket kiszámítani konkrét számsokaság esetén • Tudjanak klasszikus valószínűségi feladatokat megoldani. Előzmény A tanterv 10.(11.) osztály végéig előírt követelményeiben megfogalmazott, s a 11.(12.) osztály tanításakor szükséges ismeretek és módszerek. (Ezek folyamatos ismétlésére az új anyagrészek bevezetésekor célszerű sort keríteni.)

Tartalom I. Gondolkodási módszerek: 1.Halmazok, matematikai logika elemei 2.Kombinatorika II. Számtan-algebra: 1.Egyenletek, egyenlőtlenségek, azonosságok, egyenletrendszerek III. Függvények: IV. Geometria: 1. Vektorok, trigonometra 2. Koordináta-geometria V. Valószínűségszámítás: VI. Ismétlés, rendszerezés, összefoglalás VII. Témazáró dolgozatok és javítások

12 óra (4 óra) (8 óra) 25 óra (25 óra) 20 óra 32 óra (12 óra) (20 óra) 8 óra 8 óra 6 óra

Megjegyzés: A Tartalomban leírtak nem jelentenek tanítási sorrendet. Értékelés a) Folyamatos szóbeli és írásbeli számonkérés, a házi feladatok ellenőrzése. b) Az írásbeli ellenőrzés formái: 1. rövid dolgozat 2. az év során három teljes órás felmérés, s ezeknek teljes órában történő értékelése. Feltételek • Középiskolai matematika szakos tanár. Személyi számítógép. • A tanulóknak: Tankönyv (az iskolai munkaközösség választja). Matematikai és Geometriai feladatgyűjtemények. Füzetek, körző, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszámológép.

Lovassy Gimnázium

- 23 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra • A tanároknak: A tanulóknál felsoroltak, továbbá tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, színes kréták, írásvetítő fóliák, (matematikai témájú számítógépes oktatóprogramok, videokazetták), fénymásolási lehetőség feladatlapok sokszorosításához.

Halmazok, matematikai logika elemei Óraszám Iskolai:

11.(12.)K

4 óra

Cél • A tanult halmazelméleti alapismeretek felhasználása a tanítandó anyag különböző területein: egyenleteknél, függvényeknél, ponthalmazoknál. • A feltételek, a következtetések, bizonyítási módszereknél a matematikai logika elemeinek alkalmazása. Az ekvivalencia, az implikáció, a konjukció és diszjunkció szerepének megláttatása az egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásakor. Követelmény • A tanulók az egyszerű bizonyításokban az indukciós eljárások mellett értsék meg a deduktív következtetési módszert. • Egyszerű bizonyításokat tudjanak reprodukálni. • Az egyenletek megoldásakor keressenek ekvivalens módszereket, s tudják, hogy ha erre nincs lehetőség, akkor ellenőrzéssel igazolható, hogy egy gyök megoldás, ill. ellenőrzéssel szűrhető ki a hamis gyök. Előzmény Az előző tanévekben szereplő halmazelmélet és matematikai logika elemeinek ismerete. Tartalom • • • •

Negáció, konjunkció, diszjunkció és jelöléseik. Implikáció, ekvivalencia és jelölésük. Szükséges feltétel, elégséges feltétel, szükséges és elégséges feltétel. Tétel és megfordítása.

Megjegyzés: Az altémára szánt 4 órát a tanév során a különböző anyagrészekbe építve célszerű felhasználni. Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot.

Kombinatorika Óraszám Iskolai:

11.(12.)K

8 óra

Cél • A kombinatorika egyszerű feladataival, módszereivel a problémafelismerő és megoldó képesség fejlesztése. A feladatokkal a matematika érdekes voltának, gyakorlati használhatóságának megmutatása. Az ismeretek, a feladatok megértésével s azok megoldásával logikus gondolkodásra és pontosságra nevelés. • Az ismétléses és ismétlés nélküli permutáció, variáció, kombináció fogalmainak megkülönböztetése, alkalmazásuk egyszerű feladatokban. • A gráfokkal kapcsolatos elemi ismeretek, s azok felhasználása a matematika különböző területein modell alkotásra.

Lovassy Gimnázium

- 24 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra • Annak ismerete, hogy a kombinatorika és gráfelmélet területén sok világhírű magyar matematikus tevékenykedett. Követelmény • Ismerjék a permutációt, variációt ismétlés nélküli és ismétléses esetekben, valamint a kombinációt ismétlés nélküli esetben. Egyszerű feladatokban tudják ezeket alkalmazni. • Ismerjék a binomiális együtthatók fogalmát • Ismerjék a gráfokkal kapcsolatos alapfogalmakat, s ezek segítségével egyszerűbb feladatokat tudjanak megoldani. • Ismerjék néhány magyar származású matematikus munkásságának lényegét, akik ezen a területen alkottak Előzmény Kombinatorikából a korábban szereplő módszerek ismerete (sorbarendezés, kiválasztás, fadiagram alkalmazása, „szorzási és összeadási szabály”). Tartalom • • • •

Permutáció, variáció, kombináció (ismétlés nélküli és általános esetben is). A binomiális együtthatók és egyszerübb tulajdonságaik. Gráfokkal kapcsolatos alapfogalmak (szögpont, él, egyszerű gráf, összefüggő gráf, fagráf) Fokszám tétel.. Matematikatörténeti vonatkozások. A kombinatorika "magyar műhelye" : Kőnig Gyula és Kőnig Dénes, Erdős Pál, Lovász László munkássága.

Értékelés • Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a valószínűség, statisztika témakörrel együtt. Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.

Egyenletek, egyenlőtlenségek, azonosságok, egyenletrendszerek 11.(12.)K Óraszám Iskolai:

25 óra

Cél • Az egyenletekkel, egyenletrendszerekkel kapcsolatos ismeretek bővítése. • Másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldási lehetőségeinek megismerése. Ilyenekre vezető szöveges feladatok megoldása. • Egyszerű első- ill. másodfokúra visszavezethető exponenciális-, logaritmikus- és trigonometrikus egyenletek megoldása. • Periodikus függvényt szerepeltető egyenletekben a végtelen sok gyök ellenőrzési módjának megismerése. Követelmény • Ismerjék meg, hogy miként lehet felismerni, hogy egy egyenlet vagy egyenletrendszer másodfokúra visszavezethető, s biztonsággal tudják e visszavezetést megtenni. • Tudjanak egyszerű exponenciális-, logaritmikus- és trigonometrikus egyenleteket megoldani. • Tudják, hogy ezen egyenletekben szereplő függvények értelmezési tartománya és értékkészlete milyen szerepet játszik a megoldások vizsgálatakor (pl. kettő hatványaként kapott negatív érték nem lehet megoldása az eredeti egyenletnek). • Ismerjék fel, hogy az egyenlet megoldása során mikor végzünk ekvivalens átalakítást.

Lovassy Gimnázium

- 25 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra • Tudják, hogy a trigonometrikus egyenletnek végtelen sok megoldása is lehet, s tudják, hogy ilyen esetekben hogyan állapítható meg a gyökök valódi vagy hamis volta. • Másodfokú egyenletekre visszavezethető egyszerű szöveges egyenleteket tudjanak megoldani. • Ismerjék a hatványozás kiterjesztését racionális kitevőkre. • Tudjanak egyszerű azonosságokat bizonyítani, ismerjék a tanult azonosságokat. Előzmény Az egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldásának korábban tanult eljárásainak, tanult azonosságoknak ismerete. A tanult hatványfogalom biztos ismerete. Tartalom • • • • •

Másodfokúra visszavezethető magasabbfokú ill. négyzetgyökös egyenletek. Elsőfokúra ill. másodfokú visszavezethető exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek. A hatványozás kiterjesztése racionális kitevőkre, permanencia elve. A hatványozás és a logaritmus azonsságai. Egyszerű trigonometrikus azonossságok (pótszögek szögfüggvényeire vonatkozó azonosságok, négyzetes összefüggés, áttérés egyik szögfüggvényről a másikra). • Egyszerűbb egyenlőtlenségek megoldása grafikus módszerrel is.

Értékelés • Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a hatvány, gyök, logaritmus altémakörből a függvények témakörrel együtt. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a trigonometrikus függvények altémából a trigonometrikus egyenletek és a vektorok, trigonometria témakörrel együtt.

Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.

Függvények Óraszám Iskolai:

11.(12.)K

20 óra

Cél • Újabb alapvető függvények (exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus) megismerésével a függvényfogalom fejlesztése. Ezen függvények grafikonjainak ismerete. • Újabb függvény tulajdonságok megismerése (párosság, páratlanság, periodikusság, korlátosság), a régebbi fogalmak tartalmának pontosítása és ezzel az elemi függvényvizsgálat bővítése. Követelmény • • • •

Ismerjék a különböző alapú exponenciális és logaritmus függvények grafikonjait, elemi tulajdonságait. Ismerjék a trigonometrikus függvények általános értelmezését, grafikonjait, tulajdonságait. Tudjanak saját készítésű sablonokkal trigonometrikus függvényeket ábrázolni. Legyen gyakorlatuk ezen függvények egyszerű transzformációiban, abban, hogy a transzformációk hogyan jelentkeznek a függvények ábráin ill. miként módosulnak a függvények tulajdonságai. • Tudják a függvények grafikonjait egyszerűbb egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásában felhasználni.

Előzmény Az előző tanévekben megismert függvények értelmezésének, tulajdonságainak és ábráinak ismerete.

Lovassy Gimnázium

- 26 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra Tartalom • • • •

Az exponenciális, a logaritmus függvény és tulajdonságai. A függvény inverze. Az inverz függvénypárok grafikonja a koordináta-rendszerben A folytonosság szemléletes fogalma. A logaritmus és exponenciális függvény grafikonjai különböző alap esetén, exponenciális folyamatok a természetben. • A trigonometrikus függvények általános értelmezése, ábrázolása, alapvető tulajdonságai (zérushelyek, szélsőértékek, párosság, páratlanság, periodicitás, korlátosság). • A függvénytranszformációk átismétlése és alkalmazásuk általános esetben: f(x) + c, f(x + c), c f(x), f(cx). • A trigonometrikus függvények egyszerű transzformációi. Értékelés • Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. Célszerű a tanult függvényekre vonatkozó feladat szerepeltetése a teljes órás dolgozatban is. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a hatvány, gyök, logaritmus témakörből az algebrai résszel együtt. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a trigonometrikus függvények altémából a trigonometrikus egyenletek és a vektorok, trigonometria témakörrel együtt. Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.

Vektorok, trigonometria Óraszám Iskolai:

11.(12.)K

13 óra

Cél • A vektorok skaláris szorzatának ismerete és a matematikán belül a trigonometriában és a koordinátageometriában való alkalmazása. A fizikával való kapcsolat (a munka értelmezése) megmutatása. • A sinus- és a cosinustétel alkalmazása háromszöggel, négyszöggel kapcsolatos számításos feladatok során, távolság-, magasság- és szög- meghatározási feladatok megoldása a gyakorlatban. • A zsebszámológép célszerű használata, a gyakorlati feladatokban megfelelő pontosságú értékek meghatározása. Követelmény • Ismerjék a skaláris szorzatot, tulajdonságait, koordinátákkal való kiszámítási módját; tudják alkalmazni a cosinustétel levezetésében és trigonometriai feladatokban. • Ismerjék a sinus- és cosinustételt, és tudják alkalmazni a háromszög hiányzó részeinek meghatározásában. Előzmény • Az elemi geometriában tanult anyag. A vektorokról és a trigonometriából korábban tanultak. • Táblázat és zsebszámológép használata. Tartalom • • • • •

A skaláris szorzat fogalma és tulajdonságai. A skaláris szorzat felhasználása egyszerűbb feladatokban. A sinus- és cosinustétel és levezetésük. A háromszög területe két oldalból és a közbezárt szögből. A sinus- és cosinustétel alkalmazása összetettebb síkbeli és térbeli feladatok megoldásában.

Lovassy Gimnázium

- 27 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra Értékelés • Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a trigonometrikus függvények altémából a trigonometrikus egyenletek és a vektorok, trigonometria témakörrel együtt. Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.

Koordináta-geometria Óraszám Iskolai:

11.(12.)K

20 óra

Cél • Annak ismerete, hogy ponthalmazok jellemzése a koordináta-rendszerben egyenletek, egyenlőtlenségek segítségével történik, továbbá, hogy ponthalmazok metszete egyenletrendszer megoldásával határozható meg. (Az algebra és a geometria kapcsolata.) • Az egyenes, a kör, a parabola egyenletének alkalmazása matematikai és gyakorlati jellegű feladatokban. A kúpszeletek szerepének ismerete a fizikában és a tudománytörténetben. Követelmény • Ismerjék az egyenes néhány egyenletét, kör középpontos és általános egyenletét. • Tudják ezen egyenleteket metszési és érintési feladatokban alkalmazni. Előzmény • • • •

A tizedik évfolyamig bezárólag ezen tanterv geometriai anyagának ismerete. Egyenletek, egyenletrendszerek biztos megoldása. Ponthalmazok megadása, nevezetes mértani helyek ismerete. A koordináta-rendszerben adott pont és egyenes ábrázolásának biztos ismerete. Vektorműveletek koordinátákkal.

Tartalom • • • • • • • • •

Vektor koordinátái, abszolútértéke, helyvektor fogalma. Két pont távolsága, osztópont koordinátái, háromszög súlypontjának koordinátái. Az egyenes irányvektoros, normálvektoros és általános egyenlete. Adott ponton átmenő, adott iránytangensű egyenes egyenlete. A párhuzamosság és merőlegesség feltétele. A kör középpontos és általános egyenlete. A kör érintőjének fogalma. Az érintő egyenlete konkrét esetekben. Az egyenes, a kör egyenleteinek alkalmazása metszési és érintési feladatokban. Távolsággal kapcsolatos feladatok.

Értékelés • Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján. Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.

Lovassy Gimnázium

- 28 -

2007


Valószínűségszámítás, statisztika Óraszám Iskolai:

11.(12.)K

8 óra

Cél • Statisztikai adatok rendszerezése, matematikai jellemzésük. • A valószínűség kombinatorikus fogalmának megismerése. Követelmény • • • •

Ismerjék a statisztikai adatok rendszerezésének módszereit. Ismerjék a különböző ábrázolási módokat: kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram. Ismerjék a statisztikai adatok néhány jellemzőjét: átlag, modus, medián, szórás. Ismerjék, hogy ha egy valószínűségi kisérletben véges sok elemi esemény lehetséges s azok egyenlően valószínűek, akkor egy esemény valószínűsége kombinatorikus úton határozható meg. • Tudjanak egyszerű valószínűségi feladatokat (pl. kocka dobásával kapcsolatos feladatok) megoldani.

Előzmény A tanult kombinatorikai ismeretek és a valószínűség elemi ismeretei. Tartalom • • • • • • • • • • •

Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése. Statisztikai adatok különböző ábrázolása: kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram. A statisztikai sokaság átlaga, modusa, mediánja. A gyakoriság, relatív gyakoriság fogalma. A relatív gyakoriság változásának ábrázolása növekvő elemszám függvényében. A valószínűség szemléletes fogalma, kapcsolata a relatív gyakorisággal. Esemény, eseménytér konkrét esetekben. Műveletek eseményekkel. A valószínűség kombinatorikus meghatározási módja: kedvező esetek száma/összes lehetséges eset száma. Egyszerűbb feladatok megoldása. Binomiális eloszlás.

Értékelés • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a kombinatorika, témakörrel együtt. Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.

Ismétlés, a felhasználható további órakeret Óraszám Iskolai:

11.(12.)K

8 óra

Cél • A tanult ismeretek rendszerezése, a tanult fogalmak, tételek, eljárások ismétlése. A különböző témakörök közötti kapcsolat megmutatása. Feladatok megoldása. • Ha az idő engedi, akkor a tanár által választott, az osztály (csoport) érdeklődésének megfelelő kiegészítő anyag vagy gyakorló ill. nehezebb feladatok szerepeltetése a rendelkezésre álló időben.

Lovassy Gimnázium

- 29 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra Követelmény A 11. évfolyam tantervének altémáiban megfogalmazott követelmények. Előzmény A tanév végén: az év során tanított anyag ismerete, a legfontosabb anyagrészek egyszerű feladatokon való alkalmazása. Tartalom Az ismétlés során az év folyamán tanított tartalmak súlyponti részeinek kiemelése, s a különböző anyagrészek közötti kapcsolatok kimutatása. Értékelés A tanulóknak az ismétlés idején nyújtott teljesítményét s az egész tanévi munkáját a végső értékelésnél együttesen vegyük figyelembe. Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.

Matematika 12(13)

12.(13.)K

Részei A matematikai logika elemei Sorozatok Kerület, terület, felszín, térfogat számítás Valószínűségszámítás, statisztika Rendszerező összefoglalás Óraszám Iskolai: Tanítási ciklus:


Cél • A tanév fő feladata e tanulócsoportnak a középszintű iskolai érettségire való eredményes felkészítése. • Ennek érdekében e tanévben a tanult matematikai anyag igen alapos rendszerező összefoglalására van szükség. Kellő időt kell fordítani az anyag egyszerű feladatokon való begyakorlására. • A tanév során tanítandó új anyagrészek feladatainak kiválasztásában fontos, hogy szerepeltessünk érdekes matematikatörténeti feladatokat, továbbá a matematika gyakorlatban való felhasználhatóságát megmutatható feladatokat is. Követelmény • A tanulók ismerjék, hogy a matematikában a szereplő állítások igaz vagy hamis voltáról döntünk. Korábban a tapasztalatok, a szemlélet segítségével, majd később alapfogalmak, axiómák, definiált fogalmak s már bizonyított tételek felhasználásával. A logikai következtetéseknél komoly szerepe van a negációnak, a konjukciónak és a diszjunkciónak. • Ismerjék a számtani és a mértani sorozat fogalmát, az n-edik tag és az összeg meghatározási módját, s ezekre vonatkozó képleteket tudják alkalmazni a feladatok megoldásában. Tudják a kamatos kamatszámításokat gyakorlati feladatokban is. • Ismerjék a korábban tanult síkidomokat és testeket, ezek lényeges jellemzőit, s szemléletesen (egyszerűbb esetekben bizonyítással) tisztázzuk a kerület, terület, felszín és térfogat fogalmát. Legyenek képesek ezekre

Lovassy Gimnázium

- 30 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra vonatkozó képletek alkalmazására geometriai és fizikai feladatokban. (Háromszög, speciális négyszögek, sokszögek, csonkagúla, forgáshengerből nyert csonkakúp, gömb). • Ismerjék a statisztika és a matematikai statisztika néhány alapfogalmát. • Ismerjék, hogy a geometriai mértékek segítségével olyan események valószínűségét is meg tudják határozni, melyeknek végtelen sok kimenetele lehet. (Például célbalövésnél a 10-es körbe való beletalálás valószínűsége, ha tudjuk, hogy a lövés a céltábla minden pontját egyenlő valószínűséggel találjuk el.) • Az középszintű érettségire való felkészülés érdekében a rendszerező ismétlés segítségével meg kell, hogy erősödjenek a tanulókban a különböző témakörökben (a halmazok és matematikai logika, kombinatorika, számfogalom, műveletek, számolási eljárások, egyenletek, függvények, sorozatok, geometriai alakzatok, geometriai transzformációk, geometriai mértékek, vektorok, trigonometria, koordináta-geometria, statisztika, valószínűségszámítás) tanult fogalmak, összefüggések, eljárások. Ezeket feladatok megoldásakor alkalmazni is tudják. Előzmény • Az új anyag tanításához szükséges a korábbi években tanult logikai, sorozatokra vonatkozó s geometriai alakzatokra és mértékekre vonatkozó ismeretek. • A rendszerező összefoglalást segíti, ha a tanult matematika anyag súlypontjai már a korábbi évek évvégi ismétléseikor kiemeltük, s a különböző témák közötti összefüggésekre rámutattunk. Tartalom A matematika logika elemei: Sorozatok: Kerület, terület, felszín, térfogatszámítás: Valószínűségszámítás: Rendszerező összefoglalás (részletezés később): Témazáró dolgozatok és javítások

4 óra 19 óra 28 óra 17 óra 46 óra 14 óra

Értékelés a) Folyamatos szóbeli és írásbeli számonkérés, a házi feladatok ellenőrzése. b) Az írásbeli ellenőrzés formái: 1. rövid dolgozatok 2. az új anyagból két teljes órás felmérés és ezeknek teljes órában történő értékelése 3. a rendszerező összefoglalásból két 90 perces összefoglaló dolgozat s annak teljes órában történő értékelése 4. április végén egy délutáni időpontban 180 perces "próbaérettségi" dolgozat írása a teljes érettségi anyagból. Feltételek • Középiskolai matematika szakos tanár.Személyi számítógép.A POLYDRON testmodellkészlet. • A tanulóknak: Tankönyv (az iskolai munkaközösség választja). Matematikai és Geometriai feladatgyűjtemények. Füzetek, körző, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszámológép, testmo-dellek. • A tanároknak: A tanulóknál felsoroltak, továbbá tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, színes kréták, írásvetítő fóliák, (matematikai témájú számítógépes oktatóprogramok, videokezetták,) demonstrációs testmodellek, fénymásolási lehetőség feladatlapok sokszorosításához.

Lovassy Gimnázium

- 31 -

2007


A matematikai logika elemei Óraszám Iskolai:

12.(13.)K

4 óra

Cél • A matematika iránt kevésbé érdeklődő, de érettségire készülő tanulóknál is cél a bizonyítások lényegének megértése, a definíció, a sejtés és a tétel megkülönböztetése, az axiómák jelentőségének ismerete. A feltétel és az állítás szerepére, bizonyos esetekben felcserélhetőségére példák bemutatása. • Egyszerű állítások logikai értékének megállapítása. A bizonyításokban az ÉS , a VAGY, a NEM szavak helyes alkalmazása. Egyszerű példákon a teljes indukciónak, mint bizonyítási módszernek a megértése. Követelmény • • • •

Tudják, hogy az állításoknak kétféle logikai értéke lehet. Tudják, hogy mi a negáció, konjukció, diszjunkció, implikáció, kapcsolatok a halmazműveletekkel. Állítások tagadása. Logikai kvantorok változása tagadásnál. A tanult anyagban szereplő bizonyítási módszereket (pl. teljes indukciót) reprodukció szinten ismerjék.

Előzmény A korábbi tanévekben szereplő matematikai logika elemeinek, s bizonyítási módszereknek ismerete. Tartalom • Állítások logikai értéke. • Negáció, konjukció, diszjunkció. • Néhány példa a teljes indukció megismerésére. Értékelés • Felmérés, házi feladat ellenőrzés. Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.

Sorozatok Óraszám Iskolai:

12.(13.)K

19 óra

Cél • A sorozatokkal kapcsolatos fogalmak bővítése, a sorozat általános fogalmának tisztázása. • A számtani és a mértani sorozat n-edik tagjára és az első n tag összegére vonatkozó képlet igazolása, alkalmazása matematikai, gyakorlati és matematikatörténeti feladatok (pl. a sakk feltalálójának jutalma) megoldására. Követelmény • A tanulók tudják, hogy a sorozat speciális függvény. • Ismerjék a számtani és a mértani sorozat általános tagjának és összegének képletét, tudják ezeket feladatokban alkalmazni. • Ismerjenek néhány példát egyéb sorozatokra is, rekurzióval megadható sorozatokra. • Tudják kamatos kamatot számolni.

Lovassy Gimnázium

- 32 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra Előzmény A témáról korábban tanultak ismerete. Tartalom • A sorozat fogalma. Különböző megadási módok. A sorozatok elemi tulajdonságai. • A számtani és mértani sorozat fogalma. • A számtani és a mértani sorozat n-edik tagja és első n tagjának az összege. • Kamatos-kamat számítása gyakorlati feladatokban. Értékelés • Lásd az általános rész a) és b) pontját. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján. Feltételek Lásd az általános részben leírtakat.

Kerület-, terület-, felszín-, térfogatszámítás Óraszám Iskolai:

12.(13.)K

28 óra

Cél • A geometria tanítás egyik fontos feladata a gyakorlati életben előforduló egyszerű síkidomok definícióinak, testek származtatási módjának megismertetése. • A tanult síkbeli és térbeli alakzatok kerületére, területére, felszínére, térfogatára vonatkozó képletek elemi meggondolásokkal történő megmutatása és átismétlése. Követelmény • • • •

Ismerjék a sokszög fogalmát, a speciális sokszögek, a kör értelmezését és tulajdonságait. Ismerjék a hasáb, forgáshenger, gúla, forgáskúp, csonkagúla, csonkakúp, gömb származtatását. Tudjon egyszerűbb testekről és bizonyos metszeteikről rendezett, "beszédes" ábrát készíteni. Ismerjék a felsoroltak kerületének, területének, felszínének, térfogatának képletét, s ezeket tudják matematikai, fizikai, technikai feladatokban alkalmazni.

Előzmény A geometriai alakzatokkal és mértékekkel kapcsolatos korábbi ismeretek tudása. Tartalom • • • • • • • • • •

Az elemi geometriai anyag ismétlése. Síkidomok területének szemléletes fogalma, tanult síkidomok területei. Terület meghatározása különböző módon: átdarabolások, számításos módszerek. Térgeometriai ismeretek átismétlése. Tájékozódás a térben, valóságos viszonyok becslése térkép alapján. Térbeliség ábrázolása két dimenzióban, takarás, síkmetszetek, hálókészítés. Térelemek távolsága és szöge. Ezek számítása egyszerűbb testeknél. A kocka, téglatest, hasáb, gúla, csonkagúla, henger, kúp, csonkakúp, gömb származtatása, tulajdonságai. A térfogat és felszín szemléletes fogalma ismert testekre. Térfogat- és felszínszámítási feladatok.

Értékelés • Lásd az általános rész a) és b) pontját.

Lovassy Gimnázium

- 33 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján. Feltételek • Lásd az általános részben megfogalmazottakat. • POLYDRON testkészlet.

Valószínűségszámítás, statisztika Óraszám Iskolai:

12.(13.)K

17 óra

Cél • A valószínűségi szemlélet fejlesztése. Olyan események megmutatása, melyeknek végtelen sok kimenetele lehet. • Van nulla valószínűségű, de nem lehetetlen esemény. • Annak beláttatása, hogy a valószínűség meghatározása geometriai mérték segítségével történhet (hosszúság, terület, térfogat). • A nagy számok törvényének szemléletes megismerése. • A matematikai statisztika alapfogalmainak megismerése. Követelmény • Ismerjék a közvéleménykutatás elemeit. • Ismerjék meg a mintavételi eljárásokat. • Ismerjék, s egyszerű esetekben alkalmazni is tudják a geometriai valószínűség fogalmát. (Pl. annak megállapítása, hogy adott méretű négyzethálózatra dobott pénzérme milyen valószínűséggel esik valamelyik négyzet belsejébe.) Előzmény • A kombinatorikai, statisztikai fogalmak, alapeljárások ismerete. • A valószínűségről, valószínűségi kísérletekről, mértékekről korábban tanultak ismerete. Tartalom • A mintavételi eljárások: visszatevéses és visszatevés nélküli esetek. Urnás modellek. • A mintavételi eljárások során definiált események kombinatorikus kiszámolása visszatevéses és visszatevés nélküli esetben (binomiális és hipergeometrikus eloszlás konkrét adatokkal). • Az átlag és szórás kapcsolata. Terjedelem, átlagos abszolút eltérés. • Egyszerű feladatok a geometriai valószínűség meghatározására. • A közvéleménykutatás elemei. • A matematikai statisztika alapfogalmai. Értékelés Lásd az általános rész a) és b) pontját. Feltételek Lásd az általános részben leírtakat.

Lovassy Gimnázium

- 34 -

2007


Rendszerező összefoglalás Óraszám Iskolai:

12.(13.)k

46 óra

Cél Az évek során tanult matematika anyag rendszerezésével, a tanult témakörök lényeges fogalmainak, összefüggéseinek, megoldási eljárásainak ismétlésével, az anyagrészek, műveltségi területek közötti kapcsolatok megmutatásával, feladatok megoldásával a középszintű érettségi vizsgára való felkészítés. Követelmény Tudják a tanult fogalmak definícióját, tételeket (az egyszerűbbek bizonyítását reprodukálni is), a tanult algoritmusokat, módszereket. Lássák a matematika különböző területei közötti kapcsolatokat, a matematika s az egyéb tudományok és műveltségi területek közötti összefüggéseket. Legyenek képesek a fogalmakat, összefüggéseket, eljárásokat feladatok megoldásában alkalmazni. Előzmény A tanterv korábbi évfolyamain s a 12.(13.) évfolyam új témáiban előírt követelmények teljesítése. Tartalom GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK: a) Halmazok, matematikai logika: 4 óra Halmazok megadási módjai, részhalmaz, kiegészítő halmaz. Halmazok közötti műveletek. Venn-diagramos ábrázolás. Állítások, logikai értékük. Negáció, konjukció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia. b) Kombinatorika: 5 óra Permutáció, variáció, kombináció, gráfok. SZÁMTAN, ALGEBRA: a) Számfogalom, művelet fogalom, számolási eljárások: 4 óra A természetes, az egész, a racionális és a valós számok halmaza. Számok normálalakja, az abszolút érték fogalma. Az alapműveletek és tulajdonságai. Közelítő értékek, kerekítések. Számelméleti alapfogalmak: legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös, számok prímtényezős felbontása. Egyszerű oszthatósági feladatok. Helyiértékes írásmód alapelvei. b) Egyenletek, egyenlőtlenségek: 8 óra Az egyenletek függvénytani és logikai értelmezése. Az alaphalmaz szerepe. A megoldás (gyök) fogalma és meghatározási módjai. Ekvivalens és nem ekvivalens átalakítások. Az ellenőrzés szerepe. Azonosságok. A hatványozás, gyökvonás és logaritmus azonosságai. Egyszerübb trigonometrikus azonosságok. Egyenletrendszerek. FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK: 6 óra A függvény és a sorozat fogalma. Speciális függvények és sorozatok: konstans, lineáris, másodfokú, exponenciális, logaritmus, trigonometrikus függvények, számtani és mértani sorozat. A függvények grafikonjai és elemi tulajdonságai: zérushely, növekedés, fogyás, korlátosság, szélsőérték szemléletes fogalma, periodicitás, paritás. Függvénytranszformációk.Számítógépes függvényábrázolási módszer. GEOMETRIA: a) Geometriai alakzatok, bizonyítások: 5 óra Nevezetes ponthalmazok, síkidomok, testek, tulajdonságaik. Elemi sík- és térgeometriai tételek. b) Geometriai transzformációk: 3 óra Egybevágósági és hasonlósági transzformációk, tulajdonságaik. Szerepük a bizonyításokban és a szerkesztésekben. Merőleges vetítés. c) Vektorok, trigonometria, koordináta-geometria: 7 óra

Lovassy Gimnázium

- 35 -

2007

matematika középszintű tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra A vektor fogalma, műveletek a vektorok körében. Vektorok koordinátái. Hegyesszög szögfüggvényei. Sinus- és cosinustétel. A háromszög hiányzó adatainak trigonometriával való meghatározása. Az egyenes, a kör, a parabola egyenlete. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS, STATISZTIKA: 4 óra Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai (kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram). Gyakoriság, relatív gyakoriság. Átlagok: számtani közép, súlyozott közép, medián, modus. Szórás. Számítógépes feldolgozási módszerek. Mintavételi eljárások - visszatevéses mintavétel. Valószínűség, relatív gyakoriság, a nagy számok törvényének szemléletes tartalma. Sokaság, paraméter. Minta, relatív gyakoriság. A közvéleménykutatás elemei. Értékelés • Lásd az általános rész a) és b) 1., 3. pontját. • A rendszerező összefoglalásból két 90 perces összefoglaló dolgozat s annak teljes órában történő értékelése. − Az első ismétlő dolgozat témái: halmazok, algebra. − A második ismétlő dolgozat témái: kombinatorika, valószínűség, statisztika, függvények, geometria. • Április végén egy délutáni időpontban 180 perces "próbaérettségi" dolgozat írása a teljes érettségi anyagból.

Lovassy Gimnázium

- 36 -

2007

Matematika (10-13.)- középszintű (K)

Recommend Documents