P°edmluva Pro£ jsou tém¥° £ty°i stovky let stará newtonovská mechanika a spolu s ní klasická termika a molekulová fyzika tak°ka bez výjimky úvodními £ástmi univerzitních i gymnaziálních kurs· obecné fyziky? Rozvoj fyzikálního poznání je p°ece zvlá²´ v poslední dob¥ tak rychlý, ºe laik nesta£í existenci nových poznatk· a jejich aplikací £asto ani registrovat a i odborník je jen t¥ºko sta£í vst°ebávat. Supravodi£e, nanostruktury, neutrina rychlej²í neº sv¥tlo, dal²í a dal²í nobelovské objevy... Na druhé stran¥ jsou za£ínající studenti fyziky, kte°í by jednou m¥li v²e nové pochopit a dal²í objevovat, autory u£ebnic a svými u£iteli zatvrzele nuceni d¥lat n¥co, co p°ece ve svém povolání fyzika fakticky nepouºijí po£ítat pohyby t¥les v zemském gravita£ním poli, zabývat se kostkami jezdícími po naklon¥ných rovinách se zanedbáním £i zapo£tením t°ení, °e²it k°ivo£aré pohyby motocyklist· v zatá£kách a planet kolem Slunce, p°emý²let nad tím, pro£ voda v úzké trubici te£e rychleji neº v ²iroké a chápat stavové rovnice idealizovaných plyn·. Práv¥ proto, aby budoucí fyzik, a´ jiº se nakonec bude hloub¥ji zabývat výzkumem v oblasti kvantové elektrodynamiky, teorií strun, elektronovou mikroskopií, technickými aplikacemi, nebo bude fyziku u£it, dokázal zvládnout svou profesi, je t°eba, aby se vedle získání dobrého p°ehledu o klasických i moderních fyzikálních disciplínách nau£il takzvanému fyzikálnímu my²lení . Tím je, zhruba °e£eno, speci cké uvaºování zahrnující nejen logické postupy typické pro fyziku a spojené s matematickými znalostmi, ale p°edev²ím zku²eností posilovanou fyzikální intuici umoº¬ující na základ¥ experiment· formulovat hypotézy, vyvozovat z nich dal²í zákonitosti, navrhovat exprimenty pro jejich ov¥°ení a posoudit, co je a není p°i interpretaci fyzikálních jev· moºné. K fyzikálnímu bádání ani vyu£ování není moºné p°istoupit bez znalosti základních disciplín obecné, teoretické i praktické fyziky, i kdyº se mohou jevit pon¥kud historické , z dne²ního pohledu jsou t°eba jiº p°ekonány a jejich výsledky platí jiº jen v rámci aproximativního p°ístupu k lep²í teorii. Tak t°eba newtonovská mechanika, zaloºená na p°edstav¥ absolutního prostoru a £asu a na neexistenci mezní rychlosti, je dávno p°ekonána speciální teorií relativity, v níº roli mezní rychlosti hraje rychlost sv¥tla ve vakuu. P°esto ji v²ak v praktických situacích pouºíváme jako velmi dobrou aproximaci. Klasické vyza°ovací zákony £erného t¥lesa jsou jen aproximacemi Planckova zákona, který otev°el cestu ke kvantové teorii. V mikrosv¥t¥ byly Bohr·v a Sommerfeld·v model atomu dávno nahrazeny daleko relevantn¥j²ím popisem v rámci kvantové teorie, p°esto v²ak 1
2
dávají základní p°edstavu o kvantování energie a dal²ích veli£in v atomech. A tak bychom mohli pokra£ovat tak°ka v kaºdé oblasti fyziky. Studia klasických oblastí fyziky se nelze vzdát, a´ uº pro nutnost ovládat jejich postupy a výsledky jako samoz°ejmou sou£ást vývoje fyzikálního v¥d¥ní a my²lení, nebo práv¥ pro pou£ení, co to fyzikální my²lení je a jak si je osvojit. Za£ínat studium kurzu obecné fyziky klasickou mechanikou je proto logické krom¥ toho, co bylo p°ed chvílí °e£eno o nutnosti z klasiky vycházet, je zde je²t¥ dal²í aspekt. Mechanické jevy jsou p°ístupné na²emu p°ímému pozorování a smyslovému vnímání. Kuli£ku kyvadla na niti, padající t¥lesa, jedoucí autiomobily, kostky na naklon¥ných rovinách, motocyklisty v cirkusu ve smy£ce smrti, d¥ti na koloto£i, tekoucí £i stojatou vodu to v²echno vidíme na vlastní o£i a na ledacos z toho si m·ºeme i sáhnout . Mechanické experimenty lze proto v¥t²inou sledovat p°ímo. Naproti tomu zji²´ovat i tak jednoduchou v¥c, jakou je vztah mezi nap¥tím na kusu drátu a protékajícím proudem, m·ºeme jen zprost°edkovan¥, a´ jiº prost°ednictvím ode£ítání údaj· na p°ístrojích s mechanickým výstupem (údaj, který ukazuje otá£ející se ru£i£ka), nebo digitáln¥ pomocí je²t¥ sloºit¥j²í elektroniky. Proto je vhodné fyzikální vzd¥lávání za£ínat mechanikou, i kdyº její konkrétní výsledky t°eba nepovaºujeme pro povolání fyzika dne²ní doby za n¥jak zvlá²´ prakticky vyuºitelné. Krom¥ toho, co bylo p°ed chvílí °e£eno, má mechanika dal²í velkou výhodu. Názorn¥ lze na ní totiº ukázat ú£innou metodu fyzikálního zkoumání, kterou velmi zhruba znázor¬uje následující schema:
Vstupní experiment
Matematický aparát
−→ | −→ | −→
↓
↓
←− | | |
Ov¥°ovací experiment
Hypotézy (principy, axiomy)
↓
Odvozená tvrzení (zákony)
Co schema znamená? Pomocí vstupního experimentu a zobecn¥ním jeho výsledk· dospívá fyzik k formulaci hypotéz o tom, jakými principy se zkoumané jevy °ídí. Na základ¥ t¥chto princip· vyvozuje dal²í fyzikální zákony, které je moºné cílen¥ p°ipraveným experimentem ov¥°it a hypotézy tak potvrdit, nebo vyvrátit. Pokud se hypotézy potvrdí, vzniká teorie, která stojí na uvedených principech. Ta platí do doby, neº je p°ípadn¥ jemn¥j²ími experimenty vyvrácena. Ani pak ov²em nemusí být zcela opu²t¥na, ale m·ºe slouºit jako aproximativní p°ístup v rámci nové, p°esn¥j²í teorie. Dobrým p°íkladem konkrétního napln¥ní vý²e uvedeného obecného schematu je práv¥ newtonovská mechanika. K základním experiment·m, z jejichº výsledk· mohl Newton vycházet p°i formulaci svých pohybových zákon·, pat°ily jist¥ experimenty Galilea Galileiho a jejich interpretace. Newtonovy pohybové zákony spolu s principem superpozice sil (výpo£et výslednice jako vektorového sou£tu jednotlivých sil) p°edstavují principy (axiomy) teorie, p°íkladem odvozených tvrzení jsou impulsové v¥ty pro pohyb
3
t¥les sloºených z více £ástic, nebo t¥les se spojit¥ rozloºenou hmotností, zákony zachování hybnosti, momentu hybnosti a energie, zákonitosti pro statickou rovnováhu, resp. pro proud¥ní kapaliny, apod. V²echny tyto zákony je moºné ov¥°it na vhodn¥ p°ipravených experimentech a základní principy tak potvrdit. Teorie vychází z p°edstavy, ºe vzájemné p·sobení objekt· se ²í°í nekone£n¥ rychle , tj. neexistuje mezní rychlost ²í°ení interakce. Výsledky Michelsonova pokusu se sv¥tlem v²ak s tímto p°edpokladem nesouhlasí, stejn¥ jako teoretické úvahy Einsteinovy, vycházející z poºadavku invariance rovnic elektrodynamiky vzhledem k transformacím sou°adnic. Speciální teorie relativity, jejímº základem je existence mezní rychlosti, tak Newtonovu mechaniku sice p°esn¥ vzato vyvrací, ale zahrnuje ji jako aproximativní p°ístup pro malé rychlosti studovaných objekt· (v porovnání s mezní rychlostí). P°edchozí úvahy snad jiº dostate£n¥ ospravedl¬ují volbu klasické mechaniky jako úvodní £ásti kurz· obecné fyziky na r·zných úrovních fyzikálního vzd¥lávání. Kniha, kterou máte v rukou, je u£ebnicí mechaniky, základ· termodynamiky a molekulové fyziky pro studenty bakalá°ského univerzitního kurzu. Na tomto míst¥ si moºná £tená° poloºí otázku, pro£ vzniká dal²í u£ebnice klasické mechaniky, kdyº práv¥ s ohledem na jisté výsadní postavení mechaniky v kursech obecné fyziky, jak jsme o n¥m p°ed chvílí mluvili, je dostupných u£ebnic mechaniky aº dost. ím se tedy tato li²í od ostastních, p°inejmen²ím od t¥ch, které sama cituje v seznamu literatury? Odpov¥¤ snad bude z°ejmá z následující charakteristiky, která popisuje ur£itá speci ka na²eho textu: V kaºdé skupin¥ osob, a tedy i za£ínajících univerzitních student· fyziky, existuje n¥co jako rozd¥lení skupiny podle p°ipravenosti £i momentální schopnosti p°ijímat informace na ur£ité úrovni a rozum¥t jim. A£koli má p°edná²ející nebo autor u£ebního textu sebelep²í snahu p°izp·sobit výklad celé skupin¥, najdou se v ní vºdy jednotlivci, kte°í nebudou rozum¥t tém¥° ni£emu, ale i takoví,
pro dvojí £tení první £tení
které bude jednoduchost a p°ístupnost výkladu nudit. Proto je ná² text koncipován takzvan¥ a slouºí pro
. Základem jsou £ásti psané normální velikostí písma
. M¥ly by být srozumitelné v²em za£ínajícím student·m
bakalá°ské univerzitní fyziky, i kdyº ti, kte°í se pro fyziku p°edtím (t°eba na st°ední ²kole) nijak nep°ipravovali, budou muset ob£as hledat v matematických
druhé £tení
p°íru£kách a vracet se ke gymnaziálním u£ebnicím fyziky. ásti psané petitem p°edstavují nadstavbu ur£enou aº pro
. Slouºí k hlub²ímu p°emý²lení
a k roz²í°ení znalosti problematiky. Po fyzikální stránce jsou pon¥kud obtíºn¥j²í a £asto jsou také v¥novány podrobn¥j²ím matematickým výpo£t·m. P°i prvním £tení je lze vynechat bez ztráty souvislosti.
výuka na p°íkladech
Výklad je doprovozen zna£ným mnoºstvím °e²ených p°íklad· takzvaná se osv¥d£uje ve fyzice stejn¥ jako kdekoli jinde. Teprve
schopnost °e²it konkrétní úlohy, tj. aplikovat obecné zákonitosti, je indikátorem toho, ºe jsme tyto zákonitosti dob°e pochopili.
nástrahy
Krom¥ standardních ukázek °e²ení úloh obsahuje text pon¥kud netradi£ní kategorii p°íklad·, tzv.
. Jedná se o ukázky toho, ºe zdánliv¥ logicky
vedená úvaha vycházející z obecných princip· a zákon· m·ºe být zavád¥jící aº chybná. Na n¥kterých z nich se £tená° p°esv¥d£í, ºe zdaleka ne v²e, co se jeví nebo
4
je prezentováno jako jasné , z°ejmé , jednoduché , je takovým doopravdy. Vzhledem k d·leºitosti experimentu ve fyzice obecn¥, ale i vzhledem k jeho názornosti práv¥ v mechanice, není moºné, aby v u£ebnici jako je tato chyb¥l. Dal²í skupinou p°íklad·, na nichº se má £tená° prost°ednictvím mechaniky u£it fyzikáln¥ p°emý²let , jsou proto experimenty. Není jich uvád¥no mnoho nic se nemá p°ehán¥t. Jsou v²ak voleny tak, aby demonstrovaly vysv¥tlovanou fyzikální zákonitost £i jev pokud moºno zcela pr·hledným zp·sobem. Jsou sestaveny pomocí co nejjednodu²²ích pom·cek, aby základní jev nebyl zast°en sloºitostí konstrukce. Neobsahují ºádné £erné sk°í¬ky , v kaºdém kroku je vid¥t, co se d¥je. Navíc jsou voleny tak, aby byly cenov¥ dostupné a snadno realizovatelné, £asto doslova na kolen¥ . A protoºe ani sebelep²í a opakovaný slovní popis experimentu nem·ºe nahradit jeho skute£né sledovnání, obsahuje kniha o CD s krátkými videozáznamy pouºitých pokus·. Jako ve v¥t²in¥ u£ebnic ani zde nechybí testové úlohy a cvi£ení k samostatnému °e²ení. Kniha obsahuje CD s tzv. uzav°enými testovými úlohami s jednou a více odpov¥¤mi pro testování p°i samostatném studiu kaºdé kapitoly. Úlohy jsou rozt°íd¥ny podle obtíºnosti do kategorií zah°ívací , snadné , obtíºn¥j²í . Vºdy jsou opat°eny £asovým údajem p°edstavujícím standardní dobu pro °e²ení a odpo£tem £asu. Úlohy s jednou odpov¥dí nabízejí je kaºdé otázce p¥t moºností, jak odpov¥d¥t, z nichº práv¥ jedna je správná. P°i vyhodnocení se za kaºdou správn¥ vy°e²enou úlohu p°id¥luje jeden bod. U úlohy s více odpov¥¤mi je v nabídce více neº p¥t moºností odpov¥dí, p°i£emº po£et správných není p°edem znám, m·ºe se pohybovat od nuly aº do po£tu v²ech odpov¥dí. Úloha je hodnocena dv¥ma metodami: Metoda v²echno, nebo nic p°id¥lí za °e²ení úlohy jeden bod, jsou-li ozna£eny v²echny správné odpov¥di a v²echny chybné odpov¥di z·stanou neozna£eny. Jinak body nejsou p°id¥leny. Tento zp·sob hodnocení s vysokou pravd¥podobností zaru£uje, ºe správn¥ vy°e²ená úloha dokládá, ºe student problematice opravdu porozum¥l. Mírn¥j²í zp·sob hodnocení p°edstavuje metoda pomocných bod· . P°i ní se za kaºdou ozna£enou správnou odpov¥¤ p°id¥luje jeden pomocný bod, za kaºdou neozna£enou chybnou odpov¥¤ také jeden pomocný bod. Sou£et pomocných bod· vyd¥lený celkovým po£tem odpov¥dí p°edstavuje výsledné bodové hodnocení úlohy. To se pohybuje mezi nulou a jedním bodem. Pomocí náhodného výb¥ru si m·ºe student sestavit standardní písemku tvo°enou deseti úlohami pokrývajícími celou problematiku u£ebnice a opat°enou odpo£tem £asu (celková doba 60 minut). Po odevzdání je písemka obodována a klasi kována stupni A (výborn¥), B (velmi dob°e), C (dob°e), D (uspokojiv¥), E (vyhovující) a F (nevyhovující) jako ve ²kole. Pro samostatné studium a testování je podstatné, ºe po odevzdání úlohy, resp. písemky, si student m·ºe zobrazit správné i chybné odpov¥di a jejich zd·vodn¥ní. Zvlá²tní poznámku zaslouºí otázka matematického aparátu. Charakteristickým rysem fyziky je to, ºe je v¥dou o zm¥nách . V ºádné £ásti se proto neobejde bez základ· matematické analýzy funkcí jedné a více prom¥nných, stejn¥ jako bez teorie i praxe °e²ení diferenciálních rovnic, op¥t alespo¬ na základní úrovni univerzitního bakalá°ského studia. Totéº platí pro lineární a multilineární algebru °ada zákonitostí ve fyzice má totiº lineární charakter, p°inejmen²ím v apro-
5
ximativní podob¥. Soub¥ºn¥ se studiem fyziky je proto t°eba intenzivn¥ a systematicky p¥stovat a procvi£ovat matematický aparát. Na za£átku studia u£ebnice vysta£í £tená° s matematikou st°ední ²koly, k nimº stále je²t¥ standardn¥ pat°í porozum¥ní pojmu funkce a práce s elementárními funkcemi (lineární funkce, polynom, goniometrické funkce, logaritmické a exponenciální funkce na st°edo²kolské úrovni), pojem limity, derivace a jednoduchého neur£itého a ur£itého integrálu. Chyb¥jící znalosti lze snadno dohnat pomocí doporu£ené literatury citované v záv¥ru. Obecn¥ vzato, úsp¥²nost ve studiu fyziky je nejistá (nechceme-li rovnou mluvit o jistot¥ neúsp¥²nosti) bez pravidelné systematické práce, procvi£ování fyzikální látky na p°íkladech a rutinního °e²ení matematických úloh. Úsp¥²né studium fyziky vyºaduje silné zaujetí pro v¥c, které pomáhá p°ekonávat zdánlivé díl£í neúsp¥chy. A je to hlavn¥ práce. P°ejeme p°i ní ní vám, na²im £tená°·m mnoho trp¥livosti, ale i zdaru a moºná také radosti z toho, kdyº se vám poda°í prost°ednictvím vy°e²ených úloh, ºe jste nové v¥ci správn¥ pochopili a posunuli tak své fyzikální i obecn¥ logické uvaºování zase o dal²í p°í£ku. Tady bude je²t¥ poznámka týkající se gra ckého zpracování (barevné odli²ení de nic, fyzikálních zákon·, atd.) a pod¥kování.
6
Obsah 1 Pojmy klasické mechaniky pohyb a jeho popis 1.1
1.2
1.3
1.4
T¥lesa a jejich modely
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.1
Hmotný bod
1.1.2
T¥leso s diskrétním rozloºením hmotnosti
. . . . . . . . .
13
1.1.3
T¥leso se spojitým rozloºením hmotnosti . . . . . . . . . .
19
Vztaºné soustavy a volné £ástice
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.2.1
asoprostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.2.2
Inerciální vztaºné soustavy
. . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Mechanický stav £ástice a jeho £asový vývoj . . . . . . . . . . . .
30
1.3.1
Poloha a její zm¥ny
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.3.2
Rychlost a zrychlení
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.3.3
Geometrické charakteristiky trajektorie
. . . . . . . . . .
36
1.3.4
Te£né a normálové zrychlení . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
1.3.5
Úhlové charakteristiky pohybu £ástice
. . . . . . . . . . .
51
1.3.6
Obrácená úloha: Od zrychlení k trajektorii I . . . . . . . .
53
Popis pohybu r·znými pozorovateli kaºdý to vidí jinak
. . . .
58
1.4.1
Okamºité ²í°ení interakce a absolutnost sou£asnosti . . . .
59
1.4.2
P°echod mezi soustavami sou°adnic jako geometrický problém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Aplikace: Pohyb £ástice v laboratorní vztaºné soustav¥ . .
73
Popis pohybu r·znými pozorovateli II 1.5.1
. . . . . . . . . . . . . . .
77
Existence mezní rychlosti a relativnost sou£asnosti. Michelson·v Morley·v experiment . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2
68
Aplikace: Transla£ní pohyb vztaºných soustav, Galileiova transformace
1.4.6
62
Pohyb v r·zných vztaºných soustavách maticová formulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5
59
Pohyb v r·zných vztaºných soustavách vektorová formulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4
1.5
11
77
Interval mezi událostmi a jeho invariantnost jako d·sledek vlastností £asoprostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
1.5.3
Nerovnosti pro intervaly a jejich interpretace, sv¥telný kuºel 83
1.5.4
Lorentzova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
1.5.5
Aplikace: kontrakce délek a dilatace £asu
87
7
. . . . . . . . .
OBSAH
8
1.5.6
Aplikace: pravidlo pro skládání rychlostí . . . . . . . . . .
88
1.5.7
Aplikace: paradox dvoj£at . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
1.6
ty°rozm¥rné vektory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
První Newton·v zákon a jak mu rozum¥t
2 Principy klasické mechaniky 2.2
2.3
2.4
2.5
. . . . . . . . . . . . .
3.2
93
93
2.1.1
Newtonova formulace prvního zákona a související otázky
94
2.1.2
Odpov¥di na otázky k prvnímu Newtonovu zákonu . . . .
95
Druhý Newton·v zákon a jeho dvojí £tení
. . . . . . . . . . . . .
96
2.2.1
Newtonova formulace druhého zákona a související otázky
97
2.2.2
Odpov¥di na otázky k druhému Newtonovu zákonu . . . .
98
T°etí Newton·v zákon a jeho význam
. . . . . . . . . . . . . . . 102
2.3.1
Newtonova formulace t°etího zákona a podstata interakce
2.3.2
Silové zákony a základní interakce
102
. . . . . . . . . . . . . 103
Newtonovy zákony a pohybové rovnice . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.4.1
Od interakcí ke zrychlení
2.4.2
Pohybové rovnice: Od zrychlení k trajektorii II
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 . . . . . . 122
2.4.3
Newtonovy zákony v neinerciálních soustavách
. . . . . . 147
Práce a mechanická energie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2.5.1
Práce síly po k°ivce
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.5.2
Konzervativní síly a potenciální energie
2.5.3
Kinetická energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
. . . . . . . . . . 154
3 Mechanika soustav £ástic 3.1
92
171
Impulsové v¥ty a zákony zachování . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 3.1.1
První impulsová v¥ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.1.2
Druhá impulsová v¥ta
3.1.3
St°ed hmotnosti a jeho význam . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.1.4
Dvou£ásticová izolovaná soustava . . . . . . . . . . . . . . 186
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Rovnováha a pohyb tuhých t¥les 3.2.1 3.2.2
Rovnováha tuhých t¥les Tenzor
Jˆ jako
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
p°evodník mezi úhlovou rychlostí a mo-
mentem hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 3.2.3
Rotace tuhého t¥lesa kolem pevné osy
3.2.4
Rotace tuhého t¥lesa kolem pevného bodu . . . . . . . . . 232
4 Mechanika tekutin 4.1
4.2
. . . . . . . . . . . 208
237
Statická rovnováha tekutin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 4.1.1
Podmínky rovnováhy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4.1.2
Tlak a jeho rozloºení v tekutin¥ . . . . . . . . . . . . . . . 237
Pohyb tekutin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 4.2.1
Popis pohybu kontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4.2.2
Pohyb ideálních tekutin
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
4.2.3
Pohyb reálných tekutin
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
OBSAH
9
5 Soustavy mnoha £ástic a zákonitosti jejich chování 5.1
Zákony termodynamiky
5.2
Makroskopické veli£iny a st°ední hodnoty
5.3
xxxxx
241
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 . . . . . . . . . . . . . 241
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10
OBSAH
Kapitola 1
Pojmy klasické mechaniky pohyb a jeho popis principu p°í£innosti
Základním cílem klasické mechaniky, která je stejn¥ jako ostatní fyzikální disciplíny zaloºena na obecném
, je um¥t p°edpov¥d¥t £asový
vývoj mechanického pohybu objekt· a jejich soustav, dokáºeme-li popsat jejich interakci (vzájemné p·sobení) s okolím a známe-li jejich mechanický stav v ur£itém okamºiku. Abychom dokázali na základ¥ mechanických zákon· pohyb p°edpovídat , musíme p°edev²ím v¥d¥t, jak jej vhodn¥ popsat. Vstupním
kinematiky
problémem klasické mechaniky je proto nalezení p°im¥°eného kvantitativního popisu pohybu. To je úkolem
, jedné z díl£ích disciplin mechaniky.
Práv¥ kinematice je v¥nována tato kapitola. Klade si za cíl popsat charakteristiky pohybu r·zných objekt· co nejd·kladn¥ji. Má-li být takový popis opravdu d·kladný, musí být matematický. Výklad se proto m·ºe netrp¥liv¥j²ím £tená°·m jevit jako místy zdlouhavý, nebo dokonce nudný. Pro získání základního p°ehledu o kinematických veli£inách, charakterizujících pohyb t¥les, posta£í nap°ed prostudovat text ur£ený pro první £tení a teprve pozd¥ji se vrátit k textu úplnému. Rozhodn¥ se v²ak pe£livé pro£tení kinematiky vyplatí zhodnotí se p°i studiu dal²ích kapitol.
1.1 T¥lesa a jejich modely Popis pohybu reálných objekt· m·ºe být zna£n¥ sloºitý p°edstavte si nap°íklad ví°ící masy vzduchu p°i v¥trné smr²ti. P°edstupn¥m k pochopení nejd·leºit¥j²ích aspekt· takto sloºitého pohybu musí být popis pohybu mnohem jednodu²²ích model· vystihujících alespo¬ p°ibliºn¥ vlastnosti reálných objekt·. O takových modelech pojednává tento odstavec. Jednou z charakteristik neodmysliteln¥ spjatých jak s p°edm¥ty, které nás
hmotnost
obklopují, tak s t¥lesy sv¥ta planet, hv¥zd a galaxií i s £ásticemi mikrosv¥ta, je jejich
. Rozsah hmotností prozatím známých objekt· je obrovský, 10−30 kg odpovídajících mikro£ásticím aº po hmotnosti
od °ádových hodnot
11
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
12
galaktických kup, pohybující se v rozmezí od
1039 kg
do
1045 kg.
Jemn¥j²í ²kálu
vystihuje následující tabulka.
Tabulka 1.1: Hmotnosti objekt·
Mikrosv¥t
Log m
elektron µmezon (mion) proton a neutron nejhmotn¥j²í atomy velké organické molekuly virus jednobun¥£ný organismus
−30 −28 −27 −25 −20 −18 −8 −5
2
4 9 24 30 41 45 50
Makrosv¥t
mravenec £lov¥k slon zaoceánská plavidla Zem¥ Slunce na²e Galaxie galaktické kupy dosud známá hmotnost vesmíru
Vnit°ní struktura makroskopických hmotných objekt·, tzv.
t¥les
, tvo°ených mnoº-
stvím £ástic, které interagují (navzájem na sebe p·sobí) prost°ednictvím r·zných typ· vazeb, m·ºe být i velmi sloºitá. Pro popis makroskopického mechanického pohybu t¥lesa jako celku, tj. jeho posuv· a zm¥n orientace v·£i okolním objekt·m, ani pro popis vzájemného pohybu jeho jednotlivých makroskopických £ástí, tj. deformace, v²ak není podstatná. Je tedy moºné, samoz°ejm¥ s ohledem na to, jaký typ makroskopického pohybu je v dané konkrétní situaci dominantní,
prostorové rozloºení diskrétním spojitým rozloºením hmotnosti
charakterizovat objekty a jejich soustavy zjednodu²en¥, pomocí vhodných model· p°im¥°en¥ vystihujících
rozloºením hmotnosti
jejich hmotnosti.
Nejsnaz²í popis umoº¬ují dva extrémní modely: model t¥lesa s a model t¥lesa se
. Kaºdý
z nich umoº¬uje pom¥rn¥ jednodu²e de novat a prakticky vypo£ítat dal²í charakteristiky, spjaté se studovanými objekty, které jsou d·leºité z hlediska jejich mechanického pohybu.
1.1. T
LESA A JEJICH MODELY 1.1.1
13
Hmotný bod
hmotný bod
Nejjednodu²²ím modelem t¥lesa, nesoucím jeho základní charakteristiku hmot-
£ástice
nost, pomíjejícím v²ak její prostorové rozloºení, je minologii nazývaný také
.
, ve zkrácené ter-
Hmotný bod
Hmotným bodem
rozumíme geometrický bod v prostoru opat°ený údajem o hmot-
nosti. Tímto modelem lze nahradit reálné t¥leso, jehoº rozm¥ry nehrají v dané konkrétní situaci roli.
Takovou situaci m·ºe p°edstavovat studium £ist¥ posuvného pohybu t°eba i velmi rozm¥rného objektu nap°íklad studium pohybu Zem¥ kolem Slunce, nezajímáme-li se o zemskou rotaci. Hmotný bod reprezentující t¥leso jako celek pak umis´ujeme do vhodn¥ zvoleného místa objektu. Tím je nap°íklad u stejnorodého kulového t¥lesa jeho geometrický st°ed, mohl by to v²ak být i jiný dohodnutý bod. Prostor, v n¥mº se reálná t¥lesa pohybují, modelujeme v klasické 3 mechanice trojrozm¥rným euklidovským prostorem R . Polohu hmotného bodu
polohovým vektorem ⃗r vztaºnému bodu O sloºkami ⃗r = (x , x , x ) kartézské soustav¥ sou°adnic < O; ⃗e , ⃗e , ⃗e > po£átkem O ortonormální báze < ⃗e , ⃗e , ⃗e >
pak charakterizujeme jeho zvolenému v·£i
v·£i libovoln¥, av²ak pevn¥
, resp.
tohoto vektoru
1
2
3
notkovými navzájem kolmými vektory
< O; x1 , x2 , x3 >
1
, zadané
2
3
a jed-
1
2
(zadání po£átkem a navzájem kolmými osami
3
, resp.
x1 , x2
a
x3
opat°ených stejnou délkovou jednotkou.
Poznámka: Volba kartézské soustavy sou°adnic je pro obecné úvahy o popisu pohybu hmotných bod· nejvhodn¥j²í je nejjednodu²²í. Existují samoz°ejm¥ 2 i dal²í typy sou°adnicových soustav, z nichº ty hlavní v rovin¥ R polární, 3 v prostoru R válcové a kulové, znáte moºná z matematiky. Pomocí sou°adnicových p°echod· v²ak lze výsledky zaznamenávané v soustavách sou°adnic r·zných typ· navzájem p°evád¥t £ist¥ matematickými metodami. Samotná volba typu soustavy sou°adnic závisí spí²e na konkrétní mechanické úloze, zejména na
k°ivo£arými
její geometrické symetrii. Vý²e zmín¥né soustavy sou°adnic, souhrnn¥ nazývané , v n¥kterých p°íkladech skute£n¥ pouºijeme.
1.1.2
T¥leso s diskrétním rozloºením hmotnosti
t¥lese s diskrétním rozloºením hmotnosti, resp. soustav¥ hmotných bod· £i soustav¥ £ástic O soustav¥ tvo°ené
N
reálnými objekty, z nichº kaºdý m·ºe být nahrazen hmot-
ným bodem, hovo°íme jako o
. P°íkladem m·ºe být t°eba slune£ní
soustava, p°i jejímº popisu lze za jistých okolností nahradit Slunce i kaºdou z planet hmotným bodem. Z hlediska popisu soustavy jako celku jsou rozhodující nejen hmotnosti jednotlivých £ástic, ale i jejich polohy.
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
14
x3
m2
m1
mi
r2 r1
ri
O
x2 rN
mN
x1
Obr. 1.1: Popis t¥lesa s diskrétním rozloºením hmotnosti
Úplná informace o prostorovém rozloºení hmotnosti t¥lesa v daném okamºiku je obsaºena v souboru dvojic
{mi , ⃗ri }, kde index
i
i ∈ {1, . . . , N },
£ísluje jednotlivé £ástice soustavy.
sou£tem
m=
N ∑
Celková hmotnost
t¥lesa je dána
mi = m1 + m2 + . . . + mN .
(1.1)
i=1 Rozloºení hmotnosti t¥lesa se m·ºe s £asem m¥nit, p°edev²ím se zm¥nou poloh jednotlivých hmotných bod· tvo°ících t¥leso, tj. p°ípadnou zm¥nou jejich hmotnosti,
mi = mi (t).
⃗ri = vecri (t),
ale i s
Nej£ast¥j²í jsou p°ípady, kdy
samy hmotnosti £ástic (a tedy ani celková hmotnost t¥lesa, ani váhy jednotlivých poloh £ástic) na £ase nezávisí. Tam, kde to nebude nezbytn¥ nutné, nebudeme vztahy vypisováním £asové závislosti zbyte£n¥ komplikovat. Speciální, ale velmi
tuhé
významný p°ípad nastává, kdyº se nejen nem¥ní hmotnosti £ástic, ale dokonce
t¥leso
ani jejich vzájemné vzdálenosti t¥leso se nedá deformovat. Jedná se o . Shr¬me:
T¥leso s diskrétním rozloºením hmotnosti T¥lesem s
diskrétním rozloºením hmotnosti
je kaºdá soustava kone£ného po£tu
mi , i ∈ {1, 2, . . . , N }. Rozloºení jeho hmotur£eno zadáním dvojic {mi , ⃗ ri }, i ∈ {1, 2, . . . , N }.
hmotných bod· o hmotnostech
Celková hmotnost tuhé
nosti je v kaºdém okamºiku
t¥lesa je dána sou£tem hmotností v²ech £ástic tvo°ících t¥leso.
T¥leso se nazývá
, jestliºe jsou hmotnosti bod·, jimiº je tvo°eno, konstantní
a také vzdálenost libovolné dvojice hmotných bod· se s £asem nem¥ní. S rozloºením hmotnosti bezprost°edn¥ souvisí dal²í d·leºité charakteristiky t¥lesa, které se hodí de novat jiº nyní, kdy jsme pojem rozloºení hmotnosti práv¥
1.1. T
LESA A JEJICH MODELY
15
zavedli. Jejich fyzikální význam v²ak hloub¥ji pochopíme teprve v dal²ích kapitolách:
St°ed hmotnosti t¥leso s diskrétním rozloºením hmotnosti
St°ed hmotnosti ⃗r0 =
t¥lesa je bod o polohovém vektoru
⃗r0 (t)
de novaném vztahem
N N ∑ 1 ∑ m1⃗r1 + . . . + mN ⃗rN = mi⃗ri = wi⃗ri , m i=1 m1 + . . . + mN i=1
mi . m
wi =
(1.2)
váºený pr·m¥r
polohových vektor· £ástic s vahami w1 aº wN , z nichº i-tá je de nována jako podíl hmotnosti i-té £ástice a celkové hmotnosti soustavy. Platí 0 < wi < 1. Jedná se o
Vztahem (1.2) je st°ed hmotnosti de nován zatím pon¥kud formalisticky , zato v²ak jednozna£n¥. Pozd¥ji uvidíme, jak nás k témuº vztahu p°ivedou fyzikální úvahy. Pro sloºky polohového vektoru st°edu hmotnosti platí
1 ∑ mi xi,1 , m i=1 N
x0,1 =
1 ∑ mi xi,2 , m i=1 N
x0,2 =
1 ∑ mi xi,3 . m i=1 N
x0,3 =
Dal²í d·leºitou veli£inou de novanou pomocí rozloºení hmotnosti t¥lesa je
setrva£nosti Jˆ,
(1.3)
tenzor momentu
který, jak ukáºeme pozd¥ji, hraje d·leºitou roli p°i popisu otá£ivých pohyb·
t¥lesa.
Tenzor momentu setrva£nosti t¥leso s diskrétním rozloºením hmotnosti Tenzor momentu setrva£nosti
pro t¥leso s diskrétním rozloºením hmotnosti je dán ²esti veli-
£inami uspo°ádanými do symetrické matice
J
a nazývanými
sloºky tenzoru momentu setrva£-
nosti:
J11 J = J12 J13 ∑N
2 2 i=1 mi (xi2 + xi3 ) ∑N = i=1 −mi xi1 xi2 ∑N i=1 −mi xi1 xi3 Veli£iny zývají
J11 , J22 , J33
∑N i=1
J13 J23 = J33
i=1
2 2 i=1 mi (xi1 + xi3 )
∑N i=1
−mi xi2 xi3
diagonální
(1.4)
∑N
−mi xi1 xi2
∑N
p°edstavují tzv.
devia£ní momenty.
J12 J22 J23
−mi xi1 xi3
∑N
i=1 −mi xi2 xi3
∑N i=1
.
mi (x2i1 + x2i2 )
sloºky, ostatní,
nediagonální
Zmínili jsme se jiº, ºe speciálním p°ípadem soustavy £ástic je tzv.
sloºky se na-
tuhé t¥leso.
V n¥m je
vzdálenost kaºdé dvojice £ástic nem¥nná, tj.
|⃗ rkj |=| ⃗ rj − ⃗ rk |= konst.,
kde
k, j ∈ {1, . . . , N }.
ekli jsme také, co tato vlastnost znamená: tuhé t¥leso nelze deformovat. Tuto spí²e kvalitativní charakteristiku m·ºeme p°eformulovat tak, aby nám to pozd¥ji bylo prosp¥²né p°i kvantitativních úvahách a výpo£tech. Tuhost t¥lesa totiº znamená také to, ºe existují sou°adnicové
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
16
soustavy, pevn¥ spjaté s t¥lesem, v·£i nimº jsou polohový vektor st°edu hmotnosti i tenzor momentu setrva£nosti konstantní. Jedná se o tzv. sou°adnicové soustavy
pevné v t¥lese. asto
je uºite£né vybírat z nich ty, jejichº po£átek je umíst¥n ve st°edu hmotnosti t¥lesa op¥t to ukáºeme, aº se budeme zabývat fyzikálním významem st°edu hmotnosti. Je z°ejmé, ºe sloºky polohového vektoru st°edu hmotnosti i sloºky tenzoru momentu setrva£nosti závisí na volb¥ soustavy sou°adnic. Ke konkrétnímu °e²ení tohoto problému se vrátíme v dal²ích kapitolách.
Polohové vektory
⃗r1 (t), . . . , ⃗rN (t)
okamºitou kon guraci soustavy
£ástic tvo°ících soustavu umoº¬ující jedno-
zna£n¥ zjistit, kde kaºdá z £ástic soustavy v daném okamºiku
rem
3N
kartézských sou°adnic
t
{xij (t)}i∈{1, ..., N }
t¥chto polohových vektor·.
Velmi uºite£ná, i kdyº pon¥kud abstraktní, je p°edstava t¥chto
kon gura£ní prostor
veli£in jako sou°adnic bodu v zývaném
je. Ur£ují tak
. Kon gurace soustavy je tedy zadána soubo-
3N -rozm¥rném
N
euklidovském prostoru
skalárních R3N , na-
. Nejsou-li na kon guraci soustavy £ástic kladeny R3N práv¥ jednu
ºádné omezující poºadavky, p°edstavuje kaºdý bod prostoru
podmínky
z moºných kon gurací soustavy. Omezení mnoºiny kon gurací, takzvané
vazební
aij ≤ xij ≤ bij , i ∈ {1, . . . , N }, A ≤ f (x11 , . . . , xN 3 ) ≤ B , vymezujících v prostoru
, mohou mít tvar nerovností typu
j ∈ {1, 2, 3}, obecn¥ji R3N 3N -rozm¥rnou oblast p°ípustných kon gurací, nebo tvar vztah· mezi sou°adnicemi xij , redukujících mnoºinu p°ípustných kon gurací na kon gura£ní podprostor dimenze men²í neº 3N .
P°íklad 1.1. Kon gura£ní prostor £ástice.
Situace p°edstavující moºná omezení kon gurace soustavy ilustrujeme na p°íkladu jedné £ástice. Kon gura£ním prostorem soustavy tvo°ené jedinou £ásticí, na jejíº polohu ⃗ r = (x1 , x2 , x3 ) nejsou kladeny ºádné poºadavky, je prostor R3 . Poloha £ástice je tedy bez omezení ur£ena t°emi sou°adnicemi. íkáme, ºe £ástice má t°i stupn¥ volnosti,
a, b
a
c,
s = 3. Poºadavek
uv¥zn¥ní £ástice v nádob¥ tvaru
resp. koule o polom¥ru R, vede k omezení p°ípust3 ných kon gurací na oblast prostoru √ R ur£enou nap°. nerovnostmi 0 ≤ x1 ≤ a, 2 0 ≤ x2 ≤ b, 0 ≤ x3 ≤ c, resp. 0 ≤ x1 + x22 + x23 ≤ R. kvádru o hranách
1.1. T
LESA A JEJICH MODELY
17
x3
x3
c
s=3
s=1
0 x1 a
x 1=0 x 22 x23=l 2
0 x2 b 0 x3 c O
ϕ0 ϕ ϕ0 O
x2
b
ϕ
a x1
x2
ϕ0
x1
l
Obr. 1.2: Konfigura£ní prostor jedné £ástice
Je-li £ástice zav¥²ena na vlákn¥ neprom¥nné délky
x2
x2 Ox3
l
a uvedena do pohybu tak,
O a osami x3 ) s maximální úhlovou výchylkou φ0 , je mnoºina jejích kon gurací ur£ena 2 2 2 vztahy x1 = 0, x2 + x3 = l a nerovnostmi −φ0 ≤ φ ≤ φ0 . Její pohyb je omezen ºe kývá v rovin¥
(rovina ur£ená po£átkem soustavy sou°adnic
a
na kruhový oblouk, tj. jednorozm¥rný útvar. Polohu £ástice lze v kaºdém oka-
zobecn¥nou sou°adnici
mºiku popsat jediným údajem úhlovou výchylkou jako
φ(t).
Výchylku lze chápat
(není to sou°adnice kartézská), udávající polohu sou-
stavy v podmnoºin¥ jednorozm¥rného kon gura£ního prostoru
stupe¬ volnosti
omezené jiº zmín¥nými nerovnostmi ,
s = 1,
−φ0 ≤ φ ≤ φ0 .
R (prostor úhl·)
Soustava tedy má jediný
na který se vlivem dvou vazebních podmínek redukoval
popis jejích kon gurací z p·vodních t°í stup¬· volnosti ur£ených kartézskými sou°adnicemi Soustava má
3N
N
♠
x1 , x2 , x3 .
nezávislým
£ástic, na jejíº kon guraci nejsou kladeny ºádné vazební podmínky,
stup¬· volnosti. Podléhá-li v²ak
tvaru
f1 (x1 , . . . , x3N ) = 0, redukuje se její
po£et stup¬· volnosti
...,
k
vazebním podmínkám
fk (x1 , . . . , x3N ) = 0,
na hodnotu
s = 3N − k.
zobecn¥ných sou°adnic
Kaºdá z kon gurací takové soustavy je reprezentována bodem v s kon gura£ním prostoru R prost°ednictvím tzv.
s-rozm¥rném
(q1 (t), . . . , qs (t)), které obecn¥ nemusí mít význam kartézských sou°adnic £ástic soustavy.
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
18
P°íklad 1.2. Kon gura£ní prostor tuhé £inky. K tuhé £ince lze p°irovnat soustavu dvou £ástic o hmotnostech zební podmínkou
| ⃗r1 (t) − ⃗r2 (t) |= l = konst.
m
a
M
s va-
(odhlédneme-li samoz°ejm¥ od
toho, ºe závaºí skute£né £inky jsou spojena ty£í nezanedbatelné hmotnosti). Taková soustava má
s=5
stup¬· volnosti. Zobecn¥nými sou°adnicemi mohou být
nap°. kartézské sou°adnice jejího st°edu hmotnosti
φ1 (t) a φ2 (t), p°edstavující nato£ení os o1 a o2 , kolmých i ke spojnici £ástic.
sou°adnice kolmých
(x01 , x02 , x03 )
o1
o2
x3
a dv¥ úhlové
£inky kolem dvou navzájem
x03
x02
O
x2
x 01 x1
s=5
Obr. 1.3: Konfigurace tuhé £inky
5 Kon gura£ní prostor soustavy je p¥tirozm¥rný (R ) a kaºdá kon gurace je zadána souborem zobecn¥ných sou°adnic
(q1 (t), q2 (t), q3 (t), q4 (t), q5 (t)) = (x01 (t), x02 (t), x03 (t), φ1 (t), φ2 (t)). ♠ Konfigurace t¥lesa s diskrétním rozloºením hmotnosti
Kon gurací t¥lesa s diskrétním rozloºením hmotnosti
je zadání poloh hmotných
s = 3N − k -rozm¥rném N je po£et £ástic t¥lesa a k po£et vazebních podmínek tvaru fα (x1 , . . . , x3N ) = 0 kladených na (obvykle kartézské) sou°adnice t¥chto £ástic. bod·, jimiº je t¥leso tvo°eno, vhodnými sou°adnicemi v
prostoru, p°i£emº
Zkuste p°ijít na to, zda a jaký je rozdíl mezi rozloºením hmotnosti t¥lesa a jeho kon gurací. Není to nakonec totéº? e ne? Správn¥. A pro£?
1.1. T
LESA A JEJICH MODELY 1.1.3
19
T¥leso se spojitým rozloºením hmotnosti
t¥lesa se spojitým rozloºe-
Modelem p°edstavujícím druhý extrém p°i popisu rozloºení hmotnosti objektu,
ním hmotnosti kontinua
op¥t s odhlédnutím od jeho mikrostruktury, je model
. Tento model nebere v úvahu sloºení objektu z jed-
hmotné
notlivých hmotných bod·. Odpovídá naopak p°edstav¥ t¥lesa my²lenkov¥ roz-
elementy
d¥leného na elementární útvary in nitezimáln¥ malých rozm¥r·, tzv. .
x3
∆V, ∆m ( r ) r
O
x2
x1 Obr. 1.4: Popis t¥lesa se spojitým rozloºením hmotnosti
Úplnou informaci o rozloºení hmotnosti v daném okamºiku p°edstavuje t¥lesa, skalární funkce £asu a vektorové prom¥nné
⃗r,
hustota
de novaná vztahem
∆m(t, ⃗r) . ∆V →0 ∆V
ϱ(t, ⃗r) = lim
(1.5)
∆V = ∆x1 ∆x2 ∆x3 je objem elementárního kvádru umíst¥ného v bod¥ ⃗r (vektor ⃗r ur£uje nap°. polohu levého dolního zadního vrcholu kvádru), Deltam(t, ⃗r) je jeho hmotnost a podíl
∆m(t, ⃗ r) je ∆V
pr·m¥rná hustota
Poznámka: V realistických p°ípadech je funkce spojitá na de ni£ním oboru
V,
kvádru.
ϱ(t, ⃗r)
spojitá nebo po £ástech
jímº je £ást prostoru, kterou práv¥ t¥leso zau-
jímá. Spojitost funkce po £ástech znamená, ºe její de ni£ní obor lze rozd¥lit na kone£ný po£et £ástí, p°i£emº na kaºdé z nich je funkce spojitá. Také spojitost hustoty se zm¥nou £asu se automaticky p°edpokládá. De nici hustoty pomocí limitního p°echodu si zapamatujte v pr·b¥hu výkladu se setkáme je²t¥ z dal²ími hustotami , které nemusí p°edstavovat zrovna rozloºení hmotnosti, ale jiných veli£in. De nice v²ak bude vºdy formáln¥ velice podobná.
T¥leso se spojitým rozloºením hmotnosti kontinuum
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS spojitým rozloºením hmotnosti
20
T¥lesem se toty
je hmotný objekt popsaný funkcí hus-
ϱ(t, ⃗r), která je spojitou, resp. po £ástech spojitou funkcí £asu a sou°adnic,
de novanou vztahem (1.5). Celková hmotnost t¥lesa je dána integrálem
∫
m=
ϱ dV,
(1.6)
V který pro ná² p°ípad spojitého rozloºení hmotnosti p°edstavuje analogii sou£tu v²ech hmotností (1.1). T¥leso se nazývá
tuhé
, jestliºe je nelze deformovat, tj. existuje-li taková vztaºná
soustava, ve které hustota nezávisí na £ase, tj.
ϱ(t, ⃗r) = ϱ(⃗r).
Tuhé t¥leso je samoz°ejm¥ op¥t modelem, který vystihuje realitu pouze p°ibliºn¥ s ohledem na mikrostrukturu t¥les je z°ejmé, ºe nakonec se dá deformovat v²echno, o kdyº t°eba velice obtíºn¥. V analogii se vztahem (1.2) de nujeme také st°ed hmotnosti:
St°ed hmotnosti t¥leso se spojitým rozloºením hmotnosti
St°edem hmotnosti
ϱ(t, ⃗r),
resp.
t¥lesa se spojitým rozloºením hmotnosti zadaným hustotou
ϱ(⃗r)
⃗r0 =
1 m
∫ ⃗rϱ dV,
(1.7)
V kde
m
je celková hmotnost t¥lesa.
V p°edchozích integrálních vztazích mohou nejen hustota t¥lesa, ale i samotný integra£ní obor
V , záviset na £ase. Jejich prost°ednictvím budou na £ase obecn¥
záviset i výsledné veli£iny (celková hmotnost, poloha st°edu hmotnosti). Pro zjednodu²ení jsme v²ak ani tentokrát £asovou závislost explicitn¥ nevypisovali. Pro sou°adnice st°edu hmotnosti platí
x0,j
1 = m
∫
xj ϱ(x1 , x2 , x3 ) dx1 dx2 dx3 ,
j ∈ {1, 2, 3}.
V Integrály v p°edchozích vztazích moºná je²t¥ neumí kaºdý po£ítat. Nevadí. Vlastnosti takových integrál· a postupy jejich výpo£tu lze najít v matematických u£ebnicích. Navíc se v dal²ím textu pro druhé £tení s nimi seznámíme pomocí p°íklad·, na nichº se praktický postup výpo£tu alespo¬ v základních rysech ukáºe. Sloºky tenzoru momentu setrva£nosti t¥lesa se spojitým rozloºením hmotnosti mají rovn¥º integrální vyjád°ení:
∫
ϱ(xj )(x22 + x23 ) dV
V ∫ −ϱ(xj )x1 x2 dV V ∫ −ϱ(xj )x1 x3 dV V
∫
−ϱ(xj )x1 x2 dV
∫
V
V
∫
∫
ϱ(xj )(x21 + x23 ) dV
V
∫ V
−ϱ(xj )x1 x3 dV −ϱ(xj )x2 x3 dV
V
−ϱ(xj )x2 x3 dV
∫ V
ϱ(xj )(x21 + x22 ) dV
.
(1.8)
1.1. T
LESA A JEJICH MODELY Symbol
ϱ(xj )
21
je zkráceným vyjád°ením závislosti hustoty na poloze,
ϱ(xj ) ≡ ϱ(x1 , x2 , x3 ).
Poznámka: Integra£ními prom¥nnými ve vztazích (1.6), (1.7) a (1.8), vyjad°ujících celkovou hmotnost, polohu st°edu hmotnosti a sloºky tenzoru momentu setrva£nosti, jsou sou°adnice
x1 , x2
a
x3 .
Vid¥li jsme, ºe hustota t¥lesa je obecn¥ závislá i na £ase. Stejn¥ tak m·ºe na £ase
záviset integra£ní obor
V.
toho jsou sloºky vektoru
T¥leso se totiº m·ºe nejen pohybovat, ale i deformovat. V d·sledku
⃗ r0 ,
Jˆ
sloºky tenzoru
a v n¥kterých p°íkladech i celková hmotnost
obecn¥ funkcemi £asu. Op¥t existují sou°adnicové soustavy pevn¥ spojené s t¥lesem, vzhledem k nimº je hustota £asov¥ nezávislá a veli£iny
⃗ r0
a
Jˆ jsou
tedy konstantami.
P°íklad 1.3. Tenzor momentu setrva£nosti. Ur£íme hmotnost, st°ed hmotnosti a tenzor momentu setrva£nosti stejnorodého (homogenního) rota£ního kuºele o hustot¥
ϱ0 ,
polom¥ru podstavy
Obr. 1.5.
sou°adnic pevn¥ s kuºelem spojené podle
R
a vý²ce
v
vzhledem k soustav¥
x3 R v x3=z ( x 1 , x2 , x 3 )
x1=r cos ϕ
O
x 2=r sinϕ
ϕ r
x2
x1 Obr. 1.5: K p°íkladu 1.3 Plá²´ kuºele je popsán rovnicí
x3 =
v R
√
x21 + x22 .
P°i výpo£tu pouºijeme válcových sou°adnic. Jejich p°evod na sou°adnice kartézské a zp¥t, v£etn¥ vyjád°ení objemového elementu, najdeme v kterékoli p°íru£ce praktické matematiky.
x1 = r cos φ, x2 = r sin φ, x3 = z,
dV = r dr dφ dz,
z∈
[ vr R
] , v , r ∈ [0, R], φ ∈ [0, 2π].
Následující výpo£ty integrál· se °ídí postupem vyplývajícím z jednoho ze základních tvrzení integrálního po£tu
Fubiniovy v¥ty.
Podle ní po£ítáme vícenásobné integrály z (spojitých)
funkcí více prom¥nných tak, ºe integrujeme postupn¥ podle jednotlivých prom¥nných. Fubiniovu v¥tu rovn¥º najdeme v kaºdé u£ebnici základ· vysoko²kolské matematické analýzy. Abychom v²ak stále neodkazovali za jiné zdroje, i kdyº jejich prostudování je uºite£né, ne-li nezbytné, uvedeme zde alespo¬ v zjednodu²ené podob¥ a bez d·kazu £i zd·vodn¥ní postup integrace: Dejme tomu, ºe na²ím úkolem je integrovat funkci p°es
n-rozm¥rný
integra£ní obor
V
v
Rn .
n
prom¥nných
f (ξ1 , . . . , ξn )
Vypo£teme nejprve integrál z funkce poslední
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
22
prom¥nné, jejíº integra£ní meze dokonce nemusí být konstantní, ale mohou záviset na prom¥nných p°edchozích . Integrujeme tak, ºe s ostatními prom¥nnými v integrandu zacházíme, jako kdyby to byly konstanty. (V analogii s parciálním derivováním je to jakési parciální integrování .) Pak dosadíme meze. Jedna integrace z násobného integrálu je tím provedena. Nyní tutéº proceduru provedeme s p°edposlední prom¥nnou. Takto postupujeme, aº uº ºádný
ξ1 , ξ2
integrál nezbývá. Pro p°ípad funkce t°í prom¥nných
ξ2 ∈ [ϕ(ξ1 , ξ2 ), ψ(ξ1 , ξ2 )],
a
ξ3
v mezích
ξ1 ∈ [α(ξ1 ), β(ξ2 )],
ξ1 ∈ [a, b]
vypadá výpo£et takto:
∫ V
β(ξ ) ψ(ξ ∫1 ,ξ2 ) ∫b ∫ 1 f (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) dξ3 dξ2 dξ1 . f (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) dV = a
α(ξ1 )
ϕ(ξ1 ,ξ2 )
Situace je zvlá²t¥ jednoduchá, jsou-li integra£ní meze v²ech prom¥nných konstantní. A je²t¥ se dál zjednodu²²í, je-li navíc integrand sice funkcí více prom¥nných, ale takovou, která je sou£inem funkcí pouze jedné prom¥nné, nap°íklad
[a1 , b1 ], ξ2 ∈ [a2 , b2 ], ξ3 ∈ [a3 , b3 ] jednonásobných,
∫b1 ∫b2 ∫b3
f (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = f1 (ξ1 )f2 (ξ2 )f3 (ξ3 )
pro
ξ1 ∈
. Pak je vícenásobný integrál roven sou£inu integrál·
f (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) dξ1 dξ2 dξ3 =
∫b1
f1 (ξ1 ) dξ1
a1
a1 a2 a3
∫b2
f2 (ξ2 ) dξ2
a2
∫b3
f3 (ξ3 ) dξ3 .
a3
Postupná integrace je názorn¥ vid¥t hned na následujícím výpo£tu celkové hmotnosti kuºele.
∫
Platí
m=
∫ ϱ0 dV = ϱ0
V
r dr dφ dz. V
ξ1 = φ, ξ2 = r, ξ3 = z . Ur£íme jejihc meze. Uvaºme v p·dorysné rovin¥ (x1 , x2 ), x1 = r cos φ, x2 = r sin φ, jak jej vidíme v Obr. 1.5. Prom¥nná
Prom¥nnými jsou
bod o sou°adnicích
z = x3
se pohybuje v mezích
z ∈ [v − Prom¥nná prom¥nnou dostaneme
vr , v], R
tj.
ϕ(r, φ) = v −
vr , R
ψ(r, φ) = v.
r se pohybuje v konstatních mezích, r ∈ [0, R], tj. α(φ) = 0, β(φ) = R. Pro φ je jiº situace jednoduchá, φ ∈ [0, 2π], tj. a = 0, b = 2π . Postupnou integrací ∫2π ∫2π∫R ( ∫R ∫v vr ) m = ϱ0 r v− dr dφ = r dz dr dφ = ϱ0 R vr 0
0
∫2π{ =
0
R
1 1 2 R v − R2 v 2 3
}
( dφ = 2πvϱ0
0
R2 R3 − 2 3R
) =
1 πR2 vϱ0 . 3
0 Stejný zp·sob integrace je uplatn¥n p°i výpo£tu sou°adnic st°edu hmotnosti. pro jeho lep²í pochopení jej prove¤te sami ve stejných postupných krocích jako p°i výpo£tu hmotnosti a pak si porovnejte výsledky:
x0,1 =
ϱ0 m
∫2π∫R ∫v r2 cos φ dz dr dφ = 0
x0,2 =
ϱ0 m
0 vr
r2 sin φ dz dr dφ = 0 vr R
∫2π ∫R ( vr ) dr = 0, cos φ dφ r2 v − R 0
R
∫2π∫R ∫v 0
ϱ0 m
ϱ0 m
0
∫2π ∫R ( vr ) dr = 0, sin φ dφ r2 v − R 0
0
1.2. VZTANÉ SOUSTAVY A VOLNÉ ÁSTICE x0,3 =
ϱ0 m
∫2π∫R ∫v rz dz dr dφ = 0
0 vr
πϱ0 m
23
) ( ) ∫R ( πϱ0 v 2 R2 R4 3v v2 r2 dr = − = . r v2 − 2 R m 2 4R2 4 0
R
∫2π∫R ∫v (r2 sin2 φ + z 2 )r dz dr dφ =
J11 = ϱ0 0 vr
0
R
∫2π∫R [
( )] vr ) r v3 r3 + v3 − dr dφ = R 3 R3 0 0 ) ( ) ( 4 2πϱ0 R2 v 3 R5 v 3 πϱ0 R2 v 2 3 R v R5 v + = = πϱ0 − − (R + 4v 2 ) = m(R2 + 4v 2 ), 4 5R 3 2 5R3 20 20 (
r3 sin2 φ v −
= ϱ0
∫2π∫R ∫v (r2 cos2 φ + z 2 )r dz dr dφ = . . . =
J22 = ϱ0 0
0 vr
3 m(R2 + 4v 2 ), 20
R
∫2π∫R ∫v (r2 cos2 φ + r2 sin2 φ)r dz dr dφ =
J33 = ϱ0 0
∫R = 2πϱ0
0
vr R
) ( 4 ( vr ) R5 πϱ0 R4 v 3 R r3 v − − = = mR2 , dr = 2πϱ0 v R 4 5R 10 10
0
∫2π∫R ∫v r2 sin φ cos φ r dz dr dφ = 0,
J12 = ϱ0 0
0
J13 = 0,
J23 = 0.
vr R
P°i výpo£tu jsme pouºili vztah·
2π ∫
sin2 φ dφ = π
a
0 2 ov¥°íte. Sta£í pouºít vztah· sin
2π ∫
cos2 φ dφ = π ,
jejichº platnost snadno
0
φ = (1−cos 2φ)/2
2 a cos
φ = (1+cos 2φ)/2. Nyní jiº shrneme
výsledky p°edchozích výpo£t·:
πr 2 vϱ0 , m= 3
3v ⃗ r0 = (0, 0, ), 4
J =
3 m(R2 20
0 0
+ 4v 2 )
0 3 m(R2 20
+
0
4v 2 )
0 . 0 3 2 mR 10
V·£i zvolené soustav¥ sou°adnic je tenzor momentu setrva£nosti kuºele popsán diagonální maticí, p°i£emº dva prvky diagonály jsou shodné. Devia£ní momenty jsou nulové. Co myslíte, jak tyto výsledky souvisejí se symetrií rozloºení hmotnosti kuºele vzhledem k sou°adnicové ose
♠
x3 ?
1.2 Vztaºné soustavy a volné £ástice
V p°edchozím odstavci jsme pro ur£ování polohy hmotných bod·, pop°ípad¥ objemových element· kontinua, pouºívali polohový vektor
⃗r, který p°edstavoval
orientovanou spojnici po£átku soustavy sou°adnic a daného hmotného bodu £i objemového elementu. Konstatovali jsme také, ºe konkrétní matematické vyjád°ení rozloºení hmotnosti t¥lesa je závislé na volb¥ soustavy sou°adnic. V¥t²inou pracujeme s kartézskou soustavou sou°adnic, ur£enou po£átkem navzájem kolmými osami
x, y
a
z,
O
a t°emi
na nichº jsou vyzna£eny shodné délkové
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
24
vztaºným t¥lesem
jednotky. Z fyzikálního hlediska je krom¥ toho d·leºité, s jakým konkrétním objektem,
vztaºnou soustavou
, je soustava sou°adnic pevn¥ spojena. Dvojici tvo-
°enou vztaºným t¥lesem a soustavou sou°adnic nazýváme
a
S . asto také zna£íme S =< O; x, y, z >, nebo S =< O; ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 >, kde O a x, y , z jsou po£átek a osy kartézské soustavy sou°adnic spojené pevn¥ se vztaºným t¥lesem, alternativní zadání p°edstavují vektory ⃗ e1 , ⃗e2 a ⃗e3 orto-
zna£íme
normální báze, které ur£ují sm¥r sou°adnicových os. Pochopení pojmu vztaºné soustavy si trochu usnadníme, p°edstavíme-li si s ní spojeného pozorovatele, který v ní provádí m¥°ení poloh hmotných bod· £i element·. Taková p°edstava je samoz°ejm¥ pouze pom·ckou, subjektivní pocity pozorovatele nehrají roli. V dal²ím v²ak budeme alternativn¥ pouºívat jak pojmu vztaºná soustava , tak pojmu pozorovatel .
1.2.1
asoprostor
asoprostorem událost
, jak název napovídá, budeme mít na mysli terén pro popis
událostí. Kaºdý d¥j lze totiº povaºovat za £asový sled událostí, p°i£emº kaºdá je charakterizována polohou místa, kde k ní do²lo, a okamºikem, kdy
nastala. Událostí tak stejn¥ dob°e m·ºe být t°eba rozpad jádra radioaktivního vzorku, jako start letadla, zahájení závodu b¥ºc·, apod. as ani polohu místa v prostoru v²ak nem·ºeme ur£it absolutn¥. Dnes jiº víme, ºe Newton·v absolutní £as a absolutní prostor nemají reálný podklad. Polohu místa v prostoru (který v klasické newtonovské mechanice povaºujeme za trojrozm¥rný a euklidovský) ur£ujeme vºdy v·£i konkrétn¥ vymezeným okolním objekt·m, £as m¥°íme vzhledem ke zvolenému po£áte£nímu okamºiku.
vztaºnou soustavu
Jak jsme se jiº zmínili v úvodu k tomuto odstavci, je t°eba pro popis polohy hmotného bodu zvolit
, v·£i níº budou jednotlivé polohy ur-
£ovány. M¥°ení £asu je vztaºeno k p°edem zvolenému po£átku £asové osy a také jednotka m¥°ení £asu musí být p°edem stanovena. Znamená to, ºe i pro m¥°ení £asu je t°eba zvolit soustavu sou°adnic, t°eba ve tvaru je po£átek £asové osy a
Událost U
⃗e0
S0 =< O0 ; ⃗e0 >,
kde
O0
v podstat¥ ur£uje jednotku m¥°ení £asu.
je vzhledem ke zvolené vztaºné soustav¥ a zvolenému po£áte£nímu
okamºiku popsána £tve°icí údaj·
U = (t, ⃗r) = (t, x1 , x2 , x3 ).
(1.9)
Tuto £tve°ici lze chápat jako soubor sou°adnic bodu ve £ty°rozm¥rném prostoru R × R3 , kde R je £asová osa, p°edstavovaná jednorozm¥rným euklidovským 3 prostorem, a R je trojrozm¥rný euklidovský prostor pro popis údaj· o poloze 3 událostí. Prostor R×R nazýváme . Situaci si m·ºeme p°edstavit
£asoprostorem
i tak, ºe v kaºdém bod¥ £asové osy je umíst¥na jedna kopie trojrozm¥rného euklidovského prostoru se vztaºnou soustavou
S
⃗r(t)
Pokud bychom takto zaznamenali
poloha hmotného bodu v okamºiku
t.
a práv¥ v ní se vyzna£í vektorem
polohu hmotného bodu v kaºdém okamºiku vºdy v té kopii prostoru, která danému okamºiku p°íslu²í, p°ímo bychom tak zviditelnili £asový pr·b¥h pohybu
1.2. VZTANÉ SOUSTAVY A VOLNÉ ÁSTICE parametrického vyjád°ení trajektorie tohoto bodu dostali bychom graf
25
bodu.
Podrobn¥ji o tom ale aº pozd¥ji.
Ze zku²enosti vyplývá, ºe údaje o poloze a £ase jsou sice relativní, tj. závislé na volb¥ vztaºné soustavy a po£átku £asové osy, m¥°ení prostorové a £asové odlehlosti dvou událostí v newtonovské mechanice v²ak jsou absolutní. Co se myslí slovem relativní , pokud jde o údaje o poloze a £ase a slovem absolutní v p°ípad¥ prostorové a £asové odlehlosti? Jestliºe soubory
′
U1 = (t1 , ⃗r1 )S ,
U1′ = (t′1 , ⃗r1 )S ′ ,
U2 = (t2 , ⃗r2 )S ,
U2′ = (t′2 , ⃗r2′ )S ′
U1 a U2 ve vztaºných soustavách S =< O; ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 > a S0 =< O0 ; ⃗e0 >, resp. S ′ =< O′ ; ⃗e1′ , ⃗e2′ , ⃗e3′ > a S0′ =< O0′ ; ⃗e0′ >, pak obecn¥ ⃗r1 ̸= ⃗r1′ , t1 ̸= t′1 , ⃗r2 ̸= ⃗r2′ , t2 ̸= t′2 , av²ak popisují události
∆⃗r = ⃗r2 − ⃗r1 = ⃗r2′ − ⃗r1′ ,
∆t = t2 − t1 = t′2 − t′1 .
(1.10)
a izotropnost prostoru homogenitu £asu
Tyto vztahy charakterizují nejobecn¥j²í vlastnosti £asoprostoru, tzv. a
homogenitu
. Homogenitu a izotropnost prostoru
lze vyjád°it i konstatováním, ºe prostorová okolí v²ech geometrických bod· se jeví pozorovateli jako identická, homogenita £asu p°edstavuje identi£nost okolí v²ech bod· na £asové ose. Díky homogenit¥ £asu je moºné, a pro praktické výpo£ty je to velmi výhodné, pouºívat pro vyjád°ení £asu jednu spole£nou soustavu sou°adnic
< O0 ; ⃗e0 >.
Znamená to, ºe v²ichni myslitelní pozorovatelé pouºívají stejnou £asovou jednotku a v dohodnutém okamºiku si sou£asn¥ vynulují hodiny. as pak bude plynout pro v²echny stejn¥ a sta£í, abychom se zabývali jiº jen vyjád°ením po′ hybu v soustavách S a S .
t1= t 2
t1=t 2 e3 e2
r1 O
e3
r1
∆r
r2 O
r2
e1
t1 t2 = t 1 t 2 = 0
e2
e1 Obr. 1.6: Popis událostí v £asoprostoru
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
26
Poznámka: Matematické vyjád°ení obecných vlastností £asoprostoru pomocí rovnic (1.10) je omezeno na newtonovskou mechaniku. V mechanice relativistické, v jejímº rámci se uplatní existence mezní rychlosti, je vyjád°ení t¥chto vlastností odli²né. Dokonce ani pojem sou£asnosti, který jsme v p°edchozím textu pouºili pro poºadavek vynulování hodin, není zdaleka tak jednoduchý jakým se nám zdá být na základ¥ praktických zku²eností s klasickou newtonovskou mechanikou.
Následující tabulky poskytují p°ehled o rozmezí vzdáleností
T [s]
D [m]
od mikrosv¥ta aº po sv¥t vesmírných objekt·.
Tabulka 1.2: Rozm¥ry a vzdálenosti objekt·
Objekt
Log D
Interakce
proton jádro
−15 −14
silná nebo slabá silná nebo slabá
vzdálenost atom· v krystalu velké organické molekuly vzdálenosti molekul ve vzduchu krvinka
−10 −9 −8 −5
elektromagnetická elektromagnetická elektromagnetická elektromagnetická
0
elektromagnetická
4 7 9 13 16 20 22 25
gravita£ní gravita£ní gravita£ní gravita£ní gravita£ní gravita£ní gravita£ní gravita£ní
£lov¥k hora Zem¥ Slunce slune£ní soustava k nejbliº²í hv¥zd¥ na²e Galaxie mezigalaktická vzdálenost kupy galaktických kup
a trvání d¥j·
1.2. VZTANÉ SOUSTAVY A VOLNÉ ÁSTICE
27
Tabulka 1.3: asové intervaly
D¥j mikro
Log T
γ paprsky v kosmickém zá°ení jaderné γ zá°ení rentgenové zá°ení sv¥tlo kmity atom· v m°íºce rotace molekul
−27 −21 −18 −15 −13 −12 −6 −3 −1
0
5 7 9 12 15 16
1.2.2
D¥j makro
elektronické oscilace rádiové vlny zvukové vlny rotace pulzar· tep srdce den rotace Zem¥ rok ob¥h Zem¥ ob¥h Halleyovy komety precese zemské osy ob¥h Kohoutkovy komety rotace Galaxie
Inerciální vztaºné soustavy
Úvahy o obecných vlastnostech £asoprostoru navozují p°edstavu, ºe v²echny vztaºné soustavy jsou rovnocenné. Z jistého hlediska tomu tak skute£n¥ je. Tím jistým hlediskem je popis událostí. Dokáºeme-li rozhodnout, zda zadání U = (t, ⃗r) a U ′ = (t′ , ⃗r ′ ) p°edstavují jednu a tutéº událost, ale v r·zných vztaºných ′ soustavách S a S , bude skute£n¥ v principu jedno, v jaké vztaºné soustav¥ události vyjad°ujeme. P°esto existuje ur£itá kategorie preferovaných vztaºných soustav, jejichº preference v²ak není dána poºadavky kinematiky. I tak je vhodné speci kovat je jiº nyní. Abychom to mohli ud¥lat, musíme trochu p°edejít událostem a zabývat
inerciální vztaºné soustavy volnými £ásticemi
volnými hmotnými
se úvahami, jak je £i m·ºe být dané t¥leso ovliv¬ováno okolními objekty. Pre-
body
ferovány budou tzv.
, ve zkrácené terminologii
, spojené s
. Název historicky souvisí se
zákonem setrva£nosti: inertia setrva£nost. I kdyº není p°íli² vhodný, je velmi vºitý, a proto jej budeme také uºívat. Co je to tedy volný hmotný bod, resp. volná £ástice? Kaºdé t¥leso v prostoru je vystaveno vlivu okolních objekt·. V praktických situacích nem·ºeme ºádne t¥leso od vlivu okolních objekt· oprostit. ádné t¥leso na zem¥kouli se nem·ºe zbavit zemské p°itaºlivosti. T¥lesa klidn¥ leºící na stole jsou krom¥
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
28
zemské p°itaºlivosti je²t¥ vystavena tlakovému p·sobení stolu. Pohybující se t¥lesa nem·ºeme oprostit od odporujícího prost°edí. A v tomto vý£tu m·ºeme
interagují
tak°ka libovoln¥ pokra£ovat. Jednodu²e °e£eno t¥lesa na sebe navzájem p·sobí,
. Tím vzájemn¥ ovliv¬ují sv·j pohyb. T¥leso, nahrazené mode-
volnou (izolovanou) £ástici
lem hmotného bodu, které je od okolních objekt· vzdáleno natolik, ºe jejich vliv je zanedbatelný, p°edstavuje tzv.
. Model volné
£ástice je samoz°ejm¥ idealizací, která se v²ak v konkrétních p°ípadech m·ºe realit¥ velmi p°iblíºit. Nap°íklad slune£ní soustava nahrazená hmotným bodem umíst¥ným t°eba v jejím st°edu hmotnosti je velmi dobrým p°edstavitelem volné £ástice, nebo´ je od nejbliº²ího vesmírného objektu (Proxima, αCentauri) vzdá16 lena zhruba £ty°i sv¥telné roky, tj. °ádov¥ 10 metr·. Ztotoºníme-li po£átek O vztaºné soustavy s volnou £ásticí a sou°adnicové osy volíme tak, aby libovolné t°i
inerciální vztaºnou soustavu neinerciální
volné £ástice tvo°ící s káme
O
tuhý £ty°st¥n byly v·£i nim v klidu (viz Obr. 1.7), zís. Ostatní vztaºné soustavy, tj. ty, které nejsou
inerciální, se nazývají
.
C
B a2
a1
TUHY CTYRSTEN
A a3
D
Obr. 1.7: Inerciální vztaºná soustava
Inerciální vztaºná soustava spojená se slune£ní soustavou (po£átkem je nap°í-
Galileiova
klad st°ed Slunce, nebo st°ed hmotnosti slune£ní soustavy, osy jsou namí°eny ke stálicím, Slunce i stálice jsou chápány jako hmotné body) se nazývá
laboratorní
.
Je jasné, ºe praktické uºívání Galileiovy vztaºné soustavy by muselo být pon¥kud nepohodlné. asto uºívaná je tzv. soustava Zem¥ (viz Obr. 1.8).
, spojená s povrchem
1.2. VZTANÉ SOUSTAVY A VOLNÉ ÁSTICE
29
x3 SZ
místní rovnobezka
x2 místní poledník
x1
Obr. 1.8: Laboratorní vztaºná soustava Tato soustava je samoz°ejm¥ neinerciální Zem¥ rozhodn¥ není volná £ástice (dokáºete zd·vodnit, pro£?) a navíc rotuje kolem vlastní osy, takºe rotují i osy vztaºné soustavy, které jsou se Zemí spojené. Neinerciálnost laboratorní soustavy v²ak lze zanedbat, neprovádíme-li p°íli² p°esná £i dlouhotrvající m¥°ení. (Význam tohoto tvrzení pozd¥ji vysv¥tlíme na základ¥ kvantitativních odhad·. Úvahy o inerciálních soustavách stru£n¥ shrneme:
Volné £ástice a vztaºné soustavy
Volnou £ásticí
rozumíme hmotný bod vzdálený od okolních objekt· natolik,
ºe vliv ºádného z nich na pohyb hmotného bodu je zanedbatelný (dostupnými p°ístroji a metodami není m¥°itelný). Vztaºná soustava se nazývá
inerciální • neinerciální • Galileiova • laboratorní •
, lze-li ji pevn¥ spojit s tuhým £ty°st¥nem tvo°eným volnými
hmotnými body jako vrcholy, v ostatních p°ípadech,
, je-li to inerciální soustava s po°átkem ve st°edu Slunce, , je-li pevn¥ spojena s povrchem Zem¥ (tato soustava je neiner-
ciální, za inerciální ji lze povaºovat jen p°ibliºn¥).
V tuto chvíli se m·ºe zdát, ºe vztaºným soustavám v¥nujeme aº p°íli² mnoho pozornosti fyzikální zákony jsou p°ece fyzikální zákony a jejich platnost nem·ºe být ovlivn¥na tím, jak si n¥jaký poozorovatel zvolí vztaºné t¥leso a soustavu sou°adnic. Fyzikální význam pojm· inerciální a neinerciální soustava jiº moºná tu²íme, ve v²ech d·sledcích jej v²ak pochopíme teprve v dal²í kapitole.
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
30
1.3 Mechanický stav £ástice a jeho £asový vývoj
Pohyb £ástice (hmotného bodu) je vzhledem k dané vztaºné soustav¥ pln¥ popsán závislostí polohy na £ase, tj. vektorovou funkcí £asu ⃗ r(t). Vektorová funkce ⃗r(t) v trojrozm¥rném prostoru je p°itom pln¥ ur£ena t°emi skalárními funkcemi x(t), y(t) a z(t), p°edstavujícími sou°adnice hmotného bodu, op¥t v závislosti na £ase. Pokud bychom pro danou £ástici závislost ⃗ r(t) zadali, nemáme uº v·bec nic na práci. Otázkou je, zda a jak nám p°íroda umoºní funkci £asu
⃗r(t),
zjistit
vektorovou
která pohyb £ástice pln¥ ur£uje. Experiment ukazuje, ºe zá-
v principu
kony mechaniky fungují tak, ºe na základ¥ znalosti interakcí £ástice s okolními objekty a znalosti její polohy ve dvou r·zných okamºicích lze
ur£it
její polohu v libovolném okamºiku. Slova v principu zde znamenají, ºe n¥co je sice moºné, otázkou v²ak je, nakolik je to prakticky sch·dné, jak vypadá formulace fyzikálních zákonitostí a jaké jsou matematické postupy, které k takové p°edpov¥di reáln¥ povedou. P°i praktickém °e²ení není nap°íklad výhodné vy-
rychlost zrychlení mechanický stav
cházet ze zadání polohy ve dvou okamºicích. Ukazuje se, ºe d·leºitými pojmy pro p°edpov¥¤ pohybu £ástice jsou daném okamºiku zadávají
a
. Poloha a rychlost £ástice v
£ástice v tomto okamºiku. Veli£inou,
která je bezprost°edn¥ ur£ena interakcemi sledované £ástice s okolními objekty, je zrychlení. V dal²ím textu proto oba pojmy vybudujeme. Jak si m·ºeme být posledními dv¥ma tvrzeními jisti? No p°ece vyplývají z experimentu!
1.3.1
Poloha a její zm¥ny
Sledujme pohyb £ástice vzhledem k vztaºné soustav¥
[α, β]. Informace o pohybu £ástice t ∈ [α, β] její polohový vektor ⃗r(t).
S
v £asovém intervalu
bude úplná, zadáme-li v kaºdém okamºiku
Trajektorie hmotného bodu
Vektorová funkce ⃗r skalární prom¥nné t ⃗r = ⃗r(t) = (x(t), y(t), z(t)), zadaná t°emi
t ∈ [α, β],
skalárními funkcemi x(t) y(t) z(t) parametrické vyjád°ení trajektorie trajektorie £ástice ,
a
vektoru £ástice na £ase. Nazývá se bodu, zkrácen¥
(1.11)
, popisuje závislost polohového hmotného
.
x1 , x2 , x3 pouºili pro ozna£ení kartézských ⃗r neindexovaných symbol· x, y , z .) Koncový bod vektoru ⃗r umíst¥ného v kaºdém okamºiku v po£átku soustavy sou°adnic opisuje k°ivku C , jejíº Pro zjednodu²ení zápis· jsme místo
sloºek vektoru
p°ímo£arým k°ivo£arý
parametrické vyjád°ení p°edstavuje práv¥ vztah (1.11). Roli parametru hraje £as. Pohyb £ástice nazýváme hyb po obecné k°ivce je
, je-li její trajektorií £ást p°ímky. Po-
.
1.3. MECHANICKÝ STAV ÁSTICE A JEHO ASOVÝ VÝVOJ m
∆r
r (t ∆ t )
C
r (t)
z
O
31
y
x Obr. 1.9: Trajektorie hmotného bodu
vektorem posunutí
Zm¥na polohy hmotného bodu v £asovém intervalu
[t, t+∆t] je charakterizována
(viz Obr. 1.9)
∆⃗r = ⃗r(t + ∆t) − ⃗r(t) .
(1.12)
Poznámka: Uv¥domme si, ºe jedna a tẠk°ivka, chápaná jako mnoºina bod· v prostoru
R2 ,
nebo
R3 ,
m·ºe být parametricky vyjád°ena r·znými zp·soby.
Ty p°edstavují r·zné trajektorie £ástice. Tak t°eba závislosti ⃗ r(t) = (at, bt, 0) −1 −1 pro t ∈ [0, 2] s a (2at, 2bt, 0) pro t ∈ [0, 1] s, kde a = 1 m s a b = 1ms jsou konstanty, jsou r·zná parametrická vyjád°ení téºe úse£ky v rovin¥ spojující body o sou°adnicích
A = (0, 0, 0) m
a
B = (2, 2, 0) m.
V £em je tedy odli²nost, kdyº
£ástice projde v obou p°ípadech tutéº úse£ku? Odli²ná parametrická vyjád°ení p°edstavují r·zné zp·soby, jak £ástice po úse£ce postupuje. V prvním p°ípad¥ dosp¥je £ástice z po£áte£ního bodu úse£ky
A
B za dv¥ B je uº za
do koncového bodu
sekundy, v druhém p°ípad¥ postupuje dvakrát rychleji a v bod¥ jednu sekundu.
1.3.2
Rychlost a zrychlení
Jiº jsme avizovali, ºe rychlost spolu s polohou ur£uje mechanický stav hmotného bodu a zrychlení je podstatné pro posouzení vývoje stavu. Zd·vodn¥ní
rychlost
jsme si tak trochu, ale zase ne p°íli², zjednodu²ili odkazem na experiment.
zrchlení
P°ijmeme-li to v²ak pro tuto chvíli jako fakt, je z°ejmé, ºe pojmy
a
musíme nejprve de novat. N¥kdo m·ºe namítnout, ºe tyto pojmy jsou
p°ece jasné i laik·m kaºdý ví, co znamená t°eba novinové sd¥lení, ºe ...oba °idi£i, kte°í se srazili a zavinili tak nehodu, jeli v obci nedovolenou rychlostí p°es 70 kilometr· v hodin¥..." , nebo reklamní lákadlo pro potenciální kupce automobilu "...tento nejnov¥j²í model dosahuje zrychlení aº 100 kilometr· v hodin¥ b¥hem p¥ti sekund..." . Tato námitka není tak docela oprávn¥ná a ur£it¥ by ji nevznesl n¥kdo, kdo uº o fyzice n¥co sly²el. Fyzika totiº pot°ebuje pojmy dob°e vybudované, tak, aby nebyla moºná jejich chybná interpretace. U pojm·
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
32
pouºívaných v praktickém ºivot¥ a v b¥ºné °e£i tak striktní poºadavky nejsou. V²imn¥me si, kde m·ºe být v p°edchozích vyjád°eních nejasnost. Novinové sd¥lení operuje p°i popisu rychlosti vozidel jediným £íselným údajem. Je to údaj, který z°ejm¥ ukazovaly ru£i£ky tachometr· v autech, zji²t¥ný bu¤ p°ímo z výpov¥dí °idi£·, nebo t°eba pomocí brzdných stop. Z n¥j ale není z°ejmé, zda se °idi£i srazili £eln¥ (to by jist¥ byla po°ádná nehoda), nebo bo£n¥, a nebo ten zadní byl o n¥co málo rychlej²í a do toho p°edního jen tak mírn¥ ´uknul (pak by z°ejm¥ jen trochu sk°ípaly plechy). Je vid¥t, ºe noviná°i neuvedli informaci o sm¥ru obou rychlostí. Stejn¥ tak pokud jde o údaj o zrychlení vychvalovaného modelu. Je z n¥j jasné, ºe kdyº °idi£ nastartuje, za°adí a rozjede se, je moºné, aby od okamºiku rozjezdu dosáhl údaje na tachometru 100 km/h b¥hem prvních p¥ti sekund. Nevíme ale, jak se automobil zrychluje v pr·b¥hu první, druhé a dal²ích sekund a jak je schopen se dále urychlovat poté, co bylo stovky dosaºeno. Rychlost a zrychlení jsou fyzikální veli£iny, jejichº charakteristikou je krom¥ velikosti také údaj o sm¥ru a navíc se obecn¥ s £asem také m¥ní. Budou to tedy také vektorové funkce £asu, podobn¥ jako polohový vektor. Podíl
⟨⃗v ⟩[t,t+∆t] = ( = ur£uje pro
∆⃗r ⃗r(t + ∆t) − ⃗r(t) = = ∆t ∆t
(1.13)
x(t + ∆t) − x(t) y(t + ∆t) − y(t) z(t + ∆t) − z(t) , , ∆t ∆t ∆t
pr·m¥rnou rychlost £ástice v intervalu [t, t + ∆t]
)
. Jeho limitní hodnota
∆t → 0
⃗r(t + ∆t) − ⃗r(t) , ∆t→0 ∆t
⃗v (t) = lim ⟨⃗v ⟩[t,t+∆t] = lim ∆t→0
okamºitá rychlost
rychlost
která je z matematického hlediska derivací vektorové funkce (zkrácen¥
d⃗r(t) ⃗v (t) = = dt
) £ástice v £ase
(
t.
(1.14)
⃗r(t)
podle £asu, je
Zna£íme
dx(t) dy(t) dz(t) , , dt dt dt
) (1.15)
nebo
⃗v (t) = ⃗r˙ (t) = (x(t), ˙ y(t), ˙ z(t)) ˙ = (vx (t), vy (t), vz (t)). Poznámka: V²imn¥te si, ºe zatímco se pr·m¥rná rychlost vztahuje k £asovému intervalu, je rychlost okamºitá závislá pouze na jediné hodnot¥
Okamºitá rychlost
Okamºitá rychlost v intervalu
£ástice
[t, t + ∆t]
rychlost
⃗v (t), zkrácen¥ , je ∆t → 0. Matematicky
pro
t.
limitou pr·m¥rné rychlosti je derivací parametrického
vyjád°ení trajektorie £ástice podle £asu,
⃗v (t) = lim
∆t→0
⃗r(t + ∆t) − ⃗r(t) = ⃗r˙ (t) = (x(t), ˙ y(t), ˙ z(t)) ˙ . ∆t
1.3. MECHANICKÝ STAV ÁSTICE A JEHO ASOVÝ VÝVOJ
33
Z de nice okamºité rychlosti jako limity rychlosti pr·m¥rné je z°ejmé, ºe okamºitá rychlost má vºdy sm¥r te£ny k trajektorii. Velikost okamºité rychlosti je
v(t) =| ⃗v (t) |=
√ √ vx2 (t)+vy2 (t)+vz2 (t) = x˙ 2 (t)+ y˙ 2 (t)+ z˙ 2 (t) .
Pohyb £ástice nazýváme £ase, tj.
v(t) = konst.
(1.16)
rovnom¥rným
, je-li velikost její rychlosti nezávislá na
P°íklad 1.4. Pr·m¥rná a okamºitá rychlost prakticky. Parametrické vyjád°ení trajektorie £ástice je dáno vztahy
( ) πt πt ⃗r(t) = 2, 00 cos , 2, 00 sin , 0, 00 m, 2 2 kde
π/2
je hodnota veli£iny v jednotkách
s−1
(kruhová frekvence). Okamºitá
rychlost je
( ⃗v (t) = ⃗r˙ (t) =
−2, 00
) π πt π πt sin , 2, 00 cos , 0, 00 m s−1 , 2 2 2 2
. v(t) = π = 3, 14 m s−1 = konst. √ x2 (t) + y 2 (t) = 2, 00 m a z = 0, 00 m. Trajektorií £ástice je tedy kruºnice o polom¥ru R = 2, 00 m se st°edem v po£átku soustavy sou°adnic, leºící v rovin¥ z = 0, 00 m. ástice se pohybuje rovnom¥rn¥ a vykoná jeden ob¥h za dobu T = 2πR = 4, 00 s. Ur£íme pr·m¥rnou rychlost v £asových intervalech [t + v ∆t, t] pro t = 1, 00 s a ∆t postupn¥ 1, 00 s, 0, 50 s, 0, 25 s, 0, 12 s, 0.06 s, 0.03 s a okamºitou rychlost v £ase t = 1.00 s. Budeme sledovat chování pr·m¥rné rychlosti se zmen²ující se hodnotou ∆t. Výsledky shrnuje následující tabulka, v níº α je úhel, který svírá pr·m¥rná rychlost s osou x: Platí
Tabulka 1.4: Okamºitá rychlost jako limita pr·m¥rné rychlosti
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
34
∆t [s]
1,00
0,50
0,25
0,12
0,06
0,03
∆t → 0
x(t + ∆t)[m]
-2,00
-1,41
-0,77
-0,38
-0,19
-0,09
0,00
y(t + ∆t)[m]
0,00
1,41
1,85
1,96
1,99
2, 00
2,00
⟨vx ⟩ [ms−1 ]
-2,00
-2,83
-3,06
-3,12
-3,14
-3,14
−3, 14
⟨vy ⟩ [ms−1 ]
-2,00
-1,17
-0,61
-0,30
-0,15
-0,07
0,00
| ⟨⃗v ⟩ | [ms−1 ]
2,83
3,06
3,12
3,14
3, 14
3, 14
3, 14
α[0 ]
225
202
191
185
183
181
180
y
y
t=1s
t=1s
t ∆ t2 =1,5s v2
v1 x
t ∆ t1=2s
x
y
y
t ∆ t3=1,25s
v
t=1s
t=1s
v3 x
x
Obr. 1.10: Pr·m¥rná rychlost p°i
∆t → 0 ♠
Analogickým postupem jako okamºitou rychlost de nujeme
okamºité zrychlení
.
1.3. MECHANICKÝ STAV ÁSTICE A JEHO ASOVÝ VÝVOJ Podíl
⟨⃗a⟩[t,t+∆t] =
je tzv.
0
∆⃗v ⃗v (t + ∆t) − ⃗v (t) = (1.17) ∆t ∆t [t, t + ∆t] . Jeho limitou pro ∆t →
pr·m¥rné zrychlení £ástice v intervalu
⃗a(t) = lim ⟨⃗a⟩[t,t+∆t] = lim
je
35
okamºité zrychlení
∆t→0
∆t→0
⃗v (t + ∆t) − ⃗v (t) ∆t
(1.18)
£ástice v £ase t. Matematicky jde op¥t o derivaci, tentokrát
derivaci okamºité rychlosti £ástice podle £asu.
v (t)
v(t ∆t ) C
z
∆v
v (t)
r (t ∆ t)
r (t) O
v(t ∆t )
y
x Obr. 1.11: K definici zrychlení
⃗a(t) = nebo
d⃗v (t) d2⃗r(t) = = dt dt2
(
dx2 (t) dy 2 (t) dz 2 (t) , , dt2 dt2 dt2
) ,
(1.19)
⃗a(t) = ⃗v˙ (t) = ⃗¨r(t) = (¨ x(t), y¨(t), z¨(t)) = (ax (t), ay (t), az (t)).
Shr¬me:
Okamºité zrychlení
Okamºité zrychlení
lení v intervalu
zrychlení
£ástice ⃗ a(t), zkrácen¥ , je limitou pr·m¥rného zrych[t, t + ∆t] pro ∆t → 0. Matematicky je de nováno jako derivace
(okamºité) rychlosti, tj. druhá derivace parametrického vyjád°ení trajektorie,
⃗a(t) = lim
∆t→0
⃗v (t + ∆t) − ⃗v (t) = ⃗v˙ (t) = ⃗¨r(t) = (¨ x(t), y¨(t), z¨(t)) . ∆t
Pro velikost zrychlení platí
a(t) =| ⃗a(t) |=
√ √ a2x (t)+a2y (t)+a2z (t) = x ¨2 (t)+ y¨2 (t)+ z¨2 (t).
Pro zji²t¥ní základních veli£in charakterizujících pohyb £ástice sta£í znát parametrické vyjád°ení její trajektorie a um¥t derivovat. Konkrétními p°íklady výpo£tu rychlosti a zrychlení se budeme zabývat soub¥ºn¥ s výpo£tem dal²ích charakteristik trajektorie, jakmile je v dal²ích odstavcích de nujeme.
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
36
1.3.3
Geometrické charakteristiky trajektorie
Rychlost a zrychlení jsou nejd·leºit¥j²í kinematické veli£iny spjaté s trajektorií £ástice. Budeme-li v¥°it experimentální zku²enosti, z níº vyplývá, ºe pochopení t¥chto pojm· jiº posta£í k tomu, abychom mohli formulovat zákony pohybu a pomocí nich se pustili do p°edpov¥dí trajektorií £ástic, nemuseli bychom se jiº kinematikou zabývat. Sta£ilo by vysv¥tlit si postupy, jakými m·ºeme na základ¥ znalosti vzájemného p·sobení studované £ástice s jejím okolím a znalosti mechanického stavu £ástice v jednom okamºiku (zadání polohy a rychlosti) parametrické vyjád°ení trajektorie vypo£ítat. asto v²ak m·ºe být uºite£né ud¥lat si názornou geometrickou p°edstavu, jak k°ivka, po které se £ástice v prostoru pohybuje, vypadá. K tomu slouºí její dal²í charakteristiky, které lze práv¥ z para-
délka oblouku, jednotkové vektory te£ny, hlavní normály a binormály, k°ivost a torze
metrického vyjád°ení pom¥rn¥ snadno ur£it. Nejprve je ov²em pot°eba tyto charakteristiky de novat. Jsou jimi
. První dva pojmy jsou pravd¥podobn¥ kaº-
dému intuitivn¥ jasné. Leccos napovídá i dal²í název, hlavní normála . Sm¥r· kolmých ke k°ivce, tj. k její te£n¥, v daném bod¥ je totiº nekone£n¥ mnoho. Hlavní normálou bude jist¥ ten z nich, který je n¥jakým zp·sobem preferován. K°ivost a torze jsou veli£iny, které n¥jakým zp·sobem m¥°í, jak se k°ivka kroutí v rovin¥ £i prostoru. V dal²ím p°evedeme tyto kvalitativní charakteristiky do matematické podoby a jednotlivé veli£iny de nujeme, postupn¥ v tom po°adí, v jakém jsou vyjmenovány. P°ed formulací vlastních de nic uvedeme, pokud to bude rozumné, p°íklady praktických situací, které pomáhají de nici vybudovat.
P°edstavme si °idi£e automobilu, který v £asovém intervalu aby tachometr stále ukazoval stejnou hodnotu
v.
[α, β]
jede tak,
Víme z praxe, ºe tachometr
ukazuje velikost rychlosti. Popisovaný pohyb je tedy rovnom¥rný. Na otázku, jakou dráhu auto za dobu
s[α,β] = vT = v(β − α).
T = β−α
ujede, odpoví kaºdý ²kolák je rovna
O tuto hodnotu se také zvý²í údaj na ukazateli uje-
tých kilometr·. Výsledek v·bec nezávisí na tom, jaký tvar má k°ivka, podél níº automobil jede. Je stejný, a´ jede °idi£ po p°ímé dálnici, nebo v serpentinách.
Poznámka: P°estoºe pro na²i úvahu není d·leºité, jak se docílí toho, ºe tachometr ukazuje, jak rychle auto jede, v²imn¥me si podstaty alespo¬ zhruba. Ve skute£nosti se m¥°í tzv. otá£ky motoru, p°esn¥ji °e£eno, kolikrát se oto£í kliková h°ídel za minutu. Na základ¥ znalosti r·zných p°evodových pom¥r· v aut¥ lze z otá£ek zjistit, jak velká je okamºitá rychlost bodu na obvodu kola. Pokud kolo nepodkluzuje, je rychlost st°edu kola a tím celého auta stejn¥ velká (za dobu jedné otá£ky kola se po silnici odvalí celá délka jeho obvodu a o stejnou vzdálenost se posune st°ed kola).
[α, β] tak, ∆t2 s údajem vn . Platí T =
Te¤ p°edchozí úlohu trochu zkomplikujeme. idi£ pojede v intervalu ºe po dobu
∆t1
ukazuje tachometr hodnotu
v1 ,
potom po dobu
v2 , atd., aº nakonec po dobu ∆tn pojede rychlostí o velikosti β − α = ∆t1 + · · · + ∆tn . Jízda v jednotlivých úsecích je op¥t
rovnom¥rná, v
kaºdém v²ak s jinak velkou rychlostí. Ani te¤ není pochyb o tom, jak spo£ítat
1.3. MECHANICKÝ STAV ÁSTICE A JEHO ASOVÝ VÝVOJ
37
celkovou uraºenou dráhu,
n ∑
s[α,β] = v1 ∆tt + · · · + vn ∆tn =
vi ∆ti .
i=1 Pozorn¥j²í £tená°i hned namítnou, ºe taková jízda není moºná, °idi£ nem·ºe docílit skokové zm¥ny velikosti rychlosti. Mají samoz°ejm¥ pravdu. Zadání v²ak m·ºeme zp°esnit tak, ºe £asové úseky, v nichº se velikost rychlosti auta m¥ní, vyjmeme ze hry a budeme po£ítat jen ty, kdy je jiº op¥t pohyb rovnom¥rný. Pop°ípad¥ m·ºeme p°echodové £asové intervaly a délku odpovídajících dráhových úsek· prohlásit za zanedbatelné. Pokud by °idi£ úseky
∆ti
neustále zkracoval (po£et úsek· v intervalu
[α, β]
by p°ibýval), m¥nila by se velikost rychlosti tak £asto, ºe bychom nakonec tém¥° nemohli hovo°it o rovnom¥rných pohybech. Dráhu, kterou auto urazí intervalu
[t, ∆t]
bychom pak mohli napsat ve tvaru
. ∆s[t, ∆t] = v(t)∆t.
Dokáºete zd·vod-
nit, pro£ je p°edchozí vztah jen p°ibliºný, co by spí²e pat°ilo na místo velikosti okamºité rychlosti
v(t) a jakým zp·sobem bychom mohli vztah zp°es¬ovat? Na-
konec m·ºeme napsat
∫β ds = v(t) dt =⇒ s[α,β] =
v(t) dt α
a hned uvést de nici délky oblouku:
Délka oblouku
Délkou oblouku
[α, β], α a β . Ozna£íme-li s(t) dráhu
trajektorie, opsanou hmotným bodem v £asovém intervalu
je dráha, kterou hmotný bod urazil mezi okamºiky uraºenou od okamºiku
α
do okamºiku
ds(t) v(t) = , dt
t,
je
∫β tj. s[α,β] = s(β) =
v(t)dt.
(1.20)
α
Vztah (1.20) pro délku oblouku je sice velmi názorný, zaslouºí v²ak korektn¥j²í zd·vodn¥ní. Budeme uvaºovat obdobn¥ jako v p°ípad¥ °idi£e jedoucího rovnom¥rn¥ v r·zných £asových úsecích, pouºijeme v²ak jiº korektních matematických postup·.
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
38
∆s
t= t j+1
t= tj
∆rj t= β r (t ) j +1
z
t= α
r (t ) j
O
y
x
Obr. 1.12: K výpo£tu délky oblouku D¥lením D £asového intervalu [α, β] soubor okamºik· α = t0 < t1 < . . . < tn = β . V okamºicích t0 , t1 , . . ., tn se hmotný bod nachází na trajektorii v bodech B0 , B1 , . . ., Bn , které jsou koncovými body vektor· ⃗ r0 , \ ⃗ r1 , . . ., ⃗ rn . Tyto body rozd¥lí oblouk trajektorie B 0 Bn na úseky o délkách ∆s0 , ∆s1 , . . ., ∆sn−1 , p°i£emº platí n−1 ∑ s[α,β] = ∆sj . asový interval op¥t rozd¥líme na úseky.
D = {t0 , t1 , . . . , tn },
kde
j=0 p°ibliºn¥ nahradit délkou úse£ky
Bj Bj+1 ,
n−1 n−1 n−1 ∑ ∑ ⃗ r(tj ) . ∑ r(tj+1 ) − ⃗ (t − t ) = | ⟨⃗v ⟩[tj ,tj+1 ] | ∆tj , s[α,β] = | ∆⃗ rj |= j+1 j t − t j+1 j j=0 j=0 j=0
(1.21)
Je-li d¥lení dostate£n¥ jemné, lze kaºdý z úsek·
∆sj
tj.
kde
∆tj = tj+1 − tj .
Zjem¬ováním d¥lení se vyjád°ení délky oblouku
(1.21) zp°es¬uje. Kritériem jemnosti d¥lení
D
je jeho
norma
s[α,β]
pomocí vztahu
(velikost nejv¥t²ího dílku)
ν(D) = max{∆tj | j ∈ {0, . . . , n − 1}}. Pro
ν(D) → 0 p°echází diskrétní indexovaná prom¥nná tj v prom¥nnou ⟨⃗v ⟩[tj ,tj+1 ] v rychlost okamºitou a sumace v integraci:
spojitou, pr·m¥rná
rychlost
s[α,β] =
n−1 ∑
lim ν(D)→0
∫β | ⟨⃗v ⟩[tj ,tj+1 ] | ∆tj =
j=0
| ⃗v (t) | dt.
Vztahem (1.22) je z matematického hlediska sou£asn¥ de nován z identicky jednotkové funkce po k°ivce
∫ s[α,β] =
ds = C
kde
⃗ r(t) = (x(t), y(t), z(t))
(1.22)
α
C.
k°ivkový integrál prvého typu
Zna£íme
∫β √ x˙ 2 (t) + y˙ 2 (t) + z˙ 2 (t) dt,
(1.23)
α
p°edstavuje parametrické vyjád°ení integra£ního oboru
C.
Zobecníme de nici k°ivkového integrálu prvého typu na p°ípad libovolné funkce p°edepsaných vlastností: Nech´
C :⃗ r=⃗ r(t) = (x(t), y(t), z(t))
je k°ivka s t¥mito vlastnostmi:
1.3. MECHANICKÝ STAV ÁSTICE A JEHO ASOVÝ VÝVOJ •
derivace
x(t) ˙ , y(t) ˙
• v(t) ̸= 0, • (tzv.
a
z(t) ˙
spojité na intervalu
39
[α, β],
s výjimkou nejvý²e kone£ného po£tu bod·,
integrál (1.23) má kone£nou hodnotu
po £ástech hladká rekti kovatelná k°ivka).
mnoºin¥
A ⊂ R3
obsahující k°ivku
∫
Nech´
C
f (x, y, z)
je funkce spojitá na otev°ené
Pak existuje integrál
∫β f (x, y, z) ds =
Nazýváme jej
C.
√ f (x(t), y(t), z(t))
x˙ 2 (t) + y˙ 2 (t) + z˙ 2 (t) dt.
(1.24)
α
k°ivkovým integrálem prvého typu z funkce f (x, y, z) po k°ivce C .
V dal²í £ásti textu de nujeme jednotkovéo vektory te£ny, hlavní normály a binormály. S vektorem te£ny je v¥c jednoduchá. Víme totiº, ºe sm¥r te£ny k trajektorii v damém okamºiku je ur£en okamºitou rychlostí £ástice. Jednotkový vektor daného sm¥ru získame standardním zp·sobem normováním, tj. vyd¥lením rychlosti její velikostí.
Jednotkový vektor te£ny
Jednotkový vektor te£ny ⃗τ (t) v okamºiku
t,
k trajektorii v bod¥, v n¥mº se nachází £ástice
je de nován vztahem
⃗τ (t) =
⃗v (t) . v(t)
(1.25)
V²echny sm¥ry kolmé k vektoru te£ny, tj. k samotné k°ivce v daném bod¥ tvo°í rovinu. Vezmeme-li z nich v úvahu jen vektory jednotkové, dostaneme nekone£n¥ mnoho jednotkových normál. Kterou z nich v²ak preferovat, povaºovat za hlavní ? P°istoupíme-li k otázce pon¥kud formáln¥, pom·ºe nám skute£nost, ºe vektor
⃗τ (t)
je jednotkový. Tu lze totiº zapsat nejen ve tvaru
|⃗τ (t)| = 1,
ale
také
⃗τ (t)⃗τ (t) = ⃗τ (t)2 = 1
tj. τx2 (t) + τy2 (t) + τz2 (t) = 0.
Derivováním tohoto vztahu dostaneme
2τx (t)τ˙x (t) + 2τy (t)τ˙y (t) + 2τz (t)τ˙z (t) = 0 =⇒ 2⃗τ (t)⃗τ˙ (t) = 0. Odtud je z°ejmé, ºe vektory
⃗τ˙ (t)
a
⃗τ (t)
jsou kolmé. Tento postup umoºnil z
nekone£n¥ mnoha normál vybrat jednu, konkrétn¥
⃗τ˙ .
Normováním dostaneme
op¥t jednotkový vektor.
Jednotkový vektor hlavní normály
Jednotkovým vektorem hlavní normály nachází v okamºiku
t
k trajektorii v bod¥, v n¥mº se £ástice
je vektor
⃗n(t) =
⃗τ˙ (t) | ⃗τ˙ (t) |
(1.26)
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
40
Pro p°ímo£arý pohyb je
⃗τ˙ = ⃗0 a vektor hlavní normály není de nován. (Dokáºete
pro to najít geometrickou interpretaci?) Jednotkový vektor binormály de nujeme tak aby vektory
⃗τ (t) a ⃗n(t)
doplnil
na pravoto£ivou ortonormální bázi.
Jednotkový vektor binormály
je de nován vztahem
⃗ν (t) = ⃗τ (t) × ⃗n(t).
(1.27)
Pro p°ímo£arý pohyb není vektor binormály rovn¥º de nován. Vektory
< ⃗τ (t), ⃗n(t), ⃗ν (t) >
tvo°í ortonormální pravoto£ivou bázi, spjatou
pohyblivý reper
s bodem trajektorie, v n¥mº se £ástice nachází v okamºiku terminologii se tato báze nazývá
t.
V geometrické
.
Uº jsme konstatovali, ºe jednotkový vektor
⃗ n(t),
ur£ený vztahem (1.26), p°edstavuje jeden
z nekone£n¥ mnoha sm¥r· kolmých k te£n¥ trajektorie v daném bod¥. Tyto sm¥ry vypl¬ují celou rovinu. Vektor
⃗ n(t)
jsme v²ak získali tak trochu formáln¥. Vzniká otázka, zda existuje
n¥jaký geometrický d·vod, pro£ práv¥ tento sm¥r je mezi ostatními preferován. Uvidíme, ºe ödpov¥¤ na ni je kladná. Preference souvisí s problémem náhrady obecné prostorové k°ivky
C
v okolí daného bodu k°ivkou rovinnou.
σ
t,t+∆ t
τ(t+∆ t) τ(t) τ(t+∆ t)
B (t+∆ t)
τ(t) B (t)
z
r (t+∆ t) r (t) O
y
x Obr. 1.13: K definici hlavní normály
1.3. MECHANICKÝ STAV ÁSTICE A JEHO ASOVÝ VÝVOJ
41
Obr. 1.13 σ[t,t+∆t]
rovinu ur£enou koncovým bodem B(t) polohového vek⃗ τ (t) a ⃗ τ (t + ∆t). Tato rovina se p°imyká ke k°ivce C v okolí bodu B(t) tím lépe, £ím je ∆t men²í. Limitním p°ípadem rovin σ[t,t+∆t] pro ∆t → 0 je tzv. oskula£ní rovina σ(t). Vzhledem k tomu, ºe p°i ∆t → 0 vektory ⃗ τ (t) a ⃗ τ (t + ∆t) splynou, je t°eba najít jiný vhodný vektor, který spolu s bodem B(t) a vektorem ⃗ τ (t) ur£uje rovinu σ(t), av²ak p°i ∆t → 0 z·stává s vektorem ⃗ τ (t) nekolineární. Tuto vlastnost má vektor
Ozna£me podle toru
⃗ r(t)
a jednotkovými vektory
⃗ τ (t+∆t)−⃗ τ (t) , jehoº limitním p°ípadem je vektor ∆t
⃗ τ (t + ∆t) − ⃗ τ (t) ⃗ τ˙ (t) = lim . ∆t→0 ∆t Oskula£ní rovina
σ(t)
je tedy ur£ena bodem
výsledku je preference vektoru
⃗ n(t)
B(t)
⃗ τ (t)
a vektory
a
⃗ n(t).
Na základ¥ tohoto
mezi v²emi sm¥ry kolmými k te£n¥ pochopitelná.
Jak moc je která k°ivka k°ivá? To je²t¥ neumíme ur£it. Intuitivn¥ v²ak víme, ºe p°ímka není k°ivá v·bec, kruºnice je k°ivá po celé své délce stejn¥. Hyperbola se nám jeví nejk°iv¥j²í v okolí svých vrchol·, zatímco jak se její v¥tve blíºí asymptotám, k°ivost se zmen²uje. Veli£inu zvanou k°ivost musíme de novat
rovinnou
tak, aby mj. spl¬ovala i tuto na²i p°edstavu. Nejprve uvaºme speciální p°ípad
k°ivku. Taková k°ivka celá leºí v jedné rovin¥. Uvaºujme nejprve o
p°ímce. A´ je její konkrétní parametrické vyjád°ení jakékoli, jednotkový vektor
⃗ tau(t)
se nem¥ní. Indikuje nulová zm¥na vektoru
⃗τ
nulovou k°ivost a naopak?
Nepochybn¥. K°ivost by tedy mohla být dána tím, jak rychle se m¥ní jednotkový vektor te£ny ke k°ivce. Rychlost zm¥ny je ov²em derivace, takºe veli£inou ur£ující k°ivost by mohla být t°eba velikost vektoru
⃗τ˙ (t). Poloºme si otázku, zda tedy
m·ºeme de novat k°ivost jako skalární v¥li£inu ur£enou velikostí £asové derivace vektoru
⃗τ .
Uplatníme-li p°edchozí intuitivní p°edstavu, ºe kruºnice by m¥la být
po celé své délce stejn¥ k°ivá, hned vidíme, ºe p°edchozí de nice vhodná nebude. Pokud by se totiº £ástice pohybovala po kruºnici nerovnom¥rn¥, pak by se velikost vektoru
⃗τ˙ (t)
s £asem, a tedy i s polohu £ástice na kruºnici, m¥nila.
Ov¥°íme to výpo£tem. Dejme tomu, ºe se £ástice pohybuje v sou°adnicové ro2 2 2 vin¥ xOy po kruºnici x + y = R tak, ºe úhel, který svírá její polohový vektor s osou
x
je
φ(t),
p°i£emº
φ(0) = 0.
x(t) = R cos φ(t),
Trajektorie £ástice je pak vyjád°ena vztahy
y(t) = R sin φ(t),
Platí (propo£ítejte sami a uváºením skute£nosti, ºe ºené funkce prom¥nné
t
z(t) = 0. cos φ(t)
a
(1.28)
sin φ(t) jsou sloφ(t) stále
a za zjednodu²ujícího p°edpokladu, ºe úhel
φ(t) ˙ > 0) ( ) φ(t) ˙ φ(t) ˙ ⃗τ (t) = − sin φ(t), cos φ(t), 0 = (− sin φ(t), cos φ(t), 0) , |φ(t)| ˙ |φ(t)| ˙
roste, tj.
τ˙ (t) = (−φ(t) ˙ cos φ(t), −φ(t) ˙ sin φ(t), 0) ,
|⃗τ˙ (t)| = |φ(t)| ˙ = φ(t). ˙
(1.29)
(1.30)
P°i nerovnom¥rném pohybu je tato veli£ina v kaºdém okamºiku, a tedy i v kaºdé poloze £ástice na kruºnici, obecn¥ jiná. Jiný, moºná jednodu²²í zp·sob odhalení nevhodnosti de nice k°ivosti jako
|⃗τ˙ (t)|
spo£ívá v p°edstav¥,
ºe v²echny kruºnice o stejném polom¥ru musí být stejn¥ k°ivé, a´ uº po nich
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
42
£ástice obíhají jakkoli. Pokud nap°íklad dv¥ £ástice obíhají po kruºnicích o stejném polom¥ru sice rovnom¥rn¥, ale r·zn¥ rychle, nap°íklad tak, ºe první £ástice obíhá dvakrát rychleji neº druhá, m¥ní se i sm¥r vektoru £ástice dvakrát rychleji, takºe k°ivost
|⃗τ˙ (t)|
⃗τ (t)
v p°ípad¥ první
první kruºnice by vycházela také
dvakrát v¥t²í. Vyjád°íme-li i tuto skute£nost po°ádn¥ matematicky, z výsledku uvidíme, jak bychom mohli k°ivost vhodn¥ de novat. Dejme tomu, ºe £ástice
R rovnom¥rn¥ a velikost její rychlosti je v . Za £as t vt/R. Parametrické vyjád°ení trajektorie ) ( vt vt ⃗r(t) = R cos , R sin , 0 , R R
obíhá po kruºnici o polom¥ru
tedy polohový vektor £ástice opí²e úhel £ástice má tvar
takºe
) ( vt vt ⃗τ (t) = − sin , cos , 0 , R R |⃗τ˙ (t)| =
v ⃗τ˙ (t) = R
) ( vt vt − cos , − sin , 0 , R R
v |⃗τ˙ (t)| 1 =⇒ = . R v R
1 ˙ τ (t)| je stejná pro v²echny kruºnice se stejným polom¥rem, v |⃗ bez ohledu na to, jak rychle po nich £ástice obíhá. Navíc je rovna p°evrácené
Vidíme, ºe veli£ina
hodnot¥ polom¥ru kruºnice, coº také odpovídá intuitivní p°edstav¥ o k°ivosti kruºnice s malým polom¥rem je k°iv¥j²í neº kruºnice s polom¥rem velkým, pro
R→∞
se kruhové úseky blíºí p°ímkovým, které jiº mají nulovou k°ivost.
Pro dal²í úvahy si uv¥domme, ºe pro velikost rychlosti platí vztah (1.20). P°edpokládejme navíc, ºe funkce
s(t) je na ur£itém intervalu [α, β] rostoucí. t = t(s). Proto lze vektor ⃗τ vyjád°it jako
Existuje k ní tedy funkce inverzní, funkci délky oblouku,
⃗τ = ⃗τ [t(s)]. Platí d⃗τ d⃗τ [s(t)] d⃗τ ds = = dt dt ds dt .
Odtud
d⃗τ [t(s)] | ⃗τ˙ (t) | ds = v(t) .
(1.31)
Nyní jiº m·ºeme vyslovit de nici k°ivosti v obecné podob¥, platné dokonce i pro prostorové k°ivky:
K°ivost trajektorie
K°ivost
trajektorie v daném bod¥
B(t)
je skalární veli£ina, která názorn¥ cha-
rakterizuje zm¥nu sm¥ru te£ny vztaºenou k jednotkové délce oblouku:
∆⃗τ ⃗τ (s + ∆s)−⃗τ (s) d⃗τ κ(s) = lim = lim ∆s→0 = ds . ∆s→0 ∆s ∆s
(1.32)
1.3. MECHANICKÝ STAV ÁSTICE A JEHO ASOVÝ VÝVOJ
43
τ(t) ∆s
τ(t) a τ(t)
∆τ
τ(t+∆ t) r (t+∆ t)
n(t)
a(t)
z
z
an (t) r (t) O
O
y
x
y
x
Obr. 1.14: K definici k°ivosti a torze, k rozkladu zrychlení
Polom¥r k°ivosti
je p°evrácenou hodnotou k°ivosti:
R(t) = κ−1 (t) =
Torze trajektorie Analogickým zp·sobem je de nována
v(t) | ⃗τ˙ (t) |
torze
.
(1.33)
trajektorie v daném bod¥, která
charakterizuje odchylku k°ivky od rovinnosti:
∆⃗ν ⃗ν (s+∆s)−⃗ν (s) d⃗ν γ(s) = lim = lim = ds , ∆s→0 ∆s→0 ∆s ∆s
γ(t) =
Oskula£ní kruºnicí ximuje k°ivku
C.
| ⃗ν˙ (t) | . v(t)
(1.34)
(1.35)
nazveme kruºnici, která v okolí daného bodu nejlépe aproLeºí v oskula£ní rovin¥, její polom¥r je
je koncovým bodem vektoru
R(t)
a její st°ed
S(t)
⃗r(t) + R(t)⃗n(t).
P°íklad 1.5. Charakteristiky ²roubovice. Trajektorie £ástice je na intervalu
[0, 2π ω ]
parametricky zadána takto:
⃗r(t) = (R cos ωt, R sin ωt, bt), kde
a, b, a ω
jsou kladné konstanty. (Trajektorií je jeden závit ²roubovice viz
Obr. 1.15.) Ur£íme v²echny doposud de nované kinematické veli£iny trocha po£ítání nikomu neu²kodí.
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
44
-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2
Obr. 1.15-a: K p°íkladu 1.5
12 10
2 1
8
0
6
-1 4
-2 2
2
1 0
0
-1 -2
Obr. 1.15-b: K p°íkladu 1.5 jiný pohled
Nejprve se v²ak pokusme o n¥kolik p°edb¥ºných geometricko-fyzikálních úvah,
1.3. MECHANICKÝ STAV ÁSTICE A JEHO ASOVÝ VÝVOJ
45
pomocí kterých si ov¥°íme, zda dokáºeme alespo¬ n¥které výsledky intuitivn¥ odhadnout, resp. uvid¥t z parametrického vyjád°ení trajektorie.
•
Pr·m¥tem k°ivky, po které se £ástice pohybuje, do osy parametrickým vyjád°ením
•
Pr·m¥t do osy podél osy
z
z
xOy
je kruºnice s
(R cos ωt, R sin ωt), 0).
je naopak dán vektorem
(0, 0, bt),
takºe pohyb £ástice
je rovnom¥rný, stoupání závit· ²roubovice je stálé.
•
Délka oblouku odpovídajícího jednomu závitu ²roubovice, tj. £asovému in2π 2π tervalu [0, ω ], nebo obecn¥ [t0 , t0 + ω ] pro libovolné t0 vyjde nepochybn¥ v¥t²í neº obvod kruºnice, tj. s[0, 2π/ω] > 2πR.
•
O k°ivosti trajektorie m·ºeme usuzovat, ºe bude rovn¥º konstantní, av²ak −1 men²í neº k°ivost kruºnice o polom¥ru R. tj. κ(t) < R . Závit ²roubovice je totiº oproti kruºnici nataºen¥n¥j²í .
•
Vzhledem k tomu, ºe ²roubovice není rovinná k°ivka, lze o£ekávat nenulovou torzi. Dokonce lze p°edvídat, ºe torze bude konstantní. Dokáºete to zd·vodnit?
•
Zkusme se také zamyslet nad oskula£ní rovinou. Ta je ur£ena bodem, v n¥mº se £ástice v daném okamºiku
t
⃗τ (t) a ⃗n(t). z -ovou sloºkou roviny v·£i ose z
práv¥ nachází, a vektory
Vzhledem ke konstantnímu stoupání ²roubovice, danému vektoru
⃗τ (t)
m·ºeme o£ekávat, ºe i sklon
v·£i sou°adnicové rovin¥
xOy
α(t)
oskula£ní
bude stálýp. Pokud je tato názorná geome-
trická úvaha oprávn¥ná, m¥la by
z -ová sloºka vektoru hlavní normály ⃗n(t)
vyjít nulová.
S p°edchozími úvahami se nem·ºeme zcela spokojit. Geometrická p°edstava £i intuice nás £ast· m·ºe zkladmat. Ov¥°it, nebo vyvrátit výsledek t¥chto úvah lze spolehliv¥ jedin¥ výpo£tem. Vypo£teme proto postupn¥ jednotlivé charakteristiky trajektorie pomocí jejího parametrického vyjád°ení. Rychlost a zrychlení:
⃗v (t) = ⃗r˙ (t) = (−Rω sin ωt, Rω cos ωt, b), v(t) =
√ R2 ω 2 + b2 = konst.,
⃗a(t) = ⃗¨r(t) = (−Rω 2 cos ωt, −Rω 2 sin ωt, 0),
a(t) = Rω 2 = konst..
Délka oblouku:
∫t √ √ s(t) = R2 ω 2 + b2 dt = t R2 ω 2 + b2 , 0
( s
2π ω
) =
2π √ 2 2 R ω + b2 . ω
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
46
Délka oblouku jednoho závitu vychází skute£n¥ v¥t²í neº
2πR,
podle o£ekávání.
Pohyblivý reper:
( ⃗τ (t) = − √ ⃗τ˙ (t) =
Rω Rω b sin ωt, √ cos ωt, √ 2 2 2 2 2 2 2 R ω +b R ω +b R ω 2 + b2
) ,
( ) Rω 2 Rω 2 −√ cos ωt, − √ sin ωt, 0 , R 2 ω 2 + b2 R 2 ω 2 + b2 ⃗n(t) = (− cos ωt, − sin ωt, 0),
(
) b b Rω ⃗ν (t) = √ sin ωt, − √ cos ωt, √ , R 2 ω 2 + b2 R2 ω 2 + b2 R2 ω 2 + b2 ( ) bω bω ⃗ν˙ (t) = √ cos ωt, √ sin ωt, 0 . R 2 ω 2 + b2 R2 ω 2 + b2 Sklon oskula£ní roviny vzhledem k ose xOy m·ºeme po£ítat bu¤ jako úhel mezi jednotkovým vektorem ⃗ z0 = (0, 0, 1) ve sm¥ru kladn¥ orientované osy z , tj. ⃗z0 ⃗ν (t) Rω = νz (t) = √ , 2 |⃗z0 ||⃗ν (t)| R ω 2 + b2 nebo m·ºeme pouºít skute£nosti, ºe z -ová sloºka jednokového vektoru hlavní normály vy²la nulová a po£ítat jej jako úhel mezi vektorem ⃗ τ (t) a jeho kolmým pr·m¥tem ⃗ τ0 (t) do sou°adnicové roviny xOy , tj. kosinus úhlu mezi oskula£ní rovinou a rovinou xOy je p°ímo roven velikosti vektoru ⃗ τ0 (t). Platí cos α(t) =
( ⃗τ0 (t) =
) Rω Rω Rω √ √ − sin ωt, cos ωt, 0 =⇒ cos α(t) = √ . 2 2 2 2 2 2 2 R ω +b R ω +b R ω 2 + b2
K°ivost a torze:
κ(t) =
Rω 2 , + b2
R2 ω 2
R(t) = R +
b2 , Rω 2
γ(t) =
bω , + b2
R2 ω 2
takºe i v p°ípad¥ k°ivosti a torze se ná² odhad potvrdil.
Poznámka:
♠
P°im¥°enost obecných de nic k°ivosti a torze posoudíme tak, ºe prov¥°íme, zda
v p°ípadech zvlá²t¥ názorných dávají o£ekávané výsledky. V p°ípad¥ rovinné k°ivky je o£ekávaná hodnota torze nulová. Sou£asn¥ je
⃗ ν (t) = konst., takºe ⃗ ν˙ (t) ≡ 0. Odtud skute£n¥ γ(t) ≡ 0.
U kruºnice o£ekáváme, ºe její polom¥r k°ivosti bude bez ohledu na konkrétní parametrizaci konstantní a roven polom¥ru kruºnice, zatímco u p°ímky bude k°ivost trvale nulová. Zvolme parametrické vyjád°ení kruºnice o polom¥ru
R
ve tvaru
⃗ r(t) = (R cos φ(t), R sin φ(t), 0), kde
φ(t)
je libovolná rostoucí funkce £asu, tj.
φ(t) ˙ > 0.
1.3. MECHANICKÝ STAV ÁSTICE A JEHO ASOVÝ VÝVOJ ⃗v (t) = (−φ(t)R ˙ sin φ(t), φ(t)R ˙ cos φ(t), 0),
47
v(t) =| φ(t) ˙ | R = φ(t)R, ˙
⃗ τ (t) = (− sin φ(t), cos φ(t), 0), ⃗ τ˙ (t) = (−φ(t) ˙ cos φ(t), −φ(t) ˙ sin φ(t), 0) Pak
R(t) =
|⃗ τ˙ (t) |=| φ(t) ˙ |= φ(t). ˙
v(t) = R, |⃗ τ˙ (t) |
coº odpovídá p°edstav¥. P°ímku vyjád°íme parametricky takto: p°ímky a
f (t)
⃗ r(t) = ⃗ r0 + ⃗ τ f (t),
kde
⃗ τ
je jednotkový sm¥rový vektor
je libovolná rostoucí funkce £asu. Pak
⃗v (t) = f˙(t)⃗ τ,
v(t) = f˙(t),
⃗ τ (t) = ⃗ τ,
⃗ τ˙ ≡ 0,
κ(t) ≡ 0.
Poznamenejme, ºe pro p°ímkovou trajektorii nejsou výrazy (1.26) a (1.27) de novány. Vektory
⃗n(t)
a
⃗ν (t)
nejsou ur£eny jednozna£n¥, stejn¥ jako oskula£ní
rovina.
P°íklad 1.6. Geometrické charakteristiky trajektorie pomocí ⃗r(t). V p°edchozích úvahách i p°íkladech týkajících se kinematických veli£in popisujících pohyb a geometrických charakteristik trajektorie jsme volili zp·sob postupných výpo£t·. Víme v²ak,
ºe v²echny tyto veli£iny jsou zcela ur£eny parametrickým vyjád°ením trajektorie £ástice C : ⃗ r=⃗ r(t), t ∈ [α, β], kde parametrem je £as. Proto je nyní vyjád°íme pomocí vektorové funkce ⃗ r(t) a jejích derivací. Vyuºijeme p°i tom operace skalárního a vektorového sou£inu. Tento zp·sob nepochybn¥ ocení ti, kte°í rádi po£ítají neuvádíme proto v²echny mezivýsledky a ponecháváme na £tená°íchpo£tá°ích, aby v²emi nutnými výpo£etními kroky sami poctiv¥ pro²li. Pro zjednodu²ení zápisu upustíme od explicitního vypisování argumentu závislých funkcí.
•
Délka oblouku trajektorie:
∫β |⃗ r˙ | dt =
s[α,β] = α
•
∫β √ 2 ⃗ r˙ dt. α
Pohyblivý reper:
⃗ r˙ ⃗ τ = √ , 2 ⃗ r˙ 2 ¨ ¨ ˙ ¨ ⃗ r⃗ r˙ − ⃗ r˙ (⃗ r˙ ⃗ r) d ⃗ r ⃗ r˙ × (⃗ r×⃗ r˙ ) ⃗ τ˙ = = , √ = 2 3 2 3 dt ˙ ˙ 2 2 2 (⃗ r ) (⃗ r ) ⃗ r˙ 2 2 ¨2 ¨ ¨ ¨ [⃗ r(⃗ r˙ ) − ⃗ r˙ (⃗ r˙ ⃗ r)]2 ⃗ r˙ ⃗ r − (⃗ r˙ ⃗ r)2 ⃗ τ = = =⇒ | ⃗ τ˙ |= 2 2 (⃗ r˙ )3 (⃗ r˙ )2
˙2
√ 2 ¨2 ¨ ⃗ r˙ ⃗ r − (⃗ r˙ ⃗ r )2
2 ¨ ¨ ¨ ⃗ r˙ × (⃗ r×⃗ r˙ ) ⃗ r⃗ r˙ − ⃗ r˙ (⃗ r˙ ⃗ r) ⃗ n= √ = √ , 2 2 2 ˙ ¨ ˙ 2 ˙ ˙ ¨ ¨ [⃗ r × (⃗ r×⃗ r)] ⃗ r [⃗ r ⃗ r − (⃗ r˙ ⃗ r)2 ]
2 ⃗ r˙
,
t
u £asov¥
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
48
2 ¨ ¨ ¨ ¨ ⃗ r˙ ⃗ r⃗ r˙ − ⃗ r˙ (⃗ r˙ ⃗ r) ⃗ r˙ × ⃗ r ⃗ r˙ × ⃗ r ⃗ ν= √ ×√ = √ = . ˙ ¨ 2 2 2 2 2 2 | ⃗ r × ⃗ r | ˙ ˙ ¨ ˙ ¨ ˙ ¨ ˙ ¨ 2 2 ˙⃗ ⃗ r [⃗ r ⃗ r − (⃗ r⃗ r) ] ⃗ r ⃗ r − (⃗ r⃗ r) r
•
K°ivost a torze:
⃗ ν˙ =
1 ¨ |⃗ r˙ × ⃗ r |2 √
|⃗ ν˙ |=
[(
d3 ⃗ r ⃗ r˙ × 3 dt
) ¨ ¨ |⃗ r˙ × ⃗ r | −(⃗ r˙ × ⃗ r)
] ¨ d|⃗ r˙ × ⃗ r| , dt
¨ (r˙ × r¨)2 (⃗ r˙ × (d3 ⃗ r/dt3 ))2 − [(⃗ r˙ × ⃗ r)(⃗ r˙ × (d3 ⃗ r/dt3 ))]2 , ¨ (⃗ r˙ × ⃗ r)2
√ v u 2 2 3 ¨ ¨ ˙ ⃗ ¨ ˙⃗ ¨ 2 u⃗ (r˙ × r¨)2 (⃗ r˙ × (d3 ⃗ r/dt3 ))2 −[(⃗ r˙ × ⃗ r)(⃗ r˙ × (d3 ⃗ r/dt3 ))]2 | [⃗ r˙ , ⃗ r, ddt3⃗r ] | r r −( ⃗ r r ) √ κ=t , γ = = . 2 ¨ 2 ˙ (⃗ r˙ × ⃗ r )2 (⃗ r˙ )3 ¨ ⃗ r˙ (⃗ r×⃗ r )2
1.3.4
Te£né a normálové zrychlení
Jist¥ jiº mnohého £tená°e napadla otázka, k £emu vlastn¥ je pohyblivý reper
< ⃗τ , ⃗n, ⃗ν >,
kdyº p°ece vºdy m·ºeme mít k dispozici vhodn¥ zvolenou pevnou
vztaºnou soustavu spojenou s kartézskou soustavou sou°adnic
< O; x, y, z >.
Odpov¥¤ je jednoduchá: Pohyblivý reper b¥ºí po k°ivce spolu s pohybující se £ásticí, takºe vyjád°ení klí£ových kinematických veli£in, konkrétn¥ rychlosti a zrychlení, ve sloºkách práv¥ v bázi
< ⃗τ , ⃗n, ⃗ν >
m·ºe být nejen jednodu²²í
neº v pevné bázi, ale m·ºe dokonce p°inést i ur£ité názorné fyzikální záv¥ry. Je to vid¥t hned na p°íklad¥ rychlosti ta má neustále sm¥r vektoru
⃗τ ,
její
normálová a binormálová sloºka jsou nulové. Co m·ºeme o£ekávat v p°ípad¥ rozkladu zrychlení do této pohyblivé báze? tato p°edstava uº není tak názorná, musíme proto rozklad provést. Uºijeme p°i tom vztah· (1.25), (1.26) a (1.33), a také b¥ºných pravidel pro derivování. Platí
⃗v (t) = v(t)⃗τ (t), ⃗a(t) =
d v 2 (t) (v(t)⃗τ (t)) = v(t)⃗ ˙ τ (t) + v(t)⃗τ˙ (t) = v(t)⃗ ˙ τ (t) + ⃗n(t). dt R(t)
V²imn¥me si výsledku, který jsme získali. Vektor zrychlení je sou£tem dvou p°ísp¥vk· pr·m¥tu do sm¥ru jednotkového vektoru te£ny a pr·m¥tu do sm¥ru jednotkového vektoru hlavní normály. To, ºe se pr·m¥t do sm¥ru binormály p°i výpo£tu neobjevil, znamená, ºe je nulový. M·ºeme proto psát
⃗a(t) = ⃗aτ (t) + ⃗an (t),
(1.36)
kde vektory
⃗aτ (t) = v(t)⃗ ˙ τ (t),
⃗an (t) =
v 2 (t) ⃗n(t) R(t)
(1.37)
1.3. MECHANICKÝ STAV ÁSTICE A JEHO ASOVÝ VÝVOJ te£né a normálové zrychlení p°edstavují
49
. Ze vztahu (1.37) vidíme, ºe v p°ípad¥
rovnom¥rného pohybu, kdy padech, kdy vektor
⃗n
v(t)
je konstantní, je te£né zrychlení nulové. V p°í-
není de nován (p°ímo£arý pohyb), je celkové zrychlení
shodné se zrychlením te£ným. Normálové zrychlení
⃗an = ⃗a − ⃗aτ
je pak nulové.
Pr·m¥ty zrychlení do sm¥ru te£ny a hlavní normály mají tedy velmi názornou interpretaci: Te£né zrychlení souvisí se zm¥nou velikosti rychlosti a zrychlení normálové ur£uje zm¥nu sm¥ru rychlosti.
Te£né a normálové zrychlení Okamºité zrychlení je sou£tem zrychlení te£ného a normálového
⃗a(t) = v(t)⃗ ˙ τ (t) +
v 2 (t) ⃗n(t) R(t)
a leºí v oskula£ní rovin¥. Je-li v ur£itém £asovém intervalu te£né zrychlení nulové, je pohyb v tomto intervalu rovnom¥rný a naopak. Je-li normálové zrychlení v ur£itém £asovém intervalu nulové, je pohyb v tomto intervalu p°ímo£arý a naopak.
Poznámka: P°i výpo£tu normálového zrychlení £asto s výhodou pouºíváme vztahu
⃗an = ⃗a − ⃗aτ .
P°íklad 1.7. Obecný pohyb po ²roubovici. V p°íkladu 1.5 jsme d·kladn¥ probrali v²echny geometrické charakteristiky ²roubovice s konstantním stoupáním. Parametrické vyjád°ení ²roubovice bylo ov²em speciální pohyb £ástice byl rovnom¥rný. Víme, ºe p°i rovnom¥rném pohybu po jakékoli k°ivce je te£né zrychlení nulové a normálové zrychlení je rovno zrychlení celkovému. Pomocí výsledk· p°íkladu 1.5 dosp¥jeme k témuº záv¥ru i pro danou konkrétní situaci, tj.
⃗aτ = ⃗0, ⃗an = ⃗a.
Poloºme si v²ak otázku,
zda by £ist¥ geometrické charakteristiky ²roubovice (délka závitu, k°ivost a torze), která by vypadala stejn¥ jako ta z p°íkladu 1.5, vy²ly stejn¥ i p°i její jiné parametrizaci, tj. kdyby se £ástice po ní pohybovala v závislosti na £ase jinak, neº tomu bylo v p°íkladu 1.5. Geometrická p°edstava nám napovídá, ºe nepochybn¥ ano. Tyto veli£iny totiº t¥ºko mohou záviset na tom, jak se r·zné £ástice po téºe geometrické k°ivce pohybují. Uvaºujme tedy o ²roubovici, jejímº
xOy je kruºnice x2 + y 2 = R2 , a která má konstatní stoupání s vý²2πb/ω . Její nejobecn¥j²í parametrické vyjád°ení musí mít, pro ur£itost p°i volb¥ ⃗ r(0) = (R, 0, 0), tvar ( ) b ⃗ r(t) = R cos φ(t), R sin φ(t), φ(t) , ω kde φ(t) je libovolná funkce, která má derivace do pot°ebného druhého °ádu a plstí pro ni φ(0) = 0. Dokáºete toto parametrické vyjád°ení zd·vodnit? Vypo£teme pro tento p°ípad délku pr·m¥tem do roviny
kou závitu
oblouku, k°ivost a torzi. P°i výpo£tu m·ºeme £áste£n¥ pouºít vztah· (1.28), (1.29) a (1.30). Postupn¥ dostáváme
(
) b φ(t) ˙ , ω
√ |φ(t)| ˙ R 2 ω 2 + b2 , ω ( ) φ(t) ˙ Rω Rω b ⃗ τ (t) = −√ sin φ(t), √ cos φ(t), √ , |φ(t)| ˙ R 2 ω 2 + b2 R 2 ω 2 + b2 R2 ω 2 + b2
⃗v (t) =
−Rφ(t) ˙ sin φ(t), Rφ(t) ˙ cos φ(t),
∫t0 s[0,t0 ] = 0
v(t) =
√ |φ(t)| ˙ R2 ω 2 + b2 dt. ω
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
50
P°i derivování i integrování se s absolutními hodnotami funkcí ²patn¥ po£ítá, nehled¥ k tomu, ºe derivace absolutní hodnoty z funkce nemusí obecn¥ existovat, p°estoºe derivace z funkce
φ(t) s £asem stále φ(t) ˙ > 0. Pak platí ( ) Rω Rω b ⃗ τ (t) = − √ sin φ(t), √ cos φ(t), √ , R2 ω 2 + b2 R2 ω 2 + b2 R2 ω 2 + b2
samotné t°eba existuje. Proto si situaci zjednodu²me p°edpokladem, ºe úhel nar·stá, tj.
∫t0 s[0,t0 ] =
φ(t) √ 2 2 φ(t) ˙ √ 2 2 R ω + b2 dt = R ω + b2 . ω ω
0 Abychom zjistili délku jednoho závitu, musíme ur£it okamºik
⃗ r(t0 ) = (R, 0, 2πb/ω).
t0 ,
ve kterém je poloha £ástice
Tento okamºik je dán podmínkou
b 2πb φ(t0 ) = =⇒ φ(t0 ) = 2π. ω ω Pak
s[0,t0 ] =
2πb √ 2 2 R ω + b2 . ω
Pro délku závitu jsme skute£n¥ dostali stejný výsledek, jako p°i rovnom¥rném pohybu. Pokra£ujme tedy výpo£tem sm¥°ujícím k získání k°ivosti. Platí
⃗ τ˙ (t) =
( ) Rω φ(t) ˙ Rω φ(t) ˙ −√ cos φ(t), − √ sin φ(t), 0 =⇒ R2 ω 2 + b2 R 2 ω 2 + b2 ⃗ n(t) =
(
⃗ τ˙ (t) = (− cos φ(t), − sin φ(t), 0) , |⃗ τ (t)|
) Rω cos φ(t), − √ , R2 ω 2 + b2 R2 ω 2 + b2 R2 ω 2 + b2 ( ) ˙ ˙ bφ(t) bφ(t) ˙ bφ(t) ⃗ ν˙ (t) = ⃗ ν (t) = √ cos φ(t), √ sin φ(t), 0 , |⃗ ν˙ (t)| = √ , R 2 ω 2 + b2 R 2 ω 2 + b2 R2 ω 2 + b2 ⃗ ν (t) =
b
√
κ(t) =
sin φ(t), − √
|τ˙ (t)| Rω 2 = 2 2 , v(t) R ω + b2
b
γ(t) =
bω |ν(t)| ˙ = 2 2 . v(t) R ω + b2
Výsledky získané pro k°ivost a torzi se podle o£ekávání skute£n¥ shodují s p°ípadem rovnom¥rného pohybu. Pro úplnost vypo£teme je²t¥ te£né a normálové zrychlení zde jiº samoz°ejm¥ shodu neo£ekáváme. Platí
√
R2 ω 2 + b2 φ(t) ¨ ⃗ τ (t) = (−Rφ(t) ¨ sin φ(t), Rφ(t) ¨ cos φ(t), bφ(t)) ¨ , ω ( ) ⃗an (t) = v 2 (t)κ(t)⃗ n(t) = −Rφ˙ 2 (t) cos φ(t), −Rφ˙ 2 (t) cos φ(t), 0 .
⃗aτ (t) = v(t)⃗ ˙ τ (t) =
Pro kontrolu vypo£t¥te vektorový sou£et te£ného a normálového zrychlení. Pokud jsme po£ítali správn¥, m¥li byste dostat celkové zrychlení. To si samoz°ejm¥ musíte rovn¥º vypo£ítat jako
♠
derivaci rychlosti.
P°íklad 1.8. Te£né a normálové zrychlení pomocí ⃗r(t). Vyjád°íme te£né a normálové zrychlení pomocí vektorové funkce
⃗ r(t)
a jejích derivací. Vyuºi-
jeme výsledk· p°íkladu 1.6.
⃗aτ =
¨ ⃗ r˙ ⃗ r ˙ dv ⃗ τ = 2⃗ r, dt ˙⃗ r
⃗an = κv 2 ⃗ n=
2 ¨ ¨ ⃗ r⃗ r˙ − ⃗ r˙ (⃗ r˙ ⃗ r) . 2 ˙⃗ r
♠
1.3. MECHANICKÝ STAV ÁSTICE A JEHO ASOVÝ VÝVOJ 1.3.5
51
Úhlové charakteristiky pohybu £ástice
Zvlá²t¥ jednoduchým a pro aplikace velmi uºite£ným p°ípadem pohybu je pohyb po kruºnici. V p°edchozích úvahách a p°íkladech jsme se jím jiº £áste£n¥ zabývali práv¥ proto, abychom co nejjednodu²eji vystihli charakteristiky k°ivo£arého pohybu. Nyní pohyb po kruºnici rozebereme d·kladn¥ v jeho nejobecn¥j²í podob¥. P°i vhodné volb¥ soustavy sou°adnic je popsán parametrickými rovnicemi tvaru
⃗r(t) = (R cos φ(t), R sin φ(t), 0), kde
φ(t)
je libovolná funkce £asu. Tato funkce vyjad°uje
ného bodu na kruºnici o polom¥ru
R
v okamºiku
t.
úhlovou polohu
(1.38) hmot-
v ( t) y
R y ( t) r ( t)
e2
ϕ( t)
O e
3
e1
x ( t)
x
.
+
z
ω (t) = ϕ(t) e3 v =ω r
Obr. 1.16: Pohyb po kruºnici
φ(t) je m¥°en jako kladný proti sm¥ru chodu hodinových ru£i£ek. Vzhledem 2 2 2 k vazebním podmínkám kladeným na pohyb £ástice (x (t) + y (t) = R , z(t) = Úhel
0)
je popis její polohy pomocí funkce
φ(t)
úplný. Úhlové poloze lze formáln¥
p°isoudit vektorový charakter vztahem
φ ⃗ (t) = φ(t)⃗e3 .
(1.39)
Úhlová rychlost a úhlové zrychlení Veli£iny
ω ⃗ (t) = φ(t)⃗ ˙ e3 = (0, 0, φ(t)), ˙
(1.40)
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
52
⃗ε(t) = φ(t)⃗ ¨ e3 = (0, 0, φ(t)) ¨ p°edstavují
úhlovou rychlost úhlové zrychlení a
.
P°i pohybu po kruºnici je popis pomocí úhlových veli£in jist¥ mimo°ádn¥ výhodný a jednoduchý. P°esto v²ak £asto pot°ebujeme znát, jaká je oby£ejná rychlost, resp. oby£ejné zrychlení £ástice pohybující se po kruºnici. Proto nyní vyjád°íme rychlost a zrychlení pomocí úhlových veli£in, ale také naopak. Vzhledem k ur£ité pracnosti výpo£t· uvedeme pouze výsledné vztahy, jejichº odvození ponecháme pro druhé £tení. Pro p°ípad znázorn¥ný na Obr. 1.16 je situace geometricky velmi názorná.
⃗r(t) a její rychlost ⃗v (t) leºí v rovin¥ kruºnice, tj. v rovin¥ ω ⃗ (t) je na tuto rovinu kolmá. Pro velikosti vektor· ⃗ r(t), ⃗v (t) a ω ⃗ (t) platí v(t) = Rω(t) = r(t)ω(t). Je proto z°ejmé, Polohový vektor £ástice
xOy
a jsou na sebe kolmé. Úhlová rychlost
ºe
⃗v (t) = ω ⃗ (t) × ⃗r(t) = −R⃗ ω (t) × ⃗n(t).
(1.41)
Podobnou geometrickou úvahu provedeme i pro zrychlení. Vyjdeme ze vztahu pro velikost rychlosti
v(t) = Rω(t)
a zderivujeme jej. Dostaneme
v(t) ˙ = Rω(t) ˙ .
Pak
⃗aτ (t) = v(t)⃗ ˙ τ (t) = Rω(t)⃗ ˙ τ (t), Z de nice pohyblivého reperu je z°ejmé, ºe
⃗an (t) = ω 2 (t)R ⃗n(t). ⃗τ = −⃗ν × ⃗n,
⃗aτ (t) = ω(t)⃗ ˙ ν (t) × (−R⃗n(t)) = ⃗ε(t) × (−R⃗n(t)) ,
takºe je nakonec
⃗an (t) = ω 2 (t)R ⃗n(t).
(1.42)
Vektorovým vynásobením rychlosti (1.41), resp. te£ného zrychlení ze vztahu (1.42) vektorem
⃗ n(t)
zprava dostáváme
⃗v (t) × ⃗ n(t) = −R (⃗ ω (t) × ⃗ n(t)) × ⃗ n(t) = R⃗ ω (t), ⃗aτ (t) × ⃗ n(t) = −R (⃗ ε(t) × ⃗ n(t)) × ⃗ n(t) = R⃗ ε(t).
Naopak, vyjád°ení úhlové rychlosti, resp. úhlového zrychlení pomocí rychlosti, resp. te£ného zrychlení je následující:
ω ⃗ (t) =
⃗v (t) × ⃗n(t) , R
⃗ε(t) =
⃗aτ (t) × ⃗n(t) . R
(1.43)
Vztah mezi oby£ejnými a úhlovými veli£inami je moºné také odvodit pomocí parametrického vyjád°ení trajektorie p°i obecn¥ nerovnom¥rném pohybu po kruºnici sou°adnicové rovin¥
xOy .
nulový, má toto parametrické vyjád°ení tvar Platí
x2 + y 2 = R 2
leºící v
x x(t) = R cos φ(t), y(t) = R sin φ(t), z(t) = 0.
Je-li po£áte£ní úhel, který svírá polohový vektor £ástice s osou
⃗v (t) = (−Rφ(t) ˙ sin φ(t), Rφ(t) ˙ cos φ(t), 0) = ω ⃗ (t) × ⃗ r(t), ⃗a(t) = (−Rφ(t) ¨ sin φ(t) − Rφ˙ 2 (t) cos φ(t), Rφ(t) ¨ cos φ(t) − Rφ˙ 2 sin φ(t), 0) =
1.3. MECHANICKÝ STAV ÁSTICE A JEHO ASOVÝ VÝVOJ
53
= (−Rφ(t) ¨ sin φ(t), Rφ(t) ¨ cos φ(t), 0) + (−Rφ˙ 2 (t) cos φ(t), −Rφ˙ 2 (t) sin φ(t), 0) = v 2 (t) ⃗ n(t) =⇒ R 2 v (t) ⃗an = ⃗ n(t) = ω 2 (t)R⃗ n(t). R
=⃗ ε(t) × ⃗ r(t) + =⇒ ⃗aτ = ⃗ ε(t) × ⃗ r(t),
Pomocí vztah· (1.43) zobecníme de nice úhlové rychlosti a úhlového zrychlení na p°ípad libovolného k°ivo£arého pohybu:
ω ⃗ (t) =
⃗v (t) × ⃗n(t) , R(t)
⃗ε(t) =
⃗aτ (t) × ⃗n(t) . R(t)
(1.44)
Toto zobecn¥ní je dáno moºností náhrady pohybu v in nitezimáln¥ blízkém okolí kaºdého bodu na obecné trajektorii pohybem po p°íslu²né oskula£ní kruºnici.
P°íklad 1.9. Úhlové veli£iny pomocí ⃗r(t). Podobn¥ jako v p°ípad¥ geometrických charakteristik trajektorie m·ºeme také úhlové kinematické veli£iny
ω ⃗ (t)
a
⃗ ε(t)
vyjád°it p°ímo pomocí vektorové funkce
⃗ r(t)
a jejích derivací. Op¥t
je t°eba trocha trp¥livosti p°i po£ítání. Platí
√ 2 ¨2 ¨ r − (⃗ r˙ ⃗ r)2 ⃗ r˙ ⃗
2 ¨ ¨ ⃗ r⃗ r˙ − ⃗ r˙ (⃗ r˙ ⃗ r)
ω ⃗ = κ ⃗v × ⃗ n=⃗ r˙ × √ 2 ˙ 2 ¨2 ¨ ⃗ r˙ [⃗ r ⃗ r − (⃗ r˙ ⃗ r)2 ] ⃗ ε = κ⃗aτ × ⃗ n=
2 ¨ ¨ ¨ ⃗ r˙ (⃗ r˙ ⃗ r) ⃗ r(⃗ r˙ ) − ⃗ r˙ (⃗ r˙ ⃗ r) × √ 2 2 ˙ 2 ¨2 ⃗ r˙ ˙⃗ ˙ ¨ r [⃗ r ⃗ r − (⃗ r⃗ r )2 ]
˙2 3
(⃗ r )2 √ 2 ¨2 ¨ r − (⃗ r˙ ⃗ r )2 ⃗ r˙ ⃗ ˙2 3
(⃗ r )2
=
¨ ⃗ r˙ × ⃗ r , 2 ⃗ r˙
¨ = (⃗ r˙ × ⃗ r)
¨ ⃗ r˙ ⃗ r . 2 (⃗ r˙ )2
♠
P°i výpo£tu jsme vyuºili výsledk· p°íklad· 1.6 a 1.8.
1.3.6
Obrácená úloha: Od zrychlení k trajektorii I
V dosavadních úvahách jsme vycházeli ze znalosti trajektorie hmotného bodu zadané parametricky vektorovou funkcí £asu
⃗r = ⃗r(t),
z níº bylo moºné ur£it
v²echny geometrické charakteristiky trajektorie i d·leºité kinematické veli£iny. V konkrétních fyzikálních situacích v²ak budeme postaveni p°ed úlohu práv¥ opa£nou, jejímº cílem bude parametrické rovnice trajektorie teprve nalézt, a to na základ¥ vyjád°ení zrychlení v závislosti na poloze £ástice, její rychlosti
pohybových zákon·
a na £ase. K závislosti uvedeného typu vede matematická formulace klí£ových zákon· mechaniky, tzv.
, které uvád¥jí do souvislosti kinema-
tické veli£iny charakterizující pohyb £ástice a její interakce s okolními objekty. P°esv¥d£íme se o tom ve t°etí kapitole. Matematicky nejjednodu²²í °e²ení obrácené úlohy odpovídá situacím, kdy pohybové zákony vedou k vyjád°ení zrychlení
p°ímou integrací
jako pouhé funkce £asu. V takových p°ípadech lze parametrické vyjád°ení trajektorie získat
. I fyzikáln¥ jsou tyto situace reálné. P°edstavují
nap°íklad pohyb £ástic v homogenních £asov¥ prom¥nných i neprom¥nných polích.
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
54
P°edpokládejme, ºe zrychlení je zadáno spojitou vektorovou funkcí £asu ⃗ a = ⃗a(t). Rychlost £ástice je pak dána vektorovou funkcí ⃗v = ⃗v (t) vyhovující vztahu d⃗ v (t) (1.19), tj. = ⃗a(t). Tato funkce není ur£ena jednozna£n¥. Vztah (1.19) dt chápaný jako rovnice pro neznámou vektorovou funkci ⃗ v (t) má nekone£n¥ mnoho °e²ení navzájem se li²ících o konstantní vektor. Nech´ ⃗ vp (t) je libovolné z t¥chto °e²ení, tzv.
partikulární °e²ení
rovnice (1.19). Pak vztah
⃗ , ⃗v (t) = ⃗vp (t) + C kde
⃗ C
(1.45)
obecné °e²ení
je libovolný konstantní vektor, popisuje v²echny vektorové funkce, které
rovnici vyhovují a p°edstavuje její
. Konkrétní fyzikální situaci, tj.
pohybu £ástice po její trajektorii, v²ak musí odpovídat jednozna£n¥ ur£itý vektor
⃗. C
Zjistit jej lze jen tehdy, je-li známa rychlost £ástice v n¥kterém okamºiku,
nap°íklad pro
t = 0: ⃗v (0) = ⃗v0 .
po£áte£ní podmínku
(1.46)
d⃗ v (t) dt = ⃗a(t) . (Tato podmínka je vektorová a je ekvivalentní t°em podmínkám skalárním: Uvedený vztah p°edstavuje tzv.
pro °e²ení rovnice
vx (0) = v0x , vy (0) = v0y , vz (0) = v0z .) Dosazením po£áte£ní podmínky do ⃗ = ⃗v0 − ⃗vp (0) . Dané konkrétní situaci pak obecného °e²ení (1.45) dostaneme C odpovídá partikulární °e²ení
⃗v (t) = ⃗vp (t) − ⃗vp (0) + ⃗v0 .
(1.47)
Postup vedoucí k nalezení parametrického vyjád°ení trajektorie je zcela analogický a vede k výsledku
⃗r(t) = ⃗rp (t) − ⃗rp (0) + ⃗r0 ,
(1.48)
kde ⃗ rp (t) je libovolná z vektorových funkcí vyhovujících rovnici d⃗rdt(t) = ⃗v (t) a ⃗r(0) = ⃗r0 p°edstavuje po£áte£ní polohu £ástice. Výsledky (1.47) a (1.48) °e²ení obrácené úlohy lze zapsat také ve tvaru
∫t ⃗v (t) = ⃗v (0) +
⃗a(τ )dτ,
(1.49)
0
∫t ⃗r(t) = ⃗r(0) +
∫t ⃗v (τ ) dτ = ⃗r(0) + ⃗v (0)t +
0
0
∫τ
⃗a(τ ′ ) dτ ′ dτ,
(1.50)
0
nebo obecn¥ji
∫t ⃗v (t) = ⃗v (t0 ) +
⃗a(τ ) dτ , t0
(1.51)
1.3. MECHANICKÝ STAV ÁSTICE A JEHO ASOVÝ VÝVOJ ∫t ⃗r(t) =⃗r(t0 ) +
∫t ⃗v (τ ) dτ =⃗r(t0 ) + ⃗v (t0 )(t−t0 ) +
t0
t0
∫τ
55
⃗a(τ ′ ) dτ ′ dτ.
(1.52)
t0
po£áte£ní rychlost po£áte£ní polohu
Je vid¥t, ºe pro nalezení parametrického vyjád°ení trajektorie ze známé £asové závislosti zrychlení je t°eba zadat je²t¥ £ástice. Soubor údaj·
a
(⃗r(t0 ), ⃗v (t0 )) = (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ), vx (t0 ), vy (t0 ), vz (t0 )) ur£uje
po£áte£ní
stav £ástice, soubor
(⃗r(t), ⃗v (t)) = (x(t), y(t), z(t), vx (t), vy (t), vz (t)) charakterizuje funkce
⃗a(t)
mechanický stav £ástice
v obecném okamºiku. Znalost vektorové
a po£áte£ního stavu umoº¬uje ur£it stav £ástice v libovolném oka-
mºiku.
P°íklad 1.10. Pohyb v tíhovém poli Zem¥ obrácená úloha. V²echny objekty nacházející se v homogenním tíhovém poli Zem¥ se pohybují . s konstantním zrychlením ⃗ g o velikosti g = 9, 81 ms−2 , samoz°ejm¥ za p°edpokladu, ºe pohybu nejsou kladeny ºádné p°ekáºky a ºe zanedbáme i jeho brzd¥ní
normální
okolním vzduchem. (Velikost tíhového zrychlení se v r·zných místech na zem-
tíhové zrychlení
ském povrchu pon¥kud li²í. De nitoricky, tj. p°esn¥, je zavedeno tzv. g = 9, 80665 ms−2 .) Je tedy ⃗a(t) = ⃗g . Pak podle (1.50) dostáváme
⃗r(t) = ⃗r(0) + ⃗v (0)t +
1 2 ⃗g t . 2
P°edstavu o konkrétním tvaru trajektorie získáme snadn¥ji, jestliºe zapí²eme sloºky vektoru
⃗r(t)
ve vhodn¥ zvolené soustav¥ sou°adnic, spjaté pro jednodu-
chost s fyzikáln¥ £i geometricky význa£nými sm¥ry. Fyzikáln¥ význa£ným sm¥-
svislý sm¥r
rem je nepochybn¥ sm¥r tíhového zrychlení v daném míst¥ na povrchu Zem¥, . S ním spojíme osu
z,
zatímco sou°adnicovou rovinu
yOz
zvolíme
tak, aby v ní leºel vektor po£áte£ní rychlosti (tato volba není jednozna£ná, pokud je
⃗v (0) ∥ ⃗g ).
Po£átek soustavy sou°adnic lze bez újmy na obecnosti
interpretace výsledk· volit tak, aby
⃗r(0) = ⃗0 .
Situaci ilustruje Obr. 1.17.
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
56
z
v0 α
O
y g
x
Obr. 1.17: Volba soustavy sou°adnic p°i pohybu objektu v homogenním tíhovém poli Zem¥
Pak
x(t) = 0 , y(t) = v0 t cos α , z(t) = v0 t sin α − yOz
α ̸=
π 3π 2 , 2 parametrické rovnice paraboly leºící s vrcholem
Uvedené vztahy p°edstavují pro v sou°adnicové rovin¥
1 2 gt . 2
[ ] v2 v2 V = 0 , 0 sin α cos α , 0 sin2 α , g g π 2
svislý vzh·ru dorovný pádu pro
α =
, resp.
3π 2
vrh svislý dol· α = 0 vrh ²ikmý
α =
resp.
. Pro
, v ostatních p°ípadech o
. Ozna£íme-li
v0
vrh vrh vovolném
je trajektorie p°ímková a pohybem je tzv. . Pro
α = π jde o ⃗v0 = ⃗0 hovo°íme o
a pro
velikost po£áte£ní rychlosti, pak
( ) 1 0 , ±v0 t , − gt2 , 2 ( ) 1 2 π 3π : ⃗r(t) = 0 , 0 , ±v0 t − gt , α= , 2 2 2 ( ) 1 ⃗v0 = ⃗0 : ⃗r(t) = 0 , 0 , − gt2 . 2 α = 0, π : ⃗r(t) =
♠ P°íklad 1.11. Pohyb po cykloid¥ obrácená úloha.
1.3. MECHANICKÝ STAV ÁSTICE A JEHO ASOVÝ VÝVOJ
57
Hmotný bod se pohybuje se zrychlením
⃗a(t) = (−a0 cos ωt , −a0 sin ωt , 0) , ω [s−1 ] a a0 [ms−2 ] jsou kladné konstanty. V okamºiku t = 0 s je jeho rychlost ⃗ v (0) = ⃗v0 = (0, v0 , 0) [m s−1 ] , v0 > 0 a poloha ⃗r(0) = ⃗r0 = (R, 0, 0) [m], R > 0. Najdeme parametrické vyjád°ení trajektorie hmotného bodu, ur£íme, kde
o jakou k°ivku se jedná a zjistíme, za jakých p°edpoklad· se stane kruºnicí. Vyuºijeme vztah· (1.50):
∫t
⃗v (t) =
∫t −a0 cos ωτ dτ , v0 +
0
= ⃗r(t) = R +
(
∫t
R−
−a0 sin ωτ dτ , 0 =
0
( a ) a0 0 − sin ωt , (cos ωt − 1) + v0 , 0 . ω ω
0
=
a0 − sin ωτ dτ , ω
∫t
a0 [(cos ωτ − 1) + v0 ] dτ , 0 = ω
0
( ) a0 a0 a0 ) a0 + 2 cos ωt , v0 − t + 2 sin ωt , 0 . 2 ω ω ω ω
Trajektorií hmotného bodu je tedy k°ivka leºící v sou°adnicové rovin¥
xOy .
Úpravou jejího parametrického vyjád°ení
x = R−
( a0 a0 a0 ) a0 + cos ωt , y = v − t + 2 sin ωt 0 ω2 ω2 ω ω
na tvar
[
( [ ( a0 )]2 a0 ) ] 2 a2 x− R− 2 + y − v0 − t = 04 ω ω ω
získáme geometrickou p°edstavu o této k°ivce: Hmotný bod se v kaºdém okaa0 mºiku nachází na kruºnici o polom¥ru ω 2 , jejíº st°ed v²ak není pevný. Pohybuje a a se rovnom¥rn¥ rychlostí o velikosti v0 − 0 po p°ímce o rovnici x = R − 02 . ω ω Situaci znázor¬uje následující obrázek, kde je trajektorie zakreslena pro hod. π −1 π2 −2 . noty R = 3 cm, ω = , a0 = = 4, 9 cm s−2 , v0 = 32 π cm s−1 = 2 s 2 cm s 4, 7 cm s−1 , v £asovém intervalu t ∈ [0, 3T ], kde T = 4 s je perioda funkcí sin ωt a
cos ωt.
Pro
t≥T
se znázorn¥ný základní motiv opakuje.
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
58
16
12
8
4
0 -1
0
1
2
3
Obr. 1.18: Pohyb hmotného bodu po cykloid¥
cykloida prodlouºenou zkrácenou
v0 −
cykloidu prostou,
a0 ω jde o 2a0 nebo . V p°ípad¥ cykloidy prosté je v0 = ω a velikost a0 a0 rychlosti pohybu st°edu kruºnice vs = v0 − = je shodná s obvodovou rychω ω a a lostí bodu vobv = ω 02 = 0 , jako by se kruºnice valila po p°ímce p1 . V p°ípad¥ ω ω K°ivkou je
. Podle konkrétní hodnoty
vobv > vs , jako by kruºnice p°i valení podkluzovala, pro vobv < vs . K°ivka na Obr. 1.18 je cykloidou proa dlouºenou. Trajektorie degeneruje v kruºnici, je-li v0 − 0 = 0 . Hmotný bod se ω a pak po ní pohybuje obvodovou rychlostí v0 , polom¥r kruºnice je r = 02 , veliω 2 kost dost°edivého zrychlení je a0 = ωv0 , tj. a0 = ω r , v0 = ωr . V posledních prodlouºené cykloidy je
zkrácenou cykloidu pak platí
vztazích poznáváme známé vzorce pro rovnom¥rný pohyb po kruºnici. V p°ía pad¥ volby R = 02 jde o kruºnici se st°edem v po£átku soustavy sou°adnic. ω
♠
1.4 Popis pohybu r·znými pozorovateli kaºdý to vidí jinak transforma£-
Konkrétní £íselné údaje, jimiº jsou reprezentovány události v £asoprostoru, jsou
ních vztah·
závislé na volb¥ vztaºné soustavy. Vyvstává tak problém nalezení mezi dv¥ma soubory údaj·
U = (x1 , x2 , x3 , t)S ,
U = (x′1 , x′2 , x′3 , t′ )S ′ ,
1.4. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI KADÝ TO VIDÍ JINAK
59
jimiº popisují jednu a tutéº událost U dva pozorovatelé ve vztaºných sousta′ vách S a S . Transforma£ními vztahy rozumíme vyjád°ení kterékoli z obou £tve°ic £íselných údaj· pomocí druhé, v závislosti na veli£inách charakterizu′ jících vzájemný pohyb vztaºných soustav. Sledujeme-li v soustavách S a S
Nerelativistický p°ístup
posloupnost událostí v £ase, nap°íklad pohyb £ástice, je d·leºité znát i p°evodní vztahy mezi rychlostmi a zrychleními.
k problematice
transforma£ních vztah· vychází z p°edstavy, ºe vzájemná rychlost objekt· není nijak omezena. Je proto dob°e pouºitelný v p°ípadech, kdy jsou v²echny posuzované rychlosti o n¥kolik °ád· men²í neº rychlost sv¥tla ve vakuu, která v p°írod¥ p°edstavuje rychlostní mez .
1.4.1
Okamºité ²í°ení interakce a absolutnost sou£asnosti
okamºitém ²í°ení interakce
Jedním z pilí°· newtonovské mechaniky je p°edpoklad o neomezen¥ rychlém ²í°ení vzájemného p·sobení objekt·, tzv.
. Názorn¥ jej
lze vyloºit nap°íklad pomocí p°edstavy dvou t¥les (popisovaných v téºe vztaºné soustav¥ spojené s kterýmkoli z nich, nebo s libovolným t°etím t¥lesem), která na sebe p·sobí na dálku prost°ednictvím gravita£ní £i elektromagnetické interakce. Informace o jakékoliv zm¥n¥ odehrávající se na jednom z t¥les dostihne druhé z nich okamºit¥, tj. bez £asového zpoºd¥ní, a to bez ohledu na vzdálenost t¥les a charakter jejich vzájemného pohybu. Jestliºe tedy dv¥ události
U2
nastanou ve vztaºné soustav¥
S
U1
a
spojené s prvým z obou t¥les sou£asn¥, ′ tj. t1 = t2 , budou i pozorovatelem v soustav¥ S zaznamenány jako sou£asné, ′ ′ tj. t1 = t2 . Sou£asnost událostí je proto v newtonovské mechanice absolutním pojmem. M¥°ení £asu v r·zných vztaºných soustavách se m·ºe li²it jedin¥ rozdílností volby po£átku £asové osy, kterou lze odstranit vhodným se°ízením hodin. Získávame tak d·leºitý transforma£ní vztah pro popis událostí r·znými ′ ′ ′ ′ pozorovateli: Nech´ U = (x, y, z, t)S a U = (x , y , z , t )S ′ . Pak p°i vhodném se°ízení hodin je
t = t′ .
(1.53)
Tento výsledek je matematickým zápisem skute£nosti, ºe £as plyne ve v²ech vztaºných soustavách stejn¥. Lze mu p°isoudit roli parametru, spole£ného popisu d¥j· ve v²ech vztaºných soustavách. V dal²ích úvahách jiº budeme uºívat p°i ozna£ení £asu (jako nezávisle prom¥nné, jejímiº funkcemi jsou v²echny kinematické veli£iny) spole£ného symbolu
1.4.2
t
bez ohledu na volbu vztaºné soustavy.
P°echod mezi soustavami sou°adnic jako geometrický problém
Výhradn¥ geometrickou £i algebraickou úlohou je nalezení transforma£ních vztah· pro p°echod mezi dv¥ma kartézskými soustavami sou°adnic, které jsou v·£i sob¥ nato£eny tak, ºe jejich vzájemná orientace je nezávislá na £ase. P°edpokládejme, ºe tyto soustavy mají spole£ný
S =< O; ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 > , S ′ =< O; ⃗e′1 , ⃗e′2 , ⃗e′3 > . Kaºdý z vektor· ⃗e′1 , ⃗e′2 , ⃗e′3 lze ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 a naopak, kaºdý z vektor· ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 je závislý na vektorech ⃗ e′1 , ⃗e′2 , ⃗e′3 . Existují tedy soubory reálných £ísel {τij }i,j∈{1,2,3}
po£átek, tj.
vyjád°it jako lineární kombinaci vektor· lineárn¥
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
60
a
{σij }i,j∈{1,2,3}
tak, ºe platí
⃗e′i =
3 ∑
τij ⃗ej , ⃗ei =
j=1
3 ∑
σij ⃗e′j , i ∈ {1, 2, 3} .
(1.54)
j=1
T = (τij )i,j∈{1,2,3} , resp. S = (σij )i,j∈{1,2,3} jsou matice p°echodu od báze < ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 > k bázi < ⃗ e′1 , ⃗e′2 , ⃗e′3 > v R3 , resp. matice opa£ného p°echodu. Protoºe báze < ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 > ′ ′ i < ⃗ e1 , ⃗e2 , ⃗e′3 > , de nující spolu s po£átkem O dv¥ kartézské soustavy sou°adnic, jsou ortonormální, platí pro prvky matic T a S tzv. relace ortogonality, vyplývající ze vztah· ⃗ei⃗ek = δik , ⃗e′i⃗e′k = δik : 3 ∑
3 ∑
τij τkj = δik ,
j=1 Symbol
i ̸= j . ∑3
δik
Kroneckerovo delta,
p°edstavuje
T
Prvky matic
j=1 τij δjk
= τik .
a
S
σij σkj = δik .
(1.55)
j=1 nabývající hodnoty
1
i=ka ∑hodnoty 0 pro ⃗e′i⃗ek = 3j=1 τij ⃗ej ⃗ek =
pro
mají názorný geometrický význam: Platí
Sou£asn¥ v²ak je
⃗e′i⃗ek =| ⃗e′i || ⃗ek | cos φik = cos φik , φik =≺ (⃗e′i⃗ek ) je úhel mezi vektory ⃗e′i a ⃗ek . Pak τik = cos φik a analogicky σik = cos φki . Je vid¥t, ºe matice T a S jsou navzájem transponované. (V obecném p°ípad¥, kdy na báze < ⃗ e1 , ⃗e2 , ⃗e3 > a < ⃗e′1 , ⃗e′2 , ⃗e′3 > není kladen poºadavek ortonormálnosti, jsou matice T a S navzájem inverzní.) kde
Uvaºujme o hmotném bodu, jehoº pohyb je sledován pozorovateli ve vztaºných sousta-
S a S ′ . Jeho (x1 (t), x2 (t), x3 (t))S
vách
okamºitá poloha je ur£ena polohovým vektorem a
(x′1 (t), x′2 (t), x′3 (t))S ′ 3 ∑
⃗ r(t) =
xi (t)⃗ei , ⃗ r(t) =
Úpravou nap°íklad prvého z obou vyjád°ení vektoru
⃗ r(t) =
xi (t)⃗ei =
3 ∑ i=1
i=1
3 ∑
⃗ r = ⃗ r(t) o sloºkách a S ′ . Je tedy
x′j (t)⃗e′j .
j=1
i=1
3 ∑
S
vzhledem k soustavám
xi (t)
3 ∑
⃗ r(t)
σij ⃗e′j
=
s vyuºitím vztah· (1.54) dostáváme:
3 ∑
(
j=1
j=1
3 ∑
) xi (t)σij
⃗ej .
i=1
Odtud je z°ejmé, ºe
x′j (t) =
3 ∑
xi (t)σij , xj (t) =
i=1 P°i interpretaci trojic sloºek
3 ∑
x′i (t)τij .
(1.56)
i=1
(x) = (x1 (t) x2 (t) x3 (t))S
a
(x′ ) = (x′1 (t) x′2 (t) x′3 (t))S ′
jako
°ádkových matic m·ºeme uºít maticového zápisu vztah· (1.56), tj.
(x′ ) = (x)S , (x) = (x′ )T .
(1.57)
Ozna£me analogicky
⃗v (t) =
3 ∑ i=1
vi (t)⃗ei =
3 ∑ j=1
vj′ (t)⃗e′j ,
⃗a(t) =
3 ∑
ai (t)⃗ei =
i=1
3 ∑
a′j (t)⃗e′j
j=1
⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 resp. ⃗e′1 , ⃗e′2 , ⃗e′3 . (v) = (v1 (t) v2 (t) v3 (t))S , (v ′ ) = (v1′ (t) v2′ (t) v3′ (t))S ′ , (a) = (a1 (t) a2 (t) a3 (t))S , (a′ ) = (a′1 (t) a′2 (t) a′3 (t))S ′ jsou °ádkové matice tvo°ené sloºkami vektor· rychlosti a zrychlení vzhledem k soustavám S a S ′ . Pak vzhledem k nezávislosti matic T a S na £ase získáváme rychlost a zrychlení, vyjád°ené jako lineární kombinace vektor·
Nech´
pro sloºky rychlosti a zrychlení transforma£ní vztahy stejného tvaru jako pro polohový vektor:
(v ′ ) = (v)S , (v) = (v ′ )T , (a′ ) = (a)S , (a) = (a′ )T .
(1.58)
1.4. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI KADÝ TO VIDÍ JINAK
61
Vztahy tohoto typu platí pro sloºky libovolného vektoru vzhledem k soustavám
S
a
S′ .
Na
základ¥ získaných výsledk· lze konstatovat, ºe £asov¥ neprom¥nné nato£ení sou°adnicových soustav je fyzikáln¥ nepodstatné.
P°íklad 1.12. Sou°adnicové p°echody kartézské soustavy. P°echod mezi kartézskými soustavami sou°adnic
S ′ =< O′ ; ⃗e′1 , ⃗e′2 , ⃗e′3 >
S =< O; ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 >,
φ11 = π . Najdeme matici p°echodu T a konkrétní tvar transforma£ních vztah· 4 √ √ 1 (1.56). P°edev²ím platí τij = cos φij , tj. τ11 = , τ12 = 23 , τ33 = 22 . V d·sledku relací 2 √ 1 2 3 2 1 2 +τ 2 +τ 2 = 1 =⇒ τ 2 2 2 ortogonality (1.55) je τ11 13 = (1−( 2 ) −( 2 ) ) 2 = 0 , τ13 +τ23 +τ33 = 12 13 √ 2 1 =⇒ τ23 = ± 2 . Pak se spole£ným po£átkem a pravoto£ivými ortonormálními bázemi je zadán t¥mito údaji:
π 3
, φ12 =
π 6
, φ33 =
√
1
2 T = τ21 τ31
3 2
0 ±
τ22
√
2 2
√
.
2 2
τ32
Relace ortogonality umoºní nalézt i zbývající prvky matice p°echodu:
√ √ 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 τ21 + τ22 = 0 , τ21 + τ22 + = 1 , τ31 + τ32 = 0 , τ31 + τ32 + =1. 2 2 2 2 2 2
e²ením této soustavy rovnic a uváºením zbývajících relací ortogonality p°i rozhodování o znaméncích odmocnin dostáváme pro matici
√
1 2
√ − √3 2 2 √ − √3 2
2
√ √3 2 2 √ √3 2 2
0
1 √ 2 2
√ − 22
1 √ 2 2
√ 2 2
√
1 2
3 2
3 2
− −
0 −
1 √ 2 2
√ 2 2 √ 2 2
1 √ 2 2
T
tyto moºnosti:
√ − √3 2 2 √
,
√3 2 2
,
−
−
3 2
0
1 √ 2 2
√ 2 2
1 √ 2 2
√ 2 2
,
√
1 2 √ √3 2 2
√
1 2
−
√ √3 2 2
3 2
0
1 √ 2 2
√ 2 2
1 √ 2 2
√ 2 2
.
< ⃗e′1 , ⃗e′2 , ⃗e′3 > byla pravoto£ivá. det T = 1 , zatímco u zbývajících platí
Z nich pouze prvé dv¥ vyhovují poºadavku, aby i báze Vyplývá to ze skute£nosti, ºe u t¥chto moºností je
det T = −1 .)
Úloha má tedy dv¥ °e²ení. V²imneme si podrobn¥ji prvého z nich:
1 2
√ √3 T = −2 2 √ − √3 2 2
√ 3 2 1 √ 2 2 1 √ 2 2
0 −
√
2 2
√
2 2
,
S = T
transp
=
1 2 √ 3 2
0
−
√ √3 2 2
−
√ √3 2 2
1 √ 2 2
1 √ 2 2
√
√
−
2 2
2 2
.
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
62
Odpovídající transforma£ní vztahy mají tvar:
x′1 (t) = 12 x1 (t)+
√
3 2
x1 (t) = 12 x′1 (t)−
x2 (t),
x′2 (t) = −
√ √3 2 2
x1 (t)+
x′3 (t) = −
√ √3 2 2
x1 (t)+
2
2
1 √ 1 √
√ 2
2 2
x2 (t)−
√ 3 2
x3 (t),
x2 (t) =
x3 (t),
x3 (t) = −
√ 2
x2 (t)+
2 2
√ √3 2 2
x′1 (t)+
√
2 2
x′2 (t)−
1 √ 2 2
x′2 (t)+
√ √3 2 2
x′2 (t)+
√ 2 2
2
1 √
x′3 (t), 2
x′3 (t),
x′3 (t).
♠
Transforma£ní vztahy vyplývající z druhého °e²ení lze získat analogicky.
1.4.3
Pohyb v r·zných vztaºných soustavách vektorová formulace
Nech´ pohyb hmotného bodu sledují dva pozorovatelé ve vztaºných soustavách S =< O; ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 > , S ′ =< O′ ; ⃗e′1 , ⃗e′2 , ⃗e′3 > . Jakkoli je pohyb soustavy S ′ ′ v·£i soustav¥ S obecný, vºdy je sloºen z translace, tj. pohybu po£átku O
S,
⃗ charakterizované vektorem R(t) = (X1 (t), X2 (t), X3 (t))S , ′ ′ a z rotace soustavy S kolem bodu O , popsané úhlovou rychlostí ω ⃗ (t) =
v·£i soustav¥
(ω1 (t), ω2 (t), ω3 (t))S . vzhledem k soustav¥
Vektorové funkce
S,
⃗ R(t)
a
ω ⃗ (t) ,
zadané jejich sloºkami
povaºujeme za známé.
e3
e2
S
m
r (t) O
r(t) e1
e3
ω(t )
R (t )
S
O
e2
e1 Obr. 1.19: Popis vzájemného pohybu vztaºných soustav
Z Obr. 1.19 plyne vztah mezi polohovými vektory
⃗ ⃗r(t) = ⃗r′ (t) + R(t) .
⃗r(t)
a
⃗r′ (t) : (1.59)
1.4. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI KADÝ TO VIDÍ JINAK
63
Abychom nalezli vztah mezi rychlostmi hmotného bodu ⃗ v (t) = (d⃗r(t)/dt)S a ⃗v ′ (t) = (d⃗r ′ (t)/dt)S ′ , p°edpokládejme nejprve, ºe pohyb soustavy S ′ vzhledem −−−→ ⃗ k S je £ist¥ rota£ní, tj. R(t) = konst., a zjednodu²me situaci je²t¥ poºadavkem ⃗ R(t) = ⃗0 . Uvaºujme o £ástici, která je vzhledem k soustav¥ S ′ v klidu, tj. ′ ⃗v (t) = ⃗0 . Vzhledem k pozorovateli v soustav¥ S tedy vektor ⃗r ′ (t) rotuje spolu ′ ′ se soustavou S kolem bodu O ≡ O úhlovou rychlostí ω ⃗ (t) . ástice, sledovaná v soustav¥ S , se tedy v kaºdém okamºiku nachází na oskula£ní kruºnici se ′ st°edem na sou°adnicové ose x3 a rovina oskula£ní kruºnice je k této ose kolmá (viz Obr. 1.20).
ω
r (t+ ∆ t) ∆s
∆r
∆ϕ
r ( t)
α
r ∆t
.
=
∆s ϕ = r sin α ∆ t = ∆t ∆
= ω r sinα = ω r +
O
Obr. 1.20: K odvození transforma£ního vztahu mezi rychlostmi
Rychlost pohybu £ástice v soustav¥
S , (d⃗r′ (t)/dt)S ,
je pak podle (1.41) dána
vztahem
( ⃗v (t) = Pokud bude rychlost £ástice
d⃗r′ (t) dt
) S
= ω ⃗ (t) × ⃗r′ (t) .
⃗v ′ (t) = (d⃗r′ (t)/dt)S ′
(1.60)
vzhledem k soustav¥
S′
obecn¥ nenulová, pak
(
d⃗r′ (t) dt
)
( =
S
d⃗r′ (t) dt
) S′
+ ω ⃗ (t) × ⃗r′ (t) , tj.
⃗v (t) = ⃗v ′ (t) + ω ⃗ (t) × ⃗r′ (t) .
(1.61)
(1.62)
Poznámka: Rovnost (1.62) není jen transforma£ním vztahem mezi rychlostmi £ástice
⃗v (t)
a
⃗v ′ (t) ,
m¥°enými v navzájem rotujících vztaºných soustavách
S
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
64
⃗ S ′ . Uvádí do souvislosti £asové derivace libovolného vektoru L(t) umíst¥ného ′ ve spole£ném po£átku O ≡ O obou soustav, vztaºené ke kaºdé z nich: ( ( ) ) ⃗ ⃗ dL(t) dL(t) ⃗ = + ω ⃗ (t) × L(t) . (1.63) dt dt ′ a
S
S
′ k S , popsaný ( S vzhledem ) ⃗ (t) = dR(t)/dt ⃗ V , dostáváme nejo-
Vezmeme-li v úvahu i transla£ní pohyb soustavy vektorovou funkcí
⃗ , R(t)
a ozna£íme-li
becn¥j²í p°ípad transforma£ního vztahu mezi rychlostmi ′ bodu vzhledem k soustavám S a S :
S
⃗v (t)
a
⃗v ′ (t)
hmotného
⃗ (t) + ω ⃗v (t) = ⃗v ′ (t) + V ⃗ (t) × ⃗r ′ (t) .
(1.64)
Výraz, o který se li²í rychlosti £ástice v obou soustavách,
⃗ (t) + ω ⃗vu (t) = V ⃗ (t) × ⃗r ′ (t) , souvisí se vzájemným pohybem soustav a nazývá se
(1.65)
uná²ivá rychlost ⃗
uná²ivých rychlostí transla£ního a rota£ního pohybu,
V (t)
a
. Je sou£tem
ω ⃗ (t) × ⃗r ′ (t) .
Uºitím obecného vztahu (1.63) odvodíme nyní transforma£ní vztah pro zrychlení:
( [ ) ]) d d⃗v (t) ′ ′ ⃗ = = ⃗a(t) = ⃗v (t) + V (t) + ω ⃗ (t) × ⃗r (t) dt dt S S ( ) ( ′) ( ) ( ′) ⃗ dV d⃗v d⃗ ω d⃗r = + + × ⃗r′ + ω ⃗× = dt dt S dt S dt S S ( ′) ( ′) d⃗r d⃗v ′ ′ ⃗ +ω ⃗ × ⃗v +⃗ε × ⃗r +⃗ ω× +ω ⃗ × (⃗ ω × ⃗r′ ) = = A+ dt S ′ dt S ′ ( ′) d⃗v ⃗ + 2⃗ = + A ω × ⃗v ′ + ω ⃗ × (⃗ ω × ⃗r′ ) + ⃗ε × ⃗r′ . dt S ′ ( ) ⃗ ⃗ (t)/dt úprav¥ jsme ozna£ili A(t) = dV zrychlení transla£ního pohybu (
P°i
soustavy
S′
vzhledem k
S
a
S
⃗ε(t) = (d⃗ ω (t)/dt)S
úhlové zrychlení rota£ního
pohybu. Uv¥domíme-li si, ºe
⃗a′ (t) = (d⃗v ′ (t)/dt)S ′ je zrychlení sledované £ástice vzhledem k soustav¥
S′ ,
dostáváme:
⃗a(t) = ⃗a′ (t) + ⃗au (t) , ⃗ ⃗au = A(t) + 2⃗ ω (t) × ⃗v ′ (t) + ω ⃗ (t) × (⃗ ω (t) × ⃗r′ (t)) + ⃗ε(t) × ⃗r′ (t) .
(1.66) (1.67)
1.4. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI KADÝ TO VIDÍ JINAK ⃗ Uná²ivé zrychlení ⃗a (t) A(t)
65
je sou£tem zrychlení
u
transla£ního pohybu sou-
S ′ vzhledem k S a zrychlení pohybu rota£ního, sloºeného z p°ísp¥vk· −⃗aC = 2⃗ ω (t) × ⃗v ′ (t) , −⃗aOD = ω ⃗ (t) × (⃗ ω × ⃗r′ (t)) a ⃗ε(t) × ⃗r′ (t) . Výrazy stavy
⃗aC = −2⃗ ω (t) × ⃗v ′ (t),
⃗aOD = −⃗ ω (t) × (⃗ ω (t) × ⃗r′ (t)) a ⃗aE = ε(t) × ⃗r ′ (t) (1.68)
se nazývají
Coriolisovo odst°edivé Eulerovo zrychlení ,
a
.
P°íklad 1.13. Vzájemný pohyb vztaºných soustav £ástice na to£n¥.
S′
rotuje vzhledem k soustav¥ S stálou úhlovou ω ⃗ kolem sou°adnicové osy x3 . Po£átky obou soustav a sou°adnicové ′ ′ ′ osy x3 a x3 trvale splývají, dvojice os x1 , x1 a x2 , x2 splývaly v po£áte£′ ním okamºiku t = 0 . Hmotný bod se pohybuje podél osy x1 stálou rychlostí ′ ′ ⃗v vzhledem k soustav¥ S , p°i£emº v okamºiku t = 0 prochází spole£ným P°edpokládejme, ºe soustava rychlostí
po£átkem vztaºných soustav.
t= 0
x2 = x2
x2
t 0 x2
x2 = v t sin ω t
x1
vt ωt ω
O O
x1 = x1
x3 x3
ω
O O
x1 = v t cosω t
x1
x3 x3 Obr. 1.21: K p°íkladu 1.13
Polohový vektor, rychlost a zrychlení hmotného bodu jsou ve vztaºné soustav¥ S ′ vyjád°eny takto:
⃗r ′ (t) = (v ′ t, 0, 0)S ′ , ⃗v ′ (t) = (v ′ , 0, 0, )S ′ , ⃗a ′ (t) = (0, 0, 0)S ′ . Sloºky vektoru úhlové rychlosti jsou
ω ⃗ = (0, 0, ω)S = (0, 0, ω)S ′ .
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
66
Sloºky vektor· rychlosti ⃗ v ′ (t) a zrychlení ⃗a ′ (t) , charakterizujících pohyb £ás′ tice v soustav¥ S , vztaºené k soustav¥ S jsou
⃗v ′ (t) = (v ′ cos ωt, v ′ sin ωt, 0)S , ⃗a′ (t) = (0, 0, 0)S . Poloha £ástice vzhledem k soustav¥
S
je ur£ena vektorem
⃗r(t) = ⃗r ′ = (v ′ t cos ωt , v ′ t sin ωt , 0)S . Zatímco trajektorií £ástice v soustav¥
S′
je p°ímka, v soustav¥
S
je jí Ar-
chimédova spirála. Polohu £ástice v n¥kterých okamºicích intervalu [0, T ] pro T = 4, 0 s, v ′ = 2, 0 ms−1 , ω = 2πT , v obou soustavách uvádí následující tabulka.
Tabulka 1.5: Pohyb £ástice v navzájem rotujících vztaºných soustavách
t
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
ωt
0,0
π 4
π 2
3π 4
π
5π 4
3π 2
7π 4
2π
x′
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
y′
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
x
0,0
0,0
−322
−4, 0
−522
0,0
√ 7 2 2
8,0
y
0,0
2,0
√ 3 2 2
0, 0
−522
-6,0
−722
√
2 2
√
2 2
√
Trajektorie £ástice v soustav¥ rovná a sm¥°uje doprava, osa
√
√
√
S je znázorn¥na na Obr. 1.22. y je svislá a sm¥°uje vzh·ru.)
0,0
(Osa
x
je vodo-
1.4. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI KADÝ TO VIDÍ JINAK
67
1
-2
-1
0
1
2
3
4
0
-1
-2
-3
Obr. 1.22: Pohyb £ástice v navzájem rotujících vztaºných soustavách
Vyjád°íme rychlost a zrychlení £ástice vzhledem k pozorovateli v soustav¥
S
uºitím transforma£ních vztah· (1.62), (1.66) a (1.67). P°i výpo£tu musíme samoz°ejm¥ pracovat u v²ech vektor· s jejich sloºkami vztaºenými k jedné a téºe soustav¥ sou°adnic, a to soustav¥
⃗a(t)
S,
vzhledem k níº rychlost
⃗v (t)
a zrychlení
£ástice m¥°íme.
⃗v (t) =⃗v ′ (t)+⃗ ω ×⃗r,′ (t)!(v ′ cos ωt, v ′ sin ωt, 0)S+(0, 0, ω)S ×(v ,′ t cos ωt, v ′ t sin ωt, 0)S , ⃗v (t) = (v ′ cos ωt − ωv ,′ t sin ωt , v ′ sin ωt + ωv ′ t cos ωt , 0)S , ⃗a(t) = ⃗a ′ (t) + 2⃗ ω × ⃗v ′ (t) + ω ⃗ × (⃗ ω × ⃗r ′ (t)) = = 2(0, 0, ω)S × (v ′ cos ωt, v ′ sin ωt, 0)S + (0, 0, ω)S × ((0, 0, ω)S × ×(v ′ t cos ωt, v ′ t sin ωt, 0)S ) = (−2ωv ′ sin ωt, 2ωv ′ cos ωt, 0)S + + (0, 0, ω)S × (−ωv ′ t sin ωt, ωv ′ t cos ωt, 0)S = = (−2ωv ′ sin ωt − ω 2 v ′ t cos ωt , 2ωv ′ cos ωt − ω 2 v ′ t sin ωt , 0)S . Derivováním vektorové funkce káme pro
⃗v (t)
a
⃗a(t)
⃗r(t) = (v ′ t cos ωt, v ′ t sin ωt, 0)S
podle £asu zís-
stejné výsledky jako uºitím transforma£ních vztah·.
♠
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
68
1.4.4
Pohyb v r·zných vztaºných soustavách maticová formulace
Transforma£ní vztahy ve vektorovém tvaru pro polohu, rychlost a zrychlení £ástice vzhledem k r·zným vztaºným soustavám jsou velmi názorné. Pro praktické pouºití p°i p°epo£tech £íselných údaj· zadávaných v r·zných vztaºných soustavách je v²ak t°eba je vyjád°it ve sloºkách. K tomu je velmi vhodné pouºít maticové formulace.
S =< O; ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 > , S ′ =< O ′ ; ⃗e′1 , ⃗e′2 , ⃗e′3 > . Transla£ní ⃗ S je op¥t popsán vektorem R(t) , jehoº vyjád°ení pomocí
Uvaºme znovu vztaºné soustavy
′ pohyb soustavy S vzhledem k
S
sloºek vzhledem k soustav¥
budeme interpretovat jako °ádkovou matici
(X) = (X1 (t) X2 (t) X3 (t))S . k bázi
ω ⃗ (t) charakterizovat pomocí matice p°e< ⃗e1′ , ⃗e2′ , ⃗e3′ > . Pon¥vadº vektory ⃗e1′ , ⃗e2′ , ⃗e3′ rotují
ω ⃗ (t) ,
jsou vzhledem k ní závislé na £ase. Tedy i prvky
Pohyb rota£ní budeme namísto úhlovou rychlostí chodu
T (t)
od báze
v·£i soustav¥ matic
T
a
S
S
< ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 >
úhlovou rychlostí
jsou funkcemi £asu.
Odvodíme nejprve souvislost mezi vektorem
ω ⃗ (t)
a maticí p°echodu
T (t) .
Podle vztahu
(1.63) platí
(
d⃗ei′ dt
) S
= ω ⃗ (t) × ⃗ei′ (t) , i ∈ {1, 2, 3} ,
(1.69)
( ′ ) nebo´ d⃗ei (t)/dt S = ⃗0 . Podle (1.54) s uváºením £asové závislosti prvk· matice T platí ∑ ⃗ei′ (t) = 3j=1 τij (t)⃗ej pro i ∈ {1, 2, 3} . Vzhledem k tomu, ºe τij (t) p°edstavuje j -tou sloºku vektoru ⃗ ei′ (t) v soustav¥ S , m·ºeme vztah (1.69) rozepsat do sloºek v·£i soustav¥ S takto: 3 ∑
τ˙ij (t) =
ϵjkl ωk (t)τil (t) , i, j ∈ {1, 2, 3} .
k,l=1 Pro kaºdou hodnotu
i ∈ {1, 2, 3}
dostáváme postupn¥, jiº bez vypisování prom¥nné
t:
τ˙i1 = ω2 τi3 − ω3 τi2 , τ˙i2 = ω3 τi1 − ω1 τi3 , τ˙i3 = ω1 τi2 − ω2 τi1 . Tyto vztahy lze zapsat pomocí maticového násobení:
τ˙11 τ˙21 τ˙31
τ˙12
τ˙13
τ˙22
τ˙23
τ˙32
τ˙33
τ11 = τ21
τ31
τ12
τ13
0 −ω3
τ22
τ23
τ32
τ33
ω2
ω3 (t)
−ω2 (t)
0
ω1 (t)
−ω1 (t)
0
ω3
−ω2
0
ω1
−ω1
0
,
odkud po ozna£ení
0
Ω(t) = −ω3 (t) ω2 (t) dostáváme
(1.70)
T˙ (t) = T (t) Ω(t) . T (t) , ω ⃗ (t) :
V p°ípad¥, ºe je známa matice p°echodu ur£it matici
Ω(t)
a vektorovou funkci
(1.71)
která je nutn¥ regulární, lze ze vztahu (1.71)
Ω(t) = T −1 (t) T˙ (t) . Je-li naopak známa úhlová rychlost
ω ⃗ (t) ,
je nutno chápat vztah (1.71) jako t°i soustavy
diferenciálních rovnic prvého °ádu pro trojice neznámých prvk· matice
τi1 (t),
τi2 (t),
τi3 (t),
i ∈ {1, 2, 3}.
T (t),
tj.
1.4. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI KADÝ TO VIDÍ JINAK
69
P°íklad 1.14. P°íklad 1.13 jinak. Uvaºujme o situaci popsané v p°íkladu 1.13, kde
0 Ω(t) = −ω 0 odkud
ω ⃗ = (0, 0, ω)S . ω 0 0 0 , 0
Pak
0
τ˙i1 = −ωτi2 , τ˙i2 = ωτi1 , τ˙i3 = 0 , i ∈ {1, 2, 3} .
Obecné °e²ení této soustavy diferenciálních rovnic má tvar (ov¥°te zp¥tným dosazením):
τi1 = ai cos ωt − bi sin ωt , τi2 = bi cos ωt + ai sin ωt , τi3 = ci , i ∈ {1, 2, 3} , kde
ai , bi , ci , i ∈ {1, 2, 3} , jsou libovolné reálné konstanty. Soustav¥ tedy vyhovuje T (t) tvaru a1 cos ωt − b1 sin ωt b1 cos ωt + a1 sin ωt c1 T (t) = a2 cos ωt − b2 sin ωt b2 cos ωt + a2 sin ωt c2 .
kaºdá
matice
a3 cos ωt − b3 sin ωt
b3 cos ωt + a3 sin ωt
c3
T (t) v okamºiku t = 0 : T (0) = E (jednotková matice). Sou°adnicové osy soustav S =< O; ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 > , S ′ =< O′ ; ⃗e′1 , ⃗e′2 , ⃗e′3 > totiº v okamºiku t = 0 splývají. Této po£áte£ní podmínce odpovídá následující tvar matice T (t) (partikulární °e²ení soustavy rovnic (1.71)): cos ωt sin ωt 0 T (t) = − sin ωt cos ωt 0 . Po£áte£ní podmínka, vyplývající se zadání p°íkladu 1.13 ur£uje prvky matice
0
0
1
Ov¥°te, ºe toto °e²ení souhlasí s výsledky p°íkladu 1.13, získanými na základ¥ geometrické
♠
p°edstavy.
Na základ¥ vztah· (1.56), v nichº vezmeme v úvahu £asovou závislost matic p°echodu a zobecníme je i na p°ípad transla£ního pohybu soustavy
S′
vzhledem k
S,
m·ºeme s vyuºitím
(1.71) získat transforma£ní vzorce pro sloºky rychlosti a zrychlení hmotného bodu v maticovém vyjád°ení:
˙ = (x˙ ′ )T + (x′ )T Ω + (X) ˙ , (x) = (x′ )T + (X) =⇒ (x) ˙ = (x˙ ′ )T + (x′ )T˙ + (X) odkud
(v) = (v ′ )T + (x′ )T Ω + (V ) , ˙ + (X) ¨ = (¨ x) = (¨ x )T + (x˙ ′ )T˙ + (x˙ ′ )T Ω + (x′ )T˙ Ω + (x′ )T Ω ˙ + (X) ¨ , = (¨ x′ )T + 2(x˙ ′ )T Ω + (x′ )T Ω2 + (x′ )T Ω
(1.72)
′
˙ + (A) . (a) = (a′ )T + 2(v ′ )T Ω + (x′ )T Ω2 + (x′ )T Ω
Uná²ivá rychlost a zrychlení mají tedy v maticovém vyjád°ení vzhledem k soustav¥
′
′
′
′
˙ + (A) . (vu ) = (x )T Ω + (V ) , (au ) = 2(v )T Ω + (x )T Ω + (x )T Ω
P°íklad 1.15. P°íklad 1.13 je²t¥ jinak.
2
(1.73)
S
tvar
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
70
Rychlost a zrychlení £ástice z p°íkladu 1.13 vzhledem k soustav¥ formalismu. Vyuºijeme matic rychlost
⃗v
v soustav¥
cos ωt (v ′ 0 0) − sin ωt
S
a
Ω
cos ωt 0
0
cos ωt 0 + (v ′ t 0 0) − sin ωt 1
sin ωt
0
cos ωt
0
0
⃗v (t)
0 0 −ω
ω
0
0
0 ,
1
0
0
0
v ′ sin ωt+ωv ′ t cos ωt
Tento výsledek je v souhlasu s vyjád°ením rychlostí
S
vyjád°íme v maticovém
(v) :
(v) = (v ′ cos ωt−ωv ′ t sin ωt
soustav¥
S
z p°edchozího p°íkladu 1.14. Podle vztahu (1.72) je
reprezentována °ádkovou maticí
sin ωt
0
T (t)
0)S .
hmotného bodu vzhledem k vztaºné
získaným v p°íkladu 1.13. Pro výpo£et zrychlení pot°ebujeme matice
Ω2
a
˙. Ω
Dostaneme pro n¥
Ω2 =
−ω 2
0
0
−ω 2
0
0
0 ˙ 0 , Ω = 0
0
0
0
0
0
0
0 .
0
0
Pro zrychlení platí
(a) = 2(v ′ 0 0) − sin ωt
cos ωt +(v ′ t 0 0) − sin ωt
0
ω
0
cos ωt
0 −ω
0
0 +
0
0
0
1
sin ωt
0
cos ωt
0
0
0
0
sin ωt
cos ωt
0
(a) = (−2ωv ′ sin ωt−ω 2 v ′ t cos ωt
−ω 2
0
0
−ω 2
0
0
1
0 0
0 = 0
2ωv ′ cos ωt−ω 2 v ′ t sin ωt
0)S . ♠
Výsledek op¥t souhlasí se záv¥rem p°íkladu 1.13. V p°íkladu 1.13 byl formulován problém nalezení trajektorie £ástice v soustav¥ známo zrychlení v soustav¥ rychlosti
(v ′ )
S′ .
S,
bylo-li
Jednou z moºností, jak tento problém °e²it, je nalézt sloºky
a polohového vektoru
(x′ )
v soustav¥
S′
integrací známého zrychlení
(a′ )
a
poté pouºít transforma£ních vztah· (1.72). Tento postup byl zvolen p°i °e²ení p°íkladu 14. Jiný,
S , v n¥mº je v²ak (v ′ ) a (x′ ) vyjád°it uºitím transforma£ních vztah· pomocí (x) a (v) , ′ ′ ′ konkrétn¥ (x )T = (x)−(X) , (v )T = (v)−(V )−(x )T Ω = (v)−(V )−((x)−(X))Ω . Získáme tak soustavu diferenciálních rovnic druhého °ádu pro neznámé funkce x1 (t) , x2 (t) , x3 (t) :
ekvivalentní zp·sob vychází ze vztahu (1.73) pro sloºky zrychlení v soustav¥ t°eba °ádkové matice
˙ − Ω2 ) + (A) . (a) = (a′ )T + 2((v) − (V ))Ω + ((x) − (X))(Ω
(1.74)
P°íklad 1.16. Je²t¥ jednou k p°íkladu 1.13. S ⃗ R(t) = ⃗a′ = ⃗0 .
Odvodíme parametrické vyjád°ení trajektorie £ástice z p°íkladu 1.13 ve vztaºné soustav¥ p°ímo, na základ¥ rovnic (1.74): Ze zadání úkolu v p°íkladu 1.13 vyplývají tyto údaje:
−−−→ ⃗ (t) = ⃗0, A(t) ⃗ ˙ =0 ⃗0 =⇒ V = ⃗0 ; ω ⃗ (t) = (0, 0, ω)S = konst. =⇒ Ω Vztah (1.74) má pro tento p°ípad tvar:
(a) = 2(v)Ω − (x)Ω2 =⇒
(nulová matice);
1.4. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI KADÝ TO VIDÍ JINAK
71
0
ω
0
=⇒ (¨ x y¨ z¨) = 2(x˙ y˙ z) ˙ −ω
0
0 − (x y z)
0
0
0
−ω 2
0
0
−ω 2
0
0
0
0 . 0
Získáváme soustavu rovnic
x ¨ + 2ω y˙ − ω 2 x = 0 , y¨ − 2ω x˙ − ω 2 y = 0 , z¨ = 0 . Po dopln¥ní této soustavy po£áte£ními podmínkami
0 , z(0) = 0 , z(0) ˙ =0
x(0) = 0 , x(0) ˙ = v ′ , y(0) = 0 , y(0) ˙ =
podle zadání p°íkladu 1.13 dostáváme její °e²ení:
⃗ r(t) = (v ′ t cos ωt , v ′ t sin ωt , 0)S . ♠ P°i praktických výpo£tech, zejména p°i °e²ení úloh z mechaniky v neinerciálních vztaºných soustavách, je t°eba vyjád°it explicitn¥ sloºky zrychlení kovou matici
(a′ )
⃗a′ (t)
vzhledem k soustav¥
m·ºeme získat vynásobením vztahu (1.73) maticí
S
S′ .
ád-
zprava:
˙ . (a′ ) = (a)S − (A)S − 2(v ′ )T ΩS − (x′ )T Ω2 S − (x′ )T ΩS
(1.75)
T, S, Ω : Ozna£me jako Ω′ ω ⃗ vzhledem k soustav¥ S ′ stejným zp·sobem, matice Ω , tj. pro ω ⃗ = (ω1′ , ω2′ , ω3′ )S ′ je −ω2′ 0 ω3′ 0 ω1′ . Ω′ = −ω3′
Tento výsledek lze je²t¥ zjednodu²it uºitím vztah· pro matice matici utvo°enou ze sloºek úhlové rychlosti jakým byla de nována
( Ze vztahu
−⃗ ω)
d⃗ ei (t) dt
ω2′
) S′
= −⃗ ω × ⃗ei (t)
−ω1′
(soustava
S
0 rotuje v·£i soustav¥
S′
úhlovou rychlostí
snadno odvodíme analogii vztahu (1.71):
˙ S(t) = −S(t)Ω′ (t) . Odtud transponováním jako
Ω,
T˙ = S˙ transp = −(Ω′ )transp S transp = Ω′ T
(1.76) , nebo´ matice Ω′ , stejn¥
je antisymetrická. Uºitím vztah· (1.71) a (1.76) nakonec dostáváme
T ΩS = T˙ S = Ω′ T S = Ω′ , T Ω2 S = T˙ ΩS = Ω′ T ΩS = Ω′2 ,
˙ + T ΩS˙ = T ΩS ˙ + Ω′2 − T ΩSΩ′ =⇒ T ΩS ˙ =Ω ˙′ . ˙ ′ = d (T ΩS) = T˙ ΩS + T ΩS Ω dt ˙ do vztahu (1.75) pro (a′ ) pak dostaneme Dosazením za T ΩS , T Ω2 S a T ΩS ˙ ′) . (a′ ) = ((a) − (A))S − 2(v ′ )Ω′ − (x′ )(Ω′2 + Ω
(1.77)
Poznámka: Tento výsledek m·ºeme získat také tak, ºe ve vztahu z (1.73) formáln¥ zam¥níme (a) → (a′ ), (a′ )T → (a)S , (A) → −(A)S , Ω → −Ω′ , (v) − (V ) → (v ′ ) , (x) − (X) → (x′ ) .
1.4.5
Aplikace: Transla£ní pohyb vztaºných soustav, Galileiova transformace
Omezení vzájemného pohybu vztaºných soustav na pohyb £ist¥ transla£ní p°edstavuje velice jednoduchou, av²ak z hlediska dal²ích úvah v oblasti newtonovské mechaniky významnou, situaci, jejíº studium p°ivedlo jiº v p°ednewtonovském
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
72
období Galilea Galileiho k pochopení klí£ové úlohy pojmu zrychlení v mechanice a k vyslovení my²lenky invariance zákon· mechaniky v·£i ur£itým typ·m p°echod· mezi vztaºnými soustavami. Transforma£ní vztahy pro polohový vektor, rychlost a zrychlení hmotného bodu, odpovídající této situaci, získáme okamºit¥ z obecných vztah· (1.59), (1.64), (1.66 ) a (1.67), poloºíme-li v (1.64) a (1.67
ω ⃗ = ⃗0 :
⃗ ⃗ (t) , ⃗a(t) =⃗a′ (t)+ A(t) ⃗ . ⃗r(t) =⃗r′ (t)+ R(t) , ⃗v (t) =⃗v ′ (t)+ V
(1.78)
Pro ω ⃗ (t) = ⃗0 je vzájemné nato£ení sou°adnicových soustav spjatých s S a S ′ £asov¥ neprom¥nné a tedy fyzikáln¥ nepodstatné. Bez ztráty obecnosti úvah ′ m·ºeme proto p°edpokládat, ºe dvojice sou°adnicových os xi , xi jsou trvale rovnob¥ºné. Pak z (1.78) plynou následující transforma£ní vztahy pro sloºky vektor·:
xi = x′i + Xi , vi = vi′ + Vi , ai = a′i + Ai , i ∈ {1, 2, 3} . S ′ vzhle⃗ ⃗ ⃗ t , kde dem k S je pohyb rovnom¥rný p°ímo£arý. P°i n¥m je R(t) = R0 + V ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ R0 a V jsou konstantní vektory. Pak je V (t) = V , A(t) = ⃗0 a vztahy (2.78) Velmi významným speciálním p°ípadem transla£ního pohybu soustavy
nabudou tvaru
⃗0 + V ⃗ t , ⃗v (t) = ⃗v ′ (t) + V ⃗ , ⃗a(t) = ⃗a′ (t) . ⃗r(t) = ⃗r′ + R
(1.79)
D·leºitým poznatkem, patrným z t¥chto vztah·, je skute£nost, ºe zrychlení £ástice, jejíº pohyb je posuzován dv¥ma pozorovateli pohybujícími se navzájem rovnom¥rn¥ p°ímo£a°e, je vzhledem k ob¥ma stejné. P°i zápisu transforma£ních vztah· (1.79) ve sloºkách bývá obvyklé uºití dal²ího fyzikáln¥ nepodstatného zjednodu²ení, jímº je splynutí sou°adnicových soustav < O; ⃗ e1 , ⃗e2 , ⃗e3 > ′ ′ a < O ;⃗ e1 , ⃗e′2 , ⃗e′3 > v po£áte£ním okamºiku t = 0 a volba spole£ného sm¥ru ′ sou°adnicových os x1 , x1 podél fyzikáln¥ význa£ného sm¥ru, který je ur£en rychlostí
⃗ V
.
1.4. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI KADÝ TO VIDÍ JINAK
73
x2 = x2
t= 0
t 0
x2
x2
r (t) r (t ) Vt x1 = x1
O= O
x3 = x3
O
x3
V x1 x1
O
x3
Obr. 1.23: K ilustraci Galileiovy transformace
⃗ = (V, 0, 0)S a vztahy (1.79) pro polohové vektory, dopln¥né transforV ′ ma£ní rovnicí t = t pro £asovou prom¥nnou, vedou k nejznám¥j²ímu tvaru tzv. Pak je
Galileiovy transformace
:
t = t′ , x1 = x′1 + V t′ , x2 = x′2 , x3 = x′3 .
rychlostí
P°íslu²né vztahy pro rychlosti pak dávají tzv. :
klasické pravidlo pro skládání
v1 = v1′ + V , v2 = v2′ , v3 = v3′ .
1.4.6
(1.80)
(1.81)
Aplikace: Pohyb £ástice v laboratorní vztaºné soustav¥
V p°edchozích odstavcích jsme zavedli laboratorní vztaºnou soustavu pevn¥ spojenou s povrchem Zem¥. Tato soustava je neinerciální. Vzhledem k inerciální Galileiov¥ soustav¥, jejíº po£átek je umíst¥n ve st°edu hmotnosti slune£ní soustavy a osy namí°eny ke stálicím, se spolu se Zemí pohybuje jednak po p°ibliºn¥ eliptické trajektorii kolem Slunce, jednak rotuje kolem zemské osy. Za dobu
T = 24h 56min ,
která p°edstavuje periodu této rotace, urazí Zem¥ jen
velmi malý úsek své dráhy kolem Slunce, podél n¥jº se její rychlost m¥ní pouze zanedbateln¥. (Velikosti rychlosti v p°ísluní a odsluní se li²í asi o 3 procenta, zm¥na sm¥ru rychlosti za dobu
T
£iní asi
10 .)
Rotace Zem¥ kolem její osy je tedy zcela rozhodující p°í£inou neinerciálnosti
laboratorní vztaºné soustavy. Zvolme inerciální vztaºnou soustavu soustavu (viz také
Obr. 1.8).
S
podle
Obr. 1.24 a jako S ′
ozna£me laboratorní
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
74
x3 SZ
místní rovnobezka
x2 místní poledník
x1
Obr. 1.24: Laboratorní vztaºná soustava spjatá s geometricky význa£nými sm¥ry na povrchu Zem¥ O′ (0)
S′
t = 0 , Φ nech´ je zem¥piská ²í°ka místa, R0 . Vektory ⃗e1′ , ⃗e2′ , ⃗e3′ tvo°í pravoto£ivou ortonormální bázi spjatou se sférickými sou°adnicemi v bod¥ O ′ , jsou tedy te£né k p°íslu²ným ′ ′ sou°adnicovým k°ivkám procházejícím bodem O poledníku, rovnob¥ºce a paprsku OO . Platí tedy (p°i ozna£ení ω = 2π/T )
Ozna£me
polohu po£átku soustavy
v £ase
v n¥mº je tato soustava umíst¥na. Polom¥r Zem¥ je
⃗e1′ (t) = (cos ωt sin Φ , sin ωt sin Φ , − cos Φ)S , ⃗e 2′ (t) = (− sin ωt , cos ωt , 0)S , ⃗e3′ (t) = (cos ωt cos Φ , sin ωt cos Φ , sin Φ)S , T (t) =
cos ωt sin Φ
sin ωt sin Φ
− cos Φ
− sin ωt
cos ωt
0
cos ωt cos Φ
sin ωt cos Φ
sin Φ
, S(t) = T (t)transp ,
ω ⃗ = (0, 0, ω)S = (−ω cos Φ , 0 , ω sin Φ)S ′ ,
0
ω
0
Ω = −ω
0
0 ,
0
0
0
0
Ω′ = −ω sin Φ 0
ω sin Φ 0 ω cos Φ
0
−ω cos Φ , 0
⃗ R(t) = (R0 cos ωt cos Φ , R0 sin ωt cos Φ , R0 sin Φ)S , ⃗ (t) = (−ωR0 sin ωt cos Φ , ωR0 cos ωt cos Φ , 0)S , V ⃗ A(t) = (−ω 2 R0 cos ωt cos Φ , −ω 2 R0 sin ωt cos Φ , 0)S .
(1.82)
1.4. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI KADÝ TO VIDÍ JINAK
75
(v ′ ) = (x˙ ′ ) a (a′ ) = (¨ x′ ) pak dostáváme pro ⃗ r′ (t) = (x′1 (t) , x′2 (t) , x′3 (t))S ′ soustavu diferenciálních rovnic
Uºitím (1.77) a s uváºením skute£nosti, ºe neznámou vektorovou funkci
x ¨′1 − 2x˙ ′2 ω sin Φ − x′1 ω 2 sin2 Φ − x′3 ω 2 cos Φ sin Φ = = (a1 cos ωt + a2 sin ωt) sin Φ − a3 cos Φ + ω 2 R0 sin Φ cos Φ , x ¨′2 + 2x˙ ′1 ω sin Φ + 2x˙ ′3 ω cos Φ − x′2 ω 2 = −a1 sin ωt + a2 cos ωt ,
(1.83)
x ¨′3 − 2x˙ ′2 ω cos Φ − x′1 ω 2 cos Φ sin Φ − x′3 ω 2 cos2 Φ = = (a1 cos ωt + a2 sin ωt) cos Φ + a3 sin Φ + ω 2 R0 cos2 Φ . Zrychlení £ástice
⃗a(t) = (a1 (t) , a2 (t) , a3 (t))S
lze povaºovat bu¤ za známou vektorovou
funkci £asu, nebo je lze vyjád°it prost°ednictvím polohy a rychlosti £ástice v soustav¥
S′ .
a uºitím transforma£ních vztah· p°evést do
S′
v soustav¥
S
e²it problém nalezení trajektorie £ástice
je obtíºné, £i dokonce nesch·dné, jiº pro tak jednoduchý systém, jakým je
matematické kyvadlo. Tímto problémem se budeme zabývat pozd¥ji. Nyní si v²imneme pouze nejjednodu²²ích p°ípad·, jimiº jsou klid a volný pád.
P°íklad 1.17. Volný pád v laboratorní soustav¥. Volným pádem jsme nazvali pohyb hmotného bodu voln¥ vypu²t¥ného v okamºiku z vý²ky
h
t = 0
nad zemským povrchem za p°edpokladu, ºe odpor okolního vzduchu proti pohybu
S se takový hmotný bod pohybuje ⃗g0 , gravita£ním, které lze v blízkosti zemského povrchu a v rozmezí malých od bodu O ′ pokládat za konstantní vektor kolmý k povrchu Zem¥, tj.
objektu je zanedbatelný. Vzhledem k inerciální soustav¥ se zrychlením vzdáleností
⃗g0 = (0, 0, −g0 )S ′ = (−g0 cos ωt cos Φ , −g0 sin ωt cos Φ , −g0 sin Φ)S .
Poznámka:
Sm¥r gravita£ního zrychlení p°i povrchu Zem¥ se na vzdálenosti
5km,
m¥°ené
podél kterékoli z hlavních kruºnic na zemské sfé°e, nap°. poledník· £i rovníku, zm¥ní mén¥ neº o
0, 050 .
30km
od povrchu Zem¥. Rovnice (1.83) mají tvar:
Velikost gravita£ního zrychlení klesne o 1 procento své hodnoty na vzdálenosti
x ¨′1 − 2x˙ ′2 ω sin Φ − x′1 ω 2 sin2 Φ − x′3 ω 2 cos Φ sin Φ = ω 2 R0 sin Φ cos Φ , x ¨′2 + 2x˙ ′1 ω sin Φ + 2x˙ ′3 ω cos Φ − x′2 ω 2 = 0 , x ¨′3
−
2x˙ ′2 ω cos Φ
− x′1 ω 2 cos Φ sin Φ − x′3 ω 2 cos2 Φ = −g0 + ω 2 R0 cos2 Φ .
Interpretace jejich pravých stran je velmi názorná. Vektor
⃗g = (ω 2 R0 sin Φ cos Φ , 0 , −g0 + ω 2 R0 cos2 Φ)S ′ je totiº sou£tem gravita£ního zrychlení p°i povrchu Zem¥. Vektor
sm¥r
⃗g
⃗g0
a odst°edivého zrychlení
nazýváme obvykle
tíhovým zrychlením
⃗ 0) ⃗aOD = −⃗ ω × (⃗ ω×R a spojujeme s ním
svislý
p°i zemském povrchu. (Je t°eba si uv¥domit, ºe takto de novaný svislý sm¥r se m¥ní,
♠
vzdalujeme-li se od povrchu Zem¥.)
Sou°adnicové osy laboratorní vztaºné soustavy jsme v p°edchozích odstavcích spojili s geometricky význa£nými sm¥ry: poledníkem, rovnob¥ºkou a paprskem, procházejícími daným místem na povrchu Zem¥. Tato volba soustavy sou°adnic je jist¥ geometricky velmi názorná. Fyzikáln¥ p°irozen¥j²í je v²ak sepjetí sou°adnicových os s fyzikáln¥ význa£nými sm¥ry, v na²em p°ípad¥ práv¥ se svislým sm¥rem p°i zemském povrchu. Tato volba odpovídá oto£ení soustavy sou°adnic o úhel
δ,
který svírají vektory
T′ =
⃗g0
a
⃗g ,
cos δ 0 − sin δ
x′2 ,
kolem osy
0 1 0
sin δ 0 cos δ
popsanému maticí p°echodu
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
76
′ ′ e′ , ⃗ ′ e′ > do soustavy S ′′ = < O ′′ ; ⃗ ze soustavy S = < O ; ⃗ e′′ e′′ e′′ e′′ e′1 cos δ + 1 e2 , ⃗ 3 1,⃗ 2,⃗ 3 > , kde ⃗ 1 =⃗ ′ , ⃗ ′′ = −⃗ ′ sin δ + ⃗ ′ cos δ . Matice p°echodu T ′′ ze soustavy S do S ′′ je ⃗e′3 sin δ , ⃗e′′ = ⃗ e e e e 2 2 3 1 3 dána sou£inem T ′′ = T T ′ =⇒ S ′′ = S ′ S , kde matice T , S jsou dány vztahy (1.82). Názorn¥ je z°ejmé, ºe rovnice (1.83) lze snadno p°evést do soustavy S ′′ zám¥nou £árkovaných veli£in za dvou£árkované a nahrazením úhlu Φ sou£tem Φ + δ . Dostáváme tak soustavu rovnic ′′ 2 2 ′′ 2 x ¨′′ ˙ ′′ 1 − 2x 2 ω sin (Φ + δ) − x1 ω sin (Φ + δ) − x3 ω cos (Φ + δ) sin (Φ + δ) = 0 ,
x ¨′2 + 2x˙ ′1 ω sin (Φ + δ) + 2x˙ ′3 ω cos (Φ + δ) − x′2 ω 2 cos2 (Φ + δ) = 0 ,
x ¨′3 − 2x˙ ′2 ω cos (Φ + δ) − x′1 ω 2 cos (Φ + δ) sin (Φ + δ) − x′3 ω 2 = −g , √
kde
g =| ⃗g0 + ⃗a0 |= g0
cos δ =
⃗g g⃗0 = √ gg0
1−
ω 4 R02 2ω 2 R0 cos2 Φ + cos2 Φ , g0 g02 1−
1−
2ω 2 R0 g0
ω 2 R0 g0
cos2 Φ
cos2 Φ +
2 ω 4 R0 2 g0
. cos2 Φ
Poznámka: Vzhledem k hodnotám ω = 2πT −1 , T = 8.616×104 s , R0 = 6.371×106 m , g0 = 9.833 ms−2
je p°ísp¥vek odst°edivého zrychlení k výslednému zrychlení tíhovému velmi malý.
P°i náhrad¥
g ≈ g0
se dopustíme chyby asi
P°i po£áte£ních podmínkách pu²t¥ní t¥lesa z vý²ky
x′2 x′3
h
0.03
procenta. Také úhel
δ
je velmi malý. Odhad
0.10 .
jeho nejvy²²í hodnoty £iní asi
⃗ r′′ = (0, 0, h)S ′′ , ⃗v ′′ = (0, 0, 0)S ′′
, odpovídajících volnému vy-
nad zemským povrchem, má soustava diferenciálních rovnic pro
x′1 ,
následující °e²ení:
[
] 1 2 ( g ) gt + h − 2 (cos ωt + ωt sin ωt − 1) sin (Φ + δ) cos (Φ + δ) , 2 ω ( g ) ′′ x2 = h − 2 (ωt cos ωt − sin ωt) cos (Φ + δ) , ω ( g ) 1 2 2 gt sin (Φ + δ) + h − 2 (cos ωt + ωt sin ωt − 1) cos2 (Φ + δ) . x′′ = h − 3 2 ω x′′ 1 (t) =
Správnost pom¥rn¥ komplikovaného výsledku m·ºeme ov¥°it nap°íklad pro limitní p°ípad
ω → 0
nebo pro volný pád na pólu, odpovídající hodnotám
Φ = π/2 , δ = 0 ,
kdy o£ekáváme
zjednodu²ení na tvar obvyklý pro parametrické vyjád°ení trajektorie volného pádu v inerciální vztaºné soustav¥, tj.
⃗ r′′ = (0 , 0 , h − 12 g0 t2 )S ′′ . P°i dosazení Φ = π/2 , δ = 0 dostáváme ω → 0 vyuºijeme l'Hospitalova pravidla p°i výpo£tu limit
tento výsledek okamºit¥. Pro
L1 = lim
ω→0
cos ωt + ωt sin ωt − 1 1 −t sin ωt + t sin ωt + ωt2 cos ωt = t2 , = lim 2 ω→0 ω 2ω 2
L2 = lim
ω→0
ωt cos ωt − sin ωt t cos ωt − ωt2 sin ωt − t cos ωt = lim =0 2 ω→0 ω 2ω
a op¥t dosp¥jeme k zjednodu²enému výsledku pro volný pád. Zajímavá situace nastává pro
Φ = 0.
Pak je i
δ = 0
a
g = g0 (1 −
ω 2 R0 ) (volný pád na g0
rovníku). Pak
( ( g ) g ) ′′ ′′ x′′ 1 = 0 , x2 = h − 2 (ωt cos ωt − sin ωt) , x3 = h + h − 2 (cos ωt + ωt sin ωt − 1) . ω ω
O′ , nebude-li p°edm¥t h = 500 m . Doba volného pádu v inerciální vztaºné soustav¥ . . . 2h/g0 = 10 s . Vzhledem k tomu, ºe ω = 7.3 × 10−5 s−1 , je ωτ0 = 7 × 10−4 by byla τ0 = a místo funkcí cos ωt , sin ωt lze uºít prvých £len· jejich Taylorova rozvoje: cos ωt ≈ 1 − 1 2 2 ω t , sin ωt ≈ ωt − 61 ω 3 t3 . Pak 2 ( ) 1 2 hω 2 x′′ 1− . 3 ≈ h − gt 2 g
Odhadneme nyní, jak se odchýlí místo dopadu p°edm¥tu od po£átku padat z p°íli² velké √ vý²ky. Zvolme
1.5. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI II Ozna£íme-li
τ
dobu pádu, ur£enou podmínkou
√ τ =
√ 2h 1 √ g (1 −
hω 2 ) g
≈
x′′ 3 = 0,
77
je
2h 1 = τ0 =⇒ x′′ gωτ 3 2 ≈ g 3
( 1−
hω 2 g
) ≈
1 . gωτ 3 = 0, 25 m. 3
Vidíme, ºe p°i pádu i z nep°íli² velké vý²ky zp·sobí neinerciálnost vztaºné soustavy m¥°itelnou odchylku od o£ekávaného místa dopadu. Je t°eba si v²ak uv¥domit, ºe p°edchozí výpo£et byl provád¥n bez uváºení skute£nosti, ºe p°edm¥t padá v odporujícím prost°edí (vzduchu). Skute£ná odchylka místa dopadu od o£ekávané polohy bude men²í.
1.5 Popis pohybu r·znými pozorovateli II relativistický p°ístup
p°i popisu pohybu hmotných
bod· v r·zných vztaºných soustavách zaloºen na existenci tzv.
mezní rychlosti, která nem·ºe
Na rozdíl od nerelativistické p°edstavy je
být v ºádné ze vztaºných soustav p°ekro£ena a p°edstavuje maximální rychlost ²í°ení interakce mezi objekty. Existence mezní rychlosti má celou °adu zajímavých, av²ak z hlediska newtonovské mechaniky paradoxních, d·sledk·. je základním axiomem
speciální teorie relativity,
do jejíhoº rámce náleºí i relativistická mechanika. Experimenty ukázaly, ºe mezní rychlostí je rychlost ²í°ení sv¥tla ve vakuu, c
1.5.1
= 3.0 × 108 m s−1 .
Existence mezní rychlosti a relativnost sou£asnosti. Michelson·v Morley·v experiment
Jiº samotný p°edpoklad o existenci mezní rychlosti implicitn¥ obsahuje poºadavek její nezávislosti na volb¥ vztaºné soustavy. Rozdílnost mezní rychlosti nap°íklad v r·zných inerciálních soustavách by umoº¬ovala tyto soustavy navzájem odli²it, v rozporu s homogenitou a izotropností £asoprostoru, £i neexistencí absolutního prostoru a £asu. Experimentální podklad k vyslovení p°edpokladu existence mezní rychlosti a jejímu ztotoºn¥ní s rychlostí ²í°ení sv¥tla ve vakuu poskytuje
Michelson·v Morley·v pokus
(1887), který reprodukovateln¥ prokázal
nezávislost rychlosti sv¥tla na volb¥ vztaºné soustavy. (P·vodním cílem Michelsonova Morleyova experimentu bylo prokázat optickou metodou tzv.
absolutní pohyb Zem¥, tj. její pohyb
v·£i absolutnímu prostoru, jehoº existence byla v té dob¥ p°edm¥tem polemik.) Schéma pokusu, p°i n¥mº bylo vyuºito interference sv¥tla, ukazuje
Obr. 1.25.
Obr. 1.25: Schéma Michelsonova Morleyova experimentu.
íselné údaje, doprovázející následující popis experimentu, odpovídají jeho historickému provedení. Monochromatické sv¥tlo o vlnové délce propustnou desku
P
pod úhlem
450 .
λ = 550nm
Paprsek
p1
n¥hoº se odráºí a po £áste£ném odrazu na desce stínítko). Paprsek
S
dopadá na polo-
P
dopadá do detektoru
D
Z1 ,
od
( uorescen£ní
p2 , který se od desky P odrazil, dopadá na zrcadlo Z2 , odráºí se a po £ásP rovn¥º dopadá do detektoru. Délky ramen P Z1 , P Z2 jsou l1 , l2 ,
te£ném pr·chodu deskou p°i£emº
ze sodíkové výbojky
pro²lý deskou postupuje k zrcadlu
. . l1 = l2 = 11m . Vzhledem k tomu, ºe mezi ob¥ma paprsky vzniká ur£itý fázový rozdíl
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
78
∆φ , objeví se na stínítku interferen£ní jev (p°i konkrétním uspo°ádání p°ístroje, tzv. Michelsonova interferometru, jehoº detaily nejsou pro na²e úvahy podstatné, se jedná o interferen£ní S′
krouºky.) Interferometr je v klidu vzhledem k vztaºné soustav¥
pevn¥ spojené se Zemí.
Tato soustava, jiº lze pro ú£ely interpretace experimentu povaºovat za inerciální, se pohybuje rychlostí
⃗ V
vzhledem k preferované vztaºné soustav¥
S,
spjaté s absolutním prostorem .
V = 29, 8 × 103 m s−1 .)
(Pr·m¥rná velikost rychlosti pohybu Zem¥ kolem Slunce je
Následující p°edpov¥di chování interferen£ního jevu vycházejí z p°edpokladu platnosti Galileiovy transformace (2.80) a z ní plynoucího klasického pravidla pro skládání rychlostí (2.81). Ozna£me soustav¥
c rychlost ²í°ení sv¥telné vlny ve vakuu vzhledem k preferované absolutní vztaºné S . Tato hodnota musí být samoz°ejm¥ konstantou díky homogenit¥ absolutního
£asu a homogenit¥ a izotropnosti absolutního prostoru . Postup sv¥telného paprsku pak lze popsat rychlostí
⃗v = c⃗ τ,
kde
⃗ τ
je jednotkový vektor ve sm¥ru ²í°ení paprsku. Rychlost po-
stupu paprsku v interferometru, tj. ve vztaºné soustav¥ Pon¥vadº jsou úseky rozdíl
∆φ ,
SP
a
PD
S p rime ,
je pak
⃗ = c⃗ ⃗ ⃗v ′ = ⃗v − V τ −V
.
p1 , p2 spole£né, vzniká fázový úsecích P Z1 P a P Z2 P mezi zr-
pro oba sledované paprsky
který vede ke vzniku interferen£ního jevu, na
f = c/λ je frekvence sv¥tla a P Z1 P a paprsek p2 úsek ⃗ = (c − V, 0, 0)S ′ , P Z2 P . Rychlost paprsku p1 na úseku P Z1 je ⃗v ′ (P Z1 ) = c⃗ τ (P Z1 ) − V ′ ⃗ na úseku Z1 P pak ⃗ v (Z1 P ) = c⃗ τ (Z1 P ) − V = (−c − V, 0, 0)S ′ Doba, za kterou paprsek p1 cadly a polopropustnou deskou, p°i£emº
∆t = t1 − t2
∆φ = 2πf ∆t ,
je rozdíl dob, b¥hem nichº projde paprsek
projde od desky
P
k zrcadlu
Z1
t1 =
kde
p1
úsek
a zp¥t, je tedy
l1 l1 2l1 1 + = . c−V c+V c 1 − V 22 c
⃗ = (0, v ′ (P Z2 ), 0)S ′ (paP Z2 je ⃗v ′ (P Z2 ) = c⃗ τ (P Z2 ) − V √ ′ ⃗ |= c2 − V 2 , nebo´ prsek p2 postupuje podél osy x2 ). Platí v (P Z2 ) =| c⃗ τ (P Z2 ) − V ⃗ (viz Obr. 1.25). Na úseku Z2 P platí obdobn¥ v ′ (Z2 P ) = c⃗ ⃗ = vecv ′ (P Z2 ) ⊥ V τ (P Z2 ) − V √ ′ (0, v (Z2 P ), 0)S ′ , odkud op¥t v ′ (Z2 P ) = c2 − V 2 . Doba postupu paprsku p2 od desky P p2
Rychlost paprsku
k zrcadlu
Z2
na úseku
a zp¥t je
t2 = √
2l2 c2 − V 2
=
2l2 1 √ c 1−
V2 c2
.
Fázový rozdíl mezi paprsky pak £iní
√ 2πf l1 − l2 1 − ∆φ = 2πf (t1 − t2 ) = 2 c 1 − V2
V2 c2
=
c
2π (l1 − l2 p) , λp2
√ 2 λ = cf −1 a ozna£ili p = 1 − Vc2 . P°i provedení experimentu ′ o kolem osy x o 90 si ramena l1 a l2 vym¥ní místa (viz Obr.
kde jsme vyuºili skute£nosti, ºe s interferometrem oto£eným
1.25). P°íslu²ný fázový rozdíl paprsk· p′1 , p′2 ′
∆φ =
2πf (t′1
−
t′2 )
je
√ 2πf l2 − l1 1 − = 2 c 1 − V2 c
V2 c2
=
2π (l2 − l1 p) . λp2
Odli²nost interferen£ních jev· v obou polohách interferometru pak charakterizuje rozdíl
1 (| 2
∆φ − ∆φ′ | .
V p°ípad¥ rovnosti délek ramen interferometru,
l1 = l2 ,
je
δ=
∆φ = ∆φ′
1.5. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI II
79
a interferen£ní jevy by se nem¥ly li²it. Uv¥domme se v²ak, ºe pro
. V = 30 km s−1
je
. p =
1 − 5 × 10−9 . Realizovat rovnost délek ramen s touto p°esností není sch·dné, takºe z hlediska p°esnosti stanovené hodnotou
l1 > l2 .
Pak
∆φ = 0 .
p
bude vºdy jedno z ramen del²í. P°edpokládejme nap°íklad
Vzhledem k hodnot¥ veli£iny
experimentální situaci de novány délky i nerovnost
l1 p > l2
a tedy
∆φ′ < 0 .
l1
Pak
l2 , pro δ a
p
a k p°esnosti, s níº jsou v reálné
je z°ejmé, ºe p°i
l1 > l2
bude jist¥ spln¥na
dostáváme
1 2π(1 − p) (∆φ + ∆φ′ ) = (l1 + l2 ) ≈ 0.4π . 2 λp2
δ =
Díky tomuto rozdílu vzniká p°i zám¥n¥ ramen interferometru m¥°itelný posuv interferen£ního jevu o
n=
δ π
≈ 0.4
interferen£ního krouºku. Takový posuv v²ak nebyl ani p°i pe£livých
opakovaných m¥°eních zaznamenán. Záv¥r, vyplývající z negativního výsledku Michelsonova Morleyova experimentu je z°ejmý: Pro sv¥tlo neplatí klasické pravidlo skládání rychlostí. Rychlost jeho ²í°ení ve vakuu je ve vztaºné soustav¥ soustav¥
S
S′
spojené se Zemí stejná jako ve vztaºné
spojené se Sluncem. Není d·vod k pochybnostem, ºe výsledek pokusu by byl
stejný pro jakoukoliv jinou dvojici inerciálních soustav. ádnou inerciální vztaºnou soustavu tedy nelze povaºovat mezi ostatními za preferovanou a je nutné vzdát se pojmu absolutního prostoru.
Poznámka:
Lze namítnout, ºe pro p°ípad, ºe rychlost ²í°ení sv¥tla v soustav¥
S′
bude
c , nem·ºe p°i stejné délce ramen interferometru interferen£ní jev v·bec vzniknout, t1 = t2 a ∆φ = 0 . P°esné shody délek ramen v²ak nelze docílit. Jiº jejich rozdíl
opravdu nebo´
v rozmezí jedné vlnové délky zp·sobí m¥°itelný interferen£ní jev. Zobecn¥ní výsledku Michelsonova Morleyova experimentu vede k vyslovení klí£ového axiomu speciální teorie relativity,
principu stálé rychlosti sv¥tla.
Princip stálé rychlosti sv¥tla Rychlost sv¥tla ve vakuu je stejná ve v²ech inerciálních vztaºných soustavách a p°edstavuje mezní rychlost ²í°ení interakce mezi objekty. Rychlost sv¥tla je jednou z tzv.
konstant.
univerzálních
Její hodnota je stanovena de nitoricky, tedy p°esn¥, jako:
c = 2.997 924 58 /m s−1 .
Existencí mezní rychlosti je samoz°ejm¥ poru²en klí£ový poºadavek newtonovské mechaniky absolutnost sou£asnosti. P°esv¥d£me se o tom jednoduchým my²lenkovým experimentem (viz
Obr. 1.26)
Obr. 1.26: K relativnosti sou£asnosti Vztaºná soustava
S′
⃗ = (V, 0, 0)S . OdpovídaS rychlostí V x1 ∥ x′1 , x2 ∥ x′2 , x3 ∥ x′3 . P°edokládejme,
se pohybuje vzhledem k soustav¥
jící si sou°adnicové osy jsou trvale rovnob¥ºné, tj.
ºe p°i míjení po£átk· sou°adnicových soustav byly údaje na hodinách v obou soustavách vynulovány. Se soustavou
S′
je pevn¥ spojen p°ístroj, sestávající ze zdroje sv¥tla
S , umíst¥ného
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
80
O′ , a dvou detektor· D1 a D2 , umíst¥ných na ose x′1 symetricky vzhledem ke zdroji, ⃗ rD1 = (−l, 0, 0)S ′ , ⃗ rD2 = (l, 0, 0)S ′ . Ozna£me následující události:
v bod¥ tj.
U0
... vyslání sv¥telného signálu v okamºiku míjení po£átk·,
U1 U2
... p°íjem signálu detektorem ... p°íjem signálu detektorem
D1 , D2 .
Vzhledem k tomu, ºe v²echny tyto události nastanou v místech leºících na ose tj.
xj,2 = x′j,2 = 0 , xj,3 = x′j,3 = 0
pro
j ∈ {0, 1, 2} ,
x1
resp.
x′1 ,
lze kaºdou z nich charakterizovat pouze
dvojicí £íselných údaj·:
U1 = (tj , xj,1 )S , Uj′ = (t′j , x′j,1 )S ′ , j ∈ {0, 1, 2} . Situaci charakterizuje následující tabulka:
Tabulka 6: K relativnosti sou£asnosti U0
U1
U2
S
(0 , 0)
(t1 , x1,1 )
(t2 , x2,1 )
t1 < t2
S′
(0 , 0)
(t′1 , −l)
(t′2 , +l)
t′1 = t′2
O′ = O se ²í°í vzhledem k soustav¥ S ′ rychlostí c , takºe jeho registraci v detektorech D1 a D2 , stejn¥ vzdálených od zdroje, dojde sou£asn¥, tj. t′1 = t′2 = τ ′ . Rychlost ²í°ení signálu je ov²em rovna c i vzhledem k soustav¥ S . V·£i pozorovateli v S se v²ak detektor D1 p°ibliºuje k místu, z n¥hoº byl signál vyslán (bod O ), zatímco detektor D2 se od tohoto místa vzdaluje. K registraci signálu detektorem D2 tedy dojde pozd¥ji, tj. t1 < t2 . Události U1 a U2 , které jsou v soustav¥ S ′ sou£asné, jsou tedy v soustav¥ S zaznamenány s jistým £asovým odstupem. Pojem sou£asnosti tak ztrácí Sv¥telný signál vyslaný v okamºiku
t0 = t′0 = 0
v bod¥
absolutní význam. Galileiovu transformaci (2.80) je nutno nahradit obecn¥j²ími p°evodními vztahy pro popis událostí v r·zných vztaºných soustavách, které p°ejdou na tvar (2.80) p°i limitním p°echodu
⃗ → ⃗0 , V
tj. pro uná²ivé rychlosti velmi malé ve srovnání s rychlostí sv¥tla.
1.5.2
Interval mezi událostmi a jeho invariantnost jako d·sledek vlastností £asoprostoru
V rámci newtonovské mechaniky jsou obecné vlastnosti £asoprostoru, tj. homogenita £asu a homogenita
a
izotropnost
prostoru,
= ⃗ r2′ − ⃗ r1′ , t2 − t1 = t′2 − t′1
matematicky
vyjád°eny
vztahy
(2.10):
⃗ r2 − ⃗ r1
=
(viz odst. 2.2.1). P°inejmen²ím druhý z nich, vyjad°ující ab-
solutnost sou£asnosti událostí, v²ak za p°edpokladu existence mezní rychlosti není spln¥n. Lze tedy o£ekávat i poru²ení prvého, který je matematickým zápisem absolutnosti prostorové odlehlosti dvou událostí. D·sledkem principu stálé rychlosti sv¥tla je skute£nost, ºe £asovou a prostorovou odlehlost událostí nelze odd¥lit: Nech´ popsané v inerciálních vztaºných soustavách
S
a
S′
U1 , U2
jsou dv¥ libovolné události,
soubory údaj·
U1 . . . U1 = (t1 , x1 , y1 , z1 )S , U1′ = (t′1 , x′1 , y1′ , z1′ )S ′ ,
U2 . . . U2 = (t2 , x2 , y2 , z2 )S , U2′ = (t′2 , x′2 , y2′ , z2′ )S ′ .
(Ozna£ení prostorových sou°adnic jsme zjednodu²ili zápisem
Interval mezi událostmi
x, y, z
místo d°ív¥j²ího
x1 , x2 , x3 .
1.5. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI II Výraz
√ s12 =
c2 (t2 − t1 )2 − [(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 ],
utvo°ený z £asoprostorových sou°adnic obou událostí, se nazývá cen¥
interval)
81
mezi událostmi
U1 , U2 ,
(1.84)
£asoprostorový interval (zkrá-
vyjád°ený vzhledem k soustav¥
S.
Analogickým zp·sobem vypo£teme interval mezi t¥mito událostmi vzhledem k soustav¥
S′ .
V n¥kterých konkrétních situacích je pojem intervalu velmi názorný:
P°íklad 1.20.Název p°íkladu Zvolme konkrétní události
U1 , . . .
U1
a
U2
takto:
vyslání sv¥telného signálu zdrojem,
U2 , . . .
registrace signálu detektorem.
Je z°ejmé, ºe interval mezi t¥mito událostmi je, díky principu stálé rychlosti sv¥tla, nulový ve v²ech vztaºných soustavách. Za dobu
t2 −t2
urazí sv¥tlo práv¥ vzdálenost
√
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
mezi zdrojem a detektorem, tj.
c(t2 − t1 ) = c(t′2 − t′1 ) =
√ √
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 , (x′2 − x′1 )2 + (y2′ − y1′ )2 + (z2′ − z1′ )2 ,
odkud
s12 = s′12 .
Pro obecn¥ zvolenou dvojici událostí m·ºe, podle konkrétní situace, nastat kterýkoli z p°ípad·
s212 > 0 , s212 = 0 , s212 < 0 ,
interval samotný tedy m·ºe být reálný a nenulový, nulový, £i ryze
♠
imaginární.
Výsledek p°íkladu 1.20 p°iná²í d·leºité zobecn¥ní: Je-li interval mezi dv¥ma událostmi nulový v kterékoli inerciální vztaºné soustav¥, nabývá nulové hodnoty ve v²ech inerciálních soustavách. (V takovém p°ípad¥ lze totiº uvedené události spojit sv¥telným signálem.) Zabývejme se nyní otázkou vztahu mezi intervalem ným pozorovatelem ve vztaºné soustav¥ pozorovatelem v soustav¥
S′ .
S
s12
mezi událostmi
U1
a
U2 ,
zji²t¥-
a intervalem mezi týmiº událostmi, vyjád°eným
K odvození transforma£ního vztahu vyuºijeme obecných vlast-
ností £asoprostoru homogenity a izotropnosti. P°edpokládejme, ºe ob¥ vztaºné soustavy
⃗ ,τ,R ⃗ 0 , kde V ⃗ je V ⃗ 0 )S = (τ, x0 , y0 , z0 )S jsou £asoprostorové S ′ vzhledem k S a U0 = (τ , R sou°adnice události U0 , která je v soustav¥ S ′ vyjád°ena £tve°icí údaj· U0′ = (0, 0, 0, 0)S ′ . ⃗ 0 je tedy poloha po£átku O′ soustavy S ′ vzhledem k soustav¥ S v okamºiku, kdy ho(R diny v soustav¥ S ′ jsou vynulovány a τ je odpovídající údaj na hodinách v soustav¥ S ). Ozna£me jako U1 , U2 události, které jsou ve vztaºné soustav¥ S in nitezimáln¥ blízké, tj. U1 = (t, x, y, z)S , U2 = (t + dt, x + dx, y + dy, z + dz)S , kde dt, dx, dy , dz jsou malé ve′ li£iny prvého °ádu. Je z°ejmé, ºe události budou in nitezimáln¥ blízké i v soustav¥ S , tj. U1′ = (t′ , x′ , y ′ , z ′ )S ′ , U2′ = (t′ + dt′ , x′ + dx′ , y ′ + dy ′ , z ′ + dz ′ )S ′ , kde dt′ , dx′ , dy ′ , dz ′ jsou rovn¥º malé veli£iny prvého °ádu. Intervaly ds a ds′ , utvo°ené z £asoprostorových sou°adnic jsou inerciální a jejich vzájemný vztah je charakterizován veli£inami rychlost soustavy
v obou soustavách stejným zp·sobem, musí proto být veli£inami téhoº °ádu. Spolu s d·sledkem p°íkladu 1.20 vede tato skute£nost k p°edpokladu lineární závislosti mezi intervaly:
⃗ 0, V ⃗ )ds′ , ds = f (τ, R kde faktor úm¥rnosti
f
souvisí se vzájemným pohybem vztaºných soustav. Vzhledem k ho-
⃗0 a τ a R f = f (V ) a
mogenit¥ £asoprostoru v²ak tento faktor nem·ºe záviset na veli£inách prostoru jej £iní nezávislým i na sm¥ru rychlosti
⃗ V
. Je tedy pouze
ds = f (V )ds′ ,
izotropnost
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
82
Sou£asn¥ v²ak platí i
nebo´ se soustava
S
ds′ = f (V )ds , S′
pohybuje v·£i
2 rovností získáváme f (V
)=1
⃗ −V
rychlostí
⃗ |) = f (V ) . f (| −V
a
Z posledních dvou
a
ds2 = ds′2 a díky linearit¥ vztahu mezi
ds
a
ds′
(1.85)
i analogickou rovnost pro interval mezi dv¥ma libovol-
nými událostmi:
s212 = s′2 12 .
(1.86)
invariantnosti intervalu
Poslední rovnost je vyjád°ením
a lze ji povaºovat za matematickou
formulaci principu stálé rychlosti sv¥tla a bezprost°ední východisko pro odvození transforma£ních vztah· mezi soubory £asoprostorových sou°adnic popisujících danou událost v r·zných vztaºných soustavách.
P°íklad 21.
Vztaºná soustava
S′
se vzhledem k inerciální vztaºné soustav¥
hybuje transla£ním pohybem stálou rychlostí sou°adnicové soustavy spojené s
S′
U1′
U1 . . . U1 = (t, x, y, z)S ,
⃗ V
v okamºicích
=
U1 , U2
. Dv¥ události
t′
(t′ , 0, 0, 0)S ′
t′ + dt′ .
a
calS
po-
nastaly v po£átku
Je tedy
,
U2 . . . U2 = (t + dt, x + dx, y + dy, z + dz)S , U2′ = (t′ + dt′ , 0, 0, 0)S ′ . √ √ ⃗ = ds′12 = cdt′ , ds12 = c2 dt2 − (dx2 + dy 2 + dz 2 ) = dt c2 − V 2 , nebo´ vektory R ⃗ + dR ⃗ = (x + dx, y + dy, z + dz)S p°edstavují polohu po£átku O′ vzhledem (x, y, z)S a R k soustav¥ S v okamºicích t a t + dt m¥°ených samoz°ejm¥ na hodinách pevných v soustav¥ ⃗ = ( dx , dy , dz )S . Z poºadavku invariantnosti intervalu ds′ = ds12 pak dostáváme S , tj. V Platí
dt
dt
dt
dt′ = dt
12
√( 1−
a po integraci
∆t = √
) 2
V c2
∆t′ 1−
V2 c2
(1.87)
.
(1.88)
Rovnice (2.89) udává vztah pro £asový odstup nam¥°ený v soustav¥ které se odehrály v po£átku soustavy
S′
s £asovým odstupem
do²lo k událostem obecn¥ v r·zných místech.) Skute£nost, ºe
S
mezi dv¥ma událostmi,
∆t′ . (Vzhledem k soustav¥ S ∆t > ∆t′ nazýváme dilatací
£asu. Vztah (2.88) lze dokonce zobecnit i na p°ípady, kdy rychlost
′ pokládejme, ºe t
ální vztaºné soustav¥
H′
⃗ V
není konstantní. P°ed-
′ p°edstavuje £as m¥°ený na hodinách H , které se vzhledem k inerci-
S
pohybují rychlostí
se vzhledem k soustav¥
⃗ = R(t) ⃗ R , t ∈ [t0 , t0 + ∆t] .
S
⃗ = V ⃗ (t) , V
pohybují po trajektorii
kde
C,
t
S.
je £as m¥°ený v
Hodiny
zadané parametricky vztahem
Je z°ejmé, ºe mezi v²emi inerciálními vztaºnými soustavami
existuje taková, jejíº po£átek splývá v okamºiku
t ∈ [t0 , t0 + ∆t]
s polohou hodin
H′
a jejíº
rychlost je shodná s okamºitou rychlostí hodin v tomto okamºiku. Uvaºme v²echny inerciální vztaºné soustavy rozloºené tímto zp·sobem podél trajektorie z nich platí vztah (2.88), v n¥mº ov²em nami
H′
⃗ =V ⃗ (t) . V
C
hodin
H′ .
Pro kaºdou
Rozdíl £asových údaj· nam¥°ených hodi-
samotnými v koncovém a po£áte£ním bod¥ jejich trajektorie získáme integrací:
1.5. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI II t0∫+∆t √
′
1−
∆t =
83
V 2 (t) dt . c2
(1.89)
t0 Hodiny
H′
1.5.3
spojené s ur£itým objektem ukazují tzv.
vlastní £as
tohoto objektu.
Nerovnosti pro intervaly a jejich interpretace, sv¥telný kuºel
Relativnost sou£asnosti, jako d·sledek existence mezní rychlosti, vede k formulaci dal²ích otázek souvisejících s problematikou £asového sledu událostí v r·zných vztaºných soustavách: Je moºné, aby dv¥ události
U1
a
U2 ,
které ve vztaºné soustav¥
S
nastaly s ur£itým £asovým
odstupem, byly v n¥které vztaºné soustav¥
S′
U1
p°edcházet a v jiné ji následovat? Odpov¥di na
v jedné vztaºné soustav¥ události
U2
sou£asné? Za jakých podmínek? M·ºe událost
tyto a dal²í podobné otázky úzce souvisejí se znaménkem £tverce intervalu mezi uvaºovanými událostmi. Zvolme inerciální vztaºné soustavy
S
S′
a
stejn¥ jako p°i výkladu my²lenkového pokusu
v odst. 2.5.1, tj. s trvale rovnob¥ºnými sou°adnicovými osami a po£átky v okamºiku synchronizace hodin v obou soustavách, zvolen rovnob¥ºn¥ s rychlostí
⃗ V
t=
t′
= 0.
O , O′
splývajícími
x , x′ je ⃗ S , V = (V, 0, 0)S .
Spole£ný sm¥r os
, jíº se soustava S ′ pohybuje vzhledem k
(Tuto volbu vztaºných soustav zachováme i v dal²ích £ástech odst. 2.5.)
Uvaºujme o událostech U0 , U , které ve vztaºné soustav¥ S ′ nastaly = (t′0 , x′0 , y0′ , z0′ )S ′ , U ′ = (t′0 , x, y, z)S . Pro interval mezi nimi platí
sou£asn¥:
U0′ =
s′2 = −(x′ − x′0 )2 − (y ′ − y0′ )2 − (z ′ − z0′ )2 < 0 . Díky invariantnosti intervalu bude ov²em jeho kvadrát záporný v kaºdé vztaºné soustav¥. Ozna£íme-li
U0 = (t0 , x0 , y0 , z0 )S , U = (t, x, y, z)S ,
je
s2 = c2 (t − t0 )2 − (x − x0 )2 − (y − y0 )2 − (z − z0 )2 < 0 . Nerovností (2.90) je v soustav¥
S
vymezena oblast £asoprostoru, v níº mohou leºet události,
které ve vhodn¥ vybrané vztaºné soustav¥
U0 . . . U0′ = (t′0 , x′0 , y0′ , z0′ )S ′
(1.90)
S′
nastanou sou£asn¥ s pevn¥ zvolenou událostí
. Hranicí této oblasti je tzv
sv¥telný kuºel,
spjatý s událostí
U0 ,
ur£ený rovnicí
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = c2 (t − t0 )2 . Situace je velmi názorná pro události odehrávající se na ose
z′
y0′
x,
tj. pro
z0′
(1.91)
y = y′ = 0 , z =
a x′ O ′ y ′ , resp.
= 0 , z0 = = 0 , p°ípadn¥ v rovinách xOy = 0 , y0 = x′ O′ z ′ . V prvém z obou speciálních p°ípad· je totiº vztah (2.91) rovnicí
xOz
a
dvojice r·znob¥ºek
c(t − t0 ) = ±(x − x0 ) , v druhém z nich p°edstavuje rovnici kuºelové plochy c(t − t0 ) = √ √ ± (x − x0 )2 + (y − y0 )2 resp. c(t − t0 ) = ± (x − x0 )2 + (z − z0 )2 (viz Obr. 1.27).
Obr. 1.27: Sv¥telný kuºel události U . Nerovnost (2.90) je spln¥na pro události leºící vn¥ sv¥telného kuºele, jehoº vnit°ek je v obrázku vyzna£en te£kováním. Ke kaºdé události
U,
pro niº je
s2 < 0 ,
tj. která leºí vn¥ sv¥telného
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
84
kuºele spjatého s událostí
U0 ,
existuje vztaºná soustava
S′ ,
v níº jsou události
U0 ,
sou£asné. Naopak, pro události uvnit° sv¥telného kuºele události
kde
S2 > 0 ,
U
a
U0
takovou
vztaºnou soustavu najít nelze. Kaºdá z takových událostí nastane ve v²ech vztaºných soustavách bu¤ d°íve neº
U0
(pro
t < t0 ),
nebo pozd¥ji (pro
t > t0 ).
Oblast £asoprostoru, pro
niº
√ ) c(t − t0 ) < − (x − x0 2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 , p°edstavuje
absolutní minulost
události
c(t − t0 ) > + její
√
U0 ,
(1.92)
oblast ur£ené nerovností
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 ,
(1.93)
absolutní budoucnost. O intervalu, jehoº £tverec je kladný, hovo°íme jako o £asupodobném.
Naopak, kaºdá z událostí
−
√
U,
pro niº je
√
(x−x0 )2 +(y−y0 )2 +(z −z0 )2 < c(t−t0 ) <
S′
mohou sice ve vhodn¥ zvolené vztaºné soustav¥
(x−x0 )2 +(y−y0 )2 +(z −z0 )2 , nastat sou£asn¥ s událostí
U0 ,
(1.94)
budou
v²ak od ní vºdy odd¥leny prostorov¥ (nemohou s ní nastat v ºádné vztaºné soustav¥ v tomtéº míst¥). Oblast £asoprostoru vymezená nerovností (2.94) p°edstavuje
odlehlost
od události
U0 .
Interval, jehoº £tverec je záporný, se nazývá
P°edchozí diskuse vede mj. k záv¥ru, ºe mezi dv¥ma událostmi
U0
absolutní prostorovou prostorupodobný. a
U,
jejichº spojnice
v £asoprostoru leºí uvnit° sv¥telného kuºele, v principu nem·ºe existovat p°í£inná souvislost. Jejich prostorová odlehlost je totiº vºdy v¥t²í neº vzdálenost, kterou urazí sv¥tlo, nejrychlej²í nositel informace, za dobu
t − t0
(viz události
U0 , U1 )
v
Obr. 1.27.
Otázky formulované v úvodu odstavce jsou dosavadními úvahami zodpov¥zeny jen £áste£n¥. Zatím je z°ejmá pouze skuute£nost, ºe události, které nemohou nastat sou£asn¥ s událostí
U0
v ºádné vztaºné soustav¥, leºí v kaºdé vztaºné soustav¥ uvnit° sv¥telného kuºele
události
U0 ,
události
U0
zatímco události, které by v n¥kterých vztaºných soustavách mohly p°edcházet a v jiných ji následovat, vypl¬ují jeho vn¥j²ek. De nitivní vy°e²ení tohoto pro-
blému umoºní aº transforma£ní vztahy mezi £asoprostorovými údaji reprezentující události v r·zných vztaºných soustavách.
1.5.4
Lorentzova transformace
Východiskem pro záskání transforma£ních vztah· mezi £tve°icemi £asoprostorových sou°asnic
U = (t, x, z, y)S
a
U ′ = (t′ , x′ , y ′ , z ′ )S ′
události
U
je op¥t invariantnost intervalu. Pon¥vadº
je £tverec intervalu v kaºdé vztaºné soustav¥ kvadratickou formou v prom¥nných
x0 , y − y0 , z − z0 ,
t − t0 , x −
musí být transforma£ní vztahy mezi prom¥nnými lineární. Vzhledem k vý-
soustav S , S′ (viz odst. 2.5.3) = (0, 0, 0, 0)S , U0′ = (0, 0, 0, 0)S ′ a platí y − y ′ , z = z ′ . b¥ru
lze
volit
U0 . . . U0
=
Ozna£me
(u) = (ct x) , (u′ ) = (ct′ x′ ) . Lineární transforma£ní vztah mezi dvojicemi
(ct, x)S
a
(ct′ , x′ )S ′
pak lze vyjád°it maticovým
zápisem
(u) = (u )P , P = ′
τ11
τ12
τ21
τ22
,
(1.95)
1.5. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI II kde
P
85
je matice p°echodu. Rovn¥º kvadrát intervalu mezi událostmi
U
a
U0
lze vyjád°it
pomocí maticového násobení:
s = c t − x = (ct x) 2
kde horní index stav¥
S′ .
2 2
T
1
0
0
−1
2
ct
= (u)G(u)T ,
(1.96)
x
zna£í tramnspozici. Zcela analogické je vyjád°ení £tverce intervalu v sou-
s2 = s′2
Z rovnosti
a ze vztahu (2.95) plyne:
′
(u )G(u′ )T = (u)G(u)T = (u′ )P GP T (u′ )T , odkud
P GP T = G ⇒ GP T = P −1 G .
Z poslední rovnosti je z°ejmé, ºe
det P = ±1 .
Na²í volb¥ soustav
S , S′
odpovídá kladná z
obou hodnot, a tedy
P
−1
=
τ22
−τ12
−τ21
τ11
Porovnáním matic
, GP
T
P −1 G τ11 P = τ12
GP T
a
Je z°ejmé, ºe prvky matice
P
τ11
τ21
−τ12
−τ22
=
,P
τ22
τ12
−τ21
−τ11
G=
.
dostáváme
τ12
2 2 , det P = τ11 − τ12 = 1.
(1.97)
τ11
budou záviset na rychlosti
S ′ je v okamºiku sou°adnicemi
−1
⃗ V
. Poloha po£átku
O′
soustavy
′ , popsaná v S £asoprostorovými
t ur£ena sou°adnicí x = V t . Událost U U ′ = (t′ , 0, 0, 0)S ′ , m? v S sou°adnice U = (t, V t, 0, 0)S . Dosazením do vztahu
(2.95) a vyuºitím (2.97) dostáváme
(ct V t) = (ct 0) ′
τ11
τ12
τ12
τ11
,
a kone£n¥
P =
√ V 2 1− V 2
√ 1 2 1− V 2
c
√ V 2 c 1− V 2
√ 1 2 1− V 2
c
c
c
.
c
Z (2.95) pak získáváme transforma£ní vztahy pro dvojice údaj· n¥ním o rovnosti
z=
y′ a
z=
z ′ dostaneme tzv.
(1.98)
(ct, x)S
Lorentzovu transformaci:
t′ + V2 x′ V t ′ + x′ t = √ c , x = √ , y = y′ , z = z′ . 2 2 1 − vc2 1 − vc2 Limitní p°echod
V c
→ 0
a
(ct′ , x′ )S ′
. Dopl-
(1.99)
ve vztahu (2.99) pak podle o£ekávání vede k transformaci Galileiov¥.
Maticový zápis tranforma£ních rovnic (2.99)
(U ) = (U ′ )T
m? tvar:
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
86
(t x y z) = (t′ x′ y ′ z ′ )
P°íklad 22.
√ V 2 1− V 2
0
√ 1 2 1− V 2
0
0
0
1
0
0
0
√ 1 2 1− V 2 c
c2
c
√V 2 1− V 2 c
c
0
0 . 0
(1.100)
1
U0 je ve vztaºné soustav¥ S ′ zadána £aso′ = (t0 , x, 0, 0)S ′ . Uºitím Lorentzovy transformace popí²eme v ′ ′ ′ ′ v²echny události, které jsou v S s událostí U0 sou£asné,tj. U = (t0 , x , 0, 0)S ′ , P°edpokládejme, ºe událost
prostorovými sou°adnicemi U0′ soustav¥ kde
x′
S
je libovolné. Podle (2.99) platí pro takové události
t′0 + V2 x′0 t = √ c 2 1 − vc2 Odtud vylou£ením prom¥nné
x′
,
U (t, x, 0, 0)S
vztahy
V t ′ + x′ x = √0 . 2 1 − vc2
získáme rovnici
√ V t = 2 x + t′0 c p°edstavující v rovin¥
tOx
1−
p°ímku (viz
V2 c2
⇒
t − t0 =
V (x − x0 ) . c2
Obr. 1.28).
Obr. 1.28: K p°íkladu 1.xx.
Události sou£asné s v
S
U0
S′
v soustav¥
vypl¬ují v
S′
p°ímku rovnob¥nou s osou
x′ ,
zatímco
leºí na p°ímce o sm¥rnici V /c2 . Analogicky m·ºeme uvaºovat o událostech soumístných,
tj. t¥ch, které nap°íklad v
S′
nastaly v bod¥
(t′ , x′0 , 0, 0)S ′ , t′ + V2 x′0 t = √ c 2 1 − vc2 x′ x − 0 t = V V
,
x′0
v r·zných okamºicích. Platí pro n¥
V t′ + x′0 x = √ . 2 1 − vc2
√ 1−
V2 c2
U′ =
⇒
t − t0 =
x − x0 . V
Obr. 1.28. Obr. 1.28 vyzna£ena polorovina {(T ′ , x′ ) | t′ < t′0 } , odpovída-
Situace je rovn¥º znázorn¥na na Te£kováním v levé £ásti
jící událostem, které v soustav¥ v soustav¥
x,
S
S′
p°edcházely události
U0 . Body reprezentující tyto události
vyplní rovn¥º polorovinu, omezenou v²ak jiº nikoli p°ímkou rovnob¥ºnou s osou
nýbrº p°ímkou o sm¥rnici
v/c2 .
Události leºící ve vy²rafované £ásti
A
této poloroviny v
1.5. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI II U0 , nebo´ pro n¥ platí t > odpovídá op¥t vy²rafovaná £ást A′ poloroviny {(t′ , x′ ) | t′ < t0 } . soustav¥
S
následovaly aº po události
A = {(t, x) ∈ R × R | t0 < t < t0 +
1.5.5
87
t0 .
V soustav¥
S′
jim
V V (x − x0 )} , A′ = {(t′ , x′ ) ∈ R × R | t′0 − 2 < t′ < t′0 } . c2 c
Aplikace: kontrakce délek a dilatace £asu
Pojmy kontrakce délek a dilatace £asu jsou úzce spojeny s m¥°ením £asové a prostorové odlehlosti událostí. S dilatací £asu jsme se setkali jiº v p°íkladu 21. Podle vztahu (2.88), odvozeného v tomto p°íkladu, je £asový odstup
∆t = t2 − t1
mezi zapo£etím a skon£ením ur£itého d¥je
v obecn¥ zvolené inerciální vztaºné soustav¥ v¥t²í neº doba trvání tohoto d¥je ve vztaºné soustav¥
S′ ,
∆t′ = t′2 − t′1
v níº se d¥j odehrává na jednom míst¥, konkrétn¥
∆t′ . ∆t = √ 2 1 − Vc2 Tento výsledek, který jsme v p°íkladu 21 odvodili p°ímou aplikací invariantnosti intervalu, lze samoz°ejm¥ získat i pouºitím Lorentzovy transformace, která z invariantnosti intervalu vyplývá:
U1 , U2 jsou události de nované údaji U1 = (t1 , x1 , 0, 0)S , U1′ = (t′1 , x′1 , 0, 0)S ′ , U2 = (t2 , x2 , 0, 0)S , u′2 = (t′2 , x′1 , 0, 0)S ′ , v soustav¥ S ′ jsou tedy soumístné. Pak Nech´
t′1 + V2 x′1 t′2 + V2 x′1 t′ − t′1 ∆t′ − √ c = √2 = √ . ∆t = t2 − t1 = √ c 2 V2 V2 V2 1 − c2 1 − c2 1 − c2 1 − Vc2
Poznámka: Nech´ t′2 > t′1 . V soustav¥ S t′2
V ∆x = x2 − x1 = √
−
1−
x′1 V2 c2
se události odehrály ve vzdálenosti
V t′ − x′1 V ∆t′ − √1 = √ = V ∆t . 2 2 1 − Vc2 1 − Vc2
Tento výsledek je v souhlasu s názornou p°edstavou.
Uvaºujme nyní naopak o událostech
U1 , U2 ,
které se v soustav¥
S
odehrály na r·zných
místech, av²ak sou£asn¥ (nap°íklad sou£asné m¥°ení polohy konc· tuhé ty£e, slouºící k ur£ení její délky). Nech´ je pro jednoduchost
U1 = (t1 , x1 , 0, 0)S , U1′ = (t′1 , x′1 , 0, 0)S ′ , U2 = (t1 , x2 , 0, 0)S , U2′ (t′2 , x′2 , 0, 0)S ′ . Toto zadání odpovídá situaci, kdy v soustav¥ pevn¥ spojena se soustavou
S′ ,
S
je provád¥no m¥°ení délky ty£e, která je
oba její konce se tedy v·£i
S
pohybují rychlostí
⃗ V
. Délka
∆x = x2 − x1 .
ty£e je pak
V t′ − x′2 V t′ − x′1 x′ − x′1 V (t′ − t′1 ) ∆x = x2 − x1 = √ 2 −√1 = √2 + √ 2 = 2 2 2 2 1 − Vc2 1 − Vc2 1 − Vc2 1 − Vc2 √
∆x′ 1−
V2 c2
+√
V x c2 2
V 1−
V2 c2
− V t1
√ 1−
V2 c2
− V t1 ∆x′ V 2 ∆x . − √ + 2 = √ 2 2 c 1 − V 22 1 − Vc2 1 − Vc2 c V x c2 2
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
88
Odtud:
√ ∆x = ∆x
Je vid¥t, ºe délka
∆x′ ,
délek.
∆x
V2 . c2
1−
pohyblivé ty£e, m¥°ená v soustav¥
m¥°ená v soustav¥
Poznámka:
′
S,
(1.101)
S,
je krat²í, neº její
∆t′ = t′2 − t′1 ,
Ur£íme je²t¥ £asový interval
udávající v soustav¥
odlehlost m¥°ení poloh konc· ty£e, provedených pozorovatelem v soustav¥ okamºiku
vlastní délka kontrakce
v níº je ty£ v klidu. Uvedený jev je znám pod názvem
S
S
£asovou
sou£asn¥, v
t1 : V
c ∆t′ = t′2 − t′1 = √ 2
x2 − t1 1−
V2 c2
V 2
c − √
x1 − t1 1−
=
V2 c2
V V ∆x √ = 2 ∆x′ c2 1 − V 2 c c2
Rovn¥º tento výsledek je pom¥rn¥ názorný:Pozorovatel v soustav¥ maci o m¥°ení polohy konc· ty£e pozorovatelem v soustav¥
S
S′
sv¥telného signálu. Signály vyslané sou£asn¥ pozorovatelem v soustav¥
S′
poloh obou konc· ty£e jsou p°i p°íjmu v soustav¥
nem·ºe dostat infor-
rychleji neº prost°ednictvím
S
v okamºiku m¥°ení
£asov¥ posunuty tak, ºe p°íjem signálu
∆x′ , zp·sobenému c V ∆τ ′ omezenou rychlostí ²í°ení sv¥teln¥ho signálu, opoºd¥n je²t¥ o dobu ∆t′ = = cV2 ∆x′ , c
∆τ ′ =
na vzdálen¥j²ím konci ty£e je proti o£ekávanému opoºd¥ní o dobu
související s pohybem ty£e.
1.5.6
Aplikace: pravidlo pro skládání rychlostí
Vztahy mezi rychlostmi £ástice soustavách
S
a
S′
⃗v = ( dx , dt
dy dz , ) dt dt S
a
′
⃗v ′ = ( dx , dt′
dy ′ dz ′ , ) ′ dt′ dt′ S
ve vztaºných
získáme z transforma£ního vztahu (2.100) derivací podle prom¥nné
( 1
dx dt
dy dt
dz dt
)
( dt′ = 1 dt
dx′ dt
′)
dy ′ dt
dz dt
T ,
tj.
(1 vx vy
dt′ vz ) = (1 vx′ vy′ dt
vz′ )
√ V 2 1− V 2
0
√ 1 2 1− V 2
0
0
0
1
0
0
0
√ 1 2 1− V 2 c
c2
√V 2 1− V 2 c
Odtud jiº dostáváme
√ 2 1 − Vc2 dt′ = ′ v V dt 1 + cx2
c
c
0
0 . 0 1
t:
1.5. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI II a
1
(1 vx vy vz ) =
(1
′ V vx c2
1+
vx′
vy′
√ V 2 1− V 2
0
√ 1 2 1− V 2
0
0
0
1
0
0
0
√ 1 2 1− V 2
′ vz )
c
c2
89
0
0 . 0
c
√V 2 1− V 2 c
c
1 (1.102)
Rozepsáním do sloºek získáme standardní zp·sob zápisu transforma£ních vztah· pro sloºky
pravidlo pro skládání rychlostí:
rychlosti, p°edstavující tzv.
vx =
vx′ + V 1+
P°íklad 23. vztaºné soustav¥
a osou
V2 c2 ′ V vx c2
, vz =
vz′
√
1−
1+
resp.
S′ .
(1.103)
je klasické Galileiovo pravidlo (2.81). Pro
V → c
je
⃗v
resp.
⃗v ′
vzhledem k
Pro zjednodu²ení p°edpokládejme, ºe spole£ná sou°adnicová
⃗v ′ = (v ′ cos Θ′ , v ′ sin Θ′ , 0)S ′
x , resp. vektorem ⃗v ′
.
coº odpovídá rychlosti sv¥tla jakoºto rychlosti mezní.
obou soustav je zvolena tak, ºe a
V2 c2
′ V vx c2
Uvaºujme o £ástici pohybující se stálou rychlostí
S
xOy , x′ Oy ′ (v cos Θ, v sin Θ, 0)S rovina
√
1+
V /c → 0
Jeho limitním p°ípadem pro
vx → 0 , vy → 0 , vz → c ,
, vy =
′ V vx c2
vy′
a osou
vz = vz′ = 0 . Pak lze ozna£it ⃗v = Θ resp. Θ′ je úhel mezi vektorem ⃗v
, kde
x′ . £ástice je v soustav¥ S registrována detektorem, jehoº Θ′ . Najdeme vztah mezi p°ijímacím úhlem
osa svírá se sou°adnicocou osou x′ pot°ebný úhel
Θ′ a ?hlem Θ vx ̸= 0
m¥°ením v soustav¥
S.
Uºitím transforma£ních vztah· (2.103) dostáváme pro
√ √ 2 2 v ′ sin Θ′ 1 − Vc2 vy′ 1 − Vc2 vy = . tg Θ = = vx vx′ + V v ′ cos Θ′ + V Speciálním p°ípadem této situace je ²í°ení sv¥telného signálu, kdy
√ tg Θ = tg Θ′
v = v′ = c .
Výsledek
V2 c2 V c cos Θ′
1−
1+
lze interpretovat takto: Sv¥tlo p°icházející na Zemi ze vzdálené stálice je pozemským detektorem p°ijímáno pod úhlem
Θ′
(úhel mezi osou detektoru a sm¥rem pohybu Zem¥ vzhledem ke
stálici). V uvedeném sm¥ru tedy pozorovatel nebo detektor vidí sledovanou stálici. Vzhledem k pozorovateli v soustav¥
S
v²ak sv¥telný paprsek svírá se sm¥rem pohybu Zem¥ úhel
ur£ený posledním vztahem. Uvedený jev se nazývá Zem¥ vzhledem ke Slunci je tento pom¥r °ádov¥
(
10−4 )
tg Θ′ ≈ tg Θ 1 + a pro tzv.
abera£ní úhel
pak
aberace sv¥tla.
Pro
V /c ≪ 1
dostáváme p°ibliºn¥ vztah
V c cos Θ′
) ,
Θ,
(p°i pohybu
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
90
∆Θ = Θ′ − Θ ≈ sin (Θ′ − Θ) = (tan Θ′ − tan Θ) cos Θ cos Θ′ ≈
1.5.7 Známý
V V sin Θ ≈ sin Θ′ . c c
Aplikace: paradox dvoj£at paradox dvoj£at
bývá obvykle formulován takto: Pozorovatelé
A
a
B
zatímco
B
z·stává na Zemi.
A
A ⃗ , V
jsou dvoj£ata.
cestuje ke vzdálené planet¥ v raket¥ letící (po odstartování a urychlení) stálou rychlostí
dorazí k planet¥ a okamºit¥ odstartuje zp¥t k Zemi, p°i£emº se
pohybuje stejn¥ velkou rychlostí jako p°i p°íletu. Po p°istání na Zemi se ukáºe, ºe zatímco v soustav¥ spojené se Zemí uplynula doba
∆τB ,
zm¥nil se údaj na hodinách v raket¥ o
∆τB .
P°itom podle vztahu (2.88), vyjad°ujícího dilataci £asu, je
∆τA ∆τB = √ . 2 1 − Vc2 Dvoj£e na Zemi tedy zestárlo více, neº jeho bratr v raket¥. Paradoxní se jeví skute£nost, ºe úvahu lze obrátit: Z hlediska pozorovatele se Zemí rychlostí
⃗ −V
A
v raket¥ naopak cestuje jeho bratr
B
spole£n¥
, takºe
∆τA = √
∆τB 1−
V2 c2
.
Jako v²echny úvahy vedoucí k paradox·m je i tato chybná. Vychází totiº z p°edstavy dvou inerciálních vztaºných soustav by ov²em pozorovatelé
A
a
B
S
a
S p rime
spojených se Zemí a s raketou. V takové situaci
nikdy nem¥li moºnost porovnávat údaje na svých hodinách,
A vrací na Zemi, jsou ve h°e t°i S ′ , spojená se vzdalující se raketou
nebo´ by se neustále vzdalovali. Protoºe se v²ak pozorovatel vztaºné soustavy: Soustava a soustava
A
a
B
S ′′ ,
S,
spojená se Zemí, soustava
spojená s p°ibliºující se raketou p°i jejím návratu. Postavení pozorovatel·
tak není symetrické, nebo´
je nejprve spojen se soustavou
S′
B
setrvává stále v téºe vztaºné soustav¥
S ′′ .
a poté se soustavou
skute£nost, ºe b¥hem start· a p°istání se pozorovatel
B
S,
zatímco
A
V dal²ích úvahách zanedbáme
nachází ve skute£nosti v neinerciální
vztaºné soustav¥. Tato aproximace odpovídá zanedbateln¥ krátkému trvání start· a p°istání. Ozna£me následující události:
U1 . . . start
rakety,
U2 . . .
p°istání rakety na planet¥ a její start zp¥t k Zemi,
U3 . . .
p°istání rakety na Zemi.
Jednotlivé události je t°eba vyjád°it ve vztaºných soustavách
S , S ′ , S ′′ .
P°edpokládejme,
ºe odpovídající si sou°adnicové osy v²ech soustav jsou souhlasn¥ rovnob¥ºné s rychlostí v okamºiku startu rakety ze Zem¥, kdy splývají po£átky vynulování hodin v t¥chto soustavách, tj.
S ′ , S ′′
t = t′ = 0 .
O
′ a O soustav
Nech´ dále
S po£átky O ′ , O ′′
splývají v okamºiku obrátky rakety na planet¥, p°i£emº hodiny v soustav¥
y ová
a
z ová
sou°adnice událostí
U1 , U2 , U3
a
soustav
S ′′
p°i obrátce na°ízeny tak, aby ukazovaly týº údaj, jaký je práv¥ na hodinách soustavy Vzhledem k tomu, ºe
⃗ V
′ a S , dojde k
jsou
S′ .
jsou ve v²ech soustavách
1.5. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI II
91
xovou
nulové, zjednodu²íme popis událostí pouze na dva údaje £as a
sou°adnici:
U1 = (0 , 0)S , U1′ = (0 , 0)S ′ , U2 , = (t2 , x2 )S , U1′ = (t′2 , 0)S ′ , U2′′ = (t′′ 2 , 0)S ′′ , U2 , = (t2 , x2 )S , U1′ = (t′2 , 0)S ′ .
Situaci v jednotlivých vztaºných soustavách znázor¬uje následující obrázek:
Obr. 1.29: Paradox dvoj£at Události
U1
a
U2
jsou soumístné v soustav¥
S′
U2
a události
U3
a
v soustav¥
S ′′ .
Pro
odpovídající £asový intervaly lze pouºít vztahu pro dilataci £asu (2.88):
t2 = √
Vzhledem k symetrii (
t′2 1−
V2 c2
t′′ − t′2 , t3 − t2 = √3 . 2 1 − Vc2
Obr. 1.30) je t3 = 2t2 .
Obr. 1.30: Popis k obrázku. Dále je
′ ∆τA = t′′ 3 = 2t2 .
Odtud pak
∆τB = t3 = √
2t′2 1−
V2 c2
= √
∆τA 1−
B
,
U4
událost odpovídající obrátce
1−
V2 , c2
Uvaºujme nyní z hlediska pozorovatele v raket¥. Ozna£me pozorovatele
V2 c2
vzhledem k raket¥.
U4 = (t4 , 0)S , U4′ = (t′4 , x′4 )S ′ . p°i£emº ov²em
t′4 = t′2 . x′4
Platí
= −V
t′2
t′4 + V2 x′4 , t4 = √ c = t′2 2 1 − Vc2
∆t24 = t2 − t4 = √
Pozorovatel (viz
√
t′2 1−
A pak vypo£te dobu ∆τB
V2 c2
− t′2
1−
√
t′ V2 V2 = 2 √ 2 2 c c 1−
V2 c2
.
jako dvojnásobek sou£tu £asových interval·
t4
a
∆t24
Obr. 1.30). t′ ∆τB = 2(t4 + ∆t24 ) = 2 √ 2 1−
V2 c2
= √
∆τA 1−
V2 c2
.
Výsledek je stejný jako p°i výpo£tu z hlediska pozorovatele na Zemi. ádný paradox nevzniká.
KAPITOLA 1. POJMY KLASICKÉ MECHANIKY POHYB A JEHO POPIS
92
1.6 ty°rozm¥rné vektory
Kapitola 2
Principy klasické mechaniky pis pohybu
V p°edchozí kapitole jsme de novali ve²keré pojmy, které jsou pot°ebné pro
po-
hmotných bod· (klasických £ástic), ve £tvrté kapitole jich pouºijeme
p°edpov¥dím
pro popis pohybu kontinua. Zp·sob, jakým jsme pojmy zavád¥li, jiº samoz°ejm¥ p°edjímá postupy, které povedou v
pohybu na základ¥ znalosti in-
terakcí £ástice nebo soustavy £ástic s okolními objekty a znalosti stavu £ástice nebo soustavy v daném okamºiku. Základem zji²t¥ní, ºe je skute£n¥ moºné získat parametrické vyjád°ení trajektorie dané £ástice, tj. vektorovou funkci
základní principy
postuláty
⃗r(t)
ur£ující její polohu v daném okamºiku, jsou experimentální zku²enosti. Ty umoº-
axiomy
nily formulovat
neboli
(matematik by je nazval t°eba
) klasické mechaniky, z nichº (a samoz°ejm¥ z jejich matematické formu-
lace) vyplývají v²echny zákonitosti, vztahy, rovnice, atd., jimiº se °ídí pohyb
Newtonovy zákony
£ástic, jejich soustav, t¥les prost¥ objekt· makrosv¥ta. T¥mito principy jsou . Jestliºe k nim p°idáme vztahy pro kvantitativní vyjád°ení in-
terakce mezi makroskopickými objekty, máme v ruce skute£n¥ kompletní soubor stavebních kamen· klasické newtonovské mechaniky. Dal²í je záleºitostí um¥ní vytvo°it z nich stavbu, tj. základní principy matematicky formulovat a pouºít pro odvození dal²ích zákonitostí umoº¬ujících °e²ení obecných situací i konkrétních p°íklad·.
2.1 První Newton·v zákon a jak mu rozum¥t Newtonovy zákony, a zejména první z nich, by Newton v dne²ních u£ebnicích moºná ani nepoznal. Kaºdý autor má svou interpretaci a formulaci, £i zjednodu²ující p°edpoklady. Sám Newton, jak ukazují historikové fyziky, dospíval k formulacím svých zákon· postupn¥ a dlouho. Jen pokud jde o první zákon, byl spokojen aº s jeho v po°adí devátou formulací. 93
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
94
2.1.1
Newtonova formulace prvního zákona a související otázky
Vyuºijeme výsledk· kvali kovaných historik· fyziky (u nás M. ernohorský) a vyloºíme si první Newton·v zákon p°ímo doslovným p°ekladem originálního latinského zn¥ní Newtonových Principií (I. Newton: Principia Mathematica Philosophiae Naturalis. Editio ultima. Sumptibus Societatis, Amstaelodami 1723.).
Poznámka:
[1] M. ernohorský: Problém interpretace Newtonovy formulace prvního pohy-
bového zákona. Folia facultatis scientiarum naturalium Universitatis Purkynianae brunensis 20 (1979), Physica 28, opus 3, Univerzita J. E. Purkyn¥, Brno 1979, 5-32. [2] M. ernohorský: Dev¥t Newtonových formulací prvního pohybového zákona: V: Pocta Newtonovi (Ed.: M. ernohorský, M. Fojtíková). Odborná skupina Pedagogická fyzika FVS JSMF, Brno 1986, 36-52. [3] M. ernohorský: Newtonova transla£n¥-rota£ní formulace prvního zákona pohybu: V: Ernst Mach: Fyzika loso e vzd¥lávání (Ed.: J. Musilová, P. Dub). Masarykova univerzita, Brno 2009.
Lex I První Newton·v zákon
Corpus directum t¥leso sm¥ru
omne perseverare in
statu suo
quiescendi vel movendi uniformiter
in
, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare.
Kaºdé
setrvává ve
svém stavu
klidu, nebo rovnom¥rného pohybu
, ledaºe je nuceno vti²t¥nými silami sv·j stav zm¥nit.
v daném
teme-li pozorn¥, napadne nás hned n¥kolik otázek:
•
V·£i jaké vztaºné soustav¥ posuzujeme klid, nebo rovnom¥rný pohyb v daném sm¥ru?
•
ím se Newtonova zdánliv¥ archaická formulace li²í od standardní, nej£ast¥ji pouºívané u£ebnicové T¥leso setrvává v klidu, nebo rovnom¥rném p°ímo£arém pohybu, dokud není vn¥j²ími silami nuceno tento stav zm¥nit ?
•
M·ºe t¥leso bez zásahu vn¥j²ích vliv· (v Newtonov¥ pojetí vti²t¥ných sil) setrvávat také v rovnom¥rném rota£ním pohybu?
•
Co jsou to vti²t¥né (vn¥j²í) síly a co jsou to síly v·bec?
•
Z kapitoly o kinematice víme, ºe rovnom¥rný p°ímo£arý pohyb hmotného bodu je totéº, co pohyb s nulovým zrychlením, v p°ípad¥ t¥lesa s nezanedbatelnými rozm¥ry bychom mohli mít na mysli pohyb jeho st°edu hmotnosti. Je tedy první zákon skute£n¥ nezávislým postulátem, nebo je pouhým d·sledkem zákona druhého? (Vzpome¬te na své znalosti ze st°ední ²koly, nebo se podívejte na dal²í odstavec.)
2.1. PRVNÍ NEWTONV ZÁKON A JAK MU ROZUM
T 2.1.2
95
Odpov¥di na otázky k prvnímu Newtonovu zákonu
Zde jsou odpov¥di na otázky z p°edchozího odstavce:
•
Newton pracoval s pojmy
absolutní £as
absolutní prostor.
, a co je pro jeho de nici klidu a
rovnom¥rného pohybu v daném sm¥ru d·leºité,
Tyto
objekty ov²em neexistují. Sou£asným absolutním vztaºným objektem je kterákoli inerciální vztaºná soustava. Invariatní v kaºdé vztaºné soustav¥, nejen inerciální, je z hlediska klasické nerelativistické mechaniky £asový interval
∆t = t2 − t1 = t′2 − t′1
a prostorový interval
|∆⃗r| =
√ (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 =
√ = •
(x′2 − x′1 )2 + (y2′ − y1′ )2 + (z2′ − z1′ )2 .
v daném sm¥ru
Odli²nost spo£ívá ve slovních spojeních, která jsou v Newtonov¥ formulaci napsána kurzívou. Zejména rovnom¥rný pohyb
zahrnuje
i rovnom¥rnou rotaci, nikoli jen rovnom¥rný pohyb po p°ímce. Tato sku-
svém stavu
te£nost je historickými studiemi prokázána mimo jakoukoli pochybnost.
je
Dal²í d·leºitou drobností je p°edpoklad, ºe t¥leso ve nebo rovnom¥rného pohybu v daném sm¥ru
klidu
, aby v n¥m mohlo setr-
vávat. O t¥lesech, která v takovém stavu nejsou, první Newton·v zákon nepojednává.
•
Odpov¥¤ na t°etí otázku je obsaºena nejen v p°esné Newtonov¥ formulaci, jejíº d·leºitost jsme zd·vodnili jiº druhou odpov¥dí, ale také ve výsledcích experiment·. Budeme-li pohybující se t¥leso více a více opro²´ovat od vn¥j²ích vliv· (pohyb vozíku s výbornými loºisky po speciáln¥ upravené lavici, pohyb vozíku po vzduchové lavici, kdy vzduchový pol²tá° eliminuje t°ení, otá£ení lépe a lépe vyváºeného kola s co nejlépe namazanými loºisky, apod.), bude v pohybu, do kterého jsme je uvedli, setrvávat déle a déle. Je samoz°ejmé, ºe reálná situace nikdy nebude dokonale odpovídat poºadavk·m absence vti²t¥ných sil, pop°ípad¥ eliminaci jejich vlivu v tomto smyslu je první Newton·v zákon abstrakcí.
•
V kontextu prvního Newtonova zákona m·ºeme pojem
vti²t¥né síly
chápat
kvalitativn¥, jako vliv okolních t¥les, interakce studovaného t¥lesa s okolními objekty, apod. Okolní objekty jednodu²e mohou zp·sobit, ºe t¥leso, které t°eba bylo vzhledem ke zvolené inerciální vztaºné soustav¥ ve stavu
nebude
klidu, nebo rovnom¥rného pohybu v daném sm¥ru (rovnom¥rná translace, rovnom¥rná rotace, jejich sloºení),
v tomto stavu setrvávat. Pokud
jde o sílu jako fyzikální veli£inu, která popisuje interakci objekt· kvantitativn¥, je její de nice záleºitostí aº druhého Newtonova zákona.
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
96
•
Pokud jsme se ztotoºnili s tvrzením, ºe první Newton·v zákon zahrnuje i rovnom¥rnou rotaci t¥lesa, je z°ejmé, ºe není d·sledkem druhého zákona, který o rota£ním pohybu t¥lesa jako celku nepojednává (uvidíme za chvíli).
Poznámka:
Ve prosp¥ch argumentace, ºe Newton m¥l ve svém prvním zákonu skute£n¥ na
mysli i rovnom¥rný rota£ní pohyb t¥lesa, sv¥d£í mj. jeho komentá° v rukopise Xa De Motu Corporum, £asov¥ p°edcházejícím Principia. Latinské zn¥ní i p°eklad jsou p°evzaty z vý²e citované práce [3] M. ernohorského. Vi insita corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in linea recta nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum suum mutare. Motus autem uniformis hic est duplex, progressivus secundum lineam rectam quam corpus centro suo aequabiliter lato describet et circularis circa axem suum quemvis qui vel quiescit vel motu uniformis latus semper manet positionibus suis prioribus paralellus. Inherentní silou setrvává kaºdé t¥leso ve svém stavu klidu nebo rovnom¥rného pohybu po p°ímce, pokud není interak£ními silami p°inuceno onen stav m¥nit. Tento rovnom¥rný pohyb je v²ak dvojí, postupný po p°ímce, kterou t¥leso opisuje svým rovnom¥rn¥ se pohybujícím st°edem, a rota£ní kolem ur£ité osy t¥lesa, která je bu¤ v klidu nebo pohybujíc se rovnom¥rn¥ z·stává stále rovnob¥ºná se svými p°edchozími polohami. Pojmu
inherentní síla lze rovn¥º dát interpretaci odpovídající dne²nímu pohledu na klasickou
mechaniku. V tuto chvíli k ní v²ak nemáme pot°ebné zázemí a vrátíme se k ní pozd¥ji.
Pozd¥ji uvidíme, ºe setrvání t¥lesa v rovnom¥rném transla£ním, nebo rovnom¥rném rota£ním pohybu, v£etn¥ moºnosti superpozice, lze interpretovat jako d·sledek spojení druhého a t°etího Newtonova zákona. Obnovuje se tedy otázka, zda první Newton·v zákon je nezávislým axiomem. P°i neexistenci absolutního prostoru ano. Lze jej totiº chápat jako existen£ní tvrzení p°edstavující sou£asn¥ de nici inerciální vztaºné soustavy, nap°íklad takto:
První Newton·v zákon Existují vztaºné soustavy, zvané
inerciální
, v nichº t¥leso uvedené do stavu
klidu, nebo rovnom¥rného pohybu v daném sm¥ru setrvává v tomto stavu, dokud není interakcí s okolními objekty nuceno tento sv·j stav zm¥nit. Rovnom¥rným pohybem v daném sm¥ru se p°itom rozumí rovnom¥rný pohyb transla£ní, nebo rota£ní, nebo superpozice obou. Jiná interpretace prvního Newtonova zákona, která se v²ak týká pouze hmotných bod·, m·ºe být následující: Kaºdé dva volné hmotné body jsou navzájem
inerciální
v klidu nebo v rovnom¥rném p°ímo£arém pohybu. Vztaºné soustavy, jejichº po£átek a osy jsou spojeny s volnými hmotnými body, nazýváme
. Tímto
zp·sobem jsme také inerciální soustavy zavedli v kapitole 1. Bez empiricky podloºeného axiomu deklarujícího jejich existenci, jímº práv¥ první Newton·v zákon m·ºe být, by v²ak tento pojem byl prázdný.
2.2 Druhý Newton·v zákon a jeho dvojí £tení První Newton·v zákon se týkal t¥les, která jsou od okolních vliv· opro²t¥na. Vyplývá z n¥j, ºe t¥lesa, která budou okolním vliv·m naopak vystavena, nebudou
2.2. DRUHÝ NEWTONV ZÁKON A JEHO DVOJÍ TENÍ
97
obecn¥ setrvávat v·£i inerciálním vztaºným soustavám v klidu, nebo rovnom¥rném pohybu v daném sm¥ru. Pro p°ípad translace to znamená, ºe hmotný bod, resp. hmotný st°ed t¥lesa, nebude obecn¥ v klidu, nebo v rovnom¥rném p°ímo£arém pohybu, rotace t¥lesa rovn¥º nebude obecn¥ rovnom¥rná. Rychlost bodu tedy nebude konstantní, a tedy jeho zrychlení nebude trvale nulové. Úh-
jak bude zrychlení, resp. úhlové zrychlení druhý Newton·v zákon
lová rychlost rotujícího t¥lesa nebude konstantní, a tedy jeho úhlové zrychlení nebude trvale nulové. Na otázku,
jaké
se tedy bude m¥nit rychlost hmotného
bodu, rychlost st°edu hmotnosti t¥lesa, resp. úhlová rychlost t¥lesa, tj.
, v²ak první zákon neodpovídá. Takovou
odpov¥¤ dává
2.2.1
.
Newtonova formulace druhého zákona a související otázky
Také druhý Newton·v zákon uvedeme nejprve v originálním latinském zn¥ní s doslovným p°ekladem.
Lex II Druhý Newton·v zákon Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae & sieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.
Def: Vis impressa est action in corpus exercita, ad mutandum ejus statum vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum. Zm¥na hybnosti je úm¥rná vti²t¥né hybné síle a sleduje p°ímku, podél níº je tato síla vti²t¥na.
Def: Vti²t¥ná síla je p·sobení vykonávané na t¥leso za ú£elem zm¥ny jeho stavu klidu, nebo rovnom¥rného pohybu v daném sm¥ru.
Motus hybnost
p°itom Newton de nuje jako sou£in hmotnosti a rychlosti
t¥lesa. Hybnost je tedy vektorová veli£ina. Její derivace je obecn¥ ur£ena jak zm¥nou hmotnosti objektu, tak zm¥nou jeho rychlosti. P°i výpo£tech se zatím
motus
omezíme na situace, kdy studovaným t¥lesem je hmotný bod. Odpadne tak (ale jen prozatím) problém, co je t°eba rozum¥t pod pojmem rotujícího t¥lesa.
p⃗(t) = m(t)⃗v (t),
d⃗ p dm d⃗v = ⃗v + m = m⃗ ˙ v + m⃗a. dt dt dt
v p°ípad¥
(2.1)
V p°ípad¥ konstantní hmotnosti je derivace hybnosti £ástice rovna sou£inu její hmotnosti a jejího zrychlení. Také p°i promý²lení této formulace, stejn¥ jako tomu bylo v p°ípad¥ prvního zákona, se nabízí n¥kolik komentá°· a otázek.
•
Zatímco v prvním zákonu jsme mohli pojem vti²t¥né síly chápat kvalitativn¥ jako p·sobení £i vliv okolních objekt· na udrºení £i neudrºení jistého
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
98
pohybového stavu t¥lesa (rovnom¥rného pohybu v daném sm¥ru), formu-
hybná síla
lace druhého zákona jasn¥ sm¥°uje ke kvantitativnímu vyjád°ení. Pojmu
•
je p°inejmen²ím p°isouzen sm¥r.
Jak ur£íme hybnou sílu, je-li studovaná £ástice £i t¥leso pod vlivem více okolních objekt·?
•
Samotné originální zn¥ní druhého zákona nazna£uje, ºe by zákon mohl slouºit k ur£ování zm¥n hybnosti £ástice (v p°ípad¥ její nem¥nné hmotnosti dokonce p°ímo k ur£ování zrychlení). To znamená moºnost p°edpo-
hybnou sílu
v¥d¥t pohyb £ástice, vypo£teme-li její polohu takový p°ístup byl moºný, je t°eba znát
•
⃗r(t) v závislosti na £ase. Aby . Jak ji ur£íme?
Newtonova de nice hybné síly charakterizuje tuto sílu jako p·sobení na
de nitoricky
£ástici s cílem zm¥nit její hybnost. Je tedy hybná síla veli£ina, která je ur£ena jako derivace hybnosti, tj. je druhý Newton·v zákon
de nicí síly?
•
Otázka, která se v souvislosti s p°edchozími dv¥ma vnucuje, zní: Není druhý Newton·v zákon de nicí £i tvrzením v kruhu ? Nepot°ebujeme k ur£ení derivace hybnosti hybnou sílu a k zápisu hybné síly jako fyzikální veli£iny £asový pr·b¥h zm¥n hybnosti?
Na tyto otázky postupn¥ odpovíme.
2.2.2
Odpov¥di na otázky k druhému Newtonovu zákonu
Zásadní otázkou z p°edchozího odstavce je, zda druhý Newton·v zákon de nuje sílu, nebo naopak, zda slouºí k ur£ení derivace hybnosti s tím, ºe hybnou sílu musíme zjistit jinak. M·ºe se zdát, ºe odpov¥di si musí proti°e£it. P°esto je moºné, £i dokonce nutné, dívat se na druhý Newton·v zákon ob¥ma zp·soby. Pokusme se tedy na poloºené otázky odpov¥d¥t.
•
souhrnný
Hybná síla vystupující v druhém zákonu, a´ jiº je konkrétn¥ de nována jakkoli, musí být fyzikální veli£inou, která kvantitativn¥ popisuje
vliv okolních objekt· na studovanou £ástici. Je to jistá vektorová veli£ina
F⃗
, jejíº sm¥r je shodný se sm¥rem derivace hybnosti a jejíº velikost je
úm¥rná velikosti derivace hybnosti, tj.
d⃗ p = k F⃗ . dt Otázku, co je konstantou úm¥rnosti, vy°e²íme vhodnou volbou jednotek tak, aby konstanta byla rovna jedné a bezrozm¥rná. Jednotkou hybnosti je kg m s−1 , její derivace má jednotku kg m s−2 , která je sou£asn¥ jednotkou −2 síly nazývanou newton. Tedy 1 N = 1 kg m s .
•
Souhrnný vliv okolních objekt· na pohyb studované £ástice by m¥l být n¥jak poskládán z vliv· kaºdého z okolních objekt·, kdyby tento objekt
2.2. DRUHÝ NEWTONV ZÁKON A JEHO DVOJÍ TENÍ
99
p·sobil na £ástici samostatn¥. Pro tuto chvíli p°epokládejme, ºe p·sobení jednotlivého objektu na £ástici je stejné, jako kdyby tam dal²í okolní objekty nebyly. Pro tento p°edpoklad zatím nemáme argumenty, získáme je v²ak v podob¥ t°etího Newtonova zákona. Ozna£me tedy hybné síly odpovídající objekt·m
O1 , O2
aº
OK
jako
F⃗1 , F⃗2
aº
F⃗K .
Aniº známe jejich
jednotlivá vyjád°ení, zdá se nejp°irozen¥j²í vypo£ítat souhrnný vliv v²ech okolních objekt· jako vektorový sou£et hybných sil
F⃗1
aº
F⃗K .
Tento zp·-
princip superpozice sil
sob stanovení souhrnného vlivu je rovn¥º potvrzován experimenty a £asto bývá nazýván
. Je tedy
F⃗ = F⃗1 + F⃗2 + · · · + F⃗K = Sílu
F⃗
pak nazýváme
výsledná síla⃗
nevíme, jakým zp·sobem vektor
K ∑
F⃗k .
(2.2)
k=1
, nebo
Fk
výslednice sil
. Stále je²t¥ v²ak
kvantitativn¥ vyjad°uje vliv
k -tého
objektu na derivaci hybnosti studované £ástice.
•
Abychom doplnili chyb¥jící £lánek úvahy o principu superpozice sil a zárove¬ odpov¥d¥li na t°etí a £tvrtou otázku p°edchozího odstavce, musíme v my²lenkovém experimentu (ideáln¥), nebo skute£ném experimentu (aproximativn¥) oprostit studovanou ( testovací ) £ástici od vlivu v²ech okolních objekt·, krom¥ jediného,
k -tého.
Pak budeme £íst druhý Newto-
n·v zákon zprava doleva, tj.
(
F⃗k =
d⃗ p dt
)
,
pop°ípad¥ jen
F⃗k = m⃗ak .
k
Na základ¥ pozorování pohybu testovací £ástice ur£íme její zrychlení. To nám umoºní zjistit závislost
F⃗k
nap°íklad na poloze testovací £ástice, na
její rychlosti, pop°ípad¥ explicitní závislost na £ase,
F⃗k = F⃗k (⃗r, ⃗v , t). Takovou závislost obvykle nazýváme
•
silový zákon
.
Pokud uvedeným postupem, pop°ípad¥ jinými postupy, získáme pot°ebné silové zákony, m·ºeme pak jiº £íst druhý Newton·v zákon zleva doprava, tj.
d⃗ p = F⃗1 + F⃗2 + · · · + F⃗K , dt ⃗k jiº nyní p°edstavuje konkrétní zápis daného kde kaºdý ze symbol· F silového zákona, který je kvantitativním vyjád°ením vlivu k -tého objektu na studovanou £ástici. Tento zápis samoz°ejm¥ umoº¬uje vyjád°ení síly, jíº bude jiný okolní objekt p·sobit v obdobné situaci na jinou testovací £ástici.
•
Druhý Newton·v zákon tedy rozhodn¥ není de nicí £i tvrzením v kruhu , nýbrº skute£n¥ zásadním fyzikálním principem, který má, dalo by se °íci, dv¥ tvá°e tvo°ící celkový obraz jednoho obli£eje .
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
100
P°íklad 2.1. Keplerovy zákony a Newton·v gravita£ní zákon. Známým p°íkladem nalezení silového zákona je
Newton·v gravita£ní zákon
. Vý-
chodiskem pro jeho ur£ení byly zákony o ob¥hu planet kolem Slunce formulované Johannem Keplerem na základ¥ astronomických pozorováni Tychona de Brahe a £áste£n¥ jeho vlastních. lo tedy o skute£ný experiment interpretovaný v aproximaci modelu soustavy £ástic tvo°ené Sluncem a jednou (kteroukoli) planetou. Zopakujme nejprve stru£n¥ Keplerovy zákony, jak je známe ze st°ední ²koly. (Jejich podrobného teoretického odvození vycházejícího jiº ze znalosti gravita£ního zákona a z Newtonových zákon· si v²imneme pozd¥ji.)
První Kepler·v zákon: Planety obíhají kolem Slunce po eliptických drahách blízkých kruºnicím, v jejichº spole£ném ohnisku je Slunce.
Druhý Kepler·v zákon: Plochy opsané pr·vodi£em planety za stejné £asové úseky jsou shodné.
T°etí Kepler·v zákon: Pom¥r t°etí mocniny velké poloosy eliptické dráhy planety a druhé mocniny její ob¥ºné doby je pro v²echny planet stejný. Aniº bychom se pou²t¥li do studia skute£né historie tohoto problému, pokusme se o vlastní jednoduchou úvahu. Zjednodu²me model oproti Keplerovým výsledk·m je²t¥ více a uvaºujme o p°ípadu, kdy planeta obíhá kolem Slunce po kruºnici. ádná z planet slune£ní soustavy tomuto p°edpokladu sice p°esn¥ nevyhovuje, kruºnice je v²ak v Keplerových zákonech jednou z p°ípustných trajektorií.
P(m) P(m)
a = an Fg
Fg r Fg
Fg S(M)
S( M) 2a
Obr. 2.1: Pohyb planety kolem Slunce a gravita£ní zákon
Ozna£me polom¥r kruºnice, po níº se planeta v na²em p°ibliºném modelu pohybuje, jako
r,
periodu ob¥hu
T
a kruhovou frekvenci
ω = 2π/T .
Vzhledem
k platnosti druhého Keplerova zákona je jasné, ºe pohyb planety po kruºnici
2.2. DRUHÝ NEWTONV ZÁKON A JEHO DVOJÍ TENÍ
101
musí být rovnom¥rný (velikost úhlové rychlosti je tak rovna kruhové frekvenci
omega). Te£né zrychlení planety je tedy nulové, normálové je ur£eno jedinou siF⃗g , kterou na planetu p·sobí Slunce. Tato síla má sm¥r normály k trajektorii planety. (Indexem g p°edjímáme, ºe jde o sílu gravita£ní.) Platí lou
m⃗an = F⃗g =⇒ Fg = mω 2 r =
4π 2 m r. T2
Sou£asn¥ je
r3 r K m = K = konst. =⇒ 2 = 2 =⇒ Fg = 4π 2 K 2 . 2 T T r r K
Konstanta
jiº podle t°etího Keplerova zákona nezávisí na charakteristikách
planety. M·ºe v²ak záviset na centrálním t¥lese, Slunci. Jak tato závislost vypadá, uvidíme, aº se k problému vrátíme po výkladu t°etího Newtonova zákona.
♠
P°íklad 2.2. Impuls síly. S druhým Newtonovým zákonem p°ímo souvisí jednoduchý pojem
impulsu síly
.
P°edpokládejme, ºe na £ástici p·sobí pouze jediný objekt silou obecn¥ závislou na £ase, tj.
F⃗ = F⃗ (t).
Otázkou je, jakou zm¥nu hybnosti £ástice zp·sobí tato
síla v £asovém intervalu
[α, β].
Z druhého Newtonova zákona p°ímo plyne
d⃗ p = F⃗ (t) =⇒ ∆⃗ p([α, β]) = dt
∫β F⃗ (t) dt. α
Veli£inu
∫β F⃗ (t) dt
I([α, β]) =
(2.3)
α
nazýváme
impuls síly F⃗
p°ímky, nap°íklad osy
x.
v intervalu
[α, β].
P°edstavme si, ºe síla p·sobí podél
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
102
Fx
I( α , β )
α
β
t
Obr. 2.2: K pojmu impuls síly Znázorníme-li její závislost na £ase gra cky (viz Obr. 2.2), vidíme, ºe impuls v £asovém intervalu
[α, β]
odpovídá plo²e pod grafem.
2.3 T°etí Newton·v zákon a jeho význam
♠
První dva Newtonovy zákony vypovídaly o vlivu p·sobení (£i nep·sobení) okolních objekt· na daný testovací objekt (£ástici £i t¥leso) prost°ednictvím vti²t¥ných sil. Ale kterýkoli z objekt· se m·ºe stát studovaným objektem a naopak, t¥leso, které jsme doposud chápali jako studované £i testovací, se v jiné úloze m·ºe stát objektem okolním. Je tedy logické o£ekávat, ºe vliv objekt· bude vzájemný. Jak to se vzájemným p·sobením je, °íká t°etí Newton·v zákon.
2.3.1
Newtonova formulace t°etího zákona a podstata interakce
T°etí Newton·v zákon je z celé trojice pravd¥podobn¥ nejjednodu²²í a nejpochopiteln¥j²í. I tak v²ak má hluboký fyzikální význam. Vyloºíme si jej op¥t na originální latinské formulaci a jejím doslovném p°ekladu.
Lex III T°etí Newton·v zákon Actioni centrariam semper & equalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse equales in partes contrarias dirigi. Akce je stále opa£ná a rovna reakci: neboli vzájemné p·sobení dvou t¥les jsou stále stejná a mí°í opa£nými sm¥ry. Informace vyplývající z t°etího Newtonova zákona jsou velmi obsaºné a zdaleka nezahrnují jen fakt, ºe
2.3. TETÍ NEWTONV ZÁKON A JEHO VÝZNAM •
P·sobí-li objekt A na objekt B silou silou
F⃗BA ,
p°i£emº
F⃗BA = −F⃗AB .
F⃗AB ,
103
p·sobí objekt B na objekt A
Zamyslíme-li se hloub¥ji, m·ºeme u£init také následující záv¥ry.
•
Interakce, tj. vzájemné p·sobení objekt·, je
dvou£ásticová
. Znamená to,
ºe síly akce a reakce, jimiº na sebe navzájem p·sobí objekty A a B, nejsou ovlivn¥ny charakteristikami dal²ích objekt·, které mohou p·sobit jak na A, tak na B. Závisí tedy pouze na charakteristikách objekt· A a B samotných, a to jak na t¥ch, které si objekty nesou s sebou (hmotnosti, náboje), tak obecn¥ i na charakteristikách jejich mechanického stavu (polohy, rychlosti), pop°ípad¥ explicitn¥ na £ase.
•
Interakce je
okamºitá
, ²í°í se tedy neomezen¥ rychle. Jestliºe se nap°íklad
zm¥ní n¥která charakteristika objektu A, která vystupuje v silovém zá-
akce a reakce
konu, poznají oba objekty tuto zm¥nu vzájemného silového p·sobení okamºit¥. Z tohoto hlediska m·ºe být terminologie
pro laiky
pon¥kud zavád¥jící, nebo´ p°i b¥ºné interpretaci m·ºe vyvolávat dojem £asové následnosti nap°ed akce, potom reakce. P°edchozí záv¥ry o dvou£ásticové a okamºité interakci jsou omezeny na oblast klasické (nerelativistické a nekvantové) mechaniky. V relativistické mechanice je nutné po£ítat s mezní rychlostí ²í°ení ve²kerých signál· (rychlost sv¥tla ve vakuu −1 je de nována p°esn¥ hodnotou c = 299792458 ms a je univerzální konstantou).
nou
V kvantové mechanice se zase naopak setkáme s mnoha£ásticovou, tzv.
vým¥n-
interakcí, jejíº existence vyplývá z principu nerozli²itelnosti mikro£ástic,
který zp·sobí, ºe se jakákoli vým¥na £ástic mezi sebou nepozná.
2.3.2
Silové zákony a základní interakce
V tomto odstavci si v²imneme n¥kterých silových zákon·, které budeme v dal²ím výkladu jiº b¥ºn¥ pouºívat. Pozornost budeme v¥novat také £ty°em základním interakcím v p°írod¥ a jejich souvislosti s makroskopickými silovými zákony.
P°íklad 2.3. Newton·v gravita£ní zákon. Vra´me se k p°íkladu 2.1, v n¥mº jsme zjistili, ºe Slunce p·sobí na planetu silou, která sm¥°uje od planety ke Slunci a její velikost je p°ímo úm¥rná hmotnosti planety a nep°ímo úm¥rná £tverci vzdálenosti mezi planetou a Sluncem,
4π 2 K rm2 .
Konstanta
vektorov¥.
kde
⃗r
K
Fg =
nezávisí na planet¥, ale na Slunci. Zapi²me tuto sílu
m F⃗g = 4π 2 K 2 r
(
⃗r − r
) = −4π 2 K
je polohový vektor planety v·£i Slunci,
m ⃗r, r3
⃗r0 = ⃗r/r
je jednotkový vektor
sm¥°ující od Slunce k planet¥. Podle t°etího Newtonova zákona v²ak planeta p·sobí na Slunce silou
−F⃗g ,
kterou v²ak m·ºeme vyjád°it také ve tvaru
−F⃗g = 4π 2 k
M ⃗r, r3
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
104
k je naopak konstanta, která závisí pouze na k K Km = kM , tj. m = M = p. Tento pom¥r uº nem·ºe 2 záviset ani na Slunci, ani na planet¥. Ozna£me κ = 4π p. κ je rovn¥º univerzální kde
M
je hmotnost Slunce a
planet¥. Vidíme, ºe platí konstanta. Platí
mM F⃗g = −κ 3 ⃗r, r
κ = (6, 67428 ± 0, 00067) · 10−11 Nm2 kg−2 .
Fg
(2.4)
m
r Fg
z
M
O
y
x Obr. 2.3: Interakce hmotných £ástic
Vztah (2.4), zvaný
Newton·v gravita£ní zákon gravita£ní .
, vyjad°uje silový zákon popisující
jednu ze základních interakcí v p°írod¥,
.
V blízkosti povrchu Zem¥ (hmotnost MZ = 5, 97 . RZ = 6, 37 · 106 m) p·sobí na £ástici gravita£ní síla
F⃗g = κ kde
⃗g 0
· 1024 kg,
st°ední polom¥r
mMZ ⃗g 0 , (RZ + h)2
je jednotkový vektor sm¥°ující z místa o vý²ce
h nad povrchem ke st°edu
Zem¥. Pro vý²ky zanedbatelné v·£i polom¥ru Zem¥ a pro oblasti, jejichº vodorovné rozm¥ry jsou tak malé, ºe není t°eba zm¥nu sm¥ru spojnice daného místa se st°edem Zem¥ zapo£ítávat, m·ºeme veli£inu
⃗g = κ
MZ 0 g 2 ⃗ RZ
povaºovat za konstantní vektor a gravita£ní sílu p°ibliºn¥ nahradit rovn¥º (odpovídajícím) konstantním vektorem
F⃗g = m⃗g ,
g=κ
MZ . −2 . 2 = 9, 81 ms RZ
(2.5)
2.3. TETÍ NEWTONV ZÁKON A JEHO VÝZNAM
105
Pole v malých plo²ných oblastech v blízkosti povrchu Zem¥ je p°ibliºn¥
genní tíhovém zrychlení
, jeho intenzita je
⃗g .
homo-
Zahrneme-li je²t¥ opravu, která bere v úvahu nei-
nerciálnost laboratorní soustavy, tj. se zapo£te odst°edivé zrychlení, hovo°íme o
. Vztah (2.5) p°edstavuje silový zákon, který je aproximací
gravita£ního zákona, vyhovující pro popis gravita£ního pole za vý²e uvedených omezujících podmínek. Pro zajímavost prove¤te t°eba odhad lineárního rozm¥ru oblasti v blízkosti povrchu Zem¥ na rovníku, v jehoº rámci se sm¥r gravita£ního
♠
zrychlení nezm¥ní o více neº jeden stupe¬.
P°íklad 2.4. Coulomb·v zákon. Hmotné £ástice mohou být nositeli elektrického náboje. Krom¥ gravita£ní interakce dané hmotnostmi náboji
q
a
Q.
maM
Tato síla se °ídí
Coulombovým zákonem
na sebe tedy je²t¥ p·sobí silou související s jejich
1 qQ F⃗C = ⃗r, ε = εr ε0 , ε0 = 8, 854187818) · 10−12 Fm−1 . 4πε r3
permitivita vakua lativní permitivita prost°edí ε0
je
, jedná se o p°esnou (dohodnutou) hodnotu,
elektromagnetickou
(2.6)
εr
je
re-
. Coulomb·v zákon je klí£ovým silovým zákonem
popisujícím dal²í základní interakci v p°írod¥,
.
FC FC
r z
m,q
m,q
r
FC
z
FC M,Q
M,Q
O
O
y
qQ 0 x
y
qQ 0 x
Obr. 2.4: Interakce nabitých £ástic
Vzhledem k tomu, ºe nositeli náboje mohou být pouze hmotné £ástice, nelze coulombovskou interakci osamostatnit , vºdy se superponuje s interakcí gravita£ní. Jaký je vliv gravita£ní interakce v p°ípad¥, ºe bychom cht¥li m¥°it coulombovskou sílu, m·ºeme odhadnout pomocí vzájemného gravita£ního a elektrostatického p·sobení t°eba elektronu a protonu. P°edpokládejme, ºe uvaºujeme
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
106
Bohrovu polom¥ru
o t¥chto dvou elementárních £ásticích v atomu vodíku. Jejich st°ední vzdálenost je tak rovna a0 = (5, 2917720859 ± 0, 0000000036) · 10−11 m.
elementární náboj
, je co do velikosti stejný, e = (1, 60217733 ± 0, 00000049) · 10 C. Hmotnost elektronu je me = (9, 1093897 ± 0, 0000054) · 10−31 kg, protonu mp = (1, 6726231 ± 0, 000001) · 10−27 kg. Pom¥r Náboj elektronu i protonu, tzv. −19
velikostí gravita£ní a coulombovské síly vzájemného p·sobení je tedy (nezávisle na vzdálenosti)
1 e2 FC . = · = 2, 3 · 1039 . Fg 4πε0 κ me mp Velikost gravita£ní interakce t¥chto £ástic je tedy v·£i interakci elektrostatické
♠
zcela zanedbatelná.
P°íklad 2.5: Nabitá £ástice v magnetickém poli.
⃗ = B(⃗ ⃗ r, t). Silové B pohybující se rychlostí ⃗ v je dáno
Magnetické pole je popsáno vektorem magnetické indukce
Lorentzovou silou
p·sobení magnetického pole na nabitou £ástici magnetickou
⃗ F⃗L = q(⃗v × B).
(2.7)
z
v
B
qE
E O
+
q (v B)
y
F
x Obr. 2.5: ástice v elektrickém a magnetickém poli
Nabitá £ástice pohybující se v elektromagnetickém poli o intenzit¥
⃗ B
⃗ E
a indukci
je urychlována silou
⃗ + q(⃗v × B). ⃗ F⃗ = q E Konkrétní pohyb takové £ástice budeme studovat v dal²ím odstavci.
♠
P°íklad 2.6. Pruºná síla. Malé t¥lísko (hmotný bod) na vodorovné, resp. svislé pruºin¥ je znázorn¥no na
Obr. 2.6.
2.3. TETÍ NEWTONV ZÁKON A JEHO VÝZNAM
107
g O
FP = k x x 0
x
x0
O
O
FP O
x
0
x
x0
x0
x
FP = k x x 0
O
x
x0
FG= m g x
FP x
O
FG= m g
x
x0
x
x
x
Obr. 2.6: T¥lísko na pruºin¥
S koncem nenapjaté pruºiny spojíme po£átek
O
osy
x
sm¥°ující podél pruºiny.
P°edpokládáme-li ºe deformace pruºiny je elastická, tj. protaºená nebo stla£ená
Hooke·v zákon
pruºina zaujme po uvoln¥ní op¥t p·vodní délku, m·ºeme p°edpokládat, ºe platí . Podle n¥j p·sobí nataºená £i stla£ená pruºina na t¥lísko silou,
jejíº velikost je úm¥rná zm¥n¥ délky pruºiny a síla sm¥°uje proti této zm¥n¥. Platí tedy
F⃗p = −kx ⃗x0 , 0
pruºiny kde
⃗x
je jednotkový vektor ve sm¥ru kladné osy
(2.8)
x. Konstanta k se nazývá
tuhost
a ur£uje, jak velkou sílu pot°ebujeme k protaºení nebo stla£ení pruºiny
o jednotku délky. V grafu (lineární) závislosti velikosti pruºné síly na zm¥n¥ délky pruºiny tedy p°edstavuje sm¥rnici. Podobn¥ jako pruºiny se v ur£itém rozsahu silového p·sobení chovaj9 i r·zné záv¥sy (dráty, provázky, apod.)
♠
P°íklad 2.7. T°ecí a odporové síly. Proti pohybu t¥les v reálných experimentech p·sobí t°ecí a odporové síly. I kdyº v¥t²inou závisí na rozm¥rech t¥lesa, lze je zapo£ítat zp·sobem, který stále umoº¬uje pracovat s t¥lesem jako s hmotným bodem, pohybuje-li se pouze transla£ním pohybem. Nejjednodu²²í silový zákon pro t°ecí sílu, jíº p·sobí na t¥leso podloºka, po které je vle£eno, má tvar
T⃗d = −f N ⃗v 0 , kde
⃗v 0
⃗v 0 =
⃗v , v
dynamického t°ení
je jednotkový vektor ve sm¥ru rychlosti t¥lesa,
na t¥leso a
f
je tzv. koe cient
(2.9)
⃗ N
je tlaková síla podloºky
. T°ecí síly jsou typickými si-
lami závislými na rychlosti t¥lesa. Z vyjád°ení velikosti t°ecí síly by tato závislost samoz°ejm¥ nebyla vid¥t, nebo´ velikost
Td = f N
na rychlosti nezávisí. Závis-
lost na rychlosti je dána tím, ºe t°ecí síla sm¥°uje vºdy proti rychlosti. A´ se
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
108
t¥leso hne kamkoli, sm¥r síly
T⃗d
se vºdy upraví do protism¥ru rychlosti. Ob-
dobná situace je s odporovou silou, kterou p·sobí hmotné prost°edí, v n¥mº se t¥leso pohybuje (odpor vzduchu proti pohybu automobilu, fotbalového mí£e £i letící st°ely, odpor vody proti plující lodi nebo ponorce). Konkrétní situace
Stokes·v
Newton·v
aproximativn¥ vcelku dob°e vystihuje n¥který z násedujících silových zákon· p°edstavujících
resp
F⃗S = −6πηr⃗v , kde
η
model odporové síly.
1 F⃗N = CSϱv 2⃗v 0 , 2
ú£inný pr·°ez t¥lesa
je charakteristika prost°edí, nazývaná
kulového t¥lesa,
S
je
(2.10)
dynamická viskozita
,
r
je polom¥r
nejv¥t²í plocha jeho p°í£ného °ezu,
tj. °ezu kolmého na sm¥r rychlosti pohybu,
ϱ
je hustota prost°edí, konstanta
zahrnuje vliv tvaru t¥lesa a ur£uje se empiricky, pro kouli je
C
C = 0, 5.
N Fo
v
v
Fo
mg
Obr. 2.7: T°ení a odpor prost°edí
Stokes·v vztah platí pro t¥leso kulového tvaru a velmi malé rychlosti, Newton·v vztah vyhovuje i pro t¥lesa obecného tvaru. Pouºitelnost obou model· se také li²í pro r·zné velikosti rychlosti, jakou se t¥leso pohybuje v odporující prost°edí. (Stokes·v vztah platí pro velmi malé rychlosti, Newton·v lépe odpovídá realistickým situacím. Konkrétn¥ji se t¥mto problém·m budeme v¥novat aº v kapitole o proud¥ní tekutin.) Pouze zdánliv¥ by k tomuto p°íkladu mohla pat°it otázka
statického t°ení
.
Vyjád°ení statické t°ecí síly v²ak není silovým zákonem p°esv¥d£íme se o tom v p°íkladu 2.13.
♠
Silové zákony, jimº jsme se v¥novali v p°edchozích p°íkladech, i dal²í, na které m·ºeme p°i °e²ení konkrétních situací narazit, p°edstavují v¥t²inou aproximativní popis vzájemného p·sobení objekt· makrosv¥ta. Podstatou °ady z nich jsou v²ak interakce v oblasti mikrosv¥ta. V p°írod¥ se uplat¬ují £ty°i základní typy interakcí: gravita£ní, elektromagnetická, slabá a silná. Aniº bychom se jim nyní podrobn¥ v¥novali jednotliv¥ £i v rámci úvah o snahách o jejich sjednocení, m·ºeme je velmi stru£n¥ charakterizovat.
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE • Gravita£ní interakce
109
p°edstavuje vzájemné p·sobení jakýchkoli hmotných
objekt·. Podléhají jí univerzáln¥ v²echny objekty nesoucí hmotnost.
•
Elektromagnetická interakce
je vzájemné p·sobení objekt· nesoucích ná-
boj, a to jak objekt· v klidu, tak pohyblivých.
•
Slabá interakce
se uplat¬uje p°edev²ím p°i jaderných reakcích (n¥které
typy jaderného rozpadu).
•
Silná interakce
p·sobí na jaderné úrovni. P°edstavuje jednak vzájemné
p·sobení kvark· tvo°ících protony a neutrony, jednak interakci proton· a neutron·, která drºí pohromad¥ atomové jádro. P°ímou smyslovou zku²enost máme pouze s interakcí gravita£ní a elektromagnetickou. V newtonovské mechanice se s dal²ími dv¥ma typy interakce p°i °e²ení problém· p°ímo nesetkáme, i kdyº samoz°ejm¥ p°ítomny jsou bez nich by neexistovaly objekty, které v mechanice studujeme. Je tedy z°ejmé, ºe v²echny silové zákony uvedené v p°edchozích p°íkladech musíme um¥t p°i°adit bu¤ gravita£ní nebo elektromagnetické interakci. Gravita£ní interakci okamºit¥ rozpoznáme, týká se jí p°íklad 2.3. Ostatní silové zákony mají p·vod v interakci elektromagnetické. Skute£n¥ je existence pruºné síly i její vyjád°ení lineárním silovým zákonem projevem elektromagnetické interakce? Vysv¥tlení hledejme na mikroskopické úrovni. Atomy, jimiº je pruºina tvo°ena, interagují prost°ednictvím svých elektronových obal·. P°i nataºení nebo stla£ení pruºiny se m¥ní st°ední vzdálenosti atom·, a to v souvislosti s celkovou (makroskopickou) zm¥nou délky pruºiny. Zm¥na st°edních vzdáleností atom· znamená zm¥nu p°ekryvu elektronových obal·, p°i£emº míra p°ekryvu elektronových obal· souvisí s velikostí jejich vzájemného p·sobení. Lineární závislost makroskopické síly na zm¥n¥ délky pruºiny dostaneme, zhruba °e£eno, v aproximaci malých výchylek jako první £len rozvoje obecn¥j²í funk£ní závislosti v mocninnou °adu. Stejnou, elektromagnetickou povahu mají t°ecí síly, odpor zdiva p°i zatloukání h°ebíku, tlaková síla podloºky p·sobící na t¥leso, které na ní spo£ívá, tlaková síla v kapalin¥ vyjad°ující interakci jednotlivých £ástí, resp. objemových element· kapaliny, apod. V rámci mechaniky tedy m·ºeme v¥c zjednodu²it: Gravita£ní interakci hned poznáme, v²echno ostatní je intrakce elektromagnetická.
2.4 Newtonovy zákony a pohybové rovnice V situaci, kdy máme k dispozici základní silové zákony, z nichº m·ºeme pomocí principu superpozice vytvo°it výslednici, tj. Newtonovu hybnou sílu , m·ºeme °e²it základní úlohu dynamiky. Na základ¥ interakcí testovací £ástice s okolními objekty a se znalostí jejího mechanického stavu v po£áte£ním okamºiku vypo£teme její trajektorii. Pak budeme v¥d¥t, kde se £ástice nacházela v okamºicích minulých a kde se bude nacházet v okamºicích budoucích (samoz°ejm¥, pokud se v £asovém intervalu, v n¥mº ji sledujeme, nezm¥ní její interakce s okolím tak, ºe by výpo£et jiº neodpovídal).
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
110
2.4.1
Od interakcí ke zrychlení
Ur£it zrychlení £ástice v p°ípad¥, ºe na ni p·sobí jediná síla, není problém. Jednoduché je i °e²ení situace, kdy je vyjád°ení v²ech sil v závislosti na poloze a rychlosti £ástice, pop°ípad¥ v explicitní závislosti na £ase známo dal²í postup je pak otázkou metod °e²ení tzv. pohybových rovnic, které jsou matematickým zápisem druhého Newtonova zákona. Jsou v²ak p°ípady, kdy n¥které ze sil, jimiº p·sobí okolní objekty na £ástici, jsou neznámé (£asto je znám jejich sm¥r, nikoli v²ak velikost). Nemusí tedy být zcela jednoduché pohybovou rovnici sestavit. Zam¥°íme se nyní na °e²ení takových situací, od nejjednodu²²ích po komplikovan¥j²í.
P°íklad 2.8. Pohyb po naklon¥né rovin¥ bez t°ení. Velice jednoduchým p°íkladem je pohyb malé kostky (hmotného bodu) o hmotnosti
m
po naklon¥né rovin¥ o úhlu sklonu
poli Zem¥ (tíhové zrychlení
g)
α
umíst¥né v homogenním tíhovém
a p°ipevn¥né k vodorovné podloºce (Obr. 2.8).
y
N
F=mg+N α x
FG = mg Obr. 2.8: Kostka na naklon¥né rovin¥
Uváºíme dv¥ situace: t°ení mezi kostkou a naklon¥nou rovinou je, resp. není zanedbatelné. V kaºdém p°ípad¥ zanedbáme odpor vzduchu proti pohybu kostky. V první situaci, bez t°ení, p·sobí na kostku Zem¥ tíhovou silou klon¥ná rovina (podloºka) tlakovou silou dispozici silový zákon
F⃗G = m⃗g ,
⃗. N
F⃗G = m⃗g ,
na-
Zatímco pro tíhovou sílu máme k
u tlakové síly podloºky pouze víme, ºe je k
podloºce kolmá. Její velikost p°edem neznáme.
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE
111
Poznámka: Uv¥domme si hned u tohoto jednoduchého p°íkladu, jak je to s p·sobi²ti jednotlivých sil v reálné situaci. Do kterého bodu v t¥lese máme umístit tíhovou sílu? Do kterého bodu tlakovou sílu podloºky? Pokud t¥leso aproximujeme hmotným bodem, jsou p·sobi²t¥ v²ech sil od okolních objekt· umíst¥na p°ímo v tomto bod¥. Ve skute£nosti v²ak p·sobí elementární tíhová síla
⃗G = ⃗g dm = ϱ⃗g dV dF
na kaºdý objemový element t¥lesa o hustot¥
ϱ, celková tíhová
síla je výslednicí (vektorovým sou£tem) elementárních sil. Výsledná tíhová síla má na t¥leso stejný pohybový ú£inek, transla£ní i rota£ní, jako v²echny elementární síly dohromady, je-li umíst¥na ve st°edu hmotnosti (nebo v bodech leºících na svislé p°ímce procházející st°edem hmotnosti touto otázkou se budeme zabývat v dal²ích kapitolách). Elementární tlaková síla
⃗ dN
p·sobí na kostku v kaºdém plo²ném elementu
dS
její sty£né plochy s podloºkou, celková
tlaková síla je op¥t výslednicí elementárních tlakových sil. Existuje rovn¥º správný bod , do kterého je t°eba umístit výslednou tlakovou sílu, aby její pohybový ú£inek na t¥leso byl stejný jako ú£inek v²ech elementárních tlakových sil dohromady. Situace je znázorn¥na na
Obr.2.9.
Umíst¥ní p·sobi²t¥ výsledné tíhové a výsledné tlakové síly má své fyzikální zd·vodn¥ní, pro jehoº pochopení je v²ak pot°ebná znalost d·leºitých d·sledk· druhého a t°etího Newtonova zákona impulsových v¥t. Proto se k tomuto problému vrátíme aº po jejich odvození.
dV d FG = ρ gdV dN
dS
Obr. 2.9: P·sobi²t¥ tíhových a tlakových sil ∫ ⃗G = F
∫ ϱ⃗g dV,
V
⃗ = N
⃗. dN S
Kostku povaºujeme za hmotný bod, do kterého umístíme p·sobi²t¥ v²ech sil od okolních objekt·. Jako vztaºnou soustavu volíme soustavu laboratorní a povaºujeme ji za inerciální. Druhý Newton·v zákon má tvar
⃗. m⃗a = m⃗g + N K tomu, abychom tuto vektorovou rovnici mohli rozepsat do sloºek, pot°ebujeme je²t¥ speci kovat soustavu sou°adnic. Její volba je libovolná, a proto ji lze vybrat tak, aby byl výpo£et co nejjednodu²²í. Výhodné je volit n¥které osy soustavy rovnob¥ºné s fyzikáln¥ nebo geometricky význa£nými sm¥ry, pokud
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
112
takové úloha obsahuje. V na²em p°ípad¥ je fyzikáln¥ významný sm¥r ur£en tíhovým zrychlením, geometricky významný sm¥r pak naklon¥nou rovinou. S ob¥ma t¥mito sm¥ry nem·ºeme sou°adnicové osy spojit, nebo´ nejsou kolmé. Je t°eba si pro výpo£et vybrat jeden z nich. Zkusme postupn¥ obojí volbu, výsledky samoz°ejm¥ musí vyjít shodn¥.
x podél naklon¥né roviny (geometricky význa£ného sm¥ru). y zvolme tak, aby vektor ⃗g leºel v rovin¥ xy . Osa z pak je kolmá na rovinu xy a orientována tak, aby osy x, y a z , práv¥ v uvedeném po°adí, tvo°ily
Nejprve zvolme osu Osu
pravoto£ivou soustavu. Zápis druhého Newtonova zákona ve sloºkách má tvar
max
=
may maz
= −mg cos α + N, = 0.
T°etí rovnicí je p°ímo ur£ena
mg sin α,
z -ová sloºka zrychlení, ve zbývajících dvou nezávisax , ay a N . Soustava má tedy nekone£n¥
lých rovnicích v²ak jsou t°i neznámé,
mnoho °e²ení (jednu z neznámých lze volit libovoln¥ a dal²í dv¥ dopo£ítat). Experiment v²ak ukazuje, ºe poloºíme-li takovou kostku na hladkou naklon¥nou rovinu, je její zrychlení ur£eno jednozna£n¥. Znamená to, ºe existuje je²t¥ dal²í rovnice pro neznámé
ax , ay
a
N,
kterou jsme zatím nepouºili a ani jsme si
ji neuv¥domili. Tato rovnice jiº nesouvisí s druhým Newtonovým zákonem
vazební
ten jsme vyuºili zcela. Je v²ak ur£ena poºadavkem, ºe kostka stále spo£ívá na
podmínky
naklon¥né rovin¥. Tento poºadavek je matematicky vyjád°en v podob¥
ay = 0.
kladené na
y -ovou sloºku polohového vektoru kostky, y(t) = 0. Odtud
e²ení soustavy má pak tvar
ax = g sin α,
ay = 0,
az = 0,
N = mg cos α,
a = g sin α.
Prove¤me výpo£et je²t¥ pro druhou moºnost volby soustavy sou°adnic. Osu y ′ ztotoºn¥me s opa£ným sm¥rem ke sm¥ru tíhového zrychlení, osu x′ zvolme ′ vodorovn¥ a osu z op¥t tak, aby soustava sou°adnic byla pravoto£ivá. Vektorový tvar druhého Newtonova zákona je na volb¥ soustavy sou°adnic nezávislý, jeho rozklad do sloºek je následující.
ma′x
= N sin α,
ma′y ma′z
= −mg + N cos α, = 0.
Vazební podmínka má nyní tvar
y ′ = −x′ tgα, tj. a′y = −a′x tgα. e²ení soustavy
je
a′x = g sin α cos α, a′y = g sin2 α, a′z = 0, N = mg cos α, a = g sin α. Výsledky p°i obojí volb¥ soustavy sou°adnic jsou v souladu, jak jsme o£ekávali. P°idejme nyní t°ecí sílu. Ta p·sobí proti pohybu kostky. Známe tedy její sm¥r, nikoli v²ak zatím její velikost.
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE
113
T°ecí síla je podobn¥ jako tlaková vektorovým sou£tem elementárních sil, tj.
T⃗ =
∫
dT⃗ .
Jejich
S p·sobi²t¥ jsou rozloºena ve sty£né plo²e kostky s podloºkou.
P°edpokládejme, ºe kostka jiº je v pohybu, takºe ve h°e je dynamická t°ecí síla. Pouºijme pro ni nejjednodu²²í silový zákon (2.9). Pro výpo£et zvolíme sou°adnicovou soustavu, v níº je osa
x
namí°ena podél naklon¥né roviny (první al-
ternativa volby v p°edchozím výpo£tu). Druhý Newton·v zákon ve vektorovém tvaru
⃗ + T⃗d m⃗a = m⃗g + N rozloºíme do sloºek:
max may
= mg sin α − N f, = −mg cos α + N,
maz
= 0.
Vazební podmínka je stejná, jako p°i pohybu bez t°ení, vyplývá z ní tedy
ay = 0.
e²ení soustavy je
ax = g sin α − gf cos α,
ay = 0,
az = 0,
N = mg cos α.
Zamysleme se nad tímto °e²ením. T°ecí sílu jsme namí°ili proti sm¥ru osy
x, coº odpovídá pohybu kostky sm¥rem dol·. (Kdybychom zm¥nou po£áte£ních podmínek uvedli kostku do pohybu sm¥rem vzh·ru, sm¥°ovala by t°ecí síla podél kladné osy
x.)
Co kdyº
x-ová
sloºka zrychlení bude záporná? V situaci, kdy
jsme uvedli kostku do pohybu podél naklon¥né roviny sm¥rem dol· rychlostí
⃗v0 = (v0 , 0, 0) , to znamená, ºe se kostka brzdí. Její rychlost závisí na £ase vztahem vx = v0 + (g sin α − gf cos α)t, vy = 0, vz = 0. Kostka se zastaví v okamºiku, kdy vy = 0, tj. t0 = V p°ípad¥, ºe
v0 = 0 ,
v0 . gf cos α − g sin α
se kostka v·bec nerozjede. Bude na naklon¥né rovin¥ v
klidu leºet. Zajímavou otázkou pak je, jak to je se silami, které na kostku p·sobí.
statická
P·sobícími silami jsou op¥t síla tíhová, síla tlaková a síla t°ecí, tentokrát v²ak . Pro tu ale nemáme silový zákon. Pom·ºe nám v²ak skute£nost, ºe
výslednice sil, které p·sobí na kostku v klidu, musí být nulová.
⃗ + T⃗s = ⃗0 =⇒ mg sin α − Ts = 0, −mg cos α + N = 0 =⇒ m⃗g + N =⇒ N = mg cos α,
Ts = mg sin α.
Statická t°ecí síla se tedy p°izp·sobila situaci . Její hodnota se nastavila tak, aby práv¥ vykompenzovala
x-ovou
sloºku sou£tu zbylých sil
⃗. m⃗g + N
Uspo°á-
dejme nyní pokus tak, ºe budeme naklon¥nou rovinu, na níº kostka v klidu leºí, zvedat. Experiment °íká, ºe p°i ur£itém úhlu sklonu
α0
se kostka dá do pohybu.
Znamená to, ºe povrchové drsnosti, díky kterým se vzájemné p·sobení podloºky a kostky projevuje statickou t°ecí silou, jiº kostku neudrºely , velikost statické
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
114
koe cient statického t°ení f
t°ecí síly p°ekro£ila ur£itou mez sty£ných ploch, je de nován
Ts,max .
Touto mezí, která závisí mj. na kvalit¥
Ts,max = N f0 =⇒ f0 =
0:
Ts,max . N
Koe cient statického t°ení je veli£ina, která se ur£uje empiricky. Je v¥t²í neº koe cient dynamického t°eni, tj.
f0 > f .
Úhel sklonu naklon¥né roviny
α0 ,
p°i
kterém se kostka dá do pohybu, je ur£en maximální p°ípustnou statickou t°ecí silou:
mg sin α0 = N f0 =⇒ mg sin α0 = mgf0 cos α0 =⇒ tg α0 = f0 . e²me je²t¥ pohyb kostky pro p°ípad, ºe jí ud¥líme rychlost
⃗v0 = (−v0 , 0, 0)
sm¥rem vzh·ru po naklon¥né rovin¥. Dynamická t°ecí síla má nyní opa£ný sm¥r neº p°i pohybu kostky dol·. Druhý Newton·v zákon ve sloºkách má tvar
max
= mg sin α + N f,
(2.11)
may maz
= −mg cos α + N, = 0.
(2.12)
S uváºením vazební podmínky
y(t) = 0 =⇒ ay = 0
(2.13)
dostáváme °e²ení
ax = g(sin α + f cos α), ay = 0, az = 0, N = mg cos α. Závislost rychlosti na £ase je
⃗v (t) = (−v0 + ax t, 0, 0).
Rychlost kostky nabude
nulové hodnoty v okamºiku
t′0 = Pokud je
v0 . g(sin α + f cos α)
α > α0 , rozjede se kostka sama op¥t dol·. V opa£ném p°ípad¥ se zastaví
a bude v klidu. Uv¥domte si, co nastane v takovém p°ípad¥: Zatímco dynamická t°ecí síla sm¥°ovala p°i brzd¥ní kostky dol·, bude statická t°ecí síla sm¥°ovat vzh·ru. Musí totiº kompenzovat pr·m¥t tíhové síly do sm¥ru naklon¥né roviny. Jinak by se kostka v klidu na naklon¥né rovin¥ neudrºela. Obr. 2.10 znázor¬uje £asový pr·b¥h
x-ové
sloºky t°ecí síly (ostatní její sloºky jsou nulové) pro r·zné
situace popsané vý²e.
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE
115
y
y
O
O N
x T
F
t=t 0 ,
F
v= 0
α
F =mg
F =mg
F=mg+N+T
F=mg+N+T
Tx
Tx t0
t mgf cos α
mgf cos α mgf 0 sinα
smer pohybu
T
v= 0
t=t 0 , α
N
x
smer pohybu
mgf 0 sinα
Obr. 2.10-a: Kostka na naklon¥né rovin¥ se t°ením
t0
t
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
116
a) v0x = v 0 0 , f 0 tgα
b) v0x = v 0 0 , f 0 tgα
Tx
Tx
t0
t
t
mgfsin α mgfcosα
mgfcosα
∆t vx
vx v
v
0x
0x
t
c) v0x = v 0 0, α α 0
d) v0x = v 0 0, α α 0
Tx
Tx
mgfcosα
mgfcosα t
0
mgfcosα ∆t
∆t
vx
vx t0
t t0
0x
t
t
t0
mgfsin α
v
t
t0
v
0x
Obr. 2.10-b: K p°íkladu 2.8 r·zné situace
t
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE
117
♠ P°íklad 2.9. Kostka na pohyblivé naklon¥néo rovin¥. Upravme nyní zadání p°edchozí úlohy tak, ºe naklon¥ná rovina o hmotnosti
M
nebude p°ipevn¥na k vodorovné podloºce, naopak po ní bude moci klouzat
bez t°ení. Také kostka se po naklon¥né rovin¥ m·ºe pohybovat bez t°ení, a jako p°edtím zanedbáme odpor prost°edí. Úkolem je ur£it zrychlení kostky i zrychlení naklon¥né roviny
⃗. A
⃗a
e²íme tedy pohyb soustavy tvo°ené dv¥ma
t¥lesy. Druhá Newton·v zákon proto musíme formulovat pro kaºdé z nich. V
Obr. 2.11 jsou zakresleny síly p·sobící na kostku i síly p·sobící na naklon¥nou rovinu. Na kostku p·sobí Zem¥ tíhovou silou
m⃗g
a naklon¥ná rovina tlakovou
⃗. N
silou
y
P
N
N mg x
Mg
Obr. 2.11: Kostka a naklon¥ná rovina k p°íkladu 2.9
Na naklon¥nou rovinu p·sobí Zem¥ tíhovou silou (síly
⃗ N
a
⃗ −N
⃗ M⃗g , kostka tlakovou silou −N P⃗ . Druhý
jsou akce a reakce) a vodorovná podloºka tlakovou silou
Newton·v zákon pro jednotlivé £ástice má tvar
⃗, m⃗a = m⃗g + N
⃗ = M⃗g − N ⃗ + P⃗ . MA
Soustavu sou°adnic zvolíme tentokrát tak, ºe osa osa
y
x je vodorovná podle obrázku, x, y a z je
sm¥°uje proti tíhovému zrychlení a soustava tvo°ená osami
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
118
pravoto£ivá. P°edchozí vektorové rovnice mají následující vyjád°ení ve sloºkách:
max may maz
= −N sin α, = −mg + N cos α, = 0 =⇒ az = 0,
M Ax M Ay
= N sin α, = −M g − N cos α + P,
M Az
= 0 =⇒ Az = 0.
Soustava £ty° rovnic tvo°ená prvními dvojicemi rovnic uvedených soustav obsahuje 6 neznámých
ax , ay , Ax , Ay , N
a
P.
Pot°ebujeme dv¥ vazební podmínky.
První z nich je jednoduchá naklon¥ná rovina stále spo£ívá na vodorovné podloºce, tj.
Y (t) = 0
=⇒
Ay = 0.
relativní
Druhá podmínka vychází ze skute£-
zrychlení ⃗a
nosti, ºe kostka stále spo£ívá na naklon¥né rovin¥. Znamená to, ºe
⃗ kostky v·£i naklon¥né rovin¥ je s naklon¥nou rovia−A rel = ⃗ nou trvale rovnob¥ºné (zrychlení kostky vzhledem k pozorovateli spojenému s naklon¥nou rovinou mí°í podél naklon¥né roviny). Vazební podmínka je tedy
(ay − Ay )/(ax − Ax ) = tg α.
Získáváme tedy soustavu ²esti rovnic pro ²est ne-
známých
max may M Ax M Ay Ay ay − Ay ax − Ax
= −N sin α, = −mg + N cos α, = N sin α, = −M g − N cos α + P, = 0, = tg α.
Její °e²ení (prove¤te sami) je
ax = −
M g sin α cos α (m + M )g sin2 α , a = − , az = 0, y M + m sin2 α M + m sin2 α mg sin α cos α , Ay = 0, Az = 0, M + m sin2 α M (m + M )g mM g cos α , P = . N= M + m sin2 α M + m sin2 α Ax =
♠ P°íklad 2.10. Matematické kyvadlo. smallskip Jednoduchým mechanickým modelem je
matematické kyvadlo
. Popsali jsme je
jiº v p°íkladu 1.1 na Obr. 1.2. (Osy soustavy sou°adnic byly v p°íkladzu 1.1.
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE zna£eny
x1 , x2
a
x3 ,
zde pro jednoduchost
pohybuje na vlákn¥ stálé délky
l
v rovin¥
119
x, y a z ). Kulicka o hmotnosti m se xz , soustava má tedy jeden stupe¬
volnosti a její okamºitá poloha je jednozna£n¥ popsána £asovou závislostí úhlové výchylky
φ = (t). Pomocí druhého Newtonova zákona sestavíme rovnice, z nichº φ = (t) v principu získat. Do obrázku zakreslíme síly, jimiº za
lze závislost
kuli£ku p·sobí její okolí.
ϕ
ϕ
g T
T
mg
mg
F=mg+T
F=mg+T
Obr. 2.12: Matematické kyvadlo
Zanedbáme-li odpor prost°edí proti pohybu kuli£ky, zbývá tíhová síla jíº na kuli£ku p·sobí Zem¥, a tahová síla vlákna
T⃗ .
F⃗G = m⃗g ,
Výslednici t¥chto dvou sil,
F⃗ = m⃗g + T⃗ . V levé £ásti Obr. 2.12 jsou ⃗ . Druhý Newton·v zákon má pravé jejich výslednice F
Newtonovu hybnou sílu , ozna£me zakresleny síly
m⃗g
a
T⃗ ,
v
tvar
m⃗a = m⃗g + T⃗ . Otázkou je nyní volba soustavy sou°adnic. Jednou z moºností je pouºít pro rozklad vektor· pevné soustavy
max = −T sin φ, Vazební podmínku
x2 + y 2 = l2
< O; x, y, z >.
Pak
may = −mg + T cos φ,
maz = 0.
(2.14)
lze alternativn¥ vyjád°it takto:
x = l sin φ,
y = −l cos φ,
pro rychlost a zrychlení pak dostaneme
vx vy v
= x˙ = lφ˙ cos φ, = y˙ = lφ˙ sin φ, √ √ = vx2 + vy2 = x˙ 2 + y˙ 2 = l|φ| ˙ = l|ω|.
(2.15) (2.16) (2.17)
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
120
ax ay a
= x ¨ = −lφ˙ 2 sin φ + lφ¨ cos φ, = y¨ = lφ˙ 2 cos φ + lφ¨ sin φ, √ √ √ √ = a2x + a2y = x ¨2 + y¨2 = l φ˙ 4 + φ¨2 = l ω 4 + ε2 .
(2.18) (2.19) (2.20)
Vyjád°ení sloºek zrychlení pomocí úhlové výchylky a jejích derivací dosadíme do (2.14). Vynásobíme-li první rovnici soustavy (2.14) se£teme, vylou£íme tím
T
cos φ,
druhou
sin φ
a
a dostaneme
√ lφ¨ = −g sin φ =⇒ φ¨ + Získali jsme rovnici pro neznámou funkci
g φ = 0. l
(2.21)
φ(t). Krom¥ této funkce obsahuje rov-
pohybové rovnice oby£ejných
nice i její druhou derivaci. Rovnice pro neznámé funkce popisující trajektorii £ástice, resp. obecn¥ji mechanické soustavy, nazýváme
diferenciálních rovnic
. Nale-
zení neznámé funkce je otázkou matematických postup· °e²ení tzv.
, které si ukáºeme v dal²ím odstavci. Pokud v na²í úloze
φ(t), T (t).
o kyvadle dokáºeme pozd¥ji ur£it funkci i £asovou závislost velikosti tahové síly
pak s její znalostí m·ºeme zjistit
Pokusme se je²t¥ vyjád°it druhý Newton·v zákon zp·sobem, který umoºní zna£né zjednodu²ení výpo£tu oproti p°edchozímu postupu. Pouºijme pro rozklad vektorového tvaru druhého Newtonova zákona soustavy sou°adnic, která je p°irozeným zp·sobem spojena s trajektorií kuli£ky, pohyblivého reperu. Vektor binormály bude v tomto p°ípad¥ vºdy soub¥ºný s osou
z,
a´ jiº souhlasn¥ nebo
nesouhlasn¥, a pr·m¥ty sil do binormály jsou tedy nulové. Pro zjednodu²ení tedy budeme pracovat pouze v rovin¥ ur£ené jednotkovým vektorem te£ny a jednotkovým vektorem hlavní normály
⃗n
(viz Obr. 2.13).
ϕ g T Fn
F Fτ
τ
mg
Obr. 2.13: Matematické kyvadlo je²t¥ jednou
⃗τ
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE
121
Rozkladem vektorové rovnice p°edstavující druhý Newton·v zákon do sm¥ru te£ny a hlavní normály dostaneme
maτ = −mg sin φ, Te£né a normálové zrychlení
aτ
a
φ¨ + g sin φ, Výsledná síla
F⃗ = m⃗g + T⃗
an
man = T − mg cos φ.
(2.22)
jsou dána vztahy (1.37) a (1.42), tj.
T = mg cos φ + mlφ˙ 2 .
má te£nou a normálovou sloºku ur£enou vztahy
(2.22),
F⃗τ = m⃗aτ = −mg sin φ ⃗τ , Síla
F⃗
F⃗n = m⃗an = (T − mg cos φ) ⃗n.
tedy mí°í do poloroviny ur£ené te£nou k trajektorii a bodem záv¥su
kyvadla. Normálová sloºka zrychlení musí být totiº nenulová, nebo´ pohyb je o k°ivo£arý. V p°ípad¥, ºe kuli£ka kmitá, tj. −φ0 ≤ φ(t) ≤ φ0 , φ0 < 90 , jsou výjimkou krajní body (body obratu) trajektorie. V nich má kuli£ka nulovou rychlost a tedy i nulové normálové zrychlení. Výsledná síla je v bodech obratu
♠
te£ná k trajektorii.
P°íklad 2.11. Pohyb t¥lesa s prom¥nnou hmotností. Ve v²ech p°íkladech jsme dosud uvaºovali pouze o £ásticích s konstantní hmotností. Druhý Newton·v zákon je v²ak formulován obecn¥ji, p°ipou²tí i moºnost prom¥nné hmotnosti objektu. Jako typický p°íklad se uvádí pohyb rakety, jejíº hmotnost klesá tím, ºe ji opou²t¥jí spálené plyny paliva. Pro jiné p°íklady nemusíme chodit daleko sta£í sledovat pohyb nafouknutého nezavázaného pou´ového balónku. Jako p°íklad by mohl poslouºit t°eba i nákladní automobil, jemuº se z korby sype písek. Uvaºme tedy moºnost, ºe hmotnost objektu se m¥ní
∆m , které se od základního objektu prom¥nné m odpojují, resp. se k n¥mu p°ipojují, vzhledem k tomuto základnímu objektu. Ozna£me ji ⃗ u a p°edpokládejme, ºe je konstantní (plyny opou²t¥jí raketu se stálou relativní rychlostí). Je-li rychlost základního objektu vzhledem k dané inerciální vztaºné soustav¥ ⃗ v , je rychlost elementu ∆m v·£i téºe vztaºné soustav¥ ⃗ v+⃗ u. Hmotný element ∆m a objekt m na ⃗ a −f⃗. P°edpokládejme, ºe dal²í síly na ºádnou sebe navzájem p·sobí interak£ními silami f £ást t¥lesa nep·sobí. Zm¥na hybnosti základního objektu za dobu ∆t je rovna odpovídajícímu ⃗, zm¥na hybnosti elementu ∆m impulsu síly −f⃗. impulsu síly f
tak, ºe je známa rychlost hmotných element· hmotnosti
(m + ∆m)(⃗v + ∆⃗v ) − m⃗v = f⃗ ∆t, Zanedbáme-li sou£in
∆m∆⃗v
−∆m(⃗v + ⃗ u) = −f⃗ ∆t.
a se£teme-li ob¥ rovnice, dostaneme
m∆⃗v − ∆m⃗ u = ⃗0 =⇒ ∆⃗v ∥ ⃗ u. Rychlost
⃗ u
elementu
∆m
vzhledem k p·vodnímu t¥lesu mí°í na opa£nou stranu neº se
pohybuje p·vodní t¥leso vzhledem k inerciální vztaºné soustav¥, je tedy
⃗v = (v), ⃗ u = (−u).
Pak
dm dv v =− =⇒ ln m = − + C, m u u K ur£ení integra£ní konstanty ºe pro
v = v0
je
m = m0 ,
C
vyjde
ln m = −
C = konst.
pot°ebujeme op¥t jednu podmínku navíc. P°edpokládáme-li,
C = ln m0 +
v0 . e²ení je tedy u
v v0 v − v0 + ln m0 + =⇒ m(v) = m0 exp (− ). u u u
♠
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
122
2.4.2
Pohybové rovnice: Od zrychlení k trajektorii II
Pohybové rovnice
V p°edchozím odstavci jsme poprvé hovo°ili o pohybových rovnicích v souvislosti s matematickým kyvadlem (p°íklad 2.10, vztah (2.21)).
jsou
klí£ovým pojmem dynamiky. Jsou v podstat¥ matematickým zápisem druhého Newtonova zákona a p°edstavují obecn¥ soustavu rovnic pro neznámé funkce popisující trajektorii studované £ástice nebo soustavy £ástic. Uvaºujme o £ástici, na kterou p·sobí okolní objekty
1, 2, . . . , K
silami
F⃗1 , F⃗2 , . . ., F⃗K .
Jednotlivé
síly jsou dány silovými zákony a obecn¥ závisí, jak jsme jiº zjistili v odstavci 2.3.2, na poloze a rychlosti £ástice a také explicitn¥ na £ase. (P°íkladem explicitní závislosti silového p·sobení na £ase m·ºe být st°ídavé elektrické pole mezi deskami kondenzátoru, kde se testovací nabitá £ástice pohybuje.) Ozna£íme-li ∑K F⃗ = k=1 F⃗k výslednici vý²e uvedených sil, zapí²eme druhý Newton·v zákon takto
d⃗ p = F⃗ (⃗r, ⃗v , t), dt
p°i konstantní hmotnosti
Rychlost a zrychlení jsou v²ak derivacemi funkce
m⃗a = F⃗ (⃗r, ⃗v , t).
⃗r(t),
která p°edstavuje para-
metrické vyjád°ení trajektorie £ástice a kterou je t°eba °e²ením problému zjistit. Omezíme-li se na p°ípad konstantní hmotnosti £ástice, dostaneme vektorov¥ a ve sloºkách
¨ = F⃗ (⃗r(t), ⃗r˙ (t), t), m⃗(t) max may
= Fx (x, y, z, x, ˙ y, ˙ z, ˙ t), = Fy (x, y, z, x, ˙ y, ˙ z, ˙ t),
maz
= Fz (x, y, z, x, ˙ y, ˙ z, ˙ t).
Vztahy (2.23) p°edstavují soustavu t°í
oby£ejné
diferenciálních rovnic
(2.23)
pro neznámé funkce
x(t), y(t) a z(t). Neznámé funkce závisí na jediné prom¥nné t, nazývají se proto
druhého °ádu
. Název diferenciální je dán skute£ností, ºe krom¥ neznámých funkcí
obsahuje soustava i jejich derivace. Rovnice jsou
, nebo´ nejvy²²í
derivace neznámých funkcí jsou druhého °ádu. Dal²í terminologie týkající se diferenciálních rovnic souvisí jiº s jejich konkrétním tvarem. e²ení konkrétních situací ukáºeme na p°íkladech, aniº bychom se zabývali samotnou matematickou metodikou °e²ení diferenciálních rovnic. (Zájemc·m o tuto problematiku poslouºí jakákoli u£ebnice matematické analýzy.)
P°íklad 2.12. Modely odporových sil. Kapka ve tvaru malé kuli£ky o polom¥ru
r
padá ve vzduchu, který klade jejímu
pohybu odpor. P°edpokládejme, ºe kuli£kakapka je voln¥, tj. s nulovou rychlostí, vypu²t¥na ve vý²ce
h
nad povrchem Zem¥. Vy²et°íme její pohyb jak pro
p°ípad, kdy je silovým zákonem pro odporovou sílu Stokes·v vzorec, tak pro p°ípad Newtonova modelu (p°íklad 2.7, vztah (2.10)). Druhý Newton·v zákon má tvar
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE
123
m⃗a = m⃗g + F⃗o . V laboratorní vztaºné soustav¥ zvolíme po£átek kartézské soustavy sou°adnic na povrchu Zem¥ pod bodem, ze kterého je kapka vypu²t¥na, osu souhlasn¥ s tíhovým zrychlením, osy
y
z
a
x orientujeme
pak jiº zvolíme ve vodorovné rovin¥
jakkoli. Po£áte£ní podmínky jsou tedy
⃗r(0) = (−h, 0, 0),
⃗v (0) = ⃗r˙ (0) = (0, 0, 0).
V p°ípad¥ Stokesova modelu jsou pohybové rovnice kapky následující
m¨ x = mg − 6πηrx, ˙
m¨ y = 0,
m¨ z = 0.
Integrací druhé a t°etí rovnice dostaneme
y(t) = Py t + Qy , kde
Py , Qy , Pz
a
Qz
z(t) = Pz t + Qz ,
jsou integra£ní konstanty. Vzhledem k zadaným po£áte£ním
y(t) = 0, z(t) = 0. První ( ) mg m¨ x + 6πηr x˙ − =0 6πηr
podmínkám jsou nulové. Proto
a ozna£íme
ξ=
mg 6πηr
− x˙ ,
tj.
ξ˙ = −¨ x.
Pak
mξ˙ + 6πηrξ = 0 =⇒ ∫ =⇒
dξ =− ξ
∫
rovnici upravíme
ξ˙ 6πηr =− =⇒ ξ m
6πηr 6πηr dt =⇒ ln ξ = − t + C. m m
Po£áte£ní podmínka pro rychlost x ˙ = 0 vede k po£áte£ní podmínce pro ξ . Platí mg mg . Odtud dostaneme hodnotu integra£ní konstanty C = ln 6πηr 6πηr .
ξ(0) =
( ) [ ( )] 6πηr 6πηr mg 6πηr ξ = exp − t =⇒ x˙ = 1 − exp − t . mg m 6πηr m Dal²í integrací získáme závislost
∫ x=
( )] ( )] [ [ 6πηr mg m 6πηr mg 1 − exp − t dt = t+ exp − t + D. 6πηr m 6πηr 6πηr m
Integra£ní konstantu
−h.
x(t):
D
ur£íme op¥t z po£áte£ní podmínky, kerá má tvar
x(0) =
e²ení soustavy pohybových rovnic je tedy
[ ( )] [ ( )2 ] mg m 6πηr m x(t) = t+ exp − t − h+g , y(t) = 0, z(t) = 0. 6πηr 6πηr m 6πηr
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
124
Grafy závislostí polohy kapky
x(t)
a její rychlosti
vx (t) = x(t) ˙
na £ase jsou na
Obr. 2.14-a a Obr. 2.14-b. (Vodorovná osa grafu, ozna£ená jako
x, je £asová, x(t), resp. rychlost vx (t) kapky). Polom¥r 3 kapky je 1 mm, hustota vody je ϱ = 1000 kg m , dynamická viskozita vzduchu o −5 p°i teplot¥ 0 C je η = 1, 7 · 10 Pa s. Graf je sestrojen v takovém rozsahu, aby bylo vid¥t, ºe se rychlost kapky pro t → ∞ blíºí jisté limitní hodnot¥. Ta vyplývá ze vztahu pro x(t) ˙ a je rovna na svislé ose s popisem
y
je poloha
vm = Nazývá se
mezní rychlost
mg . 6πηr
(2.24)
. Na druhé stran¥ je vid¥t, ºe Stokes·v model odporové
síly není p°íli² realistický. Z grafu je vid¥t, ºe m¥la-li by se rychlost kapky blíºit mezní hodnot¥, museli bychom ji nechat padat z n¥kolikakilometrové vý²ky. Kapka by padala desítky sekund. Mezní rychlost pro zadané hodnoty £iní asi . vm = 1, 3 · 102 m s−1 . Tato hodnota není v praxi realistická, je p°íli² vysoká. Proto v dal²í úvaze pouºijeme Newton·v model, který slibuje ú£inn¥j²í brzd¥ní kapky díky závislosti odporové síly na kvadrátu rychlosti. Pohybové rovnice mají pro tento p°ípad tvar
1 m¨ x = mg − πr2 Cϱx˙ 2 , 2 kde
S = πr2 .
m¨ y = 0,
m¨ z = 0,
V²imn¥me si první rovnice podrobn¥ji. Tíhová síla je stále stejn¥
velká, zatímco síla odporová roste se vzr·stající rychlostí, tentokrát kvadraticky na rozdíl od lineárního nár·stu v p°ípad¥ Stokesova modelu. V okamºiku, kdy se odporová síla vyrovná se silou tíhovou, je zrychlení nulové a t¥leso dosahuje mezní rychlosti
√ vm =
2mg . πr2 Cϱ
(2.25)
y(0) = 0, y(0) ˙ = 0, z(0) = 0 a z(0) ˙ = 0 dostaneme y(t) = 0, z(t) = 0. M·ºeme se tedy zabývat Ozna£me v ní ξ = x ˙ . Po£áte£ní podmínka pro ξ je pak
Pro po£áte£ní podmínky
z druhé a t°etí pohybové rovnice jiº jen první rovnicí.
ξ(0) = x(0) ˙ = 0.
Úpravou rovnice, rozkladem na parciální zlomky a integrací
postupn¥ dostaneme
πr2 Cϱ
2m¨ x (
2mg πr 2 Cϱ
1 v2 ) = 1 =⇒ m ξ˙ · g 2vm − ξ2 vm 2g
∫ (
(
1 1 + vm + ξ vm − ξ
) 1 1 + dξ = t + C vm + ξ vm − ξ vm vm + ξ ln =t+C 2g vm − ξ
) = 1,
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE Vzhledem k po£áte£ní podmínce
ξ(0) = 0
je integra£ní
C
125
konstanta nulová.
Dal²í úpravou dostaneme
vm + ξ = exp vm − ξ
(
2gt vm
(
)
exp =⇒ ξ(t) = vm exp
P°edev²ím vidíme, ºe konstanta
vm
(
2gt vm 2gt vm
) )
−1
( = vm tgh
+1
gt vm
) .
skute£n¥ p°edstavuje mezní rychlost, které
v²ak kapka reáln¥ nikdy nedosáhne. Jde totiº o limitní hodnotu rychlosti pro
t → ∞, limt→∞ ξ(t) = vm . Dal²í integrací výrazu pro ξ = x˙ a s uváºením po£áte£ní podmínky x(0) = −h získáme závislost polohy kapky na £ase. (
∫ x=
vm tgh
gt vm
)
∫ sinh dt = vm
( (
cosh
gt vm gt vm
) ) dt =
[ ( )] 2 vm gt ln cosh − h. g vm
Grafy polohy a rychlosti kapky v závislosti na £ase jsou na Obr. 2.14-c a Obr.
2.14-d. (Význam popisu os je stejný jako na Obr. 2.14-a a Obr. 2.14-b.)
2000
0
-2000
-4000
-6000 0
20
40
60
80
x
Obr. 2.14-a: K p°íkladu 2.12 Stokes·v model poloha
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
126
140
120
100 80 y 60
40 20
0 0
20
40
60
80
x
Obr. 2.14-b: K p°íkladu 2.12 Stokes·v model rychlost
x 0
1
2
3
4
0
-5
y -10
-15
-20
Obr. 2.14-c: K p°íkladu 2.12 Newton·v model poloha
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE
127
8
6
y4
2
0 0
1
2
3
4
x
Obr. 2.14-d: K p°íkladu 2.12 Newton·v model rychlost Pro pád kulové kapky o polom¥ru r = 1 mm ve vzduchu (C o p°i teplot¥ 0 C a bez uváºení závislosti na vý²ce) je vm
1, 3 kgm−3
Graf odpovídá pádu kapky z vý²ky
h = 20 m.
= 0, 5, ϱ = = 6, 3 ms−1 .
Rovn¥º tato situace není zcela
realistická, kapka si totiº p°i pádu neuchová kulový tvar. Pokud bychom p°edpokládali, ºe zaujme tvar spí²e aerodynamický, bude hodnota konstanty C rovna 3, 7 · 10−2 . Pro tento p°ípad je vm = 23, 3 ms−1 . Aproximaci také p°edstavuje
asi
konstantní hustota vzduchu. Ve skute£nosti je závislá nejen na teplot¥, ale i na
♠
vý²ce nad povrchem Zem¥.
P°íklad 2.13. Vra´me se k pohybové rovnici matematického kyvadla (2.21). Ozna£me v ní
Ω0 =
√ g/l.
Rovnice
φ¨ + Ω20 sin φ = 0 má sice analytické °e²ení, jeho vyjád°ení v²ak není jednoduché. Rychlou p°edstavu o pr·b¥hu závislosti úhlové výchylky na £ase m·ºeme snadno získat pro p°ípad malých výchylek, p°i nichº lze
sin φ nahradit p°ímo úhlem φ v obloukové
mí°e.
Funkci sinus lze totiº vyjád°it mocninnou °adou
sin φ = φ −
1 3 1 (−1)k φ + φ5 − · · · + φ2k+1 + · · · 3! 5! (2k + 1)!
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
128
a nahradit ji pro malé hodnoty
φ
pouze prvním £lenem. Relativní chyba tohoto odhadu je
pak ur£ena podílem prvního £lenu zanedbaného zbytku °ady a hodnoty nap°íklad, aby relativní chyba odhadu byla men²í neº
0, 01,
φ.
Poºadujeme-li
dostaneme pro p°ípustný rozsah
úhlových výchylek v obloukové mí°e vztah
√ φ3 . < 0, 01 =⇒ φ < 0, 06 = 0, 25. 6φ To odpovídá hodnot¥ asi
14 o .
e²íme tedy rovnici v aproximativním tvaru
φ¨ + Ω20 φ = 0.
lineární s konstantními koe cienty homogenní
Jedná se o rovnici druhého °ádu, pují v rovnici lineárn¥),
(neznámá funkce a její derivace vystu(u neznámé funkce a jejích
derivací nestojí funkce, ale konstanty) a
(na pravé stran¥ rovnice je
nula). V²echna její reálná °e²ení (úhlová výchylka je reálnou funkcí £asu) jsou obsaºena v zápisu
φ(t) = a cos Ω0 t + b sin Ω0 t, a
a
b
(2.26)
jsou libovolné reálné konstanty. Jejich hodnoty je t°eba ur£it pomocí
po£áte£ních podmínek, °e²ení rovnice pro
t=0
φ(0) = −φ0 , φ(0) ˙= ω0 .
Dosazením t¥chto hodnot do
dostáváme
φ0 = a,
ω0 = bΩ0 =⇒ b =
ω0 . Ω0
Pro dané po£áte£ní podmínky je °e²ením funkce
φ(t) = φ0 cos Ω0 t +
ω0 sin Ω0 t. Ω0
Ω0 t. Je tedy peril/g . Dv¥ mezní situace nastanou pro ω0 = 0
e²ení je lineární kombinací funkcí kosinus a sinus prom¥nné odickou funkcí s periodou a
φ0 = 0.
T = 2π
√
Platí pro n¥
φ(t) = φ0 cos Ω0 t,
φ(t) =
ω0 sin Ω0 t. Ω0
Pohyb kyvadla je popsán £istou funkcí kosinus, resp. sinus. Zam¥°me se na °e²ení rovnice podrobn¥ji. Úprava na tvar
φ ¨ = −Ω20 φ
ukazuje, ºe °e²ením
je funkce, jejíº druhá derivace je aº na vynásobení konstantou rovna p·vodní funkci. Tuto vlastnost mají goniometrické funkce sinus a kosinus a funkce exponenciální. P°edpokládáme °e²ení v exponenciálním tvaru
φ = exp λt,
koe cient
λ
hledejme jeho dosazením do rovnice:
λ2 exp λt + Ω20 exp λt = 0 =⇒ λ2 + Ω20 = 0. Získali jsme algebraickou rovnici pro
λ,
tzv.
charakteristickou rovnici.
λ = ±iΩ0 .
Hodnoty
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE charakteristické ko°eny
jsou
diferenciální rovnice
φ1 (t) = exp (iΩ0 ), které tvo°í
fundamentální systém °e²ení
φ ¨ + Ω20 φ = 0.
129
Základem °e²ení jsou funkce
φ2 (t) = exp (−iΩ0 ),
dané diferenciální rovnice. Rovnici vyhovuje také
kaºdá jejich lineární kombinace
φ(t) = C1 φ1 (t) + C2 φ2 (t) = C1 exp (iΩ0 t) + C2 exp (−iΩ0 t), kde
C1
a
C2
(2.27)
jsou libovolné obecn¥ komplexní konstanty. Podobn¥ jako v p°edchozích úlohách
mají význam integra£ních konstant. Vztah (2.27) obsahuje smysl v²ak mají v na²í úloze pouze reálné funkce
φ(t) = φ∗ (t).
φ(t),
v²echna
°e²ení rovnice. Fyzikální
tj. takové, které spl¬ují poºadavek
Hv¥zdi£ka zna£í operaci komplexního sdruºení. Dostáváme omezení pro volbu
konstant
C1 exp (iΩ0 t) + C2 exp (−iΩ0 t) = C1∗ exp (−iΩ0 t) + C2∗ exp (iΩ0 t) =⇒ =⇒ (C1 − C2∗ ) exp (2iΩ0 t) = (C1∗ − C2 ). Podotkn¥me, ºe d¥lení výraz· exponenciální funkcí je povoleno pro v²echna
t,
nebo´ expo-
nenciální funkce je vºdy nenulová. P°edchozí rovnost musí platit pro libovolné
t.
Vzhledem k
tomu, ºe na její levé stran¥ je nekonstantní funkce a na pravé konstanta, je moºné jí vyhov¥t
C2 = C1∗ . Zapí²eme-li C1 ve tvaru A+iB , kde A, B ∈ R, je C2 = A−iB . Pouºijeme vztahu exp (iα) = cos α + i sin α. Pro φ(t) dostaneme
pouze pro Eulerova
φ(t) = 2A cos Ω0 t − 2B sin Ω0 t =⇒ φ(t) = a cos Ω0 t + b sin Ω0 t,
a = 2A, b = −2B.
Výsledek se shoduje s (2.26).
Podrobn¥j²í návody k matematickým metodám °e²ení diferenciálních rovnic lze nalézt v b¥ºné matematické literatu°e. A je²t¥ jedna zajímavost: Periodu matematického kyvadla
T = 2π
√
l/g
jsme získali °e²ením
jeho pohybové rovnice. To bylo pon¥kud pracné. Charakter vztahu pro periodu v²ak m·ºeme získat tém¥° bez práce, pouºitím tzv.
rozm¥rové analýzy.
Je jasné, ºe perioda m·ºe záviset
pouze na tíhovém zrychlení, hmotnosti kuli£ky a délce záv¥su. P°edpokládejme je v sou£inové, tvaru
T = g α lβ mγ , kde
α, β
a
γ
jsou zatím neznámé exponenty. Musí v²ak být takové, aby výsledný rozm¥r
vy²el v sekundách. Dostáváme tak poºadavek
s = mα+β s−2α kgγ a odtud porovnáním tedy vychází
T ∼
√
γ = 0, α + β = 0, −2α = 1,
l/g .
tj.
α = −1/2, β = 1/2, γ = 0.
Pro periodu
Rozm¥rová analýza nám samoz°ejm¥ neumoºní ur£it konstantu
Pokud bychom touto metodou cht¥li zjistit tvar vztahu pro periodu ob¥hu tzv.
kyvadla,
vykonávajícího rovnom¥rný pohyb po kruºnici o polom¥ru
rovin¥, kde
ϑ
r = l sin ϑ
2π .
kuºelového
ve vodorovné
je úhel mezi vláknem záv¥su a svislým sm¥rem, dostaneme samoz°ejm¥ týº typ
její závislosti na
l
a
g.
P°esný vztah v²ak má tvar
T = 2π
√
l cos ϑ/g .
konstantu
√ 2π cos ϑ
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
130
rozm¥rovou nalýzou op¥t nezjistíme. Rozm¥rová analýza je uºite£ná pro orienta£ní zji²t¥ní typu závislosti dané veli£iny a veli£inách ostatních, není v²ak zcela dokonalá.
P°íklad 2.14. ástice v magnetickém poli °e²ení. ástice o hmotnosti
m nese náboj q
a pohybuje se v homogenním £asov¥ nepro-
−−→ ⃗ r, t) = B ⃗ =− B(⃗ konst. V £ase t = 0 prochází rychlostí ⃗ v0 . e²ením pohybové rovnice zjistíme
m¥nném magnetickém poli o indukci po£átkem soustavy sou°adnic
její trajektorii. Uváºíme-li pouze vliv magnetického pole a v²echny ostatní vlivy zanedbáme, má druhý Newton·v zákon s pouºitím silového zákona (2.7) tvar
⃗ m⃗a = q(⃗v × B). z sm¥°ovala x a y tak, aby vektor ⃗v0 leºel v sou°adnicové ⃗ = (0, 0, B), ⃗v0 = rovin¥ xy (Obr. 2.15). Pak ⃗ v = (vx , vy , vz ) = (x, ˙ y, ˙ z) ˙ ,B (0, v0y , v0z ) = (0, v0 cos α, v0 sin α). Zvolíme pravoto£ivou kartézskou soustavu sou°adnic tak, aby osa
souhlasn¥ s vektorem
⃗ B
a osy
z
B
v0
v0z O
α
v0y
y
x Obr. 2.15: Nabitá £ástice v magnetickém poli
Ve sloºkách rozepí²eme druhý Newton·v zákon takto:
m¨ x = q(vy Bz − vz By ) = q yB, ˙ m¨ y = q(vz Bx − vx Bz ) = −q xB, ˙ m¨ z = q(vx By − vy Bx ) = 0.
(2.28)
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE
131
z(t) = Az t + Bz , z po£áte£ních podmínek z(0) = 0 a vz (0) = z(0) ˙ = v0z = v0 sin α zjistíme integra£ní konstanty Az = v0 sin α, Bz = 0. e²ení zbývajících rovnic je moºné provést r·znými zp·soby. Neº se do e²ením t°etí rovnice je funkce
n¥kterého z nich pustíme, v²imn¥me si jedné zajímavosti: Vynásobíme-li první
x˙ ,
rovnici soustavy (2.28)
druhou
y˙
a se£teme, dostaneme
(x¨ ˙ x + y˙ y¨) = 0 =⇒
) d ( 2 v + vy2 = 0. dt x
xy je tedy konstantní. Protoºe i vz = Az = v0 sin α vx2 + vy2 + vz2 = v0 = konst. Pohyb £ástice v magnetickém
Pr·m¥t rychlosti do roviny
√
je konstantní, je
v=
poli je tedy rovnom¥rný. V²imn¥te si, ºe tento výsledek by byl stejný, i kdyby magnetické pole bylo £asov¥ prom¥nné a nehomogenní, tj. indukce magnetického pole závisela na poloze a na £ase. Pro °e²ení rovnice zvolíme pon¥kud formální, ale nejrychlej²í postup. Druhou rovnici soustavy (2.28) vynásobíme imaginární jednotkou (i) a p°i£teme k první rovnici. Dále ozna£íme
ξ = x˙ + iy˙ .
Pak
ξ˙ = −iωξ,
ω=
qB . m
Dosazením se snadno p°esv¥d£íte, ºe této rovnici vyhovují v²echny funkce tvaru
ξ = K exp (−iωt). K
je libovolná komplexní konstanta.
Poznámka: Pro derivování komplexních funkcí platí stejná pravidla jako u funkcí reálných, takºe
ξ˙ = −iω exp (−iωt).
Z teorie diferenciálních rovnic plyne,
ºe jiná °e²ení uº rovnice nemá.
K ur£íme z po£áte£ní podmínky pro rychlost: ξ(0) = K = x(0) ˙ + iy(0) ˙ = iv0 cos α. Pak, po rozd¥lení ξ na reálnou a imaginární £ást x˙ = vx a y˙ = vy , Konstantu
ξ(t) = iv0 cos ωt·exp (−iωt) =⇒ vx (t) = v0 cos α sin ωt, Dal²í integrací a vyuºitím po£áte£ních podmínek funkce
x(t)
a
y(t),
které spolu se
z(t)
vy (t) = v0 cos α cos ωt.
x(0) = 0, y(0) = 0, jiº získáme
tvo°í parametrické vyjád°ení trajektorie.
∫ x(t) = y(t) = z(t) =
v0 cos α (1 − cos ωt) , ω ∫ v0 cos α v0 cos α cos ωt dt = sin ωt, ω v0 t sin α. v0 cos α sin ωt dt =
Uvaºme dva speciální p°ípady, kdy je po£áte£ní rychlost kolmá k magnetické indukci (α
= 0),
resp. je s ní rovnob¥ºná (α
= π/2).
e²ení úlohy má pak tvar
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
132
x(t) =
v0 v0 (1 − cos ωt) , y(t) = sin ωt, z(t) = 0, ω ω x(t) = 0, y(t) = 0, z(t) = v0 t.
resp.
0,001
0,0005
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0
-0,0005
-0,001
Obr. 2.16-a: Pozitron v magnetickém poli,
⃗ ⃗v0 ⊥ B
0,001
0,0005
-0,002
-0,0015
-0,001
-0,0005
0 0
-0,0005
-0,001
Obr. 2.16-b: Elektron v magnetickém poli,
⃗ ⃗v0 ⊥ B
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE
133
V p°ípad¥, ºe £ástice vletí do magnetického pole kolmo k indukci (Obr. 2.16), je její trajektorií kruºnice
(
( v )2 v 0 )2 0 + y2 = ω ω v rovin¥ xy , se st°edem v bod¥ S = (v0 /ω, 0, 0), a polom¥rem R = v0 /ω . ástice po ní obíhá rovnom¥rn¥ s kruhovou frekvencí ω = qB/m, zvanou x−
cyklotronová
frekvence
. Pro elektron v magnetickém poli o indukci 0,1 T je tato frekvence 10 −1 zhruba 1, 8 · 10 s , pro proton 9, 6 · 106 s−1 . Grafy na Obr. 2.16-a a Obr. 2.16-b jsou nakresleny pro £ástice s kladným, . . −19 resp. záporným elementárním nábojem ±e = ±1, 6 · 10 C a hmotností m == −30 0, 91 · 10 kg (pozitron, resp. elektron) s po£áte£ní rychlostí ⃗v0 = (0, v0 , 0), . ⃗ = (0, 0, B), B = 0, 1 T. Po£áte£ní v0 = 1, 9 · 107 m s−1 v magnetickém poli B rychlost odpovídá urychení nap¥tím 1 kV. Pozitron obíhá v záporném smyslu
♠
(po sm¥ru hodinových ru£i£ek), elektron v kladném smyslu.
P°íklad 2.15. ástice v elektrickém a magnetickém poli. Vy°e²íme je²t¥ pon¥kud sloºit¥j²í úlohu, pohyb nabité £ástice v £asov¥ neprom¥nném a homogenním elektrickém i magnetickém poli. Intenzitu elektrického pole ozna£me magnetického pole vektor
⃗ B
jsou pak
⃗. B
⃗, E
indukci
Oba tyto vektory jsou konstantní. Soustavu sou°adnic zvolme tak, aby
⃗ leºel z a vektor E ⃗ = (0, E cos α, E sin α). E
sm¥°oval op¥t podél osy
⃗ = (0, 0, B) B
a
v sou°adnicové rovin¥
yz .
Jejich sloºky
z
v0z
v0
B O
E α
v0y
y
v0x x Obr. 2.17: Nabitá £ástice v elektrickém a magnetickém poli Po£áte£ní podmínky jsou Newton·v zákon
⃗ r(0) = (0, 0, 0), ⃗v (0) = (v0x , v0y , v0z )
(viz
Obr. 2.17).
Druhý
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
134
⃗ + q(⃗v × B) ⃗ m⃗a = q E p°epí²eme do sloºek:
m¨ x
=
q yB, ˙
m¨ y
=
qE cos α − q xB, ˙
m¨ z
=
qE sin α.
Integrací t°etí rovnice a uváºením po£áte£ních podmínek
z(t) =
qE 2 t 2m
sin α + v0z t.
(2.29)
z(0) = 0
a
z(0) ˙ = v0z
dostaneme
Pro °e²ení soustavy prvních dvou rovnic pouºijeme tentokrát jiný
y˙ , zderivujeme ω = qB/m. Tato
p°ístup, abychom poznali i jiné matematické postupy. Vyjád°íme z první rovnice a dosadíme do druhé rovnice. P°itom stejn¥ jako v p°íkladu 2.14 ozna£íme úprava vede k rovnici
x(3) + ω 2 kde jsme ozna£ili
( ) E x˙ − cos α = 0 =⇒ ξ¨ + ω 2 ξ = 0, B
E ξ = x˙ − B cos α. Obecné °e²ení této rovnice v²ak jiº známe. Je totiº formáln¥
shodná s pohybovou rovnicí matematického kyvadla s malými výchylkami. Je tedy
ξ(t) = a cos ωt + b sin ωt =⇒ E =⇒ x(t) ˙ = cos α + a cos ωt + b sin ωt, y˙ = −a sin ωt + b cos ωt, B kde
a
a
b
jsou libovolné reálné konstanty (integra£ní konstanty). Pro vyjád°ení
y˙
jsme p°itom
pouºili druhé rovnice ze soustavy (2.29). Uplatn¥ním po£áte£ních podmínek pro rychlost,
x(0) ˙ = v0x , y(0) ˙ = v0y ,
dostaneme
x˙
=
y˙
=
z˙
=
a = v0x −
E B
cos α
a
b = v0y ,
tj. celkov¥ pro rychlost
( ) E E cos α + v0x − cos α cos ωt + v0y sin ωt, B B ) ( E sin α cos ωt + v0y sin ωt, − v0x − B qEt sin α + v0z . m
Dal²í integrací a uplatn¥ním po£áte£ní podmínky pro polohu získáme parametrické rovnice trajektorie £ástice. Jejich výsledný tvar je
x(t)
=
y(t)
=
z(t)
=
( ) Et 1 E v0y cos α + v0x − cos α sin ωt + (1 − cos ωt) , B ω B ω ( ) 1 E v0y − v0x − cos α (1 − cos ωt) + sin ωt, ω B ω
(2.30)
qEt2 sin α + v0z t. 2m
Parametrické rovnice trajektorie se zjednodu²í za speciálních podmínek. Pro p°ípad, kdy jsou elektrické a magnetické pole rovnob¥ºná, je
α = π/2. Dal²ím zjednodu²ením je volba po£áte£ní ⃗v0 = (0, v0 , 0), mají parametrické
rychlosti. Zvolíme-li ji kolmou k ob¥ma polím, nap°íklad rovnice trajektorie tvar
x(t) =
v0 (1 − cos ωt), ω
y(t) =
v0 sin ωt, ω
z(t) =
qE 2 t . 2m
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE
135
Tato trajektorie je znázorn¥na v prvním grafu v Obr. 2.18 pro proton (m = 1, 67 · 10−27 kg, q = +1, 60·10−19 C), jehoº po£áte£ní rychlost odpovídá urychlení nap¥tím 10 kV a její velikost tedy rovna v0 = 1, 38 · 106 m s−1 . Indukce magnetického pole je B = 0, 1 T, intenzita pole −1 . Cyklotronová frekvence je 9, 58 · 106 s−1 . elektrického je E = 5 · 104 Vm
8 6 4 2 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05
0 0,1 0,05
0
-0,05 -0,1
0
Obr. 2.18-a: Trajektorie nabité £ástice v magnetickém poli
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
136
0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 -0,05 -0,1
0,2 0,15 0,1 0,05
Obr. 2.18-b: Trajektorie nabité £ástice v elektrickém a magnetickém poli
0,2
0,15
0,1
0,05
0 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-0,05
-0,1
Obr. 2.18-c: Trajektorie nabité £ástice v elektrickém a magnetickém poli
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE
137
2,5 2 1,5 1 0,5 0 0,02 0,04 0,06 0,08
10 0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,1
Obr. 2.18-d: Trajektorie nabité £ástice v elektrickém a magnetickém poli Obr. 2.18
Dal²í grafy na
odpovídají stejným hodnotám jako první graf, av²ak postupn¥
situacím
⃗ ⊥B ⃗, • E
tj.
α = 0,
(tzv.
zk°íºené
elektrické a magnetické pole),
⃗v0 = (0, v0 , 0),
prosto-
rov¥ znázorn¥ná rovinná trajektorie,
•
týº p°ípad jako p°edchozí, trajektorie je v²ak znázorn¥na v rovin¥
⃗ ⊥B ⃗, • E
tj.
xy ,
v níº leºí,
α = 0, ⃗v0 = (0, 0, v0 ).
♠ P°íklad 2.16 Tlumené a vynucené kmity.
cených kmit·
Dal²ím p°íkladem tohoto odstavce je °e²ení problému
tlumených kmit· vynua
. Základním modelem je harmonický oscilátor (t¥lísko na pruºin¥
z p°íkladu 2.6), jehoº pohyb je tlumen odporovou silou závislou lineárn¥ na rychlosti
F⃗o = −2γ⃗v , γ
koe cient útlumu
je kladná konstanta, pop°ípad¥ podporován perio-
dicky prom¥nnou vynucující silou. Konstanta
γ/m
se nazývá
Pohybové rovnice pro tyto p°ípady jsou
.
m¨ x + 2γ x˙ + kx = 0,
(2.31)
m¨ x + 2γ x˙ + kx = F0 sin Ωt.
(2.32)
Nejprve °e²me rovnici (2.31). Její charakteristická rovnice má tvar
mλ2 + 2γλ + k = 0
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
138
a její ko°eny jsou
λ1,2 =
) √ 1 ( −γ ± γ 2 − km . m
Nyní rozli²íme t°i p°ípady. První z nich nastává, jestliºe
γ 2 > km.
Ko°eny
charakteristické rovnice jsou reálné a obecné °e²ení je popsáno vztahem
[ √ γ 2 k √ γ 2 k] γ x(t) = e− m t Cet ( m ) − m + De−t ( m ) − m . Dochází k tzv.
nadkritickému útlumu
, výchylka t¥lesa se zmen²uje k nule, t¥leso
se bez kmitání vrací do rovnováºné polohy. (Na základ¥ rozboru pr·b¥hu funkce
x(t) sami sestrojte její graf a zejména pro²et°ete jeho chování pro t → ∞). Situx(0) = 0, 00 m, √
aci znázor¬uje Obr. 2.19. Je sestrojen pro po£áte£ní podmínky
vlastní kruhovou frekvenci ω
k −1 a t°i = m = 10, 0 s γ −1 r·zné hodnoty koe cientu útlumu, pro které podíl nabývá hodnot 16, 0 s , m −1 −1 13, 0 s , 10, 7 s . Taková situace by mohla odpovídat t°eba mechanickému os−1 cilátoru o hmotnosti m = 1 kg na pruºin¥ o tuhosti k = 100 N m , který by
x(0) ˙ = 1, 00 m s−1 ,
0
kmital v n¥jaké vhodné kapalin¥.
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
x
Obr. 2.19: Nadkritický útlum
V p°ípad¥, ºe
γ 2 = km,
má charakteristická rovnice jeden dvojnásobný reálný
ko°en a moºné £asové závislosti výchylky jsou popsány obecným °e²ením γt
x(t) = (Ct + D)e− m .
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE
139
kritickém útlumu
T¥lísko se op¥t vrací do rovnováºné polohy, jak je vid¥t na Obr. 2.20. V tomto p°ípad¥ hovo°íme o tzv.
, který p°edstavuje jakési rozhraní
mezi útlumem nadkritickým, o kterém jsme jiº mluvili, a podkritickým, o kterém bude °e£ za chvíli.
3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
x
Obr. 2.20: Kritický útlum £erná k°ivka
Do Obr. 2.20 jsou také znovu zakresleny k°ivky nadkritického útlumu z Obr.
2.19. Je vid¥t, ºe kritický útlum skute£n¥ p°edstavuje mezní p°ípad. Uv¥domme si je²t¥ jednu d·leºitou skute£nost, kterou ukazují grafy. Poloha t¥líska se bude sice k rovnováºné poloze velmi rychle blíºit, ke skute£nému návratu t¥líska do rovnováºné polohy v²ak fakticky nedojde nikdy (resp. dojde k n¥mu v nekone£ném £ase ). Z praxe v²ak víme, ºe jakkoli málo tlumené kmity nakonec ustanou. Jak je tedy moºné, ºe nám to nevychází ani p°i siln¥j²ím a siln¥j²ím tlumení? P°í£ina je v p°íli² zjednodu²eném modelu tlumení. Ve skute£nosti závisí odporová síla na rychlosti t¥líska sloºit¥ji neº lineárn¥. Kdybychom v²ak pouºili nelineární model, nebyla by pohybová rovnice oscilátoru rovnicí lineární a zase bychom m¥li problém s °e²ením. Op¥t se tedy p°esv¥d£ujeme, ºe vhodná volba fyzikálního modelu je vºdy jistým kompromisem. Poslední p°ípad nastává, jestliºe jsou ko°eny charakteristické rovnice komγ 2 < km. Obecné °e²ení je tvaru
plexní, tj.
γt
x(t) = e− m [P cos(ωt) + Q sin(ωt)] ,
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
140
√ kde
ω =
frekvencí
ω
podkritický útlum
γ 2 k , t¥lísko kmitá s kruhovou m − ( m ) . Jedná se o a amplituda výchylky klesá exponenciáln¥ s £asem. Ukazuje to Obr.
2.21. V první £ásti obrázku je °e²ení pohybové rovnice pro stejné po£áte£ní podmínky, jaké jsme pouºili pro nadkritický a kritický útlum. Také vlastní kruhovou frekvenci jsme zvolili stejnou. Jednotlivé grafy jsou zakresleny pro r·zné hodγ −1 −1 −1 −1 noty podílu , 2, 0 s , 5, 0 s a 7, 0 s . Pro názornost je m , konkrétn¥ 0, 5 s zakreslena i k°ivka odpovídající kritickému útlumu, stejná jako na Obr. 2.20. γ Je dob°e vid¥t, jak se kmity se vzr·stající hodnotou m blíºí kritickému útlumu, γ naopak p°i poklesu m se blíºí netlumeným kmit·m (p°eru²ovaná k°ivka).
10
5
0 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
x
-5
-10
Obr. 2.21-a: Podkritický útlum te£kovan¥ netlumené kmity
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE
141
10
5
0 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
x -5
-10
Obr. 2.21-b: Tlumené kmity s obálkou
Tyto kmity p°edstavují pohyb
netlumeného harmonického oscilátoru
, jehoº koe-
√
k m a jeho amplituda se s £asem nem¥ní. V druhé £ásti Obr. 2.21-b je graf kmit· p°i γ −1 podkritickém útlumu s hodnotou . Jsou znázorn¥ny i exponenciální m = 2, 0 s cient útlumu je nulový. Oscilátor kmitá s vlastní kruhovou frekvencí
obálky
± exp (−2t).
ω0 =
Zkuste spo£ítat sou°adnice bod· dotyku obálek s k°ivkou
popisující kmity.
nehomogenní
Diferenciální rovnice pro vynucené kmity (2.32) se od rovnic, které jsme zatím
homogenní
°e²ili, li²í nenulovou pravou stranou. Jedná se o rovnici rovnice s nulovou pravou stranou je
genní rovnice získáme tak, ºe k obecnému °e²ení
, zatímco
. Obecné °e²ení
xh (t)
x(t)
nehomo-
odpovídající homogenní
rovnice, tj. té, kterou získáme anulováním pravé strany, p°i£teme libovolné (partikulární) °e²ení
xp (t) nehomogenní rovnice. Odpovídající homogenní rovnice je
ov²em pohybovou rovnicí tlumeného oscilátoru bez buzení a její °e²ení jiº známe. P°edpokládejme, ºe jde o p°ípad podkritického útlumu. e²ení na²í úlohy má tedy tvar
γ ) x(t) = exp − t (a cos ωt + b sin ωt) + xp (t), m
√
(
ω=
ω02 −
( γ )2 m
Zbývá tedy je²t¥ ur£it jakékoli °e²ení nehomogenní rovnice. Hledejme
xp (t) = P cos Ωt + Q sin Ωt. aby funkce xp (t) vyhovovala
zobecn¥ném tvaru pravé strany, tj. stanty
P
a
Q
je t°eba ur£it tak,
Dosazením a úpravou dostaneme
.
xp (t)
v
Neznámé konrovnici (2.32).
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
142
xp (t) = √
F0 /m
(ω02 − Ω2 )2 + Pro velká
t
(
4γΩ m
)2 sin (Ωt + ϕ),
tg ϕ = −
2Ω(γ/m) . ω02 − Ω2
dochází k utlumení vlastních kmit· oscilátoru, který pak kmitá jiº
s vynucující frekvencí
Ω.
P°íklad 2.17 Trhání provázk·. V základních p°edná²kách z mechaniky se s oblibou ukazuje demonstra£ní experiment, který se v¥t²inou interpretuje jako pokus dokumentující setrva£nost t¥les. Je uspo°ádán podle Obr. 2.22 takto: V tíhovém poli Zem¥ (tíhové zrychlení
⃗g )
je na provázku zav¥²eno pom¥rn¥ t¥ºké t¥leso o hmotnosti
M.
Na jeho
spodku visí dal²í provázek, který je volný. Oba provázky jsou stejné kvality (ze stejného klubka) a mají zanedbatelnou hmotnost. Pokud za dolní provázek táhneme zv¥t²ující se silou pomalu , pak p°i ur£itém tahu praskne horní provázek. Pokud dostate£n¥ velkou silou dolním provázkem trhneme , praskne dolní provázek. Kvalitativn¥ se výsledky tohoto pokusu vysv¥tlují tak, ºe jsou zp·sobeny setrva£ností t¥lesa t¥leso se brání tomu, aby se dalo do pohybu, resp. snaºí se z·stat v klidu . Toto vysv¥tlení je ov²em velice hrubé, resp. nedostate£né, £i dokonce nicne°íkající aº zavád¥jící. Pokud by totiº t¥leso p°i silovém p·sobení
F⃗h horního provázku kompenzovat spole£ný ú£inek tíhové síly M⃗ g a tahové síly F⃗d dolního provázku, tj. Fh = M g + Fd . Platilo by tedy Fh > Fd a praskl by vºdy horní provázek. na dolní provázek z·stávalo v klidu, musela by tahová síla
Známe-li Newtonovy zákony, m·ºeme chování soustavy p°esn¥ popsat. V²imn¥me si nejprve, co se d¥je s provázkem. Ve skute£nosti není tuhý, ale chová se jako pruºina. Zav¥²ením t¥lesa nebo p·sobením jiné síly se jeho délka m¥ní. Ozna£me tedy délky horního a dolního provázku v nenapjatém stavu jako
lh
a ld . Pruºné vlastnosti provázku popí²eme pomocí tahové síly, která vznikne
v provázku p°i jeho prodlouºení (nebo zkrácení) o
∆l.
Budeme p°edpokládat,
ºe tato síla se °ídí Hookeovým zákonem. Její velikost je tedy p°ímo úm¥rná relativní zm¥n¥ délky provázku a síla mí°í vºdy proti zm¥n¥ délky. Platí tedy
∆l 0 F⃗ = −k ⃗x , l kde
k
je konstanta (v newtonech) a
⃗x0
je jednotkový vektor ve sm¥ru, v n¥mº se
provázek prodluºuje. V p°ípad¥, ºe se provázek prodlouºí, je ∆l > 0 a pruºná síla je souhlasn¥ rovnob¥ºná s vektorem ⃗ x0 , p°i zkrácení provázku, kdy je ∆l < 0, je 0 síla s vektorem ⃗ x rovnob¥ºná nesouhlasn¥. Zvolíme osu x tak, ºe vektor ⃗x0 bude ur£ovat její kladnou orientaci. Po£átek osy
x
umístíme nakonec voln¥ visícího
horního provázku, tj. v situaci, kdy jsme na n¥j je²t¥ nezav¥sili t¥leso. Volba je z°ejmá z Obr. 2.22.
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE
lh
(Fh )
O
143
Fh
0
xr ld
Mg
x(t)
Mg
ld + 1 a0 t 2 2
Fd
x
x
x
Obr. 2.22: Trhání provázku uspo°ádání experimentu
V první £ásti obrázku je zakreslen pouze voln¥ visící horní provázek a volba osy
x
v£etn¥ volby jejího po£átku. Druhá £ást znázor¬uje t¥leso zav¥²ené na
horním provázku v klidu, dolní provázek je nezatíºen. V této situaci je p·sobení tíhové síly M⃗ g kompenzováno p·sobením tahové síly horního provázku −k xlhr ⃗x0 . T¥leso je ve statické rovnováºné poloze xr . Platí
(F⃗h )0 =
M glh M⃗g + (F⃗h )0 = ⃗0 =⇒ xr = . k Ve t°etí £ásti obrázku je zachycena obecná poloha t¥lesa ºe na konec dolního provázku p·sobíme dal²í silou
F⃗d .
x(t)
za p°edpokladu,
Pro její £asový pr·-
b¥h musíme zvolit vhodný model, který jednak bude dost jednoduchý, abychom mohli snadno vy°e²it pohybovou rovnici t¥lesa, jednak bude umoº¬ovat vystihnout pomalý tah , nebo trhnutí . Zvolme p°edstavu, ºe dolní konec dolního provázku se pohybuje rovnom¥rn¥ zrychlen¥ se zrychlením
⃗a0 = a0 ⃗x0 .
Je²t¥
neº sestavíme pohybovou rovnici t¥lesa, uv¥domme si, jaké jsou okamºité délky provázk·, je-li t¥leso v obecné poloze
x.
Budeme to pot°ebovat p°i vyjád°ení
tahových sil provázk·. Délka horního provázku je jednodu²e dlouºení je tedy p°ímo rovno sou°adnici
x, ∆lh = x.
(x + lh ),
jeho pro-
Sou°adnice dolního konce
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
144
dolního provázku v situaci, kdy je práv¥ je²t¥ nezatíºený, tj. v okamºiku t = 0, je (xr + ld ). V okamºiku t je jiº dolní konec dolního provázku posunut o 12 a0 t2 , má 1 2 tedy sou°adnici (xr +ld + a0 t ). Horní konec dolního provázku má v²ak v tomto 2 okamºiku sou°adnici x. Délka dolního provázku v okamºiku t je rovna rozdílu 1 2 sou°adnic jeho dolního a horního konce, tj. xr + ld + a0 t − x. Prodlouºení 2 1 2 dolního provázku je tedy ∆ld = xr − x + a0 t . A nyní jiº sestavme pohybovou 2 rovnici t¥lesa. Krom¥ tíhové síly M⃗ g na n¥ p·sobí tahové síly horního a dolního ⃗h a F⃗d . Ozna£íme-li zrychlení t¥lesa jako ⃗a, m·ºeme zapsat druhý provázku, F Newton·v zákon ve tvaru
M⃗a = M⃗g + F⃗h + F⃗d . Pro tahové síly provázk· máme
k F⃗h = − x ⃗x0 , lh
k F⃗d = ld
( ) 1 xr − x + a0 t2 ⃗x0 . 2
x, takºe m·ºeme psát ( ) k k 1 Mx ¨ = Mg − x + xr − x + a0 t2 . lh ld 2
Pohyb se podle p°edpokladu odehrává pouze ve sm¥ru osy
Dal²í úpravou dostaneme diferenciální rovnici druhého °ádu
k x ¨+ M
(
1 1 + lh ld
)
( ) lh ka0 2 x=g 1+ + t . ld 2M ld
Tato rovnice je nehomogenní, s pravou stranou tvaru polynomu druhého stupn¥
) ( ka0 2 lh + t . f (t) = g 1 + ld 2M ld Pro kompletní zadání po£áte£ní úlohy a získání konkrétní £asové závislosti polohy t¥lesa musíme je²t¥ p°ipojit po£áte£ní podmínky. V okamºiku
t = 0
je
podle na²eho d°ív¥j²ího p°edpokladu t¥leso v rovnováºné poloze a má nulovou M glh rychlost. Po£áte£ní podmínky tedy jsou x(0) = xr = a x(0) ˙ = 0. Obecné k °e²ení homogenní rovnice (s levou stranou shodnou s na²í rovnicí a s nulou na pravé stran¥) je
xh (t) = a cos ωt + b sin ωt,
k ω = M 2
(
1 1 + lh ld
) , a, b ∈ R.
Partikulární °e²ení nehomogenní rovnice hledáme v zobecn¥ném tvaru pravé 2 strany, tj. jako polynom druhého stupn¥ xp (t) = A + Bt + Ct . Dosazením do rovnice, v níº koe cienty polynomu
P + Qt2 ,
dostaneme pro
A, B , C
f (t)
ozna£íme zkrácen¥
P , Q,
tj.
f (t) =
postupn¥
2C +ω 2 (A+Bt+Ct2 ) = P +Qt2 =⇒ (2C −P +ω 2 A)+ω 2 Bt+(ω 2 C −Q)t2 = 0,
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE Q , ω2
C=
B = 0,
A=
145
P 2Q − 4. 2 ω ω
Obecné °e²ení nehomogenní rovnice je
( x(t) = xh (t) + xp (t) = a cos ωt + b sin ωt +
P 2Q Qt2 − 4 + 2 2 ω ω ω
Uplatn¥ním po£áte£ních podmínek dostaneme hodnoty konstant
a=
) . 2Q ω4 a
b = 0.
e²ením úlohy je tedy funkce
2Q x(t) = 4 cos ωt + ω
(
M glh Qt2 2Q + 2 − 4 k ω ω
) .
Vyjád°íme je²t¥ tahové síly horního a dolního provázku.
Fh (t) = −M g −
Fd (t) = Po zp¥tném dosazení za
ka0 2Qk t2 − (cos ωt − 1) , 2(lh + ld ) lh ω 4
2Qk ka0 t2 − (cos ωt − 1) . 2(lh + ld ) ld ω 4
Q a trp¥livé úprav¥ vyjád°íme nakonec tyto síly pomocí
p·vodn¥ zadaných charakteristik soustavy.
Fh = −M g −
ka0 lh ld t2 − M a0 (cos ωt − 1) 2(lh + ld ) (lh + ld )2
ka0 Fd = t2 − M a0 2(lh + ld )
(
lh lh + ld
)2 (cos ωt − 1)
Tyto vztahy jsou docela komplikované, ale rychlou orienta£ní kontrolu, ºe by
t = 0, x(0) = xr a má nulovou rychlost, musí být velikost tahové síly horního provázku rovna Fh (0) = M g a tahová síla dolního provázku nulová, Fd (0) = 0. Dosazením t = 0 do £asových závislostí t¥chto sil
mohly být správn¥, snadno provedeme. Z experimentu plyne, ºe v £ase kdy je t¥leso v rovnováºné poloze
zjistíme, ºe tomu tak opravdu je. Pr·b¥h tahových sil je znázorn¥n na Obr. 2.23 M = 2 kg, lh = 0, 3 m, lh = 0, 2 m, k = 3 kN, g = 10 ms−2 a pro −2 dv¥ hodnoty zrychlení a0 , konkrétn¥ a0 = 2 ms (obrázek vlevo pomalý −2 tah) a a0 = 20 ms (obrázek vpravo trhnutí ).
pro hodnoty
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
146
100
80
60 y 40
20
0 0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
x
Obr. 2.23-a: K p°íkladu 2.17 tahové síly provázk·, pozvolný tah
100
80
60 y 40
20
0 0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
x
Obr. 2.23-b: K p°íkladu 2.17 trhnutí Vztahy pro tahové síly platí samoz°ejm¥ pouze do okamºiku, neº n¥který z provázk· praskne, tj. neº velikost tahové síly v n¥m p°ekro£í mez pevnosti. Pro ná²
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE p°íklad jsme zvolili mez pevnosti
Fp = 40 N.
147
Jak pokus dopadne, z graf· p°ímo
vidíme. P°i pomalém tahu praskne nejprve horní provázek, p°i trhnutí dolní. (V grafu je znázorn¥n pr·b¥h velikostí tahových sil, tj.
2.4.3
|Fh |
a
|Fd |.)
♠
Newtonovy zákony v neinerciálních soustavách
Podle výsledk· p°íkladu 1.13 se m·ºe zdát, ºe popis pohybu £ástice, resp. soustavy £ástic £i t¥lesa v neinerciální vztaºné soustav¥ je podstatn¥ sloºit¥j²í. V konkrétních situacích tomu tak v²ak m·ºe být práv¥ naopak. Takovou situací je t°eba rota£ní pohyb tuhého t¥lesa (setrva£níku) kolem pevného bodu. V inerciální vztaºné soustav¥ m·ºe být takový pohyb pom¥rn¥ sloºitý, zejména u nesymetrického a nevyváºeného t¥lesa, v·£i pozorovateli pevn¥ spojenému s rotujícím t¥lesem je v²ak t¥leso dokonce v klidu. Abychom tyto situace dokázali ú£inn¥ °e²it, musíme um¥t upravit Newtonovy zákony (pokud to bude moºné) pro p°ípad neinerciálních vztaºných soustav a také um¥t vztaºnou soustavu vhodn¥ vybrat. Nejjednodu²²í p°ípad neinerciální vztaºné soustavy je taková, která se v·£i interciální soustav¥ pohybuje pouze transla£n¥ s uná²ivým zrychlením
⃗. A
Jak to vypadá s druhým Newtonovým zákonem v této vztaºné
soustav¥ ukáºeme na jednoduchém p°íkladu.
P°íklad 2.18. Pohybové rovnice v neinerciálních soustavách. Po vodorovných kolejích se rozjíºdí nákladní vlak se zrychlením vagónu leºí na po£átku pohybu t¥ºká bedna o hmotnosti
m,
⃗. A
Uprost°ed
která m·ºe po
podlaze klouzat bez t°ení. Pohyb bedny pozoruje pozorovatel (výprav£í) na ko-
S =< O; x, y, z >) a pasaºér S =< O′ ; x′ , y ′ , z ′ >), p°i£emº stej-
lejích (laboratorní = inerciální vztaºná soustava ′
ve vagónu (neinerciální vztaºná soustava
nojmenné osy obou soustav jsou trvale rovnob¥ºné. Ur£íme zrychlení bedny v obou vztaºných soustavách pouze na základ¥ dosavadní interpretace druhého Newtonova zákona (viz Obr. 2.24).
A
y O z
x
N y O z
x
mg
Obr. 2.24: Druhý Newton·v zákon v neinerciální soustav¥
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
148
Úvaha výprav£ího = IVS: silou
⃗. N
Druhý Newton·v zákon pro zrychlení
⃗, m⃗a = m⃗g + N
výsledku lení
⃗a
⃗ateor
⃗a
m⃗g ,
ozna£me
⃗a.
Na
podlaha tlakovou
má tvar
may = −M g + N,
max = 0,
Tyto rovnice spolu s vazební podmínkou
= ⃗0.
S
Zrychlení bedny v soustav¥
bednu p·sobí okolní t¥lesa takto: Zem¥ tíhovou silou
maz = 0.
y = 0 =⇒ ay = 0 vedou k teoretickému
Ze zku²enosti m·ºeme usoudit, ºe výsledek m¥°ení zrych-
⃗aexp = ⃗0,
bude ve shod¥ s výpo£tem, tj.
aniº bychom experiment sami
provád¥li.
Úvaha pasaºéra = NVS:
S′
Zrychlení bedny v soustav¥
ozna£me
⃗a′ .
Podle
toho, co o Newtonových zákonech víme, je jasné, ºe na bednu p·sobí Zem¥ tíhovou silou
m⃗g
a podlaha kolmou tlakovou silou
⃗. N
ádná dal²í t¥lesa, která
by na bednu silov¥ p·sobila, v jejím v okolí nejsou (t°ení a odpor prost°edí jsme zanedbali). Pro zrychlení ⃗ a′ platí
⃗, m⃗a′ = m⃗g + N Vazební podmínka je ukáºe ⃗ a′exp
⃗. = −A
ma′y = −mg + N,
ma′x = 0,
y ′ = 0 =⇒ a′y = 0.
Odtud
⃗a′teor = ⃗0,
ma′z = 0. zatímco experiment
Experiment je tedy v rozporu s výsledkem teoretické úvahy.
♠ Otázkou je kde je chyba v úvaze pozorovatele spojeného s vagónem. (P°edpod-
v inerciálních
kládáme, ºe experiment je v po°ádku.) Z hlediska newtonovské mechaniky je v¥c jasná druhý Newton·v zákon platí
vztaºných soustavách.
Abychom se pouºívání druhého Newtonova zákona nemuseli pro neinerciální soustavy vzdát, pokusíme se jej opravit nap°íklad tím, ºe k silám, jimiº p·sobí na testovací £ástici reálné okolní objekty, které m·ºeme jasn¥ speci kovat a po-
formáln¥
p°ípad¥ i p°i°adit jejich p·sobení jednotlivé konkrétní silové zákony, p°idáme ⃗ ∗ , která kompenzuje vliv neinerciálnosti soudal²í pomyslnou sílu F stavy. Opravený druhý Newton·v zákon pro bednu formulovaný pasaºérem z p°íkladu 2.18 tedy bude vypadat takto:
⃗ +F⃗ ∗ , m⃗a′ = m⃗g +N
max = Fx∗ ,
may = −mg+N +Fy∗ ,
maz = Fz∗ .
(2.33)
⃗ a bylo tak dovy²lo výpo£tem ⃗ a′teor = A ∗ ⃗ ⃗ saºeno shody s experimentem, je t°eba poloºit F = −A. Síla F⃗ ∗ zaji²´ující Aby, p°i vazební podmínce
ay = 0,
opravu druhého Newtonova zákona pro neinerciální soustavy, je tedy záporn¥ vzatým sou£inem hmotnosti studované £ástice a uná²ivého zrychlení, které s £ás⃗ ∗ povaºuje za formální ticí ov²em nijak nesouvisí. V interpretaci, která sílu F konstrukci, se tato síla nazývá
ktivní
, n¥kdy také, nep°íli² vhodn¥,
Poznámka: Poznamenejme, ºe interpretace síly
F⃗ ∗
setrva£ná
.
jako ktivní není jediná
moºná. Podle principu ekvivalence vysloveného A. Einsteinem nelze objektivn¥
2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE
149
zjistit, zda se pozorovatel nachází v neinerciální vztaºné soustav¥, nebo v dodate£ném gravita£ním poli. V na²em textu budeme pouºívat interpretace bliº²í newtonovskému pojetí ktivní síly. Ob¥ pojetí v²ak dávají stejné výsledky. Získaný výsledek m·ºeme snadno zobecnit a vyjád°it ktivní sílu pro p°ípad obecné neinerciální vztaºné soustavy takto:
( ) ⃗ + 2⃗ F⃗ ∗ = −m⃗au = −m A ω × ⃗v ′ + ω ⃗ × (⃗ ω × ⃗r ′ ) + ⃗ε × ⃗r ′ . Vektor
⃗au
(2.34)
je uná²ivé zrychlení dané vztahem (1.67). Vektory
∗ ⃗ F⃗ ∗ = −2m⃗ F⃗t∗ = −mA, ω × ⃗v ′ , F⃗OD = −m⃗ ω × (⃗ ω × ⃗r ′ ), F⃗E∗ = −m⃗ε × ⃗r′ C p°edstavují postupn¥ ktivní sílu
transla£ní Coriolisovu odst°edivou Eulerovu ,
,
a
,
v souladu s terminologií vztahu (1.68).
P°íklad 2.19. Pohybové rovnice v neinerciálních soustavách £ástice na to£n¥. Modi kujme pon¥kud zadání p°íkladu 1.13. Vztaºná soustava S =< O; x, y, z > ′ ′ ′ ′ je inerciální, soustava S =< O; x , y , z >, která v·£i ní rotuje stálou úhlovou rychlostí
ω ⃗ = (0, 0, ω),
je neinerciální. Jde o nejjednodu²²í p°ípad rota£ního
pohybu neinerciální soustavy rovnom¥rnou rotaci. Po£átky soustav trvale splývají,
z -ové
osy rovn¥º. V okamºiku
t=0
splývaly i osy
x-ové
a
y -ové. P°ed⃗r(0) = ⃗0,
pokládejme dále, ºe na £ástici, pro kterou platí po£áte£ní podmínky
⃗v (0) = ⃗v0 = (v0 , 0, 0) (v soustav¥ S ) nep·sobí ºádné okolní objekty. Ur£íme její ′ trajektorii v soustav¥ S p°ímo aplikací opraveného druhého Newtonova zá′ kona. Podle n¥j je výslednice sil p·sobících na £ástici z hlediska soustavy S dána pouze ktivními silami, pro n¥º v tomto konkrétním p°ípad¥ platí, vektorov¥ a poté ve sloºkách
F⃗t∗ = ⃗0,
⃗ ⃗v ′ , F⃗OD = −m⃗ F⃗C∗ = −2mω × ω × (⃗ ω × ⃗r ′ ), ( ) F⃗∗ = m 2ω y˙ ′ + ω 2 x, −2ω x˙ ′ + ω 2 y, 0 .
F⃗E∗ = ⃗0,
Pohybové rovnice £ástice jsou
x ¨′ − 2ω y˙ ′ − ω 2 x′ y¨′ + 2ω x˙ ′ − ω 2 y ′
= 0, = 0,
z¨′
= 0.
Druhou rovnici vynásobenou imaginární jednotkou (i) p°i£teme k první rovnici ξ = x′ + iy ′ dostaneme soustavu
a po substituci
ξ¨ + 2ωiξ˙ − ω 2 ξ = 0,
z¨′ = 0.
Jejím °e²ením a s uváºením po£áte£ních podmínek (v obou soustavách jsou po£áte£ní podmínky stejné) dostaneme postupn¥:
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
150
•
Charakteristická rovnice:
λ2 + 2iω − ω 2 = 0.
•
Charakteristické ko°eny:
•
Fundamentální systém °e²ení:
•
Obecné °e²ení:
•
Po£áte£ní podmínky:
˙ ξ(0) = 0, ξ(0) = v0 .
•
Integra£ní konstanty:
A = 0 , B = v0 .
•
Partikulární °e²ení: ξ(t) = v0 t exp (−iωt), y ′ (t) = Im ξ(t) = −v0 t sin ωt.
λ1 = λ2 = −iω . ξ1 (t) = exp (−iωt), ξ2 (t) = t exp (−iωt).
ξ(t) = (A + Bt) exp (−iωt).
tj.
x′ (t) = Re ξ(t) = v0 t cos ωt,
• z ′ (t) = 0. Parametrické vyjád°ení trajektorie £ástice je
x′ (t) = v0 t cos ωt, y ′ (t) = −v0 t sin ωt, z ′ (t) = 0. Výsledek m·ºeme snadno porovnat s výsledkem p°íkladu 1.13, zam¥níme-li za
−ω
(vysv¥tlete).
ω ♠
P°íklad 2.20. Matematické kyvadlo v laboratorní soustav¥. Ukáºeme je²t¥ podstatu °e²ení pohybu matematického kyvadla ve vztaºné soustav¥ spojené s rotující Zemí. Se Zemí spojujeme laboratorní vztaºnou soustavu, kterou v¥t²inou povaºujeme za inerciální. Tento p°ístup je v²ak pouze aproximativní a v reálných experimentech jsou odchylky od inerciálnosti m¥°itelné. Nap°íklad velikost odst°edivého zrychlení na rovníku je
( aOD = ω 2 RZ =
2π T
)2
. RZ = 0, 034 ms−2 ,
coº je dne²ními prost°edky zcela jist¥ hodnota m¥°itelná, p°estoºe £iní pouze 3 promile tíhového zrychlení. Kyvadlo kmitající v tíhovém poli rotující Zem¥ se nazývá °adnic na zemském povrchu stejn¥ jako na
Foucaultovo.
Zvolme soustavu sou-
Obr. 1.8, tj. tak, ºe po£átek spojíme s místem dané
zem¥pisné ²í°ky (na zem¥pisné délce výpo£et nezávisí zd·vodn¥te), osu místního poledníku (zem¥pisná délka a osu
z
Λ),
osu
y
x
namí°íme podél
podél místní rovnob¥ºky (zem¥pisná ²í°ka
Φ)
radiáln¥, tj. volíme ji jako spojnici st°edu Zem¥ s daným místem na povrchu sm¥°u-
jící od st°edu k povrchu. Úhlová rychlost rotující Zem¥ v této soustav¥ sou°adnic má sloºky
ω ⃗ = (ω cos Φ, 0, ω sin Φ).
Na kuli£ku kyvadla p·sobí síly dané okolními objekty, tj. gravita£ní
φ okamºitou úhlovou výchylku kyvadla vzhledem k ose T⃗ do vodorovné roviny s místním poledníkem, získáme
síla a tahová síla vlákna. Ozna£íme-li
z
a
β
úhel, který svírá pr·m¥t síly
sloºky t¥chto sil:
m⃗g = (0, 0, −mg),
T⃗ = (T sin φ cos β, T sin φ sin β, T cos φ),
Dále je t°eba zapo£íst síly ktivní. Z nich s uplatní síla odst°edivá a Coriolisova. Sílu související s translací ob¥hem Zem¥ kolem Slunce m·ºeme proti nim zanedbat, Eulerova síla je nulová, nebo´ rotace Zem¥ je rovnom¥rná.
2.5. PRÁCE A MECHANICKÁ ENERGIE ∗ FOD =ω ⃗ × (⃗ ω × r⃗′ ),
151
∗ FC = 2⃗ ω × v⃗′ .
Zápis druhého Newtonova zákona má tedy tvar
m⃗a ′ = m⃗g + T⃗ − m⃗ ω × (⃗ ω × r⃗′ ) − 2m⃗ ω × v⃗′ .
Rozepsáním do sloºek dostaneme pohybové rovnice Foucaultova kyvadla.
♠
Nabízí se je²t¥ otázka, jak je to s platností ostatních Newtonových zákon· v neinerciálních soustavách, kdyº druhý zákon v nich v podstat¥ neplatí. Jde o zákon t°etí, nebo´ z pohledu prvního zákona není taková otázka na míst¥. P°i interpre⃗ ∗ jako ktivní, resp. formální z hlediska opravy druhého Newtonova taci síly F ⃗ ∗ neuplat¬uje p°i interakci objekt·, neexistuje k zákona, je z°ejmé, ºe se síla F ní tedy reakce. Fiktivní síla p·sobí na kaºdé t¥leso, které sledujeme v neinerciální vztaºné soustav¥, av²ak nesouvisí se vzájemným p·sobením t¥les. Pro ktivní síly tedy nelze formulovat ºádnou obdobu t°etího Newtonova zákona.
2.5 Práce a mechanická energie Práce a energie jsou pojmy b¥ºn¥ pouºívané jak v b¥ºném ºivot¥, tak v °ad¥
práci síly po k°ivce práci síly po dráze dráhovém ú£inku síly mechanické energii
odborných disciplín. V tomto odstavci je zavedeme jako fyzikální veli£iny. Budeme hovo°it o o
, pop°ípad¥ o
, a o
, nebo téº
. Pojem práce síly pro dráze je
dob°e známý pro nejjednodu²²í p°ípad konstantní sílu a p°ímkovou dráhu. V této situaci, znázorn¥né na Obr. 2.25, je práce de nována jako skalární sou£in síly
F⃗
a vektoru posunutí
∆⃗r,
tj.
A = F⃗ ∆⃗r = F s cos φ,
kde s = |∆⃗r|.
(2.35)
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
152
F=konst. p
ϕ ∆r z
r (β)
r (α)
O
y
x Obr. 2.25: Práce konstantní síly po p°ímce Je samoz°ejmé, ºe
F⃗
je v daném p°ípad¥
n¥která ze sil
, které na £ástici p·sobí.
Není to výslednice. ástice se totiº m·ºe pohybovat po p°ímce jen tehdy, jeli normálová sloºka jejího zrychení, a tedy i normálová sloºka výslednice sil, kterými na £ástici p·sobí její okolí, nulová. P°estoºe vztah (2.35) vystihuje jen velmi speciální p°ípad, plyne z n¥j úplné zobecn¥ní de nice práce.
2.5.1
Práce síly po k°ivce
P°edpokládejme, ºe se £ástice pohybuje po oblouku s parametrickým vyjád°ením (1.11), tj.
C : ⃗r = ⃗r(t) = (x(t), y(t), z(t)),
t ∈ [α, β].
Protoºe jde o fyzikální situaci, m·ºeme dále p°edpokládat, ºe funkce a
z(t)
hladký rekti kovatelný
x(t), y(t)
mají z matematického hlediska v²echny vlastnosti, které budeme pro
výpo£et pot°ebovat, p°edev²ím ºe mají derivaci (oblouk je integrál (1.20), vyjad°ující jeho délku (oblouk je práci po k°ivce (oblouku)
C
se budeme zajímat, ozna£me
a ºe existuje
). Sílu, o jejíº
F⃗ . Znovu zd·razn¥me,
ºe se jedná o n¥kterou (kteroukoli si vybereme) ze sil p·sobících na £ástici. Tato
Práci síly F⃗ po k°ivce C
síla m·ºe obecn¥ záviset na poloze a rychlosti £ástice, ale i explicitn¥ na £ase, tj.
F⃗ = F⃗ (⃗r, ⃗v , t).
de nujeme jako integrál
∫β F⃗ (⃗r(t), ⃗v (t), t) ⃗v (t) dt.
AC =
(2.36)
α Jist¥ je na míst¥ otázka, jak jsme práv¥ k této de nici dosp¥li. Východiskem je de nice práce konstatní síly po p°ímce (2.35) a my²lenka d¥lení oblouku pouºitá v odstavci 1.3.3 pro vyjád°ení délky obecného oblouku.
2.5. PRÁCE A MECHANICKÁ ENERGIE
153
t= t j+1 t= tj
∆rj t= β r (t ) j +1
z
t= α
r (t ) j
O
y
x
Obr. 2.26: K definici práce síly po k°ivce
Zvolme d¥lení
D = {t0 , t1 , . . . , tn }, α = t0 < t1 < . . . < tn = β , £asového intervalu [α, β]. ⃗ [tj , tj+1 ] povaºovat sílu F
Je-li toto d¥lení dostate£n¥ jemné, m·ºeme v kaºdém z interval·
za konstatní a nahradit ji silou v po£áte£ním okamºiku tohoto intervalu, tj.
. ⃗ ⃗ (⃗ F r(t), ⃗v (t), t) = F (⃗ r(tj ), ⃗v (tj ), tj ) V intervalu
, t ∈ [tj , tj+1 ].
⃗ elementární práci p°ibliºn¥ [tj , tj+1 ], tj. mezi body ⃗ r(tj ) a ⃗ r(tj+1 ), vykoná síla F
⃗ r(tj+1 ) − ⃗ r(tj ) . ⃗ ⃗ (⃗ ∆Aj = F (⃗ r(tj ), ⃗v (tj ), tj ) ∆⃗ r(tj ) = F r(tj ), ⃗v (tj ), tj ) ∆tj , tj+1 − tj
∆tj = tj+1 − tj .
Celková práce je pak dána sou£tem v²ech elementárních prací,
AC =
n−1 ∑
n−1 ⃗ r(tj+1 ) − ⃗ r(tj ) . ∑ ⃗ ∆Aj = F (⃗ r(tj ), ⃗v (tj ), tj ) ∆tj . t − t j+1 j j=0 j=1
Obdobn¥ jako p°i odvození vztahu (1.22) provedeme limitní p°echod k nulové norm¥ d¥lení
D, ν(D) → 0
a dosp¥jeme k integrálu
∫β
∫β ⃗ (⃗ F r(t), ⃗v (t), t) ⃗v (t) dt,
AC =
zkrácen¥
α
α
Zna£íme jej
∫
∫ ⃗ d⃗ F r=
AC = C a hovo°íme o
⃗ ⃗v dt. F
AC =
Fx dx + Fy dy + Fz dz
(2.37)
C
k°ivkovém integrálu druhého typu
z vektorové funkce
⃗ F
po k°ivce
C.
(Výraz
(1.20), vyjad°ující délku oblouku, p°edstavoval integrál prvého typu.)
P°íklad 2.21. Práce odporových sil. Uvaºujme o kapce z p°íkladu 2.12. Kapka se pohybuje se v homogenním gravita£ním poli Zem¥ (tíhové zrychlení je
⃗g ) a v odporujícím prost°edí se Stokesovou
odporovou silou. Zajímá nás, jakou práci vykoná tíhová síla b¥hem pádu kapky a
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
154
jaká bude práce síly odporové. Pohyb kapky jsme v p°íkladu 2.12 vy°e²ili v úplnosti, známe proto parametrické vyjád°ení její trajektorie. Známe také závislost její rychlosti na £ase, kterou budeme pro výpo£et práce pot°ebovat,
[ ( )] [ ( )] mg 6πηr gt x(t) ˙ = 1 − exp − t = vm 1 − exp − , 6πηr m vm
vm =
mg . 6πηr
h nad povrchem Zem¥ x(0) = −h a x(T ) = 0.
Nejprve ur£íme práci gravita£ní síly. Kapka padá z vý²ky po dobu
T.
v souladu s ozna£ením v p°íkladu 2.12 je
Podle de ni£ního vztahu (2.36) vykoná gravita£ní síla b¥hem pádu práci
∫T
∫T mg x˙ dt = mg (x(T ) − x(0)) = mgh.
F⃗g ⃗v dr =
Ag = 0
0
Odporová síla vykoná práci
∫T
∫T F⃗o⃗v dr =
Ao = 0
mg −6πηr x˙ dt = − vm
∫T [
2
0
)]2 ( gt dt = 1 − exp − vm
0
[ ( )] [ ( )] 2vm gt vm 2gt =T − 1 − exp − + 1 − exp − . g vm 2g vm V²imn¥me si jedné zajímavosti: Práce gravita£ní síly závisí pouze na vý²ce, z níº kapka padá a nikoli na tom, jak dlouho jí pád trvá. Dopa pádu
T
se
jist¥ li²í pro r·zné hodnoty polom¥ru kapky a dynamické viskozity prost°edí. Je to náhoda? Z°ejm¥ ne. I kdyby se kapka pohybovala k zemi po jakékoli
⃗r(t) = (x(t), y(t), z(t)), Ag = mgh. Skute£n¥, platí
trajektorii stále
∫T 0 Pro práci síly
h
∫T m⃗g ⃗r˙ dt = mg
Ag =
bude práce gravita£ní síly p°i dané vý²ce
F⃗g = m⃗g
x˙ dt = mg (x(0) − x(T )) = mgh. 0
je tedy skute£n¥ rozhodující výchozí vý²ka kapky nas
povrchem Zem¥, nikoli zp·sob, jakým se kapka dostala na zem.
♠
konzervativní
V dal²ím odstavci uvidíme, ºe homogenní gravita£ní pole má z hlediska výpo£tu práce speciální tvar je tzv.
2.5.2
.
Konzervativní síly a potenciální energie
P°íklad 2.21 nazna£uje, ºe v p°ípad¥ ºe síla
F⃗ ,
jejíº práci po dané trajektorii
po£ítáme, závisí na rychlosti, pop°ípad¥ je²t¥ explicitn¥ na £ase, bude výsledek záviset nejen na tvaru oblouku (k°ivky), po n¥mº se £ástice pohybuje, ale i na jeho konkrétní parametrizaci. Z hlediska fyziky jsou zajímavé situace, kdy síla
2.5. PRÁCE A MECHANICKÁ ENERGIE
silovém poli
závisí pouze na poloze £ástice, o
F⃗ = F⃗ (⃗r).
155
vektorové pole
V p°ípad¥ takové závislosti hovo°íme
, z matematického hlediska jde o
.
P°íklad 2.22. Práce silového pole po k°ivce prakticky. ástice se pohybuje v rovin¥ v silovém poli
( ) F⃗ (⃗r) = (F1 (x, y), F2 (x, y)) = ax2 y, b(y − x) , Veli£iny
a
a
b
a = 1 N m−3 ,
b = 1 N m−1 .
jsou jednotkové rozm¥rové konstanty (zaji²´ují, aby veli£ina
F⃗
byla zadána v newtonech. K°ivkou, po které se d¥je pohyb £ástice, je parabola o 2 rovnici y = x s po£áte£ním bodem A = (0, 0) a koncovým bodem B = (1, 1). Zjistíme, jaká bude práce síly
F⃗
p°i r·zných parametrizacích trajektorie. P°ipo-
me¬me, ºe r·zné parametrizace, kdy parametrem je £as, z fyzikálního hlediska znamenají, ºe r·zné £ástice projdou po téºe geometrické k°ivce obecn¥ v r·zných £asových intervalech a r·zn¥ rychle.
y
B
1
U:y=x
P:y=x2 A
1
x
Obr. 2.27: K výpo£tu práce síly po k°ivce
Zvolme nap°íklad parametrizaci paraboly ve tvaru
( ) P1 : ⃗r(t) = (x(t), y(t)) = u1 t, u2 t2 , u1 = 1 m s−1 , u2 = 1 m s−2 , t ∈ [0, 1] s. Veli£iny
u1
a
u2
jsou, podobn¥ jako u sloºek síly,
hodnota je rovna jedné. Práce síly
∫1
rozm¥rové konstanty
, jejichº
po této trajektorii je podle (2.36)
∫1 ⃗ v dt = F⃗
AP1 =
F⃗
0
(F1 (x(t), y(t))x(t) ˙ + F2 (x(t), y(t))y(t)) ˙ dt = 0
∫1 = 0
(4 ) 11 J. t · 1 + (t2 − t) · t dt = 30
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
156
Zkusme nyní jinou parametrizaci paraboly, t°eba
( √ ) P2 : ⃗r(t) = (x(t), y(t)) = v1 t − 1, v2 (t − 1) , v1 = 1 m s−3/2 ,
v2 = 1 m s−1 ,
t ∈ [1, 2] s.
Tato parametrizace znamená, ºe £ástice prob¥hne po parabole s bodu bodu
B
v £asovém intervalu
[1, 2]
p°ípad¥. Op¥t po£ítejme práci síly
∫2
A
do
s, obecn¥ s jinou rychlostí neº v p°edchozím
F⃗ :
∫2 ⃗ v dt = F⃗
AP2 =
(F1 (x(t), y(t))x(t) ˙ + F2 (x(t), y(t))y(t)) ˙ dt =
1
1
∫2 ( = 1
=
) √ (t − 1)2 √ + ((t − 1) − t − 1) dt = 2 t−2
2 1 1 2 11 (t − 1)5/2 + (t − 1)2 − (t − 1)3/2 = J. 5 2 3 30 1
Výsledek je pro ob¥ parametrizace stejný. Zkusme je²t¥ zcela obecnou parametrizaci paraboly,
( ) P : ⃗r(t) = (x(t), y(t)) = x(t), x2 (t) , x(α) = 0, ∫β α
∫β =
(
t ∈ [α, β].
∫β ⃗ v dt = F⃗
AP =
x(β) = 1,
⃗v (t) = (x(t), ˙ 2x(t)x(t)) ˙ ,
(F1 (x(t), y(t))x(t) ˙ + F2 (x(t), y(t))y(t)) ˙ dt = α
)
∫1
x (t)x(t) ˙ + 2x(t)x(t)(x ˙ (t) − x(t)) dt = 4
2
α
( 4 ) 11 u + 2u3 − 2u2 du = J. 30
0
u = x4 (t).
Stejný výsledek vede k
hypotéze, ºe op¥t nejde o náhodu práce silového pole
F⃗ (⃗r) po k°ivce nezávisí ♠
P°i výpo£tu integrálu jsme pouºili substituci na konkrétní parametrizaci této k°ivky.
Nezávislost práce silového pole na parametrizaci k°ivky snadno dokáºeme. Zvolme dv¥ r·zné parametrizace k°ivky
C,
C1 : ⃗ r(t) = (x(t), y(t)), ¯ C2 : ⃗ r(τ ) = (¯ x(τ ), y¯(τ )),
t ∈ [α1 , β2 ], τ ∈ [α2 , β2 ],
kde
x(t) = x ¯(τ ) = x ¯[φ(t)], y(t) = y¯(τ ) = y¯[φ(t)], φ : [α1 , β1 ] ∋ t −→ τ = φ(t) ∈ [α2 , β2 ], φ(α1 ) = α2 , φ(β1 ) = β2 , p°i£emº zobrazení φ je prosté (pro libovolné dv¥ r·zné hodnoty t1 , t2 ∈ [alpha1 , β1 ] je φ(t1 ) ̸= φ(t1 )) a zobrazuje interval [α1 , β1 ] na interval [α2 , β2 ]. Ozna£me x ¯′ (τ ), resp. y¯′ (τ ) derivaci funkcí x ¯(τ ) a y¯(τ ) podle prom¥nné τ . Podle pravidla pro derivace sloºené funkce platí x(t) ˙ =x ¯′ [φ(t)]φ(t), ˙
y(t) ˙ = y¯′ [φ(t)]φ(t). ˙
2.5. PRÁCE A MECHANICKÁ ENERGIE Po£ítejme práci silového pole
⃗ F
po trajektorii
C1 ,tj.
157
p°i parametrizaci
x = x(t), y = y(t):
∫β1 AC1 =
(F1 (x(t), y(t)) x(t) ˙ + F2 (x(t), y(t)) y(t)) ˙ dt = α1
∫β1 =
( ) F1 (¯ x(φ(t)), y¯(varphi(t))) x ¯′ [φ(t)] φ(t) ˙ + F2 (¯ x(φ(t)), y¯(φ(t))) y¯′ [φ(t)] φ(t) ˙ dt.
α1 P°edchozí výraz pro
AC1
jsme získali doazením
x(t) = x ¯[φ(t)], y(t) = y¯[φ(t)]
a pouºitím
pravidla pro derivaci sloºené funkce. Zdánliv¥ komplikovaný integrál zjednodu²íme pouºitím substituce
τ = φ(t).
Dostáváme pak
∫β2 AC1 =
(
) F1 (¯ x(τ ), y¯(τ )) x ¯′ (τ ) + F2 (¯ x(τ ), y¯(τ )) y¯′ (τ ) dτ = AC2 .
α2 Práce p°i obou parametrizacích oblouku
C
je stejná.
Jak tomu bude v p°ípad¥, ºe body, mezi nimiº se £ástice pohybuje v daném silovém poli spojíme jinou k°ivkou? O£ekáváme, ºe obecn¥ se práce vykonané týmº silovým polem po r·zných k°ivkách budou li²it £ástice p°ece v silovém poli projde jinou mnoºinu bod·. Ov¥°íme to rovn¥º na p°íkladu.
P°íklad 2.23. Závisí práce na tvaru k°ivky? Vra´me se k p°íkladu 2.22 a spojme body
A
a
B
pro jednoduchost nap°íklad
úse£kou. Víme jiº, ºe p°i výpo£tu práce nezáleºí na parametrizaci, zvolme ji proto co nejjednodu²²í:
U : [0, 1] ∋ t −→ ⃗r(t) = (x(t), y(t)) = (t, t), Pak
∫1
∫1 ⃗ v dt = F⃗
AU = 0
(t3 dt) =
⃗v = (1, 1).
1 J. 4
0
♠
Skute£n¥, práce vy²la jinak, jak jsme o£ekávali.
P°íklad 2.24. ... nebo nezávisí? Uvaºme v²ak jiné silové pole, nap°íklad
F⃗ (x, y) = (3ax2 y 2 , 2bx3 y), a
a
b
a = 1 N m−4 , b = 1 N m−4 ,
jsou zase rozm¥rové konstanty. Vypo£teme práci tohoto silového pole po
parabole i po úse£ce z p°íkladu 2.22. Zvolme op¥t nejjednodu²²í parametrizace (za rozm¥rové konstanty rovnou dosazujeme hodnotu 1) a po£ítejme práci:
P : ⃗r = (x(t), y(t)) = (t, t2 ),
U : ⃗r = (x(t), y(t)) = (t, t),
∫1
∫1 (3t · t · 1 + 2t · t · 2t) dt = 2
AP = 0
4
3
2
7t6 dt = 1 J, 0
t ∈ [0, 1]
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
158
∫1
∫1 (3t · t · 1 + 2t · t · 1) dt = 2
AU =
2
3
0
5t4 dt = 1 J. 0
Zda se v tomto p°ípad¥ jedná o náhodný výsledek, musíme teprve prov¥°it.
♠
P°edchozí p°íklady navodily otázku, zda existují silová pole s natolik speciálními vlastnostmi, ºe jejich práce bude záviset pouze na po£áte£ním a koncovém bodu
konzervativní
k°ivky, po níº se p·sobi²t¥ síly (tj. sledovaná £ástice) pohybuje, ne v²ak na tvaru k°ivky samotné. Taková pole existují a nazývají se uvidíme, ºe to souvisí se zákonem zachování energie.
V p°íkladu 2.21 jsme vid¥li, ºe práce konstantní síly
m⃗g
pozd¥ji
charakterizující
homogenní gravita£ní pole nezávisela na tvaru k°ivky, po které se pohybovala £ástice. Homogenní silové pole je tedy konzervativní, bez ohledu na to, jaké je povahy. D·kaz je jednoduchý a p°esn¥ reprodukuje postup z p°íkladu 2.21: Je-li
⃗ , F⃗ = konst.
⃗rα = ⃗r(α)
a
rozd¥lení k°ivky
C
pak práce této síly po k°ivce s po£áte£ním bodem
koncovým bodem
⃗rβ = ⃗r(β)
je
∫
∫β ⃗v (t) dt = F⃗ (⃗rβ − ⃗rα ).
F⃗ d⃗r = F⃗
A= C
α
Situaci názorn¥ ukazuje Obr. 2.28. Platí v n¥m pro na úseky
n−1 ∑
F⃗ ∆⃗rj = F⃗
j=1
n−1 ∑
jakékoli
∆⃗rj = F⃗ (⃗rα − ⃗rβ ).
j=1
∆ rj
F
F F
t= α
F
rβ −rα
F
t= β F
z
r
rα
β
O
y
x Obr. 2.28: Práce homogenního silového pole
2.5. PRÁCE A MECHANICKÁ ENERGIE
159
Homogenní silové pole m·ºeme za jistých okolností povaºovat za p°ibliºnou náhradu skute£ného silového pole v dostate£n¥ malých prostorových oblastech. V p°ípad¥ gravita£ní interakce je silové pole, jíº p·sobí na £ástici o hmotnosti
m
£ástice o hmotnosti
M
(nap°íklad Slunce na planetu) ur£eno Newtonovým
gravita£ním zákonem
mM ⃗r F⃗g = −κ 2 ⃗r0 = −κmM 3 . r r
Jedná se o
centrální
silové pole interak£ní síla má stále sm¥r spojnice obou
£ástic, sm¥°uje do centra
M.
Ukáºeme, ºe kaºdé centrální silové pole je konzervativní. Obecn¥ je tvaru
F⃗ = ±F (r)⃗r0 ,
kde
⃗r0 =
je jednotkový vektor ve sm¥ru polohového vektoru se uplatní, je-li síla
F⃗
⃗r r
(2.38)
⃗r, znaménko plus, resp. minus
odpudivá, resp. p°itaºlivá, viz vztahy (2.4), resp. (2.6). Vý-
po£et práce centrálního pole pom·ºe geometricky názorn¥ p°iblíºit Obr. 2.29.
Poznámka: Obrázek vychází op¥t z p°edstavy d¥lení skute£né k°ivky, po které se pohybuje £ástice (p·sobi²t¥ dané centrální síly), na malé úseky, v nichº lze skute£ný oblouk mezi dv¥ma body nahradit úse£kou. Vektor posunutí
j -tém
úseku, ur£ený touto úse£kou, je sou£tem vektoru
posunutí v radiálním sm¥ru, a vektoru
∆⃗sj ,
∆⃗ ϱj ,
∆⃗rj
v
p°edstavujícího
p°edstavujícího posunutí ve sm¥ru
p°ibliºn¥ kolmém k radiálnímu sm¥ru. Míra aproximace je dána velikostí
j -tého ∆⃗sj
kroku d¥lení k°ivky. V Obr. 2.29 je nep°esnost dob°e vid¥t vektory a
∆⃗ ϱj
v n¥m kolmé nejsou. P°i zjem¬ování d¥lení se v²ak p°ibliºné vztahy i
geometrické relace zp°es¬ují a v limit¥
ν(D) → 0
se stávají p°esnými.
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
160
t= α ∆ rj = ∆ ρj + ∆ s j F(rj ) rα
∆ rj
∆ ρj
∆ ρj = ∆ rj rj 0
Fj ∆ rj = Fj ∆ ρj = + Fj ∆ rj rj
∆ sj
0
∆ sj
M
t=β
rβ
C
Obr. 2.29: Práce centrálního silového pole
Platí
∫
∫
AC = C
±F ⃗r
0
(
±F (r(t))⃗r0 (t)
0
C
∫β =
∫β ±F (r)⃗r d⃗r =
F⃗ d⃗r =
d⃗r(t) = dt
α
) r⃗ ˙ r + r⃗r˙0 dt =
∫β
α
∫rβ ±F r˙ dt =
0
α
±F (r) dr. rα
P°i úprav¥ jsme vyuºili skute£nosti, ºe vektory
⃗r
0
a
⃗r˙0
jsou navzájem kolmé.
Jedinou integra£ní prom¥nnou se po této úprav¥ stala vzdálenost £ástice centra prom¥nná
r ∈ [rα , rβ ].
±F (r)
a funkci
U (r)
nazveme
silovém poli (buzeném centrem
M ).
−U (r)
potenciální energie
ur£itým (Riemannovým) integrálem. Ozna£íme jako funkci
m
od
Integrál ur£ující práci je tedy jednoduchým primitivní funkci k
£ástice
m
v centrálním
Platí
∫rβ −U (r) =
±F (r) dr.
(2.39)
rα Výpo£et i výsledek odpovídají obrázku 2.29. Ve v²ech bodech kaºdé z vyzna£ených sfér je velikost centrální síly úseku k°ívky
C
F⃗ (r)
stejná. Pro elementární práci v
p°i libovolném d¥lení intervalu
[α, β]
platí
. ∆Aj = F⃗ (⃗rj ) ∆⃗rj = F⃗ (⃗rj ) (∆⃗ ϱj + ∆⃗sj ) .
i-tém
Fj
2.5. PRÁCE A MECHANICKÁ ENERGIE Význam vektor·
∆⃗ ϱj
a
∆⃗sj
je z°ejmý z obrázku Platí
∆⃗sj ⊥ ⃗rj0 .
∆⃗ ϱj = ∆rj ⃗rj0 , Pak
161
. ∆Aj == ±F (rj )(⃗r0⃗r0 ) ∆rj = ±F (rj )∆rj , ∫β
n−1 . ∑ AC = ±F (ri ) ∆ri ,
±F (r) dr.
AC =
j=0
α
Centrální síla koná práci jen p°i centrálních (radiálních) posunutích. P°i posunutích kolmých k radiálnímu sm¥ru práci nekoná, nebo´ je na taková posunutí kolmá Kaºdý vektor posunutí se v²ak dá rozloºit na posunutí radiální a posunutí k n¥mu kolmé. Potenciální energie, jakoºto záporn¥ vzatá primitivní funkce k
±F (r),
je ur-
hladiny nulové potenciální energie
£ena aº na konstantu. Pro ur£itost je nutné hodnotu konstanty zvolit. Obvyklý zp·sob jejího ur£ení spo£ívá ve volb¥ tzv. Tím rozumíme volbu ur£ité hodnoty
.
r0 , jíº p°isoudíme nulovou potenciální ener-
gii. Mnoºina bod·, které této vzdálenosti odpovídají, tvo°í kulovou plochu se st°edem v po£átku soustavy sou°adnic (v n¥m je umíst¥na £ástice
M)
P°íklad 2.25. Gravita£ní potenciální energie. Z p°edchozích výsledk· vyplývá, ºe gravita£ní pole buzené £ásticí o hmotnosti
M
je konzervativní, nebo´ je centrální. Vypo£teme potenciální energii £ástice o
hmotnosti
−Ug (r) =
m ∫
v tomto poli. Platí
∫
F⃗g dr = −κmM
dr κmM κmM = +C =⇒ Ug (r) = − +konst.. r2 r r
Nulovou hladinu potenciální energie m·ºeme zvolit v libovolné vzdálenosti. Vzhledem k tomu, ºe gravita£ní síla slábne se £tvercem vzdálenostir a pro
r→∞
se její velikost asymptoticky blíºí nule, jeví se p°irozené zvolit nulovou hladinu potenciální energie v nekone£nu , tj. tak, aby platilo
limr→∞ Ug (r) = 0. To Vg vztaºenou
gravita£ní potenciál
odpovídá nulové hodnot¥ integra£ní konstanty. Potenciální energii na jednotkovou hmotnost £ástice nazýváme
Ug = −
κmM , r
se nazývá
κM . r
(2.40)
K = {(x, y, z) ∈ R2 | Vg (x, y, z) = V0 =
ekvipotenciální plocha
Mnoºina bod· konstatního potenciálu
konst.}
Vg = −
,
. Je to kulová plocha se st°edem v po-
£átku soustavy sou°adnic a s polom¥rem
κM/V0 .
♠
P°íklad 2.26. Potenciánlí energie priºiny. Také pruºná síla (2.8), jíº podle Hookeova zákona p·sobí napjatá, nebo stla£ená pruºina na t¥leso, které je na ní uchyceno, je konzervativní. Vypo£teme odpovídající potenciální energii.
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
162
O
x 0, x 0 = 1
x
FP = k x x 0
O
x0
x
x
Obr. 2.30: Potenciální energie pruºiny
Platí
∫ Up (x) = −
∫ F⃗p d⃗x = −
(−kx) dx =
Zvolíme-li hladinu nulové potenciální energie v bod¥
1 2 kx + konst. 2
(2.41)
x = 0, tj. nenapjaté pruºin¥ ♠
p°isoudíme energii nulovou, vyjde integra£ní konstanta rovna nule.
Zjistíme nyní obecné podmínky pro to, aby silové pole bylo konzervativní. Pro jednoduchost
⃗ (⃗ F r) = (F1 (x, y), F2 (x, y)), na trojrozm¥rný p°ípad ⃗ (⃗ F r) = (F1 (x, y, z), F2 (x, y, z), F3 (x, y, z)) výsledek snadno zobecníme. Budeme pot°ebo-
op¥t uvaºujme o silovém poli v rovin¥
vat nové pojmy z matematiky parciální derivaci a úplný diferenciál funkce dvou a více prom¥nných. Uvaºujme o funkci dvou prom¥nných bod¥
(a, b)
f (x, y).
Jejími
parciálními derivacemi
v
rozumíme limity (pokud existují)
∂f (x, y) f (x, b) − f (a, b) = lim , ∂x a,b x→a x−a
∂f (x, y) f (a, y) − f (a, b) = lim . ∂x a,b y→b y−b
(2.42)
pro jednoduchost zápisu budeme zna£it
∂f (x, y) ∂f (a, b) = , ∂x a,b ∂x
∂f (x, y) ∂f (a, b) = . ∂y ∂y a,b
Samoz°ejm¥, tento zápis neznamená, ºe bychom nap°ed dosadili do funk£ního p°edpisu bod
(a, b) a terpve potom derivovali vy²la by nula. Pro vy£íslení parciálních derivací v konkrétn¥ zadaném bod¥ (a, b) je musíme nejprve vypo£ítat v obecném bod¥ (x, y) a terpve potom dosadit bod (a, b). Geometricky jsou parciální derivace velmi názorné, podobn¥ jako oby£ejná derivace funkce jedné prom¥nné (viz grafu funkce
y = b,
resp.
Obr. 2.31.)
Jsou to sm¥rnice te£en vedených bodem
f (x, y) ke k°ivkám C1 , resp. C2 x = a.
(a, b, f (a, b))
na
které vzniknou jako °ezy grafu rovinami o rovnicích
2.5. PRÁCE A MECHANICKÁ ENERGIE
163
z
C2
f (a,b
p x
( α
β
C
q y
1
O
y
(
(a,b x
Obr. 2.31: Geometrický význam parciálních derivací Z de nice parciálních derivací je z°ejmé, ºe jejich praktický výpo£et se provádí tak, ºe p°i derivování podle prom¥nné
x
zacházíme s prom¥nnou
Jsou-li parciální derivace funkce ºin¥
M
f (x, y)
y
jako s konstantou a naopak.
de novány nap°íklad na jisté otev°ené podmno-
de ni£ního oboru této funkce, vznikají funkce
fx : M ∋ (x, y) −→ fx (x, y) =
∂f (x, y) , ∂x
fy : M ∋ (x, y) −→ fy (x, y) =
∂f (x, y) . ∂y
Jejich parciální derivace (na mnoºin¥, na níº existují)
∂fx (x, y) ∂ 2 f (x, y) = , ∂x ∂x2 2 ∂fy (x, y) ∂ f (x, y) fyx (x, y) = = , ∂x ∂x∂y
∂ 2 f (x, y) ∂fx (x, y) = , ∂y ∂y∂x 2 ∂fy (x, y) ∂ f (x, y) fyy (x, y) = = ∂y ∂y 2
fxx (x, y) =
jsou a
parciální derivace druhého °ádu
fyx
funkce
fxy (x, y) =
f (x, y),
atd. Jsou-li tzv.
smí²ené
derivace
fxy
spojité, jsou si rovny. Stejnou vlastnost mají smí²ené derivace vy²²ích °ád· není
podstatné, v jakém po°adí podle jednotlivých prom¥nných derivujeme, rozhodující je pouze to, kolikrát jsme podle kaºdé z prom¥nných derivovali. Podobn¥ jako u funkcí jedné prom¥nné m·ºe být funkce více prom¥nných sloºená. Uvaºujme pro jednoduchost op¥t o funkcích dvou prom¥nných, konkrétn¥F (u,
v) a u = φ(x, y), v = ψ(x, y). Sloºená funkce f (x, y) prom¥nných x a y z nich vzniká dosazením φ(x, y a ψ(x, y) (tzv. vnit°ních sloºek) za u a v do funk£ního p°edpisu F (u, v) (tzv. vn¥j²í sloºky), f (x, y) = F [φ(x, y), ψ(x, y)]. n prom¥nných a také vnit°ních sloºek m, F = F (y1 , . . . , ym ), yα = φj (x1 , . . . , xn ), 1 ≤ α ≤ m.
Vnit°ní sloºky mohou samoz°ejm¥ být funkcemi obecn¥ m·ºe být obecný po£et, nap°íklad Sloºená funkce pak má tvar
f (x1 , . . . , xn ) = F (φ1 (x1 , . . . , xn ), . . . , φm (x1 , . . . , xm )), parciální derivací sloºené funkce
1 ≤ j ≤ n,
je limita
fj (a1 , . . . , an ) =
f (x1 , . . . , xn )
v bod¥
a = (a1 , . . . , , an )
podle prom¥nné
xj ,
f (a1 , . . . , xj , . . . , an ) − f (a1 , . . . , aj , . . . , an ) ∂f (x1 , . . . , xn ) . = xjlim →aj ∂xj x j − aj a
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
164
Podobn¥ jako u sloºené funkce jedné prom¥nné je v²ak t°eba um¥t tuto limitu vyjád°it pomocí parciálních derivací vnit°ních sloºek a parciálních derivací vn¥j²í sloºky. Ukáºeme my²lenku postupu, který vede k tzv.
°et¥zovému pravidlu.
Upravujme zlomek za limitou v p°edcho-
zím vztahu pro p°ípad, ºe vn¥j²í sloºka i sloºky vnit°ní budou funkcemi dvou prom¥nných, tj. F = F (u, v), u = φ(x, y), v = ψ(x, y). Po£ítejme derivaci sloºené funkce f (x, y) = F [φ(x, y), ψ(x, y)] v bod¥ (a, b) podle prom¥nné x. Ozna£me u = φ(x, b), v = ψ(x, b), u0 = φ(a, b), v0 = ψ(a, b). Platí
F (φ(x, b), ψ(x, b)) − F (φ(a, b), ψ(a, b)) f (x, b) − f (a, b) = = x−a x−a
=
F (φ(x, b), ψ(x, b)) − F (φ(a, b), ψ(x, b)) F (φ(a, b), ψ(x, b)) − F (φ(a, b), ψ(a, b)) + = x−a x−a
=
F (φ(x, b), ψ(x, b)) − F (φ(a, b), ψ(x, b)) F (φ(a, b), ψ(x, b)) − F (φ(a, b), ψ(a, b)) + = x−a x−a
F (u0 , v) − F (u0 , v0 ) ψ(x, b) − φ(a, b) F (u, v) − F (u0 , v) φ(x, b) − φ(a, b) + . u − u0 x−a v − v0 x−a P°edpokládejme, ºe pro vnit°ní i vn¥j²í sloºky existuje parciální derivace podle a vn¥j²í sloºka má parciální derivace podle prom¥nných limitní p°echod
lim
x→a
x → a.
u
a
v
x v bod¥ (a, b)
dokonce spojité. Prove¤me
Platí
φ(x, b) − φ(a, b) ∂φ(a, b) = , x−a ∂x
lim
x→a
ψ(x, b) − ψ(a, b) ∂ψ(a, b) = . x−a ∂x
φ(x, b), ψ(x, b) s prom¥nnou y za xovanou na hodnot¥ b jsou fakticky funkcemi kedné x. Z existence jejich derivace podle této prom¥nné proto plyne jejich spojitost, tj. limx→a φ(x, b) = φ(a, b), limx→a ψ(x, b) = ψ(a, b). Pro x → a je proto také u → u0 a v → v0 . Dále je Funkce
prom¥nné
lim
u→u0
F (u, v) − F (u0 , v) ∂F (u0 , v) , = u − u0 ∂u
Protoºe je funkce
lim
v→v0
F (u0 , v) − F (u0 , v0 ) ∂F (u0 , v0 ) . = v − v0 ∂v
Fu (u, v) (parciální derivace vn¥j²í sloºky podle prom¥nné u) v bod¥ (u0 , v0 )
spojitá, platí
lim
v→v0
∂F (u0 , v) ∂F (u0 , v0 ) = . ∂v ∂v
A to uº byl poslední krok k odvození pravidla pro derivaci sloºné funkce. Dostali jsme
,
∂f (a, b) ∂F (u0 , v0 ) ∂φ(a, b) ∂F (u0 , v0 ) ∂ψ(a, b) = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
a podobn¥ pro parciální derivaci podle
y,
∂f (a, b) ∂F (u0 , v0 ) ∂φ(a, b) ∂F (u0 , v0 ) ∂ψ(a, b) = + . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
2.5. PRÁCE A MECHANICKÁ ENERGIE
165
Pravidlo nej£ast¥ji zapisujeme zjednodu²en¥, bez vyzna£ování bod·, v nichº se mají derivace vy£íslit,
∂f ∂F ∂u ∂F ∂v = + , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂f ∂F ∂u ∂F ∂v = + . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
(2.43)
K formulaci obecných podmínek konzervativnosti silového pole pot°ebujeme vedle parciálních derivací je²t¥ dal²í matematický pojem
úplný diferenciál
funkce více prom¥nných. Pod-
statu de nice vyjasníme na funkci jedné prom¥nné a poté ji formulujeme pro funkci dvou prom¥nných. Zobecn¥ní na funkci více prom¥nných je pak jiº velice snadné. Na znázorn¥n schematický hladký graf funkce
y = f (x)
v okolí bodu
Obr. 2.32 je
a.
y=f (x)
f (a+h)
χ (a,h) f (a+h ) −f (a ) α
f (a) O
a
h tgα
x
a+h
Obr. 2.32: Diferenciál funkce jedné prom¥nné Na obrázku je vid¥t, ºe p°ír·stek funkce ze dvou p°ísp¥vk· p°ír·stku na te£n¥
f (x) mezi body a a a + h, f (a + x) − f (a) je d(a)(h) = h tg α = f ′ (a) h a veli£iny χ(a, h),
sloºen
f (a + x) − f (a) = f ′ (a) h + χ(a, h). Pokud se p°ír·stek
h
bude zmen²ovat a limit¥ blíºit k nule, bude klesat k nule i hodnota
kaºdého z obou p°ísp¥vk·. Prír·stek na te£n¥ se m¥ní lineárn¥, p°ír·stek tvaru funkce. V p°ípad¥, ºe chod
χ(a, h) → 0 lim
h→0
χ(a, h)
záleºí na
bude rychlej²í neº lineární, tj.
χ(a, h) = 0, h
je intuitivn¥ jasné, ºe p°ír·stek funkce m·ºeme nahradit p°ír·stkem na te£n¥, a to tím lépe, £ím je
h men²í.
V takovém p°ípad¥ °íkáme, ºe je funkce
f (x) v bod¥ a diferencovatelná a
′
d(a)(h) = h tg α = f (a) h se nazývá
úplný diferenciál
pak je vztah pro p°ísp¥vek
funkce
χ(a, h)
f (x)
v bod¥
a.
(2.44)
Pokud má funkce
(
v bod¥
a
derivaci,
) f (a + h) − f (a) − f ′ (a) = 0. h
Úplný diferenciál má i názorný geometrický význam. Koe cient
a,
f (x)
automaticky spln¥n. Skute£n¥,
χ(a, h) f (a + h) − f (a) χ(a, h) = − f ′ (a) =⇒ lim = lim h→0 h→0 h h h ke grafu funkce v bod¥
výraz
rovnice te£ny je
y − f (a, b) = f ′ (a)(x − a).
f ′ (a)
je totiº sm¥rnice te£ny
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
166
Názornou situaci zobecníme na p°ípad funkce dvou a více prom¥nných. Funkce nazývá funkce
diferencovatelná v bod¥ (a, b)
χ((a, b), (h, k))
f (x, y) se A aB a
svého de ni£ního oboru, jestliºe existují £ísla
tak, ºe platí
f (a + h, b + k) − f (a, b) = Ah + Bk + χ((a, b), (h, k)),
lim (h,k)→(0,0)
χ((a, b), (h, k)) √ = 0. h2 + k2
Jsou-li p°edchozí vztahy spln¥ny, tj. je-li funkce v daném bod¥ diferencovatelná, jsou £ísla a
B
parciálními derivacemi funkce
f (x, y)
df (a, b)(h, k) =
se nazývá
v bod¥
(a, b)
∂f (a, b) ∂f (a, b) h+ k ∂x ∂y
(2.45)
úplný diferenciál funkce f (x, y) v bod¥ (a, b). e jsou £ísla A a B
derivacemi funkce
0=
lim (h,k)→(a,b)
f (x, y)
A
a výraz
práv¥ parciálními
vyplývá z existence limity
[ ] χ((a, b), (h, k)) Ah + Bk f (a + h, , b + k) − f (a, b) √ √ = lim −√ . (h,k)→(a,b) h2 + k2 h2 + k2 h2 + k2
Tuto limitu m·ºeme po£ítat postupn¥ ,
0=
lim (h,k)→(a,b)
[ ] χ((a, b), (h, k)) χ((a, b), (h, k)) √ √ = lim lim = h→0 k→0 h2 + k2 h2 + k2 [
= lim
h→0
] h f (a + h, b) − f (a, b) −A , |h| |h|
odkud
A=
∂f (a, b) , ∂x
a podobn¥, p°i opa£ném po°adí výpo£tu limity,
B=
∂f (a, b) . ∂y
Úplný diferenciál funkce p°edstavuje lineární p°ísp¥vek k jejímu p°ír·stku a p°ibliºn¥ lze jeho hodnotou nahradit hodnotu skute£ného p°ír·stku. Geometrická interpretace úplného diferenciálu je obdobná jako u funkce jedné prom¥nné. Vztah
y − f (a, b) =
∂f (a, b) ∂f (a, b) (x − a) + (y − b) ∂x ∂y
je rovnicí te£né roviny vedené bodem
(a, b, f (a, b))
na grafu funkce
f (x, y).
P°íklad 2.27. Diferenciály sou°adnicových funkcí. Uvaºujme o tzv.
sou°adnicových funkcích, p°i°azujících bodu (x, y) jeho jednotlivé sou°adnice f1 (x, y) = x(x, y) = x,
f2 (x, , y) = y(x, y) = y
a spo£ítejme jejich úplný diferenciál. Pro libovolný bod
f1 (x, y) = 1, ∂x
f1 (x, y) = 0, ∂y
dx(x, y)(h, k) = h,
(x, y)
f2 (x, y) = 0, ∂x
platí
f2 (x, y) = 1, ∂y
dy(x, y)(h, , k) = k. ♠
2.5. PRÁCE A MECHANICKÁ ENERGIE
167
Úplný diferenciál libovolné diferencovatelné funkce proto m·ºeme zapsat pomocí diferenciál· sou°adnicových funkcí ve tvaru
df (x, y) =
∂f (x, y) ∂f (x, y) dx + dy, ∂x ∂y
zkrácen¥
df =
∂f ∂f dx + dy. ∂x ∂y
(2.46)
Po del²í matematické vsuvce se vra´me k problému nezávislosti práce síly na tvaru k°ivky, po níº se pohybuje její p·sobi²t¥. P°edpokladádejme, ºe sloºky rovinné síly nejsou nezávislé, ale jsou odvozeny z jedné spole£né
F1 (x, y) = Je-li parametrické vyjád°ení k°ivky síly
⃗ F
⃗ (⃗ F r) = (F1 (x, y), F2 (x, y))
kmenové funkce f (x, y)
takto:
f (x, y) f (x, y) , F2 (x, y) = . ∂x ∂y C dáno funkcemi x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β],
je práce
po této k°ivce rovna podle vztahu (2.36)
∫β [
∫ ⃗ d⃗ F r=
AC = C
] ∂f (x(t), y(t)) ∂f (x(t), y(t)) x(t) ˙ + y(t) ˙ dt. ∂x ∂y
α
Podle pravidla pro derivaci sloºené funkce je z°ejmé, ºe integrand je derivací funkce
f (x(t), y(t)),
F (t) =
tj.
∫β F˙ (t) dt = F (β) − F (α) = f (x(β), y(β)) − f (x(α), y(α)) = f (⃗ r(β)) − f (⃗ r(α)),
AC = α kde
⃗ r(α),
resp.
⃗ r(β)
je po£áte£ní, resp. koncový bod k°ivky
na hodnotu vykonané práce. Silové pole funkce
f (⃗ r ),
⃗ (⃗ F r),
C.
Tvar k°ivky tedy nemá vliv
jehoº sloºky jsou parciálními derivacemi jisté
je proto konzervativní. Platí také obrácené tvrzení kaºdé konzervativní vek-
torové pole je odvozeno od jisté kmenové funkce pomocí parciálních derivací. Vektor ur£ený
f (⃗ r) se nazývá gradient funkce f . Podobný záv¥r platí pro funkci ⃗ (⃗ F r) = (F1 (x, y, z), F2 (x, y, z), F3 (x, y, z)) je konzervativní f (⃗ r) = f (x, y, z) taková, ºe platí
parciálními derivacemi funkce
t°í prom¥nných silové pole práv¥ kdyº existuje funkce
( ⃗ (⃗ F r) =
∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z) , , ∂x ∂y ∂z
Výraz pro elementární práci síly funkce
⃗ (⃗ F r)
) = grad f (⃗ r).
(2.47)
je v takovém p°ípad¥ úplným diferenciálem kmenové
f (⃗ r),
δA = F1 dx + F2 dy + F3 dz =
∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z) dx + dy + dz. ∂x ∂y ∂z
U (⃗ r) = −f (⃗ r) se podobn¥ jako v p°ípad¥ centrálního silového pole nazývá potenciální energie. Vzniká je²t¥ jeden problém. Jak podle sloºek zadané síly poznáme, zda jsou parciálními Funkce
derivacemi n¥jaké vhodné funkce? Samoz°ejm¥ m·ºeme postupovat tak, ºe budeme kmenovou funkci rovnou hledat. Zvolíme v²ak jednodu²²í zp·sob, který umoºní o existenci kmenové funkce rozhodnout p°edem. P°edpokládejme, ºe rovinné silové pole
F1 (x, y) = a derivujme sloºku
F1
podle
y
∂f (x, y) , ∂x
a sloºku
F2
F2 (x, y) =
podle
∂F1 (x, y) ∂ 2 f (x, y) = , ∂y ∂y∂x
x.
⃗ (⃗ F r)
∂f (x, y) , ∂y
Dostaneme
∂F2 (x, y) ∂ 2 f (x, y) = . ∂x ∂x∂y
je konzervativní, tj.
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
168
Smí²ené parciální derivace jsou v²ak (za p°edpokladu jejich spojitosti) zám¥nné. Nutnou a posta£ující podmínkou pro konzervativnost rovinného silového pole je
∂F1 (x, y) ∂F2 (x, y) = , ∂y ∂x pro prostorové silové pole pak
∂F2 (x, y) ∂F3 (x, y) − = 0, ∂x ∂3
∂F1 (x, y) ∂F3 (x, y) − = 0, ∂z ∂x
∂F2 (x, y) ∂F1 (x, y) − = 0. ∂x ∂y (2.48)
Vektorové pole
(
⃗ (⃗ rot F r) =
∂F3 (x, y) ∂F2 (x, y) ∂F1 (x, y) ∂F3 (x, y) ∂F2 (x, y) ∂F1 (x, y) − , − , − ∂x ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
se nazývá rotace vektorového pole
⃗ (⃗ F r) = (3x2 y 2 , 2x3 y)
⃗. F
Vrátíme-li se k p°íkladu 2.24, vidíme, ºe silové pole
je konzervativní, nebo´ je gradientem kmenové funkce
Odpovídá potenciální energii
)
U (x, y) =
−x3 y 2
+ konst.
f (x, y) = x2 y 2 .
(kmenové funkce se mohou li²it o
integra£ní konstantu).
P°ipome¬me, ºe homogenní silové pole, centrální silové pole i silové pole popisující pruºnou sílu jsou pouze speciálními p°ípady konzervativních silových polí.
P°íklad 2.28. Práce Lorentzovy síly. Uvaºujme je²t¥ o práci magnetického pole o obecn¥ zadané indukci
⃗ r, t). B(⃗
Odpovídající Lorenzova síla p·sobící na nabitou £ástici je dána vztahem (2.7),
⃗, F⃗ = q(⃗v ) × B
není vektorovým polem ve smyslu matematické de nice závisí
totiº na rychlosti a v nejobecn¥j²ím p°ípad¥ i explicitn¥ na £ase. Pro její práci platí
∫
∫β ⃗ d⃗r = q q(⃗v × B)
AC = C
⃗ v dt = 0. (⃗v × B)⃗ α
Vzhledem k tomu, ºe magnetická síla je vºdy kolmá k rychlosti, je její elemen-
♠
tární, a tedy i celková práce po jakékoli k°ivce nulová.
2.5.3
Kinetická energie
De nici veli£iny zvané
kinetická energie
zná nepochybn¥ kaºdý, kdo se v n¥jaké
podob¥ setkal s fyzikou. Pro £ástici o hmotnosti soustavu
N
£ástic o hmotnostech
Ek =
1 mv 2 , 2
mj
a rychlostech
resp.
Ek =
m a ⃗vj je
N ∑ 1 j=1
2
rychlosti
⃗v ,
resp. pro
dána vztahem
mj vj2 .
Jaké fyzikální d·vody v²ak vedou k zavedení nové veli£iny práv¥ tímto zp·spobem? V p°edchozím odstavci jsme de novali a po£ítali práci libovolné ze sil,
2.5. PRÁCE A MECHANICKÁ ENERGIE
v²echny síly
169
p·sobících na £ástici p°i jejím pohybu po trajektorii. Otázka, jakou práci vykonají dohromady
p·sobící na £ástici, má jednoduchou odpov¥¤
se£teme práci jednotlivých sil. Ukáºe se v²ak, ºe tato procedura povede práv¥
m pox = x(t), y = y(t),
k zavedení kinetické energie. P°edpokládejme, ºe na £ástici o hmotnosti hybující se po trajektorii
z = z(t), t ∈ [α, β]
C
s parametrickým vyjád°ením
p·sobí síly
F⃗1 , F⃗2
aº
∫
F⃗K .
∫ F⃗1 d⃗r + · · · +
AC =
Jejich celková práce je
C
F⃗K d⃗r =
K ∫ ∑
F⃗γ d⃗r.
γ=1 C
C
⃗r,
V²echny integrály mají týº integra£ní obor a stejnou integra£ní prom¥nnou m·ºeme je proto snadno se£íst:
∫ AC =
K ∑ γ=1
C
∫β d⃗r =
F⃗γ (⃗r(t) ⃗v (t) dt.
α
Sou£et sil ov²em p°edstavuje jejich výslednici, a ta je podle druhého Newtonova zákona rovna sou£inu hmotnosti a zrychlení £ástice. Platí proto
∫β AC =
β 1 1 1 2 ˙ m⃗v (t)⃗v dt = mv (t) = mv 2 (β) − mv 2 (α). 2 2 2 α
∫β m⃗a(t)⃗v (t) dt =
α
α
Získali jsme zajímavý výsledek zatímco práce jednotlivých sil p·sobících na £ástici obecn¥ závisí na tom, po jaké konkrétní trajektorii se £ástice pohybuje, tj. jakými mechanickými stavy prochází (závislost mizí ve speciálních p°ípadech v konzervativních silových polích), je práce, kterou vykonají v²echny síly dohromady závislá pouze na rychlostech odpovídajících po£áte£nímu a koncovému stavu, a to bez ohledu a konkrétní typ a vyjád°ení jednotlivých sil tvo°ících výslednici. Tento silný výsledek má fyzikální podstatu je d·sledkem platnosti
ki-
druhého Newtonova zákona. Veli£inu, jejíº hodnoty v koncovém a po£áte£ním
netická energie
stavu ur£ují práci vykonanou v²emi silami p·sobícími na £ástici, nazýváme
Ek =
kde
£ástice. Platí
1 mv 2 , 2
K ∫ ∑
AC =
F⃗γ d⃗r = ∆Ek = Ek (2) − Ek (1),
(2.49)
γ=1 C
Ek (1), resp. Ek (2) je kinetická energie £ástice v po£áte£ním, resp. koncovém
stavu (odpovídajícím po£áte£ním, resp. koncovému bodu trajektorie).
P°íklad 2.29. Zachování mechanické energie. Uvaºujme o £ástici, která se pohybuje po trajektorii poli
F⃗ (⃗r)
C
v konzervativním silovém
a jiné síly na ni nep·sobí. Potenciální energii odpovídající danému
silovému poli ozna£me
U (⃗r).
Po£áte£ní stav £ástice ozna£me
(⃗r1 , ⃗v1 )
a koncový
KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY
170
(⃗r2 , ⃗v2 ), tj. pro t ∈ [α, β] je s ohledem na d°ív¥j²í zna£ení ⃗r(α) = ⃗r1 , ⃗v (α) = ⃗v1 , ⃗r(β) = ⃗r2 , ⃗v (β) = ⃗v2 . Podle de nice kinetické energie platí ∫ 2 Ek (2) − Ek (1) = F⃗ d⃗r = −U (⃗r)|1 = U (⃗r1 ) − U (⃗r2 ) =⇒ C
=⇒ Ek (1) + U (⃗r1 ) = Ek (2) + U (⃗r2 ) =⇒ Ek + U (⃗r) = konst.
(2.50)
P°i pohybu £ástice v homogenním gravita£ním poli Zem¥ o tíhovém zrychlení
⃗g ,
M
resp. v centrálním gravita£ním poli vytvá°eném t¥lesem o hmotnosti
má
vztah (2.50) tvar, který si sami snadno odvodíte,
1 mv 2 + mgh = E0 , 2 kde
h
resp.
1 mM mv 2 − κ = E0 , 2 r
je vý²ka £ástice nad povrchem Zem¥,
r
E0 = konst.,
je vzdálenost £ástice od centra
(obvykle po£átku soustavy sou°adnic).
M ♠
Vztah (2.50), odvozený v p°edchozím p°íkladu, je formáln¥ velmi jednoduchý, má v²ak zna£ný fyzikální i praktický význam:
Zákon zachování mechanické energie v konzervativním poli
nická energie
Sou£et kinetické a potenciální £ástice v konzervativním silovém poli, tj.
mecha-
, je stálý. Kinetická energie se m¥ní na úkor energie potenciální.
Vztah (2.50) je nejjednodu²²í, a ne zcela p°esnou podobou zákona zachování mechanické energie. Aproximativní p°ístup spo£ívá v tom, ºe p°edpokládáme, ºe silové pole
F⃗ (⃗r)
není nijak ovlivn¥no tím, ºe se v n¥m pohybuje testovací
£ástice . P°esn¥ vzato je silové pole vytvá°eno okolními £ásticemi, které na testovací £ástici silov¥ p·sobí. Toto p·sobení je v²ak podle t°etího Newtonova zákona vzájemné. Uváºíme-li nejjednodu²²í p°ípad, centrální silové pole, m¥li bychom p°i p°esných úvahách respektovat skute£nost, ºe díky vzájemnému ovliv¬ování £ástic
m
a
M
je vztaºná soustava spjatá s
M
ve skute£nosti neinerciální. Míra
její neinerciálnosti, a tedy i míra nep°esnosti vztahu (2.50), je dána pom¥rem hmotností 3.1.4.
m
a
M.
Podrobn¥ se budeme tomuto problému v¥novat v odstavci
Kapitola 3
Mechanika soustav £ástic V p°edchozí kapitole jsme se zabývali pohybem t¥lesa modelovaného hmotným bodem (a nazývaného téº £ásticí) a p°í£inami tohoto pohybu. Formulovali jsme základní principy mechaniky Newtonovy zákony a odvodili jejich d·leºité d·sledky týkající se práv¥ pohybu jedné £ástice. V této kapitole budou objekty, jejichº pohyby studujeme, jiº obecn¥j²í. P·jde o t¥lesa s nezanedbatelnými rozm¥ry, a to jak s diskrétním, tak se spojitým rozloºením hmotnosti. V odstavci 1.1 jsme de novali rozloºení hmotnosti pro diskrétní p°ípad jako soubor
{mi , ⃗ri },
kde index
i ∈ {1, . . . , N }
£ísluje jednotlivé hmotné body, z nichº je
t¥leso sloºeno. Pro spojitý p°ípad charakterizovala rozloºení hmotnosti hustota t¥lesa
ϱ(⃗r).
Základní charakteristiky spjaté s rozloºením hmotnosti, celkovou
hmotnost, polohu st°edu hmotnosti (a pro druhé £tení také tenzor momentu setrva£nosti), jsme rovn¥º de novali v odstavci 1.1. Základními zákony, jimiº se °ídí pohyb t¥les, jsou tzv.
impulsové v¥ty
. Jako
v²echno jsou samoz°ejm¥ d·sledkem základních princip· Newtonových zá-
tuhá
kon·. Odvodíme je jak v obecné podob¥ a aplikujeme je na p°ípad speciálního
t¥lesa
setrva£níky
typu t¥les, která b¥hem pohybu nem¥ní své rozloºení hmotnosti, tzv neboli
.
3.1 Impulsové v¥ty a zákony zachování Uvaºujme o soustav¥
N
hmotných bod· (£ástic). Rozloºení hmotnosti v této
{mi , ⃗ri } (viz Obr. 1.1). mi povaºujme za konstantní, polohové vektory ⃗ri jsou vztaºeny
soustav¥ je v kaºdém okamºiku popsáno souborem Hmotnosti £ástic
vzhledem i interciální vztaºné soustav¥. Je samoz°ejmé, ºe pro
kaºdou
£ástici
soustavy platí Newtonovy zákony. Abychom je mohli aplikovat, je t°eba popsat v²echny síly, jimiº na kaºdou £ástici p·sobí objekty, které tvo°í její okolí. Tyto objekty lze rozt°ídit do dvou kategorií:
•
objekty náleºející zvolené soustav¥ £ástic, tj. p°ímo samy £ástice dané soustavy, 171
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
172
•
objekty mimo tuto soustavu, pro jednoduchost p°edpokládejme, ºe se
K hmotných bod· (£ástic) o konstatních ⃗γ. {1, . . . , K}, a polohových vektorech R jedná o
hmotnostech
Mγ , γ ∈
Situaci znázor¬uje Obr. 3.1.
z
m1 Fγiext
mi
r1
−Fγiext Fj iint
MK
ri RK
rj
Fi int j
Mγ Rγ
mj mN
rN
y
O M1
R2 M2 x
Obr. 3.1: Popis silového p·sobení v soustav¥ £ástic
Popi²me nyní silové p·sobení na
•
i-tou
£ástici soustavy.
platí
int F⃗ji
sebe nep·sobí).
•
vnit°ní síly
: Na i-tou £ástici souint j -tá £ástice soustavy silou F⃗ji , kde j ∈ {1, . . . , N }, p°i£emº = −F⃗ijint (t°etí Newton·v zákon) a F⃗iiint = ⃗0 (£ástice sama na
Silové p·sobení £ástic první kategorie stavy p·sobí
Silové p·sobení £ásti druhé kategorie stavy p·sobí
γ -tá
vn¥j²í⃗ síly
£ástice jejího okolí silou
i-tou £ástici souγ ∈ {1, . . . , K}. soustavy na γ -tou
: Na
ext Fγi ,
kde
(Podle t°etího Newtonova zákona p·sobí i-tá £ástice ⃗ ext = −F⃗ ext . Tato síla v²ak p·sobí na soustavu tvo°ící £ástici okolí silou F iγ γi okolí, takºe do formulace druhého Newtonova zákona pro na²i soustavu nebude zapo£tena.) Pohybová rovnice
d⃗ pi = dt
i-té
N ∑ j=1
£ástice soustavy má tvar
int F⃗ji (⃗rji , ⃗vji , t) +
K ∑ γ=1
ext ⃗ γ , ⃗vi − V ⃗γ , t), F⃗γi (⃗ri − R
3.1. IMPULSOVÉ V
TY A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ mi⃗r¨i =
N ∑
int F⃗ji (⃗rji , ⃗r˙ ji , t) +
K ∑
173
ext ⃗ γ , ⃗r˙ i − R ⃗˙ γ , t), F⃗γi (⃗ri − R
i ∈ {1, . . . , N }.
γ=1
j=1
(3.1) M·ºe se zdát, ºe nyní jiº sta£í zapsat silové zákony popisující jednotlivé interakce a °e²it soustavu
N
vektorových rovnic o
N
neznámých vektorových funkcích
⃗ri .
Tato p°edstava je sice principiáln¥ správná, ale nerealizovatelná. P°ekáºky jsou zejména následující
• •
Museli bychom znát £asový vývoj stavu £ástic okolí, tj. £asové závislosti
⃗ γ (t) R
(rychlosti
⃗γ (t) V
bychom získali derivováním).
Museli bychom znát soubor po£áte£ních podmínek
{⃗ri (0), ⃗vi (0)} pro v²echny
£ástice soustavy.
•
t¥les
Je známo a dokázáno, ºe analyticky lze °e²it nanejvý² tzv. . Pro
•
N ≥3
je nutné p°istoupit k numerickému °e²ení.
problém dvou
Pro v¥t²í po£et £ástic m·ºe být i numerické °e²ení nesch·dné pro velkou náro£nost na kapacitu pam¥ti po£íta£e nebo a výpo£etní £as.
Z vý²e uvedených d·vod·, ale i z obecného hlediska má smysl pokusit se de novat veli£iny, které se vztahují nikoli k jednotlivým £ásticím, ale k soustav¥ jako celku, a sledovat jejich £asový vývoj. Jsou jimi celková hybnost, celkový moment hybnosti, a pop°ípad¥ i celková mechanická energie, pokud jsou síly p·sobící v soustav¥ konzervativní. Problematikou t¥chto globálních veli£in se zabývají následující odstavce.
3.1.1
První impulsová v¥ta
Celkovou hybnost soustavy
de nujeme p°irozeným zp·sobem jako vektorový sou-
£et hybností v²ech £ástic,
p⃗0 =
N ∑
p⃗i = p⃗1 + p⃗2 + · · · + p⃗N .
(3.2)
i=1 Pro její £asovou derivaci platí
N N N K ∑ ∑ ∑ ∑ d int ext p⃗˙0 (t) = p⃗˙i = F⃗ji + F⃗γi = dt i=1 γ=1 i=1 j=1 =
N ∑ N ∑ i=1 j=1
int F⃗ji +
N ∑ K ∑
ext F⃗γi = F⃗ int + F⃗ ext .
i=1 γ=1
Poznámka: Pro t¥leso se spojit¥ porm¥nnou hmotností je celková hybnost rovn¥º sou£tem hybností jednotlivých hmotných element· t¥lesa, tj. integrálem
∫
p⃗0 (t) =
ϱ(⃗r, t)⃗v (t) dV. V
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
174
Zdá se, ºe jsme neobjevili nic nového £asová derivace celkové hybnosti soustavy je rovna výslednici v²ech sil, které p·sobá na £ástice soustavy, a to jak zevnit° , tak zvenku . P°ece se v²ad dá p°edchozí vztah zjednodu²it, uv¥domíme⃗ int = ∑N ∑N F⃗ int ( modrá li si platnost t°etího Newtonova zákona. Jako F i=1 j=1 ji suma ) jsme ozna£ili , p·sobích na £ástice soustavy. S£ítá
výslednici vnit°ních sil
i, j ∈ {1, . . . , N }. S kaºdou dvojicí pevn¥ zvoint ⃗ int . Platí v²ak i a j je v sou£tu obsaºena jak síla F⃗ji , tak síla F ij = ⃗0, proto F⃗ int = ⃗0. Derivace celkové hybnosti je proto rovna vý-
se p°es v²echny dvojice index· lených index·
int F⃗ijint + F⃗ji slednici
vn¥j²ích
sil p·sobících na £ástice soustavy. Pouºitím druhého a t°etího
první impulsovou v¥tu
Newtonova zákona jsme tak dostali nový výsledek, který má charakter odvozeného tvrzení
:
První impulsová v¥ta asová derivace celkové hybnosti soustavy £ástic je rovna výslednici vn¥j²ích sil, tj. t¥ch, jimiº na £ástice soustavy p·sobí její okolí. Platí
d⃗ p0 = F⃗ ext , dt kde
F⃗ ext
(3.3)
je výslednice (vektorový sou£et) v²ech vn¥j²ích sil.
První impulsová v¥ta má formáln¥ tvar druhého Newtonova zákona: P°edstavme ∑N si náhradní £ástici, jejíº hmotnost je m0 = i=1 a hybnost je rovna celkové hybnosti soustavy, tj. p ⃗0 . P·sobí-li na tuto £ástici její okolí silami tak, ºe jejich ⃗ ext , bude druhý Newton·v zákon zapsán úpln¥ stejn¥ jako první výslednice je F impulsová v¥ta pro soustavu, kterou náhradní £ástice z hlediska celkové hybnosti zastupuje. Jde v²ak o formální shodu v první impulsové v¥t¥ je, jak víme, obsaºen i t°etí Newton·v zákon, díky n¥muº se neuplatní vnit°ní síly soustavy. De nujme je²t¥ vcelku p°irozeným zp·sobem rychlost náhradní £ástice jako podíl její hybnosti a hmotnosti,
⃗v0 =
p⃗0 m1⃗v1 + · · · + mN ⃗vN = , m0 m1 + · · · + mn
resp.
∫
ϱ⃗v dV p⃗0 V ⃗v0 = = ∫ m0 ϱ dV V pro t¥leso s diskrétním, resp. spojitým rozloºením hmotnosti. Podobný vztah jsme jiº vid¥li v odstavci 1.1. Konkrétn¥ ²lo o vztah (1.2) pro polohu st°edu hmotnosti soustavy. Integrací práv¥ zavedeného vztahu pro rychlost náhradní £ástice dostaneme její polohu ve tvaru
⃗r0 =
m1⃗r1 + · · · + mN ⃗rN ⃗ + konst., m1 + · · · + mn
3.1. IMPULSOVÉ V
TY A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ
175
coº je polohový vektor st°edu hmotnosti aº na konstantní vektor. Náhradních £ástic z hlediska první impulsové v¥ty je tedy nekone£n¥ mnoho. Pro volbu konkrétní z nich nemáme zatím dal²í kritérium, proto zvolme za integra£ní konstantu nulový vektor a náhradní £ástici ztotoºn¥me se st°edem hmotnosti. V dal²ích odstavcích uvidíme, ºe tato volba má i d·leºitý fyzikální význam. Zvlá²tní situace nastává, jestliºe se v²echny vn¥j²í síly, jimiº okolí p·sobí na soustavu, navzájem kompenzují jejich výslednice je nulová. Podle první
zákonem zachování hybnosti
impulsové v¥ty je pak derivace celkové hybnosti nulová a celková hybnost konstantní. Soustava se °ídí i rychlost
⃗v0 ,
. Konstatní je samoz°ejm¥
st°ed hmotnosti soustavy se pohybuje rovnom¥rn¥ p°ímo£a°e.
Poznámka: Jiº v tuto chvíli m·ºeme usuzovat na zvlá²tní význam st°edu hmotnosti zatímco pohyb jednotlivých £ástic m·ºe být i p°i nulové výslednici vn¥j²ích sil obecný, je pohyb st°edu hmotnosti jako náhradní £ástice z hlediska první impulsové v¥ty rovnom¥rný a p°ímo£arý. P°íkladem m·ºe být t°eba tuhé t¥leso (viz odstavec 1.1.2) umíst¥né na stojanu spo£ívajícím t°eba na stole a rotující kolem pevné osy za idealizovaných podmínek, kdy rotace není brzd¥na t°ením (setrva£ník): vn¥j²ími silami jsou tíhové síly, tlakové síly podloºky a pop°ípad¥ statické t°ecí síly, které se kompenzují, st°ed hmotnosti t¥lesa je v klidu a jednotlivé hmotné elementy t¥lesa opisují kruºnice.
Nejjednodu²²í situace, p°i níº se zachovává celková hybnost soustavy, je taková,
izolovaná
zákonu zachování hybnosti izolované soustavy
kdy okolí nep·sobí na £ástice soustavy v·bec ºádnými silami. Taková soustava se nazývá
3.1.2
a hovo°íme o
.
Druhá impulsová v¥ta
V p°edchozím odstavci jsme se uvád¥li p°íklad, kdy st°ed hmotnosti soustavy je v klidu, soustava v²ak rotuje kolem n¥jaké osy. V takové situaci se jednotlivé £ástice pohybují nap°íklad po kruºnicích (je-li soustava tuhá). Víme, ºe kinematickou veli£inou charakterizující takový pohyb je úhlová rychlost. Co v²ak je odpovídající veli£inou dynamickou? Tato otázka sm¥°uje k nalezení analogie
moment hybnosti
mezi dvojicí rychlosthybnost a dvojicí úhlová rychlosthledaná dynamická veli£ina . Touto veli£inou je
. Je de nován formáln¥ stejn¥ jako
moment síly, který známe z praxe: budeme-li se nap°íklad snaºit oto£it t¥ºké dve°e v zatuhlých pantech, nebude rozhodující jen to, jakou silou na dve°e p·sobíme, ale také na umíst¥ní jejího p·sobi²t¥ vzhledem k ose otá£ení (spojnici pant·). De nici momentu síly, resp. momentu hybnosti vzhledem k pevnému vztaºnému bodu
O
ve zvolené inerciální soustav¥ p°ibliºuje Obr. 3.2.
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
176
p
F
r
r
O
O Obr. 3.2: Momenty vektorových veli£in
Moment hybnosti £ástice vzhledem k bodu bodu
O
⃗ℓ = ⃗r × p⃗,
resp. moment síly vzhledem k
⃗ = ⃗r × F⃗ , M
kde význam veli£in je z°ejmý z Obr. 3.2:
p⃗,
O,
jsou de novány vztahy
F⃗
resp. polohový vektor p·sobi²t¥ síly
Celkový moment hybnosti soustavy
N
(3.4)
⃗r je polohový vektor £ástice o hybnosti vzhledem k vztaºnému bodu O .
£ástic s rozloºením hmotnosti
{mi , ⃗ri }
o
rychlostech ⃗ vi de nujeme, podobn¥ jako u hybnosti, jako sou£et jedno£ásticových moment· hybnosti, vztaºených samoz°ejm¥ k témuº bodu
O,
k n¥muº vztahu-
jeme celkový moment hybnosti,
ℓ0 =
N ∑
⃗ri × p⃗i =
i=1
N ∑
⃗ri × mi⃗vi = ⃗r1 × m1⃗v1 + · · · + ⃗rN × mN ⃗vN .
(3.5)
i=1
Zajímáme se op¥t o jeho £asovou zm¥nu, tj.
∑ ∑ d ⃗ℓ˙0 = d ⃗ri × mi⃗vi = (⃗ri × mi⃗vi ) = dt i=1 dt i=1 N
=
N ∑
N
⃗r˙i × (⃗ pi ) + ⃗ri × p⃗˙ i =
i=1
N ∑
⃗ri ×
i=1
=
N ∑ N ∑
int F⃗ji +
N ∑ K ∑
N ∑ j=1
int F⃗ji +
K ∑
ext F⃗γi =
γ=1
int ⃗ int + M ⃗ ext . F⃗γi =M
i=1 γ=1
i=1 j=1
P°i výpo£tech jsme vzali v úvahu skute£nost, ºe ⃗ r˙ i = ⃗vi , a proto je vektorový ⃗ int p°edstavuje vektorový sou£et sou£in ⃗ r˙ i × p⃗i = ⃗v˙ i × mi⃗vi nulový. Veli£ina M
sil M⃗ výsledný moment vn¥j²ích sil
výsledný moment vnit°ních
v²ech moment· sil p·sobících uvnit° soustavy, tj. ext , je sou£tem moment· sil, jimiº na £ástice soustavy p·sobí její okolí, tj. .
3.1. IMPULSOVÉ V
TY A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ
177
Poznámka: Pro p°ípad t¥lesa s diskrétním rozloºením hmotnosti platí
∫ ⃗ℓ0 (t) =
⃗r × ϱ(⃗r, t)⃗v (t) dV. V
Podobn¥ jako v p°edchozím odstavci se nyní zam¥°íme na zji²t¥ní, zda t°etí Newton·v zákon, týkající se vzájemného silového p·sobení £ástic, povede k n¥jakému zjednodu²ení výrazu pro výsledný moment vnit°ních sil. Výraz pro n¥j podrobn¥ji rozepí²eme, s uváºením jiº d°íve konstatované skute£nosti, ºe F⃗iiint = ⃗0:
⃗ int = M
N ∑ N ∑
int = F⃗ji
i=1 j=1
) ( ) ( int int int ⃗ = ⃗r1 × F⃗12 + · · · ⃗r1 × F⃗1N + · · · + ⃗rN × F⃗Nint + · · · ⃗ r × F N 1 N,N −1 = ) ( ( ) int int int + · · · + ⃗rN −1 × F⃗N,N rN × F⃗Nint = ⃗r1 × F⃗21 + ⃗r2 × F⃗12 −1 + ⃗ −1,N = =
N N ( ) ∑ ∑ int ⃗ri × F⃗ji + ⃗rj × F⃗ijint = i=1 j=1,j
=
N N N N ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ int int int ⃗ri × F⃗ji − ⃗rj × F⃗ji = (⃗ri − ⃗rj ) × F⃗ji . i=1 j=1,j
i=1 j=1,j
Vzájemné p·sobení £ástic je v²ak centrální, a proto jsou vektory
⃗ri − ⃗rj
druhá impulsová v¥ta
a
int F⃗ji
rovnob¥ºné. Jejich vektorový sou£in je nulový a celkový moment vnit°ních sil rovn¥º. Výsledkem je dal²í odvozené tvrzení
:
Druhá impulsová v¥ta asová derivace celkového momentu hybnosti soustavy £ástic je rovna výslednému momentu vn¥j²ích sil, tj. t¥ch, jimiº na £ástice soustavy p·sobí její okolí. Platí
kde
⃗ ext M
d⃗ℓ0 ⃗ ext , =M dt
(3.6)
je výsledný moment v²ech vn¥j²ích sil (vektorový sou£et jednotlivých
moment· vn¥j²ích sil). V p°ípad¥, ºe jsou kompenzovány momenty vn¥j²ích sil, tj. výsledný moment vn¥j²ích sil p·sobících na soustavu je nulový, je nulová i derivace celkového
zákon zachování momentu hybnosti
momentu hybnosti a celkový moment hybnosti se zachovává. Tento výsledek p°edstavuje
soustavy £ástic. Podobn¥ jako
v p°ípad¥ zákona zachování hybnosti je nejjednodu²²ím soustavou, jejíº celkový moment hybnosti se zachovává, izolovaná soustava (na £ástice soustavy nep·sobí
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC zákonu zachování momentu hybnosti
178
izolované soustavy
v·bec ºádné vn¥j²í síly). Pak hovo°íme o .
Obecn¥ je moºné, aby se celková hybnost soustavy nezachovávala a celkový
moment hybnosti ano, moºná je i opa£ná situace. Uvidíme to v následujících p°íkladech. V p°ípad¥ izolované soustavy platí oba zákony zachování, zachovává se tedy jak její celková hybnost, tak její celkový moment hybnosti.
P°íklad 3.1. Hybnost a moment hybnosti p°i volném pádu. Hmotný bod o hmotnosti
⃗g
m
se pohybuje v homogenním gravita£ním poli Zem¥
volným pádem (odpor prost°edí zanedbáváme). Vypo£teme derivaci jeho hyb-
nosti a momentu hybnosti. Zvolme soustavu sou°adnic nejprve obecn¥, podle
Obr. 3.3 vlevo.
q z z(0)
y (0)
O
y
x (0) x
r (t)
F(t)
Obr. 3.3: Moment hybnosti voln¥ padajícího t¥lesa
Podle impulsových v¥t platí
p⃗˙ = m⃗g ,
⃗ℓ˙ = ⃗r × m⃗g ,
3.1. IMPULSOVÉ V
TY A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ
179
odkud jednoduchou integrací dostaneme
p⃗(t) = (0, 0, −mgt) ,
⃗ℓ(t) = (ℓ1 (0) − mgt y(0), ℓ2 (0) + mgt x(0), ℓ3 (0)) .
Vektor hybnosti £ástice se s £asem m¥ní, moment hybnosti vzhledem k obecn¥ zvolenému vztaºnému bodu rovn¥º. Okamºitou polohu £ástice zjistíme integrací rychlosti. Dostaneme o£ekávanou závislost
⃗r(t) =
) ( 1 x(0), y(0), z(0) − gt2 . 2
Volbou vztaºného bodu v kterékoli poloze na p°ímce
q,
po níº £ástice padá k
zemi, docílíme toho, ºe moment hybnosti £ástice bude konstantní, nebo´ p°i takové volb¥ vztaºného bodu je moment tíhové síly (a sou£asn¥ tedy i celkový moment vn¥j²ích sil) trvale nulový. Dokonce platí
⃗ℓ(0) = ⃗0,
a tedy i
ℓ(t) = ⃗0. ♠
P°íklad 3.2. Hybnost a moment hybnosti p°i rota£ním pohybu. Homogenní válec rotuje kolem své geometrické osy a je roztá£en dvojicí lan navinutých na jeho obvodu (Obr. 3.4).
z
F O
r
r
y
F
Obr. 3.4: Moment hybnosti rotujícího válce
F⃗ a ⃗ −F . Pro jednoduchost zvolme vztaºný bod O na ose válce v rovin¥ ur£ené silami F⃗ a −F⃗ . P·sobi²t¥ sil jsou v bodech poloºených na obvodu válce symetricky v·£i jeho ose. Podle obrázku zvolme také soustavu sou°adnic, osa x je souhlasn¥ ⃗ je ⃗r, polohový rovnob¥ºná s osou rotace válce. Polohový vektor p·sobi²t¥ síly F ⃗ vektor p·sobi²t¥ síly −F je −⃗ r. Podle první, resp. druhé imlulsové v¥ty platí
P°edpokládejme, ºe lana po obvodu válce neklouºou a p·sobí na válec silami
p⃗˙ = F⃗ + (−F⃗ ) = ⃗0,
⃗ℓ˙ = ⃗r × F⃗ + (−⃗r) × (−F⃗ ) = 2⃗r × F⃗ = (0, 0, 2F r).
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
180
Celková hybnost válce se zachovává, celkový moment hybnosti v závislosti na
⃗ℓ˙ , tj. ⃗ℓ(t) = ℓ1 (0), ℓ2 (0), ℓ3 (0) + 2F rt), ⃗ℓ(t) = (0, 0, 2F rt).
£ase dostaneme integrací vektoru volb¥
⃗ℓ(0) = ⃗0
3.1.3
pak
a p°i
♠
St°ed hmotnosti a jeho význam
S pojmem st°edu hmotnosti jsme se setkali jiº dvakrát. Nejprve v odstavci 1.1, kde jsme jej zavedli pro t¥leso s diskrétním, resp. spojitým rozloºením hmotnosti vztahem (1.2), resp. (1.7), podruhé v odstavci 3.1.1 v souvislosti s celkovou hybností t¥lesa a s ní spojenou rychlostí náhradní £ástice . P°i integraci této
fyzikální
rychlosti se objevila (vektorová) integra£ní konstanta, kterou jsme zvolili nulovou. Touto volbou, pro niº jsme ov²em nem¥li ºádný
d·vod, docílili
jsme jí v²ak shody vztahu pro polohu náhradní £ástice s polohou st°edu hmot-
momentové rovnováze
nosti. Pro takovou volbu v²ak fyzikální d·vody existují. Jejich podstata spo£ívá v druhé impulzové v¥t¥, pop°ípad¥ v
.
P°íklad 3.3. Náhradní p·sobi²t¥ homogenní tíhové síly. Soustava
⃗g
N
£ástic je umíst¥na v homogenním tíhovém poli o tíhovém zrychlení
(viz Obr. 3.5).
z
z
m
1 1 0 1 0
m2 1 0 1 0
G1
r1
G2
m
N 1 0 1 0
SH1 0 1 0 0 1
mi
Gi
ri
d m = ρ(r )dV d G = g dm
SH
1 0 1 0
0 1
r0
r
O
r0 y
y
O G =mg
x
G =mg
x
Obr. 3.5: T¥leso v homogenním tíhovém poli
V levé £ásti obrázku je t¥leso s diskrétním rozloºením hmotnosti (soustava
N
£ástic o hmotnostech
mi
⃗ri , i = 1, 2, . . . , N ). Na ⃗ i = mi⃗g . Celková tíhová síla je G
a polohových vektorech
jednotlivé £ástice p·sobí tíhové pole silami
3.1. IMPULSOVÉ V
TY A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ ⃗ = ∑N mi⃗g . G i=1
181
Z hlediska první impulsové v¥ty m·ºeme soubor jednotlivých
sil nahradit silou
⃗, G
tj.
p⃗˙ =
N ∑
⃗ mi⃗g = G
i=1 Vzniká otázka, do kterého bodu je t°eba umístit náhradní sílu
⃗, G
aby její
ú£inek z hlediska druhé impulsové v¥ty byl stejný, jako ú£inek v²ech díl£ích sil
⃗ i . Znamená to najít p·sobi²t¥ náhradní síly tak, aby její moment vzhledem ke G vztaºnému bodu O byl stejný, jako výsledný moment v²ech díl£ích sil vzhledem k tomuto bodu, tj.
⃗ = ⃗r0 × G
N ∑
⃗ i =⇒ ⃗r0 × m⃗g = ⃗ri × G
i=1
N ∑
⃗ri × mi⃗g .
i=1
Úpravou posledního vztahu dostaneme
⃗r0 × ⃗g =
m1⃗r1 + · · · + mN ⃗rN × ⃗g , m
ve sloºkách v soustav¥ sou°adnic zvolené podle Obr. 3.5, v níº je
⃗g = (0, 0, −g)
pak
( ) m1 y1 + · · · + mN yN m1 x1 + · · · + mN xN (−gy0 , gx0 , 0) = − g, g, 0 , m1 + · · · + mN m1 + · · · + mN tj.
x0 =
m1 x1 + · · · + mN xN , m1 + · · · + mN
y0 =
m1 y1 + · · · + mN yN , m1 + · · · mN
z0
libovolné.
Obdobné úvahy pro p°ípad t¥lesa se spojit¥ rozloºenou hmotností vedou k výsledku
x0 =
1 m
∫ x ϱ(⃗r) dV,
y0 =
V
1 m
∫ y ϱ(⃗r) dV,
z
libovolné.
V
P·sobi²t¥ výslednice tíhových sil tedy m·ºe být zvoleno kdekoli na svislé p°ímce procházející st°edem hmotnosti t¥lesa, daným vztahy (1.2), resp. (1.7). Vzpomeneme-li si na experimentální st°edo²kolský zp·sob ur£ování p·sobi²t¥ výslednice tíhových sil zemského gravita£ní, které je v blízkosti povrhu Zem¥ ve
t¥ºi²t¥m
velmi dobrém p°iblíºení homogenní, m·ºe nás práv¥ získaný výsledek pon¥kud p°ekvapit. Toto p·sobi²t¥, nazývané
, jsme ur£ovali pomocí t¥ºnic. T¥º-
nice se získaly tak, ºe se t¥leso zav¥silo na ²¬·ru v libovolném bod¥ záv¥su
Z,
napjatá ²¬·ra pak p°edstavovala t¥ºnici. Sta£ilo najít dv¥ t¥ºnice a t¥ºi²t¥m byl jejich pr·se£ík.
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
182
t1
t2 t1
T
T
Z
1
Z1
SH
Z2 SH
mg
mg
Obr. 3.6: Experimentální zji²t¥ní t¥ºi²t¥
Je takový postup v·bec správný? Musí se dv¥ t¥ºnice v·bec protnout? Co kdyby to byly mimob¥ºky. A musí se t°i a více t¥ºnic r·zných sm¥r· protnout v jediném bod¥? Odpov¥¤ na tyto otázky je jednoduchá a dokumnetuje ji Obr.
3.6. Zav¥síme-li t¥leso na ²¬·ru v obecném bod¥, ustaví se v rovnováze tak, ºe celková tíhová síla je kompenzována tahovou silou ²¬·ry a moment tahové síly vzhledem ke st°edu hmotnosti t¥lesa je nulový, nebo´ i výsledný moment v²ech elementárních tíhových sil vzhledem je st°edu hmotnosti je nulový (krom¥ sil musí být kompenzovány také momenty). Bod záv¥su a st°ed hmotnosti tedy leºí na t¥ºnici. Kaºdá t¥ºnice tak musí procházet st°edem hmotnosti.
♠ V p°íkladu 3.3 jsme si £áste£n¥ objasnili fyzikální význam st°edu hmotnosti t¥lesa jako náhradního p·sobi²t¥ výslednice elementárních tíhových sil p·sobících na t¥leso. Ve h°e v²ak stále z·stává jistá libov·le - umíst¥ní tohoto p·sobi²t¥ na p°ímce procházející st°edem hmotnosti a rovnob¥ºné s tíhovým zrychlením není jednozna£né. Nyní uvedeme fyzikální argumentaci, která jiº k
inerciální
jednozna£né volb¥ povede. Tato argumentace spo£ívá v druhé impulsové v¥t¥. Uv¥domme si, ºe jsme ji formulovali v
vztaºné soustav¥. V neinerci-
ální soustav¥, kde se uplat¬ují ktivní síly, bude o dost sloºit¥j²í, a to i pro tak
neinerciální transla£ním
speciální p°ípad, jakým je tuhé t¥leso uvidíme to v odstavci 3.2. Poloºme si v²ak otázku, zda by t°eba nebylo moºné zvolit takovou
pohybem
vztaº-
nou soustavu pohybující se vzhledem k inerciální soustav¥ pouze
, v níº by formulace druhé implusové v¥ty dopadla formáln¥ stejn¥ jako
v soustav¥ inerciální. Nepochybn¥ lze tu²it, ºe odpov¥¤ bude souviset se st°edem hmotnosti. Skute£n¥, lze ukázat, ºe v neinerciální vztaºné soustav¥ spojené se st°edem hmotnosti t¥lesa, která v·£i inerciálním vztaºným soustavám koná pouze transla£ní pohyb s uná²ivým zrychlením
⃗, A
má druhá impulsová v¥ta
stejný tvar jako v soustavách inerciálních. Vra´me se k a
Obr. 1.19,
S =< O; ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 > S ′ vzhledem k S X je polohový vektor i-té £ástice
na n¥mº jsou znázorn¥ny vztaºné soustavy
S ′ =< O ′ ; ⃗e1′ , ⃗e2′ , ⃗e3′ >.
P°edpoklad, ºe uná²ivé zrychlení soustavy
pouze transla£ní, umoº¬uje volit
⃗e1 = ⃗e1′ , ⃗e2 = ⃗e2′
a
⃗e3 = ⃗e3′ .
Pro
3.1. IMPULSOVÉ V
TY A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ platí vztah (1.59), tj.
183
⃗ . Postupn¥ vyjád°íme moment hybnosti soustavy, jeho derivaci ⃗ ri = ⃗ ri′ + R ⃗ ri′ , ⃗vi′ , ⃗ai′ .
a výsledný moment vn¥j²ích sil p·sobících na soustavu pomocí £árkovaných veli£in Ozna£ení
⃗, V ⃗ R
a
⃗ A
má stejný význam jako v odstavci 1.4.3. Platí
⃗ ℓ0 =
N ∑
⃗ ri × mi⃗vi =
i=1
=
N ∑
(
⃗ ri′ × mi⃗vi′ +
d⃗ ℓ′ d⃗ ℓ0 = 0 + dt dt
(
N ∑
N ∑
)
⃗ mi ⃗ ri′ × V
⃗ +R
i=1
(
d⃗ ℓ0′ + dt
N ∑
(N ∑
⃗ + ×V
N ∑
(N ∑
) mi ⃗ ri′
( ⃗+V ⃗ × ×A
N ∑
) mi⃗vi′
+
i=1
⃗ ×V +R ⃗ × mA ⃗= + mV
)
mi ⃗ ri′
⃗ ×V ⃗. mi⃗vi′ + mR
i=1
) mi⃗ai′
i=1
N ∑ i=1
) mi⃗vi′
⃗× =R
⃗ ext = M
⃗ × mi (⃗v ′ + V ⃗)= (⃗ ri′ + R) i
i=1
i=1
i=1
=
N ∑
⃗+R ⃗× ×A
(N ∑
i=1
) mi⃗ai′
⃗ × mA, ⃗ +R
i=1
⃗ ext = ⃗ ri × F i
i=1
N ( ) ∑ ⃗ ×F ⃗ ext = (M ⃗ ext ) ′ + R ⃗ ×F ⃗ ext . ⃗ ri′ + R i i=1
V p°edchozím výpo£tu jsme ozna£ili
N ∑
⃗ ℓ′0 =
⃗ ri′ × mi⃗vi′ ,
⃗ ext = M
i=1 kde
⃗ ext F i
impulsové v¥ty
⃗ ext , ⃗ ri′ × F i
i=1
je výslednice vn¥j²ích sil p·sobících na
˙ ⃗ ⃗ ext ℓ0 = M
N ∑
i-tou
£ástici. Dosadíme-li výsledky do první
a uv¥domíme-li si platnost první impulsové v¥ty
⃗ ext , p ⃗˙ 0 = F
N ∑
tj.
N ( ) ∑ ⃗ = ⃗ ext , mi ⃗ai′ + A F i
i=1
i=1
(pochopiteln¥ vzhledem k inerciální vztaºné soustav¥
d⃗ ℓ0′ ⃗ ext ) ′ + = (M dt
(N ∑
S ),
dostaneme
) mi ⃗ ri′
⃗ × A.
Poºadujeme-li v²ak formáln¥ stejný tvar druhé impulsové v¥ty také v soustav¥ volit tak, aby platilo
(N ∑
(3.7)
i=1
S′,
musíme ji
) mi ⃗ ri′
⃗ = ⃗0. ×A
(3.8)
i=1 V úvahu p°ipadají tyto moºnosti:
•
Uná²ivé zrychlení
N ∑
⃗ A
mi ⃗ ri′ = ⃗0 =⇒
i=1
•
je libovolné a platí
Uná²ivé zrychlení
⃗ A
( ) r1 + · · · + mN ⃗ rN ⃗ = ⃗0 =⇒ R ⃗ = m1 ⃗ mi ⃗ ri − R =⃗ r0 . m + · · · + m 1 N i=1
N ∑
je nulové, tj.
⃗ = ⃗0. A
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
184
•
Uná²ivé zrychlení
⃗ A
je trvale rovnob¥ºné s vektorem
⃗=K· A
N ∑
∑N i=1
¨ ⃗ + KR ⃗ = mi ⃗ ri′ =⇒ R
i=1 kde
K
mi ⃗ ri′ ,
N ∑
takºe spl¬uje rovnici
mi ⃗ ri ,
i=1
je n¥jaká konstanta.
Druhá moºnost je nevyhovující, nebo´ pro
⃗ = ⃗0 A
by soustava
S′
byla také interciální a tak
na²e otázka nezní. t°etí moºnost je naopak velmi speciální, vyºadovala by znalost £asových závislostí ⃗ ri (t) a °e²ení diferenciální rovnice druhého °ádu pro neznámou vektorovou veli£inu ⃗ R(t) s volnou konstantou K . Jako rozumná se proto jeví pouze první moºnost. Znamená, ºe ve vztaºné soustav¥ S ′ , která je spojena se st°edem hmotnosti sledované soustavy £ástic, av²ak nerotuje v·£i inerciálním vztaºným soustavám (uná²ivé zrychlení je pouze transla£ní), lze s druhou impulsovou v¥tou pracovat p°esn¥ stejným zp·sobem, jako v soustav¥ inerciální.
Význam st°edu hmotnosti lze po v²ech úvahách shrnout takto:
St°ed hmotnosti St°ed hmotnosti t¥lesa s diskrétním, nebo spojitým rozloºením hmotnosti má tyto vlastnosti:
•
Je váºeným pr·m¥rem poloh £ástic, resp. objemových element· t¥lesa viz vztahy (1.2), resp. (1.7).
•
Je moºným p·sobi²t¥m výslednice elementárních tíhových sil, p·sobících na £ástice, resp. elementy t¥lesa v homogenním tíhovém poli. Výslednice tíhových sil umíst¥ná do st°edu hmotnosti (obecn¥ji do libovolného bodu na p°ímce tímto bodem procházející a rovnob¥ºné s tíhových zrychlením) má na t¥leso stejný pohybový ú£inek z hlediska impulsových v¥t, jako soubor v²ech elementárních tíhových sil p·sobících na £ástice, resp. elementy t¥lesa.
•
Ve vztaºné soustav¥ s ním spojené, která v²ak v·£i inerciálním soustavám nerotuje (její p°ípadná neinerciálnost je dána pouze transla£ním uná²ivým zrychlením), má druhá impulsová v¥ta stejný tvar jako v soustavách inerciálních.
t¥ºi²t¥m
Jednou z d·leºitých rolí st°edu hmotnosti je úloha náhradního p·sobi²t¥ tíhových sil. Proto se £asto nazývá
. Tento název není p°íli² vhodný
význam st°edu hmotnosti je, jak jsme se p°esv¥d£ili, dalekosáhlej²í a obecn¥j²í. T¥ºi²t¥m bychom právem nazvali náhradní p·sobi²t¥ gravita£ních sil z hlediska jejich pohybového ú£inku na t¥leso podle první a druhé impulsové v¥ty (pokud takový bod, resp. body, v·bec existují). V p°ípad¥ centrálního gravita£ního pole vytvá°eného jedním hmotným objektem, nebo gravita£ního pole vytvá°eného superpozicí gravita£ních polí od v¥t²ího po£tu hmotných objekt·, v²ak t¥ºi²t¥ není obecn¥ shodné se st°edem hmotnosti. V souvislosti s p°edchozími úvahami o st°edu hmotnosti a homogenním silovém poli se nabízí obecn¥j²í otázka: P°edpokládejme, ºe na soustavu £ástic p·sobí
3.1. IMPULSOVÉ V
TY A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ
185
okolí vn¥j²ími silami. Výslednici vn¥j²ích sil p·sobících na i-tou £ástici ozna£me F⃗iext , výslednici v²ech vn¥j²ích sil p·sobících na soustavu pak F⃗ ext , jako obvykle. P°ipome¬me, ºe platí
F⃗iext =
K ∑
F⃗γi ,
F⃗ ext =
γ=1 Je moºné najít bod
O′
N ∑
F⃗iext =
⃗ext . Fγi
i=1 γ=1
i=1
tak, aby výslednice
K N ∑ ∑
F⃗ ext
s p·sobi²t¥m v tomto bod¥
m¥la na t¥leso z hlediska druhé impulsové v¥ty stejný ú£inek, jako mají v²echny ′ vn¥j²í síly dohromady? Odpov¥d¥t na tuto otázku znamená najít bod O tak, aby výsledný moment v²ech vn¥j²ích sil vzhledem k n¥mu byl nulový, nebo ⃗ ext umíst¥né v tomto bod¥ vypo£tený vzhledem ekvivalentn¥, aby moment síly F k jistému vztaºnému bodu
O
byl shodný s výsledným momentem vn¥j²ích sil ⃗ ′ = ⃗r = (x, y, z), pak tento OO
vzhledem k témuº vztaºnému bodu. Ozna£íme-li poºadavek znamená
⃗ ext = ⃗r × F⃗ ext = M
N ∑
⃗ri × F⃗iext ,
i=1 £ástice vzhledem k bodu O . Ozna£íme-li známé ⃗ ext = (M ext , M ext , M ext ) a známé M 3 2 1 ext ext ext sloºky výslednice vn¥j²ích sil vecF = (F1 , F2 , F3 ), dostaneme z p°edchokde
⃗ri
i-té
je polohový vektor
sloºky výsledného momentu vn¥j²ích sil
zího poºadavku soustavu t°í rovnic o t°ech neznámých sloºkách vektoru
y
a
⃗r, tj. x,
z, yF3ext − zF2ext zF1ext − xF3ext xF2ext − yF1ext
= M1ext , = M2ext , = M3ext .
Matice a roz²í°ená matice této soustavy rovnic jsou
0
−F3ext F2ext
F3ext
−F2ext
0
F1ext
−F1ext
0
| M1ext |
M2ext
.
| M3ext
Snadno zjistíme, ºe determinant matice soustavy je bez ohledu na konkrétní ⃗ ext nulový, takºe její hodnost je men²í neº t°i. Hodnost hodnoty sloºek síly F matice roz²í°ené je obecn¥ rovna t°em (sloºky výsledného momentu vn¥j²ích sil nejsou voleny nijak speciáln¥). V obecném p°ípad¥ tedy soustava nemá °e²ení a správné p·sobi²t¥ síly
F⃗
tedy neexistuje. V p°ípad¥, ºe vn¥j²í síly p·sobící
na t¥leso jsou dány pouze homogenním tíhovým polem, tj. jejich volba je dokonce velmi speciální, je hodnost matice soustavy i matice roz²í°ené shodná a rovna dv¥ma (vra´te se k této situaci a tvrzení ov¥°te). Soustava má nekone£n¥
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
186
mnoho °e²ení, která tvo°í jednorozm¥rný a nní prostor, p°ímku. Dimenze prostoru °e²ení je totiº rovna rozdílu po£tu neznámých a hodnosti soustavy viz literaturu z lineární algebry. V souvislosti s p°edchozím záv¥rem, ºe náhradní p·sobi²t¥ výslednice sil z hlediska druhé impulsové v¥ty nemusí existovat, bude zajímavé vrátit se k otázce, zda v·bec existuje
t¥ºi²t¥
pro p°ípad, kdy gravita£ní pole není homogenní. V p°ípad¥, kdy gravita£ní pole je vytvá°eno jediným objektem o hmotnosti soustavy sou°adnic
O,
M,
který lze povaºovat za hmotný bod umíst¥ný v po£átku
je situace jednoduchá. Protoºe v takovém p°ípad¥ jsou v²echny gra-
M
vita£ní síly, jimiº objekt
p·sobí na £ástice, resp. hmotné elementy soustavy, centrální, je
dokonce moment kaºdé z nich vzhledem k bodu
O
nulový. Nulový je pak i celkový moment
O′ , jehoº polohový ⃗ ? P°i standardním ozna£ení polohového vektoru i-té £ástice soustavy O je R ⃗ g resp. vzhledem k bodu O , resp. O ′ symbolem ⃗ ri , resp. ⃗ ri′ dostaneme pro výsledný moment M ⃗ ′ vzhledem k bodu O, resp. O′ M g t¥chto sil. A co kdybychom momenty vztahovali k jinému bodu, nap°íklad vektor vzhledem k
⃗g = ⃗0 = M
N ∑
( ⃗ ri ×
−
i=1
=
N ∑
⃗ ri′ ×
( −
i=1
κmi M ⃗ ri ri3
κmi M ⃗ ri ri3
)
) ⃗× +R
=
) N ( ) ( ∑ ⃗ × − κmi M ⃗ ⃗ ri′ + R ri = 3 ri i=1
) N ( ∑ κmi M ⃗′ +R ⃗ ×F ⃗g . − ⃗ ri = M g 3 ri i=1
V p°ípad¥ t¥lesa se spojit¥ rozloºenou hmotností má p°edchozí výpo£et tvar
(
∫ ⃗ r×
⃗g = ⃗0 = M
κϱM − 3 ⃗ r r
V
∫ = V
(
⃗ r′ ×
−
)
( ∫ ( ) ′ ⃗ dV = ⃗ r +R × − )
κM ⃗ (⃗ r ′ + R) ⃗ 3 |r ′ + R|
V
⃗× dV + R
) κϱM ′ ⃗ (⃗ r + R) dV = ⃗ 3 |r ′ + R|
) ∫ ( κM ⃗′ +R ⃗ ×F ⃗g , − 3 ⃗ r dV = M g r V
⃗ F ⃗g = M ⃗ ′ . Poºadavku náhradního ϱ je hustota t¥lesa. Z p°edchozích výpo£t· vyplývá (−R)× p·sobi²t¥ gravita£ní síly vyhovuje jak bod O , jehoº polohový vektor vzhledem k bodu O ′ je ⃗ , tak v²echny dal²í body, pro jejichº polohové vektory ⃗s vzhledem k bodu O′ platí −R
kde
⃗ ×F ⃗g = ⃗s × F ⃗g =⇒ (⃗s − R) ⃗ ×F ⃗g = ⃗0 =⇒ (⃗s − R) ⃗ ∥F ⃗g . R Tyto body tvo°í p°ímku. Situace je tedy obdobná jako v p°ípad¥ homogenního tíhového pole. Pokud je v²ak gravita£ní pole tvo°eno více obecn¥ rozmíst¥nými objekty, máme co do £in¥ní s obecnou situací, kdy náhradní p·sobi²t¥ nenajdeme. (Vzhledem k moºnosti obecného umíst¥ní objekt· vytvá°ejících pole nepom·ºe ani fakt, ºe jde o superpozici centrálních polí.)
3.1.4
Dvou£ásticová izolovaná soustava
V odstavci 3.1.2 jsme pomocí impulsoových v¥t odvodili zákon zachování hybnosti a zákon zachování momentu hybnosti obecn¥
N -£ásticové
izolované sou-
stavy. Tyto zákony zachování platí i pro t¥leso se spojitým rozloºením hmot-
problém dvou t¥les
nosti. Nyní se zam¥°íme na izolovanou soustavu sloºenou z pouhých dvou £ástic, takzvaný
. Izolovanost soustavy znamená absenci vn¥j²ího si-
lového p·sobení na jednotlivé £ástice, ve h°e je tedy pouze vnit°ní silové p·sobení, tj. vzájemné p·sobení £ástic podle t°etíhoi Newtonova zákona. Ukáºeme, ºe pro takovou soustavu lze za p°edpokladu, ºe silové pole jejich vzájemného p·sobení je konzervativní, de novat mechanickou energii a k zákon·m zachování hybnosti a momentu hybnosti p°idat je²t¥ zákon zachování této veli£iny. A
3.1. IMPULSOVÉ V
TY A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ
187
to uº budeme mít dostate£né prost°edky k tomu, abychom nap°íklad pro gravita£ní, nebo elektrostatickou interakci vy°e²ili problém dvou t¥les kompletn¥, tj. nap°íklad nalezli trajektorii planety pohybující se kolem Slunce (Keplerovy zákony), nebo trajektorii nabité alfa-£ástice v poli jádra (rozptyl £ástic na jád°e a ú£inný pr·°ez). Poznamenejme, ºe zatímco problém dvou£ásticové izolované soustavy je pln¥ °e²itelný analyticky, tak°íkajíc tuºkou na papí°e , o problému t°í a více t¥les to neplatí. Tam je t°eba sáhnout k °e²ení numerickému. Pro p°ípad Slune£ní soustavy, která zahrnuje osm planet a mnoºství dal²ích t¥les, proto analytické °e²ení sch·dné není. Pro získání základní p°edstavy o ob¥hu jednotlivé planety kolem Slunce v²ak lze vliv ostatní t¥les ve slune£ní soustav¥ v první aproximaci zanedbat (pop°ípad¥ jej pozd¥ji zapo£íst pomocí tzv. poruchového po£tu tímto problémem se ov²em zabývat nebudeme). Na Obr. 3.7 je znázorn¥na dvou£ásticová izolovaná soustava tvo°ená t¥lesy (hmotnými body) o hmotnostech a
⃗rM
i rychlosti
⃗vm
a
⃗vM
m
a
M.
Jsou vyzna£eny polohové vektory
obou £ástic vzhledem k inerciální vztaºné soustav¥
⃗rm S.
[α, β], v n¥mº se £ástice pohybují Cm a CM . Vzájemné silové p·sobení je centrální a je popsáno silovým F⃗ (⃗r), kde ⃗r = ⃗rm − ⃗rM je polohový vektor £ástice m vzhledem k £ástici
Pohyb soustavy sledujeme v £asovém intervalu po k°ivkách polem
M.
z S
t= β
m
1 0 0 1
F
Cm
r t= α M rM
−F
t= α
rm
1 0 0 1
CM
t= β y
O
x Obr. 3.7: Dvou£ásticová izolovaná soustava Podle výsledk· z odstavce 2.5.2 je centrální silové pole konzervativní, existuje k n¥mu tedy potenciální energie
U (⃗r).
Této skute£nosti za chvíli s výhodou
vyuºijeme. Nejprve v²ak co nejvíce vyt¥ºíme z impulsových v¥t, resp. ze zákona zachování hybnosti a zákona zachování momentu hybnosti. Platí
m p⃗˙ 0 = p⃗˙ m + p⃗˙ M = m⃗am + M⃗aM = ⃗0, =⇒ ⃗aM = − ⃗am . M
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
188
Nej£ast¥j²í situací je studium pohybu £ástice k pozorovateli spojenému s £ásticí spojená s
M
M
m
(nap°íklad planeta) vzhledem
(nap°íklad Slunce). (Vztaºná soustava
je ov²em neinerciální.) Relativní zrychlení je
( ( m) m ) F⃗ mM ⃗a = ⃗am − ⃗aM = 1 + ⃗am = 1 + =⇒ ⃗a = F⃗ . M M m m+M mM m+M má poslední vztah formáln¥ tvar druhého Newtonova zákona pro £ástici o hmotnosti µ zvané , na niº
P°i ozna£ení p·sobí síla £ástice
m
redukovaná hmotnost soustavy
µ=
F⃗ .
Zrychlení této pomyslné £ástice odpovídá relativnímu zrychlení
vzhledem k
M.
D·sledkem druhé impulsové v¥ty je zákon zachování momentu hybnosti
⃗ℓ0 = ⃗rm × m⃗vm + ⃗rM × M⃗vM = konst. ⃗ Vyjád°íme moment hybnosti soustavy rovn¥º pomocí relativních veli£in, relativní polohy
⃗r
a relativní rychlosti
⃗v .
e²ením soustavy rovnic
⃗v = ⃗vm − ⃗vM
m⃗vm + M⃗vM = p⃗0 , vyjád°íme rychlosti hybnosti
⃗vm
a
⃗vM
p⃗0 : ⃗vm =
⃗v
a celkové (konstantní)
p⃗0 + M⃗v . m+M
(3.9)
pomocí relativní rychlosti
p⃗0 − m⃗v , m+M
⃗vm =
Pro celkový moment hybnosti soustavy pak dostaneme
⃗ℓ0 = ⃗rm × ⃗vm + ⃗rM × ⃗vM = m(⃗ p0 + M⃗v ) M (⃗ p0 − m⃗v ) + ⃗rM × = m+M m+M m⃗rm + M⃗rM mM = × p⃗0 + (⃗rm − ⃗rM ) × ⃗v , m+M m+M ⃗ℓ0 = ⃗r0 × p⃗0 + ⃗r × µ⃗v = ⃗r × µ⃗v . = ⃗rm ×
(3.10)
S , jejíº po£át = 0 se st°edem hmotnosti soustavy tvo°ené £ásticemi m a M , tj. s koncovým bodem vektoru ⃗ r0 (0). Pak je totiº ⃗r0 × p⃗0 = ⃗v0 t ×(m+M )⃗v0 = ⃗0.
Poslední rovnost platí p°i volb¥ takové inerciální vztaºné soustavy tek splývá v £ase
Vidíme, ºe se op¥t objevuje redukovaná hmotnost. Ze zákona zachování momentu hybnosti vyplývají d·leºité vlastnosti trajektorie £ástice £ástici
M.
Moment hybnosti
⃗ℓ0 = ⃗r × µ⃗v
m
vzhledem k
je konstantní, jeho sm¥r vzhledem k
(kterékoli) inerciální vztaºné soustav¥ se nem¥ní. Pevná proto z·stává i rovina tvo°ená vektory
⃗r
a
⃗v .
Pohyb £ástice
m
vzhledem k
M
je tedy pohybem ro-
plo²nou rychlost
vinným, její trajektorie je rovinná k°ivka. Pro velikost momentu hybnosti platí
ℓ0 = rv sin α,
⃗r a ⃗v . Zavedeme-li w ⃗ = 21 ⃗r × ⃗v , vidíme, ºe její p°edstavuje plochu opsanou pr·vodi£em ⃗ r £ástice m za jednotku £asu Obr. 2.1). Tato plocha je ov²em konstantní, nebo´ ⃗ ℓ0 = 2µw ⃗ = konst. kde
pohybu £ástice
m
α
je úhel mezi vektory
vzhledem k
M
vztahem
velikost
(viz téº
3.1. IMPULSOVÉ V
TY A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ Poznámka: Nap°íklad pro pohyb planety
m
kolem Slunce
189
M
jsme tak získali
£ást prvního Keplerova zákona (planeta obíhá kolem Slunce po rovinné k°ivce) a druhý Kepler·v zákon (plochy opsané pr·vodi£i planety za stejný £as jsou shodné). Zbývá pak jen odvodit zbytek prvního Keplerova zákona, tj. najít konkrétní tvar trajektorie planety, a t°etí Kepler·v zákon, který musí vyplývat z jejího parametrického vyjád°ení. Získáním parametrického vyjád°ení trajektorie planety vzhledem ke Slunci se budeme zabývat v p°íkladu 3.4. Pro dvou£ásticovou izolovanou soustavu platí také zákon zachování mechanické energie. Po£ítejme zm¥nu kinetické energie soustavy v £asovém intervalu
)
(
(
[α, β]
)
1 1 1 1 2 2 2 2 mvm (β) + M vM (β) − mvm (α) + M vM (α) = 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 = mvm (β) − mvm (α) + M vM (β) − M vM (α) . 2 2 2 2
∆Ek =
Uv¥domme si, ºe zm¥na kinetické energie £ástice se d¥je na úkor práce v²ech sil, které na £ástici p·sobí. V na²em p°ípad¥ je tedy zm¥na kinetické energie £ástice
m
dána prací síly
prací síly
−F⃗
F⃗
po k°ivce
po k°ivce
CM
∫
zm¥na kinetické energie £ástice
∫
Cm
CM
α
∫β
∫ F⃗ (⃗r(t))⃗v (t) dt =
C = Cm −CM
F⃗ (⃗r) d⃗r, C
α kde
naopak
F⃗ (⃗r(t) (⃗vm (t) − ⃗vM (t)) dt =
(−F⃗ (⃗r)) d⃗rM =
=
M
∫β
F⃗ (⃗r) d⃗rm +
δEk =
Cm ,
(odstavce 2.5.2 a 2.5.3).
m vzhledem k M . Její parametrické vyjá⃗r(t) = ⃗rm (t) − ⃗rM (t). Je-li silové pole F⃗ (⃗r)
je trajektorie £ástice
d°ení je dáno vektorovou funkcí £asu
konzervativní (centrální silové pole konzervativní je), pak jeho práce nezávisí na tvaru k°ivky, po které se p·sobi²t¥ síly energie
U (⃗r),
F⃗
pohybuje, a existuje potenciální
pro kterou platí
∫ −U (⃗r(β)) + U (⃗r(α)) =
F⃗ (⃗r) d⃗r. C
Nakonec dostáváme
(
) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 mvm (β) + M vM (β) +U (⃗r(β)) = mvm (α) + M vM (α) +U (⃗r(α)) =⇒ 2 2 2 2 1 1 2 mv 2 + M vM + U (⃗r) = konst. 2 m 2
zákon zachování mechanické energie Mechanickou energií
P°edchozí vztah p°edstavuje izolované soustavy.
energie a potenciální energie
(3.11) dvou£ásticové
soustavy rozumíme sou£et její kinetické
U (⃗r).
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
190
Poznámka: V²imn¥te si, ºe zatímco kinetická energie soustavy je sou£tem kinetických energií jednotlivých £ástic, potenciální energie je veli£inou charakterizující soustavu jeko celek - nelze ji roztrhnout na p°ísp¥vky p°íslu²né jednotlivým £ásticím. Souvisí s veli£inou
kon gura£ní energií soustavy
⃗r, která popisuje vzájemnou polohu £ástic
kon guraci soustavy. Proto se téº nazývá
.
Zákon zachování mechanické energie je pro výpo£ty velmi uºite£ný, ve tvaru (3.11) v²ak není výhodný. Obsahuje totiº rychlosti inerciální vztaºné soustav¥
S,
soustavy pomocí
rychlosti £ástic
vzájemné
⃗vm
a
⃗vM
£ástic vzhledem k
zatímco by bylo t°eba vyjád°it kinetickou energii
⃗v .
Rychlosti £ástic jsme v²ak jiº po-
mocí vzájemné rychlosti vyjád°ili ve vztahu (3.9). Sta£í proto do (3.11) dosadit. Dostaneme postupn¥
Ek =
=
1 m 2
(
p⃗0 + M⃗v m+M
)2
1 + M 2
(
p⃗0 − m⃗v m+M
)2 =
p20 1 mM 2 p20 1 + v = + µv 2 . 2(m + M ) 2 m + M 2(m + M ) 2
e se op¥t objevila redukovaná hmotnost, jist¥ uº není p°ekvapením. A není také p°ekvapením, ºe se kinetická energie formáln¥ rozpadla na dva p°ísp¥vky p20 1 2 kinetickou energii 2(m+M ) = 2 (m + M )v0 , kterou lze p°isoudit st°edu hmot1 2 nosti, a kinetickou energii µv , která p°íslu²í vzájemnému pohybu £ástic. 2 Zákon zachování mechanické energie dvou£ásticové izolované soustavy m·ºeme nyní p°epsat do tvaru obsahujícího pouze relativní veli£iny polohu rychlost
⃗v
£ástice
m
vzhledem k
1 mM 2 v + U (⃗r) = E0 = konst., 2m+M p°i£emº do konstanty
E0
⃗r
a
M: (3.12)
na pravé stran¥ jsme skryli i konstantní p°ísp¥vek
kinetickou energii st°edu hmotnosti soustavy.
Dvou£ásticová izolovaná soustava zákony zachování Zákon zachování hybnosti: Celková hybnost dvou£ásticové izolované soustavy
p⃗0
se s £asem nem¥ní,
m⃗vm + M⃗vM = p⃗0 ,
p⃗0
je konstantní vektor.
Zákon zachování momentu hybnosti: Celkový moment hybnosti
⃗ℓ0
dvou-
£ásticové izolované soustavy se s £asem nem¥ní,
⃗rm × m⃗vm + ⃗rM × M⃗vM = ⃗r0 × p⃗0 + ⃗r × µ⃗v = ⃗ℓ0 ,
⃗ℓ0
je konstantní vektor.
3.1. IMPULSOVÉ V
TY A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ
191
Zákon zachování mechanické energie: Mechanická energie dvou£ásticové izolované soustavy
E0
se s £asem nem¥ní,
1 mM 2 v + U (⃗r) = E0 , 2m+M
E0
je konstanta.
m a M , jejich rychlosti vzhledem k inerciální ⃗vM , vzájemná poloha a vzájemná rychlost jsou
Hmotnosti £ástic soustavy jsou vztaºné soustav¥ jsou ur£eny vektory
⃗r
a
⃗vm
a
⃗v .
P°íklad 3.4. Zákon zachování energie v gravita£ním poli. Uvaºujme o soustav¥ s gravita£ní interakcí, tj.
κmM F⃗g (⃗(r)) = − 2 r
( −
⃗r r
) ,
U (⃗r) = U (r) = −
κmM , r
viz vztahy (2.4) a (2.40). Zákon zachování mechanické energie pro takovou soustavu má podle (3.12) tvar
1 mM 2 κmM v − = E0 . 2m+M r
(3.13)
Tomuto zákonu by m¥la vyhovovat i situace, kdy se n¥jaký objekt £ástice o hmotnosti
m
M . P°ipomeneme-li si v²ak m v tíhovém poli Zem¥, jak jsme jej
pohybuje v gravita£ním poli Zem¥
zákon zachování mechanické energie £ástice
pouºívali t°eba na st°ední ²kole, uvidíme odli²nost. Pracovali jsme se vztahem
1 mv 2 + mgh = konst., 2
(3.14)
kde ve h°e v·bec není redukovaná hmotnost soustavy £ásticeZem¥ a potenciální energie je p°ímo úm¥rná vzdálenosti
h
£ástice od povrchu Zem¥. Který vztah je
tedy správný? A m·ºeme v·bec se st°edo²kolským vzorcem (3.14) pracovat? Ukáºeme, ºe se jej nemusíme vzdát, nebo´ je p°ibliºným vyjád°ením p°esn¥j²ího vztahu (3.13), p°i£emº pro dvojici £ásticeZem¥ je tato aproximace velice dobrá a pro praktické výpo£ty naprosto dosta£ující. Výraz pro redukovanou hmotnost soustavy m·ºeme vhodn¥ upravit a posoum ξ= M v okolí hodnoty =0:
dit první £leny jeho Taylorova rozvoje podle prom¥nné
ξ
µ=
( ) mM m m = ≈ m 1 − ξ + 2ξ 2 − · · · . m = m+M 1+ M 1+ξ
Zanedbáme-li v²echny £leny rozvoje v výjimkou nultého, tj. poloºíme-li µ ≈ m, m ξ = M . Ta je ov²em zcela zanedbatelná,
dopustíme se relativní chyby zhruba
vezmeme-li v úvahu n¥jakou typickou hmotnost objektu v blízkosti povrchu 24 Zem¥, t°eba m = 5 kg. Hmotnost Zem¥ je zhruba M = 5 · 10 kg, relativní chyba náhrady redukované hmotnosti p°ímo hmotností £ástice 10−24 .
m
je tedy °ádu
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
192
V²imn¥me si nyní potenciální energie. Vzdálenost £ástice
m
od st°edu Zem¥
vyjád°íme jako sou£et její vý²ky nad zemským povrchem a polom¥ru Zem¥,
r = R + h,
upravíme vhodn¥ výraz pro potenciální energii a op¥t pouºijeme h ξ = R , st°edem rozvoje pak = 0. Dostaneme
jeho Taylor·v rozvoj. Prom¥nnou bude pom¥r
ξ
hodnota
U (r) = −
) κmM 1 κmM ( κmM =− ≈ 1 − ξ + 2ξ 2 − · · · . r R 1+ξ R
Tentokrát zanedbáme £leny rozvoje s výjimkou nultého a prvního. Kdybychom pouºili jen nultý £len, jako jsme to ud¥lali u redukované hmotnosti, vy²la by potenciální energie konstantní a zákon zachování mechanické energie by byl vlivem velké chyby pouºité aproximace poru²en. V první aproximaci platí
U (r) ≈ −
(
κmM R
1−
h R
) =−
κmM κmM κmM + h=− + mgh, 2 R R R
κM κmM m·ºeme R2 je gravita£ní zrychlení u povrchu Zem¥. Výraz − R zahrnout do konstanty na pravé stran¥ zákona zachování mechanické energie.
kde
g =
Pouºitím obou aproximací nahrazení redukované hmotnosti hmotností
m
a p°ibliºného vyjád°ení potenciální energie dostaneme zákon zachování mechanické energie ve tvaru
1 mv 2 + mgh = konst. 2 Jednoduchý st°edo²kolský vzorec je opravdu jen aproximativním vyjád°ením p°esn¥j²í verze zákona zachování mechanické energie dvou£ásticové izolované
♠
soustavy.
P°íklad 3.5. Zp¥t ke Keplerovým zákon·m. N¥které záv¥ry obsaºené v Keplerových zákonech jsme v p°edchozích obecných úvahách o dvou£ásticové izolované soustav¥ získali bez jakéhokoli p°edpokladu o konkrétním vyjád°ení vzájemného silového p·sobení £ástic (s výjimkou p°edpokladu konzervativnosti), pouze na základ¥ impulsových v¥t, vztahu mezi kinetickou energií a prací sil p·sobících na £ástice, a samoz°ejm¥ p°edpokladu o izolovanosti soustavy. P°ipome¬me jedním ze záv¥r· byla skute£nost, ºe trajektorií £ástice
m
vzhledem k
M
je rovinná k°ivka, druhým pak Kepler·v
zákon ploch. Tyto výsledky jsou nezávislé na konkrétním typu konzervativní interakce
F⃗ ,
resp. odpovídající potenciální energie
U (⃗r).
Aplikujeme-li získané
obecné výsledky na dvou£ásticovou izolovanou soustavu s gravita£ní interakcí, dostaneme analytické vyjád°ení trajektorie planety kolem Slunce a z n¥j odvodíme zbývající tvrzení Keplerových zákon· pohyb planet po elipsách (obecn¥ pohyb t¥les slune£ní soustavy po kuºelose£kách) a pro p°ípad eliptických drah konstantnost podílu t°etí mocniny velké poloosy a druhé mocniny ob¥ºné doby. Protoºe je pohyb planety rovinný, m·ºeme zvolit soustavu sou°adnic tak, aby sou°adnicová rovina
xy
splývala s rovinou dráhy planety a osa
z
byla na tuto
3.1. IMPULSOVÉ V
TY A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ
193
rovinu kolmá a ukazovala sm¥r momentu hybnosti soustavy. Pro dal²í výpo£ty bude vhodné pouºít polárních sou°adnic
x = r cos φ, x˙ = r˙ cos φ − rφ˙ sin φ,
y = r sin φ,
z = 0,
y˙ = r˙ sin φ + rφ˙ cos φ,
z˙ = 0.
Do polárních sou°adnic p°evedeme jak zákon zachování momentu hybnosti, tak zákon zachování mechanické energie soustavy. Pro jednoduchost op¥t pouºijeme p°ímo hmotnosti £ástice
m místo redukované hmotnosti. Relativní chyba takové m . −6 . Platí M = 2, 5 · 10
aproximace bude tentokrát, nap°íklad pro Zemi,
( ) ⃗ℓ0 = m (0, 0, xy˙ − xy) ˙ = 0, 0, mr2 φ˙ ,
Ek =
ℓ0 = mr2 φ˙ =⇒ φ˙ =
ℓ0 , mr2
) 1 ( ) 1 ( 2 m x˙ + y˙ 2 + z˙ 2 = m r˙ 2 + r2 φ˙ 2 . 2 2
Zákon zachování mechanické energie má v polárních sou°adnicích tvat
1 κmM m(r˙ 2 + r2 φ˙ 2 ) − = E0 . 2 r Dosadíme-li do n¥j za
φ˙ =
ℓ0 mr 2 ze zákona zachování momentu hybnosti, dosta-
neme
) ℓ2 κmM r˙ 2 + 20 2 − = m r r ( ) κmM ℓ2 1 2 mr˙ + − + 02 = 2 r 2mr m 2
(
E0 , E0 .
(3.15)
Poslední vztah má zajímavou interpretaci. P°edstavuje zákon zachování mechanické energie pro pomyslnou £ástici, jejíº pohyb je v závislosti na £ase popsán jedinou sou°adnicí
r = r(t) a odehrává se v jakémsi
efektivním potenciálovém
poli sloºeném z gravita£ní potenciální energie a dodate£ného £lenu, konkrétn¥
Uef (r) = −
κmM ℓ2 + 0 2. r 2mr
Schematický graf této funkce je na Obr. 3.8.
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
194
Uef (r)
E0 0
rmin
E=0 0 E0 0
rmax r
Obr. 3.8: Efektivní potenciální energie planety v poli Slunce 1 2 2 mr˙ je vºdy nezáporný, m·ºe se pohyb uskute£nit jen pro takové hodnoty vzdálenosti r , pro
Obrázek je z fyzikálního hlediska velmi názorný. Protoºe výraz které je nezáporný výraz
E0 − Uef (r). Je-li celková mechanická energie soustavy m od M leºet v ur£itém intervalu [rmin , rmax ].
záporná, musí vzdálenost £ástice Trajektorií £ástice hodnota
E0
m
je v takovém p°ípad¥ uzav°ená kuºelose£ka elipsa. Je-li
rovna minimální hodnot¥ efektivní potenciální energie, je p°ípustná
pouze jediná vzdálenost, ozna£me ji
R.
V tomto p°ípad¥ se jedná o rovnom¥rný
pohyb po kruºnici, dost°edivá síla je realizována silou gravita£ní,
mvk2 κmM = =⇒ vk = R R2 Získaná rychlost
vk
se nazývá
kruhová
√
κM . R
. Pokud bychom uvaºovali o um¥lé druºici
Zem¥, která se má pohybovat po kruhové dráze t¥sn¥ nad povrchem Zem¥, −11 dostaneme (pro hodnoty κ = 6, 67 · 10 N m2 kg−2 , M = 5, 97 · 1024 kg, . R = 6, 37 · 106 ) vk = 7, 9 · 103 m s−1 = 8 km s−1 . V daném konkrétním p°ípad¥ nazýváme tuto hodnotu kruhové rychlosti
první kosmickou rychlostí
.
Na základ¥ jednoduchých fyzikálních úvah, které jsme práv¥ provedli, m·-
ℓ0 hodnotu R Uef,min , aniº bychom
ºeme pro speciální p°ípad kruhového pohybu ur£it pro zadané a také minimální hodnotu efektivní potenciální energie vy²et°ovali pr·b¥h funkce
Uef (r).
ℓ0 = mvR, =⇒ R =
ℓ20 , κm2 M
a
Platí
κmM 1 mv 2 − = Uef,min =⇒ 2 R v=
κmM , ℓ0
Uef,min = −
κ2 m3 M 2 . 2ℓ20
3.1. IMPULSOVÉ V
TY A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ Pro
E0 ≥ 0
195
je mnoºina p°ípustných vzdáleností omezená pouze zdola, vzdále-
rmin do nekone£na, m pohybuje vzhledem k M , jiº není pro E0 > 0 hyperbola. Pro E0 = 0 má
nost tedy m·ºe nabývat v²ech hodnot od jistého minima
r ∈ [rmin , ∞).
K°ivka, po které se £ástice
uzav°ená. Pro
E0 = 0
je to parabola,
zákon zachování mechanické energie tvar
1 κmM mv 2 − = 0. 2 r Efektivní potenciální energie se anuluje pro
Uef (r1 ) = 0 =⇒ − Pro rychlost ve vzdálenosti
r1
κmM ℓ2 ℓ20 R + 0 2 =⇒ r1 = = . r1 mr1 κm2 M 2 platí
√ √ κmM κmM 2 1 2 mvp − =⇒ vp = = vk 2. 2 r1 ℓ0 Rychlost
vp
se nazývá
parabolická
. Má jasný fyzikální význam, vyplývající
z grafu efektivní potenciální energie na Obr. 3.8. Je-li p°i nekone£n¥ daleko od £ástice Ve vzdálenosti
r1 ,
M,
E0 = 0
£ástice
m
má nulovou kinetickou i potenciální energii.
kdy je nulová efektivní potenciální energie je nejblíºe k £ás-
tici M , potenciální energie je záporná a má nejv¥t²í moºnou absolutní hodnotu κmM 1 2 r1 . Ta je kompenzována nejv¥t²í moºnou kinetickou energií 2 mvp . Vzhledem k platnosti zákona zachování mechanické energie je z°ejmé, ºe aby potenciálníé κmM energie vzrostla z hodnoty − na nulu, tj, aby se £ástice m vzdálila od M do r1 nekone£na a odpoutala se z jejího vlivu, musí kinetická energie sníºit z hodnoty 1 2 2 mvp na nulu. Takovou rychlost je t°eba ud¥lit nap°íklad um¥lé druºici Zem¥, aby se vzdálila z dosahu jejího gravita£ního pole a mohla cestovat po Slune£ní
druhá kosmická rychlost t°etí kosmická
soustav¥. Její hodnotu snadno ur£íme z jiº d°íve stanovené první kosmické rych. −1 losti, vp = 11, 2 km s a n¥kdy ji nazýváme . Rychlost
rychlost
pot°ebná pro to, aby objekt opustil slune£ní soustavu, se nazývá
. Zkuste si ji dosazením p°íslu²ných £íselných hodnot do p°edchozích
vypo£ítat. P°ejd¥me k °e²ení diferenciální rovnice (3.15). Je to rovnice se separovatelnými prom¥nnými:
√ r˙ =
2 (E0 − Uef (r)) ⇒ √ m
√ 2 m
r˙ ( E0 − − κmM + r
ℓ2 0 2mr 2
) = 1.
Abychom rovnou mohli dostat polární rovnici trajektorie, budeme hledat vzdálenost funkci úhlu
φ.
Uváºením platnosti vztahu
funkce) a op¥tovným vyjád°ením
φ˙
r(t) ˙ = r′ (φ)φ(t) ˙
√
2 m
??)
ze zákona zachování momentu hybnosti (
nakonec diferenciální rovnici
√
ℓ0 r′ mr 2 ( κmM E0 − − r +
ℓ2 0 2mr 2
r
jako
(pravidlo pro derivování sloºené
) = 1.
získáme
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
196
P°i integraci tohoto vztahu se standardn¥ postupuje pomocí substituce
w = r−1
u= √
a poté
( ) κm2 M w− . ℓ20 2mE0 ℓ20 + κ2 m4 M 2 ℓ20
Úpravy jsou sice nep°íjemné, ale jsou rutinní. Pokuste se o n¥ podrobn¥ op¥t v rámci cvi£ení, zde uvedeme jen n¥které mezivýsledky.
−√
−
√
( 2mE0 − ℓ20 w2 −
2κm2 M ℓ2 0
w+
κ2 m4 M 2 ℓ4 0
ℓ40 w′
√ 1−
2mE0 ℓ20 + κ2 m4 M 2
ℓ0 w ′
ℓ4 0 2 4 2 2mE0 ℓ2 0 +κ m M
) +
(
κm2 M ℓ2 0
w−
)2
u′ −√ = 1 =⇒ arccos u 1 − u2 ) ( 2 2 ℓ0 κm M w− arccos √ ℓ20 2mE0 ℓ20 + κ2 m4 M 2 (
Po£átek m¥°ení úhlu
φ
=
1
=
1
=
φ + C,
=
φ+C
κ2 m4 M 2 ℓ2 0
1 κm2 M − r ℓ20
√
) =
2mE0 ℓ20 + κ2 m4 M 2 ℓ20
m·ºeme pro jednoduchost zvolit tak, aby konstanta
C
byla nulová.
Dále si uv¥domme, ºe dráha planety bude eliptická v p°ípad¥, ºe p°ípustné p°ípustné hodnoty její vzdálenosti od Slunce leºí v omezeném intervalu odpovídá záporná hodnota mechanické energie
p= p°i£emº je vid¥t, ºe platí
ε < 0,
ℓ20 , κm2 M
E0 . √
ε=
(rmin , rmax ).
Tomu podle
Obr. 3.8
Ozna£íme-li
1−
2|E0 |ℓ20 , κ2 m3 M 2
dostaneme
p = 1 + ε cos φ. r Dostali jsme polární rovnicí elipsy (viz literaturu), jejíº kartézská rovnice je
Pouºitím (hodnota
(x + e)2 y2 + 2 = 1. 2 a b vztah· pro charakteristiky elipsy, tj. poloosy a, b, excentricitu e = εa p > 0, pro kterou bod (−e, p) leºí na elipse), zji²´ujeme, poloosy této a=
κmM , 2|E0 |
b= √
ℓ0 2m|E0 |
a parametr
p
elipsy jsou
.
Slunce stojí v levém ohnisku této elipsy, které splývá s po£átkem soustavy sou°adnic. Zbývá je²t¥ odvodit t°etí Kepler·v zákon. Ob¥ºná doba planety kolem Slunce je podílem obsahu elipsy
πab
a plo²né rychlosti planety
T =
w=
ℓ0 , 2m
2πam ℓ0 2mπab 2πa3/2 m √ = , = √ ℓ0 ℓ0 2m|E0 | κm2 M T2 =
4π 2 a3 a3 κM =⇒ = . κM T2 4π 2
Získali jsme t°etí Kepler·v zákon. Podíl t°etí mocniny velké poloosy eliptické trajektorie planety a druhé mocniny její ob¥ºné doby je pro v²echny planety slune£ní soustavy stejný a závisí krom¥ univerzálních konstant pouze na hmotnosti Slunce.
cos (φ + C).
3.1. IMPULSOVÉ V
TY A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ
197
Záv¥ry týkající se pohybu planet kolem Slunce, které jsme p°ed chvílí u£inili, samoz°ejm¥ platí pro jakoukoli dvou£ásticovou izolovanou soustavu s gravita£ní interakcí. Vºdy je jen t°eba zváºit, jaké aproximace s ohledem na pom¥r hmotností £ástic soustavy si m·ºeme dovolit. P°íkladem dobré vyuºitelnosti výsledk·, jak jsme uº vid¥li, je t°eba situace, kdy se n¥jaká druºice pohybuje kolem Zem¥. M·ºe jít o M¥síc, nebo o druºici um¥lou. Uv¥domme si je²t¥, ºe °adu informací o pohybu soustavy jsme na£erpali z grafu efektivní potenciální energie
Uef (r),
aniº bychom podrobn¥ pro²et°ovali její pr·b¥h, nebo °e²ili pohybovou rovnice £ástice
m
vzhledem k
♠
M.
P°íklad 3.6. Sráºky £ástic. Typickou úlohou související s zákonitostmi pohybu dvou£ásticové izolované soustavy je úloha o sráºkách £ástic. P°edstavme si ji jako t°eba v podob¥ hry kule£níku modi kované tak, ºe namísto dvou koulí stejných hmotností, z nichº jedna zpo£átku stojí, se budou sráºet koule r·zných po£áte£ních hmotností a
m2
a po£áte£ních rychlostí
⃗v1
a
⃗v2 .
p°ímá st°edová
m1
Zjednodu²ením oproti b¥ºné kule£níkové
h°e pak bude p°edpoklad, ºe sráºka je
a
, tj. rychlosti
⃗v1
a
⃗v2
jsou rovnob¥ºné a leºí na spojnici st°ed· koulí. (P°ipus´me, ºe p°i tomto zjednodu²ení by kule£níková hra byla nudná, poslouºí nám v²ak alespo¬ pro zcela základní p°edstavu o problematice sráºek.) Úkolem je zjistit rychlosti koulí
⃗u1
a
⃗u2
bezprost°edn¥ po sráºce. Námitku, ºe
soustava tvo°ená koulemi není izolovaná je t°eba uznat koule jsou v kontaktu s podloºkou a se Zemí. Tíhová síla je v²ak kompenzována silou tlakovou a ºádná z nich nekoná p°i pohybu koulí práci. Statická t°ecí síla, jíº podloºka na koule rovn¥º p·sobí, práci také nekoná, valivý odpor m·ºeme v krati£kém £asovém intervalu, kdy sráºka probíhá, zanedbat, stejn¥ jako odpor prost°edí. I kdyº tedy není soustava izolovaná, platí v ní jak zákon zachování hybnosti (v²echny vn¥j²í síly p·sobící na soustavu se bu¤ kompenzují, nebo jsou zanedbatelné, nebo je jejich p·sobení tak krátkodobé, ºe nezp·sobí významnou zm¥nu hybnosti), tak zákon zachování momentu hybnosti (momenty hybnosti vzhledem ke st°edu hmotnosti soustavy jsou p°i p°ímé st°edové sráºce nulové). Jde nyní o to, zda se zachovává mechanická energie soustavy. Pokud je podloºka, po které se koule pohybují, vodorovná, je potenciální energie p°i vhodné volb¥ nulové hladiny trvale nulová a °e²íme tedy jen otázku zachování kinetické energie soustavy. Odpov¥¤ záleºí na typu sráºky z hlediska práce vykonané vnit°ními silami v soustav¥ (t¥mito silami na sebe navzájem p·sobí koule v £asovém intervalu, v n¥mº probíhá sráºka). V zásad¥ t°ídíme sráºky na
•
pruºné
, p°i nichº je výsledná práce vnit°ních sil nulová (jde nap°íklad o
pruºné síla) a kinetická energie soustavy se p°i sráºce nezm¥ní,
•
nepruºné
, kdy nenulová práce vnit°ních sil zp·sobí pokles celkové kinetické
energie soustavy. Zvlá²tním p°ípadem nepruºné sráºky je sráºka
dokonale nepruºná
, p°i níº dojde
ke spojení t¥les, která se tak nakonec pohybují spole£nou rychlostí.
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
198
Zabývejme se nejprve pruºnou sráºkou. Pro ni platí
1 1 1 1 m1 v12 + m2 v22 = m1 u21 + m2 u22 . 2 2 2 2
m1⃗v1 + m2⃗v2 = m1 ⃗u1 + m2 ⃗u2 , Protoºe je sráºka p°ímá, m·ºeme osu
x soustavy sou°adnic zvolit podél spojnice
st°ed· koulí (a sm¥r· v²ech rychlostí) a místo s vektory po£ítat vºdy s jejich jedinou sloºkou -
x-ovou. e²ením vý²e uvedené soustavy rovnic získáme výsledné
rychlosti. Úprava rovnic:
m1 (v1 − u1 ) = m1 (v12 − u21 ) =
m2 (u2 − v2 ), m2 (u22 − v22 ),
m1 (v1 − u1 ) = v1 + u1 =
m2 (u2 − v2 ), u2 + v2
u1
=
u2
=
m1 − m2 2m2 v1 + v2 , m1 + m2 m1 + m2 2m1 m1 − m2 v1 − v2 . m1 + m2 m1 + m2
Pro dokonale nepruºnou sráºku platí
m1⃗v1 + m2⃗v2 = (m1 + m2 )⃗u =⇒ ⃗u =
m1⃗v1 + m2⃗v2 m1 + m2
P°íkladem dokonale nepruºné sráºky je sráºka st°ely s balistickým kyvadlem (viz Obr. 3.9).
g
l
l m+M M m v0 Obr. 3.9: Balistické kyvadlo
ϕ0
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES Kyvadlo je bedna o hmotnosti
M
199
ℓ
zav¥²ená na provaze délky
v homogenním
gravita£ním poli Zem¥. P°edpokládáme, ºe délka provazu je stálá (provaz není pruºný). Do bedny vlétne st°ela rychlostí o maximální úhel
φ0 .
⃗v0
a uvázne v ní. Kyvadlo se vychýlí
Úkolem je ur£it rychlost st°ely.
Sráºka je dokonale pruºná a platí p°i ní zákon zachování hybnosti
m⃗v0 + M ⃗0 = (m + M )⃗v , kde
⃗v
nezachovává
je spole£ná rychlost kyvadla se st°elou. Samoz°ejm¥, kinetická energie
soustavy p°i této sráºce se
,
1 1 mv 2 ̸= (m + M )v 2 . 2 0 2 P°i kmitech kyvadla platí zákon zachování mechanické energie
1 (m + M )v 2 = (m + M )gℓ(1 − cos φ0 ). 2 e²ením soustavy rovnic dostaneme
v0 =
m+M√ 2gℓ(1 − cos φ0 ). m
Snadno také ur£íme energiovou ztrátu práci
A vykonanou odporovými silami
(vnit°ní síly soustavy) p°i brzd¥ní st°ely v bedn¥. Platí
A=
1 1 1 M mv02 − (m + M )v 2 = mv02 , 2 2 2 m+M
P°i velkém pom¥ru hmotností kyvadla a st°ely gie vysoká.
A 1 2 2 mv0
=
M . m+M
M/m je ztráta mechanické ener♠
3.2 Rovnováha a pohyb tuhých t¥les
Tuhé t¥leso, a´ jiº s diskrétním, nebo spojitým rozloºením hmotnosti je vd¥£ným modelem umoº¬ujícím nejen dob°e pochopit impulsové v¥ty, ale také je aplikovat v °ad¥ praktických situací, kdy se vlastnosti studovaných mechanických soustav modelu tuhého t¥lesa blíºí. Jedná se nap°íklad o pohyb setrva£ník·, £ástí stroj· a technických za°ízení obecn¥, statickou rovnováhu objekt· (stavby a jejich £ásti), apod. O tuhém t¥lese jsme se zmínili v odstavci 1.1.2, nyní jeho de nici stru£n¥ zrekapitulujeme.
Tuhým t¥lesem s diskrétním rozloºením hmotnosti {m , ⃗r } i
i ,
i = 1, . . . , N
ro-
zumíme soustavu £ástic, jejichº vzájemné vzdálenosti jsou s £asem nem¥nné, tj.
|⃗ri − ⃗rj | = konst. pro libovolnou dvojici index·
i
a
j.
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC Tuhým t¥lesem se spojitým rozloºením hmotnosti 200
rozumíme takové t¥leso, pro
n¥º existuje vztaºná soustava, v níº je hustota t¥lesa nezávislá na £ase, tj.
ϱ(⃗r),
⃗r
kde
ϱ=
pevné v t¥lese
je polohový vektor bodu v t¥lese vzhledem k této vztaºné soustav¥.
Hovo°íme o vztaºné soustav¥
.
Obecný pohyb tuhého t¥lesa lze vºdy popsat jako sloºení £ist¥ transla£ního pohybu, p°i n¥mº se v²echny £ástice, resp. objemové elementy pohybují stejnou rychlostí
⃗v (t),
a £ist¥ rota£ního pohybu kolem pevné osy, resp. kolem pevného
bodu, p°i n¥mº lze pohyb kaºdé £ástice popsat pomocí úhlové rychlosti
ω ⃗ (r)
stejné pro v²echny £ástice. (Situace je obdobná jako v odstavci 1.4, kdy jsme pohyb jedné vztaºné soustavy v·£i druhé také rozkládali na £ist¥ transla£ní a £ist¥ rota£ní. Vztaºná soustava p°itom m·ºe reprezentovat tuhé t¥leso.) V tomto odstavci se budeme zabývat mechanikou tuhých t¥les postupn¥ od nejjednodu²²ích situací, kdy je tuhé t¥leso vzhledem ke zvolené vztaºné soustav¥ v klidu (statická rovniváha t¥les) po nejsloºit¥j²í p°ípad rotace setrva£níku kolem pevného bodu. Ur£itý mezistupe¬ p°edstavuje rotace tutého t¥lesa kolem pevné osy. Tento p°ípad pohybu je velmi názorný a p°es svou jednoduchost p°iná²í informace podstatné pro hlub²í pochopení problematiky pohybu t¥les. ist¥ transla£ním pohybem tuhého t¥lesa se zvlá²´ zabývat nebudeme jedná se o mimo°ádn¥ jednoduchou situaci, kdy sta£í studovat pouze pohyb st°edu hmotnosti t¥lesa. Ten zastupuje pohyb v²ech £ástí t¥lesa a °ídí se první impulsovou v¥tou.
3.2.1
Rovnováha tuhých t¥les
P°edpokládejme, ºe tuhé t¥leso sledujeme v jisté inerciální vztaºné soustav¥. Zajímáme se o situace, kdy je t¥leso (a tedy kaºdá jeho £ást) vzhledem k této
podmínek statické rovnováhy silová momentová
vztaºné soustav¥ v klidu. Nutným, i kdyº nikoli posta£ujícím poºadavkem pro zaji²t¥ní klidu t¥lesa je spln¥ní
, vycházejících z
poºadavku nem¥nnosti celkové hybnosti a celkového momentu hybnosti t¥lesa. Nutnými podmínkami statické rovnováhy jsou proto váha
F⃗ ext = ⃗0, kde
F⃗ ext ,
resp.
⃗ ext M
a
⃗ ext = ⃗0, M
rovno(3.16)
je výslednice vn¥j²ích sil p·sobících na t¥leso, resp. jejich
výsledný moment. Pro t¥leso s diskrétním, resp. spojitým rozloºením hmotnosti lze podmínky (3.16) zapsat podrobn¥ji takto:
K ∑ N ∑ γ=1 i=1 resp.
ext F⃗γi = ⃗0,
K ∑ N ∑
ext ⃗ γi M =
γ=1 i=1
∫
i=1
⃗ri ×
K ∑
ext F⃗γi = ⃗0,
γ=1
∫ ⃗ ext (⃗r, t) dt = ⃗0. ⃗r × M
F⃗ ext (⃗r, t) dt = ⃗0, V
N ∑
V
Integra£ním oborem v druhé sad¥ vztah· je objem t¥lesa
V.
Praktické pouºití
podmínek rovnováhy nejlépe ukáºeme na jednoduchých p°íkladech.
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES
201
P°íklad 3.7. Rovnováha tuhých t¥les jednoduchý ºeb°ík. Kaºdý jist¥ n¥kdy zkou²el op°ít ºeb°ík o st¥nu a moºná se setkal se situací, kdy ºeb°ík sklouzl po podlaze a po st¥n¥ a spadl. Zku²enost °íká, ºe taková situace nastane, je-li úhel
θ,
který svírá ºeb°ík s podlahou p°íli² velký. A nikdo by se
jist¥ nepokou²el op°ít ºeb°ík o kluzkou st¥nu, kdyby i podlaha byla kluzká (nap°íklad ledová plocha). Zku²enost totiº op¥t napovídá, ºe by se to nepoda°ilo. Dokáºeme tyto situace vysv¥tlit? Je t°eba si uv¥domit, jaké síly p·sobí na ºeb°ík op°ený a st¥nu. Pom·ºe obrázek Obr. 3.10. V jeho levé £ásti jsou zakresleny síly
m stojící na kluzké podlaze a op°ený a kluzkou m⃗g umíst¥ná ve st°edu hmotnosti ºeb°íku (pro ⃗ 1 kolmá je st¥n¥ a jeho délky), tlaková síla st¥ny N
p·sobící na ºeb°ík o hmotnosti
st¥nu. P·sobí na n¥j tíhová síla homogenní ºeb°ík v polovin¥ tlaková síla podlahy
⃗2 N
kolmá k podlaze. Takový ºeb°ík bychom museli p°idr-
ºovat dal²í silou, nap°íkad
F⃗ ,
která by kompenzovala tlakovou sílu st¥ny. Jinak
by nebylo moºné docílit silové rovnováhy.
y
y N1
T1
N1
l
l
mg
mg
N2 Θ
F
N2 Θ
x O
z
z
x O
T2
Obr. 3.10: Statická nerovnováha a rovnováha ºeb°íku
V pravé £ásti obrázku pomáhají ºeb°ík udrºet v rovnováze t°ecí síly
T⃗1
a
T⃗2 ,
jimiº na ºeb°ík p·sobí st¥na a podlaha. Pokusme se pro situaci vlevo ur£it pro zadaný úhel
θ
p°ídavnou sílu
F⃗ .
Momenty sil m·ºeme vyjád°it vzhledem
k libovolnému vztaºnému bodu pevnému v dané inerciální vztaºné soustav¥. Zvolme jej tak, aby po£ítání bylo co nejjednodu²²í, tj. aby co nejvíce moment· sil bylo v·£i n¥mu nulových. Tuto vlastnost má nap°íklad bod
O, v n¥mº p·sobí
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
202
síly
⃗2 N
a
F⃗ ,
jejich momenty vzhledem k vodu
O
jsou nulové. Podmínky silové
a momentové rovnováhy mají tvar
⃗1 + N ⃗ 2 + F⃗ = ⃗0, m⃗g + N
⃗ m⃗g + M⃗⃗ + M ⃗ ⃗ +M ⃗ ⃗ = ⃗0, M N1 N2 F
Ve sloºkách platí
⃗ 1 = (N1 , 0, 0), N ⃗ 2 = (0, N2 , 0), F⃗ = (−F, 0, 0), m⃗g = (0, −mg, 0), N ) ( ⃗ ⃗ = (0, 0, −N1 ℓ sin θ) , ⃗ m⃗g = 0, 0, mg ℓ cos θ , M M N1 2 ⃗ ⃗ = (0, 0, 0), M N2
⃗ ⃗ = (0, 0, 0). M F
Podmínky rovnováhy ve sloºkách tak mají tvar
N1 − F −mg + N2
= 0, = 0,
ℓ mg cos θ − N1 ℓ sin θ 2
= 0.
(3.17)
Z rovnic (3.17) je vid¥t, ºe pokud bychom na ºeb°ík nep·sobili dodate£nou silou
F⃗ ,
mohla by být první z rovnic spln¥na jen pro
N1 = 0.
Pak by ov²em nemohla
být spln¥na t°etí rovnice. Bez p·sobení dodate£né síly nem·ºeme situaci v levé £ásti obrázku Obr. 3.10 v·bec realizovat. Z rovnic (3.17) m·ºeme velikost dodate£né síly (umíst¥né v bod¥ ur£ení tlakové síly
O
a vodorovné) snadno zjistit, snadné je i
N2 : F =
mg mg = cotg θ, 2 tg θ 2
N2 = mg.
P°edchozí vztahy jsou velmi názorné. Tlaková síla sílu tíhovou, dodate£ná
⃗ síla F
⃗2 N
musí stále kompenzovat
má pr·b¥h kotangenty, tj. klesající funkce úhlu
θ.
Op°ít ºeb°ík pod velmi malým úhlem θ je skoro nemoºné pot°ebovali −2 bychom k tomu velikou sílu. Nap°íklad pro m = 5, 0 kg, g = 9, 8 m s a θ o o o o o postupn¥ 5 , 20 , 45 , 60 a 85 pot°ebujeme p·sobit silou 560 N, 135 N, 49, 0 N, 28, 3 N, 4, 29 N. Pro θ = 90o je F = 0 N ºeb°ík by mohl sám stát ve svislé poloze. Taková rovnováha by ov²em nebyla stabilní, p°i sebemen²ím výkyvu, tj. p°i jakkoli malé zm¥n¥ úhlu
θ
by ºeb°ík spadl.
Situace v pravé £ásti obrázku zahrnuje také statické t°ecí síly. M·ºeme se proto pokusit najít podmínky rovnováhy ºeb°íku bez dodate£né síly
F⃗ . Ve vektorovém
tvaru jsou následující:
⃗1 + N ⃗ 2 + T⃗1 + T⃗2 = ⃗0, m⃗g + N
⃗ m⃗g + M⃗⃗ + M ⃗ ⃗ +M ⃗⃗ +M ⃗ ⃗ = ⃗0, M N1 N2 T1 T2
ve sloºkách pak
N1 − T2 −mg + N2 + T1
= =
0, 0,
ℓ mg cos θ − N1 ℓ sin θ − T1 ℓ cos θ 2
=
0 =⇒ mg − 2T1 − 2N1 tg θ.
(3.18)
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES V této soustav¥ t°í rovnic je v²ak p¥t neznámých,
203
N1 , N2 , T1 , T2
a
tg θ.
V této
podob¥ má soustava nekone£n¥ mnoho °e²ení. Vyjád°íme je t°eba pomocí
T2 .
tg θ
a
Dostaneme
N1 N2 T1
= T2 , 1 = mg + T2 tg θ, 2 1 = mg − T2 tg θ. 2
(3.19)
e²ení je t°eba omezit dal²ími podmínkami. T°ecí síly jsou totiº statické, jejich nejv¥t²í p°ípustná velikost je proto dána p°íslu²nou tlakovou silou a statickým koe cientem t°ení (viz odstavec 2.4.1). Ozna£íme-li statický koe cient t°ení mezi ºeb°íkem a st¥nou, resp. podlahou,
fs,1 ,
T1 ≤ N1 fs,1 ,
resp
T2
dosadíme
N1
platí nerovnosti
T2 ≤ N2 fs,2 .
Dosadíme-li do první z obou nerovností za místo
fs,2 ,
T1
ze t°etí rovnice soustavy (3.19),
a vyuºijeme druhé nerovnosti, dostaneme
1 mg mg − N1 tg θ ≤ N1 fs,1 =⇒ N1 ≥ . 2 2(fs,1 + tg θ) Vynásobením druhé rovnice soustavy (3.19) koe cientem
fs,2
a vyuºitím druhé
z vý²e uvedených nerovností získáme postupn¥
N2 fs,2 =
1 1 2 tg θ =⇒ mgfs,2 + T2 fs,2 tg θ ≤ mgfs,2 + N2 fs,2 2 2 N2 fs,2 (1 − fs,2 tg θ) ≤
1 mgfs,2 . 2
Celkov¥ pak
mg mg fs,2 1 − fs,1 fs,2 ≤ N1 ≤ N2 fs,2 ≤ =⇒ ≤ tg θ 2(fs,1 + tg θ) 2(1 − fs,2 tg θ) 2fs,2 pro
1 − fs,2 tg θ > 0. Naproti tomu v p°ípadech, kdy 1 − fs,2 tg θ ≤ 0, je nerovN2 fs,2 (1 − fs,2 tg θ) ≤ 12 mgfs,2 spln¥na vºdy, a proto jsme omezeni pouze
nost
podmínkou
1 ≤ tg θ < ∞. fs,2 Protoºe vºdy platí
1−fs,1 fs,2 2fs,2
≤
1 fs,2 , je úhel
θ
ve výsledku omezen podmínkou
1 − fs,1 fs,2 1 − fs,1 fs,2 π ≤ tg θ < ∞ =⇒ arctg ≤θ< . 2fs,2 2fs,2 2 Protoºe koe cienty t°ení jsou kladné, lze poºadované nerovnosti vºdy pro n¥jaký interval úhl·
θ
splnit. Dokonce je lze splnit i pro
fs,1 = 0.
eb°ík lze ke st¥n¥
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
204
p°istavit vºdy, je-li nenulový koe cient statického t°ení mezi st¥nou a podlahou. V tabulkách m·ºeme najít hodnoty koe cient· statického t°ení pro r·zné kombinace materiál·. eb°ík bývá v¥t²inou d°ev¥ný, podlaha a st¥ny v n¥kterých p°ípadech také. Pr·m¥rná hodnota koe cientu statického t°ení uvád¥ná v tabulkách pro kombinaci d°evod°evo je 0,65. Pro p°ípustný interval úhl·
θ
pak
vychází nerovnost
1 − 0, 652 < tg θ < ∞ =⇒ 0, 45 < tg θ < ∞ =⇒ 24o < θ < 90o . 2 · 0, 65 Úhel sklonu ºeb°íku m·ºe být v principu i rovný
90o ,
rovnováha v²ak op¥t
♠
nebude stabilní, obdobn¥ jako v p°ípad¥ bez t°ení.
V souvislosti s p°edchozím p°íkladem nás m·ºe napadnout je²t¥ jeden problém: Volba vztaºného bodu pro výpo£et moment· sil je libovolná. Výsledný moment v²ech vn¥j²ích sil p·sobících na t¥leso musí být v rovnováze nulový vzhledem ke kaºdému vztaºnému bodu pevnému v interciální soustav¥. R·znými výb¥ry vztaºných bod· bychom tedy mohli dostat °adu r·zných rovnic pro rovnováhu moment·. Pro hledané veli£iny tedy m·ºeme získat libovoln¥ mnoho rovnic. Není to p°ekáºka? Jist¥ hned dokáºeme odpov¥d¥t tyto rovnice budou závislé. ′ Ukáºeme to obecn¥. Zvolme dva vztaºné body O a O , jejichº vzájemná poloha ⃗ ′=R ⃗ . Podle ozna£ení, které jsme pouºívali v odstavci 3.1, je dána vektorem OO
ext γ -tá £ástice okolí na i−tou £ástici t¥lesa silou Fiγ , γ = 1, , 2, . . . , K , i = 1, 2, . . . , N . Polohový vektor p·sobi²t¥ této síly vzhledem k bodu O ozna£me jako obvykle ⃗ ri , polohový vektor téhoº p·sobi²t¥ vzhledem k O′ jako ⃗ri′ . Platí
p·sobí
⃗ ⃗ri = ⃗ri′ + R. Výsledný moment vn¥j²ích sil vzhledem k bodu ′ ⃗ ext )′ . Platí bodu O pak (M
⃗ ext = M
N ∑ i=1
⃗ri ×
K ∑ γ=1
ext F⃗iγ =
N ∑
⃗ri′ ×
i=1
K ∑
O
ozna£me
ext ⃗× F⃗iγ +R
γ=1
⃗ ext , M
N ∑ K ∑
vzhledem k
ext F⃗iγ .
i=1 γ=1
Vzhledem k poºadavku silové rovnováhy je sou£et v²ech vn¥j²ích sil p·sobících na t¥leso, a tedy druhý s£ítanec v p°edchozím výrazu, nulový. První s£ítanec ′ ⃗ ext )′ = p°edstavuje moment v²ech vn¥j²ích sil vzhledem k bodu O , platí tedy (M ext ⃗ . M
P°íklad 3.8. Rovnováha tuhých t¥les dvojitý ºeb°ík. Pro procvi£ení je²t¥ jeden p°íklad, tentokrát se ²ta emi. Homogenní dvojitý ºeb°ík délky ní svírá úhel
ℓ o θ.
celkové hmotnosti
2m
stojí n vodorovné podlaze tak, ºe v s
Ramena ºeb°íku jsou spojena provazem uchyceným v jejich
st°edech. Na levém rameni ºeb°íku stojí £lov¥k ve vzdálenosti £tvrtiny délky ramene od jeho dolního konce. T°ení mezi ºeb°íkem a podlahou je zanedbatelné. Situaci ukazuje Obr. 3.11.
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES
205
y F
A
−F
N1 l
l T
l 4
−T
mg
N2 Θ
x
O z Mg
Obr. 3.11: Statická rovnováha dvojitého ºeb°íku
Úkolem je ur£it síly a síly
F⃗
a
−F⃗ ,
T⃗
a
−T⃗ ,
jimiº p·sobí napjatý provaz na ramena ºeb°íku
jimiº na sebe navzájem p·sobí ramena ºeb°íku v bod¥
A.
Sou-
°adnicové osy zvolme stejn¥ jako v p°edchozím p°íkladu a podle obrázku také ozna£me síly p·sobící na ºeb°ík. Podminka silové rovnováhy celého ºeb°íku má tvar
⃗1 + N ⃗ 2 = ⃗0 2m⃗g + M⃗g + N (víte, pro£ se v ní nevyskytují síly
T⃗ , −T⃗ , F⃗
a
−F⃗ ?
Protoºe jsou
x-ové
a
z -ové
sloºky sil vystupujících v podmínce rovnováhy nulové, je zápis ve sloºkách velmi jednoduchý:
−2mg − M g + N1 + N2 = 0. Za vztaºný bod pro výpo£et moment· sil zvolme t°eba bod
O. Sou£et moment·
vn¥j²ích sil vzhledem k tomuto bodu (stejn¥ jako ke kterémukoli jinému pevnému bodu v inerciální vztaºné soustav¥) je nulový,
⃗ ext = M ⃗ M⃗g + M ⃗ (l) + M ⃗ (p) + M ⃗ ⃗ +M ⃗ ⃗ = ⃗0, M m⃗ g m⃗ g N1 N2 kde
⃗ (l) , resp. M ⃗ (p) M m⃗ g m⃗ g
je moment tíhové síly p·sobící na levé, resp. pravé rameno
ºeb°íku.V podmínce op¥t nevystupují momenty sil
T⃗ , −T⃗ , F⃗
a
−F⃗ .
Pro£? Pro
momenty platí
( ⃗ M⃗g = M
0, 0,
) 7M gℓ cos θ , 8
⃗ (l) = M m⃗ g
) ( 3mgℓ cos θ , 0, 0, 2
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
206
( ⃗ (p) = M m⃗ g
0, 0,
) mgℓ cos θ , 2
⃗ ⃗ = (0, 0, −2N1 ℓ cos θ) , M N1 z -ová
⃗ ⃗ = ⃗0. M N2
sloºka podmínky momentové rovnováhy vede po vykrácení
cos θ
ne tvar
7M gℓ 3mgℓ mgℓ 7 + + − 2N1 ℓ = 0 =⇒ N1 = mg + M g. 8 2 2 8 Velikost síly
⃗2 N
jiº snadno vypo£teme z podmínky silové rovnováhy,
⃗ 2 = mg + 1 M g. N 8 nyní se hodí odpov¥d¥t na otázky týkající se sil
T⃗ , −T⃗ , F⃗
a
−F⃗ .
Tyto síly ani
jejich momenty se v podmínkách rovnováhy pro celý ºeb°ík neuplatnily, protoºe z hlediska ºeb°íku jako celku jsou silami vnit°ními. Z hlediska jednolivých £ástí ºeb°íku, nap°íklad ramen, v²ak budou silami vn¥j²ími. Protoºe je ºeb°ím v rovnováze, ke v rovnováze kaºdá jeho £ást, tedy i jednotlivá ramena. Nap°íklad pro pravé rameno platí
⃗ 2 − T⃗ − F⃗ = ⃗0 =⇒ N2 − mg − Fy = 0, m⃗g + N
−T + Fx = 0,
⃗ (p) + M ⃗N +M ⃗ ⃗ +M ⃗ ⃗ = ⃗0 =⇒ M 2 m⃗ g −F −T =⇒
mgℓ Tℓ cos θ + sin θ − Fx ℓ sin θ − Fy ℓ cos θ = 0. 2 2
⃗2 Z rovnic silové rovnováhy ve sloºkách a na základ¥ jiº znalosti velikosti síly N Fx = T , Fy = 18 M g . Dosazení do podmínky momentové rovnováhy
dostaneme
umoºní získat sloºky sil
(( T =
T⃗
a
F⃗ :
) ) 1 M + m g cotg θ, 0 , 4
F⃗ =
( ( ) ) 1 1 − M + m g cotg θ, M g . 4 8
Pokuste se napsat a °e²it podmínky rovnováhy pro levé rameno ºeb°íku vý-
♠
sledky by m¥ly být shodné.
3.2.2
Tenzor Jˆ jako p°evodník mezi úhlovou rychlostí a momentem hybnosti
V odstavci 1.1 jsme de novali tenzor momentu setrva£nosti pon¥kud formáln¥. Zatím o n¥m víme pouze to, ºe jakýmsi zp·sobem, av²ak odli²n¥ od popisu pomocí dvojic
{mi , ⃗ ri },
resp. pomocí hustoty, charakterizuje rozloºení hmotnosti v t¥lese. Jaký fyzikální význam taková charakteristika má, zatím není jasné. Uvidíme, ºe pro p°ípad tuhého t¥lesa souvisí se vztahem mezi momentem hybnosti a úhlovou rychlostí t¥lesa. Uvaºujme o £ist¥ rota£ním pohybu t¥lesa. Jeho st°ed hmotnosti je tedy v klidu vzhledem k jisté inerciální vztaºné soustav¥. Zvolme její po£átek
O
práv¥ ve st°edu hmotnosti (viz
Obr. 3.12).
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES
207
o(t) li oskulacni kruznice
Si (t) . l i,
li, A i (t)
.
ri (t)
vi (t)
ω (t) O SH
Obr. 3.12: K rota£nímu pohybu tuhého t¥lesa Z p°edpokladu, ºe je t¥leso tuhé, bezprost°edn¥ vyplývá, ºe úhlová rychlost je v kaºdém oka-
ω ⃗ (t).
mºiku spole£ná pro v²echny jeho £ástice, resp. hmotné elementy. Ozna£me ji
V daném
okamºiku se kaºdá £ástice nachází na své oskula£ní kruºnici, úhlová rychlost je kolmá k oskula£ní rovin¥ viz odstavce 1.3.3 a 1.3.5. St°edy oskula£ních kruºnic leºí na p°ímce kolmé ke v²em (navzájem rovnob¥ºným) oskula£ním rovinám a procházející bodem ozna£ena jako
o(t).
i-té £ástice platí ( ) −−→ −−→ ⃗vi (t) = ω ⃗ (t) × (Si Ai ) = ω ⃗ (t) × ⃗ ri (t) − OSi = ω ⃗ (t) × ⃗ ri (t).
a s vyuºitím vztahu
ℓ⃗0 =
N ∑
⃗ ri × mi⃗vi =
N ∑
mi ⃗ ri × (⃗ ω ×⃗ ri ) =
ℓ1 =
N ∑
[mi (⃗ ri ⃗ ri ) ω ⃗ − mi (⃗ ri ω ⃗)⃗ ri ] .
i=1
i=1
Vektor ⃗ ℓ0 vyjád°íme (ℓ1 , ℓ2 , ℓ3 ). Platí
O platí (jiº bez vypisování argumentu
⃗a × (⃗b × ⃗c) = (⃗a⃗c)⃗b − (⃗a⃗b)⃗c)
i=1
ve sloºkách ve zvolené soustav¥ sou°adnic
< O; x, y, z .
Ozna£me
N ∑ [ ] mi (x2i + yi2 + zi2 )ω1 − mi (xi ω1 + yi ω2 + zi ω3 )xi = i=1
=
(N ∑
) mi (yi2
+
zi2 )
( ω1 +
−
ℓ2 = −
N ∑
)
mi xi yi
ω1 +
(N ∑
i=1
ℓ3 =
=
−
mi xi yi
( ω2 +
−
N ∑
) ω3 ,
mi xi zi
i=1
N ∑ [
N ∑ i=1
) mi (x2i + zi2 )
( ω2 +
−
i=1
N ∑
) mi yi zi
ω3 ,
i=1
] mi (x2i + yi2 + zi2 )ω3 − mi (xi ω1 + yi ω2 + zi ω3 )zi =
i=1
(
)
N ∑ [ ] mi (x2i + yi2 + zi2 )ω2 − mi (xi ω1 + yi ω2 + zi ω3 )yi = i=1
(
N ∑ i=1
i=1
=
je sm¥-
Pro okamºitou rychlost
Pro celkový moment hybnosti t¥lesa ⃗ ℓ0 vzhledem k bodu
t
O, ω ⃗ (t)
okamºitou osou rotace. V Obr. 3.12 je
rovým vektorem této p°ímky. Tuto p°ímku nazýváme
mi xi zi
)
( ω1 +
−
N ∑ i=1
) mi yi zi
( ω2 +
N ∑ i=1
) mi (x2i + yi2 )
ω3 .
⃗ ℓ0 =
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
208
Kaºdá ze sloºek momentu hybnosti t¥lesa je tedy lineární kombinací sloºek úhlové rychlosti. Ze vztah· (1.4) je vid¥t, ºe koe cienty t¥chto lineárních kombinací jsou práv¥ sloºky tenzoru momentu setrva£nosti,
ℓ1
=
J11 ω1 + J12 ω2 + J13 ω3 ,
ℓ2
=
J12 ω1 + J22 ω2 + J23 ω3 ,
ℓ3
=
J13 ω1 + J23 ω2 + J33 ω3 ,
nebo maticov¥
J11 ω3 ) J12
(ℓ1 ℓ2 ℓ3 ) = (ω1 ω2
J13 Tenzor momentu setrva£nosti funguje jako
(3.20)
J12
J13
J22
J23 .
J23
J33
(3.21)
symetrický lineární operátor,
který vektor·m úh-
lové rychlosti p°i°azuje vektory momentu hybnosti. Zapojíme-li do hry znalosti z lineární algebry, uv¥domíme si, ºe pro takový symetrický lineární operátor vºdy existuje taková soustava sou°adnic
< O; x′ , y ′ , z ′ >,
v níº má matice reprezentující tento operátor diagonální
tvar. Hodnoty v diagonále ozna£me tzv.
J1 , J2
podobnostní transformací J = T JT −1 ,
spojené se soustavou sou°adnic
< O; x′ , y ′ , z ′ >.
Osy soustavy
a
J3 . T
kde
J
Souvislost mezi maticemi
a
J
je dána
je matice p°echodu od ortonormální báze
< O; x, y, z > k ortonormální bázi spojené se soustavou < O; x′ , y ′ , z ′ > jsou hlavní osy tenzoru momentu setrva£-
nosti.
3.2.3
Rotace tuhého t¥lesa kolem pevné osy
Pevnou osou
p°i rotaci tuhého t¥lesa rozumíme jakoukoli p°ímku
o,
která je
nepohyblivá v jisté inerciální vztaºné soustav¥, a vzhledem k níº t¥leso pouze rotuje úhlovou rychlostí
ω ⃗ (t), jejíº sm¥r nezávisí na £ase. Vzpome¬me si na vlast-
nosti st°edu hmotnosti t¥lesa a uv¥domme si, ºe pevnou osu m·ºeme spojit také se st°edem hmotnosti: bude to p°ímka, která prochází st°edem hmotnosti a je pevná ve vztaºné soustav¥, jejímº po£átkem je nap°íklad práv¥ st°ed hmotnosti, a která v·£i inerciálním vztaºným soustavám nerotuje (její sou°adnicové osy jsou trvale rovnob¥ºné se sou°adnicovými osami jisté inerciální soustavy). Je z°ejmé, ºe p°i rotaci tuhého t¥lesa kolem pevné osy
o
se v²echny jeho
£ástice, resp. hmotné elementy pohybují po kruºnicích leºících v rovinách kolmých k ose
o, jejichº st°edy leºí na této ose. Úhlová rychlost ω(t) je spole£ná pro
v²echny £ástice toto významné zjednodu²ení popisu pohybu vyplývá práv¥ z p°edpokladu, ºe t¥leso je tuhé. Situaci pro tuhé t¥leso s diskrétním rozloºením hmotnosti vystihuje Obr. 3.13, z n¥hoº je také z°ejmé ozna£ení pot°ebných veli£in:
i-tá
£ástice o hmotnosti
mi
kruºnice leºí v rovin¥ kolmé k ose vektor
⃗ri
je sou£tem vektoru
rotace kolmý,
⃗ri = ⃗si + ⃗qi .
si
se pohybuje po kruºnici
o
a její st°ed
Si
leºícího v ose rotace a vektoru
Úhlová rychlost
ω
i = 1, . . . , N ,
o polom¥ru
qi ,
⃗qi ,
který je k ose
(obecn¥ závislá na £ase) má sm¥r
osy rotace. Vztaºným bodem pro výpo£et moment· je bod £ástice,
Ki
leºí na této ose. Polohový
O.
Pro rychlost i-té
platí (viz odstavec 1.3.5)
⃗vi = ω ⃗ × ⃗qi = ω ⃗ × (⃗ri − ⃗si ) = ω ⃗ × ⃗ri ,
nebo´
⃗si ∥ ω ⃗.
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES
209
o
o Ki mN
Si
.
. qi
si
mi ω
ri
. qi
m2
m1
.
d
vi
o0
qi mi
SH
O Obr. 3.13: Rotace tuhého t¥lesa kolem pevné osy
Vypo£teme moment hybnosti t¥lesa vzhledem k bodu
⃗ℓ0 =
N ∑
⃗ri × mi⃗vi =
i=1
N ∑
O.
Platí
mi (⃗si + ⃗qi ) × (⃗ ω × ⃗qi ).
i=1
Pomocí vztahu pro dvojitý vektorový sou£in
⃗a × (⃗b × ⃗c) = (⃗a⃗c)⃗b − (⃗a⃗b)⃗c m·ºeme výraz upravit do tvaru
⃗ℓ0 =
N ∑
{ } mi (⃗si ⃗qi ) ω ⃗ + (⃗si ω ⃗ ) ⃗qi + (⃗qi )2 ω ⃗ + (⃗ ω ⃗qi ) ⃗qi =⇒
i=1
( ⃗ℓ0 =
N ∑
) mi qi2
ω ⃗ +ω
i=1
(N ∑
−mi si ⃗qi
.
(3.22)
i=1
P°i poslední úprav¥ jsme vyuºili skute£nosti, ºe
⃗si ⃗qi = 0,
)
⃗qi ω ⃗ = 0,
⃗si ⊥ ⃗qi , ω ⃗ ⊥ ⃗qi , ω ⃗ ∥ ⃗si ,
tj.
⃗si ω ⃗ = ω si .
Pro t¥leso se spojitým rozloºením hmotnosti se moment hybnosti vyjád°í analogicky (místo sou£t· budou integrály p°es objem t¥lesa),
∫ ∫ ⃗ℓ0 = ϱq 2 dV ω ⃗ + ω −ϱs ⃗q dV . V
(3.23)
V
V²imn¥me si podrobn¥ji geometrického významu vztah· (3.22) a (3.23) vysv¥tlíme si jej nap°íklad na prvním z obou vztah·. První s£ítanec je vektor
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
210
rovnob¥ºný s úhlovou rychlostí
omega ⃗ , tj. rovnob¥ºný s ⃗qi , i = 1, , . . . , N ,
s£ítanec je lineární kombinací vektor· V²echny vektory
⃗qi
osou rotace. Druhý s koe cienty
mi si ω .
jsou v²ak kolmé k ose rotace, proto i jakákoli jejich lineární
kombinace je rovn¥º vektorem kolmým k ose rotace. Vztah (3.22) tak p°edstavuje rozklad celkového momentu hybnosti t¥lesa do sm¥ru osy rotace a do roviny kolmé k ose rotace,
⃗ℓ0 = ⃗ℓ0,∥ + ⃗ℓ0,⊥ ,
⃗ℓ0,∥ = Jo ω ⃗,
N ∑
Jo =
mi qi2 ,
i=1 p°i£emº veli£ina
Jo = je
moment setrva£nosti
N ∑
⃗ℓ0,⊥ = −ω
N ∑
mi si ⃗qi ,
(3.24)
i=1
mi qi2
(3.25)
i=1
t¥lesa
vzhledem k ose o
. Velkou výhodou je skute£nost,
ºe se moment setrva£nosti tuhého t¥lesa vzhledem k pevné ose s £asem nem¥ní. I kdyº se totiº b¥hem rotace m¥ní sm¥r vektor· ⃗ qi , z·stává kaºdá £ástice tuhého 2 t¥lesa stále stejn¥ daleko od osy, a proto qi = konst. pro v²echna i = 1, . . . , N . Druhou impulsovou v¥tu pro tuhé t¥leso m·ºeme zapsat ve velmi p°ehledném tvaru, zapí²eme-li její vyjád°ení pro oba pr·m¥ty pr·m¥t do osy rotace a pr·m¥t do roviny kolmé k ose rotace,
dℓ⃗0 ⃗ ext =M dt
⃗ ⃗ dℓ0,∥ ⃗ ext , dℓ0,⊥ = M ⃗ ext , =M ⊥ ∥ dt dt N ∑ ext ⃗⊥ −ω mi si ⃗q˙ i = M .
⇔
⃗ ext , Jo ⃗ε = M ∥
tj. (3.26)
i=1
rozloºena
Tento zápis druhé impulsové v¥ty je velmi výhodný pro praktické °e²ení úloh,
symetricky
zejména v situacích, kdy je hmotnost t¥lesa vzhledem k ose rotace , tj. kdyº se výrazy
mi si ⃗qi
kompenzují, takºe je
⃗ℓ0,⊥ = ⃗0.
Velmi
jednoduchým p°íkladem takové situace je dvou£ásticová soustava s £ásticemi o hmotnostech m1 a m2 leºících ve vzdálenostech q1 a q2 od této osy, p°i£emº platí q1 m2 q2 = m1 , speciáln¥ pro dv¥ stejn¥ hmotné £ástice umíst¥né stejn¥ daleko od osy rotace. Dal²ími p°íklady jsou geometricky symetrická homogenní t¥lesa rotující
kolem osy své geometrické symetrie válce, kuºely, koule, apod. V takových ⃗ ext = ⃗0, jinak by nemohla být spln¥na podmínka p°ípadech ov²em musí být M ⊥ ˙ ⃗ℓ0,⊥ ⃗ ext . =M ⊥ V p°ípad¥ t¥lesa se symetrickým rozloºením hmotnosti vzhledem k ose rotace se druhá impulsová v¥ta redukuje jen na pr·m¥t do osy rotace, který lze chápat nap°íklad jako rovnici pro neznámé úhlové zrychlení. Její pouºití za chvíli ukáºeme na p°íkladech. Vektor hybnosti t¥lesa
⃗ℓ0,∥ se n¥kdy, nep°íli² vhodn¥, nazývá momentem ⃗ ext výsledným momentem vn¥j²ích o, vektor M ∥
vzhledem k ose
sil vzhledem k této ose.
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES
211
Uvaºujme nyní o situaci, kdy t¥leso m·ºe rotovat vzhledem k r·zným osám rovnob¥ºným s osou
o.
Jedna z nich má zvlá²tní význam. Je to ta, která prochází
st°edem hmotnosti t¥lesa. Známe-li totiº moment setrva£nosti t¥lesa vzhledem k
o0 , m·ºeme moment setrva£nosti vzhleo ∥ o0 , vypo£ítat pomocí momentu setrva£nosti vzhledem k ose o0 a vzdálenosti d obou os. S vyuºitím pravé £ásti Obr. 3.13 vyjád°íme moment setrva£nosti Jo : této speciální ose, ozna£me ji nap°íklad dem k libovolné ose
Jo =
o
s ní rovnob¥ºné, tj.
N ∑
mi qi2 =
i=1
=
N ∑
N ∑
mi (⃗qi )2 =
i=1
(
mi (qi′ )2 +
i=1
N ∑
⃗2= mi (⃗qi′ + d)
i=1
N ∑
) mi ⃗qi′
d⃗ + d2
i=1
Uv¥domme si, co znamená výraz s£ítanci: Vektor
∑N
i=1
N ∑
mi .
i=1
mi ⃗qi′ ,
který vystupuje v prost°edním
∑N mi⃗ri′ ⃗r0′ = ∑i=1 N i=1 mi
je nulový, nebo´ je to polohový vektor st°edu hmotnosti t¥lesa vzhledem ke st°edu hmotnosti t¥lesa (⃗ ri′ , i = 1, . . . , N jsou polohové vektory £ástic vzhle∑N dem je st°edu hmotnosti, ⃗ ri′ = ⃗ri − ⃗r0 ). Platí proto také i=1 mi⃗ri′ = ⃗0. Vektor ∑ ∑N N qi′ je ov²em pr·m¥tem vektoru i=1 mi⃗ri′ do roviny kolmé k ose rotace, i=1 mi ⃗ je proto také nulový. Pro momenty setrva£nosti Jo a Jo0 vzhledem k rovnob¥º-
Steinerovu v¥tu ným osám
kde
d
o
a
o0 ,
z nichº osa
je vzdálenost osy
o0
prochází st°edem hmotnosti t¥lesa, získáváme
Jo = Jo0 + md2 , o
od osy
V odstavci 1.1 jsme si de novali
(3.27)
o0 .
tenzor
momentu setrva£nosti, reprezentovaný v dané sou-
Jij , z Jij = Jji , i, j = 1, 2, 3.
stav¥ sou°adnic maticí t°etího °ádu. K jeho zadání jsme tedy pot°ebovali dev¥t veli£in nichº pouze ²est bylo nezávislých, nebo´ tato matice byla symetrická,
Najednou máme co do £in¥ní se skalární veli£inou momentem setrva£nosti vzhledem k ose. Takových os ov²em m·ºe být nekone£n¥ mnoho, stejn¥ jako hodnot momentu setrva£nosti vzhledem k nim. Není to v rozporu s úvahami o tenzoru momentu setrva£nosti? Ukáºeme, ºe nikoliv moment setrva£nosti vzhledem k libovolné ose
A = (xA , yA , zA ) vyjád°it pomocí bodu A,
o
t°eba bodem
a jednotkovým vektorem
zna£n¥
vektoru
⃗ o
zadané v dané soustav¥ sou°adnic
⃗ o = (o1 , o2 , o3 ),
je moºné jedno-
a tenzoru momentu setrva£nosti zadaného v dané
soustav¥ sou°adnic. Protoºe uº známe vztah mezi momenty setrva£nosti vzhledem ke dv¥ma rovnob¥ºným osám, z nichº jedna prochází st°edem hmotnosti t¥lesa (p°ed chvílí odvozená Steinerova v¥ta (3.27)), sta£í jiº uvaºovat pouze o osách r·zných sm¥r· procházejících práv¥ st°edem hmotnosti. Tenzor momentu setrva£nosti s po£átkem
O
Jˆ v
S =< O; x, y, z > J = (Jij ), i, j = 1, 2, 3. Pro
soustav¥ sou°adnic
ve st°edu hmotnosti t¥lesa je reprezentován maticí
moment hybnosti t¥lesa platí vztah (3.21), tj.
ℓi =
3 ∑
Jij ωj ,
i = 1, 2, 3.
j=1 Po£ítejme pr·m¥t momentu hybnosti do osy
o.
Uvaºme p°i tom, ºe
) 1 ( ⃗ = (⃗ ℓ0,∥ ℓ0 ⃗ o) ⃗ o= 2 ⃗ ℓ0 ω ⃗ ω ⃗ =⇒ ω
ω ⃗ = ω⃗ o:
212
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC Jo =
3 3 ∑ 1 ∑ Jij ωi ωj = Jij oi oj . 2 ω i,j=1 i,j=1
(3.28)
Tento výsledek ve spojení se Steinerovou v¥tou jiº umoº¬uje ur£it moment setrva£nosti t¥lesa vzhledem k jakékoli ose rotace pomocí zadání této osy a tenzoru momentu setrva£nosti vzhledem k soustav¥ sou°adnic spojené se st°edem hmotnosti t¥lesa. Nejjednodu²²í zp·sob zadání tenzoru momentu setrva£nosti je samoz°ejm¥ v soustav¥ sou°adnic spojené nejen se st°edem hmotnosti jako po£átkem, ale také se sou°adnicovými osami ve sm¥ru hlavních os tenzoru momentu setrva£nosti. V takové soustav¥ sou°adnic se vztah (3.28) zjednodu²í na tvar
Jo = J1 o21 + J2 o22 + J3 o23 .
K fyzikálnímu významu tenzoru momentu setrva£nosti v diagonálním tvaru se vrátíme je²t¥ v odstavci 3.2.4.
V následujících n¥kolika p°íkladech si ukáºeme aplikaci záv¥r· týkajících se rotace tuhého t¥lesa kolem pevné osy, k nimº jsme p°ed chvílí dosp¥li.
P°íklad 3.9. Závaºí na kladce.
ist¥ rota£ním pohybem tuhého t¥lesa kolem pevné osy je nap°íklad rotace pevné kladky p°i pohybu závaºí zav¥²ených na lan¥ vedeném p°es tuto kladku (viz Obr. 3.14).
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES
213
F
r −T1 m g
mk −T2
k
g T
1
m
T
2
mg M
Mg
Obr. 3.14: Pevná kladka se závaºími
Soustava na obrázku je umíst¥na v homogenním tíhovém poli Zem¥ (tíhové zrychlení je jako obvykle kladky je
mk ,
⃗g ).
Hmotnosti závaºí jsou
její polom¥r je
r.
m
a
M, m < M,
hmotnost
Kladku povaºujme za homogenní tuhé t¥leso,
její hmotnost je rozloºena symetricky vzhledem k ose otá£ení. P°edpokládejme dále, ºe lano po kladce neklouºe, je dokonale ohebné a má pevnou délku, a ºe odporové síly p·sobící jak proti pohybu t¥les, tak proti otá£ení kladky lze zanedbat. Zku²enost samoz°ejm¥ °íká, ºe p°i pohybu soustavy byde t¥º²í t¥leso
⃗a1 , resp. ⃗a2 zrychlení m, resp. M , a jako ε úhlové zrychlení kladky (zrychlení st°edu hmotnosti
klesat se zrychlením. Dokáºeme je spo£ítat? Ozna£me jako závaºí
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
214
kladky je nulové to je vazební podmínka, s kterou m·ºeme po£ítat jiº od za£átku °e²ení úlohy). V Obr. 3.14 jsou vyzna£eny síly, kterými na jednotlivá t¥lesa soustavy (ob¥ závaºí a kladku) p·sobí jejich okolí.
•
Na levé závaºí p·sobí Zem¥ tíhovou silou
•
Na pravé závaºí p·sobí Zem¥ tíhovou silou
•
Na kladku p·sobí lano tahovými silami
m⃗g
T⃗2
a
−T⃗2
M⃗g
−T⃗1
pravého závaºí a osa v bod¥ záv¥su silou resp.
a lano tahovou silou
T⃗1 .
a lano tahovou silou
T⃗2 .
−T⃗2 na stran¥ levého, resp. ⃗ F . Silové dvojice T⃗1 a −T⃗1 , a
p°edstavují akci a reakci (lano zprost°edkovává vzájemné
p·sobení klady a závaºí).
Poznámka: P·sobení lana na kladku je pon¥kud sloºit¥j²í, nebo´ lano je napínáno po celé své délce a na kladku tedy p·sobí elementárními silami v kaºdém bod¥ svéko kontaktu s ní. Výsledné silové p·sobení lana na kladku v²ak lze popsat silami
−T⃗1
a
−T⃗2
umíst¥nými podle obrázku v bodech, v nichº se lano od
kladky za£íná odchylovat. Druhý Newton·v zákon pro závaºí a první impulsová v¥ta pro kladku mají tvar (pro kladku s uváºením skute£nosti, ºe zrychlení jejího st°edu hmotnosti je nulové).
m⃗a1 M⃗a2 ⃗0
= m⃗g + T⃗1 , = M⃗g + T⃗2 , = mk⃗g + F⃗ − T⃗1 − T⃗2 .
Druhou impulsovou v¥tu pro kladku formulujeme vzhledem k jejímu st°edu hmotnosti. Jak jsme jiº konstatovali p°i formulaci p°edpoklad· úlohy, je hmotnost kladky symetricky rozloºena vzhledem k ose její rotace (v Obr. 3.14 promítnuté do bodu záv¥su kladky). Moment hybnosti kladky má tedy sm¥r osy rotace. Také momenty sil p·sobících na kladku mají tento sm¥r (momenty sil
−T⃗1
a
−T⃗2 ), nebo jsou nulové (moment tíhové síly M⃗g
a síly
F⃗ ). Rovnice (3.26)
pro úhlové zrychlení má tvar
⃗ ⃗ +M ⃗ ⃗ +M ⃗ M⃗g + M ⃗ ⃗. Jo ⃗ε = M −T1 −T2 F Pohyby závaºí se odehrávají pouze ve svislém sm¥ru (chápeme jako p°edem stanovenou vazební podmínku). Zvolme sm¥r a orientaci osy zrychlení a sil mají nenulovou jedinou sloºku,
x-ovou.
x svisle dol·. Vektory
Úhlové zrychlení a nenu-
z M
lové momenty sil mají, jak jsme jiº konstatovali, sm¥r osy rotace. Zvolme osu ve sm¥ru osy rotace a orientujme ji kladn¥ sm¥rem dop°edu. Pokud závaºí klesá, jak ukazuje obrázek, tj. pro
⃗ε = (0, 0, −ε).
M > m,
má úhlové zrychlení kladky sloºky
Pro sloºky z vý²e uvedených rovnic vyplývá
ma1,x = mg − T1 , M a2,x = M g − T2 , 0 = mk g − F + T1 + T2 , −Jo ε
= −rT2 + rT1 .
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES
215
Tato soustava £ty° rovnic ov²em obsahuje p°íli² mnoho neznámých. Jsou jimi
a1,x , a2,x , ε, T1 , T2 a F . Pro n¥které z neznámých v²ak platí vazební podmínky. ⃗a1 a ⃗a2 jsou stejn¥ velká, ale opa£n¥ orientovaná, jejich velikost je rovna obvodovému zrychlení kladky a. Platí proto
Zrychlení
−a1,x ε
= a2,x = a, a = . r
e²ením poslední soustavy ²esti rovnic, uváºením vztahu pro moment setrva£1 2 nosti Jo = mk r dostaneme (°e²ení podrobn¥ prove¤te) 2
a T1 T2 F
M −m g, M + m + 12 mk m(M − m) = mg + g, M + m + 12 mk M (M − m) = Mg − g, M + m + 12 mk =
(mk + M + m)g −
=
(M − m)2 g. M + m + 21 mk
V²imn¥me si je²t¥ situace, kdy je hmotnost kladky zanedbatelná, je zanedbatelný i její moment setrva£nosti,
Jo = 0.
m k = 0.
Pak
Jaké m·ºeme £ekat v tomto
p°ípad¥ výsledky? Dostaneme je samoz°ejm¥ dosazením do vztah·, které jsme získali °e²ením úlohy pro obecný p°ípad, m·ºeme v²ak také n¥které z nich alespo¬ kvalitativn¥ odhadnout :
•
Má-li kladka nulový moment setrva£nosti, pak by p°i jakkoli malém momentu sil, které ji roztá£ejí, bylo úhlové zrychlení neomezen¥ velké. Proto musí být
•
T1 = T2 = T .
Shodné taºné síly
−T⃗1 a −T⃗2 F = 2T .
tahají kladku dol·, síla
F⃗
nahoru. Tíhová
síla je nulová. Proto
•
Soustavu závaºí bez kladky bychom si mohli ekvivalentn¥ p°edstavit i jako
M⃗g by soustavu tahala dop°edu, síla M g − mg by ud¥lovala zrychlení a −m M + m, tj. a = M M +m g .
závaºí na rovném lan¥, p°i£emº síla
m⃗g
dozadu. Výsledná síla o velikosti
celé soustav¥ o hmotnosti
•
m ud¥luje jeho a, sm¥r vzh·ru) síla o velikosti T − mg mí°ící vzh·ru, proto ma = T −mg . Podobn¥ pro závaºí M platí M a = M g −T . Zrychlení 2mM a v²ak jiº máme, takºe snadno ur£íme velikost taºných sil T = M +m g .
Uvaºujeme-li o kaºdém ze závaºí zvlá²´, vidíme, ºe závaºí zrychlení (velikost
Tyto výsledky snadno ov¥°íme, dosadíme-li do °e²ení obecné situace
Jo = 0
(prove¤te).
mk = 0
a
♠
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
216
Typickým p°íkladem rota£ního pohybu t¥lesa kolem pevné osy je valení. Valí se sudy, odvalují se kola automobilu jednodu²e °e£eno, valivý pohyb je velmi £astý i v praxi. Samoz°ejm¥ je na po°adu otázka: jaký rota£ní pohyb kolem pevné osy? Vºdy´ p°i valení dochází vºdy i k pohybu posuvnému, a je-li tento pohyb zrychlený (t°eba p°i valení sudu s kopce) neexistuje ºádná vztaºná soustava, v níº by osa rotace byla pevná. Vzpome¬me si v²ak na jeden z význam· st°edu hmotnosti (odstavec 3.1.3.) Druhou impulsovou v¥tu pro dané t¥leso jsme mohli vztahovat nejen k inerciální vztaºné soustav¥, ale i k vzzaºné soustav¥, která v·£i inerciálním soustavám nerotovala, byla v²ak spojena se st°edem hmotnosti t¥lesa. Této vlastnosti st°edu hmotnosti vyuºijeme i nyní. Osa rotace valícího se t¥lesa bude procházet práv¥ st°edem hmotnosti. e²ení takového valivého pohybu si ukáºeme v následujícím p°íkladu.
P°íklad 3.10. Valení tuhých t¥les. Na²ím úkolem bude ur£it zrychlení homogenního válcového t¥lesa, které se valí po naklon¥né rovin¥ o úhlu sklonu
α
v tíhovém poli Zem¥ (Obr. 3.15).
N O
g
y
T z x
mg α Obr. 3.15: Valení rota£ních t¥les
P°edpokládejme, ºe p°i valení t¥leso neprokluzuje (na p°íklad¥ t°eba rozjíºd¥jícího se automobilu to znamená, ºe se kola p¥kn¥ odvalují, nehrabou ). Vzhledem k pozorovateli v neinerciální vztaºné soustav¥ spojené s osou válcového t¥lesa, av²ak takové, ºe její osy v·£i inerciálním soustavám nerotují, p·sobí na t¥leso tíhová síla klon¥né roviny
⃗ N
statická t°ecí síla
m⃗g
umíst¥ná ve st°edu hmotnosti t¥lesa
O,
tlaková síla na-
ta p·sobí ve sty£ném bod¥ naklon¥né roviny s t¥lesem a
T⃗
p·sobící rovn¥º v tomto bod¥. Statická t°ecí síla zabra¬uje
smýkání t¥lesa po podloºce. Protoºe je vztaºná soustava neinerciální, je t°eba ⃗ ∗ = −m⃗a, kde ⃗a je uná²ivé zrychlení. To je rovno vzít v úvahu je²t¥ ktivní sílu F zrychlení st°edu hmotnosti t¥lesa vzhledem k inerciálním vztaºným soustavám. Vztáhneme-li druhou impulsovou v¥tu k bodu
O a uváºíme-li, ºe rozloºení hmot-
nosti t¥lesa je vzhledem k jeho ose symetrické, m·ºeme impulsové v¥ty zapsat ve tvaru
⃗ + T⃗ − m⃗a = ⃗0, m⃗g + N
⃗ ⃗. Jo ⃗ε = M T
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES Momenty tíhové a tlakové síly vzhledem k bodu
217
O
jsou totiº nulové. Stejné
vektorové rovnice dostaneme, napí²eme-li, na rozdíl od p°edchozí volby, první impulsovou v¥tu vzhledem k (libovolné) inerciální vztaºné soustav¥. Ve h°e pak nebude ktivní síla, zato st°ed hmotnosti t¥lesa se bude v·£i inerciální soustav¥ pohybovat se zrychlením
⃗a.
Z8pis první impulsové v¥ty má tvar
⃗ + T⃗ , m⃗a = m⃗g + N zápis druhé impulsové v¥ty z·stává stejný. Soustavu sou°adnic zvolíme podle obrázku a ve sloºkách m·ºeme psát
ma = mg sin α − T, 0 = −mg cos α + N, −Jo ε
= −T r.
Získaná soustava t°í rovnic obsahuje £ty°i neznámé. Máme k dispozici n¥jakou vazební podmínku? Ano je to poºadavek valení bez klouzání, pomocí n¥hoº ur£íme vztah mezi úhlovým zrychlením a zrychlením st°edu hmotnosti. Obecn¥ jsou sice tyto veli£iny nezávislé: p°edstavíme-li si nap°íklad auto rozjíºd¥jící se na zledovat¥lém parkovi²ti, musíme p°ipustit, ºe p°i p°idání plynu se kola mohou velmi razantn¥ rozto£it (zna£né úhlové zrychlení kol), zatímco v·z se skoro nepohne (malé zrychlení st°edu hmotnosti). P°i poctivém odvalování v²ak bude zrychlení st°edu hmotnosti stejn¥ velké jako obvodové zrychlení
aobv = a.
Na
druhé stran¥ v²ak je obvodové zrychlení vyjád°eno pomocí úhlového vztahem
aobv = rε, kde r
je polom¥r válcového t¥lesa. K soustav¥ t°í rovnic m·ºeme tedy
p°idat rovnici £tvrtou,
a
= rε.
e²ení soustavy jiº je snadné, výsledky následují:
a N T
mr2 g sin α, mr2 + Jo = mg cos α, mgJo sin α = . mr2 + Jo
=
Z výsledného vztahu pro zrychlení st°edu hmotnosti t¥lesa vidíme, ºe £ím je moment setrva£nosti v¥t²í (hmotnost t¥lesa je rozloºena dále od jeho osy), tím je t¥leso lín¥j²í , jehi zrychlení je men²í. Kdybychom tedy poloºili na vrchol
m a stejném vn¥j²ím polom¥ru 1 2 z nichº jeden by byl plný (moment setrva£nosti Jo = 2 mr ), druhý dutý o 1 2 ′2 ′ vnit°ním polom¥ru r (moment setrva£nosti Jo = m(r + r )) a t°etí prstenec 2 2 (moment setrva£nosti Jo = mr . V závodech na naklon¥né rovin¥ by zvít¥zil naklon¥né roviny t°i válce o stejné hmotnosti
r,
plný válec, druhé místo by získal válec dutý a prohrál by prstenec. Zkuste zjistit, 2 2 ♠ jak by na tom byla koule, jejíº moment setrva£nosti je Jo = mr . 5
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
218
Dal²í typickou úlohu, v níº se jedná o valení bez klouzání, tj. sloºení posuvného a otá£ivého pohybu s vazební podmínkou, ukazuje dal²í p°íklad. Nejde v²ak o valení po pevné podloºce, ale o odmotávání lanka navinutého na cívce.
P°íklad 3.11. Cívka na lan¥ jojo.
r R. Ur£íme, s jakým zrychlením se pohybuje st°ed hmotnosti
Známá hra£ka jojo p°edstavuje tuhou homogenní cívku o vnit°ním polom¥ru a vn¥j²ím polom¥ru
cívky a jakou silou je napínáno svislé lanko. Sou£asn¥ zjistíme, jaké veli£iny je krom¥ polom¥r· cívky je²t¥ nutné zadat, aby bylo moºné úlohu vy°e²it. P°edpokládejme, ºe jojo voln¥ vypustíme z ruky. Sm¥r jeho otá£ení ukazuje Obr.
3.16 vlevo. Na cívku o hmotnosti
M
p·sobí tíhová síla
hmotnosti cívky a tahová síla
⃗, lanka T
F⃗G = M⃗g
s p·sobi²t¥m ve st°edu
jejíº p·sobi²t¥ m·ºeme umístit do bodu,
v n¥mº se svislá £ást lanka dostává do kontaktu s cívkou (viz Obr. 3.16). (Ve skute£nosti je p·sobení lanka na cívku sloºit¥j²í, jak jsme vyloºili v poznámce v p°íkladu 3.9.)
T
T
R
g
r
r
Mg
Mg
R
Obr. 3.16: Cívka na pevném lan¥ jojo
Vztaºnou soustavu spojíme se st°edem hmotnosti cívky, sm¥r a orientaci sou°adnicové osy
x
zvolíme svisle dol·. Ostatní sloºky sil jsou nulové, takºe se zdá,
ºe volbu dal²ích sou°adnicových os nebudeme pot°ebovat. Ne tak docela bez explicitního p°ipomínání jejich volby se obejdeme, aº budeme mít v °e²ení podobných úloh dostate£nou praxi. Za chvíli uvidíme, pro£. Zvolme osu
y
tak, aby
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES v obrázku sm¥°ovala vpravo a osu
z
219
podél osy rotace cívky, tj. kolmo k nákresu,
tak, aby sm¥°ovala dop°edu. Zápis první a druhé impulsové v¥ty má tvar
m⃗a = F⃗G + T⃗ , ⃗⃗ +M ⃗ ⃗. J⃗ε = M FG T kde
J
je moment setrva£nosti cívky vzhledem k ose její geometrické symetrie.
Moment tíhové síly je nulový, moment tahové síly má sm¥r osy rotace a je ori-
z . Pro x-ovou sloºku první impulsové z -ovou sloºku druhé impulsové v¥ty (ostatní sloºky sil, resp. moment·
entován dop°edu, tj. v kladném sm¥ru osy v¥ty, resp.
jsou nulové) tak platí
M a = M g − T, −Jε kde
a,
resp.
ε
a, ε
a
= −T r,
(3.30)
je velikost zrychlení st°edu hmotnosti válce
velikost úhlového zrychlení známé,
(3.29)
T.
⃗ε = (0, 0, −ε).
⃗a = (a, 0, 0),
resp.
Máme tak dv¥ rovnice pro t°i ne-
Budeme proto muset p°ijmout n¥jaké dodate£né p°edpoklady
vazební podmínky. P°edpokládáme-li jako obvykle, ºe lanko je nepruºné, je obvodové zrychlení otá£ivého pohybu cívky rovno velikosti zrychlení jejího st°edu hmotnosti (tuto podmínku jsme uplatnili jiº p°i °e²ení p°edchozího p°íkladu). Z ní vyplývá vztah mezi zrychlením st°edu hmotnosti cívky a úhlovým zrychlením
ε=
a , r
(3.31)
Z rovnic (3.29), (3.30) a (3.31) jiº dostáváme výsledky
a=
M gr2 , J + M r2
T =
M gJ . J + M r2
Z výsledk· vidíme, ºe je nutné znát hmotnost joja, jeho vnit°ní polom¥r a jeho moment setrva£nosti. Dokázali byste moment setrva£nosti dokázali vypo£ítat? A pro£ jsme zadávali vn¥j²í polom¥r cívky
R,
kdyº ve výsledku nevystupuje?
Promyslete, jak by se °e²ení této jednoduché úlohy zkomplikovalo, kdybychom upustili od p°edpokladu, ºe lanko má stále svislý sm¥r? Pohyb joja , který jsme práv¥ vy°e²ili, je ov²em jednodu²²í neº pohyb p°i skute£ném zacházení s touto hra£kou. Víme, ºe p°i hraní není lanko na pevném záv¥su, ale drºíme je v ruce, takºe tahová síla m·ºe být a také v praxi je prom¥nná. Jojo jezdí nahoru a dol· v tom spo£ívá obliba této hra£ky. Zkusme popsat nejjednodu²²í situaci, kdy se jojo vrátí. Tato situace nastane i p°i pevném záv¥su, kdyº se lanko pevn¥ p°ipojené k cívce upln¥ rozmotá, cívka se stále to£í jedním sm¥rem a lanko se na ni za£ne op¥t navíjet viz pravou £ást Obr.
3.16. Vektorový zápis impulsových v¥t je stejný jako p°i pohybu cívky sm¥rem dol·. orientace momentu tahové síly je v²ak nyní opa£ná, a proto úhlové zrychlení
ε
sm¥°uje dop°edu, ve sm¥ru kladné osy
z,
tj.
⃗ε = (0, 0, ε).
Rota£ní pohyb
i pohyb st°edu hmotnosti se zpomalují, vektor zrychlení st°edu hmotnosti má
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
220
sloºky
⃗a = (a, 0, 0).
P°itom stále platí vazební podmínka (3.31). Zápis impul-
sových v¥t ve sloºkách je shodný se situací, kdy se cívka pohybuje dol·, platí rovnice (3.29), (3.30) a (3.31), shodné je proto i °e²ení.
♠
Následující p°íklad je obdobný, je v²ak pon¥kud obtíºn¥j²í.
P°íklad 3.12. Jojo na kladce.
P°es válcovou kladku o hmotnosti o hmotnosti
m
mk a polom¥ru rk je lankem spojen kvádr M a polom¥ru R. Lanko je navinuto na
a válec o hmotnosti
obvod válce. P°edpokládáme, ºe je nepruºné, má zanedbatelnou hmotnost a svislý sm¥r, po obvodu válce neklouºe. T¥lesa jsou tuhá a homogenní, k odporu vzduchu nep°ihlíºíme. Ur£íme zrychlení st°edu hmotnosti válce, zrychlení kvádru a v²echny síly p·soobící na soustavu. Podobn¥ jako u joja p°edpokládejme, ºe soustavu pouze uvolníme z klidu, v n¥mº ji drºíme dodate£nými silami.
Neº zformulujeme impulsové v¥ty, uv¥domíme si, jaké síly na jednotlivá t¥lesa p·sobí (viz Obr. 3.17).
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES
221
F
rk −T1 m g
mk −T
2
k
g T
1
T
2
m
M
mg
R
Mg
Obr. 3.17: Cívka na lan¥ vedeném p°es kladku
Na kvádr p·sobí tíhová síla lanka
T⃗1
m⃗g
umíst¥ná v jeho st°edu hmotnosti a tahová síla
v bod¥ uchycení lanka. (V p°ípad¥ kvádru, který v této úloze m·ºeme
pokládat za hmotný bod, nebo´ jeho pohyb je pouze transla£ní, speci kujeme p·sobi²t¥ sil pouze pro úplnost.) Na válec p·sobí tíhová síla jeho st°edu hmotnosti a tahová síla lanka
T⃗2
M⃗g
umíst¥ná v
podle obrázku (viz téº komentá° v
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
222
poznámce v p°íkladu 3.9). Na kladku p·sobí v jejím st°edu hmotnosti tíhová síla
mk⃗g ,
po stranách jejího obvodu tahové síly lanka
tahová síla
F⃗ .
−T⃗1
a
−T⃗2
a v bod¥ záv¥su
Napí²eme druhý Newton·v zákon (první impulsovou v¥tu) pro
kvádr a ob¥ impulsové v¥ty pro válec a kladku. Soustavu sou°adnic zvolíme jako obvykle osu
x sm¥rem dol·, osu y doprava a osu z
dop°edu. Vztaºným bodem
pro výpo£et moment· v p°ípad¥ kladky bude bod jejího záv¥su (p°esn¥ji kterýkoli bod záv¥sné osy, která je sou£asn¥ osou rotace kladky), vztaºným bodem pro výpo£et moment· v p°ípad¥ válce bude kterýkoli bod na jeho geometrické ose, která je zárove¬ osou jeho rotace. První impolsovou v¥tu formulujeme pro v²echna t¥lesa v interciální vztaºné soustav¥. Platí
= m⃗g + T⃗1 , = M⃗g + T⃗2 , ⃗ M⃗g + M ⃗⃗ = M ⃗⃗ , J⃗ε = M T2 T2
m⃗a ⃗ MA ⃗0 Jk ε⃗k
(3.32)
= mk⃗g − T⃗1 − T⃗2 + F⃗ , ⃗ m ⃗g + M ⃗ ⃗ +M ⃗ ⃗ +M ⃗⃗ = M ⃗ ⃗ +M ⃗ ⃗ . = M k −T 1 −T 2 F −T1 −T2
V p°edchozích rovnicích je pro moment setrva£nosti válce vzhledem j jeho ose pouºito symbolu
Jk .
J , moment setrvva£nosti kladky vzhledem k její ose je ozna£en
Platí
J=
1 M r2 , 2
Jk =
1 mk rk2 . 2
Sou°adnicové zápisy uvedeme jiº jen pro ty sloºky rovnic, které nejsou a priori nulové,
max
=
M Ax = Jεz = 0 = Jk (εk )z
=
mg − T1 , M g − T2 , −RT2 , mk g + T1 + T2 − F,
(3.33)
−rk T2 + rk T1 .
Podobn¥ jako v p°edchozích situacích pot°ebujeme vazební podmínky, nebo´ p°edchozí soustava p¥ti rovnic obsahuje sedm neznámých,
T2
a
F.
ax , Ax , εz , (εk )z , T1 ,
Z poºadavku, aby lanko po kladce neklouzalo, plyne vazba mezi zrych-
relativního
lením kvádru a úhlovým zrychlením kladky. Lanko nemá klouzat ani po válci, takºe velikost
zrychlení jeho st°edu hmotnosti vzhledem k lanku,
které se z válce odvíjí, je rovna obvodovému zrychlení p°i jeho rotaci. Toto relativní zrychlení je
⃗ − (−⃗a) = A ⃗ + ⃗a ⃗arel = A
εk =
a , rk
ε=
m je ⃗a, −⃗a).
(zrychlení t¥lesa
zrychlení bod· svislého nepruºného lanka na prot¥j²í stran¥ je
takºe
⃗ + ⃗a| |A . R
V pohybových rovnicích (3.33) v²ak nevystupují velikosti zrychlení a úhlových zrychlení, ale jejich sloºky. Ur£íme jejich znaménka. Moment tahové síly
T⃗2 ,
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES
223
který podle t°etí z vektorových rovnic (3.32) ur£uje úhlové zrychlení dozadu. Proto je
εz < 0,
tj.
⃗ε = (0, 0, −ε).
⃗ε,
sm¥°uje
(εk )z
Pro ur£ení znaménka sloºky
musíme p°edpokládat sm¥r urychlování otá£ivého pohybu kladky. Rozebereme v²echny moºné situace.
Situace 1.
Dejme tomu, ºe se kladka roztá£í po sm¥ru hodinových ru£i£ek.
(εk )z = −εk . V takovém p°ípad¥ ax = −a, a zrychlení válce dol·, Ax = A. A − a. Po dosazení za εz a (εk )z z vazeb-
Pak její úhlové zrychlení sm¥°uje dozadu, tj.
m
sm¥°uje zrychlení t¥lesa
vzh·ru, tj.
Velikost relativního zrychlení
⃗arel
je
ních podmínek, dosazení za momenty setrva£nosti a malé úprav¥ dostáváme p¥t rovnic pro p¥t neznámých,
a, A, T1 , T2 −ma MA
a
F⃗ :
= mg − T1 , = M g − T2 ,
1 M (A − a) = T2 , 2 1 mk a = T2 − T1 . 2 e²ením této soustavy dostaneme
A =
2g
mk + m + M , 3mk + 6m + 2M
a
=
2g
M − 3m , 3mk + 6m + 2M
T1
=
mg
3mk + 4M , 3mk + 6m + 2M
(3.34) (3.35)
mk + 4m , 3mk + 6m + 2M
T2
=
Mg
F
=
mk g + T1 + T2 .
Z výsledk· vidíme, ºe p°edpoklad o sm¥ru roztá£ení kladky je správný pro
3m.
M≥
Prove¤me je²t¥ orienta£ní kontrolu správnosti na²ich výsledk· nejde
o skute£nou dokonalou kontrolu, ale o pouºití pon¥kud sloºit¥j²ích výsledných vztah· pro jisté mezní situace, v nichº dokáºeme správnost výsledk· odhadnout.
•
Nekone£n¥hmotná kladka, tj.
mk → ∞: Jedná se o situaci, kdy s kladku
nep·jde ani hodn¥ velkými silami rozto£it. O£ekáváme, ºe zrychlení kvádru bude nulové, síla napínající lanko, na n¥mº kvádr visí, bude rovna
−m⃗g ,
zrychlení válce bude rovno zrychlení joja z p°edchozího p°íkladu, jehoº 1 2 ⃗ = 2 ⃗g . A skute£n¥, ze vztah· (3.34) moment setrva£nosti je M R , tj. A 2 3 snadno ur£íme limity
lim a = 0,
mk →∞
lim A =
mk →∞
2 g, 3
lim T1 = mg,
mk →∞
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
224
jejichº hodnoty potvrzují ná² odhad.
•
Nekone£n¥hmotný kvádr, tj.
m → ∞: O£ekaváme, ºe takový kvádr bude T⃗1 nem·ºe nekone£n¥
padat s tíhovým zrychlením, nebo´ tahová síla lanka
m⃗g
velkou tíhovou sílu
nijak ovlivnit. Lanko na stran¥ válce se pohybuje
se zrychlením −⃗ g a st°ed hmotnosti válce by m¥l v·£i lanku padat se 2 ⃗ = 1 ⃗g . Výsledný moment sil zrychlením ⃗ g . M¥lop by proto v limit¥ vyjít A 3 3
−T⃗1 a −T⃗2 by m¥l být takový, aby kladku rozto£il s obvodovým zrychlením g , tj. (T1 − T2 ) = 12 mk g . Výpo£et limit ukáºe, ºe lim a = g,
m→∞
lim A =
m→∞
1 g, 3
lim (T1 −T2 ) =
m→∞
g 2M g 1 (3mk +4M )− = mk g. 6 3 2
Odhad se op¥t ukázal správným.
•
Nehmotná kladka, tj.
mk = 0: Nehmotná kladka by m¥la nulový moment
setrva£nosti. Proto musí být výsledný moment sil, které ji roztá£ejí, nulový, jinak by její úhlové zrychlení bylo neomezen¥ velké. V limit¥ proto m¥l rozdíl velikostí sil
mk = 0
T⃗1
T⃗2
a
mk → 0
by
vyjít nulový. Uº pouhým dosazením
dostaneme
T1 = T2 =
2mM g. 3m + M
Op¥t jsme o£ekávaný výsledek potvrdili.
•
Nakonec si je²t¥ v²imn¥me p°ípadu, kdy
3m = M .
Ze vztah· pro °e²ení
(3.34) dostáváme
a = 0,
A=
2 g, 3
T1 = T2 = mg.
Tento výsledek znamená, ºe se soustava chová jako jojo na pevném záv¥su kvádr vlevo vyvaºuje soustavu práv¥ tak, ºe je v klidu, kladka se neto£í (pop°ípad¥ se kvádr pohybuje rovnom¥rn¥ a kladka se rovnom¥rn¥ otá£í).
Situace 2.
M ≥ 3m nerovnost není spln¥na, musíme uváºit opa£ný sm¥r ax = a. Body svislého lanka na stran¥ válce se pohybují se zrychlením −⃗ a. Úhlové zrychlení a kladky má sm¥r kladné osy z , tj. (εk )z = εk = rk . Úhlové zrychlení válce je op¥t ⃗ ⃗ tahové síly T⃗2 , orientováno ve sm¥ru záporné osy z , souhlasn¥ s momentem M Pokud
roztá£ení kladky. Závaºí (kvádr) se pak zrychluje sm¥rem dol·, tj.
T2 jehoº orientace je stejná jako v p°echozím p°ípad¥. Obvodové zrychlení válce a+A je a + A, vazební podmínka má tvar ε = R . Zapí²eme pohybové rovnice ve sloºkách a vy°e²íme je, rozbor fyzikálního významu výsledk· ponecháme £tená°i. První £ty°i z pohybových rovnic (3.33) budou mít po dosazení vazebních podmínek a moment· setrva£nosti tvar
ma = MA = 1 M (a + A) = 2 1 mk a = 2
mg − T1 , M g − T2 , T2 , T1 − T2 .
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES Jejich °e²ením je shodné s (3.34) az na vztah pro
a,
225
kde je nyní v £itateli výraz
3m − M .
♠
P°íklad 3.13. Fyzické a reversní kyvadlo.
kyvadla
Pohybem tuhého t¥lesa kolem pevné osy je také kmitavý pohyb tzv. . Jde o soustavu znázorn¥nou na Obr. 3.18.
fyzického
F
O1 O g
ϕ
l
l = l 1+l
2
m SH
O2
mg Obr. 3.18: Fyzické a reversní kyvadlo
Na kyvadlo p·sobí tíhová síla
m⃗g ,
kterou, jak víme z odstavce 3.1.3, m·ºeme
umístit do st°edu hmotnosti kyvadla, a tahová síla záv¥su
F⃗
v bod¥
O.
Osa
rotace je kolmá k rovin¥, v níº kyvadlo kmitá. Její polohu je vhodné zvolit tak, aby procházela bu¤ bodem
O,
nebo st°edem hmotnosti. První volba výpo£et
zna£n¥ zjednodu²í, nebo´ v bod¥
O
p°ímo p·sobí
F⃗ .
Usnadn¥ní spo£ívá v tom,
ºe moment této zatím neznámé síly vzhledem k bodu
O
je nulový. Pohybovou
rovnici kyvadla pak dostaneme ze samotné druhé impulsové v¥ty, p°i jejíº formulaci nesmíme zapomn¥t, ºe moment setrva£nosti kyvadla vzhledem k ose o Jo = JoSH + mℓ2 . Symbolem ℓ jsme ozna£ili vzdále-
se °ídí Steinerovou v¥tou, nost bodu
O
od st°edu hmotnosti. Druhá impulsová v¥ta má tvar
Zvolíme-li osu
z
⃗ M⃗g . Jo ⃗ε = M
soustavy sou°adnic kolmo k rovin¥ kmit· kyvadla a namí°íme-li
ji nap°íklad dop°edu, dostaneme pro jedinou nenulovou sloºku vektor· na levé a pravé stran¥ p°edchozí vektorové rovnice (z -ovou) vztah
( ) JoSH + mℓ2 ε = −mgℓ sin φ,
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
226
kde
φ je úhlová výchylka kyvadla, vyzna£ená rovn¥º v obrázku. Pro malé kmity . sin φ = φ, podobn¥ jako jsme to provedli u matematic-
vyuºijeme aproximace
kého kyvadla. Dostaneme pohybovou rovnici, jejíº °e²ení uº dokáºeme rovnou napsat a ur£it periodu kmit· kyvadla (viz odstavec 2.4.2):
√ mgℓ φ¨ + φ = 0, JoSH + mℓ2
mgℓ ω = , JoSH + mℓ2 2
T = 2π
JoSH + mℓ2 . mgℓ
(3.36)
Matematické kyvadlo je samoz°ejm¥ speciálním p°ípadem obecné situace, moment setrva£nosti vzhledem k ose procházející kuli£kou kyvadla (hmotným bodem je nulový). Dosazením
JoSH = 0
do vztah· (3.36) skute£n¥ dostaneme
odpovídající vztahy pro matematické kyvadlo, jak jsme je odvodili v p°íkladu 2.10. Problém fyzického kyvadla jsme v²ak je²t¥ nevy°e²ili v úplnosti. Je je²t¥ t°eba ur£it £asový pr·b¥h síly, jíº p·sobí na kyvadlo záv¥s. K tomu sta£í formulovat první impulsovou v¥tu. Ozna£me jako obvykle zrychlení st°edu hmotnosti kyvadla
⃗a.
Platí
m⃗a = m⃗g + F⃗ .
K rozkladu do sloºek pouºijeme, jak je u po-
hybu pokruºnici zvykem (a st°ed hmotnosti se po kruºnici pohybuje), te£nu a normálu. Pak
kde
mat
=
−mg sin φ + Ft =⇒ Ft = mℓε + mg sin φ =
man
=
−mg cos φ + Fn =⇒ Fn = mφ˙ 2 ℓ + mg cos φ,
φ(t)
JoSH mg sin φ JoSH + mℓ2
získáme °e²ením pohybové rovnice (v aproximaci malých výchylek,
kterou také m·ºeme pouºít p°i vyjád°ení sloºek síly
F⃗ ).
A je²t¥ pro po°ádek a procvi£ení ov¥°me, ºe vztáhneme-li druhou impulsovou v¥tu k ose prochájící st°edem hmotnosti kyvadla, dostaneme stejné výsledky. Úhlové zrychlení
ε
popisuje £istou rotaci, proto bude vzhledem k ob¥ma osám
stejné. Druhá impulsová v¥ta má tvar
⃗ ⃗ =⇒ Jo ε = −Ft ℓ. JoSH ⃗ε = M SH F Dosadíme-li za
Ft
z první impulsové v¥ty (viz vý²e), dostaneme
JoSH ε = −
JoSH mgℓ sin φ =⇒ (JoSH + mℓ2 )ε + mgℓ sin φ = 0, JoSH + mℓ2
a to je o£ekávaná pohybová rovnice (3.36). Pohyb fyzického kyvadla se vyzna£uje zajímavostmi. Dejme tomu, ºe si p°edem ur£íme, s jakou periodou má kyvadlo kmitat a budeme hledat, jak daleko od st°edu hmotnosti umístit záv¥s. Znamená to, ºe vztah pro periodu uvedený v (3.36) chápeme jako rovnici pro neznámou
ℓ.
Tato rovnice je kvadratická.
Pro zjednodu²ení zápisu v ní ozna£me moment setrva£nosti písmenem
J.
Platí
T = 2π
√
J + mℓ2 gT 2 J =⇒ ℓ2 − ℓ+ = 0. 2 mgℓ 4π m
JoSH
jednodu²e
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES Ze známých vztah· pro ko°eny
x1 + x2 = −p, x1 x2 = q
x1
a
x2
227
kvadratické rovnice
x2 + px + q = 0,
dostaneme
ℓ1 + ℓ2 =
gT 2 , 4π 2
ℓ1 ℓ2 =
J . m
Z výsledk· je vid¥t, ºe kolem libovolné osy rovnob¥ºné s osou ve vzdálenosti
ℓ1
nebo
ℓ2
vlastnosti je vyuºito u tzv.
3.18. Body záv¥su
reversního kyvadla od osy
o0
o0
a vedené
bude kyvadlo kmitat s periodou
T.
Této
. Je znázorn¥no v pravé £ásti Obr.
O1 a O2 mají pevnou vzdálenosti ℓ v praxi jsou realizovány m je posuvné, pomocí jeho
b°ity, které se umis´ují do záv¥sného l·ºka. Závaºí
posuv· lze posouvat st°ed hmotnosti kyvadla tak, aby doba kmitu vzhledem k osám
o1 a o2 byla stejná. Ze vztahu mezi periodou T , a vzdáleností ℓ = ℓ1 +ℓ2 , tj.
mezi veli£inami, které lze zm¥°it s pom¥rn¥ dobrou p°esností (p°i standardních technickém provedení kyvadla cca
ℓ=
0, 1 %),
m·ºeme ur£it tíhové zrychlení,
gT 2 4π 2 ℓ =⇒ g = , 4π 2 T2
rovn¥º s dobrou relativní p°esností, °ádu
♠
0, 5 %.
P°íklad 3.14. Pr·jezd zatá£kou. Obvyklá a zna£n¥ zjednodu²ená otázka, jak rychle smí je²t¥ motocyklista projet plochou kruhovou zatá£kou o daném polom¥ru
R,
aby nedostal smyk, se
v u£ebnicích £asto °e²í pro aproximaci motocyklisty hmotným bodem. Tak to odpovídá nákresu v levé £ásti Obr. 3.19. Úvaha bývá následující: Na motocyklistu p·sobí tíhová síla
m⃗g ,
tlaková síla podloºky
⃗ N
a statická t°ecí síla
T⃗s .
Za
p°edpokladu, ºe pr·jezd zatá£kou je rovnom¥rný, je výslednice t¥chto sil práv¥ pot°ebnou silou dost°edivou, tj.
m kde
v2 ⃗ + T⃗s , ⃗n = m⃗g + N R
⃗n je jednotkový vektor hlavní normály k trajektorii. Z této rovnice je z°ejmé,
ºe tíhová a tlaková síla se kompenzují a statická t°ecí síla sama p°edstavuje dost°edivou sílu. Platí
mv 2 = Ts . R Aby nedo²lo ke smyku, nesmí hodnota Ts , závislá na rychlosti, p°ekro£it maximální p°ípustnou velikost Ts,max = N fs = mgfs , kde fs je koe cient statické N = mg,
t°ecí síly. Podmínka omezující rychlost má proto nakonec tvar
v≤
√ . gRfs = 14, 6 m s−1 ,
pro pr·jezd zatá£kou o polom¥ru
resp. 11, 7 m s−1
R = 40 m
na suchém (fs
= 0, 55),
resp.
mokrém (fs = 0, 35) asfaltu. Pro tíhové zrychlení jsme pouºili hodnotu g = 9, 8 m s−2 a protoºe jde o hodnoty, které nemají být p°ekro£eny, zaokrouhlovali jsme výsledky dol·. Mokrou zatá£ku tak projede motorista bezpe£n¥ zhruba £ty−1 −1 °icítkou (p°esn¥ji 42 km h ), v suché zatá£ce m·ºe jet padesátkou (52 km h ).
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
228
(Z výsledk· je hned vid¥t, pro£ zku²ení °idi£i zatá£ku tzv. °eºou . Zv¥t²ují tím polom¥r k°ivosti zatá£ky a mohou tak jet rychleji.) Zdá se, ºe jezdce na motorce m·ºeme modelovat hmotným bodem a druhou impulsovou v¥tu ani nepot°ebujeme. Ta v²ak tato úvaha správná, £i p°esná?
z
L
N
N+TS
N
O
y
θ
TS
T
S
mg
mg
Obr. 3.19: Pr·jezd plochou zatá£kou poprvé
P°i sledování závod· na ploché dráze i p°i pozorování motocyklist· na oby£ejné silnici vidíme, ºe se motorista v zatá£ce naklání. Model hmotného bodu nebude z°ejm¥ tak zcela výstiºný. Situaci ukazuje Obr. 3.19 vpravo. Za soustavu (t¥leso) povaºujeme jezdce a motorkou a p°edpokládáme, ºe toto modelové t¥leso je tuhé. Aplikace první impulsové v¥ty nás p°ivede ke stejnému výsledku pro omezení rychlosti, jako jsme získali pro hmotný bod. Druhá impulsová v¥ta umoºní zjistit úhel sklonu
θ.
Jednoduchý postup ur£ení tohoto úhlu, který na-
jdeme ve standardních u£ebnicích, vychází z poºadavku, aby p°ímka, v níº leºí sou£et vázaných vektor·
⃗ N
a
T⃗s ,
procházela st°edem hmotnosti t¥lesa. Tím je
zaji²t¥no, ºe výsledný moment vn¥j²ích sil p·sobících na t¥leso je nulový. Pro úhel
θ
dostaneme p°ímo z obrázku vztah
tg θ =
N mg gR 1 = = 2 ≥ . Ts Ts v fs
Z výsledku je vid¥t, ºe p°i rychlej²ím pr·jezdu zatá£kou musí být stroj více naklon¥n, úhel sklonu v²ak nesmí klesnout pod jistou mezní hodnotu statickým koe cientem t°ení. Projíºdí-li motocyklista zatá£ku práv¥ maximální p°ípustnou rychlostí, je tangenta úhlu sklonu rovna p°evrácené hodnot¥ tohoto koe cientu. o o Jízd¥ na suchém asfaltu odpovídá zhruba úhel 61 , na mokrém 71 . Poloºme si v²ak znovu otázku, zda p°edchozí, oproti modelu hmotného bodu z°esn¥ný p°ístup, je zcela správný, pop°ípad¥ je-li jiº nyní dostate£n¥ p°esný. Jedna z nep°esností je vid¥t okamºit¥ skute£ný polom¥r kruºnice, po které
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES
229
R−
L 2 cos θ , kde L je délka t¥lesa za p°edpokladu jeho nahrazení modelem ty£e. v praxi je ov²em délka L se pohybuje st°ed hmotnosti t¥lesa, není
zanedbatelná vzhledem k
R,
nýbrº
R, takºe výsledek je v rozumné aproximaci v po°ádku.
Závaºn¥j²í je v²ak chyba fve fyzikální úvaze: Základem pro stanovení úhlu náklonu motocyklisty byl poºadavek, aby výsledný moment p·sobících vn¥j²ích sil vzhledem ke st°edu hmotnosti byl nulový. Podle druhé impulsové v¥ty by to znamenalo, ºe se moment hybnosti t¥lesa (jak víme, tvo°eného jezdcem na motorce) nem¥ní. Tak tomu ale ve skute£nosti není t¥leso, které m·ºeme modelovat t°eba homogenní a tuhou naklon¥nou ty£í délky
L, se zárove¬ otá£í kolem svislé
osy procházející st°edem hmotnosti (b¥hem jednoho pr·jezdu po celé kruºnici o polom¥ru
R
by se kolem této osy oto£ilo jednou). Výsledky, které jsme zís-
kali, v²ak nejsou úpln¥ ²patné v praktických situacích, kdy rozm¥ry t¥lesa (konkrétn¥ vý²ka jezdce na motorce) jsou zanedbatelné vzhledem k polom¥ru zatá£ky, jsou dobrou aproximací skute£nosti. Pokud se s p°edchozím konstatováním o aproximativních výsledcích nespokojíme, m·ºeme zjistit, jaký vliv na n¥ mají vý²e zmín¥né chyby. Pro podrobn¥j²í popis pohybu zvolme vztaºnou soustavu
S
S
podle
Obr. 3.20.
z P0 A
vA
x
θ
O0
O
vA
P ω
S0
y
A0
y
S
R
R− ωt x
L 2
S
Obr. 3.20: Pr·jezd plochou zatá£kou podruhé
Po£átek soustavy sou°adnic jak je vyzna£eno jiº v
O je ve st°edu hmotnosti t¥lesa. Osa z
je svislá a osa
y mí°í vpravo,
Obr. 3.19. Osa x sm¥°uje dop°edu. Jestliºe v okamºiku t = 0 má bod (0, 0, 0), pak v okamºiku t svírá pr·vodi£ p·dorysného φ = ωt. Tato soustava, spojená se st°edem hmotnosti t¥lesa,
kontaktu t¥lesa s podloºkou sou°adnice pr·m¥ru bodu
O
s osou
y
úhel
je neinerciální, vzhledem k inerciálním soustavám v²ak nerotuje. Spl¬uje proto poºadavek pro formulaci druhé impulsové v¥ty ve formáln¥ stejném tvaru jako v soustav¥ interciální (viz odstavec 3.1.3). V levé £ásti
Obr. 3.10 je prostorový nákres, v pravé £ásti p·dporys. Pozor na
význam symbol· v obrázcích. V bod¥
S
A
je obecný hmotný element ty£e, vzhledem k soustav¥
má polohový vektor
⃗ rA = (ϱA cos θ sin ωt, ϱA cos θ cos ωt, ϱA sin θ),
kde
ϱA = OA ∈
) ( L L . − , 2 2
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
230
Okamºitá rychlost tohoto elementu vzhledem k soustav¥
S
⃗vA = (ωϱA cos θ cos ωt, −ωϱA cos θ sin ωt, 0),
kde
ϱA cos θ = O0 A0 .
inerciální vztaºné soustav¥ ozna£íme jako v p°edchozích
Rychlost st°edu hmotnosti vzhledem k úvahách
je
⃗v . (V Obr. 3.20 není zakreslena, aby se v n¥m nemíchala ozna£ení vektor· vzhledem
k r·zným vztaºným soustavám.) První impulsovou v¥tu musíme samoz°ejm¥ formulovat vzhledem k
inerciální
vztaºné
soustav¥. Platí, obdobn¥ jako v p°edchozích úvahách,
mv 2 R−
ℓ 2
cos θ
⃗ + T⃗s =⇒ ⃗ n = m⃗g + N
mv 2 R−
L 2
cos θ
= Ts ,
N = mg,
(3.37)
zp°esn¥ní spo£ívá v tom, ºe jsme vzali v úvahu skute£ný polom¥r kruºnice, po které se pohybuje st°ed hmotnosti t¥lesa. Nyní formulujeme druhou impulsovou v¥tu vzhledem k
neinerciální
vztaºné soustav¥
S.
Moment hybnosti elementu vzhledem k této soustav¥ je
( ) d⃗ ℓA = ⃗ rA × ⃗vA dmA = sS ωϱ2A sin θ cos θ sin ωt, ωϱ2A sin θ cos θ cos ωt, −ωϱ2A cos2 θ dϱA ,
kde
s
je hustota ty£e a
integrací podle prom¥nné
S její pr·°ez. Moment hybnosti ϱA v intervalu (−L/2, L/2),
celé ty£e pak snadno vypo£teme
( ) 1 ⃗ mL2 ω sin θ cos θ sin ωt, , sin θ cos θ cos ωt, − cos2 θ . ℓ= 12 Derivováním podle £asu dostaneme
1 d⃗ ℓ = mL2 ω 2 (sin θ cos θ cos ωt, − sin θ cos θ sin ωt, 0) . dt 12 Síly
S
T⃗s
a
⃗, N
které p°ispívají do druhé impulsové v¥ty nenulovými momenty, mají v soustav¥
sloºky
T⃗s = (Ts sin ωt, Ts cos ωt, 0) ,
Jejich výsledný moment vzhledem k bodu
⃗ = OP ⃗ × T⃗s + OP ⃗ ×N ⃗, M
O
⃗ = (0, 0, N ) = (0, 0, mg) . N
je, samoz°ejm¥ op¥t v soustav¥
S,
⃗ = − L (cos θ sin ωt, cos θ cos ωt, sin θ) , OP 2
⃗ = L (−mg cos θ cos ωt + Ts sin θ cos ωt, mg cos θ sin ωt − Ts sin θ sin ωt, 0) . M 2 ˙ ⃗ , v souladu s platností druhé impulsové v¥ty, dostáváme Porovnáme-li sloºky vektor· ⃗ ℓ a M nakonec
Dosazením za
Ts
z
1 mω 2 L sin θ cos θ = −mg cos θ + Ts sin θ. 6 ( ) L rovnice (3.37) a za ω ze vztahu v = ω R − cos θ 2
dostaneme
mv 2 sin θ R−
L 2
cos θ
( 1−
1 L cos θ 6R− L cos θ 2
(3.38) do (3.38) a po úprav¥
) = mg cos θ.
(3.39)
Touto rovnicí je v principu ur£en úhel naklon¥ní motocyklisty p°i dané rychlosti samoz°ejm¥ omezena podmínkou
Ts ≤ N fs =⇒ v 2 ≤ gfs Pokud úhel
θ
L
která je
( ) L R − cos θ . 2
neznáme, je jist¥j²í dodrºet pro rychlost podmínku
k tomu, ºe hodnota
v,
v 2 ≤ gfs (R −
L ). Vzhledem 2
je v praxi zanedbatelná vzhledem k polom¥ru zatá£ky, dostáváme pro
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES
231
omezení rychlosti v podstat¥ totéº, jako v nejjednodu²²ím p°ípad¥, kdy jsme motocyklistu nahradili hmotným bodem. e²it zapeklitou rovnici (3.39) vzhledem k neznámému úhlu
θ
není
rozumn¥ sch·dné. Pouºijeme-li op¥t aproximaci, která odpovídá praktickým situacím, m·ºeme hodnotu
L/2 ve jmenovatelích zlomk· v této rovnici zase zanedbat, stejn¥ jako m·ºeme uvnit°
závorky zanedbat hodnotu
1 L cos θ vzhledem k jedni£ce. Pro úhel 6 R−(L/2) cos θ
θ
dostáváme v této
aproximaxi stejný výsledek jako kdyº jsme pominuli fakt, ºe se motocyklista otá£í i kolem své osy. Zdá se, ºe jsme za cenu komplikací p°i po°ádných výpo£tech nic nezískali. Není to tak docela pravda porozum¥li jsme lépe impulsovým v¥tám a ud¥lali si jasno, co je správné a p°esné a co je prakticky p°ijatelná aproximace. V dal²í £ásti úlohy budeme °e²it pr·jezd klopenou zatá£kou jiº p°ímo v této aproximaci.
Úloha o pr·jezdu klopenou zatá£kou je jen jednoduchým zobecn¥ním p°edchozí úlohy s plochou zatá£kou. Obr. 3.21 op¥t názorn¥ ukazuje situaci. Úhel klopení zatá£ky jsme ozna£ili
α.
N+TS
z
N
n
O θ
y
TS
α
mg Obr. 3.21: Pr·jezd klopenou zatá£kou První impulsová v¥ta má tvar
mv 2 ⃗, ⃗n = m⃗g + T⃗s + N R ve sloºkách
mv 2 = Ts cos α + N sin α, R
0 = −mg + N cos α − Ts sin α.
e²ením této soustavy vzhledem k neznámým
2
Ts =
mv cos α − mg sin α, R
Ts
a
2
N=
N
dostaneme
mv sin α + mg cos α. R
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
232
Omezení rychlosti vyplývá op¥t z podmínky
( ) mv 2 mv 2 Ts ≤ Ts,max = N fs =⇒ cos α−mg sin α ≤ sin α + mg cos α fs =⇒ R R √ sin α + fs cos α sin α + fs cos α 1 2 v ≤ gR , tj. v ≤ gR , tg α ≤ . cos α − fs sin α cos α − fs sin α fs Na Obr. 3.22 je graf závislosti maximální p°ípustné rychlosti na úhlu klopení −2 zatá£ky pro g = 9, 8 m s , R = 40 m a fs = 0, 55 (guma na suchém asfaltu).
Obr. 3.22: Pr·jezd klopenou zatá£kou maximální rychlost jako funkce úhlu klopení
Pro
α=0
dostáváme stejný výsledek jako pro plochou zatá£ku, coº jsme po-
chopiteln¥ o£ekávali. Zbývá ur£it úhel
θ.
Pouºijeme op¥t aproximaci, kdy jezdce na motorce na-
hrazujeme ty£í, jejíº délka je zaneedbatelná oproti polom¥ru zatá£ky. V této aproximaci poºadujeme nulovost výsledného momentu sil
T⃗s
a
⃗ N
vzhledem ke
st°edu hmotnosti t¥lesa. Dostaneme, stejn¥ jako u ploché zatá£ky, vztah
tg θ = Ts
dosadit v²ak musíme hodnoty
tg θ =
a
N
N , Ts
vypo£tené pro klopenou zatá£ku, tj.
mv 2 sin α + mgR cos α . mv 2 cos α − mgR sin α
Zatímco u ploché zatá£ky nebylo moºné, aby se jezdec nenaklonil, tj. nedalo se o docílit hodnoty θ = 90 , v p°ípad¥ pr·jezdu klopenou zatá£kou to moºné je. √ 2 Tato situace nastane pro mv cos α − mgR sin α, tj. p°i rychlosti v = gR tg α.
♠
Dal²í diskusi výsledk· úlohy jiº prove¤te sami.
3.2.4
Rotace tuhého t¥lesa kolem pevného bodu
V p°edchozím odstavci jsme se zabývali rota£ním pohybem tuhého t¥lesa v p°ípad¥, ºe p°i n¥m z·stávala celá p°ímka (pevná osa) v klidu. V p°ípad¥ rotace pevný jeden bod, ozna£me jej
O.
kolem pevného bodu
bude
Do n¥j umístíme po£átek vztaºné soustavy (tj. i soustavy
sou°adnic). Popis obecného rota£ního pohybu t¥lesa je jiº pom¥rn¥ sloºitý. Rotaci kolem pevné osy jsme mohli popsat snadno v inerciální vztaºné soustav¥, nebo´ díky existenci pevné osy, a tedy pevného sm¥ru úhlové rychlosti t¥lesa, se zápis druhé impulsové v¥ty p°irozeným zp·sobem rozpadl na pr·m¥t do osy a pr·m¥t do roviny k této ose kolmé. V p°ípad¥ obecné rotace je samoz°ejm¥ takový rozklad op¥t moºný, pro praktické výpo£ty v²ak nijak uºite£ný, nebo´
okamºitá osa rotace
ºe úhlová rychlost
ω ⃗ (t)
se s £asem neustále m¥ní. M·ºeme v²ak stále vyuºít skute£nosti,
je spole£ná v²em £ásticím, resp. hmotným element·m t¥lesa to
plyne z p°edpokladu, ºe je t¥leso tuhé. Tento p°edpoklad zaji²´uje moºnost zvolit vztaºnou soustavu takzvan¥
pevnou v t¥lese,
v·£i níº budou v²echny £ástice t¥lesa v klidu (pozorovatel
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES
233
spojený s touto soustavou nezaznamená ºádný pohyb). Potíº je v tom, ºe taková soustava bude neinerciální, a my máme druhou impulsovou v¥tu k dispozici zatím pouze v soustav¥ inerciální. Tento nedostatek je t°eba napravit. Nejvýhodn¥j²í soustavou pevnou v t¥lese je soustava, jejíº po£átek je, jak jiº bylo °e²eno, v pevném bod¥
O
a sou°adnicovými osami jsou
hlavní osy tenzoru momentu setrva£nosti. Výhoda takové volby je dvojí: v soustav¥ spojené pevn¥ s tuhým t¥lesem má tenzor momentu setrva£nosti £asov¥ neprom¥nné sloºky, v soustav¥ sou°adnic spojené s jeho hlavními osami má dokonce diagonální tvar viz odstavec 3.2.2. Ozna£me tuto výhodnou soustavu
S.
S ′,
inerciální soustavu spojenou s pevným bodem
O zvolíme S má moment hybnosti t¥lesa sloºky ⃗ ℓS = (ℓ1 , ℓ2 , ℓ3 ), v soustav¥ S ′ sloºky ⃗ ℓS ′ = (ℓ′1 , ℓ′2 , ℓ′3 ). Úhlová rychlost ω ⃗ (t), kterou t¥leso rotuje vzhledem ′ k soustav¥ S je v soustav¥ S vyjád°ena sloºkami ω ⃗ = (ω1′ , ω2′ , ω3′ ). Pro derivaci momentu hybnosti podle £asu v soustav¥ S a S ′ platí vztah typu (1.63), tj. ( ) ( ) d⃗ ℓ d⃗ ℓ = +ω ⃗ ×⃗ ℓS ′ . (3.40) dt dt ′ ozna£me
A bude-li to t°eba, zjednodu²íme si úvahy je²t¥ tím, ºe za pevný bod
st°ed hmotnosti t¥lesa. V soustav¥
S
S
Formulaci druhé impulsové v¥ty máme k dispozici pouze pro inerciální vztaºné soustavy, pop°ípad¥ pro speciální neinerciální soustavy takové, které jsou spojeny se at°edme hmotnosti t¥lesa a jejich osy vzhledem k interciálním soustavám nerozují. Pot°ebujeme v²ak pohybovou rovnici pro moment hybnosti t¥lesa vztaºený k inerciální soustav¥ v soustav¥
S ′.
S,
ale ve sloºkách zapsaný
Abychom jej získali, musíme do druhé impulsové v¥ty dosadit pravou stranu
transforma£ního vzorce (3.40), tj.
(
Zápisem
⃗ ext M S′ S ′.
v soustav¥
d⃗ ℓ dt
) S
′
⃗ ext +ω ⃗ ×⃗ ℓS ′ = M S′ .
skute£ných Eulerovy rovnice
se rozumí, ºe výsledný moment vn¥j²ích Ve sloºkách pak dostaneme trv.
ℓ˙′1 + ω2′ ℓ′3 − ω3′ ℓ′2 ℓ˙′ + ω ′ ℓ′ − ω ′ ℓ′
=
(M ext )′1
1 3
=
(M ext )′2
ℓ˙′3 + ω1′ ℓ′2 − ω2′ ℓ′1
=
(M ext )′3
2
3 1
(3.41)
sil rozepisujeme do sloºek
(3.42)
(3.43)
Pro sloºky momentu hybnosti platí
ℓ′1 = J1 ω1′ ,
ℓ′2 = J2 ω2′ ,
ℓ′1 = J3 ω3′ .
(Hned je vid¥t výhodnost volby soustavy spojené s hlavními osami tenzoru momentu setrva£nosti t¥lesa.) Dosazením do rovnic (3.42) dostaneme soustavu diferenciálních rovnic pro sloºky úhlové rychlosti
J1 ω˙ 1′ + (J3 − J2 )ω2′ ω3′
=
(M ext )′1 ,
J2 ω˙ 2′ J3 ω˙ 3′
=
(M ext )′2 ,
=
(M ext )′3 .
+ (J1 − + (J2 −
J2 )ω1′ ω3′ J1 )ω1′ ω2′
(3.44)
V dal²ím rozboru vyuºijeme moºné symetrie rozloºení hmotnosti t¥lesa. Ta je dána diagonálním tvarem tenzoru momentu setrva£nosti. Moºnosti jsou tyto:
• Kulový setrva£ník
hmotnost t¥lesa je rozloºena tak, ºe
J1 = J2 = J3 = J .
Ty-
pickým p°íkladem kulového setrva£níku je skute£ná homogenní koule s pevným bodem
O
v hmotném st°edu. Symetrie rozloºení její hmotnosti je shodná se symetrií geome-
trickou. V²echny p°ímky vycházející z bodu hlavní osy tenzoru momentu setrva£nosti.
O
jsou rovnocenné a mohou slouºit jako
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
234
• Symetrický setrva£ník
hmotnost t¥lesa je rozloºena tak, ºe
J1 = J2 ̸= J3 .
Typic-
kým p°íkladem symetrického setrva£níku je jakékoli homogenní rota£ní t¥leso (válec, kuºel, ozdobný sloup, ...) op¥t s pevným bodem
O
v hmotném st°edu. Symetrie rozlo-
ºení hmotnosti je zase shodná se symetrií geometrickou. Jednou z hlavních os tenzoru meometu setrva£osti takového t¥lesa je osa jeho geometrické symetrie, v²echny p°ímky vycházející z bodu
O
a leºící v rovin¥ kolmé ke geomnettrické ose jsou rovnocenné a
mohou slouºit jako dal²í hlavní osy tenzoru momentu setrva£nosti.
• Asymetrický setrva£ník
hmotnost t¥lesa je rozloºena obecn¥, hodnoty
J1 , J2
a
J3
jsou navzájem r·zné. V dal²ím budeme nadále p°edpokládat, ºe pevným bodem t¥lesa je jeho st°ed hmotnosti. Podle první impulsové v¥ty tato situace nastane práv¥ tehdy, je-li výslednice vn¥j²ích sil p·sobících na t¥leso nulová. V p°ípad¥, ºe je také výsledný moment vn¥j²ích sil p·sobících na t¥leso nulový, mluvíme o
bezsilovým.
volném setrva£níku,
nep°íli² vhodn¥ téº nazývaném setrva£níkem
Ukáºeme si p°íklady pohybu volných setrva£ník·.
P°íklad 3.15. Volný kulový setrva£ník Eulerovy rovnice pro kulový setrva£ník jsou tak triviální, ºe jsou v podstat¥ nezajímavé. To platí zejména pro volný setrva£ník. Z rovnic (3.44) dostaneme
−−−→ ω ⃗˙ = ⃗0 =⇒ ω ⃗ (t) = konst.. Volný kulový setrva£ník tedy rotuje stálou úhlovou rychlostí, která mu jednou byla ud¥lena. Jedná se proto o rovnom¥rnou rotaci kolem pevné osy. P°ipomíná to originální Newtonovu
♠
formulaci jeho prvního zákona? Nepochybn¥ právem.
P°íklad 3.16. Volný symetrický setrva£ník Eulerovy rovnice pro volný symetrický setrva£ník jsou jiº zajímav¥j²í. Rovnice (3.44) pro n¥j mají tvar
J1 ω˙ 1′ + (J3 − J1 )ω2′ ω3′
=
J1 ω˙ 2′ + (J1 − J3 )ω1′ ω3′
=
0,
J3 ω˙ 3′
=
0.
0, (3.45)
Z t°etí rovnice je hned vid¥t, ºe t°etí sloºka úhlové rychlosti je konstantní, ozna£me ji
ω3′ = ω0 .
Zbylé dv¥ rovnice
J1 ω˙ 1′ + (J3 − J1 )ω2′ ω0
=
0,
J1 ω2′ + (J1 − J3 )ω1′ ω0
=
0
=
0,
=
0,
uº snadno vy°e²íme. Upravíme-li je na tvar
(
) J3 − J 1 ω0 ω2′ J1 ( ) J3 − J 1 ′ ω˙ 2 − ω0 ω1′ J1 ω˙ 1′ +
vidíme, ºe jsme uº n¥co podobného °e²ili v kapitole 2. °e²ení má tvar
ω1 (t) = A cos Ωt + B sin Ωt, A
a
B
ω2 (t) = −B cos Ωt + A sin Ωt,
Ω=
J3 − J 1 ω0 , J1
jsou integra£ní konstanty, které je t°eba ur£it z po£áte£ních podmínek. Pro velikost
úhlové rychlosti platí
√ ω=
A2 + B 2 + ω02 = konst,
(ω1′ )2 + (ω2′ )2 = A2 + B 2 = konst.
3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH T
LES Vektor s osou
235
ω ⃗ (t) tedy vzhledem k pozorovateli v soustav¥ S ′ opisuje rota£ní kuºelovou z ′ a úhlem ϑ mezi libovolnou povrchovou p°ímkou a osou, p°i£emº √ A2 + B 2 tg ϑ = . ω0
plochu
K′
Pro moment hybnosti setrva£níku pak dostáváme
ℓ′1
=
J1 (A cos Ωt + B sin Ωt) ,
ℓ′2
=
J1 (−B cos Ωt + A sin Ωt) ,
ℓ′3
=
ℓ
=
J3 ω 0 , √ J12 (A2 + B 2 ) + J32 ω02 .
Vektor momentu hybnosti také vzhledem k pozorovateli v
K′′
s osou
z′ ,
pro vrcholový úhel
θ
tg θ = Vypo£teme je²t¥ úhel
ϕ
mezi vektory
cos ϕ =
S
opisuje rota£ní kuºelovou plochu
platí
J1 J3 ω ⃗
√
a
A2 + B 2 J1 = tg ϑ. ω0 J3
⃗ ℓ.
Platí
J1 (A2 + B 2 ) + J3 ω02 ω ⃗ ·⃗ ℓ = = konst. ωℓ ωℓ
Vzhledem k tomu, ºe setrva£ník je volný, tj.
⃗ ext = ⃗0, M
je moment hybnosti
vzhledem k inerciálním soustavám, tj. také vzhledem k soustav¥
S!
⃗ ℓ
konstatní
V této soustav¥ je to tedy
pevn¥ daný vektor, který lze chápat jako vázaný vektor umíst¥ný ve st°edu hmotnosti t¥lesa
O
(pevný bod) a leºící v p°ímce
ºe úhel
ϕ
mezi vektory
ω ⃗
a
⃗ ℓ je
inerciální vztaºné soustav¥ S úhlem je úhel
ϕ.
p,
která je v soustav¥
konstantní. Vektor
ω ⃗
S
v klidu. P°ed chvílí jsme v²ak zjistili,
tedy opisuje vzhledem k pozorovateli v
rota£ní kuºelovou plochu
K,
z
K
p
jejíº osou je p°ímka
a vrcholovým
Obr. 3.23.
Situaci znázor¬uje
z q
q K
p
p S
S
ω
S1 .
ω
l
θ υ φ
θ υ φ
O SH
O SH
. S2
l
OS ω0
Obr. 3.23: Volný symetrický setrva£ník k problému regulární precese
KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC
236
K. Osa z ′ , která je pevná v t¥lese a p°edstavuje S ′ , p°i tomto valení rotuje vzhledem k soustav¥ S tak, ºe svírá stálý úhel θ = ϑ + ϕ s pevným sm¥rem p. P°ímka, ve které leºí vektor ω ⃗ je spole£noou povrchovou p°ímkou kuºelových ploch K′ a K. Kruºnice k ′ a k vyzna£ené v Obr. 3.23 mají spole£nou te£nu, osy z ′ , p a sty£ná povrchová p°ímka kuºelových ploch K′ a K leºí v kaºdém okamºiku v jedné rovin¥. Osa z ′ obíhá kolem pevné p°ímky p stejnou úhlovou rychlostí (ozna£me ji Ωp ), jako vektor ω ⃗ . Vykonává takzvanou regulární precesi. Vzhledem k ′ odvalování kuºelových ploch K a K jsou veli£iny ω a Ωp vázány vztahy patrnými z Obr. 3.23: obvodová rychlost rotace bodu S kolem okamºité p°ímky q , v níº leºí vektor ω je shodná s obvodovou rychlostí rotace bodu S vzhledem k pevné p°ímce p, tj. Kuºelová plocha
K′
se valí po kuºelové plo²e
tedy pevný sm¥r pro pozorovatele v soustav¥
ω0 ω sin ϑ = ω0 Ωp sin θ, =⇒ √ J 2 (A2 + B 2 ) J3 ω sin ϑ = Ωp sin θ =⇒ Ωp = ω0 1+ 1 . J1 J3 ω02 Za p°edpokladu takové volby po£áte£ních podmínek, která vede k malým hodnotám porovnání s
ω0
A
a
B
v
lze s£ítanec tvaru zlomku pod odmocninou zanedbat oproti jedni£ce. Pak
J3 J3 . =Ω . Ωp = ω0 J1 |J3 − J1 | Regulární precesi m·ºeme experimentáln¥ ukázat nap°íklad na setrva£níku sestrojeném z bicyklového kola rotujícího v loºisku kolem pevné ty£e, která je podep°ena na stojanu tak, aby kolo bylo vyváºeno. V této podob¥ jde o typickou rotaci tuhého t¥lesa kolem pevné osy. Po krátkou dobu
∆t
zap·sobíme na ty£ (nap°íklad úderem shora) dodate£nou silou s nenulo-
vým momentem. Moment hybnosti soustavy se tím oproti p·vodní hodnot¥ jisté
∆⃗ ℓ,
⃗ ℓ(0)
sice zm¥ní o
av²ak poté, co dodate£ná síla p°estane p·sobit, se bude moment hybnosti soustavy
op¥t zachovávat, a to na hodnot¥
⃗ + ∆⃗ ⃗ ℓ = ℓ(0) ℓ.
Soustava bude vykonávat precesní pohyb
uvidíme, jak ty£ opisuje kuºelovou plochu, jejíº osou bude jistá pevná p°ímka
p.
♠
Kapitola 4
Mechanika tekutin 4.1 Statická rovnováha tekutin 4.1.1
Podmínky rovnováhy
4.1.2
Tlak a jeho rozloºení v tekutin¥
4.2.1
Popis pohybu kontinua
4.2 Pohyb tekutin
Jednoduchost popisu pohybu t¥lesa s diskrétním rozloºením hmotnosti (soustavy £ástic) spo£ívala v moºnosti opat°it kaºdou £ástici t¥lesa jejím identi ka£ním znakem celo£íselnou hodnotou indexové prom¥nné veli£iny související s
mi , ⃗ri (t), ⃗vi (t), . . . .
i-tou
i.
V²echny
£ásticí byly p°íslu²ným indexem rovn¥º ozna£eny:
V p°ípad¥ kontinua, t¥lesa se spojitým rozloºením hmot-
nosti, kdy neuvaºujeme o hmotných bodech, ale spojit¥ navazujících hmotných elementech, nelze diskrétního indexového zna£ení pouºít. Vzniká problém volby identi ka£ního znaku hmotného elementu. Tato volba souvisí se dv¥ma základními metodami popisu pohybu kontinua. První z nich, v praktických p°ípadech mén¥ vyuºívaná, je
Lagrangeova. torii
Cξ ,
je jeho polohový vektor
trajektorie
metoda popisu pomocí trajektorií
Identi ka£ním znakem konkrétního elementu, pohybujícího se po ur£ité trajek-
Cξ
ξ⃗ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 )
v okamºiku
t = 0.
Parametrické vyjád°ení
pak p°edstavuje vektorová funkce £ty° prom¥nných
⃗ t) = (x1 (ξ1 , ξ2 , ξ3 , t), x2 (ξ1 , ξ2 , ξ3 , t), x3 (ξ1 , ξ2 , ξ3 , t)), Cξ : ⃗ rξ = ⃗ r(ξ, kde
⃗ 0) = ξ⃗ . ⃗ r(ξ,
(4.1)
Rychlost hmotného elementu je dána vztahem
⃗ t) = ⃗vξ = ⃗v (ξ, ( =
⃗ t) ∂⃗ r(ξ, = ∂t
∂x1 (ξ1 , ξ2 , ξ3 , t) ∂x2 (ξ1 , ξ2 , ξ3 , t) ∂x3 (ξ1 , ξ2 , ξ3 , t) , , ∂t ∂t ∂t 237
) .
(4.2)
KAPITOLA 4. MECHANIKA TEKUTIN
238
Obrázek 4.2-1: Popis pohybu kontinuaLagrangeova metoda
Eulerova popisu pohybu
Druhá z metod, Vyuºívá
pomocí proudnic
, je p°i °e²ení problém· mechaniky kontinua b¥ºn¥j²í.
hmotných element·
. Identi ka£ním zna-
kem hmotného elementu je polohový vektor hmotný element nachází práv¥ v okamºiku
t,
⃗r
místa v prostoru, v n¥mº se
pohybový stav elementu je zadán
jeho rychlostí jako vektorovou funkcí £ty° prom¥nných
⃗v = ⃗v (⃗r, t) = (v1 (x1 , x2 , x3 , t), v2 (x1 , x2 , x3 , t), v3 (x1 , x2 , x3 , t)) .
pole
(4.3)
£asov¥ prom¥nné vektorové ⃗r Integrální k°ivky
Funkce (4.3) p°edstavuje z matematického hlediska 3 v R . (Pro pevn¥ zvolený okamºik t0 odpovídá kaºdému bodu
⃗v (⃗r, t0 ) .) vyjád°ení ⃗ r = ⃗r(s, t0 )
storu práv¥ jeden vázaný vektor pole, jejichº parametrické
vytvá°ejí
t0 .
obraz proudnic s
(Parametr
v okamºiku
t0
parametrické
vyhovuje rovnici
d⃗r(s, t0 ) = ⃗v [⃗r(s), t0 ] , ds rychlostního pole
⃗v (⃗r, t0 )
(4.4) v pevn¥ zvoleném okamºiku
zde nemá význam £asu.) Kaºdým bodem prostoru prochází
práv¥ jedna proudnice. Jednotlivé proudnice jsou odli²eny svými
po£áte£ními body, odpovídajícími hodnot¥ body vektor·
v pro-
tohoto vektorového
ζ⃗
vytvá°ejí plochu
s = 0,
tj.
⃗r(0, t0 ) = ζ⃗ .
Koncové
S . Tu lze, jakoºto dvojrozm¥rný útvar, popsat
dv¥ma prom¥nnými. Proto hovo°íme o obrazu proudnic v prostoru jako o soustav¥ k°ivek. Vektor
procházející bodem
⃗v (⃗r, t0 )
dvoj-
je te£ným vektorem k proudnici
⃗r .
Obrázek 4.2-2: Popis pohybu kontinuaEulerova metoda
Obecn¥ je obraz proudnic v kaºdém okamºiku jiný. Pro kaºdý okamºik proudnice °e²ením rovnice (4.3), v níº zam¥níme
t0
za
t
jsou
t.
P°íklad 4.2-1. V pevn¥ zvoleném okamºiku vin¥
R2
zadáno vztahem
t je vektorové pole rychlostí v ro⃗v (⃗r) = (v1 (x1 , x2 ), v2 (x1 , x2 )) = (2 , 3x1 ) . Najdeme
obraz proudnic v tomto okamºiku:
d⃗r(s) dx1 (s) dx2 (s) = ⃗v (⃗r) =⇒ = 2, = 3x1 . ds ds ds e²ením p°edchozí soustavy rovnic dostáváme parametrické vyjád°ení proudnic v okamºiku
t: x1 (s) = 2s + A ,
x2 (s) = 3s2 + 3As + B,
4.2. POHYB TEKUTIN kde
A, B
239
jsou libovolné konstanty. Vylou£ením parametru
s
obdrºíme kartézské
rovnice v²ech proudnic:
x2 = Q = B − 34 A2
noparametrickou kde
je veli£ina
3 2 x + Q, 4 1
je libovolná konstanta. Proudnice v rovin¥ tedy vytvá°ejí
jed-
soustavu k°ivek, v na²em p°ípad¥ parabol. Parametrem k°ivek
Q.
Obrázek 4.2-3: Jednoparametrická soustava proudnic v rovin¥
transla£ní, rota£ní deforma£ní
Popis pohybu kontinua v okolí daného bodu prostoru lze vºdy rozloºit na t°i nezávislé p°ísp¥vky: pohyb
a
.
Jednotlivé p°ípady nyní popí²eme odd¥len¥. P°i £ist¥ transla£ním pohybu je
⃗ t) = ξ⃗ + ⃗ ⃗ r=⃗ r(ξ, u(t) ,
kde vektor posunutí
⃗ u(t)
je nezávislý
na p·vodní poloze hmotného elementu. Pak
⃗ t) = ⃗v (⃗ r, t) = ⃗v (ξ, nezávisle na
ξ⃗ .
⃗ t) d⃗ u(t) ∂⃗ r(ξ, = , ∂t dt
Obrazem proudnic v daném okamºiku
t
je soustava rovnob¥ºných £ar, jejichº
hustota (po£et £ar protínajících jednotkovou plochu na n¥ kolmou) je úm¥rná velikosti vektoru
⃗v .
Platí
∂vj ⃗v (x1 + dx1 , x2 + dx2 , x3 + dx3 ) − ⃗v (x1 , x2 , x3 ) = ⃗0 =⇒ = 0 , j, k ∈ 1, 2, 3. ∂xk
(4.5)
Obrázek 4.2-4: Soustava proudnic v okamºiku t p°i transla£ním a rota£ním pohybu kontinua P°edstavme si nyní kontinuum jako tuhé t¥leso vykonávající £ist¥ rota£ní pohyb úhlovou rychlostí
ω ⃗ (t) .
Pak
⃗v (⃗ r, t) = ω ⃗ (t) × ⃗ r = (ω2 (t)x3 − ω3 (t)x2 , ω3 (t)x1 − ω1 (t)x3 , ω1 (t)x2 − ω2 (t)x1 ). Obecn¥ platí
vj (x1 + dx1 , x2 + dx2 , x3 + dx3 , t) − vj (x1 , x2 , x3 , t) = Vzhledem ke konkrétnímu tvaru vektorové funkce
⃗v (⃗ r, t)
3 ∑ ∂vj dxk , j, k ∈ {1, 2, 3}. ∂x k k=1
v p°ípad¥ rota£ního pohybu je
v1 (x1 + dx1 , x2 + dx2 , x3 + dx3 , t) − v1 (x1 , x2 , x3 , t) = −ω3 (t)dx2 + ω2 (t)dx3 , v2 (x1 + dx1 , x2 + dx2 , x3 + dx3 , t) − v2 (x1 , x2 , x3 , t) = −ω1 (t)dx3 + ω3 (t)dx1 , v3 (x1 + dx1 , x2 + dx2 , x3 + dx3 , t) − v3 (x1 , x2 , x3 , t) = −ω2 (t)dx1 + ω1 (t)dx2 . Z p°edchozích vztah· je vid¥t, ºe pro £ist¥ rota£ní pohyb kontinua platí
∂vj ∂vk + = 0, ∂xk ∂xj
j, k ∈ {1, 2, 3}.
(4.6)
KAPITOLA 4. MECHANIKA TEKUTIN
240
Vyjád°íme nyní rozdíl
⃗v (⃗ r + d⃗ r, t) − ⃗v (⃗ r, t)
obecn¥:
3 ∑ ∂vj (⃗ r, t) dxk = ∂x k k=1
vj (⃗ r + d⃗ r, t) = vj (⃗ r, t) +
= vj (⃗ r, t) +
+
Cjk =
( ) 3 ∑ r, t) 1 ∂vj (⃗ ∂vk (⃗ r, t) + dxk , j ∈ {1, 2, 3} . 2 ∂xk ∂xj k=1
∑3
nice je následující (viz vztahy (4.5) a (4.6)). len
∑3
1 k=1 2
(
∂vj (⃗ r ,t) ∂xk
−
∂vk (⃗ r ,t) ∂xj
)
dxk
vj (⃗ r, t)
odpovídá transla£nímu pohybu, £len
∑3
1 k=1 2
rota£nímu pohybu a £len
zbývá na pohyb deforma£ní. Soubory veli£in
Ajk (⃗ r, t) =
1 2
(
∂vj (⃗ r, t) ∂vk (⃗ r, t) − ∂xk ∂xj
) , Bjk (⃗ r, t) =
jsou sloºkami kartézských tenzor· druhého °ádu. Tenzor
−Akj , tenzor
ˆ B
je symetrický, protoºe
Bjk = Bkj .
vj (⃗ r + d⃗ r, t) = vj (⃗ r, t) +
3 ∑
ˆ B
ˆ A
Pohyb kontinua se nazývá
⃗v
1 2
(
Ajk dxk +
(
∂vj (⃗ r ,t) ∂xk
+
∂vk (⃗ r ,t) ∂xj
∂vj (⃗ r, t) ∂vk (⃗ r, t) + ∂xk ∂xj
je antisymetrický, nebo´
se nazývá
k=1
torové pole
(4.7)
∂vj ∂vj k=1 ∂xk dxk jsme vyuºili formálního zápisu veli£iny Cjk = ∂xk ve 1 (Cjk + Ckj ) + 12 (Cjk − Ckj ) .) Interpretace výraz· na pravé stran¥ p°echozí rov2
(P°i úprav¥ výrazu tvaru
( ) 3 ∑ r, t) 1 ∂vj (⃗ ∂vk (⃗ r, t) − dxk + 2 ∂xk ∂xj k=1
3 ∑
)
)
Ajk =
tenzor rychlosti deformace.
Bjk dxk .
k=1
ustáleným (stacionárním) proud¥ním
£asov¥ neprom¥nné, tj.
, jestliºe je vek-
⃗v = ⃗v (⃗r) .
V takovém p°ípad¥ je obraz
proudnic v kaºdém okamºiku stejný. Znamená to, ºe kaºdý element kontinua,
⃗r , musí nabýt rychlosti ⃗v , která je ⃗v = ⃗v (⃗r) , a to bez ohledu na okamºik,
který se octne v míst¥ o polohovém vektoru tomuto místu p°i°azena vektorovou funkcí
v n¥mº se element v uvaºovaném míst¥ nachází. Ze skute£nosti, ºe vektor rychlosti elementu je v kaºdém okamºiku te£ný k jeho trajektorii a sou£asn¥ k proudnici, která v daném okamºiku prochází bodem trajektorie, v n¥mº element práv¥ je, vyplývá, ºe ve stacionárním p°ípad¥ splývají trajektorie s proudnicemi. Jejich parametrické vyjád°ení je °e²ením vektorové rovnice (4.4), v níº parametr
s
s = t , a závislost na t0 ⃗rξ (0) = ξ⃗ a partikulární °e²ení
získává význam £asu, tj.
podmínky mají tvar
mizí. Vektorové po£áte£ní rovnice (4.4),tj. jednotlivé
trajektorie, lze zapsat jako vektorové funkce £ty° prom¥nných:
4.2.2
Pohyb ideálních tekutin
4.2.3
Pohyb reálných tekutin
⃗ t) . ⃗rξ (t) = ⃗r(ξ,
dxk
Kapitola 5
Soustavy mnoha £ástic a zákonitosti jejich chování 5.1 Zákony termodynamiky 5.2 Makroskopické veli£iny a st°ední hodnoty 5.3 xxxxx
241
