Matematické modely a způsoby jejich řešení Kateřina Růžičková
Rovnice matematické fyziky Přednáška převzata od Doc. Rapanta
Parciální diferencíální rovnice • Diferencialní rovnice obsahujcí parcialní derivace nezname funkce podle více proměnných • (obyčejná diferencialní rovnice - derivace podle jedné proměnné) • Řád diferencialní rovnice odpovdá řádu nejvyšší derivace
Rovnice matematické fyziky Parciální diferenciální rovnice => parciální diferenciální rovnice druhého řádu => popis fyzikálních procesů a polí v systémech s rozloženými parametry
Obecná rovnice matematické fyziky n ∂u ∂u aij + ∑ bi + cu + f = 0 ∑ ∂xi ∂x j i =1 ∂xi i =1 n
2
j =1
Koeficienty aij, bi, c a f - obecné spojité funkce nezávisle proměnných x1, x2 ... xn, (obvykle prostorové souřadnice x, y, z a čas t), případně i závisle proměnné u
Lineární parciální difrenciální rovnice • Koeficienty nejsou funkcemi závisle proměnné u • uvažujme rovnici pouze se dvěma nezávisle proměnnými souřadnicemi x a y
Rovnice matematické fyziky Označme koeficienty aij velkými písmeny:
A ≡ a11 2 B ≡ a12 + a21 C ≡ a22 • a zbylé členy výrazem:
H ( x, y , u, u′x, u′y )
Rovnice matematické fyziky • potom rovnice (1) přejde na tvar: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u A 2 + 2B + C 2 = H ( x, y , u, u′x, u′y ) ∂x ∂x∂y ∂y
• a na základě hodnoty diskriminantu: D = B 2 − AC
Rovnice matematické fyziky • se rovnice odpovídající obecnému zápisu dělí na: – eliptické: – parabolické: – hyperbolické:
D < 0, D = 0, D > 0.
• uvedeme si stručný výčet některých eliptických, parabolických a hyperbolických rovnic a vysvětlíme si jejich význam,
Eliptické rovnice • popisují ustálená fyzikální pole, • jako příklady si uvedeme dva základní typy rovnic: – Laplaceova rovnice, – Poissonova rovnice,
Laplaceova rovnice • matematický zápis Laplaceovy rovnice je velice jednoduchý: (2) ∆u = 0 kde Δ je Laplaceův operátor delta, který po rozepsání vypadá takto:
∂ ∂ ∂ ∆= 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z 2
2
2
Laplaceova rovnice • popisuje četná ustálená fyzikální pole bez vnitřních zdrojů a propadů, • jedná se o: – – – –
elektrická, teplotní, hydrodynamická a filtrační pole a jiná fyzikální pole.
Laplaceova rovnice Příklad:
∆h = 0
resp.:
∂h ∂h + 2 =0 2 ∂x ∂y 2
2
popisuje ustálené proudění podzemní vody v homogenním a isotropním prostředí.
Poissonova rovnice • Matematický zápis je rovněž velice jednoduchý: (3)
∆u − F ( x, y , z ) = 0
• tato rovnice popisuje četná ustálená fyzikální pole s vnitřními zdroji a propady, jako jsou:
Poissonova rovnice • • • •
elektrická, elektrostatická a magnetická pole, proudění dokonalé nestlačitelné tekutiny s vnitřními zdroji a propady, • vířivé proudění, • filtraci tekutin porézním materiálem, • atd.
Poissonova rovnice Příklad: ∆h − F ( x, y , z ) = 0 resp.: ∂ 2h ∂ 2h R ∂x
2
+
∂y
2
−
k
=0
popisuje ustálené proudění podzemní vody v homogenním a isotropním prostředí s vnitřními zdroji a propady.
Parabolické rovnice • popisují neustálená fyzikální pole difúze hmoty nebo šíření energie vedením, • k základním typům patří: – Fourierova rovnice, – rovnice vedení tepla, – rovnice atmosférické difúze částic,
Fourierova rovnice • matematický zápis: ∂u ∆u + B =0 ∂t
• popisuje neustálené pole bez vnitřních zdrojů a propadů, • patří mezi ně pole – – – – –
elektrická, elektromagnetická, teplotní, hydrodynamická, difúzní i filtrační,
Rovnice vedení tepla • matematický zápis: ∂u ∆u + B − F ( x , y , z ) = 0 ∂t
• popisuje stejná neustálená pole jako rovnice Fourierova, ale zahrnuje i vnitřní zdroje a propady,
Rovnice atmosférické difůze částic • matematický zápis:
∂u K∆u + H∇u + B =0 ∂t • popisuje difúzi částic a umožňuje řešit četné ekologické problémy z oblasti znečišťování ovzduší,
Hyperbolické rovnice • mají základní význam v nauce o šíření energie vlněním v látkách tuhých, kapalných i plynných, • jedná se například o problémy: – akustiky, – šíření seizmických vln při zemětřesení a geologickém průzkumu apod.
Řešení rovnic modelů •
Analytické řešení (analytické modely) – Exaktní řešení parciální diferenciální rovnice (spojité v prostoru a čase) – Mnoho zjednodušujících předpokladů
• Numerické řešení (numerické modely) – Přibližné řešení – Pro komlikovanější problémy, složitější podmínky
Analytické modely • vzhledem k rozsáhlosti a proměnlivosti zkoumaných systémů jsou tyto modely prakticky použitelné jen ve velice omezené míře • jen u nejjednodušších úloh, jako je např. vyhodnocení tzv. čerpacích zkoušek
Zjednodušení Složitý systém => jednodušší subsystémy zpracovávané odděleně Neexistující formy homogenní a isotropní materiál (např. vzduch => ideální plyn)
Nezávislost látkových vlastností (např. na teplotě)
Zjednodušení Zanedbání ztrát Linearizace nelineárních závislostí Zavádění korekčních (empirických) koeficientů Koordinace pomalých a rychlých dějů (např. předpoklad, že rychlý děj již dosáhl rovnovážného stavu)
Zjednodušení Použití empiricky zjištěných vztahů a závislostí mezi veličinami Zjednodušení geometrických proporcí (+ volba vhodných souřadnicových soustav) Odstranění závislostí sledovaných veličin na souřadnicích (modely se soustředěnými parametry)
Začínat vždy od teoretických modelů maximálně jednoduchých a komplikovat je teprve tehdy, když výsledky nevyhovují našim představám a požadavkům nebo praktickým zkušenostem.
Numerické modely Postup: – řešení diferenciálních rovnic se převádí na řešení soustavy algebraických rovnic, – modelovaná oblast se rozdělí na samostatné části – diskretizace prostoru, – časový interval se rovněž rozdělí na samostatné úseky – diskretizace času,
Numerické metody modelování • Metoda konečných rozdílů (angl. Finite Difference Method; FDM) • Metoda konečných prvků (angl. Finite Element Method; FEM) • Metoda hraničních prvků (Boundary Elements Method; BEM) • Metoda oddělených elementů (Distinct Elements Method; DEM)
Metoda konečných prvků Rozdělení spojité modelované oblasti do množiny podoblastí ● Konečný prvek – zvolený element (objemu, délky, plochy) definovaný uzly v rozích ●
Metoda konečných prvků Postup: • Distretizace analyzované oblasti • Aproximace hledané funkce • Sestavení maticové rovnice • Vyřešení maticové rovnice
Diskretizace oblasti Podoblasti: • Vzájemně se nepřekrývají • Pokrývají celou oblast • V každém prvku konstantní parametry analyzované struktury • Linie (1D), trojúhelníky (2D), obdélníky(2D), čtyřstěny (3D)
Hustota sítě • Hustší síť – výpočet přesnější, ale pomalejší • Proměnlivá hustota sítě – Zjemňování: • Interaktivně • Adaptivně – dle velikosti chyby na jednotlivých prvcích
Aproximace hledané funkce Nad celou plochou, každého prvku Dif. rovnice => lin. nebo kvadratické polynomy Řešení potenciálů v uzlech sítě
Vyřešení maticové rovnice • Pomocí inverzní matice • Gaussovou eliminací • Pomocí vlastních čísel – vlastních vektorů
Výhody • Umožňuje řešit obrovské soustavy až o miliónech rovnic a miliónech neznámých (paralelní výpočty) • Dokonalá aproximace vyšetřovaného povrchu • Lze dobře automatizovat
Metoda konečných diferencí Náhrada parc. derivací diferencemi v uzlových bodech Aproximace derivací diferencemi:
Metoda konečných diferencí • Výběr vhodné množiny uzlů • Volba vzdálenosti mezi uzly • Aproximace diferenciálního operátoru diferenčním • Sestavení soustavy rovnic • Řešení soustavy rovnic
Výběr vhodné množiny uzlů
Volba vzdálenosti mezi uzly • Hustší síť – výpočet přesnější, ale pomalejší • Proměnlivá hustota – tam, kde se hodnota sledované funkce více mění => hustší síť
Výhody/nevýhody + jednoduchost při programování + relativní jednoduchost v nelineárních matem. modelech - problém s aproximací okrajových podmínek - zhoršení přesnosti pro síť s různým odstupem uzlů (nutný malý časový krok)
Diskretizace času obou metod • je jednodušší, • časový období, pro které má proběhnout modelování, se rozdělí na jednotlivé časové intervaly (kroky), • ty mohou být buďto pravidelné, nebo nepravidelné,
Porovnání MKP a MKR • matematický popis modelovaného procesu • diskretizace prostoru • interpolace
Matematický popis • obě metody vycházejí z popisu modelovaného procesu parciálními diferenciálními rovnicemi • obě vedou na konci k řešení soustavy algebraických rovnic, jejímž řešením je vektor hodnot požadované veličiny modelovaného procesu, vztahujících se k bodům, pro něž je výpočet prováděn • MKP používá náročnější postupy řešení
Diskretizace prostoru • MKP: – (ne)pravidelná síť trojúhelníkových plošek – hodnoty jsou počítány ve vrcholech plošek – platí pro vrcholy, jinak interpolujeme
• MKD: – pravidelná síť zpravidla čtvercových buněk – hodnoty jsou počítány pro středy buněk – platí pro celou plochu buňky
Interpolace hodnot • MKP: – nad trojúhelníkovými ploškami se nejčastěji provádí vážená lineární interpolace – váha je vyjádřena tzv. bázovou funkcí
• MKD: – používá nejjednodušší způsob interpolace – bodům v celé buňce se přiřazuje hodnota odpovídající středu buňky (tzv. metoda nejbližšího souseda)
Numerické řešení Výsledek – soustava lineárních rovnic – Přesné (finitní) metody • Teoreticky přesné řešení po konečně mnoha krocích
– Iterační (přibližné) metody • K přesnému řešení konverguje nekonečná posloupnost kroků • Efektivnost závislá na volbě počáteční aproximace (problematické) a rychlosti konvergence
Literatura Teorie diferenciálních rovnic: http://eamos.pf.jcu.cz/amos/kat_fyz/externi/kat_f yz_0062/kapitola1.pdf a kapitola2.pdf Numerická řešení: home.zcu.cz/~mika/SNM2/SNM2.pdf
