MODELY TUHNUTÍ A HETEROGENITY PLYNULE LITÉ BRAMY A JEJICH APLIKACE

METAL 2001

15. - 17. 5. 2001, Ostrava, Czech Republic

MODELY TUHNUTÍ A HETEROGENITY PLYNULE LITÉ BRAMY A JEJICH APLIKACE Jana Dobrovskáa) František Kavičkab) Věra Dobrovskáa) Karel Stránskýb) Josef Štětinab) a)

VŠB – Technická univerzita Ostrava, 17.listopadu 15, 708 33 Ostrava, ČR, e-mail: [email protected] b) VUT FS Brno, Technická 2, 616 69 Brno, ČR, e-mail: [email protected]

Abstract Models of solidification and heterogeneity of a continuously cast blank and their application The contribution presents the result of an application of the numerical model of solidification and the model of chemical heterogeneity to the estimation and description of the solidification and heterogeneity parameters of a continuously cast blank (dimensions 1530x250 mm) of non-alloyed low carbon steel. The nine experimental samples were taken from one half of the blank cross section. The chemical heterogeneity of elements (Al, Si, P, S, Ti, Cr, Mn a Fe) was measured by means of electron microprobe in 101 points of sample structures. The following heterogeneity parameters of elements were established: microheterogeneity indexes IH, effective partition coefficients kef and pair correlation coefficients kij among the elements i and j of the blank. Besides these parameters, the dimensionless Brody-Flemings parameters αi = Diθ/L2 were calculated for each element and each sample and compared with literature data. For each sample, the local times of solidification θ and the dendrite arm spacing L were calculated by means of an original numerical method. Then the diffusion coefficient of each element was calculated by relation of Di = αiL2/θ . The calculated values of diffusion coefficients were compared with those in literature. 1. ORIGINÁLNÍ NUMERICKÝ MODEL TEPLOTNÍHO POLE Tuhnutí a chladnutí klasicky odlitého odlitku a současný ohřev formy je z hlediska termokinetiky případ prostorového (3-D) nestacionárního přenosu tepla a hmoty v soustavě odlitek-forma-okolí. Jestliže se zanedbá přenos hmoty a ze tří základních druhů přenosu tepla se v soustavě považuje za rozhodující vedení, pak se problém redukuje na řešení FourierKirchhoffovy rovnice ve tvaru: cv

∂T ∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T  = λ  + λ λ +  + Q source ∂t ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z 

(1)

V případě plynulého odlévání je třeba řešit tuhnutí a chladnutí předlitku při jeho průchodu ZPO a ohřev krystalizátoru. Teplotní pole krystalizátoru (tzv. zóna primárního chlazení) je popsáno rovnicí (1). Teplotní pole předlitku procházejícího ZPO, tj. zónou primárního, sekundárního a terciálního chlazení může být popsáno pomocí Fourier – Kirchhoffovy rovnice redukované do podélného směru vektoru rychlosti:

-1-

METAL 2001

15. - 17. 5. 2001, Ostrava, Czech Republic

∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T   ∂T cv  + wz λ  + λ = λ +  + Q source ∂z  ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z   ∂t

(2)

Rovnice (2) musí popisovat teplotní pole předlitku ve všech třech jeho stádiích, nad teplotou likvidu (tavenina), v intervalu teplot likvidu a solidu (tzv. mushy zone) i pod teplotou solidu (pevná fáze). 3–D model je založen na explicitní numerické metodě konečných diferencí. Má grafický vstup i výstup, což znamená automatické generování sítě pro volitelný tvar krystalizátoru a libovolný profil bramy. Za tímto krokem následuje vložení termofyzikálních materiálových vlastností řešeného systému včetně jejich teplotních závislostí. Jsou to zejména tepelná vodivost, specifická tepelná kapacita a hustota odlévaného kovu v tuhé i tekuté fázi, krystalizátoru a licích prášků. Potom následuje vložení okrajových podmínek, tzn. koeficientů přestupu tepla na všech hranicích ZPO. Také musí být zadána závislost těchto koeficientů na teplotě a dalších operačních parametrech. Definice okrajových podmínek je nejdůležitější částí řešení termokinetiky procesu, protože přesnost numerického modelu je silně ovlivňována definováním těchto okrajových podmínek. Je tedy připraven komplexní výpočtový aparát od generace sítě přes přípravu termofyzikálních parametrů (včetně posouzení jejich vlivu), přes definici okrajových podmínek (včetně posouzení jejich vlivu) až po numerický výpočet teplotního pole a rozmanité zpracování výsledků. Aplikace numerického modelu teplotního pole předpokládá systematický experimentální výzkum a měření provozních parametrů na reálném ZPO i v laboratoři. Výsledky měření, především teplot, slouží nejen k ověření přesnosti modelu, ale především k zajištění provázanosti postupu reálný proces → získání vstupních dat → provedení numerické analýzy → optimalizace → korekce reálného procesu. Příklady aplikace numerického modelu teplotního pole při výzkumu plynule litých bram byly presentovány např. v [1,2]. 2. NUMERICKÝ MODEL CHEMICKÉ HETEROGENITY Byl vypracován podrobný postup při aplikaci numerického modelu chemické heterogenity na proces tuhnutí a chladnutí plynule litých ocelových bram. Postup sestává z těchto po sobě následujících kroků: Ve vybraném úseku (event. úsecích) odlité ocelové bramy se stanoví v pravidelných krocích koncentrace hlavních konstitutivních a doprovodných prvků, popřípadě i příměsových prvků ocelové bramy. Podle chemické heterogenity a struktury bramy se zpravidla volí úseky o délce 500 až 1000 µm a celkový počet kroků, v nichž je stanovována koncentrace, se volí 101. Při měření chemické heterogenity ocelových bram byla aplikována délka měřeného úseku 1000 µm. Ke stanovení koncentrace prvků je aplikována metoda kvantitativní energiové disperzní (EDA), nebo vlnové disperzní (VDA) rentgenové spektrální mikroanalýzy, pro kterou byl ve spojení s analytickým komplexem JEOL JXA 8600/KEVEX Delta V Sezame vypracován speciální software a speciální měřicí přípravek. Po ukončeném měření se vhodným naleptáním povrchu vzorku zviditelní kontaminace povrchu elektronovým paprskem a měřená stopa se dokumentuje fotograficky. Tímto způsobem se doloží korespondence změřených koncentrací prvků a struktury příslušné slitiny a zároveň metalograficky stanoví střední vzdálenost dendritù v rámci měřeného úseku. Základní soubor koncentračních dat lze po aplikaci systému korekcí ZAF ke kvantitativnímu stanovení koncentrací dále zpracovat těmito způsoby:

-2-

METAL 2001

15. - 17. 5. 2001, Ostrava, Czech Republic

!

Lze zobrazit základní koncentrační spektrum všech měřených prvků (zpravidla 8 až 11) ve zvoleném úseku a tím způsobem získat kvalitativní až semikvantitativní představu o chemické mikroheterogenitě ocelové bramy. ! Prostřednictvím statistického zpracování koncentrací měřených prvků lze stanovit jejich korelační matici a takto posoudit, jak se jednotlivé prvky během krystalizace a chladnutí bramy, popřípadě během jejího dalšího tepelného zpracování , navzájem ovlivňují. Je to důležité zejména vzhledem k prvku, který tvoří bázi ocelových bram, tj. k železu. ! Poté lze aplikovat na změřený soubor koncentračních dat základní statistickou analýzu (tj. předpokládat normální Gaussovo rozdělení dat) a stanovit aritmetický průměr a směrodatnou odchylku analyzovaných prvků. Podíl první a druhé veličiny (označovaný jako variační koeficient) zároveň udává index chemické (v litém stavu dendritické) mikroheterogenity [IH] jednotlivých prvků. ! Soubory změřených koncentrací jednotlivých prvků lze podrobit statistickým testùm a stanovit povahu statistického rozdělení koncentrací, které může být (jak ukazují dosavadní měření a jejich zpracování) normální, logaritmicko-normální, Weibullovo, exponenciální, binomické, Poissonovo, popřípadě složené. Podle toho, jakou úlohu hraje příslušný prvek v bramě při její krystalizaci a chladnutí, popřípadě při jejím dalším tepelném zpracování. ! Na základě známého statistického rozdělení koncentrace prvků v ocelové bramě lze poté pro každý prvek stanovit distribuční křivku jeho koncentrace v analyzované bramě. Jde-li o stav bramy po plynulém odlití, pak hovoříme o distribuční křivce dendritické segregace příslušného prvku. Tyto křivky charakterizují nejpravděpodobnější rozložení koncentrace prvku v rámci průměrného (normovaného) dendritu. ! Přímo ze změřených koncentrací jednotlivých prvků, uspořádaných podle absolutních hodnot buď vzestupně (odměšují-li do taveniny), nebo sestupně (odměšují-li do pevné fáze v ocelové bramě se takto chová pouze železo), - příslušné informace nám poskytne korelační matice - lze stanovit jejich efektivní rozdělovací koeficienty, přičemž pro stanovení efektivních rozdělovacích koeficientů v bramě byl vypracován speciální model. Efektivní rozdělovací koeficienty jednotlivých prvků [kef ] přinášejí základní informace o chování těchto prvků během krystalizace a chladnutí bramy, popřípadě během dalších tepelných a teplotních režimů, kterými brama prochází. ! Předchozí veličiny (indexy heterogenity, efektivní rozdělovací koeficienty, distribuční křivky koncentrace prvků a koeficienty párové korelace měřených prvků v bramě) lze dále uvést do souvislosti s daty, která charakterizují mechanické vlastnosti příslušné bramy, tj. s technologickými daty, s parametry krystalizace, ostřiku bramy, rychlosti chladnutí aj., stejně jako s vadami bramy (s vnitřními hlinami,povrchovými vadami aj.). Příslušných vztahů lze následně využít k optimalizaci struktury a vlastností plynule litých bram. Příklady aplikace numerického modelu chemické heterogenity při experimentálním výzkumu chemické heterogenity plynule litých bram byly publikovány např. v Hutnických listech [3,4]. 3. SJEDNOCENÍ MODELŮ TEPLOTNÍHO POLE A CHEMICKÉ HETEROGENITY Ke sjednocení obou zmíněných modelů byl učiněn základní předpoklad, že během krystalizace i následného chladnutí lze redistribuci hlavních konstitutivních a doprovodných prvků, popřípadě i příměsových prvků ocelové bramy mezi tuhou (pevnou) fázi a taveninu kvantitativně popsat efektivním rozdělovacím koeficientem, který pro parabolický růst tuhé fáze odvodili Brody a Flemings [5] Podle zmíněného modelu je možno v okamžiku ztuhnutí vyjádřit podíl koncentrace uvažovaného prvku v osách dendritů C0 ke koncentraci téhož prvku v prostorách mezi dendrity CS (tj. v posledním zbytku mezidendritické taveniny v okamžiku ztuhnutí) základní rovnicí:

-3-

METAL 2001

15. - 17. 5. 2001, Ostrava, Czech Republic

CS = kC0 [1 − (1 − 2αk )gS ](k −1) (1− 2αk )

(3)

V rovnici (3) je gs podíl utuhlé fáze a k představuje (efektivní) rozdělovací koeficient daného prvku mezi tuhou a tekutou fází. Bezrozměrný parametr α představuje hodnotu Fourierova kritéria pro přenos hmoty (Fickova kritéria) a má tvar α=

D S Θ ls

(4)

L2

v němž je Ds koeficient difúze daného prvku v tuhé fázi, θls místní doba tuhnutí (tj. doba tuhnutí uvažovaného dendritu mezi teplotu likvidu a teplotou solidu) a L je poloviční vzdálenost dendritických os (jmenovitě os sekundárních dendritů). Další postup směřující ke sjednocení obou numerických modelů spočívá v tom, že je podíl koncentrací CS/C0 vyjádřen jako funkce indexu heterogenity IH a statistického rozdělení měřeného prvku vyjádřeného distribuční křivkou dendritické segregace, takže pro každý měřený prvek je k dispozici numerická (konkrétními čísly vyjádřená) rovnice CS C 0 = f (I H )

(5)

Řešením rovnic (3) a (5) lze poté pro každý analyzovaný prvek (tj. pro jeho změřený index dendritické heterogenity, efektivní rozdělovací koeficient a distribuční křivku dendritické segregace, tzn. pro nalezenou statistickou povahu rozdělení analyzovaného prvku ve struktuře bramy) stanovit určitou hodnotu bezrozměrného kritéria α. Dále lze na základě semiempirických vztahů a rychlosti posuvu fronty tuhnutí vypočtené z modelu teplotního pole, v konfrontaci s metalografickou analýzou, stanovit pro každý vzorek bramy střední hodnotu poloviční vzdálenosti os větví sekundárních dendritů L. Pomocí numerického modelu teplotního pole se poté vypočte pro každý vzorek odebraný z bramy lokální doba tuhnutí, tj. veličina θls, která podobně jako poloviční vzdálenost os (větví) sekundárních dendritů vystupuje v kritériu α vypočteném pro jednotlivé měřené prvky, taktéž v každém vzorku bramy. Poněvadž jsou nyní známé pro každý vzorek kontinuálně lité bramy veličiny L a θls , jež charakterizují jeho strukturu (L) a časové poměry tuhnutí (θls) a pro každý vzorek bramy a každý analyzovaný prvek téže bramy známe také bezrozměrné Fourierovo kritérium α, je zřejmé, že lze pomocí těchto veličin kvalifikovaně odhadnout koeficient difúze každého analyzovaného prvku v jednotlivých vzorcích bramy. Takto stanovené (kvalifikovaně odhadnuté) koeficienty difúze αL2 DS = Θ ls

(6)

lze poté porovnat s difúzními koeficienty prvků podle literatury, posoudit rozdíly a verifikovat oprávněnost spojení obou numerických modelů (tj. modelu teplotního pole a modelu chemické heterogenity). 4. EXPERIMENT Pro ověření možnosti sjednocení obou numerických modelů byla vybrána již analyzovaná brama [6] z uhlíkové oceli, odlitá ve fy VÍTKOVICE, a.s. Rozměry bramy činily 1530x250 mm a chemické složení v hm% bylo následující: 0,11C; 0,61Mn; 0,18Si; 0,009P; 0,015S; 0,15Cr; 0,04Ni; 0,01Mo; 0,06Cu; 0,006Al; 0,01Nb; 0,01V; 0,08Ti.

-4-

METAL 2001

15. - 17. 5. 2001, Ostrava, Czech Republic

Z plynule odlitých bram byly po ztuhnutí a vychladnutí na teplotu okolí vyříznuty příčné pásy, které byly poté osově rozděleny na poloviny a vždy z jedné z nich byly ke stanovení chemické heterogenity odebrány a označeny vzorky podle uvedeného schéma. Ke stanovení koncentračního rozdělení 8 prvků (Al, Si, P, S, Ti, Cr, Mn a Fe) ve vzorcích byl použit analytický komplex JEOL JXA 8600/KEVEX Delta Sesame a metodika popsaná v úvodu 2.kapitoly. Z takto stanovených hodnot koncentrací jednotlivých prvků ve vzorcích byl poté určen jejich statistickým zpracováním, za předpokladu Gaussova rozdělení změřených hodnot, aritmetický průměr cst , index dendritické mikroheterogenity prvků určený poměrem IH = (σn-1)/cst, jejich efektivní rozdělovací koeficient kef, vždy včetně jejich směrodatných odchylek a další parametry [6]. 5. ZHODNOCENÍ VÝSLEDKŮ A ZÁVĚRY Příklad verifikace oprávněnosti spojení obou modelů je demonstrován: ! v tabulce I, která obsahuje pro každý vzorek bramy (jde o vzorky 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32 a 33) veličiny θls a L – změřené a vypočítané [7] na základě numerického modelu teplotního pole, ! v tabulce II, která obsahuje pro každý vzorek bramy a pro každý analyzovaný prvek (Al, Si, P, S, Ti, Cr, Mn a Fe) korespondující veličiny kef , α , Ds , ! a v tabulce III, obsahující koeficienty difúze stanovené shora popsaným postupem na základě spojení obou modelů a také na obr. 1, který znázorňuje vzájemný vztah mezi koeficienty difúze podle literatury (osa úseček) a ze spojení obou modelů (osa pořadnic). Vztah mezi oběma typy koeficientů difúze prvků (Al, Si, P, S, Ti, Cr, Mn a Fe) v tuhém stavu za vysokých teplot, tj. při vzájemném kontaktu tuhé a kapalné fáze, je charakterizován korelačním koeficientem o hodnotě r = 0,7086. Uvážíme-li že na obr. 1 je znázorněn vztah mezi osmi párovými veličinami, potom je uvedená relace charakterizována ν = 8 - 2 = 6, tj. šesti stupni volnosti. Za těchto podmínek je kritická hodnota koeficientu korelace na hladině spolehlivosti 0,05 r0,05 = 0,7067. V porovnání s námi stanovenou hodnotou korelačního koeficientu r = 0,7086 vidíme, že platí r > r0,05 , což značí, že koeficient korelace charakterizující relaci mezi koeficienty difúze prvků podle literatury a koeficienty difúze těchže prvků ze spojení obou modelů je statisticky významný na hladině spolehlivosti lepší než 0,05. Lze tedy v prvém přiblížení říci, že pravděpodobnost omylu, tvrdíme-li, že oba modely lze navzájem popsaným způsobem kombinovat (spojit), je menší než pět procent. Vypočteme-li dále poměr obou typů difúzních koeficientů, tj. poměr (Dsexp)/( Dslit), viz data v tabulce III, a stanovíme-li geometrický průměr obou typů koeficientů difúze, tj. experimentálního a literárního, získáme hodnotu D Sexp D Slit

754 = 1,007 +−04,,831

(7)

kde DSlit jsou průměrné hodnoty z [7,8]. Vztah (7) ukazuje, že námi stanovené koeficienty difúze (tj. koeficienty difúze stanovené z propojení obou modelů) se v průměru shodují s hodnotami difúzních koeficientů prvků podle literatury.

-5-

METAL 2001

15. - 17. 5. 2001, Ostrava, Czech Republic

Tab.I Veličiny vystupující z numerického modelu teplotního pole Vzorek Parametr 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11,440 653,824 11,440 13,477 710,646 13,477 11,491 34,243 11,491 Θ [s] L [µm] 107,252 565,286 107,252 114,710 586,441 114,710 107,449 168,107 107,449

Tab.II Tabulka charakterizující propojení dvou numerických modelů Vzorek 11

12

13

21

22

23

31

32

33

Parametr kef IH α Ds ∙108 kef IH α Ds ∙108 kef IH α Ds ∙108 kef IH α Ds ∙108 kef IH α Ds ∙108 kef IH α Ds ∙108 kef IH α Ds ∙108 kef IH α Ds ∙108 kef IH α Ds ∙108

Al 0,1848 1,9040 0,02068 5,198 0,2073 1,7273 0,02583 3,156 0,2064 1,7795 0,01700 4,273 0,2016 1,7921 0,02713 6,622 0,1759 1,9483 0,02411 2,917 0,1730 2,0135 0,01745 4,259 0,2143 1,7664 0,01432 3,597 0,1708 1,9998 0,02702 5,575 0,2496 1,5259 0,03252 8,168

Si 0,8076 0,2491 0,0188 4,728 0,8012 0,2517 0,0138 1,686 0,8307 0,2161 0,0246 6,184 0,8051 0,2508 0,0186 4,540 0,8128 0,2409 0,0185 2,243 0,8070 0,2579 0,0202 4,926 0,7873 0,2814 0,0151 3,790 0,8074 0,2482 0,0092 1,906 0,7914 0,2638 0,0091 2,281

P 0,2323 1,6008 0,02207 5,548 0,1777 1,9768 0,01704 2,082 0,1848 1,8635 0,02154 5,415 0,2107 1,7214 0,02051 5,006 0,2704 1,4220 0,02424 2,933 0,1396 2,2894 0,02152 5,253 0,2081 1,7172 0,03063 7,694 0,2173 1,6676 0,02859 5,899 0,1837 1,8740 0,02457 6,172

Prvek S 0,3004 1,3120 0,03965 9,967 0,2772 1,3855 0,02864 3,499 0,1791 2,4399 0,00814 2,046 0,2468 1,5181 0,02947 7,193 0,3041 1,3032 0,02484 3,005 0,2816 1,3722 0,02990 7,298 0,2658 1,4343 0,02239 5,624 0,1537 3,1207 0,00643 1,327 0,2677 1,4387 0,02210 5,551

Ti 0,7310 0,3557 0,0245 6,154 0,7511 0,3271 0,0183 2,236 0,7776 0,2903 0,0168 4,233 0,7583 0,3221 0,0243 5,944 0,7654 0,3109 0,0177 2,146 0,7589 0,3149 0,0134 3,278 0,7090 0,3873 0,0150 3,770 0,7439 0,3342 0,0076 1,566 0,7559 0,3219 0,0192 4,823

Cr 0,8074 0,2391 0,0106 2,665 0,7811 0,2806 0,0112 1,375 0,7860 0,2807 0,0044 1,099 0,8011 0,2623 0,0197 4,811 0,7904 0,2721 0,0273 3,303 0,7944 0,2589 0,0088 2,143 0,7847 0,2772 0,0133 3,338 0,7812 0,2808 0,0140 2,886 0,7917 0,2669 0,0101 2,542

Poznámky k tab.II: kef [-] – efektivní rozdělovací koeficient prvku mezi tuhou a kapalnou fází IH [-] – index dendritické mikroheterogenity α [-] – Fourierovo difúzní (Fickovo) kriterium Ds [cm2s-1] – difúzní koeficient daného prvku v tuhé fázi

-6-

Mn 0,8640 0,1671 0,0113 2,833 0,8501 0,1826 0,0159 1,942 0,8299 0,2244 0,0009 0,221 0,8728 0,1562 0,0166 4,062 0,8679 0,1600 0,0134 1,618 0,8808 0,1459 0,0087 2,131 0,8793 0,1544 0,0248 6,224 0,8695 0,1588 0,0021 0,435 0,8808 0,1524 0,0213 5,353

Fe 1,0012 0,0013 0,00719 1,807 1,0015 0,0016 0,00908 1,109 1,0015 0,0017 0,00003 0,007 1,0010 0,0012 0,02114 5,160 1,0012 0,0013 0,01216 1,471 1,0011 0,0012 0,00666 1,626 1,0011 0,0012 0,00750 1,884 1,0013 0,0014 0,00018 0,037 1,0011 0,0012 0,01047 2,630

METAL 2001

15. - 17. 5. 2001, Ostrava, Czech Republic

-14

ln Ds

exp

-16

-18

ln Ds

exp

lit

= 0,2039(ln Ds ) - 13,822 r = 0,7086

-20

-22 -22

-20

-18

ln Ds

-16

-14

lit

Tab.III Porovnání průměrných hodnot (geometrický průměr) vypočítaných difúzních koeficientů prvků Dsexp s hodnotami uvedenými v literatuře Dslit v [cm2s-1] ParaPrvek metr Al Si P S Ti Cr Mn Fe Dsexp ∙108 4,612 3,253 4,799 4,264 3,451 2,465 1,844 0,688 Dslit ∙108 61,942 0,624 5,340 59,800 0,585 1,649 0,327 0,204 Obr.1 Korelace mezi vypočítanými hodnotami difúzních koeficientů prvků a hodnotami nalezenými v literatuře. Příspěvek vznikl díky podpoře Grantové agentury ČR, v rámci řešení grantových projektů reg.č 106/00/0083 a 106/01/1464. LITERATURA [1] ŠTĚTINA, J., KAVIČKA, F., VELIČKA, B., KLABANOVÁ, L: Optimalization of Concasting Technology and Importance of the Material Thermophysical Properties. In: 9th Int. Metallurgical Conference METAL 2000 (CD-ROM), May 2000, Paper no 114. [2] KAVIČKA, F., ŠTĚTINA, J., STRÁNSKÝ, K., DOBROVSKÁ, J., DOBROVSKÁ, V., VELIČKA, B.: Original Numerical Simulation of Heat and Mass Transfer in a Concasting Technology. In: 6th International Conference Semi-Solid Processing of Alloys and Composites, Turin (Italy), September 2000, p.813. [3] DOBROVSKÁ, J., DOBROVSKÁ, V., KAVIČKA, F., STRÁNSKÝ, K., REK, A., VELIČKA, B.: Chemická mikroheterogenita prvků ve struktuře tří plynule litých ocelových bram různého chemického složení a rozměrů Hutnické listy, č. 4-7, 2000, s.66 [4] DOBROVSKÁ, J., DOBROVSKÁ, V., KAVIČKA, F., STRÁNSKÝ, K., REK, A., VELIČKA, B.: Chemická makroheterogenita prvků po průřezu tří plynule litých ocelových bram různého chemického složení a rozměrů, Hutnické listy, č. 4-7, 2000, s.73 [5] BRODY, H. D., FLEMINGS, M. C.: Trans. AIME, 1966, vol. 236, p. 615-624

-7-

METAL 2001

15. - 17. 5. 2001, Ostrava, Czech Republic

[6] DOBROVSKÁ, J., DOBROVSKÁ, V., KAVIČKA, F., REK, A., STRÁNSKÝ, K., VELIČKA, B.: Chemical micro- and macroheterogeneity of elements in a two continuous cast slabs with different chemical composition. Proceedings and CD ROM of the 9th International symposium METAL 2000, Czech Republic, Ostrava, May 2000, paper No. 116 [7] KOBAYASHI, S.: A Mathematical Model for Solute Redistribution during Dendritic Solidification. Trans. ISIJ, vol.28, 1988, p.535 [8] Smithells Metals Reference Book, Butterworth-Heinemann, Seventh Edition, 1998

-8-