Matematicka´ party 1401 – Na´boj ´ Uloha 1. 6 bod˚ u V kruhu sed´ı 2014 lid´ı, kaˇzd´ y m´a v ruce urˇcit´ y poˇcet kam´ınk˚ u, poˇcet kam´ınk˚ u, kter´ y maj´ı dva sousedn´ı lid´e se liˇs´ı o 2 nebo 3, jak´ y nejvˇetˇs´ı rozd´ıl kam´ınk˚ u m˚ uˇze b´ yt mezi dvˇema lidmi, kdyˇz v´ıte, ˇze ˇz´adn´ı dva nemaj´ı stejn´ y poˇcet kam´ınk˚ u? ´ Uloha 2. 6 bod˚ u Necht’ n je pˇrirozen´e ˇc´ıslo takov´e, ˇze zbytek po dˇelen´ı ˇc´ısel 45, 73, 115 ˇc´ıslem n je roven tˇrem. Urˇcete souˇcet vˇsech takov´ ych n. ´ Uloha 3. 6 bod˚ u V tov´arnˇe na bonb´ony vyr´abˇej´ı dva druhy bonb´on˚ u: citr´onov´e a vanilkov´e. Napohled jsou oba druhy k nerozezn´an´ı, ale bal´ıˇcek citr´onov´ ych bonb´on˚ u v´aˇz´ı 40 g, zat´ımco bal´ıˇcek vanilkov´ ych bonb´on˚ u v´aˇz´ı 50 g. Pˇri pˇrechodu na rok 2014 se projevil probl´em Y2K14 a balic´ı linka v tov´arnˇe zabalila oba druhy bonb´on˚ u do s´aˇck˚ u se stejn´ ym potiskem. Celkem bylo zabaleno 8 krabic tˇechto bonb´on˚ u, kaˇzd´a krabice obsahuje 200 s´aˇck˚ u. V´ıme, ˇze nˇekter´e krabice obsahuj´ı jen bal´ıˇcky citr´onov´ ych bonb´on˚ u a zb´ yvaj´ıc´ı krabice jen bal´ıˇcky vanilkov´ ych bonb´on˚ u. Zamˇestnanci tov´arny vˇsechny krabice rozdˇelali. Kolik mus´ı minim´alnˇe prov´est v´aˇzen´ı, aby zjistili, kter´e bonb´ony jsou citr´onov´e a kter´e vanilkov´e? (K dispozici je pˇresn´a elektronick´a v´aha.) ´ Uloha 5. 6 bod˚ u Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme um´ıstit na ˇsachovnici dvˇe vˇeˇze a kr´ale, tak aby se ˇza´dn´e dvˇe figurky neohroˇzovaly? ´ Uloha 6. 7 Urˇcete posledn´ı cifru ˇc´ısla 77 v des´ıtkov´em z´apisu.
6 bod˚ u
´ Uloha 7. 6 bod˚ u Na jednom bˇrehu ˇreky stoj´ı skupinka turist˚ u: Petr, Radim, Milan a Michal. U bˇrehu kotv´ı mal´a lod’ka, kter´a pojme nejv´ yˇse dva pasaˇz´ery. Turist´e jsou r˚ uzn´e tˇelesn´e konstrukce. Pˇri pˇrevozu hraje nejvˇetˇs´ı roli zat´ıˇzen´ı lod’ky, rychlost je vˇzdy urˇcena tˇeˇzˇs´ım pasaˇz´erem. Milanovi trv´a cesta pˇres ˇreku 1 minutu, Radimovi 2 minuty, Petr zvl´adne cestu za 5 minut a Michal za 10 minut. Jak´ y je nejmenˇs´ı moˇzn´ y poˇcet minut na to, aby se vˇsichni dostali na druhou stranu. ´ Uloha 9.6 bod˚ u 1 V ˇradˇe stoj´ı 117 voj´ak˚ u, gener´al vyd´av´a postupnˇe rozkazy: kaˇzd´ y druh´ y se pohne o krok dopˇredu! Kaˇzd´ y tˇret´ı se pohne o krok dopˇredu! a tak d´ale, aˇz kdyˇz se kaˇzd´ y 117 t´ y pohne o krok dopˇredu. Voj´ak na kter´e pozici bude nejd´ale?
1
´ Uloha 10. 6 bod˚ u Ve Lhotˇe volili starostu. Kandidovali dva obˇcan´e: Ing. Schopn´ y a jeho manˇzelka Dr. Schopn´a. V obci byly tˇri volebn´ı m´ıstnosti. V prvn´ı i druh´e m´ıstnosti dostala v´ıce hlas˚ u Dr. Schopn´a. V prvn´ı byl pomˇer hlas˚ u 7 : 5, ve druh´e 5 : 3. Ve tˇret´ı volebn´ı m´ıstnosti byl pomˇer hlas˚ u 3 : 7 ve prospˇech Ing. Schopn´eho. Volby nakonec skonˇcily nerozhodnˇe, oba kandid´ati totiˇz z´ıskali stejn´ y poˇcet hlas˚ u. V jak´em pomˇeru byly poˇcty platn´ ych odevzdan´ ych hlasovac´ıch l´ıstk˚ u v jednotliv´ ych volebn´ıch m´ıstnostech, v´ıme-li, ˇze v prvn´ı a druh´e m´ıstnosti odevzdal platn´ y hlas stejn´ y poˇcet lid´ı? ´ Uloha 11. 6 bod˚ u Vaˇs´ım u ´kolem jest ˇca´ru to lomenou nakresliti, a to tak, ˇze nˇekolik zvl´aˇstn´ıch to vlastnost´ı bude splˇ novati. Nejprve tˇreba jest, aby z ˇsest´ı ˇca´st´ı byla, tedy z ˇsesti to u ´seˇcek. D´ale nezbytn´e jest, aby tam, kde zaˇc´ın´a taky konˇcila, neboli ani konec ni zaˇca´tek m´ıt to vlastnˇe nem˚ uˇze. Uzavˇren´a tedy mus´ı b´ yt. A nakonec mus´ı b´ yt splnˇen´a posledn´ı, avˇsak kl´ıˇcov´a to podm´ınka – kaˇzd´a z u ´seˇcek mus´ı b´ yti pr´avˇe jednou protnuta jinou. Na tomto obr´azku jest splnˇena posledn´ı podm´ınka, avˇsak nejedn´a se o ˇca´ru to lomenou a uzavˇrenou.
´ Uloha 13. 8 bod˚ u Posloupnost a1 , a2 , a3 . . . je d´ana vztahy a1 = 46, a2 = 33 a an+2 = 2an+1 − an + 2. Najdˇete vˇsechna takov´a i, ˇze ai je druhou mocninou pˇrirozen´eho ˇc´ısla.
2
´ Uloha 14. 8 bod˚ u Z plechu tvaru ˇstvorca, ktor´eho strany maj´ u vel’kost’ 2 m, treba zhotovit’ otvoren´ u ˇskatul’u maxim´alneho objemu, ktor´a bude mat’ tv´ar kv´adra. Urˇcete v´ yˇsku v´ ysledn´e ˇskatul’e“. ” ´ Uloha 15. 8 bod˚ u Stˇredem koule je provrt´ana v´alcov´a d´ıra o v´ yˇsce 6 cm. Jak´ y je objem zbyl´e ˇca´sti koule? Pr˚ umˇer koule ani pr˚ umˇer d´ıry nen´ı zn´am. ´ (Pozn´amka: Ulohu je moˇzno vyˇreˇsit zpamˇeti.)
´ Uloha 17. Najdˇete vˇsechny prvoˇc´ısla p takov´e, ˇze 4p2 + 1 i 6p2 + 1 jsou prvoˇc´ısla.
8 bod˚ u
´ Uloha 18. 8 bod˚ u Urˇcete poˇcet vˇsech koster u ´pln´eho grafu na ˇctyˇrech vrcholech. (Kostry jsou r˚ uzn´e pr´avˇe tehdy, kdyˇz obsahuj´ı r˚ uzn´e hrany.) Alternativn´ı formulace bez teorie graf˚ u: Uvaˇzte pravideln´ y ˇctyˇrstˇen. Kostrou rozum´ıme takovou mnoˇzinu hran, ˇze mezi kaˇzd´ ymi dvˇema vrcholy ˇctyˇrstˇenu existuje pr´avˇe jedna cesta po hran´ach z t´eto mnoˇziny. Urˇcete poˇcet tˇechto koster. ´ Uloha 19. 8 bod˚ u Necht’ m´ame n vˇezˇ n˚ u. A necht’ m´ame gargantuovsk´e mnoˇzstv´ı klobouk˚ u k barev. Necht’ m´a kaˇzd´ y z vˇezˇ n˚ u p rukou a q nohou. D´ale necht’ kaˇzd´a z tˇechto rukou m´a j prst˚ u (poˇcet prst˚ u na nohou nen´ı zn´am). Vˇezˇ n˚ um se rozdaj´ı klobouky, kaˇzd´emu pr´avˇe jeden. (Teoreticky mohou m´ıt vˇsichni klobouk stejn´e barvy, ale pravdˇepodobnost tohoto je miziv´a.) A aby se vysvobodili, mus´ı vˇsichni spr´avnˇe zodpovˇedˇet, jak´a ˇze je to barva jejich klobouku. Probl´emem ale je, ˇze stoj´ı v ˇradˇe, a kaˇzd´ y vid´ı jen klobouky lid´ı pˇred sebou. Takˇze sv˚ uj, vcelku logicky pro dobro u ´lohy, nevid´ı. Odpov´ıdaj´ı v poˇrad´ı, to jest jako prvn´ı odpov´ıd´a ten, kdo vid´ı klobouky vˇsech kromˇe sebe, d´ale odpov´ıd´a ten, kdo vid´ı klobouky vˇsech kromˇe sebe a toho kdo jiˇz odpov´ıdal. Obecnˇe odpov´ıd´a ten, kdo jeˇstˇe neodpov´ıdal a vid´ı klobouky vˇsech lid´ı, kteˇr´ı jeˇstˇe neodpov´ıdali, samozˇrejmˇe kromˇe sv´eho vlastn´ıho. Pˇredem se domluv´ı, a zvol´ı optim´aln´ı strategii. No a ot´azka je jednoduch´a – jak´a je
3
pravdˇepodobnost, ˇze pˇri ide´aln´ı strategii odpov´ı vˇsichni spr´avnˇe. Vaˇs´ım u ´kolem je vyj´adˇrit tuto pravdˇepodobnost za pomoc´ı n, k, p, q a j. ´ Uloha 21. 8 bod˚ u Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme vybrat z mnoˇziny {1, 2, 3, 4 . . . 20} vybrat tˇri ˇc´ısla, aby byl jejich souˇcin dˇeliteln´ y 4? ´ Uloha 22. 8 bod˚ u M´ame potraviny dvou druh˚ u – A a B. V´ yˇzivov´e hodnoty ve 100 gramech kaˇzd´e z potravin shrnuje tabulka. Potravina Energie (kJ) B´ılkoviny(g) Tuky (g) A 100 50 0 B 200 10 30 Nadˇclovˇek, kter´eho chceme uˇzivit potˇrebuje 2500 kJ energie, 350 g b´ılkovin a 150 g tuk˚ u. Urˇcete, kolik gram˚ u potraviny A a kolik gram˚ u potraviny B by mˇel nadˇclovˇek dostat tak, aby byly splnˇeny jeho n´aroky a pˇritom souˇcet hmotnost´ı obou potravin byl nejmenˇs´ı moˇzn´ y. ´ Uloha 23. 8 bod˚ u Najdˇete vˇsechny ˇctvercov´e tabulky 3 × 3 pˇrirozen´ ych ˇc´ısel (0 ∈ / N), v nichˇz je souˇcin vˇsech ˇc´ısel v kaˇzd´em ˇra´dku, v kaˇzd´em sloupci i na obou u ´hlopˇr´ıˇck´ach stejn´ y a pro nˇeˇz plat´ı, ˇze souˇcet ˇctyˇr ˇc´ısel v jejich rohov´ ych pol´ıch je jednocifern´e ˇc´ıslo. Tabulky, kter´e jsou stejn´e aˇz na rotaci povaˇzujeme za totoˇzn´e. ´ Uloha 26. 10 bod˚ u Pravideln´ y 88-´ uheln´ık o stranˇe 1 je rozˇrez´an na koneˇcn´ y poˇcet rovnobˇeˇzn´ık˚ u. Nˇekter´e z nich mohou pˇrirozenˇe b´ yti obd´eln´ıky. Urˇcete souˇcet obsah˚ u vˇsech obd´eln´ık˚ u z tohoto rozdˇelen´ı. ´ Uloha 25. 1 bod˚ u0 Mˇejme troj´ uheln´ık ABC s norm´aln´ım znaˇcen´ım, osa u ´hlu α se prot´ın´a s osou vnˇejˇs´ıho u ´hlu u γ (vezme u ´seˇcku BC a opaˇcnou polopˇr´ımku k CA) v bodˇe D. Bodem D vedeme rovnobˇeˇzku se stranou BC, kter´a protne pˇr´ımky AC a AB postupnˇe v bodech L a M , urˇcete d´elku |LM |, pokud v´ıte, ˇze |LC| = 5 a |BM | = 7.
4
´ Uloha 27. 10 bod˚ u Soused, kter´ y n´am poˇr´ad dˇel´a naschv´aly, m´a pˇripravenou mˇr´ıˇzku 8 × 8, kterou by r´ad vydl´aˇzdil dlaˇzdicemi 2 × 1. Ale dˇr´ıve, neˇz to stihl udˇelat, jsme mu do t´eto mˇr´ıˇzky n´ahodnˇe um´ıstili dva kameny, takˇze na dvˇe (n´ahodnˇe zvolen´a) pol´ıˇcka nelze dlaˇzdice um´ıstit. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze i pˇres to bude soused schopen zb´ yvaj´ıc´ıch 62 pol´ıˇcek vydl´aˇzdit dlaˇzdicemi 2 × 1? ´ Uloha 29. 10 bod˚ u Uvaˇzujme posloupnost z p´ısmen A a B takov´e, ˇze kaˇzd´ y souvisl´ yu ´sek A m´a sudou d´elku a kaˇzd´ y souvisl´ yu ´sek B m´a lichou d´elku. Najdˇete nejmenˇs´ı poˇcet takov´ ych posloupnost´ı d´elky 14. ´ Uloha 30. 10 bod˚ u Jako mˇr´ıˇzov´e body budeme naz´ yvat body s celoˇc´ıseln´ ymi souˇradnicemi. Troj´ uheln´ık ABC m´a sv´e vrcholy v mˇr´ıˇzov´ ych bodech. Hranice troj´ uheln´ıka ABC prot´ın´a celkem 8 mˇr´ıˇzov´ ych bod˚ u. Ve vnitˇrku troj´ uheln´ıka se nach´az´ı 247 mˇr´ıˇzov´ ych bod˚ u. Urˇcete obsah troj´ uheln´ıka ABC. N´apovˇeda: Pick ´ Uloha 31. 10 bod˚ u Kolik r˚ uzn´ ych v´ ysledk˚ u m˚ uˇzeme dostat, seˇcteme-li kaˇzd´a dvˇe z dan´ ych pˇeti r˚ uzn´ ych pˇrirozen´ ych ˇc´ısel? ´ Uloha 33. 10 bod˚ u Mˇejme troj´ uheln´ık ABC s norm´aln´ım znaˇcen´ım, osa u ´hlu α se prot´ın´a s osou vnˇejˇs´ıho u ´hlu u γ (vezme u ´seˇcku BC a opaˇcnou polopˇr´ımku k CA) v bodˇe D. Bodem D vedeme rovnobˇeˇzku se stranou BC, kter´a protne pˇr´ımky AC a AB postupnˇe v bodech L a M , urˇcete d´elku |LM |, pokud v´ıte, ˇze |LC| = 5 a |BM | = 7. ´ Uloha 34. 10 bod˚ u ˇ ıslo 94000 zaˇc´ın´a dev´ıtkou a m´a 3817 ˇc´ıslic. Zjistˇete, kolik z ˇc´ısel 9k , kde k = 1, 2, . . . , 3999 C´ tak´e zaˇc´ın´a dev´ıtkou.
5
´ Uloha 35. 10 bod˚ u Kolik nejm´enˇe tah˚ u je tˇreba, aby si b´ıl´ı a ˇcern´ı konˇe vymˇenili m´ısto? Jedn´a se samozˇrejmˇe o ˇsachov´e konˇe, kteˇr´ı samozˇrejmˇe mohou t´ahnout pouze na jedno z nakreslen´ ych pol´ıˇcek.
6
