´ sodfoku ´ egyenletekre Ma ˝ feladatok vezeto ´ bo ´l Hammurapi kora ´zad) (Kr.e. XVIII. sza Mikor ´ es hol sz¨ ulettek az els˝ o eml´ıt´ esre ´ erdemes matematikai eredm´ enyek az o ´kori folyammenti kult´ ur´ akban? - Egyiptom: a Kr. II. ´evezred elej´et˝ ol, - India: a Kr. II. ´evezred m´asodik fel´et˝ ol, - K´ına: a Kr. I. ´evezredb˝ol, - Mezopot´amia: a Kr. II. ´evezred elej´et˝ ol Mikor ´ es hol sz¨ ulettek az els˝ o eml´ıt´ esre ´ erdemes matematikai eredm´ enyek az o ´kori folyammenti kult´ ur´ akban? - Egyiptom: a Kr. II. ´evezred elej´et˝ ol, - India: a Kr. II. ´evezred m´asodik fel´et˝ ol, - K´ına: a Kr. I. ´evezredb˝ol, - Mezopot´amia: a Kr. II. ´evezred elej´et˝ ol. Melyek algebrai jelleg˝ uek k¨oz¨ ul¨ uk? - Egyiptom: gyakorlati sz´am´ıt´asokban line´ aris egyenletek. - India: ink´abb aritmetika ´es geometria. - K´ına: gyakorlati sz´am´ıt´asokban line´ aris egyenletrendszerek, m´ asodfok´ u probl´em´ak. - Mezopot´amia: gyakorlati sz´am´ıt´ asokban m´ asodfok´ u probl´em´ ak, algoritmus a n´egyzetgy¨ok kisz´am´ıt´as´ara (ezeket r´eszletez¨ uk). A kor matematik´ a j´ anak jellege: tiszt´an emp´ırikus, nem fogalmaztak meg ´ altal´ anos elveket, minden esetben konkr´et numerikus probl´em´at oldottak meg. DE l´ atni fogjuk, hogy elj´ ar´ asaik ´ altal´ anos von´asokat mutatnak. A mezopot´ amiai sz´ am´ır´ as. Az 1 jele, az ´ek”: ”
H
|
Nemcsak az 1-et, hanem a 60 b´armely eg´esz kitev˝ os hatv´ any´ at jel¨ olhette. A 10 jele, a sarokp´ant”: ”
◭ <
Ez szolg´alt a 60 b´armely eg´esz kitev˝ os hatv´ anya t´ızszeres´enek jel¨ ol´es´ere is. Egy p´elda: HHH
◭ | | | < |< HH ◭ < | |
H◭
1
Ha eg´esz sz´am, akkor lehet p´eld´aul 1 × 603 + 10 × 602 + 20 × 60 + 5 = 253.205, 1 × 602 + 30 × 60 + 5 = 5.405, 60 + 35 = 95.
De t¨ortekkel is sz´amoltak, ´ıgy a jelsorozat lehetne: 1 + 10 × 60−1 + 20 × 60−2 + 5 × 60−3 1 1 1 =1+ + + , 6 180 43.200 35 7 60 + = 60 . 60 12 O. Neugebauer jel¨ol´esrendszere. Az egyes hatvanas sz´ amjegyeket” egyszer˝ uen t´ı” zes sz´amrendszerben ´ırjuk le, ´es az egyes sz´ amjegyeket” vessz˝ ovel v´ alasztjuk el. A ” hatvanados vessz˝ot” pontosvessz˝ok´ent ´ırjuk. ´Igy ” HHH
◭ | | | < |< HH ◭ < | |
H◭
n´eh´any lehets´eges ´at´ır´asa: 1 × 603 + 10 × 602 + 20 × 60 + 5 = 1, 10, 20, 5 1 × 602 + 30 × 60 + 5 = 1, 0, 30, 5 1 + 10 × 60−1 + 20 × 60−2 + 5 × 60−3 = 1; 10, 20, 5
1 × 602 + 10 + 20 × 60−2 + 5 × 60−4 = 1, 10; 0, 20, 0, 5
M´ asodfok´ u egyenletekre vezet˝ o probl´ em´ ak. 1. Feladat (amely egy Szenkereh mellett tal´ alt agyagt´ abl´ an olvashat´ o). Hossz´ us´ag ´es sz´eless´eg. A hossz´ us´ agot ´es a sz´eless´eget ¨ osszeszoroztam, ´es ´ıgy megkaptam a ter¨ uletet. Amennyivel pedig a hossz´ us´ ag meghaladja a sz´eless´eget, azt hozz´aadtam a ter¨ ulethez, ´es 3, 3[-at kaptam]. Hossz´ us´ ag ´es sz´eless´eg ¨ osszeadva pedig 27. Mi a hossz´ us´ag, sz´eless´eg, ter¨ ulet? 27 3, 3 az ¨ osszegek 15 a hossz´ us´ ag 12 a sz´eless´eg 3, 0 a ter¨ ulet Elj´ar´asod ez legyen: 27-et, a hossz´ us´ ag ´es a sz´eless´eg ¨ osszeg´et 3, 3-hoz add hozz´a; 3, 30 [az eredm´eny]. 2-t a 27-hez add hozz´ a; 29 [az eredm´eny]. 29-b˝ ol let¨ or¨o d a fel´et; 14; 30-szor 14; 30 [az] 3, 30; 15. Levonsz 3, 30-at 3, 30; 15-b˝ ol; 0; 15 a k¨ ul¨ onbs´eg. 0; 15 n´egyzetgy¨oke 0; 30. Az els˝o 14; 30-hoz add hozz´ a a 0; 30-at: a hossz´ us´ ag 15. 0; 30-at a m´asodik 14; 30-b´ol kivonsz: a sz´eless´eg 14. Azt a 2-t, amit a 27-hez hozz´ aadt´al, 14-b˝ol, a sz´eless´egb˝ol levonod: 12 a v´egleges sz´eless´eg. A 15 hossz´ us´ agot ´es a 12 sz´eless´eget 2
o¨sszeszoroztam. 15-sz¨or 12 [az] 3, 0 [ennyi a] ter¨ ulet. A 15 hossz´ us´ag a 12 sz´eless´egen mennyivel ny´ ulik t´ ul? 3[-mal] haladja meg. 3-at a 3, 0-hoz, a ter¨ ulethez adj hozz´ a: 3, 3[-at kapsz]. Elemz´ es. Vil´ agos, hogy ha a hossz´ us´agot ´es a sz´eless´eget x, y jel¨ oli, akkor az xy + x − y = 3, 3 x + y = 27 egyenletrendszert kellene megoldani. A sz´ amol´ as m´ asodik l´ep´es´eb˝ ol l´ atszik, hogy az y sz´eless´eg helyett egy u ´j y ′ = y + 2 sz´eless´eget vezet be, igy az xy ′ = 3, 30 x + y ′ = 29 egyenletrendszert oldja meg a k¨ ovetkez˝ ok´epp. (A jobb ´ attekinthet˝ os´eg kedv´e´ert egym´as mellett szerepeltetj¨ uk az eredeti sz¨ oveges megold´as l´ep´eseit ´es a mai szimbolikus sz´amol´ast.) 27 + 3, 3 = 3, 30 xy ′ = 3, 30 2 + 27 = 29 x + y ′ = 29 x + y′ 29 : 2 = 14; 30 = 14; 30 2 2 x + y′ 14; 30 × 14; 30 = 3, 30; 15 = 3, 30; 15 2 2 x + y′ − xy ′ = 0; 15 3, 30; 15 − 3, 30 = 0; 15 2 s 2 √ x + y′ 0; 15 = 0; 30 − xy ′ 2 x − y′ = = 0; 30 2′ x+y x − y′ 14; 30 + 0; 30 = 15 + = x = 15 2 ′ 2 ′ x+y x−y 14; 30 − 0; 30 = 14 − = y ′ = 14 2 2 14 − 2 = 12 y ′ − 2 = y = 12 ¨ Osszegezve. Egy xy = P x+y =a alak´ u egyenletrendszert u ´gy oldottak meg, hogy bevezettek egy u ´j w hat´ arozatlant (a k´et eredeti hat´arozatlan sz´amtani k¨ozep´et˝ ol val´ o elt´er´est), amelynek r´ev´en egyhat´ arozatlanoss´a v´alt a probl´ema: 1 x= a+w 2 s 2 1 1 y = a − w, w= a − P. 2 2 3
A kapott 1 x= a+ 2 1 y = a− 2
s s
1 a 2
2
−P
1 a 2
2
−P
megold´asb´ol sejthet˝o, hogy egyr´eszt ismert´ek az (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(1) (2)
azonoss´agokat, amelyre bizony´ıt´ekul szolg´ alnak a tov´ abbi feladatok is, m´ asr´eszt tudniuk kellett n´egyzetgy¨ok¨ot vonni. A Yale Egyetemen mezopot´amiai gy˝ ujtem´eny´enek egyik agyagt´ abl´ a j´ an tal´ alhat´o a k¨ovet´ kez˝o jelsorozat. A t´abla az Obabiloni Birodalom kor´ ab´ ol sz´ armazik. HH
| | ◭ ◭ H < < ◭ ◭ |< HH < ◭ ◭ ◭ | < < < | | E jelsorozat a k¨ovetkez˝o hatvanas sz´ amrendszerben ´ırt sz´ amot rejti: ◭ H<
1; 24, 51, 10 ´ ırva 10-es sz´amrendszerre a At´ 1; 24, 51, 10 = 1 +
10 24 51 + 2 + 3 = 1, 41421296 60 60 60
√ sz´amot kapjuk, amely a 2-re eml´ekeztet. Ugyanis, √ egy mai sz´am´ıt´og´ep be´ep´ıtett kalkul´ atora a 2-re k¨ ovetkez˝ o ´ert´eket adja: 1, 4142135623730950488016887242097 m´ıg egy 9 jeggyel dolgoz´o zsebkalkul´ atorral sz´ amolva a 1, 4142135 ´ert´ekhez jutunk. Az elt´er´es az 1, 41421296 sz´ amt´ ol abszol´ ut ´ert´ekben mindk´et esetben kisebb 6 · 10−7 -n´el, ami d¨obbenetes pontoss´ ag. Az agyagt´abl´ak arra is v´alaszt adnak, hogyan sz´ amolt´ ak ki ezen meglep˝ o en pontos ´ert´eket, de err˝ol kicsit k´es˝obb. 2. Feladat. Kivontam a n´egyzetet [a n´egyzet oldal´ at] a ter¨ ulet´eb˝ ol ´es az 14, 30. Az agyagt´abl´an e feladat megold´asa a k¨ ovetkez˝ o. Vedd az 1-et [az egy¨ utthat´ ot] ´es osszad k´et r´eszre. A 0; 30-at szorozd ¨ onmag´aval, az 0; 15. Ezt add hozz´a a 14, 30-hoz. A 14, 30; 15 [n´egyzet]gy¨ oke 29; 30. Ezt add hozz´a a 0; 30-hoz, amit ¨onmag´ aval szorozt´ al. Ez 30, ami a n´egyzet [oldala]. 4
Elemz´ es. Az x2 − x = 14, 30 egyenletet, x2 − ax = b alak´ ut, kell megoldani. A sz¨oveg szerint az egyenlet bal oldal´at teljes n´egyzett´e alak´ıtott´ ak. Oldjuk meg egyenlet¨ unket a t´abla sz¨ovege szerint. x2 − x = 14, 30
x2 − x + 0; 15 = 14, 30 + 0; 15 = 14, 30; 15 (x − 0; 30)2 = 14, 30; 15 x − 0; 30 = 29; 30 x = 30.
Most v´egezz¨ uk el az el˝obbi sz´amol´ast szimb´ olikusan is. x2 − ax = b a 2 a 2 = b+ x2 − ax + 2 2 a 2 a 2 = b+ x− 2 r 2 a a 2 x− = b+ 2 2 r a 2 a x= + b+ 2 2 L´athat´o, hogy a m´asodfok´ u egyenletek j´ ol ismert gy¨ okk´eplet´et kaptuk meg. Az elj´ar´as is ugyanaz, ahogy ma azt levezetj¨ uk. Mit kellett ehhez tudniuk? 1. Az (u − v)2 = u2 − 2uv + v 2 azonoss´ agot. 2. Azt a m´o dszert, amit mi m´erlegelvnek” nevez¨ unk. ” Az els˝on kev´esb´e csod´alkozunk, igen gyakran alkalmazt´ ak, de a m´ asodik??? Err˝ ol az 1930as ´evekig u ´gy v´elt´ek, hogy el˝osz¨or a Kr.u. VIII. sz´ azadban, mintegy 2500 ´evvel k´es˝obb ´elt al-Khwarizmi alkalmazta egyenletek megold´ as´ aban: ez a nevezetes al-muqabla, ami szerepel h´ıres trakt´atusa c´ım´eben is. Ha a formul´ara n´ez¨ unk: ismert´ek a m´ asodfok´ u egyenlet gy¨ okk´eplet´et erre a speci´alis esetre??? Term´eszetesen ´altal´anos k´epletk´ent NEM, de u ´gy sz´ amoltak, mint mi ma. A k¨ovetkez˝o feladat teljesen megmutatja elj´ ar´ asuk erej´et. 3. Feladat. A n´egyzet h´etszeres´ehez hozz´ aadtam a ter¨ ulet tizenegyszeres´et ´es ez 6; 15. 11x2 + 7x = 6; 15 a megoldand´o egyenlet. Most el˝ott el˝ obb 11-gyel szoroztak, az 2, 1x2 + 1, 17x = 1, 8; 45 5
egyenlettel dolgoztak. Ez ut´obbi ax2 + bx = c alakban ´ırhat´o, ´es sz´amol´asuk alapj´ an a s 2 1 b x= ca + − a 2
b 2
formul´at kapjuk. ´ll´ıthatunk ezek alapja ´n? Mit a (ı) M´ar ˝ok is ismert´ek azt a gondolatmenetet, amellyel ma levezetj¨ uk a gy¨ okk´epletet”. ” ´ (ıı) Altal´ anos´ıt´asi t¨orekv´esek, absztrakci´ ok m´eg nyomokban sem tal´ alhat´ ok. (ııı) Minden esetben konkr´et probl´em´ akat oldottak meg, ´es a megold´ asokat kiz´ ar´olag sz¨ovegesen ´ırt´ak le. (ıν) Csup´an recepteket” adtak konkr´et p´eld´ akkal arra, hogy bizonyos jelleg˝ u probl´em´ak ” hogyan kezelhet˝ok. Mindezt j´ol p´eld´azza azon — kor´abban m´ ar eml´ıtett — elj´ ar´ asuk is, amellyel sz´ amok, pontosabban pozit´ıv racion´alis sz´amok) n´egyzetgy¨ ok´et hat´ arozt´ ak meg. Ez is egy Hammurapi uralkod´asa idej´en keletkezett agyagt´ abl´ an olvashat´ o. A n´ egyzetgy¨ ok kisz´ am´ıt´ asa. Tekints¨ uk ism´et a kor´abbi sz´amot.
HH
| | ◭ ◭ H < < ◭ ◭ |< HH < ◭ ◭ ◭ | < < < | |
◭ H<
1; 24, 51, 10 Ha a 2 n´egyzetgy¨ok´et akarjuk meghat´ arozni akkor egy olyan sz´ amok kell keresn¨ unk, amelyiket ¨onmag´aval megszorozva 2-t kapunk. Az is vil´ agos, hogy a keresett sz´ am nagyobb 1-n´el, de kisebb 2-n´el. Az agyagt´ abl´ ar´ ol tudjuk, hogy l´ep´esenk´ent egym´ as ut´an olyan sz´amokat sz´amoltak ki, amelyeket ¨onmagukkal szorozva a 2-h¨ oz egyre k¨ ozelebb ker¨ ultek. A sz´amol´as menete a k¨ovetkez˝o. √ 1. l´ ep´ es: Legyen az els˝o k¨ozel´ıt´es 1; 30 ´es osszuk el ezzel a 2-t, 1; 20-at kapunk. A 2 e k´et sz´am k¨oz´e esik. 2. l´ ep´ es: Vegy¨ uk e k´et sz´am ¨osszeg´enek fel´et (sz´ amtani k¨ ozep¨ uket), ami az el˝obbi kett˝o k¨oz¨ott van. Ez 0; 30(1; 30 + 1; 20) = 0; 30 · 2; 50 = 1; 25. √ Ha ezzel elosztjuk a 2-t, akkor 1; 24, 42, 21-et kapunk. E k´et sz´ am is k¨ ozrefogja a 2-t, de m´ar k¨ozelebr˝ol”. ” 6
3. l´ ep´ es: Vegy¨ uk e k´et ut´obbi sz´am sz´ amtani k¨ ozep´et: 0; 30(1; 25 + 1; 24, 42, 21) = 0; 30 · 2; 49, 42, 21 = 1; 24, 51, 10, 30.
Ha elhagyjuk az utols´o 60-ados jegyet, vagy a 21 fel´et 10-nek vessz¨ uk, megkapjuk a t´abla ´ert´ek´et. √ ´ am´ıtani a ∈ Q+ -ra, akkor: Altal´ aban, ha valamely a-t kell kisz´ a √ 1. l´ ep´ es: Legyen a1 , ´es b1 = a1 . a e k´et ´ert´ek k¨ oz¨ ott van. √ a1 +b1 a 2. l´ ep´ es: Legyen a2 = 2 ´es b2 = a2 . E k´et sz´ am is k¨ ozrefogja a-t, ´es a2 , b2 az a1 ´es a b1 k¨oz´e esik. Az elj´ar´ast folytatva olyan a1 , a2 , . . .
b1 , b2 , . . .
sorozatokat kapunk, amelyre egyr´eszt ai ´es bi (i = 1, 2, . . . ) k¨ ozrefogja
√
a-t, m´ asr´eszt
|a1 − b1 | > |a2 − b2 | > . . . Ez azt jelenti, hogy mindk´et sorozat egyre jobban megk¨ ozel´ıti a keresett ´ert´eket, ami e k´et sorozat k¨oz¨os hat´ar´ert´eke (mai terminol´ ogi´ aval), √ lim an = lim bn = a. n→∞
n→∞
Egy tov´abbi, egyszer˝ ubb m´o dszer a n´egyzetgy¨ ok kisz´ am´ıt´ as´ ara. + Feladat. Hat´arozzuk meg valamely a ∈ Q sz´ am n´egyzetgy¨ ok´et. 1. L´ep´es. Megkeress¨ uk az a-n´al kisebb n´egyzetsz´ amok legnagyobbik´ at, legyen ez h2 . Ekkor a = h2 + w, ahol w < h. 2. L´ep´es. p √ w a = h2 + w ≈ h + . 2h Hogyan j¨ottek erre r´a? Egy´altal´an j´ o k¨ ozel´ıt´es? Egy mai, sorelm´eletben j´aratos, matematikus szerint term´eszetesen a binomi´ alis sorfejt´esb˝ol. Mivel r p w 2 h +w = h 1+ 2, h
fejts¨ uk binomi´alis sorba a
r
1+
w h2
f¨ uggv´enyt. A sorelm´eletben nem igaz´ an j´ aratosok kedv´e´ert: Tetsz˝oleges α ∈ R-re ∞ X α k α (1 + x) = x , k k=0
7
ahol
´Igy
α α(α − 1) . . . (α − k + 1) . = k! k
1 1 1 1·3 3 (1 + x) 2 = 1 + x − 2 x2 + 3 x −... 2 2 · 2! 2 · 3! E sor konvergens, ha −1 < x < 1. Az
1 1 1 1·3 3 (1 + x) 2 = 1 + x − 2 x2 + 3 x −... 2 2 · 2! 2 · 3! sorfejt´esb˝ol csak az els˝o k´et tagot figyelembe v´eve az w x = 2 helyettes´ıt´essel h r √ w h+w =h 1+ 2 h 1w 1 w 2 =h 1+ − 2 +... 2 h2 2 · 2! h2 √ 1w h+w ≈h 1+ 2 h2 w =h+ 2h Nyilv´anval´o, hogy a mezopot´amiai ´ırnokok nem ´ıgy sz´ amoltak, hanem most is az el˝obbi algoritmust haszn´alt´ak (az ottani jel¨ ol´eseket haszn´ aljuk). (1) Legyen a = h2 + w. a h2 + w Ha a1 = h, akkor b1 = = . h h (2) a1 + b1 2 2 h + h h+w 2h2 + w = = 2 2h w =h+ 2h
a2 =
4. Feladat K´et n´egyzetem ter¨ ulet´et ¨ osszeadtam, [az] 25,25. A m´ asodik n´egyzet [oldala] k´etharmada az els˝o n´egyzet[´e]nek ´es m´eg 5. Vil´agos, hogy ha x, y jel¨oli a k´et n´egyzet oldal´ at, akkor az x2 + y 2 = 25, 25 y = 0; 40x + 5 egyenletrendszert kell megoldani. 8
K´ın´alkoz´o ¨otlet: a m´asodik egyenletb˝ ol y-t az els˝ obe helyettes´ıtj¨ uk, ´ıgy az egyhat´arozatlanos a 1 x2 + a 2 x = a 3 m´asodfok´ u egyenletet kapjuk. DE u ´ gy tanultuk, hogy e m´o dszer — a behelyettes´ıt´es” — bevezet´ese szint´en a Kr.u. VIII. sz´ azadban ´elt al” Khwarizmi nev´ehez f˝ uz˝o dik. Ha megvizsg´ aljuk a megold´ as sz¨ oveg´et, akkor nem k´ets´eges, hogy m´ar e korban is ismerni¨ uk kellett az al-Khwarizminek tulajdon´ıtott elj´ ar´ ast. Az agyagt´abl´an ugyanis a k¨ovetkez˝o sz´ amol´ as tal´ alhat´ o: 1 + 0; 40 · 0; 40 = 1; 26, 40, 5 · 0; 40 = 3; 20, 25, 25 − 5 · 5 = 25, 0
Ez pedig nem m´as, mint azon egyenlet egy¨ utthat´ oi kisz´ am´ıt´ asa, amit az eml´ıtett behelyettes´ıt´essel kapunk, azaz x2 + (0; 40x + 5)2 = 25, 25, amit rendezve az (1 + 0; 402 )x2 + 2 · 5 · 0; 40x = 25, 25 − 52 = 25, 0 egyenlet ad´o dik. A kapott (1 + 0; 402 )x2 + 2 · 5 · 0; 40x = 25, 0 egyenlet megold´asak´ent el˝obb az 1; 26, 40 · 25, 0 = 36, 6; 40, 3; 20 · 3; 20 = 11; 6, 40, 36, 6; 40 − 11; 6, 40 = 36, 17; 46, 40. sz´amol´asokkal v´egezt´ek el, majd megadt´ ak a 36, 17; 46, 40 n´egyzetgy¨ ok´et, ami 46; 40, ´es ´ıgy folytatt´ak. A gy¨oknek ´es annak, amit ¨onmag´ aval szorozt´ al a k¨ ul¨ onbs´ege 43; 40. Ha ezt megszorzod 1; 26, 40 reciprok´aval, megkapod az egyik n´egyzetet [a n´egyzet oldal´ at], ami 30. A m´asik n´egyzet [oldala] pedig 25. Ha v´egign´ezz¨ uk elj´ar´asukat akkor nyilv´ anval´ o, hogy a behelyettes´ıt´es ut´ an kapott ax2 + 2bx = c alak´ u egyenletet el˝obb a-val megszorozt´ ak (ism´et egy olyan l´ep´es, aminek els˝ o alkalmaz´as´at al-Khwarizminek szok´as tulajdon´ıtani), majd az egyenlet bal oldal´ at teljes n´egyzett´e alak´ıtott´ak, (ax + b)2 = ac + b2 , 9
ezut´an gy¨ ok¨ot vontak, s ´ıgy kapt´ak az x=
√
ac + b2 − b a
megold´ast. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ma is ilyen elj´ ar´ assal oldjuk meg a m´ asodfok´ u egyenleteket. 5. Feladat. H´arom n´egyzetem ¨osszege 23, 20. Az els˝ o ´es a m´ asodik n´egyzet k¨ ul¨onbs´ege 10, a m´asodik ´es a harmadik n´egyzet k¨ ul¨ onbs´ege szint´en 10. Megoldand´o teh´at az x2 + y 2 + z 2 = 23, 20 x − y = 10 y − z = 10 egyenletrendszer. A t´abl´an tal´alhat´ o sz´ amol´ asb´ ol vil´ agos, hogy u ´gy dolgoztak, mintha el˝obb a m´asodik ´es a harmadik egyenletb˝ ol kifejezt´ek volna a z seg´ıts´eg´evel az x, y -t, majd behelyettes´ıtett´ek az els˝obe. Ezzel z-ben m´ asodfok´ u egyenlethez jutottak, aminek megold´asa m´ar rutin feladat volt. Hab a tort´an” a k¨ovetkez˝o Kr.e. I. ´evezredbeli k´ınai feladat (12. probl´ema az Aritmetika ” m˝ uv´ eszete kilenc k¨ onyvben c. m˝ u IX. k¨ onyv´eben). Van egy ajt´o, de nem ismerj¨ uk sem a magass´ ag´ at, sem a sz´eless´eg´et. Csak azt tudjuk, hogy a magass´ag 2 l´abbal, a sz´eless´eg pedig 4 l´ abbal r¨ ovidebb, mint az ugyancsak ismeretlen hossz´ us´ag´ u bambuszrudunk. Ez azonban ugyanolyan hossz´ u, mint az ajt´o ´atl´o ja. ¨ E k´et feladat eredeti megold´asi m´o dszere l´enyeg´eben megegyezik. Osszegz´ es. ´ 1. Az Obabiloni Birodalom ´ırnokai minden olyan m´ asodfok´ u egyenletet meg tudtak oldani, ´ amelyiknek volt pozit´ıv gy¨oke. (Erdekes, hogy abban az esetben, amikor k´et pozit´ıv gy¨ok is volt, mindig csak a nagyobbikat adt´ ak meg.) 2. Mivel az ilyen jelleg˝ u probl´em´akn´ al negat´ıv sz´ amok nem fordulhattak el˝ o (b´ar n´eh´any gazdas´agi sz´am´ıt´asn´al tal´alkozhatunk vel¨ uk, mint hi´ annyal), sz´ amukra h´ arom t´ıpus´ u m´asodfok´ u egyenlet l´etezett, nevezetesen x2 + px = q x2 = px + q x2 + q = px alak´ uak. Ha ism´et ´attekintj¨ uk az ismertetett feladatokat, l´ athatjuk, hogy mindh´ arom t´ıpus el˝ofordult. Z´ar´asul tekints¨ unk egy igazi gy¨ongyszemet”. A sz¨ oveges probl´ema a ” 0; 20(x + y) + 0; 1(x − y)2 = 15 xy = 10, 0 egyenletrendszerre vezet. E feladatot tartalmaz´o, a Yale Egyetem gy˝ ujtem´eny´eben ˝ orz¨ ott agyagt´ abla csak egy t¨ored´ek, a feladat megold´asa m´ar hi´ anyzik r´ ola. Az el˝ obbiekben ismertetett megold´asi 10
technik´ak k¨oz¨ ul azonban t¨obb is k´ın´ alkozik.
1. A m´asodik egyenletb˝ol kifejezz¨ uk az egyik hat´ arozatlant, majd behelyettes´ıtj¨ uk azt az els˝obe. Ez azonban teljes harmadfok´ u egyenletre vezet, ami eddigi ismereteink szerint m´ar meghaladja a korabeli ismereteket. Csak speci´ alis, p´eld´ aul x3 = A,
vagy x3 + x = B
alak´ u harmdfok´ u egyenleteket tartalmaz´ o t´ abl´ ak ismeretesek. A teljes harmadfok´ u egyenletek bizonyos t´ıpusainak megold´ as´ ara el˝ osz¨ or a k¨ ozel h´arom ´evezreddel k´es˝obbi iszl´am matematikusok adtak meg geometriai m´ o dszereket. E lehet˝ os´ eget ´ıgy el kell vetn¨ unk. 0; 20(x + y) + 0; 1(x − y)2 = 15
xy = 10, 0
2. Egy m´asik lehet˝os´eg az, hogy a m´ asodik egyenlet 4 · 0; 1-szeres´et hozz´ aadva az els˝o egyenlethez az 0; 20(x + y) + 0; 1(x + y)2 = 6, 55 (x + y)-ban m´asodfok´ u egyenletet kapjuk, amely m´ ar kezelhet˝ o lehetne az ismert m´o dszerekkel. Ez az u ´t elk´epzelhet˝o ugyan, de v´elem´enyem szerint kev´ess´e val´ osz´ın˝ u. 0; 20(x + y) + 0; 1(x − y)2 = 15
xy = 10, 0
3. Neugebauer egy ¨otlete, amely j´ ol illeszkedik gondolkod´ asm´ o djukhoz: vezess¨ unk be k´ et u ´ j hat´ arozatlant, a k¨ovetkez˝o meggondol´ assal. (ı) Sz´amos feladatban szerepel a hat´ arozatlanok ˝ osszege vagy k¨ ul¨ onbs´ege, ´es a hat´arozatlanok szorzata. Itt az a t¨obblet, hogy mind az ¨ osszeg, mind a k¨ ul¨ onsb´eg szerepel. (ıı) Mindk´et esetben c´elszer˝ u volt u ´j hat´ arozatlank´ent az eredetiek sz´ amtani k¨ozep´et, ´es az att´ol val´o elt´er´est bevezetni. Most is tegy¨ unk ´ıgy, azaz alkalmazzuk az x=u+v y =u−v helyettes´ıt´eseket. Ezzel az 0; 2u + 0; 4v 2 = 15 u2 − v 2 = 10, 0 egyenletrendszert kapjuk, ami m´ ar k¨ onnyen megoldhat´ o, csak a m´ asodik egyenletb˝ol v 2 - et az els˝obe kell helyettes´ıten¨ unk, vagy a m´ asodik egyenlet 0; 4-szeres´et hozz´a kell adnunk az els˝oh¨oz. Megjegyz´ es. Ez annak ellen´ere szimpatikus ¨ otlet, hogy m´ as ismert feladatokn´ al csak egy u ´j hat´arozatlant vezettek be, m´ıg itt egyszerre kett˝ ot kellene. 11
´ EGY ERDEKES FELADAT n´ eh´ any v´ altozata
1. RHIND 79. feladat. Van 7 h´az, 49 macska, 343 eg´er, 2401 kal´ asz, 16807 b´ uzaszem. Val´ osz´ın˝ uleg a k¨ovetkez˝o feladatr´ol van sz´o: Ha van 7 h´az, minden h´azban 7 macska, minden macska megeszik 7 egeret, minden eg´er elpuszt´ıtana 7 kal´aszt, ´es minden kal´ aszban 7 mag van, akkor h´any szem gabona menek¨ ul meg? 2. LEONARDO, Liber Abaci XII. fejezete. 7 any´oka mendeg´el R´oma fel´e, minden any´ ok´ aval mendeg´el 7 ¨ oszv´er, minden ¨ oszv´eren 7 zs´ak van, minden zs´akban 7 keny´er van, minden keny´er mellett 7 k´es van, minden k´es 7 tokban van. Mennyi mindezek ¨osszege? 3. K¨ oz´ epkori orosz k´ ez´ırat. Megy 7 any´oka, minden any´ok´an´al 7 bot van, minden boton 7 ´ agacska, minden ´agacsk´an 7 tarisznya, minden tariszny´aban 7 lep´eny, minden lep´enyben 7 ver´eb, minden ver´ebben 7 z´ uza. Mennyi ez ¨osszesen? 4. Ismert angol nonszensz-vers (nursery rhyme). As I was going to St. Ives, I met a man with seven wives; Every wife had seven sacks, Every sack had seven cats, Every cat had seven kits, Kits, cats, sacks, and wives, How many were going to St. Ives?
12
