´ sodfoku ´ egyenletekre Ma ˝ feladatok vezeto ´ bo ´l Hammurapi kora ´zad) (Kr.e. XVIII. sza
Klukovits Lajos SZTE Bolyai Int´ ezet
A legt¨obb tudom´ anyban az egym´ ast k¨ovet˝o gener´aci´ ok lerombolj´ ak azt, amit el˝ o deik ´ep´ıtettek. A matematika az egyetlen, amelyben minden egyes gener´ aci´ ou ´j ´ertelmet illeszt a r´egi strukt´ ur´ ahoz. (H. Hankel)
2005. december 10.
1
Az ´ okori folyammenti kult´ ur´ ak matematik´ a ja. - Egyiptom: a Kr. II. ´evezred elej´et˝ol, - India: a Kr. II. ´evezred m´asodik fel´et˝ol, - K´ına: a Kr. I. ´evezredb˝ol, - Mezopot´amia: a Kr. II. ´evezred elej´et˝ol vannak (ismer¨ unk) matematikai eredm´enyek(et). -
Egyiptom: gyakorlati sz´ am´ıt´ asok (csak line´ aris probl´em´ak), a csonkag´ ula t´erfogata. India: olt´ arkonstrukci´ oban pitagoraszi sz´ amh´ armasok. K´ına: gyakorlati sz´ am´ıt´ asok, line´aris egyenletrendszerek, m´asodfok´ u probl´em´ak. Mezopot´amia: pitagoraszi sz´amh´ armasok, kamatos kamat, m´ asodfok´ u probl´em´ak, algoritmus a n´egyzetgy¨ok kisz´ am´ıt´ as´ara (az utols´o kett˝ ot r´eszletez¨ uk).
A kor matematik´ a j´ anak jellege: tiszt´an emp´ırikus, nem fogalmaztak meg ´altal´ anos elveket, minden esetben konkr´et numerikus probl´em´at oldottak meg. DE... M´ asodfok´ u egyenletekre vezet˝ o probl´ em´ ak. 1. Feladat (amely egy Szenkereh mellett tal´alt agyagt´ abl´ an olvashat´o). agot ´es a sz´eless´eget ¨osszeszoroztam, ´es ´ıgy Hossz´ us´ag ´es sz´eless´eg. A hossz´ us´ megkaptam a ter¨ uletet. Amennyivel pedig a hossz´ us´ag meghaladja a sz´eless´eget, azt hozz´aadtam a ter¨ ulethez, ´es 3, 3[-at kaptam]. Hossz´ us´ag ´es sz´eless´eg ¨osszeadva pedig 27. Mi a hossz´ us´ag, sz´eless´eg, ter¨ ulet? 27 3, 3 az ¨osszegek 15 a hossz´ us´ag 12 a sz´eless´eg 3, 0 a ter¨ ulet Elj´ ar´ asod ez legyen: 27-et, a hossz´ us´ag ´es a sz´eless´eg ¨osszeg´et 3, 3-hoz add hozz´ a; 3, 30 [az eredm´eny]. 2-t a 27-hez add hozz´a; 29 [az eredm´eny]. 29-b˝ ol let¨ or¨ od a ol; 0; 15 a k¨ ul¨ onbfel´et; 14; 30-szor 14; 30 [az] 3, 30; 15. Levonsz 3, 30-at 3, 30; 15-b˝ s´eg. 0; 15 n´egyzetgy¨oke 0; 30. Az els˝o 14; 30-hoz add hozz´ a a 0; 30-at: a hossz´ us´ag 15. 0; 30-at a m´asodik 14; 30-b´ ol kivonsz: a sz´eless´eg 14. Azt a 2-t, amit a 27-hez hozz´aadt´ al, 14-b˝ ol, a sz´eless´egb˝ol levonod: 12 a v´egleges sz´eless´eg. A 15 hossz´ us´agot ´es a 12 sz´eless´eget ¨osszeszoroztam. 15-sz¨or 12 [az] 3, 0 [ennyi a] ter¨ ulet. A 15 hossz´ us´ag a 12 sz´eless´egen mennyivel ny´ ulik t´ ul? 3[-mal] haladja meg. 3-at a 3, 0-hoz, a ter¨ ulethez adj hozz´ a: 3, 3[-at kapsz]. Elemz´ es. Vil´ agos, hogy ha a hossz´ us´agot ´es a sz´eless´eget x, y jel¨ oli, akkor az xy + x − y = 3, 3 x + y = 27 egyenletrendszert kellene megoldani. A sz´amol´as m´asodik l´ep´es´eb˝ol l´ atszik, hogy az y sz´eless´eg helyett egy u ´j y = y + 2 sz´eless´eget vezet be, igy az xy = 3, 30 x + y = 29 egyenletrendszert oldja meg a k¨ovetkez˝ok´epp. (A jobb a´ttekinthet˝ os´eg kedv´e´ert egym´ as mellett szerepeltetj¨ uk az eredeti sz¨oveges megold´as l´ep´eseit ´es a mai szimbolikus sz´amol´ast.) 2
27 + 3, 3 = 3, 30 2 + 27 = 29 29 : 2 = 14; 30 14; 30 × 14; 30 = 3, 30; 15 3, 30; 15 − 3, 30 = 0; 15 √
0; 15 = 0; 30
14; 30 + 0; 30 = 15 14; 30 − 0; 30 = 14 14 − 2 = 12
xy = 3, 30 x + y = 29 x + y = 14; 30 2 2 x + y = 3, 30; 15 2 2 x + y − xy = 0; 15 2 2 x − y x + y − xy = = 0; 30 2 2 x − y x + y + = x = 15 2 2 x+y x−y − = y = 14 2 2 y − 2 = y = 12
¨ Osszegezve. Egy xy = P x+y =a alak´ u egyenletrendszert u ´gy oldottak meg, hogy bevezettek egy u ´j w hat´ arozatlant (a k´et eredeti hat´ arozatlan sz´amtani k¨ ozep´et˝ol val´ o elt´er´est), amelynek r´ev´en egyhat´ arozatlanoss´a v´ alt a probl´ema: 1 x= a+w 2 2 1 1 w= a − P. y = a − w, 2 2 A kapott 1 x= a+ 2 1 y = a− 2
1 a 2 1 a 2
2 −P 2 −P
megold´asb´ol sejthet˝ o, hogy egyr´eszt ismert´ek az (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(1) (2)
azonoss´agokat, amelyre bizony´ıt´ekul szolg´ alnak a tov´ abbi feladatok is, m´ asr´eszt tudniuk kellett n´egyzetgy¨ok¨ ot vonni. A Yale Egyetemen mezopot´amiai gy˝ ujtem´eny´enek egyik agyagt´ abl´ a j´ an tal´ alhat´ o a ´ k¨ ovetkez˝o jelsorozat. A t´abla az Obabiloni Birodalom kor´ ab´ ol sz´ armazik. 3
| | < < |< < | < < < | | E jelsorozat a k¨ovetkez˝o hatvanas sz´ amrendszerben ´ırt sz´amot rejti: <
1; 24, 51, 10 ´ ırva 10-es sz´amrendszerre a At´ 51 10 24 + 2 + 3 = 1, 41421296 1; 24, 51, 10 = 1 + 60 60 60 √ sz´amot kapjuk, amely a 2-re eml´ekeztet. Ugyanis, √ ovetkez˝o ´ert´eket adja: egy mai sz´ am´ıt´ og´ep be´ep´ıtett kalkul´ atora a 2-re k¨ 1, 4142135623730950488016887242097 m´ıg egy 9 jeggyel dolgoz´ o zsebkalkul´ atorral sz´amolva a 1, 4142135 amt´ ol abszol´ ut ´ert´ekben mindk´et esetben ´ert´ekhez jutunk. Az elt´er´es az 1, 41421296 sz´ −7 obbenetes pontoss´ ag. kisebb 6 · 10 -n´el, ami d¨ Az agyagt´ abl´ ak arra is v´ alaszt adnak, hogyan sz´ amolt´ ak ki ezen meglep˝ o en pontos ´ert´eket, de err˝ ol kicsit k´es˝obb. 2. Feladat. Kivontam a n´egyzetet [a n´egyzet oldal´ at] a ter¨ ulet´eb˝ol ´es az 14, 30. Az agyagt´ abl´ an e feladat megold´ asa a k¨ovetkez˝o. Vedd az 1-et [az egy¨ utthat´ ot] ´es osszad k´et r´eszre. A 0; 30-at szorozd ¨onmag´ aval, az 0; 15. Ezt add hozz´a a 14, 30-hoz. A 14, 30; 15 [n´egyzet]gy¨ oke 29; 30. Ezt add hozz´a a 0; 30-hoz, amit o¨nmag´ aval szorozt´ al. Ez 30, ami a n´egyzet [oldala]. ut, kell megoldani. A sz¨ oveg Elemz´ es. Az x2 − x = 14, 30 egyenletet, x2 − ax = b alak´ szerint az egyenlet bal oldal´ at teljes n´egyzett´e alak´ıtott´ ak. Oldjuk meg egyenlet¨ unket a t´ abla sz¨ ovege szerint. x2 − x = 14, 30 x2 − x + 0; 15 = 14, 30 + 0; 15 = 14, 30; 15 (x − 0; 30)2 = 14, 30; 15 x − 0; 30 = 29; 30 x = 30. Most v´egezz¨ uk el az el˝obbi sz´amol´ast szimb´olikusan is. x2 − ax = b a 2 a 2 = b+ x2 − ax + 2 2 a 2 a 2 = b+ x− 2 2 a 2 a x− = b+ 2 2 a 2 a x= + b+ 2 2 4
L´athat´ o, hogy a m´ asodfok´ u egyenletek j´ ol ismert gy¨ okk´eplet´et kaptuk meg. Az elj´ar´ as is ugyanaz, ahogy ma azt levezetj¨ uk. Mit kellett ehhez tudniuk? 1. Az (u − v)2 = u2 − 2uv + v 2 azonoss´agot. 2. Azt a m´ o dszert, amit mi m´erlegelvnek” nevez¨ unk. ” Az els˝on kev´esb´e csod´alkozunk, igen gyakran alkalmazt´ ak, de a m´asodik??? Err˝ol az 1930as ´evekig u ´gy v´elt´ek, hogy el˝osz¨or a Kr.u. VIII. sz´ azadban, mintegy 2500 ´evvel k´es˝obb ´elt al-Khwarizmi alkalmazta egyenletek megold´as´aban: ez a nevezetes al-muqabla, ami szerepel h´ıres trakt´ atusa c´ım´eben is. Ha a formul´ ara n´ez¨ unk: ismert´ek a m´asodfok´ u egyenlet gy¨ okk´eplet´et erre a speci´alis esetre??? Term´eszetesen ´altal´ anos k´epletk´ent NEM, de u ´gy sz´amoltak, mint mi ma. A k¨ ovetkez˝o feladat teljesen megmutatja elj´ ar´ asuk erej´et. 3. Feladat. A n´egyzet h´etszeres´ehez hozz´aadtam a ter¨ ulet tizenegyszeres´et ´es ez 6; 15. 11x2 + 7x = 6; 15 a megoldand´ o egyenlet. Most el˝ ott el˝ obb 11-gyel szoroztak, az 2, 1x2 + 1, 17x = 1, 8; 45 egyenlettel dolgoztak. Ez ut´ obbi
ax2 + bx = c
alakban ´ırhat´ o, ´es sz´amol´asuk alapj´ an a ⎛ 2 1⎝ b x= ca + − a 2
⎞ b⎠ 2
formul´ at kapjuk. ´ll´ıthatunk ezek alapja ´n? Mit a (ı) M´ ar o˝k is ismert´ek azt a gondolatmenetet, amellyel ma levezetj¨ uk a gy¨ okk´epletet”. ” ´ (ıı) Altal´ anos´ıt´ asi t¨orekv´esek, absztrakci´ok m´eg nyomokban sem tal´alhat´ ok. (ııı) Minden esetben konkr´et probl´em´akat oldottak meg, ´es a megold´asokat kiz´ar´ olag sz¨ ovegesen ´ırt´ ak le. (ıν) Csup´ an recepteket” adtak konkr´et p´eld´ akkal arra, hogy bizonyos jelleg˝ u probl´em´ak ” hogyan kezelhet˝ ok. Mindezt j´ ol p´eld´ azza azon — kor´abban m´ ar eml´ıtett — elj´ ar´ asuk is, amellyel sz´amok, pontosabban pozit´ıv racion´ alis sz´amok) n´egyzetgy¨ok´et hat´arozt´ ak meg. Ez is egy Hammurapi uralkod´ asa idej´en keletkezett agyagt´abl´ an olvashat´o. A n´ egyzetgy¨ ok kisz´ am´ıt´ asa. 5
Tekints¨ uk ism´et a kor´abbi sz´amot.
| | < < |< < | < < < | |
<
1; 24, 51, 10 Ha a 2 n´egyzetgy¨ok´et akarjuk meghat´ arozni akkor egy olyan sz´amok kell keresn¨ unk, amelyiket o¨nmag´ aval megszorozva 2-t kapunk. Az is vil´ agos, hogy a keresett sz´am nagyobb 1-n´el, de kisebb 2-n´el. Az agyagt´ abl´ ar´ ol tudjuk, hogy l´ep´esenk´ent egym´as ut´ an olyan sz´amokat sz´ amoltak ki, amelyeket o¨nmagukkal szorozva a 2-h¨ oz egyre k¨ ozelebb ker¨ ultek. A sz´amol´as menete a k¨ ovetkez˝o. √ 1. l´ ep´ es: Legyen az els˝o k¨ ozel´ıt´es 1; 30 ´es osszuk el ezzel a 2-t, 1; 20-at kapunk. A 2 e k´et sz´am k¨oz´e esik. 2. l´ ep´ es: Vegy¨ uk e k´et sz´am ¨osszeg´enek fel´et (sz´amtani k¨ ozep¨ uket), ami az el˝ obbi kett˝ o k¨ oz¨ott van. Ez 0; 30(1; 30 + 1; 20) = 0; 30 · 2; 50 = 1; 25. √ Ha ezzel elosztjuk a 2-t, akkor 1; 24, 42, 21-et kapunk. E k´et sz´am is k¨ozrefogja a 2-t, de m´ar k¨ ozelebr˝ol”. ” 3. l´ ep´ es: Vegy¨ uk e k´et ut´ obbi sz´am sz´ amtani k¨ ozep´et: 0; 30(1; 25 + 1; 24, 42, 21) = 0; 30 · 2; 49, 42, 21 = 1; 24, 51, 10, 30. Ha elhagyjuk az utols´ o 60-ados jegyet, vagy a 21 fel´et 10-nek vessz¨ uk, megkapjuk a t´ abla ´ert´ek´et. √ am´ıtani a ∈ Q+ -ra. A a-t kell kisz´ √ oz¨ott van. 1. l´ ep´ es: Legyen a1 , ´es b1 = aa1 . a e k´et ´ert´ek k¨ √ a1 +b1 a 2. l´ ep´ es: Legyen a2 = 2 ´es b2 = a2 . E k´et sz´am is k¨ozrefogja a-t, ´es a2 , b2 az a1 ´es a b1 k¨ oz´e esik. Az elj´ar´ ast folytatva olyan a1 , a2 , . . .
b1 , b 2 , . . .
sorozatokat kapunk, amelyre egyr´eszt ai ´es bi (i = 1, 2, . . . ) k¨ ozrefogja |a1 − b1 | > |a2 − b2 | > . . . 6
√ a-t, m´asr´eszt
Ez azt jelenti, hogy mindk´et sorozat egyre jobban megk¨ ozel´ıti a keresett ´ert´eket, ami e k´et sorozat k¨oz¨os hat´ ar´ert´eke (mai terminol´ ogi´ aval), lim an = lim bn =
n→∞
√
n→∞
a.
4. Feladat K´et n´egyzetem ter¨ ulet´et ¨osszeadtam, [az] 25,25. A m´asodik n´egyzet [oldala] k´etharmada az els˝o n´egyzet[´e]nek ´es m´eg 5. Vil´ agos, hogy ha x, y jel¨ oli a k´et n´egyzet oldal´ at, akkor az x2 + y 2 = 25, 25 y = 0; 40x + 5 egyenletrendszert kell megoldani. K´ın´ alkoz´o o¨tlet: a m´asodik egyenletb˝ol y-t az els˝obe helyettes´ıtj¨ uk, ´ıgy az egyhat´ arozatlanos a 1 x2 + a 2 x = a 3 m´asodfok´ u egyenletet kapjuk. DE u ´ gy tanultuk, hogy e m´o dszer — a behelyettes´ıt´es” — bevezet´ese szint´en a Kr.u. VIII. sz´ azadban ´elt al” Khwarizmi nev´ehez f˝ uz˝o dik. Ha megvizsg´ aljuk a megold´ as sz¨ oveg´et, akkor nem k´ets´eges, hogy m´ ar e korban is ismerni¨ uk kellett az al-Khwarizminek tulajdon´ıtott elj´ ar´ ast. Az agyagt´ abl´ an ugyanis a k¨ ovetkez˝o sz´amol´as tal´ alhat´ o: 1 + 0; 40 · 0; 40 = 1; 26, 40, 5 · 0; 40 = 3; 20, 25, 25 − 5 · 5 = 25, 0 Ez pedig nem m´ as, mint azon egyenlet egy¨ utthat´ oi kisz´ am´ıt´ asa, amit az eml´ıtett behelyettes´ıt´essel kapunk, azaz x2 + (0; 40x + 5)2 = 25, 25, amit rendezve
(1 + 0; 402 )x2 + 2 · 5 · 0; 40x = 25, 25 − 52 = 25, 0.
Ezen egyenlet megold´as´at az al´abbi sz´amol´asokkal v´egezt´ek el: 1; 26, 40 · 25, 0 = 36, 6; 40, 3; 20 · 3; 20 = 11; 6, 40, 36, 6; 40 − 11; 6, 40 = 36, 17; 46, 40. Ezut´ an megadt´ ak a 36, 17; 46, 40 n´egyzetgy¨ok´et, ami 46; 40, majd ´ıgy folytatt´ ak. 7
A gy¨ oknek ´es annak, amit o¨nmag´ aval szorozt´ al a k¨ ul¨ onbs´ege 43; 40. Ha ezt megszorzod 1; 26, 40 reciprok´ aval, megkapod az egyik n´egyzetet [a n´egyzet oldal´ at], ami 30. A m´asik n´egyzet [oldala] pedig 25. Ha v´egign´ezz¨ uk elj´ ar´ asukat akkor nyilv´ anval´ o, hogy a behelyettes´ıt´es ut´an kapott ax2 + 2bx = c alak´ u egyenletet el˝obb a-val megszorozt´ak (ism´et egy olyan l´ep´es, aminek els˝ o alkalmaz´ as´at al-Khwarizminek szok´ as tulajdon´ıtani), majd az egyenlet bal oldal´ at teljes n´egyzett´e alak´ıtott´ ak, (ax + b)2 = ac + b2 , ezut´an gy¨ ok¨ ot vontak, s ´ıgy kapt´ ak az √ x=
ac + b2 − b a
megold´ast. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ma is ilyen elj´ar´ assal oldjuk meg a m´ asodfok´ u egyenleteket. 5. Feladat. H´arom n´egyzetem ¨osszege 23, 20. Az els˝o ´es a m´asodik n´egyzet k¨ ul¨ onbs´ege 10, a m´asodik ´es a harmadik n´egyzet k¨ ul¨ onbs´ege szint´en 10. Megoldand´ o teh´ at az x2 + y 2 + z 2 = 23, 20 x − y = 10 y − z = 10 egyenletrendszer. A t´abl´ an tal´ alhat´ o sz´amol´asb´ol vil´ agos, hogy u ´gy dolgoztak, mintha el˝obb a m´ asodik ´es a harmadik egyenletb˝ol kifejezt´ek volna a z seg´ıts´eg´evel az x, y -t, majd behelyettes´ıtett´ek az els˝obe. Ezzel z-ben m´asodfok´ u egyenlethez jutottak, aminek megold´asa m´ar rutin feladat volt. Hab a tort´ an” a k¨ ovetkez˝o Kr.e. I. ´evezredbeli k´ınai feladat (12. probl´ema az Aritmetika ” m˝ uv´ eszete kilenc k¨ onyvben c. m˝ u IX. k¨ onyv´eben). Van egy ajt´ o, de nem ismerj¨ uk sem a magass´ag´ at, sem a sz´eless´eg´et. Csak azt tudjuk, hogy a magass´ag 2 l´ abbal, a sz´eless´eg pedig 4 l´ abbal r¨ ovidebb, mint az ugyancsak ismeretlen hossz´ us´ag´ u bambuszrudunk. Ez azonban ugyanolyan hossz´ u, mint az ajt´ o ´atl´ o ja. E k´et feladat eredeti megold´asi m´o dszere l´enyeg´eben megegyezik.
8
¨ Osszegz´ es. ´ 1. Az Obabiloni Birodalom ´ırnokai minden olyan m´ asodfok´ u egyenletet meg tudtak oldani, ´ amelyiknek volt pozit´ıv gy¨ oke. (Erdekes, hogy abban az esetben, amikor k´et pozit´ıv gy¨ ok is volt, mindig csak a nagyobbikat adt´ ak meg.) 2. Mivel az ilyen jelleg˝ u probl´em´akn´ al negat´ıv sz´amok nem fordulhattak el˝ o (b´ ar n´eh´any gazdas´agi sz´ am´ıt´ asn´al tal´ alkozhatunk vel¨ uk, mint hi´ annyal), sz´ amukra h´ arom t´ıpus´ u m´ asodfok´ u egyenlet l´etezett, nevezetesen x2 + px = q x2 = px + q x2 + q = px alak´ uak. Ha ism´et ´attekintj¨ uk az ismertetett feladatokat, l´ athatjuk, hogy mindh´ arom t´ıpus el˝ofordult. Z´ar´ asul tekints¨ unk egy igazi gy¨ ongyszemet”. A sz¨ oveges probl´ema a ” 0; 20(x + y) + 0; 1(x − y)2 = 15 xy = 10, 0 egyenletrendszerre vezet. E feladatot tartalmaz´o, a Yale Egyetem gy˝ ujtem´eny´eben ˝orz¨ott agyagt´ abla csak egy t¨ ored´ek, a feladat megold´ asa m´ar hi´ anyzik r´ ola. Az el˝ obbiekben ismertetett megold´ asi technik´ ak k¨ oz¨ ul azonban t¨ obb is k´ın´ alkozik. 1. A m´asodik egyenletb˝ol kifejezz¨ uk az egyik hat´ arozatlant, majd behelyettes´ıtj¨ uk azt az els˝obe. Ez azonban teljes harmadfok´ u egyenletre vezet, ami eddigi ismereteink szerint m´ ar meghaladja a korabeli ismereteket. Csak speci´alis alak´ u, p´eld´ aul x3 = A,
vagy x3 + x = B
alak´ u harmdfok´ u egyenleteket tartalmaz´o t´ abl´ ak ismeretesek. A teljes harmadfok´ u egyenletek bizonyos t´ıpusainak megold´ as´ara el˝ osz¨or a k¨ ozel h´arom ´evezreddel k´es˝obbi iszl´ am matematikusok adtak meg geometriai m´ o dszereket. E lehet˝ os´ eget ´ıgy el kell vetn¨ unk. 2. Egy m´ asik lehet˝ os´eg az, hogy a m´asodik egyenlet 4 · 0; 1-szeres´et hozz´aadva az els˝o egyenlethez az 0; 20(x + y) + 0; 1(x + y)2 = 6, 55 (x + y)-ban m´ asodfok´ u egyenletet kapjuk, amely m´ ar kezelhet˝ o lehetne az ismert m´ o dszerekkel. Ez az u ´t elk´epzelhet˝o ugyan, de v´elem´enyem szerint kev´ess´e val´ osz´ın˝ u. 3. Neugebauer egy o¨tlete, amely j´ ol illeszkedik gondolkod´ asm´o djukhoz: vezess¨ unk be k´ et u ´ j hat´ arozatlant, az eredeti hat´ arozatlanok sz´ amtani k¨ ozep´ ere, valamint az att´ ol val´ o elt´ er´ esre. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a feladatban ism´et ¨osszeg ´es k¨ ul¨ onbs´eg szerepel, de az eddigiekt˝ ol elt´er˝o en most mindkett˝ o egyszerre. Ha teh´at az x= u+v y = u−v 9
helyettes´ıt´eseket alkalmazzuk, akkor az 0; 2u + 0; 4v 2 = 15 u2 − v 2 = 10, 0 egyenletrendszert kapjuk, ami m´ ar k¨ onnyen megoldhat´ o, csak a m´ asodik egyenletb˝ol v 2 et az els˝obe kell helyettes´ıten¨ unk, vagy a m´ asodik egyenlet 0; 4-szeres´et hozz´a kell adnunk az els˝oh¨ oz. Megjegyz´ es. Ez annak ellen´ere szimpatikus ¨otlet, hogy m´ as ismert feladatokn´ al csak egy u ´j hat´ arozatlant vezettek be, m´ıg itt egyszerre kett˝ot kellene.
10
´ EGY ERDEKES FELADAT n´ eh´ any v´ altozata
1. RHIND 79. feladat. Van 7 h´ az, 49 macska, 343 eg´er, 2401 kal´ asz, 16807 b´ uzaszem. Val´ osz´ın˝ uleg a k¨ ovetkez˝o feladatr´ ol van sz´o: Ha van 7 h´ az, minden h´ azban 7 macska, minden macska megeszik 7 egeret, minden eg´er elpuszt´ıtana 7 kal´ aszt, ´es minden kal´ aszban 7 mag van, akkor h´ any szem gabona menek¨ ul meg? 2. LEONARDO, Liber Abaci XII. fejezete. 7 any´ oka mendeg´el R´oma fel´e, minden any´ ok´ aval mendeg´el 7 ¨oszv´er, minden o¨szv´eren 7 zs´ak van, minden zs´ akban 7 keny´er van, minden keny´er mellett 7 k´es van, minden k´es 7 tokban van. Mennyi mindezek o¨sszege? 3. K¨ oz´ epkori orosz k´ ez´ırat. Megy 7 any´ oka, minden any´ ok´ an´ al 7 bot van, minden boton 7 ´agacska, minden ´agacsk´an 7 tarisznya, minden tariszny´ aban 7 lep´eny, minden lep´enyben 7 ver´eb, minden ver´ebben 7 z´ uza. Mennyi ez o¨sszesen? 4. Ismert angol nonszensz-vers (nursery rhyme). As I was going to St. Ives, I met a man with seven wives; Every wife had seven sacks, Every sack had seven cats, Every cat had seven kits, Kits, cats, sacks, and wives, How many were going to St. Ives?
11
