MASALAH PENGEPAKAN BANGUN DATAR
Sumardyono, M.Pd. Masalah pengepakan (packing) adalah masalah meletakkan objek-objek yang saling bersinggungan dengan cara tertentu dan di dalam suatu wadah dengan spesifikasi tertentu pula. Di dalam matematika, umumnya masalah pengepakan untuk mencari susunan beberapa objek (dalam hal ini bangun datar) dalam suatu wadah (daerah interior sebuah bangun datar) sedemikian hingga banyak objek menjadi semaksimal mungkin atau besar wadah seminimum mungkin.
Sebuah Contoh Sederhana Bagaimana membuat wadah dengan penampang berbentuk persegi seminimum mungkin yang dapat menampung 2 benda dengan penampang berbentuk segitiga samasisi?
Berikut ini beberapa alternatif cara pemasangan dan persegi yang bersesuaian.
Tampak bahwa dua alternatif terakhir mungkin merupakan solusi yang kita inginkan. Mana di antara kedua susunan yang perseginya paling minimum (luasnya)? Misalkan panjang sisi segitiga = s. Perhatikan gambar di bawah ini.
1 s 3 2 s t
s
b a
Pembaca perlu diingatkan kembali sifat segitiga samasisi (krn di sini tiba2 muncul
Misalkan diketahui ukuran t maka a =
Sehingga
s+b=
1 1 1 1 t 3 . Diperoleh b = s – a = s – t 3 3 2 2 3
3 1 s– t 3 2 3
Karena bentuknya harus persegi, maka diperoleh
Akibatnya diperoleh
3 1 1 s– t 3 = s 3+t 2 3 2
3 1 3 − 2 2 t = s ≈ 0,4019.s 1 1+ 3 3
Jadi, ukuran sisi persegi adalah
1 s 3) 2
1 s 3 + t ≈ 0,8660s + 0,4019.s = 1,2679s. 2
Sekarang perhatikanlah gambar di bawah ini.
s s
1 2
c
s
Menggunakan sifat segitiga samasisi diperoleh c =
1 s 3 2
Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh ukuran sisi persegi adalah
1 s 6 ≈ 1,2247s. 2
Jadi, ukuran persegi pada gambar terakhir adalah ukuran yang lebih minimum yang dapat memuat dua buah segitiga. Apakah susunan yang terakhir merupakan solusi terbaik? Ya, itulah susunan terbaik (paling minimum-efisien), walaupun untuk membuktikannya secara matematis kita berhadapan dengan sedikit kompleksitas dari konsep-konsep geometri dan kombinatorik.
Penerapan dalam Pembelajaran Matematika Masalah pengepakan (packing) dapat dipergunakan untuk pembelajaran matematika dalam rangka implementasi konsep dan keterampilan matematis. Baik sebagai kegiatan reguler dalam topik keliling dan luas bangun datar maupun sebagai topik pengayaan. Dalam kegiatan pembelajaran, siswa diharapkan menggunakan penalaran dan kreativitas dalam membuat berbagai susunan yang mungkin. Hal ini penting karena untuk memecahkan masalah pengepakan tidak ada rumus yang dapat dipergunakan. Masalah pengepakan termasuk tipe soal pemecahan masalah yang mudah dipahami namun tidak mudah dipecahkan sehingga menantang pikiran dan memotivasi siswa untuk memecahkannya. Pemanfaatan alat peraga berupa model bangun datar (dalam jumlah dan ukuran yang cukup) dapat membantu siswa untuk menemukan susunan yang mungkin dan membuka pikiran ke arah strategi pemecahan masalahnya.
Setelah beberapa susunan yang mungkin telah diperoleh, siswa diminta dengan menggunakan penalaran dan pemahaman akan konsep-konsep geometri, untuk menghitung ukuran-ukuran yang ada dalam setiap susunan tersebut (terutama yang merupakan candidat solusi dari suatu masalah pengepakan). Selain itu, strategi pembelajaran kooperatif lebih cocok dipergunakan untuk memberdayakan kemampuan setiap siswa agar lebih terakselerasi dan melatih kerjasama dan berargumentasi.
Solusi Terbaik Beberapa Masalah Pengepakan Berikut ini beberapa masalah pengepakan dengan solusi terbaiknya. Beberapa masalah hanya diberikan untuk banyak objek yang terbatas, dengan harapan dapat dipergunakan untuk pembelajaran matematika di kelas. Untuk objek yang sudah sangat banyak, maka sudah selayaknya dibutuhkan keterampilan dan konsep matematika yang lebih lanjut, serta dibutuhkan pula bantuan program komputer untuk pengerjaannya. 1. Pengepakan segitiga a. Dalam Segitiga
b. Dalam Persegi
c. Dalam Lingkaran
2. Pengepakan persegi a. Dalam Segitiga
b. Dalam Persegi
c. Dalam Lingkaran
3. Pengepakan lingkaran a. Dalam Segitiga
b. Dalam Persegi
c. Dalam Lingkaran
Kesemua susunan yang diberikan di atas adalah yang terbaik (minimum), namun untuk beberapa n buah objek ada masalah pengepakan yang masih belum terpecahkan. Untuk sekedar diketahui, menurut website MathWorld-Wolfram masalah pengepakan n persegi di dalam persegi untuk n = 11, 12, 13, 17, 18, 19, 20 dan 21 belum terpecahkan atau belum dapat dibuktikan adanya susunan yang minimum. Apakah Anda tertantang memecahkannya?
Daftar Pustaka Eppstein, D. "Covering and Packing." dalam http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/cover.html. Friedman, E. "Erich's Packing Center." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/packing.html. Friedman, E. "Circles in Circles." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/cirincir/. Friedman, E. "Circles in Squares." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/cirinsqu/. Friedman, E. "Circles in Triangles." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/cirintri/. Friedman, E. "Squares in Circles." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/squincir/. Friedman, E. "Squares in Squares." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/squinsqu/. Friedman, E. "Squares in Triangles." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/squintri/. Friedman, E. "Triangles in Circles." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/triincir/. Friedman, E. "Triangles in Squares." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/triinsqu/. Friedman, E. "Triangles in Triangles." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/triintri/. Weisstein, Eric W. "Circle Packing." MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam http://mathworld.wolfram.com/CirclePacking.html Weisstein, Eric W. "Packing." MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam http://mathworld.wolfram.com/Packing.html
Weisstein, Eric W. "Square Packing." MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam http://mathworld.wolfram.com/SquarePacking.html Weisstein, Eric W. "Triangle Packing." MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam http://mathworld.wolfram.com/TrianglePacking.html
