BAB
1
Bangun Datar dan Segitiga
Pernahkah kalian memperhatikan kompleks perumahan? Atau mungkin di antara kalian ada yang tinggal di sana? Coba amati bentuk rumah yang satu dengan yang lainnya. Kalau diperhatikan sekilas saja, memang tampak berbeda, namun jika kalian melihat secara detail, maka kalian akan menemukan bahwa bentuk dasar rumah yang satu dengan yang lainnya tidaklah berbeda, bahkan ada yang persis sama. Dalam bidang perencanaan rumah dan gedung, ilmu bangun datar dan segitiga sangat besar peranannya dalam membuat gambar-gambar bangunan. Merencanakan gambar sebelum melakukan pembangunan diperlukan untuk menentukan modelmodel rumah atau gedung sebelum dibuat. Pada bahasan matematika ini kalian akan mempelajari bangun datar dan segitiga yang meliputi kesebangunan dan kekongruenan dua bangun datar, segitiga-segitiga yang sebangun dan kongruen serta penggunaan dalam kehidupan sehari-hari. Setelah mempelajari bab ini kalian diharapkan mampu mengenali, membedakan dan menghitung dua bangun datar, serta menentukan perbandingan kesebangunan dua bangun datar.
A. Kesebangunan dan Kekongruenan Dua Bangun Datar Materi yang akan kalian pelajari pada bab ini adalah: A. Kesebangunan dan Kekongruenan Dua Bangun Datar B. Segitiga-Segitiga yang Sebangun ( ~ ) C. Segitiga-Segitiga yang Kongruen ( ≅ ) D. Penerapan Kesebangunan
Masih ingatkah kalian pembahasan mengenai perbandingan di kelas VII, kalian telah membahas materi foto dan modul berskala. Untuk mengingatkan kembali, perhatikan gambar disamping gambar 1.2 memperlihatkan bangunan monas yang megah, sedangkan gambar 1.3 memperlihatkan foto monas. Keduanya memiliki bentuk yang sama, namun memiliki ukuran yang berbeda. 1.
Bangun Datar yang Sebangun
Bangun datar dapat dikatakan sebangun karena bentuknya yang sama. Kertas yang kalian lihat merupakan salah satu bangun datar. Dapatkah kalian menunjukkan bahwa kertas pada buku tulis dengan kertas pada buku gambar dikatakan sebangun? Samakah bentuk dan ukurannya? Bagaimana dengan sudutnya? Perhatikanlah gambar di bawah ini! H123456789012345678901 G 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901 123456789012345678901
D12345678 12345678C 12345678 12345678 12345678 12345678 12345678 12345678
A
B
E
F
(b)
(a) S Gambar 1.2 Gambar Monas
N
M
x
o
K
L
(c)
R
x P
o
(d)
Q
Gambar 1.4 (a) dan (b) dua persegi yang sebangun (c) dan (d) dua trapesium yang sebangun
Untuk menentukan gambar 1.4 (a) dan 1.4 (b) sebangun atau tidak kalian dapat memeriksanya. Ambillah sebuah penggaris dan busur lalu ukurlah sisi dan sudut kedua persegi! Gambar 1.3 Foto / Lukisan Monas
2
Apabila kalian melakukannya dengan benar akan didapatkan kesebangunan antara gambar 1.4 (a) dengan 1.4 (b), meskipun ukuran kedua persegi tersebut berbeda.
Belajar Mudah Matematika Kelas 3
Sisi kedua persegi memiliki ukuran sebagai berikut: a.
Panjang EF = 3 x Panjang AB. Sehingga EF : AB = 3 : 1.
b.
Panjang FG = 3 x Panjang BC. Sehingga FG : BC = 3 : 1
Sudut-sudut kedua persegi memiliki ukuran yang sama besar, yaitu:
p A = pE = 90°
p C = p G = 90°
pB = pF = 90°
p D = p H = 90°
Jadi persegi ABCD dan persegi EFGH memiliki sifat-sifat 1. 2.
Sisi-sisi yang seletak mempunyai perbandingan yang sama. Sudut-sudut yang seletak sama besar.
Sekarang perhatikan gambar 1.4 (c) dan (d)!
Ingat! Trapesium KLMN sebangun dengan trapesium PQRS sehingga dapat ditulis KLMN ~ PQRS
Ambillah sebuah penggaris dan busur lalu ukurlah sisi-sisi dan sudut dari kedua trapesium itu! Temukanlah apakah hubungan berikut ini berlaku: a. b. c. d.
panjang panjang panjang panjang
PQ QR RS SP
= = = =
2 2 2 2
x x x x
panjang KL panjang LM panjang MN panjang NK
dan dan dan dan
pK pL pM pN
= = = =
pP pQ pR pS
Apakah hasil pengukuranmu membenarkan semua hubunganhubungan di atas? Ternyata semua hubungan tersebut benar, sehingga trapesium KLMN dan PQRS dinyatakan sebangun karena: 1.
Pasangan sisi yang seletak mempunyai perbandingan yang sama. 2. Sudut-sudut yang seletak mempunyai besar yang sama. Penamaan dua bangun datar yang sebangun harus berurutan dimulai dari titik sudut yang seletak, seperti pada gambar 1.4 trapesium (c) dan (d) sebangun, nama trapesium (c) adalah KLMN maka nama trapesium (d) harus dimulai dari titik sudut yang seletak dengan titik sudut K pada trapesium KLMN yaitu P, sehingga nama trapesium adalah trapesium PQRS. Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Dua bangun datar dikatakan sebangun jika: 1. Bentuk dan jenisnya sama. 2. Sisi yang seletak memiliki perbandingan yang sama. 3. Sudut-sudut yang seletak sama besar.
Kesebangunan
3
Pada bangun datar terdapat sudut-sudut yang seletak sesuai dengan bentuknya. Untuk memahami tentang sudut yang seletak pada dua bangun datar atau lebih. Perhatikanlah gambar bangun datar di bawah ini. D
o
x
N
C
x
o
o
S
M
x
B
A
x
o
K
(a)
L
P
(b)
x
x
o
R
o
Q
(c)
Gambar 1.5
Perhatikan gambar 1.5 bangun (a) dan bangun (b) disebut sama sudut karena sudut-sudut yang seletak sama besar.
pA = pK pB = pL
pC = pM pD = pN
Bangun (c) juga memiliki sudut-sudut yang sama besar, namun pada bangun (c) titik-titik sudutnya tidak seletak dengan titik-titik sudut pada bangun (a) dan (b) dan urutannya pun berlainan. Sehingga bangun (c) tidak sama sudut dengan bangun (a) dan (b). Jika sudut-sudut yang seletak dapat ditentukan, maka sisi-sisi yang seletak juga dapat ditentukan dengan mudah, walaupun kedua bangun tersebut memiliki posisi yang berbeda. 2.
Dua Bangun Datar yang Kongruen
Pernahkah kalian menerima kartu undangan ulang tahun dari teman atau kartu undangan yang lainnya? Coba perhatikan sisi kanan kartu dengan sisi kiri kartu, samakah bentuknya? Samakah ukurannya? Ya, ternyata sama. Sisi kanan kartu memiliki ukuran yang sama dengan sisi kirinya. Artinya sisi kiri kongruen dengan sisi kanan kartu. Gambar 1.6 Gambar kartu undangan
Untuk membangun dua bangun yang kongruen sangatlah mudah. Ambillah selembar kertas berbentuk persegi empat, lalu lipatlah menjadi dua bagian, kemudian potong menurut garis lipatannya, apa yang terjadi? Kalian akan memperoleh dua bangun persegi empat yang kongruen.
Ingat! Persegi panjang ABCD dengan EFGH kongruen, sehingga dapat ditulis ABCD – EFGH.
4
Belajar Mudah Matematika Kelas 3
Ö Gambar 1.7
H
G
D
C
E
F
A
B
Ö Membuat segiempat yang kongruen
Pada gambar 1.7 persegi panjang ABCD kongruen dengan persegi panjang EFGH. Dua bangun yang kongruen akan saling menutupi dengan tepat satu sama lain jika ditumpuk. Maka persegi panjang ABCD jika ditumpuk ke persegi panjang EFGH akan menutupinya dengan tepat sehingga diperoleh: panjang AB = panjang EF
dan
pA = pE
b. panjang BC = panjang FG
dan
pB = pF
c.
panjang CD = panjang GH
dan
p C = pG
d. panjang DA = panjang HE
dan
p D = pH
a.
Jadi dapat disimpulkan bahwa: Dua bangun datar dikatakan kongruen jika: 1. Bentuk dan jenisnya sama. 2. Sisi-sisi yang seletak sama besar. 3. Sudut-sudut yang seletak sama besar.
Mari mengulang Pada bangun berikut bangun apa saja yang kongruen? berilah penjelasan
A
H
G
F
B
C
D
:
ª ACH –ª BDG – ª CEF – ª FHC ABGH – EDGF –
BCFG – DCHG –
ACFH –
ECHF –
E
Contoh 1 Dua buah persegi panjang masing-masing berukuran 2 cm x 4 m dan 10 cm x 20 cm. Tunjukkanlah bahwa kedua persegi itu sebangun! Jawab: D
C
A
B
Panjang AB = 4 cm Lebar BC = 2 cm
S
R
P
Q
Panjang PQ = 20 cm Lebar QR = 10 cm
Ukuran sudut persegi panjang ABCD dan PQRS sama besar karena semua sudut membentuk sudut siku-siku. Perbandingan panjang sisi seletak. AB : PQ = 4 : 20 = 1 : 5 CD : RS = 4 : 20 = 1 : 5 Perbandingan lebar sisi seletak. BC : QR = 2 : 10 = 1 : 5 AD : PS = 2 : 10 = 1 : 5 Hasil perbandingan menunjukkan nilai yang sama. Jadi, persegi panjang ABCD dengan PQRS dinyatakan sebangun, dapat pula ditulis ABCD ~ PQRS.
Kesebangunan
5
