Marek Mikoška Modely kointegrovaných časových řad

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikáln´ı fakulta

´ PRACE ´ DIPLOMOVA

Marek Mikoˇska Modely kointegrovan´ ych ˇ casov´ ych ˇ rad Katedra pravdˇepodobnosti a matematické statistiky

Vedouc´ı diplomové práce: Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. Studijn´ı program: Ekonometrie

Dˇekuji Doc. RNDr. Petru Lachoutovi, CSc. za veden´ı moj´ı diplomové práce, cenné rady, pˇripom´ınky a návrhy pˇri jej´ım psan´ı.

Prohlaˇsuji, ˇze jsem svou diplomovou práci napsal samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych pramen˚ u. Souhlas´ım se zap˚ ujˇcován´ım práce. V Praze dne 18. dubna 2008

Marek Mikoˇska

Obsah ´ Uvod

6

1 Z´ akladn´ı pojmy 1.1 Náhodné procesy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Grangerova kauzalita v ˇcasov´ ych ˇradách a anal´ yza 1.3 Exogenita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Základn´ı modely v´ıcerozmˇern´ ych ˇcasov´ ych ˇrad . . 1.5 Nestacionarita a integrované procesy . . . . . . . 1.6 Funkcionáln´ı centráln´ı limitn´ı vˇeta . . . . . . . .

. . . . . . . . impuls-reakce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

7 7 10 11 13 15 19

2 Testov´ an´ı jednotkov´ eho koˇ rene 2.1 Dickey-Fullerovy testy . . . . . . 2.2 Zobecnˇené Dickey-Fullerovy testy 2.3 Phillips-Perronovy testy . . . . . 2.4 Testován´ı v´ıce parametr˚ u. . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

22 23 25 26 31

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3 Kointegrace 34 3.1 Definice kointegrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Grangerova vˇeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4 Modely kointegrovan´ ych ˇ casov´ ych ˇ rad 40 4.1 VAR a VMA reprezentace kointegrovan´ ych veliˇcin . . . . . . . . . . . 40 4.2 ECM reprezentace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2.1 Odhad error-correction modelu dvoukrokovou metodou . . . . 43 4.2.2 Odhad error-correction modelu a testován´ı kointegrace Johansenovou procedurou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.2.3 Volba délky zpoˇzdˇen´ı p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2.4 Lineárn´ı omezen´ı na β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2.5 Hypotézy na parametr α a podm´ınˇen´ y model . . . . . . . . . 49 4.3 Triangular reprezentace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.4 Statick´ y regresn´ı model kointegrovan´ ych veliˇcin . . . . . . . . . . . . 54 4.5 ADL reprezentace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

OBSAH 4.6

4 Grangerova kauzalita v kointegrovan´ ych systémech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Numerick´ a aplikace na re´ aln´ a data 5.1 Anal´ yza integrovanosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Kointegraˇcn´ı anal´ yza v´ıcerozmˇerného systému . . . . . 5.3 Testován´ı restrikc´ı na parametr β a testován´ı exogenity 5.4 Závˇery z v´ıcerozmˇerné error-correction anal´ yzy . . . . . 5.5 Anal´ yza v jednorovnicovém modelu . . . . . . . . . . . 6 Shrnut´ı

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

58 61 63 65 69 71 72 75

Název práce: Modely kointegrovan´ ych ˇcasov´ ych ˇrad. Autor: Marek Mikoˇska Katedra: Katedra pravdˇepodobnosti a matematické statistiky Vedouc´ı diplomové práce: Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. e-mail vedouc´ıho: [email protected] Abstrakt: V práci se zab´ yváme konceptem kointegrace, kter´ y je vhodn´ ym nástrojem k anal´ yze nestacionárn´ıch proces˚ u. Pˇredkládáme shrnut´ı nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ıch test˚ u jednotkového koˇrene, kter´ ymi ovˇeˇrujeme integrovanost analyzovan´ ych ˇrad. Dále se detailnˇe zamˇeˇrujeme na modely, které jsou bˇeˇznˇe pouˇz´ıvány k anal´ yze kointegrovan´ ych ˇcasov´ ych ˇrad. Nejv´ıce se vˇenujeme popisu nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ıho error-correction (EC) modelu, kter´ y lze pouˇz´ıt k modelován´ı vˇetˇs´ıho poˇctu kointegraˇcn´ıch vztah˚ u. Zab´ yv´ ame se testován´ım lineárn´ıch omezen´ı na kointegraˇcn´ı vztah a dále také testován´ım slabé exogenity vyˇsetˇrovan´ ych ˇrad pouˇzit´ım pomˇeru vˇerohodnost´ı. V rámci jednorovnicové kointegraˇcn´ı anal´ yzy je podrobnˇe popsán autoregressive distributed lags model (ADL). Ilustrujeme pˇr´ımou souvislost mezi EC a ADL modely. Dále pˇredstavujeme modely VAR, VMA, Phillipsovu triangular reprezentaci a kointegraˇcn´ı regresi. Zab´ yváme se vzájemn´ ymi vztahy mezi uveden´ ymi modely a shrnujeme v´ yhody a nev´ yhody jejich pouˇzit´ı. Na závˇer ilustrujeme teoretické v´ ysledky na anal´ yze reáln´ ych ˇcasov´ ych ˇrad. Na zvoleném modelu bylo moˇzné provést redukci vektorového error-correction modelu na jednorovnicov´ y ADL model bez ztráty eficience a ovˇeˇrit vztah mezi tˇemito modely. Pouˇzit´ım test˚ u na lineárn´ı omezen´ı kointegraˇcn´ıho vektoru a test˚ u exogenity a Grangerovy kauzality jsme dokázali pˇresnˇeji identifikovat model na pozad´ı ekonomické teorie. Kl´ıˇcová slova: kointegrace, error correction model (EC), autoregressive distributed lag model (ADL), kointegrovan´ y VAR model, exogenita, triangular reprezentace. Title: Cointegrated Time Series Models. Author: Marek Mikoˇska Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. Supervisor’s e-mail address: [email protected] Abstract: The thesis deals with the concept of cointegration which represents appropriate tool in the analysis of nonstationary processes. First we summarized most commonly used test for the presence of the unit root in individual time series. Next we concentrate on the models which are commonly used in the cointegration analysis of the time series. We are extensively described error-correction (EC) model which could be used in the analysis of few cointegrating relations. We also pay attention to testing of the linear restrictions on cointegrating relations and testing the hypothesis of weekly exogeneity of examined series by employing likelihood ratio. For the single equation cointegration analysis we described autoregressive distributed lags model (ADL) in detail. We illustrated straight connection between EC and ADL models. Next we introduce the models VAR, VMA, Phillips triangular representation and cointegrating regression. We were concerned with description of relationships between models and we summarized their advantages and disadvantages. Final we illustrated theoretical results in the analysis of the real time series. In the final choice of model we could reduced vector error-correction model to single equation ADL model without the loss of efficiency and we could verified the relationship between them. By employing the tests of linear restriction on cointegrating relation and tests of exogeneity and Granger causality we achieved the better identification of the model in the background of economic theory. Keywords: cointegration, error correction model (EC), autoregressive distributed lag model (ADL), cointegrated VAR model, exogeneity, triangular representation.

´ Uvod Kointegraˇcn´ı anal´ yza pˇredstavuje modern´ı nástroj, kter´ ym lze modelovat dlouhodob´ y rovnováˇzn´ y vztah mezi nˇekolika nestacionárn´ımi promˇenn´ ymi. Velmi zaj´ımavé v´ ysledky dosahuje v anal´ yze ekonomick´ ych ˇcasov´ ych ˇrad, které ˇcasto obsahuj´ı stochastick´ y trend. V práci jsme vycházeli z diplomov´ ych prac´ı Bittner (2005) a Juráˇska (2007). Kromˇe pˇrehledného shrnut´ı základn´ıch v´ ysledk˚ u jsme se detailnˇeji zab´ yvali vztahy mezi jednotliv´ ymi typy kointegraˇcn´ıch model˚ u. V prvn´ı kapitole jsou zadefinovány základn´ı pojmy, které jsou v dalˇs´ım textu pouˇz´ıvány. Dále jsou shrnuty nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı testy jednotkového koˇrene, nebot’ tato problematika je velmi u ´zce spjatá s problematikou kointegrace. V tˇret´ı kapitole je ˇctenáˇri pˇredstaven pojem kointegrace, spolu s pˇr´ısluˇsnou motivac´ı. Zde je také sepsána obecná verze u ´stˇredn´ı Grangerovy vˇety, která popisuje vztah základn´ıch kointegraˇcn´ıch model˚ u. Následnˇe se vˇenujeme popisu základn´ıch model˚ u, které b´ yvaj´ı pouˇz´ıvány v rámci kointegrace. Zmiˇ nujeme se o VAR a VMA modelu, error-correction modelu, Phillipsovˇe triangular reprezentaci a na závˇer detailnˇeji popisujeme jednorovnicové modely, zvláˇstˇe pak model ADL. Nejv´ıce se samozˇrejmˇe zab´ yváme nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ım vektorov´ ym error-correction modelem a dále pak ADL modelem, kter´ y je s n´ım u ´zce spjat´ y. Detailnˇe se zab´ yváme testován´ım lineárn´ıch omezen´ı v kointegraˇcn´ım vztahu a také pˇrevody mezi jednotliv´ ymi modely. Na závˇer ilustrujeme mnohé teoretické v´ ysledky v praktické ˇcásti, kde analyzujeme reálná data. Volba dat nám umoˇznila ilustrovat pˇrechod z v´ıcerozmˇerného na jednorozmˇern´ y model. Také jsme mohli posoudit d˚ uleˇzitost ekonomické teorie, která stoj´ı za volbou modelu. D´ıky pouˇzit´ı lineárn´ıch omezen´ı na parametry modelu jsme identifikovali problém v nekonzistenci v´ ysledk˚ u s jin´ ymi anal´ yzami provádˇen´ ymi na obdobném poptávky po penˇez´ıch. V naˇsem pˇr´ıpadˇe jsme doˇsli k závˇeru, ˇze v pouˇzit´ ych datech je sp´ıˇse modelován jin´ y kointegraˇcn´ı vztah, neˇz bylo p˚ uvodnˇe pˇredpokládáno. Praktická ˇcást je pˇr´ınosná vzhledem k ilustraci problém˚ u souvisej´ıc´ıch s anal´ yzou a návrhu moˇzn´ ych zp˚ usob˚ u ˇreˇsen´ı.

Kapitola 1 Z´ akladn´ı pojmy V této kapitole jsou shrnuty základn´ı definice a pojmy, se kter´ ymi se setkáváme v souvislosti s tématem kointegrace. V prvn´ı ˇcásti se zab´ yváme základy náhodn´ ych proces˚ u. Zm´ın´ıme se o exogenitˇe a Grangerovˇe kauzalitˇe. Dále jsou prezentovány nˇekteré základn´ı typy v´ıcerozmˇern´ ych náhodn´ ych proces˚ u v pˇr´ıpadˇe stacionárn´ıch proces˚ u. Na závˇer si zavedeme pojmy nestacionárn´ıho a integrovaného náhodného procesu a funkcionáln´ı centráln´ı limitn´ı vˇetu, která se v tomto textu ˇcasto vyuˇz´ıvá pˇri odvozen´ı asymptotického asymptotick´ ych vlastnost´ı.

1.1

N´ ahodn´ e procesy

V této sekci jsou zadefinovány základn´ı pojmy z náhodn´ ych proces˚ u, které bezprostˇrednˇe souvis´ı s tématem kointegrace. Vˇetˇsinu pojm˚ u lze nalézt v publikac´ıch Práˇsková (2004), Arlt (1999) a L¨ utkepohl (2005). Definice 1.1. Necht’ T ⊂ R a (Ω, A, P ) je pravdˇepodobnostn´ı prostor. Rodinu náhodn´ ych veliˇcin {Yt , t ∈ T } definovan´ ych na (Ω, A, P ) naz´ yváme n´ ahodný proces. Rodinu (m-rozmˇern´ ych) náhodn´ ych vektor˚ u {Y t , t ∈ T } definovan´ ych na (Ω, A, P ) naz´ yváme vektorový (m-rozmˇerný) náhodný proces. Náhodn´ y proces s diskrétn´ı mnoˇzinou ˇcas˚ u (T ⊂ Z nebo T = Z) naz´ yváme ˇcasovou ˇradou. Nˇekdy budeme náhodn´ y proces {Y t , t ∈ Z} pro zjednoduˇsen´ı znaˇcit {Y t }. Definice 1.2. Náhodn´ y proces {Yt , t ∈ T } se naz´ yvá striktnˇe stacionárn´ı, jestliˇze pro libovolné ti ∈ T , i = 1, . . . , n a libovolné h takové, ˇze ti+h ∈ T , i = 1, . . . , n, je rozdˇelen´ı náhodného vektoru (Yt1 , . . . , Ytn ) stejné jako rozdˇelen´ı náhodného vektoru (Yt1 +h , . . . , Ytn +h ).

´ Í POJMY KAPITOLA 1. ZAKLADN

8

ˇ Definice 1.3. Rekneme, ˇze náhodn´ y proces {Yt , t ∈ Z} je slabˇe stacionárn´ı, jestliˇze plat´ı: E(Yt ) = µt = µ ∈ R pro kaˇzdé t ∈ Z , var(Yt ) = E(Yt − µt )2 = σt2 = σ 2 < ∞ pro kaˇzdé t ∈ Z , cov(Yt , Yt+h ) = E(Yt − µt )(Yt+h − µt+h ) = γh ∈ R pro kaˇzdé t, h ∈ Z . Funkce R(t, s) = E(Yt − µt )(Ys − µs ) se naz´ yvá autokovarianˇcn´ı funkce procesu 2 {Yt , t ∈ Z}. Funkce µt a σt = R(t, t) z pˇredeˇslé definice naz´ yváme stˇredn´ı hodnotou a rozptylem procesu {Yt , t ∈ Z}. Z definice vypl´ yvá, ˇze autokovarianˇcn´ı funkce R(t, s) slabˇe stacionárn´ıho procesu závis´ı pouze na rozd´ılu t − s a jeho rozptyl a stˇredn´ı hodnota je v ˇcase nemˇenná. Obdobné poˇzadavky obsahuje definice slabé stacionarity pro v´ıcerozmˇern´ y náhodn´ y proces. ˇ Definice 1.4. Rekneme, ˇze m-rozmˇern´ y náhodn´ y proces{Y t , t ∈ Z} je slabˇe stacionárn´ı, jestliˇze plat´ı: E(Y t ) = µt = µ ∈ Rm pro kaˇzdé t ∈ Z , var(Y t ) = E[(Y t − µt )(Y t − µt )0 ] = Σt = Σ pro kaˇzdé t ∈ Z , Σ je reálná symetrická pozitivnˇe semidefinitn´ı matice , cov(Y t , Y t+h ) = E[(Y t − µt )(Y t+h − µt+h )0 ] = Γh ∈ Rm pro kaˇzdé t, h ∈ Z . Matice Σ je kovarianˇcn´ı matice rozmˇeru (m × m), která má na diagonále rozptyly a mimo diagonálu kovariance jednotliv´ ych náhodn´ ych veliˇcin m-rozmˇerného procesu Y t . Γh z pˇredeˇslé definice se naz´ yvá autokovarianˇcn´ı (maticov´ a) funkce m-rozmˇerného procesu Y t . Pro slabˇe stacionárn´ı m-rozmˇern´ y proces Y t = (Y1,t , . . . , Ym,t )0 ji lze zapsat následovnˇe:   γ11,h γ12,h · · · γ1m,h  γ21,h γ22,h · · · γ2m,h    Γh = E[(Y t − µ)(Y t+h − µ)0 ] =  .. .. .. ..  ,  . . . .  γm1,h γm2,h · · · γmm,h kde γij,h = E(Yi,t − µi )(Yj,t+h − µj ) pro h ∈ Z, i = 1, . . . , m a j = 1, . . . , m. V praktické anal´ yze ˇcasov´ ych ˇrad vˇetˇsinou pouˇz´ıváme v´ yhradnˇe slabou stacionaritu, pro jej´ıˇz ovˇeˇren´ı staˇc´ı odhadovat prvn´ı dva momenty. Pokud nebude uvedeno jinak, pod pojmem stacionarita budeme rozumˇet slabou stacionaritu.

´ Í POJMY KAPITOLA 1. ZAKLADN ˇ Definice 1.5. Rekneme, ˇze m-rozmˇern´ y náhodn´ y proces {εt , t (m-rozmˇerný) b´ılý ˇsum, pokud pro nˇej plat´ı:

9 ∈

Z} je

E(εt ) = 0 , E(εt ε0t ) = Σε pro kaˇzdé t ∈ Z , Σε je reálná symetrická pozitivnˇe semidefinitn´ı matice , 0 E(εt εs ) = 0 pro kaˇzdé t ∈ Z , s ∈ Z , t 6= s . Struˇcnˇe budeme zapisovat εt ∼ WN(0, Σε ). Pokud nav´ıc plat´ı εt ∼ N (0, Σε ), pak proces naz´ yváme normáln´ı (gaussovský) b´ılý ˇsum. V pˇredeˇslé definici i dalˇs´ım textu budeme symbolem 0 znaˇcit nulov´ y vektor nebo matici pˇr´ısluˇsn´ ych rozmˇer˚ u. Definice 1.6. Spojit´ y náhodn´ y proces {Wt , t ≥ 0} naz´ yváme Wiener˚ uv proces, jestliˇze splˇ nuje: (i ) W0 = 0 s. j., (ii ) {Wt , t ≥ 0} má spojité trajektorie, (iii ) pro libovolné k ∈ N a  Wt1 − Wt0  ..  .

libovolné ˇcasové okamˇziky 0 = t0 < t1 < . . . < tk plat´ı:      0 (t1 − t0 ) 0   .    .. ..  ∼ N  ..  ,   . . Wtk − Wtk−1 0 · · · (tk − tk−1 ) 0

(to znamená, ˇze pˇr´ır˚ ustky Wti − Wti−1 , i = 1, . . . , k jsou nezávislé normálnˇe rozdˇelené s nulovou stˇredn´ı hodnotou a rozptylem ti − ti−1 , i = 1, . . . , k). Za povˇsimnut´ı stoj´ı, ˇze Wt ∼ N (0, t) pro t > 0. Wiener˚ uv proces nen´ı slabˇe stacionárn´ı, nebot’ rozptyl tohoto procesu se mˇen´ı v závislosti na ˇcase. Uvád´ıme jeˇstˇe obdobu této definice pro m-rozmˇern´ y Wiener˚ uv proces. ˇ Definice 1.7. Necht’ m ∈ N. Rekneme, ˇze spojit´ y m-rozmˇern´ y náhodn´ y proces {W t , t ≥ 0} je m-rozmˇerný Wiener˚ uv proces, jestliˇze splˇ nuje: (i ) W 0 = 0 s. j., (ii ) {W t , t ≥ 0} má spojité trajektorie, (iii ) pro libovolné k ∈ N a libovolné ˇcasové okamˇziky 0 = t0 < t1 < . . . < tk jsou pˇr´ır˚ ustky [W ti − W ti−1 ], i = 1, . . . , k nezávislé s m-rozmˇern´ ym normáln´ım rozdˇelen´ı. Plat´ı [W ti − W ti−1 ] ∼ N (0, (ti − ti−1 ) Im ) pro i = 1, . . . , k.


1.2

10

Grangerova kauzalita v ˇ casov´ ych ˇ rad´ ach a anal´ yza impuls-reakce

V anal´ yze ˇcasov´ ych ˇrad se ˇcasto zaj´ımáme o vzájemné vztahy mezi jednotliv´ ymi ˇradami. Hledáme mezi nimi vzájemné p˚ usoben´ı a snaˇz´ıme se zjistit, zda je jedna ’ ˇcasová ˇrada uˇziteˇcná pro pˇredpovˇed ˇrady druhé. Nejˇcastˇeji v souvislosti s kointegrac´ı vyuˇz´ıván koncept kauzality, kter´ y byl zadefinován v Granger (1969). Vycházel z myˇslenky, ˇze pokud je ˇcasová ˇrada {Y t } ovlivˇ nována ˇradou {X t }, potom by mˇela ˇrada {X t } vylepˇsit predikci ˇrady {Y t }. Pro formáln´ı zápis kauzality uvaˇzujeme predikci zaloˇzenou na minimalizaci stˇredn´ı ˇctvercové chyby (MSE)1 . Necht’ {X t } je m-rozmˇern´ y náhodn´ y proces a {Y t } je n-rozmˇern´ y náhodn´ y proces. Mnoˇzinu, která obsahuje vˇsechny informace dostupné do ˇcasu t vˇcetnˇe, oznaˇcme Ωt . Necht’ dále Ωt \{X s , s ≤ t} je mnoˇzina, která obsahuje vˇsechny informace dostupné do ˇcasu t s v´ yjimkou informac´ı obsaˇzen´ ych v minulosti a pˇr´ıtomnosti procesu {X t }. Necht’ Y t (h | Ωt ) je optimáln´ı pˇredpovˇed’ (minimáln´ı MSE) procesu {Y t } o h ˇ krok˚ u vpˇred konstruovaná v ˇcase t, zaloˇzená na informac´ıch v mnoˇzinˇe Ωt . Rekneme, ˇze proces {X t } kauz´ alnˇe p˚ usob´ı v Grangerovˇe smyslu na proces {Y t }, jestliˇze pro alespoˇ n jeden z horizont˚ u h = 1, 2, . . . je rozd´ıl matic MSE[Y t (h | Ωt \{X s , s ≤ t})] − MSE[Y t (h | Ωt )] pozitivnˇe semidefinitn´ı matice, r˚ uzná od matice nulové. V dalˇs´ım textu budeme m´ısto oznaˇcen´ı kauzálnˇe p˚ usob´ı v Grangerovˇe smyslu pouˇz´ıvat pouze zkrácené oznaˇcen´ı kauzálnˇe p˚ usob´ı. Pro jednorozmˇerné procesy je formulace analogická jako v pˇr´ıpadˇe v´ıcerozmˇern´ ych proces˚ u. Pokud proces {X t } kauzálnˇe p˚ usob´ı na proces {Y t } a zároveˇ n proces {Y t } kauzálnˇe p˚ usob´ı na proces 0 0 0 {X t }, potom proces {Z t } = {(X t , Y t ) } naz´ yváme feedback system. S dalˇs´ımi pojmy jako okamˇzit´ a kauzalita (instantaneous causality) se lze podrobnˇeji seznámit v L¨ utkepohl (2005). Zde je také prob´ırána problematika, která souvis´ı s definic´ı kauzality. Pokud bychom mˇeˇrili kvalitu pˇredpovˇedi jin´ ym kritériem neˇz MSE, m˚ uˇzeme dostat odliˇsnou definici kauzality. Dále se v praxi vˇetˇsinou omezujeme na pˇredpovˇedi lineárn´ı. Dalˇs´ı problém se t´ yká volby informaˇcn´ı mnoˇziny Ωt . V praxi vˇetˇsinou nemáme k dispozici vˇsechny informace. Z tohoto d˚ uvodu je velmi ˇcasté omezen´ı na mnoˇzinu Ωt = {X s , Y s , s ≤ t}. 1

Necht’ {Y t , t ∈ Z} je m-rozmˇern´ y náhodn´ y proces a mnoˇzina Ωt obsahuje vˇsechny informace, které jsou dostupné do ˇcasu t (vˇcetnˇe). Pˇredpovˇed’ procesu {Y t } konstruovanou v ˇcase t o h krok˚ u dopˇredu na základˇe mnoˇziny informac´ı Ωt oznaˇcme Y t (h | Ωt ). Pak MSE[Y t (h | Ωt )] = E[(Y t+h − Y t (h | Ωt ))(Y t+h − Y t (h | Ωt ))0 ] .


11

Dalˇs´ı metoda, kterou se vyˇsetˇruj´ı vzájemné vztahy mezi ˇcasov´ ymi ˇradami ve v´ıcerozmˇern´ ych systémech, se naz´ yvá analýza impuls-reakce (v anglicky psané literatuˇre má název impuls-response analysis nebo také multiplier analysis). Zaj´ımá nás vztah mezi dvˇema jednorozmˇern´ ymi ˇcasov´ ymi ˇradami v tomto v´ıcerozmˇerném systému. Anal´ yzou se snaˇz´ıme zjistit, jakou reakci v jedné ˇcasové ˇradˇe vyvolá impuls v druhé ˇcasové ˇradˇe. Vzhledem k rozsahu práce se t´ımto typem anal´ yzy nebudeme dále zab´ yvat. Zájemci o tuto problematiku mohou naj´ıt podrobnosti v L¨ utkepohl (2005) nebo Arlt (1999). Obecnˇe plat´ı, ˇze pˇri anal´ yze kauzality ˇci jin´ ych vztah˚ u mezi náhodn´ ymi procesy ve v´ıcerozmˇerném systému mus´ıme b´ yt velmi opatrn´ı. Ve v´ıcerozmˇern´ ych systémech se vyskytuj´ı problémy s nepozorovan´ ymi promˇenn´ ymi, korelac´ı atd. Interpretace v´ ysledk˚ u ˇcasto b´ yvá sloˇzitˇejˇs´ı.

1.3

Exogenita

V dalˇs´ıch kapitolách se velmi ˇcasto budeme zab´ yvat modely pro ˇcasové ˇrady, zvláˇstˇe v kapitolách o modelech, které souvis´ı s kointegrac´ı. Promˇenné, které jsou modelovány uvnitˇr systému, naz´ yváme endogenn´ı. V praxi vˇsak mohou b´ yt ekonomické modely ovlivˇ novány jin´ ymi stochastick´ ymi nebo deterministick´ ymi procesy, které v modelu nejsou zahrnuty, ale p˚ usob´ı z vnˇejˇsku. Jedná se o exogenn´ı promˇenné. Základn´ı pojmy ohlednˇe exogenity bylo potˇreba zadefinovat. Kompletn´ı popise je uveden napˇr. Engle a kol. (1983), z nˇej budeme také vycházet. Uvedeme si definice slabé a silné exogenity. Mˇejme n-rozmˇern´ y reáln´ y náhodn´ y proces {X t , t ∈ N} a Ω0 oznaˇc´ıme matici poˇcáteˇcn´ıch hodnot. Vˇetˇsinou máme T pozorován´ı, pak t = 1, . . . , T . Dále oznaˇcme historii procesu {X t } do ˇcasu t−1 jako Ω1t−1 = (X 1 , . . . , X t−1 ) a Ωt−1 = (Ω0 , Ω1t−1 ). Sdruˇzenou hustotu D(Ω1T |Ω0 , θ), kde θ = (θ1 , . . . , θn )0 je vektor neznám´ ych parametr˚ u z prostoru Θ ⊆ Rn , faktorizujeme jako D(Ω1T |Ω0 , θ) =

T Y

D(X t |Ωt−1 , θ) ,

t=1

kde D(X t |Ωt−1 , θ) je podm´ınˇená hustota za podm´ınky Ωt−1 . Vektor X t rozdˇel´ıme na dva podprocesy: ¸ · Yt , kde Y t ∈ Rp , Z t ∈ Rq , p + q = n . Xt = Zt Uvaˇzujme bijektivn´ı transformaci nebo reparametrizaci p˚ uvodn´ıch parametr˚ u θ: f : Θ → Λ;

θ → λ = f (θ) .

a zvolme λ tak, ˇze λ0 = (λ01 , λ02 ), kde λi je rozmˇeru ni , n1 + n2 = n.


12

ˇ Definice 1.8. Rekneme, ˇze proces {Z t } je slabˇe exogenn´ı pro parametr ψ (vektor o k elementech) právˇe tehdy, kdyˇz existuje reparametrizace λ0 = (λ01 , λ02 ) taková, ˇze D(X t |Ωt−1 , θ) = DY |Z (Y t |Z t , Ωt−1 , λ1 ) DZ (Z t |Ωt−1 , λ2 )

(1.1)

a plat´ı (i) ψ je funkc´ı pouze λ1 , (ii) λ1 a λ2 jsou tzv. variation free (tzn. (λ1 , λ2 ) ∈ Λ1 × Λ2 , kde λ1 ∈ Λ1 a λ2 ∈ Λ2 ). ˇ Casto se nezaj´ımáme o vˇsechny parametry, ale o nˇejakou funkci parametru θ, ˇreknˇeme: f : Θ → Ψ ; θ → ψ = f (θ) . Takovou funkci uvaˇzujeme i v definici 1.8. V anglicky psané literatuˇre jsou takové funkce naz´ yvány parameters of interest. Dále si vˇsimnˇeme, ˇze jsme v definici vyuˇz´ıvali rozkladu sdruˇzené hustoty na souˇcin podm´ınˇené hustoty Y |Z a margináln´ı hustoty Z. Je vidˇet, ˇze v pˇr´ıpadˇe slabé exogenity procesu {Z t } je pˇresná specifikace margináln´ı hustoty nev´ yznamná pro anal´ yzu, nebot’ tato margináln´ı hustota závis´ı pouze na ruˇsiv´ ych parametrech (tzv. nuisance parameters). Slabá exogenita b´ yvá vyuˇz´ıvána k z´ıskán´ı eficientn´ıch odhad˚ u parametr˚ u pˇri anal´ yze modelu. ˇ Definice 1.9. Rekneme, ˇze proces {Z t } je silnˇe exogenn´ı pro parametr ψ právˇe tehdy, kdyˇz je slabˇe exogenn´ı pro parametr ψ a nav´ıc plat´ı (iii) proces {Y t } kauzálnˇe nep˚ usob´ı na proces {Z t } v Grangerovˇe smyslu. Definice silné exogenity má ˇcasto praktické vyuˇzit´ı v konstruován´ı pˇredpovˇed´ı. Chceme-li konstruovat pˇredpovˇed’ v modelu, kter´ y obsahuje zpoˇzdˇené promˇenné, ’ mus´ıme b´ yt opatrn´ı, nebot existuje riziko zpˇetné vazby mezi exogenn´ım a endogenn´ım procesem. Tento problém m˚ uˇze b´ yt odstranˇen poˇzadavkem striktn´ı exogenity. Pˇridáme-li k definici slabé exogenity podm´ınku na invarianci parametr˚ u λ1 v podm´ınˇeném modelu DY |Z (Y t |Z t , Ωt−1 , λ1 ) vzhledem ke zmˇenám v distribuci podmiˇ nuj´ıc´ı promˇenné, dostáváme definici super exogenity. Jedná se o velmi siln´ y poˇzadavek, se kter´ ym nebudeme dále pracovat. Vˇsechny uvedené typy exogenity jsou obsáhle popsány v Engle a kol. (1983). Mimo uvedené typy existuj´ı také pojmy striktn´ı exogenita a predeterminovanost procesu, které souvis´ı s nezávislost´ı zkoumaného procesu a nesystematické sloˇzky


13

modelu. Tyto pojmy jsou vˇcetnˇe ilustrace uvedeny v Arlt & Arltová (2007, kapitola 5.3.1). My se jimi dále nebudeme zab´ yvat. Stejnˇe, jako lze v modelech ovˇeˇrovat Grangerovu kauzalitu, je moˇzné testovat exogenitu promˇenn´ ych. V souvislosti s kointegrac´ı je nejˇcastˇeji pouˇz´ıvána slabá exogenita.

1.4

Z´ akladn´ı modely v´ıcerozmˇ ern´ ych ˇ casov´ ych ˇ rad

Modely kointegrovan´ ych ˇcasov´ ych ˇrad jsou velmi u ´zce provázány se základn´ımi modely v´ıcerozmˇern´ ych ˇcasov´ ych ˇrad, které jsou pouˇz´ıvány k anal´ yze stacionárn´ıch proces˚ u. V následuj´ıc´ı sekci jsou tyto modely krátce shrnuty. Pˇri zápisu je vyuˇz´ıván oper´ ator zpˇetného posunut´ı (znaˇc´ıme jej L), kter´ y je pro libovolnou n-rozmˇernou (n ∈ N) náhodnou posloupnost {Y t , t ∈ Z} definován následovnˇe: LY t = Y t−1 ,

Lk Y t = Lk−1 (LY t ) = Y t−k ,

k ∈ Z.

V dalˇs´ım textu vyuˇzijeme také oper´ ator k-té diference, kter´ y pro k ∈ N0 definujeme jako: ∆k = (1 − L)k .

Vektorov´ y autoregresn´ı proces (VAR) ˇ Mˇejme n-rozmˇern´ y náhodn´ y proces {Y t , t ∈ Z}. Rekneme, ˇze tento proces se ˇr´ıd´ı vektorovým autoregresn´ım procesem ˇr´ adu p, jestliˇze pro nˇej plat´ı Yt =c+

p X

Φi Y t−i + εt ,

(1.2)

i=1

kde c znaˇc´ı (n × 1) rozmˇern´ y vektor konstant, Φi , i = 1, . . . , p jsou (n × n) rozmˇerné nenáhodné matice reáln´ ych autoregresn´ıch koeficient˚ u a εt = (ε1,t , . . . , εn,t )0 je n-rozmˇern´ y b´ıl´ y ˇsum se symetrickou pozitivnˇe definitn´ı varianˇcn´ı matic´ı Σε . Vektorov´ y autoregresn´ı proces ˇra´du p znaˇc´ıme VAR(p). V této práci budeme uvaˇzovat pouze koneˇcn´ y ˇra´d autoregrese. Vektor konstant c umoˇzn ˇuje pracovat s nenulovou stˇredn´ı hodnotou E(Y t ). V pˇr´ıpadˇe, ˇze E(Y t ) je nulová, budeme pouˇz´ıvat rovnici (1.2) bez vektoru konstant. S vyuˇzit´ım operátoru zpˇetného posunut´ı m˚ uˇzeme VAR(p) proces pˇrepsat ve tvaru


14

Φ(L)Y t = c + εt , kde Φ(L) = In − Φ1 L − Φ2 L2 − · · · − Φp Lp .

(1.3)

Pokud je splnˇena podm´ınka det(In − Φ1 z − Φ2 z 2 − · · · − Φp z p ) 6= 0 pro |z| ≤ 1 , z ∈ C ,

(1.4)

ˇr´ıkáme, ˇze je splnˇena podm´ınka stability. Stabiln´ı VAR(p) proces {Y t , t ∈ Z} je stacionárn´ı. Podrobnˇeji se stabiln´ımi VAR procesy zab´ yvá Hamilton (1994) v 10. kapitole.

Vektorov´ y proces klouzav´ ych pr˚ umˇ er˚ u (VMA) ˇ Rekneme, ˇze n-rozmˇern´ y náhodn´ y proces {Y t , t ∈ Z} se ˇr´ıd´ı vektorovým procesem klouzavých souˇct˚ u ˇrádu q, jestliˇze pro nˇej plat´ı: Yt =c+

q X

Θi εt−i ,

(1.5)

i=0

kde c znaˇc´ı (n × 1) rozmˇern´ y vektor konstant, Θi , i = 1, . . . , q jsou (n × n) rozmˇerné nenáhodné matice reáln´ ych koeficient˚ u, Θ0 = In a εt = (ε1,t , . . . , εn,t )0 je n-rozmˇern´ y b´ıl´ y ˇsum se symetrickou pozitivnˇe definitn´ı varianˇcn´ı matic´ı Σε . Vektorov´ y proces klouzav´ ych souˇct˚ u (vector moving average) ˇra´du q znaˇc´ıme VMA(q). V této práci nás bude zaj´ımat pouze koneˇcn´ y ˇra´d q. Proces lze opˇet zapsat s vyuˇzit´ım operátoru zpˇetného posunut´ı: Y t = c + Θ(L)εt , kde Θ(L) = In + Θ1 L + Θ2 L2 + · · · + Θq Lq .

(1.6)

Pokud je splnˇena podm´ınka det(In + Θ1 z + Θ2 z 2 + · · · + Θq z q ) 6= 0 pro |z| ≤ 1 , z ∈ C ,

(1.7)

je proces {Y t } invertibiln´ı. Lze jej invertovat z VMA procesu na VAR proces. To znamená, ˇze k operátoru Θ(L) existuje inverzn´ı oper´ ator Θ(L)−1 takov´ y, ˇze −1 −1 Θ(L) Θ(L) = In . Oznaˇc´ıme-li jej Φ(L), pak má tvar Θ(L) = Φ(L) = In + Φ1 L + Φ2 L2 + . . ., kde {Φi }+∞ e sˇc´ıtatelná posloupnost (n × n) rozmˇern´ ych mai=1 je absolutnˇ P +∞ tic (pro prvky φkl,i matic Φi plat´ı i=1 |φkl,i | < +∞ pro k, l = 1, . . . , n). Detailnˇeji se VMA procesy zab´ yvá L¨ utkepohl (2005) v 11. kapitole.


15

Proces VARMA(p, q) Jedná se o sm´ıˇsený vektorový proces, jehoˇz speciáln´ım pˇr´ıpadem je proces VAR i proces VMA. M´ısto oznaˇcen´ı vektorový autoregresn´ı proces klouzavých pr˚ umˇer˚ u ˇr´ adu p, q budeme pouˇz´ıvat bˇeˇzné znaˇcen´ı VARMA(p, q) proces. Mˇejme n-rozmˇern´ y náhodn´ y ˇ proces {Y t , t ∈ Z}. Rekneme, ˇze tento proces se ˇr´ıd´ı modelem VARMA(p, q), kde p a q jsou koneˇcná, jestliˇze pro nˇej plat´ı: p X i=0

Φi Y t−i = c +

q X

Θi εt−i .

(1.8)

i=0

Znaˇcen´ı a v´ yznam symbol˚ u v tomto zápisu je stejn´ y jako v zadefinován´ı proces˚ u VAR a VMA, nav´ıc Φ0 = In . Z rovnice (1.8) je vidˇet, ˇze VARMA(p, q) vycház´ı z VAR(p) procesu (1.2), kde je chybová sloˇzka εt nahrazena VMA procesem ˇra´du q. Opˇet s vyuˇzit´ım operátoru zpˇetného posunut´ı lze VARMA proces pˇrepsat: Φ(L)Y t = c + Θ(L)εt , kde Φ(L) = In − Φ1 L − Φ2 L2 − · · · − Φp Lp a Θ(L) = In + Θ1 L + Θ2 L2 + · · · + Θq Lq .

(1.9)

Operátory Φ(L) a Θ(L) se nˇekdy v literatuˇre oznaˇcuj´ı jako autoregresn´ı oper´ ator a oper´ ator klouzavých souˇct˚ u. V této sekci jsme u náhodn´ ych proces˚ u uvaˇzovali obecnˇe t ∈ Z. Velmi ˇcasto nen´ı nekoneˇcná historie procesu k dispozici, a proto budeme nˇekdy m´ısto procesu {Y t , t ∈ Z} uvaˇzovat pouze {Y t , t ∈ Z, t ≥ −k}, kde k ≥ 0 a Y −k , . . . , Y 0 jsou poˇca´teˇcn´ı hodnoty náhodného vektoru.

1.5

Nestacionarita a integrovan´ e procesy

V praxi b´ yvá ˇcasto stacionarita, kterou jsme zavedli v definic´ıch 1.3 a 1.4, poruˇsena. Nestacionaritu procesu m˚ uˇze zp˚ usobit napˇr´ıklad v ˇcase se mˇen´ıc´ı stˇredn´ı hodnota nebo rozptyl. Zvláˇstˇe ekonomické ˇcasové ˇrady b´ yvaj´ı ˇcasto nestacionárn´ı. ˇ e repuNa obrázku 1.1 je ukázka mˇes´ıˇcn´ıho v´ yvoje indexu spotˇrebn´ıch cen v Cesk´ blice. Typick´ y je rostouc´ı trend, kter´ y m˚ uˇze b´ yt zp˚ usoben nenáhodnou trendovou sloˇzkou nebo také se m˚ uˇze jednat o stochastick´ y trend (napˇr. vych´ ylená náhodná procházka, o které se zm´ın´ıme pozdˇeji). V pˇr´ıpadˇe nenáhodné trendové sloˇzky lze trend nalézt jednoduˇse regres´ı a dalˇs´ı pr˚ ubˇeh je velmi dobˇre predikovateln´ y. Takov´ y proces naz´ yváme trendovˇe stacionárn´ı (TSP). V pˇr´ıpadˇe stochastického trendu se vyuˇz´ıvá diferencován´ı procesu k dosaˇzen´ı stacionarity. Takov´ y proces pak naz´ yváme diferenˇcnˇe stacionárn´ı (DSP). Podrobnˇeji se tˇemto pojm˚ um vˇenuje Bittner (2005) a Juráˇska (2007).


16

100 95 90 85 80 75

Index spotřebitelských cen (průměr roku 2005 = 100)

105

Index spotřebitelských cen (měsíční vývoj)

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

Rok

ˇ e republice od ledna roku 1997 do srpna roku Obrázek 1.1: Vývoj indexu spotˇrebn´ıch cen v Cesk´ 2007 (pr˚ umˇer roku 2005 = 100).

V souvislosti s tématem kointegrace se budeme zab´ yvat poruˇsen´ım stacionarity, které je zp˚ usobeno integrovanost´ı procesu. ˇ Definice 1.10. Necht’ d ∈ N0 . Rekneme, ˇze jednorozmˇern´ y náhodn´ y proces {Yt , t ∈ Z}, kter´ y neobsahuje deterministickou sloˇzku, je integrovaný ˇr´ adu d, jestliˇze {∆d Yt } je slabˇe stacionárn´ı proces, ale proces {∆d−1 Yt } slabˇe stacionárn´ı nen´ı. Znaˇc´ıme {Yt } ∼ I(d). Integrovan´ y proces je tedy diferenˇcnˇe stacionárn´ı, k z´ıskán´ı stacionarity je potˇreba jej d-krát diferencovat. Pˇri oznaˇcen´ı {Yt } ∼ I(0) máme na mysli, ˇze se jedná o slabˇe stacionárn´ı proces. Otázkou je, jak zavést definici integrovanosti pro v´ıcerozmˇern´ y náhodn´ y proces {Y t , t ∈ Z}. Jednou moˇznost´ı je, ˇze n-rozmˇern´ y náhodn´ y proces {Y t = (Y1,t , . . . , Yn,t )0 } je integrovaný ˇr´ adu d, jestliˇze alespoˇ n jedna ˇ ejˇs´ı je ale pojet´ı, ˇze proces {Y t } je intejeho sloˇzka {Yk,t } je integrovaná ˇrádu d. Castˇ grovaný ˇr´ adu d, jestliˇze vˇsechny jeho sloˇzky jsou integrované ˇra´du d. S touto definic´ı budeme pracovat i v této práci. Typick´ ym pˇr´ıkladem integrovaného procesu je náhodn´ a proch´ azka (random walk), která se ˇr´ıd´ı modelem: Yt = Yt−1 + εt , kde εt ∼ WN(0, σ 2 ) .

(1.10)

Pokud jeˇstˇe do modelu zahrneme konstantn´ı ˇclen µ, dostaneme vychýlenou náhodnou proch´ azku (random walk with drift): Yt = µ + Yt−1 + εt , kde µ ∈ R .

(1.11)

Ukázka tˇechto dvou model˚ u je na obrázku 1.2. Zde je také zobrazen rozd´ıl mezi vych´ ylenou náhodnou procházkou a modelem, kter´ y obsahuje pouze deterministick´ y trend.


17

Náhodná procházka (vychýlení vs determ. trend)

vychýlená NP NP s determ. trendem

0

−5

10

0

20

5

30

10

40

Nevychýlená náhodná procházka

0

50

100 Čas

150

0

50

100

150

Čas

Obrázek 1.2: Náhodná procházka generovaná gaussovským b´ılým ˇsumem. Vlevo bez vychýlen´ı: Yt = Yt−1 +εt . Vpravo je srovnán´ı v´ ych´ ylené náhodné procházky (Yt = 0, 3 + Yt−1 + εt ) s procesem, kter´ y obsahuje pouze deterministick´ y trend a chybovou sloˇzku (Yt = 0, 3 t + εt ).

Zkusme pˇrepsat rovnici (1.11) pro situaci, kdy proces zaˇc´ıná v ˇcase t = 1, pozorujeme jej do ˇcasu n a poˇca´teˇcn´ı hodnota Y0 = 0. Dostáváme rovnici: Yt = µt +

t X

εi , kde µ ∈ R, t = 1, . . . , n .

i=1

Z tohoto pˇrepisu je dobˇre vidˇet, ˇze E(Yt ) = µt a var(Yt ) = tσε2 . Pro t −→ ∞ má stˇredn´ı hodnota a rozptyl procesu {Yt } nevlastn´ı limitu. Zˇrejmé je poruˇsen´ı stacionarity u tohoto procesu. Náhodnou procházku lze vyjádˇrit jako AR(1) model, kter´ y obsahuje jednotkový koˇren v autoregresn´ım operátoru tohoto modelu. Pˇrepisem náhodné procházky (1.10) dostaneme následuj´ıc´ı autoregresn´ı model: Yt − φYt−1 = εt , φ = 1 ∆Yt = (1 − L) Yt = εt . Autoregresn´ı operátor u tohoto modelu je tvaru Φ(L) = (1 − φL) = (1 − L). Je naruˇsena podm´ınka stability (v tomto pˇr´ıpadˇe má podm´ınka tvar Φ(z) 6= 0 pro |z| ≤ 1, z ∈ C), nebot’ polynom Φ(z) = (1−z) má jednotkový koˇren z = 1. Je zˇrejmé, ˇze pouˇzit´ım prvn´ı diference na uvedenou náhodnou procházku dostáváme stacionárn´ı proces. Tato náhodná procházka je tedy I(1) a je diferenˇcnˇe stacionárn´ı. Na náhodné procházce (1.10) je také názornˇe vidˇet, jak jsou Yt a Yt+s velmi silnˇe korelované i pro vˇetˇs´ı horizont s. UvaˇzujmePopˇet poˇca´teˇcn´ı hodnotu Y0 = 0. Za pouˇzit´ı var(Yt ) = tσε2 , E(Yt ) = 0 a pˇrepisu Yt = ti=1 εi , t ∈ N dostáváme:


18

E

h¡P t

¢ ³Pt+s

í

j=1 εj

p var(Yt ) var(Yt+s ) t σ2 √ ε = −→ 1 . σε2 t2 + ts t→∞

cor(Yt , Yt+s ) =

p

i=1 εi

Uvaˇzujme obecnˇeji proces {Yt } ∼ I(d), jehoˇz d-tá diference se ˇr´ıd´ı jednorozmˇern´ ym stacionárn´ım a invertibiln´ım ARMA(p, q) modelem. Pak jej lze zapsat ve formˇe: Φ(L)∆d Yt = Θ(L)εt , kde Φ(L) = 1 − Φ1 L − Φ2 L2 − · · · − Φp Lp a Θ(L) = 1 − Θ1 L − Θ2 L2 − · · · − Θq Lq .

(1.12)

Opˇet pˇredpokládáme εt ∼ WN(0, σε2 ) a pro autoregresn´ı operátor a operátor klouzav´ ych souˇct˚ u plat´ı: ) Φ(z) 6= 0 pro |z| ≤ 1, z ∈ C . Θ(z) 6= 0 V tomto pˇr´ıpadˇe se proces Yt naz´ yvá autoregresn´ı integrovaný proces klouzavých souˇct˚ u. Znaˇc´ıme jej ARIMA(p, d, q), kde p je ˇrád autoregrese, q je ˇra´d u operátoru ˇ klouzav´ ych souˇct˚ u a d je ˇrád integrovanosti. Casto se o tomto procesu mluv´ı jako o procesu s jednotkovými koˇreny. D˚ uvodem je pˇr´ıtomnost jednotkov´ ych koˇren˚ u ve v´ yrazu χ(L) = Φ(L)∆d , kter´ y vystupuje na levé stranˇe v (1.12). Plat´ı totiˇz: χ(z) = Φ(L)(1 − z)d = 0 pro z = 1 . S procesy ARIMA se lze podrobnˇeji seznámit v Cipra (1986). Náhodná procházka a také dalˇs´ı integrované procesy v sobˇe obsahuj´ı náhodný (stochastický) trend. Obecnˇe lze tyto procesy rozloˇzit na nˇekolik sloˇzek. Mˇejme proces ARIMA(p, 1, q) tvaru (1.12), kde d = 1. Pak pomoc´ı odvozen´ı, které lze naj´ıt napˇr. v Juráˇska (2007, Lemma 1.1), dostáváme následuj´ıc´ı dekompozici: Yt = Ψ(1) |

t X

εt +

{zi=1 }

stochastick´ y trend

Ψ∗ (L)εt | {z } stacion´ arn´ı proces

+

Ψ∗ (L)ε0 | {z } poˇ c´ ateˇ cn´ı hodnota

.

(1.13)


19

Vyuˇzili jsme rozkladu Φ−1 (L) Θ(L) = Ψ(L) = (1 − L)Ψ∗ (L) + Ψ(1) , kde Ψ∗ (L) = (1 − L)−1 [Ψ(L) − Ψ(1)]. tohoto pˇrepisu bude zaruˇcena P∞ Korektnost i podm´ınkami, ˇze polynomy Ψ(z) = i=0 Ψi z a Φ(z) maj´ı vˇsechny koˇreny vnˇe jednotkového kruhu. Rozklad (1.13) je znám jako Beveridge-Nelsonova dekompozice. Prvn´ı sˇc´ıtanec rozkladu b´ yvá také nˇekdy oznaˇcován jako long-run komponenta, nebot’ je i v budoucnosti v procesu pˇr´ıtomen. Naopak druh´ y sˇc´ıtanec b´ yvá oznaˇcován jako short-run komponenta, jej´ıˇz vliv na Yt+k s rostouc´ım k konverguje k nule. Jedná se o kauzáln´ı lineárn´ı proces. Poˇcáteˇcn´ı hodnota je fixn´ı náhodná veliˇcina. Uˇz z vlastnost´ı náhodné procházky a ARIMA proces˚ u je vidˇet, ˇze k anal´ yze tˇechto ˇrad je nutno pˇristupovat velmi opatrnˇe. Testován´ı integrovanosti se budeme vˇenovat v druhé kapitole. Závˇerem této sekce si jeˇstˇe krátce pˇribl´ıˇz´ıme pojem zd´ anliv´ a regrese. Opˇet jde o ukázku obt´ıˇz´ı spojen´ ych s anal´ yzou integrovan´ ych ˇcasov´ ych ˇrad. Uvaˇzujme regresi Yt = β0 + β1 Xt + wt , (1.14) kde wt je stacionárn´ı chybová sloˇzka. Procesy {Yt } a {Xt } jsou nezávislé a integrované ˇra´du 1: X 2 ∆Xt = εX t , kde εt ∼ WN(0, σX ) , ∆Yt = εYt , kde εYt ∼ WN(0, σY2 ) .

Teoreticky i pomoc´ı simulac´ı bylo zjiˇstˇeno, ˇze OLS odhad v tomto pˇr´ıpadˇe poukazuje na zdánlivou regresi mezi Xt a Yt , pˇrestoˇze jsou vzájemnˇe nezávislé. Bylo ukázáno, ˇze t-statistika asymptoticky vˇzdy zam´ıtá hypotézu β = 0. Fakticky tato statistika diverguje pro t −→ ∞. V anglicky psané literatuˇre b´ yvá problém naz´ yván spurious regression. Teoretick´ y d˚ ukaz tohoto fenoménu lze nalézt v Phillips (1986), zde je d˚ ukaz i pro obecnˇejˇs´ı pˇr´ıpad Yt = α + X 0t β + wt , kde X t je m-rozmˇern´ y vektor, kter´ y je I(d). α a β jsou koeficienty pˇr´ısluˇsn´ ych rozmˇer˚ u.

1.6

Funkcion´ aln´ı centr´ aln´ı limitn´ı vˇ eta

Pˇri testován´ı jednotkového koˇrene se vyuˇz´ıvá funkcion´ aln´ı centr´ aln´ı limitn´ı vˇeta k odvozen´ı asymptotick´ ych vlastnost´ı. Zde je shrnuta pouze základn´ı myˇslenka. Mnohé pˇredpoklady se daj´ı uvolnit, coˇz lze vidˇet napˇr. v Juráˇska (2007). Mˇejme jednorozmˇern´ y náhodn´ y proces {εt , t ∈ Z}, kde εt ∼ i. i. d. s nulovou stˇredn´ı hodnotou a 2 s rozptylem σε < ∞.

´ Í POJMY KAPITOLA 1. ZAKLADN √ D Z centráln´ı limitn´ı vˇety v´ıme, ˇze plat´ı2 T ε¯T −→ N (0, σε2 ), kde ε¯T = Pro r ∈ [0, 1] zaved’me veliˇcinu XT (r) následovnˇe:

20 1 T

bT rc 1X XT (r) = εt , T t=1

PT

t=1 εt .

(1.15)

kde bT rc znaˇc´ı nejvˇetˇs´ı celé ˇc´ıslo, které je rovno nebo menˇs´ı neˇz T r. Opˇet z centráln´ı limitn´ı vˇety dostáváme p bT rc X bT rc 1 T D √ p XT (r) = εt −→ N (0, r) pro ∀ r ∈ [0, 1] . T →∞ σε σε T bT rc t=1

√

Dále nen´ı nároˇcné ovˇeˇrit, ˇze pro libovolné r1 , r2 ∈ [0, 1] takové, ˇze r1 < r2 plat´ı √ T D [XT (r2 ) − XT (r1 )] −→ N (0, r2 − r1 ) T →∞ σε a pro libovolné r1 , . . . , r4 takové, ˇze r1 < r2 ≤ r3 < r4 jsou náhodné souˇcty [XT (r2 ) − XT (r1 )] a [XT (r4 ) − XT (r3 )] nezávislé. Pomoc´ı centráln´ı limitn´ı vˇety se D tedy dá ukázat konvergence koneˇcnˇe rozmˇern´ ych distribuc´ı XT (r) −→ W (r) pro r ∈ [0, 1]. Vˇsimnˇeme si, ˇze Xr (·) je po ˇca´stech konstantn´ıch náhodná funkce se skoky v bodech t/T , t = 1, . . . , T − 1. Je tedy elementem prostoru D[0, 1], coˇz je prostor reáln´ ych funkc´ı na intervalu [0, 1], které jsou zprava spojité, a existuje koneˇcná levostranná limita v kaˇzdém bodˇe intervalu (0, 1]. Vlastnosti prostoru D[0, 1], kter´ y je vybaven Skorochodovou metrikou, jsou shrnuty kapitole v Billingsley (1968). n√ ve 3. o −1 Zde je také ukázána tˇesnost posloupnosti T σε XT v D[0, 1]. Na základˇe tˇechto vlastnost´ı m˚ uˇzeme psát √ T D XT (·) −→ W (·) na D[0, 1] . (1.16) T →∞ σε n√ o Posloupnost náhodn´ ych funkc´ı σεT XT (r), r ∈ [0, 1] konverguje v distribuci k Wienerovu procesu {W (r), r ∈ [0, 1]} na D[0, 1] pro T → ∞. Tento v´ ysledek b´ yvá ˇcasto oznaˇcován jako funkcionáln´ı centr´ aln´ı limitn´ı vˇeta (nebo také Donskerova vˇeta). Ukázali jsme pouze základn´ı ideu. Pˇresné znˇen´ı a d˚ ukaz je uveden v Billingsley (1968, vˇeta 16.1). V této knize se m˚ uˇze ˇctenáˇr seznámit podrobnˇeji s celou problematikou a zmiˇ novan´ ymi pojmy. V ukázce této základn´ı verze jsme uvaˇzovali, ˇze εt jsou i. i. d. Tento omezuj´ıc´ı pˇredpoklad se dá uvolnit, jak je moˇzné vidˇet v Juráˇska (2007) nebo v kapitole 17.5 v Hamilton (1994), kde je zobecnˇen´ı na vektor chyb, jehoˇz sloˇzky jsou vzájemnˇe korelované (autokorelované). 2

D

Symbolem −→ znaˇc´ıme konvergenci v distribuci.


21

Pro náhodné funkce m˚ uˇzeme zavést také konvergenci v pravdˇepodobnosti. Necht’ {Gt (·)} je posloupnost náhodn´ ych funkc´ı a G(·) je náhodná funkce, vˇsechny jsou definované na intervalu [0, 1]. Pak ˇr´ıkáme, ˇze Gt konverguje v pravdˇepodobnosti ke P G (Gt −→ G) na intervalu [0, 1], jestliˇze P

sup |Gt (s) − G(s)| −→ 0 . t→∞

s∈[0,1]

D˚ uleˇzitá vlastnost, která je ˇcasto vyuˇz´ıvána v souvislost´ı s odhadem jednotkového koˇrene, je zachován´ı konvergence pˇri spojitém zobrazen´ı. Vˇeta, která je vyuˇz´ıvána, se naz´ yvá continuous mapping theorem. Vˇ eta 1.11. Necht’ {Gt (·)} je posloupnost náhodných funkc´ı a G(·) je náhodn´ a funkce. Necht’ d´ ale h je spojitý funkcionál. Pak plat´ı: D

Gt (·) −→ G(·)

=⇒

t→∞

¡ ¢ D ¡ ¢ h Gt (·) −→ h G(·) . t→∞

(1.17)

D˚ ukaz. Je uveden v 5. kapitole v Billingsley (1968). V uvedené knize je také zobecnˇená verze, která povoluje body nespojitosti u funkcionálu h. Funkcionálem v této vˇetˇe m˚ uˇze b´ yt napˇr. druhá mocnina náhodné funkce nebo také integrál z náhodné funkce. S pomoc´ı tˇechto v´ ysledk˚ u jsou konstruovány mnohé asymptotické rozdˇelen´ı testov´ ych statistik pˇri testován´ı jednotkového koˇrene. Funkcionáln´ı centráln´ı limitn´ı vˇeta má také v´ıcerozmˇernou analogii. Ta b´ yvá vyuˇz´ıvána pˇri testován´ı kointegrace. Postup odvozen´ı je analogick´ y jako v jednorozmˇerném pˇr´ıpadˇe. Necht’ {εt , t ∈ N} je m-rozmˇern´ y náhodn´ y proces, kter´ y je stacionárn´ı, εt jsou i. i. d. s nulov´ ym vektorem stˇredn´ıch hodnot a s varianˇcn´ı matic´ı Σε . Analogicky se vzorcem (2.1) zavád´ıme: bT rc 1X εt . X T (r) = T t=1

(1.18)

Pro tuto statistiku dojdeme k následuj´ıc´ımu v´ ysledku v´ıcerozmˇerné funkcionáln´ı centr´ aln´ı limitn´ı vˇety: √

−1

D

T Σε 2 X T (·) −→ W (·) . T →∞

(1.19)

Opˇet lze uvolnit pˇredpoklady zobecnˇen´ım pro autokorelované procesy εt . Tento v´ ysledek je za obecnˇejˇs´ıch pˇredpoklad˚ u ukázán v Phillips (1987a, vˇeta 2.2).

Kapitola 2 Testov´ an´ı jednotkov´ eho koˇ rene Vzhledem k tomu, ˇze ekonomické ˇcasové ˇrady jsou velmi ˇcasto integrované a obsahuj´ı stochastick´ y trend, bylo nutné naj´ıt metodiku, jak testovat, zda je pˇr´ıtomn´ y jednotkov´ y koˇren. Touto problematikou se podrobnˇe zab´ yvaly uˇz diplomové práce Juráˇska (2007) a Bittner (2005). Jedná se o velmi ˇsiroké téma, kterému se vˇenovali také mnohé knihy a ˇclánky. Vzhledem k tomu, ˇze testován´ı jednotkového koˇrene nen´ı základn´ım tématem této práce, bude celá následuj´ıc´ı kapitola vycházet ze zm´ınˇen´ ych prac´ı m´ ych koleg˚ u, obzvláˇstˇe pak z 2. kapitoly Juráˇska (2007). Shrneme si pouze základn´ı v´ ysledky, které budou pouˇzity v praktické ˇcásti této diplomové práce. Byly vyvinuty r˚ uzné pˇr´ıstupy k testován´ı jednotkového koˇrene. Velmi ˇcasto b´ yvaj´ı pouˇz´ıvány Dickey-Fullerovy testy [Dickey & Fuller (1979)]. Prvn´ı testy byly vyvinuty za velmi striktn´ıch pˇredpoklad˚ u na chybov´ y ˇclen εt (dalˇs´ı omezen´ı bylo i na poˇcáteˇcn´ı hodnotu Y0 = 0 s. j.). Poˇzadavek εt ∼ i. i. d. N(0, σ 2 ) je u ekonomick´ ych ˇcasov´ ych ˇrad v praxi vˇetˇsinou nesplniteln´ y. Proto bylo potˇreba zobecnit tyto pˇredpoklady pro ˇsirˇs´ı tˇr´ıdu chybov´ ych sloˇzek. Rozˇs´ıˇrené Dickey- Fullerovi texty (ADF testy podle oznaˇcen´ı augmented Dickey-Fuller tests) umoˇzn ˇuj´ı pracovat s bohatˇs´ı autokorelaˇcn´ı strukturou. Neparametrickou u ´pravu testov´ ych kritérii u standardn´ıch Dicky-Fullerov´ ych test˚ u provedli Phillips a Perron [Phillips (1987b), Phillips & Perron (1988)]. Tyto testy se nˇekdy naz´ yvaj´ı Phillips-Perronovy testy, které jeˇstˇe v´ıce uvolnily pˇredpoklady na chybovou sloˇzku a poˇca´teˇcn´ı hodnoty procesu. Zm´ınˇené zobecnˇen´ı DF-test˚ u umoˇznily také jednoduˇsˇs´ı rozˇs´ıˇren´ı modelu o pˇrebyteˇcné parametry (nuisance parameters). Uvedené testy pouˇz´ıváme v praktické ˇcásti této práce a krátce je zde shrneme. Dalˇs´ı metodou testován´ı je napˇr´ıklad testován´ı rozptylovým pomˇerem [Cochrane (1988), Lo & MacKinlay (1988)], Sargan-Bhargav˚ uv test [Sargan & Bhargava (1983)], a mnohé dalˇs´ı. Pro obecnˇejˇs´ı pˇrehled o tˇechto testech ˇctenáˇri doporuˇcujeme nˇekterou z rozsáhlejˇs´ıch knih o ˇcasov´ ych ˇradách [Hamilton (1994) apod.].

´ Í JEDNOTKOVEHO ´ ˇ KAPITOLA 2. TESTOVAN KORENE

2.1

23

Dickey-Fullerovy testy

Mˇejme proces {Yt , t ∈ N0 }. Pro t ∈ N uvaˇzujme následuj´ıc´ı modely: Yt = αYt−1 + εt , Yt = µ + αYt−1 + εt , Yt = µ + β t + αYt−1 + εt .

(2.1) (2.2) (2.3)

V ˇclánku Dickey & Fuller (1979) byl pouˇz´ıván pˇredpoklad, ˇze Y0 = 0 a {εt } je posloupnost nezávisl´ ych normálnˇe rozdˇelen´ ych promˇenn´ ych s nulovou stˇredn´ı hodno2 tou a koneˇcn´ ym rozptylem σ . Chceme odhadnout parametr α na základˇe pozorován´ı Y1 , . . . , YT , T ∈ N. Nejnázornˇejˇs´ı je ukázka na modelu 2.1. Metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u dostaneme pro parametr α odhad PT Yt Yt−1 . (2.4) α ˆ = Pt=1 T 2 t=1 Yt−1 Chceme testovat hypotézu α = 1.

(2.5)

Pouˇzijeme-li jako testovac´ı kritérium bˇeˇznou t-statistiku, pak za platnosti hypotézy (2.5) nen´ı asymptotické rozdˇelen´ı této statistiky normáln´ı ani symetrické. Dickey a Fuller pro toto testován´ı jednotkového koˇrene odvodili asymptotické rozdˇelen´ı pro statistiku P T −1 Tt=1 Yt−1 εt T (ˆ α − 1) = (2.6) P 2 T −2 Tt=1 Yt−1 a pro t-statistiku tα =

2

kde s

α ˆ−1 = σ ˆαˆ

Ã

−1

= (T − 1)

T X

! 12 2 Yt−1

s−1 (ˆ α − 1) ,

(2.7)

t=1 T X (Yt − α ˆ Yt−1 )2 . t=1

Oznaˇcen´ım σ ˆαˆ mysl´ıme standardn´ı OLS chybu odhadovaného koeficientu α ˆ. K odvozen´ı asymptotick´ ych vlastnost´ı tˇechto statistik je vyuˇz´ıvána funkcionáln´ı centráln´ı limitn´ı vˇeta a continuous mapping theorem, které jsme ilustrovali v sekci 1.6. Vezmˇeme v u ´vahu napˇr´ıklad jmenovatel u statistiky (2.6). S vyuˇzit´ım

´ Í JEDNOTKOVEHO ´ ˇ KAPITOLA 2. TESTOVAN KORENE Y0 = 0 a rozpisu Yt = jako (2.1):

PT

t=1 εt

lze zadefinovat náhodnou funkci XT (r) obdobnˇe

bT rc 1X XT (r) = εt T t=1 √

24

pro r ∈ [0, 1] .

D

V´ıme, ˇze σT XT (r) −→ W (r) pro r ∈ [0, 1]. S vyuˇzit´ım continuous mapping theorem dostáváme následuj´ıc´ı vztah:

T

−2

T X

2 Yt−1

=σ

2

t=1

T Z X t=1

Z

t/T (t−1)/T

1 2 Y dr T σ 2 bT rc

1

T 2 X (r)dr 2 T 0 σ Z 1 D 2 −→ σ W (r)2 dr .

=σ

2

T →∞

0

Tato jednoduchá ukázka vyuˇz´ıvala striktn´ı pˇredpoklady, které jsme uvedli v´ yˇse. Stejn´ y v´ ysledek se dá ale ukázat i za uvolnˇen´ ych pˇredpoklad˚ u, které budou uvedeny pozdˇeji. Podobn´ ymi u ´pravami byly odvozeny následuj´ıc´ı asymptotické vlastnosti zkouman´ ych statistik: D

T (ˆ α − 1) −→

T →∞

(1/2)(W (1)2 − 1) , R1 2 dr W (r) 0

(1/2)(W (1)2 − 1) D tα −→ ³R ´1/2 . T →∞ 1 2 dr W (r) 0 Tyto v´ ysledky jsou znaˇcnˇe d˚ uleˇzité z teoretického hlediska, ale nelze je pouˇz´ıt ke konstrukci kritick´ ych hodnot. Kritické hodnoty byly zkonstruovány pomoc´ı numerick´ ych metod jako napˇr. Monte Carlo simulace. Pro zm´ınˇené testy byly poprvé publikovány v Fuller (1976). Oznaˇcme odhad parametru α v modelu (2.2) (resp. (2.3)) jako α ˆ µ (resp. α ˆ µβ ). Obdobnˇe byly odvozeny asymptotické v´ ysledky pro testován´ı µβ µ αµβ − 1) a tα . Testové statistiky a detaily ohlednˇe pomoc´ı statistik T (ˆ αµ − 1), tα , T (ˆ tˇechto statistik lze nalézt v Dickey & Fuller (1979). Velmi pˇrehlednˇe jsou shrnuty také v Hamilton (1994, kap. 17.4). V pˇr´ıpadˇe tohoto parametrického testován´ı jsou dané asymptotické vlastnosti závislé na pˇrebyteˇcn´ ych parametrech. Napˇr. asymptotická distribuce odhadu α ˆµ v modelu (2.2) závis´ı na tom, zda se skuteˇcn´ y DGP (data generating process) ˇr´ıdil modelem (2.1) nebo (2.2).


2.2

25

Zobecnˇ en´ e Dickey-Fullerovy testy

Jak bylo zm´ınˇeno, v praxi potˇrebujeme testovat jednotkov´ y koˇren v pˇr´ıpadˇe obecnˇejˇs´ı autokorelaˇcn´ı struktury. Jednou z moˇznost´ı je pouˇz´ıt k testován´ı zobecnˇené Dickey-Fullerovy testy (oznaˇcované ADF testy podle augmented Dickey Fuller tests), které dovoluj´ı pˇr´ıpad, kdy {∆Yt } maj´ı stacionárn´ı AR(p) reprezentaci (napˇr. Φp (L)∆Yt = εt ). Pˇri neznámém p je potˇreba jej odhadnout. Nˇekteré postupy uvedeny v Hamilton (1994, kap. 17.7). Testován´ı pak vycház´ı z model˚ u: Yt = αYt−1 +

p X

γj ∆Yt−j + εt ,

(2.8)

j=1

Yt = µ + αYt−1 +

p X


(2.9)

j=1

Yt = µ + β t + αYt−1 +

p X


(2.10)

j=1

kde {εt } je i. i. d. posloupnost s nulovou stˇredn´ı hodnotou, koneˇcn´ ym rozptylem σ 2 a koneˇcn´ ymi ˇctvrt´ ymi momenty. Máme T pozorován´ı a poˇcáteˇcn´ı hodnoty Y−p+1 , . . . , Y0 . Testujeme hypotézu α = 1. Odvozen´ı a asymptotické vlastnosti tˇechto test˚ u lze nalézt rovnˇeˇz v Hamilton (1994, kap. 17.7). Opˇet jsou vyuˇzity analogie statistik (2.6) a (2.7). V tˇechto modelech se nav´ıc mus´ıme vypoˇra´dat s odhady parametr˚ u γ1 , . . . , γp . Statistika T (ˆ α − 1) závis´ı na tˇechto odhadech. Said & Dickey (1984) dále jeˇstˇe zobecnili ADF pro model Yt = αYt−1 + ut , kde ut je stacionárn´ı a invertibiln´ı ARMA proces. ˇ Otázkou je, jak zvolit délku zpoˇzdˇen´ı p. Casto se uˇz´ıvaj´ı pravidla na základˇe informaˇcn´ıch kritéri´ı. Hledáme minimáln´ı hodnotu funkce, kterou dané kritérium vyuˇz´ıvá. Nejˇcastˇeji b´ yvaj´ı vyuˇz´ıvány: • Akaikeho informaˇcn´ı kritérium (AIC) AIC(m) = ln σ ˜2 +

2m , T

m = 0, . . . , M ,

• Schwarzovo informaˇcn´ı kritérium (SC) SC(m) = ln σ ˜2 +

m ln T , T

m = 0, . . . , M ,

• Hannan-Quinnovo informaˇcn´ı kritérium (HQ) HQ(m) = ln σ ˜2 +

2m ln ln T , T

m = 0, . . . , M ,


26

P kde σ ˜ 2 = T −1 Tt=1 εˆt 2 pro pˇr´ısluˇsn´ y model. Velikost v´ ybˇeru znaˇc´ıme T . V´ıce podrobnost´ı o tˇechto kritéri´ıch a také dalˇs´ı moˇznosti odhadu p jsou k nalezen´ı v Maddala & Kim (1998, kap. 3.6.2).

2.3

Phillips-Perronovy testy

Omezuj´ıc´ı pˇredpoklady, pot´ıˇze s pˇrebyteˇcn´ ymi parametry (zvláˇstˇe rozptylu chybového ˇclenu), odhad zpoˇzdˇen´ı p a dalˇs´ı u ´skal´ı zm´ınˇen´ ych test˚ u se snaˇzili vyˇreˇsit Phillips (1987b) a Phillips & Perron (1988). Vycházeli ze standardn´ıho Dickey-Fullerova testu, ale testové statistiky neparametricky rozˇs´ıˇrili. Test se naz´ yvá neparametrick´ y, nebot’ nen´ı poˇzadována ˇzádná parametrická specifikace chybového procesu. Následuj´ıc´ı shrnut´ı vycház´ı ze zm´ınˇen´ ych ˇclánk˚ u a diplomové práce Juráˇska (2007), kter´ y se tˇemito testy zab´ yval. Uvaˇzujme proces {Yt , t ∈ N0 }, kter´ y je generovan´ y modelem Yt = αYt−1 + εt , t ∈ N α = 1.

(2.11) (2.12)

Volnˇejˇs´ı je pˇredpoklad na Y0 , které m˚ uˇze b´ yt náhodná veliˇcina s danou distribuc´ı nezávislou na velikosti v´ ybˇeru T . Pˇripouˇst´ıme i speciáln´ı pˇr´ıpad Y0 = c s. j., kde c je konstanta. Pˇripomeˇ nme, ˇze proces (2.11) lze za podm´ınky (2.12) zapsat ve formˇe P Yt = Y0 +St , kde St = ti=1 εt . Dále uvaˇzujme následuj´ıc´ı pˇredpoklad na posloupnost {εt , t ∈ N}: Pˇ redpoklad 2.1. Necht’ {εt , t ∈ N} splˇ nuje následuj´ıc´ı podm´ınky: (i ) E(εt ) = 0, pro kaˇzdé t ∈ N, (ii ) supt∈N E|εt |β+η < ∞ pro nˇejaké β > 2 a η > 2, (iii ) σ 2 = limT →∞ E(T −1 ST2 ) existuje a plat´ı σ 2 > 0,


27

(iv ) {εt } je strong mixing1 s mixing koeficienty α(k), pro které plat´ı: ∞ X

α(k)1−2/β < ∞ .

(2.13)

k=1

Tento pˇredpoklad nám umoˇzn ˇuje pouˇz´ıvat speciálnˇejˇs´ı konstrukce chybové sloˇzky. Lze pak pouˇz´ıt autokorelované nebo i heterogennˇe rozdˇelené chyby εt . Zahrnuje pouˇzit´ı na ˇsirokou tˇr´ıdu data generuj´ıc´ıch mechanism˚ u vˇcetnˇe ARMA model˚ u koneˇcného ˇra´du. Podm´ınka (ii ) brán´ı neomezenému r˚ ustu β-tého absolutn´ıho momentu εt , podm´ınka (iv ) ˇr´ıd´ı rozsah závislosti v procesu {εt } (m˚ uˇze b´ yt závislost mezi ˇcasovˇe bl´ızk´ ymi událostmi, ale události oddˇelené dlouh´ ym ˇcasov´ ym u ´sekem jsou témˇeˇr nezávislé). Podm´ ınka (ii ) je podm´ınka konvergence na rozptyl posloup√ nosti ˇca´steˇcn´ ych souˇct˚ u ST / T . Nav´ıc pˇredpokládáme σ 2 > 0, abychom se vyhnuli degenerativn´ım v´ ysledk˚ um. Zmiˇ novali jsme, ˇze asymptotické distribuce test˚ u uveden´ ych dˇr´ıve závis´ı na pˇrebyteˇcn´ ych parametrech. Tuto skuteˇcnost lze pˇeknˇe ilustrovat na testov´ ych statistikách (2.6) a (2.7) pˇri testován´ı jednotkového koˇrene v modelu (2.11), jejichˇz asymptotická distribuce za platnosti hypotézy (2.12) závis´ı na pod´ılu σ 2 /σε2 , kde: 2

σ = lim T

−1

T →∞

σε2

= lim T

µX ¶ T 2 E ( εt ) ,

(2.14)

t=1 −1

T →∞

T X

E(ε2t ) .

(2.15)

t=1

Nen´ı obt´ıˇzné ovˇeˇrit, ˇze σ 2 = σε2 v pˇr´ıpadˇe, ˇze εt ∼ i. i. d.(0, σ 2 ). To také odpov´ıdá tomu, ˇze v asymptotické distribuci dˇr´ıve uveden´ ych standardn´ıch DF test˚ u nen´ı 2 2 obsaˇzen pod´ıl rozptyl˚ u σ /σε . Nicménˇe v tomto obecném pˇr´ıpadˇe byly ukázány 1

Posloupnost {εt , t ∈ N} nazveme strong mixing, jestliˇze pro ni plat´ı α(k) −→ 0, kde k→∞

α(k)

=

sup αn (k) pro k ∈ N a

n∈N

αn (k)

=

αn (k)

=

sup 1≤m≤n−k

{|P(A ∩ B) − P(A)P(B)| : A ∈ σ(εi : 1 ≤ i ≤ m), B ∈ σ(εi : m + k ≤ i ≤ n)},

0,

k ≥ n.

1≤k ≤n−1


28

následuj´ıc´ı asymptotické v´ ysledky u Dickey-Fullerova testu pro model (2.11): D

T (ˆ α − 1) −→

T →∞

D

tα −→

T →∞

(1/2)(W (1)2 − σε2 /σ 2 ) , R1 W (r)2 dr 0 (1/2)(W (1)2 − σε2 /σ 2 ) ´1/2 . ³R 1 2 W (r) dr 0

Neznámé parametry σ 2 a σε2 je potˇreba odhadnout. Oba tyto parametry lze odhadnout konzistentnˇe a odhady mohou b´ yt pouˇzity ke konstrukci modifikovan´ ych 2 2 statistik, jejichˇz limitn´ı rozdˇelen´ı je nezávislé na (σ , σε ). Za platnosti nulové hypotézy (2.12) je pro σε2 konzistentn´ı odhad s2ε

=T

−1

T T X X 2 −1 (Yt − Yt−1 ) = T ε2t . t=1

(2.16)

t=1

Obt´ıˇznˇejˇs´ı bylo sestrojit konzistentn´ı odhad pro σ 2 . Phillips ukázal, ˇze s2T l

=T

−1

T X

ε2t

+ 2T

−1

t=1

l T X X

εt εt−τ

(2.17)

τ =1 t=τ +1

je konzistentn´ım odhadem parametru σ 2 . Motivace k tomuto odhadu byla aproximace σT2 , kter´ y byl zadefinován následovnˇe: σT2 = var(T −1 ST ) =T

−1

T X

E(ε2t )

+ 2T

−1

t=1

T −1 X T X

E(εt εt−τ ) .

τ =1 t=τ +1

Aproximace spoˇc´ıvala v nahrazen´ı v´ yrazu T − 1 v druhé sumˇe ˇc´ıslem l, kterému se ˇr´ıká lag truncation number. D˚ ukaz, ˇze s2T l je konzistentn´ım odhadem σ 2 , je uveden v Phillips (1987b, vˇeta 4.2). K tomuto d˚ ukazu bylo nutné uvaˇzovat pˇredpoklady 2.1, 2β dále silnˇejˇs´ı podm´ınku supt∈N E|εt | < ∞ pro nˇejaké β > 2 a l → ∞ kdyˇz T → ∞ tak, ˇze l = o(T 1/4 ). Nicménˇe nev´ yhodou odhadu s2T l je to, ˇze m˚ uˇze nab´ yvat i záporn´ ych hodnot (v pˇr´ıpadˇe, ˇze v´ ybˇerové kovariance mezi εt a εt−τ maj´ı velké záporné hodnoty). Modifikaci navrhli Newey & West (1987). Ukázali, ˇze odhad s˜2T l

=T

−1

T X t=1

ε2t

+ 2T

−1

l X τ =1

wτ l

T X t=τ +1

εt εt−τ ,

(2.18)


29

kde wτ l = 1 − τ /(l + 1) , je za nezmˇenˇen´ ych pˇredpoklad˚ u konzistentn´ım odhadem rozptylu σ 2 a nav´ıc je nezáporn´ y. V odhadu rozptylu σ 2 je také moˇzno m´ısto εt = Yt − Yt−1 pouˇz´ıt rezidua εˆt = Yt − α ˆ Yt−1 . Tento odhad bude také konzistentn´ı za platnosti nuP lové hypotézy (2.12), nebot’ α ˆ −→ 1 pro T → ∞. Otázkou z˚ ustává, jak volit l v pˇr´ıpadˇe koneˇcného v´ ybˇeru. Zajisté se jedná o empirickou záleˇzitost. Pˇredbˇeˇzné vyˇsetˇrován´ı autokorelac´ı mezi jednotliv´ ymi εt m˚ uˇze pˇrispˇet k vhodné volbˇe. Vzhledem k tomu, ˇze v´ ybˇerové autokorelace jedenkrát diferencovan´ ych ekonomick´ ych ˇcasov´ ych ˇrad vˇetˇsinou rychle zanikaj´ı, je pravdˇepodobné, ˇze pˇri menˇs´ı velikosti v´ ybˇeru bude vybrána menˇs´ı hodnota l. Na základˇe tˇechto v´ ysledk˚ u byly zkonstruovány následuj´ıc´ı testové statistiky pro testován´ı jednotkového koˇrene v modelu (2.11) za velmi obecn´ ych podm´ınek:

Zα = T (ˆ α − 1) − Ã Zt =

T X t=1

(1/2)(s2T l − s2ε ) , P 2 T −2 Tt=1 Yt−1

! 12 2 Yt−1

(ˆ α − 1) − sT l

(1/2)(s2T l − s2ε ) ³ ´1/2 . PT 2 −2 sT l T t=1 Yt−1

(2.19)

(2.20)

Zα je transformace odhadu T (ˆ α − 1) a Zt je transformace regresn´ı t-statistiky (2.7). Za platnosti nulové hypotézy byly odvozeny následuj´ıc´ı asymptotické vlastnosti: (W (1)2 − 1)/2 D Zα −→ R 1 , 2 dt T →∞ W (t) 0 (W (1)2 − 1)/2 D Zt −→ ¡ R 1 . ¢ T →∞ 2 dt 1/2 W (t) 0 Z´ıskali jsme statistiky, jejichˇz asymptotické rozdˇelen´ı je identické s asymptotick´ ymi rozdˇelen´ımi statistik T (ˆ α − 1) a tα , kdyˇz plat´ı σε2 = σ 2 . Pˇri testován´ı lze vyuˇz´ıt kritick´ ych hodnot stejn´ ych jako v pˇr´ıpadˇe standardn´ıch DF test˚ u. Opˇet bylo potˇreba rozˇs´ıˇrit model (2.11) i na situace, kdy je v nˇem pˇr´ıtomen trend ˇci vych´ ylen´ı, nebot’ tyto modely v´ıce odpov´ıdaj´ı realitˇe. Toto rozˇs´ıˇren´ı je shrnuto v Phillips & Perron (1988). Pˇreváˇzná vˇetˇsina textu v této ˇca´sti je zaloˇzena na sekci 2.4.1 v Juráˇska (2007), kde je pˇrehledné shrnut´ı tohoto rozˇs´ıˇren´ı. Stále pˇredpokládáme, ˇze {Yt , t ∈ N0 } jsou generovány modelem (2.11) s podm´ınkou (2.12),


30

a uvaˇzujme modely Yt = µ + αYt−1 + εt , ³ 1 ´ Yt = µ + β t − T + αYt−1 + εt , 2

(2.21) t ∈ N.

(2.22)

Posloupnost {εt , t ∈ N} splˇ nuje pˇredpoklady (2.1). Y0 je náhodná veliˇcina s danou distribuc´ı nezávislou na velikosti v´ ybˇeru T . Modely jsou analogické s modely (2.2) a (2.3) s t´ım rozd´ılem, ˇze model (2.22) obsahuje centrovanou ˇcasovou promˇennou. Regresn´ı matici v modelu (2.3) oznaˇcme X. Odhad parametru α metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u v modelu (2.21) oznaˇcme α ˆ µ a v modelu (2.22) α ˆ µβ a dále obdobnˇe pro tyto modely oznaˇcme reziduáln´ı souˇcet ˇctverc˚ u vydˇelen´ y poˇctem pozorován´ı jako s2µ resp. P T s2µβ . Dále oznaˇcme Y¯−1 = T −1 t=1 Yt−1 . Regresn´ı t-statistiky definujeme následovnˇe: tµα

½X ¾ 21 T 2 = (ˆ αµ − 1) (Yt−1 − Y¯−1 ) /sµ , t=1 1

tµβ αµβ − 1)/(s2µβ c3 ) 2 . α = (ˆ Oznaˇcen´ım ci máme na mysli i-t´ y diagonáln´ı prvek matice (X 0 X)−1 . Pro upravené testové statistiky potˇrebujeme opˇet pouˇz´ıt konzistentn´ı odhady parametr˚ u σε2 a σ 2 . Pro konzistentn´ı odhad σε2 pouˇzijeme s˜2T l,µ a s˜2T l,µβ , které jsou analogi´ı vzorce (2.18), kde m´ısto εt pouˇzijeme reziduum z pˇr´ısluˇsné regrese. K testován´ı jsou vyuˇz´ıvány transformované statistiky Zαµ = T (ˆ αµ − 1) − λµ /m ¯ yy , 0

Ztµ = (sµ /˜ sT l,µ )tµα − λµ s˜T l,µ /m ¯ 1/2 yy , Zαµβ = T (ˆ αµβ − 1) − λµβ /M , 0

Ztµβ = (sµβ /˜ sT l,µβ )tµβ ˜T l,µβ /M 1/2 , α − λµβ s kde myy = T −2

PT

M = (1 − T

t=1

−2

2 Yt−1 ,m ¯ yy = T −2

PT

t=1 (Yt−1 P T −5/2 Tt=1 −1

mty = )myy − 12m2ty + 12(1 + T 0

P − Y¯−1 )2 , my = T −3/2 Tt=1 Yt−1 ,

tYt−1 , )mty my − (4 + 6T −1 + 2T −2 )m2y , 0

λµ = 21 (˜ s2T l,µ , λµβ = 12 (˜ s2T l,µ − s2µ ) , λµ = λµ /˜ s2T l,µβ − s2µβ ), λµβ = λµβ /˜ s2T l,µβ . Zaj´ımáme se o asymptotické vlastnosti tˇechto statistik za podm´ınky, ˇze data jsou generovány modelem (2.11) s podm´ınkou (2.12). Bylo ukázáno, ˇze za stejn´ ych pˇredpoklad˚ u, které jsme pouˇz´ıvali v pˇr´ıpadˇe nevych´ ylené náhodné procházky, plat´ı: (i ) pro model (2.21) maj´ı statistiky Zαµ a Ztµ za platnosti nulové hypotézy (2.12) stejné asymptotické rozdˇelen´ı jako T (ˆ αµ − 1) a tµα v pˇr´ıpadˇe, ˇze σ 2 = σε2 .


31

(ii ) pro model (2.22) maj´ı statistiky Zαµβ a Ztµβ za platnosti nulové hypotézy (2.12) stejné asymptotické rozdˇelen´ı jako T (ˆ αµβ − 1) a tµβ r´ıpadˇe, ˇze σ 2 = σε2 . α v pˇ V´ ysledky uvedené pro Zαµβ a Ztµβ z˚ ustávaj´ı v platnosti i tehdy, kdy {Yt } je generován modelem (2.21) m´ısto (2.11). Dostáváme testy jednotkového koˇrene v modelech, které obsahuj´ı deterministick´ y trend, za velmi obecn´ ych podm´ınek. K testován´ı lze pouˇz´ıt kritick´ ych hodnot, které publikovali Dickey a Fuller v pˇr´ıpadˇe i. i. d. chyb. Tyto kritické hodnoty byly publikovány ve Fuller (1976, str. 371, 373). Pˇri pouˇz´ıván´ı tˇechto model˚ u je potˇreba ˇ opatrnosti pˇri volbˇe funkcionáln´ı formy deterministického trendu. Spatná volba vede ke sn´ıˇzen´ı s´ıly tˇechto test˚ u. Phillips a Perron porovnávali vlastnosti tˇechto test˚ u s parametrick´ ymi testy v simulaˇcn´ı studii. Pˇres asymptoticky ekvivalentn´ı v´ ysledky doˇsli v simulaci k odliˇsn´ ym v´ ysledk˚ um v koneˇcn´ ych v´ ybˇerech. Generovali data s chybami, které mˇeli formu klouzav´ ych pr˚ umˇer˚ u (MA) tvaru εt = et + θet−1 , kde et ∼ i. i. d. N (0, 1). Zjistili, ˇze v pˇr´ıpadˇe, kdy jsou chyby generovány kladn´ ym MA procesem (θ > 0), je lepˇs´ı pouˇz´ıt jejich Z testy, nebot’ jsou v tomto pˇr´ıpadˇe silnˇejˇs´ı oproti jin´ ym test˚ um. V pˇr´ıpadˇe, kdy jsou chyby nezávislé a stejnˇe rozdˇelené (θ = 0), nen´ı transformace Z striktnˇe potˇrebná, ale opˇet ji lze preferovat pro obecnˇejˇs´ı konstrukci. V modelu, kdy jsou chyby generovány MA procesem a negativnˇe autokorelované (θ < 0), maj´ı transformované testy menˇs´ı s´ılu a nedoporuˇcuje se je pouˇz´ıvat. V tomto pˇr´ıpadˇe je vhodnˇejˇs´ı pouˇz´ıt testy, které odvodili Said & Dickey (1984).

2.4

Testov´ an´ı v´ıce parametr˚ u

Na závˇer této kapitoly se jeˇstˇe krátce zm´ın´ıme o testován´ı v´ıce parametr˚ u. Zmiˇ novali jsme, ˇze asymptotické rozdˇelen´ı statistik α ˆ µ a tµα nen´ı invariantn´ı vzhledem k zahrnut´ı nenulového vych´ ylen´ı µ do data generuj´ıc´ıho procesu (2.11). Stejnˇe tak α ˆ µβ a tµβ ı α nen´ invariantn´ı vzhledem k trendovému parametru β (aˇckoliv je invariantn´ı v˚ uˇci pevnému µ). Bylo tedy uˇziteˇcné naj´ıt testy, které budou testovat sdruˇzenou hypotézu: H10 : (µ, α) = (0, 1) v modelu (2.21), H20 : (µ, β, α) = (0, 0, 1) v modelu (2.22), H30 : (µ, β, α) = (µ, 0, 1) v modelu (2.22). Pˇredpokládáme, ˇze {Yt , t ∈ Z} jsou generovány modelem (2.11) s podm´ınkou (2.12), {εt , t ∈ Z} splˇ nuje pˇredpoklady 2.1 a Y0 má pˇredem danou distribuci. Dickey & Fuller (1981) navrhli F -test pro uvedené hypotézy za pˇredpokladu nezávisl´ ych normálnˇe rozdˇelen´ ych chyb:


32

H10 : Φ1 = (2s2µ )−1 [T s2ε − (T − 2)s2µ ] , H20 : Φ2 = (3s2µβ )−1 [T s2ε − (T − 3)s2µβ ] , H30 : Φ3 = (2s2µβ )−1 [T (s2ε − (Y¯ − Y¯−1 )2 ) − (T − 3)s2µβ ] , u vydˇelené poˇctem pozorován´ı T z kde s2ε , s2µ a s2µβ jsou reziduáln´ı souˇcty ˇctverc˚ P model˚ u (2.11), (2.21) a (2.22) za platnosti nulové hypotézy a Y¯−1 = T −1 Tt=1 Yt−1 . Nulová hypotéza H30 je vych´ ylená náhodná procházka s vych´ ylen´ım µ, v˚ uˇci kterému je statistika Φ3 invariantn´ı. Perron (1986) zobecnil tyto testy na v´ yˇse uvedené obecnˇejˇs´ı pˇredpoklady. Opˇet jsou vyuˇzity konzistentn´ı odhady parametr˚ u σ 2 a σε2 , které byly zadefinovány u Phillips-Perronov´ ych test˚ u jednotkového koˇrene. Tyto neparametrické testy maj´ı tvar: s2µ 1 Φ1 − 2 (˜ s2 − s2µ ) 2 s˜T l,µ 2˜ sT l,µ T l,µ ½ T h 1 X i−1 ¾ 1 2 2 2 ¯ × T (ˆ αµ − 1) − (˜ s − sµ ) 2 (Yt−1 − Y−1 ) , 4 T l,µ T t=1

Z(Φ1 ) =

½ ¾ s2µβ 1 T6 2 2 2 2 Φ2 − 2 (˜ s − sµβ ) T (ˆ αµβ − 1) − (˜ s − sµβ ) , Z(Φ2 ) = 2 s˜T l,µβ 3˜ sT l,µβ T l,µβ 48DX T l,µβ ½ ¾ s2µβ 1 T6 2 2 2 2 Φ2 − 2 (˜ s − sµβ ) T (ˆ αµβ − 1) − (˜ s − sµβ ) , Z(Φ3 ) = 2 s˜T l,µβ 2˜ sT l,µβ T l,µβ 48DX T l,µβ kde DX je determinant matice X 0 X (X je regresn´ı matice rozmˇeru T × 3 z modelu (2.22)). Perron (1986, vˇeta 4.2) ukázal, ˇze uvedené Z statistiky maj´ı za platnosti pˇr´ısluˇsné nulové hypotézy stejné rozdˇelen´ı jako odpov´ıdaj´ıc´ı Φ statistiky. K testován´ı lze tedy pouˇz´ıt kritické hodnoty, které pro i.i.d. N (0, σ 2 ) chyby tabelovali Dickey & Fuller (1981, Tabulky IV, V, VI). K pouˇz´ıvan´ı tˇechto neparametrick´ ych test˚ u plat´ı opˇet stejné doporuˇcen´ı jako v pˇr´ıpadˇe Phillips-Perronov´ ych test˚ u. Je potˇreba opatrnosti, pokud generuj´ıc´ı proces obsahuje MA ˇcást se záporn´ ymi parametry.

Doporuˇ cen´ a strategie pˇ ri testov´ an´ı Pˇresn´ y návod, které testy pouˇz´ıt, samozˇrejmˇe neexistuje. Kaˇzd´ y typ test˚ u má své klady a zápory a reaguje lépe ˇci h˚ uˇre v urˇcit´ ych situac´ıch. Alespoˇ n nˇekterá základn´ı


33

doporuˇcen´ı ohlednˇe Phillips-Perronov´ ych test˚ u jsou shrnuty v Juráˇska (2007, kap. 2.6). Bylo ukázáno, ˇze v pˇr´ıpadˇe, kdy je ˇrada trendovˇe stacionárn´ı kolem lineárn´ıho trendu, je zam´ıtnut´ı nulové hypotézy jednotkového koˇrene v modelu (2.21) nepravdˇepodobné s rostouc´ım T . Proto je doporuˇceno zaˇc´ıt s odhadem modelu (2.22). Jako prvn´ı je vhodné testovat sdruˇzenou hypotézu Z(Φ3 ) a dále pak Zαµβ a Ztµβ , které nejsou invariantn´ı vzhledem k parametru β. Nen´ı nutné pokraˇcovat, pokud je moˇzné pro tento model nulovou hypotézu zam´ıtnout. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe testujeme na základˇe modelu (2.21). Pˇred testy v tomto modelu je nutné ovˇeˇrit, jestli nen´ı vych´ ylen´ı µ nulové, nebot’ asymptotická rozdˇelen´ı test˚ u Zαµ a Ztµ nejsou vzhledem k parametru µ invariantn´ı. Z˚ ustaneme u v´ ysledku Zαµβ a Ztµβ v pˇr´ıpadˇe, ˇze Z(Φ2 ) zam´ıtne nulovou hypotézu (µ, β, α) = (0, 0, 1). Jinak m˚ uˇzeme pˇrej´ıt k test˚ um Zαµ a Ztµ . Pokud nelze zam´ıtnout nulovou hypotézu (µ, α) = (0, 1) pomoc´ı Z(Φ1 ), pˇrejdeme k modelu (2.11).

Kapitola 3 Kointegrace 3.1

Definice kointegrace

Uˇz jsme zmiˇ novali, ˇze ekonomické ˇcasové ˇrady jsou velmi ˇcasto integrované ˇrádu 1 a obsahuj´ı stochastick´ y trend. V ekonomické teorii vˇsak oˇcekáváme, ˇze jisté ˇrady by mˇely b´ yt v urˇcitém dlouhodobˇe rovnováˇzném stavu, pˇrestoˇze jejich pr˚ ubˇeh v ˇcase m˚ uˇze b´ yt znaˇcnˇe kol´ısav´ y. V krátkodobém horizontu mohou tyto ˇrady znaˇcnˇe kol´ısat, ale ekonomické s´ıly by mˇely v dlouhodobém horizontu dosáhnout rovnováˇzného stavu. Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt cena podobn´ ych potravin v r˚ uzn´ ych zem´ıch, poptávka po penˇez´ıch a hodnota penˇez, krátkodobé a dlouhodobé u ´rokové m´ıry apod. Obecnˇe hledáme-li rovnováˇzn´ y stav mezi promˇenn´ ymi, které jsou sloˇzky n-rozmˇerného vektoru Y t = (Y1,t , . . . , Yn,t )0 , chceme naj´ıt vektor β takov´ y, aby platilo β 0 Y t = 0 v kaˇzdém ˇcase t. V praxi tolerujeme krátkodobé odchylky od rovnov´ aˇzného stavu, které znaˇc´ıme v ˇcase t jako Zt = β 0 Y t . Hledáme vektor β takov´ y, ˇze odchylky od rovnováhy {Zt } tvoˇr´ı stacionárn´ı proces s nulovou stˇredn´ı hodnotou a koneˇcn´ ym rozptylem. Tohoto dlouhodobˇe rovnováˇzného stavu lze dosáhnout i v pˇr´ıpadˇe, ˇze jednotlivé veliˇciny jsou integrované. Kointegrace je vhodn´ ym nástrojem k anal´ yze tˇechto vztah˚ u. T´ımto tématem se intenzivnˇe zab´ yval nositel Nobelovy ceny za ekonomii Clive Granger. Základn´ı myˇslenky jsou shrnuty v ˇclánku Granger & Engle (1987), kde je i následuj´ıc´ı obecná definice pojmu kointegrace. ˇ Definice 3.1. Necht’ b, d ∈ N a d ≥ b. Rekneme, ˇze sloˇzky n-rozmˇerného náhodného procesu {Y t , t ∈ Z} jsou kointegrované ˇr´ adu d, b, jestliˇze vˇsechny sloˇzky Y t jsou I(d) a existuje nenulov´ y vektor β = (β1 , . . . , βn )0 takov´ y, ˇze sloˇzky lineárn´ı kombinace Z t := β 0 Y t jsou I(d − b). Vektor β se naz´ yvá kointegraˇcn´ı vektor. Kointegraci budeme znaˇcit {Y t } ∼ CI(d, b). Je zˇrejmé, ˇze kointegraˇcn´ı vektor nen´ı jednoznaˇcn´ y. Staˇc´ı jej vynásobit nenulovou konstantou a opˇet dostáváme kointegraˇcn´ı vektor. Pro n > 2 m˚ uˇze obecnˇe

KAPITOLA 3. KOINTEGRACE

35

existovat v´ıce lineárnˇe nezávisl´ ych kointegraˇcn´ıch vektor˚ u. Existuje-li r takov´ ych nezávisl´ ych vektor˚ u (r ≤ n − 1), pak se r naz´ yvá ˇr´ ad kointegrace. Pokud tyto vektory oznaˇc´ıme β 1 , . . . , β r , m˚ uˇzeme je uspoˇrádat do kointegraˇcn´ı matice β, která je rozmˇeru n × r a má hodnost r. V dalˇs´ıch kapitolách se seznám´ıme s r˚ uzn´ ymi modely kointegrovan´ ych ˇcasovan´ ych ˇrad, z nichˇz nˇekteré umoˇzn ˇuj´ı modelovat pouze jeden kointegraˇcn´ı vektor (jednorovnicové modely). Nejzaj´ımavˇejˇs´ı je situace, kdy d = b. V tomto pˇr´ıpadˇe je lineárn´ı kombinace ˇrad stacionárn´ı. Nejˇcastˇejˇs´ı je situace, kdy sloˇzky procesu {Y t } jsou I(1) a {β 0 Y t } je I(0). Jedná se o kointegraci {Y t } ∼ CI(1, 1). T´ımto typem kointegrace se budeme vˇetˇsinou zab´ yvat i v této práci. Typick´ ym pˇr´ıkladem CI(1, 1) kointegrovaného vektoru je dvojice: Y1,t = αY2,t + ε1,t Y2,t = Y2,t−1 + ε2,t , kde {ε1,t } a {ε2,t } jsou nekorelované procesy b´ılého ˇsumu. Nen´ı obt´ıˇzné ovˇeˇrit, ˇze pro α 6= 0 jsou procesy I(1), ale pˇritom lineárn´ı kombinace Y1,t − αY2,t je stacionárn´ı. Ukázka pro α = 0, 5 a α = 0, 9 je na obrázku 3.1, kde jsou {ε1,t } a {ε2,t } generovány náhodn´ ym v´ ybˇerem N (0, 1) a jsou nezávislé.

25

Kointegrované časové řady

0

5

10

15

20

Y1 (alpha = 0.5) Y1 (alpha = 0.9) Y2

0

20

40

60

80

100

Čas

Obrázek 3.1: Ukázka kointegrovaných ˇcasových ˇrad. V rámci kointegrace analyzujeme I(d) ˇcasové ˇrady. V´ıme, ˇze pro z´ıskán´ı stacionárn´ı ˇcasové ˇrady staˇc´ı tyto ˇrady d-krát diferencovat. Mohlo by se zdát, ˇze pak uˇz


36

je moˇzné na tyto stacionárn´ı ˇrady pouˇz´ıt klasické pˇr´ıstupy k anal´ yze vzájemn´ ych vztah˚ u. Nen´ı to vhodná strategie. Pravdou je, ˇze pouh´ ym zdiferencován´ım ˇrad ztrác´ıme d˚ uleˇzitou informaci o celém systému. Eliminujeme moˇznost, jak odhadovat korektnˇe vztahy mezi jednotliv´ ymi promˇenn´ ymi a jejich dlouhodobou rovnováhou. D´ıky kointegraci vˇsak v´ıme, ˇze ˇcasto tento vztah existuje a m´ıvá také d˚ uleˇzitou interpretaci (napˇr. ekonomickou). Dˇr´ıve neˇz budeme pokraˇcovat v tématu, zavedeme strukturu jednoho z velmi d˚ uleˇzit´ ych model˚ u, kter´ y s kointegrac´ı I(1) veliˇcin u ´zce souvis´ı. Jedná se o model korekce chyb, kter´ y budeme naz´ yvat známˇejˇs´ım a vˇseobecnˇe uˇz´ıvan´ ym oznaˇcen´ım error correction model (odtud pouˇz´ıvaná zkratka EC nebo také ECM). Tento model byl ekonometry hojnˇe vyuˇz´ıván a v souvislosti s kointegrac´ı je dobˇre interpretovateln´ y. Obsahuje v sobˇe jak krátkodobé, tak dlouhodobé vztahy. Základn´ı idea je taková, ˇze odchylka od rovnováhy v jednom obdob´ı je opravena v obdob´ı pˇr´ıˇst´ım. Uvaˇzujme n-rozmˇern´ y proces {Y t }. Obecnˇe se m˚ uˇze jednat i o stacionárn´ı proces. Nás ale v dalˇs´ım textu bude zaj´ımat hlavnˇe pˇr´ıpad, kdy ˇ {Y t } ∼ CI(1). Rekneme, ˇze tento proces má error correction reprezentaci, jestliˇze jej lze zapsat ve tvaru: ∆Y t = ΠY t−1 + Γ1 ∆Y t−1 + . . . + Γp−1 ∆Y t−p+1 + εt 0

= αβ Y t−1 +

p−1 X

(3.1)

Γi ∆Y t−i + εt ,

i=1

kde εt je stacionárn´ı n-rozmˇern´ y WN(0, Σε ). Matice Π a Γ1 , . . . , Γp−1 jsou n × n rozmˇerné matice koeficient˚ u. V pˇr´ıpadˇe kointegrovaného procesu mus´ı b´ yt matice Π singulárn´ı s ˇra´dem rank[Π] = r > 0, jak bude ukázáno n´ıˇze. Pak lze matici Π rozloˇzit na souˇcin matic Π = αβ 0 , kde α a β jsou rozmˇeru n × r a maj´ı hodnost r. Pokud vyuˇzijeme znaˇcen´ı Z t := β 0 Y t z definice 3.1, lze model lze pˇrepsat také do tvaru: Γ(L)∆Y t = αZ t−1 + εt ,

(3.2)

kde Γ(L) = In − Γ1 L − . . . − Γp−1 Lp−1 . V modelu jsou zmˇeny promˇenn´ ych závislé na odchylkách od rovnováˇzného stavu. V tomto tvaru definuje EC model Granger & Engle (1987). Nav´ıc se pro korektnost zavád´ı podm´ınka, která zaruˇc´ı, P ˇze vˇsechny prvky matice Γ(1) jsou koneˇcné. Budeme tedy pˇredpokládat, ˇze Γ(1) = Γi < ∞. Podrobnˇeji se vlastnostmi error correction reprezentace budeme zab´ yvat aˇz v kapitole 4.2, uved’me si zde vˇsak aspoˇ n nˇekteré základn´ı vlastnosti, které ukazuj´ı v´ yhody této reprezentace v pˇr´ıpadˇe kointegrovaného procesu. Kointegraˇcn´ı matice, kterou jsme uˇz dˇr´ıve zadefinovali, je reprezentována parametrem β. Jej´ı hodnost je r < n, kde r je ˇra´d kointegrace. Matice α se nˇekdy naz´ yvá zátˇeˇzov´ a matice (v anglicky psané literatuˇre loading matrix ). Lze i interpretovat jako m´ıru odliˇsnosti mezi dlouhodob´ ymi a krátkodob´ ymi vztahy v systému. Vˇsimnˇeme 1 si, ˇze pokud by matice Π mˇela hodnost rank[Π] = 0 (matice by byla nulová), mˇel 1

Symbolem rank[B] znaˇc´ıme hodnost matice B.


37

by pak proces {∆Y t } stabiln´ı VAR(p − 1) reprezentaci a diferencován´ım bychom neztratili ˇza´dnou dlouhodobou informaci. Naopak pokud by mˇela plnou hodnost rank[Π] = n, znamenalo by to, ˇze ˇcasová ˇrada je generována stacionárn´ım vektorov´ ym procesem {Y t }. Z hlediska kointegrace je pro nás nejzaj´ımavˇejˇs´ı pˇr´ıpad, kdy je rank[Π] = r, kde 0 < r < n. V pˇr´ıpadˇe, ˇze {Y t } ∼ I(1), jsou diferencované ˇcleny ∆Y t stacionárn´ı, a tud´ıˇz i αβ 0 Y t mus´ı b´ yt stacionárn´ı. Na závˇer podotknˇeme, ˇze d´ıky pouˇzit´ı diferenc´ı v error correction modelu v´ yznamnˇe redukujeme problém multikolinearity, kter´ y je ˇcasto pˇr´ıtomn´ y u ˇcasov´ ych ˇrad. Dále je v´ yhodou, ˇze vˇsechny dlouhodobé vztahy jsou obsaˇzeny v matici Π.

3.2

Grangerova vˇ eta

Grangerova vˇeta o reprezentaci tvoˇr´ı základn´ı pil´ıˇr mezi vztahy jednotliv´ ych kointegrovan´ ych model˚ u a jejich vlastnostmi. Cliwe Granger dal této vˇetˇe základy, a proto byla pojmenována podle nˇej. Jej´ı základn´ı verze je uvedena v ˇclánku Granger & Engle (1987). Struktura vˇety se liˇs´ı podle toho, z jakého modelu vyjdeme. V uvedeném ˇclánku je jako v´ ychoz´ı model uvaˇzován vektorov´ y proces klouzav´ ych pr˚ umˇer˚ u. Dává jej do souvislosti s VARMA a EC modelem. Modifikovaná verze vycházej´ıc´ı z modelu VAR je uvaˇzována v Johansen (1991). Velmi uˇziteˇcné srovnán´ı mezi jednotliv´ ymi alternativami Grangerovy vˇety je uvedeno v knize Dhrymes (1998), která má hluboké teoretické základy. Grangerova vˇeta je zde uvedena pro VMA(+∞) proces, dále pro VMA(q) proces, kde q je koneˇcné a také verze vycházej´ıc´ı z VAR modelu. V diplomové práci Bittner (2005) byla uvedena Grangerova vˇeta vycházej´ıc´ı VMA reprezentace podle Granger & Engle (1987). Zde si proto uvedeme vlastnosti model˚ u v kontextu s Johansenov´ ym pˇr´ıstupem, kter´ y vycházel z VAR modelu. Vycház´ıme vˇsak z Dhrymes (1998, Kap. 4.4.3, Vˇeta 4.), kde je vˇeta pˇrehledná a má odliˇsnou strukturu od p˚ uvodn´ıho Johansen (1988). Vˇ eta 3.2. Mˇejme náhodnou n-rozmˇernou posloupnost {Y t , t ∈ N} a pˇredpokl´ adejme, ˇze: 1. m´ a VAR(p) reprezentaci Φ(L)Y t = εt ,

Φ(L) =

p X j=0

kde {εt } ∼ WN(0, Σε ); 2. {Y t } ∼ CI(1, 1) ˇr´ adu r;

Φj L j ,

Φ0 = In ,


38

3. β je matice rozmˇeru n×r, která obsahuje r lineárnˇe nezávislých kointegraˇcn´ıch vektor˚ u. Pak plat´ı následuj´ıc´ı: (i) existuje reprezentace ∗

Φ(L) = Φ(1) − ∆Φ (L),

∗

Φ (L) =

p−1 X

Φ∗j Lj ,

Φ∗j

j=0

=

p X

Φi ;

i=j+1

P ∗ j (ii) oper´ ator Φ∗ (L) = p−1 a unit root faktorizaci j=0 Φj L nem´ (tzn. ˇze pro ˇz´ adné d ≥ 1 neexistuje rozklad Φ∗ (L) = ∆d Φ∗∗ (L), kde Φ∗∗ (L) je invertibiln´ı oper´ ator); (iii) rank[Φ(1)] = r, r < n; (iv) charakteristick´ a rovnice |Φ(z)| = 0 m´ a r0 = n − r jednotkových koˇren˚ u; (v) proces {Y t } m´ a VMA reprezentaci nekoneˇcného ˇr´ adu; specificky, jestliˇze ϕ∗ (L) = |Φ(L)| a Θ∗ (L) je matice adjungovaná k matici Φ(L) = [ϕrs (L)],

ϕrs (L) =

p X

j ϕ(j) rs L ,

j=0 (j)

kde ϕrs je element matice Φj na pozici r, s, pak existuj´ı rozklady ϕ∗ (L) = ∆r0 ϕ(L) ,

ϕ(1) 6= 0

a Θ∗ (L) = ∆r0 −1 Θ(L) ,

Θ(1) 6= 0

a plat´ı ∆Y t = [ϕ(L)−1 ]Θ(L)εt ; (vi) existuje matice α rozmˇeru n × r a hodnosti r takov´ a, ˇze Φ(1) = −αβ 0 , a plat´ı β 0 Θ(1) = 0,

Θ(1)α = 0,

Θ(0) = In ;

(vii) existuje error correction (EC) reprezentace 0

∆Y t = −αβ Y t−1 +

p−1 X j=1

Θ∗j ∆Y t−j + εt ;


39

(viii) Vektor Z t = β 0 Y t m´ a reprezentaci Z t = G(L)εt ,

0

G0 = β ,

0

−1

Gi = (α α) α

0

i ³X

Φ∗j Θ∗i−j

´ , i ≥ 1.

j=0

D˚ ukaz. Je uveden v kapitole 4.4.3 v Dhrymes (1998, Vˇeta 4.). Jedná se o velmi d˚ uleˇzitou vˇetu, která ukazuje vztahy mezi nˇekter´ ymi z kointegraˇcn´ıch model˚ u. D˚ ukaz je delˇs´ı, a proto jej zde neuvád´ıme. V dalˇs´ıch kapitolách jsou vˇsak ukázány aspoˇ n nˇekteré z v´ ysledk˚ u této vˇety. Jak jsme uˇz zmiˇ novali, v´ ysledky ˇ jsou odliˇsné v závislosti na tom, kterou reprezentaci vezmeme jako v´ ychoz´ı. Ctenáˇr˚ um doporuˇcuji pro srovnán´ı základn´ı verzi v Granger & Engle (1987), kde je ukázán vztah v´ ychoz´ıho VMA modelu s VARMA a EC reprezentac´ı. Dhrymes (1998) srovnává tyto verze a ukazuje odliˇsnosti i propojenost (napˇr´ıklad mezi MA operátory u VMA reprezentac´ı). Modely ve vˇetˇe je moˇzné rozˇs´ıˇrit také o konstantn´ı ˇclen a deterministick´ y trend ˇci sezónn´ı promˇenné, jak lze vidˇet v Johansen (1988). Za povˇsimnut´ı stoj´ı také vztahy uvedené v bodu (vi) vˇety 3.2. Obdobné vztahy plat´ı i v p˚ uvodn´ı Grangerovˇe vˇetˇe, kde Θ(L) je MA operátor u v´ ychoz´ı VMA reprezentace. Vezmeme-li v u ´vahu, ˇze Π = αβ 0 = −Φ(1) dostáváme ΠΘ(1) = Θ(1)Π = 0n×n . Vid´ıme, ˇze v pˇr´ıpadˇe kointegrovaného procesu existuje u ´zká souvislost mezi AR operátorem z VAR reprezentace a MA operátorem z VMA reprezentace. Vztah mezi hodnostmi matic Θ(1) a Φ(1) se naz´ yvá du´ aln´ı. Hodnost matice Φ(1) je r, zat´ımco hodnost matice Θ(1) je n − r. Dále plat´ı, ˇze charakteristická rovnice |Φ(z)| = 0 má r0 = n − r jednotkov´ ych koˇren˚ u, zat´ımco charakteristická rovnice |Θ(z)| = 0 má r jednotkov´ ych koˇren˚ u, kde r je ˇrád kointegrace.

Kapitola 4 Modely kointegrovan´ ych ˇ casov´ ych ˇ rad V této kapitole se budeme zab´ yvat vlastnostmi nˇekter´ ych model˚ u kointegrovan´ ych ˇcasov´ ych ˇrad. V rámci kointegraˇcn´ı anal´ yzy ˇcasov´ ych ˇrad jsou nejˇcastˇeji uˇz´ıvány modely ECM (error correction model ). Velmi krátce se zm´ın´ıme o VAR modelu (vektorový autoregresn´ı model ) a VMA modelu (vektorový proces klouzavých pr˚ umˇer˚ u). Nav´ıc zavedeme triangular reprezentaci, která je nˇekter´ ymi autory uˇz´ıvána. V závˇeru se budeme vˇenovat jednorozmˇern´ ym model˚ um, jako ADL (autoregressive distributed lags) modely a kointegraˇcn´ı regrese, a jejich vztahem v˚ uˇci modelu v´ıcerozmˇernému. Zm´ın´ıme se také o souvislosti Grangerovy kauzality s kointegrac´ı.

4.1

VAR a VMA reprezentace kointegrovan´ ych veliˇ cin

V kapitole 3.2 je v Grangerovˇe vˇetˇe ukázán jednoznaˇcn´ y vztah mezi modely VMA, ECM a VAR v pˇr´ıpadˇe kointegrovan´ ych veliˇcin. Mnoh´ ymi vlastnostmi VAR a VMA model˚ u se uˇz zab´ yval Bittner (2005, kap. 4). Vzhledem k tomu, ˇze v praktické anal´ yze se vˇetˇsinou vyuˇz´ıvá error-correction model, kter´ y je velmi vhodn´ y k modelován´ı dlouhodob´ ych kointegraˇcn´ıch vztah˚ u, uvedeme si zde pouze nˇekolik základn´ıch informac´ı o tˇechto reprezentac´ıch. D´ıky Grangerovˇe vˇetˇe lze v pˇr´ıpadˇe kointegrovaného procesu pˇrevést jak VAR, tak VMA reprezentaci na error-correction model. T´ım se detailnˇeji zab´ yváme v kapitole 4.2. VAR reprezentace Pˇripomeˇ nme si tvar vektorového autoregresn´ıho modelu ˇrádu p, tentokrát pro n-rozmˇern´ y I(1) proces {Y t }: Φ(L)Y t = εt ,

(4.1)

´ ˇ ´ ˇ KAPITOLA 4. MODELY KOINTEGROVANYCH CASOV YCH RAD

41

kde Φ(L) = In − Φ1 L − Φ2 L2 − . . . − Φp Lp a Φ1 , . . . , Φp jsou n × n rozmˇerné matice koeficient˚ u. Dále pˇredpokládáme, ˇze εt je stacionárn´ı b´ıl´ y ˇsum s nulovou stˇredn´ı hodnotou a varianˇcn´ı matic´ı Σε . Samozˇrejmˇe je moˇzné tento model zobecnit a na pravou stranu rovnice lze pˇridat napˇr´ıklad vektor konstant c nebo také trend ˇci sezónn´ı sloˇzku. Vzhledem k tomu, ˇze v modelu jsou obsaˇzeny integrované ˇcasové ˇrady, nen´ı splnˇena podm´ınka stability det(Φ(z)) 6= 0 pro |z| ≤ 1, z ∈ C. Tento operátor totiˇz obsahuje jednotkov´ y koˇren. Pˇrevod VAR modelu na error correction model je ilustrován v kapitole 4.2. Na základˇe odhad˚ u v error-correction modelu kointegrovan´ ych veliˇcin lze zpˇetnˇe pˇrej´ıt k VAR reprezentaci bez ztráty informace. VAR model b´ yvá vyuˇz´ıván pˇri testován´ı Grangerovy kauzality v kointegrovan´ ych systémech. Tato skuteˇcnost bude ilustrována v sekci 4.6. VMA reprezentace Pro n-rozmˇern´ y CI(1, 1) proces {Y t } uvaˇzujeme vektorovou reprezentaci klouzav´ ych pr˚ umˇer˚ u ˇrádu q: Y t = Θ(L)εt ,

(4.2)

kde Θ(L) = In + Θ1 L + Θ2 L2 + . . . + Θq Lq a Θ1 , . . . , Θq jsou n × n rozmˇerné matice koeficient˚ u. Pˇredpokládáme, ˇze εt ∼ W N (0, Σε ) a posloupnost Θi je absolutnˇe sˇc´ıtatelná. Trend, konstantu ˇci sezónn´ı promˇenné lze pˇridat do modelu na pravou stranu rovnice. Vzhledem k integrovanosti procesu {Y t } nen´ı proces invertibiln´ı. V´ıme vˇsak, ˇze {∆Y t } by mˇel b´ yt proces stacionárn´ı, a proto nˇekdy v pˇr´ıpadˇe I(1) procesu uvaˇzujeme zápis VMA(q) reprezentace ve formˇe ∆Y t = Θ(L)εt q X = Θi εt−i ,

(4.3)

i=0

kde Θ0 = In . V pˇr´ıpadˇe tohoto modelu se nˇekdy uˇz´ıvá oznaˇcen´ı, ˇze proces má v´ıcerozmˇernou Woldovu reprezentaci. Granger & Engle (1987) pouˇzili tuto reprezentaci jako v´ ychoz´ı model v Grangerovˇe vˇetˇe. Velmi znám´ y je rozklad operátoru z této reprezentace na Θ(L) = Θ(1) − ∆Θ∗ (L) , (4.4) Pq Pq−1 ∗ j ∗ ı obt´ıˇzné ovˇeˇrit. kde Θ∗ (L) = j=i+1 Θj . Tento rozklad nen´ i=0 Θi L a Θi = Uvedli jsme formu tohoto rozkladu pro koneˇcn´ y ˇra´d q. V pˇr´ıpadˇe nekoneˇcné posloupnosti Θi lze dostat u ´plnˇe stejn´ y rozklad s t´ım rozd´ılem, ˇze sumy jsou nekoneˇcné (q = +∞). Na základˇe tohoto rozkladu lze proces {Y t } zapsat ve tvaru Yt=

Θ(1) |

t X j=1

{z

εj }

long-run komponenta

+

Θ∗ (L)εt | {z }

+ Y 0 − Θ∗ (L)ε0 . | {z }

short-run komponenta

poˇ ca ´teˇ cn´ı hodnoty

(4.5)


42

Vˇsimnˇeme si korespondence s Beveridge-Nelsonovou dekompozic´ı (1.13). Odvozen´ı tohoto rozkladu také nen´ı nijak obt´ıˇzné, lze jej ovˇeˇrit napˇr´ıklad v Bittner (2005, sekce 4.1.1). Long-run komponenta v rozkladu dobˇre ilustruje dlouhodob´ y efekt zp˚ usoben´ y stochastick´ ym trendem v ˇradˇe. Zato v´ yznam short-run komponenty je pouze krátkodob´ y a jej´ı vliv s rostouc´ım ˇcasem klesá. Reprezentace (4.5) se nˇekdy ˇr´ıká reprezentace spoleˇcných trend˚ u. V kointegraˇcn´ı anal´ yze ji vyuˇz´ıvali napˇr´ıklad Stock & Watson (1988). Odhady parametr˚ u VMA reprezentace kointegrovan´ ych veliˇcin lze d´ıky Grangerovˇe vˇetˇe opˇet zkonstruovat z odhadu v error-correction modelu.

4.2

ECM reprezentace

Vzhledem k tomu, ˇze error-correction model je jedna z nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ıch reprezentac´ı pˇri modelován´ı kointegrovan´ ych proces˚ u, zab´ yváme se j´ım podrobnˇeji neˇz dalˇs´ımi zm´ınˇen´ ymi modely. Základn´ı popis error-correction modelu jsme si uvedli uˇz v pˇredeˇslé kapitole a ve vzorci (3.1). V rámci kointegraˇcn´ı anal´ yzy je moˇzné pouˇz´ıvat také error correction model, jehoˇz struktura je m´ırnˇe odliˇsná od (3.1). Oba typy EC modelu lze z´ıskat reparametrizac´ı z VAR reprezentace kointegrovan´ ych veliˇcin, jak uvid´ıme n´ıˇze. Uvaˇzujme n-rozmˇern´ y I(1) proces {Y t }. Tato modifikovaná forma má tvar ∆Y t = ΠY t−p + Γ1 ∆Y t−1 + . . . + Γp−1 ∆Y t−p+1 + εt 0

= αβ Y t−p +

p−1 X

(4.6)

Γi ∆Y t−i + εt ,

i=1

kde εt ∼ WN(0, Σε ). Uveden´ y model je pouˇz´ıván napˇr´ıklad v ˇclánku Johansen (1991). Modely (3.1) a (4.6) se odhaduj´ı analogick´ ym zp˚ usobem a maj´ı vˇetˇsinu vlastnost´ı spoleˇcn´ ych. Pouˇzit´ı obou reparametrizac´ı je správné, pouze je potˇreba zvolenému modelu pˇrizp˚ usobit interpretaci v´ ysledk˚ u. Nejprve si krátce ukáˇzeme, jak lze pro proces {Y t } odvodit EC reprezentaci z reprezentace VAR(p) Y t = Φ1 Y t−1 + Φ2 Y t−2 + . . . + Φp−1 Y t−p+1 + Φp Y t−p + εt .

(4.7)

Pro model (3.1) je toto odvozen´ı v Bittner (2005, sekce 4.1.1). Ukázal, ˇze pro matice koeficient˚ u Π, Γ1 , . . . , Γp−1 z modelu (3.1) plat´ı:  p X  Γi = − Φj pro i = 1, . . . , p − 1 , (4.8) j=i+1   Π = −(Ii − Φ1 − . . . − Φp ) .


43

Zde si tedy ukáˇzeme analogii pro reparametrizaci typu (4.6). Vyjdeme z VAR(p) modelu (4.7) a postupn´ ymi u ´pravami dostaneme: ∆Y t = (−In + Φ1 )Y t−1 − (−In + Φ1 )Y t−2 + (−In + Φ1 + Φ2 )Y t−2 + + . . . + Φp−1 Y t−p+1 + Φp Y t−p + εt = .. . = (−In + Φ1 )∆Y t−1 + . . . + (−In + Φ1 + . . . + Φp−1 )∆Y t−p+1 + +(−In + Φ1 + . . . + Φp−1 )Y t−p . Dostáváme tedy ECM model ∆Y t = ΠY t−p + Γ1 ∆Y t−1 + . . . + Γp−1 ∆Y t−p+1 + εt , kde Γi = −In +

i X

Φj

pro i = 1, . . . , p ,

j=1

Π = Γp = −(Ii − Φ1 − . . . − Φp ) .

      

(4.9)

Z uveden´ ych v´ ysledk˚ u vid´ıme, ˇze tvar matice Π, která obsahuje dlouhodob´ y kointegraˇcn´ı vztah, je shodn´ y pro oba typy reparametrizac´ı (3.1) a (4.6) error correction modelu. Odliˇsná je pouze struktura parametr˚ u Γi , i = 1, . . . , p. Vˇsimnˇeme si také, ˇze model 4.6 (resp. 3.1) lze zapsat s vyuˇzit´ım operátoru Π(L) = (1 − L)In −

p−1 X

Γi (1 − L)Li − ΠLp

(4.10)

i=1

do tvaru Π(L)Y t = εt . Poˇzadujeme, aby koˇreny charakteristické rovnice Π|z| = 0 leˇzely vnˇe nebo na jednotkovém kruhu. T´ım zaruˇc´ıme, ˇze lze nestacionaritu procesu {Y t } odstranit pouh´ ym diferencován´ım.

4.2.1

Odhad error-correction modelu dvoukrokovou metodou

Jednou z prvn´ıch moˇznost´ı, jak odhadovat error-correction model, se zab´ yvali Granger & Engle (1987), kteˇr´ı zavedli dvoukrokovou metodu odhadu. Tato metoda má vˇsak omezuj´ıc´ı pˇredpoklad existence jediného kointegraˇcn´ıho vztahu. Vyjdeme z tvaru, kter´ y jsme zavedli v (3.1) pro n-rozmˇern´ y náhodn´ y proces {Y t } = {(Y1,t , . . . , Yn,t )}. V prvn´ım kroku se provede odhad kointegraˇcn´ıho vektoru metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u v modelu n X δiYi,t + et . Y1,t = i=2


44

ˆ = (1, −δˆ2 , . . . , −δˆn )., kter´ Dostaneme tak odhad parametru β v modelu (3.1) jako β y je znormovan´ y vzhledem k prvn´ı sloˇzce. V druhém kroku pouˇzijeme tento odhad v EC modelu a metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u dostaneme odhad ostatn´ıch parametr˚ u modelu. Tento odhad je konzistentn´ı, avˇsak pro koneˇcné v´ ybˇery nastává problém s vych´ ylen´ım odhadu. Tento problém je podrobnˇeji popsán v Banerjee a kol. (1993, kap. 7.4) vˇcetnˇe provedené Monte Carlo studie. V prvn´ım kroku tohoto odhadu se vyuˇz´ıvá tzv. kointegraˇcn´ı regrese, kterou se zab´ yváme v ˇcásti 4.4. Zde je také podrobnˇejˇs´ı shrnut´ı problém˚ u souvisej´ıc´ıch s odhadem. Engle-Grangerovou dvoukrokovou metodou se nebudeme dále podrobnˇe zab´ yvat, detaily jsou obsaˇzeny v diplomové práci Bittner (2005, kap. 4.1.2) nebo také v Banerjee a kol. (1993, kap. 5.6). Obecnˇe je vhodnˇejˇs´ı zaˇc´ıt anal´ yzu dat s modelem v´ıcerozmˇern´ ym, kter´ y umoˇzn ˇuje modelovat v´ıce kointegraˇcn´ıch vztah˚ u. Z praktického pohledu je kointegraˇcn´ı regrese vyuˇz´ıvána v residual based testech kointegrace, o kter´ ych se zm´ın´ıme v ˇca´sti 4.4.

4.2.2

Odhad error-correction modelu a testov´ an´ı kointegrace Johansenovou procedurou

Johansenova procedura je zaloˇzena na odhadu modelu metodou maximáln´ı vˇerohodnosti. Umoˇzn ˇuje odhadovat nˇekolik lineárnˇe nezávisl´ ych kointegraˇcn´ıch vektor˚ u. Dále ji lze také vyuˇz´ıt k testován´ı ˇra´du kointegrace. Pro model (4.6) je ilustrována Johansenova procedura v Juráˇska (2007, kap. 3.2). Zde si uvedeme základn´ı kroky Johansenovy procedury pro reparametrizaci (3.1) s uvaˇzovan´ ym deterministick´ ym ˇclenem ΦD t , která je kompletnˇe shrnuta v Johansen (1995, kap. 6.1). Z tohoto zdroje také vycház´ıme v této práci. Srovnán´ım s Juráˇska (2007) lze vidˇet velkou podobnost v Johansenovˇe proceduˇre pro oba typy reparametrizaci. Uvaˇzujeme n-rozmˇern´ y I(1) proces {Y t , t ∈ Z, t ≥ −p + 1} pro nˇejaké p ≥ 2 takové, ˇze Y −p+1 , . . . , Y 0 jsou dané poˇcáteˇcn´ı hodnoty a Y t , t = 1, . . . , T jsou generovány error-correction modelem ˇrádu p ∆Y t = ΠY t−1 +

p−1 X

Γi ∆Y t−i + ΦD t + εt ,

(4.11)

i=1

kde εt je gaussovsk´ y b´ıl´ y ˇsum s nulovou stˇredn´ı hodnotou a pozitivnˇe definitn´ı varianˇcn´ı matic´ı Σε . Dále (Π, Γ1 , . . . , Γp−1 , Φ, Σε ) jsou parametry modelu. Deterministick´ y ˇclen D t m˚ uˇze obsahovat napˇr´ıklad konstantu, lineárn´ı ˇclen nebo sezónn´ı dummy promˇenné. Pˇredpokládáme, ˇze D t je vektor velikosti m. Uˇz jsme zmiˇ novali, ˇze v pˇr´ıpadˇe kointegrovaného procesu mus´ı b´ yt matice Π singulárn´ı o hodnosti rank[Π] = r < n a lze ji rozloˇzit na souˇcin matic α a β o hodnosti r. Pro Johansenovu proceduru tedy formulujeme nulovou hypotézu pro 0 ≤ r ≤ n jako H(r) :

rank[Π] ≤ r

nebo Π = αβ 0 ,

(4.12)


45

kde α a β jsou n × r rozmˇerné matice ˇrádu r. Vˇsimnˇeme si, ˇze model H(r) je podmodelem modelu (4.11). Nulovou hypotézu uvaˇzujeme bud’ proti alternativˇe H1 (r) : rank[Π] > r nebo H2 (r) : rank[Π] = r + 1. Uˇz jsme také zmiˇ novali nejednoznaˇcnost odhadu matic α a β kointegraˇcn´ıho vztahu vzhledem k lineárn´ı kombinaci odhadnut´ ych kointegraˇcn´ıch vektor˚ u. Mˇejme na pamˇeti, ˇze Johansenovou procedurou odhadneme vektorov´ y prostor, kter´ y je urˇcen lineárnˇe nezávisl´ ymi sloupci kointegraˇcn´ı matice β. Tomu prostoru se také ˇr´ıká kointegraˇcn´ı prostor. Pro dalˇs´ı potˇreby si zavedeme oznaˇcen´ı Z 0,t = ∆Y t , Z 1,t = Y t−1 a Z 2,t = (∆Y 0t−1 , . . . , ∆Y 0t−p+1 , D 0t )0 a Ψ = (Γ1 , . . . , Γp−1 , Φ). Vektor Z 2,t má délku n(p − 1) + m a matice Ψ má rozmˇery n × n(p − 1) + m. Pomoc´ı tˇechto promˇenn´ ych lze model pˇrepsat do tvaru: Z 0,t = αβ 0 Z 1,t + ΨZ 2,t + εt ,

t = 1, . . . , T .

(4.13)

Primárnˇe se zaj´ımáme o odhad parametr˚ u α a β. Pokus´ıme se tedy nejprve eliminovat matici parametr˚ u Ψ. Pouˇzijeme k tomu regresn´ıho modelu, kde vysvˇetlujeme Z 0,t − αβ 0 Z 1,t pomoc´ı Z 2,t pˇri fixn´ıch parametrech α, β a Σε . Nejprve provedeme regresi Z 0,t na Z 2,t , ˇc´ımˇz dostaneme rezidua R0,t , a regresi Z 1,t na Z 2,t a z´ıskáme tak rezidua R1,t . P Pˇri oznaˇcen´ı M i,j = T −1 Tt=1 Z it Z 0jt , i, j = 0, 1, 2 lze zmiˇ nované reziduáln´ı sloˇzky z´ıskané metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u zapsat jako Ri,t = Z i,t − M i,2 M −1 2,2 Z 2,t

i = 0, 1 .

(4.14)

V dalˇs´ım kroku zap´ıˇseme regresn´ı rovnici s vyuˇzit´ım odvozen´ ych rezidu´ı: R0,t = αβ 0 R1,t + εt ,

t = 1, . . . , T .

(4.15)

Dosazen´ım v´ yrazu (4.14) do rovnice (4.15) dostáváme po pˇreuspoˇrádán´ı ˇclen˚ u: −1 Z0,t = (M 0,2 M −1 2,2 − αβM 1,2 M 2,2 )Z 2,t + αβZ 1,t + εt .

(4.16)

Dostáváme tak odhad matice parametr˚ u Ψ (jako funkci parametr˚ u α a β): −1 ˆ Ψ(α, β) = M 0,2 M −1 (4.17) 2,2 − αβM 1,2 M 2,2 . Rovnice (4.15) b´ yvá nˇekdy naz´ yvána jako regrese redukovaného hodnosti (v anglickém originále reduced rank regression). K odhadu parametr˚ u α a β z rovnice (4.15) pouˇzijeme vˇerohodnostn´ı funkci, která je koncentrovaná vzhledem k parametr˚ um Ψ. Tato vˇerohodnostn´ı funkce je tvaru T n 1X o 0 − T2 L(α, β, Σε ) ∝ |Σε | exp − (R0,t − αβ 0 R1,t )0 Σ−1 (R − αβ R ) (4.18) 0,t 1,t ε 2 t=1 ∝ |Σε |

− T2

n

T io 1 h −1 X exp − tr Σε (R0,t − αβ 0 R1,t )(R0,t − αβ 0 R1,t )0 . 2 t=1


46

Uvaˇzujme oznaˇcen´ı S i,j S i,j = T

−1

T X

Ri,t R0j,t = M i,j − M i,2 M −1 2,2 M 2,j ,

i, j = 0, 1 .

t=1

Pro dané β nen´ı obt´ıˇzné z´ıskat odhady pro α a Σε : ˆ α(β) = S 0,1 β(β 0 S 1,1 β)−1

(4.19)

ˆ ε (β) = S 0,0 − S 0,1 β(β 0 S 1,1 β)−1 β 0 S 1,0 Σ 0 0 ˆ ˆ = S 0,0 − α(β)(β S 1,1 β)−1 α(β) .

(4.20)

ˆ Lze ovˇeˇrit, ˇze maxα L(α, β, Σε ) = L(α(β), β, Σε ) nezávisle na Σε . Pak plat´ı ˆ ˆ β, Σε ) = L(α(β), ˆ maxΣε L(α, β, Σε (β)). Za pouˇzit´ı uveden´ ych odhad˚ u dostáváme ˆ ε (β)) ∝ |Σ ˆ ε (β)|−T /2 . Problém maximalizace této vˇerohodnostn´ı funkce ˆ L(α(β), β, Σ je ekvivalentn´ı s minimalizaˇcn´ım problémem min |S 0,0 − S 0,1 β(β 0 S 1,1 β)−1 β 0 S 1,0 | . β

(4.21)

Vyuˇzijeme-li rozklad ¯ ¯ ¯ S 0,0 ¯ S β 0,1 0 −1 ¯ 0 ¯ 0 ¯β S 0,1 β S 1,1 β ¯ = |S 0,0 ||β (S 1,1 − S 1,0 S 0,0 S 0,1 )β| = |β 0 S 1,1 β||S 0,0 − S 0,1 β(β 0 S 1,1 β)−1 β 0 S 1,0 | , lze u ´lohu (4.21) pˇrepsat jako 0 min |β 0 (S 1,1 − S 1,0 S −1 0,0 S 0,1 )β|/|β S 1,1 β| . β

(4.22)

Johansen (1995) ukazuje, ˇze (4.22) lze vyˇreˇsit pomoc´ı vyˇreˇsen´ı problému vlastn´ıch ˇc´ısel v rovnici |λS 1,1 − S 1,0 S −1 (4.23) 0,0 S 0,1 | = 0 . ˆ1 > . . . > λ ˆ n ≥ 0 a k nim pˇr´ısluˇsné vlastn´ı Vyˇreˇsen´ım z´ıskáme vlastn´ı ˇc´ısla 1 > λ 0 ˆ n ), které jsou znormovány podm´ınkou Vˆ S 1,1 Vˆ = I. Za vektory Vˆ = (ˆ v1, . . . , v platnosti hypotézy (4.12) Johansenovou procedurou z´ıskáme odhad kointegraˇcn´ıch vztah˚ u jako ˆ = (ˆ ˆr) . β v1, . . . , v (4.24) Pˇri uvedené normalizaci dostáváme také odhady ˆ. ˆ = S 0,1 β α ˆβ ˆ 0 S 1,0 . ˆ ε = S 0,0 − S 0,1 β Σ V Johansen (1995, kap. 13) je dokázána konzistence tˇechto odhad˚ u a jsou odvozeny jejich asymptotická rozdˇelen´ı.


47

Testov´ an´ı kointegrace pomˇ erem vˇ erohodnost´ı Johansenova procedura vede na dva typy testov´ ych statistik k testován´ı nulové hypotézy (4.12), ˇze existuje alespoˇ n r, 0 ≤ r < n lineárnˇe nezávisl´ ych kointegraˇcn´ıch vektor˚ u. K jejich odvozen´ı vyuˇz´ıváme maximalizovanou vˇerohodnostn´ı funkci, která má pro zmiˇ nované odhady tvar: L−2/T max

∝ |S 0,0 |

r Y

î) . (1 − λ

(4.25)

i=1

ˆ1 > . . . > λ ˆ n ≥ 0 a pˇr´ısluˇsn´ Máme k dispozici odhad vˇsech n vlastn´ıch ˇc´ısel 1 > λ ych vlastn´ıch vektor˚ u a vˇerohodnostn´ım pomˇerem testujeme, kolik z nich je nulov´ ych. Vˇsimnˇeme si, ˇze máme posloupnost model˚ u H(0) ⊂ . . . ⊂ H(r) ⊂ . . . ⊂ H(p). Vezmeme-li maximalizovanou vˇerohodnostn´ı funkci pro kaˇzdé r a vydˇel´ıme jej pˇr´ısluˇsn´ ym vyjádˇren´ım pro r = n, dostaneme test pomˇerem vˇerohodnostn´ı ve tvaru Q î) |S 0,0 | ri=1 (1 − λ −2/T Q(H(r)|H(n)) ∝ . Qn î) |S 0,0 | i=1 (1 − λ Po zlogaritmován´ı dojdeme k tzv. trace statistice −2 ln Q(H(r)|H(p)) = −T

n X

î) ln (1 − λ

i=r+1

Obdobnˇe lze zkonstruovat vˇerohodnostn´ı pomˇer pro modely H(r) a H(r + 1), ˇc´ımˇz lze z´ıskat tzv. λ-max statistiku. Shrneme si zde pouˇzit´ı tˇechto statistik k testován´ı kointegrace. Trace test vyuˇz´ıváme k testován´ı hypotézy H(r) : rank[Π] ≤ r proti alternativˇe H1 (r) : rank[Π] > r. Konkrétnˇe aplikujeme statistiku λtrace = −T

n X

î) , ln (1 − λ

(4.26)

i=r+1

ˆ r+1 , . . . , λ ˆ n je n−r nejmenˇs´ıch vlastn´ıch ˇc´ısel, která jsme odvodili v Johansenovˇe kde λ proceduˇre. λ-max test (nˇekdy naz´ yvan´ y test nejvˇetˇs´ıho vlastn´ıho ˇc´ısla) vyuˇz´ıváme k testován´ı hypotézy H(r) : rank[Π] ≤ r proti alternativˇe H2 (r) : rank[Π] = r + 1. K tomuto u ´ˇcelu aplikujeme statistiku ˆ r+1 ) , λmax = −T ln (1 − λ

(4.27)


48

ˆ r+1 je r + 1. nejvˇetˇs´ı vlastn´ı ˇc´ıslo. kde λ Asymptotické rozdˇelen´ı tˇechto statistik jsou uvedeny v Johansen (1995, kap. 15). Je ukázáno, ˇze nemaj´ı standardn´ı χ2 rozdˇelen´ı, ale ˇze asymptotické rozdˇelené je funkc´ı v´ıcerozmˇerného Wienerova procesu, a také ˇze oba testy nejsou asymptoticky závislé na pˇrebyteˇcn´ ych parametrech. Kritické hodnoty jsou tabelovány napˇr´ıklad v Banerjee a kol. (1993, str. 269). Pˇri testován´ı postupnˇe za r vol´ıme hodnoty n − 1, . . . , 0 a porovnáváme hodnotu testové statistiky s pˇr´ısluˇsn´ ymi kritick´ ymi hodnotami. Poznamenejme, ˇze v praxi je potˇreba zvolit tvar deterministického ˇclenu podle toho, zda náhodn´ y proces Y t obsahuje deterministick´ y ˇci lineárn´ı trend a zda je v kointegraˇcn´ım vztahu pˇr´ıtomna konstanta nebo lineárn´ı trend. Pˇet nejˇcastˇeji pouˇz´ıvan´ ych tvar˚ u deterministického ˇclenu je shrnuto v Johansen (1995, kap. 5.7).

4.2.3

Volba d´ elky zpoˇ zdˇ en´ı p

Opˇet vzniká otázka, jak volit délku zpoˇzdˇen´ı p v modelu (4.11), resp. VAR(p) modelu (4.7), jehoˇz vztah s error-correction modelem jsme si ilustrovali. Obdobnˇe jako u ADF test˚ u jednotkového koˇrene je jednou z moˇznost´ı pouˇzit´ı informaˇcn´ıch kritéri´ı. Hledáme minimáln´ı hodnotu funkce, kterou dané kritérium vyuˇz´ıvá. Pro testován´ı v tomto pˇr´ıpadˇe b´ yvaj´ı pouˇz´ıvány: • Akaikeho informaˇcn´ı kritérium (AIC) ˜ ε (m)| + 2 mn2 , AIC(m) = ln |Σ T

m = 0, . . . , M ,

• Schwarzovo informaˇcn´ı kritérium (SC) ˜ ε (m)| + ln T mn2 , SC(m) = ln |Σ T

m = 0, . . . , M ,

• Hannan-Quinnovo informaˇcn´ı kritérium (HQ) ˜ ε (m)| + HQ(m) = ln |Σ

2 ln ln T mn2 , T

m = 0, . . . , M ,

˜ ε (m) = T −1 PT ε ˆ0t je odhad kovarianˇcn´ı matice Σε zaloˇzen´ y na rekde Σ t=1 ˆt ε zidu´ıch pˇr´ısluˇsného modelu. Velikost v´ ybˇeru znaˇc´ıme T . Pouˇzit´ım pˇr´ısluˇsného kritéria zvol´ıme za ˇra´d modelu takové m, pro které je hodnota kriteriáln´ı funkce minimáln´ı. V´ıce podrobnost´ı o tˇechto kritéri´ıch je k nalezen´ı v L¨ utkepohl (2005, kap. 4.3.2). Je zde ukázána konzistence HQ a SC kritéria, AIC odhad nen´ı konzistentn´ı (asymptoticky nadhodnocuje skuteˇcn´ y ˇrád).


4.2.4

49

Line´ arn´ı omezen´ı na β

Johansen (1995) se v kapitole 7.2 zab´ yvá odhadem a testován´ım modelu (4.11) v situaci, kdy máme definovány nˇejaká lineárn´ı omezen´ı na matici β. Vycház´ı z modelu (4.11) a uvaˇzuje nulovou hypotézu H0 : β = Hϕ pro nˇejakou známou matici H rozmˇeru n×s, ϕ je s×r rozmˇerná matice parametr˚ u. Matice omezen´ı H m˚ uˇze b´ yt dána napˇr´ıklad urˇcit´ ymi teoretick´ ymi pˇredpoklady. Odhad a testován´ı je zaloˇzeno na metodˇe maximáln´ı vˇerohodnosti jako v Johansenovˇe proceduˇre, kterou jsme uvedli v´ yˇse. Zachováme-li znaˇcen´ı, které jsme zavedli v ˇca´sti 4.2.2, dostaneme v´ ysledky, které jsou shrnuty a dokázány v Johansen (1995, vˇeta 7.2). Za platnosti hypotézy H0 : β = Hϕ nalezneme maximálnˇe vˇerohodn´ y odhad β pomoc´ı regrese redukované hodnosti, kde vysvˇetlujeme ∆Y t pomoc´ı H 0 Y t−1 upravenou o zpoˇzdˇené diference a dummy promˇenné. Bud’me konkrétn´ı. Nejprve najdeme ˇreˇsen´ı |λH 0 S 1,1 H − H 0 S 1,0 S −1 (4.28) 0,0 S 0,1 H| = 0 , pro vlastn´ı ˇc´ısla 1 > λ∗1 > . . . > λ∗s ≥ 0 a k nim pˇr´ısluˇsné vlastn´ı vektory V = (v 1 , . . . , v s ), které jsou znormalizovány podm´ınkou V 0 H 0 S 1,1 HV = I. Dostáváme odhad ˆ = H 0ϕ ˆ = (v 1 , . . . , v r ) a β ˆ. ϕ (4.29) ˆ Odhad ostatn´ıch parametr˚ u se provede metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u pˇri β = β. K testován´ı podmodelu H0 v H(r) se vyuˇz´ıvá test pomˇerem vˇerohodnost´ı Q(H0 |H(r)) tvaru r n 1 − λ∗ o X i −2 ln Q(H0 |H(r)) = T ln , (4.30) ˆ 1 − λi i=1

kter´ y má asymptotické rozdˇelen´ı

χ2r(n−s) .

V citovaném zdroji jsou shrnuty dalˇs´ı typy omezen´ı na kointegraˇcn´ı matici β. Vˇsechny uvaˇzované typy lze analyzovat metodou maximáln´ı vˇerohodnosti. T´ımto postupem lze testovat hypotézy typu: H1 : β = (H 1 , ψ),

H 1 (n × r1 ), ψ(n × r2 ),

r = r1 + r2

(4.31)

a H2 : β = (H 2 ϕ, ψ), H 2 (n × s), ϕ(s × r1 ), ψ(n × r2 ), r = r1 + r2 , r1 ≤ s ≤ n .

4.2.5

(4.32)

Hypot´ ezy na parametr α a podm´ınˇ en´ y model

V pˇredchoz´ıch sekc´ıch jsme si ukázali pln´ y vektorov´ y error-correction model, kter´ y se pro n-rozmˇern´ y proces {Y t } skládá z n rovnic. V nˇekter´ ych situac´ıch se zaj´ımáme o


50

skuteˇcnost, zda lze pˇrej´ıt k redukovanému systému, kter´ y nemus´ı obsahovat vˇsechny parametry plného modelu, pˇriˇcemˇz nechceme ztratit ˇza´dnou informaci ze zbytku systému. Primárnˇe bychom chtˇeli modelovat endogenn´ı promˇenné s vyuˇzit´ım exogenn´ıch promˇenn´ ych. V této kapitole si ukáˇzeme rozklad plného modelu na model podm´ınˇen´ y a margináln´ı. Korektnˇe lze k podm´ınˇenému modelu pˇrej´ıt pouze za pˇredpoklad˚ u slabé exogenity. Pop´ıˇseme si tyto souvislosti a také se zm´ın´ıme o testován´ı slabé exogenity pomoc´ı restrikc´ı na parametr α. Kompletnˇe je problematika popsána v Johansen (1995, kap. 8), ze které zde vycház´ıme. Uvaˇzujme model (4.11) s ˇra´dem kointegrace r a rozdˇelme modelovan´ y proces na 0 0 0 dvˇe ˇcásti Y t = (Y 1,t , Y 2,t ) , kde Y 1,t je rozmˇeru n1 a Y 2,t je rozmˇeru n2 , n1 +n2 = n. u: Obdobnˇe rozdˇel´ıme vektor chyb εt = (ε01,t , ε02,t )0 a pˇr´ısluˇsné matice parametr˚ · ¸ · ¸ · ¸ α1 Γ Φ1 α= , Γj = 1,j , j = 1, . . . , p − 1 , Φ = . α2 Γ2,j Φ2 Za pouˇzit´ı tohoto rozkladu lze model (4.11) rozepsat ve tvaru 0

∆Y 1,t = α1 β Y t−1 +

p−1 X

Γ1,i ∆Y t−i + Φ1 D t + ε1,t ,

(4.33)

Γ2,i ∆Y t−i + Φ2 D t + ε2,t ,

(4.34)

i=1 p−1

∆Y 2,t = α2 β 0 Y t−1 +

X i=1

kde εt ∼ i. i. d. N (0, Σε ). Opˇet rozdˇelme varianˇcn´ı matici v souladu s rozdˇelen´ım vektoru Y t : · ¸ Σ1,1 Σ1,2 Σε = . Σ2,1 Σ2,2 Johansen ukazuje, ˇze model (4.11) lze pˇrepsat jako margin´ aln´ı model pro Y 2,t dan´ y vztahem (4.34) a podm´ınˇený model pro ∆Y 1,t pˇri dan´ ych souˇcasn´ ych a zpoˇzdˇen´ ych hodnotách ∆Y 2,t tvaru ∆Y 1,t = ω∆Y 2,t + (α1 − ωα2 )β 0 Y t−1 +

p−1 X

˜ 1,i ∆Y t−i + Φ ˜ 1Dt + ε ˜1,t , Γ

(4.35)

i=1

˜ ˜ ˜1,t = ε1,t − ωε2,t . Varianˇcn´ı kde ω = Σ1,2 Σ−1 2,2 , Γ1,i = Γ1,i − ωΓ2,i , Φ1 = Φ1 − ωΦ2 a ε −1 ˜ matice ˇclenu ε1,t má tvar Σ11·2 = Σ1,1 −Σ1,2 Σ2,2 Σ2,1 . Vˇsimnˇeme si, ˇze v margináln´ım i podm´ınˇeném modelu vystupuje parametr β. Z tohoto d˚ uvodu bychom mˇeli pro z´ıskán´ı eficientn´ıho odhadu parametru β pouˇz´ıvat oba modely. Pokud bychom analyzovali pouze (4.35), mohl by nastat problém se ztrátou informace pˇri zanedbán´ı modelu (4.34). Nicménˇe existuje situace, kdy obsahuje podm´ınˇen´ y model plnou informaci o kointegraˇcn´ıch vztaz´ıch. Jedná se o situaci, kdy je Y 2,t slabˇe exogenn´ı pro parametr (β, α1 ). Johansen zformuloval následuj´ıc´ı postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku pro eficientn´ı odhad v podm´ınˇeném modelu.


51

Vˇ eta 4.1. Uvaˇzujme rozklad modelu (4.11) na margin´ aln´ı model (4.34) a podm´ınˇený model (4.35). Jestliˇze α2 = 0, potom je proces Y 2,t slabˇe exogenn´ı vzhledem k parametru (β, α1 ) a maximálnˇe vˇerohodný parametr˚ u β a α1 m˚ uˇze být zkonstruován na základˇe podm´ınˇeného modelu (4.35). D˚ ukaz. Je uveden v Johansen (1995, Vˇeta 8.1). V prvn´ı ˇca´sti je ukázáno, ˇze parametry β a α1 jsou funkc´ı pouze parametr˚ u podm´ınˇeného modelu, a tud´ıˇz X 2,t je slabˇe exogenn´ı vzhledem k tˇemto parametr˚ um. V dalˇs´ı ˇca´sti d˚ ukazu se ukáˇze, ˇze maximálnˇe vˇerohodn´ y odhad parametr˚ u β a α1 je v podm´ınˇeném modelu za pˇredpokladu slabé exogenity stejn´ y jako odhad v plném modelu (4.11). Podrobnˇeji se problematikou zab´ yvá ˇclánek Johansen (1992a), kde je uvaˇzována obecnˇejˇs´ı konstrukce podm´ınˇeného modelu. Velmi zaj´ımav´ y je pro nás pˇr´ıpad, kdy n1 = 1. Pak lze za pˇredpoklad˚ u exogenity pˇrej´ıt aˇz na model jednorovnicov´ y. Tˇemito modely se pro kointegrované procesy zab´ yváme v kapitolách 4.4 a 4.5. Existuje velmi u ´zk´ y vztah mezi error-correction modely a autoregressive distributed lags modely, kter´ y v dané kapitole ilustrujeme. Z vˇety 4.1 vypl´ yvá, ˇze chceme-li testovat, zda je podmnoˇzina promˇenn´ ych slabˇe exogenn´ı pro parametry dlouhodobého vztahu, lze to provést testován´ım omezen´ı zátˇeˇzové matice α. V ˇcásti 4.2.2 jsme se zab´ yvali testován´ım hypotézy, ˇze matici Π lze rozloˇzit na n × r rozmˇerné matice parametr˚ u β a α. Nyn´ı chceme v modelu H(r) z uvedené ˇca´sti testovat hypotézu H∗0 : α = Aψ ,

(4.36)

kde A je známá matice rozmˇeru n × m a ψ je m × r rozmˇerná matice parametr˚ u (m ≥ r). Vˇsimnˇeme si, ˇze v pˇr´ıpadˇe, kdy A = (I, 0)0 , testujeme hypotézu slabé exogenity vektoru Y 2,t pro parametry (β, α1 ), které nás zaj´ımaj´ı. Hypotézu H∗0 lze také pˇreformulovat ve formˇe1 A0⊥ α = 0. Odvozen´ı maximálnˇe vˇerohodného odhadu je technickou záleˇzitost´ı, kterou zde nen´ı moˇzno ilustrovat. Pˇri odvozen´ı jsou vyuˇz´ıvány obˇe matice, A i A⊥ . Kompletn´ı postup je uveden v Johansen (1995, kap. 8.2). V´ ysledkem je opˇet odhad parametru β za platnosti nulové hypotézy H∗0 pomoc´ı vlastn´ıch vektor˚ u a testován´ı podmodelu H∗0 v modelu H(r) vˇerohodnostn´ım pomˇerem. Testová statistika −2 ln Q(H∗0 |H(r)) má v tomto pˇr´ıpadˇe stejn´ y tvar jako (4.30) s asymptotick´ ym rozdˇelen´ım χ2r(n−m) , avˇsak je potˇreba pouˇz´ıt vlastn´ı ˇc´ısla λ∗i z ˇreˇsen´ı problému vlastn´ıch ˇc´ısel v modelu H∗0 . V pˇr´ıpadˇe, kdy A = (1, 0, . . . , 0)0 je vektor délky n, testujeme hypotézu, zda je moˇzné pˇrej´ıt k modelu jednorovnicovému bez ztráty eficience. Velmi zaj´ımavé 1

Mˇejme matici n × m rozmˇernou matici A, která má hodnost m, 0 < m < n. Symbolem A⊥ znaˇc´ıme ortogon´ aln´ı doplnˇek matice A, pro kter´ y plat´ı: • A⊥ je matice rozmˇeru n × (n − m) a má hodnost n − m, • A0⊥ A = 0, A0 A⊥ = 0 .


52

vlastnosti má jednorovnicov´ y autoregressive distributed lags model, kter´ y detailnˇeji analyzujeme v ˇca´sti 4.5.

4.3

Triangular reprezentace

Dalˇs´ı modelem, kter´ y pouˇz´ıvali nˇekteˇr´ı autoˇri v kointegraˇcn´ı anal´ yze, je tzv. triangular reprezentace. S t´ımto modelem pracuje napˇr´ıklad Phillips (1991) nebo Park & Phillips (1988) a Park & Phillips (1989). Mˇejme n-rozmˇern´ y I(1) proces {Y t } a (1) stacionárn´ı proces εt ∼ W N (0, Σε ). Rozdˇel´ıme vektor Y t na dva podvektory Y t a (2) Y t dimenz´ı n1 a n2 , pˇriˇcemˇz plat´ı n1 + n2 = n, n1 ∈ N, n2 ∈ N. Stejnˇe rozdˇel´ıme také vektor εt . Triangular reprezentace kointegrovaného systému má pak tvar ) (1) (2) (1) Y t = BY t + εt , (4.37) (2) (2) ∆Y t = εt , kde B je matice koeficient˚ u rozmˇeru n1 × n2 . Pˇredpokládáme, ˇze mezi n2 sloˇzkami Y 2t neexistuje kointegraˇcn´ı vztah. Triangular reprezentace je v tomto pˇr´ıpadˇe nor(1) malizována vzhledem k Y t , reparametrizac´ı lze doc´ılit jiné normalizace. Jednou z moˇznost´ı, jak model odhadnout, je pouˇzit´ı metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. Tento postup je kompletnˇe popsán v Park & Phillips (1988) jak pro model (4.37), tak pro jeho rozˇs´ıˇren´ı o konstantn´ı ˇclen a lineárn´ı trend. Asymptotické rozdˇelen´ı je odvozeno pomoc´ı v´ıcerozmˇerné funkcionáln´ı centráln´ı limitn´ı vˇety a má tvar funˆ je superkonzistentn´ı (OLS kcionálu v´ıcerozmˇerného Wienerova procesu. Odhad B ˆ konverguje ke skuteˇcné hodnotˇe B rychlost´ı T m´ısto bˇeˇzné konzistence odhad B √ T ), avˇsak asymptotické rozdˇelen´ı je ovlivnˇeno zahrnut´ım konstantn´ıho ˇclenu ˇci lineárn´ıho trendu a pˇr´ıtomnost´ı autokorelace v chybovém ˇclenu. Jednou z moˇznost´ı, jak se aspoˇ n ˇca´steˇcnˇe vyhnout zmiˇ novan´ ym problém˚ um je pouˇzit´ı tzv. fully modified metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u (nˇekdy se znaˇc´ı FM-OLS), kdy aplikujeme neparameˆ Tato metoda je popsána v Maddala & Kim (1998, trickou korekci na OLS odhad B. kap. 5.4.1), zde se j´ı nebudeme podrobnˇe zab´ yvat. Odliˇsná metoda odhadu je uvedena Phillips (1991). Zde je k z´ıskán´ı odhadu zapojena metoda maximáln´ı vˇerohodnosti, která je aplikována na error-correction reparametrizaci modelu (4.37). Tu z´ıskáme pouˇzit´ım diference na prvn´ı rovnici v (4.37). Pak má error-correction model tvar ∆Y t = −EAY t−1 + v t , kde

¸ In1 , E= 0

·

·

A = [In1 , −B],

¸ In1 B vt = ε . 0 I n2 t

(4.38) (4.39)


53

Tato forma error-correction modelu je odliˇsná od tˇech, které jsme zmiˇ novali v pˇredeˇslé kapitole. V´ yhody, které sk´ ytá pouˇzit´ı reparametrizace (4.38) jsou ˇsiroce diskutovány v citovaném ˇclánku. Autor poukazuje na moˇznosti, které dává speciáln´ı parametrická forma chybového vektoru v t a také na zp˚ usob, jak je v tomto modelu ˇreˇsena krátkodobá dynamika. Pˇredpokládejme, ˇze v t ∼ N (0, Ω), kde Ω je pozitivnˇe definitn´ı matice. Rozdˇelme tuto matici v souladu s dˇelen´ım vektoru Y t na · ¸ Ω1 Ω021 n1 Ω= Ω21 Ω2 n2 a definujme Ω11·2 = Ω11 − Ω12 Ω−1 z´ıvána logaritmická 22 Ω21 . K odhadu je vyuˇ vˇerohodnostn´ı funkce T

ln L(B, Ω) ∝ −

T 1X ln |Ω| − (∆Y t + EAY t−1 )0 Ω−1 (∆Y t + EAY t−1 ) (4.40) 2 2 t=1

Za pouˇzit´ı rozpisu matice Ω lze zapsat (4.40) jako sumu podm´ınˇené logaritmické vˇerohodnostn´ı funkce T ´0 1 X ³ (1) T (2) (2) · (4.41) Y t −BY t−1 − Ω12 Ω−1 ∆Y − ln |Ω11·2 | − t 22 2 2 t=1 ³ ´ (1) (2) (2) −1 Y − BY − Ω Ω ∆Y · Ω−1 12 22 t t t−1 11·2

a margináln´ı vˇerohodnostn´ı funkce T

T 1X (2) (2) − ln |Ω22 | − ∆Y t 0 Ω−1 22 ∆Y t . 2 2 t=1

(4.42)

Vzhledem k vlastnostem triangular reprezentace nezávis´ı (4.42) na matici B a proto k odhadu kointegraˇcn´ı vztahu staˇc´ı vyuˇz´ıt (4.41). V´ ysledn´ y odhad matice B metodou maximáln´ı vˇerohodnosti je ekvivalentn´ı s odhadem metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u v lineárn´ım modelu (2) (2) (1) (4.43) Y t = BY t−1 + C∆Y t + v 1·2t , (1)

(2)

−1 e notaci jsme vyuˇzili rozkladu kde C = Ω12 Ω−1 22 a v 1·2t = v t −Ω12 Ω22 v t . V uveden´ (2) (1) y odpov´ıdá rozdˇelen´ı vektoru Y t na dvˇe ˇca´sti. vektoru v t na v t a v t , kter´ Detaily t´ ykaj´ıc´ı se odhadu, vˇcetnˇe asymptotick´ ych vlastnost´ı, jsou kompletnˇe popsány v Phillips (1991). Pˇrestoˇze má triangular reprezentace mnohé zaj´ımavé vlastnosti, vyuˇz´ıvá se k anal´ yze kointegraˇcn´ıch vztah˚ u sp´ıˇse vektorov´ y errorcorrection model, kter´ ym jsme se zab´ yvali v kapitole 4.2.


4.4

54

Statick´ y regresn´ı model kointegrovan´ ych veliˇ cin

Uvaˇzujme n + 1-rozmˇern´ y náhodn´ y proces {X t } = {(Yt , Z 0t )0 }, kter´ y je CI(1, 1). Rozloˇz´ıme jej na n-rozmˇern´ y vektor Z t a jednorozmˇern´ y Yt . Jedn´ım z pˇr´ıstup˚ u modelován´ı kointegrovan´ ych ˇcasov´ ych ˇrad je pouˇzit´ı statického regresn´ıho modelu tvaru Yt = β 0 Z t + εt ,

(4.44)

y model nevyuˇz´ıvá zpoˇzdˇen´ ych promˇenn´ ych (nakde εt ∼ WN(0, σε2 ). Tento statick´ rozd´ıl od dynamického, kter´ y uvaˇzujeme v dalˇs´ı sekci). Krátce se o problematice pouˇzit´ı tohoto modelu zm´ınil Bittner (2005). O problému zdánlivé regrese, kter´ y nastává v pˇr´ıpadˇe, kdy mezi vyˇsetˇrovan´ ymi veliˇcinami neexistuje kointegraˇcn´ı vztah, jsme se uˇz zmiˇ novali. Avˇsak v pˇr´ıpadˇe, kdy kointegraˇcn´ı vztah existuje, lze tento model pouˇz´ıt. Jeho hlavn´ı omezen´ı spoˇc´ıvá v tom, ˇze je to model jednorovnicov´ y, a tud´ıˇz umoˇzn ˇuje modelovat pouze jeden kointegraˇcn´ı vztah. V´ıme, ˇze v pˇr´ıpadˇe n-rozmˇerného modelu, kde n > 2, m˚ uˇze existovat v´ıce kointegraˇcn´ıch vektor˚ u. Pˇredpoklad existence jediného kointegraˇcn´ıho vztahu v tomto pˇr´ıpadˇe vede k neeficientn´ımu odhadu, nebot’ m˚ uˇzeme dostat pouze jednu lineárn´ı kombinaci kointegraˇcn´ıch vektor˚ u z modelu v´ıcerozmˇerného. Nicménˇe i v situaci, kdy existuje pouze jeden kointegraˇcn´ı vektor, bylo ukázáno, ˇze je pouˇzit´ı modelu (4.44) problematické. Korektn´ı odhad dlouhodobého vztahu je moˇzn´ y pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy sloˇzky vektoru Z t jsou slabˇe exogenn´ı vzhledem k parametr˚ um modelu. Pˇri pouˇzit´ı endogenn´ıch regresor˚ u, které mohou b´ yt korelované s reziduáln´ı sloˇzkou, docház´ı ke ztrátˇe informace. Nav´ıc modelujeme pouze dlouhodob´ y vztah a krátkodobá dynamika je zahrnuta v reziduáln´ı sloˇzce. Podrobnˇeji jsou tyto problémy shrnuty v Harris (1995). Odhadujeme-li parametry modelu (4.44) metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u, dostaneme superkonzistentn´ı odhad. Tento v´ ysledek ukázal Stock (1987). I pˇresto ale docház´ı k vych´ ylen´ı odhadu pro malé v´ ybˇery [Banerjee a kol. (1993)] a je lepˇs´ı pouˇzit model dynamick´ y. Odhad má nestandardn´ı asymptotické rozdˇelen´ı (vˇetˇsinou funkce Wienerova procesu), avˇsak za pˇredpokladu slabé exogenity a dalˇs´ıch poˇzadavk˚ u na nekorelovanost rezidu´ı lze dosáhnout asymptotické normality.

Residual based test kointegrace Velmi ˇcasto b´ yvá kointegraˇcn´ı regrese (4.44) vyuˇz´ıvána v testu kointegrace zaloˇzeném na anal´ yze rezidu´ı z modelu. Proto také b´ yvaj´ı tyto testy naz´ yvány residual based testy kointegrace. Model odhadneme konzistentnˇe metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u a dostaneme εˆt = Yt − βˆ0 Z t . (4.45) Testujeme pak nulovou hypotézu nepˇr´ıtomnosti kointegrace pouˇzit´ım test˚ u na pˇr´ıtomnost jednotkového koˇrene v odhadnut´ ych rezidu´ıch εˆt . Ty povaˇzujeme za kon-


55

zistentn´ı odhad chybové sloˇzky εt . Pokud zam´ıtneme nulovou hypotézu, ˇze εˆt obsahuje jednotkov´ y koˇren, zam´ıtáme také nulovou hypotézu, ˇze mezi veliˇcinami neexistuje kointegraˇcn´ı vztah. Nejˇcastˇeji b´ yvaj´ı k testován´ı pouˇzity zobecnˇené DickeyFullerovy testy a Z-testy které navrhnul Phillips. Asymptotické vlastnosti tˇechto test˚ u vyˇsetˇroval Phillips & Ouliaris (1990). Kromˇe modelu (4.45) uvaˇzuje také kointegraˇcn´ı regresi s konstantn´ım ˇclenem µ. Vzhledem k tomu, ˇze tato problematika byla velmi komplexnˇe shrnuta a realizována na datech v diplomové práci Juráˇska (2007, kap. 3.1), nebudeme se j´ı zde dále zab´ yvat. Poznamenejme pouze, ˇze residual based testy lze aplikovat opˇet za obecn´ ych pˇredpoklad˚ u na vyˇsetˇrovan´ y v´ıcerozmˇern´ y proces, které jsou v´ıcerozmˇernou obdobou pˇredpoklad˚ u 2.1 z kapitoly o testován´ı jednotkového koˇrene v jednorozmˇerné ˇradˇe. K z´ıskán´ı asymptotick´ ych rozdˇelen´ı testov´ ych statistik se vyuˇz´ıvá v´ıcerozmˇerná funkcionáln´ı centráln´ı limitn´ı vˇeta, kterou jsme zm´ınili v ˇca´sti 1.6. Kritické hodnoty test˚ u jednotkového koˇrene v residual based testech jsou odliˇsné od kritick´ ych hodnot, které maj´ı ADF a Z-testy v kapitole 2. Kritické hodnoty závis´ı na poˇctu regresor˚ u n a na zahrnut´ı konstanty ˇci lineárn´ıho trendu. Jsou tabelovány napˇr´ıklad v Phillips & Ouliaris (1990).

4.5

ADL reprezentace

Autoregressive distributed lag modely (oznaˇcovány jako ADL modely) patˇr´ı do tˇr´ıdy dynamických lineárn´ıch regresn´ıch model˚ u. Jedná se o regresn´ı modely, které v sobˇe vedle souˇcasn´ ych hodnot vysvˇetluj´ıc´ıch a vysvˇetlované promˇenné mohou obsahovat také hodnoty zpoˇzdˇené. D´ıky obecné struktuˇre ADL model˚ u je jejich pouˇzit´ı pro anal´ yzu kointegraˇcn´ıho vztahu vhodnˇejˇs´ı neˇz pouˇzit´ı kointegraˇcn´ı regrese, kterou jsme se zab´ yvali v pˇredchoz´ı ˇca´sti. Velmi struˇcnˇe se o tˇechto modelech zm´ınil uˇz Bittner (2005). Zde si jejich souvislost s kointegrac´ı zkus´ıme probrat podrobnˇeji. Ukáˇzeme si u ´zkou souvislost s error-correction modely a pˇredpoklady pro eficientn´ı odhad kointegraˇcn´ıho vztahu. V pˇredchoz´ı sekci jsme si nast´ınili nedostatky statického regresn´ıho modelu. Nˇekteré z nich jsou odstranˇeny pouˇzit´ım zpoˇzdˇen´ ych promˇenn´ ych. Tyto modely dávaj´ı lepˇs´ı v´ ysledky pˇri testován´ı kointegrace, umoˇzn ˇuj´ı modelovat vedle dlouhodob´ ych vztah˚ u i vztahy krátkodobé, které v pˇr´ıpadˇe statické regrese byly zahrnuty v reziduáln´ı sloˇzce. Je potˇreba si uvˇedomit, ˇze se jedná také o model jednorovnicov´ y, tud´ıˇz z˚ ustává zde problematika s odhadem v´ıce kointegraˇcn´ıch vztah˚ u. V tom pˇr´ıpadˇe je nutné pouˇz´ıt model v´ıcerozmˇern´ y, napˇr. error correction model. Nicménˇe za urˇcit´ ych pˇredpoklad˚ u ohlednˇe exogenity vysvˇetluj´ıc´ıch promˇenn´ ych lze


56

tento v´ıcerozmˇern´ y systém redukovat na jednorovnicov´ y model, jak jsme vidˇeli v ˇca´sti 4.2.5. Pˇrehledné základy ADL model˚ u byly shrnuty v Hendry a kol. (1984). Uvaˇzujme n + 1 rozmˇern´ y náhodn´ y proces {X t }. Zaj´ımáme se o pˇr´ıpad, kdy je X t ∼ I(1) a mezi sloˇzkami existuje kointegraˇcn´ı vztah. Náhodn´ y vektor X t rozdˇel´ıme na dva podvektory - jednorozmˇern´ y proces Yt a n-rozmˇern´ y proces Z t = (Z1,t , . . . , Zn,t )0 . V uvedené literatuˇre je uvaˇzován velmi obecn´ y tvar ADL modelu: α(L)Yt = µ +

n X

βj (L)Zj,t + εt ,

(4.46)

j=1

kde

α(L) = 1 − α1 L − . . . − αp Lp , βj (L) = βj,0 + βj,1 L − . . . − βj,qj Lqj ,

j = 1, . . . , n .

(4.47)

n,q

j V tomto modelu jsou reálné parametry {αi }pi=1 a {βj,k }(j,k)=(1,0) , µ je konstantn´ı ˇclen 2 ˇ eji a εt ∼ WN(0, σε ). Takov´ y model b´ yvá oznaˇcován jako ADL(p, q1 , . . . , qn ). Castˇ se v literatuˇre uvaˇzuje situace, kdy q1 = . . . = qn = q. Lze tak uˇcinit bez ztráty na obecnosti, nebot’ q lze zvolit jako maximáln´ı zpoˇzdˇen´ı u Zj,. a v pˇr´ıpadˇe potˇreby mohou b´ yt nˇekteré parametry βi,j rovny Takov´ y model pak b´ yvá oznaˇcován Pnule. q i jako ADL(p, q, n). S vyuˇzit´ım βj (L) = i=0 βj,i L , j = 1, . . . , n lze model rozepsat následovnˇe:

Yt = µ + =µ+

p X

αi Yt−i +

q n X X

i=1

j=1 i=0

p X

n X

i=1

αi Yt−i +

βj,i Zj,t−i + εt

(4.48)

βj (L)Zj,t + εt .

j=1

Tyto modely maj´ı velkou v´ yhodu, ˇze je lze pˇrepsat v mnoha r˚ uzn´ ych formách pˇri zachován´ı OLS odhadu parametr˚ u a bez ovlivnˇen´ı jejich schopnosti popisovat data. V Hendry a kol. (1984, kapitola 2.6) je ukázka dev´ıti rozd´ıln´ ych model˚ u, které spadaj´ı do tˇr´ıdy ADL model˚ u. Jsou znaˇcnˇe odliˇsné v tom, jaké zpoˇzdˇené promˇenné obsahuj´ı ’me, ˇze do tˇr´ıdy ADL a jak pracuj´ı s dlouhodob´ ymi vztahy mezi veliˇcinami. PUved n model˚ u patˇr´ı napˇ r´ıkladPbˇeˇzn´ y regresn´ı model (Yt = j=1 βj Zj,t + εt ), distributed P ymi ˇcleny a také lag model (Yt = nj=1 qi=0 βj,i Zj,t−i + εt ), modely s diferencovan´ modely, kde vystupuje error correction ˇclen. Souvislost ADL(1, 1, 1) modelu s EC modelem uˇz demonstroval Bittner (2005). Zde si ukáˇzeme vztah pro obecn´ y model ADL(p, q, n) dan´ y rovnic´ı (4.46). Vyuˇzijeme analogického rozkladu operátor˚ u jako v (4.4). Pro α(L) a βj (L) definovan´ ych v (4.47) lze jednoduch´ ymi u ´pravami dostat


57

rozklady: α(L) = α(1)L + ∆α∗ (L) , ∗

kde α (L) = 1 −

p−1 X

αj∗ Lj ,

αj∗

=−

j=1

p X

αk ,

j = 1, . . . , p − 1

k=j+1

a βj (L) = βj (1)L + ∆βj∗ (L) , kde

βj∗ (L)

=

q−1 X

∗ βj,k Lk ,

∗ βj,0

= βj,0 ,

∗ βj,k

=−

k=0

q X

βj,i ,

k = 1, . . . , q − 1 .

i=k+1

Pomoc´ı tˇechto rozklad˚ u lze ADL(p, q, n) model upravit na: ∗

α (L)∆Yt = µ − α(1)Yt−1 +

n X

βj (1)Zj,t−1 +

j=1

n X

βj∗ (L)∆Zj,t + εt .

(4.49)

j=1

Toto vyjádˇren´ı lze rozepsat podrobnˇeji: ∆Yt =

p−1 X i=1

αi∗ ∆Yt−i +

q−1 n X X j=1 i=0

# n X β (1) µ j ∗ − Zj,t−1 + εt . βj,i ∆Zj,t−i − α(1) Yt−1 − α(1) j=1 α(1) "

Dostáváme tak error-correction formu ADL modelu. Jedná se o jednorovnicov´ y model, kde jsou obsaˇzeny souˇcasné a zpoˇzdˇené diferencované ˇcleny (obdobnˇe jako v EC modelu pˇredstaveném v dˇr´ıvˇejˇs´ıch kapitolách) a error-correction ˇclen # " n X βj (1) µ − Zj,t−1 = −α(1)ηt−1 , (4.50) −α(1) Yt−1 − α(1) j=1 α(1) kter´ y vyjadˇruje dlouhodob´ y rovnováˇzn´ y stav. Odchylky od dlouhodobého rovnováˇzného stavu v ˇcase t − 1 jsou v tomto pˇr´ıpadˇe vyjádˇreny ˇclenem ηt−1 . Velkou d˚ uleˇzitost v této reparametrizaci hraje ˇclen α(1), kter´ y ovlivˇ nuje rychlost v dosaˇzen´ı rovnováˇzného stavu a vyjadˇruje m´ıru odliˇsnosti mezi dlouhodob´ ymi a krátkodob´ ymi vztahy. Poznamenejme, ˇze existuj´ı dalˇs´ı reparametrizace ADL modelu, které obsahuj´ı error correction ˇclen a diferencované sloˇzky. Nˇekteré z nich jsou uvedeny v Banerjee a kol. (1993, kap. 2.4). Jedná se napˇr´ıklad o Bewleyovu transformaci a B˚ ardsenovu transformaci. Odhady parametr˚ u na základˇe tˇechto rozd´ıln´ ych transformac´ı jsou ekvivalentn´ı. To je ukázáno napˇr´ıklad v kapitole 2.6 uvedeného zdroje. U kaˇzdé transformace se zaj´ımáme o odhad dlouhodobého rovnováˇzného stavu. Oznaˇc´ıme-li θj jako dlouhodob´ y efekt, kter´ y má zmˇena v Zj na Y , dostáváme pro vˇsechny transformace vˇcetnˇe (4.49) vztah βj (1) , j = 1, . . . , n . (4.51) θj = α(1)


58

Pˇresnˇe tento v´ yraz vid´ıme u Zj,t−1 v error-correction ˇclenu (4.50). Pro errorcorrection reparametrizaci je nutné zavést pˇredpoklad, ˇze α(1) 6= 0 (poˇzadujeme, aby operátor α(L) neobsahoval jednotkové koˇreny). Dále také poˇzadujeme, aby P p cili konvergenci modelu k dlouhodobému ˇreˇsen´ı. i=1 αi < 1, abychom zaruˇ V kapitole 4.2.5 jsme ilustrovali, ˇze k pˇrechodu z plného v´ıcerozmˇerného systému k modelu ménˇe rovnicovému (v tomto pˇr´ıpadˇe jednorovnicovému) potˇrebujeme pˇredpoklad slabé exogenity na vysvˇetluj´ıc´ı promˇenné. Pak lze eficientnˇe odhadnout dlouhodob´ y kointegraˇcn´ı vztah. Samostatn´ ym ADL modelem se podrobnˇe zab´ yvaj´ı ˇclánky Pesaran & Shin (1995) a Hassler & Wolters (2006). K anal´ yze vyuˇzijeme error-correction pˇrepis ADL modelu, kter´ y jsme odvodili v rovnici (4.49). Zaj´ımáme se tedy o odhad dlouhodobého kointegraˇcn´ıho vztahu v modelu ∆Yt = µ + γYt−1 +

n X j=1

ϕj Zj,t−1 +

p−1 X i=1

αi∗ ∆Yt−i

+

q−1 n X X

∗ ∆Zj,t−i + εt , βj,i

(4.52)

j=1 i=0

kde εt ∼ WN(0, σε2 ), γ = −α(1) a ϕj = βj (1), j = 1, . . . , n, podle pˇredchoz´ıch odvozen´ı. Uvedené materiály kromˇe poˇzadavk˚ u na exogenitu Z t vzhledem k chybovému ˇclenu εt uvaˇzuj´ı pˇredpoklad, ˇze samotné I(1) regresory Z t nejsou kointegrované. V Pesaran & Shin (1995) je dokázána konzistence a asymptotické rozdˇelen´ı odhadu v modelu (4.52) metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. Za uveden´ ych pˇredpoklad˚ u dostáváme asymptoticky normáln´ı rozdˇelen´ı odhadu koeficient˚ u dlouhodobého vztahu. Jak jsme v´ yˇse uvádˇeli, odhad dlouhodobého kointegraˇcn´ıho vztahu θˆj = ϕˆj /ˆ γ , j = 1, . . . , n je shodn´ y s odhadem v jin´ ych reparametrizac´ıch ADL modelu. V pˇredchoz´ı sekci jsme zmiˇ novali vych´ ylen´ı odhadu kointegraˇcn´ı regrese pˇri koneˇcném v´ ybˇeru. Toto vych´ ylen´ı bylo zp˚ usobeno zanedbáván´ım krátkodobé dynamiky v modelu. Pouˇzit´ı ADL model˚ u je v kointegraˇcn´ı anal´ yze mnohem vhodnˇejˇs´ı, nebot’ d´ıky pˇridán´ı zpoˇzdˇen´ ych promˇenn´ ych a diferenc´ı v error-correction reparametrizaci lze pokr´ yt krátkodobou i dlouhodobou dynamiku. Opˇet je potˇreba urˇcit délky zpoˇzdˇen´ı p a q. V Pesaran & Shin (1995) je vyuˇz´ıváno informaˇcn´ıch kritéri´ı, o kter´ ych jsme se zmiˇ novali v pˇredeˇsl´ ych sekc´ıch.

4.6

Grangerova kauzalita v kointegrovan´ ych syst´ emech

ˇ Casto se zaj´ımáme o vzájemné p˚ usoben´ı mezi sloˇzkami kointegrovaného v´ıcerozmˇerného systému. Jednou z pouˇz´ıvan´ ych metod je ovˇeˇren´ı Grangerovy kauzality, kterou jsme zavedli v kapitole 1.2. Granger (1988) ukázal, ˇze pokud mezi dvˇemi I(1) promˇenn´ ymi existuje kointegraˇcn´ı vztah, pak mus´ı b´ yt alespoˇ n v jednom smˇeru kauzáln´ı p˚ usoben´ı. Bittner (2005) ilustroval anal´ yzu kauzality pouze na stacionárn´ım VAR modelu. L¨ utkepohl (2005, kap. 6.6) ukázal, ˇze pro kointegrovan´ y VAR model dostáváme stejná omezen´ı na Grangerovu nekauzalitu, jako ve stacionárn´ım pˇr´ıpadˇe.


59

Mˇejme n rozmˇern´ y I(1) proces {Y t }, kter´ y lze rozdˇelit na m rozmˇern´ y proces {Y 1,t } a n − m rozmˇern´ y proces {Y 2,t }. Pˇredpokládáme, ˇze sloˇzky procesu {Y t } jsou kointegrované a vyuˇzijeme VAR(p) zápisu · ¸ X ¸· ¸ · ¸ p · Y 1,t Φ11,i Φ12,i Y 1,t−i ε = + 1,t , (4.53) Y 2,t Φ21,i Φ22,i Y 2,t−i ε2,t i=1

kde jsou parametry rozdˇeleny ve shodˇe s Y t . Pak nen´ı obt´ıˇzné nahlédnout, ˇze Y 2,t nep˚ usob´ı kauzálnˇe na Y 1,t v Grangerovˇe smyslu právˇe tehdy, kdyˇz Φ12,i = 0 pro vˇsechna i = 1, . . . , p. Pro odpov´ıdaj´ıc´ı vektorov´ y error-correction model · ¸ · ¸· ¸ X ¸· ¸ · ¸ p−1 · ∆Y 1,t Π12 Π12 Y 1,t−1 Γ11,i Γ12,i ∆Y 1,t−i ε = + + 1,t , (4.54) ∆Y 2,t Π21 Π22 Y 2,t−1 Γ21,i Γ22,i ∆Y 2,t−i ε2,t i=1

dostaneme jednoduˇse obdobná omezen´ı. V modelu (4.54) Y 2,t nep˚ usob´ı kauzálnˇe na Y 1,t v Grangerovˇe smyslu právˇe tehdy, kdyˇz Π12 = 0 a Γ12,i = 0 pro vˇsechna i = 1, . . . , p−1. K testován´ı Grangerovy kauzality je tedy vyuˇz´ıván soubor lineárn´ıch omezen´ı. Pˇri testován´ı ve stacionárn´ım modelu lze bez problém˚ u pouˇz´ıt standardn´ı Wald˚ uv test nebo test vˇerohodnostn´ım pomˇerem. Avˇsak v pˇr´ıpadˇe kointegrovan´ ych veliˇcin se objevuj´ı potenciáln´ı problémy pˇri testován´ı, nebot’ zm´ınˇené testy nemus´ı m´ıt asymptotické rozdˇelen´ı χ2 , jako m´ıvaj´ı obvykle. Tento problém se nˇekdy ˇreˇs´ı t´ım, ˇze se k testován´ı Grangerovy kauzality pouˇz´ıvá dvourozmˇern´ y VAR proces pro kaˇzdou dvojici z v´ıcerozmˇerného systému. Tuto metodu navrhli L¨ utkepohl & Reimers (1992) a ukázali, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe Waldova statistika asymptotické rozdˇelen´ı χ2 . Autoˇri uvaˇzuj´ı dva náhodné procesy, {Yt } a {Zt }, jejichˇz diference jsou stacionárn´ı. Dále pˇredpokládaj´ı, ˇze procesy jsou generovány dvourozmˇern´ ym VAR(p) procesem · ¸ X ¸· ¸ · ¸ p · Yt Φ11,i Φ12,i Yt−i ε = + 1,t , (4.55) Zt Φ21,i Φ22,i Zt−i ε2,t i=1

kde εt = (ε1,t , ε2,t )0 je dvourozmˇern´ y b´ıl´ y ˇsum s nulovou stˇredn´ı hodnotou a varianˇcn´ı matic´ı Σε . K odhadu parametr˚ u je v ˇclánku vyuˇz´ıvána reparametrizace systému (4.55) na error-correction formu. Opˇet plat´ı, ˇze v tomto systému proces {Zt } nep˚ usob´ı kauzálnˇe na {Yt } právˇe tehdy, kdyˇz Φ12,i = 0 pro vˇsechny i = 1, . . . , p. Obrácenˇe proces {Yt } nep˚ usob´ı kauzálnˇe na {Zt } právˇe tehdy, kdyˇz Φ21,i = 0 pro vˇsechny i = 1, . . . , p. Oznaˇcme ¸ · Φ11,i Φ12,i a ϕ = vec[Φ1 , . . . , Φp ] , Φi = Φ21,i Φ22,i kde ϕ pˇredstavuje vektor vˇsech VAR koeficient˚ u modelu (4.55) rozmˇeru 4p. Nyn´ı lze omezen´ı na Grangerovu nekauzalitu zapsat jako Rϕ = 0, kde R je odpov´ıdaj´ıc´ı


60

matice omezen´ı, která má plnou ˇrádkovou hodnost. Testujeme hypotézu H0 : Rϕ = 0 proti alternativˇe H1 : Rϕ 6= 0 .

(4.56)

ˆ parametru ϕ plat´ı Pro odhad ϕ √

D

ˆ − ϕ) −→ N (0, Σϕˆ ) , T (ϕ T →∞

kde T je velikost v´ ybˇeru a Σϕˆ je regulárn´ı varianˇcn´ı matice asymptotické distribuce, a k testován´ı hypotézy H0 lze pouˇz´ıt standardn´ı Waldovu statistiku ˆ ϕˆ R0 )−1 Rϕ ˆ 0 R0 (RΣ ˆ, λw = T ϕ

(4.57)

ˆ ϕˆ je konzistentn´ı odhad Σϕˆ . kde Σ Obecnˇe pro kointegrovan´ y systém, kde ϕ odhadneme bud’ metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u nebo Johansenovou procedurou, má Waldova statistika nestandardn´ı asymptotické rozdˇelen´ı. Avˇsak v naˇsem pˇr´ıpadˇe bylo ukázána standardn´ı χ2p asymptotické rozdˇelen´ı Waldovy statistiky za platnosti nulové hypotézy. V´ ysledky jsou platné i v pˇr´ıpadˇe, kdy do modelu (4.55) pˇridáme konstantn´ı ˇclen. Dostáváme asymptoticky validn´ı test Grangerovy kauzality v dvourozmˇerném systému. Pokud pouˇz´ıváme tuto metodu ve v´ıcerozmˇerném systému, tak vyˇsetˇrujeme zvláˇst’ kaˇzdou dvojici promˇenn´ ych. Existuj´ı také dalˇs´ı zp˚ usoby, jak se vypoˇra´dat s testován´ım kauzality ve v´ıcerozmˇerném systému. Zájemci mohou nalézt jiné návrhy v L¨ utkepohl (2005, kap. 7.6)

Kapitola 5 Numerick´ a aplikace na re´ aln´ a data V této ˇca´sti se pokus´ıme ilustrovat postup pˇri anal´ yze reáln´ ych dat a poukázat na problémy, které jsou s n´ı spojeny. Velmi d˚ uleˇzitá je volba analyzovaného modelu. Pˇri anal´ yze ekonomick´ ych ˇcasov´ ych ˇrad je snahou zvolit promˇenné v modelu tak, aby mezi nimi existoval urˇcit´ y ekonomick´ y vztah, kter´ y chceme potvrdit. Finálnˇe jsme se rozhodli pro anal´ yzu dlouhodobého vztahu v modelu popt´ avky po penˇez´ıch ve Spojeném královstv´ı Velké Británie a Severn´ıho Irska (dále uˇz jen UK). V ekonomické teorii se pˇredpokládá, ˇze poptávka po penˇez´ıch je funkc´ı reálného pˇr´ıjmu, cenové hladiny a pˇr´ıleˇzitosti plynouc´ı z drˇzen´ı penˇez. T´ımto modelem uˇz se zab´ yvaly napˇr´ıklad práce Juráˇska (2007), Johansen (1992b), Johansen & Juselius (1990) a Arlt & Arltová (2007). Model poptávky po penˇez´ıch umoˇzn ˇuje ˇsirokou ’ volbu reáln´ ych promˇenn´ ych, nebot kaˇzd´ y z uvaˇzovan´ ych ukazatel˚ u lze aproximovat nˇekolika odliˇsn´ ymi zp˚ usoby. Samozˇrejmˇe také záleˇz´ı na tom, jaké ˇrady se v dané lokalitˇe daj´ı reálnˇe sehnat. Naˇse fináln´ı volba vycház´ı z Arlt & Arltová (2007, kap. 6.4), kde je také podrobnˇeji vysvˇetlena. Poptávku po penˇez´ıch pˇredstavuje reálné M 2 a dále do modelu vstupuje reáln´ y hrub´ y domác´ı produkt (oznaˇc. HDP ) jako m´ıra reálného pˇr´ıjmu, meziˇctvrtletn´ı m´ıra inflace (oznaˇc. CP I) a tˇr´ımˇes´ıˇcn´ı u ´roková sazba na penˇeˇzn´ım trhu (oznaˇc. R). V tabulce 5.1 je souhrn uveden´ ych promˇenn´ ych vˇcetnˇe jejich jednotky, zdroje a pˇr´ıpadnˇe základny, ke které jsou data vztaˇzena. Promˇ enn´ a M2 R HDP CP I

Jednotka / Z´ aklad Mil. GBP Procenta Mil. GBP / Základ r. 1995 Základ r. 2000 = 100

Zdroj Bank of England Eurostat Eurostat OECD

Tabulka 5.1: Promˇenné fináln´ıho modelu. Uvaˇzujeme kvartáln´ı data, kde promˇenné M 2 a HDP pouˇz´ıváme sezónnˇe

´ APLIKACE NA REALN ´ A ´ DATA KAPITOLA 5. NUMERICKA

62

oˇciˇstˇené, nebot’ vykazovaly silnou kvartáln´ı sezónnost. Pˇri pouˇzit´ı oˇciˇstˇen´ ych ˇrad bylo moˇzné uvaˇzovat model bez sezónn´ıch dummy promˇenn´ ych. Dále jsme pro anal´ yzu vˇsechny ˇrady logaritmicky transformovali, abychom z´ıskali model v souladu s ekonomickou teori´ı. Logaritmicky transformované ˇrady budeme v dalˇs´ım textu znaˇcit mal´ ymi p´ısmeny (m2, r, gdp, cpi). D˚ uleˇzitá je také správná volba délky analyzovan´ ych ˇrad. Obecnˇe je vhodné uvaˇzovat delˇs´ı obdob´ı, nebot’ kointegrace se zab´ yvá dlouhodob´ ym vztahem. Na druhou stranu se pˇri delˇs´ım ˇcasovém vzorku objevuj´ı problémy s nekonzistenc´ı dat, strukturáln´ı zmˇenou a podobnˇe. V praxi tedy jde o kompromis mezi délkou a kvalitou modelu. Po podrobné anal´ yze jsme dospˇeli k fináln´ımu modelu, kde uvaˇzujeme hodnoty promˇenn´ ych od 2. kvartálu roku 1993 do 4. kvartálu roku 2007. Jedná se o 59 pozorován´ı. Nav´ıc pro kaˇzd´ y ze zkouman´ ych model˚ u bylo potˇreba pouˇz´ıt pˇr´ısluˇsn´ y poˇcet poˇcáteˇcn´ıch hodnot podle volby zpoˇzdˇen´ı. K tomu u ´ˇcelu jsme pouˇz´ıvali pˇr´ısluˇsn´ y poˇcet pozorován´ı pˇred 2. kvartálem roku 1993. Vzorek stejné nebo menˇs´ı velikosti na podobném modelu uvaˇzovali Arlt & Arltová (2007), Johansen (1995, kap. 7.3.1) a také nˇekolik dalˇs´ıch Johansenov´ ych ˇ prac´ı. Rady, které uvaˇzujeme v modelu, jsou vykresleny na obrázku 5.1 (ve fináln´ım error-correction modelu uvaˇzujeme jedno zpoˇzdˇen´ı diferencované sloˇzky, tud´ıˇz prvn´ı 2 pozorován´ı v grafu bereme jako poˇcáteˇcn´ı). a) Logaritmus M2

b) Logaritmus R

14.4

2.2

14.2

r

m2

2.0

14.0 1.8

13.8 13.6

1.6

13.4 1.4

13.2 13.0

1.2 94:1

96:1

98:1

00:1

02:1

04:1

06:1

94:1

96:1

c) Logaritmus GDP

98:1

00:1

02:1

04:1

06:1

04:1

06:1

d) Logaritmus CPI

12.5

4.75 gdp

cpi

4.70

12.4

4.65 12.3 4.60 12.2 4.55 12.1

4.50

12.0

4.45 94:1

96:1

98:1

00:1

02:1

04:1

06:1

94:1

96:1

98:1

00:1

02:1

ˇ Obrázek 5.1: Ctvrtletn´ ı zlogaritmovaná data pro fináln´ı model (obdob´ı 1993:2 - 2007:4).

Poznamenejme, ˇze jsme pˇred fináln´ı volbou zkouˇseli analyzovat také mnohé dalˇs´ı typy model˚ u. Mezi nimi uved’me napˇr´ıklad pˇetirozmˇerné modely pro anal´ yzu vztah˚ u purchasing power parity a uncovered interest rate parity mezi UK a Dánskem,


63

UK a OECD, Dánskem a USA apod. Obdobnou anal´ yzu s velmi pˇekn´ ymi v´ ysledky provádˇeli Johansen & Juselius (1992). Dále jsme zkouˇseli anal´ yzu modelu poptávky po penˇez´ıch pro OECD a Dánsko. Bohuˇzel se nám nepodaˇrilo z´ıskat uspokojivé odhady dlouhodob´ ych vztah˚ u pro ˇzádn´ y ze zm´ınˇen´ ych model˚ u. Pˇrestoˇze v mnoh´ ych pˇr´ıpadech trace test i λ-max test poukazovaly na existenci kointegraˇcn´ıho vztahu, stacionarita v´ ysledného dlouhodobého vztahu nebyla uspokojivá. Pˇri anal´ yze tˇechto model˚ u jsme se setkávali s problémy jako v´ yznamné poruˇsen´ı pˇredpoklad˚ u na rezidua, v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech nebyla zam´ıtnuta hypotéza I(2) pro nˇekterou z analyzovan´ ych ˇrad nebo kointegraˇcn´ı testy neprokázaly existenci kointegraˇcn´ıho vztahu. Dalˇs´ı problémy mohly b´ yt zp˚ usobeny strukturáln´ı zmˇenou v analyzovaném obdob´ı.

5.1

Anal´ yza integrovanosti

Pˇred samotnou kointegraˇcn´ı anal´ yzou je potˇreba ovˇeˇrit, zda jsou zkoumané ˇrady integrované ˇrádu 1. Po prohlédnut´ı obrázku 5.1 vyvstává otázka, zda jsou ˇrady cpi, gdp a m2 trendovˇe stacionárn´ı. K tomuto u ´ˇcelu jsme provedli regresi zmiˇ novan´ ych promˇenn´ ych na ˇcase. Odeˇcten´ım trendu od zkouman´ ych ˇrad dostaneme rezidua, která jsou zakreslena na obrázku 5.2. Uˇz z grafu je vidˇet, ˇze rezidua nejsou stacionárn´ı, coˇz potvrdily také testy jednotkového koˇrene, kter´ y nebyl v rezidu´ıch zam´ıtnut. Lze tedy oˇcekávat, ˇze ˇrady obsahuj´ı stochastick´ y trend. Rezidua z regrese: m2 = a + b*t

Rezidua z regrese: gdp = a + b*t

Rezidua z regrese: cpi = a + b*t 0.02

0.02

0.01

0.01

0.00

0.00

-0.01

-0.01

0.12 0.08 0.04 0.00 -0.04 -0.08

-0.02

-0.02 94:1

96:1

98:1

00:1

02:1

04:1

06:1

94:1

96:1

98:1

00:1

02:1

04:1

06:1

94:1

96:1

98:1

00:1

02:1

04:1

06:1

Obrázek 5.2: Rezidua z regrese cpi, gdp a m2 v závislosti na ˇcase. K testován´ı jednotkového koˇrene v ˇradách m2, r, gdp a cpi ve vyˇsetˇrovaném obdob´ı pouˇzijeme testy, které jsme zavedli v kapitole 2. Konkrétnˇe se zde pokus´ıme ilustrovat neparametrické Phillips-Perronovy testy, které lze pouˇz´ıt za obecnˇejˇs´ıch pˇredpoklad˚ u 2.1. Postupujeme podle doporuˇcené strategie, kterou jsme uvedli na konci ˇca´sti 2.4. K z´ıskán´ı testov´ ych statistik Zαµ , Ztµ , Zαµβ a Ztµβ jsme pouˇzili funkci ur.pp, která uˇz je naiplementována ve statistickém programu R. Hodnoty testov´ ych statik Z(Φ1 ), Z(Φ2 ) a Z(Φ3 ) jsme z´ıskali pomoc´ı funkce ur.jh, kterou pro prostˇred´ı R naprogramoval a publikoval Michal Juráˇska (viz. Juráˇska (2007, kap. 4.3)). V´ ysledky spolu s kritick´ ymi hodnotami jsou shrnuty v tabulce 5.2.


64

Z tabulky vid´ıme, ˇze pro ˇzádnou z analyzovan´ ych ˇrad nezam´ıtáme na 5% hladinˇe nulovou hypotézu (µ, β, α) = (µ, 0, 1) v modelu (2.22), nebot’ hodnota testové statistiky Z(Φ1 ) je menˇs´ı neˇz pˇr´ısluˇsná 5% kritická hodnota. Nezam´ıtáme tedy existenci jednotkového koˇrene a k dalˇs´ımu testován´ı lze pouˇz´ıt statistiky Zαµβ a Ztµβ v nejbohatˇs´ım modelu (2.22) bez ztráty s´ıly. Obˇe tyto statistiky nezam´ıtaj´ı nulovou hypotézu jednotkového koˇrene (Zαµβ > 5% k.h. i Ztµβ > 5% k.h. pro vˇsechny promˇenné). Dále se zaj´ımáme, zda lze k testován´ı pouˇz´ıt statistiky Zαµ a Ztµ . K tomu je nutné ovˇeˇrit platnost sdruˇzené hypotézy (µ, β, α) = (0, 0, 1) v modelu (2.21), jak jsme uvádˇeli v teoretické ˇca´sti. Z v´ ysledk˚ u je vidˇet, ˇze u promˇenn´ ych m2, gdp a cpi zam´ıtá Z(Φ2 ) statistika tuto hypotézu s pˇrehledem na 1% hladinˇe (1% k.h. = 7.02). Pro uvedené promˇenné bychom tedy mˇeli z˚ ustat u v´ ysledku z test˚ u Zαµβ a Ztµβ . Finálnˇe jsme doˇsli k závˇeru, ˇze vˇsechny zkoumané ˇrady obsahuj´ı jednotkov´ y koˇren, pˇriˇcemˇz pro promˇenné m2, gdp a cpi je nejvhodnˇejˇs´ı model (2.21) s vych´ ylen´ım a pro ˇradu r lze pouˇz´ıt model (2.11). Dostáváme tak stejné v´ ysledky jako Juráˇska (2007) v praktické ˇca´sti. Poznamenejme, ˇze existenci jednotkového koˇrene jsme analyzovali také ADF testy, které jsou pˇrehlednˇe naimplementovány v programu EViews. Zde jsme také nezam´ıtli pˇr´ıtomnost jednotkového koˇrene v ˇzádné ze zkouman´ ych ˇrad. Dále bylo nutné ovˇeˇrit, zda nen´ı nˇekterá ze zkouman´ ych ˇrad I(2). K tomu jsme pouˇz´ıvali bˇeˇzn´ y postup, kdy testujeme jedenkrát diferencovanou ˇcasovou ˇradu na pˇr´ıtomnost jednotkového koˇrene. Phillips-Perronovy testy zam´ıtaj´ı hypotézu jednotkového koˇrene ve vˇsech diferencovan´ ych ˇradách na 1% hladinˇe. Nyn´ı lze pˇrej´ıt ke kointegraˇcn´ı anal´ yze. H0 Test (µ, β, α) = (µ, 0, 1) Z(Φ3 ) αµβ = 1 Zαµβ αµβ = 1 Ztµβ (µ, β, α) = (0, 0, 1) Z(Φ2 ) αµ = 1 Zαµ αµ = 1 Ztµ (µ, α) = (0, 1) Z(Φ1 )

m2 4.761 -0.538 -0.196 44.031** 0.834 2.555 69.129**

r 3.014 -7.498 -1.730 2.032 -7.768 -2.134 2.807

gdp 3.876 -6.458 -1.945 111.952** -0.286 -1.439 161.379**

cpi 5.417 -7.043 -2.201 33.331** -0.260 -0.763 71.204**

5% k.h. 6.73 -19.80 -3.50 5.13 -13.30 -2.93 4.86

* zam´ıt´ ame na 5% hladinˇe, ** zam´ıtáme na 1% hladinˇe. 5% kritické hodnoty pro 50 pozorován´ı, které publikoval napˇr. Juráˇska (2007, tab. 2.1, 2.3).

Tabulka 5.2: Phillips-Perronovy testy jednotkového koˇrene.


5.2

65

Kointegraˇ cn´ı anal´ yza v´ıcerozmˇ ern´ eho syst´ emu

V této ˇca´sti se budeme zab´ yvat anal´ yzou modelu v rámci v´ıcerozmˇerného systému. Pˇripomeˇ nme si, ˇze v praxi b´ yvá nejˇcastˇeji pouˇz´ıván error-correction model, kter´ y lze pˇrevést na VAR a VMA model, jak jsme vidˇeli v teoretické ˇca´sti. Také jsme si uˇz popsali ˇsiroké moˇznosti této reprezentace, které umoˇzn ˇuj´ı zvláˇst’ analyzovat dlouhodob´ y vztah v rámci celého systému a testován´ı kointegrace zaloˇzené na metodˇe maximáln´ı vˇerohodnosti. Nav´ıc lze dále pohodlnˇe testovat hypotézy ohlednˇe tvaru kointegraˇcn´ıho vektoru a exogenity promˇenn´ ych. Veˇskerá dalˇs´ı kointegraˇcn´ı anal´ yza byla provádˇena v programu EViews verze 5.1, kter´ y se na tuto problematiku specializuje. Pouze okrajovˇe byl pouˇz´ıván volnˇe ˇsiˇriteln´ y software JMulTi verze 4.22, kter´ y podporuje také Helmut L¨ utkepohl, autor mnoha cenn´ ych materiál˚ u na téma kointegrace. Pˇri testován´ı nesm´ıme opomenout, ˇze by mˇely b´ yt splnˇeny pˇredpoklady nezávislosti a normality rezidu´ı v odhadnutém modelu. Dále je nutné stanovit ˇrád zpoˇzdˇen´ı p. K tomuto u ´ˇcelu lze pouˇz´ıt informaˇcn´ı kritéria, která jsme zavedli v ˇca´sti 4.2.3. V praxi se vˇetˇsinou tato kritéria vyhodnocuj´ı na VAR(p) modelu (4.7), do kterého pˇridáváme konstantn´ı ˇclen. V programu EViews je k tomuto u ´ˇcelu VAR(p) model odhadován metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. Poznamenejme, ˇze dostaneme opravdu pouze informaˇcn´ı hodnotu. Ve fináln´ım error-correction modelu je nˇekdy nutné pˇridat ˇci ubrat zpoˇzdˇen´ı v závislosti na reáln´ ych v´ ysledc´ıch a vlastnostech rezidu´ı. V naˇsem pˇr´ıpadˇe jsme zvolili pro v´ ypoˇcet kritéri´ı maximáln´ı zpoˇzdˇen´ı M = 10 a dostali jsme v´ ysledky, které jsou shrnuty v tabulce 5.3. pˆ(AIC) 10

pˆ(SC) 2

pˆ(HQ) 2

ˇ ad modelu VAR(p) odhadnut´ Tabulka 5.3 : R´ y na základˇe Akaikeho, Schwarzova a HannanQuinnova kritéria.

Vzhledem k tomu, ˇze odhad Akaikeho kritériem nen´ı konzistentn´ı, je vhodnˇejˇs´ı uvaˇzovat hodnotu zpoˇzdˇen´ı p = 2, kterou pro VAR proces odhadly zbylá dvˇe kritéria. Z teoretické ˇcásti v´ıme, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe bychom v error-correction modelu navrhovali pouˇz´ıt pouze jedno zpoˇzdˇen´ı. Ve fináln´ım modelu jsme také k této volbˇe dospˇeli na základˇe porovnán´ı v´ ysledk˚ u pro r˚ uzná zpoˇzdˇen´ı. Nav´ıc bylo moˇzné pouˇzit´ım tzv. Lag Exclusion Testu, kter´ y je zaloˇzen na χ2 Waldovˇe statistice, ukázat, ˇze nen´ı potˇreba do error-correction modelu zahrnout vyˇsˇs´ı zpoˇzdˇen´ı neˇz 1. Tento test je naimplementován v programu EViews. Oznaˇc´ıme-li Y t = (m2t , rt , gdpt , cpit )0 jako vektor zkouman´ ych veliˇcin v ˇcase t, lze odhadovan´ y error-correction model zapsat ve formˇe ∆Y t = ΠY t−1 + Γ1 ∆Y t−1 + ΦD t + εt ,

t = 1, . . . , 59

(5.1)


66

kde εt je ˇctyˇrrozmˇern´ y vektor rezidu´ı, kter´ y by mˇel splˇ novat pˇredpoklady normality a nekorelovanosti. Nav´ıc uvaˇzujeme dvˇe poˇca´teˇcn´ı pozorován´ı Y 0 a Y −1 . Pˇripomeˇ nme si, ˇze chceme v tomto modelu testovat hypotézu H(r) o existenci r kointegraˇcn´ıch vztah˚ u, kterou jsme uvaˇzovali v (4.12). Dále je potˇreba zvolit tvar deterministického ˇclenu ΦD t . Jako nejvhodnˇejˇs´ı se ukázala volba, kdy uvaˇzujeme konstantn´ı ˇclen jak v kointegraˇcn´ım vztahu, tak mimo nˇej. Pˇri pouˇzit´ı ortogonáln´ıho doplˇ nku k zátˇeˇzové matici α lze námi uvaˇzovanou volbu zapsat ve tvaru ΠY t−1 + ΦD t = α(β 0 Y t−1 + ρ) + α⊥ γ ,

(5.2)

kde α a β jsou matice rozmˇeru 4 × r a hodnosti r, ρ je vektor konstant v kointegraˇcn´ım vztahu a γ je vektor konstant mimo kointegraˇcn´ı vztah. Tento tvar deterministického ˇclenu je doporuˇcován v pˇr´ıpadˇe, kdy ˇrady vykazuj´ı stochastick´ y trend. Detaily o tomto a dalˇs´ıch tvarech deterministického ˇclenu lze nalézt v Johansen (1995, kap. 5). Poznamenejme, ˇze jsme testovali kointegraci i v modelech s jinou strukturou deterministického ˇclenu, avˇsak v´ ysledn´ y odhad dlouhodobého vztahu nebyl uspokojiv´ y. Pˇrestoˇze nám napˇr. v modelu s konstantou pouze v kointegraˇcn´ım vztahu trace test odhadoval na 5% hladinˇe dva kointegraˇcn´ı vztahy, v´ ysledné kointegrované procesy β 0 Y t nebyly prokazatelnˇe I(0). V´ ysledná volba (5.2) se zdá nejvhodnˇejˇs´ı také z toho hlediska, ˇze ˇrady m2, gdp a cpi obsahuj´ı stochastick´ y trend, jak jsme vidˇeli vu ´vodu ˇcásti 5.1. Prvotn´ı anal´ yzy na daném modelu vykazovaly velmi silné poruˇsen´ı pˇredpokladu normality rezidu´ı v prvn´ı rovnici, kde je na levé stranˇe promˇenná ∆m2t . Po podrobném prozkoumán´ı bylo zjiˇstˇeno, ˇze normalita je poruˇsena kv˚ uli jedinému odlehlému pozorován´ı v ˇradˇe m2 v 2. kvartálu roku 1997. Tuto skuteˇcnost lze pozorovat také na obrázku 5.1. Tato odlehlá hodnota mohla b´ yt zp˚ usobena napˇr´ıklad nˇejak´ ym ˇsokem v ekonomickém dˇen´ı v UK, ale stejnˇe tak se m˚ uˇze jednat o chybu v pˇrepisu. Bohuˇzel se nám nepovedlo dohledat ekonomickou souvislost. Nicménˇe pouˇzijeme bˇeˇzn´ y postup, ˇze do modelu zahrneme deterministickou pomocnou promˇennou, která má vˇsude 0 a pouze jednu 1 ke korekci odlehlého rezidua. Po této u ´pravˇe je s pˇrehledem dosaˇzena normalita rezidu´ı εt . Pˇridán´ı této promˇenné nemˇelo na odhadnut´ y kointegraˇcn´ı vztah v´ yznamn´ y vliv. K testován´ı ˇra´du kointegrace ve fináln´ım modelu pouˇz´ıváme trace test a λ-max test, které jsme zavedli na konci ˇcásti 4.2.2. V´ ysledky jsou shrnuty v tabulkách 5.4 a 5.5. Z v´ ysledk˚ u je patrné, ˇze trace test indikuje na 5% hladinˇe jeden kointegraˇcn´ı vztah. Pˇri pouˇzit´ı λ-max testu nezam´ıtáme na 5% hladinˇe hypotézu nepˇr´ıtomnosti kointegrace v modelu, avˇsak nen´ı obt´ıˇzné ovˇeˇrit, ˇze na 10% hladinˇe uˇz i tento test indikuje jeden kointegraˇcn´ı vztah. K jednomu kointegraˇcn´ımu vztahu dospˇel také Juráˇska (2007) v modelu poptávky po penˇez´ıch v USA a Johansen (1995) v modelu pro ˇ UK. V anal´ yze pro Ceskou republiku provádˇené v Arlt & Arltová (2007) dokonce autoˇri prokázali 2 kointegraˇcn´ı vztahy. Nicménˇe v´ ysledné odhady kointegraˇcn´ıho vektoru jsou odliˇsné v kaˇzdém z uveden´ ych materiál˚ u a nelze je pˇr´ımoˇcaˇre srovnávat.


67

Rozd´ıly mohou b´ yt zp˚ usobeny odliˇsnou ekonomickou situac´ı v analyzovan´ ych zem´ıch, jinou volbou promˇenn´ ych ˇci zmˇenou kointegraˇcn´ıho vztahu v závislosti na analyzovaném intervalu. N´ıˇze se pokus´ıme urˇcité podobnosti otestovat restrikcemi aplikovan´ ymi na kointegraˇcn´ı vztah. Vzhledem k naˇs´ı v´ ysledné volbˇe deterministického ˇclenu a ˇra´du kointegrace r = 1 oznaˇcme kointegraˇcn´ı vektor v analyzovaném modelu β 0ec = (βm2 , βr , βgdp , βm2 , ρ). Chceme odhadovat kointegraˇcn´ı vztah β 0ec [Y 0t , 1]0 . Hypotéza r=0 r≤1 r≤2 r≤3

î λ λtrace 0.370 51.839 0.207 24.623 0.133 10.949 0.042 2.512

5% k. h. 47.856 29.797 15.495 3.841

p-hodnota 0.020* 0.175 0.215 0.113

* zam´ıt´ ame na 5% hladinˇe. 5% kritické hodnoty které jsou pouˇzity v EViews vycházej´ıc´ı z MacKinnon a kol. (1990).

Tabulka 5.4: Trace test ˇrádu kointegrace. Hypotéza r=0 r≤1 r≤2 r≤3

î λ λmax 0.370 27.216 0.207 13.673 0.133 8.438 0.042 2.512

5% k. h. 27.584 21.131 14.265 3.841

p-hodnota 0.056 0.392 0.336 0.113

* zam´ıt´ ame na 5% hladinˇe. 5% kritické hodnoty které jsou pouˇzity v EViews vycházej´ıc´ı z MacKinnon a kol. (1990).

Tabulka 5.5: λ-max test ˇrádu kointegrace. Johansenovou procedurou dostaneme odhad kointegraˇcn´ıho vektoru, kter´ y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ oznaˇc´ıme β ec = (βm2 , βr , βgdp , βm2 , ρˆ). Pouˇzit´ım tˇechto odhadnut´ ych hodnot lze zapsat kointegraˇcn´ı vztah ve tvaru · ¸ 0 Yt ˆ β ec = m2t + 0.282 ∗ rt + 1.732 ∗ gdpt − 7.562 ∗ cpit − 0.480 . (5.3) 1 Je zde pouˇzita normalizace vzhledem k parametru βˆm2 . Dále dostáváme odhadnut´ y 0 ˆ = (ˆ vektor zátˇeˇz´ı α αm2 , α ˆr , α ˆ gdp , α ˆ cpi ) tvaru ˆ = (0.0049, −0.0936, −0.0094, 0.04039)0 . α

(5.4)

Kandidát na kointegrovan´ y proces dan´ y vztahem (5.3) je vykreslen na obrázku 5.3. Pro tyto hodnoty jsme Phillips-Perronov´ ymi testy na 5% hladinˇe zam´ıtli hypotézu


68

pˇr´ıtomnosti jednotkového koˇrene. Lze tedy pˇredpokládat, ˇze jsme dostali dlouhodob´ y rovnováˇzn´ y stav v modelu poptávky po penˇez´ıch. 0.4 0.3

koint. vztah

0.2 0.1 0.0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 94:1

96:1

98:1

00:1

02:1

04:1

06:1

0

Obrázek 5.3: Odhadnutý kointegraˇcn´ı vztah βˆ ec (Y 0t , 1)0 .

a) Rezidua v rovnici diff(m2)

b) Rezidua v rovnici diff(r)

0.03

0.10

0.02

0.05

0.01

0.00

0.00

-0.05

-0.01

-0.10

-0.02

-0.15

-0.03

-0.20 94

96

98

00

02

04

06

94

c) Rezidua v rovnici diff(gdp)

96

98

00

02

04

06

d) Rezidua v rovnici diff(cpi)

0.008

0.010

0.006 0.005

0.004 0.002

0.000 0.000 -0.002

-0.005

-0.004 -0.006

-0.010 94

96

98

00

02

04

06

94

96

98

00

02

04

06

Obrázek 5.4: Vypoˇctená rezidua ve finálnˇe zvoleném error-correction modelu. Pro u ´plnost poznamenejme, ˇze byly splnˇeny pˇredpoklady, které klademe na rezidua εt v modelu (5.1). Vypoˇctená rezidua pro pˇr´ısluˇsnou rovnici error-correction


69

modelu jsou k vidˇen´ı na obrázku 5.4. Pouˇz´ıvan´ y program EViews má pˇrehlednˇe naimplementovány testy slouˇz´ıc´ı k ovˇeˇren´ı pˇredpoklad˚ u kladen´ ych na rezidua. Detailnˇejˇs´ı popis tˇechto test˚ u lze nalézt v manuálu programu Quantitative Micro Software (2005). Normalita chybového ˇclenu byla ovˇeˇrena pomoc´ı Jarqueova-Berrova testu v´ıcerozmˇerné normality, kter´ y je zaloˇzen na kˇrivosti a ˇspiˇcatosti normáln´ıho rozdˇelen´ı. Tento test pouˇz´ıval také Juráˇska (2007), v jehoˇz práci byl pˇredpoklad normality zam´ıtnut. V naˇsem modelu v´ ysledná p-hodnota (0.7619) svˇedˇc´ı o tom, ˇze na 5% hladinˇe nezam´ıtáme nulovou hypotézu normality rezidu´ı. K ovˇeˇren´ı nekorelovanosti rezidu´ı jsme pouˇzili Portmonteau test, kter´ ym ve v´ıcerozmˇerném pˇr´ıpadˇe testujeme nulovou hypotézu, ˇze rezidua nejsou autokorelovaná do zpoˇzdˇen´ı h. Test jsme provádˇeli pro h = 1, . . . , 12, pˇriˇcemˇz pro ˇza´dné h jsme nezam´ıtli nulovou hypotézu nekorelovanosti na 5% hladinˇe. Na závˇer jsme k testován´ı heteroskedasticity pouˇzili White˚ uv test, kter´ y je v EViews naimplementován. Nulovou hypotézu, ˇze se v modelu nevyskytuje heteroskedasticita jsme také na 5% hladinˇe nezam´ıtli. T´ım jsme ovˇeˇrili splnˇen´ı pˇredpoklad˚ u kladen´ ych na rezidua potˇrebn´ ych pro pouˇzit´ı Johansenovy metody odhadu error-correction modelu metodou maximáln´ı vˇerohodnosti.

5.3

Testov´ an´ı restrikc´ı na parametr β a testov´ an´ı exogenity

V pˇredchoz´ı ˇca´sti jsme z´ıskali odhad error-correction modelu (5.1) za platnosti nulové hypotézy H(1), ˇze model obsahuje jeden kointegraˇcn´ı vektor. Zde budeme ilustrovat pouˇzit´ı lineárn´ıch omezen´ı na kointegraˇcn´ı vektor β ec , které jsme zm´ınili v ˇcásti 4.2.4. Dále budeme testovat hypotézu slabé exogenity jednotliv´ ych promˇenn´ ych pomoc´ı restrikc´ı na zátˇeˇzovou matici (v naˇsem pˇr´ıpadˇe vektor, nebot’ r = 1) α. Tomu jsme se vˇenovali v teoretické ˇca´sti v sekci 4.2.5. Testován´ım restrikc´ı v modelu poptávky po penˇez´ıch se zab´ yvali Arlt & Arltová (2007, kap. 6.4) a Johansen (1995, kap. 7.3). Jedn´ım z moˇzn´ ych omezen´ı, které lze testovat, je hypotéza H0 : βm2 = −βgdp . Jedná se o test, ˇze poptávka po penˇez´ıch a reáln´ y hrub´ y domác´ı produkt, kter´ ym mˇeˇr´ıme pˇr´ıjem, maj´ı stejnou hodnotu s opaˇcn´ ym znaménkem. Testujeme tedy lineárn´ı omezen´ı H0 : β ec = Hϕ, kde ϕ je ˇctyˇrrozmˇern´ y vektor parametr˚ ua   1 0 0 0 −1 0 0 0   . 0 1 0 0 H=    0 0 1 0 0 0 0 1 Moˇznost testován´ı restrikc´ı pomˇerem vˇerohodnost´ı je opˇet naimplementována v programu EViews. Pro testován´ı hypotézy H0 dostáváme hodnotu testové stati-


70

stiky (4.30): −2 ln Q(H0 |H(1)) = 4.458661 . V naˇsem pˇr´ıpadˇe by mˇela m´ıt testová statistika asymptotické rozdˇelen´ı χ2 o jednom stupni volnosti (nebot’ r(n-s) = 1). Dostáváme p-hodnotu 0.034725, tud´ıˇz na 5% hladinˇe v´ yznamnosti zam´ıtáme hypotézu H0 (5% k. h.= 3.84). Nepodaˇrilo se nám tedy potvrdit oˇcekáván´ı, která pramen´ı z ekonomické teorie pro model poptávky po penˇez´ıch. Poznamenejme, ˇze v modelu poptávky po penˇez´ıch, kter´ y analyzoval Juráˇska (2007), mˇel obdobnˇe jako v naˇs´ı anal´ yze kointegraˇcn´ı vektor stejné znaménko u analyzovaného M 1 agregátu jako u promˇenné, kterou byly mˇeˇreny reálné pˇr´ıjmy. Zam´ıtnut´ı nulové hypotézy H0 by mohlo poukazovat na to, ˇze ve finálnˇe obdrˇzeném modelu je kromˇe poptávky po penˇez´ıch modelován jeˇstˇe jin´ y teoretick´ y vztah, kter´ y je moˇzná v pouˇzit´ ych datech jeˇstˇe silnˇeji pˇr´ıtomen. Dále se nab´ız´ı vyuˇzit´ı restrikc´ı k testován´ı hypotézy nulovosti nˇekterého z parametr˚ u kointegraˇcn´ıho vektoru. V publikaci Arlt & Arltová (2007, kap. 6.4) se autor˚ um podaˇrilo prokázat nulov´ y koeficient u meziˇctvrtletn´ı m´ıry inflace v rovnici, kterou modelovali kointegraˇcn´ı vztah v modelu poptávky po penˇez´ıch. Poznamenejme, ˇze pracovali se dvˇemi kointegraˇcn´ımi vektory, coˇz jim umoˇznilo modelovat poptávku po penˇez´ıch v prvn´ım vztahu a tzv. Fisher˚ uv efekt v druhém vztahu. V´ıce podrobnost´ı lze nalézt pˇr´ımo v citované publikaci. V naˇsem modelu jsme zkusili ovˇeˇrit hypotézu H1 : βcpi = 0. Nen´ı obt´ıˇzné odvodit tvar matice H pro tento typ restrikce. V´ ysledná p-hodnota 0.001339 indikuje, ˇze v naˇsem pˇr´ıpadˇe nelze vliv promˇenné cpi v modelu zanedbat. Zam´ıtáme hypotézu H1 na 1% hladinˇe v´ yznamnosti. Dále jsme se zab´ yvali testován´ım slabé exogenity promˇenn´ ych vzhledem k parametr˚ um dlouhodobého vztahu. Podle závˇer˚ u v teoretické ˇca´sti lze tuto skuteˇcnost testovat restrikcemi na parametry zátˇeˇzové matice popˇr. vektoru. Nejprve jsme provedli test zvláˇst’ pro jednotlivé promˇenné. Pˇripomeˇ nme si, ˇze chceme-li testovat slabou exogenitu napˇr´ıklad u promˇenné cpi, budeme testovat hypotézu H∗0 : αcpi = 0. I v tomto pˇr´ıpadˇe lze hypotézu testovat pomˇerem vˇerohodnost´ı. V tabulce 5.6 je hodnota testové statistiky −2 ln Q(H∗0 |H(r)) a p-hodnota pro jednotlivé promˇenné. Testová statistika má asymptotické rozdˇelen´ı χ2 o jednom stupni volnosti. m2 r gdp cpi Hodnota testové statistiky 0.047 0.370 2.183 10.974 p-hodnota 0.828 0.465 0.140 0.001** ** zam´ıt´ ame na 1% hladinˇe.

Tabulka 5.6: Test exogenity jednotlivých promˇenných.


71

Z v´ ysledk˚ u je patrné, ˇze na 5% hladinˇe nezam´ıtáme exogenitu promˇenn´ ych m2, r a gdp v analyzovaném modelu. Nicménˇe hypotézu exogenity promˇenné cpi zam´ıtáme uˇz na 1% hladinˇe. Dostáváme velmi pˇrekvapuj´ıc´ı v´ ysledek, kter´ y v podstatˇe vysvˇetluje zam´ıtnut´ı hypotéz, jeˇz by mˇeli platit v modelu poptávka po penˇez´ıch. Potvrzuje se naˇse domnˇenka, ˇze fináln´ı kointegrovan´ y proces sp´ıˇse ilustruje jinou ekonomickou hypotézu, která je v datech silnˇeji pˇr´ıtomná neˇz p˚ uvodnˇe uvaˇzovaná poptávku po penˇez´ıch. Lze usuzovat, ˇze by se mohlo jednat o zmiˇ novan´ y Fisher˚ uv efekt, coˇz je hypotéza, ˇze mezi oˇcekávanou m´ırou inflace a nomináln´ı u ´rokovou sazbou je dlouhodob´ y vztah. Dle pˇredeˇsl´ ych v´ ysledk˚ u nás bude velmi zaj´ımat ovˇeˇren´ı hypotézy na vˇsechny ∗ exogenn´ı promˇenné H1 : αm2 = 0, αr = 0, αgdp = 0. K otestován´ı opˇet pouˇzijeme testovou statistiku zaloˇzenou na pomˇeru vˇerohodnost´ı, která má v tomto pˇr´ıpadˇe asymptotické rozdˇelen´ı χ2 o tˇrech stupn´ıch volnosti. Dostaneme p-hodnotu 0.487, coˇz indikuje, ˇze nezam´ıtáme hypotézu slabé exogenity promˇenn´ ych m2, r a cpi vzhledem k dlouhodobému vztahu. Dle teoretické ˇca´sti tedy lze pˇrej´ıt i k modelu jednorovnicovému, kde bychom mˇeli dostat eficientn´ı odhad metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. Tuto skuteˇcnost budeme ovˇeˇrovat v ˇca´sti 5.5. Odhad z jednorovnicového modelu by mˇel b´ yt stejn´ y jako odhad z error-correction modelu za platnosti v´ yˇse uvedené hypotézy ˆ ∗ , dostáváme H∗1 . Tento odhad lze z´ıskat pˇr´ımo v EViews. Oznaˇc´ıme-li jej jako β ec · ¸ ∗ 0 Yt ˆ = −0.182 ∗ m2t − 0.029 ∗ rt − 0.084 ∗ gdpt + ∗cpit − 1.048 , (5.5) β ec 1 kter´ y jsme v tomto pˇr´ıpadˇe normalizovali vzhledem k promˇenné cpi, která nen´ı exogenn´ı. Dostaneme také odhad pˇr´ısluˇsného zátˇeˇzového vektoru ve tvaru α∗ec = (0, 0, 0, −0.264)0 . Kointegraˇcn´ı vztah 5.7 pˇri uvaˇzovan´ ych restrikc´ıch je vykreslen na obrázku 5.5.

5.4

Z´ avˇ ery z v´ıcerozmˇ ern´ e error-correction anal´ yzy

Pˇri anal´ yze v´ıcerozmˇerného error correction systému jsme pˇri splnˇen´ı vˇsech pˇredpoklad˚ u dostali odhad jednoho kointegraˇcn´ıho vztahu. T´ım jsme ukázali, ˇze existuje lineárn´ı kombinace vyˇsetˇrovan´ ych ˇrad, která má niˇzˇs´ı ˇra´d integrovanosti neˇz p˚ uvodn´ı veliˇciny. V praxi se snaˇz´ıme naj´ıt ekonomickou interpretaci v´ ysledného dlouhodobého vztahu. My jsme bˇehem anal´ yzy zjistili, ˇze v datech je silnˇeji pˇr´ıtomen jin´ y vztah, neˇz p˚ uvodnˇe oˇcekávan´ y model poptávky po penˇez´ıch. K tomuto v´ ysledku by se nepodaˇrilo doj´ıt, kdybychom nepouˇzili k pˇresnˇejˇs´ı identifikaci restrikc´ı na kointegraˇcn´ı a zátˇeˇzov´ y vektor. Pomoc´ı nich jsme ovˇeˇrili, ˇze v modelu je primárnˇe modelována promˇenná cpi, coˇz je logaritmus meziˇctvrtletn´ı m´ıry inflace. U ostatn´ıch promˇenn´ ych jsme prokázali exogenitu vzhledem ke kointegraˇcn´ımu vektoru. Z˚ ustává otázkou, jakou interpretaci má v´ ysledn´ y dlouhodob´ y vztah. Pˇresná identifikace je bez podrobnˇejˇs´ı znalosti ekonomick´ ych zákonitost´ı obt´ıˇzná. Jednou


72

0.20 koint. vztah 2 - po restrikci 0.15 0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 -0.15 -0.20 94:1

96:1

98:1

00:1

02:1

04:1

06:1

2

Obrázek 5.5: Odhadnutý kointegraˇcn´ı vztah βˆ ec 0 (Y 0t , 1)0 v modelu s restrikcemi αm2 = 0, αr = 0, αgdp = 0.

z uvaˇzovan´ ych moˇznost´ı je hypotéza, ˇze primárnˇe je v modelu potvrzen dlouhodob´ y vztah mezi oˇcekávanou m´ırou inflace a nomináln´ı u ´rokovou sazbou. Jedná se o tzv. Fisher˚ uv efekt, kter´ y je detailnˇeji popsán a analyzován vedle modelu poptávky po penˇez´ıch v publikaci Arlt & Arltová (2007). Provedli jsme také anal´ yzu Grangerovy kauzality mezi jednotliv´ ymi dvojicemi promˇenn´ ych podle teorie, kterou jsme ilustrovali v ˇcásti 4.6. Shrneme si zde pouze základn´ı v´ ysledky, které jsou zaj´ımavé z hlediska fináln´ı volby modelu. Nen´ı pˇrekvapen´ım, ˇze na 5% hladinˇe zam´ıtáme hypotézu ˇze m2, r ˇci gdp nep˚ usob´ı kauzálnˇe na cpi v Grangerovˇe smyslu. Opˇet to potvrzuje fakt, ˇze veliˇcina cpi je modelována uvnitˇr systému. Dále nelze zam´ıtnout hypotézu, ˇze cpi kauzálnˇe p˚ usob´ı na gdp. Vzájemné p˚ usoben´ı mezi inflac´ı a reáln´ ym hrub´ ym domác´ım pˇr´ıjmem by se nejsp´ıˇs v ekonomické teorii také dalo oˇcekávat.

5.5

Anal´ yza v jednorovnicov´ em modelu

V této sekci se pokus´ıme odhadnou v´ ysledn´ y kointegraˇcn´ı vztah v jednorovnicovém modelu dle teorie, kterou jsme zavedli v ˇcástech 4.4 a 4.5. Nejprve jsme z´ıskali odhad metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u v kointegraˇcn´ı regresi tvaru: reg reg cpit = µ + βm2 ∗ m2t + βrreg ∗ rt + βgdp ∗ gdpt + φ ∗ d + εt ,

(5.6)


73

kde kromˇe analyzovan´ ych promˇenn´ ych zahrnujeme konstantu µ a dummy promˇennou d, kterou jsme zavedli uˇz v ˇcásti v´ıcerozmˇerné anal´ yzy k eliminaci odlehlého pozorován´ı v ˇradˇe m2. Dostaneme odhad kointegraˇcn´ıho vztahu ˆ 0 Y t = −0.073 ∗ m2t − 0.022 ∗ rt − 0.374 ∗ gdpt + cpit , β reg

(5.7)

Z pouhého srovnán´ı tohoto vztahu s odhadem z v´ıcerozmˇerného modelu (5.7) je vidˇet, ˇze v´ ysledné parametry u zkouman´ ych promˇenn´ ych jsou odliˇsné. Na obrázku 5.6 jsme si vykreslili rezidua z kointegraˇcn´ı regrese. V souladu s teori´ı v´ıme, ˇze rezidua obsahuj´ı krátkodobou dynamiku, která je v modelu, a v´ ysledn´ y kointegraˇcn´ı vztah nen´ı tak kvalitn´ı, jako v pˇr´ıpadˇe odhadu z v´ıcerozmˇerného systému. 0.020 Rezidua z koint. regrese

0.015 0.010 0.005 0.000 -0.005 -0.010 -0.015 94:1

96:1

98:1

00:1

02:1

04:1

06:1

Obrázek 5.6: Rezidua z kointegraˇcn´ı regrese (5.6). Jako vhodnˇejˇs´ı v rámci jednorovnicové anal´ yzy se jev´ı pouˇzit´ı ADL modelu, kter´ y zahrnuje zpoˇzdˇené promˇenné. Umoˇzn ˇuje tak lépe reagovat na krátkodobou dynamiku. Nejvhodnˇejˇs´ı se ukázala volba zpoˇzdˇen´ı, která odpov´ıdá jedné rovnici z fináln´ıho error-correction modelu. Vyuˇzijeme error-correction pˇrepis ADL modelu, kter´ y jsme odvodili v sekci 4.5. Zaj´ımáme se o odhad parametr˚ u v modelu: ∆cpit = µ + γ ∗ cpit−1 + ϕ1 ∗ m2t−1 + ϕ2 ∗ rt−1 + ϕ3 ∗ gdpt−1 + ∗ ∗ ∗ ∗ ∆gdpt + ∗ ∆rt + β3,0 ∗ ∆m2t + β2,0 + α1∗ ∗ ∆cpit−1 + β1,0

(5.8)

∗ ∗ ∗ ∗ ∆gdpt−1 + φ ∗ d + εt . ∗ ∆rt−1 + β3,1 ∗ ∆m2t−1 + β2,1 + β1,1

Poznamenejme, ˇze odhad metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u v tomto modelu je shodn´ ys odhadem v pˇr´ısluˇsném ADL(2, 2, 4) modelu tvaru (4.48). Dle vztah˚ u uveden´ ych v


74

ˇca´sti 4.5 z´ıskáme následuj´ıc´ı odhad kointegraˇcn´ıho vztahu v tomto modelu: ˆ 0 Y t = −0.1896 ∗ m2t − 0, 0287 ∗ rt − 0, 0630 ∗ gdpt + cpit . β adl

(5.9)

Vid´ıme, ˇze aˇz na konstantu dostáváme témˇeˇr totoˇzn´ y odhad, jako v pˇr´ıpadˇe errorcorrection modelu (5.7). Rezidua z odhadnutého modelu (5.8) jsou k vidˇen´ı na obrázku 5.7. Byla potvrzena teorie, ˇze v pˇr´ıpadˇe exogenity vysvˇetluj´ıc´ıch promˇenn´ ych lze bez ztráty informace pˇrej´ıt k modelu jednorovnicovému. Také byla v tomto pˇr´ıpadˇe potvrzeno vhodné uˇzit´ı ADL model˚ u, které lze snadno pˇrevádˇet na r˚ uzné reprezentace pˇri zachován´ı OLS odhadu parametr˚ u. 0.0100 Rezidua z ADL modelu

0.0075 0.0050 0.0025 0.0000 -0.0025 -0.0050 -0.0075 -0.0100 94:1

96:1

98:1

00:1

02:1

04:1

06:1

Obrázek 5.7: Rezidua z odnutého ADL modelu (5.8). Analyzovaná data jsou pˇriloˇzena na CD nosiˇci na zadn´ı stranˇe diplomové práce.

Kapitola 6 Shrnut´ı V práci jsme navázali na diplomové práce Bittner (2005) a Juráˇska (2007). V teoretické ˇcásti jsme podali pˇrehledné shrnut´ı nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ıch model˚ u pro kointegraˇcn´ı anal´ yzu a poukázali na jejich v´ yhody a nev´ yhody souvisej´ıc´ı s jejich pouˇzit´ım. V prvn´ı ˇca´sti jsme zadefinovali nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı pojmy, které pomohou ˇctenáˇri lépe pochopit téma kointegrace a umoˇzn´ı snadnˇejˇs´ı orientaci v problematice. Shrnuli jsme nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı metody pro testován´ı jednotkového koˇrene. Po zadefinován´ı kointegrace a pˇr´ısluˇsné motivaci jsme se podrobnˇeji vˇenovali jednotliv´ ym kointegraˇcn´ım model˚ um a vztah˚ um mezi nimi. Vzhledem k tomu, ˇze error-correction model je jeden z nejvhodnˇejˇs´ıch nástroj˚ u kointegraˇcn´ı anal´ yzy, vˇenujeme se mu velmi detailnˇe. Zab´ yvali jsme se také problematikou exogenity a testován´ım lineárn´ıch omezen´ı na kointegraˇcn´ı a zátˇeˇzovou matici. Ukázali jsme provázanost ADL model˚ u s error-correction modely a pˇredpoklady k eficientn´ımu odhadu v jednorovnicovém modelu. Velkou ˇca´st teoretick´ ych v´ ysledk˚ u jsme ilustrovali v anal´ yze reáln´ ych dat, kde jsme z´ıskali zaj´ımav´ y kointegraˇcn´ı vztah. Nav´ıc jsme se setkali s mnoh´ ymi problémy, které se v praktické aplikaci objevuj´ı. Vhodná volba modelu nám umoˇznila ukázat d˚ uleˇzitost ekonomické teorie v rámci anal´ yzy dlouhodob´ ych vztah˚ u. Nav´ıc jsme mohli u ´spˇeˇsnˇe srovnat v´ ysledky z anal´ yzy ADL modelu s v´ ysledky z EC modelu. Na závˇer poznamenejme, ˇze téma kointegrace je velmi ˇsiroké a existuje k nˇemu nespoˇcetné mnoˇzstv´ı materiál˚ u. Pˇrestoˇze jsme v práci ilustrovali mnoho v´ ysledk˚ u, jedná se pouze o malou ˇca´st kointegraˇcn´ı problematiky. Existuj´ı mnohé dalˇs´ı pˇr´ıstupy ˇ a problémy, které se v praxi ˇreˇs´ı. Pouze na ukázku lze nˇekteré z nich zm´ınit. Casto b´ yvá diskutován problém strukturáln´ı zmˇeny v modelu, která má negativn´ı vliv v klasické kointegraˇcn´ı anal´ yze. Objevuj´ı se pˇr´ıstupy k anal´ yze I(2) promˇenn´ ych. Mnohé ˇ publikace se zab´ yvaj´ı kointegrac´ı v pˇr´ıpadˇe panelov´ ych dat. Siroce jsou diskutovány r˚ uzné metody anal´ yzy promˇenn´ ych, které vykazuj´ı sezónnost atp. Poznamenejme, ˇze mnohé z tˇechto problém˚ u jsou popsány a ilustrovány v Maddala & Kim (1998). V menˇs´ı m´ıˇre se autoˇri vˇenuj´ı problematice stochastické kointegrace. Pro ilustraci lze zájemce o tuto problematiku odkázat na ˇclánky Harris a kol. (2002) a McCabe a kol. (2006).

Literatura Arlt, J. (1999), Modern´ı metody modelov´ an´ı ekonomických ˇcasových ˇrad, Grada, Praha. Arlt, J. & Arltová, M. (2007), Ekonomické ˇcasové ˇrady: vlastnosti, metody modelován´ı, pr´ıklady a aplikace, Grada Publishing, Praha. Banerjee, A., Dolado, J. J., Galbraith., J. W. & Hendry, D. F. (1993), Co-integration, Error Correction, and the Econometric Analysis of Non-Stationary Data, Oxford University Press, New York. Billingsley, P. (1968), Convergence of probability measures, John Wiley, New York. Bittner, O. (2005), Vybrané modely nestacionárn´ıch ˇcasových ˇrad, Diplomová práce MFF UK, Praha. Cipra, T. (1986), Analýza ˇcasových ˇrad s aplikacemi v ekonomii, Státn´ı nakladatelstv´ı technické literatury, Praha. Cochrane, J. H. (1988), ‘How big is the random walk in gnp?’, The Journal of Political Economy 96(5), 893–920. Davidson, R. & MacKinnon, J. G. (1993), Estimation and Inference in Econometrics, Oxford University Press, New York. Dhrymes, P. (1998), Time series, Unit roots and Cointegration, Academic Press, San Diego. Dickey, D. A. & Fuller, W. A. (1979), ‘Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root’, Journal of the American Statistical Association 74, 427–431. Dickey, D. A. & Fuller, W. A. (1981), ‘Likelihood ratio statistics for autoregressive time series with a unit root’, Econometrica 49, 1057–1072. Engle, R. F., Hendry, D. F. & Richard, J.-F. (1983), ‘Exogeneity’, Econometrica 51(2), 277–304.

LITERATURA

77

Fuller, W. A. (1976), Introduction to Statistical Time Series, John Wiley, New York. Granger, C. W. J. (1969), ‘Investigating causal relations by econometric models and cross-spectral methods’, Econometrica 37(3), 424–438. Granger, C. W. J. (1988), ‘Some recent development in a concept of causality’, Journal of Econometrics 39, 199–211. Granger, C. W. J. & Engle, R. F. (1987), ‘Co-integration and error correction: Representation, estimation, and testing’, Econometrica 55(2), 251–276. Hamilton, J. D. (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press, Princeton. Harris, D., McCabe, B. & Leybourne, S. (2002), ‘Stochastic cointegration: estimation and inference’, Journal of Econometrics 111(2), 363–384. Harris, R. (1995), Using Cointegration Analysis in Econometric Modelling, Prentice Hall/Harvester Wheatsheaf, London. Hassler, U. & Wolters, J. (2006), ‘Autoregressive distributed lag models and cointegration’, AStA Advances in Statistical Analysis 90(1), 59–74. Hendry, D. F., Pagan, A. R. & Sargan, J. D. (1984), Dynamic specification, in Z. Griliches & M. D. Intrilligator, eds, ‘Handbook of Econometrics’, Vol. 2, NorthHolland, Amsterdam, chapter 18, pp. 1023–1100. Johansen, S. (1988), ‘Statistical analysis of cointegration vectors’, Journal of Economic Dynamics and Control 12, 231–254. Johansen, S. (1991), ‘Estimation and hypothesis testing of cointegration vectors in gaussian vector autoregressive models’, Econometrica 59, 1551–1580. Johansen, S. (1992a), ‘Cointegration in partial systems and the efficiency of singleequation analysis’, Journal of Econometrics 52(3), 389–402. Johansen, S. (1992b), ‘Testing weak exogeneity and the order of cointegration in uk money demand data’, Journal of Policy Modeling 14(3), 313–334. Johansen, S. (1995), Likelihood-Based Inference in Cointegrated Vector Autoregressive Models, Oxford University Press, New York. Johansen, S. & Juselius, K. (1990), ‘Maximum likelihood estimation and inference on cointegration - with applications to the demand for money’, Oxford Bulletin of Economics and Statistics 52, 169–210. Johansen, S. & Juselius, K. (1992), ‘Testing structural hypothesis in a multivariate cointegration analysis of the ppp and the uip for uk’, Journal of Econometrics 53, 211–244.

LITERATURA

78

Juráˇska, M. (2007), Kointegrace ekonomických ˇcasových ˇrad, Diplomová práce MFF UK, Praha. Juselius, K. (2006), Z´ aklady náhodných proces˚ u II., Oxford University Press, New York. Lo, A. W. & MacKinlay, A. C. (1988), ‘Stock market prices do not follow random walks: Evidence from a simple specification test’, The Review of Financial Studies 1(1), 41–66. L¨ utkepohl, H. (2005), New Introduction to Multiple Time Series Analysis, SpringerVerlag, Berlin. L¨ utkepohl, H. & Reimers, H. (1992), ‘Granger-causality in cointegrated var processes the case of the term structure’, Economics Letters 40, 263–268. MacKinnon, J. G., Haug, A. A. & Michelis, L. (1990), ‘Numerical distribution functions of likelihood ratio tests for cointegration’, Journal of Applied Econometrics 14, 563–577. Maddala, G. S. & Kim, I. (1998), Unit Roots, Cointegration, and Structural Change, Cambridge University Pres, Cambridge. McCabe, B., Leybourne, S. & Harris, D. (2006), ‘A residual-based test for stochastic cointegration’, Econometric Theory 22(03), 429–456. Newey, W. K. & West, K. D. (1987), ‘A simple, positive semi-definite, heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix’, Econometrica 55(3), 703– 708. Park, J. Y. & Phillips, P. C. B. (1988), ‘Statistical inference in regressions with integrated processes: Part 1’, Econometric Theory 4(3), 468–497. Park, J. Y. & Phillips, P. C. B. (1989), ‘Statistical inference in regressions with integrated processes: Part 2’, Econometric Theory 5(1), 95–131. Perron, P. (1986), Tests of joint hypotheses for time series regression with a unit root, Cahier de recherche no. 2086, (C.R.D.E., University of Montreal, Montreal). Pesaran, M. H. & Shin, Y. (1995), An Autoregressive Distributed Lag Modelling Approach to Cointegration Analysis, Cambridge Working Papers in Economics, University of Cambridge. Phillips, P. C. B. (1986), ‘Understanding spurious regressions in econometrics’, Journal of Econometrics 33, 311–340.

LITERATURA

79

Phillips, P. C. B. (1987a), ‘Asymptotic expansions in nonstationary vector autoregressions’, Econometric Theory 3(1), 45–68. Phillips, P. C. B. (1987b), ‘Time series regression with a unit root’, Econometrica 55, 277–301. Phillips, P. C. B. (1991), ‘Optimal inference in cointegrated systems’, Econometrica 59(2), 283–306. Phillips, P. C. B. & Ouliaris, S. (1990), ‘Asymptotic properties of residual based tests for cointegration’, Econometrica 58(1), 165–193. Phillips, P. C. B. & Perron, P. (1988), ‘Testing for a unit root in time series regression’, Biometrika 75, 335–346. Práˇsková, Z. (2004), Základy náhodných proces˚ u II., Karolinum, Praha. Quantitative Micro Software (2005), EViews 5.1 User’s Guide. Said, S. E. & Dickey, D. A. (1984), ‘Testing for unit roots in autoregressive-moving average models of unknown order’, Biometrika 71(3), 599–607. Sargan, J. D. & Bhargava, A. (1983), ‘Testing residuals from least squares regression for being generated by the gaussian random walk’, Econometrica 51(1), 153–174. Stock, J. H. (1987), ‘Asymptotic properties of least squares estimators of cointegrating vectors’, Econometrica 55(5), 1035–1056. Stock, J. H. & Watson, M. W. (1988), ‘Testing for common trends’, Journal of the American Statistical Association 83(404), 1097–1107.

Marek Mikoška Modely kointegrovaných časových řad

Recommend Documents