MAKALAH “Bantuan dalam Penghitungan Integral Tentu” “KALKULUS LANJUT” Dosen Pengampu: Sugeng Riyadi S.Si M.Pd
DISUSUN OLEH: Kelompok V
1. NURVITA 2. ROSI LUSIANA 3. PUJI ASTUTI 4. SURTA MD PANGGABEAN 5. SUTRISNO KELAS: B MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) YPM BANGKO 2014/2015
5.8 Bantuan Dalam Penghitungan Integral Tentu Penghitungan integral tentu secara umum adalah suatu proses dua langkah. Pertama, kita mencari suatu integral tak-tentu; kemudian kita terapkan Teorema Dasar Kalkulus, jika pengintegralan tak-tentunya mudah, kita dapat menggabungkan dua langkah itu, seperti dalam ∫ Tetapi,
jika
[
pengintegralan
]
tak-tentunya
cukup
rumit
sehingga
memerlukan suatu penggantian, maka secara khusus kita pisahkan kedua langkah tersebut. Jadi untuk menghitung ∫
√
Pertama kita tuliskan (memakai ∫ √
∫√
(
∫
( Kemudian, menurut Teorema Dasar, ∫
* (
√
+
Metode penggantian yang baru saja digambarkan diperumum dalam dua cara. Pertama, walaupun telah diperkenalkan dalam Pasal 5.1 hanya untuk fungsi pangkat, penerapannya meluas jauh di luar pemakaian itu. Kedua, terdapat suatu cara penggunaan penggantian secara lansung dalam suatu integral tentu. Kita bahas persoalan ini sekarang.
METODE SUBSTITUSI Perhatian Masalah pencarian ∫(
(
Jika kita andaikan
sehingga
berubah menjadi ∫
integral diatas
(
,
, yang akan anda perhatikan
bukan berupa integral dari sebuah fungsi pangkat. Tetapi, secara formal, (
∫(
∫
( Dalam contoh ini, dengan mudah kita dapat memeriksa kembali jawaban kita, dengan mendiferensialkan hasil itu. Tetapi apakah metode substitusi akan selalu berhasil?Ya, asalkan kita dapat membuktikan teorema berikut. Teorema A (Substitusi dalam Integral Tak Tentu). Andaikan g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan andaikan bahwa F adalah suatu anti ( ,
turunan dari f. Maka jika ∫ ( (
(
∫ (
(
( ( )
Bukti Cukup untuk memperlihatkan bahwa turunan dari ruas kanan adalah integraldari ruas kiri. Tetapi itu merupakan suatu penerapan sederhana dari Aturan Rantai digabungkan dengan kenyataan bahwa [ ( ( ) CONTOH 1 cari ∫
]
√ √
Penyelesaian Andaikan
√
( ( ) (
( ( ) (
Maka, ∫
√
∫
√
√ (
*
∫
√ CONTOH 2 hitung ∫
√
( (
Penyelesaian Andaikan (
∫
( (
sehingga
(
(
∫
Maka
(
∫
( Jadi, menurut Teorema Dasar Kalkulus, √
√
(
∫
(
(
[
]
( ) Perhatikan bahwa dalam prosedur dua langkah yang digambarkan dalam contoh 2, kita harus yakin untuk mengungkapkan integral tak tentu dalam dalam bentuk x sebelum kita menerapkan Teorema Dasar. Karena batas-batas 0 dan √
berlaku untuk x,bukannya u. Tetapi bagaimana jika (
pada saat melakukan penggantian
, kita juga membuat
perubahan yang berpadanan dalam batas-batas pengintegralan ke (
|√(
dan
|
√
? Kemudian dapatkah kita
mengakhiri pengintegralan dengan u sebagai variabel? Jawabnya adalah ya. √
∫
(
Ini adalah hasil yang umum.
√
√
∫
[
]
Teorema B (Substitusi dalam Integral Tentu). Andaikan g mempunyai turunan kontinu pada |
| dan andaikan f kontinu pada daerah
nilai dari g. Maka ∫ ( ( )
(
(
∫
( (
Bukti andaikan f adalah suatu anti turunan dari f (keujudan F dijamin oleh Teorema 5.TD). Maka menurut Teorema Dasar, (
(
∫
[ (
]
(
( (
( ( )
( (
)
Sebaliknya, menurut Teorema Substiusi untuk Integral Tak Tentu (Teorema A), ∫ ( ( ) (
( ( )
Sehingga,lagi-lagi menurut Teorema Dasar, ∫
(
( ( )
CONTOH 3 Hitung ∫ Penyelesaian (
( bilamana ∫
( ( )
( ( )
( (
)
(
andaikan
,
,dan perhatikan bahwa
bilamana
. Jadi, ∫
( ∫
( [
(
*
sehingga
]
dan
√
CONTOH 4 Hitung ∫
√
( √ ). Jadi,
√ , sehingga
Penyelesaian Andaikan √
∫
∫
√
√
√
∫ [ Perhatikan
]
perubahan
√
dalam
batas-batas
pengintegralan
pada
√
persamaan yang ke dua. Bilamana
PENGGUNAAN SIMETRI Ingat kembali bahwa suatu fungsi genap adalah yang memenuhi memenuhi
(
(
( , sedangkan suatu fungsi ganjil
( . Grafik yang terlebih dahulu simetri terhadap
sumbu – ; grafik yang belakangan simetri terhadap titik asal. Berikut adalah sebuah teorema pengintegralan yang manis untuk fungsi-fungsi yang demikian. Teorema C (Teorema Simetri). Jika fungsi genap, maka ∫
(
∫
(
Jika f fungsi ganjil, maka ∫
(
Bukti Tafsiran geometri dari teorema ini diperlihatkan dalam Gambar 1 dan 2 untuk membenarkan hasil-hasil itu secara analitik, pertama kita tuliskan ∫
(
∫
(
∫
(
Dalam Integral pertama di ruas kanan, kita melakukan substitusi Jika f genap, (
∫
(
(
(
∫
(
(
∫
(
( ( ,
(
∫
∫ ( (
∫ CONTOH 5 Hitung ∫
∫ (
∫
Sebaliknya, jika f ganji, sehingga ( ∫
dan
∫
(
,
Penyelesaian
(
karena
(
(
(
adalah fungsi genap Jadi ∫
( )
∫
( )
∫
[
∫
]
( ) √
CONTOH 6 Hitung ∫ Penyelesaian (
(
adalah fungsi ganjil. Jadi integral
diatas bernilai 0. CONTOH 7 Hitung ∫ ( Penyelesaian Dua suku pertama dalam integral adalah ganjil, yang terakhir genap, jadi kita boleh menuliskan integral itu sebagai ∫ (
∫
∫
[
]
PENGGUNAAN KEPERIODIKAN Suatu fungsi f adalah periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikian sehingga
(
(
Untuk semua bilangan riil x dalam daerah definisi f. Bilangan p yang terkecil demikian adalah periode dari fungsi periodik. Fungsi-fungsi trigonometri merupakan contoh-contoh utama dari fungsi-fungsi periodik.
Teorema D Jika f periodic dengan periode p, maka (
∫
(
∫
Bukti Tafsiran geometri dapat dilihat dalam Gambar 3. Untuk – sehingga
membuktikan hasil itu, andaikan
dan
Maka ∫
(
(
∫
CONTOH 8 Hitung ∫ |
∫ |
(
∫
. (
Penyelesaian Perhatikan bahwa
|
| adalah periodik
dengan periode , ∫ |
|
∫ |
∫ |
|
|
∫ | ∫ | [
∫ (
(
| ]
|
Contoh soal integral tak tentu denganmenggunakan metode subtitusi 1) ∫ Penyelesaian: Misalkan:
∫
∫
(
(
( *
(
(
*
2) ∫ Penyelesaian: Misalkan :
∫
∫ ∫
( *( [ (
* *]
[ (
( [
*
√
)
( * ]
[ (
*]
( *( *
3) ∫
( (
Misalkan : ( (
⁄
( (
∫
] (
(
*
Bukti: ∫ [(
]]
(
(
* ]
( (
4) .∫ (
* *
=
Misalkan: t = 3x +1 dt = 3dx dt = dx
X =0
t=3.0+1 =1
X=1
t=3.1+1=4
∫
(
*] (( ) (
= (
=
√
5) ∫ (√ Misalkan:
)
√ (√ )
∫
⁄
] ] (
*
[(
(
[ [ (
6) ∫ Misalkan :
(
] ]
]
(
∫
∫ ] (
]
( (
7) Tentukan ∫ Penyelesaiian: ∫ ( ∫ (
∫ ( ]
(
∫
0+2 ( 8) ∫
(
Penyelesaiian: jika
(
((
Ini merupakan fungsi ganjil ∫ TUGAS DIRUMAH 1. ∫ √ Penyelesaian: Misalkan:
(
(
)
∫
∫
( 2. ∫
(
Penyelesaian: Misalkan :
∫ ( 3. ∫ √ Penyelesaiian: Misalkan: :
∫ √
∫
( (
√
4. ∫
√
Penyelesaiian: (
Misalkan:
( ( √ ( ∫
∫ √
5. ∫
(
Misalkan :
∫
] (
* (
(
) )
6. ∫ Misalkan :
Jika :
∫
]
( * 7.
∫ Misalkan :
Jika √ ∫
∫ ∫
( [(
)+ *
( * ]
( *
√ ⁄ (( (
)
)
*
(
8. ∫ Misalkan :
∫
(
(
(
) )
( (
9. ∫– ( √ (
(
(fungsi ganjil)
(
∫
(
∫
10. ∫( ∫( ∫( (
∫
(
∫
(
(
∫ (∫
∫
∫
( ( ( (
(
(
(
( )
