”TRANSFORMASI” Makalah ini disusun sebagai tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen Pengampu Mata Kuliah
HERDIAN, S.Pd., M.Pd.
Disusun Oleh : Kelompok 1
Hayatun Nupus
08030121
Rina Ariyani
08030057
Dwi Ananda Ferinia 08030030
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) (STKIP) MUHAMMADIYAH PRINGSEWU LAMPUNG 2010
1
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Allah SWT, karena atas rahmat dan hidayah-Nya kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan tepat waktu. Makalah ini di susun sebagai salah satu tugas mata kuliah Geometri Transformasi.
Harapan kami semoga apa yang sisajkikan dalam makalh ini mampu memberikan manfaat serta membantu mahasiswa dalam memahami mata kuliah geometri transformasi.
Ucapan terima kasih kami sampaikan kepada semua pihak yang telah ikut memberikan saran dan motivasi dalam penyusunan makalh ini. Kami yakin dan menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Karena sesungguhnya kesempurnaan itu hanyalah milik Allah SWT. Oleh karena itu saran dan kritik yang sifatnya membangun sangat kami harapakan dari siapaun terutama kepada bapak Herdian, S. Pd., M. Pd. Selaku dosen pengampu mata kuliah Geometri Transformasi.
Akhir kata semoga makalh ini dapat berguna dan bermanfaat bagi kami khususnya dan umumnya bagi pembaca.
Pringsewu, 21 Oktober 2010 Penulis
2
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................................
i
HALAMAN DAFTAR KELOMPOK ..............................................................
ii
KATA PENGANTAR ......................................................................................
iii
DAFTAR ISI.....................................................................................................
iv
BAB I
BAB II
PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah ...................................................
1
B. Tujuan...............................................................................
2
C. Rumusan Masalah ............................................................
2
PEMBAHASAN Transformasi ...........................................................................
BAB III
3
PENUTUP KeSimpulan ............................................................................
SOAL LATIHAN
3
9
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Pembentukan suatu geometri untuk mempelajari bahan yang disajikan dalam transformasi perlu memahami geometri pada bidang, oleh karena itu geometri ini di sajikan untuk mengingat kembali geometri tersebut, sekedar untuk suatu penyegaran. Yang akan kita bahas yaitu geometri Euclides bidang. Geometri Euclides bidang yaitu sebuah himpunan unsure-unsur tak teridentifikasinya dinamakan titik. Bidang ini dinamakan bidang Euclides, apabila pada himpunan titik-titik ini kita berlakukan suatu struktur geometri yang terbagi atas unsure-unsur tak terdefinisi, macam-macam axoioma, definisi- definisi dan teorema- teorema.
1. Sistim axoioma insidensi. a. Sebuah
garis
adalah
himpunan
titik
yang
kosong
dan
mengandungpaling sedikit 2 titik b. Kalau ada 2 titik maka ada tepat sebuah garis yang memuat dua titik tersebut c. Ada 3 titik yang tidak semua terletak pada satu garis.
2. System axioma urutan yang mengatur konsep urutan tiga titik pada sebuah garis, konsep setengah garis sinar, konsep ruas garis.
4
3. System axioma kekongruenan yang mengatur kekongruenan dua ruas garis, kekongruenan dua segitga dan sebagainya. 4. Axioma kekontinuan (atau Axio Archimedes) yang mengatakan bahwa apabila a dan b dua bilangan real positif dengan a < b maka ada bilangan asli n sehingga na > b 5. Axioma kesejajaran euclides yang menyatakan bahwa apabila ada dua ruas garis a dan b dipotong ke garis ke tiga c dititik A € a dan titik B € b sehingga jumlah besarnya dua sudut dalam sepihak di A dan B kurang dari 180o maka a dan b akan berpotongan pada bagian bidang yang terbagi oleh garis c yang memuat kedua sudut dalam sepihak.
Maka makalah ini disusun sebagai salah satu referensi memahami mata kuliah geometri transformasi.
B. Tujuan Tujuan dari penulisan makalah ini adalah membantu mahasiswa sebagai calon pengajar dalam menjelaskan/ memahami mata kuliah geometri trnasformasi, sehingga memudahkan proses belajar mahasiswa.
C. Rumusan Masalah Sesuai dengan latar belakang diuraikan maka dapat kita uraikan masalah yang sebelumnyatidak kita ketahui yaitu apa pengertian transformasi itu.
5
BAB II PEMBAHASAN
A. Transformasi Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif dengan daerah asalnya V dan daerah nilainya V juga. Seperti anda ketahui suatu fungsi yang bijektif adalah sebuah fungsi yang bersifat : 1. Surjektif Surjektif artinya bahwa pada titik B transformasi maka ada A
V ada prapeta. Jadi kalau T suatu
V sehingga B = T (A)B dinamakan peta dari A
oleh T dan A dinamakan prapeta dari B.
2. Injektif Injektif artinya kalau A1 ≠ A2 dan T (A1) = B1, T (A2) = B2 maka B1 ≠ B2, ungkapan ini setara dengan ungkapan sebagai berikut : Kalau T (P1) = Q1 dan T (P2) = Q2 sedangkan Q1 = Q2 maka P1 = P2. Tugas : coba anda buktikan bahwa kedua ungkapan itu setara.
Pada contoh-contoh di bawah ini kita beranggapan bahwa V adalah sebuah bidang Euclides, artinya pada himpunan titik-titik V diberlakukan system axioma Euclides.
6
Contoh 1 : Andaikan A
V ada perpetaan (padanan) T dengan daerah asal V dan daerah
nilai juga V. Jadi T : V → V yang didefenisikan sebagai berikut : (1) T (A) = A (2) Apabila P ≠ A, maka T (P) = Q dengan Q titik tengah garis
. Selidiki
apakah padanan T tersebut suatu transformasi. Jawab : R
A S = T (R) Q = T (P) P
Jelas bahwa A memiliki peta, yaitu A sendiri Ambil sebarang titik R ≠ A pada V. oleh karena V bidang Euclides, maka ada satu garis yang melalui A dan R, jadi ada satu ruas garis
sehingga
ada tepat satu titik S dengan S antara A dan R, sehingga AS = SR.
Ini berarti untuk setiap X
V ada suatu Y dengan Y = T (X) yang
memenuhi persyaratan (2). Jadi daerah asal T adalah V
7
1) Apakah T Surjektif, atau apakah daerah nilai T juga V? Untuk menyelidiki ini cukuplah dipertanyakan apakah setiap titik di V memiliki prapeta. Jadi apabila Y
V apakah ada X
V yang bersifat
bahwa T (X) = Y? Menurut ketentuan pertama, kalau Y = A prapetanya adalah A sendiri, sebab T (A) = A Y = T (X) A
X
Apabila Y ≠ A, maka oleh karena V suatu bidang Euclides, ada X tunggal dengan X
sehingga AY = XY
Jadi Y adalah titik tengah
yang merupakan satu-satunya titik tengah.
Jadi Y = T (X) Ini berarti bahwa X adalah prapeta dari titik Y. dengan demikian dapat dikatakan bahwa setiap titik pada V memiliki prapeta. Jadi T adalah suatu padanan yang surjektif.
2) Apakah T Injektif itu? Untuk menyelidiki ini ambillah dua titik P ≠ A, Q ≠ A dan P ≠ Q. P, Q, A tidak segaris (kolinear). Kita akan menyelidiki kedudukan T (P) dan T (Q)
T (Q) T (P)
Andaikan T (P) = T (Q)
8
Oleh karena itu T (P)
dan T (Q)
maka dalam hal ini
dan
memiliki dua titik sekutu yaitu A dan T (P) = T (Q). Ini berarti bahwa garis
dan
berimpit, sehingga mengakibatkan bahwa Q
Ini berlawanan dengan pemisalan bahwa A, P, Q tidak segaris. Jadi pengandaian bahwa T (P) = T (Q) tidak benar sehingga haruslah
T (P)
T (Q).
Dari uraian di atas tampak bahwa padanan T itu injektif dan surjektif, sehingga T adalah padanan yang bijektif. Dengan demikian terbukti T suatu transformasi dari V ke V. ditulis T : V → V.
Contoh 2 : Pilihlah pada bidang Euclides V suatu system koordinat Ortogonal. T adalah padanan yang mengakibatkan setiap titik P dengan titik P yang letaknya satu satuan dari P dengan arah sumbu X yang positif. Selidiki apakah T suatu transformasi? Jawab : Y
P
P1
X Q
9
Kalau P = (x, y) maka T (P) = P1 = (x + 1), y) = T (P) (x + 1) + 1, y) Jelas daerah asal T adalah seluruh bidang V. Kita harus menyelidiki lagi dua hal, yaitu : 1) Apakah T surjektif? 2) Apakah T injektif?
Jika A (x, y), pertanyaan yang harus di jawab ialah apakah A memiliki prapeta oleh T?
Andaikan B = (x,, y,) 1) Kalau B ini prapeta titik A (x, y) maka haruslah berlaku T (B) = (x, + 1 y,). Jadi x, + 1 = x, y, = y atau Jelas T (x-1, y) = (( x – 1) + 1, y) = (x, y) Oleh karena x,, y, selalu ada, untuk segala nilai x, y maka B selalu ada sehingga T (B) = A. Karena A sebarang, maka setiap titik di V prapeta yang berarti bahwa T surjektif.
10
2) Andaikan P (x1, y1) dan Q (x2, y2) dengan P ≠ Q Apakah T (P) ≠ T (Q) ? Di sini T (P) = (x1 + 1, y1) dan T (Q) = (x2 + 1, y2) Kalau T (P) = T (Q), maka (x1 + 1, y1) = (x2 + 1, y2) Jadi berlawanan dengan yang diketahui bahwa P ≠ Q. jadi haruslah T (P) ≠ T (Q). dengan demikian ternyata bahwa T injektif dan T adalah padanan yang bijektif. Jadi T suatu transformasi dari V ke V.
11
BAB III PENUTUP
Kesimpulan 1. Suatu fungsi dikatakan bijektif yaitu sebuah fungsi yang bersifat surjektif dan injektif. 2. Surjektif merupakan pada tiap titik B 3. Injektif merupakan jika
V ada prapeta.
dan T
12
=
,T
=
maka
.
SOAL LATIHAN
1.
T : V → V, didefenisikan sebagai berikut : Apabila P (x, y) maka : i. T (P) = (x + 1, y) untuk x > 0 ii. T (P) = (x + 1, y) X < 0 a. Apakah T injektif b. Apakah T suatu transformasi
(ii) x < 0
P1
(i) untuk x> 0
P
P1
P
x
Penyelesaian Missal P = (x, y) B = (x1, y1) 1) Jika B prapeta titik P (x, y) maka T (B) =(x1 + 1, y1) Jadi x1 + 1
=x
x1
= x-1
y1
=y
2) Jika B prapeta titik P (x, y) maka T (C) = (x1 - 1, y1) Jadi x -1
=x
13
x
=x+1
y
=y
T ( (x1 + 1), y1)= ( (x – 1) + 1, y) = (x, y) T ((x1 – 1), y1) = ( (x + 1) – 1, y) = (x, y) Karena (x1, y1) untuk (i) dan (ii) selalu ada untuk segala (x, y) maka titik B selalu ada sehingga : T(B) untuk (i) dan (ii) = P
Untuk 1) T (P) = (x + 1, y) Jika P sembarang, maka titik di V memiliki prapeta yang berarti bahwa T injektif. Misal :
P (x1, y1) dan Q ( x2, y2) dengan P ≠ Q T (P) ≠ T (Q) ….. ? T (P) = (x1 + 1, y1) dan T (Q) = ( x2 + 1, y2) T (P) = T (Q) maka (x1 + 1, y1)
= ( x2 + 1, y2)
x1 + 1 = x2 + 1 dan y1 = y2 x1 = x 2
dan y1 = y2
sehingga P = Q dan berlawanan bahwa P ≠ Q jadi T (P) ≠ T (Q) dengan demikian T injektif
14
Misal jika A (x, y) maka kita harus jawab apakah A memiliki prapeta oleh T? Missal = B (x1 , y1) Jika B prapeta titik A (x, y) maka berlaku T (B) = (x1 + 1, y1)
Jadi Jelas T ( x – 1, y) = ( (x-1) + 1, y) = (x,y) Karena (x1 , y1) selalu ada untuk segala nilai (x, y) maka B selalu ada sehingga T (B) = A. Karena A sembarang, maka setiap titik di V memiliki prapeta yang berarti bahwa T surjektif, dengan demikian ternyata T suatu transformasi dari V ke V.
Untuk 2) T (P) = (x-1, y) Missal P ((x1, y1) dan Q (x2, y2) dengan P ≠ Q T (P) ≠ T (Q)………. ? T (P) = (x1 - 1, y1) dan T (Q) = (x2 - 1, y2) T (P) = T (Q), maka (x1 - 1, y1) = (x2 - 1, y2) x1 - 1 = x2 - 1 dan y1 = y2 berarti
x1 = x2
dan y1 = y2
sehingga P = Q dan berlawanan bahwa P ≠ Q jadi T (P) ≠ T (Q), dengan kata lain T injektif.
15
Misal jika A (x, y) maka berlaku T (P) = P1 dan P1 = (x-1, y) Jelas daerah asal T adalah sebuah bidang V Missal A = (x, y) maka kita harus jawab apakah A memiliki prapeta oleh T? Missalkan B = (x1 , y1) Jika B prapeta titik A (x, y) maka haruslah berlaku T (B)
= (x1- 1, y1)
Jadi x1 - 1 = x x1 = x + 1 y1 = y
Jelas T ( x + 1, y) = ((x+ 1) – 1, y) = ( x, y) Karena (x1 , y1) selalu ada untuk segala nilai (x, y) maka B selalu ada sehingga T (B) = A. Karena A sembarang, maka setiap titik di V memiliki prapeta yang berarti bahwa T surjektif, dengan demikian ternyata T suatu transformasi dari V ke V.
2.
Diketahui f = V→V jika P (x, y) maka f (P) = (1 x 1, 1y1) Tentukanlah f (A) jika A = (-3, 6) Penyelesaian A = (-3, 6) maka f (A)
=
f (-3, 6)
= = = (3, 6)
16
3.
Diketahui fungsi g = sumbu x → V yang didefenisikan sebagai berikut : Apabila P (x, O) maka g (P) = (x, x2). Tentukan peta A ( 3, 0) oleh g Penyelesaian A (3, 0) maka g (A) = (x, x2) g (3, 0) = (3, (3)2) g (3, 0)= (3, 9)
17
