MAJOR ZOLTÁN
EGY IZGALMAS SZÉLSŐÉRTÉKFELADAT CSALÁD Az izoperimetrikus problémakör
F E L A DAT O K - M E G O L D Á S O K
ELŐSZÓ
Ez a könyv elsősorban középiskolás diákok és tanáraik számára készült, szakköri feldolgozásra is javasolt, de haszonnal forgathatják a főiskolák, egyetemek matematikát tanuló hallgatói és ajánlom mindazok számára, akiknek matematikai érdeklődése túlmutat az iskolai tananyagon. A könyvet első változatban az 1980-as évek végén írtam meg az akkori tankönyvkiadó megbízásából. Azonban a szerkesztőség és a bírálók kedvező véleménye ellenére sem adták ki, mert a könyvpiac abban az időben jelentősen átalakult, beszűkült és ezért a kiadói jogukról lemondtak. Ezután 1993-ban kicsit átdolgozva, tömörítve,
magánkiadásban kiadtam. Ezt megalapozták eredeti bírálóim bátorító szavai is: Dr. Kálmán Attila: “... A feladatkör valóban rendkívül érdekes, szerteágazó; a feldolgozás színvonalas. A kiadvány hézagpótló ... A középiskolai tanárok és diákok, valamint a főiskolai és egyetemi hallgatók nagy haszonnal, szinte kézikönyvként használhatják. Mielőbbi megjelentetését föltétlenül javaslom.” Dr. Molnár Emil: “... a könyv igen értékes, hasznos segédeszköze lesz a matematika tanárainak és a versenyekre, matematikai pályákra készülő középiskolás diákoknak.” A nyomdaköltségek fedezetére sikerült szponzorokat találnom, a terjesztést már magam oldottam meg. Volt ahol bizományba vették át, de olyan könyvesboltok is
voltak, ahol 20-50 példányt rögtön megvásároltak. Azóta eltelt két évtized és kíváncsiságból rákerestem az interneten a könyv címére. Nagyon megörültem, amikor több könyvtári archívumban is, középiskolai
honlapon, valamint a Szegedi Tudományegyetem tantervében az ajánlott
irodalomjegyzékben is megtaláltam. Ez, valamint a technikai fejlődés adott ismételt ösztönzést arra, hogy előkészítsem a könyv újabb kiadását. Most már nincs feltétlenül szükség a nyomdaköltségek előteremtésére, a magas nyomdaköltségek miatti terjedelmi, formai korlátozásokra és a terjesztésben is alapvetően új lehetőségeket i
biztosít az internet. Mindezeknek köszönhetően az új kiadás jelentősen kibővített formában készülhetett el! A könyv 4 részből áll. Az I. RÉSZ a matematika egyik gyöngyszemének tekinthető, a több mint kétezer éves izoperimetrikus problémakört mutatja be. A kapcsolódó feladatok, kérdések többek között Arkhimédész, Euler, Descartes, Lagrange, Minkowski, Weierstrass, és a magyar matematikusok közül Szőkefalvi-Nagy Béla, Riesz Frigyes, Fejes Tóth László érdeklődését is felkeltette. A II. RÉSZ-ben megoldott példák a következő rész előkészítését szolgálják. A III. RÉSZ 237 feladatot tartalmaz. A IV. RÉSZ-ben a feladatok megoldása található. A megoldások során előnyben részesítettem az egyenlőtlenséggel történő feladatmegoldást. Néhány kivételtől
eltekintve egy feladatra csak egy megoldási változatot mutatok be, de nagyon hasznosnak tartom további megoldási lehetőségek keresését. A könyv végén az érdekesebb eredményeket táblázatokba gyűjtöttem össze.
Az irodalomjegyzék csak ízelítőt ad a témakörrel kapcsolatos gazdag matematikai
irodalomból. Jelen könyvben csak olyan egyszerű alakzatokkal, illetve testekkel foglalkozok, amelyek zárt, önmagát nem metsző vonal, illetve felület által határolt síkbeli, illetve térbeli ponthalmazok. A geometriában szokásos jelöléseket használom, gyakran előfordul, hogy ugyanaz a betű jelöli az alakzat, vagy a test alkotórészét és annak
mértékét is. Élvezetes olvasást, sikeres feladatmegoldást és hasznos időtöltést kívánok az
olvasónak! Sopron, 2013. január
Major Zoltán ii
I
I. RÉSZ - ELMÉLET “A tudomány csalhatatlan,
de a tudósok mindig csalódnak.” ~ Anatole France
3
1
JACOB STEINER SZÉP ÖTLETE “… ami a tudomány számára a kétkedés, az a személyes élet számára az irónia.” ~ Sören Kierkegaard
Gondolkodjunk el a következő kérdéseken! Mekkora az a legnagyobb terület, amit körül lehet keríteni egy adott hosszúságú kötéllel? Adott hosszúságú kötél által határolt síkidomok közül melyiknek legnagyobb a területe? Adott kerületű síkidomok közül melyiknek legnagyobb a területe? A fenti kérdések között csupán formai, megfogalmazásbeli különbség van, a választ mindegyikre hasonló módon adhatjuk meg. Most elmondom, hogy Steiner, a kiváló svájci matematikus milyen ötletesen vizsgálta ezt a problémakört. Három esetet különböztetett meg. 1. Könnyen belátható, hogy a legnagyobb területű síkidom konkáv nem lehet. Tekintsük ugyanis a konkáv alakzatot tartalmazó legkisebb területű konvex síkidomot (ezt szokták konvex buroknak is nevezni), ennek területe nagyobb, kerülete viszont kisebb (két pontot összekötő vonalak között az egyenes szakasz a legrövidebb). A konvex síkidomot nagyítsuk most akkorára, hogy kerülete megegyezzék a kiindulási konkáv síkidoméval. Ekkor területe is nagyobb lesz. Így a 4
konkáv síkidomhoz találtunk egy ugyanakkora kerületű, de nagyobb területű konvex síkidomot.
2. Tekintsük most azokat a síkidomokat, amelyeknek van olyan húrja, amelyik felezi a síkidom kerületét, de nem felezi a területét. Ilyen esetben hagyjuk el a kerületfelező húr által lemetszett kisebbik területű részt, a másikat pedig tükrözzük a húr egyenesére. Így egy olyan (nem feltétlenül konvex) síkidomhoz jutunk, amelyiknek a kerülete ugyanakkora, a területe viszont nagyobb, mint a
kiindulási síkidomé.
3. Végezetül vizsgáljuk az összes olyan, a körtől különböző síkidomot,
amelyikben minden kerületfelező húr a területet is felezi. Példaként megemlítek néhányat: szabályos hatszög, négyzet, ellipszis, …
Ebben az esetben is mutatunk egy olyan eljárást, aminek eredményeképpen a kerület nagysága nem változik, a terület viszont nő.
Az ábrán látható AB húr felezi a síkidom területét és kerületét is. Mivel a körtől különböző síkidomról van szó, ezért a kerületén található olyan P pont, ahonnan a húr nem derékszögben látszik. Rögzítsük a P pontból a húr végpontjaiba húzott szakaszok hosszát, és ragasszuk hozzájuk az ábrán kék színnel jelölt részeket.
5
Változtassuk most a P-nél levő szöget derékszögre. Az így kapott derékszögű háromszöget a befogóihoz ragasztott kék színű részekkel együtt tükrözzük az
átmérő egyenesére.
A kerület nagysága eközben ugyanakkora maradt! A terület viszont nőtt, hiszen a besatírozott részek területe nem változott, a háromszög területe pedig nagyobb lett (a két rögzített hosszúságú szakasz közül valamelyiket alapnak tekintve, a hozzá tartozó magasság a derékszögű háromszögben a másik szakasz, az eredeti háromszögben pedig ennél kisebb).
“Tehát az ugyanakkora kerületű síkidomok között a kör területe a legnagyobb.” - állította Steiner. Igazán szemet gyönyörködtető egyszerűséggel jutott el a megoldáshoz. Gondolatmenete szellemes, könnyen érthető. Azonban a steineri gondolatmenet hibás, nem bizonyító erejű! Egy lényeges
ponton komoly hiányosságot tartalmaz. Bár Steiner figyelmét felhívta erre egyik kortársa is, ő meg volt győződve arról, hogy teljes mértékben megoldotta a problémát! Sőt még több, szintén egyszerű és hasonlóan szellemes “bizonyítást” is talált a feladatra. Szemléletünk számára teljesen meggyőző a steineri gondolatmenet. De szemléletünket könnyen be lehet csapni! A következő fejezetben megvizsgáljuk, hol van a hiba a fenti gondolatmenetben.
6
2
HOL VAN A HIBA?
7
3
AZ IZOPERIMETRIKUS FELADAT
8
4
TÖREKEDJÜNK A TELJESSÉGRE
9
5
ÍGY MÁR EZ IS EGYSZERŰ
10
6
EGY KIS TÖRTÉNELEM “A látóhatár, amit az ember szeme megpillant, sosem a végső part, mert ezen a látóhatáron túl van még egy másik, azután következő, mindvégig.” Gustave Flaubert
A monda szerint az izoperimetrikus probléma eredete a következő:
Dido, Tyrosz királyának lánya volt. Nagybátyjához, Acerbászhoz ment feleségül, akit azonban mesés vagyona miatt hamarosan meggyilkoltak. Dido ekkor Acerbász kincseivel együtt Ciprusra menekült, majd innen tovább hajózott Afrika Szicíliához közeli partjaira. Elment a vidék uralkodójához ás elmondta neki, hogy szeretne a
tengerpart mentén egy földdarabot vásárolni, de nem nagyobbat, mint amekkorát egy marhabőrrel körül tud keríteni. Az uralkodó mosolyogva beleegyezett a szépséges királynő kérésébe, sőt nagylelkűen még meg is ajándékozta egy jókora marhabőrrel. Az okos Dido keskeny csíkokra vágta szét a bőrt és a szeleteket összecsomózva olyan hosszú kötélhez jutott, amelyikkel jóval nagyobb (tengerbenyúló) földterületet lehetett elkeríteni a tengerparton, mint amekkorát az uralkodó elképzelt. Így alapította meg Karthágó virágzó városát, aminek később ő lett a királynője. A görög matematikusok közül Zenodóroszról tudjuk, hogy az izoperimetrikus
alakzatokkal foglalkozott körülbelül i.e. 150 évvel és korának matematikai
ismereteihez képest igen szép eredményeket ért el: 14, a témába tartozó tételt
bizonyított be.
Íme néhány közülük.
- Azon K kerületű háromszögek közül, amelyeknek egyik oldala egységnyi, az egyenlő szárú területe a legnagyobb.
- Az adott oldalszámú és adott nagyságú kerülettel rendelkező sokszögek közül a szabályos területe a legnagyobb.
- Az ugyanakkora kerületű alakzatok közül a kör területe a legnagyobb.
11
Az utóbbi két feladatnál természetesnek vette, hogy létezik a legnagyobb területű alakzat (emlékeztetnék arra, hogy ez több, mint másfél ezer évvel később is
nyilvánvaló volt a matematikusok többsége számára). Az utolsó tétellel kapcsolatban pedig tudni kell, hogy Zenodórosz számára az alakzat fogalmába mindössze a sokszög, a kör és annak egyes részei tartoztak bele.
Zenodórosz kimondja azt is, hogy valamennyi egyenlő felszínű test között a gömb
rendelkezik a legnagyobb térfogattal, de bizonyítani csak annyit tud, hogy minden platóni test (szabályos test) kisebb térfogatú, mint az ugyanakkora felszínű gömb.
Zenodórosz “Izoperimetrikus alakzatok” című könyve sajnos elpusztult, de az ő eredményeit ismertette és újra be is bizonyította az alexandriai Papposz i. sz. 300 körül. Ismert, hogy Arkhimédész is foglalkozott ezzel a problémakörrel, de említésre méltó eredménye nem maradt ránk.
A középkorban számos neves matematikus érdeklődését keltette fel a körnek e
szélsőérték tulajdonsága. Csak néhányat említve közülük: Descartes (1596-1650),
Jacob Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748), Euler (1707-1783),
Lagrange (1736-1813) ... Különböző analitikus és geometriai eszközökkel dolgoztak és
12
mindegyikük nyilvánvalónak tartotta és így nem is bizonyította, hogy létezik megoldása a feladatnak.
Kétségtelenül Jacob Steiner (1796-1863) svájci matematikus volt az, akinek munkássága a korábbi eredmények betetőzését jelentette. Mintegy szintetizálta a korábbi matematikusok eredményeit és új ötletekkel gazdagította a témakört.
Dirichlet (1805-1859), Steiner kortársa vette észre először az izoperimetrikus tétel addigi bizonyításainak hiányosságát és felhívta erre Steiner figyelmét is, aki nem fogadta el a kritikai észrevételeket. Ez nem csökkenti Steiner érdemét, annál inkább nem, ha figyelembe vesszük, hogy még Sturm “Maxima und Minima” című 1910-ben megjelent könyve is Steiner szellemében íródott, sőt még napjainkban is jelennek meg olyan írások, amelyek a steineri gondolatmenetet
bizonyító erejűnek fogadják el (például Lévai-Sain, Matematika-történeti feladatok, Tankönyvkiadó, Bp.,
200-201. o.). Pedig Weierstrass (1815-1897) az 1870-es években a berlini egyetemen tartott “Variációszámítás” című előadásai során felsőbb matematikai eszközökkel szigorúan bebizonyította a kör nevezetes szélsőértéktulajdonságát. Weierstrass munkássága az egész matematika szempontjából
forradalmi változásokat eredményezett. Számtalan cikk és tanulmány jelent meg az ívhossz, a kerület, a terület, a
térfogat és felszín fogalmával kapcsolatosan.
Mindez lényeges fordulatot jelentett az izoperimetrikus
probléma történetében is. Újabb és újabb bizonyítás látott napvilágot.
Igazán elemi bizonyítás azonban a mai napig nem született.
Mindegyik legalább a felsőbb matematika alsóbb régióiba tartozó fogalmakat,
tételeket használ, de többen nem riadtak vissza a nagy ágyúk használatától sem.
Az érdekesség kedvéért utalok itt néhányra.
13
- Schwarz (1843-1921) 1884-ben egy új - Weierstrass módszerén alapuló -
szimmetrizációs eljárás segítségével bebizonyította a kör és a gömb izoperimetrikus
tulajdonságát [2].
- Minkowski (1864-1909) a halmazműveletek általánosítása révén 1897-ben olyan
általános egyenlőtlenséget kapott, aminek speciális eseteként bármelyik véges
dimenziós euklideszi térben megkapjuk az izoperimetrikus egyenlőtlenséget.
- Hurwitz (1859-1919) 1902-ben a Fourier sorok elméletének segítségével
bizonyította be a síkbeli izoperimetrikus tételt
(Szőkefalvi-Nagy Béla, Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó 1977, 267-269. o.).
- Carathéodory (1873-1950) 1909-ben megmutatta, hogy ha Steiner módszerét alkalmas formában konvex
alakzatokra véges sokszor alkalmazzuk, akkor eljutunk a körhöz. Ezzel a steineri gondolatmenetet teljessé tette.
- További bizonyítások születtek trigonometrikus sorok,
integrálformulák, integrálgeometriai eszközök segítségével. Például Blaschke könyvében [1] 7 darab lényegesen különböző ilyen típusú bizonyítás található.
14
- A magyar matematikusok is letették névjegyüket. Az először Bonnesen által
1921-ben bizonyított K2 − 4πT > (K − 2rπ)2 egyenlőtlenségre Szőkefalvi Béla (1913-1998) talált szép geometriai bizonyítást,
felhasználva a Riesz Frigyes (1880-1956) által bevezetett belső párhuzamos burok
fogalmát.
A Santalo (1911–2001) által integrálgeometriai eszközökkel bizonyított K2 − 4πT ≥ (K − 2pπ) , R ≥ p ≥ r 2
egyenlőtlenségre Fejes Tóth László (1915-2005) adott geometriai bizonyítást.
Feltétlenül meg kell említeni, hogy a Fejes Tóth László által vezetett magyar diszkrét geometriai iskola több képviselője is szép eredményt ért el a tágabb értelemben vett izoperimetrikus témakörrel kapcsolatban.
15
II
II. RÉSZ - PÉLDÁK “A tudást csak akkor tudjuk megemészteni, ha jó étvággyal habzsoltuk.” ~ Anatole France
16
1
PÉLDÁK, MEGOLDÁSOK Ebben a fejezetben néhány olyan feladat megoldása olvasható, amelyekhez
hasonlókkal a későbbiekben is találkozhatunk, illetve ezek eredménye jól használható a további feladatmegoldás során.
Gyakran használjuk majd a nevezetes közepek közötti egyenlőtlenségeket .
1. példa A 4 egység kerületű téglalapok közül melyiknek legnagyobb a területe?
Megoldás:
A téglalap oldalait jelöljük x-szel és y-nal.
Ekkor területe és kerülete: K = 2 (x + y) = 4, T = xy.
Alkalmazzuk az SZ-M egyenlőtlenséget a pozitív x és y számokra. Négyzetre emelve mindkét oldalt láthatjuk, hogy: x+y K2 T = xy ≤ = = 1, ( 2 ) 16 2
tehát a terület értéke legfeljebb 1 lehet, és ezt az értéket fel is veszi, hiszen az
SZ-M egyenlőtlenségben x = y esetén - és csakis ekkor - az egyenlőség teljesül. Ez azt jelenti, hogy a 4 egység kerületű téglalapok közül a négyzet a legnagyobb területű, ekkor a terület értéke 1, és az összes többi esetben ennél kisebb.
17
2. példa Az egységkerületű háromszögekben mekkora az oldalak reciprokösszegének a minimuma?
Megoldás:
A háromszög oldalait jelölje a, b és c, a kerületről tudjuk, hogy K = 1.
Alkalmazzuk az a, b és c pozitív számokra az SZ-H egyenlőtlenséget : 3 1 a
+
1 b
+
1 c
≤
a+b+c K 1 = = , 3 3 3
amiből rendezés után azt kapjuk, hogy 1 1 1 + + ≥ 9. a b c
A kapott eredményből leolvasható, hogy hogy az oldalak reciprokösszege legalább 9,
és ezt az értéket a szabályos háromszög (a = b = c) esetében, és csakis ekkor fel is veszi. A reciprokösszeg minimuma tehát 9.
18
3. példa Legfeljebb mekkora lehet egy 2 egység kerületű egyenlő szárú háromszög területe?
Megoldás:
A háromszög alapja legyen a, a szárai pedig b hosszúságúak.
A háromszög kerülete K = 2b + a = 2, területe pedig: 1 T= a 2
a2 b − , (2b > a). 2 2
A terület értéke pozitív, ezért pontosan akkor maximális, amikor a négyzete is az.
Emeljük négyzetre a területre felírt kifejezést és alakítsuk szorzattá a következő módon: 1 2 a2 3 2b + a 2 . T = a b − = aa (2b − a) 4 ( 4 ) 16 3 2
Alkalmazzuk az SZ-M egyenlőtlenség negyedik hatványát az a, a, 2b − a,
2b + a 3
pozitív számokra (a háromszög-egyenlőtlenség alapján 2b > a):
3 2b + a 3 T2 = a ⋅ a ⋅ (2b − a) ⋅ ≤ 16 3 16
a + a + (2b − a) + 4
amiből K = 2 miatt azt kapjuk, hogy T≤
19
3 9
,
2b + a 3
4
1 K 1 = 3 = 3 (2) 27 4
ahol az egyenlőség csakis akkor igaz, amikor a = a = 2b − a =
2b + a , azaz amikor a 3
háromszög szabályos!
Megjegyzés: A megoldás során a terület négyzetét olyan számok szorzatára
alakítottuk, hogy az összegük konstans legyen és az egyenlőség olyan esetben álljon fenn, amikor a háromszög létezik.
Ez is fontos! Gyakori hiba ugyanis, hogy ezt a feladatot úgy próbálják megoldani, hogy például az a, a, 2b - a, 2b + a számokra írják fel az SZ-M egyenlőtlenséget: a + a + (2b − a) + (2b + a)
4
1 K T2 = aa (2b − a) (2b + a) ≤ = = 1. (2) ( ) 16 4
Ebből azonban csak annyi következik, hogy a területnek egy felső korlátja az 1.
Tehát ennél nagyobb biztosan nem lehet. De itt az egyenlőség csakis akkor áll fenn, amikor a = 2b - a = 2b + a, azaz a = 0 és b = 0. Ilyen háromszög ezért nem létezik!
20
4
4. példa Az egységkerületű derékszögű háromszögek közül melyiknek maximális a területe?
Megoldás:
Jelöljük a derékszögű háromszög befogóit a-val és b-vel, az átfogót pedig c-vel.
Mivel a derékszögű háromszög kerület értéke 1, felírhatjuk, hogy K = a + b + c = 1, a + b = 1 − c, c2 = a2 + b2. Ezeket felhasználva a területre a következő kifejezést kapjuk: 2 − c) − c2 1 1 1 − 2c (1 2 2 2 T = ab = [(a + b) − (a + b )] = = . 2 4 4 4
Ebből látható, hogy a terület akkor lesz maximális, amikor adott kerület mellett az
átfogó a lehető legkisebb. Ezt fogjuk most megkeresni. Az SZ-N egyenlőtlenséget használva az a és a b befogókra: 1 K a+b c = = + ≤ 2 2 2 2
ahonnan azt kapjuk, hogy c ≥
a2 + b 2 c c c + = + ,
2 2 2 2
2 − 1. Mivel egyenlőség pontosan akkor áll fenn,
amikor a = b, ezért az egységkerületű derékszögű háromszögek közül az egyenlő szárúban legkisebb az átfogó ( 2 − 1) és így ennek a területe ( legnagyobb.
21
3−2 2 4
)a
Megjegyzés: Könnyen megkaphatjuk ezt az eredményt hibás gondolatmenettel is! Használjuk a fenti jelöléseket és az M-N egyenlőtlenséget:
ab ≤
a2 + b 2 . 2
Ebből négyzetre emelés után azt kapjuk, hogy
1 a2 + b 2 c2 T = ab ≤ = . 2 4 4 Mivel az M-N egyenlőtlenségben az a = b esetén áll fenn az egyenlőség, ezért látszólag készen is vagyunk, hiszen az egyenlő szárú derékszögű háromszög lesz a legnagyobb területű.
A végeredmény ugyan helyes, de a gondolatmenet hibás! A fenti egyenlőtlenségből csak annyi következik, hogy a terület nem lehet nagyobb, mint az átfogó négyzetének a negyedrésze. De az átfogó nagysága nem állandó a feladatban!
(Sőt a feladat megoldásában azt is láttuk, hogy a terület éppen akkor lesz a legnagyobb, amikor az átfogó a legkisebb az adott feltételek mellett.)
22
5. példa A K kerületű trapézok közül melyikben fér el a legnagyobb kör?
Megoldás: ...
6. példa Az ugyanakkora kerületű rombuszok közül melyiknek legkisebb az átmérője?
Megoldás: ... 7. példa Keressük meg a K kerületű szabályos sokszögek közül azt, amelyiknek legnagyobb a területe!
Megoldás: ... 8. példa Bizonyítsuk be, hogy a szabályos háromszög alapú egyenes gúlák F felszíne és V térfogata között fennáll a következő két egyenlőtlenség F≥
3
2
216V
3 , illetve V ≤
F3
,
216 3
ahol az egyenlőség csakis a szabályos tetraéderre teljesül.
Megoldás: ... 9. példa Számoljuk ki az F felszínű forgáskúpok által tartalmazott forgáshenger térfogatának a maximumát. A kúpnak és a hengernek közös a forgástengelye.
Megoldás: ...
23
10. példa Bizonyítsuk be az a, b, c nemnegatív számokra, hogy ab + bc + ac ≥
3abc (a + b + c) ,
ahol az egyenlőség csakis akkor áll fenn, amikor a három szám egyenlő egymással. Megoldás: ... 11. példa
Igazoljuk, hogy az a1, a2, a3 és b1, b2, b3 pozitív számokra teljesül a következő egyenlőtlenség
2 2 2 2 2 2 2 2 a1 + b1 + a2 + b2 + a3 + b3 ≥ (a1 + a2 + a2) + (b1 + b2 + b3)
ahol az egyenlőség csakis
a1 b1
=
a2 b2
Megoldás: ...
24
=
a3 b3
esetén igaz.
III
III. RÉSZ - FELADATOK “Nem az a mester aki sokat csinál, hanem aki jól csinálja.” ~ Anatol France
25
1
HÁROMSZÖGEK 1.1 Egy háromszög egyik oldala egység hosszúságú, kerülete 4 egység. Mekkora területének a legnagyobb értéke?
1.2 Adott egy háromszög egyik oldala és kerületének nagysága. Az ilyen háromszögek közül melyiknek maximális a területe? 1.3 Az adott K kerületű háromszögek közül melyiknek legnagyobb a területe, ha egyik szögük 60o-os? 1.4 Az adott K kerületű egyenlő szárú háromszögek közül melyiknek legnagyobb a területe? 1.5 Keressük meg az ugyanakkora kerületű derékszögű háromszögek közül a maximális területűt! 1.6 Azok közül a háromszögek közül, amelyeknek egyik szöge γ és a kerülete K, melyiknek legnagyobb a területe? 1.7 Melyik háromszög területe a legnagyobb az ugyanakkora kerületűek közül? 1.8 Melyik lesz az ugyanakkora kerületű háromszögek közül az, amelyiknek legkisebb az átmérője? 1.9 Keressük meg a K kerületű hegyesszögű háromszögek közül azt, amelyiknek legkisebb az átmérője? 1.10 Az ugyanakkora kerületű tompaszögű háromszögek közül melyiknek lesz minimális az átmérője? 1.11 A K kerületű derékszögű háromszögek közül melyiknek legkisebb az átmérője? 26
1.12 Keressük meg azt a K kerületű derékszögű háromszöget, amelyiknek legnagyobb a beírt körének sugara! 1.13 Melyik háromszögbe írható a legnagyobb kör az ugyanakkora kerületű háromszögek közül? 1.14 Melyik az a K kerületű háromszög, amelyik köré a legkisebb kör rajzolható? 1.15 Melyik háromszögben lesz a hozzáírt körök sugarainak reciprokösszege minimális, ha csak az ugyanakkora kerületű háromszögeket vizsgáljuk? 1.16 Keressük meg azt a K kerületű háromszöget, amelyikben a hozzáírt körök sugarainak szorzata maximális! 1.17 Mikor lesz a K kerületű háromszögben a hozzáírt körök sugarának összege, illetve a négyzetösszege a legkisebb? 1.18 Az adott K kerületű háromszögek közül melyik az, amelyikben az oldalak négyzetösszege minimális? 1.19 Keressük meg azt a K kerületű háromszöget, amelyikben az oldalak reciprokösszege minimális! 1.20 Keressük meg azt a K kerületű háromszöget, amelyikben a szögfelezők négyzetösszege a lehető legnagyobb! 1.21 A K kerületű háromszögekben mikor lesz a szögfelezők reciprokösszege minimális? 1.22 Határozzuk meg azt a K kerületű háromszöget, amelyikben a szögfelezők összege, illetve a szorzata a lehető legnagyobb! 1.23 Az ugyanakkora kerületű háromszögek közül melyikben lesz a magasságok négyzetösszege a legnagyobb?
27
1.24 Melyik az a K kerületű háromszög, amelyikben a magasságok összege, illetve szorzata maximális? 1.25 A magasságok reciprokösszege mikor lesz minimális az ugyanakkora kerületű háromszögek körében? 1.26 A K kerületű háromszögek közül melyikben lesz a súlyvonalak négyzetösszege a legkisebb?
28
2
NÉGYSZÖGEK 2.1 Legfeljebb mekkora lehet egy K kerületű téglalap területe? 2.2 Keressük meg azt a legnagyobb területű és adott K kerületű paralelogrammát, amelyiknek egyik szöge α! 2.3 Az ugyanakkora kerületű paralelogrammák közül melyiknek legnagyobb a területe? 2.4 Számoljuk ki a 10 egység kerületű deltoidok területének maximumát, ha az egyik oldal egy másik négyszerese! 2.5 Az ugyanakkora kerületű deltoidok közül melyiknek legnagyobb a területe? 2.6 Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz oldalainak hosszát, ha kerülete 8 egység, egyik szöge 600-os és területe maximális? 2.7 A K kerületű és α szögű szimmetrikus trapézok közül melyiknek legnagyobb a területe? 2.8 Egy szimmetrikus trapéz kerülete 10 egység és szárának a hossza 1 egység. Mikor lesz a területe a lehető legnagyobb? 2.9 Az ugyanakkora kerületű szimmetrikus trapézok közül melyiknek legnagyobb a területe? 2.10 Keressük meg a legnagyobb területű trapézt, ha ismerjük két alapjának hosszát és kerületének nagyságát! 2.11 Melyik az az érintőtrapéz, amelyikben a kerület nagysága adott, területe pedig maximális?
29
2.12 Az ugyanakkora kerületű húrtrapézok közül melyiknek legnagyobb a területe? 2.13 Egy konvex négyszög oldalai adott körüljárás irányában 2, 11, 5 és 10 egység hosszúak. Mekkora a négyszög területének legnagyobb értéke? 2.14 Egy konvex négyszög oldalai: 16, 33, 56, 63 egység hosszúak valamilyen sorrendben. Legfeljebb mekkora lehet ennek a négyszögnek a területe?
2.15 Egy négyszög oldalainak hossza valamilyen sorrendben: tg
π π 2π 4π , tg , tg , tg . 18 9 9 9
Mekkora lehet egy ilyen négyszög területének legnagyobb, illetve legkisebb értéke? 2.16 Mikor maximális a négyszög területe, ha adott oldalainak hossza? (Az oldalak sorrendjét nem ismerjük.) 2.17 Adott egy húrnégyszög kerülete és a kerület úgy aránylik az egyik oldalhoz, mint 5 a 2-höz. Mikor lesz maximális a húrnégyszög területe? 2.18 Egy négyszögben két szemközti szög egymás kiegészítő szöge, és adott a kerület nagysága. Mikor lesz a terület a lehető legnagyobb? 2.19 Határozzuk meg a 10 egység sugarú körbe írt maximális területű húrnégyszög oldalainak hosszát, ha kerülete 81 egység! 2.20 Az ugyanakkora kerületű húrnégyszögek közül melyiknek legnagyobb a területe? 2.21 Egy konvex négyszög oldalegyeneseinek állása (az oldalak sorrendjében) és kerületének nagysága adott. Mikor lesz maximális a területe? 2.22 A K kerülettel és adott szögekkel (ismert a sorrendjük is) rendelkező négyszögek közül keressük meg a legnagyobb területűt!
30
2.23 Egy konvex négyszögben két szomszédos szög összege és a négyszög kerületének nagysága állandó. Mikor lesz a területe maximális? 2.24 Egy konvex négyszögben két szemközti szög összege és a négyszög kerületének nagysága állandó. Mikor lesz a területe maximális? 2.25 Az ugyanakkora kerületű négyszögek közül melyiknek legnagyobb a területe? 2.26 A K kerületű paralelogrammák közül melyiknek legkisebb az átmérője? 2.27 A K kerületű konvex deltoidok közül melyiknek legkisebb az átmérője? 2.28 Az ugyanakkora kerületű deltoidok közül keressük meg azt, amelyiknek az átmérője a lehető legkisebb! 2.29 Melyik az a K kerületű négyszög, amelyiknek minimális az átmérője? 2.30 Az ugyanakkora kerületű négyszögek közül melyik tartalmazza a legnagyobb kört? 2.31 Melyik az a legkisebb kör, amelyikben a K kerületű konvex négyszög elfér?
31
3
SOKSZÖGEK 3.1 Az ugyanakkora kerületű sokszögek közül melyiknek legnagyobb a területe? 3.2 Keressük meg a K kerületű konvex n-szögek között a legnagyobb területűt, ha adott az n-szögek oldalegyeneseinek állása (egy megadott körüljárási sorrendben)! 3.3 Egy konvex n-szögben ismerjük az összes szög nagyságát és azok sorrendjét is. Mikor lesz a területe maximális, ha kerülete adott érték? 3.4 Az ugyanakkora területű n-szögek közül melyiknek legnagyobb a területe? 3.5 Az egységoldalú konvex ötszögek közül melyiknek legkisebb az átmérője? 3.6 Az egységkerületű sokszögek közül melyikben lesz az oldalak szorzata maximális? Mekkora ez a maximum érték? 3.7 Keressük meg az egységkerületű sokszögek közül azt, amelyikben az oldalak reciprokösszege minimális, ha az egyik oldal hossza egynegyed! Mekkora ez a maximum érték? 3.8 Melyik egységkerületű sokszögben lesz az oldalak reciprokösszege minimális? 3.9 Az egységkerületű sokszögben mikor lesz az oldalak négyzetösszege a lehető legkisebb? 3.10 Az ugyanakkora kerületű konvex n-szögek közül melyik tartalmazza a legnagyobb kört? 3.11 A K kerületű konvex n-szögek közül melyik fér el a legkisebb körben?
32
3.12 A G hatszöget egy a és egy b (a > b) oldalhosszúságú, közös belső pont nélküli négyzet határoz meg. A két négyzet egy közös egyeneshez támaszkodva, annak ugyanazon partján fekszik és van egy közös csúcsuk (ami a hatszögnek nem csúcsa). Legyen a G hatszög kerülete adott K érték. Milyen a és b értékre lesz a G területe minimális és mekkora ez a minimum érték? 3.13 Egy téglalap oldalaira kifelé négyzeteket rajzolunk. A négy darab négyzet és a téglalap egy tizenkétszöget határoz meg. Az ilyen típusú, ugyanakkora kerületű tizenkétszögek közül melyiknek legkisebb a területe és mekkora ez a minimum? 3.14 Tekintsük azt a hatszöget, amelyet úgy kapunk, hogy egy háromszög oldalaira kifelé olyan egyenlő szárú háromszögeket rajzolunk, amelyeknek a magassága az alap
3
-szorosa. (A hatszög elfajuló is lehet.) 3 Az ilyen típusú K kerületű hatszögek közül melyiknek legnagyobb a területe és mekkora ez a maximum érték? 3.15 Egy háromszög oldalaira kifelé téglalapokat rajzolunk, amelyeknek a háromszög oldalaira merőleges éleinek hossza a megfelelő háromszögoldal 3
-szorosa. A háromszög és a három téglalap együttesen egy kilencszöget 6 határoz meg. Az ilyen típusú és K kerületű kilencszögek között melyiknek legnagyobb a területe és mekkora ez a maximális érték? 3.16 Egy négyzetnek és egy szabályos háromszögnek van egy közös oldalegyenese és egy közös szimmetriatengelye, de nincsen közös belső pontja. Így egy hétszöget alkotnak. Az ilyen típusú, ugyanakkora kerületű hétszögek között melyiknek lesz minimális a területe és mekkora ez a minimum érték?
33
4
TOVÁBBI SÍKIDOMOK 4.1 Számoljuk ki a körcikk területét és kerületét, ha a határoló körív hossza 450 m és a középponti szög 180o, 120o, 90o, 60o, 45o, illetve 30o. 4.2 Mekkora a K kerületű körcikk középponti szöge, ha területe maximális? 4.3 Az ugyanakkora kerületű körgyűrűk közül melyiknek legnagyobb a területe? 4.4 Keressük meg a K kerületű legnagyobb területű negyedkörgyűrűt! 4.5 Egy téglalap egyik oldalára kifelé félkört rajzolunk. Mikor lesz az együttes alakzat területe maximális, ha kerülete K? Mekkora ez a maximum érték? 4.6 Egy téglalap oldalaira kifelé félköröket rajzolunk. Az így kapott, körívek által határolt alakzat kerülete K. Mikor lesz a terület minimális és mekkora ez a minimum érték? 4.7 Egy négyzet és egy félkör együtt alkot egy síkbeli alakzatot. A félkör átmérője és a négyzet egyik oldala egy közös egyenesen fekszik, annak különböző partján. Van egy közös szimmetriatengelyük. Az ilyen típusú, K kerületű alakzatok közül melyiknek legkisebb a területe és mekkora ez a terület? 4.8 Egy szabályos háromszög és egy félkör együtt alkot egy síkbeli alakzatot. A félkör átmérője és a szabályos háromszög egyik oldala egy közös egyenesen fekszik, annak különböző partján. Van egy közös szimmetriatengelyük. Számoljuk ki az ilyen típusú, K kerületű alakzatok területének legkisebb értékét! 4.9 Egy téglalap 2a, illetve 2b hosszúságú oldalaira kifelé a, illetve b magasságú téglalapokat rajzolunk. Az így kapott G alakzatnak az eredeti téglalap csúcsaitól különböző csúcsaiból negyedköröket rajzolunk G-be: az a oldalhosszúságú téglalapok csúcsaiból a, a b hosszúakból pedig b sugarú negyedköröket, amiket aztán elhagyunk a G alakzatból. 34
Mikor lesz az így kapott, körívek által határolt síkidom területe maximális, ha a kerülete K? Mekkora ez a maximális terület érték?
35
5
SÍKBELI EGYENLŐTLENSÉGEK
Bizonyítsuk be a következő állításokat! 5.1 Tetszőleges derékszögű háromszögre teljesül, hogy K2 − 12 + 8 2 T ≥ 0, ( ) és az egyenlőség csakis az egyenlő szárú derékszögű háromszögre igaz. 5.2 Tetszőleges tompaszögű háromszögre igaz, hogy K2 − 12 + 8 2 T > 0. ( ) 5.3 Minden háromszögre teljesül, hogy K2 − 12T 3 ≥ 0, és az egyenlőség csakis a szabályos háromszögre igaz. 5.4 A háromszög átmérőjére igaz, hogy K K ≤d< , 3 2 ahol az egyenlőség csakis a szabályos háromszögre áll fenn. 5.5 Az adott K kerületű háromszög beírt (rb), a körülírt (Rk) és a háromszöget tartalmazó legkisebb kör (R) sugarára teljesül, hogy a) 0 < rb ≤ b)
K 3 9
K 3 18
,
≤ Rk < ∞, 36
c)
K 3 9
K , 4
≤R<
ahol az egyenlőség mindenütt csakis a szabályos háromszögre igaz. 5.6 Az adott K kerületű háromszög hozzáírt köreinek sugarára ( ra, rb, rc ) igaz, hogy K2 a) ≤ r2a + r2b + r2c < ∞, 4 b)
K 3 2
≤ ra + rb + rc < ∞,
c) 0 < rarbrc ≤ d)
6 3 K
≤
K3 3 72
,
1 1 1 + + < ∞,
ra rb rc
és az egyenlőség mindenütt csakis a szabályos háromszögre teljesül. 5.7 Az adott K kerületű háromszög oldalaira teljesül, hogy K2 K2 2 2 2 a) , ≤a + b +c < 3 2 K3 b) 0 < abc ≤ , 27 9 1 1 1 c) ≤ + + < ∞, K a b c és az egyenlőség mindenütt csakis a szabályos háromszögre igaz. 5.8 Az adott K kerületű háromszög szögfelezőire igaz, hogy a) 0 <
f2a
+
f2b
+
f2c
K2 ≤ , 4
K 3 K b) < fa + fb + fc ≤ , 2 2
37
c) 0 < fafbfc ≤ d)
6 3 K
≤
K3 3 72
,
1 1 1 + + < ∞,
fa fb fc
és az egyenlőség mindenütt csakis a szabályos háromszögre teljesül. 5.9 Az adott K kerületű háromszög magasságaira teljesül, hogy a) 0 <
m2a
+
m2b
+
m2c
K2 , ≤ 4
b) 0 < ma + mb + mc ≤ c) 0 < mambmc ≤ d)
6 3 K
≤
K 3
K3 3 72
2
,
,
1 1 1 + + < ∞, ma mb mc
és az egyenlőség mindenütt csakis a szabályos háromszögre igaz. 5.10 A háromszög súlyvonalaira teljesül, hogy K2 3K2 2 2 2 a) , ≤ sa + sb + sc < 4 8 3K < sa + sb + sc < K, b) 4 ahol az egyenlőség csakis a szabályos háromszögben igaz. 5.11 Minden α-szögű paralelogrammára igaz, hogy K2 −
16T ≥ 0, sin α
és az egyenlőség csakis az α-szögű rombuszra teljesül.
38
5.12 Minden α-szögű szimmetrikus trapézra igaz, hogy K2 −
16T ≥ 0, sin α
és az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, amikor a szár hossza a két alap hosszának számtani közepe. 5.13 Egy konvex négyszög oldalai: a, b, c, d, félkerülete pedig s, akkor (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) − T2 ≥ 0, és az egyenlőség csakis húrnégyszögre igaz. 5.14 Minden négyszögre teljesül, hogy K2 − 16T ≥ 0, és az egyenlőség csakis a négyzetre igaz. 5.15 Bármely paralelogramma átmérőjére igaz, hogy K 2 4
≤d<
K , 2
és az egyenlőség csakis a négyzetre áll fönn. 5.16 Mindegyik négyszög átmérőjére igaz, hogy
K K
5.17 A K kerületű négyszög által tartalmazott legnagyobb kör sugarára igaz, hogy 0
K , 4
ahol az egyenlőség csakis a négyzetre teljesül. 5.18 Konvex négyszöget tartalmazó legkisebb kör sugarára igaz, hogy
39
K 2 8
≤R<
K , 4
és az egyenlőség csakis a négyzetre teljesül. 5.19 K kerületű konvex húrnégyszög köré írt körének sugarára igaz, hogy K 2 8
≤ Rk < ∞,
ahol az egyenlőség csakis a négyzetre áll fenn. 5.20 Tetszőleges n-szögre teljesül, hogy K2 − 4nTtg
π ≥ 0, n
és az egyenlőség csakis a szabályos n-szögre igaz. 5.21 Az n-szög (n > 2) átmérőjére igaz, hogy K K ≤d< . n 2 5.22 Egy K kerületű n-szög által tartalmazott legnagyobb kör sugarára igaz, hogy 0
K π 2ntg n
,
és az egyenlőség csakis a szabályos n-szögre áll fenn. 5.23 Konvex n-szöget tartalmazó legkisebb kör sugarára igaz, hogy K π
2ntg n
≤R<
K , 4
és az egyenlőség csakis a szabályos n-szögre teljesül.
40
5.24 Konvex, K-kerületű húr n-szög köré írt körének a sugarára igaz, hogy K π 2ntg n
≤ Rk < ∞,
és az egyenlőség csakis a szabályos n-szögre teljesül. 5.25 Bármelyik n-szög oldalainak négyzetösszegére teljesül, hogy K2 K2 2 2 2 , ≤ a1 + a2 + . . . + an < n 2 és az egyenlőség csupán az egyenlő oldalú sokszögre áll fönn. 5.26 Minden körcikkre igaz, hogy K2 − 16T ≥ 0, és az egyenlőség csakis akkor áll fenn, amikor a körcikk szöge 2 radián. 5.27 Tetszőleges negyedkörgyűrűre teljesül, hogy K2 − 16T ≥ 0, és az egyenlőség csakis akkor áll fenn, amikor a külső és a belső körök sugarainak az aránya: (4 + π) : (4 − π).
41
6
TETRAÉDEREK 6.1 Egy F felszínű tetraéder egyik lapján levő 3 éle x hosszúságú. A maradék három él mindegyike y hosszúságú. Mikor lesz az ilyen tetraéder térfogata maximális? 6.2 Az F felszínű tetraéderek közül melyiknek maximális a térfogata? 6.3 Az ugyanakkora felszínű tetraéderek közül melyik az, amelyikben az oldallapok területének négyzetösszege, illetve reciprokösszege a lehető legkisebb? 6.4 Az ugyanakkora felszínű tetraéderek közül keressük meg azt, amelyikben az oldallapok területének szorzata maximális! 6.5 Az F felszínű tetraéderek közül melyiknek legkisebb az átmérője? 6.6 Az ugyanakkora felszínű tetraéderek közül melyik az, amelyik a legnagyobb gömböt tartalmazza? 6.7 Melyik tetraéder köré írt gömbje a legkisebb az ugyanakkora felszínű tetraéderek között? 6.8 Keressük meg azt az F felszínű tetraédert, amelyikhez a hozzáírt gömbök sugarainak reciprokösszege minimális! 6.9 Az F felszínű tetraéderek közül melyikben lesz az élek négyzetösszege minimális? 6.10 Az F felszínű tetraéderek közül keressük meg azt, amelyikben az élek összege minimális! 6.11 Melyik F felszínű tetraéderben legkisebb a magasságok reciprokösszege? 42
6.12 Az F felszínű tetraéderek közül melyikben lesz a magasságok szorzata maximális? 6.13 Az ugyanakkora felszínű tetraéderek közül melyik az, amelyikben a súlyvonalak négyzetösszege a lehető legkisebb?
43
7
HASÁBOK 7.1 Az F felszínű négyzet alapú egyenes hasábok közül melyiknek legnagyobb a térfogata? 7.2 Az ugyanakkora felszínű téglatestek közül melyiknek legnagyobb a térfogata? 7.3 Mekkora az alapéle és a magassága a legnagyobb térfogatú és adott F felszínű szabályos háromszög alapú egyenes hasábnak? 7.4 Számoljuk ki az alapélek és a magasság hosszát abban az F felszínű és maximális térfogatú egyenes hasábban, amelynek alapja egyenlő szárú derékszögű háromszög! 7.5 Tekintsük azt a maximális térfogatú, F felszínű, egyenlő szárú háromszög alapú egyenes hasábot, amelyikben az alaplap szárszöge α. Mekkora ebben a magasság és az alapháromszög szárának az aránya? 7.6 Keressük meg az ugyanakkora felszínű paralelepipedonok közül a legnagyobb térfogatút! 7.7 Vizsgáljuk azokat az F felszínű egyenes hasábokat, amelyek alapja egy adott sokszöghöz hasonló. Mekkora a maximális térfogatú hasábban a felszín és az alapterület aránya? 7.8 Az F felszínű n-oldalú egyenes hasábok közül melyiknek legnagyobb a térfogata? 7.9 Az F felszínű n-oldalú hasábok közül melyiknek maximális a térfogata? 7.10 Az F felszínű hasábok közül melyiknek legnagyobb a térfogata? 7.11 Az F felszínű háromoldalú egyenes hasábok közül melyikbe írható a 44
legnagyobb térfogatú henger? (A henger alapköre, illetve a fedőköre a hasáb alaplapján, illetve a fedőlapján van.) 7.12 Az F felszínű háromoldalú egyenes hasábok közül melyikbe írható a legnagyobb térfogatú forgáskúp? (A forgáskúp alapköre a hasáb alaplapján, a csúcsa pedig a fedőlapján van.) 7.13 Az ugyanakkora felszínű téglatestek közül melyiknek legkisebb az átmérője? 7.14 Az F felszínű paralelepipedonok közül keressük meg a legkisebb átmérőjűt! 7.15 Az F felszínű háromoldalú egyenes hasábok közül melyiknek minimális az átmérője? 7.16 Az ugyanakkora felszínű téglatestek közül melyikben minimális az élek négyzetösszege? 7.17 Melyik F felszínű paralelepipedonba tudjuk a legnagyobb gömböt elhelyezni? 7.18 Az n-oldalú és F felszínű hasábok közül melyik az, amelyikbe a legnagyobb gömb elfér? 7.19 Az ugyanakkora felszínű hasábok közül keressük meg azt, amelyikbe a legnagyobb gömb elhelyezhető? 7.20 Melyik az az F felszínű paralelepipedon, amelyik a legkisebb gömbben elfér?
45
8
GÚLÁK 8.1 Mekkora az alapterülete és a magassága az F felszínű, legnagyobb térfogatú, négyzet alapú egyenes gúlának? 8.2 Számoljuk ki az alapterületét és a magasságát az F felszínű, szabályos hatszög alapú, maximális térfogatú egyenes gúlának! 8.3 Mekkora az alapterülete és a magassága a szabályos n-szög alapú, F felszínű egyenes gúlák közül annak, amelyiknek a térfogata a lehető legnagyobb? 8.4 Keressük meg az F felszínű, legnagyobb térfogatú, n-oldalú gúlát! 8.5 Az ugyanakkora felszínű gúlák közül a legnagyobb térfogatúnak mekkora a magassága és az alapterülete? 8.6 A szabályos háromszög alapú és ugyanakkora felszínű egyenes gúlák közül melyiknek legkisebb az átmérője? 8.7 Az n-oldalú és F felszínű gúlák közül melyik tartalmazza a legnagyobb gömböt? 8.8 Az ugyanakkora felszínű gúlák közül melyik az, amelyik a legnagyobb gömböt tartalmazza? 8.9 Számoljuk ki az F felszínű négyzet alapú egyenes kettős gúla magasságát és alaplapjának területét amikor a térfogata a lehető legnagyobb! 8.10 Mekkora a maximális térfogatú, szabályos n-szög alapú, F felszínű egyenes kettős gúla alaplapjának területe és magassága? 8.11 Egy négyoldalú gúláról és egy hatoldalú kettős gúláról annyit tudunk, hogy felszínük ugyanakkora. A kettő közül melyiknek lehet nagyobb a térfogata? 46
9
FORGÁSKÚPOK 9.1 Keressük meg az ugyanakkora felszínű forgáskúpok közül a legnagyobb térfogattal rendelkezőt! Mekkora ennek a magassága és az alapterülete? 9.2 Azok közül a csonka kúpok közül, amelyekben az alaplap sugara a fedőlap sugarának kétszerese és a felszín nagysága 8π, melyiknek legnagyobb a térfogata? 9.3 Melyik F felszínű forgáskúpnak minimális az átmérője? 9.4 Melyik F felszínű forgáskúpba helyezhető el a legnagyobb gömb? 9.5 Keressük meg az F felszínű forgáskúpba írható legnagyobb térfogatú forgáshengert (a kúpnak és a forgáshengernek van közös forgástengelye). Mekkora a henger térfogata, valamint a henger és a kúp térfogatának aránya? 9.6 Számoljuk ki az F felszínű forgáskúpba írható legnagyobb térfogatú szabályos háromoldalú egyenes hasáb térfogatát (a forgáskúp és a hasáb közös forgástengellyel rendelkezik)! 9.7 Egy forgáskúpba írjunk fordított állású forgáskúpot (forgástengelyük legyen közös). Ha a külső forgáskúp felszíne F, akkor legfeljebb mekkora lehet a beírt forgáskúp térfogata és a két kúp térfogatának aránya? 9.8 Az ugyanakkora felszínű kettős forgáskúpok közül melyiknek legnagyobb a térfogata? 9.9 Az F felszínű kettős forgáskúpok közül melyiknek legkisebb az átmérője? 9.10 Az F felszínű kettős forgáskúpok közül melyikben fér el a legnagyobb gömb?
47
9.11 Melyik az a legkisebb gömb, amelyikben az F felszínű forgáskúp elfér? 9.12 Az ugyanakkora felszínű forgáskúpok és kettős forgáskúpok között melyiknek legnagyobb a térfogata?
48
10
FORGÁSHENGEREK 10.1 Az F felszínű forgáshengerek között melyiknek legnagyobb a térfogata? Mekkora ennek a magassága és az alaplap területe? 10.2 Az ugyanakkora felszínű forgáshengerek között melyiknek legkisebb az átmérője, és mekkora ebben az alapkör sugara és magassága? 10.3 Az F felszínű forgáshengerek között melyikben fér el a legnagyobb gömb? 10.4 Melyik az a legkisebb gömb, amelyikben az F felszínű forgáshenger elfér? 10.5 Egy téglatestnek és egy forgáshengernek ugyanakkora a felszíne. Melyiknek lehet nagyobb a térfogata?
49
11
TOVÁBBI TESTEK 11.1 Egy téglatest egyik oldallapját elhagyjuk. Az így kapott doboz F felszínét rögzítve, mikor lesz a térfogata a lehető legnagyobb? 11.2 Hagyjuk el egy tetraéder egyik lapját, a maradék három lap területösszegét pedig rögzítsük. Az így kapott csákó térfogata mikor lesz maximális? 11.3 Egy háromszög alapú egyenes hasáb fedőlapját elvéve, a maradék lapok területösszegét rögzítve, mikor lesz az így kapott doboz térfogata a lehető legnagyobb? 11.4 Hagyjuk el egy forgáshenger fedőlapját, a maradék felszín értékét pedig rögzítsük. Mikor lesz az így kapott doboz térfogata maximális? 11.5 Egy forgáskúp palástterülete adott érték. Mikor lesz maximális a térfogata?
50
12
TÉRBELI EGYENLŐTLENSÉGEK
Bizonyítsuk be a következő állításokat!
12.1 Tetszőleges tetraéderre igaz, hogy F3 − 216V2 3 ≥ 0, és az egyenlőség csakis a szabályos tetraéderre teljesül. 12.2 Az F felszínű tetraéder oldallapjai területére igaz, hogy F2 F2 2 2 2 2 a) , ≤ T1 + T2 + T3 + T4 < 4 2 F4 b) 0 < T1T2T3T4 ≤ , 256 16 1 1 1 1 ≤ + + + < ∞, c) F T1 T2 T3 T4 és az egyenlőség mindenütt csakis a T1 = T2 = T3 = T4 esetben áll fönn. 12.3 Az F felszínű tetraéder átmérőjére igaz, hogy
F 3 3
≤ d < ∞,
és az egyenlőség csakis a szabályos tetraéderre teljesül.
51
12.4 Az F felszínű tetraéder beírt (rB), köré írt (Rk) és a tetraédert tartalmazó legkisebb kör sugarára (R) teljesül, hogy 2F 3 a) 0 < rB ≤
12
,
2F 3 b)
≤ Rk < ∞,
4 2F 3
c)
≤ R < ∞,
4
és az egyenlőség csakis a szabályos tetraéderre igaz. 12.5 Az F felszínű tetraéder hozzáírt gömbjeinek sugarára igaz, hogy
96 3 F
≤
1 1 1 1 + + + < ∞,
r1 r2 r3 r4
és az egyenlőség csakis a szabályos tetraéderre teljesül. 12.6 Az F felszínű tetraéder éleire igaz, hogy a)
12F 3 ≤ a + b + c + d + e + f < ∞,
b) 2F 3 ≤ a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + f2 < ∞, c) 0 < abcdef < ∞, 1 1 1 1 1 1 d) 0 < + + + + + < ∞, a b c d e f és az egyenlőség csakis a szabályos tetraéderre teljesül.
52
12.7 Az F felszínű tetraéder magasságaira igaz, hogy a) 0 < m1 + m2 + m3 + m4 < ∞, b) 0 < m21 + m22 + m23 + m24 < ∞, c) 0 < m1m2m3m4 < ∞, 24 3
d)
F
≤
1 1 1 1 + + + < ∞, m1 m2 m3 m4
és az egyenlőség csakis a szabályos tetraéderre teljesül. 12.8 Az F felszínű tetraéder súlyvonalainak négyzetösszegére teljesül, hogy 8F 3 9
≤ s21 + s22 + s23 + s24 < ∞,
és az egyenlőség csakis a szabályos tetraéderre igaz. 12.9 A szabályos háromszög alapú egyenes hasábra igaz, hogy F3 − 162V2 3 ≥ 0,
és az egyenlőség csakis akkor teljesül, ha az alapterület a felszín hatodrésze. 12.10 Az egyenlő szárú derékszögű háromszög alapú egyenes hasábra igaz, hogy F3 − 54 3 + 2 2 V2 ≥ 0,
( ) és az egyenlőség pontosan akkor teljesül, amikor az alapterület a felszín hatodrésze. 12.11 Minden paralelepipedonra igaz, hogy F3 − 216V2 ≥ 0, és az egyenlőség csakis a kockára áll fenn.
53
12.12 Az n-oldalú hasábra teljesül, hogy F3 − 54nV2tg
π ≥ 0, n
és az egyenlőség csakis arra a szabályos n-szög alapú hasábra áll fenn, amelynek alapterülete egyenlő a felszín hatodrészével. 12.13 Az F felszínű paralelepipedon átmérőjére igaz, hogy F ≤ d < ∞,
2 ahol egyenlőség csakis a kockára teljesül. 12.14 Az F felszínű háromoldalú egyenes hasáb átmérőjére igaz, hogy (
39 −
3 F )
3
≤ d < ∞.
12.15 Az F felszínű paralelepipedon által tartalmazott legnagyobb gömb sugarára teljesül, hogy
0
6F 12
,
ahol az egyenlőség csakis a kockára igaz. 12.16 Az F felszínű n-oldalú hasáb által tartalmazott legnagyobb gömb sugarára teljesül, hogy 0
F π 6ntg n
,
az egyenlőség az F felületű maximális térfogatú hasábra igaz.
54
12.17 Az F felszínű paralelepipedont tartalmazó legkisebb gömb sugarára igaz, hogy 2F 4
≤ R < ∞,
ahol egyenlőség csakis a kockára teljesül. 12.18 Az n-oldalú gúlára igaz, hogy F3 − 72nV2tg
π ≥ 0, n
és az egyenlőség csakis arra a szabályos n-szög alapú gúlára áll fönn, amelynek alapterülete a felszín negyedrésze. 12.19 Az F felszínű szabályos háromszög alapú egyenes gúla átmérőjére igaz, hogy
F 3 3
≤ d < ∞,
ahol egyenlőség a szabályos tetraéderre teljesül. 12.20 Az F felszínű n-oldalú gúla által tartalmazott legnagyobb gömb sugarára teljesül, hogy 0
F π 8ntg n
,
ahol az egyenlőség arra a szabályos n-szög alapú egyenes gúlára teljesül, amelyben az alaplap területe a felszín negyedrésze.
55
12.21 Az n-oldalú kettős gúlára teljesül, hogy F3 − 27 3nV2tg
π ≥ 0, n
ahol egyenlőség arra a szabályos n-szög alapú egyenes kettős gúlára igaz, amelyikben az alaplap területe a felszín 2 3-ad része. 12.22 Minden forgáskúpra igaz, hogy F3 − 72πV2 ≥ 0, és az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, amikor az alapterület a felszín negyede. 12.23 Az F felszínű forgáskúp átmérőjére teljesül, hogy
2
F ≤ d < ∞,
3π
ahol egyenlőség az egyenlő oldalú kúp esetében áll fönn. 12.24 Az F felszínű forgáskúp által tartalmazott legnagyobb gömb sugarára igaz, hogy 0
F , 8π
ahol az egyenlőség akkor teljesül, amikor az alapterület a felszín negyedrésze. 12.25 Minden kettős forgáskúpra igaz, hogy F3 − 27πV2 3 ≥ 0, és egyenlőség akkor teljesül, amikor az alapterület a felszín 2 3-ad része.
56
12.26 Az F felszínű kettős forgáskúp átmérőjére igaz, hogy
F 2 π
≤ d < ∞,
és egyenlőség akkor teljesül, amikor az alapterület a felszín 2 2-ed része. 12.27 Az F felszínű kettős forgáskúp által tartalmazott legnagyobb gömb sugarára igaz, hogy
0
F 3 9π
,
ahol egyenlőség akkor teljesül, amikor az alapterület a felszín 2 3-ad része. 12.28 Az F felszínű kettős forgáskúpot tartalmazó legkisebb gömb sugarára igaz, hogy
F 2 4π
≤ R < ∞,
és egyenlőség akkor teljesül, amikor az alapterület a felszín 2 2-ed része. 12.29 Minden forgáshengerre teljesül, hogy F3 − 54πV2 ≥ 0, és az egyenlőség akkor igaz, amikor az alapterület a felszín hatodrésze.
57
12.30 Az F felszínű forgáshenger átmérőjére igaz, hogy (
5−1 F ) π
≤ d < ∞,
ahol egyenlőség akkor teljesül, amikor az alapterület a felszín 2 5-öd része. 12.31 Az F felszínű forgáshenger által tartalmazott legnagyobb gömb sugarára igaz, hogy
0
F ,
6π
és az egyenlőség az egyenlő oldalú hengerre teljesül. 12.32 Az F felszínű forgáshengert tartalmazó legkisebb kör sugarára igaz, hogy (
5−1 F ) 4π
≤ R < ∞,
ahol egyenlőség akkor teljesül, amikor az alapterület a felszín 2 5-öd része.
58
13
AZ IZOPERIMETRIKUS HÁNYADOS 36πV2 4πT Síkidom: Iq = , test: IQ = (lásd az I. RÉSZ-t).
F3 K2 13.1 Számoljuk ki a szabályos háromszög, az egyenlő szárú derékszögű háromszög, a 60o-os derékszögű háromszög, a 120o-os egyenlő szárú háromszög, a 30o-os szárszögű egyenlő szárú háromszög Iq értékét! 13.2 Mekkora a kör, a félkör, a negyedkör és a 600-os körcikk Iq-ja? 13.3 Határozzuk meg a téglalap (oldalhosszai a és 2a), a 600-os rombusz és a szimmetrikus trapéz (oldalhosszai a, a, a és 2a) Iq-ját! 13.4 Számoljuk ki a négyzet, a szabályos hatszög, a szabályos tizenkétszög, a szabályos huszonnégyszög és a szabályos ötszáztizenkétszög Iq-ját! 13.5 Tükrözzünk egy négyzetet az oldalaira. Ekkor egy öt darab négyzetből álló alakzatot kapunk. Mekkora az így kapott négyzetkereszt Iq-ja? 13.6 Egy négyzet, egy szabályos hatszög és egy szabályos ötszáztizenkétszög mindegyik oldalára kifelé szabályos háromszöget szerkesztünk. Mekkora az így kapott tüskés-négyzet, tüskés-hatszög és tüskés-ötszáztizenkétszög Iq-ja? 13.7 Mekkora a gömb, a félgömb, illetve a negyedgömb IQ-ja? 13.8 Határozzuk meg az öt szabályos test IQ-ját!
59
13.9 Számoljuk ki az egyenlő oldalú henger (m = 2r), az egyenlő oldalú kúp (a = 2r), egy csonka kúp (R = 2r, a = 2r), a négyzet alapú hasáb (m = 2a), és a szabályos négyoldalú gúla (m = x) IQ-ját! 13.10 Tükrözzük a kockát minden oldallapjára. Mekkora a 7 kocka által alkotott kockakereszt IQ-ja? 13.11 Az egységélű szabályos testek mindegyikének a lapjaira kifelé szabályos (megfelelő 3-, 4-, illetve 5-szög alapú) egység alapélű és egység magasságú gúlát emelünk. Számoljuk ki az így kapott tüskés-szabályos testek IQ-ját! 13.12 Létezik-e olyan síkidom, amelyikre Iq = 0,16π? 13.13 Keressünk olyan síkidomot, amelyikre Iq < 0,003! 13.14 Keressünk olyan síkidomot, amelyikre Iq = 0,75! 13.15 Adjunk meg két olyan (nem hasonló) síkidomot, amelyek Iq-ja egyenlő! 13.16 Adjunk meg két olyan (nem hasonló) konvex síkidomot, amelyek Iq-ja egyenlő! 13.17 Keressünk olyan testet, amelyik IQ-ja
9π ! 128
13.18 Adjunk meg olyan poliédert, amelyik IQ-ja nagyobb mint 0,9! 13.19 Keressünk olyan testet, amelyikre 0,97 < IQ < 0,98! 13.20 Adjunk meg két olyan (nem hasonló) testet, amelyek IQ-ja egyenlő!
60
13.20 Adjunk meg két olyan (nem hasonló) konvex testet, amelyek IQ-ja egyenlő!
61
14
A DUALITÁS Az I. RÉSZ-ben megmutattuk, hogy a K2 − 4πT ≥ 0 izoperimetrikus egyenlőtlenség felhasználásával adott kerület nagyság esetében a terület felülről becsülhető: K2 . T≤ 4π Mivel a terület nem negatív érték, ezért az izoperimetrikus egyenlőtlenséget a vele ekvivalens: K≥
4πT
alakba írva az is látható, hogy az adott területű síkidomok közül a kör kerülete a legkisebb. Ezt az izoperimetrikus tétel duálisának tekintjük. Amennyiben egy
izoperimetrikus jellegű feladatot egyenlőtlenségek segítségével tudunk megoldani, rendszerint megoldjuk egyúttal a duálisát is. A dualitásról részletesen szól Kazarinoff [10] könyve. 14.1 Az ugyanakkora területű háromszögek közül melyiknek legkisebb, illetve legnagyobb az átmérője? 14.2 A T területű háromszögek közül melyik fér el a legkisebb körben? 14.3 A T területű háromszögek közül melyikben fér el a legnagyobb kör? 14.4 Keressük meg azt a T területű háromszöget, amelyikben legkisebb az oldalak négyzetösszege! 14.5 Az ugyanakkora területű háromszögek közül melyikben a legkisebb a hozzáírt körök sugarának szorzata?
62
14.6 Az ugyanakkora területű háromszögek közül keressük meg azt, amelyikben a súlyvonalak négyzetösszege minimális! 14.7 Az ugyanakkora térfogatú tetraéderek közül melyiknek legkisebb, illetve a legnagyobb az átmérője? 14.8 Melyik V térfogatú tetraéder fér el a legkisebb gömbben? 14.9 Melyik V térfogatú tetraéderben fér el a legnagyobb gömb? 14.10 Az ugyanakkora térfogatú tetraéderek közül melyikben minimális az élek négyzetösszege?
63
IV
IV. RÉSZ - MEGOLDÁSOK “Tanulni éppen olyan szép, mint élni!” ~ Jens Peter Jacobsen
Megoldások, útmutatások, eredmények A megoldások során ebben a könyvben előnyben részesítjük az egyenlőtlenség
segítségével történő feladatmegoldást. A feladatok között sok olyan van, amelyikre ettől lényegesen eltérő, egyszerű, ötletes megoldás is létezik és utalunk arra, hogy azon feladatok száma sem kevés, amelyek a differenciálszámítás eszközeivel is könnyedén megoldhatók. Ügyelni kell azonban arra, hogy ez utóbbi módszert alkalmazva a felhasznált tételeket pontosan, a szükséges feltételeket kielégítve alkalmazzuk!
64
1
HÁROMSZÖGEK
65
2
NÉGYSZÖGEK
66
67
68
69
3
SOKSZÖGEK
70
4
TOVÁBBI SÍKIDOMOK
71
5
SÍKBELI EGYENLŐTLENSÉGEK
72
6
TETRAÉDEREK
73
7
HASÁBOK
74
8
GÚLÁK
75
9
FORGÁSKÚPOK
76
10
FORGÁSHENGEREK
77
11
TOVÁBBI TESTEK
78
12
TÉRBELI EGYENLŐTLENSÉGEK
79
13
AZ IZOPERIMETRIKUS HÁNYADOS
80
14
A DUALITÁS
81
V
TÁBLÁZATOK “Eddigi tapasztalataink ... arra a feltevésre jogosítanak, hogy a természet a matematikailag legegyszerűbb megoldást valósítja meg.” ~ Albert Einstein
82
1
1. TÁBLÁZAT A terület izoperimetrikus egyenlőtlenségei
83
2
2. TÁBLÁZAT A térfogat izoperimetrikus egyenlőtlenségei
84
3
3. TÁBLÁZAT A háromszög izoperimetrikus egyenlőtlenségei
85
4
4. TÁBLÁZAT A tetraéder izoperimetrikus egyenlőtlenségei
86
5
5. TÁBLÁZAT Az átmérő izoperimetrikus egyenlőtlenségei
87
6
6A. TÁBLÁZAT A tartalmazott és tartalmazó kör izoperimetrikus egyenlőtlenségei
88
7
6B. TÁBLÁZAT A tartalmazott és tartalmazó gömb izoperimetrikus egyenlőtlenségei
89
8
7. TÁBLÁZAT Síkidomok izoperimetrikus hányadosának közelítő értéke
90
9
8. TÁBLÁZAT Testek izoperimetrikus hányadosának közelítő értéke
91
IRODALOMJEGYZÉK
xcii
COPYRIGHT
Major Zoltán
Egy izgalmas szélsőértékfeladat család Az izoperimetrikus problémakör FELADATOK - MEGOLDÁSOK
© dr. Major Zoltán Sopron, 2012. Honlap: http://matek.major-world.com IBOOKS verzió: ISBN 978-963-08-5244-9
PDF verzió:
ISBN 978-963-08-5307-1
xciii
Alakzat átmérője
Az alakzat bármelyik két pontját kiválasztva, az így kapott távolságok k legnagyobb.
Related Glossary Terms Drag related terms here
Index
Find Term
Cauchy-egyenlőtlenség A Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség az a1, . . . an, b1, . . . bn valós számokra (n természetes számot jelöl): a1b1 + . . . + anbn ≤
a21 + . . . + a2n
b21 + . . . + b2n ,
Az n=2 esetben: a1b 1 + a2b 2 ≤
a21 + a22
b21 + b22 .
Egyik bizonyítási lehetőség az un. Lagrange azonosságon alapszik, ami az n=2 esetben így néz ki: 2 2 2 2 a + a b + b − (a1b1 + a2b2) = (a1b2 − a2b1) ( 1 2) ( 1 2) 2
2
amiről az egyenlőtlenségek felbontása és rendezés után egyzserű számítással meggyőződhetünk.
Related Glossary Terms Drag related terms here
Háromszög-egyenlőtlenség
Az a, b, c oldalakkal rendelkező háromszög bármelyik két oldalának öss nagyobb a harmadiknál: a + b > c, a + c > b, b + c > a.
Related Glossary Terms Drag related terms here
Index
Find Term
Héron-képlet A háromszög oldalait a, b, c-vel jelölve a területe így is felírható: T=
K K K K −a −b −c = )(2 )(2 ) 2 (2
s (s − a) (s − b) (s − c),
ahol s a háromszög kerületének a felét jelöli. A húrnégyszög oldalait a, b, c, d-vel jelölve a területe így is felírható (Brahmagupta-képlet):
T=
K K K K −a −b −c −d = (2 )(2 )(2 )(2 )
ahol s a húrnégyszög kerületének a felét jelöli.
Related Glossary Terms Drag related terms here
Index
Find Term
(s − a) (s − b) (s − c) (s − d) ,
Kettős forgáskúp Ha egy forgáskúpot az alaplap síkjára tükrözünk, ún. kettős forgáskúpot kapunk, aminek magassága a forgáskúp magasságának kétszerese, alapköre pedig megegyezik annak alapkörével.
Related Glossary Terms Drag related terms here
Index
Find Term
II - Példák, megoldások III - Forgáskúpok III - Forgáskúpok III - Forgáskúpok III - Forgáskúpok III - Térbeli egyenlőtlenségek III - Térbeli egyenlőtlenségek III - Térbeli egyenlőtlenségek III - Térbeli egyenlőtlenségek
Kettős gúla Ha egy gúlát az alaplap síkjára tükrözzük, ún. kettős gúlát kapunk. Az eredeti gúla alapját a kettős gúla alapjának is tekintjük. A kettős gúla magassága az eredeti magasság kétszerese. Ha a gúla egyenes gúla, akkor belőle egyenes kettős gúlát kapunk.
Related Glossary Terms Drag related terms here
Index
Find Term
III - Gúlák III - Gúlák III - Gúlák III - Térbeli egyenlőtlenségek III - Térbeli egyenlőtlenségek
Koszinusztétel A háromszög oldalai a, b, c, a c oldallal szemközti szöge γ, akkor c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ. Hegyesszögű háromszögben ebből 0 < cos γ < 1 miatt c2 > a2 + b2,
derékszögű háromszögben cos γ = 0 miatt c2 = a2 + b2 (Pitagorasz-tét
tompaszögű háromszögben pedig −1 < cos γ < 0 miatt c2 > a2 + b2 kö
Related Glossary Terms Drag related terms here
Közepek közötti egyenlőtlenségek Az a1, a2, . . . an pozitív számok Harmónikus, Mértani, Számtani és Négyzetes közepe: n
H=
1 a1
+
1 a2
+ ... +
1 an
a1 + a2 + . . . + an
SZ =
n
M=
N=
n
a1a2 . . . an a21 + a22 + . . . + a2n n
ahol n pozitív egész számot jelöl.
A közepek között igazak a következő egyenlőtlenségek:
H ≤ M ≤ SZ ≤ N,
ahol egyenlőség mindenütt csakis akkor igaz, ha a1 = a2 = . . . = an.
Megjegyzés: a harmónikus közép kivételével, az egyenlőtlenségek nem negatív számokra is igazak.
Bizonyításuk megtalálható például [20]-ban: 268., 270., 281. feladat.
A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenségre például az SZ-M egyenlőtlenség rövidítéssel hivatkozunk.
Gyakran használjuk a fenti egyenlőtlenség láncot az a és a b pozitív (ha értelmes, nem negatív) számokra:
2 1 a
+
1 b
≤
ab ≤
a+b ≤ 2
a2 + b 2 , 2
ahol egyenlőség csakis az a = b esetben áll fenn.
Related Glossary Terms Drag related terms here
Index
Find Term
II - Példák, megoldások II - Példák, megoldások II - Példák, megoldások II - Példák, megoldások II - Példák, megoldások II - Példák, megoldások II - Példák, megoldások II - Példák, megoldások
Szögfelezőtétel (Apollóniosz tétele) A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja.
A c oldalhoz tartozó szögfelező hossza legyen f, a c oldalt x és y hosszúságú szakaszokra bontja, akkor x a = y b A háromszög-egyenlőtlenség alapján felírhatjuk, hogy f + x > a, f + y > b, ahonnan azt kapjuk, hogy f>
a+b−c . 2
Related Glossary Terms Drag related terms here
Index
Find Term
