MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp

Pengantar Sampel Acak Likelihood Statistic Cukup Distribusi Sampel Statistik Terurut

MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Sampel Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

“We love Statistics”

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp


Pengantar

Parameter adalah...




...suatu karakteristik dari populasi.




Statistik adalah...




...suatu karakteristik dari sampel.




Statistik adalah fungsi dari sampel; T = g (X1 , X2 , . . . , Xn ). ¯ atau T = S 2 . Fungsi T adalah peubah acak; contoh T = X X




Distribusi sampel adalah...




¯ adalah distribusi ...distribusi dari statistik; distribusi sampel dari X ¯ dari X .




Sampel Acak

Diskusi: Sampel tidak acak Sampel acak Distribusi populasi




Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak berukuran n (random sample of size n). Fungsi peluang n-variat nya adalah fX1 ,X2 ,··· ,Xn (x1 , x2 , . . . , xn ) =

n Y

fXi (xi )

i=1




Contoh/Latihan: 1

Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak dari distribusi eksponensial dengan parameter θ. Fungsi peluang n-variatnya adalah...

2

Misalkan X1 , X2 sampel acak berukuran 2 dari distribusi Uniform pada selang (a, b). Fungsi peluang 2-variatnya adalah...




Likelihood

Misalkan fungsi peluang n-variat bergantung pada parameter yang tidak diketahui θ. Fungsi peluang tersebut ditulis sebagai fX1 ,X2 ,...,Xn (x1 , . . . , xn |θ1 , . . . , θk ) atau fX (x|θ)




Contoh/Latihan: 1

Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak dari distribusi N(µ, σ 2 ). Fungsi peluang n-variat yang bergantung pada parameternya ditulis sebagai...




Definisi: Fungsi likelihood adalah ukuran yang menyatakan sebarapa sering nilai θ, diberikan bahwa x telah terobservasi. Fungsi likelihood BUKAN suatu peluang. Fungsi likelihood diperoleh dengan (i) menukar peran θ dan x dalam fungsi peluang n-variat, dan (ii) membuang suku yang tidak bergantung pada θ. Notasi: L(θ) = L(θ|x) ∝ fX (x|θ)




Contoh/Latihan: Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak dari distribusi Eksponensial dengan parameter θ. Fungsi likelihoodnya adalah...




function likefunction; % this function calculates the likelihood function % of certain distribution % % created by K Syuhada, 25/2/2013 clear clc n = input(’n = ’); % size of random sample % data x = exprnd(0.5,n,1); sumx = sum(x); Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.



% parameter of exponential distribution lambda = 0.5:0.05:5; for i = 1:length(lambda) L(i) = (lambda(i)^n)*exp(-lambda(i)*sumx); end plot(lambda,L)




Contoh/Latihan: Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak dari distribusi Uniform pada selang (π, b). Fungsi likelihoodnya adalah...




Prinsip Likelihood Jika dua percobaan, yang melibatkan model dengan parameter θ, memberikan likelihood yang sama, maka inferensi terhadap θ haruslah sama.




Ilustrasi: Pandang percobaan 1 dimana sebuah koin dilantunkan sebanyak n kali secara bebas. Misalkan p adalah peluang muncul MUKA dan X peubah acak yang menyatakan banyaknya MUKA yang muncul. Fungsi peluang dari X adalah... Untuk n = 20, x = 6, fungsi likelihoodnya adalah...




L(θ|x = 6) = θ6 (1 − θ)14




Pandang percobaan 2 dimana sebuah koin dilantunkan hingga diperoleh MUKA sebanyak 6 kali secara bebas. Misalkan Y peubah acak yang menyatakan banyaknya lantunan yang dibutuhkan agar diperoleh enam MUKA. Fungsi peluang dari Y adalah...




fY (y |θ, r ) = · · ·




Misalkan sukses ke-6 terjadi pada lantunan ke-20. Fungsi likelihoodnya adalah...




Dari 2 percobaan diatas, misalkan kita ingin melakukan uji hipotesis: H0 : p = 0.5 versus H0 : p < 0.5 Nilai signfikansinya atau p-value adalah...




P(X ≤ 6|n = 20, θ = 0.5) = · · · = 0.0577




P(Y ≥ 20|r = 6, θ = 0.5) = · · · = 0.0318




Statistic Cukup

Definisi 1: Suatu statistik T = t(X) adalah CUKUP atau sufficient untuk suatu keluarga distribusi fX (x|θ) JIKA dan HANYA JIKA fungsi likelihoodnya bergantung terhadap X hanya melalui T : L(θ) = h(t(X), θ)




Definisi 2: Suatu statistik T = t(X) adalah CUKUP untuk suatu keluarga distribusi fX (x|θ) JIKA dan HANYA JIKA distribusi bersyarat dari X TIDAK BERGANTUNG pada θ : fX|T (x|t, θ) = h(x)




Definisi 3: Suatu statistik T = t(X) adalah CUKUP untuk suatu keluarga distribusi fX (x|θ) JIKA dan HANYA JIKA fungsi peluangnya dapat difaktorkan sebagai : fX (x|θ) = g (t(x)|θ) h(x)




Contoh/Latihan: 1. Misalkan Xi untuk i = 1, . . . , n saling bebas dan Pn berdistribusi identik Bernoulli(p). Tunjukkan bahwa Y = i=1 Xi adalah statistik cukup. 2. Misalkan X1 , . . . , Xn sampel acak berdistribusi Poisson dengan Pn parameter λ. Tunjukkan bahwa T = i=1 Xi adalah statistik cukup. 3. Misalkan Xi untuk i = 1, . . . , n saling bebas dan berdistribusi ¯ adalah statistik identik N(µ, 1). Tunjukkan bahwa Y = X cukup.




4. Misalkan X1 , . . . , Xn sampel acak berdistribusi P Gamma dengan parameter (α, λ). Tunjukkan bahwa T = ni=1 ln(Xi ) adalah statistik cukup. 5. Pandang sampel acak berukuran n dari U(a, b), dengan a diketahui. Tunjukkan bahwa T = X(n) adalah statistik cukup. 6. Pandang sampel acak berukuran n dari N(µ, σ 2 ), dengan µ, σ 2 tidak diketahui. Tunjukkan bahwa statistik T berikut adalah cukup: 2 SX T = ¯ X




Distribusi Sampel

Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak berukuran n dari distribusi Poisson dengan parameter λ. Peubah acak Xi , i = 1, . . . , n saling bebas dan berdistribusi identik dengan fungsi peluang n-variat: n Y e −λ λxi e −nλ λy P(X = x) = = Qn , xi ! i=1 xi ! i=1

dengan y =

P

xi . Dapat ditunjukkan juga Y =


P

Xi cukup.



Distribusi sampel dari Y adalah fY (y|θ) =


e −nλ (nλ)y . y!



Misalkan Xi ∼ U(0, θ). Peubah acak-peubah acak Xi tersebut saling bebas dan berdistribusi identik, dengan fungsi peluang: fX (x|θ) = Statistik T = X(n) cukup dan memiliki fungsi distribusi: P(X(n) ≤ x) = dan fungsi peluang: f(x) =




Statistik Terurut

Misalkan X1 , . . . , Xn sampel acak berukuran n dari suatu populasi yang berdistribusi tertentu, dengan fungsi peluang fX dan fungsi distribusi FX . Pandang X(k) , statistik terurut ke-k. Untuk menentukan fX(k) (x), pertama partisikan I1 = (−∞, x]; I2 = (x, x + dx]; I3 = (x + dx, ∞).




Fungsi peluang fX(k) (x) adalah peluang mengamati sejumlah k − 1 dari X di I1 , tepat sebuah X di I2 , dan sejumlah n − k dari X di I3 : k−1 1 n−k n FX (x) fX (x)dx 1−FX (x) fX(k) (x) ≈ k − 1, 1, n − k yang dengan metode diferensial maka kita peroleh k−1 n−k n fX(k) (x) = FX (x) 1 − FX (x) fX (x) k − 1, 1, n − k




Contoh/Latihan: 1

Fungsi peluang dari statistik terurut terkecil/terbesar adalah...

2

Statistik terurut ke-k pada distribusi U(0, 1) memiliki fungsi peluang...



MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp

Recommend Documents