Matematika (IPA) untuk SMA/MA kelas X
untuk SMA/MA Kelas XI
2 Matematika (IPA) SMA/MA XI
To conquer a fear is the beginning of wisdom. Menaklukkan rasa takut menjadi awal kebijaksanaan.
i
Matematika (IPA) untuk SMA/MA Kelas XI
Penulis Tim Bimata
Editor Rini Dewi Puspitasari
Grafis Hindra Kusuma
Ilustrator Bayu Aprianto
Perancang Kulit Tim Willian
Diterbitkan oleh CV Willian Jl. Diponegoro No. 123 Wirogunan, Kartasura, Sukoharjo 57166 Hunting/Telp: (0271) 781797, 781853, 784754 Fax: (0271) 781797 Email:
[email protected]
Buku ini disetting dan dilayout menggunakan Adobe InDesign® CS, Corel Draw® 11, dan Adobe PhotoShop® CS. Font isi: Times 11 pt.
© Hak cipta dilindungi oleh Undang-Undang Nomor 19 Tahun 2002. Dilarang memperbanyak/menyebarluaskan dalam bentuk apa pun tanpa seizin tertulis dari penerbit.
Matematika (IPA) SMA/MA XI
ii
Don’t let the fear at striking out hold you back. Jangan biarkan ketakutan mengendalikanmu untuk kembali.
Cover Dalam ..................................................................................................................... Copyright ........................................................................................................................... Let’s Get to Know ............................................................................................................. Pendahuluan ..................................................................................................................... Pembelajaran ....................................................................................................................
1
Bab 1 Statistika ..................................................................... Kegiatan Pembelajaran 1 Penyajian Data dalam Bentuk Diagram dan Tabel ................. Kegiatan Pembelajaran 2 Ukuran Pemusatan, Ukuran Letak, dan Ukuran Penyebaran Data ...
Bab 2 Peluang ................................................................................................................... Kegiatan Pembelajaran 1 Kaidah Pencacahan ............................................................................................................. Kegiatan Pembelajaran 2 Peluang suatu Kejadian ....................................................................................................... Kegiatan Pembelajaran 3 Peluang Kejadian Majemuk ................................................................................................
i ii iii 5 6
7 9 25
52 54 64 74
Pelatihan Ulangan Tengah Semester 1 ........................................................................... 89 Bab 3 Trigonometri.......................................................................................................... 93 Kegiatan Pembelajaran 1 Rumus Trigonometri untuk Sudut ...................................................................................... 95 Kegiatan Pembelajaran 2 Operasi dan Identitas Trigonometri .................................................................................... 107 Bab 4 Lingkaran .............................................................................................................. 121 Kegiatan Pembelajaran 1 Persamaan Lingkaran .......................................................................................................... 123 Kegiatan Pembelajaran 2 Persamaan Garis Singgung Lingkaran ................................................................................ 131 Pelatihan Ulangan Semester 1 ......................................................................................... 147
Matematika (IPA) SMA/MA XI
Praise loudly add blame softly. Pujilah dengan lantang, salahkan dengan lembut.
iii
5
Bab 5 Sukubanyak ................................................................ 152 Kegiatan Pembelajaran 1 Nilai dan Pembagian Sukubanyak .......................................... 154 Kegiatan Pembelajaran 2 Teorema Sisa dan Teorema Faktor ......................................... 165
Bab 6 Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers ................................................................. 182 Kegiatan Pembelajaran 1 Relasi dan Fungsi Komposisi ............................................................................................. 184 Kegiatan Pembelajaran 2 Fungsi Invers dan Invers dari Fungsi Komposisi ............................................................... 199 Pelatihan Ulangan Tengah Semester 2 ........................................................................... Bab 7 Limit ....................................................................................................................... Kegiatan Pembelajaran 1 Limit Fungsi Aljabar ........................................................................................................... Kegiatan Pembelajaran 2 Limit Fungsi Trigonometri .................................................................................................
212 216
Bab 8 Turunan Fungsi ..................................................................................................... Kegiatan Pembelajaran 1 Turunan Fungsi Aljabar ...................................................................................................... Kegiatan Pembelajaran 2 Aplikasi Turunan ................................................................................................................ Kegiatan Pembelajaran 3 Masalah yang Berkaitan dengan Turunan...........................................................................
241
218 230
243 253 267
Pelatihan Ulangan Kenaikan Kelas ................................................................................ 280 Glosarium .......................................................................................................................... 284 Penutup .............................................................................................................................. 287 Daftar Pustaka .................................................................................................................. 288
Matematika (IPA) SMA/MA XI
iv
Champion is the quality at journey. Kemenangan adalah kualitas dari sebuah perjalanan.
Pendahuluan
Mapping Your Mind
Konsep Matematika adalah Regina Scientiarum (Ratunya Ilmu Pengetahuan) yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya pikir manusia. Konsep matematika dibangun berdasarkan ide abstrak berdasarkan prinsip-prinsip aksioma, teorema, dan sifat. Prinsip aksioma membawa matematika konsep matematika bukan hanya sekedar pernyataan kebenaran tanpa pembuktian, melainkan membangun kesadaran berlogika. Kemampuan bernalar menjadi penunjang kemampuan untuk membuktikan kebenaran suatu dalil/teorema. Pembuktian kebenaran konsep matematika, diungkapkan berdasarkan batasan-batasan tertentu dalam rupa analitis, ginetik, dan rumus.
Cakupan Materi pembelajaran pada tingkat pendidikan menengah, menitik beratkan pada fenomena kehidupan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Pembelajaran matematika ini diharapkan dapat memberikan bekal pada peserta didik untuk kehidupannya yang lebih baik. Pembelajaran yang ideal dapat melahirkan yang unggul dan berdedikasi tinggi, serta pola pikir yang logis dan praktis. Cakupan pembelajaran dalam Buku Matematika XI (IPA) dibagi dalam beberapa materi utama, yaitu statistika, peluang, trigonometri, lingkaran, suku banyak, fungsi komposisi dan fungsi invers, limit fungsi, serta turunan fungsi.
Sinergisitas Pembelajaran Matematika XI Program IPA terdiri 8 bab, yaitu statistika, peluang, trigonometri, lingkaran, suku banyak, fungsi komposisi dan fungsi invers, limit fungsi, serta turunan fungsi. Materi dalam buku teks Matematika XI Program IPA saling berkaitan, hal tersebut mencerminkan koneksitas dalam pembelajaran. Sikap yang terkandung dalam pembelajaran ini meliputi afektif, kognitif dan spikomotorik yang harus dipelajari oleh peserta didik, sehingga peserta didik mempunyai keahlian dan keterampilan.
Sasaran Pembelajaran pada hakikatnya suatu aktivitas transfer pengetahuan yang memuat tujuan sesuai kompetensi yang ditentukan. Capaian pembelajaran matematika meliputi 1) mampu menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive, 2) menentukan peluang suatu kejadian, 3) menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan kosinus sudut tertentu, 4) memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah.
Matematika (IPA) SMA/MA XI
Ability will take someone to the top. Kemampuan membawa seseorang menuju puncak.
5
Bab
Sukubanyak
5
Standar Kompetensi 4.
Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah.
Cek Kemampuan Awal 1. 2. 3. 4. 5.
Apa yang Anda ketahui tentang definisi faktorisasi? Bagaimana pengertian persamaan kuadrat menurut Anda? Bagaimana menentukan penyelesaian persamaan kuadrat? Bagaimana menentukan penyelesaian nilai fungsi? Sebutkan macam-macam operasi pada aljabar!
Prasyarat Sebelum mempelajari sukubanyak, A n da har us m en g uas a i ma ter i faktorisasi, persamaan kuadrat, menentukan nilai fungsi, operasi pada aljabar sehingga anda akan mudah untuk dapat menentukan nilai sukubanyak, hasil pembagian sukubanyak, melakukan operasi teoremasisa, dan teorema faktor.
Sumber: tempatketiga.fi les.wordpress.com
P
ernahkah Anda pergi ke sebuah toko mainan? Jika Anda perhatikan di bagian belakang etalase toko pasti terdapat tumpukan kardus-kardus yang berisi stok barang dagangan. Pada umumnya kardus stok barang dagangan memiliki ukuran yang berbeda. Besar atau kecil ukuran kardus bergantung pada isi barang di dalamnya. Misal, dalam kardus kecil berisi 2 mainan sedangkan dalam kardus sedang berisi dua kali isi kardus kecil dan kardus besar berisi empat kali isi kardus kecil. Jika terdapat lima tumpukan kardus kecil, tujuh tumpukan kardus sedang dan sepuluh tumpukan kardus besar, dapatkah Anda menghitung banyak mainan yang ada di dalam kardus bila satu buah kardus diasumsikan sebagai x? Setelah Anda mengerjakan permasalahan tersebut akan diperoleh x berderajat n yang sering disebut sebagai polinom atau sukubanyak. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara, salah satunya dengan menerapkan aturan-aturan tertentu yang berlaku pada sukubanyak. Aturan apa saja yang berlaku pada sukubanyak? Untuk mengetahui aturan-aturan yang berlaku dalam sukubanyak lebih mendalam, Anda dapat mempelajarinya pada bab berikut. Matematika (IPA) SMA/MA XI XI
152
The will springs the knowledge. Kemauan menjadi sumber pengetahuan.
Peta Konsep Teliti, Jujur, Rasa Ingin Tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja Keras, Demokratis
Metode pembelajaran
Nilai sikap
Ceramah Plus, Kooperatif, Tanya Jawab, Pemberian Tugas
Sukubanyak
Apersepsi Guru menumbuhkan dan menggali pemahaman peserta didik terhadap materi sukubanyak dengan cara memberikan pertanyaan-pertanyaan sederhana yang dikaitkan dengan peristiwa dalam kehidupan sehari-hari. Materi pembelajaran
Teorema Sisa dan Teorema Faktor
Nilai dan Sukubanyak
Pengukuran
Penugasan
Pelatihan
Analisis hasil
Tindak lanjut Pengayaan
Tindak lanjut Tuntas
Belum
Perbaikan
Parameter hasil
Parameter hasil
Peserta didik mampu: 1. menjelaskan pengertian dan nilai sukubanyak, 2. menggunakan algoritma pembagian sukubanyak, 3. menggunakan teorema sisa, 4. menggunakan teorema faktor.
Kata Kunci •
Algoritma pembagian
• •
Sukubanyak Derajat
• •
Derajat n Cara skema
•
Teorema sisa
Sukubanyak
Challenge with every your task. Tantanglah diri Anda dengan segala tugas.
153
Kegiatan Pembelajaran 1 Nilai dan Pembagian Sukubanyak Kegiatan Pembelajaran 1 membahas tentang pengertian, nilai dan pembagian sukubanyak. Kajian dalam kegiatan pembelajaran ini meliputi pengertian sukubanyak, operasi pada sukubanyak, dan nilai sukubanyak. Sebelum memulai pembelajaran terlebih dahulu mari kita berdoa kepada Tuhan Yang Maha Esa agar sesuatu yang kita pelajari dapat bermanfaat bagi nusa dan bangsa.
A. Pengertian Sukubanyak Pada semester I kita telah mempelajari persamaan lingkaran yang bentuk umumnya x2+ y2 + ax + by + c = 0. Persamaan lingkaran tersebut merupakan contoh sukubanyak berderajat 2. Secara umum, sukubanyak dalam variabel x yang berderajat n berbentuk: anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 Keterangan: 1. n merupakan bilangan cacah yang menyataan derajat sukubanyak 2. an, an-1, a2, a1, a0 merupakan konstanta real dan an ≠ 0 3. an koefisien dari variabel (peubah) xn, an-1 koefisien dari variabel xn-1 dan seterusnya 4. a0 konstanta (suku tetap)
Standar Capaian Peserta didik diharapkan dapat: 1.1 menjelaskan penger tian sukubanyak, 1.2 mengidentifikasi bentuk matematika yang merupakan sukubanyak, 1.3 melakukan operasi pada sukubanyak, 1.4 menentukan nilai dari suatu sukubanyak, 2.1 menjelaskan pengertian pembagi, hasil bagi, dan sisa pembagian, 2.2 melakukan pembagian sukubanyak dengan cara biasa dan sintetik, 2.3 menentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak.
Kompetensi Dasar 4.1 Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian.
Contoh 3
Aplikasi Nilai Sikap 4
2
1. 2x + 5xy – 7x + 6xy + 9y + 2 adalah sukubanyak berderajat 3 dalam x atau berderajat 4 dalam y. 2 2. Bentuk 4x3 + 2x2 + x – dan 2x4 + x3 + 8x – 5 x x bukan sukubanyak, karena sukubanyak variabel x harus berpangkat bilangan cacah.
●
●
●
Peserta didik teliti dalam belajar maupun mengerjakan latihan soal nilai dan pembagian sukubanyak. Peserta didik aktif mencari informasi tentang nilai dan pembagian sukubanyak baik dari internet atau buku. Pes e r ta d i d i k s e c a r a m a n d i r i menger jakan latihan nilai dan pembagian sukubanyak.
B. Operasi pada Sukubanyak Bentuk-bentuk operasi pada sukubanyak dijelaskan sebagai berikut. Misal: f (x) = x2 + x – 2 g (x) = 3x3 + 2x2 + 4x + 1 Matematika (IPA) SMA/MA XI XI
154
I dream all day for a happy living. Aku bermimpi tiap hari demi kebahagiaan hidup.
1. Penjumlahan sukubanyak, menjadi: Nilai Semangat Kewirausahaan dan f (x) + g(x) = (x2 + x – 2) + (3x3 + 2x2 + 4x + 1) = Ekonomi Kreatif 3 2 3x + 3x + 5x – 1 ► Optimisme 2. Pengurangan sukubanyak, menjadi: ► Pantang Menyerah ► Gigih f (x) – g(x) = (x2 + x – 2) – (3x3 + 2x2 + 4x + 1) = 3 2 -3x – x – 3x – 3 3. Perkalian sukubanyak, menjadi: f (x). g(x) = (x 2 + x – 2)(3x 3 + 2x 2 + 4x + 1) = 3x5 + 5x4 + x3 + 2x2 – 7x – 2
C. Nilai Sukubanyak Sukubanyak dapat dituliskan dalam bentuk fungsi dari variabelnya. Nilai sukubanyak mudah ditentukan dengan menuliskan suatu sukubanyak sebagai fungsi dalam variabel x. 1. Sukubanyak sebagai Fungsi f(x) Sukubanyak anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0 dapat ditulis sebagai fungsi sukubanyak dalam x berderajat a + n, fungsi tersebut adalah: f (x) = a0xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0 2. Nilai Sukubanyak f(x) untuk x = k Menentukan nilai sukubanyak f (x) untuk x = k dapat menggunakan dua cara, yaitu metode substitusi dan skema. a. Medode substitusi Metode substitusi digunakan untuk menghitung nilai sukubanyak yang bentuknya sederhana. Contoh
1. Hitunglah nilai sukubanyak f (x) = x4 + 4x2 – x + 10 untuk nilai-nilai x = 2 dan x = -3! Jawab: f(x) = x4 + 4x2 – x + 10 Untuk x = 2 f (2) = 24 + 4.22 – 2 + 10 = 40 x = -3 f (-3)4 + 4(-3)2 – (-3) + 10 = 130 Jadi, nilai f (x) untuk x = 2 adalah f (2) = 40 dan x = -3 adalah 130. 2. Hitunglah nilai sukubanyak f (x) = x4 + 3x3 – x2 + 7x + 25 untuk x = -4! Jawab: f (x) = x4 + 3x3 – x2 + 7x + 25 untuk: x = -4 f (-4) = (-4)4 + 3 (-4)3 – (-4)2 + 7 (-4) + 25 = 256 – 192 – 16 – 28 + 25 = 45 Jadi, nilai sukubanyak f (x) untuk x = -4 adalah 45.
Sukubanyak
All big man are dreamers. Semua manusia dewasa adalah pemimpi.
155
b. Metode skema/Horner/sintetik Untuk menentukan nilai f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e pada x = k ditempuh dengan cara sebagai berikut. 1) Kalikan a dengan k dan tambahkan hasilnya dengan b didapat ak + b! 2) Kalikan ak + b dengan k dan tambahkan hasilnya dengan c didapat ak2 + bk + c! 3) Kalikan ak2 + bk + c dengan k dan tambahkan hasilnya dengan d didapat ak3 + bk2 + ck + d! 4) Kalikan ak3 + bk2 + ck + d dengan k dan tambahkan hasilnya dengan ak4 + bk3 + ck3 + dk + e! Proses di atas dapat ditulis secara skema sebagai berikut. a
b
c
ak
x=k
a
Tanda
Kegiatan Mandiri ● 1.
2.
3.
Nilai Pendidikan Karakter yang Terintegrasi ► ►
Teliti Rasa Ingin Tahu
d
2
ak + bk
► ►
Demokratis Kerja Keras
e
2
2
4
ak + bk3 + ck2 + dk
ak + bk + ck
ak2 + bk + c
ak + b
Kerjakan tugas berikut secara mandiri, jujur, teliti dan percaya diri! Sukubanyak f(x) = 2x5 + 3x4 – 7x3 + 4x2 + ax + 6 dibagi (x – 2) hasilnya h(x) dan sisanya 72. Jika h(x) dibagi (x + 1), carilah hasil bagi dan sisanya! Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian 2x4 + 5x3 – 5x2 + 10x – 4 dengan (x – 2), menggunakan cara bersusun ke bawah! Hitunglah nilai sukubanyak berikut untuk nilai x yang diberikan menggunakan cara skema! a. f(x) = x3 – 2x2 + 19, untuk x = -2 b. f(x) = 3x4 + 4x3 + 6x2 – 4x – 6, untuk x = 2
ak3 + bk2 + ck + d
ak4 + bk3 + ck2 + dk + e = f(k)
= menunjukkan dikalikan dengan k
Contoh
Tentukan nilai sukubanyak berikut dengan menggunakan cara skema! a. f(x) = 3x4 – 2x3 + x2 + 3x – 4 untuk x = 2 b. f(x) = x5 + 3x2 – 6x + 1 untuk x = 3 Jawab: a. f(x) = 3x4 – 2x3 + x2 + 3x – 4 3 2
3
-2
1
3
-4
6
8
18
42
4
9
21
38
Jadi, nilai sukubanyak f(x) adalah f(2) = 38. Matematika (IPA) SMA/MA XI XI
156
Intention is the start of positiveness. Niat adalah awal dari sikap positif.
