SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMA/MA 2013
DIBAHAS OLEH :
AHMAD THOHIR www.ahmadthohir1089.wordpress.com
MA FUTUHIYAH JEKETRO GUBUG GROBOGAN JAWA TENGAH
•
APA BILA ADA KESALAHAN DAN KEKELIRUAN DALAM PEMBAHASAN SOAL SAYA MOHON KEPADA PEMBACA YANG BUDIMAN SEKIRANYA SUDI MEMBERIKAN KOREKSI, MASUKAN, DAN SARANNYA YANG MEMBANGUN.
•
SOAL YANG DIBAHAS HANYA NO 1 SAMPAI DENGAN 6
HARI PERTAMA 1. Perhatikanlah persegi panjang 4 x 6 dengan beberapa ruas garis seperti pada gambar berikut
Tentukanlah banyaknya ruas jajar genjang tanpa sudut siku-siku, dengan bantuan ruas garis yang sudah ada pada gambar di atas Pembahasan : Ada 2 posisi utama jajar genjang pada gambar di atas, yaitu mendatar dan berdiri Untuk posisi mendatar(horizontal) :
Perhatikan untuk bentuk ini ada sebanyak = 5 x 4 x 2 = 40 Untuk bentuk ini ada sebanyak = 4 x 4 x 2 = 32
Selanjutnya untuk susunan 3 jajar genjang mendatar ada sebanyak = 3 x 4 x 2 = 24 • Untuk susunan 4 jajar genjang mendatar ada sebanyak = 2 x 4 x 2 = 16 • Untuk susunan 5 jajar genjang mendatar ada sebanyak = 1 x 4 x 2 = 8 (posisi 2 dengan 1 menatar) ada sebanyak = 4 • Untuk susunan x 3 x 2 = 24 (posisi 2 dengan 2 mendatar) ada sebanyak = • Untuk susunan 3 x 3 x 2 = 18 • Untuk susunan 2 dengan 3 mendatar ada sebanyak = 2 x 3 x 2 = 12 • Untuk susunan 2 dengan 4 mendatar ada sebanyak = 1 x 3 x 2 = 6 • Untuk susunan 3 dengan 1 mendatar ada sebanyak = 3 x 2 x 2 = 12 • Untuk susunan 3 dengan 2 mendatar ada sebanyak = 2 x 2 x 2 = 8 • Untuk susunan 3 dengan 3 mendatar ada sebanyak = 1 x 2 x 2 = 4 • Untuk susunan 4 dengan 1 mendatar ada sebanyak = 1 x 2 x 2 = 4 • Untuk susunan 4 dengan 2 mendatar ada sebanyak = 1 x 1 x 2 = 2 Jadi total banyak jajar genjang posisi mendatar ada sebanyak 210 buah •
Untuk posisi berdiri(vertikal) Dengan cara yang hamper mirip ada sebanyak 120 buah Jadi, total banyak jajar genjang pada gambar di atas ada sebanyak 210 + 120 = 330 buah jajar genjang
2. Diberikan segitiga ABC lancip dengan lingkaran luar ω. Garis bagi dari
Pembahasan : Sebagai bukti dapat kita ilustrasikan dengan menggambarkan segitiga ABC lancip sama kaki dengan lingkaran luar ω pada diagram Kartesius. Y
A
K
L
P
X B
E
F
C
M
Catatan : ∆ ܥܤܣdi atas adalah segitiga lancip sama kakidengan sisi AB = AC, AM adalah garis bagi Untukselanjutnya silahkan pembaca uraikan dengan bahasa sendiri Jadi,dengan bantuan ilustrasi gambar terbukti 3. Tentukan semua bilangan riil positif M sedemikian sehingga untuk sebarang bilangan riil positif ܽ, ܾ, ܿ minimal satu di antara tiga bilangan berikut ܯ ܯ ܯ ܽ+ , ܾ+ , ܿ+ ܾܽ ܾܿ ܽܿ berharga lebih dari atau sama dengan 1+M Pembahasan : Diketahui bahwa bilangan-bilangan ܯ, ܽ, ܾ, ܿ ∈ ℝ positif. Oleh karena itu kita mendapatkan Untuk ketak samaan AM-GM
ܽ ܾ ܿ ቀ ܿ ቁ + ቀܽ ቁ + ቀ ቁ య ܽ ܾ ܿ ܾ ≥ ඨቀ ቁ ൬ ൰ ቀ ቁ = 1 ܿ ܽ ܾ 3 Selajutnya kita mendapatkan మ ା మ ା మ
ೌ
್ ೌ
್
ቀ ቁାቀ ቁାቀ ቁ ଷ
≥ 1 ===> + + ≥ 3 ===>
≥ 3 ===> ܽଶ ܾ + ܾ ଶ ܿ + ܿ ଶ ܽ ≥ 3ܾܽܿ ………………………..………………..1) Dari soal juga kita mendapatkan ெ ܽ + ≥ 1 + ܽ >=== ܯଶ ܾ + ≥ ܯሺ1 + ܯሻሺܾܽሻ ≥ 1 + ≥ ܯ1 ……………………….2)
ܾ+
ெ
ெ
≥ 1 + ܾ >=== ܯଶ ܿ + ≥ ܯሺ1 + ܯሻሺܾܿሻ ≥ 1 + ≥ ܯ1…………………………3)
ܿ + ≥ 1 + ܿ >=== ܯଶ ܽ + ≥ ܯሺ1 + ܯሻሺܿܽሻ ≥ 1 + ≥ ܯ1…………………………4) Sehingga 2) + 3) + 4) kita mendapatkan ܽଶ ܾ + ܾ ଶ ܿ + ܿ ଶ ܽ + 3 ≥ ܯ3 ===> 3 ≥ ܯ3 − ሺܽଶ ܾ + ܾ ଶ ܿ + ܿ ଶ ܽሻ 3 ≥ ܯ3 − ሺ3ܾܽܿሻ ≥ ܯ1 − ܾܽܿ Jadi harga M adalah ≥ ܯ1 − ܾܽܿ dengan ܯ, ܽ, ܾ, ܿ adalah bilangan-bilangan riil positif
4. Misalkan 3 < bilangan prima dan
ܵ=
ଶஸழழஸିଵ
݆݅݇
Buktikanlah bahwa bilangan ܵ + 1 habis dibagi oleh Pembahasan : Soal di atas untuk S dapat kita tuliskan kembali ܵ=
atau
ܵ=
ଶஸழழஸିଵ
݆݅݇
ሺ݅ + 2ሻሺ݆ + 2ሻሺ݇ + 2ሻ
ஸିଶழିଶழିଶஸିଷ
Perhatikanlah bahwa untuk >3 dan sekaligus juga prima, maka dapat kita tuliskan sebagai = 6݊ ± 1, dengan ݊ ∈ ℕ. Sedangkan untuk ܵ + 1 hanya ada 2 kemungkinan, yaitu bilangan itu prima atau bilangan itu komposit. a) Jika bilangan itu prima jelas ܵ + 1 habis dibagi = 6݊ ± 1 dengan ݊ ∈ ℕ, untuk > 3 dan prima. b) Jika bilangan itu komposit, juga ada 2 kemungkinan antara paritas genap dan ganjil, kondisi ini tetap memungkinkan keterbagian oleh = 6݊ ± 1 dengan ݊ ∈ ℕ, untuk > 3 dan prima. kita ambil contoh untuk • ܵଵ = 2.3.4=24, maka ܵଵ + 1 = 24 + 1 = 25 ≡ 0 ሺ݉ ݀5ሻ (karena p-1=5) • ܵଶ = 2.3.4 + 2.3.5 + 2.3.6 + 2.4.5 + 2.4.6 + 2.5.6 + 3.4.5 + 3.4.6 + 3.5.6 + 4.5.6 = 580 , maka ܵଶ + 1 = 580 + 1 = 581 ≡ 0 ሺ݉ ݀7ሻ (karena p-1=7)
Jadi terbukti. HARI KEDUA 5. Diberikan sebarang polinom kuadrat ܲሺݔሻ dengan koefisien utama adalah positifdan harga harga diskriminan negatif. Buktikan bahwa ܲሺݔሻ dapat dinyatakan dengan jumlah tiga polinom kuadrat ܲሺݔሻ = ܲଵ ሺݔሻ + ܲଶ ሺݔሻ + ܲଷ ሺݔሻ dengan ܲଵ ሺݔሻ, ܲଶ ሺݔሻ ,ܲଷ ሺݔሻ memiliki koefisien utama positif dengan diskriminan nol serta akar riil kembar dari ketiga polinom berbeda tersebut Pembahasan : Misalkan polinom ܲଵ ሺݔሻ = ݕଵ = ݔଶ adalah salah satu polinom yang kita pilih sebagaimana fakta dari soal di atas. Kemudian kita geser ܲଵ ሺݔሻ tersebut ke kiri dan ke kanan sebesar satu satuan dan kita tetapkan sebagai ܲଶ ሺݔሻ dan ܲଷ ሺݔሻ Sehingga ܲଶ ሺݔሻ = ݕଶ = ሺ ݔ− ሻଶ = ݔଶ − 2 ݔ+ ଶ dan ܲଷ ሺݔሻ = ݕଷ = ሺ ݔ+ ሻଶ = ݔଶ + 2 ݔ+ ଶ Jika ܲሺݔሻ = ܲଵ ሺݔሻ + ܲଶ ሺݔሻ + ܲଷ ሺݔሻ ଶ ܲሺݔሻ = ሺ ݔሻ + ሺ ݔଶ − 2 ݔ+ ଶ ሻ + ሺ ݔଶ + 2 ݔ+ ଶ ሻ = 3 ݔଶ + 2ଶ adalah sebuah polinom baru yaitu ܲሺݔሻ dengan koefisien utama positif dan nilai diskriminan negatif (definit positif atau kurva di atas sumbu-x). Terbukti ݕଵ = ݔଶ
Y
X O
6. Suatu bilangan asli ݊ dikatakan "݇ "ݐܽݑjika ada bilangan asli ݔsehingga ݔ௫ + 1 habis dibagi oleh 2 a) Buktikan bahwa 2013 adalah bilangan kuat b) Jika ݉ bilangan kuat, tentukan bilangan asli terkecil ݕsehingga ݕ௬ + 1 habis dibagi oleh 2
Pembahasan : a) Misalkan kita pilih = ݔ3, sehingga untuk 3ଶଵଷሺଷሻ + 1 ሺ3ଶଵଷ ሻଷ + 1 ሺ3ଶଵଷ ሻଷ + 1ଷ = = 2ଶଵଷ 2ଶଵଷ 2ଶଵଷ ଶଵଷ ଶଵଷ ଶ ଶଵଷ ሺ3 ሻ + 1ሻሺሺ3 −3 + 1ሻ = ଶଵଷ 2 ሺሺ4 − 1ሻଶଵଷ + 1ሻሺሺ3ଶଵଷ ሻଶ − 3ଶଵଷ + 1ሻ = 2ଶଵଷ Untuk ሺ4 − 1ሻଶଵଷ 2013 ଶଵଷ 2013 ଶଵଷିଵ ଵ 2013 ଶଵଷିଶ ଶ =൬ ൰4 .1 −൬ ൰4 .1 + ൬ ൰4 .1 − ⋯ 0 1 2 2013 ଶଵଷିଶଵଶ ଶଵଶ 2013 ଶଵଷିଶଵଷ ଶଵଷ +൬ ൰4 .1 −൬ ൰4 .1 2012 2013 ሺሺ4 − 1ሻଶଵଷ + 1ሻ 2013 ଶଵଷିଵ ଵ 2013 ଶଵଷିଶ ଶ 2013 ଶଵଷ .1 − ൬ ൰4 .1 + ൬ ൰4 .1 − ⋯ = ቆ൬ ൰4 0 1 2 2013 ଶଵଷିଶଵଶ ଶଵଶ 2013 ଶଵଷିଶଵଷ ଶଵଷ +൬ ൰4 .1 −൬ ൰4 .1 − 1ቇ 2012 2013 2013 ଶଵଷ 2013 ଶଵଷିଵ ଵ 2013 ଶଵଷିଶ ଶ = ቆ൬ ൰4 .1 − ൬ ൰4 .1 + ൬ ൰4 .1 − ⋯ 0 1 2 2013 ଶଵଷିଶଵଶ ଶଵଶ ቇ +൬ ൰4 .1 2012 2013 2013 ଶଵଵ 2013 ଶଽ = 2ଶଵଷ ቆ൬ ൰ . 2ଶଵଷ − ൬ ൰2 +൬ ൰2 −⋯ 0 1 2 2013 ିଶଵଵ ቇ +൬ ൰2 2012 Misalkan ܾ = ቀ൫ଶଵଷ ൯. 2ଶଵଷ − ൫ଶଵଷ ൯2ଶଵଵ + ൫ଶଵଷ ൯2ଶଽ − ⋯ + ൫ଶଵଷ ൯2ିଶଵଵ ቁ, maka ଵ ଶ ଶଵଶ ሺሺ4 − 1ሻଶଵଷ + 1ሻ = 2ଶଵଷ . ܾ Sehingga 3ଶଵଷሺଷሻ + 1 ሺ3ଶଵଷ ሻଷ + 1 ሺሺ4 − 1ሻଶଵଷ + 1ሻሺሺ3ଶଵଷ ሻଶ − 3ଶଵଷ + 1ሻ = = 2ଶଵଷ 2ଶଵଷ 2ଶଵଷ ଶଵଷ ଶଵଷ ሻଶ ଶଵଷ 2 . ܾሺሺ3 −3 + 1ሻ = = ܾሺሺ3ଶଵଷ ሻଶ − 3ଶଵଷ + 1ሻ ଶଵଷ 2 Terbukti bahwa 2013 adalah bilangan kuat b) Jika ݉ bilangan kuat dan ݕ௬ + 1 habis dibagi 2 serta ݉, ∈ ݕℕ, kita pilih saja ݉ = = ݕ1 supaya didapatkan nilai ݕterkecil, yaitu 1ଵ.ଵ + 1 =ݕ =1 2ଵ
SUMBER SOAL • http://stenlyivan.wordpress.com/2013/09/05/soal-osn-2013-tingkat-smabidang-matematika/
