m)

A1B15EN2 - Elektrické parametry vedení – výpočet kapacit

Výpočet kapacit •

potenciál od válcového vodiče   D  .dS = Q S

l 2π

  ε.E ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ dl = Q 0 0

ε.E.2π.l.r = Q (na celou délku vodiče) E=

Q1 (V/m) 2π.ε.r

kapacita mezi dvěma vodiči v osamocené smyčce (1 kladný, 2 záporný, Q1 = −Q 2 )

  ϕ = −  Ed l

 E = −grad ϕ r0

d Q Q Q Q1 r d ϕ1 = ϕ11 + ϕ12 = −  dr −  2 dr = − 1 [ln r ]∞0 + 1 [ln r ]∞ 2πε 2πε 2πεr 2πεr ∞ ∞

ϕ1 = −

ϕ2 =

Q1 Q Q d ⋅ ln r0 + K1 + 1 ⋅ ln d + K 2 = 1 ⋅ ln + K 2πε 2πε 2πε r0

r Q1 Q Q ⋅ ln r0 + K 2 − 1 ⋅ ln d + K 1 = 1 ⋅ ln 0 + K 2πε 2πε 2πε d

U = ϕ1 − ϕ 2 =

C=

πε d ln r0

Q1 d ⋅ ln (V / m) πε r0

(F / m)

příspěvek od obou vodičů k obecnému bodu

ϕP = −

Q1 Q Q d ⋅ ln d1 + K 1 + 1 ⋅ ln d 2 + K 2 = 1 ⋅ ln 2 + K 2πε 2πε 2πε d1

Q1 = Q + ; Q 2 = Q − má-li země nulový potenciál, pak K = 0 -1-

A1B15EN2 - Elektrické parametry vedení – výpočet kapacit

U=

•

Q1 d− ⋅ ln + (V / m) 2πε d

kapacita kabelu (válcový kondenzátor): Q = C.U vnitřní vodič Q+, napětí od r1 k r2 r1

r2

r2

∞

∞

r1

U = ϕ1 − ϕ 2 = −  Edl +  Edl =  Edl r2

r Q Q1 dr = 1 ⋅ ln 2 r1 2πε 2πεr r1

U=

C=

C=

Q 2πε 2π.8,854.10 −12.ε r 24,2.10 −12.ε r = = = r r2 r2 U log 2 ln log r1 r1 r1 log e 0,0242.ε r (μF/km) r2 log r1

-2-

(F/m)

A1B15EN2 - Elektrické parametry vedení – výpočet kapacit

Elektrické parametry vedení – výpočet kapacit Př. 1: Trojfázové transponované vedení je uspořádáno na stožárech podle obrázku. Fázové vodiče jsou provedeny vodičem AlFe70 mm2 , který má poloměr r = 5,8 mm. Vypočítejte dílčí kapacitu jednoho vodiče proti zemi, vzájemnou dílčí kapacitu a provozní kapacitu jednoho vodiče (všechny kapacity určete pro 1 kilometr délky vedení).

Střední geometrická výška fázových vodičů nad zemí: h = 3 h 1 ⋅ h 2 ⋅ h 3 = 3 9,72 ⋅ 8,47 ⋅ 8,47 = 8,86 m Střední geometrická vzdálenost fázových vodičů: d = 3 d 12 ⋅ d 13 ⋅ d 23 = = 3 0,78 2 + 1,25 2 ⋅ 0,78 2 + 1,25 2 ⋅ (0,78 + 0,78) = 1,5 m Potenciálové koeficienty: δ=

δ' =

1 2h 1 2 ⋅ 8,86 ⋅ 10 3 = = 144 km / μF ⋅ log ⋅ log r 0,0242 5,8 0,0242

1 4 ⋅ h2 + d2 1 4 ⋅ 8,86 2 + 1,5 2 = ⋅ log ⋅ log = 44,4 km / μF 0,0242 d 0,0242 1,5

Dílčí kapacita jednoho vodiče proti zemi pro 1 kilometr délky vedení: k0 =

1 1 = = 0,00429 μF / km δ + 2 ⋅ δ' 144 + 2 ⋅ 44,4

Vzájemná dílčí kapacita pro 1 kilometr délky vedení: k′ =

δ' 44,4 = = 0,00191 μF / km (δ + 2 ⋅ δ') ⋅ (δ − δ') (144 + 2 ⋅ 44,4) ⋅ (144 − 44,4)

Provozní kapacita jednoho vodiče pro 1 kilometr délky vedení: C= nebo

1 1 = = 10,02 ⋅ 10 −3 μF / km δ − δ' 144 − 44,4 C = k 0 + 3 ⋅ k' = 0,00429 + 3 ⋅ 0,00191 = 10,02 ⋅ 10 −3 μF / km

-3-

A1B15EN2 - Elektrické parametry vedení – výpočet kapacit

(

)

(

)

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = k 0 ⋅ U A + k ′ ⋅ U A − U B + k ′ ⋅ U A − U C = k + k ′ ⋅ 1 − aˆ 2 + k ′ ⋅ (1 − aˆ ) = C 0 A ˆ U

(

)

A

= k 0 + k ′ ⋅ 2 − aˆ 2 − aˆ = k 0 + 3k ′

 δ δ′ δ′    (δ km ) =  δ′ δ δ′   δ′ δ′ δ   

(c km ) =(δ km )

=1

 c c′ c′    =  c′ c c′   c′ c′ c   

δ + δ' δ + δ' = 2 δ + δ ⋅ δ'−2δ′ (δ − δ′)(δ + 2δ′) − δ' − δ' c′ = 2 = 2 (δ − δ′)(δ + 2δ′) δ + δ ⋅ δ'−2δ′ c=

2

δ + δ'−2δ′ 1 = (δ − δ′)(δ + 2δ′) δ + 2δ′ δ' k ′ = −c ′ = (δ − δ′)(δ + 2δ′) 1 3δ' 1 C = k 0 + 3k ′ = + = δ + 2δ′ (δ − δ′)(δ + 2δ′) δ − δ′ k 0 = c + 2c′ =

-4-

(

)

A1B15EN2 - Elektrické parametry vedení – výpočet kapacit

Př. 2: Trojfázové transponované vedení je uspořádáno na stožárech podle obrázku. Uvedeny jsou závěsné výšky fázových vodičů i zemnicího lana.

Fázové vodiče (nesvazkové): AlFe 150 mm 2 , 2 ⋅ r = 24 mm jmenovitý průhyb: p = 1,2 m Zemnicí lano: Fe 70 mm 2 , 2 ⋅ rz = 11 mm jmenovitý průhyb: pz = 1 m Vypočítejte dílčí kapacitu jednoho vodiče k zemi, vzájemnou dílčí kapacitu a provozní kapacitu jednoho vodiče (všechny kapacity určete pro 1 kilometr délky vedení).

Výpočtová výška fázových vodičů: h 1 = h 2 = h 3 = H − 0,7 ⋅ p = 9,84 − 0,7 ⋅ 1,2 = 9 m Výpočtová výška zemnicího lana: h z = H z − 0,7 ⋅ p z = 12,7 − 0,7 ⋅ 1 = 12 m

Střední geometrická výška fázových vodičů nad zemí: h = 3 h1 ⋅ h 2 ⋅ h 3 = 3 93 = 9 m Střední geometrická vzdálenost fázových vodičů: d = 3 d 12 ⋅ d 13 ⋅ d 23 = 3 6 ⋅ 12 ⋅ 6 = 7,56 m

Střední geometrická vzdálenost zemnicího lana od fázových vodičů: d vz = 3 d 1z ⋅ d 2z ⋅ d 3z = 3 6 2 + 3 2 ⋅ 3 ⋅ 6 2 + 3 2 = 5,13 m

-5-

A1B15EN2 - Elektrické parametry vedení – výpočet kapacit

Potenciálové koeficienty respektující fázové vodiče: δ=

2 ⋅ 9 ⋅ 10 3 1 2⋅h 1 = 131,24 km / μF ⋅ log ⋅ log = 12 0,0242 r 0,0242

δ' =

4 ⋅ 9 2 + 7,56 2 1 4 ⋅ h2 + d2 1 = ⋅ log ⋅ log = 17,02 km / μF 0,0242 d 0,0242 7,56

Potenciálový koeficient respektující samotné zemnicí lano: δ zz =

2⋅hz 1 1 2 ⋅ 12 ⋅ 10 3 = ⋅ log ⋅ log = 150,41 km / μF 0,0242 rz 0,0242 5,5

Potenciálový koeficient respektující působení mezi fázovými vodiči a zemnicím lanem: δ vz

4 ⋅ h ⋅ h z + d 2vz 4 ⋅ 9 ⋅ 12 + 5,13 2 1 1 = = = 25,64 km / μF ⋅ log ⋅ log 0,0242 d vz 0,0242 5,13

Korekční potenciálový koeficient: δk =

δ 2vz 25,64 2 = = 4,37 km / μF δ zz 150,41

Činitelé: N = δ − δ k = 131,24 − 4,37 = 126,87 km / μF N' = δ'−δ k = 17,02 − 4,37 = 12,65 km / μF

Dílčí kapacita jednoho vodiče k zemi: k0 =

1 1 = = 6,57 ⋅ 10 −3 μF / km N + 2 ⋅ N' 126,87 + 2 ⋅ 12,65

Vzájemná dílčí kapacita: k' =

N' 12,65 = = 0,728 ⋅ 10 −3 μF / km (N + 2 ⋅ N') ⋅ (N − N') (126,87 + 2 ⋅ 12,65) ⋅ (126,87 − 12,65)

Provozní kapacita jednoho vodiče pro kilometr délky vedení: C=

1 1 = = 8,755 ⋅ 10 −3 μF / km N − N' 126,87 − 12,65

nebo C = k 0 + 3 ⋅ k' = (6,57 + 3 ⋅ 0,728) ⋅ 10 −3 = 8,755 ⋅ 10 −3 μF / km

-6-

A1B15EN2 - Elektrické parametry vedení – výpočet kapacit

δ′

 δ  δ′ (δ km ) =  δ′  δ  vz

(δ km )mod

δ δ′ δ vz

δ′ δ′

δ vz   δ vz   A B   = δ vz   C D   δ zz 

δ δ vz

= A − B ⋅ D −1 ⋅ C

 δ vz    (δ kor ) = B ⋅ D ⋅ C =  δ vz  δ zz−1 (δ vz δ   vz  −1

(δ km )mod

 δ − δ kor  =  δ′ − δ kor  δ′ − δ kor 

( )

δ′ − δ kor δ − δ kor δ′ − δ kor

δ vz

 δ 2vz   δ zz  δ 2vz δ vz ) =   δ zz  δ 2vz   δ zz

δ 2vz δ zz δ 2vz δ zz δ 2vz δ zz

δ 2vz δ zz δ 2vz δ zz δ 2vz δ zz

δ′ − δ kor   N N ′ N ′     δ′ − δ kor =  N ′ N N ′  δ − δ kor   N ′ N ′ N 

1 1 1 = = N + 2 N ′ δ − δ kor + 2(δ′ − δ kor ) δ + 2δ′ − 3δ kor δ'−δ kor N′ k′ = = (N − N ′)(N + 2 N ′) (δ − δ′)(δ + 2δ′ − 3δ kor ) 1 1 C = k 0 + 3k ′ = = N − N ′ δ − δ′ k0 =

-7-

vyšší nižší

stejná

   δ   kor  =  δ kor  δ   kor  

δ kor δ kor δ kor

δ kor   δ kor  δ kor 

A1B15EN2 - Elektrické parametry vedení – výpočet kapacit

Př. 3: Vypočítejte kapacity trojžilového kabelu s hliníkovým pláštěm, jehož rozměry jsou podle obrázku. Vodiče: Al 300 mm 2 (r = 11,25 mm) . Tloušťka izolace vodiče je t 1 = 3,75 mm , izolace mezi vodiči t 2 = 7,5 mm a permitivita izolace ε r = 4,2 .

a) vodivý plášť na každé žíle r1 = r = 11,25 mm r2 = r + t 1 = 15 mm 0,0242 ⋅ ε r 0,0242 ⋅ 4,2 = = 0,814 μF / km C= r 15 log log 2 11,25 r1 b) vodivý plášť společný pro všechny tři žíly

Z obrázku: c = t 2 + 2 ⋅ r = 7,5 + 2 ⋅ 11,25 = 30 mm 2

c 30 c b = c −  = ⋅ 3 = ⋅ 3 = 26 mm 2 2 2 2 2 a = ⋅ b = ⋅ 26 = 17,32 mm 3 3 2

R = a + r + t 1 = 17,32 + 11,25 + 3,75 = 32,32 mm

Potenciálové koeficienty: δ=

1 R2 − a2 1 32,32 2 − 17,32 2 = = 3,063 km / μF ⋅ log ⋅ log 0,0242 ⋅ ε r R ⋅r 0,0242 ⋅ 4,2 32,32 ⋅ 11,25

-8-

A1B15EN2 - Elektrické parametry vedení – výpočet kapacit

δ' =

1 1  R2 a2 ⋅ log ⋅ 1 + 2 + 2 0,0242 ⋅ ε r 3  a R

  = 

1 1  32,32 2 17,32 2   = 0,99 km / μF ⋅ log ⋅ 1 + + 0,0242 ⋅ 4,2 3  17,32 2 32,32 2 

=

Dílčí kapacita k vodivému plášti kabelu: k0 =

1 1 = = 0,198 μF / km δ + 2 ⋅ δ' 3,063 + 2 ⋅ 0,99

Vzájemná dílčí kapacita: k=

δ' 0,99 = = 0,095 μF / km (δ + 2 ⋅ δ') ⋅ (δ − δ') (3,063 + 2 ⋅ 0,99) ⋅ (3,063 − 0,99)

Provozní kapacita: C=

1 1 = = 0,483 μF / km δ − δ' 3,063 − 0,99

nebo C = k 0 + 3 ⋅ k' = 0,198 + 3 ⋅ 0,095 = 0,483 μF / km

-9-