MODUL 3 Dimensi Tiga Standar Kompetensi Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel
Kompetensi Dasar 3.1 3.2 3.3
Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga
Indikator
Kreteria Kinerja
Lingkup Belajar
Kedudukan 1. Kedudukan titik, garis, dan Mendeskripsikan bidang dalam ruang dimensi kedudukan antara unsur- titik dengan unsur bangun unsur bangun ruang tiga ruang 2. Jarak pada bangun ruang. Mendefinisikan pengertian Jarak antar jarak antara titik, garis dan bangun ruang bidang dalam ruang 3. Sudut pada bangun ruang Mendefinisikan pengertian Sudut dalam sudut antara titik, garis dan bangun ruang bidang dalam ruang
4. Irisan Bidang
5. Proyeksi
Materi Pokok Pembelajaran Pengetahuan Keterampilan
Sikap Sistematis dan analisis
Kedudukan titik terhadap Mengambil garis dan bidang Keputusan dengan cepat
Sistematis dan analisis Sistematis dan analisis
Jarak titik ke titik Jarak titik ke garis Jarak titik ke bidang Sudut antara dua garis Sudut antara garis dan bidang yang berpotongan Sudut antara dua bidang yang berpotongan Mendiskripsikan irisan Irisan bidang Sistematis dan Irisan bidang dengan bidang dalam ruang dengan analisis bangun ruang bngun ruang Mendiskripsikan hasil Proyeksi Sistematis dan Proyeksi titik pada bidang proyeksi dalam bangun dalam analisis Proyeksi garis pada bidang ruang bangun ruang
A. Tujuan Pembelajaran
Kegiatan Belajar 1
Setelah mempelajari kegiatan belajar 1, diharapkan siswa dapat : a. Menentukan kedudukan titik dan garis dalam ruang b. Menentukan kedudukan titik dan bidang dalam ruang c. Menentukan kedudukan antara dua garis dalam ruang d. Menentukan kedudukan garis dan bidang dalam ruang e. Menentukan kedudukan antara dua bidang dalam ruang f. Menggambar titik koordinat pada dimensi tiga
B. Uraian Materi 1
Kedudukan Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang Benda berdemensi tiga memiliki tiga unsur, yakni : 1. Titik merupakan sesuatu yang tidak memiliki ukuran (tak berdemensi) dan hanya ditentukan oleh letaknya saja. Titik disimbolkan dengan noktan (•) dan biasanya diberi nama dengan huruf besar (kapital), misalnya A, B, C, D dan lain sebagainya 2. Garis adalah kumpulan atau himpunan titik yang membentuk kurva lurus. Garis merupakan bangun berdemensi satu, karena ukuran (demensi) yang dimiliki hanya satu yaitu panjang, garis biasanya diberi nama dengan huruf kecil, misalnya: p. q, r dan lain sebagainya 3. Bidang disebut bangun berdemensi dua, karena memeliki dua demensi yakni demensi
h
panjang dan demensi lebar, bidang tidak memeiliki dimensi ketebalan.
B
•
a. Kedudukan titik terhadap garis dan bidang
g
a.1. Kedudukan titik terhadap garis
• A
Jika diperhatikan gambar di atas maka kedudukan titik terhadap garis ada dua, yakni :
Titik terletak di garis atau garis yang melalui titik tertentu, seperti titik A terletak di garis g, atau garis g melalui titik A. Titik yang terletak di luar garis, atau titik tidak terletak di garis atau dengan kata
β
•R
lain garis tidak melalui titik tertentu, contohnya titik B tidak terletak di garis h, atau garis h tidak melalui titik B.
•P
a.2. Kedudukan titik terhadap bidang
ά
Dari gambar di atas, diketahui bahwa kedudukan titik terhadap bidang adalah : Titik terletak pada bidang atau bidang melalui titik tertentu, seperti titik P terletak pada bidang ά. Titik terletak di luar bidang atau bidang tidak melalui titik tertentu, seperti titik R terletak di luar bidang β
b q
r
ά
E
A
H
D
s
t
B
F
C
G
Pada gambar kubus di bawah, maka kedudukan titik terhadap garis dan bidang adalah : Titik A terletak pada garis (rusuk) AB, AE dan AD Titik A di luar garis (rusuk) FB, FE, HG dan seterusnya Titik A terletak pada bidang ABCD, ADHE
a
•P ά
Titik A di luar bidang BCGF, EFGH dan seterusnya
g=h
ά
b. Kedudukan Dua Garis
ά
Berdasarkan gambar gambar di atas dapat diketahui bahwa kedudukan dua garik adalah : Dua garis yang saling berhimpit
Dua garis dikatakan saling berimpit jika kedua garis tersebut sejajar , terletak pada satu bidang dan setiap titik pada garis terletak pada titik garis yang lainnya, contohnya pada gambar di atas, garis g berimpit dengan garis h. Dua garis yang saling berpotongan Dua garis atau lebih dikatakan saling berpotongan jika garis-garis tersebut terletak pada bidang yang sama dan terdapat satu titik perpotongan pada garis-garis tersebut. Perhatikan gambar di atas garis a berpotongan dengan garis b di titik P. Dua garis saling sejajar Dua garis atau lebih dikatakan sejajar apabila garis tersebut terletak pada satu bidang dan tidak mempunyai titik perpotongan (persekutuan). Perhatikan gambar di atas garis q sejajar dengan garis r. Dua garis yang saling bersilang Dua garis atau lebih dikatakan saling bersilang jika garis-garis tersebut tidak memiliki titik persekutuan sehingga garis-garis tersebut tidak sebidang dan tidak
∟
r
ά
• PP
s
sejajar. Perhatikan gambar di atas garis s saling bersilang dengan garis t.
g
ά
c. Kedudukan Garis Terhadap Bidang
ά
terletak pada bidang dan tidak sejajar, garis menembus/memotong sebuah bidang
Suatu garis dikatakan memotong/menembus sebuah bidang jika garis tersebut tidak
Garis yang memotong/ menenbus bidang
tidak memiliki persekutuan. Hal ini ditunjukkan garis r dengan bidang ά.
dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis trsebut, garis dan bidang yang sejajar
Suatu garis dikatakan sejajar dengan sebuah bidang jika pada bidang tersebut dapat
Garis sejajar dengan bidang
pada bidang tertentu, ini ditunjukkan pada di atas garis g terletak pada bidang ά.
Garis dikatakan terletak pada bidang jika semua titik pada garis tersebut terletak
Garis terletak pada bidang
Kedudukan garis terhadap bidang adalah sebagai berikut :
∟
ά ρ σ
jika terdapat satu titik perpotongan antara garis dan bidang. Garis s menembus bidang ά pada titik P.
λ
d. Kedudukan Dua bidang
ά=β
Kedudukan dua bidang adalah: Dua bidang atau lebih yang berimpit Dua bidang atau lebih dikatakan saling berimpit jika setiap titik pada bidang terletak pada bidang yang lainya, perhatikan gambar bidang ά berimpit dengan bidang β. Dua bidang atau lebih yang sejajar Dua bidang atau lebih dikatakan sejajar jika bidang tersebut tidak memiliki titik persekutuan, perhatikan gambar bidang λ berimpit dengan bidang γ. Dua bidang atau lebih saling berpotongan Dua bidang atau lebih dikatakan saling berpotongan jika bidang tersebut memiliki
Proyeksi
tepat satu garis persekutuan, perhatikan bidang ρ berpotongan dengan bidang σ.
a. Proyeksi titik pada bidang Sebuah titik yang terletak di luar bidang jika kita tarik garis lurus dari titik tersebut ke bidang sehingga membentuk sudut 90o dengan bidang maka ini disebut sebagai
• R’
•R
= Proyeksi titik R pada bidang β
= bidang proyeksi RR’ ⊥ β
β
RR’ = Proyektor atau jarak titik R terhadap bidang β
R’
proyeksi sebuah titik ke bidang. Seperti gambar di bawah.
β
• A
∟
• A’
• B
•
B’
α
b. Proyeksi garis pada bidang
1.
•D
• D’
• Q
∟
• Q’
• PP’
Jika garis terletak di luar bidang maka semua proyektor terletak pada satu bidang, seperti garis AB yang diproyeksikan terhadap bidang α. Jika garis tegak lurus dengan bidang maka hasil proyeksinya berupa titik seperti pada titik D yang di proyeksikan pada bidang α Jika garis menembus/memotong bidang maka hasil proyeksinya adalah garis lurus pada bidang seperti garis PQ yang diproyeksikan pada bidang α.
Penyelesaian E
H
D
F
B
G
C
luas bidang proyeksinya adalah 0 cm2
Karena bidang proyeksinya berbentuk garis maka tidak mempunyai luas, jadi
b. Proyeksi bidang ACGE pad bidang ABCD, adalah garis AC.
Panjang proyeksinya adalah 5 2 cm.
a. Proyeksi garis AG pada bidang ABCD adalah garis AC
A
b. Proyeksi dan luas bidang proyeksi bidang ACGE pad bidang ABCD.
a. Proyeksi dan panjang proyeksi garis AG pada bidang ABCD
Diketahui kubus ABCDEFGH memiliki panjang rusuk 5 em, tentukan
Contoh
Proyeksi garis pada sebuah bidang ada tiga kemungkinan yang terjadi, yakni :
α
∟
2. Pada limas segiempat beraturan T.ABCD tentukan : a. Letak proyeksi titik T pada bidang ABCD b. Proyeksi bidang TAD pada bidang ABCD. jika panjang AB = 4 cm tentukan luas
D
T
• T’ B
proyeksi TAD tersebut.
Penyelesaian
A
a. Letak proyeksi titik T pada bidang ABCD adalah di tengah-tengah bidang ABCD b. Proyeksi bidang TAD pada bidang ABCD. adalah garis ADT’.
1 L∆ ADT ' = AD.tinggi 2 1 L∆ ADT ' = 4.2 2 L∆ ADT ' = 4 cm 2
. P (2, 3, 6)
•2
z •6
• P(2, 3, 6)
• 3
y
Menggambar titik Koordinat pada Dimensi Tiga
x
C. Rankuman 1 1. Benda berdemensi tiga memiliki tiga unsur, yakni : a. Titik b. Garis c. Bidang 2. Kedudukan titik terhadap garis
Titik terletak pada garis Titik yang terletak di luar garis 3. Kedudukan titik terhadap bidang
Titik terletak pada bidang Titik terletak di luar bidang 4. Kedudukan Dua Garis
Dua garis yang saling berhimpit Dua garis yang saling berpotongan Dua garis saling sejajar Dua garis yang saling bersilang 5. Kedudukan Garis Terhadap Bidang
Garis terletak pada bidang Garis sejajar dengan bidang Garis yang memotong/ menenbus bidang 6. Kedudukan Dua bidang
Dua bidang atau lebih yang berimpit Dua bidang atau lebih yang sejajar Dua bidang atau lebih saling berpotongan 7. Proyeksi titik pada sebuah bidang adalah titik tembus garis yang tegak lurus dengan bidang proyeksi.
H
D B
F
C
G
8. Proyeksi suatu garis lurus pada sebuah bidang datar pada umumnya berupa garis lurus.
D. Tugas 1
E
1. Perhatikan balok ABCDEFGH di bawah, tentukan kedudukan : a. Garis AH terhadap garis CF b. Garis BH terhadap bidang DCGH c. Garis DG terhadap bidang ABFE
A
d. Bidang ABCD terhadap bidang EFGH e. Bidang ACGE terhadap bidang BDHF f. Titik A terhadap biddang ABFE g. Titik B terhadap garis AC …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………...
D
T
B
C
…………………………………………………………………………………………...
2. Perhatikan limas segit empat beraturan di bawah, a. Sebutkan pasangan rusuk-rusuk yang sejajar b. Adakah bidang yang saling sejajar c. Bagaimana kedudukan titik T terhadap bidang ABCD
A
…………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... 3. Berapa banyak bidang yang dapat dibuat melalui : a. dua garis yang saling berpotongan b. dua garis yang sejajar c. dua garis yang bersilang
A
…………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... 4. Gambarlah sebuah garis AB sepanjang 5 cm yang membentuk sudut 60o dengan suatu garis g, tentukan proyeksi dan panjang proyeksi AB pada garis g …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………... 4. Diketahui kubus ABCDEFGH, panjang AB = 6 cm dan titik P tengah-tengah GH, tentukan : a. proyeksi AP pada alas b. proyeksi AP pada ADHE c. proyeksi BP pada BDHF d. proyeksi CP pada BDHF
E. Tes Formatif 1
1. Garis g tegak lurus pada bidang V dan bidang WI membentuk sudut lancip terhadap
a. tegak lurus pada V
e. sejajar dengan s
d. Sejajar dengan V
bidang V. jika W memotong V menurut suatu garis s maka proyeksi g pada V …..
b. tegak lurus dengan s c. bersilang tegak lurus dengan g
2. Garis-garis h dan k terletak pada bidang V dengan h ⊥ k. misalkan g ⊥ bidang V, maka (1) ada garis melalui g dan sejajar h (2) ada garis memotong g, dan sejajar V dan tegak lurus h
(3) g ⊥ h dan g ⊥ k (4) ada bidang yang tegak lurus g dan tegak lurus h.
a. 1 dan 4 e. 2, 3 dan 4
d. 1, 2 dan 3
Pernyataan yang benar adalah…
b. 2 dan 4 c. 2 dan 3
H
D
•S
•P
•Q
•T
B
F
C
G
3. Dikethui kubus ABCDEFGH di bawah
E
A
a. titik T terletak pada bidang AFH
e. titik T terletak pada bidang CDEF
d. titik T terletak pada bidang BDHE
Pernyataan berikut yang salah adalah…
b. titik T terletak pada bidang BCHE c. titik T terletak pada bidang ACGE
a. GQ
e. CT
d. FQ
4. Pada kubus soal nomor 1, garis yang tidak terletak pada bidang ACGE adalah…
b. AT c. PQ
a. BD dan AFH
e. CG dan AQPE
d. PQ dan ADHE
5. Pada kubus soal nomor 1, pasangan garis dan bidang yang tidak sejajar adalah…
b. AF dan BDG c. DH dan ACF
6. Pernyataan berikut ini yang benar adalah… a. melalui sebuah titik atau garis hanya dapat buat sebuah bidang datar b. melalui sebuah garis hanya dapat dibuat sebuah bidang datar c. melalui 2 garis yang sejajar hanya dapat dibuat sebuah bidang datar
d. melalui 2 garis yang sejajar dapat dibuat tak hingga bidang datar e. melalui 3 titik yang segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang datar
a. bersilang saja e. sejajar atau berpotongan
d. sejajar saja
7. Kemungkinan kedudukan 2 buah bidang dalam ruang adalah…
b. berhimpit saja c. sejajar, berrpotongan,berhimpit
8. Jika garis f dan g sejajar dengan bidang β, diantara pernyataan berikut yang benar adalah…. a. f sejajar dengan semua garis pada bidang β b. f sejajar dengan g dan sejajar bidang β c. bidang yang memuat f dan g sejajar dengan bidang β d. bidang yang memuat f dan g sejajar dengan bidang β asalkan f dan g berpotongan e. g sejajar dengan semua garis di bidang β
9. Diketahui limas T.ABCD dengan alas ABCD berbentuk persegi panjang dan proyeksi T pada alas berimpit dengan pusat alas. Panjang AB dan BC berturut-turut adalah 8 cm dan 6 cm, serta panjang TA adalah 13 cm. jika proyeksi T pada alas adalah M, maka
a. 160 cm
e. 150 cm
d. 10 cm
panjang TM adalah…
b. 153 cm c. 12 cm
10. Diketahui kubus ABCDEFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. titik P di tengah-tengah
d.
AE. Panjang BP pada BDHF adalah… a. 3 cm
e. 6 cm
2 cm
b. 3 2 cm c. 3 3 cm
