M O D U L ANALISIS VARIABEL KOMPLEK

MODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEK Y

r

r y

y



x

x

X

Y  y

Y

r cos , i sin  


X



Y X

X

 r

r

x

y

x



Oleh Dwi Purnomo

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

IKIP BUDI UTOMO MALANG TAHUN 2014

DAFTAR ISI

Halaman

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19

Halaman Sampul .................................................................................... Daftar Isi .................................................................................................. Kata Pengantar ....................................................................................... Pendahuluan ........................................................................................... Representasi Grafik Bilangan Real ....... ................................................ Sistem Bilangan Komplek ...................................................................... Operasi Dasar Bilangan Komplek ........................................................... Nilai Mutlak ........................................................................................... Pembangun Aksioma Sistem Bilangan Komplek .................................. Representasi Grafik Bilangan Komplek ................................................. Bentuk Polar Bilangan Komplek ............................................................ Teorema de Moivre ................................................................................ Akar-akar Bilangan Komplek ................................................................ Rumus Euler ........................................................................................... Persamaan Polinomial ............................................................................ Akar-akar ke-n dari Satuan ..................................................................... Interpretasi Vektor dari Bilangan Komplek ........................................... Representasi Spherical Bilangan Komplek ............................................ Hasil Kali Titik dan Silang ...................................................................... Koordinat-koordinat Konjugate Bilangan Komplek .............................. Himpunan-himpunan Titik ..................................................................... Soal-soal ................................................................................................. Daftar Pustaka ........................................................................................

I ii iii 1 2 20 22 26 30 34 38 43 53 61 66 69 70 74 75 78 80 82 86

Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo

ii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah swt. atas semua limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulisan modul Analisis Variabel Komplek dapat diselesaikan sesuai dengan rencana sebelumnya. Namun demikian mengingat kekurangan dan sifat “manusiawi” penulis sehingga materi dalam modul yang telah disusun belum sesuai dengan harapan pembaca. Penulisan modul Analisis Variabel Komplek dimaksudkan untuk menjelaskan beberapa konsep yang berkaitan dengan sistem bilangan komplek, operasi dan representasinya dalam grafik maupun vektor. Modul ini menjelaskan pokok bahasan bilangan real representasinya secara grafis, sistem bilangan komplek, operasi-operasi dasar, bilangan real, nilai mutlak, pembangun aksioma sistem bilangan komplek, representasi grafis bilangan kompek, bentuk polar bilangan komplek, teorema de Moivre, akar-akar bilangan komplek, rumus Euler, persamaan polinomial, akar-akar

ke  n bilangan komplek, interpretasi vektor bilangan komplek, representasi spherical bilangan komplek, hasil kali titik dan silang, koordinat-koordinat konjugate komplek, himpunan-himpunan titik. Penyusunan modul Analisis Variabel Komplek mulai awal hingga akhir sangat dibantu oleh teman dan kolega, khususnya teman satu profesi di Program Studi Pendidikan Matematika Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan Budi Utomo Malang, lebih-lebih para mahasiswa matematika, antara lain matematika angkatan 2009 A/B, 2010 A/B dan khususnya angkatan 2011 B (Maria Susanti N. dkk.) yang menjadi sumber inspirasi dan bantuan motivasi kepada penulis untuk segera menyelesaikan bahan ajar. Harapan penulis semoga konsep teori, pembahasan soal, dan soal-soal latihan yang disajikan dapat berguna dan membantu mahasiswa. Kekurangan dan kekhilafan disana sini Insya’allah diperbaiki dikemudian hari.

Malang, 1 Agustus 2014 Penulis

Dwi Purnomo


iii


iv

Untuk yang tercinta Pandu, Prisma, Caesar, dan Mamanya

Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

5

BILANGAN KOMPLEK

1.1 Pendahuluan Sistem bilangan seperti yang kita kenal hingga saat ini merupakan hasil dari pengembangan secara bertahap seperti yang ditunjukkan dalam daftar berikut. 1.

Bilangan asli 1, 2, 3, 4,. . , juga disebut bilangan bulat positip, pertama kali digunakan dalam menghitung. Simbol bervariasi dengan waktu, misalnya yang digunakan bangsa Romawi I, II, III, IV. . ., jika a dan b adalah bilangan asli, jumlah a  b dan perkalian a.b, ( a )(b ) atau ab juga disebut bilangan asli. Untuk alasan ini himpunan bilangan asli dikatakan tertutup di bawah operasi penjumlahan dan perkalian atau memenuhi sifat tertutup (closure) terhadap operasi ini.

2.

Bilangan bulat negatip dan nol, dilambangkan dengan - 1, - 2, - 3. . . dan 0 masingmasing, muncul untuk memungkinkan solusi dari persamaan seperti

x  b  a , dimana a dan b adalah setiap bilangan asli. Hal ini mengarah pada operasi pengurangan, atau invers penjumlahan, dan kita tulis dengan x  a  b himpunan bilangan bulat positip, negatip dan nol disebut himpunan bilangan bulat dan tertutup di bawah operasi-operasi penjumlahan, perkalian, dan pengurangan. 3.

3 1 6 13 Bilangan rasional dan pecahan seperti  , , , ,... muncul sebagai bagian 4 7 5 4 yang memungkinkan selesaian persamaan berbentuk bx  a untuk semua bilangan bulat a dan b di mana b  0. Hal ini mengarah ke operasi pembagian atau invers perkalian, dan ditulis dengan x 

a yang disebut hasil bagi a dan b , di mana a b

adalah pembilang dan b adalah penyebut. Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bagian atau subset dari bilangan rasional, karena bilangan bulat sesuai dengan bilangan rasional

a dimana b  1 . b

Himpunan bilangan rasional tertutup di bawah operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, selama pembagian dengan nol tidak dilakukan.


6

4.

Bilangan irasional seperti √2 =1.41423. . . dan π = 3. 14159. . . adalah bilangan yang tidak rasional, yang tidak dapat dinyatakan dengan

a dimana a dan b b

adalah bilangan bulat dan b  0. Himpunan bilangan rasional dan irasional di sebut dengan himpunan bilangan real. Diasumsikan bahwa siswa sudah mengetahui

dengan berbagai operasi pada

bilangan real.

1.2 Representasi Grafis Bilangan Real Sebelum penulis menguraikan konsep sistem bilangan real (R ) , terlebih dahulu marilah kita ingat kembali konsep himpunan (set). Himpunan mempunyai peranan sangat penting dalam memahami sistem bilangan real. Secara eksplisit himpunan didefinisikan sebagai sekumpulan objek, unsur atau sesuatu yang mempunyai ciri-ciri, kriteria dan syarat yang tertentu serta terdefinisi dengan jelas. Objek atau unsur sesuatu himpunan

A dinamakan anggota atau elemen. Anggota suatu himpunan dinyatakan

dengan a , b, c, d ,.... atau 1, 2,3, 4,.... sedangkan nama himpunan dinyatakan dengan huruf kapital A, B , C , D , dan seterusnya. Misal kita mendefinisikan suatu himpunan A dengan menyatakan secara jelas anggota-anggotanya yang terdiri dari a, b, c, d , e , himpunan A tersebut dapat ditulis dalam bentuk A  {a , b , c, d , e} dengan masingmasing anggota himpunan A dipisahkan oleh tanda baca koma dan terdapat dua tanda kurung { }. Jika himpunan A mempunyai anggota banyaknya tak hingga maka unsurunsurnya tidak ditulis semuanya akan tetapi cukup dituliskan beberapa anggotanya dan titik-titik sebanyak 3 atau 5 , Jika a adalah anggota himpunan A maka pernyataan tersebut ditulis dengan notasi a  A dan dibaca a anggota A. Jika a bukan anggota himpunan A , maka dituliskan a  A dan dibaca “a bukan anggota A. Jika suatu himpunan A tidak memiliki anggota, maka A disebut himpunan kosong, dan dinyatakan dengan notasi  atau { }. Himpunan sebagai telah disebutkan di atas, dalam penulisannya dapat dilakukan dengan dua metode, yaitu metode pencirian (notasi) dan metode perincian (tabulasi). Metode pencirian dilakukan dengan cara menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan akan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. ,


7

Contoh: 1) A  { y y bilangan prima kurang dari 10} 2) B  {x x faktor ganjil dari 21} 3) C  {x x 2  1, x bilangan prima} 4) D  {x x faktor genap dari 21} 5) E  {x x 2  3x  4  0} 6) F  {x x 2  3 x  4  0} 7)

G  {x x  4  2}

8) H  {( x, y ) x 2  y 2  4} 9) V  {himpunan kuasa dari {1, 2,3}} Metode perincian dilakukan dengan cara mendaftar seluruh anggota himpunan yang memenuhi syarat dan ketentuan yang diberikan dalam suatu himpunan. Contoh 1) A  {1,2,3, 4,5,...} 2) B  {senin, selasa , rabu , kamis , jum ' at , sabtu} 3) C  {2,3,5,7,11,13,17,19,...} 4) D  {merah , kuning , hijau} 5) E  {0} 6) F  { }   7) G  {1, x} 8) H  {(1,2), ( 2,3), (3,4),...} 9) V  { ,{1},{2},{1,2}}

Misal A dan B

suatu himpunan, himpunan A disebut himpunan bagian

himpunan B , ditulis dengan notasi A  B , jika setiap anggota A merupakan anggota B. Kiranya tidaklah sulit untuk dipahami bahwa   A untuk sebarang himpunan A. Jika setiap anggota himpunan anggota A juga merupakan anggota setiap himpunan B maka dinotasikan dengan A  B


8

Selanjutnya untuk memudahkan para pembaca dalam memahami konsep sistem bilangan real berikut ini diberikan beberapa bilangan dan himpunan bilangan yang pada bab-bab selanjutnya dalam buku ini sering ditemukan. Bilangan dan himpunan bilangan tersebut adalah: 1. Himpunan bilangan asli (Natural) Himpunan bilangan asli biasanya dinotasikan dengan N dan anggota-anggota bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... sehingga N  {1,2,3,4,5,6,...} Bilangan asli tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, artinya untuk setiap a, b bilangan asli maka ( a  b ) dan ( a.b ) bilangan asli. Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem sistem bilangan asli. 2. Bilangan cacah (whole) Bilangan cacah biasanya dinotasikan dengan W dan anggota-anggota bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., sehingga W  {0,1, 2,3,4,5,6,...}. Bilangan cacah tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, artinya untuk setiap a, b bilangan cacah maka ( a  b ) dan ( a.b ) bilangan cacah. 3. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan lawan dari bilanganbilangan asli membentuk sistem bilangan bulat, Bilangan bulat biasanya dinotasikan dengan Z yang anggota-anggotanya adalah ...-3, -2, -,1, 0, 1, 2, 3, ..., sehingga Z  {...  3,2,2,0,1, 2,3,...}.

4. Bilangan pecahan atau bilangan rasional (quotient) biasanya dinyatakan dengan Q . Bilangan rasional adalah bilangan yang secara umum dinyatakan dengan Q

a . a, b  Z , b  0 b

Contoh 1) p 

1 3

2) q   3) r 

2 11

22 7

Bilangan-bilangan rasional di atas, dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan desimal, yaitu


9

1) p 

1  0,33333333... 3

2) q   3) r 

2  0,2857142857 14285714... 11

22  3,142857142857148... 7

Jika kita cermati lebih mendetail, bilangan-bilangan desimal sebagai mana tersebut di atas selalu berulang angka-angkanya, sehingga bilangan rasional juga disebut bilangan desimal berulang. Sebaliknya bilangan desimal berulang dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional. Untuk menyatakan bentuk desimal menjadi bilangan rasioan adalah dengan cara melihat angka yang berulang pada bilangan tersrsebut. Jika terdapat 1 angka yang berulang maka kalikan bilangan dimaksud dengan 101 . Jika terdapat 2 angka yang berulang maka kalikan bilangan tersebut dengan 10 2 . dan seterusnya. Selanjutnya cari selisih bilangan semula dengan bilangan yang baru. Dengan metode perhitungan sederhana akhirnya diperoleh bilangan rasional yang dimaksud. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut ini. Contoh: Ubahlah bilangan desimal berikut ini menjadi bentuk rasional Q  1.

a . a, b  Z , b  0 b

Tentukan bentuk rasional bilangan 0,12121212... Jawab Bilangan 0,12121212 ... adalah bilangan desimal dengan 2 angka berulang yaitu angka 1 dan 2 . Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 0,1,212121212... adalah 2 angka, kalikan bilangan 0,12121212 ... dengan bilangan 10 2 . Misal x  0,12121212... , sehingga diperoleh 100 x  12,1, 212121212...

Akibatnya 100 x  x  (12,121212.12...)  (0,12121212 ...)  12 10 x  x  (12,121212.12...)  ( 0,12121212...)

99 x  12 12 x 99


10

Sehingga bentuk rasional dari bilangan 0,12121212 ... adalah 2.

12 99

Tentukan bentuk rasional bilangan 1, 412333333..... Jawab Bilangan 1, 412333333..... adalah bilangan desimal dengan 1 angka berulang yaitu angka 3. Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 1, 412333333..... adalah 1 angka, kalikan bilangan 1, 412333333..... dengan bilangan 101 . Misal x  1,4123333333 ... , sehingga diperoleh 10 x  14,12333333...

Akibatnya 10 x  x  (14,123333333...)  (1,412333333 ...) 9 x  12,71 12,71 1271 x  9 900 Sehingga bentuk rasional dari bilangan 1, 412333333..... adalah 3.

1271 900

Tentukan bentuk rasional bilangan  0,9826273273273... Jawab Bilangan  0,9826273273273... adalah bilangan desimal dengan 3 angka berulang yaitu angka 2,7, dan 3. Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan  0,9826273273273... adalah 3 angka, kalikan bilangan  0,9826273273273... dengan bilangan 10 3 . Misal x  0,9826273273273... 1000 x  982,5627327327 3...

Akibatnya 1000 x  x  ( 982,56273273273...)  ( 0,98256273273273...) 999 x  981,58017 981,58017 98158017 x  999 99900 Sehingga 

bentuk rasional dari

bilangan

 0,9826273273273...

adalah

98158017 99900


11

4.

Tentukan bentuk rasional bilangan 0,0543125431254312... Jawab Bilangan 0,0543154315431... adalah bilangan desimal dengan 4 angka berulang yaitu angka 5, 4, 3, dan 1. Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 0,0543154315431... adalah 4 angka, kalikan bilangan 0,0543154315431... dengan bilangan 10 4 . Misal x  0,0543154315431... , sehingga diperoleh 10000 x  543,154315431....

Akibatnya 10000 x  x  (543,154315431...)  (0,0543154315431...) 9999 x  542,1 542,1 5421 x  9999 99990 Sehingga bentuk rasional dari bilangan 0,0543154315431... adalah

5421 99990

_

5. Bilangan Irasional ( Q ) atau disebut juga bilangan tidak rasional yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk Q 

a . a, b  Z , b  0 . Karena bilangan b

rasional dapat dinyatakan dengan bilangan desimal yang angka-angkanya berulang, maka bilangan irasional adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada yang berulang. Bilangan irasional juga disebut dengan bilangan bentuk akar.

Persoalan

dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai adanya bilangan-

bilangan irasional. Contoh bilangan irasional antara lain adalah

2 dan . Bilangan

2 adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing-masing adalah 1. Perhatikan gambar berikut.


12

2

1

1

Gambar 1.1

Sedangkan bilangan  merupakan hasil bagi antara keliling sebarang lingkaran dengan panjang garis tengah lingkaran tersebut. Perhatikan gambar berikut ini.

l1

d1

l2

d2

l1 l  2  d1 d 2

Gambar 1.2 Contoh 1)

2

= 1,41421356237...

2)

3

= 1,73205080756...

3)

11 = 3,316625790355...

4)

π

= 3.14159265358979….

5)

e

= 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352…

Berdasarkan contoh di atas, tampak bilangan-bilangan dalam bentuk akar umumnya adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada yang berulang. Sehingga bilangan akar juga disebut bilangan irasional. Dengan demikian apa yang


13

selama ini dianggap sama yaitu

22 22 =  tidaklah selalu benar. Karena adalah 7 7

bilangan rasional, sedangkan  adalah bilangan irasional. 6. Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan bilangan rasional membentuk himpunan semua bilangan real (R ) , sehingga R  N  W  Z  Q  Q Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real seringkali digunakan cara desimal. Contoh Bilangan-bilangan sebagai

3 5 7 masing-masing dapat dinyatakan dalam desimal , , dan 4 3 66

0,75, 1,666..., dan

0,1060606 .... Dapat ditunjukkan bahwa bentuk

desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut: i.

3 5 1 berhenti ( , , dst. ), atau 4 2 8

5 7 ii. berulang beraturan ( , , dst. ). 3 66

Sifat-sifat Sistem Bilangan Real Untuk sebarang a, b, c, d  bilangan real berlaku sifat-sifat sebagai berikut: 1) Sifat komutatif (i). a  b  b  a

(ii). a.b  b.a

2) Sifat asosiatif (i). a  b  c   a  b   c  a  b  c (ii). a.b.c   a.b .c  a.b.c

3) Sifat distibutif perkalian terhadap penjumlahan a.(b  c)  (a.b )  ( a.c)

4) (i).

a 1  a. , b b

b0

(ii).

a c ( a.d )  (b.c)   , b  0, d  0 b d b.d

(iii).

a c a.c .  , b  0, d  0 b d b.d

5) (i). a.( b )  (  a ).b  ( a.b )


14

(ii). ( a ).( b)  a.b (iii).  (  a )  a 0  0 , untuk setiap bilangan a  0 . a

6) (i). (ii).

a tak terdefinisikan. 0

(iii).

a  1 , untuk setiap bilangan a  0 . a

7) Hukum kanselasi (i). Jika a.c  b.c dan c  0 maka a  b . (ii). Jika b, c  0 maka

a.c a  . b.c b

8) Sifat pembagi nol Jika a.b  0 maka a  0 atau b  0 .

Bilangan real dapat direpresentasikan oleh titik-titik pada garis yang disebut sumbu real, seperti ditunjukkan pada gambar 1.1 di bawah ini. Titik yang sesuai dengan nol disebut titik asal. 2 3

 4

 3



 2

3 2

 1

3 4

 0

2

 1

  2

 3

 4

Gambar 1.3

Sebaliknya untuk setiap titik pada baris ada satu dan hanya satu bilangan real. Jika suatu titik A sesuai dengan bilangan real a yang terletak di sebelah kanan titik B sesuai dengan b bilangan real, kita katakan bahwa a lebih besar dari b atau kurang dari a dan ditulis secara berurutan dengan a  b atau b  a. Himpunan dari nilai-nilai x termasuk a < x
dari nilai–nilai asli, yang disebut variabel asli.


15

Nilai mutlak dari sebuah bilangan real a , dinotasikan dengan a , adalah a jika

a  0 , –a untuk a < 0 dan 0 jika a = 0. Jarak antara dua titik a dan b pada sumbu real adalah | − |. Atau dengan kata lain:

a , jika a  0  a  0, jika a  0  a, jika a  0 

Sifat-sifat terurut bilangan Real Prinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai dasar atau landasan dalam uraian yang berkaitan dengan bukti sesuatu. Prinsip dapat diambil dari definisi, aksioma, atau dalil-dalil yang “dimunculkan” kembali untuk digunakan pada bagian lain suatu konsep yang memerlukan. Diantara prinsip dalam matematika adalah prinsip urutan (well ordering principle). Prinsip urutan berkaitan dengan kepositipan dan ketaksamaan antara bilanganbilangan real. Cara yang dapat dilakukan untuk melakukan sifat keterurutan adalah mengidentifikasi suatu subset khusus dari

R

dengan menggunakan gagasan

“kepositipan”. Definisi Misalkan P himpunan bagian R dan P   . Untuk selanjutnya P disebut bilangan real positip kuat, maka berlaku sifat-sifat berikut ini: (1) Jika a, b  P maka ( a  b )  P (2) Jika a, b  P maka ( a.b)  P (3) Jika a  R , maka tepat dari salah satu yang berikut dipenuhi a  P , a  0, a  P

Dua sifat yang pertama menjamin kesesuaian dari urutan dengan operasi penjumlahan dan perkalian secara berurutan. Sifat (3) biasanya disebut sifat trikotomi karena membagi R menjadi 3 jenis unsur yang berbeda. Dinyatakan bahwa {a a  P} dari bilangan real negatip tidak mempunyai unsur persekutuan dengan P , dan selanjutnya himpunan R merupakan gabungan dari tiga himpunan yang saling asing. Definisi


16

1) Jika a  P , kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real positip kuat (strictly positip) dan dituliskan dengan a  0 , Jika a  P  {0} , maka a disebut bilangan real tidak negatip dan dituliskan dalam bentuk a  0 . 2) Jika  a  P , kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real negatip kuat (strictly negatip) dan dituliskan dalam bentuk a  0 , Jika  a  P  {0} , maka a disebut bilangan real tidak positip dan dituliskan dalam bentuk a  0. 3) Jika a, b  R dan jika a  b  P maka dituliskan dalam bentuk a  b atau b  a. 4) ika a, b  R dan jika a  b  P  {0} maka dituliskan dalam bentuk a  b atau

b  a. Untuk kesepakatan bersama kita akan menuliskan a  b  c yang berarti a  b dan

b  c . Demikian juga jika a  b  c yang berarti a  b maka b  c dan seterusnya. Berikut ini diberikan beberapa teorema yang berkaitan dengan prinsip keterurutan

Teorema 1 Misalkan a , b, c  R 1. Jika a  b dan b  c maka a  c . 2. Tepat dari salah satu pernyataan berikut ini dipenuhi a  b, a  b, a  b

3. Jika a  b dan a  b maka a  b Bukti 1) a  b maka menurut definisi a  b  0 atau a  b  P

b  c maka menurut definisi b  c  0 atau b  c  P Karena a  b  P dan b  c  P maka menurut definisi diperoleh (a  b )  (b  c )  P

sehingga a  c  P atau a  c 2) Dengan sifat trikotomi dalam definisi, maka tepat salah satu dari yang berikut mungkin terjadi a  b  0 , atau a  b  0 atau  ( a  b )  0 sehingga a  b atau a  b

atau a  b


17

3) Jika a  b , maka a  b  0 , sehingga dari bukti (b) kita dapatkan a  b  P atau b  c  P yakni a  b atau b  a . Dalam kasus lainnya salah satu dari hipotesisi tersebut kontradiksi. Jadi haruslah a  b

Teorema 2 1. Jika a  R dan a  0 maka a 2  0 . 2. 1  0 3. Jika nN maka n  0

Bukti 1. Dengan sifat trikotomi jika a  0 , maka a  P atau  a  P . Jika a  P maka dengan definisi kita mempunyai a 2  a.a , untuk a  P . Dengan cara yang sama Jika

-a



P

maka

dengan

definisi

sebelumnya

diperoleh

bentuk

( a ) 2  ( a )( a )  P . Berdasarkan teorema sebelumnya berakibat bahwa: ( a)( a )  (1)a (1)a   (1)(1)a 2 . Akibatnya bahwa a 2  P . Jadi kita simpulkan bahwa jika a  P , maka a 2  0 . 2. Karena 1  (1) 2 , menurut bukti di atas akan menyebabkan bahwa 1 > 0. 3. Kita dapat menggunakan induksi matematika untuk membuktikan pernyataan ini. Pernyataan tersebut benar untuk n  1 yakni 1 > 0. Selanjutnya kita anggap benar untuk n  k , dengan k bilangan asli. Karena 1 > 0 dan 1  P , maka k 1  P , sehingga pernyataan di atas benar adanya dengan menggunakan definisi sebelumnya.

Teorema 3 Misalkan a , b, c  R 1. Jika a  b , maka a  c  b  c 2. Jika a  b , dan b  c maka a  c  b  d 3. Jika a  b , c  0 maka ac  bc 4. Jika a  b , c  0 maka ac  bc 5. Jika a  0 maka

1 0 a


18

6. Jika a  0 maka

1 0 a

Bukti teorema di atas dapat dijelaskan sebagai berikut: 1. Karena a  b berarti menurut definisi sebelumnya a  b  0 . Karena a  b  0 sehingga a  b  P . ( a  b )  ( a  b )  (c  c ) ( a  b )  (c  c )  ( a  c )  (b  c )

Sehingga ( a  c )  (b  c)  P . Dengan kata lain ( a  c )  (b  c)  0 Karena ( a  c )  (b  c)  0 berarti ( a  c)  (b  c ) 2. Karena a  b dan c  d berarti a  b  0 dan c  d  0 . Hal ini berarti a  b  P dan c  d  P . Menurut definisi bilangan real positip kuat (1) diperoleh ( a  b )  (c  d )  P . Dengan kata lain ( a  b )  ( c  d )  0 , atau ( a  b )  ( c  d )  0 sehingga berlaku ( a  b )  (c  d )

3. Karena a  b dan c  d berarti a  b  0 dan c  d  0 . Hal ini berarti a  b  P dan c  d  P . Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh ( a  b)c  P . Dengan kata lain ( ac  bc)  P , atau ( ac  bc )  0 sehingga berlaku ac  bc

4. Karena a  b dan c  0 berarti a  b  0 dan c  0 atau  ( c)  0 . Hal ini berarti a  b  P dan  c  P . Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh ( a  b )( c)  P . Dengan kata lain (bc  ac)  P , atau (bc  ac)  P sehingga berlaku bc  ac

5. Jika a  0 maka a  0 (berdasarkan sifat trikotomi). Karena a  0 , berdasarkan sifat sebelumnya maka berlaku

1 1  0, Jika  0 , berdasarkan teorema sebelumnya a a

1 diperoleh 1  a   0 . a

Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah 1 0 a


19

6. Jika a  0 , maka a  0 (berdasarkan sifat trikotomi). Karena a  0 , berdasarkan sifat sebelumnya maka maka berlaku

1  0, Jika a

1 1  0 , berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 1  a   0 a a

Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah 1 0 a

Teorema 4 Jika a, b  R , maka a 

1 a  b   b 2

Bukti. Karena a  b , maka dapat diperoleh a  a  a  b atau 2a  a  b Demikian pula a  b maka dapat diperoleh a  b  b  b atau a  b  2b Dari ketaksamaan 2a  a  b dan a  b  2b didapatkan

a  a  b  2b a

1 1 1 ( 2a)  ( a  b)  ( 2b)  b 2 2 2

a

1 (a  b)  b 2

Akibat dari teorema di atas adalah: jika a  R dan a  0 maka  a 

1 (a  b)  b 2

Contoh Tentukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan di bawah ini. 1) 2 x  4  3 Jawab

2 x  4  3  2 x  4  4  3  4  2 x  7 2x 7   2 2 7 x 2 Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

20

Jadi selesaian persamaan 2 x  4  3 adalah x  

7 3

2) x 2  3 x  4  0 Jawab x 2  3x  4  0

 x 2  3x  4  0  ( x  4)( x  1)  0  ( x  4)  0 atau ( x  1)  0  x  4 atau x  1 Jadi selesaian persamaan x 2  3 x  4  0 adalah x  1 atau x  1

3) Tentukan selesaian pertidaksamaan 2 x  5  5x  7 . Jawab

2 x  5  5x  7  2 x  5  5x  5  5 x  7  5 x  5  3x  12  3x.(1 3)  12.(1 3)  x  4 Jadi, selesaian pertidaksamaan 2 x  5  5x  7 .adalah x  4

Pertidaksamaan tipe lain mungkin lebih sulit diselesaikan dibandingkan pertidaksamaan-pertidaksamaan seperti pada contoh di atas. Beberapa contoh diberikan sebagai berikut. 1) Tentukan selesaian x 2  5 x  6  0 Jawab Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh:

x  2x  3  0 Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua

faktor

positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu, (i). Jika ke dua faktor positif maka: x  2  0 dan x  3  0  x  2 dan x  3


21

Sehingga diperoleh: x  3 . (ii).Jika ke dua faktor negatif, maka: x  2  0 dan x  3  0  x  2 dan x  3

Diperoleh: x  2 . Jadi, selesaian persamaan x 2  5 x  6  0 adalah x  2 atau x  3 . Selesaian pertidaksamaan di atas dapat pula diterangkan sebagai berikut: Ruas kiri pertidaksamaan bernilai nol jika x  2 atau x  3 . Selanjutnya, ke dua bilangan ini membagi garis bilangan menjadi 3 bagian: x  2, 2  x  3, dan x  3 .

x<2

 0

2<x<3



 2

x>3

 3

 4



Gambar 1.4

Pada bagian x  2 , nilai ( x  2) dan ( x  3) keduanya negatif, sehingga hasil kali keduanya positif. Pada segmen 2  x  3 , ( x  2) bernilai positif sedangkan ( x  3) bernilai negatif. Akibatnya, hasil kali keduanya bernilai negatif. Terakhir, pada bagian

x  3 , ( x  2) dan ( x  3) masing-masing bernilai positif sehingga hasil kali keduanya juga positif. Rangkuman uraian di atas dapat dilihat pada Tabel berikut.

Tanda nilai

x2

x3

( x  2)( x  3)

Kesimpulan

x2

-

-

+

Pertidaksamaan dipenuhi

2 x 3

+

-

-

Pertidaksamaan tidak dipenuhi

x3

+

+

+

Pertidaksaman dipenuhi

Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah x  2 atau x  3 . Metode penyelesaian seperti pada contoh 1 di atas dapat pula diterapkan pada bentuk-bentuk pertidaksamaan yang memuat lebih dari 2 faktor maupun bentuk-bentuk pecahan. Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

22

2) x 3  2 x 2  x  1  1 . Jawab Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1, maka

diperoleh:

x3  2 x 2  x  2  0  ( x  1)( x  1)( x  2)  0 Jika

( x  1)( x  1)( x  2)  0 ,

maka

diperoleh:

x  1, x  1, atau x  2 .

Selanjutnya, perhatikan table berikut: Nilai-nilai peubah x  1, x  1, x  2 disebut titik kritis. Tanda nilai/nilai

x 1

x 1

x2

( x  1)( x  1)( x  2)

Kesimpulan

x  1

-

-

-

-


1  x  1

+

-

-

+

1 x  2

+

+

-

-

Pertidaksamaan tidak dipenuhi Pertidaksamaan dipenuhi

x2

+

+

+

+

x  1

0

-2

-3

0

Pertidaksamaan tidak dipenuhi Pertidaksamaan dipenuhi

x 1

2

0

-1

0


x2

3

1

0

0


Jadi, selesaian pertidaksamaan x 3  2 x 2  x  1  1 x  1 atau 1  x  2 . Cara lain untuk menentukan selesaian pertidaksamaan x 3  2 x 2  x  1  1 . adalah dengan menggunakan garis bilangan

x 3  2 x 2  x  1  1  x3  2x2  x 1  1  0  ( x  1)( x  1)( x  2)  0, Sehingga titik kritis pertidaksa maan adalah x  1, x  1, dan x  2 Dengan memilih satu titik sebarang disetiap interval diatas diperoleh: --------- +++++++ ---------

1

1

+++++++

2


23

Berdasarkan garis bilangan di atas selesaian pertidaksamaan adalah x  1 atau 1  x  2 .

3)

2x  8  x  1. x2

Penyelesaian Apabila pada ke dua ruas ditambahkan  ( x  1) maka diperoleh: 2x  8 2x  8  x 2  x  2  ( x  1)  0  0 x2 x2 x 2  3 x  10 0 x2 ( x  5)( x  2)  0 x2



Nilai nol pembilang adalah  2 dan 5 , sedangkan nilai nol penyebut adalah 2. Sekarang, untuk mendapatkan nilai x sehingga

( x  5)( x  2)  0 diperhatikan tabel x2

berikut: Tanda nilai/nilai

x2

x2

x 5

( x  2)( x  5) x2

x  2

-

-

-

-

2 x  2

+

-

-

+

2 x5

+

+

-

-

x5

+

+

+

+

x  2

0

-4

-7

0

x2

4

0

-3

Tidak terdefinisi

x5

7

3

0

0

Kesimpulan

Pertidaksamaan tidak dipenuhi Pertidaksamaan dipenuhi Pertidaksamaan tidak dipenuhi Pertidaksamaan dipenuhi Pertidaksamaan dipenuhi Pertidaksamaan tidak dipenuhi Pertidaksamaan dipenuhi

Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah  2  x  2 atau x  5 dan ditulis dengan notasi interval [ 2,2)  [5, ~)


24

Soal-soal 1) Misalkan a , b , c , d  R buktikan pernyataan berikut: a. Jika a  b, b  c maka ad  bc  ac  bd b. Jika a  b dan c  d maka a  c  b  d c.

a 2  b 2  0 jika dan hanya jika a = 0 atau b = 0

2) Carilah bilangan a , b , c , d  R yang memenuhi 0  a  b dan a  d  0 dan berlaku a) ac  bd b) ac  bd . 3) Tentukan bilangan real x , sedemikian sehingga: a)

x 2  3x  4

b)

1  x2  4

c)

x 2  3x  4  0

d)

x 1 0 2x  6

e)

2  2x 0 x 1

f)

1  2x 5 x 1

g)

1  4x 

h)

1 x x

i)

1 7 2x

j)

1 3 x2

3 x

1.3 Sistem Bilangan Komplek Persamaan kuadrat merupakan salah satu konsep dalam matematika yang telah dikenalkan sejak dini. Persamaan tersebut mempunyai bentuk umum ax 2  bx  c  0, Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

25

dengan a , b, c  real. Nilai peubah x yang memenuhi persamaan kuadrat dinamakan selesaian. Selesaian suatu persamaan yang juga disebut dengan akar-akar persamaan kuadrat dapat berupa bilangan real atau tidak real. Misal x 2  1  0 adalah sebarang persamaan kuadrat, maka persamaan tersebut akar-akarnya tidak real atau dengan kata lain tidak ada bilangan real yang memenuhi persamaan x 2  1  0 , hal ini dikarenakan x 2  1 . Pernyataan ini adalah sesuatu yang tidak mungkin karena tidak ada kuadrat

suatu bilangan real yang hasilnya  1 . Untuk itu perlu diperkenalkan bilangan komplek yaitu suatu bilangan yang mempunyai bentuk umum a  bi dimana a, b  real dan

i  1 . Bilangan komplek didefinisikan sebagai pasangan berurutan dari bilangan real a, b yang memenuhi sifat-sifat tertentu yang secara umum dituliskan sebagai z  a  bi.

Kita dapat mengangap sebuah bilangan komplek mempunyai sifat i 2  1. . Untuk selanjutnya dalam bilangan komplek z  a  bi. a disebut bagian real dari dari z dan b

disebut

bagian bilangan imajiner dari z , secara berturut-turut keduanya

dilambangkan dengan a  Re{z} dan b  Im{z} . Variable yang berlaku pada bilangan komplek disebut sebagai variabel komplek. Dua bilangan komplek z1  a  bi dan z2  c  di adalah sama jika dan hanya jika a  c dan b  d . Kita dapat mengangap bilangan asli sebagai sebuah bagian dari susunan bilangan komplek dengan b = 0. Bilangan komplek 0 + 0i dan -3 +0i kembali ditunjukan bilangan asli 0 dan -3 berturut-turut. Jika a = 0 ,bilangan komplek 0 + bi atau disebut bilangan imajiner sejati. Konjugate komplek atau secara singkat konjugate, suatu bilangan komplek

a  bi adalah a  bi . Konjugate bilangan bilangan komplek z sering diindikasikan oleh

atau z *.

Contoh: 1) 2  3i  2  3i 2)

1  5i 1  5i 1 5    i 4 4 4 4

3) (3  i )(2  2i)  (6  6i  2i  2i 2 )  (6  6i  2i  2)  8  4i  8  4i 4) Jika z1  1  i, z 2  2  4i, z3  3  2i


26

Maka a) Re{z1  z 2 }  1 b) Re{z1 z 2 }  2 c) Re{z1 z 2 }  2

z z  d) Im 1 2   6 3  4 / 7  z3 





e) Imz1  z 2  z 3   1  3 Soal-soal 1. Tunjukkan bahwa z1  1  i, z 2  1  i adalah akar-akar dari persamaan kuadrat z 2  2z  2  0

2. Tunjukkan bahwa z1 

1 i 2 1 i 2 adalah akar-akar dari persamaan , z2  2 2

kuadrat z 2  z  1  0 3. Tentukan a.

 3  2i 2

5  3i



 3 2  4i   b.   2  3i   

1.4 Operasi dasar pada bilangan Komplek Operasi yang ditunjukan pada bilangan komplek juga berlaku seperti pada Aljabar. Operasi pada bilangan komplek meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pada operasi bilangan komplek kita dapat memprosesnya seperti aljabar dari bilangan-bilang asli dan mengganti

dengan -1 sehingga diperoleh hasil sebagai

operasinya. Misal z1  a  bi dan z2  c  di hasil operasinya dapat dijelaskan sebagai berikut: 1.

Penjumlahan

z1  z2  (a  bi)  (c  di)  a  bi  c  di  (a  c)  (b  d )i Contoh a. ( 4  3i)  ( 2i  8)  4  3i  2i  8  ( 4  8)  (3i  2i )  4  i


27

b. \ 2(1  4i )  2( 4  2i)  ( 2  8i )  (8  4i )  ( 2  8)  (8i  4i)  10  4i

2  i   3  7i   2  2i   2  i  3  7i  2  2i  7  6i

c.

2. Pengurangan

z1  z2  (a  bi)  (c  di)  a  bi  c  di  (a  c)  (b  d )i Contoh a) 3( 1  4i)  2(7  i )  (3  12i)  (14  2i )  ( 3  14)  (12i  2i )  17  14i b) 3(1  4i)  2(1  i )  (3  12i )  ( 2  2i)  (3  2)  (12i  2i)  1  10i c) 2(4  i )  (2  i)  (2  3i )  8  2i  2  i  2  3i   8  2  2  2i  i  3i   4  4i

3. Perkalian z1 z2  (a  bi )(c  di )  ac  adi  bic  bdi 2  ac  (ad  bc )i  bd (1)  (ac  bd )  (ad  bc)i Contoh a)

2  3i 4  i   8  2i  12i  3i 2   8  10i  3(1)   11  10i

b)

 3  3i 1  4i    3  12i  3i  12i 2    3  9i  12(1)   15  9i

c)

1  i 2  2i 3  4i   1  i 6  8i  6i  8i 2   1  i 14  2i   12  16i

4. Pembagian

z1 a  bi  z 2 c  di a  bi c  di . c  di c  di (a  bi )(c  di)  2 c  cdi  cdi  d 2i 2 (ac  bd )  (bc  ad )i  c2  d 2  ac  bd   bc  ad   2  2 i 2  2  c d  c d  


28

Contoh a.

2  3i 2  3i 4  i 8  2i  12i  3i 2 5  14i 5 14  .     i 4i 4i 4i 17 17 17 16  i 2

b.

1 i 1  i  4  3i  4  3i  4i  3i 2  1  7i 1 7  .     i 2  4  3i  4  3i  4  3i 25 25 25 16  9i

c.

2  i 2  i 2  i 4  2i  2i  i 2 3  4i 3 4  .     i 2i 2i 2i 4  i2 5 5 5

d. Hitunglah 4 2i   1  i 1  i 

2i  12 

4 2i  4(1  i )  ( 2  i)(1  i )     ( 2i  1)( 2i  1)  2 1  i 1  i   

2i  12 

 ( 4  4i )  ( 2  2i  i  i 2 )   4i 2  2i  2i  1   2    (4  4i)  (1  3i )    3  4i   2  





5  i    3  4i    2  5i   3  4i    2    15  20i  3i  4    2    11  23i  2

e.

2  i 3  2i 1  2i  1  i 2 2  i 3  2i 1  2i   8  i 1  2i   10  15i  2i  2i 1  i 2 

10  15i 2i 20i  30 10i  15 15 .    5i   2i 2i 4 2 2

Soal-soal 1. Selesaikanlah a. (3  2i )( 7  i ) b. ( 7  i )(3  2i ) c. (8  6i )  ( 2i  7 ) d. (5  3i)  (1  2i )  (7  5i ) 


29

e.

(5  3i)  (1  2i)  (7  5i)

f.

( 2  3i )( 4  2i )

g. ( 4  2i )( 2  3i) h. (2  i )(3  2i )(5  4i )  i. j.

(2  i)(3  2i)(5  4i) (1  2i)(7  5i )(3  4i ) 

k.

3  2i 1 i

l.

5  5i 20  3  4i 4  3i

m.

3i 10  i 19 2i  1

 1 3  n.    i  2 3   

2

2

1  i  1 i  o. 3   2  1 i  1 i 

p.

i 4  i 9  i 16 2  i 5  i 10  i 15

 2  5i  q.    7i 

3

r.

3i 7i  i2 i2

s.

3i (i  1)(2  i )

t.

3  2i 2

u.

1  i 2 2  i 2

2. Jika

3

=2+ ,

=3−2

=− +

√

,

Tentukan nilai masing-masing berikut ini. a.

3z1  4 z 2

b. z13  3 z12  4 z1  8 Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

30

c.

z 

d.

2 z 3  z1  5  i 2 z 3  z1  3  i

e.

1  z 3 z 2   2  z 3 z 2 

f.

z

g.

z

h.

z1 z 2  z 2 z1

i.

z 2  z 3 z1  z3 

4

3

3

 z3



2 1

 z 22

  z

2

5

2

2 3

 z 22



2

3. Tentukan

 2  i 3  2i 1  2i   Re   a. (1  i ) 2    2  i 3  2i 1  2i    b. Im (1  i ) 2    (3  2i )(4  2i)  c. Im 1 / 2  i 2     (3  2i )(4  2i)  d. Im 1 / 2  i 2    e.



Im 2 z12  3z 22  5 z 32

Jika

=2+ ,



dan



Im 2 z12  3z 22  5 z 32

=3−2



=− +

√

,

1.5 Nilai Mutlak Nilai Mutlak atau modulus dari suatu bilangan komplek z  a  bi dinotasikan dengan z dan didefinisikan sebagai z  a  bi  a 2  b 2 Contoh a)

2  3i  2 2  (3) 2  4  9  13


31

b) c) d)

 4  2i  (4) 2  2 2  16  4  20  2 5 2  3i  2 2  32  4  9  13  4  5i  (4) 2  ( 5) 2  16  25  41 2

e)

2

1 1  1 1  i       2 3  2   3

1 1 1   13 4 9 6

Jika z1 , z 2 , z3 , ..... z m adalah bilangan komplek, berlaku sifat-sifat berikut 1.

z1 z2  z1 z2 atau z1z2 ... zm  z1 z2 ... zm Bukti Misal

z1  a  bi, z 2  c  di

z1 z 2  a  bi c  di   ac  bd   ad  bci 2 2  z1 z 2  (ac  bd )  (ad  bc) `



(a 2 c 2  2acbd  b 2 d 2 )  ( a 2 d 2  abcd  b 2 c 2 `



(a 2 c 2  b 2 d 2  a 2 d 2 `



( a 2  b 2 )( c 2  d 2 ) `



a2  b2 c2  d 2



( a 2  b 2 )( c 2  d 2 ) `

 z1 z 2 2.

z z1  1 , jika z2  0 z2 z2 Bukti Dari operasi pembagian dua bilangan komplek diperoleh: z1 a  bi ac  bd   (bc  ad )i , sehingga   z 2 c  di c2  d 2


32

2

z1  ac  bd   bc  ad    2  2 2  2  z2 c d  c d 

2

a 2c 2  2abcd  b 2d 2  b 2c 2  2abcd  a 2d 2



c

 

2

 d2



2

a 2c 2  b 2 d 2  b 2 c 2  a 2 d 2 c2  d 2

a

2



 b2 c2  d 2 c2  d 2



Dilain pihak

a

z1 a2  b2 a2  b2 c2  d 2   .  z2 c2  d 2 c2  d 2 c2  d 2 disimpulakn bahwa



2

 b2 c2  d 2 c2  d 2

 Sehingga dapat

z z1  1 , asalkan z2  0 z2 z2

3. a. z1  z 2  z1  z 2 , b. z1  z 2  z 3  z1  z 2  z3 , c. z1  z 2  z1  z 2 (a). Penyelesaian Misal z1  x1  iy1 , z 2  x2  iy 2 dan kita harus menunjukkan bahwa 2

2

2

( x1  x2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2  x1  y1  x2  y2

2

Kuadaratkan Persamaan kedua diatas, akan benar jika 2

2

2

2

2

2

2

( x1  x2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2 x1  y1  2 ( x1  y1 )( x2  y 2 )  x2  y 2 2

2

2

2

2

x1 x2  y1 y 2  ( x1  y1 )( x2  y2 )

jika

atau jika ( Kuadratkan Kedua persamaan lagi) 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x1  x 2 2 x1 x 2 y1 y 2  y1  y 2 x1 x 2  x1 y 2  y 1 x 2  y1 y 2

Atau

2

2

2

2 x1 x 2 y1 y 2 x1 y 2  y 1 x 2

2

2

Tetapi ini sama untuk ( x1 y 2  x 2 y1 ) 2 0 jika benar. Balikkan langkah –langkah

yang reversibel.

Contoh soal


33

1 3 1) Jika z1 2  i, z 2  3  2i, z 3    i , hitunglah 2 2

a) 3z1  4 z2  3(2  i)  4(3  2i)  6  3i  12  8i   6  11i  (6)2  112  157

b) z13  3 z12  4 z1  8  2  i 3  32  i 2  42  i   8

  8  12i  6i

 



 23  3.2 2.i  3.2.i 2  i 3  3 4  4i  i 2  8  4i   8 2

 



 i 3  12  12i  3i 2  8  4i   8

 8  12i  6  i   12  12i  3  8  4i   8  8  12i  6  i  12  12i  3  8  4i  8  7  3i

4

c)

z 

4

3

4

 1 3   1 3   1 3     i     i      i  2 2   2 2   2 2    2

2

2.2

2

1 3 3   1 3   1 3 3  1 3 3    i  i 2      i    i  i 2     i   4   2 2  4 2 4  4 2 4 4 2 1 3   i 2 2

d)

2 z2  z1  5  i 2(3  2i )  (2  i )  5  i 3  4i 3  4i 4  3i    . 2 z1  z 2 3  i 2( z  i )  (3  2i)  3  i 4  3i 4  3i 4  3i 

3  4i 4  3i 12  9i  16i  12i 2 0  25i .    02  (1) 2  1 4  3i 4  3i 16  9 25

2) Tentukan bilangan real x dan y sedemikian sehingga 3 x  2iy  ix  5 y  7  5i Jawab 3 x  2iy  ix  5 y  7  5i  (3 x  5 y )  ( 2 y  x)i  7  5i

Sehingga diperoleh dua persamaan 3x  5 y  7  x  2y  5


34

Dengan menggunakan metode substitusi diperoleh x  1, y  2

3) Tunjukkan kesamaan di bawah ini: a) z1  z 2  z1  z 2 Bukti

z1 z2  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i z1  z2  (a  c)  (b  d )i Karena

z1  a  bi sehingga z1  a  bi z2  c  di sehingga z 2  c  di z1  z2  ( a  bi )  (c  di )  a  bi  c  di  ( a  c )  (b  d )i

Tampak bahwa sehingga z1  z 2  z1  z 2

z1 z2  z1 z2

b)

Bukti

z1 z 2  (a  bi)(c  di)  ac  adi  bci  bdi 2  (ac  bd )  (ad  bc)i 

ac  bd 2  ad  bc 2



a c  2abcd  b d   a d a c  b d  a d  b c  a  b c  d  a  b  c  d 

  

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

 2abcd  b 2 c 2



2

2

2

2

 z1 z 2

Soal-soal 1. Jika z1  4  3i dan z 2  1  2i , hitunglah (a). z 1  z 2

(b). z 1  z 2

(b). z1  z 2

(d). 2 z1  3z 2  2

2. Jika

=2−2 ,

=3−2

=− +

√

,


35

Tentukan nilai masing-masing berikut ini. a) 3 z1  4 z 2 b) z13  3 z12  4 z1  8 c)

z 

d)

2 z 3  z1  5  i 2 z 3  z1  3  i

4

3

2

e) z12  3z1  2 z1  4 f)

3 z1  4 z 2

3. Tentukan z dari: a. z  b. z 

1 i 3  2 2 2 (1  i) 2

c. z  ( 4  i)  (i  1)  (7i  2) d. z  3  3i 3



e. z  2 i  3



1.6 Pembangun-pembangun Aksiomatis dari Sistem Bilangan Komplek Dari suatu segi pandangan yang logis dapat digambarkan angka-angka complex sebagai pasangan (a , b) dari bilangan real a dan b menunjuk pada yang definisi yang beragam ternyata sama dengan definisi diatas. Semua definisi yang digambarkan ini, dimana semua angka menggantikan bilangan-bilangan real. a. Persamaan ( a , b)  (c, d ) jika dan hanya jika a  c, b  d b. Penjumlahan ( a, b)  (c, d )  ( a  c, b  d ) c. Produk ( a, b)( c, d )  ( ac  bd , ad  bc ) dan m( a , b)  ( ma , mb ) Dari ini kita dapat menunjukkan bahwa ( a, b )  a (1,0)  b(0,1) dan kita berhubungan dengan ini a  bi di mana lambang untuk (0,1) dan

mempunyai

i 2  (0,1)(0,1)  (1,0) (yang dipertimbangkan setara dengan bilangan riil - 1 dan ( 1, 0)


36

jadilah setara dengan bilangan real 1. Pasangan yang diinginkan (0,0) sesuai dengan bilangan real 0. Dari pernyataan di atas kita dapat membuktikan bahwa jika z1, z 2 , z3 bagian dari bilangan komplek S. 1. z1  z2 dan z1 z2 terdapat di S

Hukum tertutup

2. z1  z2 = z2  z1

Hukum Komutatif Penjumlahan

Bukti

z1  z 2  a  bi   c  di   a  bi  c  di   a  c   b  d i z 2  z1  c  di   a  bi   c  di  a  bi   c  a   d  b i  a  c   b  d i 3. z1  ( z 2  z3 )  ( z1  z 2 )  z3  a  bi   (c  di )(e  fi)  a  bi   c  di  e  fi   a  bi   (c  e)  (d  f )i   a  bi  (c  e)  (d  f )i   (a  c  e)  (b  d  f )i  (a  c)  (b  di ) (e  fi)   z1  z 2   z 3 4. z1 z2  z2 z1 Bukti

Hukum Asosiatif Penjumlahan

Hukum komutatif Perkalian

z1 z 2  (a  bi )  (c  di )  (ac  adi  bic  bdi 2 )  (ac  bd )  (bc  ad )i z 2 z1  (c  di )(a  bi )  (ca  cbi  dia  dbi 2 )  (ca  db)  (cb  ad )i 5. z1 ( z2 z3 )  ( z1 z 2 ) z3

Hukum assosiatif Perkaliam


37

z1 ( z 2 z 3 )  a  bi (c  di )(e  fi)





 a  bi  ce  cfi  die  df 2  a  bi (ce  df )  (cf  de)i   a (ce  df )  a (cf  de)i  bi(ce  df )  bi(cf  de)i  (ace  adf )  (bcf  bde)   (acf  ade)  (bce  bdf )i   (ace  adf  bcf  bde)  (acf  ade  bce  bdf )i ( z1 z 2 ) z 3  (a  bi )  (c  di) (e  fi)  ac  bic  adi  bidi e  fi   (ac  bd )  (bc  ad )i (e  fi)  (ac  bd )e  (bc  ad )ie  (ac  bd ) fi  (bc  ad )ifi   (ace  bde)  (bcf  adf )  (bce  ade)i  (acf  bdf )i   (ace  bde  bcf  adf )  (bce  ade  acf  bdf )i 6. z1 ( z 2  z3 )  z1z 2  z1 z3

Hukum Distributif

z1 ( z 2  z 3 )  a  bi (c  di)  (e  fi) 

Perkalian terhadap

 a  bi c  di  e  fi   a  bi (c  e)  (d  f )i   a (c  e)  bi(c  e)  a(d  f )i  bi(d  f )i  ac  ae  bic  bie  adi  afi  bidi  bifi   (ac  ae  bd  bf )  (ad  bc  be  af )i

Penjumlahan

z1 z 2  z1 z 3  (a  bi )(c  di)  (a  bi )(e  fi)  ac  adi  bic  bidi   ae  bei  afi  bifi   (ac  bd )  (ad  bc )i   (ae  bf )  (be  af )i   (ac  bd  ae  bf )  (ad  bc  be  af )i 7. z1  0  0  z1  z1

0 disebut identintas penjumlahan

1.z1 z1.1  z1

1 disebut identintas perkalian 8. Untuk suatu bilangan komplek z1 ada satu bilangan z  S yang tunggal sedemikian sehingga z1  z  z  z1  0 . Untuk selanjutnya z disebut invers (balikan) penjumlahan dari z1 dan dilambangkan dengan  z1 . 9. Untuk suatu z1  0 ada satu bilangan z  S yang tunggal sedemikian sehingga z1 z  zz1  1 . Untuk selanjutnya z


38

disebut inver perkalian dari z1 dan dilambangkan dengan z1

1

atau

1 z1

Secara umum suatu himpuan sedemikian sehingga seperti pada S yang anggotaanggotanya memenuhi sifat di atas disebut dengan field (lapangan). Contoh 1. Gunakan defenisi dari sebuah bilangan kompleks sebagai pasangan orderdari bilangan real dan defenisi pada halaman tiga untuk membuktikan bahwa (a,b)=a(1,0),b(0,1)dimana (0,1),(0,1)=(-1,0)=(a,c) + (c,b)=(a,b) Dari defenisi jumlah dan produk atau hasil di halaman 3, kita mendapatkan ( , ) = ( , 0) + (0, ) = (1,0) + (1,0)

dimana

(0,1)(0,1) = (0 ∗ 0 − 1 ∗ 1,0 ∗ 1 + 1 ∗ 0) = (−1,0) Dari identifikasi (1,0) dengan 1 dan (0,1) dengan , kita melihat bahwa ( , ) = =( ,

2. Jika

),

=(

,

)

=(

dan

+

), membuktikan hukum

,

persamaan distribusi z1 ( z 2  z 3 )  z1 z 2  z1 z 3 Kita mendapatkan ,

=( ,

){(

={ (

+

=

−

=(

−

=(

,

)+(

,

)(

)−

( ,

+ , ,

)} = ( ,

,

), −

+ )+( ,

)(

( ,

)+

,

+

)+( )(

,

(

− )=

)+( ,

,

,

)

+ )} +

+

,

+

+

)

,

1.7 Representasi secara Grafis Bilangan Komplek Jika skala-skala bilangan real dipilih pada dua sumbu yang saling tegak lurus, yaitu XOX ' dan YOY ' (selanjutnya disebut sumbu x dan sumbu y secara berturutturut) seperti pada gambar 1.2 dibawah ini.


39

Gambar 1.4

Selanjutnya kita dapat meletakkan sebarang titik pada bidang dengan cara menarik garis yang sejajar masing-masing dan kedua garus dapat b ertemu di satu titik, titik tersebut dinamakan koordinat tegak lurus dan dinotasikan dengan ( x, y ). Pada gambar di atas dipilih titik P (3,5). Karena suatu bilangan komplek z  x  yi dapat dipandang sebagai pasangan berurutan bilangan real sehingga kita dapat merepresentasikan bilang komplek dengan suatu titik pada bidang xy . Bidang xy sebagai representasi bilangan komplek dinamakan bidang komplek atau argand. Bilangan komplek yang ditunjukkan titik P (3,5) seperti pada gambar 1.2 dapat dipandang sebagai 3  5i . Setiap bilangan

komplek berkorepondesni satu dan hanya satu dengan setiap titik pada bidang, sebaliknya setiap satu titik pada bidang berkorespondensi dengan satu dan hanya satu bilangan komplek. Karena hal ini sering dan biasa kita menyatakan bilang komplek z , sebagai titik z. Kadang-kadang kita dapat menyatakan sumbu x dan sumbu y sebagai sumbu real dan sumbu imajiner secara berturut-turut dan bidangnya dinamakan bidang z. Jarak antara dua titik z1  x1  y1i dan z 2  x2  y 2 i pada bidang komplek diberikan oleh

z1  z 2  ( x1  x2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2

Contoh soal 1) Bentuklah operasi-operasi berikut secara analitik dan grafik.


40

a)

2  3i   (4  5i) Secara analitis

2  3i   ( 4  5i )  2  3i  4  5i  2  4  (3  5)i  6  2i Secara grafis Y 2  3i

X 6  2i

4  5i

Gambar 1.5

b) 3(1 + 2i) – 2(2 – 3i) Secara analitis 3(1  2i)  2( 2  3i )  (3  6i )  ( 4  6i )  (3  4)  (6  6)i  1  12i

Secara grafis Y

 1  12i

3  6i

 4  6i

X

gambar 1.6

c) (7 + i) – (4 – 2i) d) 3(1 + i) + 2(4 – 3i) – (2 + 5i) e)

(4 − 3 ) +

(5 + 2 )


41

Contoh 1.c,d dan e ditinggalkan penulis sebagai latihan bagi pembaca.

2. Jika z 1 ,z 2 dan z 3 merupakan vektor yang ditunjukan dalam gambar 1.7, buatlah

grafik : (a). 2z 1 + z 3

(c). z 1 + (z 2 + z 3 )

(b). (z 1 + z 2 ) + z 3

(e).

1 3 2 z 2  z1  z 3 3 4 3

(d). 3z 1 - 2z 2 + 5z 3 Y

z3

z1 X

z2

Gambar 1.7

3. Jika z 1 = 4 – 3i dan z 2 = -1 + 2i, buatlah grafik dan analitik:

(a). z 1  z 2

(b). z 1  z 2

(b). z1  z 2

(d). 2 z1  3z 2  2

4. Letak vektor dari titik A, B dan C dari segitiga ABC masing-masing diberi

z1 = 1 + 2i, z 2 = 4 - 2i dan z 3 = 1 – 6i. Buktikan bahwa ABC merupakan segitiga samakaki dan hitunglah panjang sisinya.

5. Misalkan z 1 ,z 2 , z 3 , z 4 ,letak vektor tegak lurus untuk segi empat ABCD . Buktikan bahwa

ABCD

adalah

sebuah

jajaran

genjang

jika

dan

hanya

jika

z1  z 2  z 3  z 4  0.`

6. Jika diagonal sebuah segi empat saling membagi dua,buktikan bahwa segi empat merupakan sebuah jajaran genjang. Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

42

7.

Buktikan bahwa median dari sebuah segitiga dihubungkan dalam satu titik.

8. Misalkan segi empat ABCD dan E , F , G, H titik tengah dari sisinya. Buktikan bahwa EFGH adalah sebuah jajaran genjang. 9. Dalam jajar genjang ABCD , titik E membagi dua sisi AD . Buktikan bahwa dimana titik BE dihubungkan dengan titik AC membagi AC .

10. Letak vektor dari titik A, B berturut-turut adalah 2 + i dan 3 – 2i.

(a).

carilah sebuah persamaan garis AB . (b). carilah sebuah persamaan garis yang tegak lurus ke AB pada titik tengahnya.

11. Gambar dan grafik bentuk manakah yang ditunjukan di bawah ini: (a). z  i  2, (b). z  2i  x  2i  6, (c). z  3  z  3  4, (d). z( z  2)  3, (e).

 

Im z 2  4.

12. Carilah sebuah persamaan (a). sebuah lingkaran jari-jarinya 2 dengan titik pusat (3,4) , (b). panjang lingkaran dengan titik pusat pada (0,2) dan (0,-2) yang mana sumbu utama mempunyai panjang 10.

1.8 Bentuk Polar Bilangan Komplek Jika

P adalah titik pada bidang komplek yang berkorepondensi dengan

bilangan komplek ( x, y ) atau x  yi maka berdasarkan gambar 1.8 kita dapat melihat bahwa: x  r cos , y  r sin .


43

Y

P ( x, y ) r y

 x

X

Gambar 1.8

Karena r 

x 2  y 2  x  yi adalah modulus atau nilai mutlak dari bilangan komplek

z  x  iy 1 (dinotasikan dengan mod z atau z ); dan  disebut amplitude atau

argument dari z  x  iy (dinotasikan dengan arg z), adalah sudut yang dibuat oleh garis

OP dengan sumbu x positif. Oleh karena itu, z  x  y  r (cos   i sin  )

(1)

Yang disebut bentuk polar dari bilangan komplek, r dan θ disebut koordinat polar. Kadang-kadang dengan mudah untuk menulis dan menyebut sebagai singkatan cis  untuk cos  i sin  . Untuk suatu bilangan kompleks z  0 terdapat korespondensi satu dan hanya satu terdapat hanya satu nilai yang sesuai dengan  untuk 0 ≦

< 2π. Namun, interval

lain dari panjang 2π, misalnya - π < θ ≦ π, dapat digunakan. Setiap pilihan utama, diputuskan terlebih dahulu, disebut jarak utama, dan nilai θ disebut nilai utamanya.

Contoh 1. Nyatakan setiap titik dalam koordinat tegak lurus berikut dalam bentuk polar a. 2  2i


44

Y

2

 4

2 X

2  2i

Gambar 1.9

Karena z  2  2i maka z  r  2 2  (2) 2  8  2 2 Karena titiknya terletak pada kuadran ke-4 maka cos  

2  335o  7 / 4 2

Sehingga z  2  2i  2 2 cos 7 / 4  i sin 7 / 4   2 2 cis 7 / 4 

b.

1  i 3 Y

1  i 3 2 / 3

X

Gambar 1.10 Karena z  i  i 3 maka z  r  (1) 2  ( 3 ) 2  4  2 Karena titiknya terletak pada kuadran ke-2 maka sin  

3  120 o  2 / 3 2

Sehingga z  1  i 3  2cos 2 / 3  i sin 2 / 3  2 cis 2 / 3

c.

2 2  2 2i


45

Y

2 2  2i 2

X

Gambar 1.11

z  2 2  2i 2 maka z  r  (2 2 ) 2  (2 2 ) 2  16  4 Karena titiknya terletak pada kuadran ke-1 maka cos 

2 2 2   45o   / 4 4 2

Sehingga z  2 2  2i 2  4cos  / 4  i sin  / 4   4 cis  / 4 

d.

i

Y

X i

Gambar 1.12 z  i maka z  r  (0)2  (1) 2  1  1

Karena titiknya terletak pada sumbu -Y maka cos 

0  0  270o  3 / 2 1

Sehingga z  i  1cos 3 / 2  i sin 3 / 2  cis3 / 2 

e.

-4


46

Y

X

Gambar 1.13

z  4 maka z  r  (4) 2  (0) 2  14  4

Karena titiknya terletak pada sumbu -X maka cos 

4  1  180o   4

Sehingga z  4  4cos   i sin    4cis  

f.

 2 3  2i Y

X

 2 3  2i Gambar 1.14

z  2 3  2i maka z  r  (2 3 ) 2  (2) 2  16  4 Karena titiknya terletak pada kuadran 3 maka cos 

2  210o 4

Sehingga z  2 3  2i  4cos 210 o  i sin 210o  i (tan g. Buktikan bahwa 2  i  5e

1

1/ 2)


47

Y 2i



X

Gambar 1.15

z  2  i maka z  r  (2) 2  (1) 2  5 Karena titiknya terletak pada kuadran 1 maka tan  

1 2

1   arctan    2 Diperoleh

Sehingga z  2  i  5 cos(arctan(1 / 2)  i sin(arctan(1 / 2)   5e i arctan( 1/ 2)  5e i tan

1

(1 / 2 )

2. Nyatakanlah bentuk polar berikut dalam koordinat tegak lurus a. 6(cos135o  i sin 135o ) Karena   135 o  3 / 4 berarti x  0, y  0 dan diperoleh

x  6 cos135o  6(1 / 2 2)  3 2 y  6 sin 135o  6(1 / 2 2 )  3 2

Sehingga 6(cos 135o  i sin 135o )  6cis135o  ( 3 2 ,3 2 ) Catatan 6(cos135o  i sin 135o )  6e 3i / 4 b. 12 cis 90 o Karena   90 o   / 2 berarti x  0, y  0 dan diperoleh


48

x  12 cos 90 o  12(0)  0 y  12 sin 90o  12(1)  12 Sehingga 12(cis 90 o )  (0,12)

c. 2e 5i / 4 Karena   5 / 4  225o berarti x  0, y  0 dan diperoleh x  2 cos 5 / 4  2( 1 / 2 2 )   2 y  2 sin 5 / 4  2( 1 / 2 2 )   2

Sehingga 2e 5i / 4  (  2 , 2 )

d. 5e 7 i / 6 Karena   7 / 6  210 o berarti x  0, y  0 dan diperoleh x  5 cos 7 / 6  5( 1 / 2 3 )  5 / 2 3 y  5 sin 7 / 4  5( 1 / 2)  5 / 2

Sehingga 5e 5i / 4  ( 5 / 2 2 ,5 / 2)

e. 3e 2i / 3 Karena   2 / 3  60 o berarti x  0, y  0 dan diperoleh x  3 cos( 2 / 3)  3( 1 / 2 3 )  3 / 2 3 y  3 sin( 2 / 3)  3( 1 / 2)  3 / 2

Sehingga 3e 5i / 4  ( 3 / 2 3 , 3 / 2)

Soal-soal 1. Tunjukkan bentuk polar dari a.  3  4i


49

b. 1 2i c.

3 i 3

d. 2  2 3i e.  5  5i f.

 6 i 2

g.  3i h.

5

2. Buatlah grafik untuk titik yang dinyatakan oleh a. 6 cos(240 o  i sin 240 o ) b.

2cis

 4

 7  c. 2 2  cis  4   d. 4e 3i / 5 e. 2e i / 4 3. Seseorang menempuh perjalalan wisata 12 km dalam arah timur laut (northeast), dilanjutkan 20 km dalam arah 30 o disebelah barat dari utara kemudian 18 km 60 o disebelah selatan dari barat. Tentukan secara analitis dan grafis jarak yang ditempuh dan bagaimana arah yang ditempuh dari titik awal.

1.9 Teorema de Moivre Jika z1  x1  iy 1  r1 (cos1  i sin 1 ) dan z 2  x 2  iy 2  r2 (cos 2  i sin  2 ) kita dapat menunjukkan bahwa:

z1 z 2  r1 (cos1  i sin 1 )r2 (cos 2  i sin 2 )



 r1r2 cos1 cos  2  i cos 1 sin  2  i sin 1 cos  2  i 2 sin 1 sin  2



 r1 r2 (cos 1 cos  2  sin 1 sin  2 )  (sin 1 cos 2  cos1 sin  2 )i   r1r2 cos(1   2 )  sin(1   2 )i  ................... (2)

z1 r (cos 1  i sin 1 )  1 z 2 r2 (cos  2  i sin  2 ) Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

50



r1 (cos1  i sin 1 ) r2 (cos 2  i sin  2 ) . r2 (cos 2  i sin  2 ) r2 (cos 2  i sin  2 )



r1 r2 (cos1 cos 2  i sin  2 cos1  i sin 1 cos 2  i 2 sin 1 sin  2 ) r22 (cos2  2  i sin  2 cos  i sin  2 cos 2  i 2 sin 2  2 )



r1 r2 (cos 1 cos  2  i sin  2 cos 1  i sin  1 cos  2  (1) sin 1 sin  2 ) r22 (cos 2  2  (1) sin 2  2 )



r1 r2 (cos 1 cos  2  sin 1 sin  2 )  i(sin  2 cos 1  sin  1 cos 2 )) r22 (cos 2  2  sin 2  2 )



r1r2 cos(1   2 )  i sin(1   2  r22



r1 cos(1   2   i sin(1   2 ) .......... .......... r2

(3)

Bentuk generalisasi dari (2) menyebabkan z1 z 2 ......z n  r1 r2 ......rn {cos( 1   2 .....   n )  i sin(1   2 .....   n )}

(4)

dan jika bentuk (4) menjadi z. z. z.z....z  z n  {r (cos  i sin  )}n  r n (cos n  i sin n ) ......... (5) Bentuk (5) sering disebut teorema de Moivre

Contoh soal 1. Buktikan teorema de Moivre (cos   i sin  ) n  cos n  i sin n dengan

n  sebarang bilangan bulat positip. Bukti Kita gunakan prinsip induksi matematika Untuk n  1 maka diperoleh (cos   i sin  ) n  (cos   i sin n )1  cos   i sin  Dianggap benar untuk n = k, sehingga (cos   i sin  ) n  (cos   i sin n ) k  cos k  i sin k Selanjutnya akan dibuktikan benar untuk n = k+1

(cos  i sin  ) n  (cos  i sin  ) k 1  (cos  i sin  ) k (cos  i sin  )  cos(k  1)  i sin(k  1) Dengan demikian benar untuk n  1,2,3, ... Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

51

i n ni ` Hasil di atas ekuivalen (e )  e

2.

Buktikan identitas a. cos 5  16 cos 5   20 cos 3   5 cos  Bukti cos 5  i sin 5  cos   i sin  

5

 cos    cos  (i sin  )   cos  (i sin  )   cos   cos  (i sin  )   (i sin  ) 

5 0

5 4

5

5 1

4

4

5 2

5 5

3

2

5 3

2

 (i sin  )3

5

 cos5   5i cos 4  sin   10 cos 3  sin 2   10i cos 2  sin 3   5 cos  sin 4   i sin 5   cos5   10 cos 3  sin 2   5 cos  sin 4   i (5 cos 4  sin   10 cos 2  sin 3   sin 5  ) sehingga cos 5  cos5   10 cos3 sin 2   5 cos  sin 4 

 cos5   10 cos3 (1  cos 2  )  5 cos  (1  cos 2  ) 2  cos5   10 cos3  10 cos5   5 cos  (1  2 cos 2   cos 4  )  cos5   10 cos3  10 cos5   5 cos  10 cos2   5 cos5  )

b. sin 5  5 cos 4 sin   10 cos 2  sin 3   sin 3  dengan cara yang sama diperoleh sin 5  5 cos 4  sin   10 cos 2  sin 3   sin 5 

 5(1  sin 2  ) 2 sin   10(1  sin 2 ) sin 3  )  sin 5   5(1  2 sin 2   sin 4  ) sin   10(sin 3   sin 5  )  sin 5   5 sin   10 sin 3   5 sin 4   10 sin 3   10 sin 5  )  sin 5   20 sin 5   20 sin 2   5 sin 

c.

sin 5  16 cos4   12 cos2   1 jika   0, , 2 ,... sin 



sin 5 5 cos4 sin   10 cos2  sin 3   sin 5   sin  sin 

 5 cos 4   10 cos 2  sin 2   sin 4 

 5 cos 4   10 cos 2  (1  cos 2  )  (1  cos 2  ) 2  5 cos 4   10 cos 2   10 cos 4   (1  2 cos 2   cos 4  ) Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

52

 16 cos 4   12 cos 2   1

3.

Buktikan bahwa a. cos 

e i  e i 2

Jawab ei  cos   i sin  , e  i  cos   i sin  ei  e  i  cos   i sin   cos   i sin  2 cos   e i  e i cos  

ei  e i 2

b. sin  

e i  e  i 2i

Jawab ei  e  i  cos   i sin   cos   i sin  2i sin   e i  e i sin   4.

e i  e i 2i

Buktikan identitas a. sin 3  

5 1 sin   sin 3 4 4

Jawab )


53

sin  

ei  e  i 2i 3

 e i  e i  (ei  e i )3   sin    2i 8i 3   1   (e i )3  3(e i ) 2 (e i )  3(ei )(e i ) 2  (e i )3 8i 1   (e 3i  3e i  3e i  e 3i 8i 1 1    3e i  3e i  e3i  e 3i 8i 8i i i 3i 3  e  e  1  e  e 3i       4  2i  4  2i  3

 













3 1  sin   sin 3 4 4

1 1 3 b. cos4   cos 4  cos 2  8 2 8 Jawab cos 

e i  e i 2 4

 ei  e i  (ei  e i ) 4   cos    2 16   1 i 4  (e )  4(e i )3 (e i )  6(e i ) 2 (e i ) 2  4(ei )(e i )3  (e i ) 4 16 1 4i  (e  4e 2i  6  4e 2i  e 4i 16 1 1 6  e 4i  e 4i  4e 2i  4e 2i  8 8 16 4 i  4 i 2 i  2 i  1e e  3 1e e        4 2 2  4  8 4

 







 



1 1 3  cos 4  sin 2  4 4 8

5.

Hitunglah





a. 3(cos 40o  i sin 40o 4(cos 80 0  i sin 80o



Jawab

3(cos 40

o







 i sin 40o 4(cos 800  i sin 80o  3.4 cos(40o  80o )  i sin( 40o  80o




54



 12 cos120o  i sin 120o



 1 3   12   i 2   2  6  6i 3

2cis15  4cis45 

o 7

b.

o 3

Jawab

2cis15  4cis 45 

o 7 o 3



27 cis 7.15o 128cis105o   2cis (105o  135o ) 3 o o 4 cis3.45 64cis135

10

1 i 3   c.   1  i 3   Jawab 10

10

o 10 o o 1  i 3        2cis60 o   210 cos10.60 o  cis 600 o  cis1200o 1 i 3  2 cis(10.60 ) cis (600 )  2cis(60 )   

1 2  cis120o    i 2 2

6.

2cis50   2cos 50  i sin 50   2 cos 6.50  i sin 6.50   64cos 300  i sin 300  0 6

6

o

o

o

o



 64  1 / 2  1 / 2i 3



  32  32i 3

7.

o 6

o

 3 i     3i  





4

1 i    1 i 

5

Jawab  3 i     3 i   

4

5

o o  1  i   2(cos 330  i sin 330     o o  1  i   2(cos 30  i sin 30

  

4

 2 (cos 45 o  i sin 45 o     2 (cos 315o  i sin 315 o   

5


55

 16(cos 4.330 o  i sin 4.330 o  4 2 (cos 5.45 o  i sin 5.45 o      o o  o o  16 (cos 4 . 30  i sin 4 . 30 2 (cos 5 . 315  i sin 5 . 315   

 16(cos1320 o  i sin 1320 o  4 2 (cos 225o  i sin 225 o    o o  o o 16 (cos 120  i sin 120   4 2 (cos1575  i sin 1575

5

   

 16( 1 / 2  i (1 / 2 3  4 2 (1 / 2 2  i (1 / 2 2       4 2 ( 1 / 2 2  1 / 2 2  16 (  1 / 2  i 1 / 2 3     ( 1 / 2  i (1 / 2 3  ( 1/ 2 2  i (1 / 2 2         ( 1 / 2  i1 / 2 3  ( 1 / 2 2  i1 / 2 2   ( 1 / 2  i (1 / 2 3   1 / 2  i1 / 2 3  ( 1 / 2 2  i (1/ 2 2   1 / 2 2  i1 / 2 2          1 / 2  i1 / 2 3  ( 1 / 2 2  i1 / 2 2   1 / 2 2  i1 / 2 2  (  1 / 2  i 1 / 2 3       (1 / 4  1 / 4i 3  1 / 4i 3  1 / 2  1 / 2i  1 / 2i  1 / 2       1 / 3  1 / 4 1/ 2  1/ 2   

1 3  1 1      i 3 i    i  2 2  2 2 

8.

Buktikan a. arg(z1 z2 )  arg z1  arg z2 Bukti Misal z1  r1 cos1  i sin 1  dan z2  r2 cos 2  i sin  2 

z1 z 2  r1 (cos1  i sin 1 )r2 (cos 2 r2  i sin  2 )

  r r (cos 

 )i 

 r1r2 cos1 cos  2  i cos 1 sin  2  i sin 1 cos  2  i 2 sin 1 sin  2 1 2

1

cos  2  sin 1 sin  2 )  (sin 1 cos  2  cos  2 sin  1)

 r1r2 cos(1   2 )  sin(1   2 )i  Sehingga

arg(z1 z2 )  1   2   arg z1  arg z2

b. arg(z1 / z2 )  arg z1  arg z 2 Bukti


56

z1 r (cos1  i sin  2 )  1 z 2 r2 (cos 2  i sin  2 ) 

r1 (cos1  i sin 1 ) r2 (cos 2  i sin  2 ) . r2 (cos 2  i sin  2 ) r2 (cos 2  i sin  2 )

r1 r2 (cos1 cos 2  i sin  2 cos1  i sin 1 cos 2  i 2 sin 1 sin  2 )  r22 (cos2  2  i sin  2 cos  i sin  2 cos 2  i 2 sin 2  2 ) 

r1 r2 (cos 1 cos  2  i sin  2 cos 1  i sin  1 cos  2  (1) sin 1 sin  2 ) r22 (cos 2  2  (1) sin 2  2 )



r1 r2 (cos 1 cos  2  sin 1 sin  2 )  i(sin  2 cos 1  sin  1 cos 2 )) r22 (cos 2  2  sin 2  2 )



r1 r2 cos( 1   2 ) sin( 1   2  r22



r1 cos(1   2 ) sin(1   2 ) r2

Sehingga

z  arg 1   1   2   arg z1  arg z2  z2  Soal-soal 1. Hitunglah f.

2cis3 / 43cis / 4

1  3  g.  cis / 3  cis 3 / 4  2 4   

h.





2cis / 4 2 2 3cis7 / 4



    i.  2cis  3cis  3  6      j.  3cis  2cis  2  3 

2. Tentukan hasil perkalian berikut dan nyatakan dalam koordinat tegak lurus.

 2cos 30 4cos 35

  5cos 90  i sin 90  8cos 35  i sin  35 

a. 2 cos 20 o  i sin 20 o 4 cos 70 o  i sin 70 o b. c.

o

 i sin 30 o

o

 i sin 35 o

o

o

o

o


57

   4cos120  i sin 120 2cos 60  i sin 60  8cos135  i sin 135 6cos 200  i sin 200  2cos 30  i sin 30  5cos 60  i sin 60 

d. 3 cos118 o  i sin 118 o 2 cos172 o  i sin 172 o e. f. g. h.

o

o

o

o

o

o

0

o

2

0

o

3

7   i.  2cis  6  

o

o

3

11   j.  2cis  6  

4

3. Buktikan bahwa a. sin 3  3 sin   4 sin 3  b. cos 3  4 cos 3   3 cos 

4. Buktikan bahwa a.

sin 4  8 cos 3   2  2 cos 3  6 cos   4 sin 

b. cos 4  8 sin 4   8 sin 2   1 5. Buktikan teorema de Moivre untuk bilangan bulat negatif dan bilangan rasional 6. Buktikan bentuk-bentuk berikut ini: a. (1  sin x)(1  sin x ) 

1 sec 2 x

b. (sec x  1)(sec 1)  tan 2 x c. sec x  sin x tan x  cos x

sec 2 x  1 d.  sin 2 x 2 sec x e. sin 2 x  f.

1 1 sec 2 x

cos 3 y  4 cos3 y  3 cos y

g. sin 4 s  8 sin s cos 3 s  4 sin s cos s h. (1  cos x)(1  cos x )  sin 2 x Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

58

i.

sin p cos p  1 cos p sec p

j.

(1  cos 2 x )(1  cot 2 x )  1

k.

sin t (csc t  sin t )  cos 2 t

l.

1  csc 2 y 1  2 csc y sec 2 t

1.10 Akar-akar Bilangan Komplek Suatu bilangan w disebut akar ke  n bilangan komplek z jika w n  z atau dapat kita tulis dalam bentuk z  w1 / n . Berdasarkan teorema de Moivre kita dapat menunjukkan bahwa jika n adalah bilangan bulat positip,

z1 / n   x  yi 

1/ n

 {r (cos  i sin  )}1/ n

 {r1 / n (cos

   i sin )} n n

    2k     2k    r1 / n  cos   i  sin  , k  0,1,2...(n  1) ...... (6) n      n

Berdasarkan bentuk di atas, untuk n nilai yang berbeda untuk z1/ n , yaitu n akar yang berbeda dari z . asalkan z  0. Contoh soal 1. a) Temukan semua nilai z , sehingga z 5  32 , b) Tempatkan atau masukkan nilai ini dalam bidang kompleks. Jawab a) z 5  32  z   32 1 / 5   32  0i 1 / 5


59

Y

 (32,0)

X

Dalam bentuk polar

(32  0i )  32cos(  2k )  i sin(  2k , k  0,1,2,3,... Sehingga Dalam bentuk polar

 32  0i 1 / 5  32cos   i sin  1 / 5 Dengan menggunakan teorema de Moivre diperoleh

32cos   i sin  1 / 5

  2 k   2 k    321 / 5  cos  i sin , k  0,1,2,3, 4 5 5  





      Untuk k  0  z1  32 1 / 5  cos  i sin   2 cos  i sin  5 5 5 5   3 3  3 3    Untuk k  1  z 2  321 / 5  cos  i sin  i sin   2 cos  5 5  5 5    1/ 5

Untuk k  2  z 3  32

cos   i sin    2(1  0)  2

7 7  7 7    Untuk k  3  z 4  32 1 / 5  cos  i sin  i sin   2 cos  5 5  5 5    9 9  9 9    Untuk k  4  z 5  321 / 5  cos  i sin  i sin   2 cos  5 5  5 5   

Dengan mempertimbangkan

= 5, 6 serta nilai-nilai negatif, -1, -2, ...,

pengulangan dari lima nilai di atas

diperoleh. Oleh karena itu ini adalah satu-

satunya solusi atau akar dari persamaan yang diberikan. lima akar ini disebut " lima akar dari – 32 ” dan secara kolektif ditunjukkan dengan (−32) /

mewakili Akar ke-"

" dari dan . Dan terdapat

/

. Pada umumnya,

akar.

b)


60

Y

2cis / 6 X

Gambar 1.16

2. Tentukan  1  i 

1/ 3

Jawab

Y

1  i

X

Dalam bentuk polar  1  i  2 cos(3 / 4  2k )  i sin(3 / 4  2k 

Sehingga

 1  11 / 3 





 2







2 cos 3 / 4  i sin 3 / 4 

1/ 3



2 cos(3 / 4  2k )  i sin(3 / 4  2k  1/ 3

1/ 3

  3 / 4  2 k    2 / 4  2k   cos   i sin  , k  0,1,2  3 3      


61

k  0  z1 

 2

  3 / 4    3 / 4   1/ 6   cos   i sin     2  cis  4  3     3 

k  1  z1 

 2

  3 / 4  2   3 / 4  2  cos   i sin  3 3    

11   1/ 6     2  cis    12 

k  2  z1 

 2

  3 / 4  4  cos 3  

19   1/ 6     2  cis  4   

1/ 3

1/ 3

1/ 3

  3 / 4  4   i sin  3  

Semua akar – akar ini dapat terlihat pada gambar berikut ini

y

11π/12 Z2

Z1 π/4

19π/12

Z3 Gambar 1.17 3.

 2

3  2i



1/ 4

Jawab

Y X

 2 3  2i

Dalam bentuk polar  2 3  2i  4cos( 7 / 6  2k )  i sin( 7 / 6  2k 

Sehingga

 2

3  2i



1/ 4

 4cos 7 / 6  i sin 7 / 6

1/ 3


62

 4cos( 7 / 6  2k )  i sin( 7 / 6  2k 

1/ 4

  7 / 6  2 k   7 / 6  2k  1/ 3   4   cos   i sin  , k  0,1,2,3  4 4       7   7   7   1/ 4  1/ 4  k  0  z1  4   cos   i sin     4  cis  24   24      24  1/ 4

k  1  z 2  4 

  19   19  cos   i sin   24   24 

  45   i sin    24

45   1/ 4     4  cis  24   

 71   71 1/ 4  k  3  z 4  4   cos   i sin   24   24 

71   1/ 4     4  cis  24   

1/ 4

k  2  z 3  4 

  45  cos   24

19   1/ 4     4  cis  24   

Pernyataan di atas dinyatakan dalam gambar di bawah ini :

Y

z z

19 24 31 24

7 24 43 24

X

z

z

Gambar 1.18

4. Mencari akar – akar kuadrat dari – 15 − 8i Jawab


63

Y X

 15  18i

Gambar 1.19

Dalam bentuk polar Cara 1 – 15 − 8i = 17 {cos ( θ + 2kπ ) + i sin ( θ + 2kπ )} Dimana, cos θ = −

dan sin θ = −

Maka akar – akar kuadrat dari – 15 − 8i adalah : θ

√17

cos + i sin

√17

cos

θ

θ

+ π + i sin

(1) θ

+π

= −√17

θ

cos + i sin

θ

(2)

Jadi, θ ( 1 + cos θ ) Cos = ± = 2 2 θ ( 1 − cos θ ) Sin = ± = 2 2

15 1 − 17

= ±

2 15 1 + 17

= ±

2

1 √17 4 √17

Karena θ adalah sudut yang berada di kuadran ketiga, maka berada di kuadran kedua. Sehingga Cos

θ

= −

θ

adalah sudut yang

θ

√

dan Sin =

√

Dan dari persamaan ( 1 ) dan ( 2 ) di atas, diketahui bahwa akar–akar kuadratnya adalah – 1 + 4i dan 1 − 4i Untuk membuktikannya, coba cek bahwa : ( – 1 + 4i ) = ( 1 − 4i ) = −15 − 8i


64

Cara 2 Misalkan kita ambil p + iq, dimana p dan r adalah anggota bilangan Real yang mewakili akar – akar kuadrat dari – 15 − 8i Kemudian dikuadratkan menjadi (p + iq) = p − q + 2pqi = −15 − 8i Atau p − q = −15

(3)

Dan pq = −4

(4)

Substitusikan ( gantilah ) q = − dari persamaan ( 4 ) ke persamaan ( 3 ) Menjadi p −

= −15 atau p + 15p − 16 = 0

Sebagai contohnya, (p + 16) (p − 1) = 0 atau p = −16 , p = 1

5.

 2

3  2i



1/ 2

Jawab Y X

 2 3  2i

Gambar 1.20

Dalam bentuk polar  2 3  2i  4cos( 7 / 6  2k )  i sin( 7 / 6  2k 

Sehingga

 2

3  2i



1/ 2

7 / 6  2k 7 / 6  2k    41 / 2  cos  i sin  2 2  

7 / 6 7 / 6   k  0  41 / 2  cos  i sin  2 2   7 / 6  2 7 / 6  2   k  1  41 / 2  cos  i sin  2 2  


65

4.

 4  4i 1 / 5 Y

 4  4i 3 4 X

Gambar 1.20

3 3    4  4i  4 2  cos  i sin  4 4   1/ 5

 4  4i 

 3    3   4 2  cos   i sin  4    4 

   

1/ 5

 3 / 4  2k    3 / 4  2k   (4 2 )1 / 5  cos   i sin  5 5    

  , k  0,1,2,3, 4 

 3    3   Untuk k  0  z1   41 / 5 (2)1 / 10  cos   i sin    20    20     3 / 4  2    3 / 4  2 Untuk k  1  z 2   41 / 5 (2)1 / 10  cos   i sin  5 5    

   

 3 / 4  4    3 / 4  4 Untuk k  2  z 3   41 / 5 (2)1 / 10  cos   i sin  5 5    

   

 3 / 4  6    3 / 4  6 Untuk k  3  z 4   41 / 5 (2)1 / 10  cos   i sin  5 5    

   

 3 / 4  8  Untuk k  4  z 4   41 / 5 (2)1 / 10  cos 5  

   

  3 / 4  8   i sin  5  

Soal-soal Hitunglah


66

1.

 1  i 3 

1/ 6

 6 1 i 3



Dibaca : Akar pangkat 6 dari  1  i 3 2.



i 1 / 4

3. 41  3i 1 / 6 4.

3

5.

42  i 1 / 8

6.

 4  4i 1 / 2

7.

5  12i 1 / 2

8.

8  4i 5   2  2 2i 

9.



2 2  i 

1/ 5

`

1/ 2

1/ 3

10. 1  2i 1 / 6



11. 1  3i



1/ 7

12. 4  4i 

1/ 8

13. 4  4i 

1/ 9

14.  11  2i 1 / 3





15.  2  1

1/ 3

1.11 Rumus Euler Berdasarkan asumsi perluasan deret berhingga e x  1  x 

x2 x3   .... dari kalulus 2! 3!

elementer ketika x  i , kita dapat mengambil hasil:

(i ) 2 (i ) 3 (i ) 4 (i ) 5 (i ) n1 e  1  (i )      .....  2! 3! 4! 5! (n  1)! i

 i 2 2 i 4 4 i n 2 n 2   i 3 3 i 5 5 i n 1 n 1     i    1    ...    ...  2 ! 4 ! ( n  2 )! 3 ! 5 ! ( n  1 )!      2 4  n 2   3 5  n1     i  i   1    ...  i  ...  i 2! 4! (n  2)!   3! 5! (n  1)!  


67

 2 4  n 2   3 5  n1    i     1    ...    ...  2! 4! (n  2)!   3! 5! (n  1)!   Dengan menggunakan definisi jumlah deret tak hingga diperoleh: e i  cos   i sin 

e  2,71828 .......(7)

Yang mana (7) kita sebut sebagai rumus Euler’s yang sesuai ,bagaimanapun secara i

sederhana kita mendefinisikan e

. umumnya kita definisikan

e z  e x iy  e x e iy  e x cos x  i sin y  `.........(8) Misalnya untuk contoh dimana y  0 menghasilakan e

x

Perlu dicatat bahwa bentuk dari (7) pada dasarnya merupakan hasil dari teorema de

 

Moivre untuk e i

n

 e in

Contoh soal 1. Tentukan rumus Euler untuk 1 i 3

Y

1 i 3

 X

Gambar 1.21

z  1  i 3 maka z  r  (1) 2  ( 3 ) 2  1  3  2 Karena titiknya terletak pada kuadran 1 maka cos 

1 2

Diperoleh 1   arc    60 o   / 3 2 Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

68

     Sehingga z  1  i 3  2 arccos  i sin   2 cis   2ei / 3 3 3  3  Sehingga

z  1  i 3  2ei / 3

 2 3  2i Y

X

 2 3  2i Gambar 1.22

z  2 3  2i maka z  r  (2 3 ) 2  (2) 2  16  4

Karena titiknya terletak pada kuadran 3 maka cos 

2  210o 4

Sehingga z  2 3  2i  4cos 210 o  i sin 210 o   2cis 210 o  2cis

2  i  5e i (tan

1

7  2e ( 7  / 6 ) i 6

1/ 2)

Y 2i



X

Gambar 1.23


69

z  2  i maka z  r  (2) 2  (1) 2  5 Karena titiknya terletak pada kuadran 1 maka tan  

1 2

Diperoleh Sehingga z  2  i  5 cos(arctan(1 / 2)  i sin(arctan(1 / 2)   5e i arctan( 1/ 2)  5e i tan

1

(1 / 2 )

 6 i 2 Y

 6 i 2

X

Gambar 1.24

z   6  2i maka z  r  ( 6 ) 2  ( 2 ) 2  8  2 2

Karena titiknya terletak pada kuadran 2 maka sin  

2 5  150o   2 6

Sehingga z  2 3  2i  4cos 210 o  i sin 210 o   2cis 210 o  2cis

5  2e ( 5  / 6 ) i 6

2. Nyatakan hasil akhirnya dengan rumus Euler  3 i     3i  

4

1 i    1 i 

5

Jawab 4

 3  i   1  i  5  2(cos 330 o  i sin 330 o    3  i   1  i    2(cos 30 o  i sin 30 o   

  

4

 2 (cos 45 o  i sin 45 o     2 (cos 315o  i sin 315 o   

 16(cos 4.330 o  i sin 4.330 o  4 2 (cos 5.45 o  i sin 5.45 o      o o  o o   16(cos 4.30  i sin 4.30  2 (cos 5.315  i sin 5.315 

5

5


70

 16(cos1320 o  i sin 1320 o  4 2 (cos 225o  i sin 225 o    o o  o o  16(cos120  i sin 120  4 2 (cos1575  i sin 1575

   

 16( 1 / 2  i (1 / 2 3  4 2 (1 / 2 2  i (1 / 2 2       4 2 ( 1 / 2 2  1 / 2 2  16 (  1 / 2  i 1 / 2 3     ( 1 / 2  i (1 / 2 3  ( 1/ 2 2  i (1 / 2 2       ( 1 / 2 2  i1 / 2 2  (  1 / 2  i 1 / 2 3     ( 1 / 2  i (1 / 2 3   1 / 2  i1 / 2 3  ( 1 / 2 2  i (1/ 2 2   1 / 2 2  i1 / 2 2             ( 1/ 2  i1 / 2 3   1 / 2  i1 / 2 3  ( 1 / 2 2  i1 / 2 2   1 / 2 2  i1 / 2 2   (1 / 4  1 / 4i 3  1 / 4i 3  1 / 2  1 / 2i  1 / 2i  1 / 2       1 / 3  1 / 4 1/ 2  1/ 2   

1 3  1 1      i 3 i    i  2 2  2 2   3 i    3 i  

4

5

1 3 3 1 1 i    i    i 2 2 4 2 1 i  2

2  3  1      1 r      2   2

Karena titik di kuadaran ke-3 maka 1/ 2 1  1/ 2   1 tan     ,   arctan    arctan   2 4  2   4  3 1 i (arctan('1 / 4 ) Sehingga  4  2 i  1cos(arctan  1 / 4  i sin(arctan ( 1 / 4  e

3. Nyatakan hasil akhir soal di bawah ini dengan rumus Euler a.

   2cis  3 

1/ 4

Jawab 1/ 4

   2cis  3 

1/ 4

     2 cos  i sin  3 3 

1/ 4

       2 cos  2   i sin   2   3  3  

Dengan menggunakan teorema de Moivre diperoleh 1/ 4

      2 cos  i sin   3 3   

   / 3  2k    / 3  2k   21 / 4 cos   i sin  4 4    

  , k  0,1,2, 


71

     k  0   21 / 4  cos  i sin    21 / 4 e  / 12 i 12 12      7 7    1 / 4 7 / 12 i k  1   21/ 4  cos  i sin    2 e 12 12   

b.

 13 13  k  2   21 / 4  cos  i sin 12 12  

 1 / 4 13 / 12 i    2 e 

 19 19  k  3   21 / 4  cos  i sin 12 12  

 1 / 4 19  / 12 i    2 e 

     2cis  3cis  2  4  Jawab

               2cis  3cis    2 cos  i sin   3 cos  i sin   2  4   2 2    4 4            2.3 cos    i sin       2 4   2 4 3 3    6 cos  i sin  4 4   3  6cis 4 3 / 4 i  6e

c.

(3  2i )( 7  i )

Jawab (3  2i)( 7  i )  ( 21  3i  14i  2i 2 )  ( 21  17i  2)  ( 19  17i)

Dalam bentuk polar   17  17    ( 19  17i )  5 26  cos arctan   i sin  acr tan   19  19     

Bentuk Euler  17 

arctan   i   17  17     19  5 26  cos arctan   i sin  acr tan    5 26e 19  19     


72

Soal-soal Tentukan rumus Euler yang bersesuaian dengan hasil akhir dari operasi di bawah ini! 1. (3  2i )( 7  i ) 2. ( 7  i )  (3  2i ) 3. (8  6i )  ( 2i  7 ) 4. (5  3i)  (1  2i )  (7  5i )  5.

(5  3i)  (1  2i)  (7  5i)

6. ( 2  3i )( 4  2i ) 7. ( 4  2i )( 2  3i) 8. (2  i )(3  2i )(5  4i ) 

(2  i)(3  2i)(5  4i) 10. (1  2i)(7  5i )(3  4i )  9.

11.

3  2i 1 i

12.

5  5i 20  3  4i 4  3i

13.

3i 10  i 19 2i  1

 1 3  14.    i  2 3   

2

2

1  i  1 i  15. 3   2  1 i  1 i 

16.

3

i 4  i 9  i 16 2  i 5  i 10  i 15

1.12 Persamaan-persamaan Polinomial Sering dalam hal-hal praktis kita menemukan selesaian persamaan pangkat banyak (polinomial) dengan bentuk umum :


73

a 0 z n  a 1 z n  1  a 2 z n  2  ...  a n  1 z  a n  0

.........( 9 )

Dimana a 0  0, a1 ...., a n adalah bilangan komplek dan n adalah bilangan bulat positip yang disebut pangkat dari persamaan. Selesesaian dari persamaan polinomial juga disebut pembuat nol (zeros) ruas kiri persamaan (9) akar-akar persamaan. Teorema ini sangat penting sehingga disebut teorema mendasar dari aljabar yang menyatakan bahwa setiap persamaan polinomial dari bentuk (9) mempunyai paling sedikit satu akar bilangan. Berdasarkan fakta ini kita dapat polinomial mempunyai n akar bilangan komplek yang kadang-kadang beberapa ada yang sama dan bahkan mungkin semua akar-akarnya sama. Jika z1 , z 2 , z 3 , ... , z n dengan n akar-akar persamaan polinomial maka (9) dapat di tulis sebagai: ao ( z  z1 )( z  z 2 )( z  z 3 ).....(z  z n )  0 .......... (10) yang mana di sebut bentuk pemfaktoran dari persamaan polynomial, sebaliknya jika kita dapat menulis (9) pada bentuk (10) kita dapat menentukan akar-akarnya dengan mudah.

Contoh soal 1. Selesaikanlah persamaan kuadrat berikut az 2  bz  c  0, a  0 Dengan menukar c dan membaginya dengan a  0 diperoleh bentuk persamaan z2 

bz c  a a

Jika masing-masing ruas ditambahkan dengan  b     2a 

2

Diperoleh bentuk kuadrat sempurna 2

2

2

2

bz  b  c  b  z        a  2a  a  2a  2

z2 

bz  b  c  b        a  2a  a  2a  2

b  b 2  4ac   z    2a  2a 


74

z

b b 2  4ac  2a 2a

b b 2  4ac z  2a 2a  z1. 

 b  b 2  4ac  b  b 2  4ac , z2  2a 2a

Untuk selanjutnya z1.2

 b  b 2  4ac  2a

Disebut akar-akar az 2  bz  c  0, a  0

2. Tentukan selesaian persamaan polinomial berikut: a.

z 2  (2i  3) z  5  i  0 Jawab Dengan menggunakan rumus pada soal nomor 1 diperoleh z1.2  

 b  b 2  4ac 2a

 (2i  3)  (2i  3) 2  4.1.(5  i ) 2

 (2i  3)  (4i 2  12i  9  20  4i  2  (2i  3)   15  8i  2 Sehingga z1 

(3  2i)   15  8i (3  2i )   15  8i z2  dan 2 2

b. z 2  (i  2) z  (3  i)  0 Jawab Dengan faktorisasi diperoleh z 2  (i  2) z  (3  i )   z  (1  i  z  (1  2i)   0 Sehingga

z1  1  i, z 2  1  2i Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

75

(1 −

c. Jabarkanlah Jawab

) = 16

Dengan menggunakan metode 1. Persamaan pada soal diatas jika dijabarkan akan −

menghasilkan persamaan berikut. 9

+ 16 = 0, bisa juga

+8

+ 16 −

= 0, supaya menghasilkan persamaan (

+ 4) − 9

(

= 0,

+ 4 + 3 )(

+4−3 )=0

Maka akan menghasilkan jawaban dari + 4 + 3 = 0,

+ 4 − 3 = 0, yaitu − ±

Dengan menggunakan metode 2. Kita bisa misalkan diatas bisa kita jabarkan menjadi maka

−

+ 16 = 0 atau

−

√

=

±

√

.

, maka persamaan

+ 16 = 0 dan ganti z menjadi w

= ± √7 . untuk mendapatkan jawabannya bisa

digunakan cara pada soal 30.

d. z 4  z 2  1  0 Jawab Atau z4  z2 1  0 2

1 3   z2     0 2 4  2

1 3   z2     2 4  1 3 1   z2        i 3 2 4 2 

Sehingga diperoleh  2 1 1  2 1 1  z    i 3 dan  z    i 3 2 2 2 2  

 2 1 1 z    i 3 2 2  1 1  z2    i 3 2 2

Atau


76

z1.2    z1  

1 1  i 3 2 2

1 1 1 1  i 3 , z2     i 3 2 2 2 2

1 1  1 1  z1    i 3     i 3  2 2  2 2    2 2  1 cos  i sin 3 3  

   

1/ 2

1/ 2

2 / 3  2k 2 / 3  2k   11 / 2  cos  i sin 2 3 

 , k  0,1 

2 / 3 2 / 3   1 1   1 k  0  z  11 / 2  cos  i sin   1  i 3   1  i 3 2 3  2 2   2





2 / 3  2 2 / 3  2   7  1  k  1  z  11 / 2  cos  i sin    cis    1 i 3 2 3 3  2   



 1 1   1 1  z 2     i 3      3  2 2   2 2 



1/ 2

1/ 2   2 2   z 2  1 cos  i sin    3 3    2 / 3  2k 2 / 3  2k     cos  i sin , k  0,1 2 3  

  1 1  1 k  0  z  1   i 3    1  i 3 2  2   2 2 / 3  2 2 / 3  2    7  k  1  z   cos  i sin    cis  2 3 3    





Soal-soal Selesaikanlah 1. z 5  2 z 4  z 3  6 z  4  0 2. 6 z 4  25 z 3  32 z 2  3 z  10  0 3. 5 z 2  2 z  10  0 4. z 2  (i  2) z  (3  i)  0 5. Carilah dua bilangan komplek yang jumlahnya 4 dan hasil kalinya 8. 6. z 4  81  0 Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

77

7. z 6  1  i 3 8.

z3  z2  z  0

9. ( z 4  6 z 3  12 z 2  8 z )  0 10. ( z 4  z 2 )  0 11. ( z 4  6 z 3  13 z 2  12 z  4)  0 12. ( z 6  9 z 4  24 z 2  16)  0 13. ( z 8  z 6 )  0 14. ( z 3  64) 2  0





15. z 5  15 z 4  85 z 3  225 z 2  274 z  120  0 16.

z 3  z 2  4z  4  0

17. ( z 4  z )  0 18. ( z 2  2 z  5) 5  0 19. ( z 4  5 z 2  36)  0 5 4 3 2 20. z  5 z  7 z  z  8 z  4  0 3 2 21. z  3 z  3 z  1  0

22. ( z 2  4 z  4)( z  3)  0

1.13 Akar-akar ke  n dari Satuan Selesaian dari persamaan z n  1 dimana n adalah bilangan bulat positip disebut akarakar ke  n dari satuan dan di berikan oleh : 2 k

cos 2k i sin 2k z  e n k  0,1,2,3,....., n  1 .... (11) n n cos 2 k  i sin 2 k  Misal jika     e 2 k  i / n , n akar-akar dari persamaannya adalah: n n

1,  ,  2 ,.......,  n 1 . yang secara geometri menunjukkan bahwa n vertical dari sebuah polygon (segi banyak) beraturan teratur dimana di samping n di tuliskan pada sebuah lingkaran dari jarak satu dengan pusat yang sebenarnya. Lingkaran ini mempunyai persamaan z  1 dan sering di sebut lingkaran satuan. Contoh soal Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

78

1. Carilah semua akar-akan ke-4 dari satuan

Jawab z 4  1  z  1

1/ 4

 z  1  0i 

1/ 4

 1cos 0  i sin 0 

1/ 4

0  2k 0  2k    11 / 4  cos  i sin , k  0,1,2,3,4 4 4   2k 2k  cos  i sin , k  1,2,3,4 4 4 Untuk k  0  z1  cos 0  i sin 0  1 Untuk k  1  z 2  cos

   i sin  i 4 4

Untuk k  2  z 3  cos   i sin   1 Untuk k  3  z 4  cos

2.

3 3  i sin  i 2 2

Jika n = 2, 3, 4... Tunjukkan bahwa a) cos

2 4 6 2( n  1) + cos  cos  ...  cos  1 n n n n

b) sin

2 4 6 2( n  1)  sin  sin  ...  sin 0 n n n n

misalkan persamaan x n  1  0, mempunyai solusi terhadap nilai dari akar-akar kesatuan. 1, e

2 ki n

,e

4 ki 5

, e

6 k i 5

,e

8 ki 5

 ...  e

2 ( n 1) i n

0

Soal-soal 1. Tentukan akar-akar ke-4 dari satuan 2. Tentukan akar-akar ke7 dari satuan 3. Tentukan akar-akar ke-11 dari satuan 4. Carilah semua akar dari 1  z 5  1  z 5

1.14 Interpretasi Vektor Bilangan Komplek


79

Bentuk bilangan komplek z  x  yi dapat dipandang sebagai vektor OP yang mempunyai titik awal di titik asal O (origin) dan titik akhirnya pada koordinat P ( x, y ) seperti pada gambar 1.25 berikut ini. Y B

A

P ( x, y )

X

O Gambar 1.25

Kadang-kadang kita menyebut OP  x  iy sebagai vektor positip dari P. Dua vektor mempunyai panjang (magnitudo) dan arah yang sama, tetapi titik-titik awal berbeda sedemikian sehingga OP dan AB pada gambar 1.25 dipandang sama. Dalam hal ini dapat ditulis OP  AB  x  iy Jumlah dari bilangan komplek berkorespondensi dengan hukum jajarangenjang dari jumlah untuk vektor. (lihat gambar

1-26). Dengan demikian jumlah bilangan

komplek z1 dan z2 melengkapi jajarangenjang berkorespondensi

dengan

z1

dan

z2.

OABC diman OA dan OC

Diagonal

OB pada

jajarangenjang

berkorespondensi dengan z1  z 2 .


80

Y

z2 z1

z1  z 2 z1 z2

X

O

Gambar 1.26

Contoh soal 1. Misalnya vektor posisi titik ( , dan

) dan ( ,

) berturut-turut dinyatakan oleh

.

(a) Nyatakan vektor AB sebagai suatu bilangan kompleks. (b) Tentukan jarak antara A dan B. Jawab Y

A( x1 , y1 ) z1  z 2

z1

B ( x2 , y2 )

z2 X

Gambar 1.27 +

b) Dari gambar 1.27 AB = OB –OA = =(

+

)−(

=

atau

− +

)


81

=(

)+ (

−

−

)

Jarak antara titik A dan B diberikan oleh |AB| = |(

=

2. Misalkan

)+ (

−

+

dan

)| =

−

=

(

+

−

) +(

−

)

menyatakan dua vektor tak segaris atau

tak sejajar. Jika a dan b merupakan bilangan real (skalar) sehingga = 0 dan

buktikan bahwa

+ +

0,

) = 0, atau

= 0,

= 0. = 0 setara dengan (

+

Syarat yang diberikan (

+

+ (

+

+

) = 0. Maka

)+

+ +

= 0 dan

= 0. Persamaan-persamaan tersebut mempunyai jawaban bersama

= 0 jika

/

≠

=

/ , yaitu jika vektor-vektor tersebut bukan vektor segaris

atau sejajar.

3. Buktikan bahwa diagonal suatu jajar genjang saling membagi dua antara yang satu dengan lainnya.

A

B

z1

P

z2 C

Gambar 1.28

Misal OABC (gambar 1.28) adalah jajaran genjang yang diberikan dengan diagonal-diagonalnya berpotongan di P. Karena Karena

+

= =

+

,

= , maka

−

. Maka = (

+

=

(

−

) di mana 0 ≦

) dimana 0 ≦

≦ 1.

≦ 1.


82

+

Tetapi (

− )

+

, yaitu

(

)= (

−

+

= 0). Oleh karena itu menurut soal no 9, 1 −

= ,

atau

=

) atau (1 − −

= 0,

− ) −

+

=0

= dan ini mengakibatkan P merupakan titik tengan dari kedua

diagonal tersebut.

4. Tentukan suatu persamaan untuk garis lurus yang pelalui dua titik yang diberikan, yaitu ( ,

) dan ( , =

Misalkan,

+

). dan

=

+

berturut-turut adalah vektor posisi

dari A dan B. Misalkan

=

+

adalah vektor posisi dari suatu titik P. pada garis yang

menghubungakan A dan B.

A P

z1

B

z

z2

Gambar 1.29

Dari gambar 1.29 +

=

atau

+

= , yaitu

+

=

atau

+

=

Karena

dan

segaris,

, yaitu =

= − =

−

atau −

= (

−

) di mana t

adalah riil, dan persamaan yang diinginkan adalah: Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

83

=

+ (

) atau = (1 − )

−

+

Soal-soal 1. Jika z1  4  3i, z 2  1  2i Tentukan hasil (secara analitis dan grafis) dari a.

z1  z 2

b.

z1  z 2

c.

z1  z 2

d.

2 z1  3 z 2  2

2. Vektor-vektor posisi dari titik-titik pada ABC

A  z1  1  2i, B  z 2  4  2i, C  1  6i. Buktikan bahwa ABC adalah sama sisi dan tentukan panjang masingsegi-masing sisinya. 3. Misal z1 , z 2 , z 3 , z 4 adalah vektor-vektor posisi dari segiempat ABCD . Buktikan bahwa segiempat ABCD jika dan hanya jika z 1  z 2  z 3  z 4  0 4. Pesawat terbang WISATA terbang 150 km menuju arah tenggara (southeast), 100 km kearah barat (west) 225 km dalam arah 30 o disebelah utara dari timur, dan 323 km dalam arah timur laut (northeast). Tentukan berapa jauh jarak yang ditempuh oleh pesawat jika dihitung dari titik awal pemberangakatan penerbangan.

1.15 Representasi Spherical Bilangan Komplek, Proyeksi Stereografis Misalnya P (pada gambar 1.6) adalah bidang komplek dan pandang suatu unit sphere



(jari-jari satu) tangent P di z  0. Untuk diameter NS tegaklurus dengan P

dan titik N dan S kita sebut kutub-kutub utara dan bagian selatan dari



. Beberapa

korenspondensi titik A di P kita dapat membuat garis NA berpotongan dengan pada titik A’.



Dengan demikian setiap titik di bidang bilangan komplek

berkorespondensi satu-satu dan hanya satu

titik dari sphere  , dan kita dapat

menggambarkan sebarang bilangan komplek

oleh satu titik pada sphere. Untuk

melengkapi titik N hal itu berkorespondensi dengan “ jumlah pada titik” dari bidang


84

tersebut. Dari himpunan semua titik-titik termasuk bidang komplek untuk jumlah pada titik disebut semua bidang kompleks, semua bidang z, atau bidang kompleks secara luas. Methode yang telah dijelaskan di atas untuk memetakan bidang pada sphere disebut

proyeksi

stereografis. Sphphich.

Sphere tersebut kadang-kadang disebut

Riemann sphere.

N



A

S

P

Gambar 1.30

1.16 Hasil Kali Titik (dot) dan Silang (cross) Misal z1  x1  iy1 dan z 2  x2  iy 2 adalah dua bilangan komplek dan dinyatakan sebagai vektor-vektor. Hasil kali titik antara dua bilangan komplek z1 dan z 2 . merupakan sebuah skalar. Hasil kali titik antara dua bilangan kompel z1 dan z2 didefenisikan dengan bentuk :



z1 . z 2  z1 z 2 cos   x1 x 2  y1 y 2  Re z1 z 2  

1 z1 z 2  z1 z 2 2





..... (12)

Dimana  adalah sudut diantara z1 dan z2 yang mana terletak antara 0 dan  .

Hasil kali silang dari z1 dan z2 didefenisikan sebagai


85



z1  z 2  z1 z 2 sin   x1 y 2  y1 x2  Im z1 z 2  

1 z1 z 2  z 1 z 2 2i





.......... (13)

z1 z 2  z1 .z 2   i z1  z 2   z1 z 2 e i

(14)

Jika z1 dan z2 adalah bukan nol, maka 1.

Syarat perlu dan cukup bahwa z1 dan z2 tegak lurus adalah bahwa z1 .z 2  0

2. Syarat perlu dan cukup bahwa z1 dan z2 sejajar adalah bahwa z1  z 2  0 3. Magnitudo proyeksi dari z1 pada z 2 . adalah z1 .z 2 / z 2 . 4.

Luas jajarangenjang yang mempunyai sisi z1 dan z2 adalah z 1  z 2 .

Contoh soal 1. Jika z1  2  5i, z2  3  i , tentukan: a.

z1.z2 z1 .z 2  z1 z 2 cos  x1 x2  y1 y 2  (2)(3)  (5)(1)  6  5  1

b. z1  z2

z1  z 2  z1 z 2 sin   x1 y 2  y1 x2  (2)(1)  (5)(3)  2  15  17 c.

z2 .z1 z 2 .z1  z 2 z1 cos  x2 x1  y2 y1  (3)(2)  (1)(5)  6  5  1

d. z 2  z1

z 2  z1  z 2 z1 sin   x2 y1  y 2 x1  (3)(5)  (1)(2)  15  (2)  17 e.

z1.z2

f.

z2 .z1

g.

z1  z2

h.

z2  z1 Soal e,f,g dan h ditinggalkan penulis untuk latihan bagi pembaca.

2. Buktikan bahwa: a.

z1.z2  z2 .z1 Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

86

Bukti

z1  x1  iy1 , z 2  x2  iy 2 Menurut definisi hasil kali titik diperoleh

z1 .z 2  z1 z 2 cos  x1 x2  y1 y 2  x2 x1  y 2 y1  z 2 z1 cos  z 2 .z 1

b. z1  z2   z2  z1 Bukti

z1  x1  iy1 , z 2  x2  iy 2 Menurut definisi hasil kali silang diperoleh

z1 .z 2  z1 z 2 sin   x1 y 2  y1 x2   x 2 y1   x1 y 2   z 2 z1 cos   z 2  .z 1 3. Ditentukan z1  3  4i, z 2  4  3i tentukan besar sudut yang dibentuk oleh z1 dan

z2.  4  3i

Y

X

3  4i Gambar 1.31

Menurut definisi hasil kali titik, diperoleh

z1 .z 2  z1 z 2 cos cos  

z1 . z 2 z1 z 2

cos 

(3  4i ).(4  3i ) 3  4i  4  3i



 24 24  5.5 25


87

 24    arccos    25 

4. Buktikan bahwa jajaran genjang ABCD yang mempunyai panjang sisi z1 dan z2 adalah z1  z 2

z1

t  z1 sin 

 z2

Gambar 1.32

Luas jajaran genjang ABCD  z 2 t  z 2 z1 sin   z1 z 2 sin   z1  z 2

1.17 Koordinat-koordinat Konjugat Bilangan Komplek Suatu titik di bidang kompleks, dapat diletakkan pada koordinat tegak lurus ( , ) atau koordinat kutub ( , ). Namun banyak juga kemungkinan yang lain, misalnya dalam bentuk ( z , z ). Karena z  x  yi dan z  x  yi maka akan diperoleh z  x  yi z  x  yi __________  z  z  2x  x 

zz 2

dan z  x  yi z  x  yi __________  z  z  2 yi  y 

zz 2i


88

Bentuk

x

zz dan 2

y

zz dapat disubstitusikan kedalam persamaan yanga 2i

diketahui. Koordinat ( , ̅) yang menentukan letak suatu titik dinamakan koordinatkoordinat bilangan komplek dalam konjugate atau disingkat dengan koordinat konjugate dari sustu titik.

Contoh soal 1. Nyatakan persamaan berikut dalam bentuk koordinat konjugate a. 2 x  y  5 Misal z  x  yi sehingga z  x  yi Dengan menggunakan metode substitusi diperoleh

2 x  z  z dan 2iy  z  z Sehingga diperoleh x 

zz zz dan y  2 2i

Substitusikan x dan y sehingga 2x  y  5

zz zz    2   2i   5 2     z z z z    2i   2i   5 2 i      2i( z  z )  ( z  z )  10i  (2i  1) z  (2i  1) z  10i  2iz  z  2i z  z  10i

b. x 2  y 2  36 2

2

zz zz        2i   36 2    



1 1 z z  z z  36 2 2

 z z  36 c. ( x  3) 2  y 2  9 Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

89

2

2

zz zz zz   6 9      2   2i   9 2        z 2  2z z  z 2   4 



 zz  z 2  2z z  z 2   6 9   2   4  





    2 z z   12z  z   2 z z   0 2

 z 2  2 z z  z  12 z  z  36  z 2  2 z z  z

2

 9  

  36

 12z  12z  0

d. 4 x 2  16 y 2  25 2

2

zz zz   16   4   2i   25 2    



2

 

 z 2  2z z  z  4 z 2  2z z  z 2

2

  25

2

 z 2  2 z z  z  4 z 2  8 z z  4 z  25 2

2

 3 z 2  3z  6 z z  25 2

2

 3z 2  3 z  6 z z  25  0

Soal-soal 1. Deskripsikan setiap locus berikut ini yang diyatakan dalam koordinat konjugate menjadi bentuk bilangan komplek. a. 2. Ubahlah setiap persamaan berikut dalam koordinat konjugate 1.18 Himpunan-himpunan Titik Sebarang kumpulan titik-titik di bidang kompleks dinamakan suatu himpunan titik berdimensi dua, dan setiap titiknya dinamakan suatu anggota atau unsur himpunan tersebut. Definisi dasar berikut ini diberikan sebagai bahan rujukan. 1.

Lingkungan (neighbourhoods) Suatu lingkungan delta (atau sehingga | −

| <

dimana

) dari titik

adalah Himpunan semua titik

adalah suatu bilangan positif yang diberikan. Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

90

Suatu lingkungan –

nya dibuang, yaitu 0 < | −

yang titik 2.

yang dihilangkan dari

adalah Suatu lingkungan dari

|<

.

Titik lserimit (limit points) Suatu titik

disebut titik limit, titik gabung, atau titik kumpul dari himpunan titik

. Jika setiap lingkungan – karena

yang dihilangkan dari

memuat titik di himpunan ,

adalah Suatu bilangan positif sebarang, maka himpunan

banyak titik yang tak berhingga. Perhatikan bahwa

harus memiliki

mungkin terletak di dalam

atau di luar himpunan . 3.

Himpunan-himpunan tertutup (closed sets) Sebuah himpunan , yaiut

disebut tertutup jika setiap titik limit dari

termasuk di dalam

memuat semua titik limitnya. Sebagai contoh, himpunan semua titik

sehingga | | ≤ 1 adalah suatu himpunan tertutup. 4.

Himpunan-himpunan terbatas (bounded sets) Sebuah himpunan sehingga | | ≤

disebut terbatas jika kita dapat menemukan suatu konstata untuk setiap titik

dan . Suatu himpunan tak terbatas adalah

himpunan yang tidak memiliki batas. Suatu himpunan yang terbatas dan tetutup dinamakan Kompak. 5.

Titik dalam, titik luar, dan titik terbatas (interior, exterior, and boundary points) Suatu titik

disebut titik dalam dari himpunan

lingkungan

dari

dari

jika kita dapat menentukan suatu

yang semua titiknya termasuk pada . Jika setiap lingkungan

memuat titik di

dan juga titik di luar , maka

dinamakan titik batas.

Jika suatu titik bukan suatu titik dalam atau titik batas dari suatu himpunan , maka titik ini dinamakan titik luar dari . 6.

Himpunan-himpunan terbuka (open sets) Suatu himpunan terbuka adalah suatu himpunan yang hanya terdiri dari titik dalam. Sebagai contoh, himpunan titik

7.

sehingga | | < 1 adalah suatu himpunan terbuka.

Himpunan-himpunan tersambung (connected sets) Suatu himpunan terbuka

disebut tersambung jika untuk setiap dua titik di

himpunan tersebut dapat dihubungkan oleh suatu lintasan yang berbentuk garis lurus (lintasan segi banyak) yang semua titiknya terletak di dalam . 8.

Daerah terbuka atau domain (open regions or domains) Suatu himpunan terbuka tersambung dinamakan suatu daerah terbuka atau domain.


91

9.

Closure suatu himpunan (closure of a set) Jika suatu himpunan

kita gabungkan semua titik limitnya, maka himpunan baru

yang terbentuk disebut penutup himpunan

dan merupakan suatu himpunan

tertutup. 10. Daerah tertutup (closed regions) Penutup suatu daerah terbuka atau domain disebut suatu daerah tertutup. 11. Daerah (regions) Jika pada suatu daerah terbuka atau domain kita gabungkan beberapa, semua atau tidak sama sekali titik limitnya, maka kita menemukan suatu himpunan yang disebut daerah. Jika semua titik limitnya digabungkan, maka daerahnya tertutup dan jika tidak digabungkan sama sekali, maka daerahnyaterbuka. Dalam buku ini bilamana kita menggunakan istilah daerah tanpa mengelompokkannya, kita akan mengartikannya sebagai daerah terbuka atau domain. 12. Gabungan dan Irisan dari himpunan. sebuah himpunan terdiri dari semua titik

yang tergabung dalam himpunan S1 dan himpunan S2 atau kedua-duanya yang dinamakan union/gabungan dari himpunan S1 dan S2 yang ditandai dengan himpunan S1 + S2 /

∪

Suatu himpunan terdiri dari semua titik yang terdapat

dalam himpunan S1 dan S2 dinamakan irisan S1 dan S2 yang ditandai dengan S1 , S2 /

∩

13. Komplemen dari himpunan. Suatu himpunan yang tergabung dari semua titik

yang tidak termasuk dalam himpunan S dinamakan komplemen S dan dinyatakan dengan

~

14. Himpunan kosong dari sub himpunan. Menarik untuk memikir sebuah himpuan

yag tak bernilai, himpunan ini dinamakan himpunan kosong ( ∅). Jika dua himpunan S1 dan S2 tidak memiliki nilai (dimana kedua himpunan tersebut dinamakan himpunan yang tak berkaitan/saling keterkaitan), kita dapat menjelaskannya dengan menulis S1 - S2 = ∅. Setiap himpunan yang dibentuk melalui pemilihan semua nilai / tanpa nilai dari sebuah himpunan dinamakan sub himpunan dari S. bila kita menjelaskan himpunan ini dimana semua nilai S telah dipilih maka himpunan itu dinamakan sebuah himpunan yang benar dari S. 15. Himpunan tak terhingga. Jika bagian sebuah himpunan dapat ditempatkan dalam

sebuah persamaan dengan angka-angka 1,2,3………maka himpunan itu dinamakan


92

himpunan yang dapat dihitung, jika tidak dapt dihitung maka himpunan tersebut dinamakan himpunan tak terhingga. Berikut ini ada dua teori penting mengenai nilai-nilai himpunan: a) Teorema Welerstrass-Bolzano. Teori ini menyatakan bahwa setiap himpunan dasar terikat memiliki paling sedikit satu batas nilai. b) Teorma Heine-Borel. Teori ini menyatakn bahwa S merupakan sebuah himpunan terpadu masing-masingnya mengandung satu atau lebih himpunan A1, A2.....( yang kemudian dikatakan meliputi himpunan S tak terhingga). Kemudian akan terjadi sejumlah himpunan dasar A1, A2 yang meliputi S tak terhingga.

1.19 Soal-soal Operasi Dasar Bilangan Komplek 1. Selesaikanlah a) (3  2i )( 7  i ) b) ( 7  i )(3  2i ) c) (8  6i )  ( 2i  7 ) d) (5  3i)  (1  2i )  (7  5i )  e)

(5  3i)  (1  2i)  (7  5i)

f)

( 2  3i )( 4  2i )

g) ( 4  2i )( 2  3i) h) (2  i )(3  2i )(5  4i )  i) j)

(2  i)(3  2i)(5  4i) (1  2i)(7  5i )(3  4i ) 

3  2i k)  1  i

l)

5  5i 20  3  4i 4  3i

3i 10  i 19 m) 2i  1

3. Jika

=2+ ,

=3−2

=− +

√

,


93

Tentukan nilai masing-masing berikut ini. g) 3 z1  4 z 2 h) z13  3 z12  4 z1  8 i)

z 

j)

2 z 3  z1  5  i 2 z 3  z1  3  i

4

3

2









3. Buktikan bahwa (a). Re z = z  z 2 , (b). Im z = z  z 2i .

4. Buktikan jika hasil dari dua bilangan kompleks adalah 0 < 1 dari bilangan nol

2

5. Jika w = 3iz – z 2 dan x = x + iy, carilah w dari x dan y.

Representasi Grafis Bilangan Komplek 1. Nyatakan hasil operasi bilangan komplek berikut ini secara analitis dan grafis a.

( 2  i )  (i  3)

b.

(3i  1)  (3  2i)

c.

( 4  i )  ( 2  3i )  ( 2  9i)

2. Jika z 1 = 4 – 3i dan z 2 = -1 + 2i, buatlah grafik dan analitik:

(a).

z1  z 2

(b).

(b). z1  z 2

z1  z 2

(d). 2 z1  3z 2  2

3. Letak vektor dari titik A,B dan C dari segitiga ABC masing-masing diberi z 1 = 1 + 2i, z 2 = 4 - 2i dan z 3 = 1 – 6i. Buktikan bahwa ABC merupakan segitiga samakaki dan hitunglah panjang sisinya. 4. Misalkan z 1 ,z 2 , z 3 , z 4 ,letak vektor tegak lurus untuk segi empat ABCD. Buktikan bahwa

ABCD

adalah

sebuah

jajaran

genjang

jika

dan

hanya

jika

z1  z 2  z 3  z 4  0 5. Jika diagonal sebuah segi empat saling membagi dua,buktikan bahwa segi empat merupakan sebuah jajaran genjang. Analisis Variabel Komplek: Dwi Purnomo-

94

6. Buktikan bahwa median dari sebuah segitiga dihubungkan dalam satu titik. 7. Misalkan segi empat ABCD dan E,F,G,H titik tengah dari sisinya. Buktikan bahwa EFGH adalah sebuah jajaran genjang. 8. Dalam jajar genjang ABCD , titik E membagi dua sisi AD. Buktikan bahwa dimana titik BE dihubungkan dengan titik AC membagi AC. 9. Letak vektor dari titik A dan B berturut-turut adalah 2 + i dan 3 – 2i. (a). carilah sebuah persamaan garis AB. (b). carilah sebuah persamaan garis yang tegak lurus ke AB pada titik tengahnya. 10. Gambar dan grafik bentuk manakah yang ditunjukan di bawah ini: (a). z  i  2, (b). z  2i  x  2i  6, (c). z  3  z  3  4, (d). z( z  2)  3, (e).

 

Im z 2  4. 11. Carilah sebuah persamaan (a). sebuah lingkaran jari-jarinya 2 dengan titik pusat (3,4) , (b). panjang lingkaran dengan titik pusat pada (0,2) dan (0,-2) yang mana sumbu utama mempunyai panjang 10.

DAFTAR PUSTAKA

C.H Edwards, Jr and David Penney. 1982. Calculus and Analytic Geometry. New Jersey, USA: Prentice-Hall Inc Englewood. Edwin J. Purcell., Dale Varberg., Steven E. Rigdon., I Nyoman Susila (Ed.). 2007. Kalkulus. Jilid I Edisi IX. Jakarta: Erlangga. John B. Reade. 2003. Calculus with Complex Numbers. London, New York: Taylor and Francis Inc.


95

Louis Leithold, 1988. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik, Jidil I Edisi V (alih bahasa S.M Nababan dkk). Jakarta: Erlangga. . Murray R Spiegel. 1984. Transformasi Laplace, Seri Buku Schaum teori dan soal-soal. (terjemahan Pantur Silaban dan Hans Wospakrik). Jakarta: Erlangga. Murray R. Spiegel, 1981. Theory and Problems of Complex Variables with an Introduction to Comformal Mapping. Singapore: Mc Graw-Hill International Company,


96

M O D U L ANALISIS VARIABEL KOMPLEK

Recommend Documents