M AT E M AT I K A E K O N O M I
KALKULUS TURUNAN
TONI BAKHTIAR I N S T I T U T P E RTA N I A N B O G O R 2012
Statik Komparatif 2
Analisis perbandingan titik-titik kesetimbangan terhadap
perubahan nilai-nilai parameter dan variabel endogen. Model Supply-demand: Q D = a − bP
(a, b > 0)
Q S = −c + dP
(c, d > 0)
SPL di atas dapat diselesaikan dengan mudah sehingga diperoleh
P∗ =
a+c ad − bc , Q∗ = . b+d b+d
Analisis statik komparatif: Apa yang terjadi dengan P* dan Q*
jika terjadi perubahan pada a, b, c, dan d?
Statik Komparatif 3
Model Pendapatan Nasional Y = C + I 0 + G0 C = a + b(Y − T ) T = c + dY
(a > 0, 0 < b < 1) (c > 0, 0 < d < 1)
Parameter: a, b, c, d, variabel endogen: Y (pendapatan), C
(konsumsi), T (pajak). Diperoleh, misalnya: Y∗ =
a − bc + I 0 + G0 . 1 − b + bd
Analisis statik komparatif: Apa yang terjadi dengan Y* jika
terjadi perubahan pada G0, a, b, c, dan d?
Apa Itu Turunan? 4
Perhatikan sebuah apel yang
jatuh dari pohon yang sangat tinggi Hukum fisika menyatakan bahwa setelah t detik, apel berada pada posisi 16t2 kaki dari posisi awal. Berapa kecepatan apel setelah t detik? Berapa kecepatan apel pada saat t = 1, t = 2, t = 3, dst?
t=0 t=1 t=2
t=3
Kecepatan Rata-rata dan Kecepatan Sesaat 5
Posisi apel pada saat t ditentukan oleh S(t) = 16t2. Kecepatan rata-rata (average velocity) adalah:
Vrata-rata
jarak yang ditempuh ∆S = = . waktu yang diperlukan ∆t
Berapa kecepatan rata-rata: o dari t = 3 sampai t = 3.5 o dari t = 3 sampai t = 3.1 o dari t = 3 sampai t = 3.01 o dari t = 3 sampai t = 3.001 Berapa kecepatan sesaat pada t = 3?
Turunan dan Kecepatan Sesaat 6
Kecepatan sesaat pada t = 3 dapat dihitung sbb:
S (3 + ∆t ) − S (3) Vsesaat (3) = lim ∆t →0 ∆t 16(3 + ∆t ) 2 − 16 ⋅ 32 = lim ∆t →0 ∆t 16(6∆t + ∆t 2 ) = lim ∆t →0 ∆t = lim 16(6 + ∆t ) = 96 kaki/detik. ∆t →0
Tak lain adalah:
Vsesaat (3) = S '(3) = 32t |t =3 = 96.
Turunan dan Kecepatan Sesaat 7
Secara umum, turunan fungsi S = S(t) diberikan oleh:
S (t + ∆t ) − S (t ) S '(t ) = lim . ∆t → 0 ∆t
Garis Singgung dan Garis Potong 8
Garis singgung (tangent line) ialah garis lurus yang memotong
kurva di satu titik (disebut sbg titik singgung). Garis potong (secant line) ialah garis lurus yang memotong kurva di lebih dari satu titik
Turunan dan Garis Singgung 9
f(x + h)
f(x)
x
Slope garis potong: mGP =
x+h
∆y f ( x + h) − f ( x) = . ∆x h
Turunan dan Garis Singgung 10
Jika h semakin kecil, garis potong akan semakin dekat ke garis
singgung. f(x+h)
f(x)
x
x+h
Turunan dan Garis Singgung 11
Jika h semakin kecil, garis potong akan semakin dekat ke garis
singgung f(x+h)
f(x)
x x+h
Turunan dan Garis Singgung 12
Jika h semakin kecil, garis potong akan semakin dekat ke garis
singgung
f(x)
f(x+h)
x x+h
Turunan dan Garis Singgung 13
Slope garis singgung:
mGS = lim h →0
f ( x + h) − f ( x ) . h
Slope garis singgung = Turunan! Jadi,
f ( x + h) − f ( x ) f '( x) = lim . h →0 h
Notasi Turunan 14
f '( x)
“f aksen x” atau “f prime of x” Notasi ini sering digunakan karena sangat ringkas.
df dx
“df, dx” Notasi ini menekankan bahwa turunan merupakan laju perubahan x terhadap f.
∂f ∂x
“do f, do x” atau “partial f, partial x” Notasi ini mirip dengan df/dx. Digunakan jika f bergantung pada lebih dari satu variabel bebas (turunan parsial).
Kenapa Turunan Penting? 15
Laju perubahan merupakan konsep yang penting untuk
diketahui (analisis statik komparatif) Turunan dari cost function ialah marginal cost Turunan dari revenue function ialah marginal revenue Elastisitas Turunan menunjukkan naik/turunnya fungsi f ’(x) > 0: f(x) naik f ’(x) < 0: f(x) turun Yang terpenting: Pengoptimuman!
Aturan Pencarian Turunan 16
Aturan fungsi konstan Aturan fungsi pangkat Aturan fungsi pangkat yang diperumum Aturan tambah/kurang
Aturan Pencarian Turunan 17
Aturan hasil kali
Aturan hasil bagi
Contoh
Fungsi MR – Fungsi AR 18
Diberikan fungsi average revenue (AR) sbb:
AR = 15 − Q. Diperoleh fungsi revenue (R) dan fungsi marginal revenue (MR):
R = AR × Q = 15Q − Q 2 MR = 15 − 2Q. Secara umum, jika AR = f(Q), maka
R = f (Q)Q dR MR = = f '(Q)Q + f (Q). dQ
Fungsi MC – Fungsi AC 19
Fungsi biaya total (TC) dan fungsi biaya rata-rata (AC) diberikan
oleh: TC = C (Q) TC C (Q) AC = = . Q Q Laju perubahan AC terhadap Q diberikan oleh:
dAC d C (Q) C '(Q)Q − C (Q) = = dQ dQ Q Q2 1 C (Q) 1 = C '(Q) − = (MC − AC). Q Q Q
Aturan Rantai 20
Misalkan y = f(z) dan z = g(x) maka
dy dy dz = ⋅ dx dz dx Atau, jika y = f(g(x)) maka
y ' = f '( g ( x)) g '( x) Contoh
Turunan Parsial 21
Dalam turunan parsial, jika variabel xi berubah maka variabel-
variabel lain dianggap tetap (konstan) Contoh
Model Supply-Demand 22
Dari model supply-demand diperoleh
P∗ =
a+c ad − bc , Q∗ = . b+d b+d
Analisis statik komparatif:
∂P∗ ∂P∗ 1 = = > 0, ∂a ∂c b + d ∂P∗ ∂P∗ a+c = =− < 0. 2 ∂b ∂d (b + d ) Terhadap Q* dapat dilakukan analisis yang sama.
Model Supply-Demand 23
Model Pendapatan Nasional 24
Diperoleh tingkat pendapatan kesetimbangan
Y∗ =
a − bc + I 0 + G0 . 1 − b + bd
Government-expenditure multiplier: Nonincome-tax multiplier: Kenaikan income tax rate akan
menurunkan income kesetimbangan
∂Y ∗ 1 = > 0. ∂G0 1 − b + bd ∂Y ∗ −b = < 0. ∂c 1 − b + bd ∂Y ∗ −bY ∗ = < 0. ∂d 1 − b + bd
Elastisitas 25
Elastisitas: rasio persentase perubahan suatu variabel terhadap
persentase perubahan variabel lain. Digunakan untuk mengukur kepekaan (responsiveness) suatu fungsi terhadap perubahan parameternya tanpa ada satuan (unit-less). Misalkan diberikan fungsi y = f(x), elastisitas y terhadap x diberikan oleh %∆y ∆y / y ∆y / ∆x dy / dx fungsi marjinal ε yx = = = ≈ = . %∆x ∆x / x y/x y/x fungsi rata-rata
Elastisitas Permintaan 26
Diberikan fungsi permintaan Q = f(P). Elastisitas permintaan
(price elasticity of demand) mengukur persentase perubahan permintaan barang akibat perubahan harga sebesar 1%.
εD =
dQ / dP . Q/P
|εD| > 1 (elastis), |εD| < 1 (takelastis), |εD| = 1 (unit-elastis) Elastisitas penawaran (price elasticity of supply) didefinisikan
secara serupa Tentukan εD jika fungsi permintaan Q = 100 − 2P. Tentukan εS jika fungsi penawaran Q = P2 + 7P.
Turunan Total 27
Contoh:
MRTS 28
Diberikan fungsi produksi y = f(x1,x2). Kurva isokuan
menggambarkan kombinasi input yang menghasilkan tingkat output yang sama. Di sepanjang kurva isokuan berlaku dy = 0. Slope kurva isokuan dapat ditentukan dengan menentukan dy = 0:
dx2 ∂f / ∂x1 ∂f ∂f dy = dx1 + dx2 = 0 ⇔ =− . ∂x1 ∂x2 dx1 ∂f / ∂x2 Negatif dari slope disebut MRTS (marginal rate of technical
substitution) yang menggambarkan banyaknya input yang harus dikurangi akibat penambahan 1 unit input lain.
dx2 ∂f / ∂x1 MRTS = − = . dx1 ∂f / ∂x2
MRTS 29
Tentukan isokuan dari fungsi produksi Cobb-Douglas: α
y = βL K
1−α
.
Turunan Implisit 30
Turunan Implisit 31
Turunan Implisit 32
