M AT E M AT I K A E K O N O M I
MATRIKS DAN SPL
TONI BAKHTIAR I N S T I T U T P E RTA N I A N B O G O R 2012
Kesetimbangan Dua Pasar 2
Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga
teh (barang substitusi) Permintaan mobil bergantung pada harganya dan harga bensin (barang komplementer) Demikian juga dengan penawarannya. Model dua komoditas:
Q1D = a1 + b11 P1 + b12 P2 Q2D = a2 + b21 P1 + b22 P2 Q1S = α1 + β11 P1 + β12 P2 Q2S = α 2 + β 21 P1 + β 22 P2
Kesetimbangan Dua Pasar 3
Dalam kondisi kesetimbangan: D = S
(b11 − β11 ) P1 + (b12 − β12 ) P2 = α1 − a1 (b21 − β 21 ) P1 + (b22 − β 22 ) P2 = α 2 − a2 . Berapakah harga dan kuantitas kesetimbangan?
P1∗ , Q1∗ , P2∗ , Q2∗ ? Dalam notasi matriks: b11 − β11 b12 − β12 P1 α1 − a1 = . b − β b22 − β 22 P2 α 2 − a2 21 21
4
MATRIKS
Definisi Matriks 5 Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk pesegi panjang atau
bujursangkar. Ukuran atau ordo dari suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang membentuknya. Notasi: huruf kapital A, B, C, ... Contoh:
a11 a12 a21 a22 A= ⋮ ⋮ am1 am2
⋯ a1n ⋯ a2n ⋱ ⋮ ⋯ amn
aij = elemen matriks A yang terletak pada baris ke-i, kolom ke-j m×n = ukuran atau ordo matriks A Matriks yang hanya memiliki satu baris/kolom disebut vektor baris/kolom.
Beberapa Bentuk Matriks 6
Matriks segi (square matrix): Matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Elemen a11, a22, …, ann disebut elemen diagonal utama matriks A. Matriks segitiga atas (upper triangular matrix): Matriks segi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol. 1 2 3 1 0 3 1 2 1 2 0 3 , 0 0 , 0 4 5 , 0 0 5 0 0 6 0 0 0
Matriks segitiga bawah (lower triangular matrix): Matriks segi yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol. 1 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 3 2 , 3 −1 , 0 −4 0 , 0 8 0 5 0 1 9 0 0
Matriks Nol (null matrix): Matriks yang semua elemennya nol. Matriks identitas (identity matrix): Matriks yang semua elemen diagonal utamanya bernilai satu dan elemen lainnya bernilai nol. Notasi: I. 1 0 0 1 0 I2 = , I 3 = 0 1 0 0 1 0 0 1
Operasi pada Matriks 7
Penjumlahan dan Pengurangan Penjumlahan dan pengurangan pada matriks terdefinisi jika matriks-matriks yang terlibat memiliki ukuran sama: a 1 4 −c a + 4 1 − c −3 b + −1 x = −4 b + x . Operasi berikut tidak terdefinisi:
1 0 a 1 2 3 −2 5 − a b c , 2 + [ 0 0 1] 3
Operasi pada Matriks 8
Perkalian Perkalian skalar 1 2 −5 −10 −3 2 a −3k , k −5 = = 3 4 −15 −20 y 6 −c yk
2k 6k
ak −ck
Perkalian matriks AB terdefinisi jika banyaknya kolom A sama
dengan banyaknya baris B. Selain itu tidak terdefinisi. −1 2 1 a −a + 2b + c 1 2 5 6 7 21 24 7 b = 7 a − 4c , 7 0 4 = − 3 4 8 9 0 47 54 21 −2 −3 5 c −2a − 3b + 5c
Operasi pada Matriks 9 Sebuah perusahaan memproduksi 3 jenis output dan menggunakan 2 jenis input. Kuantitas output yang diproduksi Q dan harganya P diberikan sbb: 15000 Q = 27000 , P = [10 12 5] . 13000
Banyaknya input yang digunakan Z dan harganya W diberikan sbb:
11000 Z = , W = [ 20 8] . 30000 Keuntungan
π = PQ − WZ 15000 11000 = [10 12 5] 27000 − [ 20 8] 30000 13000 = 79000.
Sifat-sifat Operasi pada Matriks 10
Hukum penjumlahan dan perkalian skalar Misalkan A, B dan C adalah matriks-matriks yang berukuran sama dan k1, k2 adalah skalar, maka 1. (A + B) + C = A + (B + C) 2. A + (-A) = O 3. A + B = B + A 4. k1 (A + B) = k1 A + k1 B 5. (k1 + k2) A = k1 A + k2 A 6. (k1 k2) A = k1 (k2 A) 7. 0 A = O dengan O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.
Sifat-sifat Operasi pada Matriks 11
Hukum perkalian matriks Misalkan A, B dan C adalah matriks-matriks yang ukurannya sesuai sehingga perkalian matriks di bawah ini terdefinisi dan k adalah skalar, maka 1. Hukum Assosiatif (AB) C = A ( BC) 2. Hukum distributif kiri A (B + C) = AB + AC 3. Hukum distributif kanan (B + C) A = BA + CA Catatan: secara umum AB ≠ BA.
Transpos Matriks 12
Misalkan A=(aij) adalah matriks berukuran m×n. Putaran atau transpos dari
matriks A, ditulis AT, adalah matriks berukuran n×m yang didefinisikan sebagai berikut: a11 a AT = 21 ⋮ a m1
a12
⋯
a 22
⋯
⋮
⋱
am 2
⋯
T
a1n a11 a2 n a = 12 ⋮ ⋮ a mn a1n
Sifat matriks transpos: 1. (A + B)T = AT + BT 2. (AT)T = A 3. (k A)T= k AT , untuk suatu skalar k 4. (AB)T = BT AT
a 21
⋯
a 22
⋯
⋮
⋱
a2 n
⋯
a m1 am 2 ⋮ a mn
Transpos Matriks 13 Sebuah perusahaan memproduksi 3 jenis output dan menggunakan 2 jenis input. Kuantitas output yang diproduksi Q dan harganya P diberikan sbb: 15000 10 Q = 27000 , P = 12 . 13000 5
Banyaknya input yang digunakan Z dan harganya W diberikan sbb:
11000 20 Z = , W = 8 . 30000 Keuntungan
π = PT Q − W T Z 15000 11000 = [10 12 5] 27000 − [ 20 8] 30000 13000 = 79000.
Operasi Baris Dasar (OBD) 14
Tukarkan baris ke-i dan ke-j. Notasi: Eij Kalikan baris ke-i dengan suatu konstanta k ≠ 0. Notasi: Ei(k) Tambahkan baris ke-i dengan k kali baris ke-j. Notasi: Eij(k) Contoh: misalkan
1 2 A= 3 y Maka:
2 3 y 1 10 2 + 3 y E12 ( A) = E21 ( A) = , E2( −2) ( A) = , E12(3) ( A) = 1 2 − 6 − 2 y 3 y
Determinan Matriks 15
Determinan: fungsi yang memetakan suatu matriks segi ke sebuah bilangan
real. Notasi: det(A) atau |A|. Matriks berukuran 1 × 1: A = (a), |A| = a. Matriks berukuran 2 × 2: a b A= , c d
A = ad − bc.
Matriks berukuran 3 × 3:
a11 A = a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 , A = (a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a32 a21 ) − (a13 a22 a31 + a12 a21a33 + a11a32 a23 ) a33
Metode Sarrus 16
• Named after Pierre Frederic Sarrus (1798 – 1861), matematikawan Prancis. • Hanya berlaku untuk matriks berukuran 3 × 3.
(+) (−)
A = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13a32 a21 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a32 a23
Metode Minor-Kofaktor 17
Dapat digunakan menghitung determinan matriks segi berukuran berapa pun. Disebut juga metode penguraian Laplace (Laplace expansion). Misalkan A= (aij)n×n dan Aij adalah anak matriks A yang diperoleh dengan
menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Didefinisikan minor elemen aij , notasi Mij adalah Mij = |Aij| dan kofaktor elemen aij , notasi cij , adalah cij = (−1)i+j Mij .
Determinan matriks A ditentukan sbb: n
1. det( A) = ∑ aij cij , untuk sebarang baris i j =1 n
2. det( A) = ∑ aij cij , untuk sebarang kolom j. i =1
Metode Minor-Kofaktor 18
Hitung determinan matriks berikut:
1 2 3 A = 0 −3 2 . 1 5 −1 Pilih baris ke-1 Maka:
1 2 3 A = 0 −3 2 . 1 5 −1
A = a11c11 + a12 c12 + a13c13 1+1
= 1 ⋅ (−1)
−3
2
5
−1
1+ 2
+ 2 ⋅ (−1)
0
1 −1
= 1 ⋅1 ⋅ (−7) + 2 ⋅ (−1) ⋅ (−2) + 3 ⋅1 ⋅ 3 = −7 + 4 + 9 = 6.
2
1+ 3
+ 3 ⋅ (−1)
0 −3 1
5
Metode Minor-Kofaktor 19
Pilih baris ke-2:
1 2 3 A = 0 −3 2 . 1 5 −1
A = a21c21 + a22 c22 + a23c23 = 0 ⋅ (−1) 2+1
2 3 1 3 1 2 + (−3) ⋅ (−1) 2+ 2 + 2 ⋅ (−1) 2+3 5 −1 1 −1 1 5
= 0 + (−3) ⋅1 ⋅ (−4) + 2 ⋅ (−1) ⋅ 3 = 6. Pilih kolom ke-1:
1 2 3 A = 0 −3 2 . 1 5 −1
A = a11c11 + a21c21 + a31c31 = 1 ⋅ (−1)1+1
−3 2 2 3 2 3 + 0 ⋅ (−1) 2+1 + 1 ⋅ (−1)3+1 −3 2 5 −1 5 −1
= 1 ⋅1 ⋅ (−7) + 0 + 1 ⋅1 ⋅13 = 6.
Hint: Pilih baris/kolom yang banyak 0-nya.
Sifat-sifat Determinan 20
Sifat-sifat determinan 1. det(A) = det(AT). 2. Jika dua baris/kolom matriks A saling dipertukarkan sehingga didapat matriks B, maka det(B) = −det(A). Catatan: det(Eij(A)) = −det(A) 3. Jika suatu baris/kolom matriks A digandakan dengan suatu skalar k sehingga didapat matriks B, maka det(B) = k det(A) Catatan: det(Ei(k)(A)) = k det(A) det(kA) = kn det(A), A matriks n×n. 4. Jika suatu baris/kolom matriks A ditambah dengan k kali baris/kolom lainnya sehingga didapat matriks B, maka det(B) = det(A). Catatan: det(Eij(k)(A)) = det(A)
Sifat-sifat Determinan 21
5. Jika matriks A memiliki baris/kolom yang semua elemennya nol, maka det(A) = 0. 6. Jika ada baris/kolom matriks A yang merupakan kelipatan dari baris/kolom yang lain, maka det(A) = 0. 7. Jika A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah, maka determinan matriks A adalah perkalian elemen-elemen diagonal utamanya. 8. det(AB) = det(A).det(B)
Invers Matriks 22
Misalkan A matriks segi berordo n. Matriks A dikatakan matriks taksingular
atau mempunyai invers, jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA = In . Matriks B disebut invers matriks A. Notasi: B = A−1 (dibaca: invers matriks A) Untuk matriks berukuran 2 × 2: a b A= , c d
A− 1 =
1 A
d −b 1 d −b = −c a ad − bc −c a
Jika |A| = 0 maka A matriks singular, sehingga tidak memiliki invers. Sifat-sifat: Jika matriks A dan B adalah matriks-matriks taksingular, maka
a. (A −1) −1 = A b. (AB) −1 = B −1 A −1 c. (AT) −1 = (A −1)T
Metode Matriks Adjoin 23
Misalkan A = (aij) adalah matriks segi berordo n. Jika |A| ≠ 0 dan
matriks C = (cij), dengan cij adalah kofaktor elemen aij, maka invers matriks A adalah 1 T −1 A = C . A CT disebut matriks adjoint dari matriks A, kadang ditulis adj(A). Contoh: tentukan invers matriks berikut dengan metode matriks adjoin 1 2 3 A = 0 1 −1 1 2 1
Metode Matriks Adjoin 24
Kofaktor: c11 = (−1)1+1 c21 = (−1) 2+1 c31 = (−1)
3+1
1 −1 2
1
= 3, c12 = (−1)1+ 2
0 −1 1
1
= −1, c13 = (−1)1+3
0 1 1 2
= −1,
2 3 1 3 1 2 = 4, c22 = (−1)2+ 2 = −2, c23 = (−1)1+3 = 0, 2 1 1 1 1 2 2
3
1 −1
= −5, c32 = (−1)
3+ 2
1
3
0 −1
= 1, c33 = (−1)
3+ 3
Matriks kofaktor dan matriks adjoin:
3 −1 −1 3 4 −5 C = 4 −2 0 , C T = −1 −2 1 . −5 1 1 −1 0 1
1 2 0 1
=1
Metode Matriks Adjoin 25
Determinan: pilih baris ke-2
A = 0(4) + 1( −2) + (−1)0 = −2. Invers:
3 4 −5 − 32 1 T 1 −1 A = C = − −1 −2 1 = 12 A 2 −1 0 1 12
−2 1 0
− 12 . − 12 5 2
Metode Eliminasi Gauss 26
● Prosedur menentukan invers matriks A 1. Tuliskan matriks yang diperbesar (A|In). 2. Lakukan serangkaian operasi baris dasar (OBD) pada matriks (A|In) sehingga bagian kiri matriks tersebut berubah menjadi In , yaitu (In|P). 3. Tuliskan A−1 = P.
1 0 0 − 32 1 2 3 1 0 0 ( A | I ) = 0 1 −1 0 1 0 E ⋯ E 0 1 0 12 0 0 1 1 1 2 1 0 0 1 2
−2 52 1 − 12 = ( I | A−1 ) 0 − 12
27
Sistem Persamaan Linear
SPL
Bentuk SPL 28
Suatu persamaan dalam n variabel x1, x2, …, xn dikatakan linear bila dapat
dituliskan dalam bentuk
c1 x1 + c2 x2 + ⋯ + cn xn = k di mana c1, c2, …, cn dan k adalah konstanta-konstanta real. Sistem persamaan linear (SPL) yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah suatu sistem persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n xn = b2 ⋮ am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = bn di mana aij dan bi , i = 1, 2, .., n ; j = 1, 2,…, m adalah konstanta real, sedangkan xi, i = 1, 2, .., n merupakan variabel.
SPL dalam Notasi Matriks 29
SPL dalam notasi matriks:
a11 a12 ⋯ a1n a a ⋯ a 2n AX = B : 21 22 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a a ⋯ a m1 m2 mn
A
x1 b1 x2 = b2 ⋮ ⋮ xn bm
X
B
SPL dalam notasi matriks diperbesar (augmented matrix):
a11 a ( A | B) = 21 ⋮ am1
a12 a22 ⋮ am 2
⋯ a1n b1 ⋯ a2 n b2 ⋱ ⋮ ⋮ ⋯ amn bm
Jika B = 0 (vektor nol) maka SPL disebut homogen, jika tidak, takhomogen.
Solusi SPL 30
Solusi SPL AX = B yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah pasangan n bilangan (s1, s2, …, sn) yang memenuhi semua persamaan dalam SPL tersebut. Solusi (s1, s2, …, sn) berkorespondensi secara berurutan dengan (x1, x2, …, xn). Solusi SPL: tunggal, banyak, tidak ada. SPL yang memiliki solusi disebut konsisten, yang tidak tak-konsisten. SPL homogen selalu konsisten karena X = 0 selalu menjadi solusi dan disebut solusi trivial.
x 2 ⇒ = x− y =3 y −1 x + y =1
x + y =1 x a ⇒ = ,a∈ℝ 2x + 2 y = 2 y 1 − a
x + y =1 tidak ada ⇒ x+ y =3 solusi
Metode Grafik 31
Hanya efektif untuk SPL 2-persamaan, 2-variabel. SPL:
2 x + y = 10 −4 x + y = −8 y 10
Solusi:
y = 10 − 2 x
8
y = −8 + 4 x
6
solusi
4
2
0 0
1
2
3
4
5
6
x
Metode Substitusi 32
Hanya efektif untuk SPL 2-persamaan, 2-variabel. SPL 3×3 masih memungkinkan SPL:
Recommended for SPL 2× 2
2 x + y = 10 −4 x + y = −8
Tulis persamaan 1 menjadi y = 10 − 2x. Kemudian substitusikan ke persamaan
2 sehingga menjadi
−4 x + y = −8
2 x + y = 10
⇔ − 4 x + (10 − 2 x) = −8 ⇔ − 6 x = −18 ⇔
x = 3,
y = 4 (solusi)
−____________ 4 x + y = −8 _ 6x = 18 → x = 3
Metode Cramer 33
Named after Gabriel Cramer (1704 – 1752), matematikawan Swiss. Asumsi: dalam SPL AX = B, |A| ≠ 0. Solusi:
xi =
Ai A
.
Ai adalah matriks A yang kolom ke-i-nya diganti oleh vektor B. Bukti: lihat buku. Solusi Contoh: 10 1 2 10 2 x + y = 10 2 1 x 10 −8 1 18 −4 −8 24 = x = = = 3, y = = = 4. −4 x + y = −8 −4 1 y −8 2 1 2 1 6
−4 1
6
−4 1
Untuk SPL besar, menghitung determinan adalah pekerjaan sendiri.
Metode Matriks Invers 34
Asumsi: dalam SPL AX = B, |A| ≠ 0 (A taksingular atau A memiliki invers). Solusi:
−1
X = A B. Untuk SPL besar, mencari invers matriks adalah pekerjaan sendiri. Contoh:
2 x + y = 10 2 1 x 10 = −4 x + y = −8 −4 1 y −8 Solusi −1
x 2 1 10 16 = 2 X = = y −4 1 −8 3
− 16 10 3 = . 1 4 3 −8
Metode Eliminasi Gauss 35
Disebut juga Metode Penghapusan Dapat mendeteksi apakah SPL konsisten ataukah tidak. Dapat mendeteksi apakah SPL bersolusi tunggal ataukah banyak. Contoh:
2 x + y = 10 −4 x + y = −8 OBD terhadap matriks diperbesar: 2 1 10 2 1 10 E1(1/2) 1 12 5 0 1 4 . −4 1 −8 E21(2) 0 3 12 E 2(1/3) Dari baris kedua matriks terakhir diperoleh y = 4. Dari baris pertama diperoleh x + 0.5y = 5, sehingga x = 3.
Metode Eliminasi Gauss 36
SPL:
2 x1 + x3 = 30 4 x2 + x3 = 40 x1 − x2 + 4 x3 = 15
OBD terhadap matriks diperbesar:
2 0 1 30 1 −1 4 15 0 4 1 40 ⋯ 0 1 1 10 . 4 40 1 −1 4 15 0 0 1 15 Matriks terakhir disebut matriks eselon baris tereduksi (reduced row-echelon
matrix). Dari baris ke-3 diperoleh x3 = 40/15. Dari baris ke-2 diperoleh x2 + 0.25x3 = 10, sehingga x2 = 140/15. Dari baris ke-1 diperoleh x1 + 0.5x3 = 15, sehingga x1 = 205/15.
Aplikasi Sehari-hari 37
PT AGB akan mengadakan pelatihan komputer bagi para
eksekutif. Untuk itu mereka memerlukan 7 buah komputer super dengan perincian 2 buah komputer berbasis Windows dan 5 komputer berbasis Linux. Pengadaan komputer akan dilakukan dengan membeli 3 komputer baru dan 4 sisanya cukup dengan menyewa. Harga beli komputer berbasis Windows adalah Rp30 juta per unit dan harga sewanya Rp20 juta per unit. Harga beli komputer berbasis Linux adalah Rp30 juta per unit dan harga sewanya Rp10 juta per unit. PT AGB memiliki anggaran sebesar Rp130 juta untuk keperluan ini. Berapa banyak komputer Windows dan Linux yang harus dibeli dan disewa?
Aplikasi Sehari-hari 38
Aplikasi: Kesetimbangan Dua Pasar 39
Model:
b11 − β11 b12 − β12 P1 α1 − a1 = . b − β b22 − β 22 P2 α 2 − a2 21 21
Solusi (dengan Metode Cramer):
α1 − a1 α −a P1∗ = 2 2 b11 − β11 b21 − β 21 b11 − β11 P2∗ =
b21 − β 21 b11 − β11 b21 − β 21
b12 − β12 b22 − β 22 (α1 − a1 )(b22 − β 22 ) − (b12 − β12 )(α 2 − a2 ) = , b12 − β12 (b11 − β11 )(b22 − β 22 ) − (b12 − β12 )(b21 − β 21 ) b22 − β 22
α1 − a1 α 2 − a2 (b11 − β11 )(α 2 − a2 ) − (α1 − a1 )(b21 − β 21 ) = . b12 − β12 (b11 − β11 )(b22 − β 22 ) − (b12 − β12 )(b21 − β 21 ) b22 − β 22
Model Pendapatan Nasional 40
Model pendapatan nasional:
Y = C + I 0 + G0 , C = a + bY , dengan Y : C : I0 : G0 : a : b :
pendapatan nasional (endogen) pengeluaran untuk konsumsi (endogen) tingkat investasi (eksogen) belanja pemerintah (eksogen) autonomous consumption expenditure (a > 0) marginal propensity to consume (0 < b < 1)
Tingkat kesetimbangan: Y* dan C*?
Model Pendapatan Nasional 41
SPL dapat ditulis sbb:
Y − C = I 0 + G0 −bY + C = a Dalam notasi matriks:
1 −1 Y I 0 + G0 −b 1 C = a . Solusi:
I 0 + G0 + a b( I 0 + G0 ) + a ∗ Y = , C = . 1− b 1− b ∗
Model IS-LM 42
IS: Investment-Saving, LM: Liquidity preference-Money supply. Model IS-LM: model makroekonomi yang secara grafis menunjukkan
hubungan antara suku bunga dan output riil di pasar barang dan di pasar uang. Persamaan di pasar barang: Y =C + I +G C = a + b(1 − t )Y I = d − eR
Variabel endogen: Y, C, I, R (suku bunga) Variabel eksogen: G0 Parameter: a, b, d, e, t
G = G0 . Persamaan di pasar uang:
Money demand : M D = kY − lR Money supply : M S = M 0 Kesetimbangan : M D = M S .
Variabel endogen: Y, R Variabel eksogen: M0 Parameter: k, l
Model IS-LM 43
SPL:
Y − C − I = G0 b(1 − t )Y − C = − a I + eR = d kY − lR = M 0
−1 −1 0 Y G0 1 b(1 − t ) −1 0 0 C − a = 0 0 I e I d k 0 0 − l R M 0
Ukuran SPL dapat direduksi:
Y = C + I +G
⇔
(1 − b(1 − t ))Y + eR = a + d + G0
M 0 = kY − lR
⇔
kY − lR = M 0
1 − b(1 − t ) e Y a + d + G0 = M k l R − 0
Model Input-Output Leontief 44
Model IO memandang perekonomian sebagai sejumlah sektor industri yang
saling berinteraksi. Output suatu industri digunakan sebagai input industri yang lain (intermediate good) sekaligus konsumsi akhir (final demand). Masalah: menentukan tingkat produksi yang memenuhi permintaan industri dan konsumen. Misalkan xi dan di (i = 1,2,...,n) adalah (nilai uang dari) tingkat produksi dan tingkat permintaan industri ke-i. Definisikan:
x1 d1 x d 2 X = , xi ≥ 0, D = 2 , di ≥ 0. ⋮ ⋮ x n dn
Model Input-Output Leontief 45
Misalkan aij (nilai uang dari) banyaknya barang industri ke-i yang diperlukan
oleh sektor industri ke-j untuk memproduksi 1 unit barang. Definisikan a11 a A = 21 ⋮ an1
a12 a22 ⋮ an 2
⋯ a1n ⋯ a2 n . ⋱ ⋮ ⋯ ann
Total output industri ke-i yang diperlukan oleh seluruh industri:
∑
n
a x j = ai1 x1 + ai 2 x2 + ⋯ + ain xn .
j =1 ij
Total output seluruh industri:
a11 a AX = 21 ⋮ an1
a12 a22 ⋮ an 2
⋯ a1n x1 ⋯ a2 n x2 . ⋱ ⋮ ⋮ ⋯ ann xn
Model Input-Output Leontief 46
Dengan mempertimbangkan final demand sektor konsumsi:
xi = ∑ j =1 aij x j + di . n
Atau
X = AX + D ⇔ ( I − A) X = D ⇔
X = ( I − A) −1 D.
Pangkat Matriks dan Kekonsistenan SPL (optional) 47
Definisi: misalkan A matriks berordo m×n. Pangkat atau rank matriks A, notasi
r(A), didefinisikan sebagai: o ordo terbesar anak matriks A yang determinannya tidak nol. o banyaknya baris/kolom A yang bebas linear. o banyaknya baris taknol pada matriks eselon A. Contoh: 0 1 14 0 4 1 A = 2 6 2 ∼ 0 1 114 → r ( A) = 2. 0 −11 −4 0 0 0
1 2 1 2 B = −2 −4 ∼ 0 0 → r ( B) = 1. −1 −2 0 0
Pangkat Matriks dan Kekonsistenan SPL (optional) 48
Sistem persamaan linear AX = B, dengan A matriks berordo m×n,
konsisten jika dan hanya jika r(A) = r(A|B). Jika SPL konsisten dan 1. r(A) = n, maka SPL memiliki solusi tunggal. 2. r(A) < n, maka SPL memiliki takhingga banyak solusi. Jika r(A) ≠ r(A|B) maka SPL tak-konsisten (tidak memiliki solusi). Contoh:
Pangkat Matriks dan Kekonsistenan SPL (optional) 49
OBD terhadap matriks diperbesar:
Misalkan β = −2 maka 1 2 1 0 r ( A) = 2 → SPL tak-konsisten. ( A | B) ∼ 0 −2 4 2 → r ( A | B) = 3 0 0 0 −4
Misalkan β = 1 maka 1 2 1 0 r ( A) = 3 SPL punya ( A | B) ∼ 0 1 4 2 → → solusi tunggal. r ( A | B) = 3 0 0 −3 −1
Pangkat Matriks dan Kekonsistenan SPL (optional) 50
Misalkan β = 2 maka 1 2 1 0 r ( A) = 2 < 3 SPL punya ( A | B) ∼ 0 2 4 2 → → r ( A | B) = 2 < 3 banyak solusi. 0 0 0 0
