Lokální závislost na konečně mnoha souřadnicích

Universita Karlova Fakulta matematicko-fyzikální

Lokální závislost na konečně mnoha souřadnicích Jakub Šolc Diplomová práce

Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Václav Zizler, DrSc. Matematický ústav AV ČR

Praha, prosinec 1999

Prohlášení

Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně a uvedl v ní veškerou použitou literaturu. Svoluji k zapůjčení diplomové práce ke studijním účelům.

V Praze 17. prosince 1999

Jakub Šolc

Poděkování

Děkuji vedoucímu diplomové práce dr. Václavu Zizlerovi za hodnotné náměty, cenné rady i připomínky.

Předmluva

V této diplomové práci jsou zkoumány Banachovy prostory, na kterých existuje spojitá funkce s omezeným neprázdným nosičem, která lokálně závisí na konečně mnoha souřadnicích. Jsou řešeny i odvozené otázky. Pozornost je věnována zvláště topologii duálu takového prostoru. První kapitola obsahuje souhrn základních pojmů a používaných nástrojů. V druhé kapitole je definována lokální závislost na konečně mnoha souřadnicích. Je zde podáno i několik příkladů. Na prostoru, který připouští existenci takových funkcí, je zkoumána separabilita duálu prostoru a separabilita obrazu subdiferenciálního zobrazení. Třetí kapitola přináší jisté zobecnění druhé kapitoly — lokální závislost na reflexivním separabilním podprostoru duálu. Ve čtvrté kapitole se ukazuje, že „reflexivníÿ závislost je obecnější vlastnost než „konečnáÿ závislost. Řeší se zde otázka, zda je prostor nasycen c0 , pokud připouští existenci funkce s některou z těchto vlastností. Pátá kapitola ilustruje, co se týče velikosti duálu, jistou paralelu mezi existencí funkce s omezeným nosičem, která je Gˆateaux diferencovatelná, a funkcí, která je lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích, resp. na reflexivním prostoru. Šestá kapitola popisuje chování funkcí na ne-Asplundově prostoru. Ukazuje se, že funkce mají jisté vlastnosti společné s harmonickými funkcemi. V sedmé kapitole se vyšetřuje, jaké požadavky musí prostor splňovat, aby na něm existovaly funkce lokálně závislé na konečně mnoha souřadnicích. Dokazuje se, že jednou z postačujících podmínek je existence Talagrandova operátoru.

4

Obsah

Předmluva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Obsah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. Lokální závislost na konečně mnoha souřadnicích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. Lokální závislost na reflexivním separabilním prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4. Nasycenost c0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5. Densita duálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6. Harmonické chování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 7. Talagrandův operátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 8. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5

1. Úvod

V této práci se užívá značení obvyklého v teorii Banachových prostorů. Banachovým prostorem se vždy bude rozumět prostor nad tělesem reálných čísel R. Uzavřená jednotková koule v prostoru (X, k · k) je značena BX , jednotková sféra SX . Je-li funkce na Banachově prostoru f : X −→ R ∪ {∞}, pak dom(f ) je množina {z; f (z) < ∞}. Dolní anihilátor množiny B ⊂ X ∗ znamená množinu B⊥ = {x ∈ X; ∀x∗ ∈ B : x∗ (x) = 0}, horní anihilátor množiny A ⊂ X je A⊥ = {x∗ ∈ X ∗ ; ∀x ∈ A : x∗ (x) = 0}. Často budeme využívat pojem subdiferenciálu. Zde je jeho definice. Definice 1.1. Je-li konvexní funkce f definována na konvexní podmnožině C Banachova prostoru X a je-li x ∈ C, pak subdiferenciálem ∂f (x) v tomto bodě nazveme množinu všech funkcionálů x∗ ∈ X ∗ , které splňují nerovnost x∗ (y − x) ≤ f (y) − f (x)

pro všechna y ∈ C.

Množinou C bude v této práci vždy celý prostor X. Symbolem ∂f (X) rozumíme obraz množiny X při tomto zobrazení, tj. [ ∂f (X) = ∂f (x). x∈X

Stejného symbolu ∂ se užívá i pro hranici množiny, z kontextu vždy jasně vyplyne, o který pojem se jedná. Definice 1.2. Jestliže (X, k · k) je normovaný lineární prostor, množinu B ⊂ SX ∗ nazveme Jamesovou hranicí, pokud pro každé x ∈ SX existuje x∗ ∈ B, pro které x∗ (x) = 1. Ukažme si tvrzení, které je velmi užitečné a pro tuto práci přímo klíčové. Dává totiž dobrý prostředek k hledání bodu, ve kterém se funkce příliš „neodchylujeÿ od nějakého zadaného lineárního funkcionálu. Viz např. [Ph 3.13], [DGZ I.2.4]. Tvrzení 1.3 (Ekeland). Nechť f je zdola polospojitá funkce z Banachova prostoru X do reálných čísel rozšířených o {∞} taková, že je zdola omezená a dom(f ) 6= ∅. Předpokládejme, že ε > 0 a že f (x0 ) ≤ inf{f (x); x ∈ X} + ε. Pak pro každé λ > 0 existuje bod z ∈ dom(f ) takový, že (i) λkz − x0 k ≤ f (x0 ) − f (z) (ii) kz − x0 k ≤ ε/λ (iii) λkx − zk + f (x) > f (z) pro x 6= z. Z tohoto tvrzení budeme nejčastěji využívat (iii). Všimněme si, že nezávisí na volbě ε. Body (i) a (ii) upřesňují polohu hledaného z. K důkazu budeme potřebovat následující definici a lemma. 6

Definice 1.4. Pro λ ∈ R, 0 < λ < 1 definujme uzavřený konvexní kužel v Banachově prostoru X Kλ = {(x, r) ∈ X × R; λkxk ≤ −r} . Poznámka 1.5. Je zřejmé, že pro takové kužely platí Kλ = Kλ + Kλ . Lemma 1.6. Předpokládejme, že A je uzavřená neprázdná podmnožina Banachova prostoru X × R taková, že inf{r; (x, r) ∈ A} = 0. Potom pro každé λ ∈ R, 0 < λ < 1 a každý bod (x0 , r0 ) ∈ A existuje bod (x, r) ∈ A splňující (x, r) ∈ A ∩ [Kλ + (x0 , r0 )]

(1)

{(x, r)} = A ∩ [Kλ + (x, r)] .

(2)

a také

Důkaz lemmatu 1.6: Definujme projekci R : X × R −→ R, která vrací druhou složku, tj. R(x, r) = r. Označme A0 = A ∩ [Kλ + (x0 , r0 )] . Množina A0 je neprázdná — obsahuje například prvek (x0 , r0 ). Vyberme z A0 takový prvek (x1 , r1 ), že pro r1 platí r1 < inf R(A0 ) + 1. Z vlastností infima plyne, že takový prvek (x1 , r1 ) existuje. Induktivně vytvoříme členy posloupností množin {An } a bodů {(xn , rn )} pro n ∈ N předpisy An = A ∩ [Kλ + (xn , rn )] , rn+1 < inf R(An ) +

1 , n+1

(xn+1 , rn+1 ) ∈ An . Dokažme, že pro každé n ∈ N platí (a) An+1 ⊂ An

a

(b) diam An → 0.

Platnost (a) je vidět z inkluze Kλ + (xn+1 , rn+1 ) ⊂ Kλ + [Kλ + (xn , rn )] = Kλ + (xn , rn ), zprůnikujeme-li obě strany s množinou A. Dokažme nyní (b). Volme (y, s) ∈ An , chceme ukázat, že 1 1 + . (3) ky − xn k + |s − rn | ≤ nλ n 7

Platí |rn − s| < 1/n, neboť s ≤ rn a s ≥ inf R(An ) ≥ inf R(An−1 ) > rn − 1/n. Protože (y, s) ∈ An ⊂ Kλ +(xn , rn ), pro první člen v (3) platí λky −xn k ≤ rn −s < 1/n, takže celkově |rn − s| < 1/n a ky − xn k < 1/nλ, čímž je (3) dokázána. Protože A i Kλ jsou uzavřené, všechny množiny Ai jsou také uzavřené. Banachův prostor T je úplný metrický prostor, můžeme tedy použít Cantorovu větu, která praví, že průnik An je jednobodová množina. Označme tento bod (x, r). Protože (x, r) ∈ A0 , požadavek (1) z lemmatu je splněn. Ukázat splnění druhého požadavku též není obtížné: Pro každé n ∈ N Kλ + (x, r) ⊂ Kλ + [Kλ + (xn , rn )] = Kλ + (xn , rn ), takže pokud (y, s) ∈ A ∩ [Kλ + (x, r)], pak (y, s) musí být v An pro všechna n ∈ N, tedy je (y, s) = (x, r). Důkaz tvrzení 1.3: Bez újmy na obecnosti můžeme přepokládat, že inf E f = 0, takže podle předpokladů tvrzení máme f (x0 ) ≤ ε. Přenormujme X novou ekvivalentní normou |||x||| = 2λkxk a použijme lemma 1.6 na kužel K = K1/2 a množinu A = {(x, s) ∈ X × R; s ≥ f (x)} . Podle předpokladů tvrzení je tato množina uzavřená. Tím získáme bod (z, r) v X × R, pro který
(z, r) ∈ A ∩ [K + x0 , f (x0 ) ] (4) a

{(z, r)} = A ∩ [K + (z, r)]

(5)

Ze (z, r) ∈ A plyne 0 ≤ f (z) ≤ r < ∞ a ze (4) plyne λkz − x0 k ≤ f (x0 ) − r ≤ f (x0 ) − f (z) ≤ f (x0 ) ≤ ε, což ukazuje, že podmínky (i) a (ii) jsou splněny. Podmínka (iii) je zřejmá v případě, kdy f (x) = ∞.
Prokažme její platnost v obecném případě. Pokud f (z) < r, potom
(z, r) 6= z, f (z) , takže z (5) plyne, že z, f (z) není v K +(z, r), což je spor s f (z) < r, protože kužel
se rozevírá dolů. Tedy r = f (z). Opět podle (5) jestliže f (x) < ∞ a x 6= z, pak x, f (x) není v K + (z, r), čili podle definice kužele λkx − zk > r − f (x) = f (z) − f (x),

což bylo dokázati.

8

2. Lokální závislost na konečně mnoha souřadnicích

Definice 2.1. Nechť X je Banachův prostor. Spojitá funkce ϕ : G −→ R definovaná na G ⊂ X je lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích, jestliže pro každé x0 ∈ G existuje Ux0 ⊂ G okolí x0 , existuje nxo ∈ N, existují funkcionály n o g1x0 , g2x0 , . . . , gnx0xo ⊂ X ∗ a reálná funkce ψ ∈ C(Rnxo ) taková, že pro každé x ∈ Ux0 platí ϕ(x) = ψ



g1x0 (x),

g2x0 (x),

... ,

gnx0xo (x)



.

Pro normu k · k definujeme, že lokálně závisí na konečně mnoha souřadnicích kromě počátku, jestliže pro každé x0 ∈ SX existuje Ux0 ⊂ X okolí x0 , existuje nxo ∈ N, existují funkcionály n o g1x0 , g2x0 , . . . , gnx0x

0

⊂ X∗

a reálná funkce ψ ∈ C(Rnxo ) taková, že pro každé x ∈ Ux0 platí   kxk = ψ g1x0 (x), g2x0 (x), . . . , gnx0xo (x) . Poznámka 2.2. Lze snadno nahlédnout, že pokud máme dvě funkce ϕ1 a ϕ2 , obě lokálně závislé na konečně mnoha souřadnicích, jejich součet nebo jejich maximum bude mít také tuto vlastnost: Pokrytí systémy otevřených množin, na kterých jsou funkce ϕ1 a ϕ2 popsány konečně mnoha funkcionály, mají totiž společné zjemnění. Na tomto zjemnění můžeme příslušné konečné množiny funkcionálů sjednotit a tak získat pokrytí a konečné množiny funkcionálů pro funkci ϕ1 + ϕ2 nebo max{ϕ1 , ϕ2 }. Rovněž je zřejmé, že je-li F : R −→ R reálná funkce, pak složená funkce F (ϕ1 ) je lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích. Použitím omezené vnější funkce F tedy lze získat omezenou funkci při zachování lokální závislosti na konečně mnoha souřadnicích. Nyní si ukažme, že funkce lokálně závislé na konečně mnoha souřadnicích opravdu existují. Příklad 1. Funkce na c0 .  1 Uvažme pokrytí c0 množinami U = y; ky − xk < kxk pro všechna x ∈ c0 \ {0} a x 3  1 v počátku množinou U0 = y; kyk < 3 ε pro nějaké zvolené ε > 0. Ke každému x ∈ c0 , x 6= 0 vyberme množinu indexů   1 Ix = i; |x(ei )| > kxk . 3 9

a definujme funkce ψx : Ux −→ R takto: ψx (y) = max {ε, max {|y(ei )|; i ∈ Ix }} , kde množina Ix je pro všechna x 6= 0 konečná, protože limi→∞ |x(ei )| = 0. Pro y ∈ U0 je kyk < 31 ε < ε, takže ψ0 (y) = ε pro všechna y ∈ U0 a množinu I0 můžeme volit prázdnou. Nyní je potřeba ukázat, že všechny funkce ψy definované v nějakém bodě x mají v tomto bodě stejnou hodnotu. Z toho pak vyplyne, že existuje nějaká funkce ϕ : c0 −→ R, pro kterou ϕ(x) = ψy (x), je-li x ∈ Uy a y ∈ c0 . Ukažme tedy, že ψy (x) = ψx (x) pro všechna x ∈ Uy ∩ Ux . Pišme y jako x + δ. Protože x ∈ Uy , velikost kδk lze odhadnout v závislosti na kxk takto: kδk <

1 1 max{kyk, ε} ≤ max{kxk + kδk, ε}, 3 3

po odečtení 31 kδk od každé strany a vynásobení kδk <

3 2

dostáváme

1 1 max{kxk, ε − kδk} ≤ max{kxk, ε}. 2 2

Také 31 kyk lze odhadnout: kxk kδk kxk kyk ≤ + ≤ + max 3 3 3 3



ε kxk , 6 6



≤

1 max {ε, kxk} . 2

Pro maxima platí max A ≥ max B pokud A ⊃ B. Do maxim též můžeme přidávat další členy, jestliže jsou bezpečně menší než původní. Proto platí následující odhady  max{ε, kxk} = max ε, max {|x(ei )|; i ∈ N} ≥    kyk = ψy (x) ≥ ≥ max ε, max |x(ei )|; |x(ei )| > 3    max {ε, kxk} ≥ ≥ max ε, max |x(ei )|; |x(ei )| > 2    (6) max {ε, kxk} ≥ max ε, max |x(ei )|; |x(ei )| > , 2   max {ε, kxk} ≥ max |x(ei )|; |x(ei )| ≤ 2 ≥ max {ε, max {|x(ei )|; i ∈ N}} = max {ε, kxk} . Poněvadž v (6) nastává rovnost, pro libovolná y1 a y2 a pro x ∈ Uy1 ∩ Uy2 je ψy1 (x) = max {ε, kxk} = ψy2 (x). Můžeme tedy definovat funkci ϕ : X −→ R, ϕ(x) = max{ε, kxk}. Tato funkce je lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích, protože na okolí každého bodu x ji lze lokálně popsat funkcí ψx a konečnou množinou souřadnicových funkcionálů {e∗i ; i ∈ Ix }. 10

Příklad 2. Potřebujeme-li vyrobit funkci na omezeném nosiči, definujme například Φ(x) = max{0, 1 − ϕ(x) + ε}. Z rovnosti (6) totiž plyne, že funkce Φ má neprázdný omezený nosič supp Φ = {x ∈ X; kxk ≤ 1 − ε}. Ovšem ne na každém Banachově prostoru existuje funkce lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích, kterou lze takto vhodně „seříznoutÿ. Příklad 3. Funkce na `1 . Uvažme funkci Ψ = ϕ|`1 , kde ϕ je funkce z příkladu 1. Tato funkce je rovněž lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích, ale na jednotkové kouli normy `1 nabývá libovolně malých hodnot, takže množina vznikající „seříznutímÿ {x ∈ X; Ψ(x) < ε} je neomezená. Funkci s omezeným nosičem na `1 tedy tímto způsobem vyrobit nelze. Že na některých prostorech takové funkce opravdu neexistují, ukazuje následující tvrzení (viz [FZ]). Tvrzení 2.3 (Fabian, Zizler). Nechť X je separabilní Banachův prostor a nechť existuje ϕ : X −→ R spojitá funkce na omezeném neprázdném nosiči, která je lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích. Potom X ∗ je separabilní prostor. Předpoklad existence funkce s omezeným nosičem lze oslabit v tom smyslu, že, zhruba řečeno, předpokládáme omezenost nosiče jen v určitých směrech, což je formulováno pomocí „převrácené hodnotyÿ funkce, která je zdola omezená nějakou konvexní funkcí. V případě předešlého tvrzení tato konvexní funkce roste v každém směru k nekonečnu, což v obecném případě nemusí. Tvrzení 2.4. Nechť X je separabilní Banachův prostor, f je konvexní funkce na X, ϕ je spojitá funkce lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích a nechť platí ϕ ≥ f . Potom ∂f (X) je separabilní. Důkaz: Pro každý bod x ∈ X máme z definice lokální závislosti otevřenou množinu Ux , pro kterou x ∈ Ux . Systém těchto množin je pokrytí X. Protože X je separabilní, podle Lindelöfovy vlastnosti můžeme z každého pokrytí otevřenými množinami vybrat spočetné podpokrytí. Nechť {Uxn }∞ n=1 je takové podpokrytí. Označme pro každé n ∈ N konečnou množinu funkcionálů z lokální závislosti Gn = {g1xn , g2xn , . . . , gnxnxn } a sjednoťme G=

∞ [

n=1

11

Gn .

Pak funkce ϕ lokálně závisí na konečně mnoha funkcionálech, které můžeme volit ze spočetného systému G. Volme libovolně h ∈ ∂f (X). Ukážeme, že libovolně blízko k h se nalézá nějaký funkcionál z G, tedy pro nějaké předem volené ε > 0 existuje e h ∈ G, pro který dist (e h, h) < ε.

Ukažme, že funkce ϕ − h je zdola omezená: Protože h ∈ ∂f (X), znamená to, že existuje nějaké x0 ∈ X, pro které h ∈ ∂f (x0 ). Podle definice 1.1 subdiferenciálu ∂f (x0 ) pro všechna x z X platí f (x) ≥ h(x − x0 ) + f (x0 ). Funkce ϕ je majorantou funkce f , platí tedy pro každé x ∈ X (ϕ − h)(x) ≥ (f − h)(x) = f (x) − h(x0 ) − h(x − x0 ) ≥ ≥ h(x − x0 ) + f (x0 ) − h(x0 ) − h(x − x0 ) = (f − h)(x0 ), čili ϕ − h je zdola omezena na X hodnotou (f − h)(x0 ). Funkce ϕ − h je i zdola polospojitá, můžeme tedy použít Ekelandův variační princip 1.3. Podle něj existuje x1 ∈ X takové, že (ϕ − h)(x) ≥ (ϕ − h)(x1 ) − εkx − x1 k

(7)

pro všechna x ∈ X. Bod x1 je pokryt některou množinou spočetného pokrytí, řekněme Uxn . Z definice lokální závislosti funkce ϕ na konečně mnoha souřadnicích pro množinu Uxn lze získat množinu funkcionálů {g1 , g2 , . . . , gk } ⊂ G a funkci ψ ∈ C(Rk ). Buď W = {x ∈ X; g1 (x) = g2 (x) = . . . = gn (x) = 0} = span{g1 , g2 , . . . , gk }⊥ . Volme δ > 0 takové, aby B(x1 , δ) ⊂ Uxn . Potom pro každé w ∈ W, kwk < δ máme
ϕ(x1 + w) − ϕ(x1 ) = ψ g1 (x1 + w), g2 (x1 + w), . . . , gk (x1 + w) −ϕ(x1 )
= ψ g1 (x1 ) + g1 (w), g2 (x1 ) + g2 (w), . . . , gk (x1 ) + gk (w) −ϕ(x1 )
= ψ g1 (x1 ), g2 (x1 ), . . . , gk (x1 ) −ϕ(x1 ) = ϕ(x1 ) − ϕ(x1 ) = 0.

Nerovnost (7) můžeme upravit na h(x) ≤ ϕ(x) − (ϕ − h)(x1 ) + εkx − x1 k 12

Tato nerovnost platí pro každé x ∈ X, tedy i pro x = x1 + w, kde w ∈ W, kwk < δ. Dále tedy dostáváme h(w) = h(x1 + w) − h(x1 ) ≤ ϕ(x1 + w) − ϕ(x1 ) + εkwk = εkwk.

(8)

Nechť h0 je restrikce h na W . Potom z (8) plyne, že kh0 k ≤ ε v normě prostoru W ∗ . Buď h normu zachovávající Hahn-Banachovské rozšíření h0 na X. Označme e h = h − h. Pro libovolné w ∈ W platí e h(w) = h(w) − h(w) = 0, tedy e h ∈ W ⊥. Podle věty o bipoláře W ⊥ = (span{g1 , g2 , . . . , gk }⊥ )⊥ = span{g1 , g2 , . . . , gk }

w∗

= span{g1 , g2 , . . . , gk }

protože konečně rozměrné podprostory X ∗ jsou w∗ -uzavřené. Konečně, protože e h ∈ W ⊥ ⊂ G, platí

dist (h, span G) ≤ dist (h, e h) = kh − e hk = khk ≤ ε.

Tedy ∂f (X) ⊂ span G, span G je separabilní, z čehož plyne, že ∂f (X) je separabilní. Platí následující tvrzení (viz [T]). Tvrzení 2.5 (Tang). Nechť X je separabilní Banachův prostor a f je lipschitzovská konvexní funkce definovaná na X. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní. (i) Množina ∂f (X) je separabilní. (ii) Pro ∂f existuje selektor s takový, že s(X) = {s(x); x ∈ X} je separabilní. (iii) Pro funkci f existuje spojitě Fréchet diferencovatelná majoranta ϕ, tj. ϕ ≥ f na X. (iv) Funkce f může být na X stejnoměrně aproximována Fréchet diferencovatelnými funkcemi. (v) Pokud h je konvexní funkce na X taková, že h ≤ f na X, pak h je Fréchet diferencovatelná na Gδ husté podmnožině X. Implikace (iii) ⇒ (i) ⇒ (v) platí dokonce i bez předpokladu lipschitzovskosti konvexní funkce f . Kombinací tvrzení 2.4 s implikací (i) ⇒ (v) v tvrzení Wee-Kee Tanga dostáváme tento zajímavý důsledek: Důsledek 2.6. Nechť X je separabilní Banachův prostor a ϕ nechť je spojitá funkce lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích. Potom pro každou konvexní funkci h splňující h ≤ ϕ na X platí, že h je Fréchet diferencovatelná na Gδ husté podmnožině X. 13

3. Lokální závislost na reflexivním separabilním prostoru

V této kapitole poněkud zobecníme vlastnost lokální závislosti na konečně mnoha souřadnicích. V důkazu tvrzení 2.4 jsme využili fakt, že konečně rozměrný podprostor Banachova prostoru je w∗ -uzavřený. Reflexivní separabilní prostory jsou také w∗ -uzavřené, proto definujeme lokální závislost na reflexivním separabilním prostoru. Definice 3.1. Spojitá funkce ϕ na Banachově prostoru X je lokálně závislá na separabilním reflexivním podprostoru X ∗ , jestliže pro každé x0 ∈ X existuje Uxo ⊂ X okolí x0 , reflexivní separabilní prostor Zxo ⊂ X ∗ a existuje spojitá funkce ψxo : X|Zxo ⊥ −→ R taková, že pro každé x ∈ Uxo platí ϕ(x) = ψxo (b x). Poznámka 3.2. Každý konečně rozměrný prostor je zároveň reflexivní i separabilní. Je tedy zřejmé, že je-li nějaká funkce lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích, bude i lokálně závislá na reflexivním separabilním prostoru. Následující tvrzení zobecňuje tvrzení 2.3. Tvrzení 3.3. Nechť X je separabilní Banachův prostor a nechť existuje ϕ : X −→ R spojitá funkce s omezeným neprázdným nosičem, která je lokálně závislá na reflexivním separabilním podprostoru X ∗ . Potom X ∗ je separabilní prostor. Důkaz: Pro každý x ∈ X získáme z definice lokální závislosti otevřenou množinu Ux , ve které leží bod x. Systém těchto množin je pokrytí X. Protože X je separabilní, podle Lindelöfovy vlastnosti můžeme z každého pokrytí otevřenými množinami vybrat spočetné podpokrytí. Nechť {Un ; n ∈ N} je takové podpokrytí. Označme ϕn příslušnou funkci a Zn ⊂ X ∗ příslušný separabilní reflexivní prostor. Definujme funkci Ψ : X −→ R ∪ {∞} takto:  −2 ϕ (x) pro x : ϕ(x) 6= 0 Ψ(x) = ∞ pro x : ϕ(x) = 0. Funkce Ψ je zdola polospojitá taková, že {x ∈ X; Ψ(x) < ∞} je neprázdná otevřená množina, a navíc je zdola omezená nulou. Je zřejmé, že je-li ϕ lokálně závislá na reflexivním separabilním prostoru, bude taková i Ψ (viz poznámka 2.2). Volme libovolně g ∈ X ∗ a ε > 0. Naším cílem bude najít takovou spočetnou množinu G, že pro libovolnou volbu g ∈ X ∗ bude existovat funkcionál h ∈ G splňující kg − hk < 2ε. 14

Z Ekelandova variačního principu 1.3 použitého na funkci Ψ − g plyne, že existuje xe ∈ X takové, že (Ψ − g)(x) ≥ (Ψ − g)(xe ) − εkx − xe k (9) pro všechna x ∈ X. Po označení x = xe + z pro z ∈ X můžeme (9) upravit na Ψ(xe + z) − Ψ(xe ) + εkzk ≥ g(xe + z) − g(xe )

(10)

Bod xe je pokryt množinou Un pro nějaké n ∈ N. Dále známe z definice lokální závislosti reflexivní separabilní Banachův prostor Zn a funkci ψn splňující Ψ(x) = ψn (b x) = ψn (xd + z)

pro libovolná x ∈ Un a z ∈ Zn ⊥ . Buď

W = Zn ⊥ = {x ∈ X; x∗ (x) = 0 ∀x∗ ∈ Zn }. Můžeme se omezit na případ, kdy je W netriviální. Kdyby tomu tak nebylo, podle věty o w∗ bipoláře (Zn⊥ )⊥ = Zn . Dále si všimněme, že v reflexivním prostoru Zn⊥ = π(Zn ⊥ ), kde π je kanonické vnoření Zn do Zn∗∗ . Reflexivní prostor je w∗ -uzavřený, čili po ztotožnění Zn a Zn∗∗ prostřednictvím π (Zn ⊥ )⊥ = π



π −1 (Zn ⊥ )


 w∗ ⊥ Z = (Z ) = ⊥ n = Zn . n ⊥

Kdyby W = Zn ⊥ = {0}, pak by {0}⊥ = Zn , ale {0}⊥ = X ∗ . Tedy X ∗ = Zn . Protože X ∗ je stejně jako Zn separabilní, je tvrzení již dokázáno. Volme δ > 0 tak, aby B(xe , δ) ⊂ Un . Potom pro každé w ∈ W, kwk < δ je Ψ(xe + w) − Ψ(xe ) = ψn (xd xe ) = ψn (c xe ) − ψn (c xe ) = 0. e+w) − ψn (c Vzhledem k předchozí rovnosti z (10) dostáváme: g(w) = g(xe + w) − g(xe ) − Ψ(xe + w) + Ψ(xe ) ≤ εkwk.

(11)

Nechť g0 je restrikce g na W . Potom z (11) plyne kg0 k ≤ ε v normě prostoru W ∗ . Buď g normu zachovávající Hahn-Banachovské rozšíření g0 z W na X. Označme ge = g − g. Protože g vzniklo jako rozšíření g0 , je ge(w) = 0 pro w ∈ W , tedy podle věty o bipoláře ge ∈ W ⊥ = Zn . 15

Každý z prostorů Zk pro k ∈ N je separabilní, řekněme, že má spočetnou hustou podmnožinu Gk . Množina ∞ [ Gk G= k=1

je též spočetná; je to spočetné sjednocení spočetných množin. Protože G obsahuje i Gn , která je hustá v Zn , existuje h ∈ G, pro které ke g − hk < ε. Je tedy g − hk < ε + ε = 2ε kg − hk = kg − e g+e g − hk = kg + ge − hk ≤ kgk + ke a platí X ∗ ⊂ G, což znamená, že X ∗ je separabilní. Důsledek 3.4. Nechť na Banachově prostoru X existuje ϕ : X −→ R spojitá funkce na omezeném neprázdném nosiči, která je lokálně závislá na reflexivním separabilním podprostoru X ∗ . Potom X je Asplundův prostor. Důkaz: Buď Y libovolný separabilní podprostor X. Beze ztráty obecnosti můžeme předpokládat, že 0 ∈ supp ϕ. Pak ϕ|Y je spojitá funkce na neprázdném omezeném nosiči. Je-li Z ⊂ X ∗ reflexivní separabilní prostor, Z ∩ Y ∗ je též reflexivní separabilní. Pokud v definici závislosti nahradíme h ∈ Z funkcionály h|Y ∈ Z ∩ Y ∗ , není těžké nahlédnout, že funkce ϕ|Y je lokálně závislá na reflexivním separabilním podprostoru Y ∗ . Potom podle tvrzení Y ∗ je separabilní. Má-li každý separabilní podprostor X separabilní duál, je X Asplundův prostor. Poznámka 3.5. Tento důsledek samozřejmě ve speciálním případě platí i pro funkce lokálně závislé na konečně mnoha souřadnicích. Tvrzení 3.6. Nechť X je separabilní Banachův prostor, f je konvexní funkce na X, nechť existuje taková spojitá funkce ϕ, že ϕ ≥ f a ϕ je lokálně závislá na reflexivním separabilním podprostoru X ∗ . Potom ∂f (X) je separabilní. Důkaz: Je obdobný důkazu tvrzení 3.3. Pro každý x ∈ X získáme z definice lokální závislosti otevřenou množinu Ux , ve které leží bod x. Systém těchto množin je pokrytí X. Protože X je separabilní, podle Lindelöfovy vlastnosti můžeme z každého pokrytí otevřenými množinami vybrat spočetné podpokrytí. Nechť {Un ; n ∈ N} je takové podpokrytí. Označme ψn příslušnou funkci a Zn ⊂ X ∗ separabilní reflexivní prostor. Volme g ∈ ∂f (X) a ε > 0. Ukážeme, že g lze vždy dobře aproximovat prvkem z nějaké spočetné množiny. Protože g ∈ ∂f (X), existuje x0 ∈ X takové, že g ∈ ∂f (x0 ). Funkce f − g má lokální minimum v bodě x0 , neboť 0 ∈ ∂(f − g)(x0 ) a podle definice subdiferenciálu 1.1 platí 16

pro každé x ∈ X (f − g)(x) − (f − g)(xo ) ≥ 0. Podle předpokladu pro každé x ∈ X platí ϕ(x) ≥ f (x), čili ϕ(x) − g(x) ≥ f (x) − g(x) ≥ (f − g)(x0 ) a funkce ϕ − g je tedy zdola omezená. Protože ϕ − g je i zdola polospojitá, jsou splněny předpoklady Ekelandova variačního principu pro funkci ϕ − g. Jeho použitím získáme xe ∈ X takové, že (ϕ − g)(x) ≥ (ϕ − g)(xe ) − εkx − xe k pro všechna x ∈ X, čili po úpravě (g − ϕ)(x) − (g − ϕ)(xe ) ≤ εkx − xe k a po označení x = xe + z pro z ∈ X g(xe + z) − ϕ(xe + z) − g(xe ) + ϕ(xe ) ≤ εkzk.

(12)

Existuje nějaké n ∈ N, pro které je bod xe pokryt množinou Un . K tomuto Un zároveň známe i příslušnou funkci ψn a prostor Zn . Buď W = Zn ⊥ = {x ∈ X; x∗ (x) = 0

∀x∗ ∈ Zn }

Beze ztráty obecnosti můžeme považovat W za netriviální. V případě nulového W platí tvrzení okamžitě, jak je ukázáno v důkazu tvrzení 3.3. Volme δ > 0 takové, aby B(xe , δ) ⊂ Un . Potom pro každé w ∈ W, kwk < δ je ϕ(xe + w) − ϕ(xe ) = ψn (xd xe ) = ψn (c xe ) − ψn (c xe ) = 0. e+w) − ψn (c Vzhledem k předchozí rovnosti z (12) dostáváme: g(w) = g(xe + w) − g(xe ) − ϕ(xe + w) + ϕ(xe ) ≤ εkwk.

(13)

Nechť g0 je restrikce g na W . Potom z (13) plyne kg0 k ≤ ε v normě prostoru W ∗ . Buď g normu zachovávající Hahn-Banachovské rozšíření g0 na X. Označme ge = g − g. Protože g vzniklo jako rozšíření g0 , je ge(w) = 0 pro w ∈ W , tedy podle věty o bipoláře ge ∈ W ⊥ = Zn . 17

Každý z prostorů Zk pro k ∈ N je separabilní, řekněme, že má spočetnou hustou podmnožinu Gk . Množina ∞ [ Gk G= k=1

je též spočetná; je to spočetné sjednocení spočetných množin. Protože G obsahuje i Gn , která je hustá v Zn , existuje h ∈ G, pro které ke g − hk < ε. Je tedy g − hk < ε + ε = 2ε kg − hk = kg − e g+e g − hk = kg + ge − hk ≤ kgk + ke a platí ∂f (X) ⊂ G, což znamená, že ∂f (X) je separabilní.

18

4. Nasycenost c0

Tvrzení 4.1. Nechť X je nekonečně dimensionální Banachův prostor, nechť ϕ : X −→ R je spojitá funkce s omezeným neprázdným nosičem, která je lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích. Pak X je nasycen c0 , tj. každý nekonečně dimensionální podprostor X obsahuje isomorfní vnoření c0 . Důkaz: Probíhá podle [DGZ V.2.5]. Splňuje-li funkce ϕ předpoklady tvrzení, splňuje je též její restrikce na nekonečně dimensionální podprostor. Stačí tedy dokázat, že X obsahuje isomorfní kopii c0 . Nejdříve sestrojme spojitou funkci f , která má následující vlastnosti: (i) f (0) = 0 (ii) f (x) = 1 pro x 6∈ BX (iii) f (x) = f (−x) pro x ∈ X (iv) f lokálně závisí na konečně mnoha souřadnicích. Předpokládejme, že supp ϕ ⊂ BX a že ϕ(0) 6= 0. Není-li tomu tak, existuje x0 ∈ X takové, že ϕ(x0 ) 6= 0. Transformací
ϕ1 (x) = ϕ x0 + M x , kde M = diam supp ϕ obdržíme funkci ϕ1 , která tento předpoklad splňuje. Nyní zaveďme funkci f : X −→ R f (x) =

2ϕ2 (0) − ϕ2 (x) − ϕ2 (−x)
. ϕ2 (0) 2 + ϕ2 (x) + ϕ2 (−x)

Tato funkce lokálně závisí na konečně mnoha souřadnicích a má i ostatní požadované vlastnosti, jak se můžeme dosazením snadno přesvědčit. Platí následující tvrzení (viz kompaktní variační princip, [DGZ, V.2.2]). Tvrzení 4.2. Nechť X je Banachův prostor, který neobsahuje izomorfní vnoření c0 . Nechť U je omezená otevřená symetrická množina v X obsahující počátek a f spojitá reálná funkce na U taková, že f (0) ≤ 0,

f (x) = f (−x) pro všechna x ∈ U

a f (x) > 0 pro všechna x ∈ ∂U, potom existuje kompaktní symetrická množina K ⊂ U a symetrické okolí počátku V s následujícími vlastnostmi: (i) K + V ⊂ U 19

(ii) supk∈K f (k) = 0 (iii) supk∈K f (x + k) > 0 pro všechna x ∈ V , x 6= 0. Budeme předpokládat, že c0 6⊂ X, a z použití uvedeného tvrzení vyvodíme spor. Volíme-li U = {x ∈ X; f (x) 6= 1}, sestrojená funkce splňuje předpoklady tohoto tvrzení. Existuje tedy kompaktní symetrická množina K a δ0 > 0 takové, že pokud V = Int B(0, δ0 ), pak pro x ∈ V , x 6= 0 máme supk∈K f (x+k) > 0, zatímco supk∈K f (k) = 0. Protože funkce f je lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích, v každém bodě k ∈ K máme nějaké δk > 0, nk ∈ N, konečnou množinu funkcionálů {f1k , f2k , . . . , fnkk } ⊂ X ∗ a spojitou funkci ϕk na Rnk takovou, že pro každé x ∈ Int B(k, δk ) platí
f (x) = ϕk f1k (x), f2k (x), . . . , fnkk (x) . Protože K je kompaktní, z tohoto pokrytí K množinami Int B(k, δk /2) můžeme vybrat konečné pokrytí množinami Int B(ki , δki /2) pro i = 1, . . . , n. Sjednotíme-li konečné množiny Fki funkcionálů z definice lokální závislosti, získáme konečnou množinu F =

n [

Fki ,

i=1

která generuje konečně rozměrný prostor. Protože X je nekonečně rozměrný, F⊥ = {x ∈ X; fj (x) = 0 pro všechna fj ∈ F } je netriviální. Označme δ =

1 2

min{δ0 , δk1 , δk2 , . . . , δkn } a volme

x0 ∈ F⊥ takové, že 0 < kx0 k < δ. Protože K je pokryto okolími Int B(ki , δki /2), existuje pro každé k ∈ K nějaké i ∈ {1, 2, . . . , n}, pro které kk − ki k < δki /2. Proto když x ∈ Int B(k, δ), bude kx − ki k ≤ kx − kk + kk − ki k < δ + δki /2 ≤ δki . Pro x ∈ Int B(k, δ) je funkce f závislá na konečně mnoha funkcionálech:   ki ki ki f (x) = ϕki f1 (x), f2 (x), . . . , fnk (x) . i

Toto platí speciálně i pro x = k + x0 ∈ Int B(k, δ). Připomeňme, že x0 ∈ F⊥ . Funkce f ve směru udaném x0 zůstává konstantní:   f (k + x0 ) = ϕki f1ki (k + x0 ), . . . , fnkki (k + x0 ) i   ki = ϕki f1 (k), . . . , fnkki (k) = f (k). i

20

Protože rovnost platí pro libovolné k ∈ K, dostáváme sup f (x0 + k) = sup f (k) = 0.

k∈K

k∈K

Ale podle použitého kompaktního variačního principu je též sup f (x + k) > 0 pro všechna x ∈ Int B(0, δ), x 6= 0, k∈K

což je spor, který dokazuje tvrzení. Nemůžeme očekávat, že by podobné tvrzení mohlo platit i pro lokální závislost na reflexivním separabilním podprostoru duálu. Zde je protipříklad: Příklad 4. Na prostoru `2 definujme funkci Φ : `2 −→ R takto: Φ(x) = max {0, 1 − kxk`2 } . Lze se přesvědčit, že Φ je spojitá funkce lokálně závislá na reflexivním separabilním podprostoru duálu (Celý duál je sám o sobě reflexivní i separabilní). Funkce Φ má omezený nosič supp Φ = B`2 . Ale `2 neobsahuje c0 , natož aby jimi byla nasycena, jak by pravilo hypotetické tvrzení. To ukazuje, že vlastnost lokální závislosti na reflexivním separabilním prostoru není ekvivalentní lokální závislosti na konečně mnoha souřadnicích.

21

5. Densita duálu

Tato kapitola ukazuje jistou analogii mezi Gˆateaux diferencovatelností a lokální závislostí na konečně mnoha souřadnicích, resp. na reflexivním prostoru. Definice 5.1. Nechť X je normovaný lineární prostor. Densitou prostoru X dens(X) budeme rozumět kardinalitu nejmenší husté podmnožiny X. Poznámka 5.2. V 2. kapitole jsme dokázali, že platí tvrzení, které lze pomocí density formulovat takto: Je-li X separabilní a existuje na něm spojitá funkce lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích s omezeným neprázdným nosičem, pak platí dens(X ∗ ) ≤ dens(X). Ukážeme, jaký je vztah mezi těmito prostory, pokud prostor X připouští existenci Gˆateaux diferencovatelné funkce na omezeném neprázdném nosiči. Tvrzení 5.3 (Kadec). Pokud je norma Banachova prostoru X Gˆateaux hladká, pak dens(X ∗ ) ≤ card(X).

Důkaz: Je obsažen například v [AL]. Můžeme se omezit na případ, kdy X je nekonečně rozměrný. Zobrazení ∂k · k : SX −→ exp(X ∗ ) zobrazuje bod na jednobodovou množinu, kardinalita obrazu se tedy proto nezvětší. Máme-li funkcionál f ∈ SX ∗ , který nabývá své normy v bodě x ∈ SX , pak je f = ∂k · k(x), protože vzhledem k hladkosti normy podle Šmulyanova lemmatu v každém bodě jednotkové sféry existuje nejvíce jeden opěrný funkcionál. Obraz ∂k · k(X) tedy obsahuje všechny funkcionály jednotkové sféry X ∗ , které nabývají své normy. Podle Bishop-Phelpsovy věty jsou tyto funkcionály husté v SX ∗ . Platí tedy dens(X ∗ ) ≤ dens(∂k · k(X)) ≤ card(∂k · k(X)) ≤ card(X).

Podobně lze popsat densitu duálu i pomocí Gˆateaux hladké funkce s omezeným neprázdným nosičem na X: 22

Tvrzení 5.4. Nechť X je Banachův prostor a nechť ψ : X −→ R je Gˆateaux diferencovatelná funkce na neprázdném omezeném nosiči. Potom dens(X ∗ ) ≤ card(X). Důkaz: Označme S = {x ∈ X; ψ(x) 6= 0}. Definujme funkci Ψ : X −→ R ∪ {∞} takto:  ψ −2 (x) pro x ∈ S Ψ(x) = ∞ pro x ∈ / S. Tím jsme z funkce na neprázdném omezeném nosiči vyrobili zdola polospojitou funkci zdola omezenou, ovšem Gˆateaux hladkost na S zůstala zachována: Derivujeme-li funkci Ψ ve směru h ∈ SX , dostáváme ψ −2 (x + th) − ψ −2 (x) Ψ(x + th) − Ψ(x) = lim = t→0 t→0 t t lim

ψ(x) − ψ(x + th) ψ(x + th) + ψ(x) 2ψ 0 (x)(h) · 2 = − t→0 t ψ (x)ψ 2 (x + th) ψ 3 (x)

= lim

Protože Ψ je Gˆateaux hladká, je ∂Ψ(x) vždy jednobodová. Platí tedy card X ≥ card S ≥ card ∂Ψ(S). Nyní potřebujeme dokázat, že ∂Ψ(S) je hustá množina v X ∗ . Buď tedy f libovolný funkcionál z X ∗ a ε > 0. Podle Ekelandova variačního principu 1.3 pro funkci Ψ − f existuje takové xe ∈ S, že pro každé x ∈ X platí (Ψ − f )(x) ≥ (Ψ − f )(xe ) − εkx − xe k. Při označení x = xe + th pro reálné t a h ∈ SX Ψ(xe + th) − Ψ(xe ) ≥ f (xe + th) − f (xe ) − εtkhk f (h) Ψ(xe + th) − Ψ(xe ) ≥ −ε tkhk khk Ψ(xe + th) − Ψ(xe ) . t Protože Ψ je Gˆateaux hladká, pro t → 0 existuje limita pravé strany. ε ≥ f (h) −

ε ≥ f (h) − ∂Ψ(xe )(h) Uvedená nerovnost platí pro všechna h ∈ SX , takže bude platit i pro supremum k∂Ψ(xe ) − f k ≤ ε. 23

Vidíme, že ∂Ψ(S) je hustá množina v X ∗ , a proto dens(X ∗ ) ≤ card ∂Ψ(S) ≤ card(S) ≤ card(X).

Vraťme se ještě k lokální závislosti na reflexivním separabilním prostoru. Pozměňme poněkud definici 3.1 tak, že vynecháme požadavek separability a maximální densitu všech reflexivních prostorů, na kterých funkce závisí, označíme α. Nová definice tedy zní: Definice 5.5. Spojitá funkce ϕ na Banachově prostoru X je lokálně závislá na reflexivních podprostorech s maximální densitou α, jestliže pro každé x0 ∈ X existuje Ux0 ⊂ X okolí x0 , reflexivní prostor Zx0 ⊂ X ∗ splňující dens(Zx0 ) ≤ α a existuje spojitá funkce ψx0 : X|Zxo ⊥ −→ R taková, že pro každé x ∈ Ux0 platí ϕ(x) = ψx0 (b x). Potom můžeme formulovat tvrzení: Tvrzení 5.6. Nechť X je Banachův prostor a nechť na něm existuje ϕ : X −→ R spojitá funkce s omezeným neprázdným nosičem, která je lokálně závislá na reflexivních podprostorech s maximální densitou α. Potom pro densitu duálu platí dens(X ∗ ) ≤ α card(X). Důkaz: až na drobné změny sleduje důkaz tvrzení 3.3, proto uvádím pouze odlišnosti. Prostor X obecně nemusí být lindelöfovský, proto uvažujeme pokrytí X množinami  Uxβ β≤card(X) ,

tj. okolími každého bodu xβ ∈ X, na kterých platí závislost na reflexivním prostoru. Tento systém okolí má mohutnost nejvýše card(X). Postupem uvedeným v důkazu 3.3 k libovolnému g ∈ X ∗ a ε > 0 najdeme reflexivní prostor Zβ ⊂ X ∗ a ge ∈ Zβ , pro které kg − e g k < ε.

Z každého prostoru Zγ ⊂ X ∗ , γ ≤ card(X), můžeme vybrat hustou podmnožinu Gγ mohutnosti nejvýše α. Potom v Gβ existuje prvek h, který je dostatečně blízko k ge. Pro již dané ε > 0 je tedy ke g − hk < ε. 24

Celkově tedy platí

přičemž

kg − hk = kg − ge + ge − hk ≤ kg − e g k + ke g − hk < ε + ε = 2ε, h∈

[

Gγ .

γ≤card(X)

Je tedy X∗ ⊂

[

Gγ ,

γ≤card(X)

čili pro densitu dens(X ∗ ) ≤ α · card(X).

Poznámka 5.7. Toto tvrzení platí ve speciálním případě i pro lokální závislost na konečně mnoha souřadnicích. Potom α = ℵ0 < card(X), čili dostáváme dens(X ∗ ) ≤ card(X). Jak se ukazuje v tvrzeních 5.4 a 5.6, jestliže na X existuje spojitá funkce s omezeným neprázdným nosičem, pro densitu duálu platí stejný vztah bez ohledu na to, zda je ona funkce Gˆateaux hladká nebo lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích. Poznámka 5.8. Podobným způsobem lze modifikovat i tvrzení 3.6 a obdržet tak výsledek pro densitu ∂f (X), je-li konvexní f majorizována nějakou funkcí lokálně závislou na reflexivních prostorech duálu s maximální densitou α.

25

6. Harmonické chování

Tvrzení 6.1. Nechť X je Banachův prostor, který není Asplundův. Nechť U je omezená otevřená množina a f : U −→ R je spojitá funkce lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích. Pak funkce f |U uvnitř U je jednoznačně určena funkcí f |∂U v bodech hranice U . Důkaz: Předpokládejme, že f1 a f2 jsou funkce, pro které platí f1 (x) = f2 (x)

pro každé x ∈ ∂U.

Sestrojíme funkci ϕ : X −→ R: ϕ(x) =



f1 (x) − f2 (x) pro x ∈ U 0 pro x 6∈ U

Tato funkce je spojitá, je lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích a má omezený nosič. Pokud X není Asplundův, přichází v úvahu pouze jediná taková funkce, a to identicky nulová. To ovšem znamená, že f1 (x) = f2 (x)

pro x ∈ U ,

čímž je tvrzení dokázáno. Buď nyní U otevřená množina a nechť pro spojitou funkci ϕ : X −→ R existuje funkce ψ ∈ C(Rn ) a funkcionály fi ∈ X ∗ , i = 1, . . . , n tak, že platí ϕ(x) = ψ (f1 (x), . . . , fn (x)) . Jestliže má funkce ψ totální diferenciál v bodě [f1 (x), . . . , fn (x)], tak je Fréchetova derivace ϕ0 (x) kompaktní operátor. Pokud ϕ bude funkce lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích a bude Fréchet diferencovatelná, pak pro ni lze použít tvrzení (viz [DGZ I.1.3]): Tvrzení 6.2. Nechť X je Banachův prostor, který není Asplundův, a nechť Y je libovolný Banachův prostor. Buď U omezená otevřená podmnožina X a buď ϕ : U −→ Y spojité zobrazení, které je Fréchet diferencovatelné v každém bodě U . Pokud je pro každé x ∈ U Fréchetova derivace ϕ0 (x)
kompaktní operátor z X do Y , pak ϕ(∂U ) je v normové topologii Y husté ve ϕ U . Požadavek Fréchet diferencovatelnosti funkce lokálně závislé na konečně mnoha souřadnicích je možné odstranit. Nejdříve si připravme jednoduché, ale zajímavé lemma.

Lemma 6.3. Nechť X je Banachův prostor, který není Asplundův. Nechť U je otevřená množina a nechť ϕ : U −→ R je spojitá funkce lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích. Pak pro každé α ∈ R je každá komponenta G souvislosti množiny {x ∈ U ; ϕ(x) < α} 26

prázdná, neomezená, nebo G ∩ ∂U 6= ∅. Důkaz: Předpokládejme, že G je neprázdná omezená komponenta souvislosti množiny {x ∈ U; ϕ(x) < α} a že G ⊂ U . Definujme funkci f : X −→ R   max{0, ϕ(x) − α} pro x ∈ G f (x) = 0 pro x ∈ U \ G .  0 pro x ∈ X \ U

Pak f je spojitá funkce lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích a s neprázdným nosičem. Protože však X není Asplundův prostor, takové funkce na něm nemohou existovat. To je spor, který dokazuje tvrzení. Tvrzení 6.4. Nechť X je Banachův prostor, který není Asplundův. Nechť U je omezená otevřená množina a f : U −→ R je spojitá funkce lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích. Pak platí
ϕ(∂U ) = ϕ U . Důkaz: Nechť a je libovolný prvek množiny U . Ukážeme, že pro každé ε ∈ R, ε > 0, existuje bod b ∈ ∂U , pro který |ϕ(b) − ϕ(a)| < ε. Jestliže je funkce ϕ lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích, podle poznámky 2.2 bude mít stejnou vlastnost i funkce |ϕ(x) − ϕ(a)|. Uvažme množinu {x ∈ U ; |ϕ(x) − ϕ(a)| < ε}. Tato množina není prázdná; obsahuje totiž bod a. Nechť G je komponenta souvislosti, která obsahuje bod a. Pro G platí předešlé lemma 6.3. Protože množina U je omezená, zbývá pouze možnost, že G ∩ ∂U 6= ∅, tedy musí existovat hledaný b ∈ ∂U , pro nějž platí |ϕ(b) − ϕ(a)| < ε. Tím je tvrzení dokázáno. Poznámka 6.5. Mohlo by se zdát, že jemnou modifikací důkazu by se podařilo dokázat ϕ(∂U ) = ϕ(U ), kdybychom na ∂U vytvářeli pro ε & 0 do sebe vnořené uzavřené množiny Un = {x ∈ ∂U ; |ϕ(x) − ϕ(a)| ≤ ε} a nakonec vzali jejich průnik. Tento průnik však může být prázdný, protože nemusí být diam Un → 0. Například uzavřené intervaly hn, ∞) mají prázdný průnik v R a něco podobného se může stát na jednotkové sféře. Zda tedy platí ϕ(∂U ) = ϕ(U ), zůstává otevřeným problémem. 27

7. Talagrandův operátor

V této kapitole ukážeme podmínky, za jakých na Banachově prostoru vždy existuje nějaká ekvivalentní norma, která je mimo počátek lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích. Postupem uvedeným v příkladu 2 lze z takové normy vždy „seříznutímÿ vyrobit funkci na neprázdném omezeném nosiči. Definice 7.1. Nechť X je podprostor `∞ (L). Operátor T : X −→ c0 (L) je Talagrandův operátor, jestliže pro každé x ∈ SX existuje f ∈ L takové, že |x(f )| = 1

a

(T x)(f ) 6= 0.

Příklad 5. Banachův prostor se spočetnou Jamesovou hranicí J. Nechť J = {bi ; i ∈ N}. Definujme Talagrandův operátor (T x)(i) =

bi (x) i

pro i ∈ N.

Potom existuje pro každé x ∈ SX nějaký funkcionál bn , který nabývá v x své normy, protože J je Jamesova hranice, a (T x)(n) =

bn (x) 6= 0. n

Příklad 6. Uvažme množinu L = [0, ω1 ) a prostor {f ∈ C([0, ω1 )); lim f (α) = 0}. α→ω1

Pro funkci f ∈ C([0, ω1 )) definujme Talagrandův operátor (T f )(α) = f (α + 1) − f (α)

pro α < ω1 .

Pokud kf k > 0, vzhledem k tomu, že lim f (α) = 0 a f je spojitá, má množina α→ω1

{α; |f (α)| = kf k, α < ω1 } svůj největší prvek β. Pro ten musí platit (T f )(β) = f (β + 1) − f (β) 6= 0. Lemma 7.2. Nechť L je Jamesova hranice Banachova prostoru X. Potom je X isometricky isomorfně vnořen do `∞ (L). 28

Důkaz: Definujme operátor A : X −→ `∞ (L) (Ax)(f ) = f (x)

pro f ∈ L.

Je zřejmé, že A je isomorfismus. Je-li L Jamesova hranice, pro dané x ∈ X existuje f0 ∈ L; f0 (x) = kxk. Pak nastává rovnost v kxk = sup |f (x)| ≥ sup |f (x)| ≥ |f0 (x)| = kxk f ∈BX ∗

f ∈L

a protože supf ∈L |f (x)| = kAxk`∞ (L) , je A isometrie. Tvrzení 7.3. Nechť L je Jamesova hranice Banachova prostoru X ⊂ `∞ (L) a nechť T : X −→ c0 (L) je Talagrandův operátor. Potom na X existuje ekvivalentní norma, která mimo počátek lokálně závisí na konečně mnoha souřadnicích. Důkaz: Definujme novou normu následujícím předpisem  |||x||| = sup |x(f )| + |(T x)(f )|

(14)

f ∈L

Nejdříve ukážeme, že je k · k kromě počátku lokálně závislá na konečně mnoha souřadnicích. Volme libovolně x ∈ X. Talagrandův operátor nám zaručuje existenci nějakého f0 , pro které |x(f0 )| = 1 a (T x)(f0 ) 6= 0. Podle předešlého lemmatu 7.2 je sup |x(f )| = kxk, f ∈L

podle (14) tedy platí |||x||| ≥ kxk + |T x(f0 )|. Protože T x ∈ c0 (L), pro každé kladné ε je množina {f ∈ L; |(T x)(f )| ≥ ε} konečná. Takže speciálně Lf = {f ∈ L; |(T x)(f )| ≥ |(T x)(f0 )|} je také konečná množina. Pokud zvolíme libovolně nějaký f ∈ L \ Lf , podle rovnosti (15) máme |f (x)| + |(T x)(f )| ≤ kxk + |(T x)(f )| < kxk + |f0 (T x)| ≤ |||x|||. 29

(15)

Z toho plyne, že funkcionály f ∈ L \ Lf není třeba zahrnovat mezi funkcionály, přes něž se dělá supremum v definici (14) nové normy. Jinými slovy, lze psát  |||x||| = sup |x(f )| + |(T x)(f )| f ∈Lf

a tedy po vhodné volbě pokrytí podobně jako třeba v příkladu 1 vidíme, že nová norma lokálně závisí na konečně mnoha funkcionálech množiny Lf . Nyní už zbývá jen ukázat ekvivalenci se starou normou: kxk < |||x||| ≤ kxk + kT xk ≤ (1 + K)kxk, kde K je taková konstanta, že kT xk = max x(f ) ≤ Kkxk. f ∈L

Další podmínky pro existenci normy mimo počátek lokálně závislé na konečně mnoha souřadnicích udává Hájkova věta (viz [H]). Tvrzení 7.4 (Hájek). Nechť X je normovaný lineární prostor. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: (i) X má ekvivalentní normu se spočetnou Jamesovou hranicí. (ii) X má ekvivalentní normu s Jamesovou hranicí B takovou, že existuje posloupnost v normě kompaktních množin {Kn }n∈N v X ∗ splňující B⊂

[

Kn .

n∈N

(iii) X je separabilní a má ekvivalentní normu až na počátek lokálně závislou na konečně mnoha souřadnicích. (iv) X je separabilní a má ekvivalentní kromě počátku C ∞ -hladkou normu, která až na počátek lokálně závisí na konečně mnoha souřadnicích.

30

8. Literatura

[AL] D. Amir, J. Lindenstrauss, The Structure of Weakly Compact Sets in Banach Spaces, Ann. of Math. 88 (1968) [DGZ] R. Deville, G. Godefroy, V. Zizler, Smoothness and Renormings in Banach Spaces, Pittman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 64 (Longman, Harlow, 1993). [FPZ] M. Fabian, J. Pelant, V. Zizler, The Weak Topology and Smoothness, Lecture Notes in Math., Springer-Verlag, to appear. [FZ] M. Fabian, V. Zizler, A Note on Bump Functions That Locally Depend on Finitely Many Coordinates, Bull. Austral. Math. Soc. 56 (1997), 441–451. [HHZ] P. Habala, P. Hájek, V. Zizler, Introduction to Banach Spaces I, II, Matfyzpress Praha, 1996 [H] P. Hájek, Smooth Norms That Depend Locally on Finitely Many Coordinates, Proc. Amer. Math. Soc. 123 (1995), 3817–3821. [JZ] K. John, V. Zizler, Smoothness and Its Equivalents in Weakly Compactly Generated Banach Spaces, Journal of Functional Analysis 15 (1974) 1–11. [Ph] R. R. Phelps, Convex Functions, Monotone Operators and Differentiability, Lecture Notes in Math., Springer-Verlag 1364 (1993), 2nd Edition. [T] Wee-Kee Tang, On Fréchet Differentiability of Convex Functions on Banach Spaces, Comment. Math. Univ. Carolinae 36,2 (1995) 249–253. [T2] Wee-Kee Tang, Thesis.

31