Logické úlohy, vč. řešení Marta Volfová
Centrum talentů M&F&I, Univerzita Hradec Králové, 2010
Logické úlohy 1. Muž cestuje s (částečně ochočeným) vlkem, kozou a pytlem zelí. Dojde k dosti široké a hluboké řece, u níž je loďka k použití. Bohužel se na ni vejde kromě muže buď jen vlk, nebo jen koza, nebo jen zelí. Přitom ale nesmí na břehu zůstat sám (bez lidského dohledu) vlk s kozou ani koza se zelím. Jak (a za kolik jízd) se všichni mohou dostat na druhý břeh? 2. Petr řekl, že na oslavu jeho narozenin přišlo více než 6 hostů a jeho sestra Lenka řekla, že přišlo více než 5 hostů. Kolik tedy přišlo hostů víme-li, že právě jedno sdělení je pravdivé a jedno nepravdivé? 3. Bochník váží půl kilogramu a půl bochníku. Kolik (v kg) váží bochník? 4. Chlapec si chce z půdy donést jeden pár čistých ponožek. Na půdě je ale tma a ponožky jsou a) bílé a černé, b) bílé, černé a šedé, c) bílé, černé, šedivé, béžové. (Ode všech barev je ponožek dostatečný počet, aspoň 8.) Kolik jich musí z půdy přinést, aby byly mezi nimi určitě aspoň dvě stejné barvy? (Na barvě ponožek jinak chlapci nezáleží.) 5. Kolik musí být ve skupině dětí, aby se určitě aspoň dvě narodily a) ve stejném měsíci, b) ve stejném dnu týdne? 6. Úlohy z Ostrova Lhářů a Poctivců. a) Kolik lze dostat odpovědí na otázku: Jsi Lhář nebo Poctivec? b) Jeden člověk řekl: Jsem Lhář. Byl z tohoto ostrova? c) Jeden z dvojice obyvatelů ostrova řekl: My jsme oba Lháři. Kdo byl ten, kdo mluvil – a kdo byl druhý z dvojice? d) Stejná situace, stejná otázka, jen jiný výrok: Oba jsme Poctivci. e) Stejná situace, stejná otázka, jen jiný výrok: Aspoň jeden z nás je Poctivec (Lhář). f) Stejná situace, stejná otázka, jen jiný výrok: Právě jeden z nás je Poctivec (Lhář). g) Stejná situace, stejná otázka, jen jiný výrok: Nejvýš jeden z nás je Poctivec (Lhář). 7. Pan Malíř, pan Pekař a pan Zahradník si povídají. Najednou jeden z nich, co pracoval jako pekař, říká: My máme stejná jména jako příjmení, ale nikdo nemá stejné jméno jako povolání. Máte pravdu, pane Malíři, říká další z nich.
Řešení úloh z logiky (část „pro mladší žáky“) a metodická doporučení k nim
ad 1. Jde o velmi starou úlohu, známou v řadě variací. První setkání s ní bývá radostné, vyvolává veselost i opravdovou snahu ji vyřešit. (Nejmladší žáci si mohou situaci a její řešení názorně přehrát.) Řešení: přejíždí 2. břeh 1. břeh Mvkz vz vz v v k k Ø Ø
Mk → ←M M z→ ←M k M v→ ←M M k→
Ø Ø k k z z vz vz Mvkz
ad 2. Úloha je pro starší žáky jednoduchá, mladším se může zdát záhadná. Žáci si mohou vypsat několik možností, které odpovídají tvrzení Petra, tj. {7; 8; 9; …} a tvrzení Lenky {6; 7; … }. Řešení: přišlo 6 hostů ad 3. Opět jde o známou úlohu. Řešitelé obeznámení s algebrou ji řeší rovnicí x = 12 + 2x , mladší pak jen úsudkem. Lze využít i znázornění situace na rovnoramenné váze. Řešení: 1 kg ad 4. Jde o jednoduché úlohy na tzv. Dirichletův princip. (U mladších dětí lze opět využít dramatizace.) Řešení: a) 3 ponožky, b) 4 ponožky, c) 5 ponožek ad 5. Opět úloha na Dirichletův princip. Řešení: a) 13 dětí (kdyby jich bylo 12, každý by se mohl narodit v jiném měsíci; ten třináctý se musí s někým shodovat) b) 8 dětí ad 6. a), b) Opět si lze situaci přehrát (jeden hraje Lháře, jeden Poctivce) Řešení: a) Jsem Poctivec b) Nemůže být z toho ostrova c) Složení dvojice může být: PP . . . . . pak odpověď nemůže být „Jsme oba Lháři“ (P mluví vždy pravdu!) LL . . . . . pak odpověď nemůže být „Jsme oba Lháři“ (L vždy lže!) PL . . . . . kdyby mluvil P: nemůže být „Jsme oba Lháři“ kdyby mluvil L: Může být Řešení: odpovídal Lhář, druhý z dvojice byl Poctivec d) Opět lze probrat možná složení dvojice
PP . . . . . odpověď „Jsme oba Poctivci“ může být LL . . . . . odpověď „Jsme oba Poctivci“ může také být PL . . . . . odpověď „Jsme oba Poctivci“ může také být, odpovídá-li L, ale nemůže, odpovídá-li P Řešení: nelze určit, kdo byl odpovídající a kdo ten druhý V těchto situacích se často doplňuje, že ve dvojici je vždy 1 Lhář, 1 Poctivec. Pak je odpověd: mluvil Lhář, druhý je Poctivec. e) Zní-li výrok: Aspoň jeden z nás je Poctivec, pak pro PP . . . . . . může být vyřčeno, LL . . . . . . může být vyřčeno, odpovídá-li P PL . . . . . . může být vyřčeno, odpovídá-li P Nemůže, odpovídá-li L Řešení: nelze určit jednoznačně Víme-li, že ve dvojici je právě jeden P a jeden L, pak je odpověď: mluvil P, druhý ve dvojici je L. Zní-li však výrok: Aspoň jeden z nás je Lhář, pak pro PP . . . . . nemůže být vyřčeno LL . . . . . nemůže být vyřčeno PL . . . . . nemůže být vyřčeno Lhářem, Poctivcem ano Řešení: mluvil P, druhý z dvojice je L f) výrok: Právě jeden z nás je Poctivec PP . . . . . nemůže být vyřčeno PL . . . . . nemůže být vyřčeno Lhářem, Poctivcem ano LL . . . . . může být vyřčeno Řešení: nelze určit mluvčího, druhý z dvojice je Lhář Zní-li výrok: Právě jeden z nás je Lhář PP . . . . . nemůže být vyřčeno PL . . . . . nemůže být vyřčeno Lhářem, Poctivcem ano LL . . . . . může být řečeno Řešení: nelze určit; víme-li však, že ve dvojici je právě jeden P a jeden L, pak odpovídal Poctivec a druhý je Lhář. g) výrok: Nejvýš jeden z nás je Poctivec PP . . . . . nemůže být vyřčeno LL . . . . . nemůže být vyřčeno PL . . . . . nemůže být vyřčeno Lhářem, Poctivcem ano Řešení: odpovídal Poctivec, druhý je Lhář Kdyby výrok zněl: Nejvýš jeden z nás je Lhář: PP . . . . . může být LL . . . . . může být PL . . . . .může být, odpovídá-li P, nemůže tak mluvit L (mluvil by pravdu) Řešení nelze určit; víme-li však, že ve dvojici je právě jeden P a jeden L, pak odpovídal Poctivec a druhý je Lhář ad 7. Lze řešit úsudkem. Jako pomoc mladším lze využít tabulku, kde správné přiřazení značíme /, nemožné –
malíř pekař zahradník
Malíř – /
Pekař
Zahradník
– –
Z textu lze vyčíst, že pan Malíř je pekařem (nemůže tedy jím být pan Zahradník a ten je proto malířem a pan Pekař je zahradníkem).
