´ SPIRALA ´ LOGARITMICKA HISTORIE Prvn´ı, kdo se zab´ yval problematikou logaritmick´e spir´aly a zkoumal j´ı, byl Ren´e Descartes (1596-1650) pˇribliˇznˇe kolem roku 1638. Nez´avisle na nˇem zkoumal kˇrivku tak´e Evangelista Toriccelli (1608 - 1647), kter´emu se podaˇrilo naj´ıt vzorec pro v´ ypoˇcet d´elky kˇrivky. Byla to tak´e obl´ıben´a kˇrivka matematika Jakoba Bernoulliho (1654 - 1705) - zˇrejmˇe za sv´eho ˇzivota str´avil jej´ım zkoum´an´ım tolik ˇcasu, ˇze si dokonce nechal vyzdobit svoj´ı hrobku ornamenty pr´avˇe ve tvaru logaritmick´e spir´aly a vytesat si na n´ı epitaf “edem mutata resurgo”, ˇ zme ˇ ne ˇn, sta ´le z˚ ´ va ´ stejny ´ ”. Tento text coˇz znamen´a ve voln´em pˇrekladu “ac usta pomˇernˇe v´ ystiˇznˇe charakterizuje i Bernoulliho obl´ıbenou kˇrivku, coˇz uk´aˇzeme n´ıˇze. Dalˇs´ı ekvivalentn´ı n´azvy pro tuto kˇrivku jsou Fibbonaciho spir´ ala, ekvalingul´ arn´ı spir´ ala, r˚ ustov´ a spir´ ala, Bernoulliho spir´ ala nebo spira mirabilis. ´ POPIS SPIRALY Logaritmick´a spir´ala je kˇrivka, jej´ıˇz polomˇer r roste exponenci´alnˇe s velikost´ı u ´hlu. Vˇsechny n´ıˇze popsan´e parametry a body spir´aly ilustruje obr´azek na dalˇs´ı stranˇe. Pol´ arn´ı rovnice logaritmick´e spir´aly je: r = a · ebϕ , kde • r je polomˇer - vektor spojuj´ıc´ı p´ol spir´aly P (pojem p´ olu je vysvˇetlen n´ıˇze) a bod leˇz´ıc´ı na spir´ale - B ; (r je funkce r(ϕ)) • ϕ je u ´hel pˇr´ısluˇcn´ y pˇr´ısluˇsn´emu bodu B spir´aly • a, b jsou konstantn´ı parametry Teˇcn´y u ´hel (budeme ho znaˇcit τ ) je u ´hel, kter´ y sv´ır´a pro dan´ y bod spir´aly vektor polomˇeru s teˇcnou ve stejn´em bodˇe. D˚ uleˇzit´ ymi body spir´aly jsou p´ol a poˇc´ atek. P´ol je bod, ze kter´eho by “vych´azela” spir´ala v pˇr´ıpadˇe, kdyby se parametr a → 0; v podstatˇe jde o pomysln´ y stˇred spir´aly. P´ol se d´a tak´e popsat jako bod, kde se protnou vˇsechny vektory polomˇeru - pˇr´ımky veden´e libovoln´ ymi body logaritmick´e spir´aly, kaˇzd´a sv´ıraj´ıc´ı v dan´em bodˇe s pˇr´ısluˇsnou teˇcnou stejn´ y teˇcn´ yu ´hel τ . V kart´ezsk´ ych souˇradn´ıc´ıch pro neposunutou kˇrivku je p´olem poˇca´tek souˇradn´e soustavy [0,0]. Poˇc´atek spir´aly je bod, ze kter´eho se zaˇc´ın´a spir´ala vykreslovat, pro neposunutou spir´alu se nach´az´ı v m´ıstˇe [a, 0].
1
Dalˇs´ı moˇzn´e vyjadˇren´ı rovnice logaritmick´e spir´aly z´ısk´ame jednoduchou u ´pravou: ln ar = bϕ Z tohoto vztahu tak´e vznikl n´azev kˇrivky “logaritmick´a spir´ala”.
Obr´ azek, kde najdeme v´ yˇ se uveden´ e informace pˇ r´ımo ve spir´ ale: • P - p´ol spir´aly • B - libovoln´ y bod na spir´ale • r - vektor polomˇeru • τ - teˇcn´ yu ´hel v bodˇe B • t - teˇcna v bodˇe B • a - konstantn´ı parametr z rovnice spir´aly
2
Rovnici t´eto kˇrivky m˚ uˇzeme vyj´adˇrit tak´e parametricky: x = r cos ϕ = aebϕ cos ϕ y = r sin ϕ = aebϕ sin ϕ Pro hodnoty b → 0 se bude tvar spir´aly bl´ıˇzit kruˇznici. Pro b=0 dost´av´ame: x = a cos ϕ y = a sin ϕ tedy rovnici kruˇznice s polomˇerem a.
R˚ ust polomˇeru r m˚ uˇzeme vyj´adˇrit jako: dr = abebϕ = br dϕ Pro teˇcn´ yu ´hel τ , kter´ y sv´ıraj´ı vektor polomˇeru a teˇcn´ y vektor pro dan´ y bod (r,ϕ) plat´ı: tan τ =
r dr dϕ
tedy τ = arctan
r dr dϕ
= arctan
1 b
Odtud je opˇet vidˇet, ˇze kdyˇz b → 0, pak 1b → ∞ a arctan( 1b ) → π2 . Tedy tvar spir´aly se bl´ıˇz´ı kruˇznici (teˇcna kruˇznice v kaˇzd´em bodˇe sv´ır´a s vektorem polomˇeru pˇr´ısluˇsej´ıc´ımu dan´emu bodu u ´hel π2 ). Tak´e je z tohoto vztahu zˇrejm´e, ˇze teˇcn´ yu ´hel (τ ), pod kter´ ym prot´ın´a vektor polomˇeru kˇrivku, je v kaˇzd´em bodˇe dan´e spir´aly stejn´ y, protoˇze parametr b je konstantn´ı. Odtud vznikl n´azev kˇrivky “ekvalingul´arn´ı spir´ala”. Z obou v´ yˇse uveden´ ych v´ yraz˚ u m˚ uˇzeme zjistit, ˇze samotn´ y tvar kˇrivky (tedy n´ar˚ ust polomˇeru nebo u ´hel teˇcn´eho vektoru) z´avis´ı pouze na hodnotˇe b. Hodnota a urˇcuje vzd´alenost poˇc´atku spir´aly od jej´ıho p´olu. Na n´asleduj´ıc´ı stranˇe jsou pˇr´ıklady logaritmick´e spir´aly pro r˚ uzn´e hodnoty parametr˚ u a, b, vˇsechny ve stejn´em mˇeˇr´ıtku.
3
4
Pro n´azornost uk´aˇzeme jeˇstˇe obr´azky vˇcetnˇe souˇradn´ ych os (kaˇzd´ y v jin´em mˇeˇr´ıtku) pro r˚ uzn´e parametry a, b. Vˇsechny n´asleduj´ıc´ı obr´azky jsou vykresleny pro ϕ ∈< 0, 8π >, tedy 4 z´avity spir´aly.
5
´ ˇ ´ UZITE ˇ ˇ E ´ VZTAHY DELKA KRIVKY A JINE CN Na kˇrivce zvol´ıme libovoln´ y bod P ve vzd´alenosti r od p´olu spir´aly. D´ elka kˇ rivky od P do jej´ıho poˇc´atku je vˇzdy koneˇcn´a a je rovna d´elce u ´seˇcky PQ, kde Q je pr˚ useˇc´ık osy y a teˇcny ke kˇrivce proch´azej´ıc´ı bodem P. Jsme schopni tuto d´elku spoˇc´ıtat n´asledovnˇe: √ √ Z Z p 2 ebϕ r a 1 + b 1 + b2 = s = ds = x02 + y 02 dt = b b
Evoluta je ob´alka norm´al kˇrivky - mnoˇzina jej´ıch stˇred˚ u kˇrivosti. Pro rovnici evoluty kˇrivky zadan´e parametricky (f (ϕ), g(ϕ)) plat´ı: xe = f − R sin ϕ ye = g + R cos ϕ kde R je polomˇer kˇrivosti pro dan´ y bod [x, y] (vzd´alenost mezi stˇredem kˇrivosti S kˇrivky v jej´ım bodˇe T a bodem T ) kter´ y zjist´ıme: p 2 √ (x02 + y 02 )3 = a 1 + b2 ebϕ R = 0 00 00 0 xy −x y Dosazen´ım dost´av´ame rovnici evoluty logaritmick´e spir´aly: xe = −abebϕ sin ϕ ye = abebϕ cos ϕ coˇz je rovnice dalˇs´ı logaritmick´e spir´aly (be ≡ b, ae ≡ ab). V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech m˚ uˇze j´ıt dokonce o totoˇznou spir´alu s p˚ uvodn´ı kˇrivkou. Staˇc´ı kdyˇz provedeme substituci: 1 ϕ = φ − π ± 2kπ 2 (∀k ∈ N) a dosad´ıme do rovnice evoluty: π π ± 2kπ) = abebφ eb(− 2 ±2kπ) cos φ 2 π π π ye = abeb(φ− 2 ±2kπ) cos(φ − ± 2kπ) = abebφ eb(− 2 ±2kπ) cos φ 2 Tyto rovnice evoluty jsou shodn´e s rovnic´ı p˚ uvodn´ı spir´aly pr´avˇe tehdy, kdyˇz plat´ı: π
xe = −abeb(φ− 2 ±2kπ) sin(φ −
π
beb(− 2 ±2kπ) = 1 π ln b + b(− ± 2kπ) = 0 2 ln b π = ± 2kπ b 2 6
Kˇ rivost κ je pˇrevr´acen´a hodnota polomˇeru kˇrivosti, tedy: x0 y 00 − x00 y 0 1 κ= p = √ 2 02 02 3 a 1 + b2 ebϕ (x + y ) Pro teˇcn´ yu ´hel τ plat´ı, ˇze je konstantn´ı (coˇz uˇz jsme vlastnˇe zjistili z jin´eho vztahu dˇr´ıve): Z τ = κ(s)ds = konst.
KONSTRUKCE Logaritmickou spir´alu m˚ uˇzeme zkonstruovat n´asledovnˇe - z jednoho bodu (kter´ y se st´av´a p´olem spir´aly) vedeme n polopˇr´ımek, kde odchylky kaˇzd´ ych dvou sousedn´ıch jsou (napˇ r . 5 polopˇ r ´ ımek, kde sousedn´ ı polopˇ r ´ ımky sv´ ıraj´ ıu ´hel 2π , 7 polopˇr´ımek s stejn´e: 2π n 5 2π u ´hly 7 atd.). Na jedn´e polopˇr´ımce zvol´ıme bod - poˇc´atek spir´aly (jeho vzd´alenost od stˇredu je rovna parametru a) a vedeme pˇr´ımku kolmou na polopˇr´ımku od kter´e zaˇc´ın´ame k n´asleduj´ıc´ımu paprsku. Z bodu, kde tato pˇr´ımka prostne n´asleduj´ıc´ı paprsek opˇet vedeme ˇ ım vyˇsˇs´ı bude hodnota n, t´ım kolmici na tuto polopˇr´ımku a k n´asleduj´ıc´ımu paprsku atd. C´ hladˇs´ı kˇrivku dostaneme. Kdyˇz n → ∞ potom se kˇrivka bude bl´ıˇzit logaritmick´e spir´ale.
7
Spir´alu s takov´ ymi parametry, ˇze j´ı lze vepsat do zlat´eho obd´eln´ıku m˚ uˇzeme zkonstruovat jeˇstˇe jin´ ym zp˚ usobem. Zlat´ y obd´eln´ık je takov´ y obd´eln´ık, jehoˇz strany jsou ve zlat´em pomˇeru. Tj. pomˇer vˇetˇs´ı strany b k menˇs´ı stranˇe a je roven pomˇ ctu del´ek stran √ eru souˇ 1+ 5 (a+b) k vˇetˇs´ı z nich (b). Tj. pomˇer d´elky a ˇs´ıˇrky je roven 2 . Do tohoto obd´eln´ıku vep´ıˇseme k jedn´e kratˇs´ı hranˇe ˇctverec o stranˇe a, zbyl´a plocha je opˇet zlat´ y obd´eln´ık, do nˇej vep´ıˇseme dalˇs´ı ˇctverec stejn´ ym zp˚ usobem atd. Kdyˇz do kaˇzd´eho takto zkonstruovan´eho ˇctverce vep´ıˇseme ˇctvrtkruˇznici, z´ısk´ame logaritmickou spir´alu (ne jen jej´ı aproximaci) s b ≈ 0, 306349, pro kterou existuje oznaˇcen´ı zlat´ a spir´ ala.
´ KDE NAJDEME LOGARITMICKOU SPIRALU “Myˇ s´ı probl´ em” - do kaˇzd´eho vrcholu pravideln´eho n-´ uheln´ıka um´ıst´ıme jednu myˇs. Tˇechto n myˇs´ı se zaˇcne v jeden ˇcasov´ y okamˇzik pohybovat konstantn´ı rychlost´ı smˇerem k nejbliˇzˇs´ı myˇsi (vˇsechny stejn´ ym smˇerem - bud’ po nebo proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek). Myˇsi se takto setkaj´ı ve stˇredu n-´ uheln´ıka, budou se pohybovat po logaritmick´e spir´ale a uraz´ı dr´ahu 1 s= 1 − cos( 2π ) n S logaritmickou spir´alou se m˚ uˇzeme setkat vˇsude kolem sebe kaˇzd´ y den. D´ıky konstantn´ımu teˇcn´emu u ´hlu na n´ı m˚ uˇzeme narazit velmi ˇcasto pˇr´ırodˇe - napˇr´ıklad kdyˇz se hmyz bl´ıˇz´ı k nˇejak´emu bodu (tˇreba k ˇz´arovce), let´ı v takov´em smˇeru, aby sv´ıral st´ale stejn´ yu ´hel se zdrojem svˇetla. A toho dos´ahne pr´avˇe tehdy, kdyˇz se bude pohybovat po logaritmick´e spir´ale. V praxi ale vypad´a dr´aha vˇetˇsinou sp´ıˇs jako pˇr´ımka, protoˇze bud’ je c´ıl obvykle hodnˇe vzd´alen´ y (napˇr´ıklad slunce) nebo je u ´hel od nˇej tak mal´ y, ˇze se dr´aha bl´ıˇz´ı pˇr´ımce (spir´ala bude m´ıt ve 2D minim´aln´ı n´ar˚ ust polomˇeru, tedy bude se bl´ıˇzit bodu a pˇrid´an´ı tˇret´ı dimenze bod pouze “rozt´ahne” do pˇr´ımky).
8
Spir´alu tak´e najdeme u rostlin - kdyˇz se pod´ıv´ate do kvˇetu napˇr´ıklad sluneˇcnice nebo sedmikr´asky, najdete tyˇcinky nebo sem´ınka uspoˇr´adan´e ne v kruz´ıch, ale v logaritmick´ ych spir´al´ach. Stejnˇe tak jsou uspoˇr´adan´a tˇreba sem´ınka na ˇsiˇsk´ach, nebo ostny na kaktusech. Do tvaru logaritmick´e spir´aly ve 3D roste velk´a vˇetˇsina neˇziv´ ych ˇc´asti ˇziv´ ych organism˚ u - rohy, dr´apy nebo tˇreba slon´ı kly (nab´ yvaj´ı tohoto tvaru stejn´ ym zp˚ usobem, kter´ y je pops´an v n´asleduj´ıc´ım odstavci). Tak´e pavouˇc´ı s´ıtˇe jsou aproximac´ı logaritmick´e spir´aly - jsou pavouky stavˇeny podobn´ ym zp˚ usobem, jak´ ym jsme aproximovali kˇrivku pomoc´ı polopˇr´ımek. Nejobl´ıbenˇejˇs´ım pˇr´ıkladem v´ yskytu spir´aly jsou ulity mˇekk´ yˇs˚ u. Tohoto tvaru nab´ yvaj´ı n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem - pˇrevedeme probl´em do 2 dimenz´ı a vytvoˇr´ıme nepravideln´ y objekt O1 , zvˇetˇs´ıme ho k -kr´at, z´ısk´ame O2 a pˇriloˇz´ıme ho k O1 tak, aby se dvˇe hrany dot´ ykaly. Nyn´ı zvˇetˇs´ıme O2 k -kr´at, vznikne O3 kter´ y pˇriloˇz´ıme k hranˇe objektu O2 atd.
Kdyˇz probl´em pˇrevedeme do 3D, z´ısk´ame postup, jak´ ym si stav´ı ulity nˇekteˇr´ı mˇekk´ yˇsi - na zaˇc´atku maj´ı urˇcitou velikost a jsou schovan´ı v jedn´e kom˚ urce, pak povyrostou a pˇristav´ı si dalˇs´ı kousek ulity. Tvar jejich tˇela se ale nemˇen´ı, tedy se nemˇen´ı ani tvar ulity, pouze roste velikost pˇristavovan´eho d´ılu (zvˇetˇsov´an´ı kom˚ urek pro tˇelo je hezky vidˇet na obr´azku vpravo pod textem - jde o ˇrez ulitou mˇekk´ yˇse Nautila, kter´ y si stav´ı ulitu dokonce do tvaru zlat´e spir´aly). Nav´ıc tito ˇzivoˇcichov´e rostou “spojitˇe”, takˇze v´ ysledn´ y tvar spir´alu aproximuje pomˇernˇe pˇresnˇe a hladce.
9
Dalˇs´ı m´ısto, kde m˚ uˇzeme tuto kˇrivku naj´ıt jsou spir´alovit´e galaxie - jejich ramena maj´ı tvar pr´avˇe logaritmick´e spir´aly (na obr´azc´ıch jsou galaxie NGC 3370 a M51). Naˇse vlastn´ı galaxie Ml´eˇcn´a dr´aha m´a (´ udajnˇe) 4 ramena ve tvaru spir´aly s teˇcn´ ym u ´hlem pˇribliˇznˇe 12◦ . Stejnˇe tak ramena tropick´ ych cykl´on˚ u a hurik´an˚ u maj´ı tvar logaritmick´e spir´aly.
10
ˇ E ´ OBRAZKY: ´ POUZIT • konstrukce logaritmick´e spir´aly - mathworld.wolfram.com • galaxie - hubblesite.org • satelitn´ı sn´ımek torn´ada - airs.jpl.nasa.gov • ˇrez ulitou Nautila - en.wikipedia.org
11
