Lineáris algebra jegyzet Készítette: Jezsoviczki Ádám Forrás: Az előadások és a gyakorlatok anyaga Legutóbbi módosítás dátuma: 2011-12-04 A jegyzet nyomokban hibát tartalmazhat, így fentartásokkal olvasandó!
a, b, c vektorok lineáris kombinációja γ 0 β α α + 0 + 0 = 0 α⋅a+β⋅b+γ⋅c=0 0 β 0 0 Ha csak a triviális lineáris kombináció adja meg a nullvektort, akkor a, b, c lineárisan függetlenek (jele: L). Ha más megoldás is van, akkor lineárisan összefüggő (jele: Ö).
()()()()
Más szavakkal: {a1 , a 2 ... a n } vektorrendszer lineárisan független, ha α a 1+α a 2+...+α a n lineáris kombináció csak α1=α2=...=α n=0 esetén adja a nullvektort, ellenkező esetben lineárisan összefüggő. Egyelemű halmazok mindig: L Kételemű halmazok mindig: L, kivéve, ha valamelyik vektor a mások konstansszorosa lenne Három/több elemű: lehet L és Ö is. Altér: • nem üres • konstansszorosra zárt λ u∈U • összegre zárt u+v ∈U Triviális altér: a nullvektor által generált altér Bázis: maximális1 lineárisan független vektorrendszer. Adott vektortér minden bázisa ugyanannyi elemet tartalmaz. Ez a vektortér dimenziója. Minden elem egyértelműen felírható a báziselemek lineáris kombinációjaként. a=α 1 b 1+α 2 b 2+...+αn b n Triviális (standard) bázis: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
( )( )( )( )
Elemi bázistranszformáció
x y i= αii i cserehely
x y t= x t− αii⋅αt t≠i
Generált altér: a generáló elemek összes linéáris kombinációja. < a , b >≡span(a , b) Vektorrendszer rangja: hány lineárisan független van. Amennyi (elemi bázistranszformációval) behelyettesíthető, annyi a rang. ρ( A) Mátrix n ×m n×m (csak azonos méretű mátrixok adhatók össze) A +B n ×m m ×k A ⋅B =(AB)n× k pl.: 1 (−36) 1 (−2) 3 ⋅ = 1⋅1+(−2)⋅(−2)+3⋅3 1⋅(−36)+(−2)⋅1+3⋅13 (−2) 1 0 1 7 0+1⋅(−2)+7⋅3 0⋅(−36)+1⋅1+7⋅13 3 13 A mátrixok transzponáltja AT a sorok és oszlopok felcserélésével adódik. 1 0 1 (−2) 3 A= AT = (−2) 1 0 1 7 3 7 Transzponált tulajdonságai (A+B)T = AT +BT (λ A)T =λ AT ( A⋅B)T =B T AT (AT )T = A
(
)
(
(
)
)
(
( )
1 Ha még 1 elemet hozzáadnánk, akkor már összefüggővé válna.
)
( )
1 0 0 I n= 0 1 0 0 0 1 n×n Négyzetes mátrixok esetén: ∀ A AI n=I n⋅A= A A rangja: ρ( A) a lineárisan független oszlopvektorok száma, illetve a lineárisan független sorvektorok száma. (0 rangú mátrix csak a nullmátrix.) ρ(AT )=ρ( A) ρ(kA)=ρ(A) ρ( A+ B)≤ρ( A)+ρ( B) ρ(A⋅B)≤ρ( A) ρ(An×m )≤min( n , m) ρ(A⋅B)≤ρ(B) In: n×n -es egységmátrix
(
Diagonális mátrix:
(
Szimmetrikus mátrix:
a 11 a 12 a 13 a 14 ⋮
Felső háromszög mátrix:
Alsó háromszög mátrix:
(
a12 a 22 a 23 a 24 ⋮
a 13 a 23 a 33 a 34 ⋮
( (
a 11 a 12 a13 0 a 22 a23 0 0 a33 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮
Szalag mátrix2:
(
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱
a 14 a 24 a 34 a 44 ⋮
a 11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a 31 a32 a 33 0 a 41 a 42 a 43 a 44 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 a 12 a 13 a14 0 0 a 23 a 24 0 0 0 a 34 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 2 1 0 ⋮
)
a 14 a 24 a 34 a 44 ⋮
(
Invertálható mátrix: ∃ A−1 : AA−1= I n 2 1 0 0 ⋮
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱
a 11 a 12 a 13 −a 12 a 22 a 23 −a 13 −a 23 a 33 −a 14 −a 24 −a34 ⋮ ⋮ ⋮
Antiszimmetrikus mátrix:
Nilpotens mátrix:
)
a 11 0 0 0 0 a 22 0 0 0 0 a33 0 0 0 0 a 44 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 1 2 1 ⋮
2 Egy „szalag” mentén nem nulla.
0 0 1 2 ⋮
)
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱
)(
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱
a 14 a 24 a 34 a 44 ⋮
)
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱
) )
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱
0 0 0 a 21 0 0 a 31 a32 0 a 41 a 42 a 43 ⋮ ⋮ ⋮
0 0 0 0 ⋮
)
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱
Determináns kifejtési tétel: Alsó/felső háromszög mátrix determinánsa (det. Jelölése: ∣A∣ , vagy det ( A) ) a diagonális elemek szorzata. a b =ad −cb det ( AB)=det (A)⋅det ( B) det ( A−1 )= 1 det ( AA−1 )=det (I )=1 det (A) c d A invertálható≡det (a)≠0
∣ ∣
Determináns őrző műveletek: Egy sorhoz (vagy oszlophoz) hozzáadom egy másik sor konstansszorosát. Det=0, ha van csupa 0 sora vagy oszlopa. Det=0, ha egy sora/oszlopa a másik konstansszorosa. det ( A)≠0≡∃ A−1 det ( A)=det (AT ) det (λ An×n )=λn⋅det ( A) A x=λ x (λ a sajátvektor ) Sajátérték, sajátvektor: A x−λ x=0 ( A−λ I ) x =0 Az A mátrix karakterisztikus polinomja: ∣A−λ I∣ gyökei az A sajátértékei. A sajátértékek száma megegyezik a mátrix méretével. Sajátaltér: azonos sajátértékekhez tartozó összes sajátvektor által generált altér. Diagonalizálható a mátrix, ha: • van ugyanannyi sajátérték (multiplicitással), mint a mátrix mérete • a sajátalterek dimenzió összege a mátrix mérete Hasonlóság • a karakterisztikus polinomok megegyeznek • az egyes sajátértékekhez tartozó sajátalterek dimenziója megegyezik Skalárszorzat (4db axióma): 1. < y , x >=< x , y > (Ha komplex a+ib=a−ib ) 2. < λ x , y >=λ < x , y > 3. < x , y+ z >=< x , y >+< x , z > 4. < x , x >≥0 < x , x >=0 ≡ x=0 Hajlásszög: cos γ ( x , y )=
<x, y> ∣∣x∣∣⋅∣∣y∣∣
∣∣x∣∣=√ x 21+ x 22+...+ x 2n
SONB (sajátvektorokból álló ortogonális 1 normájú bázis) Tétel: Valós szimmetrikus mátrix <=> létezik SONB és minden sajátértéke valós. Kvadratikus alak: Q( x)= xT A x Kvadratikus alakok osztályozása: ∀ λ k >0 Q pozitív definit • ∀ λ k ≥0 Q pozitív szemidefinit • ∀ λ k <0 Q negatív definit • ∀ λ k ≤0 Q negatív szemidefinit • ∃λ k >0 , λ j<0 Q identifinit • x ∣∣x∣∣ x , ∣∣x∣∣≠1 = =1 ∣∣x∣∣ ∣∣x∣∣
∣ ∣
Komplex skalárszorzat < a , b >=b∗ a b∗ a b konjugáltja < a , b >=< b , a >=0≡a merőleges b
a= x+iy
a ∗=x−iy
∣∣a∣∣=√ a∗ a
ϕ: Rn → Rm lineáris leképezés, ha ϕ(a+b)=ϕ(a )+ϕ(b) • ϕ(λ a)=λ ϕ( a) • Lineáris transzformáció, ha ϕ: Rn → Rn Lineáris leképezés magtere:
Ker ϕ={a ∈R n , ϕ(a )=0}
Lineáris leképezés képtere:
I m ϕ={b∈ Rm , ∃a ∈ Rn , ϕ(a)=b}
Izomorfizmus: bijektív lekérdezés Lineáris leképezés izomorf <=> Ker ϕ={0} Dimenzió tétel: dim Ker ϕ+dim I m ϕ=dim R n=n Lineáris transzformáció mátrixa egy adott bázisban: oszlopvektorok a báziselemek képei 1 0 0 Aϕ i= 0 j= 1 k = 0 0 0 1
() () ()
