BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

¨ ´ ´ BUDAPESTI KOZGAZDAS AGTUDOM ANYI EGYETEM

Pusk´ as Csaba, Szab´ o Imre, Tallos P´ eter

´ LINEARIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPEST, 1998

A szerz˝ok Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II. c. jegyzeteinek kiadása.

i

El˝oszó Ez a jegyzet a Budapesti Közgazdas´ agtudom´ anyi Egyetem ”emelt” szint˝ u képzésben részes¨ ul˝o hallgatóinak második féléves lineáris algebrai tanulm´ anyait van h´ıvatva seg´ıteni. A lineáris algebra eredetileg lineáris egyenletrendszerek megoldásával foglalkozott, ezért el˝osz¨ or csak a mátrixaritmetika és determinánselmélet tartozott tárgyához. Dönt˝ o hatással volt fejl˝odésére, az a felismerés, hogy a mindennapi értelemben vett tér geometriáj´ anak által´ anos´ıt´ asaként kapott vektorterek elmélete a lineáris egyenletrendszerek problémak¨ orét más megvilág´ıt´ asba helyezi. Ebben a jegyzetben a vektorterek elméletét tárgyaljuk, és a mátrixaritmeti´ érezz¨ kai eredményeket ebb˝ol származtatjuk. Ugy uk, hogy ´ıgy könnyebben megmutatkozik mind a tételek mélyebb értelme és az azok köz¨ otti kapcsolat. Ez a felép´ıtés lehet˝ové teszi, hogy az itt nyert eredményeket mind a matematikán bel¨ ul, mind más tudományter¨ uleteken is alkalmazz´ ak. Szóljunk néhány szót a jegyzet szerkezetér˝ ol és jelölésm´ odj´ ar´ ol. El˝osz¨ or bemutatjuk az absztrakt vektortereket, legfontosabb tulajdonságaikkal jellemezz¨ uk azokat, majd rátér¨ unk a lineáris leképezések és transzformáci´ ok tárgyal´ as´ ara. Ezek reprezentációja szolgáltatja a mátrixaritmetik´ at. Ennek az ismeretanyagnak a birtokában a lineáris egyenletrendszerek megoldhatós´ aga elegánsan tárgyalhat´ o. A következ˝o fejezet elméleti alapokat ad az euklideszi terek és a determinánsok modern szemlélet˝ u bevezetéséhez és a többv´ altoz´ os f¨ uggvények széls˝ oértékeinek meghatározásához. Ezután az euklideszi terek és a determinánsok tárgyal´ asa következik. Mindezek birtokában kezdhet˝ o a vektorterek strukturális vizsgálata, ami a tananyag talán legfontosabb célja. A bevezetett fogalmak többségét számozott defin´ıci´ okban adjuk meg, néha azonban a görd¨ ulékenység érdekében csak d˝oltbet˝ us szedéssel h´ıvjuk fel rájuk a figyelmet. A tételek és áll´ıtások tripla számoz´ asa megmutatja, hogy mely fejezet, melyik pontjának hányadik tételér˝ol vagy áll´ıt´ as´ ar´ ol van szó. Két helyen találkozhat az olvas´ o a ∗ jelzéssel, a Faktorterek c´ım˝ u szakasz, illetve a determinánsokról szóló fejezet el˝ott, ami azt jelzi, hogy azok ismerete nélk¨ ul is érthet˝o a további anyag, de u ´gy gondoltam, hogy ezeknek a részeknek az elolvas´ asa hozzájárulhat a vektorterek elmélete más felép´ıtés˝ u tárgyal´ as´ anak megértéséhez. Itt h´ıvjuk fel a figyelmet arra, hogy az egy-egy pontot lezár´ o feladatok és gyakorlatok nem pótolhatják a feladatgy˝ ujteményt. Ebb˝ol a szempontb´ ol ez a jegyzet meglehet˝osen hiányos. Ezért sem, de egyéb szempontok szerint sem tekinthet˝ o befejezettnek ez a munka. Ebben az állapotában sz¨ ukség van arra, hogy a hallgatók kipróbálják és észrevételeikkel hozzáj´ aruljanak tov´ abbi alak´ıtgat´ as´ ahoz. A jegyzet szedési munkáit a TEX kiadványszerkeszt˝ o szoftver LaTEX változat´ ara b´ıztuk, az ábrák pedig a PICTEX szoftverrel kész¨ ultek. Budapest, 1998. február 9. Pusk´ as Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter

ii

Tartalomjegyz´ ek El˝ osz´ o

i

Tartalomjegyz´ ek

i

1 Vektorterek ´ es elemi tulajdons´ agaik 1.1 Vektorok a s´ıkon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 A vektortér fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Példák vektorterekre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Alterek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Lineáris f¨ uggetlenség és összef¨ ugg˝ oség . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Vektortér dimenziója és bázisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Koordináta reprezentáci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Elemi bázistranszform´ aci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Az elemi bázistranszform´ aci´ o néh´ any alkalmaz´ asa . . . . . . . Vektorrendszerek lineáris f¨ uggetlenségének, illetve összef¨ ugg˝ oségének vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kompatibilitás vizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 7 9 14 19 23 30 35 38

2 Line´ aris lek´ epez´ esek, transzform´ aci´ ok 2.1 A lineáris leképezések elemi tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Példák lineáris leképezésekre és transzformáci´ okra . . . . . . 2.1.2 Lineáris leképezések magtere és képtere . . . . . . . . . . . . 2.2 M˝ uveletek lineáris leképezésekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Lineáris leképezések összead´ asa és szorzása skal´ arral . . . . . 2.2.2 Lineáris leképezések szorzása . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Lineáris transzformáci´ ok inverze . . . . . . . . . . . . . . . . Példák invertálhat´ o lineáris transzformáci´ okra . . . . . . . . . ∗∗ 2.2.4 Faktorterek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Mátrix reprezentáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 M˝ uveletek mátrixokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mátrixok összead´ asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mátrixok szorzása skal´ arral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mátrixok szorzása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mátrixok, lineáris leképezések és transzformáci´ ok szorzás´ anak tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Lineáris transzformáci´ ok inverzének mátrixa . . . . . . . . . . ´ 2.4 Altal´ anos bázistranszform´ aci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 43 44 46 48 48 50 50 52 54 55 59 59 59 61

iii

38 39

66 69 70

´ TARTALOMJEGYZEK

iv

2.5

2.4.1 Lineáris transzformáci´ o mátrixa u ´j bázisban . . . . . . . . . . Mátrixok bázisfaktorizáci´ oja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Alkalmaz´ asok 3.1 Lineáris egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Homogén lineáris egyenletrendszerek megoldása . 3.1.2 Inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldása 3.2 Mátrixegyenletek∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Mátrix inverzének numerikus meghatároz´ asa . . . . . . 4 Biline´ aris f¨ uggv´ enyek∗ 4.1 Bilineáris f¨ uggvények tere . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Bilineáris f¨ uggvények és lineáris leképezések 4.1.2 Bilineáris f¨ uggvény mátrixa u ´j bázisban . . Bels˝o szorzat u ´j bázisban . . . . . . . . . . 4.2 Lineáris leképezések és mátrixok rangtétele . . . . 4.3 Kvadratikus alakok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Bilineáris és hermitikus alakok∗ . . . . . . . . . . . 5 Euklideszi ´ es unit´ er terek 5.1 Euklideszi terek . . . . . . . . . . . 5.2 Az euklideszi tér topológi´ aja . . . . 5.2.1 Pontsorozatok . . . . . . . . 5.3 Geometriai fogalmak által´ anos´ıt´ asa 5.4 Unitér terek∗ . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

71 76

. . . . .

79 79 82 85 88 90

. . . . . . .

93 93 96 101 102 103 106 114

. . . . .

119 119 136 140 143 152

6 Determin´ ansok 6.1 Permutációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 k-lineáris f¨ uggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Determinánsok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 A determináns tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 A lineáris transzformáci´ ok determináns´ anak numerikus meghatározása, mátrixok determinánsa . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Karakterisztikus polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155 155 158 162 162

7 Invari´ ans alterek 7.1 Invariáns alterek, transzformáci´ ok polinomjai . . . . . . 7.1.1 Polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Lineáris transzformáci´ ok és mátrixaik polinomjai 7.2 Sajátvektorok és sajátértékek . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Valós vektorterek komplexifik´ aci´ oja∗ . . . . . . . . . . . 7.4 Egyszer˝ u lineáris transzformáci´ ok∗ . . . . . . . . . . . . ¨ 7.4.1 Onadjung´ alt lineáris transzformáci´ ok . . . . . . . 7.4.2 Unitér transzformáci´ ok . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Normális lineáris transzformáci´ ok . . . . . . . . . 7.5 Euklideszi terek lineáris transzformáci´ oi . . . . . . . . . 7.5.1 Szimmetrikus lineáris transzformáci´ ok . . . . . . 7.5.2 Ortogonális lineáris transzformáci´ ok . . . . . . .

171 171 173 178 181 186 189 189 191 193 195 196 197

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

164 169

´ TARTALOMJEGYZEK 7.6 7.7

v

A s´ık elemi lineáris transzformáci´ oi∗∗ Lineáris transzformációk redukál´ asa∗ 7.7.1 Nilpotens transzformáci´ ok . . 7.7.2 A Jordan-féle kanonikus alak

8 Differenci´ alsz´ am´ıt´ as 8.1 Mátrixok normája . . . . . . . . . 8.2 Differenciálhatóság . . . . . . . . . 8.3 Parciális deriváltak . . . . . . . . . 8.4 Folytonos differenciálhat´ os´ ag . . . 8.5 Másodrend˝ u deriváltak . . . . . . . 8.6 A széls˝oérték másodrend˝ u feltételei 8.7 Az implicitf¨ uggvény-tétel . . . . . 8.8 Feltételes széls˝oérték . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

199 201 208 211

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

213 213 217 220 223 225 228 231 236

vi

´ TARTALOMJEGYZEK

1. Fejezet

Vektorterek ´ es elemi tulajdons´ agaik Ebben a fejezetben a köznapi értelemben vett s´ık vektorain értelmezett összead´ as és vektorok valós számokkal val´ o szorzás´ anak tulajdonságait vizsgáljuk, majd a szerzett tapasztalatok birtokában definiáljuk az absztrakt vektortér fogalmát. Már itt szeretnénk arra biztatni az olvas´ ot, hogy a kés˝ obbiekben bevezetett fogalmak és áll´ıtások pontos megértése érdekében mindig vizsgálja meg, hogy a szóbanforg´ o fogalomnak, illetve áll´ıtásnak mi a geometriai jelentése a s´ıkon és a térben. A geometriai modell, bár nem helyettes´ıti a bizony´ıt´ ast, de seg´ıti a megértést. A közgazdász hallgatók szám´ ara a val´ os koordinátaterek ismerete a legfontosabb, mégis, ahol a minden vektortérre jellemz˝o tulajdonságokat tárgyaljuk, a tisztább fogalomalkotás érdekében nem használjuk a vektorok koordinát´ ait.

1.1

Vektorok a s´ıkon

A lineáris algebra, vagy kifejez˝obb nevén a vektorterek elmélete a középiskol´ aban tanult vektoralgebra, illetve koordinátageometria által´ anos´ıt´ asa. Ezért ebben a bevezet˝o szakaszban a középiskol´ aban tanult, s´ıkbeli vektorok algebráj´ anak összefoglalását találja az olvasó, hangs´ ulyozva azokat a tulajdonságokat, amelyek a kés˝obbiekben definiált absztrakt vektorterek értelmezésénél elengedhetetlenek. A vektorok bevezetését az az észrevétel tette sz¨ ukségessé, hogy bizonyos mennyiségek matematikai jellemzésére a számok nem elegend˝oek, péld´ aul egy mozgó objektum viselkedésének le´ırásakor nemcsak az objektum sebességének nagysága, de mozg´ asának iránya is fontos jellemz˝o. Hasonlóan, egy testre ható er˝o okozta elmozdulás nemcsak az er˝o nagyságának, hanem irány´ anak is a f¨ uggvénye. Az ilyen és hasonló mennyiségek jellemzésére használtuk a vektorokat, amelyeket irány´ıtott szakaszok reprezentáltak. Tekintettel arra, hogy péld´ aul egy objektumra egyszerre több er˝o is hathat és azok összhat´ asa dönti el az objektum mozgás´ at, sz¨ ukséges, hogy ez az összhatás kiszám´ıthat´ o legyen az összetev˝ ok ismeretében. Ezért célszer˝ u a vektorok összead´ as´ at értelmezni. Persze az összead´ ast u ´gy k´ıv´ antuk definiálni, hogy az egyes er˝ohat´ asokat reprezent´ al´ o vektorok összege alkalmas legyen az u ´gynevezett, ered˝o er˝o reprezent´ al´ as´ ara. Sok esetben, péld´ aul gyorsabb mozg´ as elérése érdekében meg kell ”sokszorozni” egy objektumra ható er˝ot. Ez 1

´ ELEMI TULAJDONSAGAIK ´ 1. FEJEZET VEKTORTEREK ES

2

a vektorokkal való reprezentáci´ o nyelvén azt jelenti, hogy egy vektornak számmal való szorzatát is kellett definiálnunk. Ha az objektumra ható er˝oket vektorokkal k´ıvánjuk reprezentálni, akkor tekintve, hogy az er˝o f¨ uggetlen az objektum térbeli helyét˝ol, célszer˝o két vektort egyenl˝ onek tekinteni, amennyiben azok hossza is és iránya is egyenl˝o. Az alábbiakban a s´ık egy rögz´ıtett pontj´ ab´ ol kiinduló u ´gynevezett helyvektorok halmazán értelmezett összead´ as és skal´ arral val´ o szorzás tulajdonságait foglaljuk össze. Annak érdekében, hogy ábr´ aink szemléletesek legyenek, a vektorokat Descartes–féle derékszög˝ u koordináta rendszerben helyezt¨ uk el, de hangs´ ulyozni szeretnénk, hogy sem a vektorok összead´ as´ an´ al, sem azok skal´ arral val´ o szorzásakor a koordináta rendszer felvétele nem sz¨ ukséges, annak, a definiáland´ o m˝ uveletek szemszögéb˝ol nincs szerepe. Két a és b vektor összeadása a paralelogramma– szabály alapján történik, az alábbi 1.1.a. ábrának megfelel˝oen: ... ... .. ... . ......... ... . . ..................... ... . . . ..... . ... ..... . . . . . . . . ... . . . . ...... ... . . . ..... . . . . ... ...... . . . . ...... ... ..... . . . . . . . . ... . . . .... ...... ... . ..... ........... ... ...... . ...... ... ... . ..... . . .. . . ... . . . . ...... ... ... ..... . ... ... ...... . ...... ... ... ..... . . .. . ... . . . . . ...... ... ... . ..... ... ... ...... ................... ...... ... .... .................. ..... . . . ............. ... ... . . ............. . . ..... . . . . . . . . ... ... . . . . . . ... ......... ... .. ...... ............. ............. .... .... ........... ............. ......................................... . . . . . . . . . . . . ................... .............................................................................................................................................................................. ... ... ....

... ... .. ... ... ...... ................ ... ...... ... ..... . . . ... . .... ... ..... ... ..... ..... ... .... . . . . ... . . ................ ... ... ..... . ..... ... ..... . . ... . . ..... ... ..... ... ..... ..... ... ..... . . ... . .... ... ..... ... ..... .... ... .................. ... . ..... ... ..... ... ..... ... ......... .... ...... .................................................................................................................................................................................................................... ... ... ....

a+b

b

•a

a+b

b

a

•

•

a.

b.

... ... .. ... ... ............... ......... ... ....... .. ....... ... ....... . . . . ... . . ....... ... ....... ... .. ........ ................ ... .......... . . . . . . ... . . . . . . . .... ... ........... ....... ... ....... ....... ... ....... . . . . ... . . .. ... .............. . ... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ..... ... . . . . . . ... ....... .... ....... ... ....... ....... ... ....... . . . . . ... . . ............ . . . . ... . . . . ..... ... ... ... ..

•a

a+b

•

b

c.

1.1. ábra: Vektorok összead´ as´ anak értelmezése Természetesen értelmezn¨ unk kell olyan vektorok összead´ as´ at is, amelyeknek azonos, vagy ellentétes az iránya. Ebben az esetben a második összeadand´ ot az els˝o végpontjába helyezz¨ uk és az els˝o kezd˝ opontj´ ab´ ol a második végpontj´ aba mutató vektorral definiáljuk összeg¨ uket. (lásd az 1.1.b. és 1.1.c. ábr´ akat!) A vektorok összeadásának fenti defin´ıciójából azonnal adódik, hogy az összeg f¨ uggetlen az összeadandók sorrendjét˝ol, azt mondjuk, hogy a vektorok összead´ asa kommutat´ıv. Adjunk most össze három vektort, az a-t, b-t és c-t. Ez kétféle sorrendben lehetséges, nevezetesen hozzáadhatjuk a-hoz a (b + c) összeget, de az (a + b)-hez is hozzáadhat´ o a c vektor. Az 1.2.a. ábrán az els˝o, az 1.2.b. ábr´ an pedig a második sorrendnek megfelel˝oen képezt¨ uk három vektor összegét.

1.1. VEKTOROK A S´ıKON

3

... ... .. ... ... ... ... ... ... .... ... . . ............ . ... . . . ............... . . . . .. ... . ...... . . . . . . . ... . . . . .... . ... . . . ...... . ...... ... . . . . . ...... . . . . . . . . . . . .... ... . . . . . . . . ...... . .... . . . . . . . . . .. . .... . .. . ....... . . . . . ... .. . ...... ... .... ...... . . . . . . ... .. ... . . . . . ... ... ..................................... .... . . . . . . ... .. . . . . . . . . . ......... . . .... . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . .... ....... ... .. .............. ...... ............... ............... . . ... ... ...... ........... ............... ... ... . . ...... ........ ............... ..... .......................... ............................. .......................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ........ ......... ..................... ...................................................................................................................................................................................................................................... .... .. ... .

... ... .. ... ... ... ... ... ... . ... . . . . ................... . . . . . . ... ....... . . . . . . . ...... . ... . ........ ...... . . . . . ... . . . . . . . ........ . ...... ... . . . ...... . ... . ...... . ..... . . ...... .. . ... . ...... .. . . . . . . . . . . . . ...... . ...... .... ... . .... ...... ....... . ... ... ...... . ... . .. ...... . ... .... .. . ........... . . ... .. . . ...... ... ... ... . ...... ... .. .... ...... . . ... ... .. ...... ...... ................... . ... .. ... . . . . . ... ... ... ...... ........... . ... ... .. ........................ .... ..... ... ................... ................................... ...................... ................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................... ...................................................................................................................................................................... .... .. ... .

b+c

(a + b) + c

c

b

a+b

a

•

c

a + (b + c)

b

a

•

a.

b.

1.2. ábra: A vektorok összead´ as´ anak asszociativitása Azt tapasztaljuk, hogy ugyanaz a vektor adódik mindkét esetben. A vektorok összeadásának ezt a tulajdonságát asszociativit´ asnak nevezz¨ uk. Vektoraink halmazában a zéró hossz´ uság´ u azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy azt bármely a vektorhoz hozzáadhatjuk anélk¨ ul, hogy azt megváltoztatn´ a. Teh´ at ugyanolyan szerepet játszik, mint a 0 a számok összead´ as´ an´ al. Képezz¨ uk most egy tetsz˝oleges a vektornak olyan −a-val jelölt vektorral val´ o összegét, amelynek a hossza megegyezik a hosszával, de iránya ellentétes. Az 1.3 ábra mutat egy ilyen esetet. ... ... .. ... ... ... ... ............... ... .............. ... . ........ ......... ... ......... ... ......... ......... ... ......... .. ......... ......... ... .......................................................................................................................................................................................................................................................................... .. .... ...................... ......... ... ......... ... ......... ......... ... ......... ... ......... .. ............ ... ............. ... ... .. .... ... ... ... .

−a

•0

•a

1.3. ábra: Létezik nullvektor Az összeg a zéró hossz´ uság´ u vektor. Foglaljuk össze a vektorok V halmaz´ an értelmezett összead´ as fent illusztrált tulajdonságait. Tetsz˝oleges a, b, és c ∈ V esetén: 1. a + b = b + a (a vektorok összead´ asa kommutat´ıv), 2. a + (b + c) = (a + b) + c (a vektorok összead´ asa asszociat´ıv), 3. (∃ 0 ∈ V ) : 0 + a = a + 0 = a (létezik zér´ ovektor), 4. (∀ a ∈ V ) : (∃ (−a) ∈ V ) : a + (−a) = (−a) + a = 0 (minden vektornak van ellentettje).


4

Hasonló tulajdonságokat mutat, péld´ aul az egész számokon értelmezett összeadás is, és a f¨ uggvénytanban megismert f¨ uggvény¨ osszead´ as is. Az ilyen strukt´ ur´ akat kommutat´ıv csoportnak vagy Abel-csoportnak h´ıvjuk. Megjegyezz¨ uk, hogy egy olyan algebrai strukt´ urát, amely a fenti négy követelmény köz¨ ul csak a (2)-es, (3)-as és (4)-es feltételeknek tesz eleget, tehát a kommutativit´ asi feltételnek nem, csoportnak h´ıvjuk. Definiáljuk egy vektornak számmal val´ o szorzás´ at az 1.4.a., illetve az 1.4.b. ábráknak megfelel˝oen. .. ... .. ... ... ... ... ... ............... ... .......... ... ........ . ........ ... ....... . . . . ... . . ...... ... ....... ....... ... ....... ... ....... ....................... ... ..... .. ... ....... ... ....... ........ ... ....... . . . . ... . . .. ... .............. . . .......................................................................................................................................................................................................... .. ... .. ..

2a

a

•

a.

− 12 a

.. ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ............... ... ........... ... ....... . ....... ... ....... . . . . ... . . ...... ... ....... ... .............. . . ............................................................................................................................................................................................................... . . . ....... ... . ........ .... .............. ........... .

a

•

b.

1.4. ábra: Vektor skal´ arral val´ o szorzása Tehát egy a vektor α-szorosa legyen olyan vektor, amelynek hossza a hossz´ anak |α|-szorosa iránya pedig a irány´ aval megegyez˝ o, illetve azzal ellentétes, aszerint hogy α pozit´ıv vagy negat´ıv. Megvizsgáljuk, hogy a skal´ arokkal val´ o, fent definiált szorzásnak milyen tulajdonságai vannak.

¨ 1.5. ábra: Osszegvektor szorzása számmal Az 1.5.a. és az 1.5.b. ábrák arról árulkodnak, hogy ugyanazt az eredményt kapjuk, ha két vektor összegét szorozzuk meg egy skal´ arral, mint amikor el˝obb az

1.1. VEKTOROK A S´ıKON

5

o¨sszeadandó vektorokat szorozzuk meg a számmal, s csak az ´ıgy megváltoztatott vektorokat adjuk össze.

.... ... .. ... ... ... ... ... .... .. ... . .............. ... .......... ....... .. ... ....... . . . ... . . . .... ... ..................... ... .......... ....... ... ....... . . . . ... . . . ..... ... ....... ... .............. .. ..... ........................................................................................................................................................................................................... .... .. ...

α=

1 2

.... ... .. ... ... ... ... ... .... .. ... . .............. ... .......... ....... .. ... ....... . . . . ... . . .... ... ..................... ... .......... ....... ... ....... . . . . ... . . . ...................... ... ... .............. .. .. ..... ........................................................................................................................................................................................................... .... .. ...

β=1

(α + β)a

a

•

αa + βa

βa •

•

αa

a.

b. 1.6. ábra: Vektor szorzása számok összegével

A skalárok összegével való szorzata egy a vektornak az 1.6.a. és 1.6.b. ábr´ ak alapján ugyanazt a vektort eredményezi, mint annak a két vektornak az összege, amit az egyik, majd másik skalárral val´ o szorzással kaptunk a-b´ ol.

.. ... .. ... ... ... ... ... ... .. ... .............. ... ........... ....... ... ...... . . . ... . . ....... ... ....... ... ....... ... ....... .................... ... .. .. ... ....... ....... ... ...... ... ....... ... ........... . ........................................................................................................................................................................................................... .. ... ... .... .. ... ...

.. ... .. ... ... ... ... ... ... .. ... .............. ... ........... ....... ... ...... . . . ... . . ....... ... ....... ... ....... ... ....... .................... ... .. .. ... ....... ....... ... ...... ... ....... ... ........... . .............................................................................................................................................................................................................. .... . ....... .... ...... . . . . . . . . . ............. .... ........ .... .. ...

α = −3 β = − 32

(αβ)a

a

•

a.

α(βa)

a

•

βa

b.

1.7. ábra: Vektor szorzása számok szorzatával Az 1.7.a. illetve 1.7.b. ábrák azt mutatj´ ak, hogy skal´ arok szorzatával u ´gy is lehet szorozni egy vektort, hogy el˝obb szorzunk az egyik skal´ arral, majd az ´ıgy kapott vektort szorozzuk a másik skalárral. A skalárokkal való szorzás defin´ıci´ oj´ ab´ ol azonnal adódik az a tény, hogy bármely vektor 1-szerese a vektort nem változtatja meg. ¨ Osszefoglalva, ha a és b ∈ V tetsz˝oleges vektorok és α és β tetsz˝ oleges val´ os számok, akkor érvényesek az alábbi tulajdonságok: (a) α(a + b) = αa + αb, (b) (α + β)a = αa + βa, (c) (αβ)a = α(βa) = β(αa) (d) 1a = a. A vektorok skalárokkal való szorzása nem ugyanolyan m˝ uvelet, mint azok összeadása, hiszen ebben az esetben egy másik halmaz, péld´ ankban a val´ os számok

6


halmazának elemei hatnak a vektorokra. Azt mondjuk, hogy a skal´ arok, mint oper´ atorok hatnak a vektorokra. A val´ os számhalmaz a s´ık vektorainak u ´gynevezett oper´ atortartom´ anya. A s´ıkbeli helyvektorok V halmaza a definiált összead´ assal és val´ os skal´ arokkal való szorzással egy példát szolgáltat vektortérre, melyekkel e jegyzetben foglalkozni fogunk. A vektorterek számos helyen u ´jra meg u ´jra felbukkantak, és felbukkannak tanulmányaik során, persze más és más könt¨ osben. Itt el˝obb, és már a középiskolában is, mint irány´ıtott szakaszok jelentkeztek, de valamely [a, b] intervallumon értelmezett valós f¨ uggvények is vektorteret alkotnak a szokásos f¨ uggvény¨ osszead´ assal és a számmal való szokásos szorzással. Ami köz¨ os ezekben a vektorterekben az, hogy (1) az értelmezett összead´ as m˝ uvelet tulajdonságai azonosak, (2) valamilyen skalárhalmaz — hasonló a val´ os számok halmazához — elemei operátorokként hatnak a vektortér elemeire, és ugyanolyan tulajdonságokkal jellemezhet˝o hatásuk, mint azt a fenti (a) — (d) pontokban láttuk. Persze, azt pontosan meg kell mondanunk, hogy milyen skal´ arhalmazt tekinthet¨ unk a valós számok halmazához hasonlónak. Péld´ aul, az egész számok halmaza komoly eltéréseket mutat, mert am´ıg bármely nemzér´ o α val´ os számhoz található egy olyan valós szám, amellyel azt szorozva 1-et kaphatunk, nevezetesen az 1/α ilyen, addig tetsz˝oleges p(6= ±1) egész szám, bármely q egész számmal val´ o szorzata k¨ ulönbözik 1-t˝ol. Ezért mindenekel˝ott felsoroljuk azokat a tulajdonságokat, amelyekkel a val´ os számok halmaza rendelkezik és amelyeket meg fogunk követelni azoktól az F skalárhalmazoktól, amelyek a vektorterek, u ´gynevezett oper´ atortartom´ anyai lehetnek. A valós számok halmazán két, kétv´ altoz´ os m˝ uvelet, az összead´ as és a szorzás van értelmezve, mindkét m˝ uvelet kommutat´ıv és asszociat´ıv, van zér´ o– és egységelem, minden valós számnak van ellentettje, minden nemzér´ o val´ os számnak van reciproka és a két m˝ uvelet kapcsolatára érvényes a disztributivitás, pontosabban a szorzás az összeadásra nézve disztribut´ıv. Az, hogy az F halmazon értelmezve van a kétv´ altoz´ os ∗ m˝ uvelet: (α, β) → α ∗ β azt jelenti, hogy bármely α, β ∈ F elempárhoz hozzá van rendelve egy α ∗ β elem F-ben. Ha egy halmazon van ´ ertelmezve legalább egy m˝ uvelet, akkor algebrai strukt´ ur´ anak nevezz¨ uk. 1.1.1 Defin´ıci´ o. Az F két m˝ uveletes algebrai strukt´ ur´ at testnek nevezz¨ uk, ha a m˝ uveletek — melyeket ¨ osszead´ asnak, illetve szorz´ asnak h´ıvunk és jel¨ olés¨ ukre a +, illetve · jeleket haszn´ aljuk — eleget tesznek az al´ abb felsorolt tulajdons´ agoknak. B´ armely α, β, γ ∈ F-re: 1. α + β = β + α (az ¨ osszead´ as kommutat´ıv), 2. α + (β + γ) = (α + β) + γ (az ¨ osszead´ as asszociat´ıv), 3. (∃ 0 ∈ F) : 0 + α = α + 0 = α (van zér´ oelem F-ben), 4. (∀ α ∈ F) : (∃ (−α) ∈ F) : α + (−α) = (−α) + α = 0 (minden elemnek van negat´ıvja),

´ FOGALMA 1.2. A VEKTORTER

7

a. α · β = β · α (a szorz´ as kommutat´ıv), b. α · (β · γ) = (α · β) · γ (a szorz´ as asszociat´ıv), c. (∃ 1 ∈ F) : 1 · α = α · 1 = α (van egységelem F-ben), d. (∀ α(6= 0) ∈ F) : (∃ α−1 ∈ F) : α · α−1 = α−1 · α = 1 (minden nemzér´ o elemnek van reciproka), A. α · (β + γ) = α · β + α · γ és (α + β) · γ = α · γ + β · γ (a szorz´ as az ¨ osszead´ asra vonatkoz´ oan disztribut´ıv). A jól ismert számhalmazaink köz¨ ul a racionális számok, a val´ os számok és a komplex számok alkotnak testet a szokásos összead´ as és szorzás m˝ uveletekkel. Vannak azonban véges testek is, péld´ aul véges testet kapunk, ha tetsz˝oleges p pr´ımsz´ am esetén a {0, 1, . . . , (p − 1)} halmazon u ´gy definiáljuk két elem összegét/szorzat´ at, hogy képezz¨ uk el˝obb a közönséges összeg¨ uket/szorzatukat, majd a kapott eredmény p-vel való osztása utáni maradék´ at vessz¨ uk. p = 5 esetén az alábbi tábl´ azatokban bemutatjuk az összeadás és szorzás fenti értelmezését: + 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

és

· 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

Az olvasó könnyen ellen˝orizheti, hogy a test defin´ıci´ oj´ aban megkövetelt tulajdonságok mindegyike teljes¨ ul. A jól ismert számtestek és a most mutatott véges testek egy lényeges tulajdonságban k¨ ul¨ onb¨ oznek: nevezetesen, ha α 6= 0 a test egy tetsz˝ oleges eleme és n egy pozit´ıv egész, akkor az n · α — amin olyan n tag´ u összeget kell érten¨ unk, melynek minden tagja α — a racionális, val´ os, vagy komplex számok testében sohasem nulla, m´ıg a véges testekben lehet nulla. Azt a legkisebb pozit´ıv n egész számot, amelyre n · α = 0 teljes¨ ul a test tetsz˝oleges α 6= 0 elemére, a test karakterisztik´ aj´ anak nevezz¨ uk, és ha ilyen pozit´ıv egész szám nem létezik, akkor a testet 0-karakterisztik´ aj´ unak mondjuk. A {0, 1, 2, 3, 4} halmazon a fenti m˝ uveleti táblákkal értelmezett test karakterisztik´ aja öt, péld´ aul az 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 , de nem nehéz ellen˝orizni, hogy a 2, 3, 4 elemekre is teljes¨ ul, hogy ötsz¨ or¨ os¨ uk nulla az adott testben. Tévedés lenne azt gondolni, hogy csak a√racionális, val´ os, vagy komplex számok teste 0-karakterisztikáj´ u, például az a + b 2 alak´ u számok halmaza, ahol a és b racionálisak — a valós számhalmaznak val´ odi, de a racionális számok halmazán´ al b˝ovebb részhalmaza — a szokásos összead´ as és szorzás m˝ uveletekkel 0-karakterisztikáj´ u test.

1.2

A vektort´ er fogalma

Az el˝oz˝o szakaszban egy konkrét vektortérrel ismerkedt¨ unk meg, a köznapi értelemben vett s´ık, u ´gynevezett helyvektorainak terével. Most megadjuk a vektortér

8


absztrakt defin´ıcióját, hogy azután a minden vektortérre jellemz˝o tulajdonságokat ne kelljen minden konkrét vektortér esetén k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on igazolnunk, tehess¨ uk azt általánosan. 1.2.1 Defin´ıci´ o. Legyen V egy halmaz, amelyben értelmezve van egy ¨ osszead´ as m˝ uvelet az al´ abb felsorolt tulajdons´ agokkal: (i) (∀ x, y ∈ V ) : x + y = y + x, (ii) (∀ x, y, z ∈ V ) : x + (y + z) = (x + y) + z, (iii) (∃ 0 ∈ V ) : (∀ x ∈ V ) : 0 + x = x, (iv) (∀ x ∈ V ) : (∃ (−x) ∈ V ) : x + (−x) = 0. Legyen F olyan halmaz, amelyen értelmezett egy ¨ osszead´ as és egy szorz´ as m˝ uvelet, amelyekre nézve F testet alkot. Az F elemei legyenek oper´ atorai V -nek, azaz (∀ α ∈ F)-re ∃ x −→ αx (x ∈ V ) leképezés, a k¨ ovetkez˝ o tulajdons´ agokkal: (∀ α, β ∈ F) és (∀ x, y ∈ V )-re (a) α(x + y) = αx + αy, (b) (α + β)x = αx + βx, (c) (αβ)x = α(βx), (d) 1x = x, ahol 1 ∈ F az F test egységeleme. Akkor a V halmazt az F test feletti vektortérnek nevezz¨ uk. A V halmaz elemeit vektoroknak, az F test elemeit skal´ aroknak h´ıvjuk. A fenti defin´ıcióban ugyanazt a + szimbólumot használtuk mind a vektorok, mind a skal´ arok összeadásának jelölésére, de ez nem okozhat félreértést, hiszen a skal´ arok jelölésére görög, m´ıg a vektorok jelölésére latin bet˝ uket használunk, ´ıgy minden¨ utt nyilv´ anval´ o, hogy vektorok vagy skalárok összead´ as´ ar´ ol van e szó, egyed¨ ul a zér´ o vektor és a zér´ o skalár megk¨ ulönböztetésér˝ol nem gondoskodik jelölésrendszer¨ unk, mindkett˝ ot a 0 szimbólum reprezentálja, de a környezet itt is az olvas´ o seg´ıtségére lesz annak kider´ıtésében, hogy a zéró skalárra vagy a zérusvektorra utal a 0 jel. A skal´ arok szorzatát egyszer˝ uen a tényez˝ok egymás mellé ´ır´ as´ aval jelölt¨ uk, csak´ ugy mint egy α ∈ F operátor által az x ∈ V vektorhoz rendelt αx ∈ V vektort. Egy operátor által indukált hozzárendelést egyszer˝ uen skal´ arral val´ o szorz´ asnak fogjuk h´ıvni. Vizsgálataink id˝onként valamely jól ismert számtest feletti vektorterekre irányulnak. Ilyenkor a következ˝ o terminológi´ at használjuk. Az F feletti V vektorteret racionális vektortérnek mondjuk, ha a skal´ arok csak racionális számok lehetnek, ha valós számok a skalárok, akkor V -t val´ os vektortérnek h´ıvjuk, és ha komplex számok a vektorok operátorai, akkor V -t komplex vektortérnek nevezz¨ uk. Bár a vektortér defin´ıciójában semmiféle kikötést nem tett¨ unk az F test karakterisztik´ aj´ at illet˝oen, és az elmélet áll´ıtásainak t´ ulnyom´ o többsége tetsz˝oleges karakterisztik´ aj´ u test feletti vektorterekre is érvényes, de mi ebben a jegyzetben csak 0-karakterisztik´ aj´ u testek feletti vektorterekkel foglalkozunk.


1.2.1

9

P´ eld´ ak vektorterekre

1. A bevezet˝o szakaszban megismert, a s´ık egy rögz´ıtett pontj´ ab´ ol, mint kezd˝opontból kiinduló helyvektorok a paralelogramma–szabály szerinti összead´ as m˝ uvelettel és a megismert val´ os számokkal val´ o szorzással, val´ os vektortér. 2. Tekints¨ uk az összes t változ´ oj´ u, val´ os egy¨ utthat´ os polinomok R[t] halmazát. A p(t) = α0 + α1 t + · · · + αm tm m-edfok´ u és a q(t) = β0 + β1 t + · · · + βn tn n-edfok´ u polinomok összege legyen def

p(t) + q(t) = (α0 + β0 ) + (α1 + β1 )t + · · · + (αn + βn )tn , ha m = n, def

p(t) + q(t) = (α0 + β0 ) + (α1 + β1 )t + · · · + (αn + βn )tn + · · · + αm tm , ha m > n és def

p(t) + q(t) = (α0 + β0 ) + (α1 + β1 )t + · · · + (αm + βm )tm + · · · + βn tn n > m esetén. A p(t) polinom γ valós számszorosa pedig legyen def

γp(t) = (γα0 ) + (γα1 )t + · · · + (γαm )tm . Tekintve, hogy a polinomok összead´ asa az azonos fokszám´ u tagok egy¨ utthat´ oinak összeadására van visszavezetve, azonnal adódik, hogy ez a m˝ uvelet asszociat´ıv és kommutat´ıv, mivel a val´ os számok összead´ asa rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal. Az azonosan zér´ o polinom, tehát az, amelynek minden egy¨ utthatója nulla, zéróelem a polinomok fent definiált összead´ as´ ara nézve. Egy tetsz˝oleges p(t) polinom ellentettje erre az összead´ asra nézve a −1p(t). A skalárokkal való szorzástól megkövetelt tulajdonságok teljes¨ ulése is azonnal adódik, ha figyelembe vessz¨ uk, hogy a val´ os egy¨ utthat´ oknak val´ os számokkal való szorzására vezett¨ uk vissza a polinomok skal´ arral val´ o szorzás´ at. Így a polinomok R[t] halmaza val´ os vektortér a definiált m˝ uveletekkel. 3. Legyen F az [a, b] zárt intervallumon értelmezett val´ os f¨ uggvények halmaza. Két f, g ∈ F f¨ uggvény összegét, illetve val´ os α számmal val´ o szorzatát értelmezz¨ uk a szokásos módon, azaz legyen ∀ x ∈ [a, b]-re def

(f + g)(x) = f (x) + g(x) és

def

(αf )(x) = αf (x). Könnyen ellen˝orizhet˝o, hogy F val´ os vektortér az ´ıgy definiált m˝ uveletekkel.


10 4. Legyen S halmaza. szorzását legyen

az összes valós számsorozat, azaz az összes f : N → R f¨ uggvények ´ Ertelmezz¨ uk a számsorozatok összead´ as´ at és val´ os számmal val´ o a szokásos módon, azaz bármely két {an } és {bn } számsorozatra def

{an } + {bn } = {an + bn }, illetve bármely α valós számra és {an } ∈ S-re legyen def

α{an } = {αan }. Az ´ıgy kapott strukt´ ura megint val´ os vektortér. 5. Jelölje Rn−1 [t] a legfeljebb n − 1-edfok´ u val´ os egy¨ utthat´ os polinomok halmazát és e halmazbeli polinomokra ugyan´ ugy értelmezz¨ uk az összad´ ast és a val´ os számmal való szorzást, mint azt az összes polinomok R[t] vektorterében. Azt tapasztalhatjuk, hogy Rn−1 [t] is val´ os vektortér. 6. Az alább adott példa kicsit mesterkéltnek hat, mert tisztán matematikai konstrukció. A szám´ıtástechnik´ aban valamennyire jártas olvas´ o azonban már találkozhatott olyan lineáris elrendezés˝ u tömb¨ okkel, amelyeknek val´ os számok az elemei. Az azonos méret˝ u tömb¨ ok halmaza is vektortér megfelel˝o m˝ uveletekkel. Az el˝ore bocsájtottakat pontos´ıtand´ o jelölje R, mint által´ aban, a val´ os számok n halmazát és legyen R a rendezett val´ os szám-n-esek halmaza. Definiáljunk összeadást Rn -en a következ˝ oképpen: bármely 



ξ1  ..  x= .  ξn









η1 ξ1 + η1 def   ..   .. és y =  .  -ra legyen x + y =  . . ηn ξn + ηn

Ugyancsak értelmezz¨ uk egy tetsz˝oleges 



ξ1  ..  x= .  ξn szám-n-es α ∈ R skalárral val´ o szorzatát az 



αξ1 def   αx =  ...  αξn egyenl˝oséggel. Nagyon könnyen igazolható, hogy Rn val´ os vektortér a fentiekben definiált m˝ uveletekkel, amelyet n-dimenzi´ os val´ os koordin´ atatérnek nevez¨ unk. Az elnevezés magyar´ azat´ at kés˝ obbre halasztjuk, egyel˝ ore csak arra emlékeztetnénk az olvas´ ot, hogy a s´ık vektoraihoz is rendelt¨ unk koordinátákat a középiskolában, a koordinátatereknek hasonló reprezentáci´ os szerep¨ uk lesz a vektorterek elméletében, mint a s´ıkbeli helyvektorok koordinát´ ainak a középiskolai tanulmányaik során.


11

A figyelmes olvasó jogosan veti fel a kérdést, hogy milyen vektorteret kapunk, ha az Rn operátortartományaként csak a racionális számok testét vessz¨ uk. Természetesen racionális vektorteret, ami a fentiekben megadott tért˝ ol nagyon k¨ ulönbözik. Tehát egy vektortér megadása nemcsak a vektorok halmazának, de a skalárok halmazának megadás´ at és a m˝ uveletek értelmezését is jelenti. 7. Tetsz˝oleges F test esetén, hasonlóan értelmezve Fn -beli n-esek összead´ as´ at és az n F-beli skal´ arokkal való szorzás´ at, F vektortér lesz az F test felett, ez az u ´gynevezett n-dimenzi´ os F-feletti koordin´ atatér. Ebben az által´ anos esetben is el˝ofordulhat, hogy Fn operátortartom´ anyaként valamely F-t˝ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o testet vesz¨ unk, de arra minden esetben fel fogjuk h´ıvni az olvas´ o figyelmét, és ha k¨ ulön nem specifikáljuk a skal´ arok testét, akkor az Fn jel¨ oléssel mindig az n-dimenziós F feletti koordinátatérre utalunk. 8. Utolsó példaként megmutatjuk, hogy egy tetsz˝oleges F feletti V vektortér birtokában hogyan lehet megkonstru´ alni egy másikat, az u ´gynevezett du´ alis vektorteret. 1.2.2 Defin´ıci´ o. Legyen V egy tetsz˝ oleges F test feletti vektortér és jel¨ olje V ∗ az olyan y ∗ : V → F leképezések, az u ´gynevezett line´ aris f¨ uggvények vagy m´ as néven line´ aris funkcion´ alok halmaz´ at, amelyek eleget tesznek az al´ abbi feltételnek: ∀ v, w ∈ V : ∀ αβ ∈ F : y ∗ (αv + βw) = αy ∗ (v) + βy ∗ (w) . ´ Ertelmezz¨ uk most a V ∗ halmazon az ¨ osszead´ ast a def

∀ y1∗ , y2∗ ∈ V ∗ : ∀ v ∈ V : (y1∗ + y2∗ )(v) = y1∗ (v) + y2∗ (v) egyenl˝ oséggel és az F-beli skal´ arokkal val´ o szorz´ ast pedig a def

∀ y ∗ ∈ V ∗ : ∀ α ∈ F : ∀ v ∈ V : (αy ∗ )(v) = α(y ∗ (v)) egyenl˝ oséggel. A V ∗ vektortér ezekkel a m˝ uveletekkel F felett, amelyet a V vektortér du´ alis´ anak nevezz¨ uk. Tulajdonképpen igazolnunk kellene, hogy V ∗ val´ oban vektortér, de a részletes és formális bizony´ıtást az olvas´ ora bizzuk. Seg´ıtséget ny´ ujthatnak ehhez a következ˝o megjegyzések: Lineáris f¨ uggvények összege is, egy lineáris f¨ uggvény skalárszorosa is lineáris f¨ uggvény. A lineáris f¨ uggvények fenti összead´ asa kommutat´ıv és asszociat´ıv, hiszen a f¨ uggvények összead´ asa vissza van vezetve a f¨ uggvények értékeinek összead´ as´ ara, és a f¨ uggvényértékek az F test elemei. Az azonosan zéró f¨ uggvény, tehát amely minden v ∈ V vektorhoz a zér´ o skal´ art ∗ rendeli, a lineáris f¨ uggvények összead´ as´ ara nézve zér´ oelem. Vég¨ ul, egy y lineáris f¨ uggvény ellentettje az a −y ∗ f¨ uggvény, amely bármely v ∈ V vektorn´ al a −y ∗ (v) skalárt veszi fel érték¨ ul. Így tehát a lineáris f¨ uggvények a definiált összeadásra nézve Abel-csoportot alkotnak. Az, hogy az F test elemeivel val´ o szorzás ugyancsak eleget tesz a skal´ arokkal val´ o szorzást´ ol megkövetelt négy tulajdonságnak, megint csak azonnal adódik abból, hogy egy lineáris f¨ uggvény skalárral való szorzása vissza van vezetve a f¨ uggvény értékeinek skal´ arral val´ o szorzására.

12


Fel kell h´ıvjuk az olvasó figyelmét arra a tényre, hogy a Rn−1 [t] vektortér és az Rn vektortér nagyon hasonlóak, legalábbis ami elemeik összead´ as´ at, illetve skalárral való szorzását illeti. Ugyanis, ha tetsz˝oleges p(t) = α0 + α1 t + . . . + αn−1 tn−1 polinomnak megfeleltetj¨ uk az egy¨ utthat´ okb´ ol felép´ıtett   

a=  

α0 α1 .. .

     

αn−1 Rn -beli sz´ am n-est, akkor ez egy olyan egy–egyértelm˝ u Φ : Rn−1 [t] Rn meg-

feleltetés, amely felcserélhet˝o a vektortérbeli m˝ uveletekkel, azaz Φ(p(t) + q(t)) = Φ(p(t)) + Φ(q(t)) és Φ(αp(t)) = αΦ(p(t)) teljes¨ ul. Azt mondhatjuk tehát, hogy a vektorterek végeredményben csak elemeik jelölésében térnek el egymástól. Ez az észrevétel vezet el benn¨ unket az izomorf vektorterek fogalmához. 1.2.3 Defin´ıci´ o. Legyenek V és W ugyanazon F test feletti vektorterek és legyen Φ:V W bijekt´ıv leképezés (egy-egyértelm˝ u r´ aképezés), amely eleget tesz az al´ abbi feltételnek: ∀ x, y ∈ V : ∀ α, β ∈ F : Φ(αx + βy) = αΦ(x) + βΦ(y). Akkor a V és W vektortereket izomorfoknak nevezz¨ uk. A Φ : V W bijekt´ıv leképezést izomorfizmusnak h´ıvjuk. A valós egy¨ utthatós legfeljebb n−1-edfok´ u polinomok Rn−1 [t] tere és az Rn koordinátatér tehát izomorfak. A bevezet˝ oben vizsgált s´ıkbeli helyvektorok vektortere és a kétdimenziós R2 koordinátatér ugyancsak izomorfak. Kés˝ obb még számos péld´ at fogunk látni vektorterek izomorfiáj´ ara, többek köz¨ ott azt is be fogjuk bizony´ıtani, hogy az u ´gynevezett véges dimenziós vektorterek és duálisaik is izomorfok egymással. Az eddigiek szerint egy vektortérben lehet vektorokat skal´ arral szorozni, ami vektort eredményez, és vektorokat össze lehet adni, aminek megint vektor az eredménye. Most ezen m˝ uveletekre támaszkodva értelmezz¨ uk a lineáris kombin´ aci´ o fogalmát. Ehhez sz¨ ukség van skal´ aroknak egy {α1 , . . . , αn } és vektoroknak egy X = {x1 , . . . , xn } rendszerére. Azért használjuk itt a kicsit univerz´ alis rendszer elnevezést a halmaz helyett, mert megengedett, hogy ugyanaz a skal´ ar, illetve vektor több példánya is szerepeljen. Az X vektorrendszer {αi , i = 1, . . . , n} skal´ arokkal aris kombin´ aci´ oja az képzett line´ α1 x1 + · · · + αn xn vektor. A rövidség kedvéért sokszor használni fogjuk a szummáci´ os jelölést is, ´ıgy P például az el˝obbi lineáris kombin´ aci´ ot ni=1 αi xi -vel is fogjuk jelölni. Az is el˝ofordul,


13

hogy a vektorok megk¨ ulönböztetésére egy I halmazb´ ol val´ o indexeket használunk, P ilyen esetben azok lineáris kombin´ aci´ oj´ at i∈I αi xi -nek ´ırjuk. A lényeges az, hogy amikor lineáris kombinációról beszél¨ unk, akkor egy olyan vektorra kell gondolnunk, amely el˝oáll´ıtható véges sok vektor skal´ arszorosainak összegeként. 1. Gyakorlatok, feladatok 1. Mutassuk meg, hogy tetsz˝oleges F test feletti V vektortérben (a) az αx vektor akkor és csak akkor a nullvektor, ha α az F test zér´ o eleme, vagy ha x a V zéró vektora. (b) az x(∈ V ) vektor −x ellentettje megkaphat´ o u ´gy, hogy az F test 1 egységelemének −1 ellentettjével szorozzuk az x vektort, azaz −x = −1x. 2. Legyen C[a,b] az [a, b] intervallumon folytonos val´ os f¨ uggvények halmaza, amelyet a f¨ uggvények szokásos összead´ as´ aval és val´ os számmal val´ o szokásos szorzásával tesz¨ unk strukt´ urává. Igazolja, hogy az ´ıgy kapott strukt´ ura val´ os vektortér. 3. Tekints¨ uk a valós számok R halmazát a szokásos összead´ assal és val´ os számmal való szokásos szorzással. Mutassuk meg, hogy R val´ os vektortér a fenti m˝ uveletekkel. 4. Legyen F tetsz˝oleges test. Mutassuk meg, hogy csak´ ugy, mint az el˝oz˝ o feladatnál, F o¨nmaga feletti vektortér. 5. Legyen F az ötelem˝ u véges test. Soroljuk meg az F2 koordinátatér elemeit. 6. Legyenek V és W ugyanazon F test feletti vektorterek. Képezz¨ uk az V × W Descartes–szorzatot, és azon értelmezz¨ uk az összead´ ast a következ˝ oképpen: def

∀ (v, w), (v 0 , w0 ) ∈ V × W : (v, w) + (v 0 , w0 ) = (v + v 0 , w + w0 ). Definiáljuk az α ∈ F skalárral val´ o szorzást is az def

∀ (v, w) ∈ V × W : ∀ α ∈ F : α(v, w) = (αv, αw) egyenl˝oséggel. Az ´ıgy kapott strukt´ ur´ at jelölj¨ uk V ⊗ W -nel. Mutassuk meg, hogy V ⊗ W vektortér az F test felett. 7. Legyen H tetsz˝oleges nem¨ ures halmaz, F test és V az összes olyan f : H −→ F f¨ uggvények halmaza, amelyek a H halmaz legfeljebb véges sok eleméhez ren´ delnek nemnulla skalárt. Ertelmezz¨ uk V -beli f¨ uggvények összead´ as´ at minden f, g ∈ V -re az def (f + g)(h) = f (h) + g(h) (h ∈ H) és F-beli α skálrral való szorzás´ at az def

(αf )(h) = αf (h) (h ∈ H) egyenl˝oséggel. Mutassuk meg, hogy V F feletti vektortér.


14

8. + Jelölje R+ ıv valós szám-n-esek halmazát. Definiáljuk R+ osszen a pozit´ n -on az ¨ adást a következ˝oképpen: 



ξ1  ..  ∀x =  . , ξn









η1 ξ1 · η1 def   ..   .. + y =  .  ∈ Rn : x + y =  , . ηn ξn · ηn

´ a val´ ahol a jobboldalon a pozit´ıv val´ os számok szokásos szorzata áll. Es os α skalárral való szorzás legyen az 



ξ1α def   αx =  ...  ξnα egyenl˝oséggel megadva. Mutassuk meg, hogy R+ os vektortér ezekkel a n val´ m˝ uveletekkel.

1.3

Alterek

Az el˝oz˝oekben láttuk, hogy a s´ık helyvektorai val´ os vektorteret alkotnak. De az egy egyenesre es˝o helyvektorok alkotta részhalmaz is vektortér. Így az általunk vizsgált s´ıkbeli helyvektorok vektorterében vannak olyan részhalmazok, amelyek maguk is vektorterek. A vektorterekre felsorolt péld´ aink köz¨ ott szerepelt az összes polinomok R[t] tere és ugyancsak eml´ıtett¨ uk a legfeljebb n − 1-edfok´ u polinomok Rn−1 [t] lineáris terét. Ez utóbbi térben a m˝ uveletek ugyan´ ugy voltak értelmezve, mint az összes polinomok terében, tehát az Rn−1 [t] az R[t] vektortérnek olyan részhalmaza, ami maga is vektortér. 1.3.1 Defin´ıci´ o. Legyen V vektortér az F test felett és legyen M olyan részhalmaza V -nek, amely maga is F feletti vektortér az eredeti térben értelmezett m˝ uveletekkel. Akkor M -et a V vektortér alterének nevezz¨ uk. Az altérbeli vektorok összead´ asa, és skal´ arral val´ o szorzása ugyan´ ugy történik, mint az eredeti vektortérben, nem értelmez¨ unk u ´j m˝ uveleteket. Ezért a m˝ uveletek nyilv´ anvalóan rendelkeznek azokkal a tulajdonságokkal, amelyeket a vektortér defin´ıciójában megkövetelt¨ unk. Ennek az észrevételnek egyszer˝ u következménye a következ˝o áll´ıtás. ´ ıt´ 1.3.2 All´ as. Egy F test feletti V vektortér valamely nem¨ ures M részhalmaza pontosan akkor altér, ha (i) ∀ v, w ∈ M : v + w ∈ M, (ii) ∀ v ∈ M : ∀ α ∈ F : αv ∈ M teljes¨ ul. Bizony´ıt´ as. A sz¨ ukségesség teljesen nyilv´ anval´ o. Az elegend˝oség igazolás´ ahoz csak azt kell megmutatnunk, hogy a zér´ ovektor és minden M -beli vektor ellentettje

1.3. ALTEREK

15

is benne van M -ben. Ez viszont abból adódik, hogy a zér´ o skal´ arnak bármely vektorral való szorzata a zéró vektort adja, és bármely vektor −1-gyel val´ o szorzata annak ellentettjét eredményezi. 2 Amikor egy vektortér valamely részhalmaz´ ar´ ol azt kell eldönten¨ unk, hogy az altér-e, akkor leggyakrabban a következ˝ o áll´ıt´ as használhat´ o a kérdés megválaszolásához. ´ ıt´ 1.3.3 All´ as. Egy F test feletti V vektortér valamely nem¨ ures M részhalmaza pontosan akkor altér, ha z´ art a két tag´ u line´ aris kombin´ aci´ o képzésre nézve, azaz ∀ v, w ∈ M : ∀ α, β ∈ F : αv + βw ∈ M.

Bizony´ıt´ as. Tekintve, hogy az el˝oz˝ o tétel igaz, elegend˝o belátnunk azt, hogy ez az áll´ıtás az el˝oz˝ovel ekvivalens. Val´ oban, ha M zárt a skal´ arral val´ o szorzásra, akkor ∀ v, w ∈ M : ∀ α, β ∈ F : αv, βw ∈ M és a vektorok összead´ as´ ara vonatkoz´ o zártsága miatt, akkor αv + βw ∈ M . Ford´ıtva, a lineáris kombináci´ ora vonatkoz´ o zárts´ agb´ ol az összead´ asra, illetve a skalárral való szorzásra vonatkoz´ o zárts´ ag azért ny´ılv´ anval´ o, mert ezek speciális lineáris kombinációk. Ugyanis (

αv + βw =

v+w αv

ha ha

α = β = 1, β = 0. 2

Megjegyezz¨ uk, hogy teljes indukci´ oval könnyen igazolható, hogy ha egy vektortér egy részhalmaza bármely két vektor´ anak minden lineáris kombin´ aci´ oj´ at tartalmazza, akkor bármely véges sok vektorának összes lineáris kombin´ aci´ oj´ at is tartalmazza. Az alterek között azt, amelynek egyetlen eleme a zérus vektor, azaz a {0} alteret, és az egész vektorteret, mint önmaga alterét nem val´ odi altereknek mondjuk, a többi alteret pedig valódi altereknek. Egy altér mindig tartalmazza legalább a nullvektort, ´ıgy alterek közös része biztosan nem¨ ures, s˝ot igaz a következ˝ o áll´ıt´ as. ´ ıt´ 1.3.4 All´ as. Egy vektortér altereinek metszete is altér. Bizony´ıt´ as. Ha az alterek metszetéb˝ ol kiválasztunk tetsz˝olegesen két vektort, akkor azok mindegyik altérnek elemei, ezért az (1.3.3) áll´ıt´ as szerint, azok bármely lineáris kombinációja is mindegyik altérnek eleme, ´ıgy megint az (1.3.3) áll´ıt´ as felhaszn´ alásával adódik, hogy a metszet altér. 2 Az (1.3.4) áll´ıtás igaz volta lehet˝ové teszi, hogy egy V vektortér tetsz˝oleges A részhalmaza seg´ıtségével generáljunk alteret. 1.3.5 Defin´ıci´ o. Legyen A tetsz˝ oleges részhalmaza a V vektortérnek. Az A ´ altal gener´ alt V(A) altér V ¨ osszes A-t tartalmaz´ o altereinek k¨ oz¨ os része. Az A részhalmazt V gener´ atorrendszerének fogjuk nevezni, ha V(A) = V teljes¨ ul, tehát ha az általa generált altér az egész vektortér. Az A vektorhalmazhoz másképpen is rendelhet˝o altér.

16


1.3.6 Defin´ıci´ o. Legyen lin (A) az A-beli vektorok ¨ osszes line´ aris kombin´ aci´ oj´ at tartalmaz´ o vektorok halmaza, u ¨res A halmaz esetén pedig, meg´ allapod´ as alapj´ an az egyelem˝ u — a nullvektort tartalmaz´ o — halmaz. lin (A)-t az A line´ aris burk´ anak nevezz¨ uk. Nem nehéz belátnunk, hogy lin (A) is altér. Az (1.3.3) áll´ıt´ as szerint ehhez elég azt megmutatni, hogy lin (A)-beli vektorok lineáris kombin´ aci´ oja is lin (A)-ban van. Valóban ha X X a= αi ai , és a0 = βj a0j i∈I

j∈J

tetsz˝ oleges lin (A)-beli vektorok tov´ abb´ aδ δa + γa0 =

X i∈I

és γ tetsz˝oleges skal´ arok, akkor

δαi ai +

X

γβj a0j

j∈J

is lin (A)-beli vektor, hiszen A vektorainak lineáris kombin´ aci´ oja. Egy vektortér valamely A részhalmaza által generált altérnek defin´ıci´ o szerinti megadása nehezen megfogható. Megtalálni egy A részhalmazt tartalmazó összes alteret, majd azoknak a metszetét képezni, nem mutat rá, hogy a keletkez˝ o alteret milyen vektorok alkotják. Ezért hasznos a következ˝ o tétel, amely kapcsolatot teremt egy vektorhalmazhoz a fentiek szerint rendelt két altér köz¨ ott. 1.3.7 T´ etel. Legyen A a V vektortér tetsz˝ oleges részhalmaza, és jel¨ olje lin (A) az A line´ aris burk´ at, és V(A) pedig az A ´ altal gener´ alt alteret. Akkor lin (A) = V(A). Bizony´ıt´ as. A lin (A) = V(A) igazolása végett vegy¨ uk el˝osz¨ or észre, hogy V(A) ⊆ lin (A) hiszen lin (A) maga is egy A-t tartalmazó altér és V(A) az A-t tartalmazó alterek metszete. Másrészt lin (A) ⊆ V(A) nyilv´ an teljes¨ ul, hiszen V(A) altér lévén, zárt a lineáris kombin´ aci´ ora, és ´ıgy lin (A) minden elemét tartalmazza. 2 Az (1.3.7) tételt kihasználva a tov´ abbiakban egy vektortér valamely A részhalmaza által generált alteret lin (A)-val fogjuk jelölni. Egy vektortér tetsz˝oleges vektorrendszerének is képezhetj¨ uk a lineáris burkát, nem lényeges, hogy minden vektornak csak egy példánya szerepeljen a vektorrendszerben, és ez lehet˝ové teszi, hogy egy vektorrendszert is nevezhet¨ unk ezent´ ul generátorrendszernek, amennyiben annak lineáris burka az egész tér. Az (1.3.4) áll´ıtás szerint egy vektortér altereinek köz¨ os része is altér. Alterek egyes´ıtésér˝ol nem áll´ıthatjuk ugyanezt, de az alterek egyes´ıtése által generált altereknek van egy figyelemre mélt´ o tulajdonsága. 1.3.8 T´ etel. Legyenek X és Y egy V vektortér alterei. S (1) Akkor az egyes´ıtés¨ uk ´ altal gener´ alt lin (X Y ) altér minden vektora egy X-beli és egy Y -beli vektor ¨ osszege. T S (2) Ha X Y a zérus altér, akkor a lin (X Y ) altér minden vektora egyértelm˝ uen ´ all el˝ o egy X-beli és egy Y -beli vektor ¨ osszegeként. S

S

Bizony´ıt´ as. (1) A lin (X Y ) elemei az X Y halmaz elemeinek lineáris kombinációi, azaz α1 x1 + . . . + αs xs + β1 y1 + . . . + βt yt

1.3. ALTEREK

17

alak´ uak. Mivel X és Y alterek, α1 x1 + . . . + αs xs ∈ X

és β1 y1 + . . . + βt yt ∈ Y

és a tétel els˝o áll´ıtását ezzel igazoltuk. S A (2)-es áll´ıtás bizony´ıtása végett tegy¨ uk fel, hogy valamely v ∈ lin (X Y ) vektorra v = x + y és v = x0 + y 0 (x, x0 ∈ X, y, y 0 ∈ Y ) teljes¨ ul. Akkor az x + y = x0 + y 0 egyenl˝ oségb˝ ol következik, hogy x − x0 = y 0 − y ∈ X

\

Y,

hiszen x − x0 nyilván X-beli és y 0 − y pedig Y -beli vektor. Így, ha X-nek és Y -nek a zérusvektor az egyetlen közös eleme, akkor x − x0 = y 0 − y = 0, teh´ at x = x0

és y = y 0

amint azt áll´ıtottuk. ´ Ertelmezz¨ uk ezek után az alterek direktösszegének fogalmát.

2

1.3.9 Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy a V vektortér az X és az Y altereinek direktT S ¨ osszege, jel¨ olése V = X ⊕ Y , ha X Y a zérusaltér, és V = lin (X Y ). Az (1.3.8) tételb˝ol azonnal következik a 1.3.10 K¨ ovetkezm´ eny. A V vektortér az X és Y altereinek direkt¨ osszege akkor T és csak akkor, ha az X Y a zérusaltér és minden v ∈ V vektor el˝ o´ all´ıthat´ o egy X-beli x vektor és egy Y -beli y vektor ¨ osszegeként. 1 P´ elda. Tekints¨ uk most az Rn val´ os koordin´ atatér ¨ osszes olyan vektorainak az L halmaz´ at, amelyek komponenseinek ¨ osszege zérus, teh´ at L = {x = [ξ1 , . . . , ξn ] |

n X

ξi = 0}.

i=1

Megmutatjuk, hogy L altér. Ehhez az (1.3.3) áll´ıtás szerint elegend˝o a lineáris kombin´ aci´ ora vonatkoz´ o zárts´ agot igazolni. Legyenek ezért 



ξ1  ..  x= .  ξn





η1  ..  és y =  .  ηn

tetsz˝ oleges L-beli vektorok és α és β tesz˝ oleges val´ os számok. Az αx + βy vektor komponenseinek az összege n X i=1

(αξi + βηi ) = α

n X

ξi + β

i=1

Ezért αx + βy ∈ L és ´ıgy L valóban altér.

n X

ηi = α0 + β0 = 0.

i=1

2


18

1.3.11 Defin´ıci´ o. Legyen M az F test feletti V vektortér valamely részhalmaza (nem feltétlen¨ ul altér), és legyen M ◦ a V ∗ du´ alis vektortér azon részhalmaza, amely pontosan azokat az y ∗ line´ aris f¨ uggvényeket tartalmazza, amelyekre ∀ x ∈ M : y ∗ (x) = 0 teljes¨ ul. Az M ◦ halmazt az M annull´ ator´ anak nevezz¨ uk. ´ ıt´ 1.3.12 All´ as. M ◦ altere a du´ alis V ∗ vektortérnek. Bizony´ıt´ as. Mindenekel˝ott megjegyezz¨ uk, hogy M ◦ nem¨ ures, hiszen az azonosan zéró lineáris f¨ uggvény minden vektorhoz a zér´ o skal´ art rendeli, ´ıgy M ◦ biztosan tartalmazza az azonosan zér´ o lineáris f¨ uggvényt. Az (1.3.3) áll´ıt´ as szerint azt kell még megmutatnunk, hogy M ◦ -beli lineáris f¨ uggvények tetsz˝oleges lineáris kombinációja is M ◦ -ben van. Ha y1∗ , y2∗ ∈ M ◦ tov´ abb´ a α és β tetsz˝ oleges F-beli skalárok, akkor bármely x ∈ M -re (αy1∗ + βy2∗ )(x) = αy1∗ (x) + βy2∗ (x) = α0 + β0 = 0, igazolva, hogy αy1∗ + βy2∗ ∈ M ◦ .

2

2. Gyakorlatok, feladatok 1. Igazolja, hogy amennyiben Y altere a V vektortér X alterének, akkor Y altere V -nek is. 2. Mutassuk meg, hogy ha A és B olyan részhalmazai a V vektortérnek, hogy A ⊆ B teljes¨ ul, akkor lin (A) altere lin (B)-nek. 3. Legyen L = {x ∈ Rn | x = [α, α + δ, . . . α + (n − 1)δ]; α, δ ∈ R} , tehát L elmei azok az n-esek, amelyeknek egymást követ˝ o elemei számtani sorozatot alkotnak. Altér–e L? 4. Legyen L olyan x ∈ Rn vektorok halmaza, amelyeknek komponensei egy mértani sorozat egymás utáni elemei. Altér-e L? 5. Tekints¨ uk az [a, b] intervallumon Riemann-integr´ alhat´ o f¨ uggvények vektorterének azon I részhalmaz´ a t, amely pontosan azokat az f f¨ uggvényeket tartalRb mazza, melyekre a f (x)dx = 0 teljes¨ ul. Mutassuk meg, hogy I altér. 6. Igazolja, hogy a valós Cauchy-sorozatok alterét alkotj´ ak az összes val´ os számsorozatok vektorterének. Igaz vajon ugyanez az áll´ıt´ as a divergens val´ os számsorozatokra is? 7. Ha V és W az F test feletti vektorterek, akkor az az els˝o szakasz 6. feladatában látott módon értelmezett V ⊗ W is F feletti vektortér. Mutassuk meg, hogy ¯ alterei, amelyek izomorfak V -vel, illetve vannak V ⊗ W -nek olyan V¯ és W ¯ ¯ W -vel, és V ⊗ W az V és W altereinek direktösszege.

´ ¨ ´ ES ´ OSSZEF ¨ ¨ ˝ EG ´ 1.4. LINEARIS FUGGETLENS EG UGG OS

1.4

19

Line´ aris f¨ uggetlens´ eg ´ es ¨ osszef¨ ugg˝ os´ eg

A c´ımben jelzett lineáris f¨ uggetlenség, illetve lineáris összef¨ ugg˝ oség vektorrendszerekre vonatkozó fogalmak, és a lineáris algebra talán legalapvet˝ obb fogalmai. Olyannyira, hogy megértés¨ uk nélk¨ ul nem ép´ıthet˝ o tov´ abb a vektorterek elmélete. Ezért a következ˝o részben kicsit talán a sz¨ ukségesnél is több magyar´ azattal fog találkozni az olvasó. A középiskolában vektoralgebrai tanulm´ anyaik során megállap´ıtott´ ak, hogy ha adott a s´ıkban két tetsz˝oleges, nemzér´ o és nem egy egyenesre es˝o vektor, akkor ezek lineáris kombinációjaként a nullvektor csak u ´gy kaphat´ o, ha mindkét vektort a zér´ o skalárral szorozzuk, majd az ´ıgy kapott vektorokat adjuk össze. Teljesen hasonlóan, ha tekint¨ unk három nem egy s´ıkba es˝o térbeli helyvektort, ezek lineáris kombin´ aci´ oja csak abban az esetben egyenl˝o a nullvektorral, ha a lineáris kombin´ aci´ oban szerepl˝o skalár egy¨ utthatók mindegyike nulla. Ezt a tulajdonságot által´ anos´ıtva jutunk a lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszer alábbi fogalmához. 1.4.1 Defin´ıci´ o. Egy vektortér vektorainak egy X = {x1 , . . . , xn } rendszerét line´ arisan f¨ uggetlennek nevezz¨ uk, ha n X

αi xi = 0 =⇒ α1 = . . . = αn = 0 .

i=1

Szavakkal is megfogalmazva ugyanezt, azt mondhatjuk, hogy egy vektorrendszer pontosan akkor lineárisan f¨ uggetlen, ha vektorainak a lineáris kombin´ aci´ oja csak u ´gy lehet a zéróvektor, ha a lineáris kombin´ aci´ oban szerepl˝o skal´ arok mindegyike a zéró skalár. Azt a lineáris kombin´ aci´ ot, amelyben minden skal´ ar egy¨ utthat´ o zérus, trivi´ alis line´ aris kombin´ aci´ onak mondjuk. Természetesen bármely vektorrendszer triviális lineáris kombinációja zér´ ovektor, de vannak olyan vektorrendszerek is — például magát a zéróvektort is tartalmazó vektorrendszerek — amelyek nemcsak triviális lineáris kombinációval tudják a zér´ ovektort el˝o´ all´ıtani. A lineárisan nem f¨ uggetlen vektorrendszert line´ arisan ¨ osszef¨ ugg˝ onek vagy röviden lineárisan f¨ ugg˝onek h´ıvjuk. Ez tehát azt jelenti, hogy egy {y1 , . . . , ym } vektorrendszer pontosan akkor lineárisan összef¨ ugg˝ o, ha léteznek olyan β1 , . . . βm skal´ arok, hogy P legalább egy köz¨ ul¨ uk nem nulla, mégis m β y = 0. i i i=1 Felvet˝odik a kérdés, hogy lineárisan f¨ uggetlen, vagy összef¨ ugg˝ o az u ¨res vektorrendszer, amelynek egyetlen vektor sem eleme. Tekintve, hogy lineárisan összef¨ ugg˝ o csak akkor lehetne, ha vektorainak nemtriviális lineáris kombin´ aci´ ojaként el˝o´ all´ıtható lenne a zéróvektor, és ez az u ¨res vektorrendszerre nem teljes¨ ul, az u ¨res vektorrendszer lineárisan f¨ uggetlen. Tekints¨ uk a valós polinomok R[t] vektorterében a p1 (t) = t, p2 (t) = t − 1, p3 (t) = t + 1 vektorokat (polinomokat). Ezek lineárisan f¨ ugg˝ o rendszert alkotnak, hiszen a p2 (t) + p3 (t) − 2p1 (t) ≡ 0. Megjegyzend˝ o ugyanakkor, hogy R[t]-ben vannak tetsz˝ oleges elemszám´ u lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszerek is, mert tetsz˝oleges n pozit´ıv egész mellett, az {1, t, . . . , tn } vektorrendszer (polinomrendszer) lineárisan f¨ uggetlen, hiszen ezen polinomok lineáris kombin´ aci´ oja csak u ´gy lehet az azonosan zéró polinom, azaz α0 1 + α1 t + · · · + αn tn ≡ 0,

20


ha α0 = α1 = . . . = αn = 0. 2 P´ elda. Mutassuk meg, hogy ha az {x1 , . . . , xn } vektorrendszer line´ arisan f¨ uggetlen, akkor az {x1 , x2 − x1 , . . . , xn − xn−1 } vektorrendszer is line´ arisan f¨ uggetlen! A defin´ıció értelmében a vektorrendszerr˝ ol u ´gy láthatjuk be, hogy lineárisan f¨ uggetlen, ha siker¨ ul megmutatni, hogy vektorai lineáris kombin´ aci´ oja csak u ´gy lehet a nullvektor, ha minden skalár egy¨ utthat´ o nulla. Legyen ezért α1 x1 + α2 (x2 − x1 ) + · · · + αn (xn − xn−1 ) = 0, ahol az {αi (i = 1, . . . , n)} egy¨ utthat´ ok egyel˝ore ismeretlenek. Ha ezekr˝ol az egy¨ utthatókról ki tudjuk der´ıteni, hogy mindegyike csak nulla lehet, akkor a vektorrendszer lineárisan f¨ uggetlen. Ez tehát a feladatunk. A vektoregyenlet, baloldalának átrendezése után (α1 − α2 )x1 + · · · + (αn−1 − αn )xn−1 + αn xn = 0, amib˝ol az {x1 , . . . , xn } vektorrendszer f¨ uggetlensége miatt következik, hogy α1 − α2 = . . . = αn−1 − αn = αn = 0. De ha αn = 0 és αn−1 − αn = 0, akkor αn−1 = 0 és hasonlóan lépésr˝ ol lépésre visszafelé haladva kapjuk, hogy α1 = α2 = . . . αn−1 = αn = 0. Ezzel megmutattuk, hogy a lineáris kombináció a triviális kellett legyen. 2 A lineáris f¨ uggetlenség, illetve a lineáris összef¨ ugg˝ oség vektorrendszerek tulajdonsága, mégis sokszor fogjuk mondani vektorokra, hogy azok lineárisan f¨ uggetlenek, vagy lineárisan f¨ ugg˝ok. Természetesen ezen azt értj¨ uk, hogy az általuk alkotott vektorrendszer rendelkezik a mondott tulajdonsággal. Az alábbiakban felsorolunk néh´ any nagyon egyszer˝ u áll´ıt´ ast, igazolásukat az olvasóra bizzuk. 1. a zéróvektort tartalmazó vektorrendszer lineárisan összef¨ ugg˝ o, 2. ha egy vektorrendszerben egy vektor legalább két péld´ anya benne van, akkor a rendszer lineárisan összef¨ ugg˝ o, 3. egyetlen nemzéró vektort tartalmazó vektorrendszer lineárisan f¨ uggetlen, 4. lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszer minden nem¨ ures részrendszere is lineárisan f¨ uggetlen. A következ˝o tétel lineárisan összef¨ ugg˝ o vektorrendszerek egy nagyon fontos tulajdonságát ´ırja le. 1.4.2 T´ etel. Egy X = {x1 , . . . , xn } vektorrendszer pontosan akkor line´ arisan ¨ osszef¨ ugg˝ o, ha valamelyik vektora kifejezhet˝ o a t¨ obbi vektora line´ aris kombin´ aci´ ojaként.

´ ¨ ´ ES ´ OSSZEF ¨ ¨ ˝ EG ´ 1.4. LINEARIS FUGGETLENS EG UGG OS

21

Bizony´ıt´ as. Ha X lineárisan összef¨ ugg˝ o, akkor van vektorainak olyan nemtriviális lineáris kombinációja ami zér´ ovektor. Legyen a zér´ ovektornak egy ilyen nemtriviális el˝oáll´ıtása az α1 x1 + · · · + αn xn = 0. Legyen mondjuk az αi nemzéró egy¨ utthat´ o. Akkor az xi = −

αi−1 αi+1 αn α1 x1 − · · · − xi−1 − xi+1 − · · · − xn αi αi αi αi

számolás mutatja, hogy a feltétel sz¨ ukséges. Ford´ıtva, ha xi = β1 x1 + · · · + βi−1 xi−1 + βi+1 xi+1 + · · · + βn xn , akkor β1 x1 + · · · + βi−1 xi−1 − xi + βi+1 xi+1 + · · · + βn xn = 0 egy nemtriviális el˝oáll´ıtása a zéróvektornak — hiszen az xi egy¨ utthat´ oja nem nulla — tehát a vektorrendszer lineárisan összef¨ ugg˝ o. 2 A fentiekben bizony´ıtott tétel kicsit éles´ıthet˝ o abban az esetben, ha a vektorrendszer nem tartalmazza a zéróvektort. 1.4.3 T´ etel. Egy a zér´ ovektort nem tartalmaz´ o X = {x1 , . . . , xn } vektorrendszer pontosan akkor line´ arisan ¨ osszef¨ ugg˝ o, ha létezik olyan i (2 ≤ i ≤ n) index, hogy xi kifejezhet˝ o az x1 , . . . , xi−1 vektorok line´ aris kombin´ aci´ ojaként. Bizony´ıt´ as. Ha az X vektorrendszer lineárisan összef¨ ugg˝ o, akkor létezik vektorainak olyan nemtriviális lineáris kombin´ aci´ oja, ami a nullvektort adja, mondjuk: α1 x1 + · · · + αn xn = 0 Tegy¨ uk fel, hogy i a legnagyobb index˝ u nemzér´ o egy¨ utthat´ o a lineáris kombin´ aci´ oban, azaz α1 x1 + · · · + αi xi = 0 is teljes¨ ul és αi 6= 0. Mivel egyetlen nemzér´ o vektorb´ ol áll´ o vektorrendszer nyilv´ an lineárisan f¨ uggetlen, i ≥ 2 . Akkor a vektoregyenlet átrendezésével kapjuk, hogy xi = −

αi−1 α1 x1 − . . . − xi−1 , αi αi

amint azt áll´ıtottuk. Ford´ıtva, ha xi = β1 x1 + · · · + βi−1 xi−1 valamely i (2 ≤ i ≤ n)-re, akkor β1 x1 + · · · + βi−1 xi−1 − xi + 0xi+1 + · · · + 0xn = 0 a zér´ ovektor nemtriviális el˝oáll´ıt´ asa a vektorrendszer vektorainak lineáris kombin´ aciójaként, igazolva annak lineáris összef¨ ugg˝ oségét. 2


22

Az a defin´ıció nyilvánvaló következménye, hogy lineárisan összef¨ ugg˝ o vektorrendszer vektorainak lineáris kombin´ aci´ ojaként a zér´ ovektor többféleképpen is el˝oP áll´ıtható, hiszen ha m βi yi = 0 egy nemtrivi´ alis el˝o´ all´ıt´ as és α egy tetsz˝oleges i=1 Pm Pn nemzéró skalár, akkor α i=1 βi yi = i=1 αβi yi = 0 is nemtrivi´ alis el˝o´ all´ıt´ as lesz. Ez nemcsak a zéróvektorra igaz, hanem az is teljes¨ ul, hogy amennyiben egy a vektor el˝oáll´ıtható egy lineárisan összef¨ ugg˝ o vektorrendszer vektorainak lineáris kombin´ aPm ciójaként, akkor ez nemcsak egyféleképpen lehetséges. Val´ oban az a = i=1 γi yi P el˝oáll´ıtás mellett az a = m (γ + αβ )y el˝ o a ´ ll´ ıt´ a sok is lehets´ egesek. i i i=1 i A következ˝o tételben azt bizony´ıtjuk, hogy a lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszerek esetében nemcsak a zéróvektor, de minden olyan vektor, amely el˝o´ all´ıthat´ oa vektorrendszer vektorainak lineáris kombin´ aci´ ojaként, egyértelm˝ uen áll´ıthat´ o el˝o. 1.4.4 T´ etel. Az X = {x1 , . . . , xn } vektorrendszer akkor és csak akkor line´ arisan f¨ uggetlen, ha b´ armely olyan a vektor, amely benne van X line´ aris burk´ aban, egyértelm˝ uen ´ all´ıthat´ o el˝ o X vektorai line´ aris kombin´ aci´ ojaként. Bizony´ıt´ as. El˝oször feltessz¨ uk, hogy n X

a=

αi xi

és a =

i=1

n X

βi xi

i=1

az a vektor el˝oáll´ıtásai. Akkor képezve a vektoregyenletek k¨ ul¨ onbségét, kapjuk, hogy 0=

n X

(αi − βi )xi

i=1

és ebb˝ol mivel a feltétel szerint X line´ arisan f¨ uggetlen α1 − β1 = . . . = αn − βn = 0 , tehát α1 = β1 , . . . , αn = βn , igazolva, hogy az a el˝oáll´ıtása egyértelm˝ u. Az elegend˝oség nyilvánvaló, hiszen ha a zér´ ovektor, ami biztosan kifejezhet˝o X vektorai triviális lineáris kombin´ aci´ ojaként, másképpen nem áll´ıthat´ o el˝o, akkor ez, defin´ıció szerint X lineáris f¨ uggetlenségét jelenti. 2 3. Gyakorlatok, feladatok 1. Legyen F3 az F test feletti koordinátatér. A F3 -beli 











ξ1 η1 ζ1       x =  ξ2  , y =  η2  , z =  ζ2  ξ3 η3 ζ3 vektorrendszer lineáris f¨ uggetlenségének vizsgálat´ at végezz¨ uk a következ˝ o módon. Tegy¨ uk fel, hogy α, β és γ olyan F-beli skal´ arok, hogy αx + βy + γz = 0, ami a vektorok komponenseire vonatkoz´ oan azt jelenti, hogy αξ1 + βη1 + γζ1 = 0, αξ2 + βη2 + γζ2 = 0, αξ3 + βη3 + γζ3 = 0.

´ DIMENZIOJA ´ ´ BAZISA ´ 1.5. VEKTORTER ES

23

Ez tehát adott x, y és z vektorok mellett, egy három ismeretlenes egyenletrendszer α, β és γ-ra nézve. Az egyenletrendszert megoldhatjuk a középiskol´ aban tanult módszerek valamelyikével. Ha azt találjuk, hogy az egyenletrendszernek az α = β = γ = 0 az egyetlen megoldása, akkor az x, y, z vektorrendszer lineárisan f¨ uggetlen. Ha van más megoldás is, akkor a vektorrendszer lineárisan összef¨ ugg˝o. Felhasználva a fentiekben adott módszert, igazolja, hogy az R3 térben az 















1 0 0 1          0 ,  1 ,  0 ,  1  0 0 1 1 vektorok rendszere lineárisan összef¨ ugg˝ o, de köz¨ ul¨ uk bármelyik három lineárisan f¨ uggetlen rendszert alkot! 2. Tételezz¨ uk fel, hogy valamely vektortérben az x, y és z vektorok lineárisan f¨ uggetlen rendszert alkotnak. Döntse el, hogy az x + y, y + z és a z + x vektorokból álló rendszer lineárisan összef¨ ugg˝ o, vagy f¨ uggetlen! 3. Tekints¨ uk a valós számok R halmaz´ at, mint racionális vektorteret, azaz minden valós szám vektorként szerepel, amelyek összead´ asa a szokásos módon történik, de skalárszorzóként csak racionális számot enged¨ unk meg. Mutassa meg, hogy az R-beli 1 és ξ vektorok akkor és csak akkor alkotnak lineárisan f¨ uggetlen rendszert, ha ξ irracionális szám. 4. A C2 komplex vektortérben az "

x=

−1 i

#

"

és y =

i 1

#

vektorok lineárisan összef¨ ugg˝ o rendszert alkotnak, mert x − iy = 0. Igazolja, hogy ha C2 -t valós vektortérként kezelj¨ uk, akkor ugyanezek az x, y vektorok lineárisan f¨ uggetlen rendszert alkotnak.

1.5

Vektort´ er dimenzi´ oja ´ es b´ azisa

Az alterekr˝ol szóló részben eml´ıtett¨ uk, hogy ha egy vektortér valamely részhalmaza által generált altér az egész tér, akkor azt a részhalmazt generátorrendszernek nevezz¨ uk. Ezt az (1.3.7) tétel bizony´ıt´ asa után azzal egész´ıtett¨ uk ki, hogy ha egy vektorrendszer lineáris burka az egész tér, akkor azt a vektorrendszert is generátorrendszernek nevezz¨ uk, f¨ uggetlen¨ ul attól, hogy az halmaz, vagy esetleg egy vektor´ anak több példánya is szerepel a rendszerben. Természetesen egy vektortérnek mindig van generátorrendszere, hiszen az egész vektortér önmaga generátorrendszere, de nagyon sok k¨ ulönböz˝o valódi generátorrendszere is lehet. Az azonban már jellemz˝o a vektortérre, hogy van-e véges sok vektort tartalmazó generátorrendszere, vagy mindegyik végtelen számosság´ u. Ennek megfelel˝oen azt mondjuk, hogy egy vektortér véges dimenzi´ os, ha van véges generátorrendszere; végtelen dimenzi´ os, ha minden

24


generátorrendszere végtelen sok vektort tartalmaz. Mi ebben a jegyzetben véges dimenziós terekkel kapcsolatos eredményeket közl¨ unk, de az anal´ızis tanulm´ anyaink során megismert vektorterek köz¨ ott sok végtelen dimenziós volt. 1.5.1 Defin´ıci´ o. A V végesen gener´ alhat´ o vektorteret n-dimenzi´ osnak mondjuk, ha van n vektort tartalmaz´ o gener´ atorrendszere, de b´ armely n-nél kevesebb vektort tartalmaz´ o vektorrendszere m´ ar nem gener´ atorrendszere V -nek. A V vektortér dimenzi´ oj´ at dim V -vel jel¨ olj¨ uk. A térbeli rögz´ıtett kezd˝opont´ u, u ´gynevezett helyvektorok tere véges dimenziós, hiszen minden ilyen vektor felbonthat´ o három, nem egy s´ıkba es˝o vektor irány´ aba mutató vektor összegére, ami pontosan azt jelenti, hogy mindegyik megkaphat´ o három nem egy s´ıkba es˝o vektor lineáris kombin´ aci´ ojaként. Igy ez a vektortér generálható három elem˝ u generátorrendszerrel. Mivel háromn´ al kevesebb helyvektor nyilvánvalóan nem elegend˝o e vektortér generál´ as´ ahoz, ezért az 3-dimenziós. A valós egy¨ utthatós polinomok R[t] vektortere ezzel szemben végtelen dimenziós, hiszen egyetlen polinom sem áll´ıthat´ o el˝o fokszám´ an´ al alacsonyabb fok´ u polinomok lineáris kombinációjaként, ezért minden n nemnegat´ıv egészre kell legyen n-edfok´ u polinom R[t] bármely generátorrendszerében. Nem nehéz belátni, hogy az 2 {1, t, t , . . . , tn , . . .} végtelen sok polinomb´ ol áll´ o rendszer generátorrendszere R[t]nek. Az anal´ızis tantárgy tanulásakor megismert legtöbb vektortér ugyancsak végtelen dimenziós, például az [a, b] intervallumon folytonos f¨ uggvények C[a,b] tere is. A generátorrendszerek olyan szerepet játszanak a vektorterek ép´ıtményében, mint például egy telev´ızió összeáll´ıt´ as´ an´ al az alkatrészek. A kész¨ ulék össze´ all´ıt´ as´ anál használt kondenzátorok, illetve ellenáll´ asok némelyike azonban nem feltétlen¨ ul sz¨ ukséges, azok helyettes´ıthet˝ok más kapacit´ as´ u, illetve ellenáll´ as´ u egységek soros és/vagy párhuzamos kapcsolásával. Persze nem hagyható el minden kondenz´ ator és minden ellenállás, mert azok nélk¨ ul TV kész¨ ulék nem ép´ıthet˝ o. Egy V vektortér valamely generátorrendszere is tartalmazhat nélk¨ ul¨ ozhet˝ o vektorokat, némelyik eleme esetleg elhagyható, amennyiben a megmaradt vektorok lineáris kombinációjaként az el˝oáll´ıthat´ o. Ennek megfelel˝oen bevezetj¨ uk a következ˝ o elnevezést. Egy V vektortér valamely X generátorrendszerét minim´ alis gener´ atorrendszernek nevezz¨ uk, ha bármely vektor´ anak elhagyás´ aval kapott részrendszer már nem generátorrendszere V -nek. A minimális generátorrendszer elnevezés helyett gyakoribb a bázis szó használata. Tekintve, hogy véges dimenziós konkrét vektorterek vektorrendszereinek lineáris f¨ uggetlenségét, illetve, hogy egy adott vektor kifejezhet˝o-e a vektorrendszer elemeinek lineáris kombin´ aci´ ojaként, nem nehéz ellen˝orizni, a bázis fogalmát a következ˝o ekvivalens defin´ıci´ oval adjuk meg. 1.5.2 Defin´ıci´ o. A véges dimenzi´ os V vektortér egy X vektorrendszerét b´ azisnak vagy koordin´ atarendszernek nevezz¨ uk, ha (i) line´ arisan f¨ uggetlen rendszer, (ii) V -nek gener´ atorrendszere. Felmer¨ ulhet a kérdés, hogy mi a bázisa a zér´ o vektortérnek, hiszen annak egyetlen eleme a zéróvektor, és a zéróvektort tartalmazó vektorrendszerek lineárisan összef¨ ugg˝oek. Mivel az u ¨res vektorhalmaz nyilv´ an minimális generátorrendszere a zér´ o


25

vektortérnek, a zéró vektortér bázisa az u ¨res vektorrendszer. Ez összhangban van korábbi megállapodásunkkal miszerint az u ¨res halmaz lineáris burka a zér´ o vektortér. A további vizsgálataink szempontj´ ab´ ol a zér´ o vektortér érdektelen. Ezért, hogy áll´ıtásaink megfogalmazása ne legyen feleslegesen kör¨ ulményes, a továbbiakban feltételezz¨ uk, hogy a vizsgált vektorterek k¨ ul¨ onb¨ oznek a zér´ o vektortért˝ ol. Megjegyezz¨ uk, hogy a defin´ıci´ o (ii) feltétele azt jelenti, hogy a tér minden vektora kifejezhet˝o az X vektorainak lineáris kombin´ aci´ ojaként, hiszen az (1.3.7) tétel értelmében, X pontosan akkor generátorrendszere V -nek, ha lin (X ) = V. M´ asrészt az (i) feltétel miatt az (1.4.4) tétel felhasznál´ as´ aval az is adódik, hogy a tér minden vektora egyértelm˝ uen áll´ıtható el˝o a bázisvektorok lineáris kombin´ aci´ ojaként. Igy annak igazolásához, hogy véges dimenziós vektorterek esetén a minimális generátorrendszer fogalma és az általunk adott bázis defin´ıci´ o val´ oban ekvivalens csupán az alábbi áll´ıtást kell bizony´ıtanunk. ´ ıt´ 1.5.3 All´ as. Egy véges dimenzi´ os V vektortér valamely X gener´ atorrendszere akkor és csak akkor minim´ alis, ha line´ arisan f¨ uggetlen. Bizony´ıt´ as. A sz¨ ukségesség indirekt érveléssel azonnal adódik. Ha ugyanis X = {x1 , . . . , xn } minimális generátorrendszer, de lineárisan összef¨ ugg˝ o, akkor valamelyik vektora, mondjuk xi kifejezhet˝o a többi vektora valamilyen xi = α1 x1 + · · · + αi−1 xi−1 + αi+1 xi+1 + · · · + αn xn

(1.1)

lineáris kombinációjaként. Akkor viszont V bármely y = β1 x1 + · · · + βi xi + · · · + βn xn

(1.2)

vektora kifejezhet˝o a X \ {xi } vektorrendszer elemeinek lineáris kombin´ aci´ ojaként is, csupán az (1.2) egyenletben xi helyébe az (1.1) egyenlet jobboldalát kell behelyettes´ıteni. y = β1 x1 + · · · + βi−1 xi−1 + +βi (α1 x1 + · · · + αi−1 xi−1 + αi+1 xi+1 + · · · + αn xn )+ +βi+1 xi+1 + · · · + βn xn = = (β1 + βi α1 )x1 + · · ·+(βi−1 + βi αi−1 )xi−1 + +(βi+1 + βi αi+1 )xi+1 + · · · + (βn + βi αn )xn Tehát az xi vektor elhagyható anélk¨ ul, hogy a maradék rendszer megsz˝ unne generátorrendszer lenni, ellentmondva az X generátorrendszer minimalitás´ anak. Az elegend˝oség talán még egyszer˝ ubben kaphat´ o, ha ugyanis az X gener´ atorrendszer lineárisan f¨ uggetlen, akkor egyik vektora sem fejezhet˝o ki a többi vektora lineáris kombinációjaként, következésképpen, bármelyik vektor´ anak elhagyás´ aval a maradék rendszer már nem generátorrendszer, bizony´ıtva, hogy X minimális. 2 Az el˝oz˝oekben láttuk, hogy ha egy véges dimenziós vektortér egy generátorrendszeréb˝ol elhagyunk olyan vektort, amely el˝o´ all´ıthat´ o a megmaradtak lineáris kombinációjaként, akkor a maradék vektorrendszer is generátorrendszer. Ha pedig már lineárisan f¨ uggetlen, akkor bázis. Teh´ at igaz az alábbi következmény: 1.5.4 K¨ ovetkezm´ eny. Egy véges dimenzi´ os vektortér minden gener´ atorrendszere tartalmaz b´ azist.

26


A véges dimenziós vektorterek dimenziója u ´jrafogalmazhat´ o. Azt mondhatjuk, hogy egy V vektortér n–dimenziós, ha van n vektort tartalmazó bázisa, de — és ez egyel˝ore nem nyilvánvaló — nincs n-nél kevesebb vektort tartalmazó bázisa. A következ˝o tételben éppen azt k´ıvánjuk igazolni, hogy a tér dimenziója egy tetsz˝oleges bázisa vektorainak számával egyenl˝ o. 1.5.5 T´ etel. Tetsz˝ oleges véges dimenzi´ os vektortér b´ armely két b´ azis´ aban ugyanannyi vektor van. Bizony´ıt´ as. Tekints¨ unk két tetsz˝oleges bázist, az egyik legyen az X = {x1 , . . . , xn }, és a másik az Y = {y1 , . . . , ym } vektorrendszer. Az S1 = {y1 , x1 , . . . , xn } vektorrendszer nyilv´ anval´ oan generátorrendszer, de nem lineárisan f¨ uggetlen rendszer, hiszen az y1 a X -beli vektorok lineáris kombin´ aci´ oja. Akkor, az (1.4.3) tétel szerint létezik létezik olyan i (1 ≤ i ≤ n) index, hogy xi lineáris kombinációja az y1 , x1 , . . . xi−1 vektoroknak. (Az i index most azért lehet esetleg 1 is, mert a S1 vektorrendszerben x1 már a második elem.) De akkor az S10 = S1 \ {xi } vektorrendszer is generátorrendszer. Folytassuk ezt a vektorcserét tov´ abb, vegy¨ uk S az S2 = S10 {y2 } = {y1 , y2 , x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn } lineárisan összef¨ ugg˝ o (mert S10 generátorrendszer) vektorrendszert. Megint az (1.4.3) tétel alapján létezik olyan j (1 ≤ j ≤ n, j 6= i) index, hogy xj az y1 , y2 és a j-nél kisebb index˝ u S2 -beli xk vektorok lineáris kombinációja. S20 = S2 \ {xj } teh´ at tov´ abbra is generátorrendS szer és az S3 = S20 {y3 } generátorrendszer pedig lineárisan összef¨ ugg˝ o. Hasonlóan 0 folytatva X -beli vektorok Y-beli vektorokkal val´ o kicserélését vég¨ ul eljutunk az Sm generátorrendszerhez, ami már Y minden elemét tartalmazza, miközben pontosan m darab X -beli vektort hagytunk el, tehát X elemeinek a száma nem lehetett kisebb m-nél. Az, hogy a vektorcserék során mindig X -beli vektort kellett elhagynunk abból következik, hogy Y lineárisan f¨ uggetlen rendszer, ´ıgy az eljár´ as bármelyik lépésénél az Si generátorrendszert az Y-beli vektorok mellett még szerepl˝o X -beli vektor(ok) tették lineárisan összef¨ ugg˝ové. Megismételve ezt a gondolatmenetet, csak most X és Y szerepét felcserélve, kapjuk, hogy Y-nak sem lehet kevesebb eleme, mint X -nek, azaz mindkét bázis ugyanannyi elemet kell tartalmazzon. 2 Most már azt is áll´ıthatjuk, hogy egy véges dimenziós vektortér bármely bázis´ aban a vektorok száma a tér dimenziója. Ha a bizony´ıtást u ´jra végiggondoljuk látjuk, hogy kicsit által´ anosabb eredményt igazoltunk, és ezt következményként meg is fogalmazzuk. 1.5.6 K¨ ovetkezm´ eny. Ha egy vektortérnek X = {x1 , . . . , xn } tetsz˝ oleges gener´ atorrendszere és Y = {y1 , . . . , ym } pedig tetsz˝ oleges line´ arisan f¨ uggetlen vektorrendszere, akkor m ≤ n. Azt látjuk tehát, hogy egy lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszer elemeinek a száma kisebb, vagy egyenl˝o, mint a vektortér dimenziója és egyenl˝ oség pontosan akkor teljes¨ ul, ha a vektorrendszer egy´ uttal generátorrendszer is, azaz bázis. Felmer¨ ul a kérdés, hogy vajon nem lehetne-e egy tetsz˝oleges lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszert bázissá kiegész´ıteni? A válasz igenl˝o, amit az alábbi áll´ıt´ asban fogalmaztunk meg. ´ ıt´ 1.5.7 All´ as. Egy véges dimenzi´ os V vektortérnek b´ armely line´ arisan f¨ uggetlen Y = {y1 , . . . , ym } vektorrendszere kiegész´ıthet˝ o b´ aziss´ a.


27

Bizony´ıt´ as. Az Y vektorrendszer a V térnek valamilyen alterét generálja. Mivel ez az altér Y lineáris burka, ezért ebben Y bázis. Ha a lin (Y) val´ odi altér, akkor a V \lin (Y) nem¨ ures részhalmaz bármely x1 vektora lineárisan f¨ uggetlen Y vektorait´ ol. 0 Ha most az Y = {y1 , . . . , ym , x1 } line´ arisan f¨ uggetlen vektorrendszer már generátorrendszer is, akkor készen vagyunk, ellenkez˝ o esetben van V -nek olyan eleme, amely nincs benne Y 0 lineáris burkában és azzal b˝ov´ıthetj¨ uk Y 0 -t. Ez az eljár´ as folytatható mindaddig, am´ıg vég¨ ul a kapott lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszer már az egész V vektorteret generálja, tehát annak bázisa. V véges dimenziós volta biztos´ıtja, hogy b˝ov´ıtési eljárásunk véges lépésben befejez˝odik. 2 Egy lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszer, u ´jabb vektorok hozzávételével kib˝ov´ıthet˝o generátorrendszerré u ´gy, hogy lineáris f¨ uggetlenségét meg˝orzi. Ett˝ol kezdve azonban, már bármely vektor hozzávétele a vektorrendszert lineárisan összef¨ ugg˝ové teszi, azaz a tér bázisa maxim´ alis, line´ arisan f¨ uggetlen vektorrendszer. A tér egy bázisa tehát megkapható u ´gy, hogy kiindulva egy generátorrendszeréb˝ ol, a ”felesleges” vektorokat elhagyva, azt minimalizáljuk, vagy egy lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszeréhez u ´j vektorokat hozzávéve addig b˝ov´ıtj¨ uk, am´ıg az a lineáris f¨ uggetlenség meg˝orzése mellett lehetséges. Ezért igazak az alábbi tételben megfogalmazott áll´ıtások. 1.5.8 T´ etel. (a) Egy n-dimenzi´ os V vektortérben b´ armely n+1 elemet tartalmaz´ o vektorrendszer line´ arisan ¨ osszef¨ ugg˝ o. (b) Egy n-dimenzi´ os V vektortérnek egy n elem˝ u vektorrendszere pontosan akkor b´ azis, ha line´ arisan f¨ uggetlen. (c) Egy n-dimenzi´ os V vektortérnek egy n elem˝ u vektorrendszere pontosan akkor b´ azisa, ha az gener´ atorrendszer. Miel˝ott példákat adunk vektorterek dimenziój´ anak meghatároz´ as´ ara, megadjuk a vektorrendszerek rangjának fogalmát, amellyel sok más lineáris algebrával foglakoz´ o könyvben találkozhat az olvasó. Legyen A = {a1 , . . . , am } egy V vektortér valamely vektorrendszere. Ha létezik A-nak r elem˝ u lineárisan f¨ uggetlen részrendszere, de bármely r+1 vektort tartalmazó részrendszere már lineárisan összef¨ ugg˝ o, akkor az A rangja a nemnegat´ıv r sz´ am. Az A vektorrendszer rangját ρ(A)-val jelölj¨ uk. Nagyon könny˝ u igazolni, hogy ρ(A) éppen az A vektorrendszer által generált lin (A) altér dimenziój´ aval egyenl˝ o, ezért vektorrendszerek rangjára vonatkoz´ o áll´ıt´ asokat k¨ ul¨ on nem fogalmazunk meg ebben a jegyzetben. A térbeli, rögz´ıtett kezd˝opont´ u, helyvektorok terében válasszunk három, páronként mer˝oleges vektort, amit az alábbi 1.8 ábr´ an a-val, b-vel és c-vel jelölt¨ unk, és vegy¨ unk egy tetsz˝oleges, d-vel jelölt negyediket. Amint az látható, a d vektort el˝o tudtuk áll´ıtani az a, b és c vektorok lineáris kombinációjaként. Az a, b, c h´ armas tehát e térnek generátorrendszere. Persze az {a, b, c} vektorrendszer lineárisan f¨ uggetlen is, azaz bázis. Tulajdonképpen az a, b, c vektorokkal a jól ismert térbeli Descartes–féle koordináta rendszert vett¨ uk fel, annak tengelyeit az a, b, c vektorok skal´ arszorosai alkotj´ ak. Ezért mondhatjuk, hogy maga az a, b, c vektorrendszer a koordináta rendszer. 3 P´ elda. Megmutatjuk, hogy az Rn val´ os koordin´ atatér n-dimenzi´ os.

28

´ ELEMI TULAJDONSAGAIK ´ 1. FEJEZET VEKTORTEREK ES βb ... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . ...... . . . . . . . . ........... . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . .. . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . .............. . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . ..... . ... ..... . . . . . ....... . . .... . ...... . . . . . . . ... .. . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . .. . . . ..... .... ..... . . . . . ... . . ... . . . . . ... . . ... . . . . . . . . . . ... . . . . . . . .. . . . ..... .... ..... . . . . . ... . . .. . ... .......... . . . . . . . . . ......... . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................................................. . ..... . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . ..... . . . . . ..... . . . . .......... . . . . . . .. ................ .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ..... ..... ..... . . . . ..... ....... .......... ........ .... . . . . ..... .... .

d = αa + βb + γc

b

a

•

αa

γc

c

1.8. ábra: Bázis a 3-dimenziós térben Ennek a kijelentésnek az igazolás´ ara megadjuk Rn egy n-elem˝ u bázis´ at. Legyen 



0  ..   . 

    ei =      

0 1 0 .. .

         

0 az az n-es, amelyben pontosan az i-dik komponens az 1-es és a többi 0, amit a továbbiakban i-dik egységvektornak nevez¨ unk, és legyen E = {e1 , . . . , en } az egységvektorok halmaza. Tekintve, hogy 





α1  ..   αi ei =  .  =  i=1 αn

n X



0 ..  ⇐⇒ α = . . . = α = 0, 1 n .  0

E f¨ uggetlen vektorrendszer, másrészt egy tetsz˝oleges 



ξ1  ..  x =  .  ∈ Rn ξn vektor el˝oáll´ıtható az E-beli vektorok x=

n X

ξi ei

i=1

lineáris kombinációjaként, igazolva, hogy E generátorrendszer is. Ezzel E b´ azis volt´ at igazoltuk, és mert n eleme van, azt is, hogy Rn n-dimenzi´ os. 2


29

A fenti igazolás szó szerint átvihet˝ o tetsz˝oleges F test feletti Fn koordinátatérre, természetesen az F test egység– illetve zér´ oelemét használva a bázisvektorok konstruálásakor. Tehát áll´ıthatjuk, hogy a tetsz˝oleges F test feletti Fn koordinátatér n-dimenziós. 4 P´ elda. Megmutatjuk, hogy ha a V vektortérnek M és N két véges dimenzi´ os S T altere, akkor dim(lin (M N )) = dim M + dim N − dim(M N ). El˝oször is azt jegyezz¨ uk meg, hogy mivel az M és N alterek egyes´ıtése által generált altér minden vektora egy M -beli és egy N -beli vektor összege,(l´ asd az T (1.3.8) tételt) ezen altér dimenziója is biztosan véges lesz. Minthogy az M N altér egy X bázisa mind M -nek mind N -nek lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszere, azt ki lehet egész´ıteni M egy XM és N egy XN bázis´ av´ a. Ezen bázisok egyes´ıtésével keletkezett halmaz, ami a közös elemeknek persze csak egy péld´ any´ at tartalmazza, S T bázisa lin (M N )-nek és dim M + dim N − dim(M N ) elem˝ u, és ez az, amit meg kellett mutatnunk. 2 Fel kell h´ıvjuk az olvasó figyelmét egy fontos következményre, nevezetesen arra, hogy amennyiben a V vektortér M és N altereinek direktösszege, azaz V = M ⊕ N , T akkor dim V = dim M + dim N , hiszen ilyenkor az M N a zérus altér. 4. Gyakorlatok, feladatok

1. Mutassa meg, hogy ha A a V vektortér tetsz˝oleges részhalmaza és v S egy tetsz˝oleges V -beli vektor, akkor a lin (A) és lin (A {v}) alterek dimenziója pontosan akkor egyenl˝ o, ha v kifejezhet˝ o A vektorainak lineáris kombinációjaként! 2. Legyen L = {x ∈ Rn | x = [α, α + δ, . . . α + (n − 1)δ], α, δ ∈ R}, tehát L elemei azok az n-esek, amelyeknek egymást követ˝ o elemei számtani sorozatot alkotnak. Mint azt megmutatt´ ak az el˝oz˝ o részt követ˝ o feladatok megoldása során, L altere Rn -nek. Határozza meg L egy bázis´ at és ennek alapján a dimenziój´ at! 3. Tekints¨ uk most az Rn valós koordinátatér összes olyan vektorainak az M halmazát, amelyek komponenseinek összege zérus, tehát M = {x = [ξ1 , . . . , ξn ] |

n X

ξi = 0}.

i=1

Mint azt megmutattuk az el˝oz˝ o részben, M altér. Adja meg M egy bázis´ at és ennek alapján állap´ıtsa meg a dimenziój´ at! 4. A fentiekben igazoltuk, hogy a Cn komplex koordinátatér n-dimenziós a komplex számok C teste felett. Mennyi lesz a Cn tér, mint val´ os vektortér dimenziója, azaz, ha csak valós skal´ arokkal val´ o szorzásra szor´ıtkozunk? 5. Igazolja, hogy a legfeljebb (n − 1)-edfok´ u val´ os polinomok terében azok a ´ polinomok, amelyeknek az α zérushelye, alteret alkotnak! Allap´ ıtsa meg ezen altér dimenzióját és adja meg egy bázis´ at!


30

6. Mutassa meg, hogy ha V n-dimenziós vektortér és M V -nek r-dimenziós altere (r ≤ n), akkor van olyan n − r-dimenzi´ os N altere is, hogy V az M és N altereinek direkt összege! 7. Az el˝oz˝o feladat felhasznál´ as´ aval igazolja, hogy egy n-dimenzi´ os V vektortér el˝oáll´ıtható n darab 1-dimenziós altere direkt összegeként!

1.6

Koordin´ ata reprezent´ aci´ o

Ha V egy n-dimenziós F test feletti vektortér, akkor bármely X = {x1 , . . . , xn } bázisa seg´ıtségével a tér minden vektora el˝o´ all´ıthat´ o, mint a bázisvektorok lineáris kombinációja, és ez az el˝oáll´ıt´ as az (1.4.4 tétel szerint egyértelm˝ u is. Ha tehát v(∈ V ) egy tetsz˝oleges vektora a térnek, akkor léteznek egyértelm˝ uen meghatározott ε1 , . . . , εn (∈ F) skalárok, u ´gy, hogy v = ε1 x1 + · · · + εn xn . Ezeket a ε1 , . . . , εn skalárokat a v vektor X b´ azisra vonatkoz´ o koordin´ at´ ainak nevezz¨ uk. Magát az (oszlopba) rendezett skal´ ar-n-est a v vektor X bázisra vonatkozó koordin´ ata vektor´ anak h´ıvjuk és vX -el jelölj¨ uk. Teh´ at 



ε1  ..  vX =  .  εn a v vektor X bázisra vonatkozó koordináta vektora. Felh´ıvjuk az olvas´ o figyelmét arra, hogy ha szövegen bel¨ ul k´ıvánjuk megadni valamely vektor koordináta vektor´ at, akkor helyk´ımélés céljából sorba rendezett n-esekkel reprezent´ aljuk azokat. skal´ arn-essel Remélve, hogy a koordinata reprezent´ aci´ o bázist´ ol val´ o f¨ ugg˝ oségének megértését seg´ıti, az 1.9 ábra a s´ıkbeli helyvektorok terében ugyanazon v vektor két k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o, a már középiskolából ismert I = {i, j} és egy másik, A = {a, b} bázis vektorainak lineáris kombinációiként van el˝oáll´ıtva. Ennek megfelel˝oen fel´ırtuk v mindkét bázisra vonatkozó koordináta vektorát. Az 1.9 ábráról leolvasható, hogy "

vI =

1 1

#

"

, m´ıg vA =

1/2 3

#

.

Hangs´ ulyoznunk kell a k¨ ulönbséget a v ∈ V vektor és a v vektor valamely bázisra vonatkozó koordináta vektora köz¨ ott, ami az F feletti Fn koordinátatér eleme, nem pedig V -beli. Ezt k´ıvánjuk elérni azzal, hogy a koordináta vektort vastagon szedett bet˝ uvel jelölj¨ uk, tehát péld´ aul a v vektor koordináta vektor´ at v-vel, amelynek indexeként az alapul vett bázist is felt¨ untetj¨ uk. Ez persze sokszor bonyolulttá teszi a koordináta vektorok jelölését, ezért állapodjunk meg abban, hogy ha a szövegkörnyezetb˝ol kider¨ ul, hogy melyik bázisra vonatkoz´ o koordinát´ akr´ ol van szó, akkor az egyszer˝ uség kedvéért a bázisra utaló indexet elhagyjuk. De nagyon fontos, hogy az olvasó megértse, hogy a vektortér vektorainak a koordinát´ ai bázisf¨ ugg˝ oek,

´ ´ O ´ 1.6. KOORDINATA REPREZENTACI

31

j............ .......................................... v . . ........... . ..... .... ............... . v . . ............. . . . . ...... a ........ . . ......... . . ..... . . . . . . . . . . . .. . ... . .. ..

*

. ............. . .. .. . .... ......... . . . . . ..... ..... . ..... ..... ..... ... . . ..... . . . ..... ..... .. ...... ...... . .. . ..... ..... . .................. . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . ...... ..... . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . ..... . ...... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . .............. . ... ....... . ..... ... ........ ..... ........ . ..... . ..... ..... ......... ... .... ...... . .... .......... ... ......... . ...... . ......... ........................... . . . . ... ...... . . . . . . . .. .. .... ....................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................... . . . . . . . . . .

1 2a

•

i

a.

3b

b

•

b.

1.9. ábra: Koordináta reprezent´ aci´ o k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o bázisokban

és ugyanazon vektornak két k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o bázisra vonatkoz´ o koordinát´ ai k¨ ul¨ onb¨ oz˝ oek. Ami pedig egy vektor koordináta vektor´ at illeti, az még a bázis vektorainak rendezését˝ol is f¨ ugg. K¨ ulönösen bonyolultt´ a válik a helyzet abban az esetben, amikor magának az Fn koordinátatér vektorainak valamely bázisra vonatkoz´ o koordináta vektorairól van szó, hiszen ekkor formailag nincs k¨ ul¨ onbség a tér elemei és a koordináta vektorok között. Tartalmilag azonban igenis lényeges az eltérés, hiszen Fn egy mesterséges matematikai konstrukci´ oval képzett vektortér, nevezetesen F-beli skalárok oszlopba rendezett n-eseinek halmaza, alkalmas operáci´ okkal ellátva, m´ıg egy elemének valamely bázisra vonatkoz´ o koordináta vektora azt mutatja meg, hogy a kérdéses elemet a bázisvektorok milyen F-beli skal´ arokkal képzett lineáris kombin nációja áll´ıtja el˝o. Ezért egy tetsz˝oleges v ∈ F skal´ ar-n-es lehet egy más w ∈ Fn n-es valamely bázisra vonatkozó w koordináta vektor´ aval egyenl˝ o. A következ˝o tétel azt áll´ıtja, hogy lényegében minden vektortér olyan, mint egy koordinátatér, csak az elemek jelölésében van eltérés. 1.6.1 T´ etel. Ha V az F test feletti n-dimenzi´ os vektortér, akkor izomorf az Fn koordin´ atatérrel.

32

´ ELEMI TULAJDONSAGAIK ´ 1. FEJEZET VEKTORTEREK ES ´ Bizony´ıt´ as. Legyen X = {x1 , . . . , xn } egy bázisa V -nek. Ertelmezz¨ uk azt a Φ : V −→ Fn

leképezést, amely minden v = ε1 x1 + · · · + εn xn V -beli vektorhoz hozzárendeli, annak X bázisra vonatkoz´ o 



ε1  ..  vX =  .  εn koordináta vektorát. Azt fogjuk megmutatni, hogy Φ izomorfizmus. A Φ leképezés egyértelm˝ usége abból következik, hogy rögz´ıtett bázis mellett a koordinát´ ak egyértelm˝ uen meghatározottak. Ha két v, w ∈ V vektornak ugyanaz a képe, akkor a v − w = 0x1 + · · · + 0xn = 0 számolás mutatja, hogy v = w, igazolva, hogy Φ egy–egyértelm˝ u is. Tov´ abb´ a minden Fn -beli [α1 , . . . , αn ] vektor Φ k´ epe valamely V -beli vektornak, nevezetesen az α1 x1 +

· · · + αn xn vektornak, mutatva ezzel, hogy Φ ráképezés. Ha w = ω1 x1 + · · · + ωn xn egy tetsz˝oleges másik V -beli vektor és δ, γ ∈ F tetsz˝ oleges skalárok, akkor könny˝ u számol´ assal kapjuk, hogy δv + γw = (δε1 + γω1 )x1 + · · · + (δεn + γωn )xn . Így tehát azt kapjuk, hogy 











δε1 + γω1 ε1 ω1    .   .  .  = δ  .  + γ  .  = δv + γw, .. δv + γw =     .   .  δεn + γωn εn ωn ami éppen annak az igazolása, hogy Φ(δv + γw) = δΦ(v) + γΦ(w). Ezzel bizony´ıtottuk, hogy Φ rendelkezik a m˝ uveletekkel val´ o felcserélhet˝ oség tulajdonságával is, tehát izomorfizmus. 2 Az (1.6.1) tétel bizony´ıtása rámutat arra, hogy egy F feletti V vektortér minden X = {x1 , . . . , xn } bázisa meghatároz egy Φ : V Fn izomorf leképezést. A Φ izomorf lképezést u ´gy is értelmezhett¨ unk volna, hogy a bázisvektorokhoz az Fn         Φ(xi ) = ei =       

0 .. . 0 1 0 .. . 0

              

(i = 1, . . . , n),


33

u ´gynevezett egységvektorait rendelj¨ uk, majd minden más V -beli v vektor képét annak a követelménynek a figyelembevételével határozzuk meg, hogy lineáris kombináció izomorf képe meg kell egyezzen a képvektorok ugyanazon skal´ arokkal képzett lineáris kombinációjával. Tehát ha v = ε1 x1 + · · · + εn xn , akkor Φ(v) = ε1 Φ(x1 ) + · · · + εn Φ(xn ) kell legyen. Ezek alapján egy F feletti V vektortér v elemének egy X = {x1 , . . . , xn } bázisra vonatkozó koordináta vektor´ at u ´gy tekinthetj¨ uk, mint a Φ : V Fn izomorfizmus által meghatározott Φ(v) képét. Könnyen igazolható, hogy ha Θ a V vektortérnek a W vektortérre val´ o izomorfizmusa, és {x1 , . . . , xn } a V vektortér lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszere vagy bázisa, akkor {Θ(x1 ), . . . , Θ(xn )} a W vektortérnek ugyancsak lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszere, illetve bázisa. Az (1.6.1) tétel felhasználásával nem nehéz igazolnunk az alábbi áll´ıt´ ast. ´ ıt´ 1.6.2 All´ as. izomorfok.

Ha az F test feletti V és W vektorterek dimenzi´ oja egyenl˝ o, akkor

Bizony´ıt´ as. Legyen dim V = dim W = n . Akkor az (1.6.1) tétel szerint léteznek Φ : V Fn és Ψ : W Fn izomorf leképezés. Tekints¨ uk a (Ψ−1 · Φ) : V W szorzatleképezést, amely minden v ∈ V vektornak a Ψ−1 (Φ(v)) vektort felelteti meg. Ez nyilvánvalóan V -nek W -re val´ o izomorf leképezése. 2 Az (1.5.7) áll´ıtás nyilvánvaló következménye, hogy egy n-dimenziós vektortérnek van m-dimenziós altere minden m(≤ n) nemnegat´ıv egész esetén. Ebb˝ol a tényb˝ ol és az el˝oz˝o áll´ıtásból azonnal adódik: 1.6.3 K¨ ovetkezm´ eny. Ha az F test feletti V vektortér n-dimenzi´ os a W vektortér pedig m-dimenzi´ os és m ≤ n, akkor V -nek van W -vel izomorf altere. 1.6.4 T´ etel. Ha az F test feletti V vektortér n-dimenzi´ os, akkor a du´ alis V ∗ vektortér is n-dimenzi´ os, k¨ ovetkezésképpen minden véges dimenzi´ os vektortér izomorf a du´ alis´ aval. Bizony´ıt´ as. Mivel dim V = n, V -nek van n-elem˝ u bázisa. Legyen X = {x1 , . . . , xn } egy ilyen bázis. Legyenek {x∗1 , . . . , x∗n } olyan a V téren értelmezett f¨ uggvények, melyekre (

x∗i (xj )

= δij , (i, j = 1, . . . , n) ahol δij =

1 0

ha ha

i = j, i 6= j


34

az u ´gynevezett Kronecker-szimb´ olum, és tetsz˝oleges v = ε1 x1 + . . . + εn xn

(1.3)

x∗i (v) = ε1 x∗i (x1 ) + · · · + εn x∗i (xn ) = εi (i = 1, . . . , n).

(1.4)

vektorra, legyen

ul¨ onb¨ oz˝ o liuggvény lineáris, és az X ∗ = {x∗1 , . . . , x∗n } k¨ Könnyen látszik, hogy az x∗i f¨ neáris f¨ uggvények rendszere V ∗ -ban. Megmutatjuk, hogy X ∗ bázisa V ∗ -nak. El˝osz¨ or ∗ lássuk be, hogy az X f¨ uggvényrendszer lineárisan f¨ uggetlen. Ha az ξ1 x∗1 + · · · + ξn x∗n = 0 , tehát minden V -beli vektornak a 0 skal´ art felelteti meg, akkor az X b´ azis vektorait helyettes´ıtve, kapjuk, hogy minden i(= 1, . . . , n)-re 0=(

n X

ξj x∗j )xi =

n X

ξj x∗j (xi ) = ξi ,

j=1

j=1

ami éppen X ∗ lineáris f¨ uggetlenségét igazolja. Legyen most y ∗ tetsz˝oleges eleme V ∗ -nak. Tegy¨ uk fel, hogy y ∗ (xi ) = ηi . Megmutatjuk, hogy akkor y ∗ = η1 x∗1 + · · · + ηn x∗n ,

(1.5)

ami azt fogja igazolni, hogy X ∗ generátorrendszere is V ∗ -nak. Az y ∗ lineáris f¨ uggvény az (1.3) egyenl˝ oséggel adott tetsz˝oleges v ∈ V vektorhoz az n n X

y ∗ (v) = y ∗ (

εi xi ) =

X

i=1

εi ηi

j=i

skalárt rendeli. Az (1.5) egyenl˝ oség jobboldalán lév˝ o lineáris f¨ uggvény értéke a v helyen az (1.4) egyenlet szerint (

n X

ηj x∗j )(v) = (

j=1

n X

n X

ηj x∗j )(

j=1 n X n X j=1 i=1

ηj εi δij =

εi xi ) =

i=1 n X

ηi εi ,

i=1

tehát ugyanaz a skalár. Akkor az (1.5) egyenl˝ oség teljes¨ ul, és ezzel megmutattuk, hogy X ∗ nemcsak lineárisan f¨ uggetlen, de generátorrendszere is V ∗ -nak, azaz bázis. 2 1.6.5 Defin´ıci´ o. Legyen X = {x1 , . . . , xn } b´ azisa V vektortérnek és legyenek ∗ ∗ ∗ uggvények, melyekre X = {x1 , . . . , xn } a V téren értelmezett olyan f¨ (

x∗i (xj )

= δij , (i, j = 1, . . . , n) ahol δij =

1 0

ha ha

i = j, i 6= j.


35

Akkor X ∗ a du´ alis tér b´ azisa (l´ asd az el˝ oz˝ o tételt), amelyet a V vektortér X b´ azis´ ahoz rendelt du´ alis b´ azisnak nevez¨ unk. Egy véges dimenziós vektortér és duálisa köz¨ otti kapcsolatot az el˝oz˝ o tétel jól jellezi. Az alábbi áll´ıtás altereik kapcsolat´ at ´ırja le. ´ ıt´ 1.6.6 All´ as. Legyen az n-dimenzi´ os V vektortérnek M r-dimenzi´ os altere. Meg∗ mutatjuk, hogy M annull´ atora (n − r)-dimenzi´ os altere V -nak. Bizony´ıt´ as. Emlékeztetj¨ uk az olvas´ ot arra, hogy M annull´ ator´ an azoknak a ∗ V y lineáris f¨ uggvényeknek a halmazát értj¨ uk, amelyekre ∗ -beli

y ∗ (x) = 0 minden x ∈ M -re teljes¨ ul. Az M r-dimenziós lévén, van r elem˝ u bázisa. Legyen X = {x1 , . . . , xr } M -nek egy ilyen bázisa, és egész´ıts¨ uk ezt ki az {xr+1 , . . . , xn } vektorok hozzávételével a V vektortér egy bázis´ av´ a, ami az (1.5.7) áll´ıt´ as szerint lehetséges, hiszen V alterének egy bázisa nyilván lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszere V -nek. Legyen X ∗ = {x∗1 , . . . , x∗r , x∗r+1 , . . . , x∗n } a duális bázis. Megmutatjuk, hogy {x∗r+1 , . . . , x∗n } bázisa M annullátorának, M ◦ -nek. A duális bázis értelmezése alapján nyilv´ anval´ o, hogy x∗r+1 , . . . , x∗n lineáris f¨ uggvények mindegyike eleme M ◦ -nek, és lineárisan f¨ uggetlen rendszer, hiszen egy bázis részrendszere. Másrészt, ha y ∗ tetsz˝oleges eleme M ◦ -nek, akkor y ∗ (xi ) = 0 (i = 1, . . . , r)–re, és y ∗ (xj ) = βj (j = r + 1, . . . , n)-re. Így y ∗ -nak X ∗ -beli f¨ uggvények lineáris kombin´ aci´ ojaként val´ o (1.5) egyenl˝ oség szerinti el˝oáll´ıtásában y ∗ = 0 · x∗1 + · · · + 0 · x∗r + βr+1 xr+1 + · · · + βn x∗n (lásd az el˝oz˝o tétel bizony´ıtását), csak az x∗r+1 , . . . , x∗n f¨ uggvények egy¨ utthat´ oi zérustól k¨ ulönböz˝oek, igazolva ezzel, hogy {x∗r+1 , . . . , x∗n } generátorrendszere is, és ´ıgy bázisa M ◦ -nek. Akkor viszont M ◦ val´ oban n − r-dimenzi´ os. 2

1.6.1

Elemi b´ azistranszform´ aci´ o

Azt láttuk, hogy tetsz˝oleges F test feletti n-dimenziós V vektortér izomorf az Fn koordinátatérrel. Azok után, hogy rögz´ıtett¨ uk V egy X b´ azis´ at, a vektortér mindegyik v eleméhez egyértelm˝ uen hozzárendelhet˝ o egy vX oszlopba rendezett skal´ ar n-es, a v vektornak az X bázisra vonatkoz´ o, u ´gynevezett koordináta vektora, amelynek i-dik eleme éppen a v vektornak az i-dik bázisvektorra vonatkoz´ o koordinát´ aja. Ez a koordináta vektor az Fn koordinátatér egy eleme, a v vektor izomorf képe, ahol az izomorf leképezést az X bázis határozza meg, el˝o´ırva, hogy az X -beli xi b´ azisvektor képe ∗ legyen az ei = [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , . . . , 0] , u ´gynevezett i-edik egységvektor, minden (i = 1, . . . , n)-re. Minthogy a v vektor koordinát´ ai bázist´ ol f¨ ugg˝ oek, más bázis más izomorf leképezést határoz meg, következésképpen, más bázis esetén ugyanazon v vektornak mások lesznek a koordinát´ ai. Az alábbiakban azt k´ıv´ anjuk kider´ıteni, hogy a bázis megváltoztatásakor, a tér vektorainak koordinát´ ai hogyan változnak.

36


Itt most csak azzal az esettel foglalkozunk, amikor a bázist csak egyetlen vektor kicserélésével változtatjuk meg. Legyen ezért X = {x1 , . . . , xn } az eredeti bázis és azt tételezz¨ uk fel, hogy y a térnek egy nemzéró vektora. Egy olyan u ´j bázisban akarjuk meghatározni a vektortér vektorainak koordinátáit, amely X -t˝ ol csak annyiban k¨ ul¨ onb¨ ozik, hogy valamelyik vektora helyett az y vektor lesz az u ´j bázisvektor. y csak´ ugy, mint a tér bármelyik vektora, kifejezhet˝o X vektorainak lineáris kombinációjaként, y = η1 x1 + · · · + ηi xi + · · · + ηn xn , ahol az y koordinátái között van null´ at´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o, mondjuk ηi 6= 0, hiszen feltevés¨ unk szerint y nemzéró vektor, és nyilv´ anval´ oan csak nemzér´ o vektor lehet bázisnak eleme. Az ηi koordinátát gener´ al´ o elemnek nevezz¨ uk. A ηi 6= 0 volta teszi lehet˝ové, hogy az xi vektor kifejezhet˝o az y és X többi vektor´ anak lineáris kombinációjaként xi = −

η1 ηi−1 1 ηi+1 ηn x1 − · · · − xi−1 + y − xi+1 − · · · − xn , ηi ηi ηi ηi ηi

(1.6)

amib˝ol következik, hogy az X 0 = {x1 , . . . , xi−1 , y, xi+1 , . . . , xn } vektorrendszer is bázis. Ezt igazolandó, el˝oször lássuk be, hogy X 0 generátorrendszer. Mivel X b´ azis 0 volt és az elhagyott xi vektor X vektorainak lineáris kombin´ aci´ oja, ha egy V -beli v vektor X vektorainak lineáris kombin´ aci´ ojaként val´ o el˝o´ all´ıt´ as´ aban az xi vektort helyettes´ıtj¨ uk az (1.6) egyenlet jobboldalával, akkor X 0 vektorainak lineáris kombinációjaként való kifejezését kapjuk. Másrészt X 0 lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszer is, mert n elem˝ u generátorrendszer és ha lineárisan összef¨ ugg˝ o lenne, akkor a térnek lenne n-nél kevesebb vektort tartalmazó bázisa, ellentmondva az (1.5.5) tételnek. Tekints¨ uk most a vektortér egy tetsz˝oleges v elemét. Ha ez az X b´ azis vektorainak v = ε1 x1 + · · · + εi xi + · · · + εn xn lineáris kombinációja, akkor az xi vektort helyettes´ıtve az (1.6) vektoregyenlet jobboldalával, kapjuk, hogy ηi−1 1 η1 x1 − · · · − xi−1 + y − ηi ηi ηi ηi+1 ηn xi+1 − · · · − xn ) + · · · + εn xn , ηi ηi

v = ε1 x1 + · · · + εi (− −

(1.7)

ami a bázisvektorok egy¨ utthatóinak rendezése után v = (ε1 − η1

εi εi ξi )x1 + · · · + y + · · · (εn − ηn )xn . ηi ηi ηi

(1.8)

¨ Osszefoglalva a fenti szám´ıt´ as eredményét, ha a v vektor X b´ azisra vonatkoz´ o koordináta vektora vX és az yX koordináta vektor´ u nemzér´ o y vektorral kicserélj¨ uk az X bázis xi elemét, hogy megkapjuk az X 0 u ´j bázist, akkor vX 0 ugyanazon v vektornak az u ´j X 0 bázisra vonatkoz´ o koordináta vektora. Teh´ at ha


        vX =       

ε1 .. . εi−1 εi εi+1 .. . εn





             

       yX =       

és

η1 .. . ηi−1 ηi ηi+1 .. . ηn



37



ε1 − η1 ηεii .. . εi−1 − ηi−1 ηεii

              εi  akkor vX 0 =  ηi    εi+1 − ηi+1 εi  ηi     ..   .  

        .      

εn − ηn ηεii

Látható, hogy legel˝oször célszer˝ u a bázisba éppen bevont u ´j bázisvektorra vonatkozó koordináta meghatározása, hiszen ez minden más koordináta kiszám´ıt´ as´ aban szerepet kap. Ezt a bázisból elhagyand´ o vektorra vonatkoz´ o koordinát´ anak a gener´ aló elemmel való osztásával kapjuk. Ezt a hányadost δ-val jelölve azt mondhatjuk, hogy minden más u ´j bázisra vonatkoz´ o koordináta megkaphat´ o, ha a régi bázisra vonatkozó koordinátából kivonjuk az u ´j bázisvektor megfelel˝o koordinát´ aj´ anak δ-szorosát. Hangs´ ulyoznunk kell, hogy az y vektort olyan xi bázisvektor helyett tudtuk bázisba vonni, amelyre vonatkozó koordinát´ aja nem nulla, hiszen ez tette lehet˝ové, hogy a bázisból elhagyandó xi vektort el˝o´ all´ıtsuk az y és a megmaradt X -beli vektorok lineáris kombinációjaként az (1.6) egyenletnek megfelel˝oen. 5 P´ elda. Tegy¨ uk fel, hogy a 4-dimenzi´ os val´ os V vektortérben az X = {x1 , . . . , x4 } vektorrendszer egy b´ azis és y = 2x1 + x2 − 3x3 + x4 . Az x1 vektort ki akarjuk cserélni az y vektorral és meg kell hat´ arozni a v = x1 + 2x2 + x3 − 3x4 vektor koordin´ ata vektor´ at az u ´j X 0 = {y, x2 , . . . , x4 } b´ azisban. A szám´ıtásokat a x1 x2 x3 x4

y v 2 1 1 2 −3 1 1 −3

táblázat módos´ıtásával végezz¨ uk, amelynek baloldali oszlopában az X b´ azis elemeit t¨ untett¨ uk fel, második oszlopában az y vektor e bázisra vonatkoz´ o koordinát´ ait, ezt a második oszlop fejlécében az y felt¨ untetésével is jelölt¨ uk, a harmadik oszlop pedig a v X bázisra vonatkozó koordináta vektor´ at tartalmazza, ugyancsak az v jellel fejlécezve. Minthogy a tábl´ azat baloldali oszlopa az X b´ azis vektorait mutatja, ebb˝ol egyértelm˝ u, hogy a további oszlopok melyik bázisra vonatkoz´ o koordináta vektorok. Ezért hagyhattuk el a bázisra utaló indexet a koordináta vektorok jeléb˝ ol. Az y vektor els˝o koordinátája be van keretezve, amellyel azt k´ıv´ antuk jelezni, hogy az y vektort az els˝o bázisvektor helyére akarjuk a bázisba bevonni. Ezt a koordinát´ at ´ választjuk generáló elemnek. Ujfent hangs´ ulyozzuk, hogy a generál´ o elem mindig zérustól k¨ ulönböz˝o kell legyen, hiszen, amint azt az el˝oz˝ oekben láttuk, csak olyan bázisvektor cserélhet˝o ki egy u ´j vektorra, amely kifejezhet˝o az u ´j vektor és az eredeti bázis megmaradó vektorainak lineáris kombin´ aci´ ojaként. A következ˝ o tábl´ azatban már a szám´ıtási eljárás van felt¨ untetve,


38

v y x2

1/2 2−1·

1 2

x3 1 − (−3) · x4

−3 − 1 ·

1 2

1 2

=

1/2

=

3/2

=

5/2

= −7/2

Természetesen a v koordináta vektort feladatok megoldásakor azonnal az      

1/2



  5/2  

3/2  −7/2

alakban ´ırjuk a táblázatba, itt csupán azt k´ıv´ antuk megmutatni, hogy az u ´j bázisra vonatkozó koordináták hogyan szám´ıthat´ ok ki. Azt áll´ıthatjuk az u ´j koordináta vektor ismeretében, hogy a v vektor az u ´j bázisvektorok 1 3 5 7 v = y + x2 + x3 − x4 2 2 2 2 lineáris kombinációja. Más szavakkal megfogalmazva ugyanezt, am´ıg az eredeti X bázis által meghatározott izomorfizmus a v vektorhoz R4 -nek [1, 2, 1, −3] elemét rendeli, addig az {y, x2 , x3 , x4 } b´ azis által definiált másik izomorf leképezés ugyanezen v vektort az [1/2, 3/2, 5/2, −7/2] szám-4-esbe viszi. 2 Számos lineáris algebrai probléma megoldás´ ahoz lehet használni az elemi bázistranszformáció módszerét, hogy vektorok koordináta vektor´ at egy alkalmas bázisra vonatkozóan meghatározzuk. Persze által´ aban elemi bázistranszform´ aci´ ok sorozatával jutunk csak az alkalmas bázishoz. A következ˝ o részben néh´ any alkalmaz´ asi lehet˝ oséget mutatunk be.

1.6.2

Az elemi b´ azistranszform´ aci´ o n´ eh´ any alkalmaz´ asa

Vektorrendszerek line´ aris f¨ uggetlens´ eg´ enek, illetve ¨ osszef¨ ugg˝ os´ eg´ enek vizsg´ alata Az a feladat, hogy valamely V vektortér egy Y = {y1 , . . . , yn } vektorrendszerér˝ ol el kell dönteni, hogy lineárisan f¨ uggetlen, vagy lineárisan összef¨ ugg˝ o. Amennyiben ismerj¨ uk az Y vektorainak V valamely X bázis´ ara vonatkoz´ o koordináta vektorait, akkor elemi bázistranszformációk sorozatával az X b´ azis vektorait az Y vektorrendszer vektoraival cserélj¨ uk ki. Ha az Y vektorrendszer minden vektora bevonhat´ o a bázisba, kicserélve az X -beli vektorokat, akkor egy bázis részrendszere lévén, lineárisan f¨ uggetlen. Ha azonban Y valamelyik yi vektora nem cserélhet˝ o ki X -beli vektorral, mert ezekre vonatkozó koordinát´ ai mind null´ ak, akkor yi vagy a zér´ o vektor, vagy az el˝oz˝oleg már a bázisba bevont Y-beli vektorok lineáris kombin´ aci´ oja, és akkor Y lineárisan összef¨ ugg˝o.


39

6 P´ elda. Legyen a 4–dimenzi´ os val´ os V vektortér egy b´ azisa X = {x1 , . . . , x4 } és az Y = {y1 , y2 , y3 } vektorrendszer vektorainak ezen b´ azisra vonatkoz´ o koordin´ at´ ai legyenek       1 −1 3  −1   2   −4        y1 =  es y3 =   , y2 =   ´   2   −2   6  0 3 −3 ´ Allap´ ıtsuk meg, hogy Y line´ arisan ¨ osszef¨ ugg˝ o, vagy line´ arisan f¨ uggetlen vektorrendszer! A szám´ıtásokat az alábbi tábl´ azatokban végezt¨ uk

x1 x2 x3 x4

y1 y2 y3 1 −1 3 −1 2 −4 2 −2 6 0 3 −3

y1 x2 x3 x4

y2 y3 −1 3 1 −1 0 0 3 −3

y1 y2 x3 x4

y3 2 −1 0 0

Az utolsó táblázatból kiolvashat´ o, hogy az y3 vektor az el˝oz˝ o lépések során a bázisba bevont y1 és y2 vektorok lineáris kombin´ aci´ oja, nevezetesen y3 = 2y1 − 1y2 , következésképpen az Y vektorrendszer lineárisan összef¨ ugg˝ o. 2 Kompatibilit´ as vizsg´ alat Mindenekel˝ott meg kell magyar´ azzuk, hogy mit kell azon érteni, hogy egy V vektortér valamely v vektora kompatibilis valamely Y = {y1 , . . . , yn } vektorrendszerre vonatkozóan. Az Y vektorrendszer lineáris burka, mint az már ismert, a V térnek egy altere, amelynek elemei éppen Y vektorainak lineáris kombin´ aci´ oi. A v vektort az Y vektorrendszerre vonatkoz´ oan kompatibilisnek nevezz¨ uk, ha v benne van az Y lineáris burkában, azaz, ha v az y1 , . . . , yn vektorok lineáris kombin´ aci´ oja. ´ 7 P´ elda. Allap´ ıtsuk meg, hogy az R3 [t] vektortér (a legfeljebb 3–adfok´ u val´ os egy¨ utthat´ os polinomok tere) p(t) = −t + 3t2 + 2t3 vektora kompatibilis–e a q1 (t) = 1 − t, q2 (t) = 1 − t2 , q3 (t) = 1 + t3 vektorok rendszerére vonatkoz´ oan! Nem nehéz belátni, hogy az R3 [t] vektortérnek az A = {1, t, t2 , t3 } vektorrendszere (polinomrendszere) bázis, ´ıgy szám´ıt´ asainkat végezhetj¨ uk az erre a bázisra vonatkozó koordináta vektorokkal. Persze az A b´ azis helyett R3 [t] bármely más bázisára vonatkozó koordináta vektorokkal is dolgozhatnánk, csak akkor a q1 (t), q2 (t), q3 (t) és p(t) polinomok koordináta vektorainak meghatároz´ asa k¨ ul¨ on feladatot jelentene. Szám´ıtásainkat az alábbi tábl´ azatok mutatj´ ak:

1 t t2 t3

q1 (t) q2 (t) q3 (t) p(t) q2 (t) q3 (t) p(t) q1 (t) 1 1 0 1 1 1 0 t −1 0 0 −1 −→ 1 1 −1 2 0 −1 0 3 t −1 0 3 3 0 0 1 2 0 1 2 t

40


q3 (t) p(t) p(t) q1 (t) 0 1 q1 (t) 1 1 −1 −→ q2 (t) −3 −→ q2 (t) t2 1 2 0 t2 3 q3 (t) 2 1 2 t A legutolsó táblázatból kiolvashat´ o, hogy a p(t) = q1 (t) − 3q2 (t) + 2q3 (t), és valóban −t + 3t2 + 2t3 = (1 − t) − 3(1 − t2 ) + 2(1 + t3 ), ami tehát azt mutatja, hogy a p(t) vektor kompatibilis a {q1 (t), q2 (t), q3 (t)} vektorrendszerre vonatkoz´ oan. 2 Következ˝o példánkban megmutatjuk, hogy a lineáris egyenletrendszerek kompatibilitási problémaként is kezelhet˝ ok. Persze a lineáris egyenletrendszerek által´ anos tárgyalására majd még kés˝obb visszatér¨ unk az alkalmaz´ asokr´ ol szól´ o fejezetben, itt most csak azt szeretnénk érzékeltetni, hogy tulajdonképpen, már rendelkezik az olvasó azzal a technikával, amely egy lineáris egyenletrendszer megoldás´ ahoz sz¨ ukséges. 8 P´ elda. A kisl´ anyom, Anna nagy pénzgy˝ ujt˝ o. Természetesen a pap´ırpénzek mellett sz´ amos fém pénzérmét is ¨ osszegy˝ ujt¨ ott. A teljes kollekci´ oja 48 db érmét tartalmaz, és értéke 160 Ft. Gy˝ ujteményében legt¨ obb az 1 Ft–osok sz´ ama. 2 Ft–os viszont 10–zel kevesebb van, mint forintos. A 10 Ft–osok, 5 Ft–osok és 2 Ft–osok sz´ ama ¨ osszesen is 5–tel kevesebb, mint a gy˝ ujteményben lév˝ o 1 Ft–osok ¨ osszértéke. Azt tudjuk még, ´ hogy 1–gyel t¨ obb 10 Ft–osa van mint 20 Ft–osa. Allap´ ıtsa meg, hogy Anna pénzérme kollekci´ oja milyen ¨ osszetétel˝ u! A látszólag komplikált feladathoz egy nagyon is egyszer˝ u matematikai modell rendelhet˝o, amelynek megoldása val´ oban gyerekj´ aték. Legyen ugyanis az 1 Ft–osok, 2 Ft–osok, 5 Ft–osok, 10 Ft–osok és 20 Ft–osok egyel˝ ore ismeretlen száma rendre: ξ1 , ξ2 , ξ3 , ξ4 , illetve ξ5 darab. Akkor ezek az ismeretlenek a fenti informáci´ ok szerint eleget tesznek a következ˝o egyenleteknek. ξ1 + ξ2 + ξ3 + ξ4 + ξ5 = 48 ξ1 + 2ξ2 + 5ξ3 + 10ξ4 + 20ξ5 = 160 ξ1 − ξ2 = 10 ξ1 − ξ2 − ξ3 − ξ4 = 5 ξ4 − ξ5 = 1

Ha az egyes ismeretlenek egy¨ utthat´ oit egy–egy oszlopvektorba gy˝ ujtj¨ uk, csak´ ugy, mint az egyenletek jobboldalán lév˝ o konstansokat, akkor a fenti egyenletrendszer a


    ξ1    

1 1 1 1 0





       + ξ2       

1 2 −1 −1 0





       + ξ3       

1 5 0 −1 0



41



       + ξ4       

1 10 0 −1 1





       + ξ5       

1 20 0 0 −1





      =      

48 160 10 5 1

       

alakot ölti. Ezt a vektoregyenletet interpretálhatjuk u ´gy, hogy adott 5-komponens˝ u oszlopvektorok olyan lineáris kombin´ aci´ oi keresend˝ ok, amelyek egy adott 5-komponens˝ u oszlopvektort eredményeznek. A lineáris kombin´ aci´ oban szerepl˝o egy¨ utthatókat kell meghatároznunk. Ilyen feladatot már oldottunk meg, ugyanis ha megvizsgáljuk, hogy az egyenletrendszer jobboldalán szerepl˝o konstansok oszlopvektora kompatibilis-e az egy¨ utthatók oszlopai alkotta vektorrendszerre vonatkoz´ oan, akkor, amennyiben igenl˝o a válasz rögt¨ on megkapjuk, hogy a vektorrendszer vektorainak milyen lineáris kombinációja a konstansok oszlopvektora, nemleges válasz esetén pedig azt áll´ıthatjuk, hogy az egyenletrendszernek nincs megoldása. Az a jogos kérdés mer¨ ulhet fel, hogy az itt szerepl˝o oszlopvektorok melyik vektortér vektorainak és azon vektortér melyik bázisára vonatkoz´ o koordináta vektoraiként kezelend˝ ok. Az 5 5-dimenziós valós R térben az E = {ei = [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0] | i = 1, . . . , 5}, ahol tehát ei az i-edik egységvektor, olyan bázis, amelyre vonatkoz´ oan minden R5 -beli vektor koordinátái és komponensei egyenl˝ ok. Célszer˝ u tehát ezt a vektorteret választani, és ebben az egyenletrendszert kompatibilit´ asi problém´ anak tekinteni. Alább a szám´ıtások menetének érzékeltetésére felt¨ untett¨ uk az induló, a közb¨ uls˝ o és a megoldást szolgáltató elemi bázistranszform´ aci´ os tábl´ azatokat, amelyben a1 , . . . , a5 -tel fejlécezt¨ uk a ξ1 , . . . , ξ5 ismeretlenek egy¨ utthat´ oib´ ol képzett oszlopokat, a konstansok oszlopát pedig b jelöli. Minden tábl´ azatban bekeretezt¨ uk a generál´ o elemet és persze a generáló elemeket igyekezt¨ unk u ´gy megválasztani, hogy a szám´ıt´ asok minél könnyebben legyenek elvégezhet˝ ok.

e1 e2 e3 e4 e5

a1 a2 a3 a4 a5 b a2 a3 1 1 1 1 1 48 e1 2 1 1 2 5 10 20 160 e2 3 5 −→ a1 −1 0 1 −1 0 0 0 10 1 −1 −1 −1 0 5 e4 0 −1 0 0 0 1 −1 1 0 0 e5

e1 e2 −→ a1 a4 e5

a2 a3 2 0 3 −5 −1 0 0 1 0 −1

a4 a5 b 1 1 38 10 20 150 0 0 10 -1 0 −5 1 −1 1

a5 b a2 a3 b 1 33 e1 2 -1 29 20 100 e2 3 −25 20 −→ 0 10 0 10 a1 −1 0 5 a4 0 1 5 -1 −4 0 1 4 a5

42


a3 e2 −→ a1 a4 a5

a2 b b −2 −29 a3 1 a2 15 -47 −705 −→ a1 25 −1 10 a4 4 2 34 a5 3 2 33

A lineáris egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, mert a jobboldalon szerepl˝o konstansok b oszlopvektora az egy¨ utthat´ ok oszlopvektorainak egyértelm˝ u 25 · a1 + 15 · a2 + 1 · a3 + 4 · a4 + 3 · a5 lineáris kombinációja. Ezek alapján, Anna gy˝ ujteménye 25 db 1 Ft–ost, 15 db 2 Ft– ost, 1 db 5 Ft–ost, 4 db 10 Ft–ost és 3 db 20 Ft–ost tartalmaz. 2

2. Fejezet

Line´ aris lek´ epez´ esek, transzform´ aci´ ok A lineáris leképezések és transzformáci´ ok a vektorterek elméletének, mind az alkalmazások, mind matematikai szempontb´ ol, legérdekesebb és legfontosabb fejezete. Innen ered az oly sok alkalmazásban szerephez jutó mátrixaritmetika is.

2.1

A line´ aris lek´ epez´ esek elemi tulajdons´ agai

Bevezetésként egy nagyon egyszer˝ u problém´ at fogalmazunk meg, annak érzékeltetésére, hogy a lineáris leképezések fogalma a mindennapi élet feladatainak modellezése során, természetesen absztrakci´ oval keletkezett. Egy u ¨zem m k¨ ulönböz˝o er˝oforr´ as felhasznál´ as´ aval n-féle terméket gyárt. Ismeretes, hogy a j-edik termék egy darabjának elkész´ıtéséhez az i-edik er˝oforr´ asb´ ol αij egységnyire van sz¨ ukség. Megállap´ıtand´ o, hogy k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o termelési programok megvalós´ıtásához az egyes er˝oforrásokb´ ol mennyi sz¨ ukséges. A probléma matematikai modellezése a következ˝oképpen történhet. Minden termelési programhoz hozzárendelhet˝o egy-egy t ∈ Rn vektor, amelynek j-edik komponense a j-edik termékb˝ ol gyártandó mennyiség. Ugyancsak minden termelési programhoz tartozik egy er˝oforrás felhasználási s ∈ Rm vektor, amelynek i-edik komponense pedig az i-edik er˝oforrásból felhasznált mennyiséget mutatja. A k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o lehetséges t tervek és megvalós´ıtásukhoz sz¨ ukséges s er˝oforr´ asvektorok köz¨ ott, legalábbis ha további mellékfeltételeket nem vesz¨ unk figyelembe, lineáris a kapcsolat, si =

n X

αij tj

(i = 1, . . . , m),

j=1

amin azt értj¨ uk, hogy ha a t1 terv megval´ os´ıt´ as´ ahoz s1 , a t2 program megvalós´ıtásához pedig s2 er˝oforrásfelhaszn´ al´ as tartozik, akkor az egyes´ıtett program azaz a t1 + t2 megvalós´ıtása s1 + s2 er˝oforr´ as felhasznál´ as´ aval lehetséges. Ugyancsak, valamely t program β-szorosának megval´ os´ıt´ asa β-szor annyi er˝oforr´ as felhasznál´ as´ aval lehetséges, mint a t terv teljes´ıtése. Hasonló problém´ ak matematikai absztrakciója vezet a vektorterek lineáris leképezéseinek, illetve transzformáci´ oinak a fogalmához. 43

´ ´ ´ ´ OK ´ 2. FEJEZET LINEARIS LEKEPEZ ESEK, TRANSZFORMACI

44

2.1.1 Defin´ıci´ o. Legyenek V és W ugyanazon F test feletti vektorterek. Egy A : V → W leképezést line´ aris leképezésnek nevez¨ unk, ha ∀x, y ∈ V : ∀α, β ∈ F : A(αx + βy) = αA(x) + βA(y) teljes¨ ul. Ha V = W , akkor az A : V → V line´ aris leképezést line´ aris transzform´ aci´ onak nevezz¨ uk. A V vektorteret t´ argyvektortérnek, m´ıg a W -t képvektortérnek nevezz¨ uk. A defin´ıció alapján mondhatjuk, hogy a lineáris transzformáci´ ok speciális, egy vektortérnek önmagába való lineáris leképezései, ezért ahol ez lehetséges, áll´ıt´ asainkat lineáris leképezésekre bizony´ıtjuk.

2.1.1

P´ eld´ ak line´ aris lek´ epez´ esekre ´ es transzform´ aci´ okra

1. Ha Φ : V W izomorf leképezés, akkor az izomorf leképezés defin´ıci´ oja alapján, eleget tesz a lineáris leképezésekt˝ ol megkövetelt feltételeknek. Hangs´ ulyoznunk kell, hogy ford´ıtva nem igaz, nem minden lineáris leképezés izomorfizmus. 2. Egy F test feletti V vektortér lineáris transzformáci´ oj´ ara egyszer˝ u példa az a leképezés, amit tetsz˝oleges α ∈ F skal´ ar indukál az x → αx

(x ∈ V )

megfeleltetéssel. Ez a vektortér axióm´ aib´ ol következik. 3. Tekints¨ unk a 3-dimenziós val´ os térben, — amin érts¨ uk a térbeli, rögz´ıtett kezd˝opont´ u helyvektorok terét — egy tetsz˝oleges, origón átmen˝ o egyenest és forgassunk el minden vektort ezen egyenes kör¨ ul valamilyen rögz´ıtett φ sz¨ oggel. Ezt u ´gy kell végrehajtani, hogy a helyvektor minden pontj´ at elforgatjuk az egyenes kör¨ ul a rögz´ıtett φ sz¨ oggel. Ez a leképezés is lineáris transzformáció. (A figyelmes olvasónak igaza van, amikor megjegyzi, hogy nem tudja mit értsen ponton és mit egyenesen. Kérj¨ uk, hogy pontos definiál´ asukig gondoljon a köznapi értelemben használt térbeli pontra és egyenesre!) 4. Vegy¨ uk most a 3-dimenziós val´ os tér egy origón átmen˝ o s´ıkj´ at és t¨ ukr¨ ozz¨ unk minden vektort erre a s´ıkra. Ez a leképezés is lineáris transzformáci´ o. Az a leképezés, ami minden vektorhoz egy origón átmen˝ o s´ıkon val´ o vet¨ uletét rendeli, ugyancsak lineáris transzformáci´ o. Mindkét el˝oz˝o példában felt˝ un˝ o lehetett, hogy a tér vektorait origón átmen˝ o egyenes kör¨ ul forgattuk, illetve origón átmen˝ o s´ıkra t¨ ukr¨ ozt¨ uk. Ennek az az egyszer˝ u oka, hogy a tér zér´ oeleme, az origó, fix kell maradjon bármely lineáris transzformációnál, illetve a zér´ o vektor képe zér´ o vektor minden lineáris leképezésnél. 5. Tekints¨ uk most a valós egy¨ utthat´ os polinomok R[t] terét és minden p(t) ∈ R[t]re legyen ddt p(t) a deriváltja p(t)-nek. Anal´ızisb˝ ol jól tudjuk, hogy a d/d t deriválási operáció is lineáris transzformáci´ o, hiszen d d d (αf + βg) = α f + β g . dt dt dt

´ ´ ´ ´ 2.1. A LINEARIS LEKEPEZ ESEK ELEMI TULAJDONSAGAI

45

Ebb˝ol következik, hogy igaz az az által´ anosabb áll´ıt´ as is, hogy tetsz˝oleges [a ,b] intervallumon differenciálhat´ o f¨ uggvények D[a,b] vektorterének a derivál´ as lineáris transzformációja. 6. Legyen a valós egy¨ utthatós polinomok R[t] vektorterének S az azR önmag´ at ba való leképezése, amely minden p(t) ∈ R[t] polinomhoz, annak 0 p(x) dx integrál f¨ uggvényét rendeli. Akkor S lineáris transzformáci´ oja R[t]-nek, amint azt anal´ızis tanulmányainkb´ ol ugyancsak jól tudjuk. 7. Legyen I[a,b] az [a, b] intervallumon Riemann–integr´ alhat´ o val´ os f¨ uggvények R vektortere és R a valós számok 1-dimenziós val´ os vektortere. Az az : I[a,b] → R R hozz´ arendelés, amely minden f ∈ I[a,b] f¨ uggvényhez annak ab f (x) dx integrálját rendeli lineáris leképezés. Valóban, ha f, g ∈ I[a,b] és α, β tetsz˝ oleges val´ os számok, akkor Z b a

(αf (x) + βg(x)) dx = α

Z b a

f (x) dx + β

Z b a

g(x) dx .

8. Egy vektortér duálisának, azaz a lineáris f¨ uggvények vektorterének minden eleme, a lineáris f¨ uggvények defin´ıci´ oja alapján, ugyancsak lineáris leképezés. Megmutatjuk, hogy általában hogyan lehet lineáris leképezéseket definiálni. ´ ıt´ 2.1.2 All´ as. Legyenek ezért V és W tetsz˝ oleges, ugyanazon F test feletti vek´ torterek és X = {x1 , . . . , xn } V -nek tetsz˝ oleges b´ azisa. Ertelmezz¨ uk az A : V → W leképezést a k¨ ovetkez˝ oképpen: Legyenek A(x1 ), . . . , A(xn ) tetsz˝ oleges elemek W -ben és b´ armely v ∈ V vektor A(v) képét a k¨ ovetkez˝ o elj´ ar´ assal hat´ arozzuk meg: (a) El˝ o´ all´ıtjuk v-t X vektorainak line´ aris kombin´ aci´ ojaként: v = ε1 x1 + . . . + εn xn , (b) és az A(v) képelemet az A(x1 ), . . . , A(xn ) ∈ W vektorok ugyanazon egy¨ utthat´ okkal képzett line´ aris kombin´ aci´ ojaként adjuk meg, azaz def

A(v) = ε1 A(x1 ) + . . . + εn A(xn ). Akkor az ´ıgy értelmezett A leképezés V -nek W -be val´ o line´ aris leképezése. Bizony´ıt´ as. Az értelmezett A hozzárendelés egyértelm˝ u, mert minden v ∈ V vektornak az X bázisra vonatkoz´ o koordinát´ ai egyértelm˝ uen meghatározottak. Így csak azt kell még megmutatnunk, hogy az A leképezés lineáris. Legyen u ∈ V egy tetsz˝ oleges másik vektor, és tegy¨ uk fel, hogy u = ϕ1 x1 + · · · + ϕn xn . Tetsz˝ oleges α és β skalárokra, αu + βv =

n X i=1

(αϕi + βεi )xi ,


46

´ıgy ehhez a vektorhoz az A leképezés az A(αu + βv) =

n X

(αϕi + βεi )A(xi )

i=1

vektort rendeli. Az A(u) = ϕ1 A(x1 ) + · · · + ϕn A(xn ) és az A(v) = ε1 A(x1 ) + . . . + εn A(xn ) vektorok α és β skalárokkal képzett lineáris kombin´ aci´ oja αA(u) + βA(v) =

n X

(αϕi + βεi )A(xi ) ,

i=1

tehát teljes¨ ul a A(αu + βv) = αA(u) + βA(v) linearitási feltétel. 2 Vegy¨ uk észre, hogy minden lineáris leképezés ilyen, abban az értelemben, hogy a bázisvektorok képei már egyértelm˝ uen meghatározz´ ak a leképezést.

2.1.2

Line´ aris lek´ epez´ esek magtere ´ es k´ eptere

2.1.3 Defin´ıci´ o. Minden A : V → W line´ aris leképezéshez tartozik két halmaz, a ker (A)-val jel¨ olt magtér, és az im (A)-val jel¨ olt képtér. Ezeket form´ alisan a k¨ ovetkez˝ oképpen adhatjuk meg: • ker (A) = {x ∈ V | A(x) = 0} • im (A) = {x0 ∈ W | ∃ x ∈ V : A(x) = x0 } Szavakkal megfogalmazva ugyanezt: az A : V → W line´ aris leképezés magtere, a V vektortér azon elemeinek halmaza, amelyek a W vektortér zér´ ovektor´ ara a képz˝odnek, a képtér pedig a W azon elemeinek a halmaza, amelyek hozzá vannak rendelve V -beli vektorokhoz képekként. Fontosnak tartjuk hangs´ ulyozni, hogy a képtér általában nem azonos a W vektortérrel, hanem annak csak részhalmaza. A következ˝o áll´ıtás alátámasztja, hogy a magtér és képtér elnevezések indokoltak. ´ ıt´ 2.1.4 All´ as. Ha A : V → W line´ aris leképezés, akkor ker (A) altere V -nek és im (A) altere W -nek. Bizony´ıt´ as. Mindkét áll´ıtást a (1.3.3) áll´ıt´ asra támaszkodva u ´gy bizony´ıtjuk, hogy megmutatjuk, hogy mind ker (A), mind im (A) zárt a lineáris kombin´ aci´ o képzésére nézve. Legyenek u, v ∈ ker (A) tetsz˝oleges vektorok és α, β ∈ F tetsz˝ oleges skalárok. Akkor a A(αu + βv) = αA(u) + βA(v) = α0 + β0 = 0 számolás mutatja, hogy αu + βv ∈ ker (A). Ha, s0 , t0 ∈ im (A) tetsz˝oleges vektorok, akkor vannak olyan s, t ∈ V vektorok, hogy A(s) = s0 és A(t) = t0 . De akkor bármilyen α, β ∈ F skal´ arok mellett αs0 + βt0 = αA(s) + βA(t) = A(αs + βt),

´ ´ ´ ´ 2.1. A LINEARIS LEKEPEZ ESEK ELEMI TULAJDONSAGAI

47

ami éppen azt mutatja, hogy αs0 +βt0 is képe valamilyen, nevezetesen az αs+βt ∈ V vektornak. Igy αs0 + βt0 ∈ im (A), teh´ at im (A) is zárt a lineáris kombin´ aci´ o képzésre, következésképpen altér. 2 Az el˝oz˝o áll´ıtásból azonnal adódik, hogy egy V vektortér valamely A line´ aris transzformációjának magtere is és képtere is altere V -nek. 2.1.5 Defin´ıci´ o. Az A line´ aris leképezés ρ(A) rangj´ an képterének dimenzi´ oj´ at, ν(A) defektus´ an, pedig magterének dimenzi´ oj´ at értj¨ uk. A következ˝o tételben kapcsolatot teremt¨ unk V, az u ´gynevezett tárgyvektortér dimenziója, a lineáris leképezés rangja és defektusa köz¨ ott. 2.1.6 T´ etel. Ha A : V → W line´ aris leképezés, és V véges dimenzi´ os, akkor dim V = ρ(A) + ν(A). Bizony´ıt´ as. Mivel ν(A) = dim ker (A) és ρ(A) = dim im (A) , elegend˝o azt megmutatni, hogy ha ker (A) egy bázisa az {a1 , . . . , ar } vektorrendszer és im (A) egy bázisa az {A(b1 ), . . . , A(bs )} vektorrendszer, akkor az {a1 , . . . , ar , b1 , . . . , bs } vektorrendszer bázisa V -nek. E vektorrendszer lineáris f¨ uggetlenségét bizony´ıtand´ o, legyen α1 a1 + · · · + αr ar + β1 b1 + · · · + βs bs = 0.

(2.1)

Véve az egyenl˝oség mindkét oldalán lév˝ o vektornak az A leképezés által meghatározott képét, figyelembe véve, hogy ai ∈ ker (A) (i = 1, . . . r)-re, és, hogy a zér´ o vektor képe minden lineáris leképezés mellett a zér´ o vektor, kapjuk, hogy β1 A(b1 ) + · · · βs A(bs ) = 0 . De ez csak u ´gy lehet, ha β1 = . . . = βs = 0, mert hiszen {A(b1 ), . . . , A(bs )} b´ azisa, ´ıgy lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszere im (A)-nak. Akkor viszont a (2.1) egyenlet már az egyszer˝ ubb α1 a 1 + · · · + αr a r = 0 alak´ u. Ebb˝ol már az is következik, hogy α1 = . . . = αr = 0, mert az {a1 , . . . , ar } bázisa, ´ıgy lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszere ker (A)-nak. Meg kell még mutatni azt is, hogy az {a1 , . . . , ar , b1 , . . . , bs } vektorrendszer generálja V -et. Legyen ezért v ∈ V egy tetsz˝oleges vektor. Tekintve, hogy A(v) ∈ im (A), kapjuk, hogy A(v) = δ1 A(b1 ) + · · · δs A(bs ), amib˝ol, átrendezéssel, és kihasználva, hogy A lineáris leképezés az A(v − (δ1 b1 + · · · + δs bs )) = 0 egyenl˝oséghez jutunk. Ebb˝ol az következik, hogy v − (δ1 b1 + · · · + δs bs ) ∈ ker (A) és ´ıgy v − (δ1 b1 + · · · + δs bs ) = γ1 a1 + · · · + γr ar .

48


Innen az egyenl˝oség átrendezése után kapjuk, hogy v = γ1 a1 + · · · + γr ar + δ1 b1 + · · · + δs bs , tehát az {a1 , . . . , ar , b1 , . . . , bs } vektorrendszer generátorrendszere is V -nek. 2 A fenti bizony´ıtásból kider¨ ul, hogy ha az A a véges dimenziós V vektortérnek valamely W vektortérbe való lineáris leképezése, akkor van V -nek az A képterével izomorf altere. Ezért azt gondolhatnánk, hogy egy V vektortér megkaphat´ o bármely lineáris transzformációja magterének és képterének direktösszegeként. Ez azonban távolról sem igaz. Egyszer˝ u ellenpélda erre a legfeljebb n-edfok´ u val´ os polinomok Rn [t] terének az a lineáris transzformáci´ oja, amely minden polinomhoz annak deriváltját rendeli. Ennek a transzformáci´ onak a konstans polinomok alkotj´ ak a magterét, m´ıg a képtere a legfeljebb (n − 1)-edfok´ u polinomok tere. Minthogy egyetlen n-edfok´ u polinom sem kaphat´ o meg egy konstans polinom és egy legfeljebb (n − 1)-edfok´ u polinom összegeként, a képtér és a magtér direktösszege nem egyenl˝ o Rn [t]-vel. Megmutathat´ o azonban, hogy ha az A lineáris transzformáci´ o magterének és képterének a nullvektoron k´ıv¨ ul nincs köz¨ os eleme, akkor V = ker (A) ⊕ im (A) .

2.2

M˝ uveletek line´ aris lek´ epez´ esekkel

Ebben a részben értelmezz¨ uk lineáris leképezések összead´ as´ at és skal´ arral val´ o szorzását, megmutatjuk, hogy maguk a lineáris leképezések is vektorteret alkotnak a fenti m˝ uveletekkel.

2.2.1

Line´ aris lek´ epez´ esek ¨ osszead´ asa ´ es szorz´ asa skal´ arral

Legyen V és W két, ugyanazon F test feletti vektortér és legyen L(V, W ) az összes V ´ nek W -be való lineáris leképezéseinek a halmaza. Ertelmezz¨ uk két A, B ∈ L(V, W ) lineáris leképezés összegét az def

∀x ∈ V : (A + B)(x) = A(x) + B(x) definiáló egyenl˝oséggel, és legyen tetsz˝oleges A ∈ L(V, W ) lineáris leképezés α ∈ F skalárral való szorzata az def

∀x ∈ V : (αA)(x) = αA(x) egyenl˝oséggel adott. 2.2.1 T´ etel. A line´ aris leképezések L(V, W ) halmaza F feletti vektortér a fent defini´ alt ¨ osszead´ assal és skal´ arral val´ o szorz´ assal. Bizony´ıt´ as. El˝oször azt kell megmutatni, hogy a definiált összead´ asra és skalárral való szorzásra vonatkozóan L(V, W ) val´ oban zárt, azaz két lineáris leképezés összege is és egy lineáris leképezés skal´ arral val´ o szorzata is lineáris leképezés. Ha A és B ∈ L(V, W ), akkor az nyilv´ anval´ o, hogy összeg¨ uk is V -b˝ ol W -be val´ o leképezés, csak azt kell tehát igazolnunk, hogy vektorok lineáris kombin´ aci´ oj´ at a képvektorok ugyanazon skalárokkal képzett lineáris kombin´ aci´ oj´ aba viszi. Ezt viszont a következ˝o számolás verifikálja: ∀v, w ∈ V : ∀α, β ∈ F : (A + B)(αv + βw) =

˝ ´ ´ ´ 2.2. MUVELETEK LINEARIS LEKEPEZ ESEKKEL

49

= A(αv + βw) + B(αv + βw) = αA(v) + βA(w) + αB(v) + βB(w) = = α(A(v) + B(v)) + β(A(w) + B(w)) = α(A + B)(v) + β(A + B)(w) Teljesen hasonlóan ha γ ∈ F és A ∈ L(V, W ), akkor nyilv´ an γA is V -b˝ol W -be való leképezés, de linearitását még igazolnunk kell. Ezt az alábbi számol´ as mutatja: ∀v, w ∈ V : ∀α, β ∈ F : (γA)(αv + βw) = = γA(αv + βw) = γ(αA(v) + βA(w)) = (γα)A(v) + (γβ)A(w) = = α(γA(v)) + β(γA(w)) = α(γA)(v) + β(γA)(w) Igazolnunk kell még, hogy a lineáris leképezések az összead´ asra nézve kommutat´ıv–csoportot alkotnak, illetve, hogy a skal´ arokkal val´ o szorzás is eleget tesz a vektortér defin´ıciójában megkövetelt négy tulajdonságnak. Legyenek ezért A, B, C ∈ L(V, W ) tetsz˝oleges lineáris leképezések és v b´ armelyik vektora V -nek. Akkor kihasználva, hogy A(v), B(v) és C(v) W -beli vektorok, illetve a leképezések összeadásának defin´ıci´ oj´ at, kapjuk, hogy (a)

[A + (B + C)](v) = A(v) + (B + C)(v) = A(v) + (B(v) + C(v)) = = (A(v) + B(v)) + C(v) = (A + B)(v) + C(v) = [(A + B) + C](v)

(b)

(A + B)(v) = A(v) + B(v) = B(v) + A(v) = (B + A)(v)

(c)Legyen O ∈ L(V, W ) az a leképezés, amelyre ∀v ∈ V : O(v) = 0 teljes¨ ul. Ez nyilvánvalóan lineáris leképezés és a leképezések összead´ as´ ara nézve zér´ oelem. (d) Tetsz˝oleges A ∈ L(V, W )-re a (−1)A ∈ L(V, W ) pedig, ahol −1 az F test egységelemének ellentettje, az A leképezés addit´ıv inverze. A skalárral való szorzás tulajdonságait ellen˝orizend˝ o legyenek α, β ∈ F tetsz˝ oleges skalárok. Akkor bármely v ∈ V -re (1)

[α(A + B)](v) = α[(A + B)(v)] = α[A(v) + B(v)] = = αA(v) + αB(v) = (αA)(v) + (αB)(v) = [(αA) + (αB)](v)

(2)

[(α + β)A](v) = (α + β)A(v) = αA(v) + βA(v) = (αA + βA)(v)

(3)

[(αβ)A](v) = (αβ)A(v) = α[βA(v)] = α[(βA)(v)] = [α(βA)](v)

(4) Vég¨ ul, ha 1 az F test egységeleme, akkor (1A)(v) = 1A(v) = A(v), amivel igazoltuk a skalárral való szorzást´ ol elvárt négy tulajdonságot. 2

50

2.2.2


Line´ aris lek´ epez´ esek szorz´ asa

Még egy lineáris leképezéseken értelmezett m˝ uvelettel foglalkozunk ebben a részben, amit szorzásnak fogunk nevezni, bár a kompoz´ıci´ o elnevezés talán szerencsésebb lenne, mert a valós anal´ızisben a f¨ uggvények kompoz´ıci´ oj´ anak megfelel˝oen definiáljuk a leképezések szorzatát. Legyen a B ∈ L(V, W ) és A ∈ L(W, Z) lineáris leképezések szorzata az az AB-vel jelzett és V -b˝ol Z-be képez˝o hozzárendelés, amely a def

∀v ∈ V : (AB)(v) = A(B(v)) egyenl˝oséggel adott, tehát a v ∈ V vektort el˝obb a B leképezés W -be viszi, majd a B(v) képet az A leképezés a Z-be. A lineáris leképezések szorzata is lineáris leképezés. Ennek igazolására, legyenek v, w ∈ V és α, β ∈ F tetsz˝ oleges vektorok, illetve skalárok, akkor (AB)(αv + βw) = A(B(αv + βw)) = A(αB(v) + βB(w)) = = αA(B(v)) + βA(B(v)) = α(AB)(v) + β(AB)(w), és ezt kellett megmutatnunk. A lineáris transzformációk fontoss´ ag´ at hangs´ ulyozand´ o, megjegyezz¨ uk, hogy egy V vektortér L(V )-vel jelölt, lineáris transzformáci´ oinak a halmaza, amely persze a (2.2.1) tétel értelmében maga is vektortér, zárt a fenti szorzás m˝ uveletre is, azaz bármely két A, B ∈ L(V ) lineáris transzformáci´ o AB szorzata is L(V )-ben van. Ez lehet˝ové teszi lineáris transzformáci´ ok nemnegat´ıv egész kitev˝os hatványainak értelmezését a következ˝o rekurz´ıv defin´ıci´ oval: def

A ∈ L(V ) : A0 = I

és

def

An = An−1 A ha n > 0,

ahol I a V vektortér identikus leképezését jelöli, azt, amely minden vektornak önmagát felelteti meg. I természetesen lineáris transzformáci´ o és tetsz˝oleges A ∈ L(V )-re IA = AI = A. Amint azt által´ anosabb esetben, nevezetesen tetsz˝oleges f¨ uggvények kompoz´ıciójánál láttuk, a f¨ uggvények kompoz´ıci´ oja nem kommutat´ıv, de asszociat´ıv. Így nem meglep˝o, hogy a lineáris transzformáci´ ok szorzása sem kommutat´ıv, de asszociat´ıv és az összead´ asra vonatkoz´ oan disztribut´ıv.

2.2.3

Line´ aris transzform´ aci´ ok inverze

A f¨ uggvények tanulmányozásakor azt láttuk, hogy amennyiben a f¨ uggvény egy–egyértelm˝ u megfeleltetés az értelmezési tartomány és az érték készlet elemei köz¨ ott, akkor és csak akkor nyilik lehet˝oség¨ unk a f¨ uggvény inverzének értelmezésére. Persze egy tetsz˝oleges A ∈ L(V, W ) lineáris leképezés akkor és csak akkor egy–egyértelm˝ u megfeleltetés V és W elemei között, ha izomorfizmus, amikor is a V és W vektorterek között nincs lényegi k¨ ulönbség, legalábbis lineáris algebrai szempontb´ ol. 2.2.2 Defin´ıci´ o. Az F test feletti V vektortér egy A ∈ L(V ) line´ aris transzform´ aci´ oj´ at invert´ alhat´ onak mondjuk, ha kielég´ıti az al´ abbi két feltételt: (i) ha v, w ∈ V -re A(v) = A(w), akkor v = w,


51

(ii) minden v 0 ∈ V -hez létezik olyan v ∈ V , amelyre A(v) = v 0 . Az (i) feltétel azt fejezi ki, hogy egy invert´ alhat´ o lineáris transzformáci´ onak injekt´ıvnek kell lennie, m´ıg az (ii) feltétel azt ´ırja el˝o, hogy a V vektortér minden eleme el˝o kell álljon képként, azaz a leképezés sz¨ urjekt´ıv kell legyen. Ezeket a feltételeket u ´gy is megfogalmazhattuk volna, hogy a ker (A), magtérnek a zérus altérnek kell lennie, és az im (A), képtér meg kell egyezzen V -vel. Val´ oban, ha ker (A) a zérus altér, akkor v, w ∈ V : A(v) = A(w) =⇒ A(v) − A(w) = A(v − w) = 0 =⇒ =⇒ v − w ∈ ker (A) =⇒ v − w = 0 ↔ v = w. Ford´ıtva pedig, mivel A(0) = 0, bármely lineáris leképezés esetén, azonnal adódik, hogy az (i) feltételnek eleget tev˝o lineáris transzformáci´ ora ker (A) = {0} teljes¨ ul. Az (ii) feltétel im (A) = V -vel val´ o ekvivalenci´ aja a képtér értelmezéséb˝ ol azonnal adódik. A két feltétel véges dimenziós terek esetében egymással is ekvivalens. ´ ıt´ 2.2.3 All´ as. Ha V véges dimenzi´ os vektortér, akkor az A ∈ L(V ) line´ aris transzform´ aci´ ora ker (A) = {0} akkor és csak akkor, ha im (A) = V. Bizony´ıt´ as. A (2.1.6) tétel miatt, ha ker (A) = {0}, akkor dim V = ρ(A) = dim im (A) , és lineáris transzformáci´ okr´ ol lévén szó, ez azt jelenti, hogy im (A) altere V -nek nem lehet valódi altér, az egész V vektortérrel kell megegyezzen. Ford´ıtva, ha im (A) = V , akkor megint a (2.1.6) tétel alapján kapjuk, hogy ν(A) = dim ker (A) = 0 , és ez éppen azt jelenti, hogy ker (A) a zérus altér. 2 A fent igazolt áll´ıtás végtelen dimenziós terek lineáris transzformáci´ oira nem igaz. Egyszer˝ u ellenpélda a valós egy¨ utthat´ os polinomok R[t] vektorterének az a D line´ aris transzformációja, amely minden polinomhoz, annak deriváltj´ at rendeli. Nyilvánvaló, hogy D magtere 1–dimenziós, hiszen minden konstans polinom deriváltja a zéró polinom, azaz ker (D) nem a zérus altér. Ugyanakkor bármely p(t) = α0 + α1 t + · · · + αn tn polinom el˝oáll nem is egy polinom deriváltjaként. Val´ oban tetsz˝oleges β ∈ R mellett a αn n+1 α1 2 t + ... + t q(t) = β + α0 t + 2 n+1 polinom deriváltja egyenl˝o p(t)-vel, amivel igazoltuk, hogy im (D) = R[t] teljes¨ ul. aris line´ Az invertálható lineáris transzformáci´ okat regul´ aris transzformáci´ oknak is szokás nevezni, m´ıg a nem invert´ alhat´ o transzformáci´ okat szingul´ arisaknak mondjuk. A V vektortér reguláris lineáris transzformáci´ oinak halmazát R(V )-vel fogjuk jelölni. 2.2.4 Defin´ıci´ o. Ha A ∈ R(V ) invert´ alhat´ o line´ aris transzform´ aci´ o, akkor minden v 0 ∈ V -hez létzik egy és csak egy v ∈ V vektor, amelyre A(v) = v 0 . Defini´ aljuk azt az −1 0 A -gyel jel¨ olt leképezést, amely ehhez a v vektorhoz éppen v-t rendeli, és nevezz¨ uk ezt az A line´ aris transzform´ aci´ o inverzének.


52

Könnyen igazolhatjuk, hogy A−1 is lineáris transzformáci´ o. Val´ oban tetsz˝oleges ∈ V vektorokhoz léteznek olyan egyértelm˝ uen meghatározott v = A−1 (v 0 ) és w = A−1 (w0 ) vektorok V -ben, amelyekre A(v) = v 0 és A(w) = w0 . Akkor A linearitása folytán, tetsz˝oleges α, β ∈ F skal´ arok mellett v 0 , w0

A(αv + βw) = αA(v) + βA(w) = αv 0 + βw0 , következésképpen A−1 (αv 0 + βw0 ) = αv + βw = αA−1 (v 0 ) + βA−1 (w0 ) . P´ eld´ ak invert´ alhat´ o line´ aris transzform´ aci´ okra 1. A V vektortér identikus leképezése, I nyilv´ anval´ oan invert´ alhat´ o lineáris −1 transzformáció, és I = I. 2. A s´ık helyvektorainak terében az a transzformáci´ o, amely minden vektorhoz valamely, az origón átmen˝ o egyenesre vonatkoz´ o t¨ uk¨ orképét rendeli ugyancsak invertálható, és inverze önmaga. 3. Szintén invertálható a 3-dimenziós tér helyvektorainak valamely origón átmen˝o egyenes kör¨ uli, adott α sz¨ oggel val´ o elforgatása és inverze a 2π − α szöggel való elforgatás. ´ ıt´ 2.2.5 All´ as. Ha V véges dimenzi´ os vektortér és A line´ aris transzform´ aci´ oja V nek, akkor A invert´ alhat´ os´ ag´ anak sz¨ ukséges és elegend˝ o feltétele, hogy V egy tetsz˝ oleges X = {x1 , . . . , xn } b´ azis´ at b´ azisba transzform´ alja, azaz, ha az {A(x1 ), . . . , A(xn )} vektorrendszer is b´ azisa V -nek. Bizony´ıt´ as. A (2.2.3) áll´ıtás szerint, véges dimenziós V vektortér esetén egy A lineáris transzformáció pontosan akkor invert´ alhat´ o, ha im (A) = V teljes¨ ul. Ugyanakkor im (A)-t generálja az {A(x1 ), . . . , A(xn )} vektorrendszer. 2 −1 Bármely A ∈ R(V )-re A is invert´ alhat´ o, tov´ abb´ a ³

A−1

´−1

=A

és A · A−1 = A−1 · A = I.

(2.2)

A (2.2) egyenletek akár a lineáris transzformáci´ ok invert´ alhat´ os´ ag´ anak definiálására is alkalmasak, mert igaz a következ˝ o: 2.2.6 T´ etel. Ha A, B, C ∈ L(V ) line´ aris transzform´ aci´ okra teljes¨ ul, hogy A · B = C · A = I, akkor A invert´ alhat´ o és A−1 = B = C. Bizony´ıt´ as. Az invertálhatós´ ag (i) feltétele könnyen kaphat´ o, mert ha v, w ∈ V re A(v) = A(w), akkor v = I(v) = (C · A)(v) = C(A(v)) = C(A(w)) = (C · A)(w) = I(w) = w,


53

és nem nehezebb a (ii) feltétel teljes¨ ulésének igazolása sem, hiszen bármely v ∈ V -re a B(v) ∈ V vektor olyan, hogy A(B(v)) = (A · B)(v) = I(v) = v. Ez biztos´ıtja A−1 létezését. Másrészt tetsz˝oleges v ∈ V -re, kihasználva a leképezések szorzásának asszociativitását kapjuk, hogy C(v) = C(I(v)) = C(A · B)(v) = (C · A)B(v) = I(B(v)) = B(v), tehát B = C. A (2.2) egyenletek biztos´ıtj´ ak, hogy A−1 ´ atveheti B, vagy C szerepét −1 az el˝obbi szám´ıtás során és kapjuk, hogy A = C, illetve A−1 = B. 2 A (2.2.6) tétel bizony´ıtásából kider¨ ul, hogy az A ∈ L(V ) lineáris transzformáció injektivitását biztos´ıtja olyan C ∈ L(V ) létezése, amelyre C · A = I, m´ıg a sz¨ urjektivitás feltétele, olyan B ∈ L(V ) létezése amelyre A · B = I áll fenn. Tekintettel arra, hogy véges dimenziós V vektortér esetén a lineáris transzformáci´ ok invertálhatóságának (i) és (ii) feltételei ekvivalensek, adódik a következ˝ o: 2.2.7 K¨ ovetkezm´ eny. Ha V véges dimenzi´ os vektortérnek A line´ aris transzform´ aci´ oja, akkor az al´ abbi ´ all´ıt´ asok egym´ assal ekvivalensek: (i) A invert´ alhat´ o, (ii) létezik olyan B ∈ L(V ), hogy A · B = I, (iii) létezik olyan C ∈ L(V ), hogy C · A = I. Végtelen dimenziós vektorterek esetén, mint áll´ıtottuk, mindkét egyenletnek kell legyen megoldása. Mutatja ezt a val´ os egy¨ utthat´ os polinomok R[t] terében a deriválási D illetve integrálf¨ uggvény képz˝ o S line´ aris transzformáci´ ok péld´ aja. Ezekre DS = I, de egyik transzformáció sem reguláris. A lineáris transzformációk invert´ alhat´ os´ ag´ ar´ ol befejezés¨ ul bebizony´ıtjuk a következ˝o tételt: 2.2.8 T´ etel. Ha A és B invert´ alhat´ o line´ aris transzform´ aci´ oi a V vektortérnek, −1 −1 −1 akkor AB is invert´ alhat´ o és (AB) = B A . Bizony´ıt´ as. A (2.2.6) tétel szerint elegend˝o megmutatni, hogy AB felcserélhet˝ o −1 −1 a B A lineáris transzformációval és szorzatuk az identikus transzformáci´ o. Val´ oban, a lineáris transzformációk szorzás´ anak asszociativitás´ at kihasználva kapjuk, hogy (B −1 A−1 )(AB) = B −1 (A−1 A)B = B −1 IB = B −1 B = I és (AB)(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AIA−1 = AA−1 = I . 2 A tétel következménye, hogy ha A ¡invert´ alhat´ o lineáris transzformáci´ oja V -nek, ¢n akkor An is invertálható és (An )−1 = A−1 . 1. Gyakorlatok, feladatok


54

´ 1. Ertelmezz¨ uk a V vektortér egy önmag´ aba val´ o T leképezését a következ˝ odef képpen: rögz´ıts¨ uk V -nek egy v0 elemét és minden v ∈ V -re legyen T (v) = v0 + ´ v, azaz v-nek v0 -lal való eltoltja. Allap´ ıtsa meg, hogy lineáris transzformáci´ o-e a T. 2. Legyen A : Fn → Fn−1 az a leképezés, amelyre 

ξ1 ξ2 .. .

    A(v) = A     ξn−1



         =     

ξn

ξ1 − ξ2 ξ2 − ξ3 .. . ξn−1 − ξn

     

minden v ∈ Fn -re. (a) Mutassa meg, hogy A line´ aris leképezés! (b) Adja meg ker (A) egy bázis´ at! (c) Határozza meg im (A) dimenziój´ at! 3. Legyen A ∈ L(V, W ) és M egy altere V -nek. Jelölje A(M ) az M -beli vektorok képeinek halmazát. Mutassa meg, hogy A(M ) altere im (A)-nak. 4. Bizony´ıtsa be, hogy ha egy lineáris transzformáci´ onak van legalább két k¨ ulönböz˝o jobbinverze, akkor nincs balinverze, és hasonlóan, ha van legalább két k¨ ulönböz˝o balinverze, akkor nincs jobbinverze. 5. Igazolja, hogy egy lineáris transzformáci´ onak pontosan akkor van inverze, ha egyetlen egy jobbinverze van. 6. Terjessz¨ uk ki a jobbinverz, illetve balinverz fogalmakat lineáris leképezésekre. Legyen A ∈ L(V, W ) és B, C ∈ L(W, V ), ahol V és W nem feltétlen¨ ul izomorf vektorterek. Azt mondjuk, hogy B jobbinverze A-nak, iletve C balinverze A-nak, ha AB az identikus transzformáci´ oja W -nek, illetve CA az identikus transzformációja V -nek. Mutassa meg, hogy ha dim V 6= dim W , akkor A-nak nem lehet jobbinverze is, meg balinverze is! 7. Jelölje O ∈ L(V ) a V vektortér azon lineáris transzformáci´ oj´ at, amely minden vektorhoz a zéróvektort rendeli. Mutassa meg, hogy A, B ∈ L(V )-re AB = O akkor és csak akkor teljes¨ ul, ha im (B) ⊆ ker (A)!

2.2.4

Faktorterek

Ha A a V vektortér egy lineáris leképezése valamely W vektortérbe, akkor A indukál egy ≡A ⊆ V × V relációt a következ˝ oképpen: v1 ≡A v2 ⇐⇒ A(v1 ) = A(v2 ) . Az ≡A nyilvánvalóan ekvivalencia reláci´ o, de azont´ ul még rendelkezik azzal a tulajdonsággal is, hogy bármely v ∈ V és α skal´ ar mellett, ha v1 ≡A v2 akkor v1 + v ≡A v2 + v

és αv1 ≡A αv2

´ ´ O ´ 2.3. MATRIX REPREZENTACI

55

is teljes¨ ul. Ezzel a tulajdonsággal rendelkez˝ o ekvivalencia reláci´ okat kongruencia rel´ aci´ oknak h´ıvjuk. Mint ismeretes, az ekvivalencia reláci´ ok mindig meghatároznak egy osztályozást, azaz eset¨ unkben a V vektortér részhalmazainak olyan {Vi , i ∈ I} S rendszerét, hogy a k¨ ulönböz˝o részhalmazok diszjunktak és i∈I Vi = V . A kongruencia relációk még azt is lehet˝ové teszik, hogy az osztályok halmazát vektortérré tegy¨ uk az alábbi összeadással és skal´ arral val´ o szorzással: def

Vi + Vj = Vk

ha vi + vj ∈ Vk , ahol vi ∈ Vi

és vj ∈ Vj ,

és bármely α skalár esetén def

αVi = Vj

ha αvi ∈ Vj ahol vi ∈ Vi .

Talán els˝o pillanatra nem nyilvánval´ o, hogy a megadott m˝ uveletek jóldefini´ altak. Kihasználva, hogy az osztályozást kongruencia reláci´ o indukálta, azt kapjuk, hogy ha vi , vi0 ∈ Vi és vj , vj0 ∈ Vj , akkor vi ≡A vi0 ⇒ vi + vj ≡A vi0 + vj másrészt vj ≡A vj0 ⇒ vi0 + vj ≡A vi0 + vj0 és kihasználva az ekvivalencia reláci´ o tranzit´ıv tulajdonság´ at adódik, hogy vi + vj ≡A vi0 + v 0 j , ami azt mutatja, hogy egy osztály bármelyik elemének egy másik osztály bármelyik elemével való összege ugyanabban az osztályban van. Hasonlóan bármely α skal´ arra, 0 0 ha vi és vi egy osztálybeli vektorok, akkor αvi és αvi is egy osztályban vannak. A ≡A kongruencia reláció szerinti osztályok fentiekben definiált vektorterét V faktorterének nevezz¨ uk és V / ≡A -val jelölj¨ uk. A ≡A kongruencia reláci´ o értelmezéséb˝ ol azonnal következik, hogy V / ≡A izomorf az A line´ aris leképezés im (A) képterével. Bármely osztály két vektorának a k¨ ul¨ onbsége a zér´ ovektort tartalmazó osztályban, azaz az A lineáris leképezés magterében van, amib˝ol következik, hogy a Vi , i ∈ I osztály akármelyik vektora megkaphat´ o, ha egy rögz´ıtett vi0 vektor´ ahoz hozzáadjuk ker (A) valamelyik vektorát. Formaliz´ alva ugyanez: vi0 + ker (A) = {vi0 + v | v ∈ ker (A)} = Vi . Azt mondhatjuk, hogy minden osztály a lineáris leképezés magterének eltol´ as´ aval kapható.

2.3

M´ atrix reprezent´ aci´ o

Ebben a részben véges dimenziós vektorterek lineáris leképezéseihez téglalap elrendezés˝ u skalár komponenseket tartalmazó, u ´gynevezett mátrixokat rendel¨ unk, és megvizsgáljuk, hogy a lineáris leképezésekkel végzett m˝ uveleteknek milyen mátrixm˝ uveletek felelnek meg. Meghatározzuk a lineáris transzformáci´ o és inverze mátrix´ anak kapcsolatát, levezetj¨ uk az által´ anos bázistranszform´ aci´ o egyenletét, vég¨ ul pedig

56


megvizsgáljuk, hogy egy lineáris transzformáci´ o mátrixa, hogyan f¨ ugg a vektortér bázisának megválasztásától. Megjegyezz¨ uk, hogy mint minden vektortér esetében, itt is a lineáris leképezések terének elemeihez is rendelhetnénk skal´ ar komponensekb˝ol felép´ıtett oszlopokat, de mint látni fogjuk, a mátrixok bevezetésének olyan el˝onyei vannak, amelyr˝ol nem szeretnénk lemondani. Mint már eml´ıtett¨ uk, egy A ∈ L(V, W ) lineáris leképezést teljesen meghatároz az, hogy V valamely bázisának vektorait milyen vektorokra képezi. Val´ oban, ha X = {x1 , x2 , . . . , xn } egy bázisa V -nek, akkor bármely v ∈ V vektor egyértelm˝ uen kifejezhet˝o az X vektorainak v = ε1 x1 + ε2 x2 + · · · + εn xn lineáris kombinációjaként, és akkor A(v) = ε1 A(x1 ) + ε2 A(x2 ) + · · · εn A(xn ). Mivel a képvektorok a W vektortérben vannak, el˝o´ all´ıthat´ ok a W egy Y = {y1 , y2 , . . . , ym } bázisa vektorainak lineáris kombin´ aci´ oiként. Igy, ha A(xj ) = α1j y1 + α2j y2 + · · · + αmj ym

j = 1, . . . , n,

akkor A(v) = ε1 (α11 y1 + α21 y2 + · · · + αm1 ym ) + +ε2 (α12 y1 + α22 y2 + · · · + αm2 ym ) + .. . +εn (α1n y1 + α2n y2 + · · · + αmn ym ) = = (ε1 α11 + ε2 α12 + · · · + εn α1n )y1 + +(ε1 α21 + ε2 α22 + · · · + εn α2n )y2 + .. . +(ε1 αm1 + ε2 αm2 + · · · + εn αmn )ym . Az αij skalárokat a lineáris leképezés X , Y b´ azisp´ arra vonatkoz´ o koordinát´ ainak nevezz¨ uk és az   

 AX Y = 

α11 α12 . . . α1n α21 α22 . . . α2n .. .. .. .. . . . . αm1 αm2 . . . αmn

     

téglalap alak´ u skalártáblázatot az A ∈ L(V, W ) lineáris leképezés X , Y bázisp´ arra vonatkozó mátrixának nevezz¨ uk. A leképezés mátrix´ at, csak´ ugy, mint a vektorok koordináta vektorait, vastagon szedett bet˝ uvel jelölj¨ uk, a fels˝o index jelöli a V, az u ´gynevezett tárgyvektortér alapul vett bázis´ at, m´ıg az alsó indexszel utalunk a W, az u ´gynevezett képvektortérben rögz´ıtett bázisra. Id˝onként, a jelölés egyszer˝ us´ıtése érdekében az alsó és fels˝o indexeket, elhagyjuk, ha a szövegk¨ ornyezetb˝ ol kider¨ ul,


57

hogy melyik bázispárra vonatkoznak a szóbanforg´ o leképezés koordinát´ ai. A mátrix elemeit duplán indexezt¨ uk, az els˝o index az elem sorának, a második az oszlopának a számát mutatja, és ha a mátrixnak m sora és n oszlopa van, akkor azt mondjuk, hogy m × n t´ıpus´ u. Ha egy mátrixnak csak egyetlen sora van, akkor sormátrixnak is fogjuk nevezni, m´ıg ha csak egyetlen oszlopa van, akkor oszlopmátrixnak is fogjuk nevezni, és jelölés¨ ukre vastagon szedett kis latin bet˝ uket használunk. A sormátrixokat az oszlopmátrixoktól u ´gy k¨ ul¨ onb¨ oztetj¨ uk meg, hogy fels˝o indexként a ∗ jelet alkalmazzuk. Felh´ıvjuk az olvasó figyelmét arra, hogy a leképezés mátrix´ at alkot´ o oszlopok éppen az X bázis vektorai képének Y b´ azisra vonatkoz´ o    A(x1 )Y =   

α11 α21 .. . αm1





     , A(x2 )Y =     

α12 α22 .. . αm2





     , . . . , A(xn )Y =     

α1n α2n .. . αmn

     

koordináta vektorai, és a v vektor A(v) képének Y bázisra vonatkoz´ o koordináta vektora   ε1 α11 + ε2 α12 + · · · + εn α1n    ε1 α21 + ε2 α22 + · · · + εn α2n    A(v)Y =  = ..   .   ε1 αm1 + ε2 αm2 + · · · + εn αmn = ε1 A(x1 )Y + ε2 A(x2 )Y + · · · + εn A(xn )Y . ´ Erdemes felfigyelni arra is, hogy a fenti lineáris kombin´ aci´ oban a skal´ aregy¨ utthat´ ok éppen a v vektor X bázisra vonatkoz´ o koordinát´ ai. Meg kell eml´ıten¨ unk, hogy amennyiben egy A ∈ L(V ) lineáris transzformációt koordinatizálunk, akkor V -nek csak egy bázis´ at rögz´ıtj¨ uk, mondjuk X = {x1 , x2 , . . . , xn }-et, és A mátrixa AX = [A(x1 )X , A(x2 )X , . . . , A(xn )X ] felép´ıtés˝ u lesz, és tekintve, hogy ebben a mátrixban minden oszlop n-elm˝ u, ez egy négyzet alak´ u skalártáblázat. Az ilyen négyzetes, n × n t´ıpus´ u mátrixok esetében az n számot a mátrix rendjének nevezz¨ uk. 1 P´ elda. Legyen a 2-dimenzi´ os tér egy b´ azisa az I = {i, j} egym´ asra mer˝ oleges, egységnyi hossz´ us´ ag´ u helyvektorok rendszere. Hat´ arozzuk meg a tér azon F transzform´ aci´ oj´ anak a m´ atrix´ at ebben a b´ azisban, amely minden vektort az orig´ o k¨ or¨ ul φ sz¨ oggel elforgat az ´ oramutat´ o j´ ar´ as´ aval ellentétes ir´ anyba. Az 2.1 ábráról leolvasható, hogy az i vektor i0 képe, illetve a j vektor j 0 képe: i0 = cos φ i + sin φ j Így

"

F(i)I =

cos φ sin φ

és j 0 = − sin φ i + cos φ j.

#

"

és F(j)I =

− sin φ cos φ

#

58

´ ´ ´ ´ OK ´ 2. FEJEZET LINEARIS LEKEPEZ ESEK, TRANSZFORMACI j

. . . .... . . . . . . . . . . . . ....... . . . . ........ . . . . .... . . . . . . . . . . ... . . .... . . ...... . ...... . . ............. . . . ...... . . . . . . . . . . .... . .. . . ... . . . ... ... . . . . . ... . . . ... ... . . . . . ... . . .. . . . . . . . . ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . .. . ....... . ............... . . . ..... .. ....... . . . . ....... . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . ....... . . .. . ....... . . . . .. ....... . . . . . . ....... . . . ....... .... . . .. ....... . . . . . . ....... . .... .... ....... . ....... . ... . . ....... . . ... . . . ....... . ....... ... .... . .... . . . . . . . . . ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .... .. .... .... ..

j0

↑φ | cos φ j | ↓

•

φ

i0 ↑ | | | sin φ j | | | ↓

i

←−−− − sin φ i −−−→← − cos φ i − →

2.1. ábra: A s´ık forgatása tehát

"

FI =

cos φ − sin φ sin φ cos φ

#

a transzformáció mátrixa az I b´ azisban.

2

2 P´ elda. Az F test feletti V vektortér egy y ∗ : V → F line´ aris f¨ uggvényének, mint line´ aris leképezésnek hat´ arozzuk meg a m´ atrix´ at a V vektortér X = {x1 , . . . , xn } és az F, mint 1-dimenzi´ os vektortér {1} b´ azis´ ara vonatkoz´ oan, ahol 1 az F test egységelemét jel¨ oli. ∗X = [y∗ (x ) ∗ Mivel y{1} ıgy ha y ∗ (xi ) = ξi minden i(= 1, . . . , n)1 {1} , . . . , y (xn ){1} ] , ´ ∗ re, akkor az y lineáris f¨ uggvény mátrixa a választott bázisp´ arra vonatkoz´ oan az 1 × n t´ıpus´ u ∗X y{1} = [ξ1 , . . . , ξn ],

azaz egy sormátrix. Ez volt az oka annak, hogy egy V vektortér duális´ at V ∗ -gal jelölt¨ uk. Mint láttuk, az a ford´ıtott áll´ıt´ as is igaz, hogy minden n komponens˝ u Fn∗ sorvektor meghatározza V egy lineáris f¨ uggvényét, mert a komponensekkel megadva a lineáris f¨ uggvénynek az X bázis vektoraihoz rendelt skal´ arokat, a lineáris f¨ uggvény egyértelm˝ uen meghatározott. 2 Legyen a V vektortér N line´ aris transzformáci´ oja olyan, hogy egy X = {x1 , . . . , xn } bázisának vektorait az N (x1 ) = λ1 x1 , . . . , N (xn ) = λn xn vektorokba viszi, ahol λ1 , . . . λn ∈ F skalárok. Akkor az N transzform´ aci´ o mátrixa az X b´ azisban    N=  

λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 .. .. . . . . .. . . 0 0 . . . λn

   ,  

u ´gynevezett diagon´ alis m´ atrix. Az elnevezést az indokolja, hogy legfeljebb a mátrix f˝oátlójának elemei — az azonos sor– és oszlopindex˝ u elemek — k¨ ul¨ onb¨ oznek zér´ ot´ ol, a többi elem mindegyike nulla.


2.3.1

59

M˝ uveletek m´ atrixokkal

Ebben a részben definiáljuk a mátrixok összead´ as´ at, skal´ arral val´ o szorzás´ at és szorzását. A mátrixm˝ uveletek értelmezésekor tekintettel lesz¨ unk arra, hogy a mátrixok lineáris leképezésekhez tartoznak, ezért elvárjuk, hogy a lineáris leképezések összegének mátrixa legyen egyenl˝ o a tagok mátrixainak definiáland´ o összegével, lineáris leképezés skalárszorosának mátrixa legyen a leképezés mátrix´ anak skal´ arszorosa, és lineáris leképezések szorzatának mátrixa legyen a tényez˝ o leképezések mátrixainak szorzata. M´ atrixok ¨ osszead´ asa Tekints¨ unk ezért két A, B ∈ L(V, W ) lineáris leképezést, és tegy¨ uk fel, hogy V egy X = {x1 , . . . , xn } és W egy Y = {y1 , . . . , ym } b´ azis´ ara vonatkoz´ o mátrixaik az    A = [A(x1 )Y , A(x2 )Y , . . . , A(xn )Y ] =   

és

   B = [B(x1 )Y , B(x2 )Y , . . . B(xn )Y ] =   

α11 α12 . . . α1n α21 α22 . . . α2n .. .. .. .. . . . . αm1 αm2 . . . αmn β11 β12 . . . β1n β21 β22 . . . β2n .. .. .. .. . . . . βm1 βm2 . . . βmn

     

   .  

Az A + B lineáris leképezéshez tartozó mátrix minden oszlopa ugyancsak megkapható, ha vessz¨ uk az X bázis vektorai A + B leképezéssel kapott képeinek Y bázisra vonatkozó koordináta vektorait. Mivel a lineáris leképezések összegének defin´ıciója szerint (A + B)(v) = A(v) + B(v) (v ∈ V ) és mert az a hozzárendelés, amely egy vektortér vektoraihoz koordináta vektoraikat rendeli izomorfizmus, és ´ıgy összegvektor koordináta vektora egyenl˝ o a tagok koordináta vektorainak összegével, kapjuk, hogy A + B = [A(x1 )Y + B(x1 )Y , A(x2 )Y + B(x2 )Y , . . . , A(xn )Y + B(xn )Y ] =    =  

α11 + β11 α12 + β12 . . . α1n + β1n α21 + β21 α22 + β22 . . . α2n + β2n .. .. .. .. . . . . αm1 + βm1 αm2 + βm2 . . . αmn + βmn

   .  

A fentiek alapján azt mondhatjuk, hogy két mátrixot azonos poz´ıci´ oj´ u elemeik o¨sszeadásával adunk össze, ezért persze az összeadand´ o mátrixoknak azonos t´ıpus´ uaknak kell lenni¨ uk. M´ atrixok szorz´ asa skal´ arral Hasonlóan kapjuk a γA lineáris leképezés mátrix´ anak oszlopait, azaz venn¨ unk kell X vektorainak γA képeit, és azoknak az Y bázisra vonatkoz´ o koordináta vektorait.

60


Mivel (γA)(v) = γA(v) (v ∈ V ), és egy vektor skal´ arszoros´ anak koordináta vektora egyenl˝o koordináta vektorának skal´ arszoros´ aval, kapjuk, hogy γA = [γA(x1 )Y , γA(x2 )Y , . . . , γA(xn )Y ] =    =  

γα11 γα12 . . . γα1n γα21 γα22 . . . γα2n .. .. .. .. . . . . γαm1 γαm2 . . . γαmn

   .  

Tehát egy mátrixot u ´gy kell szoroznunk egy skal´ arral, hogy annak minden elemét megszorozzuk a skalárral. A mátrixokat gyakran szögletes zár´ ojelek közé zárt által´ anos elem¨ ukkel jelölj¨ uk. Így, ha A egy olyan mátrix amelynek i-edik sorában a j-edik elem αij , akkor az egész skalártáblázat ki´ırása helyett gyakran a rövid A = [αij ] jelölést használjuk. A mátrixok összeadásának, illetve skal´ arral val´ o szorzás´ anak a fentiekben rögz´ıtett szabálya ezekkel a jelölésekkel ´ıgy adható meg: Ha A = [αij ] és B = [βij ] azonos t´ıpus´ u F feletti mátrixok és γ ∈ F, akkor minden i(= 1, . . . , m)-re és j(= 1, . . . , n)-re def

[αij ] + [βij ] = [αij + βij ] és

def

γ[αij ] = [γαij ]. Ha lerögz´ıtj¨ uk mind V, mind W egy bázis´ at, akkor minden A ∈ L(V, W ) lineáris leképezéshez egyértelm˝ uen hozzárendelhet˝ o egy mátrix, amelynek elemei a vektorterek közös operátortartománya, az F testb˝ ol val´ o skal´ arok és t´ıpusa dim W × dim V. Ford´ıtva, ha vesz¨ unk egy tetsz˝oleges dim W × dim V t´ıpus´ u mátrixot (téglalap elrendezés˝ u skalártáblázatot), amelynek elemei F-b˝ ol val´ ok, és egy X bázist V -ben, és egy Y bázist W -ben, akkor pontosan egy olyan lineáris leképezés van V -b˝ ol W -be, amelynek X , Y bázispárra vonatkoz´ o mátrixa éppen az adott mátrix. Ugyanis, az adott mátrix oszlopai, X vektorai képének koordináta vektorai az Y b´ azisban, tehát meghatározzák minden bázisvektor képét, és V b´ azisvektorainak képei egyértelm˝ uen meghatározzák V minden vektor´ anak képét. Jelölj¨ uk Fm×n -nel az összes m × n t´ıpus´ u F test feletti mátrixok halmazát, és legyen ebben értelmezve az összead´ as és skal´ arral val´ o szorzás a fentiek szerint. A (2.2.1) tétel és a fentiekben le´ırt érvelés szerint Fm×n vektortér F felett. Legyen Eij az a mátrix, amelynek i-edik sorában a j-edik elem 1 (az F egységeleme), minden más elem pedig 0 (az F zéróeleme). Nem nehéz belátni, hogy az Fm×n térben az M = {Eij i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n} mátrixrendszer bázis. Ezért igaz az alábbi tétel. 2.3.1 T´ etel. Ha V n-dimenzi´ os és W m-dimenzi´ os F test feletti vektorterek, akkor az L(V, W ) line´ aris leképezések tere izomorf az F f¨ ol¨ otti m´ atrixok Fm×n vektorterével, ´ıgy m · n-dimenzi´ os.


61

M´ atrixok szorz´ asa A mátrixok szorzását definiáland´ o, legyenek D ∈ L(V, W ) és C ∈ L(W, Z) lineáris leképezések és X = {x1 , . . . , xn }, Y = {y1 , . . . , ym } és Z = {z1 , . . . , zp } b´ azisok V -ben, W -ben, illetve Z-ben. A CD ∈ L(V, Z) lineáris leképezés mátrix´ anak oszlopai az X bázis vektorai CD leképezéssel kapott képeinek a Z b´ azisra vonatkoz´ o koordináta vektorai. Jelölje a D leképezés mátrix´ at 

DX Y

  =  

δ11 δ12 . . . δ1n δ21 δ22 . . . δ2n .. .. .. .. . . . . δm1 δm2 . . . δmn

   ,  

ami azt jelenti, hogy D(x1 ) = δ11 y1 + δ21 y2 + · · · + δm1 ym D(x2 ) = δ12 y1 + δ22 y2 + · · · + δm2 ym .. .. .. .. .. . . . . . D(xn ) = δ1n y1 + δ2n y2 + · · · + δmn ym és a C leképezés mátrixát pedig 

CY Z

  =  

γ11 γ12 . . . γ1m γ21 γ22 . . . γ2m .. .. .. .. . . . . γp1 γp2 . . . γpm

   ,  

amib˝ol pedig azt tudhatjuk, hogy C(y1 ) = γ11 z1 + γ21 z2 + · · · + γp1 zp C(y2 ) = γ12 z1 + γ22 z2 + · · · + γp2 zp . .. .. .. .. .. . . . . . C(ym ) = γ1m z1 + γ2m z2 + · · · + γpm zp Akkor — felhasználva, hogy minden v(∈ V )-re (CD)(v) = C(D(v)) — kapjuk, hogy (CD)(x1 ) = δ11 C(y1 ) + δ21 C(y2 ) + · · · + δm1 C(ym ) , (CD)(x2 ) = δ12 C(y1 ) + δ22 C(y2 ) + · · · + δm2 C(ym ) , .. .. .. .. .. . . . . . (CD)(xn ) = δ1n C(y1 ) + δ2n C(y2 ) + · · · + δmn C(ym ) .

62


A fenti egyenl˝oségekben minden C(yj )-t a Z vektorainak fönt megadott lineáris kombinációival helyettes´ıtj¨ uk: (CD)(x1 ) = + + (CD)(x2 ) = + + .. . (CD)(xn ) = + +

δ11 (γ11 z1 δ21 (γ12 z1 .. . δm1 (γ1m z1 δ12 (γ11 z1 δ22 (γ12 z1 .. . δm2 (γ1m z1 .. . δ1n (γ11 z1 δ2n (γ12 z1 .. . δmn (γ1m z1

+ +

γ21 z2 γ22 z2

+ ··· + + ··· +

γp1 zp ) γp2 zp )

+ +

+ γ2m z2 + · · · + γpm zp ) , + γ21 z2 + · · · + γp1 zp ) + + γ22 z2 + · · · + γp2 zp ) + + γ2m z2 + · · · + γpm zp ) , .. .. .. . . . + γ21 z2 + · · · + γp1 zp ) + + γ22 z2 + · · · + γp2 zp ) + + γ2m z2 + · · · + γpm zp )

.

Ebb˝ol már kiolvasható a CD lineáris leképezés mátrixa, csupán az egyes Z-beli bázisvektorokra vonatkozó koordinát´ akat kell összegy˝ ujteni és oszlopokba rendezni:  Pm k=1 γ1k δk1 ,  Pm γ δ ,  k=1 2k k1  (CD)X .. Z =  . Pm

Pm

P

... , m γ1k δkn Pk=1 m . . . , k=1 γ2k δkn .. .. .. . . . Pm Pm k=1 γpk δk1 , k=1 γpk δk2 , . . . , k=1 γpk δkn γ1k δk2 , Pk=1 m k=1 γ2k δk2 ,

   .  

Ezek szerint, ha azt szeretnénk, hogy Y X (CD)X Z = CZ · DY

teljes¨ uljön. Ehhez két mátrix szorzatát a    C·D=  

γ11 γ12 . . . γ1m γ21 γ22 . . . γ2m .. .. .. .. . . . . γp1 γp2 . . . γpm

 Pm k=1 γ1k δk1 ,  Pm γ δ , k=1 2k k1 def  =  ..   . Pm

Pm

      ·    

δ11 δ12 . . . δ1n δ21 δ22 . . . δ2n .. .. .. .. . . . . δm1 δm2 . . . δmn P

γ1k δkn ... , m Pk=1 γ ... , m k=1 2k δkn .. .. .. . . . Pm Pm γ δ , . . . , γ δ , k=1 γpk δkn k=1 pk k2 k=1 pk k1 γ1k δk2 , Pk=1 m γ k=1 2k δk2 ,

   def  =        

egyenl˝oséggel kell definiálnunk. A látottak szerint két mátrixot akkor lehet összeszorozni, ha a baloldali tényez˝o oszlopainak a száma megegyezik a jobboldali tényez˝ o sorainak a számával. A szorzatnak annyi sora van, mint amennyi a baloldali tényez˝ o


63

sorainak a száma, és annyi oszlopa, mint ahány oszlopa a jobboldali tényez˝ onek van. A szorzat i-edik sorának j-edik elemét ²ij -vel jelölve, azt kaptuk, hogy ²ij = γi1 δ1j + γi2 δ2j + · · · + γim δmj =

m X

γik δkj .

k=1

Tehát ²ij a baloldali mátrix i-edik sorában lév˝ o elemeinek és a jobboldali tényez˝ o j-edik oszlopában lév˝o megfelel˝o elemeivel val´ o szorzatösszege. 3 P´ elda. Ha ¨ osszeszorzunk egy m × n t´ıpus´ u A m´ atrixot egy n × 1 t´ıpus´ u x m´ atrixszal, akkor a szorzatm´ atrix t´ıpusa m × 1, azaz egy oszlopm´ atrix. Megmutatjuk, hogy ez az oszlopm´ atrix az A m´ atrix oszlopainak line´ aris kombin´ aci´ oja, amelynél a skal´ aregy¨ utthat´ ok éppen az x oszlopm´ atrix komponensei. Legyenek     α11 α12 . . . α1n ξ1  α   ξ   21 α22 . . . α2n   2     A= . és x =  . .   ..  , . . . . . .  .  .  . .  αm1 αm2 . . . αmn ξn akkor

    Ax =       = ξ1   

α11 α21 .. . αm1

ξ1 α11 + ξ2 α12 + · · · + ξn α1n ξ1 α21 + ξ2 α22 + · · · + ξn α2n .. . ξ1 αm1 + ξ2 αm2 + · · · + ξn αmn 



     + ξ2     

α12 α22 .. . αm2





     + · · · + ξn     

    =  

α1n α2n .. . αmn

   .  

Bevezetve A oszlopainak jelölésére az    a1 =   

α11 α21 .. . αm1





     , a2 =     

α12 α22 .. . αm2





     , . . . , an =     

α1n α2n .. . αmn

     

szimbólumokat, a fenti egyenl˝oség Ax = ξ1 a1 + ξ2 a2 + · · · + ξn an alakban jelenik meg. 2 ∗ Hasonlóan mutatható meg, hogy egy 1 × m t´ıpus´ u y mátrixnak egy m × n t´ıpus´ u A mátrixszal való szorzata 1 × n t´ıpus´ u, azaz egy sormátrix, és ez az A m´ atrix ∗ sorainak az y komponenseivel képzett lineáris kombin´ aci´ oja. Ennek igazolás´ at az olvas´ ora b´ızzuk. 4 P´ elda. Egy 1 × n t´ıpus´ u és egy n × 1 t´ıpus´ u m´ atrixnak, azaz egy sorm´ atrixnak egy oszlopm´ atrixszal val´ o szorzata mindkét sorrendben elvégezhet˝ o. Az egyik sorrendben


64

elvégzett szorz´ as egy 1 × 1 t´ıpus´ u m´ atrixot eredményez, m´ıg a ford´ıtott sorrendben képzett szorzat eredménye n × n t´ıpus´ u, teh´ at egy négyzetes m´ atrix. Ennek igazolására legyen  ∗

a = [α1 , α2 , . . . , αn ] és

Akkor

   a · b = [α1 , α2 , . . . , αn ] ·    ∗

  b=  

β1 β2 .. . βn

β1 β2 .. . βn

   .  

  X n  = αi βi .   i=1

A ford´ıtott sorrendben képzett szorzat   

b · a∗ =   

β1 β2 .. . βn





     · [α1 , α2 , . . . , αn ] =     

β1 α1 β1 α2 . . . β1 αn β2 α1 β2 α2 . . . β2 αn .. .. .. .. . . . . βn α1 βn α2 . . . βn αn

     

a diadikus szorzat elnevezést viseli. Megjegyezz¨ uk, hogy k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o méret˝ u oszlopmátrix és sormátrix diadikus szorzata is képezhet˝o. 2 Sok esetben a mátrixokat el˝ony¨ os u ´gy felfogni, mint sormátrixokb´ ol, vagy oszlopm´ atrixokból összerakott skal´ art´ abl´ azatot. Péld´ aul a mátrixok szorzatának kiszám´ıtásakor el˝onyös ez a felfogás. Ennek illusztrál´ as´ ara vezess¨ uk be a következ˝ o jelöléseket: Az   α11 α12 . . . α1n  α   21 α22 . . . α2n   A= . .. ..   .. .  .. . .  αm1 αm2 . . . αmn mátrix sorait jelölje rendre a∗1 , a∗2 , . . . , a∗m , azaz a∗1 = [α11 , α12 , . . . , α1n ] , a∗2 = [α21 , α22 , . . . , α2n ] , .. . a∗m = [αm1 , αm2 , . . . , αmn ] , és a

   B=  

β11 β12 . . . β1p β21 β22 . . . β2p .. .. .. .. . . . . βn1 βn2 . . . βnp

     


65

mátrix oszlopait jelölje b1 , b2 , . . . , bp , teh´ at legyenek    b1 =   

β11 β21 .. . βn1

Akkor az





     , b2 =     

   A·B=  

β12 β22 .. . βn2





     , . . . , bp =     

a∗1 b1 a∗1 b2 . . . a∗1 bp a∗2 b1 a∗2 b2 . . . a∗2 bp .. .. .. .. . . . . a∗m b1 a∗m b2 . . . a∗m bp 

  [Ab1 , Ab2 , . . . , Abp ] =   

a∗1 B a∗2 B .. . a∗m B

β1p β2p .. . βnp

   .  

   =  

     

szorzatmátrix minden eleme az A mátrix egy sorának és a B mátrix egy oszlopának szorzata, minden oszlopa az A m´ atrixnak B valamelyik oszlopával val´ o szorzata, és minden sora az A valamelyik sorának a B m´ atrixszal val´ o szorzata. Az el˝oz˝ oekben igazoltuk, hogy egy mátrixnak oszlopmátrixszal val´ o szorzata a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja, ´ıgy áll´ıthatjuk, hogy az AB szorzat minden oszlopa az A oszlopainak lineáris kombinációja. Másrészt, egy sormátrix és mátrix szorzata a mátrix sorainak lineáris kombináci´ oja, ´ıgy az AB szorzat minden sora a B sorainak a lineáris kombinációja. A lineáris leképezések reprezentáci´ oj´ an´ al láttuk, hogy ha az A ∈ L(V, W ) leképezés mátrixa a V -beli X és a W -beli Y b´ azisp´ arra vonatkoz´ oan   

 AX Y = 

α11 α12 . . . α1n α21 α22 . . . α2n .. .. .. .. . . . . αm1 αm2 . . . αmn

   ,  

akkor bármely v(∈ V ) vektor A(v)(∈ W ) képének koordináta vektora az Y b´ azisban     A(v)Y =   

ε1 α11 + ε2 α12 + · · · + εn α1n ε1 α21 + ε2 α22 + · · · + εn α2n .. . ε1 αm1 + ε2 αm2 + · · · + εn αmn

    ,  

(2.3)

vagy ugyanez mésképpen: A(v)Y = ε1 A(x1 )Y + ε2 A(x2 )Y + · · · + εn A(xn )Y ,

(2.4)

66


ahol az

     

ε1 ε2 .. . εn

     

oszlop éppen vX , a v vektor X b´ azisra vonatkoz´ o koordináta vektora. Mivel a koordináta vektorokat is kezelhetj¨ uk ugyanolyan mátrixként, mint a lineáris leképezésekhez rendelt mátrixokat, azok szorzás´ anak értelmezése szerint a (2.3) egyenlet röviden ´ıgy ´ırható A(v)Y = AX (2.5) Y · vX , amit a line´ aris leképezés egyenletének nevez¨ unk. Ha A egy V vektortér lineáris transzformáci´ oja, akkor a (2.5) egyenlet kicsit egyszer˝ usödik. Az A ∈ L(V ) lineáris transzformáci´ o egyenlete az X bázisban A(v)X = AX · vX

(2.6)

alak´ u lesz. A (2.4) egyenletb˝ol következik, hogy az A line´ aris leképezés im (A) képtere izomorf a mátrixát alkotó {A(x1 )Y , . . . , A(xn )Y } vektorrendszer lineáris burkával és ezért az A rangja egyenl˝o e vektorrendszer rangjával, amit az A m´ atrix rangj´ anak is nevez¨ unk és ρ(A)-val jelöl¨ unk. M´ atrixok, line´ aris lek´ epez´ esek ´ es transzform´ aci´ ok szorz´ as´ anak tulajdons´ agai Jelölj¨ uk, mint el˝obb, az összes p × m t´ıpus´ u F feletti mátrixok halmazát Fp×m -mel, és hasonlóan az m × n t´ıpus´ uak halmazát Fm×n -nel. Minden C ∈ Fp×m m´ atrix szorozható minden D ∈ Fm×n m´ atrixszal, hiszen C oszlopainak a száma megegyezik D sorainak a számával. A szorzótényez˝ ok sorrendje viszont nem köz¨ omb¨ os, ha p 6= n akkor a D · C még csak nincs is értelmezve. Azt sejthetj¨ uk tehát, hogy a mátrixok szorz´ asa nem kommutat´ıv. Kérdés persze, hogy ugyanez vajon a helyzet akkor is amikor a két mátrix szorzata mindkét sorrendben értelmezett. Egy, mondjuk n-dimenziós vektortér lineáris transzformáci´ oinak mátrixai n × n t´ıpus´ uak, ellen˝orizz¨ uk hát, hogy ezek szorzása felcserélhet˝ o-e. Legyen " # " # 1 1 0 0 C= és D = , 0 1 1 1 akkor

"

C·D=

1 1 1 1

#

"

és D · C =

0 0 1 2

#

.

Ez a nagyon egyszer˝ u kis ellenpélda igazolja sejtés¨ unket: ´ ıt´ 2.3.2 All´ as. A m´ atrixok szorz´ asa nem kommutat´ıv. Kihasználva a (2.3.1) tételt azonnal adódik a következ˝ o: 2.3.3 K¨ ovetkezm´ eny. kommutat´ıv.

A line´ aris leképezések és transzform´ aci´ ok szorz´ asa nem


67

Megmutatjuk, hogy a mátrixok szorzása asszociat´ıv. Ennek igazolása végett tekints¨ unk három általános alak´ u mátrixot. Legyenek A = [αij ] m × n, B = [βij ] n × p és C = [γij ] p × q t´ıpus´ u mátrixok és szám´ıtsuk ki mind az A(BC) , mind az (AB)C mátrix általános, i-edik sorának j-edik elemét. Az el˝obbi n X

αik (BC)kj =

k=1

n X

αik

Ã p X

k=1

!

βkl γkj

=

l=1

p n X X

αik (βkl γlj ),

k=1 l=1

m´ıg az utóbbi p X

(AB)il γlj =

l=1

p X

Ã n X

l=1

k=1

!

αik βkl γlj =

p X n X

(αik βkl )γlj .

l=1 k=1

Mivel a skalárok szorzása asszociat´ıv, a két szorzat i-edik sorának j-edik eleme egyenl˝o. Ezzel bebizony´ıtottuk, hogy ´ ıt´ 2.3.4 All´ as. A m´ atrixok szorz´ asa asszociat´ıv. ´ Ujra a (2.3.1) tételre való h´ıvatkoz´ assal kaphat´ o: 2.3.5 K¨ ovetkezm´ eny. ciat´ıv.

A line´ aris leképezések és transzform´ aci´ ok szorz´ asa asszo-

Vizsgáljuk még meg ebben a részben, hogy a mátrixok szorzása disztribut´ıv–e azok összeadására vonatkozóan. Legyenek ezért most A = [αij ] m × n, B = [βij ] és C = [γij ] n × p t´ıpus´ u mátrixok és szám´ıtsuk ki az A(B + C) mátrix által´ anos, i-edik sorának j-edik elemét. A(B + C)ij =

n X

αik (βkj + γkj ) =

k=1

n X k=1

αik βkj +

n X

αik γkj = (AB + AC)ij

k=1

Az eredmény azt mutatja, hogy ´ ıt´ 2.3.6 All´ as. A m´ atrixok szorz´ asa ¨ osszead´ asukra vonatkoz´ oan disztribut´ıv. A (2.3.1) tétel alapján, tehát azt is áll´ıthatjuk, hogy 2.3.7 K¨ ovetkezm´ eny. A line´ aris leképezések, illetve transzform´ aci´ ok szorz´ asa azok ¨ osszead´ as´ ara vonatkoz´ oan disztribut´ıv. A mátrixok szorzására mutatott péld´ akn´ al láttuk, hogy ha egy A ∈ Fm×n mátrixot szorzunk egy x(∈ Fn×1 ) oszlopvektorral, akkor a szorzatmátrix t´ıpusa m × 1, azaz egy oszlopvektor Fm×1 -ben. Ez az oszlopvektor az A mátrix oszlopainak lineáris kombinációja, amelynél a skal´ arszorz´ ok éppen az x oszlopvektor komponensei. Formailag nincs k¨ ulönbség az Fn×1 -beli mátrixok és az Fn koordináta tér elemei között, ezért azonos´ıthatjuk azokat. Így értelmezhetj¨ uk m × n tipus´ u mátrixoknak Fn -beli vektorokkal val´ o szorzás´ at. Akkor a mátrixok szorzás´ anak tulajdonságai alapján áll´ıthatjuk, hogy az x −→ Ax (x ∈ Fn , (A ∈ Fm×n ) hozzárendelés az Fn koordinátatérnek az Fm koordinátatérbe val´ o A0 line´ aris leképezése. Ennek birtokában a lineáris leképezések reprezentáci´ oj´ at kicsit más szemszögb˝ol is tekinthetj¨ uk:


68

Legyen az F feletti n-dimenzi´ os V vektortérnek az m-dimenzi´ os W vektortérbe való A ∈ L(V, W ) lineáris leképezése olyan, amelynek mátrixa a V -beli X = {x1 , . . . , xn } és W -beli Y = {y1 , . . . , ym } bázisp´ arra vonatkoz´ oan A. A A

V −→ W lineáris leképezéssel ”párhuzamosan”, azt mintegy szimul´ alva, lejátsz´ odik egy A0 Fn −→ Fm

lineáris leképezés a megfelel˝o koordinátaterek köz¨ ott, és az A0 line´ aris leképezés képvektorai, a tárgyvektorokból egyszer˝ u mátrixszorz´ assal kaphat´ ok. Megmutatjuk, hogy a koordinátaterek közötti A0 lineáris leképezés h˝ u modellje az A ∈ L(V, W ) lineáris leképezésnek. Az X bázis meghatároz egy Φ : V Fn és az Y b´ azis pedig egy Ψ : W Fm izomorf leképezést, amelyek V és W vektoraihoz koordináta vektoraikat rendeli. Mivel tetsz˝oleges v(∈ V ) vektorra A0 (Φ(v)) = Ψ(A(v)) teljes¨ ul, az A0 leképezés valóban az A leképezés h˝ u mása. A 2.2 ábra jól szemlélteti az elmondottakat:

v •............................................................................................................................................A w .........................................................................................................................................................• ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ......... ....... ....... ....... . ... ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

V

Φ

A0

v•

Fn

W

A : v −→ w

A0 : v −→ w = A · v

Ψ

•w Fm

2.2. ábra: Lineáris leképezés ”szimul´ aci´ oja” a koordináta terekben Ez teszi lehet˝ové, hogy bármely, lineáris leképezésekkel, vagy transzformáci´ okkal kapcsolatos probléma numerikus megoldásakor a tárgy– illetve a képvektortér vektorai helyett, azok koordináta vektoraival számolhatunk, és a lineáris leképezések hatás´ at, azok mátrixaival való szorzással számszer˝ us´ıthetj¨ uk.


2.3.2

69

Line´ aris transzform´ aci´ ok inverz´ enek m´ atrixa

Egy véges dimenziós V vektortér bármely A ∈ L(V ) lineáris transzformáci´ oj´ ahoz u ´gy rendelt¨ unk mátrixot, V egy X = {x1 , . . . , xn } bázis´ aban, hogy meghatároztuk a bázisvektorok {A(x1 ), . . . , A(xn )} képeinek {A(x1 )X , . . . , A(xn )X } koordináta vektorait és ezeket az oszlopokat gy˝ ujt¨ ott¨ uk össze az AX = [A(x1 )X , . . . , A(xn )X ] n × n tipus´ u mátrixban. Az I ∈ L(V ) identikus transzformáci´ o mátrixa bármely bázisban ugyanolyan alak´ u, hiszen 

I(x1 )X = x1X

  =  

tehát

1 0 .. . 0



     , . . . , I(xn )X = xn =  X    

(

IX = [δij ], ahol δij =



1 0

ha ha

i = j, i 6= j,

0 .. . 0 1

   ,  

(i, j = 1, . . . , n)

a már jól ismert Kronecker-szimb´ olum. A tov´ abbiakban jelölj¨ uk ezt a mátrixot E-vel és nevezz¨ uk n-edrend˝ u egységm´ atrixnak. Az elnevezést az indokolja, hogy tetsz˝oleges m × n tipus´ u B és tetsz˝oleges n × p tipus´ u C mátrixra BE=B és EC=C teljes¨ ul, tehát E egységelem a mátrixok szorzásm˝ uveletére vonatkoz´ oan. Ha A ∈ R(V ) reguláris lineáris transzformáció, akkor A−1 ∈ R(V ), inverze kielég´ıti az A · A−1 = I

és

A−1 · A = I

egyenleteket. Ebb˝ol, tekintve, hogy lineáris transzformáci´ ok szorzatának mátrixa egyenl˝o az egyes tényez˝ok mátrixainak szorzatával, az következik, hogy az inverz transzformáció mátrixa, A−1 eg´ıti az X kiel´ AX · A−1 X =E

és

A−1 X · AX = E

mátrixegyenleteket. A (2.2.3) következmény alapján azt is áll´ıthatjuk, hogy ezen egyenletek bármelyike egyértelm˝ uen meghatározza A ∈ R(V ) inverzének mátrix´ at az X bázisban. Tehát reguláris lineáris transzformáci´ o mátrixa invert´ alhat´ o a mátrixok szorzására vonatkozóan. Ennek megfelel˝oen most már egy n × n tipus´ u A ∈ Fn×n m´ atrixot is regul´ arisnak vagy más elnevezéssel nemszingul´ arisnak nevez¨ unk, ha létezik megoldása az AX = E

és

YA = E

mátrixegyenleteknek. Ha a mátrix nem invert´ alhat´ o, akkor a mátrixot is, csak´ ugy, mint a neminvertálható lineáris transzformáci´ ot szingul´ arisnak mondjuk. Sokszor egy mátrixról csupán azt kell eldönteni, hogy reguláris vagy szinguláris anélk¨ ul, hogy magára az inverzre sz¨ ukség¨ unk lenne. Ilyenkor kihasználhatjuk, hogy a mátrixot alkotó oszlopok lineáris burka a mátrixhoz tartozó lineáris transzformáci´ o képterével izomorf altere az Fn koordinátatérnek, ami persze akkor és csak akkor izomorf

70


az egész vektortérrel, ha az oszlopok a koordinátatér bázis´ at alkotj´ ak, következésképpen lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszert alkotnak. Meg kell jegyezz¨ uk, hogy a (2.2.3) következmény szerint az AX=E mátrixegyenlet akkor és csak akkor oldható meg, ha az YA=E mátrixegyenletnek van megoldása, ezért bármelyik egyenlet haszn´ alható lesz a reguláris mátrixok inverzének numerikus meghatároz´ as´ ara.

2.4

´ Altal´ anos b´ azistranszform´ aci´ o

Már láttuk, hogy egy vektortér elemeinek koordináta vektorai a tér bázis´ anak megválasztásától f¨ ugg, s˝ot az elemi bázistranszform´ aci´ or´ ol szól´ o részben azt is megvizsgáltuk, hogy a tér vektorainak koordináta vektora hogyan változik meg, ha az u ´j bázist az eredetib˝ol egyetlen bázisvektornak egy u ´j vektorral val´ o kicserélésével kapjuk. Itt most két, tetsz˝olegesen választott bázisra vonatkoz´ o koordináta vektorok kapcsolatát fogjuk jellemezni. Legyen az F test feletti n-dimenziós V vektortérnek X = {x1 , . . . , xn } és Y = {y1 , . . . , yn } két bázisa és legyen egy tetsz˝oleges v ∈ V vektor koordináta vektora 







ε1 ²1  .   .    vX =  azisban és vY =   ..  az X b´  ..  εn ²n az Y bázisban. Ez utóbbi pontosan azt jelenti, hogy v = ² 1 y1 + · · · + ² n yn .

(2.7)

Mint tudjuk, a vX a v vektor izomorf képe azon ΦX : V Fn izomorf leképezés mellett, amely az xi ∈ X bázisvektort az ei = [0, . . . 0, 1, 0 . . . , 0], u ´gynevezett i-edik egységvektorba viszi minden i(= 1, . . . , n)-re, ezért a (2.7) egyenletb˝ ol az is következik, hogy (2.8) vX = ²1 y1X + · · · + ²n ynX . Gy˝ ujts¨ uk össze az y1X , . . . , ynX oszlopvektorokat a B mátrixba, amelyet a bázistranszformáció ´ atmenet m´ atrix´ anak nevez¨ unk, azaz legyen az átmenet mátrix B = [y1X , . . . , ynX ]. A B átmenet mátrix azon B ∈ L(V ) lineáris transzformáci´ onak a mátrixa az X bázisban, amely az X bázis elemeinek az Y b´ azis elemeit felelteti meg, egész pontosan amelyre B(x1 ) = y1 , . . . , B(xn ) = yn . Ennek megfelel˝oen a B transzform´ aci´ ot b´ azistranszform´ aci´ onak nevezz¨ uk. Val´ oban a B transzformáci´ onak a mátrixa az X bázisban BX = [B(x1 )X , . . . , B(xn )X ] = [y1X , . . . , ynX ] éppen az átmenet mátrix. Ezt felhasználva, a (2.8) egyenlet az egyszer˝ ubb vX = BX · vY

(2.9)

alakot ölti. Mivel a B nyilvánval´ oan reguláris lineáris transzformáci´ o, mátrix´ anak van inverze, ´ıgy a (2.9) egyenlet ekvivalens a B−1 X · vX = vY

(2.10)

´ ´ ´ ´ O ´ 2.4. ALTAL ANOS BAZISTRANSZFORM ACI

71

egyenlettel, amit a b´ azistranszform´ aci´ o egyenletének nevez¨ unk. A bázistranszformáció egyenletét u ´gy interpretálhatjuk, hogy amennyiben ismerj¨ uk a V vektortér egy v vektorának a koordináta vektor´ at az X bázisban és ismerj¨ uk egy u ´j Y b´ azis vektorainak is a koordináta vektorait az X bázisban, (ezek a bázistranszform´ aci´ o mátrixának, az átmenet mátrixnak az oszlopai), akkor a v vektor Y b´ azisra vonatkozó koordináta vektora megkaphat´ o, ha az átmenet mátrix inverzével szorozzuk a v X bázisra vonatkozó koordináta vektor´ at. Persze a bázistranszformáció egyenletének inkább elméleti, mint gyakorlati jelent˝osége van, konkrét numerikus feladatok megoldás´ an´ al elemi bázistranszform´ aciók sorozatán kereszt¨ ul határozzuk meg egy vektor u ´j bázisra vonatkoz´ o koordináta vektorát.

2.4.1

Line´ aris transzform´ aci´ o m´ atrixa u ´ j b´ azisban

A bázistranszformáció egyenletének ismeretében nagyon könny˝ u kider´ıteni, hogy milyen kapcsolat van egy lineáris transzformáci´ o két k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o bázisra vonatkoz´ o mátrixai között. Ezt a kapcsolatot le´ırandó, legyen A az n-dimenziós F test feletti V vektortér egy lineáris transzformációja, és jelölje AX , illetve AY az A mátrix´ at az X = {x1 , . . . , xn }, illetve az Y = {y1 , . . . , yn } b´ azisban. Mint azt jól tudjuk, AX = [A(x1 )X , . . . , A(xn )X ] és AY = [A(y1 )Y , . . . , A(yn )Y ]. Jelölje megint B a V vektortér azon lineáris transzformáci´ oj´ at, amelyre B(x1 ) = y1 , . . . , B(xn ) = yn . Akkor A(y1 ) = A(B(x1 )), . . . , A(yn ) = A(B(xn )), k¨ ovetkezésképpen a lineáris transzformációk (2.6) egyenlete alapján A(y1 )X = AX · B(x1 )X , . . . , A(yn )X = AX · B(xn )X . Ebb˝ol az általános bázistranszform´ aci´ o (2.10) egyenletét felhasználva kapjuk, hogy A(y1 )Y

−1 = B−1 X A(y1 )X = BX AX B(x1 )X , .. .

A(yn )Y

−1 = B−1 X A(yn )X = BX AX B(xn )X .

Vegy¨ uk észre, hogy B(x1 )X , . . . , B(xn )X éppen a B line´ aris transzformáci´ o X bázisra vonatkozó BX mátrixának oszlopai, ´ıgy eredmény¨ unk a mátrixaritmetikai ismereteinket is felhasználva a töm¨ orebb AY = B−1 X · AX · BX

(2.11)

formába ´ırható. 2.4.1 Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az AY m´ atrix az AX m´ atrixnak konjug´ altja, amit a b´ azistranszform´ aci´ o BX ´ atmenet m´ atrix´ aval val´ o konjug´ al´ assal kaptunk. Két m´ atrixot hasonlónak mondunk, ha az egyik a m´ asiknak konjug´ altja.


72

Tehát egy lineáris transzformáci´ o k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o bázisokra vonatkoz´ o mátrixai hasonlók, amit AY ∼ AX -vel jelöl¨ unk. Nem nehéz megmutatni, hogy a ∼ hasonlós´ agi reláci´ o, ekvivalencia reláci´ o az azonos tipus´ u négyzetes mátrixok halmazán. Val´ oban, (a) egy mátrixnak az identikus transzformáci´ oval val´ o konjug´ altja önmaga, tehát a ∼ reláció reflex´ıv, (b) ha A = B−1 A0 B =⇒ A0 = BAB−1 , mutatva, hogy ∼ szimmetrikus, és (c) ha A = B−1 A0 B és A0 = C−1 A00 C =⇒ =⇒ A = B−1 C−1 A00 CB = (CB)−1 A00 (CB), igazolva, hogy ∼ tranzit´ıv is. Reguláris lineáris transzformáci´ ok inverzének mátrix´ at könnyen meg tudjuk határozni a következ˝o eredmény ismeretében: 2.4.2 T´ etel. Legyen a V vektortérnek X = {x1 , . . . , xn } és Y = {y1 , . . . , yn } két tetsz˝ oleges b´ azisa, és B ∈ R(V ) az a line´ aris transzform´ aci´ oja, amelyre B(xi ) = yi minden i(= 1, . . . , n)-re. Akkor teljes¨ ulnek az al´ abbi egyenl˝ oségek: (i) BY = BX , −1 (ii) B−1 Y = BX ,

Bizony´ıt´ as. A (2.11) egyenlet felhasznál´ as´ aval kapjuk, hogy BY = B−1 X BX BX = EBX = BX , és teljesen hasonlóan −1 −1 −1 −1 B−1 Y = BX BX BX = BX E = BX .

2 5 P´ elda. Legyen a V val´ os vektortér egy b´ azisa az X = {x1 , x2 , x3 } vektorrendszer és az A line´ aris transzform´ aci´ o m´ atrixa ebben a b´ azisban legyen 



1 0 1   1 −1  . A= 0 −1 −1 1 Hat´ arozzuk meg az A m´ atrix´ at az Y = {y1 , y2 , y3 } b´ azisban, ahol y1 = x1 + 2x2 − x3 , y2 = x2 + x3 , y3 = x1 + x2 .


73

A bázistranszformáció 



1 0 1   B = [y1X , y2X , y3X ] =  2 1 1  −1 1 0 a´tmenet mátrixa adott Y vektorainak megadás´ aval, ´ıgy használhatn´ ank az AY = −1 B AB képletet a transzformáci´ o mátrix´ anak meghatároz´ as´ ara az u ´j Y b´ azisban, ehhez azonban invertálnunk kellene az átmenet mátrixot és elvégezni két mátrixszorzást. Egy kis munkát megspórolhatunk, ugyanis az A(yi ) (i = 1, 2, 3) vektorok X bázisra vonatkozó A(yi )X = A · yiX (i = 1, 2, 3) koordináta vektorai könnyen meghatározhatók és akkor elemi bázistranszform´ aci´ ok sorozatával kiszám´ıthat´ ok az Y bázisra vonatkozó koordináta vektoraik is, amelyek éppen a keresett AY m´ atrix oszlopai. Ezeket a szám´ıtásokat követheti nyomon az olvas´ o az alábbi tábl´ azatok tanulmányozásával: (a táblázatok fejlécében a bázisra utaló indexeket elhagytuk, a táblázatok baloldali oszlopában ugyis fel vannak t¨ untetve a bázisvektorok) y1 y2 y3 A(y1 ) A(y2 ) A(y3 ) x1

1

0

1

0

1

1

2

1

1

3

0

1

x3 −1

1

0

−4

0

−2

x2

↓ y2 y1

y3 A(y1 ) A(y2 ) A(y3 )

0

x2

1

x3

1

0

1

1

−1

3

−2

−1

1

−4

1

−1

1

↓ y3 A(y1 ) A(y2 ) A(y3 ) y1

1

0

1

1

y2 −1

3

−2

−1

−7

3

0

x3

2

↓ A(y1 ) A(y2 ) A(y3 ) y1

7/2

−1/2

1

y2

−1/2

−1/2

−1

y3

−7/2

3/2

0

Az utolsó táblázatból már kiolvashat´ o:  

7/2 −1/2

1

 

AY =  −1/2 −1/2 −1  −7/2 3/2 0

74


Els˝o ránézésre nem volt nyilvánval´ o, hogy a megadott Y vektorrendszer val´ oban bázis, azonban az eljárás során ez is kider¨ ult, hiszen X vektorait lépésr˝ ol lépésre ki lehetett cserélni Y vektoraival. 2 6 P´ elda. Legyen a V val´ os vektortér egy b´ azisa az X = {x1 , x2 , x3 } vektorrendszer, és az A line´ aris transzform´ aci´ o m´ atrixa ebben a b´ azisban legyen 



1 0 1   1 −1  . A= 0 −1 −1 1 ´ Allap´ ıtsuk meg, hogy A regul´ aris–e, és ha igen, akkor hat´ arozzuk meg az A−1 inverz transzform´ aci´ o m´ atrix´ at! Az A mátrixából kiolvashatjuk, hogy A(x1 ) = y1 = x1 − x3 , A(x2 ) = y2 = x2 − x3 , A(x3 ) = y3 = x1 − x2 + x3 . Az inverz transzformációra persze A−1 (yi ) = xi (i = 1, 2, 3) teljes¨ ul, amib˝ol kiolvashatjuk az A−1 (yi )X (i = 1, 2, 3) koordináta vektorokat is. Ezekb˝ol elemi bázistranszformációk sorozatával meghatározhat´ ok az A−1 (yi )Y (i = 1, 2, 3) koordináta vektorok, és nek¨ unk éppen ezekre van sz¨ ukség¨ unk. A szám´ıt´ asokat az alábbi táblázatokban végezt¨ uk: x1 x2

y1

y2

1

0

0

y3 A(y1 ) A(y2 ) A(y3 ) 1

1

0

0

1 −1

0

1

0

0

0

1

x3 −1 −1

1 ↓

y2 y1

y3 A(y1 ) A(y2 ) A(y3 )

0

x2

1

1

1

0

0

−1

0

1

0

2

1

0

1

x3 −1

↓ y3 A(y1 ) A(y2 ) A(y3 ) y1

1

1

0

0

y2 −1

0

1

0

x3

1

1

1

1

↓ A(y1 ) A(y2 ) A(y3 ) y1

0

−1

−1

y2

1

2

1

y3

1

1

1


75

Az utolsó táblázatból már kiolvashat´ o:  

0 −1 −1

A−1 Y = 1 1

2 1

 

1  1

ami a (2.4.2) tétel szerint ugyanaz, mint A−1 oz˝ o péld´ aban is, X . Persze, amint az el˝ csak a szám´ıtások elvégzése közben der¨ ult ki, hogy A reguláris mátrix, hogy oszlopai valóban egy bázis k¨ ulönböz˝o vektorainak koordináta vektorai. 2 2. Gyakorlatok, feladatok

1. Legyen A a 3-dimenziós valós tér azon lineáris transzformáci´ oja, amely minden helyvektorhoz az origóra, mint középpontra vonatkoz´ o t¨ uk¨ orképét rendeli. Határozza meg az A mátrixát egy tetsz˝olegesen választott bázisban! 2. Legyen T a 3-dimenziós val´ os tér azon lineáris transzformáci´ oja, amely minden helyvektorhoz egy nemzér´ o v vektor irány´ u tengelyre vonatkoz´ o t¨ uk¨ orképét rendeli. (a) Határozza meg a T m´ atrix´ at egy, a v vektort tartalmazó, de azont´ ul tetsz˝oleges bázisban! (b) Határozza meg a T −1 transzformáci´ ot és annak mátrix´ at az (a) feladat megoldásakor választott bázisban! (Megjegyzés: Legyenek x és y a bázis tov´ abbi vektorai és x0 = T (x), y 0 = T (y). Nyilván x, x0 és v valamint y, y 0 és v egy s´ıkban vannak, tov´ abb´ a a t¨ ukr¨ ozés miatt v az x + x0 vektornak is és az y + y 0 vektornak is skal´ arszorosa.) 3. Legyen {u, v, w} bázisa a 3-dimenziós val´ os térnek, és rendelje a P line´ aris transzformáció minden x = αu + βv + γw helyvektorhoz az x0 = αu + βv vektort, (amit az x vektor u és v s´ıkj´ aba es˝o vet¨ uletének nevez¨ unk). (a) Határozza meg a P transzform´ aci´ o mátrix´ at el˝obb az {u, v, w}, majd az {u + w, v + w, u + v} b´ azisokban! (b) Számitsa ki a P n transzformáci´ o mátrix´ at az el˝obbi bázisokban (n = 2, . . . , 100)-ra! (c) Döntse el, hogy P reguláris, vagy szinguláris transzformáci´ o-e! 4. Legyen {u, v, w} a 3-dimenziós val´ os vektortér egy bázisa, és rendelje az A leképezés minden x = αu + βv + γw helyvektorhoz az x0 = (α + γ)u + (β + γ)v + γw vektort. (a) Mutassa meg, hogy A line´ aris transzformáci´ o! (b) Határozza meg a transzformáci´ o mátrix´ at el˝obb az {u, v, w}, majd az {u + v, v + w, w} bázisokban! ´ (c) Allap´ ıtsa meg, hogy létezik–e A-nak inverze!

76

2.5


M´ atrixok b´ azisfaktoriz´ aci´ oja

A numerikus alkalmazások, ´ıgy péld´ aul a lineáris egyenletrendszerek megoldásakor seg´ıtség¨ unkre lesz a mátrixok bázisfaktoriz´ aci´ oja. Legyen A ∈ Fm×n , azaz egy olyan m × n tipus´ u mátrix, amelynek elemei az F testb˝ol valók, és tételezz¨ uk fel, hogy A oszlopvektorainak rendszere r rang´ u, azaz oszlopvektorrendszere az Fm koordinátatérnek r-dimenziós alterét generálja. Ezt az alteret az A mátrix oszlopvektorterének nevezz¨ uk. Emlékezz¨ unk arra, hogy annak a lineáris leképezésnek, amely minden x ∈ Fn vektorhoz az Ax ∈ Fm vektort rendeli, a képtere éppen az A oszlopvektortere, és annak dimenziója az A mátrix ρ(A) rangja. Ha A oszlopvektorai köz¨ ul kiválasztunk egy r elem˝ u lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszert, akkor az, A oszlopvektorterének egy bázisa. Ezért az oszlopvektortér minden vektora, ´ıgy az A mátrix oszlopai is el˝o´ all´ıthat´ ok ezeknek a lineáris kombinációjaként. Jelölje az A oszlopait a1 , . . . , an és tegy¨ uk fel hogy ennek a vektorrendszernek a B = {ai1 , . . . , air } egy lineárisan f¨ uggetlen részrendszere. Akkor ez bázis A oszlopvektorterében, mert feltevés¨ unk szerint ρ(A) = r . Legyenek az aj (j = 1, . . . , n) oszlopvektoroknak az B b´ azisra vonatkoz´ o koordináta vektorai ujts¨ uk össze a B = {ai1 , . . . , air } bázis vektorait a B rendre ajB (j = 1, . . . , n). Gy˝ mátrixba, azaz legyen B = [ai1 , . . . , air ] atrixba, tehát legyen és az ajB (j = 1, . . . , n) koordináta vektorokat pedig a C m´ C = [a1B , . . . , anB ] . A B · C mátrix oszlopai Ba1B = a1 , . . . , BanB = an , hiszen, mint azt a mátrixok szorzás´ ara adott péld´ akn´ al láttuk, egy mátrixnak egy oszlopmátrixszal való szorzata, a mátrix oszlopainak olyan lineáris kombin´ aci´ oja, amelyben a skalár egy¨ utthatók, éppen az oszlopmátrix komponensei és az ajB oszlopvektor éppen az aj vektornak a B oszlopaira vonatkoz´ o koordinát´ ait tartalmazta minden j(= 1, . . . , n)-re. A mátrixok szorzás´ at illusztrál´ o péld´ ak köz¨ ott azt is láttuk, hogy két mátrix szorzatának i-edik oszlopa, a baloldali mátrixtényez˝ onek a jobboldali mátrixszorzó i-edik oszlopával val´ o szorzata. Mindezek figyelembevételével kapjuk, hogy az A mátrix a B és C m´ atrixok szorzata, tehát A = B · C.

(2.12)

Az A mátrix (2.12) egyenlet szerinti szorzatként val´ o el˝o´ all´ıt´ as´ at b´ azisfaktoriz´ aci´ onak h´ıvjuk. A 2.12 egyenl˝oségb˝ol az is következik, hogy az A m´ atrix minden sora a C m´ atrix sorainak lineáris kombinációja. Mivel a B tipusa m × r és a C tipusa pedig r × n, azonnal kapjuk, hogy A sorvektorai rendszerének legfeljebb r lehet a rangja. Vezess¨ uk be az A∗ jelölést arra az n×m tipus´ u mátrixra, amelyet az A mátrix sorainak és oszlopainak felcserélésével kapunk. Az A∗ m´ atrixot az A transzpon´ altj´ anak nevezz¨ uk. (A transzponált mátrix pontos bevezetésére a bilineáris f¨ uggvényekr˝ ol

´ ´ ´ OJA ´ 2.5. MATRIXOK BAZISFAKTORIZ ACI

77

szóló fejezetben ker¨ ul sor!) Az A∗ mátrix bázisfaktoriz´ aci´ oj´ at elemezve arra a következtetésre juthatunk, hogy az A∗ sorvektorrendszerének rangja nem lehet nagyobb oszlopvektorrendszerének rangján´ al. Nyilvánval´ o, hogy az A mátrix sorvektorai által generált vektortér — A sorvektorterének nevezz¨ uk — és az A∗ m´ atrix oszlopvektortere izomorfok. Ezeket az észrevételeket összegezve áll´ıthatjuk, hogy ´ ıt´ 2.5.1 All´ as. [M´ atrixok rangsz´ am tétele] Az A m´ atrix sorvektorrendszerének rangja egyenl˝ o oszlopvektorrendszerének rangj´ aval. Bemutatunk egy numerikus péld´ at annak illusztrál´ as´ ara, hogy elemi bázistranszformáció alkalmazásával, hogyan lehet egy adott mátrixot bázisfaktoriz´ alni. 7 P´ elda. B´ azisfaktoriz´ aljuk az    

A=

1 2 0 3 2 −1 1 2 1 7 −1 7 −1 −7 1 −7



1 3 0 0

   

m´ atrixot. Meg kell határoznunk az A m´ atrix oszlopvektorrendszerének rangját. Ezt az elemi bázistranszformáció módszerével végezz¨ uk. Az induló tábl´ aban az A oszlopait m a1 , a2 , a3 , a4 , és a5 jelölik, ezek megegyeznek az F tér E = {e1 , e2 , e3 , e4 } egységvektorai alkotta bázisra vonatkozó koordináta vektoraikkal. Ez a magyar´ azata annak, hogy az alábbi táblázatok fejlécében vastagon szedett bet˝ ukkel jelölt¨ uk azokat. a1

a2

a3

a4 a5

e1 1 2 0 3 e2 2 −1 1 2 e3 1 7 −1 7 e4 −1 −7 1 −7

a2

a3

a4

a5

a1 2 0 3 1 1 3 → e2 −5 1 −4 1 → 0 e3 5 −1 4 −1 0 e4 −5 1 −4 1 a2

a4 a5

a1 2 3 → a3 −5 −4 e3 0 0 0 0 e4

1 1 0 0

Amint az utolsó táblázatból láthat´ o, ρ(A) = 2, és az A mátrix els˝o és harmadik oszlopa bázis A oszlopvektorterében. Az is kiolvashat´ o a tábl´ azatb´ ol, hogy melyek a mátrix oszlopainak erre a bázisra vonatkoz´ o koordináta vektorai. Nyilván a1 = 1 · a1 + 0 · a3 és a3 = 0 · a1 + 1 · a3 , m´ıg a többi oszlop koordinátáit a tábl´ azatb´ ol olvasva a2 = 2 · a1 − 5 · a3 , a4 = 3 · a1 − 4 · a3

és a5 = 1 · a1 + 1 · a3 .

Ezek szerint az A bázisfaktorizáci´ oj´ anak tényez˝ oi    

B = [a1 , a3 ] = 

1 0 2 1 1 −1 −1 1

    

78


és

"

C=

1 2 0 3 1 0 −5 1 −4 1

# .

Annak ellen˝orzését, hogy valóban A = B · C bárki gyorsan elvégezheti.

2

3. Gyakorlatok, feladatok

1. Igazoljuk, hogy ha A = B · C, akkor ρ(A) ≤ min(ρ(B), ρ(C)) 2. Mutassuk meg, hogy ha A = B · C és B oszlopai lineárisan f¨ uggetlen rendszert alkotnak, akkor ρ(A) = ρ(C) és ha C sorai f¨ uggetlenek, akkor pedig ρ(A) = ρ(B). 3. Bizony´ıtsuk be, hogy ha A = B · C, akkor A∗ = C∗ · B∗ .

3. Fejezet

Alkalmaz´ asok Ebben a részben a vektorterek elméletének néh´ any nevezetes alkalmaz´ as´ aval ismerked¨ unk meg. Tárgyaljuk a lineáris egyenletrendszerek megoldhatós´ ag´ anak kérdéseit és az elemi bázistranszform´ aci´ ora támaszkodva megoldási algoritmust is adunk. Vizsgáljuk bizonyos tipus´ u mátrixegyenletek megoldhatós´ ag´ at is, és belátjuk, hogy ezek megoldása visszavezethet˝ o lineáris egyenletrendszerek megoldására. Ezt követ˝oen ismertet¨ unk egy módszert mátrixok inverzének viszonylag gyors meghatározására.

3.1

Line´ aris egyenletrendszerek

Egy m egyenletb˝ol álló n ismeretlenes lineáris egyenletrendszer által´ anos alakja: α11 ξ1 + α12 ξ2 + · · · + α1n ξn = β1 α21 ξ1 + α22 ξ2 + · · · + α2n ξn = β2 .. .. .. .. .. . . . . . αm1 ξ1 + αm2 ξ2 + · · · + αmn ξn = βm ahol az ξi -k az ismeretlenek, m´ıg az αij egy¨ utthat´ ok és az egyenletek jobboladalán álló βi konstansok adott, valamely számtestb˝ ol val´ o skal´ arok. A lineáris egyenletrendszert inhomogénnek nevezz¨ uk, ha a jobboldalon szerepl˝o skal´ arok köz¨ ott van nemzéró, m´ıg ellenkez˝o esetben, ha az egyenletek jobboldalán lév˝ o skal´ arok mindegyike nulla, akkor az egyenletrendszert homogénnek mondjuk. Természetesen a legtöbb esetben gyakorlati problém´ ak modellezésekor fellép˝ o lineáris egyenletrendszerek esetében ezek a skalárok val´ os számok, de a megoldás módszerét illet˝oen ez nem jelent k¨ ulönösebb könnyebbséget, hacsak azt nem vessz¨ uk figyelembe, hogy a valós számokkal való számolásban nagyobb gyakorlatunk van. Mindenesetre mi ezen skalárok testét F-fel fogjuk jelölni, hangs´ ulyozand´ o, hogy az bármely test lehet. Az egyes ismeretlenek egy¨ utthat´ oit és a jobboldali konstansokat oszlopokba rendezve a    ξ1   

α11 α21 .. . αm1





     + ξ2     

α12 α22 .. . αm2





     + · · · ξn     

79

α1n α2n .. . αmn





    =    

β1 β2 .. . βm

     

´ 3. FEJEZET ALKALMAZASOK

80 vektoregyenletet kapjuk, ami az   

a1 =   

α11 α21 .. . αm1





     , a2 =     

α12 α22 .. . αm2





     , . . . , an =     

α1n α2n .. . αmn





    

és b =  

  

β1 β2 .. . βn

     

jelölések bevezetése után, egyszer˝ uen ξ1 a1 + ξ2 a2 + · · · + ξn an = b formát ölt. Ha még az a1 , a2 , . . . , an oszlopokat az A mátrixba gy˝ ujtj¨ uk össze, és az ismeretleneket pedig az x oszlopba, tehát az 

A = [a1 , a2 , . . . , an ]

és

 

x=  

ξ1 ξ2 .. . ξn

     

jelölések bevezetése után, az egyenletrendszer röviden (1)

Ax = b

alakban ´ırható fel. Az egyenletrendszerek megoldhatós´ ag´ anak kritériuma többféleképpen is megfogalmazható: (a) Mivel az A · x szorzat egy olyan oszlopvektor, ami az A mátrix oszlopainak az x vektor komponenseivel képzett lineáris kombin´ aci´ oja, az (1) egyenletrendszer pontosan akkor oldható meg, ha a b vektor az A oszlopainak lineáris kombin´ aci´ oja. Tekintve, hogy az A mátrix a1 , . . . , an oszlopai és a b vektor is az Fm koordinátatérnek a vektorai, azt is mondhatjuk, hogy az (1) egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha b ∈ lin (a1 , . . . , an ) , amit u ´gy mondtunk, hogy b kompatibilis az {a1 , . . . , an } vektorrendszerre nézve. (b) Az egyenletrendszerek megoldhatós´ ag´ anak már klasszikusnak mondható Kronecker–Capelli–féle kritériuma ´ıgy szól: Az (1) egyenletrendszer megoldhatós´ ag´ anak sz¨ ukséges és elegend˝o feltétele, hogy ρ(A) = ρ([A, b]) teljes¨ uljön, ahol az [A, b] b˝ov´ıtett mátrixot u ´gy kapjuk, hogy az A oszlopai mellé, még a b oszlopot is hozzávessz¨ uk a mátrixhoz. Annak az oka, hogy a lineáris egyenletrendszerek tárgyal´ as´ at nem részletezt¨ uk a kompatibilitási vizsgálatokhoz kapcsoltan, az, hogy szeretnénk kihasználni a megoldási algoritmus konstruálásakor azt a tényt, hogy az x → A · x hozzárendelés az Fn vektort´ ernek az Fm vektortérbe val´ o A line´ aris leképezése. Az Fn térben véve m azist, (ahol ei , az E = {e1 , . . . , en } bázist, m´ıg az F -ben az E 0 = {e01 , . . . , e0m } b´ 0 (ej ) az az n komponens˝ u (m komponens˝ u) egységvektor, amelynek i-edik (j-edik) komponense 1) az A lineáris leképezés mátrixa e bázisp´ arra vonatkoz´ oan éppen A, ami azt jelenti, hogy az ei ∈ E (i = 1, . . . , n) vektor A(ei ) képe éppen ai . Az (1) egyenletrendszer megoldhatós´ ag´ anak sz¨ ukséges és elegend˝o feltétele tehát ´ıgy is megfogalmazható:

´ 3.1. LINEARIS EGYENLETRENDSZEREK

81

(c) Az (1) egyenletrendszer pontosan akkor oldható meg, ha az x → A · x hozzárendelési szabály által adott A line´ aris leképezés képtere tartalmazza a b ∈ Fm vektort. Az E és E 0 bázisok abból a szempontb´ ol nagyon jónak mondhatók, hogy minn m den F -beli, illetve F -beli vektor komponensei és e bázisokra vonatkoz´ o koordinát´ ai egyenl˝ok, de ahhoz, hogy könnyen eldönthet˝ o legyen az (1) egyenletrendszer megoldhatóságának kérdése, szerencsésebb olyan bázisp´ art választani, amelyre vonatkoz´ o koordináta vektorok ismeretében azonnal megmondható, hogy a b vektor benne vane a leképezés képterében, és ha igen, melyek azok az Fn -beli vektorok, amelyeknek a képe b. Ha a b vektornak meghatározzuk a koordináta vektor´ at az Fm tér egy olyan bázisában, amely tartalmazza a leképezés képterének egy bázis´ at, akkor abból azonnal kiolvasható, hogy b eleme-e a képtérnek, nevezetesen pontosan akkor eleme, ha csak a képtér bázisát alkotó vektorokra vonatkoz´ o koordinát´ ai k¨ ul¨ onb¨ oznek zér´ ot´ ol, de minden más koordinátája nulla. Ha a leképezés képterének bázisvektorait az A mátrix oszlopai köz¨ ul választjuk, — ez mindig lehetséges, mert A oszlopai generálj´ ak m a képteret — véve, mondjuk az ai1 , . . . , air vektorokat, és ezt egész´ıtj¨ uk ki az F tér bázisává, akkor ahhoz, hogy b benne lehessen a képtérben, e bázisra vonatkoz´ o koordináta vektorának csak az ai1 , . . . , air vektorokra vonatkoz´ o elemei lehetnek null´ at´ ol k¨ ulönböz˝oek, minden más koordináta 0 kell legyen. Ha történetesen b = δi1 ai1 + · · · + δir air , akkor azt is azonnal kapjuk, hogy az x0 = δi1 ei1 + · · · + δir eir ∈ Fn vektor A(x0 ) = δi1 A(ei1 ) + · · · + δir A(eir ) képe b, tehát az x0 vektor egy megoldása (1)–nek. Persze ha x egy tetsz˝oleges eleme az A leképezés ker (A) magterének, akkor az A(x + x0 ) = A(x) + A(x0 ) = 0 + b = b , mutatva, hogy az x + x0 vektor is megoldása az (1) egyenletrendszernek, s˝ot minden megoldás megkapható ilyen összeg alakban. Ezt az alábbi tételben be is bizony´ıtjuk. 3.1.1 T´ etel. Legyen A ∈ Fm×n tetsz˝ oleges m´ atrix és b ∈ Fm tetsz˝ oleges vektor. Az A · x = b inhomogén line´ aris egyenletrendszer minden megold´ asa megkaphat´ o egy x0 megold´ as´ anak és az A · x = 0 homogén line´ aris egyenletrendszer valamely megold´ as´ anak ¨ osszegeként. Bizony´ıt´ as. Ha x0 tetsz˝oleges megoldása az inhomogén egyenletrendszernek, akkor A · x0 = A · x0 = b , amib˝ol A · (x0 − x0 ) = A · x0 − A · x0 = b − b = 0 , tehát x0 − x0 a homogén egyenletrendszer megoldása, és nyilv´ an x0 = x0 + (x0 − x0 ), amint áll´ıtottuk. 2 A fenti tétel mutatja, hogy a homogén lineáris egyenletrendszerek összes megoldásának meghatározása kulcsfontosság´ u a lineáris egyenletrendszerek megoldásainak keresésekor.


82

3.1.1

Homog´ en line´ aris egyenletrendszerek megold´ asa

Az A · x = 0 homogén lineáris egyenletrendszert megoldani annyit jelent, mint meghatározni azon A ∈ L(Fn , Fm ) lineáris leképezés magterét, amelyet az x → A · x hozzárendelési szabály definiál. Mivel egy lineáris leképezés magtere altér, tehát legalább a nullvektort tartalmazza, a homogén lineáris egyenletrendszereknek mindig van megoldása, és megold´ ashalmaza altere Fn -nek. Ennek az altérnek a meghatározásához felhasználjuk az A m´ atrix bázisfaktoriz´ aci´ oj´ at. Felbontva az A mátrixot a bázisfaktorizációnak megfelel˝oen B · C szorzatra, az A·x=B·C·x=0 alakhoz jutunk, ahol a B mátrix oszlopai az A leképezés képterének bázisa. Ennélfogva a B · C · x = 0 akkor és csak akkor teljes¨ ul, ha C · x = 0 . Ha ρ(A) = r, és történetesen az A mátrix a1 , . . . , ar oszlopai f¨ uggetlen rendszert alkotnak, akkor ezek a vektorok alkothatják im (A) bázis´ at. Így B = [a1 , . . . , ar ] m × r tipus´ u mátrix és C pedig, tekintettel arra, hogy oszlopai, az A m´ atrix oszlopainak a koordináta vektorai az {a1 , . . . , ar } bázisban, r × n tipus´ u és els˝o, második, . . . , r-edik oszlopa rendre az e1 , . . . , er r komponens˝ u egységvektor, azaz C = [E, D] alak´ u. Persze azt kérdezheti az olvasó, hogy mi biztos´ıtja, hogy az A mátrixnak éppen az els˝o r oszlopa lineárisan f¨ uggetlen. A válasz az, hogy semmi, de az egyenletrendszer ismeretlenjeinek átindexelésével, ami az A oszlopainak cseréjével jár egy¨ utt, ez mindig elérhet˝o, ´ıgy feltevés¨ unk valójában nem csorb´ıtja az által´ anoss´ agot, ugyanakkor nagy seg´ıtség¨ unkre van a formalizálásban. Ha a C mátrix particionál´ as´ anak megfelel˝oen az ismeretleneket tartalmazó x vektort is az 





ξ1  .   x1 =   .. 



ξr+1  .   x2 =   .. 

és

ξr

ξn

vektorokra bontjuk, akkor a "

C · x = [E, D] ·

x1 x2

#

= x1 + D · x2 = 0

alakhoz jutunk, amib˝ol kiolvashatjuk, hogy egy x vektor akkor és csak akkor lesz megoldása az A·x = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek, ha komponensei köz¨ ott fennáll az (∗)

x1 = −Dx2

kapcsolat, ahol az x1 vektorba gy˝ ujt¨ ott¨ uk össze az A m´ atrix oszlopvektorterének bázisát alkotó oszlopaihoz tartozó ismeretleneket, amelyeket k¨ ot¨ ott ismeretleneknek nevez¨ unk, m´ıg a többi ismeretlen alkotja az x2 vektor komponenseit. A D m´ atrix oszlopai az A mátrix azon oszlopainak koordináta vektorai, amelyek nincsenek az oszlopvektortér választott bázisában. Ha az x2 komponenseinek tetsz˝olegesen adunk értékeket, és az x1 vektort a (*) feltételt kielég´ıtend˝ o −D · x2 -vel tessz¨ uk egyenl˝ ové, akkor az ´ıgy kapott " # " # x1 −D · x2 x= = x2 x2


83

vektor az A·x = 0 egyenletrendszer megoldása lesz. Ezért az x2 komponenseit alkot´ o ismeretleneket szabad ismeretleneknek h´ıvjuk. A szabad ismeretlenek s szám´ at az egyenletrendszer szabads´ ag fok´ anak nevezz¨ uk. Sokszor célszer˝ u a megoldáshalmazt "

−D E

#

·t

(t ∈ Fs )

alakban megadni, ahol E s×s tipus´ u egységm´ atrix. Ezt az alakot a homogén lineáris egyenletrendszer ´ altal´ anos megold´ as´ anak is mondjuk, m´ıg a megoldáshalmaz egyes vektorait partikul´ aris megold´ asoknak nevezz¨ uk. Az által´ anos megoldásként eml´ıtett alakból kider¨ ul, hogy a " # −D E mátrix oszlopai az egyenletrendszerhez tartozó A lineáris leképezés ker (A) magterének bázisvektorai. A (2.1.6) tétel alapján nyilv´ anval´ o, hogy az egyenletrendszer szabadságfoka: s = n − ρ(A). Ebb˝ol azonnal adódik: 3.1.2 K¨ ovetkezm´ eny. Az A · x = 0 (A ∈ Fm×n ) homogén line´ aris egyenletrendszernek pontosan akkor van nemzér´ o megold´ asa, ha A rangja kisebb, mint n, azaz, ha az egy¨ utthat´ ok m´ atrix´ anak oszlopai line´ arisan ¨ osszef¨ ugg˝ o rendszert alkotnak. Ha ρ(A) = n, teh´ at ha A oszlopai line´ arisan f¨ uggetlen rendszert alkotnak, akkor pedig a nullvektor az egyetlen megold´ as. 1 P´ elda. Hat´ arozzuk meg a ξ1 2ξ1 + ξ2 −ξ1 + 2ξ2 ξ1 − ξ2

+ ξ3 + 2ξ4 + 4ξ3 + 6ξ4 + 3ξ3 + 2ξ4 − ξ3

= = = =

0 0 0 0

homogén line´ aris egyenletrendszer megold´ ashalmaz´ at és az(oka)t a partikul´ aris megold´ as(oka)t, ahol a ξ3 = 2 . Az egyenletrendszer egy¨ utthat´ o mátrixa    

A=

1 0 1 2 1 4 −1 2 3 1 −1 −1

2 6 2 0

    

El˝oször meg kell határoznunk az A oszlopvektorterének egy bázis´ at és az A oszlopainak e bázisra vonatkozó koordináta vektorait. Ezt elemi bázistranszform´ acióval végezhetj¨ uk. Az alábbi tábl´ azatban az A mátrix oszlopait a megfelel˝o ismeretlenekkel fejlécezt¨ uk, ami lineáris egyenletrendszerek megoldásakor azért el˝onyös, mert a táblázatból kiolvashat´ o lesz, hogy melyek a köt¨ ott ismeretlenek, m´ıg az eredeti bázis vektorai az R4 val´ os koordinátatér e1 , . . . , e4 egységvektorai. ξ1

ξ2

ξ3 ξ4

e1 1 0 1 e2 2 1 4 e3 −1 2 3 e4 1 −1 −1

ξ2

ξ3

ξ4

ξ1 0 1 2 ξ1 2 6 → e2 1 2 2 → ξ2 e3 2 e3 2 4 4 e4 0 e4 −1 −2 −2

ξ3 ξ4 1 2 0 0

2 2 0 0


84

Az utolsó táblázatból kiolvashat´ o, hogy ρ(A) = 2, ´ıgy a szabadságfok is 2(= 4 − 2), továbbá, hogy az A mátrix    

a1 = 

1 2 −1 1





   

  

és

a2 = 

0 1 2 −1

    

oszlopvektorai bázist alkotnak az A oszlopvektorterében, ezért a nekik megfelel˝o ξ1 és ξ2 ismeretlenek lesznek a kötött ismeretlenek és a ξ3 , ξ4 ismeretlenek pedig a szabad ismeretlenek. Az is látható, hogy az A a3 és a4 oszlopainak a választott bázisra vonatkozó koordináta vektorai az "

a3 =

1 2

#

"

és

a4 =

2 2

#

és ´ıgy az A bázisfaktorizációja a választott bázis mellett    A= 

1 0 2 1 −1 2 1 −1

   · 

"

1 0 1 2 0 1 2 2

#

Ennek megfelel˝oen a kötött és szabad ismeretlenek köz¨ ott fenn kell álljon a "

ξ1 ξ2

#

"

=−

1 2 2 2

# "

·

ξ3 ξ4

#

kapcsolat. Ennek alapján most már az által´ anos megoldás:    

x=

ξ1 ξ2 ξ3 ξ4





    =  



−1 −2 −2 −2    · t ahol t ∈ R2 1 0  0 1

Azokat a partikuláris megoldásokat kell még megadnunk, ahol a ξ3 = 2 . Ebb˝ol a szempontból, mint látható, kör¨ ultekint˝ oen választottuk A oszlopvektorterének bázisát, a ξ3 ismeretlent szabad ismeretlennek hagytuk (a neki megfelel˝o a3 vektort nem választottuk bázisvektornak), ´ıgy most az által´ anos megoldás felhasznál´ as´ aval ezeket a partikuláris megoldásokat gyorsan megkaphatjuk, ha a t vektor els˝o koordinát´ ajaként 2-t választunk, m´ıg a második koordináta tov´ abbra is tetsz˝oleges val´ os szám. Tehát a keresett partikuláris megoldások:    

x=

ξ1 ξ2 ξ3 ξ4





    =  

−2 − 2α −4 − 2α 2 α

    

(α ∈ R) .

2


3.1.2

85

Inhomog´ en line´ aris egyenletrendszerek megold´ asa

Az A · x = b inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásait a (3.1.1) tétel értelmében megkaphatjuk, ha meghatározzuk egy megoldás´ at és ahhoz rendre hozzáadjuk az A · x = 0 homogén lineáris egyenletrendszer megoldásait. Minthogy a homogén egyenletrendszer megoldási algoritmusa már adott, csupán azt kell még tisztáznunk, hogy hogyan lehetne az inhomogén egyenletrendszer egyetlen megoldását megkonstruálni. Mint azt már tudjuk ilyen megoldás pontosan akkor létezik, ha b benne van az A mátrix oszlopvektorterében. Ha A bázisfaktoriz´ aci´ oja A = B · C, éppen a B oszlopai alkotják az A oszlopvektorterének egy bázis´ at, következésképpen, ha van megoldása az inhomogén egyenletrendszernek, akkor b a B m´ atrix oszlopainak lineáris kombinációja. Jelölje b a b vektor az oszlopvektortér e bázis´ ara vonatkoz´ o koordináta vektorát, akkor Bb = b és az egyenletrendszer (∗∗)

A · x = B · C · x = b = Bb

alakot ölt. Tekintve, hogy A oszlopvektorterének minden vektora egyértelm˝ uen áll´ıtható el˝o bázisvektorainak, eset¨ unkben a B oszlopainak, lineáris kombin´ aci´ ojaként a (**) akkor és csak akkor teljes¨ ulhet, ha C · x = b. A könnyebb formalizálhatóság kedvéért megint feltéve, hogy az A m´ atrix els˝o r(= ρ(A)) oszlopa alkotja az A oszlopvektorterének a bázis´ at (ezek az oszlopok alkotj´ ak a B mátrixot), kapjuk, hogy C = [E, D] és ennek megfelel˝oen felbontva az x vektort az x1 kötött ismeretleneket tartalmazó és az x2 szabad ismeretleneket tartalmazó vektorokra az # " x1 = x1 + D · x2 = b [E, D] · x2 egyenletet kapjuk. Ebben az egyenletben x1 és b r komponens˝ u, m´ıg x2 s(= n − r) komponens˝ u vektor, és az egyenletet nyilv´ anval´ oan kielég´ıti az x1 = b és x2 = 0 részekb˝ol összerakott # " b x= 0 vektor. Ez tehát egy megoldása az inhomogén egyenletrendszernek, amit b´ azismegold´ asnak nevez¨ unk. Ezekután az inhomogén egyenletrendszer által´ anos megoldása már könnyen kapható, a bázismegold´ as és a homogén egyenletrendszer által´ anos megoldásának összegeként: "

x=

b 0

#

"

+

−D E

#

· t ahol t ∈ Fs

A k¨ ulönböz˝o partikuláris megoldások persze most is u ´gy kaphat´ ok, hogy a t paraméter vektornak konkrét értéket adunk. Speciálisan t = 0 v´ alaszt´ assal adódik a már eml´ıtett bázismegoldás. Természetesen az inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldásakor a bázismegold´ as és a homogén egyenletrendszer által´ anos megoldásának el˝oáll´ıtása egyidej˝ uleg történik, az A oszlopvektortere bázis´ anak


86

meghatározásakor a b vektorról azt is eldönthetj¨ uk, hogy el˝o´ all´ıthat´ o–e a bázisvektorok lineáris kombinációjaként (van–e megoldás), és ha igen, akkor megkaphatjuk e bázisra vonatkozó b koordináta vektor´ at is. A Következ˝o példa bemutatja a fentiekben le´ırt megoldási algoritmus m˝ uk¨ odését a gyakorlatban. 2 P´ elda. Hat´ arozzuk meg az al´ abbi d´ ashalmaz´ at: ξ1 + 2ξ1 + ξ2 + 2ξ1 + 2ξ2 + − ξ2 −

inhomogén line´ aris egyenletrendszer megol2ξ3 − ξ4 5ξ3 6ξ3 + 2ξ4 ξ3 − 2ξ4

= 2 = 6 = 8 = −2

A megoldás csak annyiban tér el a megfelel˝o homogén lineáris egyenletrendszer megoldásától, hogy az elemi bázistranszform´ aci´ os tábl´ azatban követn¨ unk kell az egyenletrendszer jobboldalán szerepl˝o konstansokb´ ol felép´ıtett b vektor koordináta vektorának változását is a bázis megváltoztat´ asakor, ugyanis sz¨ ukség¨ unk van az egy¨ utthatómátrix oszlopvektortere bázis´ ara vonatkoz´ o koordináta vektor´ ara, hogy az inhomogén egyenletrendszer bázismegold´ as´ at meghatározzuk. Az induló tábl´ aban az eredeti bázis az R4 valós kordin´ atatér egységvektorai alkotta bázis. ξ1 e1 e2 e3 e4

ξ2

ξ3

ξ4

b

ξ2

ξ3

ξ4

b

ξ1 0 2 −1 2 1 0 2 −1 2 2 1 5 0 6 → e2 1 1 2 2 → 2 2 6 2 8 e3 2 2 4 4 0 −1 −1 −2 −2 e4 −1 −1 −2 −2 ξ2

ξ4

b

ξ1 −2 −5 −2 ξ3 1 2 2 e3 0 0 0 e4 0 0 0 Az utolsó táblázat mutatja, hogy A oszlopvektorterének egy bázis´ at alkotj´ ak az A a1 és a3 oszlopai, és mivel a b vektor kifejezhet˝o ezek lineáris kombin´ aci´ ojaként, az egyenletrendszernek van megoldása. Az {a1 , a3 } b´ azisban a b vektor koordináta vektora: b = [−2, 2]∗ . Tekintettel arra, hogy most az A mátrixnak nem az els˝o két oszlopát választottuk az oszlopvektortér bázis´ anak (tehett¨ uk volna, csak szeretnénk bemutatni, hogy ilyen esetben hogyan ´ırhat´ ok fel az egyenletrendszer megoldásai), a b vektor és a kiegész´ıt˝ o nullvektor komponensei permut´ al´ odnak. Egyenletrendszer¨ unk szabadságfoka 2, a ξ2 és ξ4 ismeretlenek szabad ismeretlenek. A bázismegoldás és a megfelel˝o homogén lineáris egyenletrendszer által´ anos megoldása:    

x0 = 

−2 0 2 0

    



és

  

xh = 

2 5 1 0 −1 −2 0 1

    · t ahol t ∈ R2 


87

Így most már az inhomogén lineáris egyenletrendszer által´ anos megodása:    

x=

ξ1 ξ2 ξ3 ξ4





    =  



−2 0 2 0



    +  

2 5 1 0 −1 −2 0 1

    · t ahol t ∈ R2 

Fel kell h´ıvjuk az olvasó figyelmét arra is, hogy a megfelel˝o homogén lineáris egyenletrendszer megoldása is t¨ ukr¨ ozi azt a tényt, hogy az els˝o és harmadik ismeretlen a kötött– m´ıg a második és negyedik a szabad ismeretlen. 2 Az alábbi példában egy olyan inhomogén lineáris egyenletrendszert oldunk meg, amelyben az egy¨ utthatók mátrixa paramétert tartalmaz. Megvizsgáljuk, hogy a paraméter milyen értékei mellett van megoldás, illetve, hogy a paraméter értékének változtatásával hogyan változik az egyenletrendszer szabadságfoka. 3 P´ elda. Vizsg´ aljuk meg, hogy az α paraméter milyen értékei mellett van megold´ asa az al´ abbi line´ aris egyenletrendszernek, és ha van megold´ as, mennyi a szabads´ agfok. ξ1 + αξ2 + ξ3 = 1 ξ1 + ξ2 + αξ3 = 1 αξ1 + ξ2 + ξ3 = 1 Az induló táblázat: ξ1 ξ2 ξ3 e1 e2 e3

1 1 α

α 1 1

b

ξ2

ξ1 1 1 → α 1 e2 1 1 e3

ξ3

b

α 1 1 1−α α−1 0 1 − α2 1 − α 1 − α

Mint az látható, nem választhat´ o olyan generál´ o elem, amely ne lenne α polinomja. Mivel α = 1 esetén táblázatunk: ξ2 ξ3 ξ1 e2 e3

1 0 0

b

1 1 0 0 0 0

abból kiolvashatjuk, hogy α = 1 estén van megoldás, a szabadságfok 2 és az által´ anos megoldás:       ξ1 1 −1 −1       0  · t ahol t ∈ R2 x =  ξ2  =  0  +  1 ξ3 0 0 1 Ha α 6= 1 akkor az egy¨ utthatóm´ atrix második oszlopa f¨ uggetlen az els˝ot˝ ol, bevonható az oszlopvektortér bázisába. Az u ´j bázisra vonatkoz´ o koordináta vektorok pedig az alábbi táblázatban láthatók: ξ3 b ξ1 ξ2 e3

1+α −1 2 − α − α2

1 0 1−α


88

Az egy¨ utthatómátrix harmadik oszlopa csak akkor f¨ uggetlen az els˝o kett˝ ot˝ ol, ha 2−α−α2 = (1−α)(2+α) 6= 0 , amib˝ ol láthat´ o hogy meg kell vizsgálnunk az α = −2 esetet. Ebben az esetben a tábl´ azat: ξ3

b

ξ1 −1 1 ξ2 −1 0 e3 0 3 mutatja, hogy a b vektor nincs benne az egy¨ utthat´ ok mátrix´ anak oszlopvektorterében, tehát nincs megoldása az egyenletrendszernek. Ha α mind 1-t˝ol, mind −2-t˝ol k¨ ulönböz˝o, akkor az egy¨ utthat´ ok mátrix´ anak oszlopvektortere megegyezik az R3 koordin´ atatérrel és ´ıgy a szabadságfok 0, tehát egyetlen megoldás létezik, amelyet a harmadik oszlop bázisba vonása után ki is olvashatunk a b ξ1 ξ2 ξ3 táblázatból: x =

3.2

1 2+α 1 2+α 1 2+α

1 ∗ 2+α [1, 1, 1] .

2

M´ atrixegyenletek∗

Ha V , W és Z az F test feletti m , n és p-dimenziós vektorterek, tov´ abb´ a B ∈ L(V, Z) és A ∈ L(W, Z) lineáris leképezések, felvethet˝ o a kérdés, hogy létezik–e olyan X ∈ L(V, W ) lineáris leképezés, hogy A · X = B teljes¨ ul. A válasz könnyen megsejthet˝o, nevezetesen, hogy amennyiben a B leképezés im (B) képtere altere az A leképezés im (A) képterének, akkor létezik ilyen X leképezés. Ha ismert az A leképezés A ∈ Fp×n ´ es a B leképezés B ∈ Fp×m mátrixa, akkor el˝oz˝ o kérdés¨ unk a mátrixaritmetika nyelvére leford´ıtva ´ıgy hangzik: Milyen feltételek mellett oldható meg az A·X=B

(3.1)

mátrixegyenlet? A mátrixok szorzási szabály´ at ismerve, világos, hogy csak n × m tipus´ u X mátrix elég´ıtheti ki a (3.1) egyenletet. Jelölj¨ uk az ismeretlen X mátrix oszlopait x1 , x2 , . . . , xm -mel, és a B oszlopait pedig b1 , b2 , . . . , bm -mel. Akkor kihasználva, hogy az A · X mátrix oszlopai rendre A · x1 , A · x2 , . . . , A · xm , kapjuk, hogy a (3.1) egyenlet ekvivalens az A · x1 = b1 , A · x2 = b2 , . . . , A · xm = bm lineáris egyenletrendszerek rendszerével. Ezeknek az egyenletrendszereknek mindegyike pontosan akkor oldható meg, ha a B minden oszlopa benne van az A m´ atrix oszlopvektorterében, azaz, ha a B m´ atrix oszlopvektortere altere az A oszlopvektorterének. Ez éppen fenti sejtés¨ unk mátrixaritmetikai megfelel˝oje.

∗ ´ 3.2. MATRIXEGYENLETEK

89

A fenti egyenletrendszerek egy¨ utthat´ om´ atrixa köz¨ os. Ez lehet˝ové teszi, hogy azokat egyszerre oldjuk meg. Ezt k´ıvánja illusztrálni az alábbi példa: 4 P´ elda. Oldjuk meg az 







1 0 1 −1 1 2     2 ·X= 2 0   −1 1 0 1 2 3 1 7 6 m´ atrixegyenletet! Két inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásai adják az X m´ atrix els˝o és második oszlopát. Megoldásukat elemi bázistranszform´ aci´ os módszerrel végezt¨ uk: a1 a2 a3 e1 1 e2 −1 e3 1

0 1 2

a4 b1 b2

1 −1 0 2 3 1

a2 a3

a1 2 → 0 e2 e3 6

1 2 7 a3 a1 a2 e3

0 1 2

a4 b1 b2

1 −1 1 1 2 2

1 3 6

2 → 2 4

a4 b1 b2

1 −1 1 1 0 0

1 3 0

2 2 0

Az utolsó táblázatból kiolvashatjuk a A · x1 = b1 és A · x2 = b2 egyenletrendszerek általános megoldásait:    

x1 = 

és

   

x2 = 

ξ11 ξ21 ξ31 ξ41 ξ12 ξ22 ξ32 ξ42





    =  





    =  

1 3 0 0 2 2 0 0





    +  





    +  



−1 1 −1 −1    · t1 1 0  0 1 

−1 1 −1 −1    · t2 , 1 0  0 1

ahol t1 , t2 tetsz˝olegesen választhat´ o kétkomponens˝ u vektorok. mátrixegyenlet általános megoldása:    

X=

ξ11 ξ21 ξ31 ξ41

ξ12 ξ22 ξ32 ξ42





    =  

1 3 0 0

2 2 0 0





    +  

Ezek alapján a



−1 1 −1 −1    · T ahol T = [t1 , t2 ] ∈ R2×2 1 0  0 1

Végtelen sok megoldás létezik, mert a megfelel˝o egyenletrendszerek szabadságfoka 2. A 2 × 2-es T mátrix elemei tetsz˝olegesen választhat´ ok. 2


90

3.3

M´ atrix inverz´ enek numerikus meghat´ aroz´ asa

A transzformációk inverzér˝ol szól´ o alpontban láttuk, hogy ha a V véges dimenziós vektortér egy A reguláris transzformáci´ oj´ anak mátrixa valamely bázisban A, akkor −1 −1 A inverzének A mátrixa kielég´ıti az A · A−1 = E mátrixegyenletet, s˝ot egy példán be is mutattuk, hogy az inverz transzformáci´ o mátrixát hogyan lehet numerikusan meghatározni. Ezért ebben a részben csak arra k´ıvánunk rámutatni, hogy a numerikus szám´ıt´ asok lerövid´ıthet˝ ok. Amint láttuk, ha A a V tér egy X = {x1 , . . . , xn } b´ azis´ at egy másik Y = {y1 , . . . , yn } bázisba transzformálja, akkor A és A−1 mátrixa az X bázisban ugyanaz, mint az Y b´ azisban. Másrészt, AX oszlopai éppen az y1 , . . . , yn vektorok koordináta vektorai az X bázisban, m´ıg A−1 azisra vonatkoz´ o koordináta Y oszlopai az x1 , . . . , xn vektorok Y b´ vektorai. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy a AX m´ atrix inverzének meghatároz´ asa nem más, mint az X bázis kicserélése az Y bázisra és az eredeti bázisvektorok u ´j bázisra vonatkozó koordináta vektorainak kiszám´ıt´ asa. Amint azt az elemi bázistranszformáció tárgyalásakor láttuk, ha az y = ψ1 x1 + · · · + ψi−1 xi−1 + ψi xi + ψi+1 xi+1 + · · · + ψn xn vektort az xi vektor helyére a bázisba vonjuk, (ezt megtehetj¨ uk, ha a ψi gener´ al´ o elem nem nulla) akkor xi = −

ψi−1 1 ψi+1 ψn ψ1 x1 − · · · − − xi−1 + y − xi+1 − · · · − xn ψi ψi ψi ψi ψi

lesz, azaz a bázisból elhagyott xi vektor koordinát´ ai a bázisba bevont y vektor eredeti koordinátáiból könnyen kiszám´ıthat´ ok; az u ´j, y bázisvektorra vonatkoz´ o koordináta a generáló elem reciproka, m´ıg minden más xj (j 6= i) bázisvektorra vonatkoz´ o koordináta az y megfelel˝o koordinát´ aj´ anak ellentettje és a generál´ o elem reciprokának a szorzata. Az alábbi táblákon jól nyomon követhet˝ o a szavakkal nehezen megfogalmazható változás: xi y x1 .. .

xi−1 ψi−1 xi

ψi

xi+1 ψi+1 .. .. . . xn

x1 .. .

ψ1 .. .

ψn

−→

− ψψ1i .. .

xi−1 − ψψi−1 i y

1 ψi

xi+1 − ψψi+1 i .. .. . . xn

A következ˝o példában bemutatjuk egy meghatározását az elmondottak felhasznál´ as´ aval.

− ψψni reguláris

mátrix

inverzének

´ ´ ´ ´ 3.3. MATRIX INVERZENEK NUMERIKUS MEGHATAROZ ASA

91

5 P´ elda. Hat´ arozzuk meg az 



1 0 1   A =  −1 1 0  1 2 4 m´ atrix inverzét! Jelöljék az x1 , x2 , x3 vektorok az eredeti bázisvektorokat és legyenek y1 = x1 − x2 + x3 , y2 = x2 + 2x3 , y1 = x1 + 4x3 . Akkor A annak az A lineáris transzformáci´ onak a mátrixa, amelyre A(xi ) = yi (i = 1, 2, 3). Elemi bázistranszform´ aci´ ok sorozatával áttér¨ unk az {x1 , x2 , x3 } bázisról az {y1 , y2 , y3 } bázisra és kiszám´ıtjuk a bázisb´ ol kihagyott vektorok u ´j bázisra vonatkozó koordináta vektorait: y1 y2 y3 x1 1 x2 −1 x3 1

0 1 2

x1

y1 1 1 → 0 x2 1 4 x3 −1 x1

y2 y3 0 1 2 x2

x1

x2

1 y1 1 0 → y2 1 1 1 3 x3 −3 −2

y3 1 → 1 1

x3

y1 4 2 −1 y2 4 3 −1 y3 −3 −2 1 Az utolsó táblázat már az A−1 mátrixot tartalmazza. 2 Meg kell jegyezn¨ unk, hogy a bázisvektorok sorrendje lényeges, ezért ha az elemi transzformációk során valamelyik xi vektort nem az A(xi ) = yi vektorral cserélj¨ uk ki, akkor a teljes báziscsere után, sor– és oszlopcserékkel helyre kell áll´ıtanunk a bázisvektorok eredeti sorrendjét. Erre is mutatunk egy péld´ at. 6 P´ elda. Invert´ aljuk az





0 −1 1   0 1  A= 1 1 1 0 m´ atrixot. y1 x1 x2 x3

y2 y3

0 −1 1 0 1 1

x2

1 x1 0 → 1 y1 1 1 x3 −1

y2 y3 -1 0 1

x2

x1

y3

y2 0 −1 −1 1 → → y 1 0 1 1 1 0 x3 −1 1 1


92 x2

x1

x3

y2 −1 0 1 y1 2 −1 −1 y3 −1 1 1 Az els˝o két sor és els˝o két oszlop cseréje után kapjuk az A mátrix inverzét: 

A−1



−1 2 −1   1  =  0 −1 1 −1 1 2

4. Fejezet

Biline´ aris f¨ uggv´ enyek Ebben a fejezetben olyan f¨ uggvényeket vizsgálunk, amelyek rendezett vektorp´ arokhoz rendelnek skalárokat és ugyanakkor linearitási feltételeknek is eleget tesznek. A bilineáris f¨ uggvények vizsgálata egy lépés a vektorterek geometriáj´ anak kiép´ıtése felé. El˝obb általános, tetsz˝oleges test feletti vektorterek direktösszegén értelmezett bilineáris f¨ uggvények tulajdonságaival foglalkozunk, amelynek az a célja, hogy majd a determinánsok vizsgálatakor, a bilineáris f¨ uggvények által´ anos´ıt´ asaként kapott, bizonyos n-lineáris f¨ uggvényekkel értelmezhess¨ uk a determinánsokat. Aztán olyan bilineáris f¨ uggvényeket vizsgálunk, amelyekre támaszkodva a val´ os vektorterekre geometria ép´ıthet˝o.

4.1

Biline´ aris f¨ uggv´ enyek tere

Ebben a részben értelmezz¨ uk a bilineáris f¨ uggvény fogalmát, megmutatjuk, hogy a bilineáris f¨ uggvények halmaza is vektorteret alkot a f¨ uggvények szokásos összeadásával és skalárral való szorzás´ aval. Kapcsolatot teremt¨ unk bilineáris f¨ uggvények és lineáris leképezések között, és e kapcsolat alapján meg fogjuk állap´ıtani a véges dimenziós vektorterek direktöszegén értelmezett bilineáris f¨ uggvények terének di´ menzióját. Ertelmezz¨ uk a lineáris leképezés transzponáltj´ anak fogalmát, és vég¨ ul igazoljuk a lineáris leképezések rangtételét. Az els˝o fejezetben értelmezt¨ uk vektorterek altereinek direktösszegét. Ebben a fejezetben a direktösszeg elnevezést kicsit más értelemben használjuk. 4.1.1 Defin´ıci´ o. Az F test feletti V és W vektorterek k¨ uls˝ o direkt¨ osszege a V × W rendezett vektorp´ arok halmaza a def

(v, w) + (v 0 , w0 ) = (v + v 0 , w + w0 ) (v, v 0 ∈ V, w, w0 ∈ W ) ¨ osszead´ assal és

def

α(v, w) = (αv, αw) (α ∈ F, v ∈ V, w ∈ W ) skal´ arral val´ o szorz´ assal. Jel¨ olése: V ⊕ W . Emlékeztetj¨ uk az olvasót, hogy az els˝o fejezet 1.1.6. feladatában már találkozott a vektortér konstrukciónak ezzel a módj´ aval. Ott a k¨ uls˝ o direktösszeg jelölésére az ⊗ szimbólumot használtuk, hogy megk¨ ul¨ onb¨ oztess¨ uk az alterek direktösszegének 93

´ ¨ ´ 4. FEJEZET BILINEARIS FUGGV ENYEK

94

jelét˝ol. Az alterek direktösszegének értelmezését követ˝ oen, feladatként szerepelt annak igazolása is, hogy a V ⊗ W a V¯ = {(v, 0) | v ∈ V }

és

¯ = {(0, w) | w ∈ W } W

¯ izomorf W -vel, ´ıgy altereinek direktösszege. Nyilvánval´ oan V¯ izomorf V -vel és W az eddigi értelemben használt direktösszeg és a most definiált k¨ uls˝ o direktösszeg lényegében azonos. Ezért a rövidség kedvéért a ”k¨ uls˝ o” jelz˝ot elhagyjuk, és a k¨ uls˝ o direktösszeg jelölésére is a szokásosabb ⊕ szimb´ olumot fogjuk használni. 4.1.2 Defin´ıci´ o. Legyenek V és W az F test feletti vektorterek, és V ⊕ W a direkt¨ osszeg¨ uk. Egy A : V ⊕ W → F leképezést biline´ aris f¨ uggvénynek nevez¨ unk, ha eleget tesz az al´ abbi feltételeknek: (i) (∀ε1 , ε2 ∈ F) : (∀v1 , v2 ∈ V ) : (∀w ∈ W ) : A(ε1 v1 + ε2 v2 , w) = ε1 A(v1 , w) + ε2 A(v2 , w) , (ii) (∀ω1 , ω2 ∈ F) : (∀v ∈ V ) : (∀w1 , w2 ∈ W ) : A(v, ω1 w1 + ω2 w2 ) = ω1 A(v, w1 ) + ω2 A(v, w2 ) . A defin´ıcióban szerepl˝o mindkét feltétel két részre bonthat´ o, péld´ aul az els˝o követelmény ekvivalens az i’ (∀v1 , v2 ∈ V ) : (∀w ∈ W ) : A(v1 + v2 , w) = A(v1 , w) + A(v2 , w), és a i” (∀ε ∈ F) : (∀v ∈ V ) : (∀w ∈ W ) : A(εv, w) = εA(v, w) feltételekkel. Azt is mondhatjuk, hogy egy V ⊕ W vektortéren értelmezett skal´ arérték˝ u A f¨ uggvény bilineáris, ha tetsz˝olegesen rögz´ıtett v ∈ V esetén W -nek, és bármely rögz´ıtett w ∈ W mellett V -nek lineáris f¨ uggvénye. A V és a W vektortereken értelmezett lineáris f¨ uggvények seg´ıtségével könnyen definiálhatók bilineáris f¨ uggvények. Ha v ∗ ∈ V ∗ és w∗ ∈ W ∗ , akkor a def

(∀x ∈ V ) : (∀y ∈ W ) : A(x, y) = v ∗ (x) · w∗ (y) definiáló egyenl˝oséggel megadott f¨ uggvény nyilv´ an bilineáris. Ez a példa általános´ıtható: legyenek vi∗ ∈ V ∗ , wi∗ ∈ W ∗ (i = 1, . . . , k) és minden x ∈ V, y ∈ W re legyen def

A(x, y) =

k X

vi∗ (x) · wi∗ (y) .

i=1

Az ´ıgy kapott A f¨ uggvény is nyilv´ an bilineáris. Ha V = W n-dimenziós F feletti vektortér, akkor könnyen értelmezhet˝ o bilineáris f¨ uggvény a következ˝oképpen: rögz´ıts¨ unk egy X = {x1 , . . . , xn } bázist V -ben és minden v=

n X i=1

εi xi

és w =

n X i=1

ωi xi

´ ¨ ´ 4.1. BILINEARIS FUGGV ENYEK TERE

95

vektorpárhoz rendelj¨ unk skalárt az def

A(v, w) =

n X

εi ωi

i=1

definiáló egyenl˝oséggel. Az ilyen tipus´ u bilineáris f¨ uggvényekre a bels˝ o szorzat elnevezést használjuk. Ha a V -n értelmezett A biline´ aris f¨ uggvény bels˝o szorzat, akkor A(v, w) helyett röviden csak [v,w]-t fogunk ´ırni a f¨ uggvény értékeként. Hangs´ ulyoznunk kell, hogy a bels˝o szorzat, f¨ ugg attól, hogy V -nek mely bázis´ at rögz´ıtett¨ uk. K¨ ulönböz˝o bázisokhoz k¨ ulönböz˝o bels˝o szorzat tartozik. Kés˝ obb meg fogjuk vizsgálni, hogy [v,w] milyen módon változik a bázist´ ol f¨ ugg˝ oen. A bels˝o szorzatban a vektorok sorrendje felcserélhet˝ o, hiszen értéke a megfelel˝o koordináták szorzatösszege. A következ˝o egyszer˝ u áll´ıtásra az alábbiakban gyakran h´ıvatkozunk. ´ ıt´ 4.1.3 All´ as. Legyen [·] : V ⊕ V −→ F bels˝ o szorzat. Ha [v, w] = 0 a V vektortér minden w vektor´ ara, akkor v a nullvektor. Hasonl´ oan, ha [v, w] = 0 minden v ∈ V re, akkor w = 0 . Bizony´ıt´ as. Tegy¨ uk fel, hogy a bels˝o szorzatot a V vektortér X = {x1 , . . . , xn } bázisa határozza meg, abban az értelemben, hogy a V vektortér bármely két v és w vektorára a bels˝o szorzat értéke a v és w vektorok X b´ azisra vonatkoz´ o koordinátáinak szorzatösszege. Akkor [v, xi ] = εi éppen a v vektor xi bázisvektorra vonatkozó koordinátája minden i(= 1, . . . , n)-re. Így ha [v, w] = 0 a V vektortér minden w vektorára, akkor a v minden koordinát´ aja nulla, azaz v a nullvektor. A második áll´ıtás azonnal következik az els˝ob˝ ol, mert v, w ∈ V -re [v, w] = [w, v] . 2 4.1.4 Defin´ıci´ o. Ha egy V vektortéren értelmezett A biline´ aris f¨ uggvény kielég´ıti az A(v, w) = A(w, v) feltételt minden v, w ∈ V -re, akkor szimmetrikusnak nevezz¨ uk. Sokszor hasznos egy véges dimenziós vektortéren értelmezett bels˝o szorzatot másképpen interpretálni. Jelölje v ∗ ∈ V ∗ a v vektor izomorf képét azon izomorf leképezés mellett, amely X vektorait a duális, X ∗ b´ azis megfelel˝o lineáris f¨ uggvényeinek felelteti meg, tehát legyen v ∗ = ε1 x∗1 + · · · + εn x∗n , ahol εi , (i = 1, . . . , n) a v vektornak az xi ∈ X bázisvektorra vonatkoz´ o koordinát´ aja. ∗ Akkor a v, w ∈ V vektorok bels˝o szorzata egyenl˝ o a v line´ aris f¨ uggvénynek a w helyen felvett értékével, azaz [v, w] = v ∗ (w) . Bizonyos végtelen dimenziós vektortereken is értelmezhet¨ unk a bels˝o szorzathoz hasonló bilineáris f¨ uggvényt a bels˝o szorzat el˝oz˝ o péld´ aban adott interpret´ aci´ oj´ at felhasználva, ha létezik a vektortérnek a duális´ aba val´ o lineáris leképezése. Ha ∗ : V −→ V ∗ egy ilyen lineáris leképezés, akkor az analógia kedvéért minden v ∈ V vektor képét v ∗ -gal jelölve, az def

A(v, w) = v ∗ (w) (v, w ∈ V )


96

definiáló egyenl˝oséggel megadott A f¨ uggvény V -nek bilineáris f¨ uggvénye lesz. Bilineáris f¨ uggvényeket össze lehet adni, skal´ arokkal lehet szorozni. Ezeknek a m˝ uveleteknek az értelmezése a szokásos módon történik: ha A és B két bilineáris f¨ uggvény V ⊕ W -n, akkor tetsz˝oleges v ∈ V és w ∈ W -re: def

(A + B)(v, w) = A(v, w) + B(v, w) , és ha α tetsz˝oleges skalár, akkor def

(αA)(v, w) = αA(v, w) . Könny˝ u igazolni, hogy bilineáris f¨ uggvények összege és egy bilineáris f¨ uggvény skalárszorosa is bilineáris. A V ⊕ W direktösszegen értelmezett bilineáris f¨ uggvények vektorteret alkotnak ezekkel a m˝ uveletekkel. A részletes igazolást az olvas´ ora b´ızzuk.

4.1.1

Biline´ aris f¨ uggv´ enyek ´ es line´ aris lek´ epez´ esek kapcsolata

Az alábbiakban megmutatjuk, hogy lényegében minden, véges dimenziós vektorterek direktösszegén értelmezett bilineáris f¨ uggvény egy speciális bels˝o szorzattal adható meg. Rögz´ıts¨ unk V -ben egy tetsz˝oleges X = {x1 , . . . , xn } és W -ben ugyancsak tetsz˝olegesen egy Y = {y1 , . . . , ym } b´ azist. Egy A : V ⊕ W → F bilineáris f¨ uggvény valamely (v, w) helyen felvett értéke meghatározott a bázisvektor párokon felvett A(xi , yj ) = αij

(i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m)

skalárok megadásával. Ugyanis, ha v=

n X

ϕi xi

i=1

akkor A(v, w) =

n X m X i=1 j=1

és w =

m X

ωj yj ,

j=1

ϕi ωj A(xi , yj ) =

n X m X

ϕi ωj αij ,

i=1 j=1

kihasználva, hogy A(v, w) mindkét változ´ oj´ aban lineáris. Így az A bilineáris f¨ uggvényhez egy n × m tipus´ u A = [αij ] mátrix rendelhet˝o, amely természetesen a rögz´ıtett bázisokt´ ol is f¨ ugg, más bázisp´ art rögz´ıtve, ugyanannak a bilineáris f¨ uggvénynek más a mátrixa. Az A mátrix indukálja a W vektortérnek a V vektortérbe val´ o azon A lin´ aris leképezését, amely a W vektortér yj ∈ Y (j = 1, . . . , m) bázisvektorait rendre a V P o, hogy vektortér ni=1 αij xi (j = 1, . . . , m) vektoraiba viszi. Könnyen ellen˝orizhet˝ az A lineáris leképezés Y, X bázisp´ arra vonatkoz´ o AY m´ a trixa ugyanaz, mint a biliX neáris f¨ uggvényhez rendelt A mátrix. Megmutatjuk, hogy minden (v, w) ∈ V ⊕W -re A(v, w) = [v, A(w)]

(4.1)


97

teljes¨ ul, ahol a jobboldalon a v és A(w) V -beli vektorok fentiekben értelmezett és az X bázishoz tartozó bels˝o szorzata áll. Az A(w) vektor koordináta vektora az X bázisban  Pm  j=1 α1j ωj   ... A(w) =  , Pm j=1 αnj ωj ´ıgy a bels˝o szorzat [v, A(w)] =

n X i=1



φi 

m X

j=1



αij ωj  =

n X m X

φi αij ωj

i=1 j=1

ugyanaz, mint az A(v, w) értéke. Könnyen igazolható, hogy nemcsak az A bilineáris f¨ uggvény értelmezi az A : W → V lineáris leképezést, de a (4.1) egyenlet jobboldala szerint definiált f¨ uggvény is bilineáris. A következ˝o tételben megmutatjuk, hogy ez a megfeleltetés a V ⊕ W bilineáris f¨ uggvényei és a W -b˝ol V -be való lineáris leképezések köz¨ ott izomorfizmus. 4.1.5 T´ etel. Ha V és W az F test feletti véges dimenzi´ os vektorterek, akkor a V ⊕W vektortéren értelmezett biline´ aris f¨ uggvények vektortere izomorf a W -b˝ ol V -be képez˝ o line´ aris leképezések L(W, V ) vektorterével, k¨ ovetkezésképpen dim V · dim W -dimenzi´ os. Bizony´ıt´ as. Legyen Φ : A → A a (4.1) egyenl˝ oséggel definiált. Ha a B : W → V is olyan lineáris leképezés, hogy minden v ∈ V, w ∈ W -re A(v, w) = [v, B(w)] teljes¨ ul, azaz Φ(A) = B is fennáll, akkor (∀ v ∈ V ) : [v, (A − B)(w)] = 0 . Ebb˝ol a (4.1.3) áll´ıtás alapján, következik, hogy (A − B)(w) = 0 . M´ asrészt, (A − B)(w) = 0 minden w ∈ W esetén csak u ´gy lehet, ha az A − B a zérus leképezés, azaz A = B . Ez mutatja, hogy a Φ megfeleltetés a bilineáris f¨ uggvények és a lineáris leképezések között bijekció. Ha az A és B a V ⊕ W vektortéren értelmezett bilineáris f¨ uggvényekhez rendre a Φ(A = A és ΦB = B lineáris leképezések tartoznak, akkor Φ(A + B) = A + B. Valóban, kihasználva, hogy a bels˝o szorzat — bilineáris f¨ uggvény lévén — második változójában lineáris, azt kapjuk, hogy minden v ∈ V, w ∈ W -re (A + B)(v, w) = A(v, w) + B(v, w) = = [v, A(w)] + [v, B(w)] = [v, A(w) + B(w)] = [v, (A + B)(w)] . Az αA bilineáris f¨ uggvényhez pedig Φ az αA lineáris leképezést rendeli, amit az (αA)(v, w) = αA(v, w) = α[v, A(w)] = [v, αA(w)] = [v, (αA)(w)]


98

egyenl˝oség sorozat mutat. Ezzel bizony´ıtottuk, hogy a Φ megfeleltetés összeg- és aránytartó is. Tehát a V ⊕ W vektortéren értelmezett bilineáris f¨ uggvények tere izomorf L(W, V )-vel, ´ıgy dimenziója dim W · dim V . 2 Az el˝oz˝oekben egy A bilineáris f¨ uggvényhez hozzárendelt¨ unk egy A : W → V lineáris leképezést, amelynek seg´ıtségével A értéke minden v, w vektorp´ ar esetén V beli vektorok, nevezetesen a v és A(w) vektorok bels˝o szorzataként adódott. Akkor kézenfekv˝o, hogy az A bilineáris f¨ uggvényhez hozzárendelj¨ uk V -nek egy W -be val´ o A∗ leképezését, az def A(v, w) = [A∗ (v), w] (4.2) értelmezéssel, ahol a jobboldalon most a W vektortérben az Y bázis által meghatározott bels˝o szorzat áll. 4.1.6 Defin´ıci´ o. Ha az A ∈ L(W, V ) line´ aris leképezés, és A az a V ⊕ W vektortéren értelmezett biline´ aris f¨ uggvény, amely minden v ∈ V, w ∈ W vektorp´ arhoz az A(v, w) = [v, A(w)] skal´ art rendeli, akkor az (4.2) egyenl˝ oséggel defini´ alt A∗ leképezést az A transzpon´ altj´ anak nevezz¨ uk. ´ ıt´ 4.1.7 All´ as. Ha A ∈ L(W, V ) line´ aris leképezés, akkor transzpon´ altja egyértelm˝ uen meghat´ arozott line´ aris leképezés a V vektortérr˝ ol a W vektortérbe. Bizony´ıt´ as. Tegy¨ uk fel indirekt módon, hogy az A∗ és a A¯∗ leképezések egyar´ ant transzponáltjai az A ∈ L(W, V ) lineáris leképezésnek. Akkor tetsz˝oleges v ∈ V, w ∈ W vektorokra fennáll, hogy [A∗ (v), w] = [v, A(w)] = [A¯∗ (v), w] . Ebb˝ol következik, hogy minden w ∈ W -re [A∗ (v) − A¯∗ (v), w] = 0 , azaz a (4.1.3) áll´ıtás értelmében A∗ (v) = A¯∗ (v) . Mivel ez az egyenl˝ oség minden v ∈ V ∗ ∗ ¯ re teljes¨ ul, kapjuk, hogy A = A . Legyenek v1 , v2 ∈ V, w ∈ W tetsz˝oleges vektorok és α, β tetsz˝ oleges skal´ arok. Akkor [A∗ (αv1 + βv2 ), w] = [αv1 + βv2 , A(w)] = α[v1 , A(w)] + β[v2 , A(w)] = = α[A∗ (v1 ), w] + β[A∗ (v2 ), w] = [αA∗ (v1 ) + βA∗ (v2 ), w] . Ebb˝ol a (4.1.3) áll´ıtás felhasznál´ as´ aval kapjuk, hogy A∗ (αv1 + βv2 ) = αA∗ (v1 ) + βA∗ (v2 ) , azaz A∗ ∈ L(V, W ) . Tehát a lineáris leképezés transzponáltja maga is lineáris leképezés. 2 ∗ Vizsgáljuk meg milyen kapcsolat van az A és az A line´ aris leképezések mátrixai között. Kihasználva, hogy A(xi , yj ) = αij , (i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m), kapjuk, hogy az X bázisbeli xi vektor A∗ (xi ) képének koordináta vektora az Y bázisban az 



αi1  .   .   .  αim

(i = 1, . . . , n)

´ ¨ ´ 4.1. BILINEARIS FUGGV ENYEK TERE oszlopvektor. Tehát az A∗ : V → W line´ aris vonatkozóan  α11 α21  . .. ∗ A = .  ..

99 leképezés mátrixa az X , Y bázisp´ arra ... .. .



αn1 ..   . ,

α1m α2m . . . αnm ami u ´gy kapható az A ∈ L(W, V ) lineáris leképezés A m´ atrix´ ab´ ol, hogy annak sorait és oszlopait felcserélj¨ uk. Az A∗ mátrixot az A m´ atrix transzponáltj´ anak h´ıvjuk. A következ˝o tételben a lineáris leképezésekkel végzett m˝ uveletek és a transzponáltjaik között végzett m˝ uveletek kapcsolat´ ar´ ol bizony´ıtunk be néh´ any áll´ıt´ ast. 4.1.8 T´ etel. Legyenek V, W és Z az F test feletti véges dimenzi´ os vektorterek. Ha A, B ∈ L(W, V ) és α ∈ F, akkor (1)

(A + B)∗ = A∗ + B ∗ ,

(2)

(αA)∗ = αA∗ ,

(3)

(A∗ )∗ = A ,

(4)

0∗ = 0 ,

a zér´ o leképezés transzpon´ altja is zér´ o leképezés, és ha C ∈ L(Z, W ), akkor (5)

(A · C)∗ = C ∗ · A∗ .

Bizony´ıt´ as. Mindegyik tulajdonság bizony´ıt´ asa azon alapul, hogy A∗ pontosan akkor transzponáltja az A lineáris leképezésnek, ha [v, A(w)] = [A∗ (v), w] a megfelel˝o vektorterekb˝ol választott minden v és w vektorp´ ar esetén. Minden v ∈ V, w ∈ W -re [v, (A + B)(w)] = [v, A(w) + B(w)] = [v, A(w)] + [v, B(w)] = = [A∗ (v), w] + [B ∗ (v), w] = [A∗ (v) + B ∗ (v), w] = [(A∗ + B ∗ )(v), w] , ezért az (1)-es tulajdonság teljes¨ ul. Bármilyen α ∈ F-re [v, (αA)(w)] = [v, αA(w)] = α[v, A(w)] = = α[A∗ (v), w] = [αA∗ (v), w] = [(αA∗ )(v), w], tehát a (2)-es tulajdonság is fennáll. (3)-t igazolandó kihasználjuk, hogy a bels˝o szorzat szimmetrikus, ´ıgy [v, A(w)] = [A∗ (v), w] = [w, A∗ (v)] = [(A∗ )∗ (w), v] = [v, (A∗ )∗ (w)]. A (4)-es tulajdonság abból következik, hogy 0 = [v, 0] = [v, 0(w)] = [0∗ (v), w] csak akkor teljes¨ ulhet minden w ∈ W -re, ha 0∗ (v) = 0, ami minden v ∈ V -re pontosan akkor teljes¨ ul, ha 0∗ a zér´ o leképezés V -b˝ol W -be.


100

Mivel C ∈ L(Z, W ) az A·C ∈ L(Z, V ) szorzat létezik. Rögz´ıtve Z-ben egy bázist, és ezzel értelmezve Z-n a bels˝o szorzatot, kapjuk, hogy minden z ∈ Z, v ∈ V -re [v, (A · C)(z)] = [v, A(C(z))] = [A∗ (v), C(z)] = = [C ∗ (A∗ (v)), z] = [(C ∗ · A∗ )(v), z] , igazolva ezzel az (5)-ös tulajdonságot.

2

A lineáris leképezések és a mátrixok kapcsolata alapján igazak a mátrixok transzponál´ asának következ˝o tulajdonságai, persze ezek közvetlen¨ ul is bizony´ıithat´ ok. 4.1.9 K¨ ovetkezm´ eny. Ha A és B azonos tipus´ u m´ atrixok, akkor (1)

(A + B)∗ = A∗ + B∗ ,

(2)

(αA)∗ = αA∗ ,

(3)

(A∗ )∗ = A ,

(4)

0∗ = 0 ,

azaz, a zér´ om´ atrix transzpon´ altja is zér´ om´ atrix, és ha C olyan tipus´ u m´ atrix, hogy létezik az AC szorzat, akkor (5)

(A · C)∗ = C∗ · A∗

Szor´ıtkozzunk most csak olyan A biline´ aris f¨ uggvények vizsgálat´ ara, amelyek egy F test feletti V vektortér önmag´ aval alkotott direktösszegén vannak értelmezve, tehát legyen A : V ⊕ V → F alak´ u. Ekkor egyszer˝ uen csak azt mondjuk, hogy A a V vektortéren értelmezett bilineáris f¨ uggvény. Ilyen esetben az A-hoz rendelhet˝o lineáris leképezés V -nek lineáris transzformáci´ oja, és az A-hoz rendelhet˝o mátrix, ami persze f¨ ugg attól, hogy V -nek melyik bázis´ ara vonatkozik, négyzetes mátrix. A (4.1.5) tételb˝ol speciálisan az is adódik, hogy ha V n-dimenzi´ os F test feletti vektortér, akkor a V -n értelmezett bilineáris f¨ uggvények tere izomorf V line´ aris transzformációinak L(V ) terével, ezért n2 -dimenzi´ os. V egy lineáris transzformációj´ anak transzponáltja ugyancsak lineáris transzformációja V -nek. A (4.1.8) tétel és következménye az alábbi pontokkal egész´ıthet˝ ok ki: 4.1.10 T´ etel. Ha V véges dimenzi´ os vektortér és I az identikus, A pedig invert´ alhat´ o transzform´ aci´ oja V -nek, akkor I∗ = I ,

(a)

teh´ at az identikus transzform´ aci´ o transzpon´ altja ¨ onmaga, és ³

(b)

A−1

´∗

= (A∗ )−1 .


101

Ezeknek a tulajdons´ agoknak m´ atrixokra megfogalmazott megfelel˝ oi: E∗ = E ,

(c)

azaz, az egységm´ atrix transzpon´ altja ¨ onmaga, és ha A regul´ aris m´ atrix akkor ³

(d)

A−1

´∗

= (A∗ )−1 .

Bizony´ıt´ as. (a) Ha I az identikus transzformáci´ oja V -nek, akkor minden v, w ∈ V -re [v, w] = [v, I(w)] = [I ∗ (v), w] , ´ıgy [v − I ∗ (v), w] = 0. Ez minden w ∈ V re csak u ´gy teljes¨ ulhet a (4.1.3) áll´ıt´ as szerint, ha v − I ∗ (v) = 0 , azaz I ∗ (v) = v . Mivel ez minden v ∈ V -re fennáll, I ∗ az identikus transzformáci´ o. (b) A már igazolt (4.1.8) tétel (5)-ös és a fent bizony´ıtott (a) tulajdonságokat, továbbá a (2.2.3) következményt felhasználva kapjuk, hogy ³

ezért A∗ invertálható és

A−1

´∗

³

· A∗ = A · A−1 ³

´∗

(A∗ )−1 = A−1

´∗

= I∗ = I ,

.

A (c) és (d) áll´ıtások az (a) és (b) tulajdonságok következményei.

2

Emlékeztet˝ou ¨l megismételj¨ uk, hogy egy V -n értelmezett A bilineáris f¨ uggvényt szimmetrikusnak nevez¨ unk, ha minden v, w ∈ V -re A(v, w) = A(w, v) teljes¨ ul. ´ ıt´ 4.1.11 All´ as. Véges dimenzi´ os tér szimmetrikus biline´ aris f¨ uggvényéhez tartoz´ o line´ aris transzform´ aci´ o transzpon´ altja ¨ onmaga. Bizony´ıt´ as. Rögz´ıts¨ uk V egy X = {x1 , . . . , xn } bázis´ at. Ez V -n egy bels˝o szorzat rögz´ıtését is maga után vonja, amely minden v, w ∈ V vektorp´ arhoz a [v, w] skalárt rendeli. A-val jelölve az A szimmetrikus bilineáris f¨ uggvényhez tartozó lineáris transzformációt, azt kapjuk, hogy minden v, w ∈ V -re [v, A(w)] = A(v, w) = A(w, v) = [w, A(v)] = [A∗ (w), v] = [v, A∗ (w)] , amib˝ol [v, (A−A∗ )(w)] = 0. Ebb˝ol a (4.1.3) áll´ıt´ as szerint, következik, hogy bármely w ∈ V -re (A − A∗ )(w) = 0 . Akkor viszont A − A∗ = 0 , tehát A = A∗ . 2 4.1.12 Defin´ıci´ o. (1) Ha egy A line´ aris transzform´ aci´ o egyenl˝ o saj´ at A∗ transzpon´ altj´ aval, akkor szimmetrikusnak nevezz¨ uk. (2) Ha egy A m´ atrix nem v´ altozik, ha sorait és oszlopait felcserélj¨ uk, akkor szimmetrikus m´ atrixnak nevezz¨ uk.

4.1.2

Biline´ aris f¨ uggv´ eny m´ atrixa u ´ j b´ azisban

Meg akarjuk állap´ıtani, hogy a bilineáris f¨ uggvény mátrixa hogyan változik bázistranszformáció esetén. Ezért tegy¨ uk fel, hogy V -nek egyik bázisa X = {x1 , . . . , xn } és ebben a bázisban az A mátrixa A = [αij ] , ahol αij = A(xi , xj ) (i, j = 1, . . . , n) .


102

Jelölje az A bilineáris f¨ uggvényhez tartozó lineáris transzformáci´ ot A. Akkor az A lineáris transzformáció mátrixa az X b´ azisban éppen A. Minden xi , xj vektorp´ arra A(xi , xj ) = [xi , A(xj )] = αij , azaz a A mátrix elemeit az xi és A(xj ) vektorok bels˝o szorzataként kapjuk. Legyen V egy másik bázisa Y = {y1 , . . . , yn } és tegy¨ uk fel, hogy a B ∈ R(V ) az a lineáris transzformáció, amely az X bázis vektorainak az Y b´ azis vektorait felelteti meg, u ´gyhogy B(xi ) = yi minden i(= 1, . . . , n)-re. Akkor minden i, j (i, j = 1, . . . , n) indexpárra 0 αij = A(yi , yj ) = A(B(xi ), B(xj )) = [B(xi ), A(B(xj ))] .

(1)

Kihasználva a lineáris transzformáci´ ok és transzponáltjaik kapcsolatát, (1) jobboldala tovább alak´ıtható: (2)

[B(xi ), A(B(xj ))] = [xi , B ∗ (A(B(xj )))] = [xi , (B ∗ AB)(xj )] .

Az (1)–(2) egyenletek összehasonl´ıt´ as´ ab´ ol most már azt kapjuk, hogy 0 αij = [xi , (B ∗ AB)(xj )] .

(3)

Ez azt jelenti, hogy az A biline´ aris f¨ uggvény A’ mátrixa az Y b´ azisban ugyanaz, ∗ mint a B AB lineáris transzformáci´ onak a mátrixa az X b´ azisban, azaz A0 = B∗ · A · B.

(4.3)

Megjegyezz¨ uk, hogy az által´ anos bázistranszform´ aci´ or´ ol irott szakaszban már találkozott az olvasó az (4.3) egyenletben szerepl˝o B mátrixszal, ez éppen a B bázistranszformációnak az átmenetmátrixa. Bels˝ o szorzat u ´ j b´ azisban Amint ´ıgért¨ uk, megvizsgáljuk, hogy a bels˝o szorzat hogyan f¨ ugg a tér bázis´ anak megválasztásától. Rögz´ıts¨ uk a V vektortér X = {x1 , . . . , xn } bázis´ at. Akkor a V vektortéren értelmezett, minden A bilineáris f¨ uggvényhez egyértelm˝ uen hozzárendelhet˝ o V -nek egy A lineáris transzformáci´ oja u ´gy, hogy A(v, w) = [v, A(w)] teljes¨ ul minden v, w ∈ V -re. Természetesen a [·, ·] az X bázis által meghatározott bels˝o szorzatot jelöli. Legyen a V vektortérnek egy másik bázisa az Y = {y1 , . . . , yn } vektorrendszer, és B a bázistranszform´ aci´ o, azaz B(xi ) = yi , (i = 1, . . . , n). Ha most az A bilineáris f¨ uggvény tetsz˝oleges v=

n X

εi yi

és w =

i=1

n X i=1

vektorokra az def

A(v, w) =

n X i=1

εi ωi

ωi yi ,

´ ´ ´ ´ MATRIXOK ´ ´ 4.2. LINEARIS LEKEPEZ ESEK ES RANGTETELE

103

egyenl˝oséggel van értelmezve, akkor az A éppen az Y b´ azisra vonatkoz´ o bels˝o szorzat. Akkor minden v, w ∈ V -re A(v, w) = [B(v), B(w)] = [v, (B ∗ B)(w)] ,

(1)

Az (1) összef¨ uggés alapján tehát azt mondhatjuk, hogy az Y b´ azishoz tartozó bels˝o ∗ szorzat a B B lineáris transzformáci´ ohoz tartozó bilineáris f¨ uggvény. Ebb˝ol az is következik, hogy am´ıg az X bázisban a bels˝o szorzat mátrixa az E egységm´ atrix, az u ´j Y bázisban a B∗ EB = B∗ B lesz, összhangban az el˝oz˝o alpontban az által´ anos esetre kapot (4.3) egyenlettel. Az (1) összef¨ uggésb˝ol az is következik, hogy ha a B lineáris transzformáci´ o reguláris és inverze megegyezik a transzponáltj´ aval, akkor a tér vektorainak bels˝o szorzatát nem változtatja meg. 4.1.13 Defin´ıci´ o. kielég´ıti a

Ha a V vektortérnek B olyan line´ aris transzform´ aci´ oja, hogy B ∗ = B −1

feltételt, akkor ortogon´ alis transzform´ aci´ onak nevezz¨ uk.

4.2

Line´ aris lek´ epez´ esek ´ es m´ atrixok rangt´ etele

Ennek a résznek az els˝odleges feladata annak a kérdésnek a tisztáz´ asa, hogy milyen kapcsolat van véges dimenziós vektortereken értelmezett lineáris leképezések és transzponáltjaik rangja között. Azonk´ıv¨ ul igazolunk lineáris leképezések összegének, és szorzatának rangja és a tagok, illetve a tényez˝ ok rangjai köz¨ ott fennáll´ o egyenl˝otlenséget és egyenl˝oségeket. Ismerve, hogy a lineáris leképezések és a mátrixok között létezik bijekt´ıv megfeleltetés, mintegy következményként a mátrixok és transzponáltjaik rangjára vonatkoz´ o eredményeket is kapunk. Emlékeztet˝ou ¨l megismételj¨ uk, hogy egy A ∈ L(V, W ) lineáris leképezés rangján, amit ρ(A)-val jelölt¨ unk, képterének dimenziój´ at értj¨ uk. Jelekkel: def ρ(A) = dim im (A) . Egy lineáris leképezés mátrix´ anak oszlopai képterével izomorf vektorteret generálnak, tehát a lineáris leképezés mátrix´ at alkot´ o oszlopvektorok rendszerének a rangja megegyezik a lineáris leképezés rangjával. Mivel a mátrix sorai és transzponáltjának oszlopai ugyancsak izomorf vektortereket generálnak, a lineáris leképezés transzponáltj´ anak a rangja egyenl˝ o a leképezés mátrix´ at alkot´ o sorvektorok rendszerének rangjával. Mindenekel˝ott bizony´ıtjuk ennek a szakasznak a f˝o tételét. 4.2.1 T´ etel. [Line´ aris lek´ epez´ esek rangt´ etele] Legyenek V és W ugyanazon F test feletti véges dimenzi´ os vektorterek és A ∈ L(W, V ) line´ aris leképezés. Akkor az ∗ A és transzpon´ altj´ anak, A ∈ L(V, W )-nak a rangja egyenl˝ o. Bizony´ıt´ as. Legyenek w1 , . . . , wr a W vektortérnek olyan vektorai, amelyekre az {A(w1 ), . . . , A(wr )} vektorrendszer bázisa im (A)-nak. A (2.1.6) tétel bizony´ıt´ as´ aban láttuk, hogy akkor ezeket ker (A) {wr+1 , . . . , wm } bázisvektoraival kiegész´ıtve


104

a W vektortér bázisát kapjuk. Tekintve, hogy az {A(w1 ) = v1 , . . . , A(wr ) = vr } a V vektortérnek lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszere, kiegész´ıthet˝ o a V vektortér bázisává, mondjuk a vr+1 , . . . , vn vektorok hozzávételével. Ezen bázisokra alapozva a W -n és V -n értelmezett bels˝o szorzatokat, azok kielég´ıtik a [wi , wj ] = δij (i, j = 1, . . . , m) és [vk , v` ] = δk` (k, ` = 1 . . . n) egyenleteket, ahol δij és δkl Kronecker–szimb´ olumok. Megmutatjuk, hogy az {A∗ (v1 ), . . . , A∗ (vr )} lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszere im (A∗ )-nak, ami azt jelenti, hogy dim im (A) ≤ dim im (A∗ ) . Ha α1 A∗ (v1 ) + · · · + αr A∗ (vr ) = 0 , akkor minden w ∈ W -re [α1 A∗ (v1 ) + · · · + αr A∗ (vr ), w] = 0 , vagy ugyanez más alakban, [A∗ (α1 v1 + · · · + αr vr ), w] = [α1 v1 + · · · + αr vr , A(w)] = 0 . Akkor bármely wi (i = 1, . . . , r)-re kapjuk, hogy 0 = [α1 v1 + · · · + αr vr , A(wi )] = [α1 v1 + · · · + αr vr , vi ] = αi , igazolva ezzel az {A∗ (v1 ), . . . , A∗ (vr )} vektorrendszer lineáris f¨ uggetlenségét. Akkor fennáll a (a)

dim im (A) = r ≤ dim im (A∗ )

egyenl˝otlenség. Kihasználva, a (4.1.8) tételben igazolt (A∗ )∗ = A transzponál´ asi tulajdonságot, kapjuk a ford´ıtott irány´ u (b) egyenl˝otlenséget. jes¨ ulhetnek, ha

dim im (A) = r ≥ dim im (A∗ ) Az (a) és (b) egyenl˝ otlenségek egyidej˝ uleg csak akkor teldim im (A) = dim im (A∗ ) ,

és ezt kellett igazolnunk. A fenti tételb˝ol már azonnal adódik a

2

4.2.2 K¨ ovetkezm´ eny. [M´ atrixok rangtétele] Ha A egy tetsz˝ oleges m × n tipus´ u m´ atrix, akkor oszlopvektorrendszerének rangja egyenl˝ o transzpon´ altja oszlopvektorrendszerének rangj´ aval, k¨ ovetkezésképpen egy A m´ atrix oszlop– és sorvektorrendszerének a rangja is egyenl˝ o. Egy A mátrix ρ(A) rangját oszlopvektorrendszerének rangjaként definiáltuk a 2-dik fejezetben. Fenti eredmény¨ unk szerint ρ(A) egyenl˝ o A sorvektorrendszerének rangjával is. A következ˝o tételben lineáris leképezések összegének, illetve szorzatának rangjára vonatkozó egyenl˝otlenségeket és egyenl˝ oségeket igazolunk.

´ ´ ´ ´ MATRIXOK ´ ´ 4.2. LINEARIS LEKEPEZ ESEK ES RANGTETELE

105

4.2.3 T´ etel. Legyenek V, W és Z véges dimenzi´ os vektorterek és A, B ∈ L(V, W ) és C ∈ L(Z, V ) line´ aris leképezések. Akkor (1)

ρ(A + B) ≤ ρ(A) + ρB) ,

(2)

ρ(A · C) ≤ min{ρ(A), ρ(C)} ,

ha im (C) = V, akkor (3)

ρ(A · C) = ρ(A) ,

és ha ker (A) = {0} , akkor (4)

ρ(A · C) = ρ(C) .

Bizony´ıt´ as. Az (1) egyenl˝ otlenség azon egyszer˝ u tényb˝ ol következik, hogy ρ(A + B) az im (A) és im (B) W -beli alterek egyes´ıtése által generált altér T dim im (A) + dim im (B) − dim(im (A) im (B)) dimenziój´ an´ al nem nagyobb, hiS szen lin (im (A) im (B)) minden vektora egy im (A)-beli és egy im (B)-beli vektor összege (lásd az (1.3.8) tételt), ugyanakkor ρ(A) + ρ(B) = dim im (A) + dim im (B) . A (2) egyenl˝otlenség abból következik, hogy, minden z ∈ Z-re (A · C)(z) = A(C(z)) ezért im (A · C) ⊆ im (A) és ´ıgy ρ(A · C) ≤ ρ(A) . Hasonlóan, minden w ∈ W -re (A · C)∗ (w) = (C ∗ · A∗ )(w) = C ∗ (A∗ (w)) , tehát im ((A · C)∗ ) ⊆ im (C ∗ ) , és ebb˝ol következik, hogy ρ(A · C) = ρ((A · C)∗ ≤ ρ(C ∗ ) = ρ(C) . A (3)-as egyenl˝oség igazolása hasonló, minden z ∈ Z-re (A · C)(z) = A(C(z)) , de most im (C) = V és ezért im (A · C) = im (A), következésképpen ρ(A · C) = ρ(A). A (4)–es egyenl˝oség pedig azzal igazolható, hogy mivel ker (A) = {0} , minden z ∈ Z-re (A · C)(z) = A(C(z)) = 0 ⇐⇒ C(z) = 0 . Tehát ker (A · C) = ker (C), azaz ν(A · C) = ν(C) és ´ıgy a (2.1.6) tétel alapján kapjuk, hogy ρ(A · C) = dim Z − ν(A · C) = dim Z − ν(C) = ρ(C). Ezzel a tétel minden áll´ıtását igazoltuk.

2


106

A (3—4) egyenl˝oségekb˝ol következik, hogy egy lineáris leképezés rangja nem változik, ha reguláris lineáris transzformáci´ oval szorozzuk, akár jobbról, akár balról. A mátrixok összegének, illetve szorzatának rangjára vonatkoz´ o egyenl˝ otlenségek és egyenl˝oségek a fenti tételb˝ol már következnek. Ezek az alábbiak: ha A és B azonos tipus´ u mátrixok, akkor ρ(A + B) ≤ ρ(A) + ρ(B) , ha A és C összeszorozható mátrixok, akkor ρ(A · C) ≤ min{ρ(A), ρ(C)} , ha C sorvektorai lineárisan f¨ uggetlen rendszert alkotnak, akkor ρ(A · C) = ρ(A) és ha A oszlopvektorai lineárisan f¨ uggetlen rendszert alkotnak, akkor ρ(A · C) = ρ(C) .

4.3

Kvadratikus alakok

Ebben a részben olyan valós vektortéren értelmezett skal´ ar érték˝ u f¨ uggvényekr˝ ol lesz szó, amelyek szoros kapcsolatban vannak a fentiekben vizsgált bilineáris f¨ uggvényekkel. Ahhoz, hogy az absztrakt vektorterekre geometriát ép´ıthess¨ unk a két, illetve 3-dimenziós tér geometriáj´ anak mint´ aj´ ara, távols´ ag és szögfogalomra lesz sz¨ ukség¨ unk. Ezek értelmezéséhez speciális bilineáris f¨ uggvényeket használunk. A bilineáris f¨ uggvényhez tartozó kvadratikus alak definitsége dönt˝ o abból a szempontból, hogy a kérdéses f¨ uggvényre támaszkodva értelmezhet˝ o-e távols´ ag és szögfogalom a térben. Mint azt a jegyzet második részében látni fogjuk, a többv´ altozós valós f¨ uggvények lokális széls˝ oértékeinek meghatároz´ asa során is alkalmazzuk a kvadratikus alakokról tanultakat. Ezért vizsgálatuk az optimalizál´ asi problém´ ak iránt érdekl˝od˝o leend˝o gazdasági szakemberek szám´ ara is fontos. Legyen A a valós V vektortér egy bilineáris f¨ uggvénye. A seg´ıtségével definiálhatunk egy Q : V → R f¨ uggvényt, el˝o´ırva, hogy bármely v ∈ V helyen legyen (a)

def

Q(v) = A(v, v).

Ha V véges dimenziós és V -nek X = {x1 , . . . , xn } b´ azisa, akkor minden v=

n X

xi

i=1

vektorhoz a Q f¨ uggvény a (b)

Q(v) =

n X n X

εi εj αij ,

i=1 j=1

értéket rendeli, ahol az αij , (i, j = 1, . . . , n) skal´ ar az A bilineáris f¨ uggvény A mátrixában az i-edik sor j-edik elem. Az X bázishoz tartozó [·, ·] bels˝o szorzatot használva, azt is ´ırhatjuk, hogy (c)

Q(v) = [v, A(v)],

4.3. KVADRATIKUS ALAKOK

107

ahol A a V vektortér A bilineáris f¨ uggvényéhez tartozó lineáris transzformáci´ oja. Az A mátrixa az X bázisban éppen A, amelyet ezent´ ul a kvadratikus alak mátrix´ anak is mondunk. A (b) egyenl˝oség mutatja, hogy Q(v) a v vektor koordinát´ ainak kvadratikus f¨ uggvénye. A kétdimenziós valós térben az ilyen f¨ uggvények másodrend˝ u görbéket (kör, ellipszis, hyperbola, parabola ...) a 3–dimenziós val´ os térben másodrend˝ u fel¨ uleteket (gömb, elipszoid, hyperboloid ...) határoznak meg. Innen származik a névv´ alaszt´ as: 4.3.1 Defin´ıci´ o. Az (a — b) egyenl˝ oségek valamelyikével értelmezett Q:V →R f¨ uggvényt kvadratikus alaknak nevezz¨ uk. A kvadratikus alakok megadás´ ahoz bilineáris f¨ uggvényt használtunk, minden A bilineáris f¨ uggvényhez hozzárendelhet˝ o egy Q kvadratikus alak. Az is nyilv´ anval´ o, 0 hogy ahhoz az A bilineáris f¨ uggvényhez, amely minden v, w ∈ V vektorp´ arhoz az A0 (v, w) = A(w, v) értéket rendeli, ugyanaz a kvadratikus alak tartozik, mint az A-hoz, tehát a kapcsolat a bilineáris f¨ uggvények és a kvadratikus alakok köz¨ ott nem kölcs¨ onösen egyértelm˝ u. Amint azt az alábbi tétel igazolja a szimmetrikus bilineáris f¨ uggvények és a kvadratikus alakok köz¨ otti megfeleltetés viszont egy–egyértelm˝ u. 4.3.2 T´ etel. (1) Az A : V ⊕ V → R szimmetrikus biline´ aris f¨ uggvényt a a hozz´ a tartoz´ o Q : V → R kvadratikus alak egyértelm˝ uen meghat´ arozza. (2) Minden kvadratikus alak sz´ armaztathat´ o szimmetrikus biline´ aris f¨ uggvényb˝ ol. Bizony´ıt´ as. (1)-es áll´ıtás: Meg kell mutatnunk, hogy tetsz˝oleges v, w ∈ V -re A(v, w) értéke meghatározható a Q kvadratikus alak ismeretében. Mivel A szimmetrikus Q(v + w) = A(v + w, v + w) = A(v, v) + A(v, w) + A(w, v) + A(w, w) = Q(v) + 2A(v, w) + Q(w) . Ebb˝ol átrendezéssel és 2-vel való osztással kapjuk, hogy A(v, w) =

Q(v + w) − Q(v) − Q(w) , 2

és ez verifikálja, hogy A értékei kiszám´ıthat´ ok a Q értékeinek ismeretében. A (2)-es áll´ıtást igazolandó, megmutatjuk, hogy bármely Q kvadratikus alakhoz található olyan szimmetrikus B biline´ aris f¨ uggvény, hogy bármely v ∈ V helyen Q(v) = B(v, v). Tegy¨ uk fel, hogy Q-t az A bilineáris f¨ uggvényb˝ ol származtattuk, de A nem szimmetrikus. Legyen tetsz˝oleges v, w ∈ V -re def

B(v, w) =

A(v, w) + A(w, v) . 2

Akkor nyilvánvalóan B szimmetrikus, és Q(v) = A(v, v) = B(v, v) teljes¨ ul. 2 A valós vektortereken értelmezett kvadratikus alakokat osztályozhatjuk az általuk felvehet˝o értékek szerint a következ˝ oképpen: 4.3.3 Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy a val´ os V vektortéren értelmezett Q : V → R kvadratikus alak


108

(1) pozit´ıv definit, ha Q(v) > 0 minden nemzér´ o v ∈ V -re, (2) negat´ıv definit, ha Q(v) < 0 minden nemzér´ o v ∈ V -re, (3) pozitiv szemidefinit, ha minden v ∈ V -re Q(v) ≥ 0, de van olyan nemzér´ o vektor v0 , hogy Q(v0 ) = 0, (4) negat´ıv szemidefinit, ha minden v ∈ V -re Q(v) ≤ 0, de van olyan nemzér´ o vektor v0 , hogy Q(v0 ) = 0, (5) indefinit, ha Q mind pozit´ıv, mind negat´ıv értéket felvesz. Ezeket az elnevezéseket használjuk val´ os tereken értelmezett szimmetrikus bilineáris f¨ uggvényekre is (azok a hozzájuk tartozó kvadratikus alak által egyértelm˝ uen meghatározottak) és valós szimmetrikus mátrixokra is, péld´ aul pozit´ıv definitnek mondunk egy valós szimmetrikus mátrixot, ha az pozit´ıv definit kvadratikus alak mátrixa valamely bázisban. Hasonló értelemben beszél¨ unk pozit´ıv szemidefinit, negat´ıv definit, negat´ıv szemidefinit és indefinit szimmetrikus mátrixokr´ ol is. 2 2 Tekints¨ uk a Q(v) = ξ1 − 6ξ1 ξ2 + 2ξ2 kvadratikus alakot, ahol ξ1 , ξ2 a v vektor koordinátái a 2-dimenziós valós tér valamely {x1 , x2 } b´ azis´ ara vonatkoz´ oan. Ahhoz, hogy eldönthess¨ uk, hogy Q melyik fenti osztályba tartozik, célszer˝ u át´ırni a Q(v) = (ξ1 − 3ξ2 )2 − 7ξ22 formába, vagy ami ezzel ekvivalens, áttérni az {s1 = x1 , s2 = 3x1 +x2 } bázisra, amelyben v koordinát´ ai η1 = ξ1 −3ξ2 és η2 = ξ2 és Q(v) = η12 −7η22 , amib˝ol már nyilvánvaló, hogy Q indefinit. Az {x1 , x2 } b´ azisban a kvadratikus alak mátrixa az "

A=

1 −3 −3

2

#

" 0

, m´ıg az u ´j {s1 , s2 } b´ azisban az A =

1

0

#

0 −7

diagonális mátrix. Vegy¨ uk észre, hogy Q(v) értéke az {s1 , s2 } b´ azisban éppen v koordinátái négyzetének a diagonálisban lév˝ o skal´ arokkal képzett lineáris kombin´ aci´ oja. Ez érvényben marad tetsz˝oleges n-dimenziós val´ os V vektortereken értelmezett kvadratikus alakok esetén is, ha a kvadratikus alak mátrixa valamely bázisban diagonális mátrix, akkor bármely v ∈ V helyen értéke megkaphat´ o, ha vessz¨ uk v e bázisra vonatkozó koordinátái négyzetének a diagonálisbeli megfelel˝o skal´ arokkal vett lineáris kombinációját. Valóban, ha V -nek X = {x1 , . . . , xn } olyan bázisa, amelyre a kvadratikus alak mátrixa az     A=  

α11 0 .. . 0

diagonális mátrix, akkor az

0

...

0

α22 . . . .. .. . .

0 .. .

0

. . . αnn





ξ1  .   x=  ..  ξn

      


109

koordinátavektor´ u x vektornál a kvadratikus alak értéke Q(x) = [v, A(v)] = α11 ξ12 + · · · + αnn ξn2 . Véges dimenziós valós vektortéren értelmezett kvadratikus alak ilyen négyzeto¨sszegre redukált formájából azonnal leolvashat´ o, hogy milyen értékeket vehet fel, hiszen valós szám négyzete nem lehet negat´ıv, tehát a kvadratikus alak pozit´ıv (negat´ıv) definit, ha a diagonális mátrixa diagonális´ aban minden elem pozit´ıv (negat´ıv), pozit´ıv (negat´ıv) szemidefinit, ha ezek az elemek nemnegat´ıvak (nempozit´ıvek), de van között¨ uk zérus is, és indefinit, ha a diagonálisban van pozit´ıv és negat´ıv elem egyaránt. Meg fogjuk mutatni, hogy minden véges dimenziós val´ os vektortéren értelmezett kvadratikus alakhoz lehet találni a térnek olyan bázis´ at, amelyben a kvadratikus alak mátrixa diagonális mátrix. Ehhez bizonyos el˝okész¨ uletekre van sz¨ ukség. 4.3.4 Defin´ıci´ o. Legyen A szimmetrikus biline´ aris f¨ uggvény a val´ os V vektortéren. Az u és v vektorokat A-ortogon´ alisnak nevezz¨ uk, ha A(u, v) = 0. Olyan bázisban lesz az A szimmetrikus bilineáris f¨ uggvény és a hozzá tartozó Q kvadratikus alak mátrixa diagonális mátrix, amelynek vektorai páronként A-ortogonálisak. A következ˝o tételben ilyen bázis létezését igazoljuk a Gram–Schmidt–elj´ ar´ as seg´ıtségével. 4.3.5 T´ etel. Legyen A szimmetrikus biline´ aris f¨ uggvény a val´ os n-dimenzi´ os V vektortéren. Akkor létezik V -nek olyan b´ azisa, amelynek vektorai p´ aronként A-ortogon´ alisak. Bizony´ıt´ as. A tétel áll´ıtásánal többet igazolunk, nevezetesen azt fogjuk megmutatni, k szerinti teljes indukci´ oval, hogy minden k ≤ n-re van V -nek páronként A-ortogonális k-elem˝ u lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszere. Ha minden v ∈ V -re A(v, v) = 0 , akkor minden v, w ∈ V párra 0 = A(v + w, v + w) = A(v, v) + 2 · A(v, w) + A(w, w) = 2 · A(v, w). Tehát A az azonosan zérus bilineáris f¨ uggvény, ezért V b´ armelyik vektorrendszere páronként A-ortogonális. Így a V bármely k-elem˝ u lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszerei is páronként A-ortogonálisak. Ha A nem az azonosan nulla bilineáris f¨ uggvény, akkor van olyan v ∈ V , hogy A(v, v) 6= 0. Akkor v 6= 0, hiszen ny´ılv´ an A(0, 0) = 0, és ´ıgy az x1 = v egyelem˝ u lineárisan f¨ uggetlen A-ortogonális vektorrendszere V nek, tehát a k = 1 esetben az áll´ıt´ as igaz. (Persze egyelem˝ u vektorrendszer A-ortogonalitása semmitmondó, de nincs ellentétben az A-ortogonalit´ as defin´ıci´ oj´ aval.) Tételezz¨ uk fel, hogy siker¨ ult találni olyan {x1 , . . . , xk−1 } p´ aronként A-ortogon´ alis és lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszert, hogy A(xi , xi ) 6= 0, (i = 1, . . . , k − 1)re. Válasszunk egy olyan u vektort, amely nincs benne az x1 , . . . , xk−1 vektorok által generált lin (x1 , . . . , xk−1 ) altérben. Az u 6∈ lin (x1 , . . . , xk−1 ) felhasznál´ as´ aval konstruálunk egy olyan vektort amely az x1 , . . . , xk−1 vektorok mindegyikére A-ortogonális. Azt állitjuk, hogy az y =u−

k−1 X i=1

A(xi , u) xi , A(xi , xi )

(4.4)


110

ilyen vektor. Valóban, ha 1 ≤ j ≤ k − 1 akkor A(xj , y) = A(xj , u) −

k−1 X i=1

A(xi , u) A(xj , xi ) = A(xj , u) − A(xj , u) = 0, A(xi , xi )

hiszen az indukciós feltevés szerint az {x1 , . . . , xk−1 } vektorrendszer páronként Aortogonális volt, ´ıgy j 6= i esetén A(xj , xi ) = 0. (1)-es eset: Ha van olyan u 6∈ lin (x1 , . . . , xk−1 ) , hogy a seg´ıtségével meghatározott y-ra A(y, y) 6= 0, akkor az xk = y-nal kiegész´ıtve az {x1 , . . . , xk−1 } vektorrendszert a k´ıvánt k-elem˝ u páronként A-ortogon´ alis lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszert kapjuk, és készen vagyunk a bizony´ıt´ assal. A lineáris f¨ uggetlenség abból következik, hogy az k−1 X A(xi , u) u=y+ xi (4.5) A(xi , xi ) i=1 és u 6∈ lin (x1 , . . . , xk−1 ). (2)-es eset: El˝ofordulhat, hogy bárhogyan is választunk egy olyan u vektort, amelyre u 6∈ lin (x1 , . . . , xk−1 ) teljes¨ ul a hozzárendelt y-ra A(y, y) = 0 . Megmutatjuk, hogy mindezek az y vektorok egy M alteret alkotnak V -ben. Ezt igazolandó, legyenek y1 és y2 ilyen vektorok, azaz A-ortogon´ alisak x1 , . . . , xk−1 vektorokra és A(y1 , y1 ) = A(y2 , y2 ) = 0. Az világos, hogy akkor a tetsz˝oleges α, β skal´ arokkal képzett αy1 + βy2 lineáris kombin´ aci´ o is A-ortogon´ alis az x1 , . . . , xk−1 vektorok mindegyikére, mert tetsz˝oleges 1 ≤ j ≤ k − 1-re A(αy1 + βy2 , xj ) = αA(y1 , xj ) + βA(y2 , xj ) = α0 + β0 = 0. Másrészt αy1 +βy2 csak akkor van benne a lin (x1 , . . . , xk−1 ) altérben, ha α = β = 0. Valóban, ha αy1 + βy2 =

k−1 X

γi xi ,

i=1

akkor minden j = 1 . . . , k − 1-re k−1 X

0 = A(αy1 + βy2 , xj ) = A(

xi , xj ) =

i=1

k−1 X

γi A(xi , xj ) = γj A(xj , xj ) ,

i=1

amib˝ol A(xj , xj ) 6= 0 miatt γj = 0 következik. Akkor viszont A(αy1 + βy2 , αy1 + βy2 ) = 0 is kell teljes¨ uljön, α = β = 0 esetben a nyilv´ anval´ o A(0, 0) = 0 miatt, k¨ ul¨ onben pedig az u = αy1 + βy2 vektort helyettes´ıtve a (4.4) egyenletbe y = αy1 + βy2 ad´ odik és feltevés¨ unk szerint A(y, y) = 0 bármely u 6∈ lin (x1 , . . . , xk−1 )-re az y =u−

k−1 X i=1

A(xi , u) xi A(xi , xi )

vektorra. Mint láttuk az M altérnek a lin (x1 , . . . , xk−1 ) altérrel a zér´ o vektoron k´ıv¨ ul nincs más közös eleme. Másrészt a V vektortér minden vektora egy M -beli és


111

egy lin (x1 , . . . , xk−1 )-beli vektor összege a (4.5) összef¨ uggés értelmében, tehát V az M és lin (x1 , . . . , xk−1 ) alterei direktösszege: V = M ⊕ lin (x1 , . . . , xk−1 ). Akkor M bázisa n − k + 1 elem˝ u. Jelölj¨ uk vektorait xk , . . . , xn -nel. Az nyilv´ anval´ o, hogy ezek a vektorok A-ortogonálisak az x1 , . . . , xk−1 vektorokra, mert M minden eleme ilyen. Az, hogy egymásra is A-ortogonálisak következik az alábbi egyenl˝ oségb˝ ol: ha (k ≤ s < t ≤ n) , akkor 0 = A(xs + xt , xs + xt ) = A(xs , xs ) + 2A(xs , xt ) + A(xt , xt ) = = 2A(xs , xt ). Ezzel megmutattuk, hogy van V -nek A-ortogon´ alis bázisa. 2 A fenti tétel bizony´ıtása egyben eljár´ ast is ad arra, hogy adott A, szimmetrikus bilineáris f¨ uggvényhez hogyan keress¨ uk meg a tér egy A-ortogonális bázis´ at. Ebben a bázisban a bilineáris f¨ uggvény, illetve a hozzá tartozó kvadratikus alak mátrixa diagonális mátrix. 1 P´ elda. Legyen A az a R3 -¨ on értelmezett biline´ aris f¨ uggvény, amelynek m´ atrixa az {e1 = [1, 0, 0], e2 = [0, 1, 0], e3 = [0, 0, 1]} b´ azisban az  

A=

1

2 −1

 

2 −3 −2  −1 −2 0

szimmetrikus m´ atrix. Hat´ arozzuk meg a tér egy A-ortogon´ alis b´ azis´ at. Tetsz˝oleges x = [ξ1 , ξ2 , ξ3 ], y = [η1 , η2 , η3 ] vektorp´ arra most  

A(x, y) = [x, A(y)] = [ξ1 , ξ2 , ξ3 ] 

1

2 −1

 

η1

 

2 −3 −2   η2  . −1 −2 0 η3

A konstruálandó A-ortogonális bázis els˝o elemeként megtartható az e1 vektor, hiszen A(e1 , e1 ) = 1. Mivel u1 = e2 6∈ lin (e1 ), az 

y = u1 −

0





1





−2



A(e1 , u)       e1 =  1  − 2  0  =  1  A(e1 , e1 ) 0 0 0

A-ortogonális e1 -re. Továbbá,  

A(y, y) = [y, A(y)] = [−2, 1, 0] 

1

2 −1

 

−2

 

2 −3 −2   1  = −7, −1 −2 0 0


112

´ıgy az {x1 = e1 = [1, 0, 0], x2 = y = [−2, 1, 0]} m´ ar 2-elem˝ u lineárisan f¨ uggetlen A-ortogonális vektorrendszere R3 -nak. Minthogy az e3 vektor nincs benne az x1 , x2 vektorok által generált altérben, a harmadik bázisvektort z = e3 −

2 X A(xi , e3 ) i=1

A(xi , xi )

xi

alakban kereshetj¨ uk. Mivel A(x1 , e3 ) = −1, A(x2 , e3 ) = 0, kapjuk, hogy a 

1



 

z= 0  1 vektor mind x1 -re, mind x2 -re A-ortogon´ alis, tov´ abb´ a A(z, z) = −1. Igy az x3 = z = [1, 0, 1] választással az {x1 , x2 , x3 } vektorrendszer az R3 vektortér páronként A-ortogonális bázisa. Ebben a bázisban az A bilineáris f¨ uggvény mátrixa 

1



0

0

 

0  A0 =  0 −7 0 0 −1 már diagonális mátrix.

2

2 P´ elda. Mutassuk meg, hogy minden val´ os A m´ atrixra, az A∗ · A, u ´gynevezett Gram–féle mátrix pozit´ıv szemidefinit. El˝oször vegy¨ uk észre, hogy A∗ · A szimmetrikus négyzetes mátrix. Ha A m × n ∗ tipus´ u, akkor A tipusa n × m és A∗ · A tipusa pedig n × n. Másrészt (A∗ · A)∗ = A∗ · (A∗ )∗ = A∗ · A. Legyenek V n-dimenziós és W m-dimenziós val´ os vektorterek és X = {x1 , . . . , xn } a V -vek Y = {y1 , . . . , ym } pedig a W térnek bázisa. Jelölje A ∈ L(V, W ) azt a lineáris leképezést, amelynek mátrixa az X , Y bázisp´ arra vonatkoz´ oan éppen A. Akkor az A transzponáltja eleme L(W, V )-nek és mátrixa az Y, X b´ azisp´ arra vonatkoz´ oan ∗ ∗ ∗ éppen a A mátrix. Az A A mátrix pedig az az A A lineáris leképezés mátrixa az X ´ bázisban. Nyilvánvalóan A∗ A a V vektortér lineáris transzformáci´ oja. Ertelmezz¨ uk a V vektortéren az A bilineáris f¨ uggvényt u ´gy, hogy minden v, v˜ ∈ V -re legyen def

A(v, v˜) = [v, (A∗ A)(˜ v )] , ahol [·, ·] a V vektortér X bázis´ ahoz tartozó bels˝o szorzata. Akkor A szimmetrikus bilineáris f¨ uggvény, mert kihasználva a (4.1.8) tétel (5)-ös áll´ıt´ as´ at azt kapjuk, hogy A(v, v˜) = [v, (A∗ A)(˜ v )] = [(A∗ A)(˜ v ), v] = = [˜ v , (A∗ A)(v)] = A(˜ v , v) . Az A-hoz tartozó Q kvadratikus alak minden v ∈ V -hez Q(v) = A(v, v) = [v, (A∗ A)(v)] =


113

= [v, A∗ (A(v))] = [A(v), A(v)] ≥ 0 értéket rendeli, ahol az egyenl˝oség sorozat jobboldalán az A(v) ∈ W vektornak önmagával való Y bázis által meghatározott bels˝o szorzata áll. Az érték nemnegativitása éppen abból következik, hogy az [A(v), A(v)] bels˝o szorzat az A(v) ∈ W vektor koordinátáinak négyzetösszege. 2 ´ Erdemes megjegyezni, hogy ha V = W és A az A ∈ R(V ) reguláris lineáris transzformáció mátrixa, akkor A(v) = 0 akkor és csak akkor teljes¨ ul, ha v = 0, ´ıgy ebben az esetben A∗ · A pozit´ıv definit mátrix. A (4.3.5) tétel bizony´ıtásából, de a fenti els˝o péld´ ab´ ol is kider¨ ul, hogy egy vektortérnek több A-ortogonális bázisa is lehet, ezért ugyanazon szimmetrikus bilineáris f¨ uggvénynek, illetve a hozzátaroz´ o kvadratikus alaknak a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o A-ortogon´ alis bázisokban k¨ ulönböz˝o a diagonális mátrixa. Ennek ellenére egy val´ os vektortéren értelmezett kvadratikus alak bármelyik diagonális mátrixa alkalmas definitségének vizsgálatára, mert a diagonálisban lév˝ o pozit´ıv, negat´ıv és nulla elemek száma minden diagonális mátrixában ugyanaz. Ezt áll´ıtja a Sylvester-féle invariancia tétel. 4.3.6 T´ etel. [Sylvester-f´ ele invariencia t´ etel] Egy véges dimenzi´ os val´ os V vektortéren értelmezett A szimmetrikus biline´ aris f¨ uggvény, illetve a megfelel˝ o Q kvadratikus alak b´ armely diagon´ alis m´ atrix´ aban a pozit´ıv, a negat´ıv és a zér´ o elemek sz´ ama ´ alland´ o. Bizony´ıt´ as. Tekints¨ uk V -nek két k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o A-ortogon´ alis bázis´ at. Legyenek ezek {u1 , . . . , uk , v1 , . . . , v` , w1 , . . . , wm }, illetve {u01 , . . . , u0r , v10 , . . . , vs0 , w10 , . . . , wt0 }, ahol a bázisvektorokat a következ˝ oképpen csoportos´ıtottuk: A(ui , ui ) > 0

és

A(u0j , u0j ) > 0

(i = 1, . . . , k; j = 1, . . . , r),

A(vi , vi ) < 0

és

A(vj0 , vj0 ) < 0

(i = 1, . . . , `; j = 1, . . . , s),

A(zi , zi ) = 0

és

A(zj0 , zj0 ) = 0

(i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , t).

Azt kell tehát igazolnunk, hogy k = r, ` = s és m = t, hiszen az els˝o bázisra vonatkozó (diagonális) mátrixban k a pozit´ıv, ` a negat´ıv és m a nulla diagonális elemek száma, m´ıg a második bázisra vonatkoz´ o (diagonális) mátrixban r a pozit´ıv, s a negat´ıv és t a nulla diagonális elemek száma. Jelölje M, N és P azokat az altereket, amelyeket rendre az {u1 , . . . , uk }, a {v1 , . . . , v` } és a {w1 , . . . , wm } vektorrendszerek generálnak és hasonlóan legyenek M 0 , N 0 és P 0 az {u01 , . . . , u0r }, a {v10 , . . . , vs0 } és a {w10 , . . . , wt0 } vektorrendszerek által generált alterek. Az M altérnek és az N 0 ⊕ P 0 T altérnek csak a zéró vektor a köz¨ os eleme, mert ha x ∈ M (N 0 ⊕ P 0 ), akkor x ∈ M Pk miatt x = i=1 ξi ui , amib˝ol A(x, x) =

k X i=1

ξi2 A(ui , ui ) ≥ 0


114

és A(x, x) = 0 is csak u ´gy lehet, ha x = 0. Másrészt x ∈ N 0 ⊕ P 0 -b˝ol hasonló érveléssel igazolható, hogy A(x, x) ≤ 0. Ebb˝ol következik, hogy van V -nek olyan altere, amely az M és (N 0 ⊕ P 0 ) altereinek a direktösszege. Akkor ¡

¢

dim M ⊕ (N 0 ⊕ P 0 ) = dim M + dim(N 0 ⊕ P 0 ) ≤ dim M 0 + dim(N 0 ⊕ P 0 ) = dim V, amib˝ol dim M ≤ dim M 0 következik. De M és M 0 , illetve N 0 ⊕ P 0 és N ⊕ P szerepét felcserélve a ford´ıtott irány´ u dim M 0 ≤ dim M egyenl˝ otlenséget kapjuk hasonló bizony´ıtással, ´ıgy k = dim M = dim M 0 = r. Anal´ og érveléssel kaphat´ ok, a dim N = dim N 0 és a dim P = dim P 0 egyenl˝ oségek is, ezért azokat az olvas´ ora bizzuk. 2

4.4

Biline´ aris ´ es hermitikus alakok∗

Sajnos komplex vektortereken értelmezett bilineáris f¨ uggvényekhez rendelt kvadrtikus alakok definitségi osztályoz´ asa értelmetlen, hiszen ha egy bilineáris f¨ uggvényhez tartozó Q kvadratikus alak valamely v vektorhoz pozit´ıv Q(v) értéket rendel, akkor az i · v vektorhoz az i2 Q(v) = −Q(v) negat´ıv számot. Ezért komplex vektortereken bevezetj¨ uk a bilineáris alak fogalmát, és a szimmetrikus bilineáris f¨ uggvényeknek megfelel˝o, u ´gynevezett Hermite-féle bilineáris alakokhoz rendel¨ unk majd a komplex vektortéren értelmezett, de valós értékeket felvev˝ o kvadratikus alakokat, amelyek seg´ıtségével a komplex vektorterekre is által´ anos´ıthatjuk a két, illetve 3-dimenziós terek geometriai fogalmait. 4.4.1 Defin´ıci´ o. Legyenek V és W komplex vektorterek, és A : V ⊕ W → C olyan f¨ uggvény, amely eleget tesz az al´ abbi feltételeknek:

(i)

(∀ε1 , ε2 ∈ C) : (∀v1 , v2 ∈ V ) : (∀w ∈ W ) : A(ε1 v1 + ε2 v2 , w) = ε1 A(v1 , w) + ε2 A(v2 , w) ,

ahol εi (i = 1, 2) az εi skal´ ar komplex konjug´ altj´ at jel¨ oli, és (ii)

(∀ω1 , ω2 ∈ C) : (∀v ∈ V ) : (∀w1 , w2 ∈ W ) : A(v, ω1 w1 + ω2 w2 ) = ω1 A(v, w1 ) + ω2 A(v, w2 ) .

Akkor az A f¨ uggvényt biline´ aris alaknak nevezz¨ uk. Láthatóan a bilineáris alak a bilineáris f¨ uggvény fogalmának csekély módos´ıt´ asa, ez az oka a csaknem azonos névv´ alaszt´ asnak is. Mindössze azt ´ırtuk el˝o, hogy a f¨ uggvény els˝o változójában szerepl˝o vektor skal´ arszorz´ oj´ anak ”kiemelése” egy¨ utt jár annak komplex konjugáltjával val´ o helyettes´ıtésével is. Persze, ha ez a skal´ arszorzó történetesn valós szám, akkor konjug´ altja önmaga, tehát a val´ os terek direkt összegén értelmezett bilineáris alakok az eddigi vizsgálatainkban szerepl˝o bilineáris f¨ uggvényekkel egyeznek meg. Egy bilineáris alak els˝o változ´ oj´ at rögz´ıtve, csak´ ugy mint a bilineáris f¨ uggvények esetében, a második változ´ oj´ anak lineáris f¨ uggvénye. Ha azonban a második

´ ´ HERMITIKUS ALAKOK∗ 4.4. BILINEARIS ES

115

változóját rögz´ıtj¨ uk, akkor az els˝o változ´ oj´ anak u ´gynevezett m´ asodfaj´ u line´ aris f¨ uggvénye lesz. Komplex vektorterek eddigi értelemben vett lineáris f¨ uggvényeit els˝ ofaj´ u line´ aris f¨ uggvényeknek is szokás nevezni. Megmutathat´ o, hogy egy V komplex vektortér másodfaj´ u lineáris f¨ uggvényeinek a V ∗ halmaza is komplex vektorteret alkot a f¨ uggvények szokásos összeadásával és a skal´ arokkal val´ o alábbi szorzással: ha ` ∈ V ∗ és λ tetsz˝oleges komplex szám, akkor legyen λ` ∈ V ∗ a def

(∀v ∈ V ) : (λ`)(v) = λ`(v) egyenl˝oséggel definiált. Igazolható, hogy V els˝ofaj´ u és a másodfaj´ u lineáris f¨ uggvényeinek terei izomorfak, és ha V véges dimenziós, akkor V is izomorf ezekkel a terekkel. Ha V = W n-dimenziós komplex térben rögz´ıt¨ unk egy X b´ azist, akkor az X bázishoz tartozik egy, a bels˝o szorzathoz hasonló bilineáris alak is. Nevezetesen, ha v és w tetsz˝oleges V -beli vektorok a bázisvektorok v=

n X

εi xi

és w =

i=1

n X

ωi xi

i=1

lineáris kombinációja, akkor a def

[v, w] =

n X

εi ωi

(4.6)

i=1

(εi a komplex εi koordináta komplex konjug´ altj´ at jelöli) egyenl˝ oséggel definiált f¨ uggvény bilineáris alak, amelyet komplex bels˝ o szorzatnak nevez¨ unk. A komplex bels˝o szorzat a változók felcserélésével szemben már nem invari´ ans, de minden v, w ∈ V vektorpárra teljes¨ ul, hogy [v, w] = [w, v] . 4.4.2 Defin´ıci´ o. Egy V komplex vektortéren értelmezett A biline´ aris alakot Hermite–féle alaknak, vagy r¨ oviden csak hermitikusnak nevez¨ unk, ha minden v, w ∈ V -re A(v, w) = A(w, v) teljes¨ ul. A komplex bels˝o szorzat hermitikus bilineáris alak. Tetsz˝oleges komplex V és W komplex vektorterek direktösszegén értelmezett bilineáris alakok is vektorteret alkotnak, és ha V és W véges dimenziósak akkor a bilineáris alakok tere izomorf az L(W, V ) lineáris leképezések terével. A véges dimenziós esetben, rögz´ıtve V -ben egy X = {x1 , . . . , xn } és W -ben egy Y = {y1 , . . . , ym } bázist egy A biline´ aris alak és a hozzárendelt A ∈ L(W, V ) lineáris leképezést a komplex bels˝o szorzat kapcsolja össze: def

(∀v ∈ V )(∀w ∈ W ) : A(v, w) = [v, A(w)] . Ekkor az A bilineáris alakhoz tartozó A = [A(xi , yj )] = [αij ] mátrix éppen az A lineáris leképezés Y , X bázispárra vonatkoz´ o mátrixa. De most a def

(∀v ∈ V )(∀w ∈ W ) : [A∗ (v), w] = [v, A(w)] = A(v, w)


116

értelmezéssel adott A∗ ∈ L(V, W ) lineáris leképezés A∗ mátrixa nem az A transzponáltja, hanem az A mátrix u ´gynevezett adjungáltja, amit u ´gy kapunk A-ból, hogy transzponáláson kiv¨ ul még a mátrix elemeit konjug´ alnunk is kell. Ennek igazolás´ ahoz tegy¨ uk fel, hogy A∗ = [βji ], (j = 1, . . . , n; i = 1, . . . , m) , tehát xi ∈ X vektor A∗ (xi ) képének az yj ∈ Y b´ azisvektorra vonatkoz´ o koordinát´ aja βji . Akkor αij = A(xi , yj ) = [A∗ (xi ), yj ] = βji , amib˝ol már adódik a k´ıvánt βji = αij egyenl˝ oség. aris leképezést az A ∈ L(W, V ) adjung´ altj´ a4.4.3 Defin´ıci´ o. Az A∗ ∈ L(V, W ) line´ nak nevezz¨ uk. A bilineáris f¨ uggvényekkel kapcsolatban igazolt áll´ıt´ asok csaknem mindegyike változatlanul igaz marad bilineáris alakokra is, ha a transzponál´ as helyett adjungálást végz¨ unk. A (4.1.8) tétel (2)-es pontj´ at azonban módos´ıtanunk kell, a megfelel˝o összef¨ uggés: (αA)∗ = α · A∗ Természetesen a mátrixokra val´ o megfogalmazás is hasonlóan módosul: (αA)∗ = α · A∗ . Az A : V ⊕ V → C alak´ u bilineáris alakhoz is rendelhet¨ unk Q : V → C kvadratikus alakot, amely minden v ∈ V -hez a Q(v) = A(v, v) értéket rendeli. A val´ os esett˝ol eltér˝oen, azonban a bilineáris alakok és a kvadratikus alakok köz¨ ott egy-egyértelm˝ u a megfeleltetés. 4.4.4 T´ etel. A komplex V vektortéren értelmezett A biline´ aris alakot a hozz´ arendelt Q kvadratikus alak egyértelm˝ uen meghat´ arozza. Bizony´ıt´ as. El˝oször lássuk be, hogy minden v ∈ V -re Q(v) = Q(i · v) , ahol i jelöli a képzetes egységet (i2 = −1). Valóban, mivel az i komplex szám ¯i konjug´ altja −i, kapjuk, hogy Q(i · v) = A(i · v, i · v) = ¯iA(v, i · v) = −i2 A(v, v) = Q(v) . Ezt figyelembe véve (1)

Q(v + w) = A(v + w, v + w) = = A(v, v) + A(v, w) + A(w, v) + +A(w, w) = = Q(v) + A(v, w) + A(w, v) + Q(w) ,

és (2)

Q(iv + w) = A(iv + w, iv + w) =

´ ´ HERMITIKUS ALAKOK∗ 4.4. BILINEARIS ES

117

= A(iv, iv) + A(iv, w) + A(w, iv) + A(w, w) = = Q(iv) + A(iv, w) + A(w, iv) + Q(w) = = Q(v) − iA(v, w) + iA(w, v) + Q(w) egyenl˝oségek adódnak. Ezekb˝ol már rövid számol´ assal kifejezhetj¨ uk A(v, w) értékét: (3)

A(v, w) =

Q(v + w) + iQ(iv + w) − (1 + i) (Q(v) + Q(w)) , 2

ami a (3) összef¨ uggés szerint csak Q értékeit˝ ol f¨ ugg. Ezzel a tételt igazoltuk. 2 Ahhoz, hogy egy bilineáris alakhoz rendelt kvadratikus alak definitségér˝ ol lehessen beszélni, az kell, hogy a szóbanforg´ o kvadratikus alak val´ os értékeket vegyen fel. Ennek sz¨ ukséges és elegend˝o feltételét fogalmaztuk meg a következ˝ o tételben. 4.4.5 T´ etel. Egy komplex vektortéren értelmezett kvadratikus alak pontosan akkor val´ os érték˝ u, ha a hozz´ a tartoz´ o biline´ aris alak hermitikus. Bizony´ıt´ as. Sz¨ ukségesség: Tegy¨ uk fel, hogy a V véges dimenziós komplex tér A bilineáris alakjához tartozó Q kvadratikus alak V minden pontj´ aban val´ os érték˝ u. Akkor, mint azt az el˝oz˝o tétel bizony´ıt´ as´ aban láttuk (lásd a (3)-as egyenl˝ oséget az el˝oz˝o tételben), A(v, w) =

Q(v + w) + iQ(iv + w) − (1 + i) (Q(v) + Q(w)) , 2

és az (1) és (2) egyenl˝oségek felhasznál´ as´ aval azt ellen˝orizhetj¨ uk, hogy A(w, v) =

Q(v + w) − iQ(iv + w) − (1 − i) (Q(v) + Q(w)) . 2

Mivel Q minden pontban valós érték˝ u, ebb˝ol már kiolvashat´ o, hogy A(v, w) = A(w, v) . Elegend˝oség: Ha A hermitikus, akkor bármely v ∈ V -re Q(v) = A(v, v) = A(v, v) = Q(v) , és tekintve, hogy egy komplex szám konjug´ altja pontosan akkor önmaga, ha val´ os, kapjuk, hogy Q(v) valós kell legyen. Ezzel a bizony´ıtást befejezt¨ uk. 2 Igy már értelmezhetj¨ uk egy A hermitikus bilineáris alak definitségét is: 4.4.6 Defin´ıci´ o. Ha A a komplex V vektortéren értelmezett hermitikus biline´ aris alak, akkor azt mondjuk, hogy (a) A – pozit´ıv (szemi)definit ha A(v, v) > 0(≥ 0) minden nemnulla v ∈ V vektorra, (b) A – negat´ıv (szemi)definit ha A(v, v) < 0(≤ 0), minden nemnulla v ∈ V vektorra, (c) A – indefinit ha léteznek olyan v és w vektorok, hogy A(v, v) > 0 és A(w, w) < 0.

118


Véges dimenziós komplex téren értelmezett hermitikus alakhoz tartozó lineáris transzformáció adjungáltja önmaga. Ezt a [v, A(w)] = A(v, w) = A(w, v) = [w, A(v)] = [A∗ (w), v] = [v, A∗ (w)] számolással kapjuk, és ebb˝ol már következik, hogy hermitikus alak mátrix´ anak adjungáltja önmaga. Ezért az ilyen transzformáci´ okra (mátrixokra) az ¨ onadjung´ alt transzform´ aci´ o (m´ atrix) elnevezéseket használjuk. Ha pedig egy transzformáci´ o (mátrix) adjungáltja megegyezik az inverzével, akkor unitér transzform´ aci´ onak (m´ atrixnak) h´ıvjuk. Véges dimenziós komplex vektortéren értelmezett hermitikus alakokhoz mindig található olyan bázisa a térnek, amelyben a hermitikus alak mátrixa diagonális mátrix, és érvényes a Sylvester-féle invariancia tétel is, azaz hermitikus alak bármely diagonális mátrixában ugyanannyi a pozit´ıv, a negat´ıv és a nulla elemek száma.

5. Fejezet

Euklideszi ´ es unit´ er terek A jegyzet els˝o fejezetét azzal kezdt¨ uk, hogy a vektorterek elmélete a középiskolai koordináta geometria, illetve analitikus geometria által´ anos´ıt´ as´ anak tekinthet˝ o. Mindeddig azonban nem foglalkoztunk olyan kérdésekkel, amelyek a tér elemeinek távolságával, vagy egyenesek által bezárt szögekkel kapcsolatosak, s˝ot azt sem tudhatjuk az eddigiekb˝ol, hogy melyek a köznapi értelemben vett 3-dimenziós tér olyan objektumainak, mint a pont, egyenes, s´ık stb., megfelel˝oi az absztrakt többdimenziós vektorterekben. A val´ os száms´ıkon elhelyezked˝ o pontok távols´ ag´ at a pontok koordinátáiból származtattuk, nevezetesen vett¨ uk a megfelel˝o koordinát´ ak k¨ ulönbségének négyzetösszegéb˝ol vont négyzetgy¨ ok¨ ot. A távols´ ag nemnegat´ıv val´ os, azon bel¨ ul is esetleg irracionális számnak adódott, által´ aban még akkor is, ha a pontok koordinátái eg´ esz, vagy racionális számok voltak, péld´ aul az A(1,0) és B(0,1) √ uk pontok távolsága 2 irracionális szám. Annak érdekében, hogy meg˝orizhess¨ azt a tulajdonságot, hogy a tér elemeinek távols´ aga nemnegat´ıv val´ os számmal kifejezhet˝o és a tér elemeinek koordinát´ aib´ ol származtathat´ o, vizsgálatainkat által´ aban lesz˝ uk´ıtj¨ uk véges dimenziós valós és komplex vektorterekre, de ahol olyan eredményeket kapunk, amelyek érvényesek végtelen dimenziós vektorterekre is, akkor a tér véges dimenziós voltát nem hangs´ ulyozzuk.

5.1

Euklideszi terek

A valós számtest, mint 1-dimenziós val´ os vektortér, és egy egyenes pontjai köz¨ ott u ´gy létes´ıtett¨ unk egy-egyértelm˝ u megfeleltetést, hogy kijelölt¨ unk az egyenesen két pontot, az egyikhez a 0, a másikhoz az 1 val´ os számot rendelt¨ uk, majd ezután a λ számhoz azt a pontot rendelt¨ uk, amely az origót´ ol, azaz a 0-nak megfelel˝o pontt´ ol |λ| távolságra van, a 0 és az 1-gyel jelölt pontok távols´ ag´ at véve egységnek, az egyenesnek az origótól az 1-et tartalmazó félegyenesen, ha λ > 0, illetve az ellentétes irány´ u félegyenesen, ha λ < 0. Eljárhattunk volna a következ˝ oképpen is: felvesz¨ unk egy helyvektort, azaz egy irány´ıtott szakaszt, melynek a hosszát egységnyinek tekintj¨ uk, majd annak λ valós számsorosait u ´gy értelmezz¨ uk, hogy vessz¨ uk az ugyanabból a kezd˝opontból induló, |λ| hossz´ us´ ag´ u, és az alapul vett helyvektor irány´ aval megegyez˝o, vagy azzal ellentétes iány´ u helyvektorokat, aszerint, hogy λ > 0, vagy λ < 0 . A két eljárás ekvivalens abban az értelemben, hogy a helyvektorok végpontjai azonosak az els˝o eljárás szerinti egyenes pontjaival. Így amikor a számegyenes 119

´ UNITER ´ TEREK 5. FEJEZET EUKLIDESZI ES

120

pontjainak koordinátáiról beszél¨ unk, tulajdonképpen annak a vektornak a koordinátáiról van szó, amely az origób´ ol a szóbanforg´ o pontba mutat, éspedig az alapul vett helyvektorra, mint bázisra vonatkoz´ oan. A val´ os száms´ık pontjainak koordinátái is helyvektorok koordinátái, ahol a bázist, által´ aban egymásra mer˝oleges, két vektor alkotja. Ennek megfelel˝oen a továbbiakban vizsgált vektorterek vektorait a tér pontjainak ´ fogjuk nevezni. Ertelmezni fogjuk a pontok távols´ ag´ at, a pontokb´ ol képez¨ unk félegyeneseket, definiáljuk azok hajlássz¨ ogét és megadjuk néh´ any más geometriai objektum megfelel˝oit tetsz˝oleges n-dimenziós val´ os vektorterekben. A 2-dimenziós val´ os koordinátatérben, a valós száms´ıkon az "

x=

ξ1 ξ2

#

"

és y =

η1

#

η2

p

pontok távolsága d = (ξ1 − η1 )2 + (ξ2 − η2 )2 . A már a középiskolai tanulm´ anyaink során értelmezett skaláris szorzat seg´ıtségével ez a távols´ ag, a két vektor k¨ ulönbségének önmagával alkotott skal´ aris szorzatáb´ ol vont pozit´ıv négyzetgy¨ oknek adódott, tehát a skaláris szorzat lehet az az eszköz, amelyre támaszkodhatunk, a távolság értelmezésekor. Mivel nem k´ıv´ anjuk vizsgálatainkat a koordinátaterekre korlátozni, a vektorok skaláris szorzat fogalmát u ´gy kell definiálni, hogy egyrészt ne csak koordinátaterekben lehessen a vektorok skal´ aris szorzatát értelmezni, másrészt a középiskolában megismert skal´ aris szorzat a mi értelmezés¨ unk szerint is skal´ aris szorzat maradjon. A következ˝o defin´ıci´ oban a val´ os skal´ aris szorzat által´ anos fogalmát adjuk meg. 5.1.1 Defin´ıci´ o. Legyen V val´ os vektortér és h, i : V × V → R olyan f¨ uggvény, amely minden v, w ∈ V vektorp´ arhoz egy hv, wi-vel jel¨ olt val´ os sz´ amot rendel. A h, i f¨ uggvényt skal´ aris szorzatnak nevezz¨ uk, ha eleget tesz az al´ abbi feltételeknek: b´ armely v, w, z ∈ V vektorokra és tetsz˝ oleges λ val´ os sz´ amra (1) hv, wi = hw, vi, (2) hλv, wi = λ hv, wi, (3) hv + w, zi = hv, zi + hw, zi, (4) hv, vi ≥ 0 és

hv, vi = 0 ⇐⇒ v = 0.

Azok számára, akik a bilineáris f¨ uggvényekr˝ ol nyilv´ anval´ o, hogy a skal´ aris szorzat a V vektortéren értelmezett pozit´ıv definit szimmetrikus bilineáris f¨ uggvény. Bár a (2) és (3) feltételb˝ol csak az els˝o változ´ oban val´ o linearitás következik, de az, az (1) feltétel miatt a második változ´ ora is teljes¨ ul. A (4)-edik feltétel pedig a szim´ metrikus bilineáris f¨ uggvény pozit´ıv definitségét ´ırja el˝o. Erdemes felfigyelni arra, hogy a skaláris szorzat értelmezésénél nincs sz¨ ukség arra, hogy a V vektortér véges dimenziós legyen, például a valós egy¨ utthat´ os polinomok R[t] végtelen dimenziós terében két, p(t), q(t) polinom skal´ aris szorzata értelmezhet˝ oa def

hp(t), q(t)i =

Z 1 0

p(t)q(t) dt

5.1. EUKLIDESZI TEREK

121

definiáló egyenl˝oséggel. (Az (1)–(4) feltételek teljes¨ ulésének ellen˝orzését az olvas´ ora bizzuk!) Vannak azonban olyan végtelen dimenziós val´ os vektorterek is, amelyekben nem definiálható skaláris szorzat, ilyen péld´ aul az összes val´ os számsorozatok vektortere. Ennek az áll´ıtásnak az igazolása nem könny˝ u és kiv¨ ul esik vizsgálataink körén. 5.1.2 Defin´ıci´ o. Az olyan véges dimenzi´ os val´ os vektortereket, amelyben skal´ aris szorzat van értelmezve euklideszi tereknek nevezz¨ uk. Megjegyzés: Az el˝oz˝o fejezetben találkoztunk a bels˝o szorzatnak nevezett szimmetrikus bilineáris f¨ uggvény fogalmával, és tetsz˝oleges F test feletti V vektortér bármely bázisa seg´ıtségével definiálni tudtunk bels˝o szorzatot, ami szimmetrikus bilineáris f¨ uggvény. Azok kedvéért, akik alapszint˝ u képzésben részes¨ ulnek u ´jra megadjuk a bels˝o szorzat fogalmát. 5.1.3 Defin´ıci´ o. Legyen V n-dimenzi´ os F test feletti vektortér, és annak X = {x1 , . . . , xn } egy r¨ ogz´ıtett b´ azisa tetsz˝ oleges v=

n X

εi xi

és

w=

i=1

n X

ωi xi

i=1

vektorok bels˝ o szorzat´ an a def

[v, w] =

n X

εi ωi

i=1

¨ osszeget értj¨ uk. Véges dimenziós valós vektorterekben bels˝o szorzat nyilv´ anval´ oan mindig értelmezhet˝o és mindig skaláris szorzat. Következésképpen, minden véges dimenziós valós vektortér euklideszivé tehet˝o. Ezt bizony´ıtjuk a következ˝ o tételben. 5.1.4 T´ etel. Ha V véges dimenzi´ os val´ os vektortér, akkor értelmezhet˝ o skal´ aris szorzat V -ben. Bizony´ıt´ as. Legyen X = {x1 , . . . , xn } V -nek tetsz˝oleges bázisa és bármely v, w ∈ V -re legyen def

hv, wi = [v, w] =

n X

εi ωi ,

i=1

ahol εi , illetve ωi (i = 1, . . . , n) a v, illetve w vektorok X b´ azisra vonatkoz´ o koordinátái. Be kell látnunk, hogy a bels˝o szorzat kielég´ıti a skal´ aris szorzattól megkövetelt feltételeket. Ezeket egszer˝ u számol´ assl igazolhatjuk. P P os számok szorzása kommu(1) [v, w] = ni=1 εi ωi = ni=1 ωi εi = [w, v] , hiszen a val´ tat´ıv. (2) Kihasználva, hogy λv =

n X

λεi xi ,

i=1

kapjuk, hogy [λv, w] =

n X i=1

λεi ωi = λ

n X i=1

εi ωi = λ[v, w] .


122 (3) Ha z =

Pn

i=1 ζi

egy tetsz˝oleges harmadik vektor V -ben, akkor, kihasználva, hogy n X

v+w =

(εi + ωi )xi ,

i=1

és azt, hogy a valós számok szorzása az összead´ asra nézve disztribut´ıv, azt kapjuk, hogy [v + w, z] = +

n X

n X

n X

i=1

i=1

(εi + ωi )ζi =

εi ζi +

ωi ζi = [v, z] + [w, z]

i=1

(4) Mivel minden α ∈ R-re α2 ≥ 0 , [v, v] =

n X

ε2i ≥ 0

i=1

és valós számok négyzeteinek összege akkor és csakis akkor nulla, ha mindegyik nulla, ezért [v, v] = 0 ⇐⇒ v = 0 . 2 5.1.5 Defin´ıci´ o. Egy V val´ os vektorteret norm´ alt térnek h´ıvunk, ha létezik olyan k · k : V −→ R norma-f¨ uggvény, amely b´ armely v ∈ V -re (1)

kvk ≥ 0 és

kvk = 0 ⇐⇒ v = 0 ,

(2)

kεvk = |ε|kvk ,

(3)

kv + wk ≤ kvk + kwk

feltételeknek tesz eleget. A kvk nemnegat´ıv sz´ amot a v vektor norm´ aj´ anak nevezz¨ uk. 5.1.6 T´ etel. Ha egy V val´ os vektortéren skal´ aris szorzat van értelmezve, akkor a def p kvk = hv, vi defini´ al´ o egyenl˝ oséggel megadott f¨ uggvény norma. Bizony´ıt´ as. Az, hogy v(6= 0) ∈ V -re kvk = nye a skaláris szorzat (4)-es tulajdonság´ anak. Ha ε tetsz˝oleges valós szám, akkor q

q

kεvk =

hεv, εvi =

p

hv, vi > 0 közvetlen következmé-

q

ε2 hv, vi = |ε| hv, vi = |ε|kvk .

A normától megkövetelt 3-dik tulajdonság teljes¨ ulését bizony´ıtand´ o, el˝osz¨ or is vegy¨ uk észre, hogy kv + wk ≤ kvk + kwk ⇐⇒ kv + wk2 ≤ (kvk + kwk)2 , mert az egyenl˝otlenség mindkét oldalán nem-negat´ıv val´ os számok állnak. szám´ıtva az egyenl˝otlenség mindkét oldalát:

Ki-

kv +wk2 = hv + w, v + wi = hv, vi+2 hv, wi+hw, wi = kvk2 +2 hv, wi+kwk2 , (5.1)


123

illetve (kvk + kwk)2 = kvk2 + 2 · kvk · kwk + kwk2 .

(5.2)

összehasonl´ıtva (5.1)-t és (5.2)-t kapjuk, hogy kv + wk2 ≤ (kvk + kwk)2 ⇐⇒ hv, wi ≤ kvk · kwk . Ennél azonban egy kicsivel több is igaz, nevezetesen, hogy | hv, wi | ≤ kvk · kwk .

(5.3)

Ez utóbbi, a Cauchy-Schwarz-egyenl˝ otlenség néven vált h´ıressé. Bizony´ıt´ asa a skaláris szorzat tulajdonságait használja ki: hv + λw, v + λwi ≥ 0 bármely λ val´ os számra a skal´ aris szorzat (4)–es tulajdonsága miatt, ami részletesebben hv, vi + 2λ hv, wi + hw, wi = kvk2 + 2λ hv, wi + λ2 kwk2 ≥ 0 alakban ´ırható. Mivel ez λ-nak másodfok´ u polinomja pozit´ıv f˝oegy¨ utthat´ oval, csak akkor lehet nemnegat´ıv, ha ezen polinom diszkriminánsa nempozit´ıv. (Pozit´ıv diszkrimináns esetén két k¨ ulönböz˝ o, λ1 , λ2 értéknél a polinom zéruss´ a, m´ıg a (λ1 , λ2 ) intervallum belsejében negat´ıvvá válna!) Így tehát 4(hv, wi)2 − 4kvk2 · kwk2 ≤ 0 , amib˝ol átrendezéssel, 4-gyel val´ o egyszer˝ us´ıtéssel, majd mindkét oldalból val´ o négyzetgyök vonással kapjuk a k´ıv´ ant | hv, wi | ≤ kvk · kwk Cauchy-Schwarz-egyenl˝otlenséget. Tekintve, hogy egy val´ os szám nem kisebb mint az abszol´ ut értéke, kapjuk a normától elvárt 3-dik tulajdonsággal ekvivalens hv, wi ≤ kvk · kwk egyenl˝otlenséget, és ezzel a bizony´ıtás teljes. 2 A skaláris szorzathoz rendelt norma esetén minden v ∈ V vektorra hv, vi = kvk2 , de az általában nem igaz, hogy minden norma származtathat´ o skal´ aris szorzatból, ezért megk¨ ulönböztetés¨ ul a skaláris szorzatból származtatott normát euklideszi-norm´ anak fogjuk nevezni. Példa nem euklideszi-normára, az Rn val´ os koordinátatérben az 



ξ1  .   .  −→ max |ξi |  .  1≤i≤n ξn f¨ uggvény, amelyet nevezz¨ unk maximum-norm´ anak. Annak igazolás´ at, hogy ez val´ oban norma, az olvasóra bizzuk. Azt, hogy az ´ıgy definiált norma nem euklideszinorma n > 1 esetén, a következ˝ oképpen láthatjuk be: Vegy¨ uk észre, hogy euklideszi-norma esetén tetsz˝oleges két x, y vektorra kx + yk2 = kxk2 + 2 hx, yi + kyk2 , tehát skaláris szorzatuk hx, yi =

kx + yk2 − kxk2 − kyk2 2


124

kifejezhet˝o a norma f¨ uggvényeként. Tekints¨ uk az x = [−1, −2, 0, . . . , 0] és y = [2, 1, 0, . . . , 0] Rn -beli vektorokat, ahol a 0 komponensek száma n − 2 . Ha a maximum-norma skaláris szorzatból származna, akkor ezekre a vektorokra 1−4−4 7 =− 2 2

hx, yi =

és

h−x, yi =

9−4−4 1 = 2 2

teljes¨ ulne, ellentétben a skaláris szorzat (2)-es tulajdonság´ aval. Ez a kis ellenpélda mutatja, hogy n ≥ 2-re a maximum-norma nem euklideszi-norma. Anal´ızis tanulmányainkból tudjuk, hogy normált terekben definiálhat´ o t´ avols´ agf¨ uggvény, vagy más elnevezéssel metrika. A metrika teszi lehet˝ové azoknak a topológiai alapfogalmaknak az értelmezését, ami majd a többv´ altoz´ os anal´ızis lineáris algebrai alapokra helyezését lehet˝ové teszi. A metrikát´ ol az alábbi elvár´ asaink vannak. 5.1.7 Defin´ıci´ o. A V vektortéren értelmezet d : V ×V −→ R f¨ uggvényt metrik´ anak nevez¨ unk, ha minden v, w, z ∈ V -re eleget tesz az al´ obbi feltételeknek: (i) d(v, w) ≥ 0 és

d(v, w) = 0 ⇐⇒ v = w,

(ii) d(v, w) = d(w, v), (iii) d(v, z) ≤ d(v, w) + d(w, z) Ezek a feltételek elég természetesek: (i) azt k´ıv´ anja, hogy két pont távols´ aga nemnegat´ıv legyen és csak akkor lehessen nulla, ha a két pont egybeesik. (ii) azt fejezi ki, hogy két pont távolsága f¨ uggetlen kell legyen attól, hogy azt melyik pontb´ ol kiindulva mérj¨ uk. Ez a követelmény is természetes. Vég¨ ul (iii) a háromsz¨ og egyenl˝otlenség azt mondja, hogy két pont köz¨ ott a legrövidebb u ´t a pontokat összek¨ ot˝ o egyenes mentén van. Bár anal´ızis tanulmányaink során igazoltuk, a teljesség kedvéért itt is bizony´ıtjuk, hogy ha egy valós vektortér normált tér, akkor abban metrika is definiálhat´ o. 5.1.8 T´ etel. Ha a val´ os V vektortér norm´ alt tér, akkor az a d : V × V −→ R def f¨ uggvény, amely tetsz˝ oleges v, w ∈ V pontokhoz a d(v, w) = kv − wk val´ os sz´ amot rendeli metrika. Bizony´ıt´ as. (a) Mivel minden v(6= 0) ∈ V vektor normája pozit´ıv, másrészt k0k = k0 · vk = |0| · kvk = 0 , kapjuk, hogy d(v, w) = kv − wk ≥ 0 és d(v, w) = kv − wk = 0 ⇐⇒ v − w = 0 ⇐⇒ v = w, igazolva ezzel, hogy a metrika (i) axióm´ aja teljes¨ ul. (b) A norma 2-dik tulajdonsága alapján d(v, w) = kv − wk = k − 1(w − v))k = | − 1|kw − vk = kw − vk = d(w, v). Ez mutatja, hogy a (ii) feltételnek is eleget tesz a definiált f¨ uggvény. (c) A háromszög egyenl˝otlenség igazolása a norma 3-dik tulajdonság´ ab´ ol következik.


125

Bevezetve a v − w = x és w − z = y jel¨ oléseket, tekintve, hogy v − z = x + y , kapjuk, hogy d(v, z) = kv − zk = kx + yk ≤ kxk + kyk = kv − wk + kw − zk = d(v, w) + d(w, z) . 2 Mint ismeretes, egy metrikával ellátott halmazt metrikus térnek nevez¨ unk, tehát az el˝oz˝o tételt u ´gy is megfogalmazhattuk volna, hogy egy normált val´ os vektortér metrikus tér. Az euklideszi-norma által meghatározott metrikát euklideszi metrik´ anak fogjuk nevezni. Az euklideszi terek pontjainak távols´ ag´ ara fels˝o becslést biztos´ıt a háromsz¨ og egyenl˝otlenség, alsó becslést pedig, hogy a távols´ ag nemnegat´ıv. Id˝onként azonban sz¨ ukség van finomabb alsó becslésre. Ezt szolgálja a következ˝ o tetsz˝oleges metrikus terekben is igaz áll´ıtás: ´ ıt´ 5.1.9 All´ as. Ha v, w és z az E euklideszi tér pontjai, akkor |d(v, w) − d(w, z)| ≤ d(v, z) .

Bizony´ıt´ as. A háromszög egyenl˝ otlenség miatt, felhasználva a távols´ agf¨ uggvény változóinak felcserélhet˝oségét is, kapjuk, hogy (a) .

d(v, w) ≤ d(v, z) + d(w, z)

és

d(w, z) ≤ d(v, w) + d(v, z)

Az (a) egyenl˝otlenségek átrendezésével adódnak a (b)

d(v, w) − d(w, z) ≤ d(v, z)

és

d(w, z) − d(v, w) ≤ d(v, z)

egyenl˝otlenségek és a (b) ekvivalens a bizony´ıtand´ o |d(v, w) − d(w, z)| ≤ d(v, z) egyenl˝otlenséggel.

2

Vezess¨ uk be az E euklideszi tér egy v 6= 0 pontj´ an átmen˝ o, origó kezd˝ opont´ u félegyenes fogalmát. Ezen egy ~v -vel jelölt ponthalmazt fogunk érteni, amelynek elemei a v pont nemnegat´ıv skalárszorosai. Formaliz´ alva: ~v = {λv|λ ∈ R, λ ≥ 0} . Definiáljuk két tetsz˝oleges ~v és w ~ (v 6= 0 6= w) félegyenes hajlássz¨ ogét is, értve ezen azt a φ (0 ≤ φ ≤ π) szöget, amelyre def

cos φ =

hv, wi kvk · kwk

áll fenn. A Cauchy-Schwarz-egyenl˝ otlenségb˝ ol következik, hogy −1 ≤

hv, wi ≤ 1, kvk · kwk


126 másrészt, ha α 6= 0 6= β, akkor

hαv, βwi αβ hv, wi hv, wi = = , kαvk · kβwk αkvk · βkwk kvk · kwk és ´ıgy, a hajlásszög fogalma jól-defini´ alt. Hangs´ ulyozni k´ıv´ anjuk, hogy távols´ agot, mint láttuk normált terekben is mérhet¨ unk, amihez nem feltétlen¨ ul kell legyen skaláris szorzat, de a szög bevezetéséhez használtuk a skal´ aris szorzatot is, és a skal´ aris szorzatból származtatott normát is. A tov´ abbiakban mindig feltessz¨ uk, hogy az euklideszi térben a norma a skaláris szorzattal van értelmezve. A defin´ıci´ ob´ ol azonnal adódik, hogy két ~v és w ~ félegyenes mer˝oleges egymásra, ha a v és w pontok skaláris szorzata nulla. A derékszöget bezár´ o félegyeneseket meghatároz´ o vektorokat ortogon´ alisaknak nevezz¨ uk. Itt érdemes megjegyezn¨ unk, hogy a zér´ ovektornak bármely vektorral való skaláris szorzata nulla. Ez azonnal adódik a skal´ aris szorzat (2)es feltételéb˝ol. Ugyanakkor a zér´ ovektor nem határoz meg félegyenest, ´ıgy célszer˝ ua vektorok ortogonalitását u ´jradefini´ alni, hogy a zér´ o vektort se kelljen kizárni a szóba jöhet˝o vektorok köréb˝ol. Ezért két vektort akkor fogunk ortogonálisnak mondani, ha skaláris szorzatuk nulla. Az olyan vektorrendszereket, amelyek a zér´ o vektort nem tartalmazzák és vektorai páronként ortogonálisak ortogon´ alis rendszernek h´ıvjuk. A két, illetve 3-dimenziós terekben az ortogonális rendszerek lineárisan f¨ uggetlenek, ´ıgy nem meglep˝o a következ˝o áll´ıt´ as. 5.1.10 T´ etel. f¨ uggetlen.

Egy E euklideszi tér b´ armely ortogon´ alis rendszere line´ arisan

Bizony´ıt´ as. Legyen X = {x1 , . . . , xi , . . . , xn } ortogon´ alis rendszere E-nek, és tételezz¨ uk fel, hogy ξ1 x1 + · · · + ξi−1 xi−1 + ξi xi + ξi+1 xi+1 + · · · + ξn xn = 0 .

(5.4)

Képezve ezen vektoregyenlet mind baloldalán, mind jobboldalán lév˝ o vektor´ anak az xi ∈ X (1 ≤ i ≤ n) vektorral val´ o skal´ aris szorzatát, kihasználva az X ortogonális rendszer voltát, kapjuk, hogy n X

hξj xj , xi i = ξi hxi , xi i = ξi · kxi k2 = h0, xi i = 0 .

j=1

Mivel feltevés¨ unk szerint xi 6= 0, ez csak u ´gy lehetséges, ha ξi = 0. Tekintve, hogy xi tetsz˝oleges vektora volt X -nek, ez azt jelenti, hogy az (5.4) lineáris kombin´ aci´ o minden skalár egy¨ utthatója nulla kell, hogy legyen, azaz az X ortogonális rendszer lineárisan f¨ uggetlen. 2 A 2- és 3-dimenziós euklideszi terek Descartes-féle koordináta rendszereire gondolva, felmer¨ ul a kérdés, hogy vajon tetsz˝oleges n-dimenziós euklideszi terekben lehete olyan bázist választani, amelynek vektorai páronként ortogonálisak és egységnyi hossz´ uság´ uak. Be fogjuk látni, hogy ez minden euklideszi térben lehetséges. Els˝o lépésben ismertetj¨ uk, a Gram-Schmidt-féle ortogonaliz´ aci´ os elj´ ar´ as skal´ aris szorzatra specializált változatát, emlékeztetve az olvas´ ot, hogy a bilineáris f¨ uggvények tanulmányozásakor már használtuk a Gram-Schmidt-m´ odszert annak igazolás´ ara, hogy tetsz˝oleges a V vektortérnek van A-ortogonális bázisa, ahol A a V vektortéren értelmezett szimmetrikus bilineáris f¨ uggvény.


127

5.1.11 T´ etel. Ha X = {x1 , . . . , xi−1 , xi , xi+1 , . . . , xn } az E euklideszi tér tetsz˝ oleges line´ arisan f¨ uggetlen vektorrendszere, akkor van E-nek olyan Y = {y1 , . . . , yi−1 , yi , yi+1 , . . . , yn } ortogon´ alis rendszere, amelynek minden yi vektora az x1 , . . . , xi vektoroknak line´ aris kombin´ aci´ oja. Bizony´ıt´ as. A bizony´ıtás teljes indukci´ oval történik, ami egy´ uttal azt is megmutatja, hogy Y vektorait milyen módon konstru´ alhatjuk meg X vektoraib´ ol. Legyen y1 = x 1 , majd képezz¨ uk az y2 = x2 + λy1 lineáris kombin´ aci´ ot, amelyben a λ egy¨ utthat´ ot u ´gy választjuk meg, hogy az y2 és y1 ortogonálisak legyenek, azaz hy2 , y1 i = hx2 , y1 i + λ hy1 , y1 i = hx2 , y1 i + λky1 k2 = 0 teljes¨ uljön. Ez a λ=−

hx2 , y1 i ky1 k2

skalár egy¨ uttható választással megval´ osul, tehát az y2 = x2 −

hx2 , y1 i ky1 k2

vektor ortogonális y1 -re, és mert y1 egyenl˝ o volt x1 -gyel, az is igaz, hogy y2 az x1 és x2 vektorok lineáris kombin´ aci´ oja. Legyen az az indukci´ os feltevés¨ unk, hogy már siker¨ ult u ´gy meghatároznunk az y1 , . . . , yi vektorokat, hogy azok páronként ortogonálisak és mindegyik yj (1 ≤ j ≤ i) vektor az x1 , . . . , xj vektorok lineáris kombinációja. Akkor a következ˝ot yi+1 = xi+1 +

i X

λj yj

j=1

alakban áll´ıtjuk el˝o, ahol a skalár egy¨ utthat´ okat annak a követelménynek megfelel˝oen választjuk, hogy yi+1 ortogonális legyen az y1 , . . . , yi vektorok mindegyikére. Az hyi+1 , yk i = hxi+1 , yk i +

i X

λj hyj , yk i = hxi+1 , yk i + λk hyk , yk i =

j=1

= hxi+1 , yk i λk kyk k2 = 0 (k = 1, . . . , i) feltételeket kihasználva, az adódik, hogy a λk = −

hxi+1 , yk i (k = 1, . . . , i) kyk k2

választás mellett yi+1 = xi+1 −

i X hxi+1 , yj i j=1

kyj k2

yj

vektor ortogonális az y1 , . . . , yi vektorok mindegyikére és az x1 , . . . , xi , xi+1 vektorok lineáris kombinációja. Az eljár´ as n lépésben befejez˝odik, az n elem˝ u lineárisan


128

f¨ uggetlen X vektorrendszer elemeinek lineáris kombin´ aci´ oiként egy n elem˝ u Y ortogonális rendszert konstruáltunk. 2 A fentiekben bemutatott eljár´ assal kapott ortogonális rendszer y1 vektora megegyezett az eredeti lineárisan f¨ uggetlen X vektorrendszer x1 vektor´ aval. Nyilvánval´ o, hogy ha X az euklideszi tér egy bázisa, akkor egy az eljár´ assal kapott Y ortogonális rendszer is bázis, amelyet ortogon´ alis b´ azisnak nevez¨ unk. Ezért kijelenthetj¨ uk: 5.1.12 K¨ ovetkezm´ eny. Egy n-dimenzi´ os E euklideszi tér b´ armely nemzér´ o vektora benne van a tér valamely ortogon´ alis b´ azis´ aban. A két, illetve 3-dimenziós tér helyvektorainak hossza ugyanaz, mint a skal´ aris szorzattal definiált norma, ´ıgy egységnyi hossz´ us´ ag´ u vektorok helyett normált terekben egységnyi normáj´ u vektorokr´ ol beszélhet¨ unk. Bármely nemzér´ o vektor skal´ arszorosaként kaphatunk egységnyi normáj´ u vektort. Val´ oban ha v(6= 0) a normált V vektortér tetsz˝oleges vektora, akkor k tehát a v0 =

1 kvk

1 1 kvk vk = | | · kvk = = 1, kvk kvk kvk

· v vektor, amelyet a v normáltj´ anak mondunk egységnyi normáj´ u.

Egy n-dimenziós euklideszi tér bármely bázis´ ab´ ol a Gram-Schmidt-féle eljár´ assal kész´ıthet¨ unk ortogonális bázist, majd annak vektorait normálhatjuk. Az ´ıgy kapott vektorrendszert ortonorm´ alt b´ azisnak mondjuk. Kimondhatjuk tehát az alábbi tételt: 5.1.13 T´ etel. B´ armely n-dimenzi´ os euklideszi térnek van ortonorm´ alt b´ azisa. Ortonormált bázis meghatároz´ as´ ara bemutatunk két péld´ at: 1 P´ elda. A 3-dimenzi´ os val´ os V vektortérben legyen V = {v1 , v2 , v3 } egy tetsz˝ oleges b´ azis és értelmezz¨ unk skal´ aris szorzatot a vektorok V b´ azisra vonatkoz´ o koordin´ ata vektorainak bels˝ o szorzataként. Hat´ arozzunk meg olyan ortonorm´ alt b´ azist, amelynek vektorai el˝ o´ all´ıthat´ ok az ugyancsak b´ azist alkot´ o w1 = v1 − v2 , w2 = v2 − v3 , w3 = v3 vektorok line´ aris kombin´ aci´ oiként. Mindenekel˝ott megjegyezz¨ uk, hogy az V bázis is ortonormált a definiált skal´ aris szorzat mellett, mert nyilván 









1 0     v1 =  0  v2 =  1  0 0



0   és v3 =  0  1

a v1 , v2 és v3 vektoroknak a V b´ azisra vonatkoz´ o koordináta vektorai és ezért [vi , vj ] = δij . A feladat viszont a 







1 0     w1 =  −1  w2 =  1  0 −1





0   és w3 =  0  1

koordináta vektor´ u w1 , w2 , w3 vektorok lineáris kombin´ aci´ oib´ ol felép´ıteni ortonormált bázist. A Gram-Schmidt-m´ odszerrel el˝obb ortogonális rendszert keres¨ unk,


129

majd annak vektorait normáljuk. A meghatározand´ o ortogonális rendszer vektorait jelölje x1 , x2 , x3 . Akkor x1 = w1 , és ´ıgy x1 = [1, −1, 0] . x2 = w2 −

[x1 , w2 ] −1 1 x1 = w2 − x1 = w2 + w1 , 2 kx1 k 2 2

ennélfogva x2 = [ 12 , 12 , −1] . Vég¨ ul x3 = w3 −

[x1 , w3 ] [x2 , w3 x1 − x2 = kx1 k2 kx2 k2

−1

= w3 −

3 2

ezért x3 = 13 [1, 1, 1] . Az kx1 k =

2 1 x2 = w3 + w2 + w1 , 3 3

√ 2 , kx2 k =

√ √3 2

és az kx3 k = √13 . Akkor a keresett √ √ √ 2 √2 √1 √2 √1 es koordináta 2 w1 , 3 w2 + 6 w1 , 3w3 + 3 w2 + 3 w1 , ´

ortonormált bázis vektorai vektoraik az eredeti V bázisban: 







√ 1 1 1  2   x1 =  −1  x2 = √  1  2 6 0 −2





1 1   és x3 = √  1  3 1

Ezekb˝ol a koordináta vektorokb´ ol az is kiolvashat´ o, hogy az u ´j ortonormált bázis √ vektorai az eredeti V bázis vektorainak x1 = 22 (v1 −v2 ), x2 = √16 (v1 +v2 −2v3 ), x3 = √1 (v1 3

+ v2 + v3 ) lineáris kombináci´ oja.

2

A következ˝o példa a numerikus szám´ıt´ asokat illet˝oen talán nehezebb, de a megoldás elvét tekintve teljesen ugyanaz, mint az el˝oz˝ o. 2 P´ elda. A legfeljebb m´ asodfok´ u val´ os egy¨ utthat´ os polinomok R2 [t] terét euklideszivé teszi a Z hp(t), q(t)i =

1

0

p(t)q(t) dt

skal´ aris szorzat. Az {1, t, t2 } polinomok a tér egy b´ azis´ at alkotj´ ak. E b´ azis vektorainak line´ aris kombin´ aci´ oiként ´ all´ıtsunk el˝ o ortonorm´ alt b´ azist! A Gram-Schmidt-módszerrel el˝obb ortogonális bázist áll´ıtunk el˝o, majd annak vektorait normáljuk. p1 (t) = 1 . R1

1 · t dt 1 1 ·1=t− ·1=t− p2 (t) = t − R0 1 2 2 2 0 1 dt R

R1

1 (t − 21 )t2 dt 1 · t2 dt 1 p3 (t) = t − R 1 · 1 − R01 · (t − ) = 1 2 2 2 0 1 dt 0 (t − 2 ) dt 2

0

= t2 −

1 1 1 · 1 − 1 · (t − ) = t2 − t + 3 2 6

Az {1, t − 12 , t2 − t + 16 } vektorrendszer ortogonális, és az 1 már normált is. Mivel 1 kt − k = 2

µZ 1 0

1 (t − )2 dt 2

¶ 21

√ 3 = 6


130 és

1 kt − t + k = 6 a keresett ortonormált bázis az 2

µZ 1 0

1 (t − t + )2 6 2

¶ 12

√ 105 = , 30

√ √ 2 105 2 1 1, 3(2t − 1), (t − t + ) 7 6 vektorrendszer. 2 Egy vektortér valamely altere is vektortér, és ha az eredeti tér euklideszi tér, akkor altere is euklideszi tér, amelyben a skal´ aris szorzat egyszer˝ uen az eredeti térben értelmezett skaláris szorzatnak az altérre val´ o lesz˝ uk´ıtése. Az (5.1.13) tételnél ezért kicsit többet is áll´ıthatunk: 5.1.14 T´ etel. Egy n-dimenzi´ os euklideszi tér minden nemzér´ o alterének van ortonorm´ alt b´ azisa. Ha M egy részhalmaza az E euklideszi térnek, akkor jelölje M ⊥ azoknak az Ebeli vektoroknak a halmazát, amelyek ortogonálisak M minden elemére. Akkor M ⊥ altere E-nek. Az áll´ıtás igazolásakor két esetet kell vizsgálnunk: (a) ha M az u ¨res halmaz, akkor M ⊥ = E , ´ıgy ebben az esetben igaz az áll´ıt´ as, (b) ha M nem¨ ures, akkor legyen v tetsz˝oleges eleme M -nek és x, y pedig tetsz˝oleges elemei M ⊥ -nak. Bármely α, β val´ os számokkal képzett αx+βy lineáris kombin´ aci´ ora hαx + βy, vi = α hx, vi + β hy, vi = α0 + β0 = 0 , ´ıgy αx + βy ∈ M ⊥ is teljes¨ ul, igazolva, hogy M ⊥ altér. Ha egy x vektor ortogonális mind a v, mind a w vektorra, akkor x ortogon´ alis a v és w vektorok bármely lineáris kombin´ aci´ oj´ ara is, mert hεv + ωw, xi = ε hv, xi + ω hw, xi = ε0 + ω0 = 0 . Ezért egy tetsz˝oleges M részhalmazra M ⊥ = (lin (M ))⊥ . Az M részhalmaz, s˝ot az általa generált altér, részhalmaza az M ⊥⊥ = (M ⊥ )⊥ altérnek. Amennyiben M maga is altér, akkor M ⊥ -t az M ortogon´ alis komplementerének nevezz¨ uk. Az elnevezést alátámasztja a következ˝o, u ´gynevezett projekci´ os tétel. 5.1.15 T´ etel. [Projekci´ os t´ etel] Ha M altere a véges dimenzi´ os E euklideszi ⊥ térnek, akkor E az M és M altereinek direkt ¨ osszege. Bizony´ıt´ as. Legyen X = {x1 , . . . , xr } az M -nek, és Y = {y1 , . . . , ys } az M ⊥ -nak S ortonormált bázisa. Megmutatjuk, hogy X Y ortonormált bázisa E-nek. Mivel S X Y ortogonális rendszer, ´ıgy lineárisan f¨ uggetlen az (5.1.10) tétel értelmében. Így már csak azt kell igazolnunk, hogy tetsz˝oleges v ∈ E vektor az X S Y elemeinek lineáris kombinációja. Legyen x=

r X

αi xi

i=1

ahol αi = hv, xi i. Akkor, kihasználva, hogy X vektorai páronként ortogonálisak és normáltak, kapjuk minden (k = 1, . . . r)-ra, hogy hv − x, xk i = hv, xk i − hv, xk i kxk k2 = hv, xk i − hv, xk i = 0 ,


131

de akkor v − x az M minden elemére ortogonális, vagyis az y = v − x vektor M ⊥ -ben van, ezért Y elemeinek y=

s X

βj yj

j=1

lineáris kombinációja. Ebb˝ol következik, hogy v =x+y =

r X

αi xi +

i=1

s X

βj yj ,

j=1

S

tehát valóban az X Y vektorrendszer generátorrendszere is E-nek. 2 T A tétel igazolásához elegend˝o lett volna azt megmutatni, hogy M M ⊥ a zérus altér és E minden vektora egy M -beli és egy M ⊥ -beli vektor összege. Bizony´ıt´ asunk verifikálja a következ˝o tételt is. 5.1.16 T´ etel. Egy véges dimenzi´ os euklideszi tér b´ armely M alterének ortonorm´ alt b´ azisa kiegész´ıthet˝ o az egész tér ortonorm´ alt b´ azis´ av´ a. Azon t´ ul, hogy a továbbiakban sz¨ ukség¨ unk lesz rá, még esztétikailag is szép, hogy igaz a Pythagorasz-tétel tetsz˝oleges véges dimenziós euklideszi terekre val´ o általános´ıtása: 5.1.17 T´ etel. [Pythagorasz-t´ etele] Ha v tér egym´ asra ortogon´ alis vektorai, akkor

és

w a véges dimenzi´ os E euklideszi

kv + wk2 = kvk2 + kwk2 .

Bizony´ıt´ as. Mivel v

és w ortogon´ alisak, hv, wi = 0 , ezért

kv + wk2 = hv + w, v + wi = hv, vi + 2 hv, wi + hw, wi = kvk2 + kwk2 . 2 5.1.18 Defin´ıci´ o. Ha v az E euklideszi tér tetsz˝ oleges pontja, és X = {x1 , . . . , xr } az E tér egy M alterének ortonorm´ alt b´ azisa, akkor az x=

r X

hv, xi i xi

i=1

pontot a v M -re val´ o ortogon´ alis vet¨ uletének nevezz¨ uk. Amint az (5.1.15) tétel bizony´ıt´ as´ aban láttuk, v − x az M altér minden vektorára ortogonális. Megmutatjuk azt is, hogy az x pont M -nek v-hez legközelebb P es˝o pontja. Legyen x0 = ri=1 ξi xi egy tetsz˝oleges M -beli pont, akkor x − x0 ∈ M , ezért ortogonális v − x-re. Felhaszn´ alva Pythagorasz tételét, kapjuk, hogy d2 (v, x0 ) = kv − x0 k2 = k(v − x) + (x − x0 )k2 = = kv − xk2 + kx − x0 k2 = d2 (v, x) + kx − x0 k2 , amib˝ol már d(v, x) ≤ d(v, x0 ) nyilv´ anval´ oan következik.


132

Azt már el˝obb láttuk, hogy véges dimenziós val´ os vektorterekben a vektorok a tér valamely bázisára vonatkozó koordináta vektorainak bels˝o szorzata mindig skaláris szorzatot definiál. Most megmutatjuk, hogy az is igaz, hogy az euklideszi terek vektorainak skaláris szorzata mindig valamely ortonormált bázisra vonatkoz´ o bels˝o szorzat. 5.1.19 T´ etel. Ha az n-dimenzi´ os E euklideszi térnek X = {x1 , . . . , xn } egy tetsz˝ oleges ortonorm´ alt b´ azisa, akkor (1) b´ armely v ∈ E vektor a b´ azisvektorok v = hv, x1 i x1 + · · · + hv, xn i xn alak´ u line´ aris kombin´ aci´ oja, és (2) tetsz˝ oleges v, w ∈ E vektorokra hv, wi = [v, w] , ahol [·, ·] az X b´ azis ´ altal meghat´ arozott bels˝ o szorzat. Más szavakkal megfogalmazva az áll´ıt´ ast azt mondhatjuk, hogy egy euklideszi tér ortogonális koordináta rendszerében a tér vektorai felbomlanak a tengelyekre es˝o ortogonális vet¨ uleteik összegére, és skal´ aris szorzatuk megfelel˝o koordinát´ aik szorzatösszege, ugyan´ ugy, ahogy a két– illetve 3-dimenziós Descartes-féle koordináta rendszerben láttuk. Bizony´ıt´ as. Azt tudjuk, hogy bármely v ∈ E vektor kifejezhet˝o X vektorainak v=

n X

εj xj

i=1

lineáris kombinációjaként, tehát csak azt kell megmutatnunk, hogy minden i(= 1, . . . , n)-re εi = hv, xi i teljes¨ ul. Ezt kapjuk, ha összehasonl´ıtjuk az alábbi hv, xi i =

* n X

+

εj xj , xi

=

j=1

n X

εj hxj , xi i = εi

j=1

egyenl˝oségsorozat bal– és jobboldalát. Legyen most két tetsz˝oleges vektora E-nek v és w. Akkor az el˝oz˝ oek szerint v=

n X

hv, xi i xi

és w =

i=1

azaz



hv, wi =

hw, xj i xj ,

j=1



hv, x1 i   ..  vX =  .   hv, xn i

Akkor

n X

* n X i=1



és

hv, xi i xi ,



hw, x1 i   ..  wX =  .   hw, xn i n X j=1

+

hw, xj i xj

=


133

  n n n X X X =  hv, xi i hw, xj i hxi , xj i = hv, xi i hw, xi i = [v, w] . i=1

j=1

i=1

Az egyenl˝oségsorozat bal– és jobboldalát összehasonl´ıtva azt kapjuk, hogy hv, wi = [v, w] , amint áll´ıtottuk. 2 Az (5.1.19) tétel kényelmes eszközt biztos´ıt a tér vektorai skal´ aris szorzatának numerikus meghatározására. Ezt kihasználjuk a következ˝ o feladat megoldás´ akor, amikor egy vektor koordináta vektor´ at kell meghatároznunk egy ortonormált bázisban. 3 P´ elda. Az (1) péld´ aban az R3 koordin´ atateret euklideszivé tett¨ uk. A skal´ aris szorzatot a vektorok V = {v1 , v2 , v3 } b´ azisra vonatkoz´ o koordin´ ata vektorainak bels˝ o szorzat´ aval defini´ altuk. Ezt k¨ ovet˝ oen ´ attért¨ unk egy m´ asik X = {x1 = √ 2 1 1 √ √ (v + v2 − 2v3 ), x3 = 3 (v1 + v2 + v3 )} ortonorm´ alt b´ azisra. 2 (v1 − v2 ), x2 = 6 1 Hat´ arozzuk most meg a z = 2v1 − v2 + 3v3 vektor koordin´ ata vektor´ at az X b´ azisban. Az (5.1.19) tétel szerint 





D

E

√

2v1 − v2 + 3v3 ,

2 2 (v1

− v2 )







hz, x1 i  D E    zX =  hz, x2 i  =  2v1 − v2 + 3v3 , √16 (v1 + v2 − 2v3 )  D E hz, x3 i 2v1 − v2 + 3v3 , √13 (v1 + v2 + v3 )

   

Eset¨ unkben ezek a skaláris szorzatok: *

+ √ √ √ 1 3 2 2 2  2v1 − v2 + 3v3 , (v1 − v2 ) = [2, −1, 3] · ,  −1  = 2 2 2 0 



1 1 5 1   2v1 − v2 + 3v3 , √ (v1 + v2 − 2v3 ) = [2, −1, 3] · √  1  = − √ , 6 6 6 −2

¿

À

és





1 1 1   4 2v1 − v2 + 3v3 , √ (v1 + v2 + v3 ) = [2, −1, 3] · √  1  = √ . 3 3 3 1

¿

À

Tehát a keresett koordináta vektor:  

zX =  

√ 3 2 2 − √56 √4 3

√ 9 2 √    = 1  −5 6   6 √ 8 3 



  . 

2 Az azonos dimenziój´ u valós vektorterek mind izomorfak, tehát algebrai szempontból csak vektoraik jelölésében térnek el egymást´ ol. Ugyanakkor, az (5.1.4) tétel szerint ugyanabban a V véges dimenziós val´ os vektortérben több k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o skal´ aris

134


szorzat is értelmezhet˝o. Jelenti vajon ez azt, hogy több k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o n-dimenzi´ os euklideszi tér van? Célszer˝ u két euklideszi teret lényegében azonosnak tekinten¨ unk, ha mint vektorterek izomorfak és az egymásnak megfeleltetett pontok távols´ aga azonos. Mivel az euklideszi tér pontjainak távols´ aga a térben értelmezett skal´ aris szorzattól f¨ ugg, ezért az euklideszi terek izomorfiáj´ at a következ˝ oképpen értelmezz¨ uk: 5.1.20 Defin´ıci´ o. Az E és E 0 euklideszi tereket izomorfaknak mondjuk, ha (1) mint vektorterek izomorfak, és (2) b´ armely v, w ∈ E-re a hv, wi skal´ aris szorzat megegyezik a v 0 , w0 ∈ E 0 izomorf képek (E 0 -beli) hv 0 , w0 i skal´ aris szorzat´ aval. Az euklideszi terek izomorfiája er˝osebb megszor´ıt´ as, mint a vektorterek izomorfiája, hiszen eleget kell tegyen annak a tov´ abbi feltételnek, hogy a tárgyvektorok skaláris szorzata meg kell egyezzen képeik skal´ aris szorzatával. Ez a feltétel azt jelenti, hogy az euklideszi terek izomorf leképezései távols´ agtart´ oak, ezért szokás izometri´ anak is nevezni. (Az más kérdés, hogy ez nem jelenti a két térben a távolságegység egyenl˝o voltát. Teh´ at lehet, hogy az egyik térben a távols´ agegység mondjuk a méter, m´ıg a másikban mondjuk a yard. Akkor az 1 méterre lév˝ o pontok izomorf képei 1 yard távolságra vannak. Hasonló értelemben értend˝ o, hogy az euklideszi terek izomorf leképezése megtartja a félegyenesek hajlássz¨ ogét is.) Ennek ellenére kicsit meglep˝o, hogy ´ ıt´ 5.1.21 All´ as. Az azonos dimenzi´ oj´ u euklideszi terek izomorfak. Bizony´ıt´ as. Legyenek E és E 0 n-dimenzi´ os euklideszi terek és X = {v1 , . . . , vn } 0 0 0 ´ illetve X = {v1 , . . . , vn } ortonorm´ alt bázisok E-ben, illetve E 0 -ben. Ertelmez¨ uk a Φ : E E0 leképezést u ´gy, hogy legyen Φ(vi ) = vi0 minden i(= 1, . . . , n)-re, és ha v ∈ E az X bázis vektorainak n v=

X

ε i vi

i=1

lineáris kombinációja, akkor legyen Φ(v) =

n X

εi vi0 .

i=1 0 E -re val´ o

Akkor nyilván Φ az E vektortérnek izomorf leképezése és mivel az Ebeli, illetve az E 0 -beli skaláris szorzat az X bázisra vonatkoz´ o, illetve az X 0 bázisra vonatkozó koordináta vektorok bels˝o szorzata, tetsz˝oleges v, w ∈ E vektorok skal´ aris 0 szorzata megegyezik a Φ(v), Φ(w) ∈ E vektorok skal´ aris szorzatával. 2 A fenti áll´ıtásnak megfelel˝oen az algebrai szempontb´ ol egyetlen n-dimenziós euklideszi teret a következ˝okben En -nel fogjuk jelölni és feltételezz¨ uk, hogy az En -ben rögz´ıtett egy X ortonormált bázis. Ez lehet˝ové teszi, hogy az En -beli pontokat koordináta vektoraikkal adjuk meg, és pontjaik skal´ aris szorzatát egyszer˝ uen az X b´ azis által meghatározott bels˝o szorzattal szám´ıthassuk ki. Az (5.1.19) tételnek és az (5.1.21) áll´ıt´ asnak egy nagyon fontos következménye, hogy az euklideszi terek olyan bázistranszform´ aci´ oi, amelyek ortonormált bázist ortonormált bázisba visznek, megtartják a tér pontjainak távols´ ag´ at és a tér félegyeneseinek hajlásszögét. Ezeknek a transzformáci´ oknak a vizsgálat´ ara a hetedik fejezetben visszatér¨ unk.


135

1. Gyakorlatok, feladatok ´ 1. Allap´ ıtsa meg, hogy mi annak a sz¨ ukséges és elegend˝o feltétele, hogy az En euklideszi tér v, w pontjaira teljes¨ ulj¨ on az hv, wi = kvk · kwk egyenl˝oség. 2. Mutassa meg, hogy egy En euklideszi tér bármely v vektor´ anak euklideszinormája nem kisebb mint valamely ortonormált bázisa alapján kiszám´ıtott maximum-normája. 3. Mutassa meg, hogy az m × n tipus´ u val´ os mátrixok terében skal´ aris szorzatot kapunk, ha tetsz˝oleges A = [αij ] és B = [βij ] mátrixp´ arhoz az def

hA, Bi =

m X n X

αij βij

i=1 j=1

valós számot rendelj¨ uk. 4. Igazolja, hogy egy En euklideszi tér lineáris transzformáci´ oinak L(En ) tere is euklideszivé tehet˝o. (Tanács: Lássa be, hogy, ha X = {x1 , . . . , xn } az En egy ortonormált bázisa, akkor az def

hA, Bi =

n X

hA(xi ), B(xi )i

i=1

egyenl˝oséggel definiált f¨ uggvény skal´ aris szorzat az L(En ) téren.) 5. Legyen az En euklideszi térnek M egy altere. Mutassa meg, hogy egy v ∈ En vektor pontosan akkor ortogonális az M altér minden vektor´ ara, ha ortogonális az M altér egy bázisának minden vektor´ ara. 6. Határozza meg az E4 euklideszi tér v pontj´ anak az M alterét˝ ol val´ o távols´ ag´ at, ha v koordináta vektora az X ortonorm´ alt bázisban    

v=

1 2 3 4





   

és M = {x ∈ E4 | [x, s] = 0} , ahol s 

  

1 1 1 1

   . 

7. Határozza meg az α paraméter értékét ha tudjuk, hogy a p(t) = 1 + t + t2 és q(t) = αt − t2 polinomok ortogonálisak a def

hp(t), q(t)i =

Z 1 −1

p(t)q(t) dt

egyenl˝oséggel értelmezett skal´ aris szorzat mellett.


136

5.2

Az euklideszi t´ er topol´ ogi´ aja

Ebben a pontban gy˝ ujtött¨ uk össze azokat a fogalmakat és tételeket, amelyek az euklideszi terek metrikus tulajdonság´ at kihasználva, alapul szolgálnak a többv´ altozós valós f¨ uggvénytan kiép´ıtéséhez. Ezekkel a fogalmakkal már találkozhatott a hallgató az anal´ızis tanulmányai során, ráad´ asul által´ anosabb, tetsz˝oleges metrikus terekre megadott alakjukkal, ´ıgy várhat´ oan azok ismétlésnek fognak hatni. Az általános fogalmak n-dimenziós euklideszi terekre specializált változataival akarjuk megismertetni hallgatóinkat. Itt szeretnénk rögz´ıteni, hogy az alábbiakban használt távolságf¨ uggvény mindig az euklideszi-normáb´ ol származtatott metrika. Ahhoz, hogy többváltozós val´ os f¨ uggvények vizsgálat´ aval foglalkozhassunk — gondoljon az olvasó a folytonossági vizsgálatokra, határérték értelmezésére, differenciálhányados definiálására — sz¨ ukség¨ unk van annak kifejezésére, hogy a f¨ uggvény értelmezési tartományának két pontja közel van egymáshoz. Ezt fejezt¨ uk ki u ´gy, hogy az egyik pont benne van a másik valamely környezetében. A metrikus terekben a gömbkörnyezeteknek kit¨ untetett szerep jutott, ezért a jelen helyzethez konkretizálva megfogalmazzuk, hogy mit jelent az En euklideszi tér egy x pontj´ anak gömbkörnyezete: 5.2.1 Defin´ıci´ o. Legyen az En euklideszi térnek x egy tetsz˝ oleges pontja és δ pozit´ıv val´ os sz´ am. A x pont k¨ or¨ uli δ sugar´ u g¨ ombk¨ ornyezete a tér def

B ◦ (x, δ) = {y ∈ En | d(x, y)(= kx − yk) < δ} részhalmaza. Az elnevezés itt er˝osen indokolt, hiszen a 3-dimenziós euklideszi térben a gömbkörnyezetek a köznapi értelemben használt gömb¨ oknek a ”belseje”. Legyen H ⊆ En és x, y, z ∈ En . Az x pontot a H halmaz bels˝ o pontj´ anak mond◦ juk, ha van olyan pozit´ıv δ, hogy B (x, δ) ⊆ H . Az y pontot a H halmaz érintkezési pontj´ anak nevezz¨ uk, ha az y pont tetsz˝oleges sugar´ u gömbk¨ ornyezete tartalmaz Hbeli pontot. A z pontot a H halmaz torl´ od´ asi pontj´ anak h´ıvjuk, ha a z pont bármely gömbkörnyezete tartalmaz z-t˝ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o H-beli pontot. Nyilvánval´ o, hogy egy halmaz minden torlódási pontja egyszersmind érintkezési pont is. Az alábbi kis lemmára a kés˝obbiekben sz¨ ukség lesz. 5.2.2 Lemma. A z pont a H halmaznak pontosan akkor torl´ od´ asi pontja, ha a z pont b´ armely g¨ ombk¨ ornyezete H-nak végtelen sok z-t˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pontj´ at tartalmazza. Bizony´ıt´ as. Az elegend˝oség nyilv´ anval´ o. A sz¨ ukségességet indirekt módon bizony´ıtjuk. Ha lenne olyan δ pozit´ıv val´ os ◦ szám, amelyre B (z, δ) a H halmaznak csak véges sok z-t˝ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o, mondjuk a h1 , . . . , hk pontját tartalmazná, akkor a min1≤i≤k d(z, hi ) sugar´ u gömbk¨ ornyezete z-nek nem tartalmazhatna z-t˝ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o H-beli pontot, ellentmondva annak, hogy z a H halmaz torlódási pontja. 2 Az euklideszi terek olyan részhalmazait, amelyeknek minden pontja bels˝o pont, azaz amelyek bármely pontjukkal egy¨ utt azok valamely gömbk¨ ornyezetét is tartalmazzák ny´ılt halmazoknak mondjuk. A z´ art halmazok pedig, azok, amelyeknek a

´ TOPOLOGI ´ AJA ´ 5.2. AZ EUKLIDESZI TER

137

komplementere ny´ılt. Mint minden metrikus térben, az euklideszi terekben is érvényesek a ny´ılt és zárt halmazok jól ismert tulajdonságai: (1) az u ¨res halmaz és az egész tér ny´ılt is és zárt is, (2) akárh´ any ny´ılt (zárt) halmaz egyes´ıtése (köz¨ os része) is ny´ılt (zárt), és (3) véges sok ny´ılt (zárt) halmaz köz¨ os része (egyes´ıtése) is ny´ılt (zárt) halmaz. ´ ıt´ 5.2.3 All´ as. A g¨ ombk¨ ornyezetek ny´ılt halmazok. Bizony´ıt´ as. Ha v ∈ B ◦ (w, ²) , akkor B ◦ (v, ² − d(v, w)) ⊂ B ◦ (w, ²) , tehát v bels˝o pontja B ◦ (w, ²)-nak, amint azt már anal´ızis tanulm´ anyaink során igazoltuk tetsz˝oleges metrikus tér ny´ılt gömbk¨ ornyezeteire. 2 ´ ıt´ 5.2.4 All´ as. Az En euklideszi tér valamely H halmaza akkor és csak akkor z´ art, ha minden érintkezési pontj´ at tartalmazza. Bizony´ıt´ as. Legyen a H zárt halmaznak z egy tetsz˝oleges érintkezési pontja. Az z pont nem lehet eleme a ny´ılt H c komplementer halmaznak mert bármely gömbkörnyezete tartalmaz z-t˝ol k¨ ulönb¨ oz˝ o H-beli pontot, és ny´ılt halmaz minden pontja bels˝o pont. Az elegend˝oség bizony´ıtása végett legyen most a H halmaz olyan, amelyik minden érintkezési pontját tartalmazza. Ha x tetsz˝ olegesen választott pontja H c -nek, akkor van olyan δ0 pozit´ıv valós szám, hogy nincs H-beli pont a B ◦ (x, δ0 ) gömbk¨ ornyec zetben, tehát x a H komplementer halmaznak bels˝o pontja. (Ha x minden gömbkörnyezete tartalmazna H-beli pontot, akkor x érintkezési pontja lenne H-nak és feltétel¨ unk szerint x ∈ H teljes¨ ulne.) Mivel H c -r˝ol igazoltuk, hogy ny´ılt halmaz, kaptuk, hogy H zárt. Ezzel az áll´ıt´ ast igazoltuk. 2 Az En euklideszi tér egy K részhalmaz´ at korl´ atosnak nevezz¨ uk, ha létezik olyan κ val´ os szám, hogy bármely x, y ∈ K-ra d(x, y) ≤ κ teljes¨ ul. Könnyen megmutathatjuk, hogy egy K halmaz pontosan akkor korl´ atos, ha létezik olyan κ ¯ valós szám, hogy bármely x ∈ K pontj´ anak normája kisebb, mint κ ¯. Valóban, ha K korlátos, akkor minden x ∈ K-ra kxk = d(x, 0) ≤ d(x, y) + d(y, 0) < κ + kyk . Tehát egy tetsz˝olegesen rögz´ıtett y ∈ K ponttal a κ ¯ = κ + kyk szám a pontok normáinak fels˝o korlátja lesz. Megford´ıtva, ha minden v ∈ K-ra kvk < κ ¯ , akkor a K halmaz bármely két x, y pontjának távolsága a d(x, y) ≤ d(x, 0) + d(y, 0) = kxk + kyk < 2 · κ ¯ egyenl˝otlenség miatt korlátos. Az En euklideszi térben legyen X = {x1 , . . . , xn } egy rögz´ıtett ortonormált bázis és legyenek αi ≤ βi (i = 1, . . . , n) val´ os számok. A tér T = {v ∈ En | αi ≤ hv, xi i ≤ βi i = 1, . . . , n}


138

részhalmazát n-dimenziós tégl´ anak nevezz¨ uk. Látható, hogy egy n-dimenziós tégla megadása egy¨ utt jár a tér valamely ortogonális bázisának rögz´ıtésével, mert ez teszi lehet˝ové a definiál´ o intervallumok megadását. Persze a tégla mint ponthalmaz f¨ uggetlen a tér bázis´ at´ ol, csupán arról van szó, hogy k¨ ulönböz˝o bázisokban más és más intervallum rendszerrel adhatjuk meg ugyanazt a téglát. Mindenesetre a tov´ abbiakban feltételezz¨ uk, hogy amikor n-dimenziós téglákról esik szó, akkor a tér valamely ortonormált bázisa rögz´ıtve van. Emlékeztetj¨ uk az olvasót, hogy a tér egy v vektor´ anak egy ortonormált bázis xi vektorára vonatkozó koordinát´ aja hv, xi i, tehát az n-dimenzi´ os tégl´ ak a tér olyan pontjainak halmaza, melyeknek a koordinát´ ai a val´ os egyenes korl´ atos zárt intervallumaiba esnek. Ezek után aligha meglep˝o, hogy ´ ıt´ 5.2.5 All´ as. Az En euklideszi tér T tégl´ ai korl´ atos és z´ art halmazok. Bizony´ıt´ as. Legyenek a T tégl´ at meghatároz´ o intervallumok a rögz´ıtett ortonormált bázisban [αi , βi ] (i = 1, . . . , n) , ahol az αi , βi val´ os számokra αi ≤ βi . Akkor a T tégla bármely t pontj´ anak e bázisra vonatkoz´ o t = [τ1 , . . . , τn ] koordináta vektorának komponensei eleget tesznek minden i(= 1, . . . , n)-re az αi ≤ τi ≤ βi egyenl˝otlenségeknek. Ha tehát v és w v = [ε1 , . . . , εn ] és w = [ω1 , . . . , ωn ] koordináta vektor´ u pontjai a téglának, akkor távols´ aguk 1 2

d(v, w) = (hv − w, v − wi) =

Ã n X

!1

(εi − ωi )2

2

≤

Ã n X

i=1

¡P

(βi − αi )2

!1 2

.

i=1

¢1

n 2 2 val´ Igy a κ = os szám a tégla pontjainak távols´ ag´ ara egy fels˝o i=1 (βi − αi ) korlát. Legyen az s = [σ1 , . . . , σn ] koordináta vektor´ u s pont a T c komplementer halmaz egy tetsz˝oleges eleme. Akkor van olyan i , (1 ≤ i ≤ n) , hogy vagy σi < αi , vagy σi > βi teljes¨ ul. Tegy¨ uk fel, hogy σi < αi . A másik eset hasonlóan kezelhet˝ o. Legyen δ = αi − σi . Akkor az s δ sugar´ u B ◦ (s, δ) gömbk¨ ornyezete nem tartalmaz T -beli pontot, mert ha x ∈ B ◦ (s, δ), akkor a ξi -vel jelölt koordinát´ aj´ ara

|ξi − σi | ≤ d(x, s) < δ(= αi − σi ) teljes¨ ul, tehát ξi < αi . Ez mutatja, hogy a T c tetsz˝oleges pontja bels˝o pont, vagyis T c ny´ılt halmaz. Következésképpen a T tégla zárt. 2 ´ ıt´ 5.2.6 All´ as. Ha K az En euklideszi tér egy korl´ atos részhalmaza, akkor van olyan n-dimenzi´ os T tégla, hogy K ⊆ T teljes¨ ul. Bizony´ıt´ as. Mivel K korlátos létezik olyan κ pozit´ıv val´ os szám, hogy minden x, y ∈ K-ra d(x, y) < κ. Legyen x0 egy tetsz˝olegesen rögz´ıtett eleme K-nak és legyen az X = {x1 , . . . , xn } ortonormált bázisra vonatkoz´ o koordináta vektora x0 = [ξ1 , . . . , ξn ]. Azt ál´ıtjuk, hogy a T = {v ∈ En | ξi − κ ≤ hv, xi i ≤ ξ + κ, (i = 1, . . . , n)} n-dimenziós tégla tartalmazza K-t. A konstrukci´ ob´ ol következik, hogy x0 ∈ T . Másrészt, minden olyan t pont biztosan eleme T -nek, amelyre d(x0 , t) = kx0 − tk ≤ √ κ n , és ezt a feltételt minden K-beli pont teljes´ıti. 2


139

´ ıt´ 5.2.7 All´ as. Legyen Tk (k = 1, 2, . . .) n-dimenzi´ os tégl´ aknak olyan sorozata, T hogy Tk+1 ⊆ Tk teljes¨ ul minden k-ra. Akkor a ∞ T nem¨ u res. k k=1 Bizony´ıt´ as. Jelölje Ik,j = [αk,i , βk,i ] , (i = 1, . . . , n) a k-adik tégla pontjai iedik koordinátáinak intervallum´ at. Akkor minden i-re Ik+1,i ⊆ Ik,i teljes¨ ul. Mivel a T valós számok kielég´ıtik a Cantor-axi´ om´ at, minden i-re ∞ I nem¨ u res. Legyenek k=1 k,i T∞ ξi ∈ k=1 Ik,i , (i = 1, . . . n)-re. Akkor a x = [ξ1 , . . . , ξn ] koordináta vektor´ u (a tér T rögz´ıtett ortonormált bázisában) x vektor eleme ∞ T -nak. 2 k=1 k A következ˝o tétel és annak következménye alapvet˝ o fontosság´ u a többv´ altoz´ os valós f¨ uggvénytan szempontjából. 5.2.8 T´ etel. Legyen K az En euklideszi tér részhalmaza. A K halmaz akkor és csak akkor korl´ atos és z´ art halmaz, ha minden végtelen részhalmaz´ anak van torl´ od´ asi pontja K-ban. Bizony´ıt´ as. Sz¨ ukségesség: Legyen K korl´ atos, zárt halmaz és L végtelen részhalmaza K-nak. Mivel K korl´ atos, létezik olyan n-dimenziós T tégla, hogy L ⊆ K ⊆ T . Ha T pontjai az olyan v vektorok, amelyekre αi ≤ hv, xi i ≤ βi , (i = 1, . . . , n) , ahol {x1 , . . . , xn } a tér rögz´ıtett ortonormált bázisa, akkor minden i-re legyen γi = αi +βi és áll´ıtsuk el˝o T -t az [αi , γi ], [γi , βi (i = 1, . . . n) intervallumok által meg2 határozott 2n darab n-dimenziós tégla uniójaként. Ezek köz¨ ul legalább egy végtelen sok L-beli pontot tartalmaz. (Ha mindegyik csak véges sok L-beli pontot tartalmaz, akkor L nem lehetne végtelen halmaz.) Jelölj¨ uk ezt T1 -gyel. Hasonlóan áll´ıtsuk el˝o n T1 -et 2 darab n-dimenziós tégla egyes´ıtéseként és egyet ezek köz¨ ul, amelyik végtelen sok L-beli pontot tartalmaz jelölj¨ unk T2 -vel. Tov´ abb folytatva n-dimenziós tégl´ ak olyan T ⊇ T1 ⊇ T2 ⊇ . . . (egymásba skatulyázott) sorozatát kapjuk, amelyek azzal a tulajdonsággal rendelkeznek, hogy mindegyik¨ uk végtelen sok L-beli pontot tartalmaznak, és metT szet¨ uk az (5.2.7) áll´ıtás szerint nem¨ ures. Legyen v0 ∈ ∞ i=1 Ti . Megmutatjuk, hogy v0 torlódási pontja L-nek és eleme K-nak. Legyen ² tetsz˝olegesen kicsi pozit´ıv szám. Létezik olyan k0 index, hogy ha k > k0 , akkor Tk ⊆ B ◦ (v0 , ²) mert egyrészt v0 ∈ Tk , másrészt Tk bármely két x, y pontj´ anak távols´ aga 1 d(x, y) < k 2

Ã n X

!1

(βi − αi )2

2

.

i=1

Tehát k0 -t u ´gy kell ehhez választanunk, hogy 2

k0

¡Pn

≥

− αi )2 ²

i=1 (βi

¢1 2

teljes¨ uljön. Ez viszont azt mutatja, hogy v0 tetsz˝ oleges ² sugar´ u gömbk¨ ornyezetében végtelen sok L-beli pont van, ´ıgy v0 az L torlód´ asi pontja. Mivel L ⊆ K és K z´ art az (5.2.4) áll´ıtás biztos´ıtja, hogy v0 ∈ K . Elegend˝oség: Tegy¨ uk fel, hogy K olyan részhalmaza az En euklideszi térnek, hogy


140

minden végtelen részhalmazának van torlód´ asi pontja K-ban. Akkor K korlátos kell legyen, mert k¨ ul¨ onben minden k val´ os számhoz, ´ıgy a (k = 1, 2, . . .) számokhoz is lenne olyan vk pontja, hogy kvk k ≥ k , és a vk , (k = 1, 2, . . .) pontok K olyan végtelen részhalmaz´ at szolgáltatn´ ak, amelynek nincs torlód´ asi pontja. (A tér tetsz˝oleges v pontjára |kvk k − kvk| = |d(vk , 0) − d(v, 0)| ≤ d(v, vk ) , ennélfogva bármely v ∈ En pont minden gömbk¨ ornyezetében csak véges sok pont lehet a vk , (k = 1, 2, . . .) pontok köz¨ ul.) K zártsága következik az (5.2.4) áll´ıt´ asb´ ol. Ezzel a tétel bizony´ıtását befejezt¨ uk. 2 5.2.9 K¨ ovetkezm´ eny. [Bolzano-Weierstrass t´ etel] Ha L az En euklideszi tér végtelen korl´ atos részhalmaza, akkor van torl´ od´ asi pontja En -ben. Bizony´ıt´ as. Ha L korlátos, u ´gy van olyan T n-dimenzi´ os tégla En -ben, amelyre L ⊆ T teljes¨ ul. Az (5.2.8) tétel biztos´ıtja, hogy van L-nek torlód´ asi pontja T (⊆ En )ben. 2

5.2.1

Pontsorozatok

Az egyváltozós valós f¨ uggvények köz¨ ott fontos szerep¨ uk volt a val´ os számsorozatoknak, gondoljunk csak a folytonosság, vagy határérték fogalmának defin´ıci´ oira. Hasonló megfontolások miatt tér¨ unk ki az euklideszi terek pontsorozatainak rövid vizsgálatára. Legyen {vk } = (v1 , v2 , . . . , vk , . . .) az En euklideszi tér pontjainak egy sorozata. A v ∈ En pontot a sorozat hat´ arértékének nevezz¨ uk, ha bármely δ pozit´ıv valós számhoz megadható egy olyan µ index, hogy ha k > µ teljes¨ ul, akkor vk ∈ B ◦ (v, δ) . Jelölése: limk→∞ vk = v . Azokat a sorozatokat, amelyeknek van határérték¨ uk konvergensnek mondjuk, m´ıg azokat, amelyeknek nem létezik határérték¨ uk divergensnek h´ıvjuk. Az els˝o féléves anal´ızis tanulm´ anyaink során igazoltuk, hogy metrikus terek konvergens sorozatainak határértéke egyértelm˝ uen meghatározott, tehát az euklideszi tér konvergens pontsorozatainak is egy és csak egy határértéke van. Egy {vk } pontsorozatot korl´ atosnak mondunk, ha elemeinek halmaza korl´ atos. Ha k1 , k2 , . . . , kr . . . természetes számoknak olyan sorozata, hogy k1 < k2 < . . . < kr < . . ., akkor a {vk1 , vk2 , . . . , vkr , . . .} pontsorozatot a {vk } pontsorozat részsorozat´ anak mondjuk. Euklideszi terekben igaz marad a val´ os számsorozatokra már jólismert BolzanoWeierstrass-féle kiválasztási tétel: 5.2.10 T´ etel. [Bolzano-Weierstrass kiv´ alaszt´ asi t´ etel] Az En euklideszi tér minden korl´ atos pontsorozat´ ab´ ol kiv´ alaszthat´ o konvergens részsorozat. Bizony´ıt´ as. Két esetet kell megk¨ ul¨ onb¨ oztetn¨ unk, az els˝o eset, amikor a pontsorozat elemei között a térnek csak véges sok k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pontja van. Akkor ezek köz¨ ul legalább egy végtelen sokszor fordul el˝o a sorozatban, mondjuk a sorozat k1 edik, k2 (> k1 )-edik,. . . , kr (> kr−1 )-edik,. . . tagjai mind egyenl˝ ok. Akkor legyen v =


141

vk1 (= vk2 = . . . = vkr = . . .) . Nyilvánval´ oan a v pont bármely ² > 0 sugar´ u gömbkörnyezetében a {vkr } részsorozat minden tagja benne lesz, tehát limr→∞ vkr = v . A második eset, amikor a pontsorozatnak végtelen sok k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o tagja van. Akkor a sorozat elemeinek L halmaza korl´ atos lévén része valamely n-dimenziós T téglának, ami pedig korlátos és zárt halmaz. Igy az (5.2.8) tétel biztos´ıtja, hogy létezik L-nek torlódási pontja T -ben. Jelölje v az L halmaz egy ilyen torlód´ asi pontját. A v torlódási pont minden gömbk¨ ornyezete tartalmaz v-t˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o végtelen sok L-beli elemet, (lásd az (5.2.2) lemmát). Igy a B ◦ (v, 1) gömbk¨ ornyezetben is van L-nek ilyen eleme. Ha a sorozat k1 -edik tagja ilyen, akkor válasszuk ki vk1 -et, és legyen L1 a sorozat k1 -nél nagyobb index˝ u elemeinek a halmaza. Mivel az L1 halmaz L-b˝ol véges sok elem elhagyásával keletkezett, L egtelen´korl´ atos halmaz és v az L1 ³1 v´ d(v,v ) halmaznak torlódási pontja. Tekints¨ uk a v B ◦ v, 2 k1 gömbk¨ ornyezetét. Ebben van L1 -nek v-t˝ol k¨ ulönböz˝o (végtelen sok) pontja, mondjuk a sorozat k2 (> k1 )-edik tagja ilyen. Válasszuk ki vk2 -t és elhagyva L1 -b˝ ol a sorozat k2 -nél kisebb vagy egyenl˝ o index˝ u tagjait, folytassuk az eljár´ ast az L2 végtelen halmazzal, amelynek persze v torlódási pontja, mert L1 -b˝ol véges sok elem elhagyás´ aval kaptuk. Vegy¨ uk észre, hogy az eljárás minden határon t´ ul folytatható, és a sorozat kiválasztott elemeinek vk1 , vk2 , . . . , vkr , . . . részsorozata olyan, hogy d(v, vkr ) <

1 . 2r

Akkor viszont tetsz˝olegesen adott ² > 0 val´ os számhoz létezik olyan r0 , (nevezetesen, amelyre már 2r0 ≥ 1² ) hogy ha r > r0 , akkor vkr ∈ B ◦ (v, ²) , ami azt jelenti, hogy a {vkr } részsorozat határértéke v. Teh´ at a kiválasztott {vkr } részsorozat konvergens. Ezzel a tétel bizony´ıt´ ast nyert. 2 Ha az En euklideszi tér egy {v1 , v2 , . . . , vk , . . .} pontsorozata eleget tesz annak a feltételnek, hogy bármely pozit´ıv ² val´ os számhoz létezik olyan m0 index, hogy amennyiben k, ` > m0 , akkor d(vk , v` ) < ² , akkor a sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezz¨ uk. Mint ismeretes, minden metrikus tér konvergens sorozata Cauchy-sorozat, de a ford´ıtott áll´ıtás általában nem igaz. Igazoltuk viszont anal´ızis tanulm´ anyaink során, hogy az 1-dimenziós euklideszi terek Cauchy-sorozatai konvergensek. Ez érvényes marad tetsz˝oleges n-dimenziós euklideszi terekben is. Ezt igazoljuk a következ˝ o tételben. 5.2.11 T´ etel. Ha {vk } az En euklideszi tér Cauchy-sorozata, akkor konvergens. Bizony´ıt´ as. Mindenek el˝ott lássuk be, hogy a Cauchy-sorozatok korl´ atosak. Tetsz˝oleges pozit´ıv számhoz, ´ıgy az 1-hez is van olyan m0 index, hogy k, ` > m0 esetén d(vk , v` ) < 1 , tehát a m0 -n´ al nagyobb index˝ u tagjai a sorozatnak korl´ atos halmazt alkotnak. Legyen κ = max 2 (d(vm0 +1 , vi ) + 1) . 1≤i≤m0


142

Akkor a sorozat bármely két vi , vj tagjára    d(vi , vm0 +1 ) + d(vm0 +1 , vj ) < κ

d(vi , vj ) ≤

 

ha i, j ≤ m0 , d(vi , vm0 +1 ) + 1 < κ ha i ≤ m0 , j > m0 , 1 < κ ha i, j > m0 .

Ezzel megmutattuk, hogy κ fels˝o korl´ at a sorozat bármely két tagjának távols´ ag´ ara. A Bolzano-Weierstrass kiválaszt´ asi tétel szerint, létezik a {vk } pontsorozatnak konvergens {vkr } részsorozata. Legyen ennek a határértéke v . Megmutatjuk, hogy v az egész pontsorozatnak határértéke. Legyen ² tetsz˝ oleges pozit´ıv val´ os szám. Mivel v határértéke a {vkr } részsorozatnak, ´ıgy az 2² pozit´ıv számhoz is van olyan r0 index, hogy ha ² r > r0 , akkor d(v, vkr ) < . 2 Másrészt, {vk } Cauchy-sorozat lévén az 2² pozit´ıv számhoz megadható olyan m0 index, hogy ha ² k, ` > m0 , akkor d(vk , v` ) < . 2 Legyen µ = max(m0 , kr0 ) . Akkor, az ` > µ-b˝ ol következik, hogy d(v, v` ) ≤ d(v, vkr ) + d(vkr , v` ) <

² ² + = ². 2 2

Természetesen a {vkr } részsorozat olyan kr index˝ u tagját használtuk a fenti becslésben, amelyre kr > µ(≥ kr0 ) fennáll. Ezzel igazoltuk, hogy a v b´ armely ² > 0 sugar´ u gömbkörnyezete a {vk } pontsorozatnak csak véges sok tagját nem tartalmazza, tehát limk→∞ vk = v . 2 2. Gyakorlatok, feladatok

1. Vizsgálja meg az alábbi halmazokat korl´ atoss´ ag, ny´ılts´ ag, illetve zárts´ ag szempontjából: a. az En tér azon pontjainak halmaza, amelyeknek koordinát´ ai racionális számok; 1 b. az E3 tér v = [ k1 , 1` , m ] koordináta vektor´ u pontjainak halmaza, ahol k, ` és m természetes számok; c. az En tér azon pontjainak halmaza, amelyeknek maximum-norm´ aja nem nagyob egynél; d. az En tér v = [τ, τ 2 , . . . , τ n ] koordináta vektor´ u pontjainak halmaza, ahol −1 ≤ τ ≤ 1; e. az E2 tér v = [sin τ, cos τ ] koordináta vektor´ u pontjainak halmaza, ahol τ ∈ R; 1 f. az E3 tér v = [ 1−τ , 1 − τ, ln(1 − τ )] koordináta vektor´ u pontjainak halmaza, ahol −∞ < τ < 1. 2. Legyenek v, w ∈ B ◦ (0, δ). Mutassa meg, hogy a v + τ (w − v) pont is pontja az origó δ sugar´ u gömbk¨ ornyezetének.

(0 ≤ τ ≤ 1)

´ ´ ´ 5.3. GEOMETRIAI FOGALMAK ALTAL ANOS´ ıTASA

143

3. Mutassa meg, hogy az xk = [ξ1k , . . . , ξnk ] koordináta vektor´ u {xk } pontsorozat akkor és csak akkor konvergens ha minden i(= 1, . . . , n)-re a ξik sz´ amsorozat konvergens, és ha {xk } konvergens, akkor lim xk = [ lim ξ1k , . . . , lim ξnk ]

k→∞

k→∞

k→∞

. 4. Konvergensek-e az alábbi pontsorozatok, é√ s ha igen mi a határérték¨ uk: √ √ √ k 3 k 1 k 2k a. xk = [ 2k, ( k ) , ( 3 ) , k! , k( k + 1 − k)] ; √ √ √ √ k2 +1 b. xk = [( k4 )k , ( 15 )k , k k + 3, k+1 , k + 1 − k − 3] ; q

c. xk = [(1 − 13 )(1 − 16 ) · · · (1 − d. xk = [ 2kk , ( k2 )k ,

5.3

2 1 3 3 k(k+1 ), 3 ( 1 + k3 q √ k k! k k 2( 32 )2 ( 43 )3 · · · ( k+1 k , k ) ].

k

k

2 +3 ]; − 1)k 3 , 3k+1 +2k+1

Geometriai fogalmak ´ altal´ anos´ıt´ asa

Ebben a pontban geometriai fogalmak tetsz˝oleges euklideszi terekre val´ o kiterjesztésével foglalkozunk. Persze nem vállalkozhatunk minden, két és 3-dimenziós geometriai fogalom tetsz˝oleges n-dimenziós euklideszi terekben val´ o által´ anos´ıt´ as´ anak megfogalmazására, csak a legfontosabbakra tér¨ unk ki. A 2- és 3-dimenziós tér bármely két v és w pontja (vektora) meghatározott egy egyenest, amelynek bármely x pontja (vektora) megkaphat´ o, ha a w vektorhoz hozzáadjuk a v − w vektor valamilyen λ skal´ arszoros´ at, azaz x = w + λ(v − w) = λv + (1 − λ)w , (λ ∈ R) alak´ u lineáris kombinációja a v és w pontoknak. Egész pontosan: ha λ végigfut az összes valós számon, akkor x végigfut az egyenes pontjain. Az alábbi 5.1 ábra mutatja a kétdimenziós tér egy egyenesének ilyen megadás´ at. .. ... .. ... ... ... ... ................ ... ................ ... ................ ................ ... ................ .. ........................ .... ............................... .... ....................... ......... ...................... ...................... ........ .... ...................... . ... ... ..................... ... ... ...... .... .......................................... ... . ...................... ............. . ... . ...................... . . ... ... ............. ... ... .... . .............. ................................ . . ... ................ . ... ............ .. ................ ... . ....... . . . ................ ....... . .. ... . . .. .......... . . . . . . . ... . . ..... . . . . . . . . . . . ... . .... . . . . . . . . . . . . ... ..... . . . ... . . ... .... . . ....... ... ... ... ........ ... .. ... ........ ... ... ... ....... ... ... ..... ....... . . . . . . . . .. . .. ... .. ... ...... ... ... ... . . . . ....... . . . ..... .... .............. . . . ...... ....... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ... .. ....

x

v−w

• v

• w

•

5.1. ábra: Egyenes a s´ıkban Ez sugallja, hogy tetsz˝oleges En euklideszi tér v és w pontj´ an átmen˝ o egyenesén az

←→

vw = {x ∈ En | x = λv + (1 − λ)w λ ∈ R}

ponthalmazt érts¨ uk. A 2-dimenziós térben a szakaszok az egyeneseknek korl´ atos zárt részhalmazai, ha


144

csak a v és w pontokat összeköt˝o szakasz pontjait akarjuk megkapni, akkor a λ skalárt a valós számok [0, 1] zárt intervallum´ an kell végigfuttatnunk. Ennek megfelel˝oen az n-dimenziós euklideszi tér v és w pontjait összek¨ ot˝ o szakasz´ an a v, w = {x ∈ En | x = λv + (1 − λ)w, 0 ≤ λ ≤ 1} ponthalmazt fogjuk érteni. A szakasz pontjai a végpontok olyan lineáris kombin´ aci´ oja, hogy az egy¨ utthat´ ok nemnegat´ıvak és összeg¨ uk 1-gyel egyenl˝ o. Az ilyen lineáris kombin´ aci´ okat konvex ´ line´ aris kombin´ aci´ oknak nevezz¨ uk. Altal´ anosan, ha λi ≥ 0 , (i = 1, . . . , n) val´ os Pn P számok és i=1 λi = 1 , akkor a vi , (i = 1, . . . , n) vektorok ni=1 λi vi line´ aris kombinációját konvex lineáris kombin´ aci´ onak mondjuk. 5.3.1 Defin´ıci´ o. Az En euklideszi tér olyan C részhalmaz´ at, amely b´ armely két pontj´ anak konvex line´ aris kombin´ aci´ oit is tartalmazza, konvex halmaznak h´ıvjuk. Más szavakkal, azt mondhatjuk, hogy C pontosan akkor konvex halmaz, ha bármely két pontját összeköt˝o szakasz részhalmaza C-nek. Persze, ha két pont egybeesik, akkor az azokat ”összek¨ ot˝ o szakasz” egyetlen pontra zsugorodik, ezért az egyetlen pontb´ ol áll´ o halmazok is konvexek, s˝ot megállapodunk abban, hogy az u ¨res halmazt is konvexnek mondjuk. A s´ık egy-egy konvex és nem konvex részhalmaz´ at mutatja az 5.2 ábra. .. ... .. ... ... ... ... ... .... ... ... .............. ....... ... ... ....... ... ....... ... ....... ... ... . ....... .. ....... ... . ....... .. ... . ....... . ....... . ... . ... ... . . ... . ... . .. ... . ... . .. ... . . ... . .. ... ... . . . . ... ... . . ... ... . ... . ... . . . ... . . ...... ... ... . ...... ... ...... . ... ... ...... . ... ... ...... . ...... . . ... ...... ............. . . . . . . . . ... . ...... . . . ........ . . ...... . . . . . . ... . . . . ...... ..... ... .......................... ... ... .. ........................................................................................................................................................................................................ .. ... ...

·v

w ·

•

konvex halmaz

.. ... .. ... . ... ..... ... ... ... ... ..... ... ... ... . ... . ... . ... ... ... ... ... ... ... ... . ... . ... .. . ... ... . .. ... . ... . ... .. . ... . ... .. . ... ... . .......... .. ... . . ... . . ... .. .. ........ . . ... . . ... ...... .. .. . . ... ... . . . . ...... .. ... ..... . . ... . . . ........ ... .. ... . . . ... . . ...... .. ... .. . .. . . . . ... . . . ...... ..... ... .. . .... . . . ... . . . . ...... .... ... . ... .... . . . ...... ... ... . . . . ... .. ...... ... ... ..... ... ......... ... ... ... ......... .... . ... ... ... ... ... ... .. ........................................................................................................................................................................................................ .. ... ...

v·

·

w·

x = 21 v + 21 w

•

nem konvex halmaz

5.2. ábra: Konvex és nem konvex halmazok A konvex halmazok persze nemcsak bármely két pontjuknak, de bármely véges sok pontjuk konvex lineáris kombin´ aci´ oit is tartalmazzák. Ez akár a konvex halmazok defin´ıciója is lehetne. Ezt mondja a következ˝ o: ´ ıt´ 5.3.2 All´ as. Az euklideszi tér egy C részhalmaza pontosan akkor konvex, ha b´ armely véges sok pontj´ anak konvex line´ aris kombin´ aci´ oit is tartalmazza. Bizony´ıt´ as. Az elegend˝oség nyilv´ anval´ o. A sz¨ ukségességet a tekintett pontok száma szerinti teljes indukci´ oval igazojuk. Két pontj´ anak konvex lineáris kombin´ aci´ oit konvex halmaz tartalmazza, hiszen ezzel értelmezt¨ uk egy halmaz konvexit´ as´ at. Tegy¨ uk fel, hogy a C konvex halmaz legfeljebb n − 1 ≥ 2 pontjának minden konvex lineáris kombin´ aci´ oj´ at tartalmazza, és


145

legyenek v1 , . . . , vn−1 , vn C-beli pontok, tov´ abb´ a λ1 , . . . , λn−1 , λn olyan nemnegat´ıv P skalárok, hogy ni=1 λi = 1 . Feltehetj¨ uk, hogy ezek a skal´ arok mindegyike pozit´ıv, P mert k¨ ulönben a ni λi vi ténylegesen n-nél kevesebb pont konvex lineáris kombin´ aciója lenne, és az indukciós feltevés alapján azonnal adódna, hogy eleme C-nek. Igy a λi , (i = 1, . . . , n − 1) 1 − λn skalárok olyan nemnegat´ıv számok, emelyeknek az összege 1-gyel egyenl˝ o, következésképpen a n−1 X i=1

Akkor viszont a λn vn + (1 − λn )

λi vi ∈ C . 1 − λn Ãn−1 X i=1

λi vi 1 − λn

!

=

n X

λi vi

i=1

vektor is C-ben van, és ezt kellett igazolnunk.

2

A következ˝o áll´ıtás seg´ıtség¨ unkre lesz tetsz˝oleges részhalmaz konvex lezártj´ anak értelmezésénél. ´ ıt´ 5.3.3 All´ as. Konvex halmazok metszete is konvex. T

Bizony´ıt´ as. Legyenek Cγ , (γ ∈ Γ) konvex halmazok, és legyen v, w ∈ γ∈Γ Cγ . (Feltehetj¨ uk, hogy a metszetnek van legalább két k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o eleme, mert k¨ ul¨ onben a metszet biztos konvex.) Akkor v, w ∈ Cγ minden γ ∈ Γ-ra, és a Cγ halamazok konvexitása miatt v és w minden x = λv + (1 − λ)w 0 ≤ λ ≤ 1 konvex lineáris kombinációja is minden Cγ halmazban benne van. Akkor viszont T x ∈ γ∈Γ Cγ is teljes¨ ul. Ezzel a bizony´ıt´ ast befejezt¨ uk. 2 5.3.4 Defin´ıci´ o. Legyen H az euklideszi tér tetsz˝ oleges részhalmaza. Azt a legsz˝ ukebb konvex halmazt, amely H-t tartalmazza, a H konvex burk´ anak nevezz¨ uk és co (H)-val jel¨ olj¨ uk. Nyilván co (H) az összes H-t tartalmazó konvex halmaz köz¨ os része. Mivel az egész euklideszi tér konvex, ez mindig létezik. Remélj¨ uk, hogy most az olvas´ o a vektorterek részhalmazai lineáris burkára asszociál, már csak azért is, mert itt is érvényes az analóg áll´ıtás, hogy ´ ıt´ 5.3.5 All´ as. Egy H halmaz co (H) konvex burka megegyezik a H halmaz elemei ¨ osszes konvex line´ aris kombin´ aci´ oinak halmaz´ aval. Bizony´ıt´ as. Jelölj¨ uk a H halmaz elemei összes konvex lineáris kombin´ aci´ oinak halmazát H 0 -vel. Akkor H 0 konvex, mert ha p X i=1

αi vi

és

q X j=1

βj wj


146

a H halmaz elemeinek konvex lineáris kombin´ aci´ oja, akkor minden λ , (0 ≤ λ ≤ 1) valós számra a   λ

Ã p X

!

αi vi

+ (1 − λ) 

i=1

q X

βj wj 

j=1

is konvex lineáris kombinációja H elemeinek. Mivel H ⊆ H 0 kapjuk, hogy H 0 ⊆ co (H). Az is igaz viszont, hogy H ⊆ co (H) és konvex halmaz zárt az elemeinek konvex lineáris kombináció képzésére (lásd az (5.3.2) áll´ıt´ ast), ezért co (H) ⊆ H 0 is fennáll. 0 Akkor co (H) = H és ezt kellett igazolnunk. 2 Véve két pontot az euklideszi térben és képezve ennek a kételem˝ u részhalmaznak a konvex burkát, a már megismert szakaszt kapjuk. Ha három olyan pontot vesz¨ unk, melyek köz¨ ul egyik sem konvex lineáris kombin´ aci´ oja a másik kett˝ onek, akkor konvex burkuk háromszöget ad. Fel kell h´ıvjuk az olvas´ o figyelmét, hogy háromszöget kaphatunk lineárisan összef¨ ugg˝ o rendszert alkot´ o három pont konvex burkaként is, csupán azt kellett megköveteln¨ unk, hogy konvex lineáris kombin´ aci´ oval ne lehessen el˝oáll´ıtani egyik pontot sem a másik kett˝ ob˝ ol. Hasonló konstrukci´ oval kaphatjuk a s´ık összes konvex sokszögét és a térbeli konvex testeket is. Persze, már a kétdimenziós euklideszi terekben vannak olyan konvex részhalmazok, amelyek nem kaphatók meg véges részhalmaz konvex burkaként, csak gondoljunk egy körre, amely nyilv´ an ilyen tulajdonság´ u. Az euklideszi tér véges részhalmaz´ anak konvex burkát poliédernek nevezz¨ uk. Ha C konvex halmaz és p ∈ C olyan pontja, amely nem bels˝o pontja egyetlen C-beli szakasznak sem, akkor p-t a C halmaz extrem´ alis pontj´ anak, vagy más szóval cs´ ucspontj´ anak h´ıvjuk. 5.3.6 T´ etel. Legyen H = {p1 , . . . , pk } az euklideszi tér egy véges részhalmaza. Akkor co (H) minden extrem´ alis pontja H-beli, és p` ∈ H pontosan akkor extrem´ alis pontja co (H)-nak, ha nem ´ all´ıthat´ o el˝ o a H \ {p` } halmaz pontjainak konvex line´ aris kombin´ aci´ ojaként. Bizony´ıt´ as. Legyen c ∈ co (H) a H halmazbeli elemek c=

k X

αi pi , (αi ≥ 0 ,

i=1

k X

αi = 1)

i=1

konvex lineáris kombinációja. Ha c 6∈ H , akkor biztosan létezik olyan j , hogy 0 < αj < 1 . Akkor a p=

k X i=1

αi pi 1 − αj

i6=j

pont eleme co (H)-nak, hiszen H-beli pontok konvex lineáris kombin´ aci´ oja, és c = αj pj + (1 − αj )p bels˝o pontja a pj , p szakasznak, igazolva ezzel, hogy co (H) extremális pontjai H-ban kell legyenek.


147

A második áll´ıtás igazolása végett lássuk be azt, hogy ha p` ∈ H el˝ o´ all´ıthat´ o H \{p` }beli pontok konvex lineáris kombin´ aci´ ojaként, akkor co (H) = co (H \{p` } . Val´ oban, ha p` =

k X

βi pi , βi ≥ 0,

k X

i=1

i6=`

akkor co (H) bármely

Pk

i=1 γi pi

k X

βi = 1 ,

i=1

i6=`

eleme el˝o´ all´ıthat´ o

γi pi + γ`

k X

i=1

i=1

i6=`

i6=`

βi pi =

k X

(γi + γ` βi )pi

i=1

i6=`

alakban, ahol nyilván γi + γ` βi ≥ 0 minden i 6= `(= 1, . . . , k)-ra és k X

(γi + γ` βi ) = 1 .

i=1

i6=`

Ezzel igazoltuk, hogy co (H) ⊆ co (H \ {p` } , és mivel a ford´ıtott irány´ u tartalmazás nyilvánvalóan fennáll, azt is, hogy co (H) = co (H \ {p` } . Az els˝o, már igazolt áll´ıtás felhasználásával, mostmár kapjuk, hogy co (H) extremális pontjai a H halmaz ¯ részhalmazának a pontjai, amelyre co (H) = co (H) ¯ teljes¨ olyan minimális H ul. ¯ ¯ Igazolnunk kell még, hogy a H halmaz minden pontja extremális pontja co (H)-nak. ¯ = {p1 , . . . , pr } és lássuk — mondjuk Az egyszer˝ uség kedvéért tegy¨ uk fel, hogy co (H) ¯ p1 extremalitását. Legyen ehhez α ∈ (0, 1) és p1 = αx + (1 − α)y, ahol x, y ∈ co (H), Pr azaz x = β1 p1 + · · · + βr pr és y = δ1 p1 + · · · + δr pr tov´ abb´ a i=1 βi = 1 βi ≥ 0 és Pr δ = 1 δ ≥ 0 . Ekkor i i=1 i p1 = α (β1 p1 + · · · + βr pr ) + (1 − α) (δ1 p1 + · · · + δr pr ) = = (αβ1 + (1 − α)δ1 ) p1 + · · · + (αβr + (1 − α)δr ) pr .

(5.5)

Ebb˝ol az 1 − (αβ1 + (1 − α)δ1 ) = α(1 − β1 ) + (1 − α)(1 − δ1 ) azonosság alapján azt kapjuk, hogy [1 − (αβ1 + (1 − α)δ1 )] p1 = [α(1 − β1 ) + (1 − α)(1 − δ1 )] p1 =

(5.6)

[αβ2 + (1 − α)δ2 ] p2 + · · · + [αβr + (1 − α)δr ] pr .

(5.7)

Az (5.7)-ben lév˝o nemnegat´ıv kombin´ aci´ o egy¨ utthat´ oinak az összege: [αβ2 + (1 − α)δ2 ] + · · · + [αβr + (1 − α)δr ] = = α(β2 + · · · + βr ) + (1 − α)(δ2 + · · · + δr ) = α(1 − β1 ) + (1 − α)(1 − δ1 ), tehát megegyezik a (5.6)-ban szerepl˝o p1 egy¨ utthat´ oj´ aval. A p1 egy¨ utthat´ oja (5.6)ban nulla kell legyen, mert ellenkez˝ o esetben végigoszthatn´ ank vele, és a p1 vektort a p2 , . . . , pr vektorok konvex kombin´ aci´ ojaként áll´ıthatn´ ank el˝o, ellentétben a B rendszer 1) tulajdonságával. Ha viszont a p1 egy¨ utthat´ oja (5.6)-ban nulla, azaz α(1 − β1 ) + (1 − α)(1 − δ1 ) = 0, akkor 1 = αβ1 + (1 − α)δ1 , és ekkor a (5.5) szerint minden i ≥ 2-re αβi + (1 − α)δi = 0, azaz βi = δi = 0, ha i ≥ 2 és β1 = δ1 = 1 . Ez


148

viszont azt jelenti, hogy x = y = p1 ennélfogva co (x, y) ∈ {p1 } igazolva p1 extremális voltát. 2 A fenti tétel azt jelenti, hogy az euklideszi terek poliéderei esetében a cs´ ucspontok ugyanolyan szerepet játszanak a poliéder ”generál´ as´ aban”, mint a bázisvektorok a tér generálásában. A 3-dimenziós euklideszi tér pontjainak és egyeneseinek megfelel˝oit tetsz˝oleges n-dimenziós euklideszi terekben már értelmezt¨ uk, de nem definiáltuk még a s´ıkok megfelel˝oit. A s´ıkok egyik megfogható tulajdonsága, hogy ha egy pontjukba a s´ıkra mer˝oleges vektort áll´ıtunk, az a sikban fekv˝o minden vektorra mer˝oleges lesz. Az 5.3 ábra azt igyekszik illusztrálni, hogy ha ezt a c-vel jelzett vektort a s´ık v0 pontjába toljuk, akkor a s´ık bármely más x pontja (pontj´ aba mutat´ o vektor) azzal jellemezhet˝o, hogy a s´ıkban fekv˝o x − v0 vektor mer˝oleges c-re. . ... .... ....... ... ......... .. . .. ... . ... ... ... ... ... ... .. ... . ... ... ... ... .. ....... ... ........ ..................................................... . . . . ... . . .......................... ... .. .......................... ... ....... . .. .......................... ....... ... ............ ....... ... . ....... ... ...................... ......... ....... . . . . . . . . . ... . . . ... . . ......... ..... . . . . ... . . . . . ..... .. ... . . ............ ..... ... . . . ... . ..... . . . . . ... . . . . ....... . ..... ... . ....... ... ..... ... . . . . ....... . .... . . ... . ......... ... . . . . ...... . . ... . . . . . .... ...... . ..... ........... . . . . . . . . . . ... . . . . . . ....... . ......... ... .... . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . ... ....... . .... ................. ....... ... ....... . . ...... .... ........ . . . . . ....... ....... ... ....... . . .............................. . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .............. . . . . . . . . . . . .. ........ .. ........................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................. ....... . .. ... . . ....... . . ....... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . . . ....... ....... ..... . . . . ...... .... ....... . . . . . . . . . . . . . ....... . .... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . .. ..... . . . . .. ..... . . . . . . . .. . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . .... . . . . . . . . ..... . . . . .. . . . . ..... . ..... . . . . .... ..... ..... ....

c

v0 • ·

S(c, α)

x

•

5.3. ábra: S´ık a 3-dimenziós térben A mer˝olegesség, ortogonalitás kifejezhet˝o minden euklideszi térben a skal´ aris szorzat seg´ıtségével, nevezetesen az egymásra mer˝oleges vektorok skal´ aris szorzata ´ nulla. Eppen ez szolgált a 3-dimenziós térben a s´ıkok hc, x − v0 i = 0 egyenletének megadására. Ezt az egyenletet kicsit más alakban szokás megadni, bevezetve a hc, v0 i skalárra az α jel¨ olést, azt mondhatjuk, hogy pontosan azok az x pontok alkotják a szóbanforgó s´ıkot, amelyek kielég´ıtik az hc, xi = α egyenletet. Ez az értelmezés tetsz˝oleges euklideszi térben lehetséges. Azt mondjuk, hogy az En euklideszi tér hipers´ıkja a tér S(c, α) = {x ∈ En | hc, xi = α} részhalmaza, ahol c ∈ En és α ∈ R egy adott vektor, illetve skal´ ar. A c vektort a hipers´ık normálvektorának is szokás nevezni, annak kifejezésére, hogy c a s´ıkban


149

fekv˝o minden vektorra ortogonális. Val´ oban, ha x1 , x2 ∈ S(c, α) , akkor hc, x1 − x2 i = hc, x1 i − hc, x2 i = α − α = 0 .

´ ıt´ 5.3.7 All´ as. A hipers´ıkok, egyenesek, szakaszok a térnek konvex részhalmazai, ha a hipers´ık, vagy egyenes az orig´ ot (a nullvektort) is tartalmazza, akkor az euklideszi térnek alterei is. Bizony´ıt´ as. Legyen az S(c, α) hipers´ıknak x1 és x2 két tetsz˝oleges pontja és λ , (0 ≤ λ ≤ 1) valamely skalár. Akkor hc, λx1 + (1 − λ)x2 i = λ hc, x1 i + (1 − λ) hc, x2 i = λα + (1 − λ)α = α , igazolva, hogy a hipers´ık zárt a konvex lineáris kombin´ aci´ o képzésére nézve, azaz konvex. Az origó pontosan akkor eleme a hipers´ıknak, ha az α = 0 . Akkor viszont bármely x1 , x2 ∈ S(c, 0) pontjára ortogonális a c norm´ alvektor, ´ıgy azok tetsz˝oleges β1 x1 + β2 x2 lineáris kombinációj´ ara is, igazolva, hogy az origón átmen˝ o hipers´ıkok alterek. Az egyenesek és szakaszok konvexit´ as´ anak, illetve az origón átmen˝ o egyenesek altér voltának igazolását az olvas´ ora bizzuk. 2 Az n-dimenziós euklideszi terek egyenesei egydimenziósak, abban az értelemben, hogy azok vagy egydimenziós alterek, vagy egydimenziós alterek eltolás´ aval kaphatók. Az origón átmen˝o hipers´ıkok n − 1-dimenzi´ os alterek. (Ez következik az (5.1.15) tételb˝ol, és abból, hogy egy S(c, α) hipers´ık az egydimenziós lin (c) ortogoná´ lis komplementere.) Altal´ aban pedig a hipers´ıkok n − 1-dimenzi´ os alterek eltolás´ aval kaphatók. (Eltoláson azt értj¨ uk, hogy az altér minden pontj´ ahoz ugyanazt a vektort hozzáadva kapjuk az egyenes, illetve hipers´ık pontjait.) A hipers´ık normálvektora persze nem egyértelm˝ u, egy c normálvektor tetsz˝oleges nemzér´ o skal´ arszorosai is normálvektorok, és persze a normálvektort´ ol f¨ ugg az α skal´ ar. A 3-dimenziós térben három nem egy egyenesre es˝o pont egyértelm˝ uen meghatározta a rájuk illeszked˝ o s´ıkot. Ehhez az n-dimenziós euklideszi térben n pontra van sz¨ ukség, és ezek köz¨ ul legalább n − 1 lineárisan f¨ uggetlen kell legyen. Az alábbi péld´ aban bemutatjuk, hogy 4 pont megadásával hogyan határozhat´ o meg a 4-dimenziós euklideszi tér egy hipers´ıkja. 4 P´ elda. Legyen az E4 euklideszi tér egy ortonorm´ alt b´ azisa az X = {v1 , v2 , v3 , v4 } és a1 = v1 −v2 +v3 −v4 , a2 = 2v1 +v3 −2v4 , a3 = 2v2 −v3 , a4 = −v1 +v2 +2v3 +v4 . Hat´ arozzuk meg az a1 , a2 , a3 , a4 pontokat tartalmaz´ o hipers´ıkot. Jelölj¨ uk a keresett hipers´ık egy normálvektor´ at c-vel, és legyen ennek a koordináta vektora az X ortonormált bázisban c = [γ1 , γ2 , γ3 , γ4 ] . Mivel a1 , a2 , a3 , a4 a hipers´ık pontjai, az a1 − a2 , a1 − a3 , a1 − a4 vektorok a hipers´ıkra illeszkednek, ennélfogva ortogonálisak a c vektorra, azzal val´ o skal´ aris szorzatuk zér´ o. A skal´ aris


150

szorzatukat most egyszer˝ uen az X ortonormált bázisra vonatkoz´ o bels˝o szorzatként kapjuk az (5.1.19) tétel szerint. Mivel    

a1 − a2 = 

−1 −1 0 1





   

a1 − a3 = 

  

1 −3 2 −1





   

a1 − a4 = 

  

2 −2 −1 −2

   , 

teljes¨ ulni kell az alábbi egyenleteknek: −γ1 −γ2 +γ4 = 0 γ1 −3γ2 +2γ3 −γ4 = 0 2γ1 −2γ2 −γ3 −2γ4 = 0 Ennek a homogén lineáris egyenletrendszernek a nemnulla megoldásai a lehetséges normálvektorok. Az elemi bázistranszform´ aci´ os módszerrel a megoldás: γ1

γ2

γ3

γ4

γ2

γ1 1 -1 −1 0 1 → −4 1 −3 2 −1 2 −2 −1 −2 −4 γ2 →

γ1 γ3

γ4

γ3

γ4

0 −1 → 2 0 -1 0 γ4

1 −1 γ1 −1 → γ2 0 -12 0 γ3 0 4 0

Az utolsó táblázat alapján az által´ anos megoldás:    

c=

γ1 γ2 γ3 γ4





    =  

1 0 0 1

   ·τ, 

ahol τ nemnulla val´ os.

A τ = 1 választással kapott c = [1, 0, 0, 1] koordináta vektor´ u c = v1 + v4 vektor egy lehetséges normálvektor. Ezzel a normálvektorral a hipers´ıkhoz tartozó skal´ ar az hc, a1 i skaláris szorzat, ami eset¨ unkben [c, a1 ] = 0 . Igy a keresett hipers´ık: S(c, 0) = {x ∈ E4 | hc, xi (= [c, x]) = 0} . Tehát a x = [ξ1 , ξ2 , ξ3 , −ξ1 ] koordináta vektor´ u x = ξ1 v1 + ξ2 v2 + ξ3 v3 − ξ1 v4 pontok alkotják a hipers´ıkot, ahol ξi , (i = 1, 2, 3) tetsz˝oleges val´ os számok. Amint az könnyen látható a kapott S(c, 0) hipers´ık most 3-dimenziós altér. 2 Az euklideszi terek további nevezetes konvex részhalmazai a félterek: Legyen S(c, α) az En euklideszi tér valamely hipers´ıkja. A H1 (c, α) = {x ∈ En | hc, xi < α} , H2 (c, α) = {x ∈ En | hc, xi > α} ,


151

H3 (c, α) = {x ∈ En | hc, xi ≤ α} , H4 (c, α) = {x ∈ En | hc, xi ≥ α} részhalmazokat féltereknek nevezz¨ uk. Ezen bel¨ ul, mivel a H1 (c, α) és H2 (c, α) halmazok ny´ıltak, azokat ny´ılt féltereknek mondjuk, és minthogy a H3 (c, α) és H4 (c, α) halmazok zártak, ezeket z´ art féltereknek h´ıvjuk. Könnyen belátható, hogy az egész En euklideszi tér felbonthat´ o az S(c, α) , a H1 (c, α) és H2 (c, α) részhalmazainak diszjunkt (köz¨ os pont nélk¨ uli) egyes´ıtésére. A lineáris programozási problém´ ak megoldás´ an´ al betölt¨ ott szerep¨ uk miatt meg kell még eml´ıten¨ unk a poliedrikus halmazok fogalmát. Az euklideszi tér egy részhalmazát akkor nevezz¨ uk poliedrikus halmaznak, ha az véges sok zárt féltér köz¨ os része.

3. Gyakorlatok, feladatok

1. Legyen az En euklideszi tér egy véges nem¨ ures részhalmaza M . Mutassuk meg, hogy co (M ) korlátos halmaz. 2. Igazoljuk, hogy a valós számtest feletti lineáris egyenletrendszer megoldáshalmaza konvex, és ha van legalább két eleme, akkor nem korl´ atos. 3. Bizony´ıtsuk be, hogy egy poliedrikus halmaznak véges sok extremális pontja van. 4. Legyen az E4 euklideszi tér x1 , x2 , x3 pontj´ anak koordináta vektora egy V ortonormált bázisban    

x1 = 

1 −1 2 0





     , x2 =   

0 −2 1 −1

    



és

  

x3 = 

1 0 2 −1

    

←→

a. Határozzuk meg az x1 pontnak az x2 x3 egyenest˝ ol val´ o távols´ ag´ at. b. Szám´ıtsuk ki az x1 , x2 , x3 pontok által meghatározott háromsz¨ og ter¨ uletét. 5. Mutassuk meg, hogy az En euklideszi tér háromsz¨ ogeinek s´ ulypontja is a cs´ ucspontok számtani közepe. 6. Határozzuk meg az E4 euklideszi tér v pontj´ anak az S(c, 0) hipers´ıkt´ ol val´ o távolságát, ha egy ortonormált bázisban v = [1, 0, −1, 2] és c = [2, −1, 0, 3]. 7. Szám´ıtsuk ki az S(c, α) és az S(c, β) hipers´ıkok távols´ ag´ at.


152

5.4

Unit´ er terek

Az unitér terek a komplex vektorterekb˝ ol ugyan´ ugy kaphat´ ok, mint ahogy a val´ os vektorterekb˝ol az euklideszi tereket kaptuk. Ezért ebben a pontban csupán a komplex terekben értelmezett skaláris szorzat megadás´ ara szor´ıtkozunk, és azt mutatjuk meg, hogy minden véges dimenziós komplex vektortérben értelmezhet˝ o skal´ aris szorzat, tehát unitér térré tehet˝o. 5.4.1 Defin´ıci´ o. Legyen V komplex vektortér és h, i : V ⊕ V → C olyan f¨ uggvény, amely minden v, w ∈ V vektorp´ arhoz egy hv, wi-vel jel¨ olt komplex sz´ amot rendel. A h, i f¨ uggvényt komplex skal´ aris szorzatnak nevezz¨ uk, ha eleget tesz az al´ abbi feltételeknek: b´ armely v, w, z ∈ V vektorokra és tetsz˝ oleges λ komplex sz´ amra (1) hv, wi = hw, vi, ¯ hv, wi, (2) hλv, wi = λ (3) hv + w, zi = hv, zi + hw, zi, (4) hv, vi ≥ 0 és

hv, vi = 0 ⇐⇒ v = 0.

Amint látható, a komplex skal´ aris szorzat a komplex vektortéren értelmezett pozit´ıv definit hermitikus bilineáris alak. 5.4.2 Defin´ıci´ o. Egy véges dimenzi´ os komplex vektorteret unitér térnek nevez¨ unk, ha komplex skal´ aris szorzat van benne értelmezve. Véges dimenziós komplex vektorterekben mindig lehet komplex skal´ aris szorzatot értelmezni. Rögz´ıtve a tér egy bázis´ at a vektorok e bázisra vonatkoz´ o komplex bels˝o szorzatával. A bilineáris alakokr´ ol irottak alapján azonal adódik, hogy a komplex bels˝o szorzat hermitikus bilineáris alak, a pozit´ıv definitség pedig abból adódik, hogy ha z egy komplex vektortér vektora, amelynek koordináta vektora valamely bázisban 



α1 + iβ1   .. , z= .   αn + iβn akkor [z, z] =

n X

(αj2 + βj2 ) ≥ 0 ,

j=1

és nyilvánvalóan akkor és csak akkor nulla, ha minden j(= 1, . . . , n)-re αj = βj = 0 . A komplex skaláris szorzatos terek is normált terek a def

kzk =

q

hz, zi

´ TEREK 5.4. UNITER

153

norma-f¨ uggvénnyel, de a Cauchy-Schwarz-egyenl˝ otlenség bizony´ıt´ asa kicsit bonyolultabb a valós esetben látottól, ezért azt részletezz¨ uk. A komplex skal´ aris szorzatos V tér bármely két s, t vektorára és bármely λ komplex számra fennáll az ¯ ht, si + λλ ¯ ht, ti ≥ 0 hs + λt, s + λti = hs, si + λ hs, ti + λ egyenl˝otlenség, ami kicsit tömörebben az ¯ ht, si + |λ|2 ktk2 ≥ 0 ksk2 + λ hs, ti + λ

(1)

alakban is ´ırható. Az (1) egyenl˝ otlenséget szorozva a pozit´ıv ksk2 -tel, kapjuk, hogy 2 ¯ ksk4 + λksk2 hs, ti + λksk ht, si + |λ|2 ksk2 ktk2 =

³

(2) .

´³

= ksk2 + λ hs, ti

´

¯ ht, si − |λ|2 hs, ti ht, si + |λ|2 ksk2 ktk2 ≥ 0 ksk2 + λ

Mivel a (2) egyenl˝otlenség minden komplex λ számra teljes¨ ul, fennáll a λ=−

hs, ti ksk2

számra is, amikor is (2) a −|λ|2 hs, ti ht, si + |λ|2 ksk2 ktk2 ≥ 0

(3)

egyenl˝otlenségre redukálódik. Vég¨ ul (3)-at átrendezve, a pozit´ıv |λ|2 -tel elosztva és figyelembe véve, hogy hs, ti ht, si = hs, ti hs, ti = |hs, ti|2 , kapjuk, hogy

|hs, ti|2 ≤ ksk2 ktk2 ,

amib˝ol négyzetgyököt vonva adódik a k´ıv´ ant |hs, ti| ≤ ksk · ktk Cauchy-Schwarz-egyenl˝otlenség. Mivel a komplex vektorterek is normált terek, azok is metrikus térré tehet˝ok a def

d(s, t) = ks − tk metrikával, és a Cauchy-Schwarz-egyenl˝ otlenség birtokában a komplex vektorok ortogonalitása is ugyan´ ugy értelmezhet˝ o, mint a val´ os skal´ aris szorzatos terekben. Igy unitér terekben is vannak ortonormált bázisok, és a komplex skal´ aris szorzat is a vektorok ortonormált bázisra vonatkoz´ o komplex bels˝o szorzatára redukál´ odik. Az euklideszi geometria fogalmai kiterjeszthet˝ok az unitér terekre is, ezekkel azonban itt nem foglalkozunk.

154


6. Fejezet

Determin´ ansok Tekintettel arra, hogy a determinánsok bevezetése feltételezi, hogy ismerj¨ unk néhány, a véges halmazok permut´ aci´ oival kapcsolatos fogalmat és eredményt, az els˝o pontban azok rövid ismertetését találja az olvas´ o. A második pontban értelmezz¨ uk, a bilineáris f¨ uggvények mint´ aj´ ara, a k-line´ aris f¨ uggvényeket, amelyek ugyancsak vektorteret alkotnak. Ezt követ˝ oen n-dimenzi´ os vektorterek alternál´ o klineáris f¨ uggvényeinek vizsgálatára szor´ıtkozunk, mert ezekre támaszkodva vezetj¨ uk be a determináns fogalmát. Mint látni fogjuk, a determináns a lineáris transzformációkhoz skalárt rendel˝o f¨ uggvény. Megmutatjuk, hogy hogyan lehet a determináns értékét a lineáris transzformáci´ o mátrix´ anak ismeretében kiszám´ıtani, illetve, hogy a determinánst skalárérték˝ u mátrixf¨ uggvényként is értelmezhetj¨ uk. A determináns ismeretében a lineáris transzformáci´ okhoz karakterisztikus polinomot rendel¨ unk és definiáljuk a lineáris transzformáci´ ok sajátértékének, illetve sajátvektor´ anak fogalmát.

6.1

Permut´ aci´ ok

Egy nem¨ ures halmaz permutációj´ an önmag´ ara val´ o bijekt´ıv leképezését értj¨ uk. Céljainknak megfelel˝oen, mi csak véges halmazok permut´ aci´ oival kapcsolatos néh´ any fogalom és eredmény ismertetésére szor´ıtkozunk. Ezek a fogalmak és eredmények kombinat´ orikai természet˝ uek, ezért a halmaz elemeinek mibenléte lényegtelen lesz számunkra. Legyen H az els˝o n természetes szám halmaza, és a permut´ aci´ okkal kapcsolatos legfontosabb fogalmakat és áll´ıt´ asokat ennek a halmaznak a permut´ aci´ oira fogalmazzuk meg. 6.1.1 Defin´ıci´ o. A π:H→H bijekt´ıv leképezést a H halmaz permut´ aci´ oj´ anak nevezz¨ uk. Azonnal megjegyezz¨ uk, hogy véges halmazok sz¨ urjekt´ıv leképezései egy´ uttal bijekt´ıvek is. Az {1, . . . , n} halmaz π permut´ aci´ oja minden k (1 ≤ k ≤ n) számhoz, hozzárendel egy és csak egy π(k) ∈ {1, . . . , n} számot, azaz a π(1), . . . , π(n) számok az 1, . . . , n számoktól csak sorrendj¨ ukben k¨ ul¨ onb¨ ozhetnek. Az n-elem˝ u halmaz összes permutációinak halmazát Sn -nel fogjuk jelölni. Könnyen igazolható, hogy Sn -nek pontosan n! (n faktoriális) eleme van. Ha σ és π két permut´ aci´ o, akkor értelmezz¨ uk 155

´ 6. FEJEZET DETERMINANSOK

156

azok σπ szorzatát a következ˝o módon. Legyen minden k ∈ H-ra: def

(σπ)(k) = σ(π(k)) . Nem nehéz belátni, hogy a permut´ aci´ ok szorzata is permut´ aci´ o. Ezáltal Sn algebrai strukt´ urává vált. Mivel a leképezések szorzása (kompoz´ıci´ oja) asszociat´ıv, az ² identikus leképezés erre a szorzásra nézve redukál´ o elem, és tetsz˝oleges π permut´ acióhoz van inverz permutáció, (nevezetesen, amely minden k ∈ H-ra a π(k) számhoz a k-t rendeli) az Sn strukt´ ura csoport, amelyet n-edfok´ u szimmetrikus csoportnak nevez¨ unk. A legegyszer˝ ubb permutációk azok, amelyek a H halmaz két k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o i és j elemét egymásnak feleltetik meg, minden más H-beli elemet pedig fixen hagynak. Az ilyen permutációkat transzpoz´ıci´ oknak h´ıvjuk. Form´ alisan, ha τ ∈ Sn -re τ (i) = j, τ (j) = i , (i 6= j) és

τ (k) = k (k ∈ H, k 6= i, k 6= j)

teljes¨ ul, akkor τ transzpoz´ıció. Az ´ıgy definiált τ transzpoz´ıci´ ot (i, j)-vel fogjuk jelölni. Másik egyszer˝ u példához jutunk, ha kiválasztunk a H halmazból m elemet, mondjuk az i1 , i2 , . . . , im elemeket és a σ permut´ aci´ ot ´ıgy értelmezz¨ uk: σ(ij ) = ij+1

ha 1 ≤ j < m és σ(im ) = i1 ,

és

σ(k) = k, amennyiben k 6= i1 , . . . , k 6= im . Ha m = 1, akkor σ az identikus permut´ aci´ o. Ha m 6= 1 , akkor az ´ıgy definiált σ permutációt (i1 , . . . , im ) fogja jelölni és m-ciklusnak nevezz¨ uk. Láthat´ o, hogy a transzpoz´ıciók is ciklusok, nevezetesen a 2-ciklusok. Az (i1 , . . . , im ) és (j1 , . . . , jk ) ciklusokat diszjunktnak mondjuk, ha az i-k és a j-k halmaza nem tartalmaz köz¨ os elemet. A diszjunkt ciklusok szorzata f¨ uggetlen a tényez˝ ok sorrendjét˝ ol. ´ ıt´ 6.1.2 All´ as. Minden permut´ aci´ o p´ aronként diszjunkt ciklusok szorzata. Bizony´ıt´ as. Legyen π ∈ Sn . Tegy¨ uk fel el˝osz¨ or, hogy van olyan i ∈ H, 0 2 amelyre π(i) 6= i. Tekints¨ uk az i = π (i), π(i), π (i), . . . , π n (i) számokat. Ezek között biztosan van legalább kett˝ o egyenl˝ o. Legyen ` egy olyan kitev˝o, amelyk ` hez van k, (0 ≤ k < `), hogy π (i) = π (i) . Akkor π `−k (i) = i , azaz van a π permutációnak olyan hatványa, amely az i számot önmag´ anak felelteti meg. Ha most p a legkisebb ilyen kitev˝ot jelöli, akkor az i, π(i), . . . , π p−1 (i) számok mind k¨ ulönböz˝oek, és (i, π(i), . . . , π p−1 (i)) egy p-ciklus. Ha j a H halmaznak olyan eleme, amely az i, π(i), . . . , π p−1 (i) számok mindegyikét˝ ol és π(j)-t˝ ol is k¨ ul¨ onb¨ ozik, akkor a (j, π(j), . . . , π q−1 (j)) az el˝oz˝ ot˝ ol diszjunkt ciklus valamely q-ra. A ciklusok képzését mindaddig folytatjuk, am´ıg találhat´ o olyan szám a H halmazban, amely az eddigi ciklusokban nem szerepelt és amelyet π nem önmag´ ara képez. Az ´ıgy képzett ciklusok szorzata π-vel egyenl˝ o. Az identikus permut´ aci´ o esetével k¨ ul¨ on kell ´ foglalkoznunk. Allapodjunk meg abban, hogy az identikus permut´ aci´ ot ciklusok tényez˝ok nélk¨ uli u ¨res szorzatának tekintj¨ uk. 2 ´ ıt´ 6.1.3 All´ as. Minden ciklus transzpoz´ıci´ ok szorzata. Bizony´ıt´ as. Legyen π egy k-ciklus. Akkor (i1 , i2 , . . . , ik ) = (i1 , ik )(i1 , ik−1 ) · · · (i1 , i2 ) .

´ OK ´ 6.1. PERMUTACI

157

Az egyenl˝oség a permutációk szorzási szabály´ anak következménye. 2 A fenti bizony´ıtásban szerepl˝o egyenl˝ oség könnyebb megértése érdekében tekints¨ uk a következ˝o példát: ´ Allap´ıtsuk meg, hogy az (i1 , i4 )(i1 , i3 )(i1 , i2 ) permut´ aci´ oszorzat mit feleltet meg az i3 számnak. Mivel (i1 , i2 )(i3 ) = i3 , (i1 , i3 )(i3 ) = i1

és (i1 , i4 )(i1 ) = i4 ,

kapjuk, hogy (i1 , i4 )(i1 , i3 )(i1 , i2 )(i3 ) = i4 . A (6.1.2) és (6.1.3) áll´ıtásokb´ ol következik, hogy minden permut´ aci´ o transzpoz´ıciók szorzata. Sajnos, a permut´ aci´ ok transzpoz´ıci´ ok szorzataként val´ o el˝o´ all´ıt´ asa nem egyértelm˝ u, amint azt az (1, 2)(1, 3) = (1, 3)(2, 3) = (1, 3, 2) példa is mutatja. Be fogjuk bizony´ıtani, hogy az viszont már csak a permut´ aci´ ot´ ol f¨ ugg, hogy a transzpoz´ıciók szorzataként való el˝o´ all´ıt´ as´ aban a transzpoz´ıci´ ok száma páros, vagy páratlan. Tekints¨ uk az n-változós p(t1 , . . . , tn ) = Π1≤i<j≤n (ti − tj ) polinomot. Minden σ ∈ Sn permut´ aci´ oval p-hez egy u ´j polinomot rendel¨ unk a következ˝oképpen: def (σp)(t1 , . . . , tn ) = p(tσ(1) , . . . , tσ(n) ) . Mivel σ a polinom változóinak indexeit permut´ alja, a σp polinom tényez˝ oi esetleg el˝ojelt˝ol és sorrendt˝ol eltekintve megegyeznek a p tényez˝ oivel, ezért σp = p , vagy σp = −p teljes¨ ul. A σ permutáci´ ot p´ arosnak nevezz¨ uk, ha σp = p és p´ aratlannak, ha σp = −p . Lássuk be, hogy egy τ = (k, `) transzpoz´ıci´ o páratlan permut´ aci´ o. Feltehetj¨ uk, hogy k < ` . Ha i < k, (vagy i > `,) akkor τ a p polinom (ti − tk ) és (ti − t` ) tényez˝ oinek (vagy a (tk − ti ) és (t` − ti ) tényez˝ oinek) csak a sorrendjét változtatja meg. A k < i < ` esetben a (tk − ti ) és (ti − t` ) tényez˝ ok a (t` − ti ) és (ti − tk ) tényez˝ okbe mennek át, tehát páros szám´ u el˝ojelv´ alt´ as történik. Nem vett¨ uk még figyelembe, hogy a (tk − t` ) tényez˝ot a τ transzpoz´ıci´ o a (t` − tk ) tényez˝ obe transzformálja, ami további el˝ojelváltást jelent. Így a τ transzpoz´ıci´ o hatás´ ara a p polinom páratlan szám´ u tényez˝oje változtatja el˝ojelét, ami éppen azt igazolja, hogy a transzpoz´ıci´ o páratlan permutáció. Most már az az áll´ıtásunk is nyilv´ anval´ ov´ a vált, hogy egy páratlan permut´ ació csak páratlan szám´ u, m´ıg egy páros permut´ aci´ o csak páros szám´ u transzpoz´ıci´ o szorzata lehet. Egy π permutáció el˝ ojele, amelyet sgn π-vel jelöl¨ unk +1, ha π páros, és −1, ha ´ π páratlan permutáció. Erdemes megfigyelni, hogy ha π és σ permut´ aci´ ok, akkor sgn (πσ) = (sgn π)(sgn σ) , amib˝ ol következik, hogy az azonos el˝ojel˝ u permut´ aci´ ok szorzata páros, m´ıg az ellenkez˝ o el˝ojel˝ u permut´ aci´ ok szorzata páratlan. Mivel az identikus permutáció páros, és páros permut´ aci´ o inverze is páros, azt kapjuk, hogy az Sn -beli páros permutációk csoportot (Sn -nek részcsoportja) alkotnak, amelyet An -nel jelöl¨ unk és n-edfok´ u altern´ al´ o csoportnak nevez¨ unk. Felh´ıvjuk az olvas´ o fiS gyelmét arra a tényre, hogy Sn = An (i, j)An (1 ≤ i < j ≤ n), azaz minden permutáció megkapható, ha vessz¨ uk a páros permut´ aci´ okat és azoknak egy tetsz˝oleges transzpoz´ıcióval való szorzatait.


158

6.2

k-line´ aris f¨ uggv´ enyek

Ebben a pontban a bilineáris f¨ uggvények mint´ aj´ ara, definiáljuk a k-line´ aris f¨ uggvény fogalmát, és azok néhány tulajdonság´ aval ismerked¨ unk meg. 6.2.1 Defin´ıci´ o. Legyenek V1 , . . . , Vk ugyanazon F test feletti vektorterek és jel¨ olje uls˝ o) direkt¨ osszeg¨ uket. Az V1 ⊕ · · · ⊕ Vk a (k¨ f : V1 ⊕ · · · ⊕ Vk → F leképezést k-line´ aris f¨ uggvénynek nevezz¨ uk, ha b´ armely i-re (1 ≤ i ≤ k) minden v1 ∈ V1 , . . . , vi , vi0 ∈ Vi , . . . , vk ∈ Vk -ra, és tetsz˝ oleges α, β ∈ F skal´ arokra f (v1 , . . . , αvi + βvi0 , . . . , vk ) = αf (v1 , . . . , vi , . . . , vk ) + βf (v1 , . . . , vi0 , . . . , vk ) teljes¨ ul. Szavakkal is megfogalmazva ugyanezt, az f k-lineáris f¨ uggvény, ha bármely (k−1) változóját rögz´ıtve, a maradék változ´ o lineáris f¨ uggvénye. Vegy¨ uk észre, hogy k = 1 esetén a lineáris f¨ uggvény, k = 2 esetén pedig a bilineáris f¨ uggvény fogalmához jutunk. k-lineáris f¨ uggvényt konstru´ alhatunk a következ˝ oképpen: Legyenek yi∗ ∈ Vi∗ , (i = 1, . . . , k) lineáris f¨ uggvények és legyen f tetsz˝oleges vi ∈ Vi , (i = 1, . . . , k)re az def f (v1 , . . . , vk ) = y1∗ (v1 ) · · · yk∗ (vk ) egyenl˝oséggel definiálva. Akkor f nyilv´ anval´ oan k-lineáris f¨ uggvény. Ha f1 és f2 k-lineáris f¨ uggvények és α1 , α2 tetsz˝ oleges skal´ arok, akkor az def

f (v1 , . . . , vk ) = α1 f1 (v1 , . . . , vk ) + α2 f2 (v1 , . . . , vk ) f¨ uggvény is k-lineáris. Ebb˝ol következik, hogy a V1 ⊕ · · · ⊕ Vk vektortéren értelmezett k-lineáris f¨ uggvények maguk is vektorteret alkotnak. E vektortér dimenziója dim V1 · · · dim Vk . A továbbiakban foglalkozzunk azzal az esettel, amikor a V1 = . . . = Vk terek mind egyenl˝ok, jelölj¨ uk ezt az egyetlen vektorteret V -vel. Tegy¨ uk fel azt is, hogy V véges dimenziós és legyen dim V = n . Ekkor a V1 ⊕ · · · ⊕ Vk -n értelemzett k-lineáris f¨ uggvényt egyszer˝ uen V -n értelmezett k-lineáris f¨ uggvénynek fogjuk mondani. A V -n értelmezett k-lineáris f¨ uggvények vektortere nk dimenziós. Ha f k-lineáris f¨ uggvény és π ∈ Sk egy permut´ aci´ o, akkor a def

(πf )(v1 , . . . , vk ) = f (vπ(1) , . . . , vπ(k) ) egyenl˝oséggel értelmezett πf f¨ uggvény is k-lineáris. Ha minden π ∈ Sk -ra πf = f teljes¨ ul, akkor f -et szimmetrikusnak nevezz¨ uk. Nem nehéz belátni, hogy a szimmetrikus k-lineáris f¨ uggvények alteret alkotnak az összes k-line´ aris f¨ uggvények vektorterében. Tetsz˝oleges f k-lineáris f¨ uggvény seg´ıtségével könny˝ u szimmetrikus klineáris f¨ uggvényt konstruálni. A X πf π∈Sk

´ ¨ ´ 6.2. K-LINEARIS FUGGV ENYEK

159

f¨ uggvény szimmetrikus. Ha tetsz˝oleges π ∈ Sk -ra πf = (sgn π)f teljes¨ ul, akkor az f k-line´ aris f¨ uggvényt antiszimmetrikusnak mondjuk. Könnyen igazolható, hogy az f k-line´ aris f¨ uggvény pontosan akkor antiszimmetrikus, ha minden Sk -beli páratlan π permut´ aci´ ora πf = −f teljes¨ ul. 6.2.2 Defin´ıci´ o. A V vektortéren értelmezett f k-line´ aris f¨ uggvényt altern´ al´ onak nevezz¨ uk, ha f (v1 , . . . , vk ) = 0 , amennyiben a v-k k¨ oz¨ ott legal´ abb kett˝ o megegyezik egym´ assal. Az alábbi áll´ıtás azt mutatja, hogy nagyon szoros a kapcsolat az antiszimmetrikus k-line´ aris f¨ uggvények és az alternál´ o k-lineáris f¨ uggvények köz¨ ott. ´ ıt´ 6.2.3 All´ as. Ha V az F test feletti vektortér és f a V -n értelmezett altern´ al´ o kline´ aris f¨ uggvény, akkor f antiszimmetrikus. Ford´ıtva, ha az F test karakterisztik´ aja nem egyenl˝ o kett˝ ovel, akkor az f antiszimmetrikus k-line´ aris f¨ uggvény altern´ al´ o. Bizony´ıt´ as. Legyen f a V vektortéren értelmezett alternál´ o k-lineáris f¨ uggvény, és legyenek v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . vk (1 ≤ i < j ≤ k) tetsz˝oleges V -beli vektorok. Akkor 0 = f (v1 , . . . , vi + vj , . . . , vi + vj , . . . , vk ) = f (v1 , . . . , vi , . . . , vi , . . . , vk ) + f (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vk )+ f (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vk ) + f (v1 , . . . , vj , . . . , vj , . . . , vk ) = f (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vk ) + f (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vk ) , amib˝ol kapjuk, hogy f (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vk ) = −f (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vk ) . Mivel ez tetsz˝oleges V -beli vektorokra teljes¨ ul, ezért (i, j)f = −f . Tekintve, hogy minden páratlan permutáció páratlan szám´ u, és minden páros permut´ aci´ o páros szám´ u transzpoz´ıció szorzatára bonthat´ o, ebb˝ol következik, hogy bármely π ∈ Sk permutációra πf = (sgn π)f , teh´ at f antiszimmetrikus. Ford´ıtva, legyen f antiszimmetrikus k-line´ aris f¨ uggvény, 1 ≤ i < j ≤ k és v1 , . . . , vk olyan V -beli vektorok, hogy vi = vj . Akkor egyrészt (i, j)f (v1 , . . . , vk ) = f (v1 , . . . , vk ) , mert vi = vj , másrészt (i, j)f (v1 , . . . , vk ) = −f (v1 , . . . , vk ) , mert f antiszimmetrikus. Ebb˝ol (1 + 1)f (v1 , . . . , vk ) = 0 , ami F karakterisztik´ aj´ ara tett kikötés¨ unk mellett az f (v1 , . . . , vk ) = 0 egyenl˝ oséget implikálja. Ezzel az áll´ıt´ ast igazoltuk. 2 6.2.4 T´ etel. Ha v1 , . . . , vk line´ arisan ¨ osszef¨ ugg˝ o vektorrendszer és f altern´ al´ o k-line´ aris f¨ uggvény, akkor f (v1 , . . . , vk ) = 0 .


160

Bizony´ıt´ as. Lineárisan összef¨ ugg˝ o vektorrendszer valamelyik vektora kifejezhet˝o a többi vektora lineáris kombin´ aci´ ojaként. Tegy¨ uk fel, hogy vi =

k X

αj vj .

j=1

j6=i

Akkor, f linearitását kihasználva, kapjuk, hogy f (v1 , . . . , vi , . . . , vk ) =

k X

αj f (v1 , . . . , vi−1 , vj , vi+1 , . . . , vk ) ,

j=1

j6=i

és a jobboldali összeg minden tagja nulla, mert az i-edik változ´ o megegyezik valamelyik másik változóval. 2 6.2.5 T´ etel. Ha f az n-dimenzi´ os V vektortér nemnulla altern´ al´ o n-line´ aris f¨ uggvénye, és v1 , . . . , vn line´ arisan f¨ uggetlen vektorrendszer, akkor f (v1 , . . . , vn ) 6= 0 . Bizony´ıt´ as. A v1 , . . . , vn vektorok bázis´ at alkotj´ ak a V vektortérnek, ezért bármely w1 , . . . wn vektorrendszer minden vektora kifejezhet˝o a v1 , . . . , vn vektorok wi =

n X

αij vj

j=1

lineáris kombinációjaként. Akkor, kihasználva, hogy f alternál´ o és minden változójában lineáris f¨ uggvény (a)

f (w1 , . . . wn ) =

X

(α1π(1) · · · αnπ(n) )f (vπ(1) , . . . , vπ(n) )

π∈Sn

alak´ u, mert azok a tagok, amelyekben f két változ´ oja megegyezik null´ aval egyenl˝ ok. Mivel bármely π ∈ Sn -re (b)

f (vπ(1) , . . . , vπ(n) ) = (sgn π)f (v1 , . . . , vn ) ,

mert f antiszimmetrikus is a (6.2.3) áll´ıt´ as szerint, f (v1 , . . . , vn ) nem lehet nulla. Ellenkez˝o esetben ugyanis, az (a) és (b) egyenl˝ oségekb˝ ol az következne, hogy f (w1 , . . . , wn ) = 0 tetsz˝oleges w1 , . . . , wn V -beli vektorokra, ellentmondva az f 6= 0 feltételnek. 2 A V vektortéren értelmezett alternál´ o n-line´ aris f¨ uggvények alteret alkotnak az összes n-lineáris f¨ uggvények vektorterében. A következ˝ o tétel ennek az altérnek a dimenziójáról ny´ ujt felvilágos´ıtást. 6.2.6 T´ etel. Az n-dimenzi´ os V vektortéren értelmezett altern´ al´ o n-line´ aris f¨ uggvények vektortere egydimenzi´ os. Bizony´ıt´ as. Meg kell mutatnunk, hogy van nemnulla alternál´ o n-line´ aris f¨ uggvény, és azt, hogy bármely két alternál´ o n-line´ aris f¨ uggvény lineárisan összef¨ ugg˝ o.

´ ¨ ´ 6.2. K-LINEARIS FUGGV ENYEK

161

Mivel V n-dimenziós, kiválaszthat´ o egy n-elem˝ u X = {x1 , . . . , xn } bázisa. Jelölje ´ X ∗ = {x∗1 , . . . , x∗n } a duális bázist. Ertelmezz¨ uk az f : V ⊕ · · · ⊕ V → F n-v´ altoz´ os f¨ uggvényt minden v1 , . . . , vn vektor-n-esre az def

f (v1 , . . . , vn ) =

X

(sgn π)x1∗ (vπ(1) ) · · · x∗n (vπ(n) )

π∈Sn

definiáló egyenl˝oséggel. Akkor f nyilv´ anval´ oan n-lineáris f¨ uggvény. Behelyettes´ıtve f -be az X bázis vektorait f (x1 , . . . , xn ) =

X

(sgn π)x∗1 (xπ(1) ) · · · x∗n (xπ(n) ) = 1 ,

π∈Sn

mert a jobboldali összeg egyetlen nemnulla tagja, a duális bázis értelmezése alapján, az identikus permutációhoz tartozó x∗1 (x1 ) · · · x∗n (xn ) = 1 szorzat. Meg kell még mutatnunk, hogy f alternál´ o. Legyenek ezért v1 , . . . , vn V nek olyan vektorai, hogy vi = vj , (1 ≤ i < j ≤ n) . Akkor az f (v1 , . . . , vn ) = 0 , mert minden π ∈ An -re a (sgn π)x∗1 (vπ(1) ) · · · x∗n (vπ(n) ) és (sgn (i, j)π)x∗1 (v(i,j)π(1) ) · · · x∗n (v(i,j)π(n) ) tagok csak el˝ojelben térnek el egymást´ ol, mert minden k(= 1, . . . , n)-ra x∗k (v) éppen a v vektor xk bázisvektorra vonatkoz´ o koordinát´ aja és eset¨ unkben a vi és vj vektorok koordinátái egyenl˝ok. Így f (v1 , . . . , vn ) tagjai egymást ”kinull´ az´ o” párok összege. Ezzel megmutattuk, hogy a V -n értelmezett alternál´ o n-line´ aris f¨ uggvények tere legalább egydimenziós. Igazolandó még, hogy V bármely két f1 és f2 altern´ al´ o n-line´ aris f¨ uggvénye lineárisan összef¨ ugg˝o. Vegy¨ unk tetsz˝oleges w1 , . . . , wn V -beli vektorokat, és áll´ıtsuk el˝o mindegyiket az X = {x1 , . . . , xn } b´ azis vektorainak lineáris kombin´ aci´ ojaként. Akkor f1 (w1 , . . . , wn ) és f2 (w1 , . . . , wn ) is f1 (xπ(1) , . . . , xπ(n) ) , illetve f2 (xπ(1) , . . . , xπ(n) ) alak´ u tagok azonos egy¨ utthat´ okkal képzett lineáris kombinációja. Kihasználva, hogy f1 és f2 antiszimmetrikus n-lineáris f¨ uggvények, azaz fi (xπ(1) , . . . , xπ(n) ) = (sgn π)fi (x1 , . . . , xn ) (i = 1, 2) , ´ıgy az is igaz, hogy f1 (w1 , . . . , wn ) és f2 (w1 , . . . , wn ) f1 (x1 , . . . , xn ) , illetve f2 (x1 , . . . , xn ) alak´ u tagok azonos skal´ ar ey¨ utthat´ okkal képzett lineáris kombinációja: f1 (w1 , . . . , wn ) =

X

αi f1 (x1 , . . . , xn ) és

i

f2 (w1 , . . . , wn ) =

X i

αi f2 (x1 , . . . , xn ) .


162

Mivel f1 (x1 , . . . , xn ) és f2 (x1 , . . . , xn ) skal´ arok, lineárisan összef¨ ugg˝ ok, u ´gyhogy léteznek olyan β1 és β2 skalárok, hogy legalább az egyik nemnulla és β1 f1 (x1 , . . . , xn ) + β2 f2 (x1 , . . . , xn ) = 0 . Akkor viszont X

β1 f1 (w1 , . . . , wn ) + β2 f2 (w1 , . . . , wn ) = αi (β1 f1 (x1 , . . . , xn ) + β2 f2 (x1 , . . . , xn )) = 0 ,

i

amint azt áll´ıtottuk. 2 A (6.2.6) tétel alábbi következménye a lineáris transzformáci´ ok determinánsainak meghatározásakor jól használhat´ o. 6.2.7 K¨ ovetkezm´ eny. Ha X {x1 , . . . , xn } a V vektortér egy tetsz˝ oleges b´ azisa, akkor V -nek van olyan f altern´ al´ o n-line´ aris f¨ uggvénye, hogy f (x1 , . . . , xn ) = 1.

6.3

Determin´ ansok

A fejezet eddigi anyaga arra szolgált, hogy a vektorterek lineáris transzformáci´ oihoz skalárérték˝ u f¨ uggvényt rendelhess¨ unk, mégpedig a vektortér bázis´ at´ ol f¨ uggetlen¨ ul. Ennek a f¨ uggvénynek az értelmezéséhez használjuk az alternál´ o n-line´ aris f¨ uggvényeket, amelyeket az el˝oz˝o pontban vizsgáltunk. Legyen V az F test feletti n-dimenzi´ os vektortér, A ∈ L(V ) lineáris transzformá´ ¯ ciója és f a V téren értelmezett alternál´ o n-lineáris f¨ uggvény. Ertelmezz¨ uk az Af f¨ uggvényt az ¯ )(v1 , . . . , vn ) def (Af = f (A(v1 ), . . . , A(vn )) ¯ V -nek alternál´ definiáló egyenl˝oséggel. Akkor Af o n-lineáris f¨ uggvénye, és A¯ a V -n értelmezett alternáló n-lineáris f¨ uggvények vektorterének lineáris transzformációja. Mivel a (6.2.6) tétel szerint ez a tér egydimenziós, ezért A¯ minden f¨ uggvényhez annak skalárszorosát rendeli. Azt mondhatjuk tehát, hogy van olyan δ skal´ ar, ¯ = δf teljes¨ hogy bármely f alternáló n-lineáris f¨ uggvényre Af ul. Ilyen módon a V vektortér minden A ∈ L(V ) lineáris transzformáci´ oj´ ahoz hozzárendelt¨ unk egy egyértelm˝ uen meghatározott δ skal´ art, amelyet az A determin´ ans´ anak nevez¨ unk és det A-val jelöl¨ unk. A det : L(V ) → F f¨ uggvény tehát, lineáris transzformációkhoz rendel skalárokat. Ennek a f¨ uggvénynek néh´ any tulajdonság´ at ismertetj¨ uk a következ˝o alpontban.

6.3.1

A determin´ ans tulajdons´ agai

1. A V vektortér legegyszer˝ ubb lineáris transzformáci´ oja a v → αv skal´ arral val´ o szorzás. Vizsgáljuk meg, hogy ehhez a lineáris transzformáci´ ohoz milyen skalárt rendel a det f¨ uggvény. Ha minden v ∈ V -re A(v) = αv, akkor bármely f alternáló n-lineáris f¨ uggvény esetén: ¯ )(v1 , . . . , vn ) = f (αv1 , . . . , αvn ) = αn f (v1 , . . . , vn ) , (Af azaz det A = αn . A kapott eredmény fontos következménye, hogy az I identikus transzformáci´ o determinánsa: det I = 1 .

´ 6.3. DETERMINANSOK

163

2. Legyenek A, B ∈ L(V ), és keress¨ unk kapcsolatot a C = AB lineáris transzformáció determinánsa és a tényez˝ ok determinánsa köz¨ ott. Mivel tetsz˝oleges f alternáló n-lineáris f¨ uggvényre ¯ )(v1 , . . . , vn ) = (det C)f (v1 , . . . , vn ) = (Cf ¯ )(B(v1 ), . . . , B(vn )) = f (AB(v1 ), . . . , AB(vn )) = (Af ¯ )(v1 , . . . , vn ) = (det B)(det A)f (v1 , . . . , vn ) (det B)(Af teljes¨ ul, kapjuk, hogy det C = (det B)(det A). A skal´ arok szorzása kommutat´ıv, ezért ´ırhatjuk, hogy det(AB) = (det A)(det B) . 3. Igazoljuk, hogy egy A ∈ L(V ) lineáris transzformáci´ o determinánsa akkor és csak akkor nemnulla, ha A nemszingul´ aris (invert´ alhat´ o) lineáris transzformáció. Amennyiben A nemszingul´ aris, azaz létezik az A−1 lineáris transzformáci´ o, −1 akkor A · A = I , az identikus lineáris transzformáci´ o és 1 = det I = det(A · A−1 ) = (det A)(det A−1 ) . Ebb˝ol látható, hogy nemszinguláris lineáris transzformáci´ o determinánsa nem lehet nulla. Tegy¨ uk fel most, hogy det A 6= 0. Ha V -nek X = {x1 , . . . , xn } bázisa és f nemnulla alternál´ o n-line´ aris f¨ uggvénye, akkor (det A)f (x1 , . . . , xn ) 6= 0 a (6.2.5) tétel értelmében. Akkor a (6.2.4) tétel szerint az {A(x1 ), . . . , A(xn )} vektorrendszer lineárisan f¨ uggetlen, tehát bázisa V -nek. Ebb˝ol viszont már következik, hogy A invert´ alhat´ o, azaz nemszinguláris. 4. A (3)-as tulajdonsággal ekvivalens, hogy egy A lineáris transzformáci´ o determinánsa pontosan akkor nulla, ha az A szingul´ aris lineáris transzformáci´ o. Amint láttuk a (3)-as tulajdonság igazolásakor, a nemnulla determináns´ u lineáris transzformációk invertálhat´ ok, tehát egy szinguláris lineáris transzformáci´ o determinánsa nulla kell legyen. Másrészt, ha det A = 0, akkor választva egy nemnulla f alternál´ o n-lineáris f¨ uggvényt és egy X = {x1 , . . . , xn } b´ azist, az f (A(x1 ), . . . , A(xn )) = (det A)f (x1 , . . . , xn ) = 0 egyenl˝oség miatt a (6.2.5) tétel szerint, az {A(x1 ), . . . , A(xn )} vektorrendszer lineárisan összef¨ ugg˝o, amib˝ol következik, hogy A szingul´ aris lineáris transzformáció. 5. Legyen π ∈ Sn egy tetsz˝oleges permut´ aci´ o és A ∈ L(V ) lineáris transzformáció. Jelentse πA a V vektortérnek azt a lineáris transzformáci´ oj´ at, amely P tetsz˝oleges v = ni=1 εi xi ∈ V vektorhoz a def

(πA)(v) =

n X i=1

εi A(xπ(i) )


164

egyenl˝oséggel megadott vektort rendeli. Akkor det(πA) = (sgn π)(det A) . Tetsz˝oleges f alternáló n-lineáris f¨ uggvényre det(πA)f (x1 , . . . , xn ) = f (A(xπ(1) ), . . . , A(xπ(n) )) = = (sgn π −1 )f (A(x1 ), . . . , A(xn )) = (sgn π −1 )(det A)f (x1 , . . . , xn ) . Ebb˝ol az áll´ıtott tulajdonság a sgn π = sgn π 1 egyenl˝ oség miatt azonnal következik.

6.3.2

A line´ aris transzform´ aci´ ok determin´ ans´ anak numerikus meghat´ aroz´ asa, m´ atrixok determin´ ansa

Ebben az alpontban azt tárgyaljuk, hogy hogyan határozhat´ o meg a lineáris transzformációk determinánsa valamely bázisra vonatkoz´ o mátrixuk ismeretében, majd a determinánsok mátrix → skalár f¨ uggvényként val´ o, klasszikus értelmezését ´ırjuk le. Legyen a V vektortér egy bázisa az X = {x1 , . . . , xn } vektorrendszer és f az V -n értelmezett alternáló n-lineáris f¨ uggvény, amelyre f (x1 , . . . , xn ) = 1 . Az A ∈ L(V ) lineáris transzformáció determinánsa defin´ıci´ o szerint az a det A skal´ ar, amely kielég´ıti a (a)

det A = (det A)f (x1 , . . . , xn ) = f (A(x1 ), . . . , A(xn ))

egyenl˝oséget. Szám´ıtsuk ki az (a) egyenl˝ oség jobboldalát. (b)

n X

f (A(x1 ), . . . , A(xn )) = f (

αi1 xi , . . .

i=1

ahol az αij (i, j = 1, . . . , n) skal´ arok éppen az A vonatkozó  α11 α12 . . .  α  21 α22 . . . AX =  ..  .. .. .  . . αn1 αn2 . . .

n X

αin xi ) ,

i=1

lineáris transzformáci´ o X bázisra α1n α2n .. . αnn

     

mátrixának elemei. Kihasználva, hogy f altern´ al´ o n-line´ aris f¨ uggvény, a (b) egyenl˝oség jobboldala (c)

X

απ(1)1 · · · απ(n)n f (xπ(1) , . . . , xπ(n) )

π∈Sn

alakban ´ırható. Mivel f antiszimmetrikus is, (d)

f (xπ(1) , . . . , xπ(n) ) = (sgn π)f (x1 , . . . , xn ) ,

´ıgy az (a) — (d) egyenl˝oségeket figyelembevéve, kapjuk, hogy 



(det A)f (x1 , . . . , xn ) = 

X

π∈Sn

(sgn π)απ(1)1 · · · απ(n)n  f (x1 , . . . , xn ) .


165

Az f -et u ´gy választottuk, hogy f (x1 , . . . , xn ) = 1 , ´ıgy X

det A =

(sgn π)απ(1)1 · · · απ(n)n .

(6.1)

π∈Sn

Az A lineáris transzformáció determinánsa tehát valamely bázisra vonatkoz´ o mátrixának seg´ıtségével u ´gy szám´ıthat´ o ki, hogy az A mátrix minden soráb´ ol és minden oszlopából kiválasztunk pontosan egy elemet, azokat összeszorozzuk és a π : oszlopindex → sorindex permutáció el˝ojelével látjuk el a szorzatot, ´ıgy képezve a determináns egy tagját. A kiválasztást minden lehetséges módon elvégezve, a determináns a kapott el˝ojeles szorzatok összege. Meg kell jegyezn¨ unk, hogy a determinánsok a klasszikus felfogás szerint, kvadratikus mátrixokon értelmezett skal´ arérték˝ u f¨ uggvények, ezért találkozhat az olvasó olyan felép´ıtés˝ u lineáris algebra könyvekkel, amelyekben csak mátrixok determinánsai szerepelnek, és a lineáris transzformáci´ ok determinánsair´ ol nem esik szó. Mi is használjuk id˝onként a ”mátrix determinánsa” terminológi´ at és egy    B=  

β11 β12 . . . β1n β21 β22 . . . β2n .. .. .. .. . . . . βn1 βn2 . . . βnn

     

mátrix determinánsán, amelyet |B|-vel fogunk jelölni a X

|B| =

(sgn π)βπ(1)1 · · · βπ(n)n

(6.2)

π∈Sn

skalárt fogjuk érteni. Látható, hogy amennyiben egy B line´ aris transzformáci´ o mátrixa valamelyik bázisban B, akkor det B = |B| . Hangs´ ulyoznunk kell azonban, hogy a lineáris transzformáció determinánsa f¨ uggetlen a kiszám´ıt´ as´ ahoz használt bázis választásától. Ez következik a lineáris transzformáci´ ok determináns´ anak általunk adott értelmezéséb˝ol, de abból is, hogy hasonló mátrixok determinánsa egyenl˝o, és egy lineáris transzformáci´ o k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o bázisokra vonatkoz´ o mátrixai hasonlók. A (6.1) egyenletb˝ol könnyen kapjuk a következ˝ o áll´ıt´ ast ´ ıt´ 6.3.1 All´ as. Az A line´ aris transzform´ aci´ o determin´ ansa és A∗ transzpon´ altj´ anak determin´ ansa egyenl˝ o. Bizony´ıt´ as. Az A lineáris transzformáci´ o A mátrix´ anak sorait és oszlopait felcserélve kapjuk A∗ mátrixát, ezért det A∗ =

X

(sgn π)α1π(1) · · · αnπ(n) .

π∈Sn

Másrészt ha det A tagjaiban a tényez˝ oket nem az elemek oszlop - hanem sorindexeik sorrendjében ´ırjuk, akkor det A =

X π∈Sn

(sgn π)α1π−1 (1) · · · αnπ−1 (n)


166

alakban is ´ırható. Figyelembe véve még, hogy sgn π = sgn π −1 és, hogy amint π végigfut az Sn szimmetrikus csoport elemein, π −1 is végigfut azokon, kapjuk, hogy det A =

X

(sgn π)α1π−1 (1) · · · αnπ−1 (n) =

π∈Sn

X

(sgn π)α1π(1) · · · αnπ(n) = det A∗ .

π∈Sn

2 Kétdimenziós vektortér lineáris transzformáci´ oinak determináns´ at a fentiek szerint nagyon könny˝ u kiszám´ıtani. Ha az A mátrixa "

A=

α11 α12 α21 α22

#

akkor det A = α11 α22 − α12 α21 .

Nem nagyon bonyolult még a háromdimenzi´ os vektorterek lineáris transzformáci´ oi determinánsainak meghatározása sem. Ha az A mátrixa 



α11 α12 α13   A =  α21 α22 α23  , α31 α32 α33 akkor det A = α11 α22 α33 + α12 α23 α31 + α13 α21 α32 − −α13 α22 α31 − α12 α21 α33 − α11 α23 α32 . Az általános n-dimenziós esetben n n¨ ovekedésével a szám´ıt´ asok egyre bonyolultabbá válnak, ezért fontos eredmény, hogy az n-edrend˝ u mátrixok determináns´ anak meghatározása alacsonyabb rend˝ u mátrixok determinánsainak kiszám´ıt´ as´ ara vezethet˝o vissza. A det A kiszám´ıtásához válasszuk megint a V vektortérnek azt az f altern´ al´ o nlineáris f¨ uggvényét, amelyre f (x1 , . . . , xn ) = 1 , ahol az {x1 , . . . , xn } vektorrendszer V -nek báxisa. Akkor det A = f (A(x1 ), . . . , A(xn )) . Helyettes´ıts¨ uk az A(xj ) vektort a bázisvektorok Akkor kapjuk, hogy det A = f (A(x1 ), . . . , A(xj−1 ),

n X

Pn

i=1 αij xi

line´ aris kombin´ aci´ oj´ aval.

αij xi , A(xj+1 ), . . . , A(xn )) =

i=1

=

n X

αij f (A(x1 ), . . . , A(xj−1 ), xi , A(xj+1 ), . . . , A(xn )) .

i=1

6.3.2 Defin´ıci´ o. Az f (A(x1 ), . . . , A(xj−1 ), xi , A(xj+1 ), . . . , A(xn )) skal´ art, amelyet Aij -vel jel¨ ol¨ unk, az A line´ aris transzform´ aci´ o αij koordin´ at´ aj´ ahoz tartoz´ o adjungált aldeterminánsának nevezz¨ uk.


167

6.3.3 Defin´ıci´ o. Az A line´ aris transzform´ aci´ o determin´ ans´ anak det A =

n X

αij f (A(x1 ), . . . , A(xj−1 ), xi , A(xj+1 ), . . . , A(xn ))

i=1

adjung´ alt aldetermin´ ansai line´ aris kombin´ acij´ ara val´ o felbont´ as´ at, a det A kifejtésének h´ıvjuk. Az Aij adjungált aldetermináns egy olyan A˜ line´ aris transzformáci´ o determinánsának tekinthet˝o, amelyre (

˜ k) = A(x

A(xk ) ha k = 6 j, xi ha k = j .

Vegy¨ uk észre, hogy A˜ mátrixa az {x1 , . . . , xn } b´ azisban u ´gy kaphat´ o A mátrixából, hogy annak j-edik oszlopát kicserélj¨ uk egy olyan oszlopra, amelynek i-edik komponense 1, minden más eleme nulla. Teh´ at        ˜ = A       

α11 .. . αi−11 αi1 αi+11 .. . αn1

. . . α1,j−1 .. .. . . . . . αi−1,j−1 . . . αi,j−1 . . . αi+1,j−1 .. .. . . . . . αn,j−1

0 α1,j+1 .. .. . . 0 αi−1,j+1 1 αi,j+1 0 αi+1,j+1 .. .. . . 0 αn,j+1

. . . α1n .. .. . . . . . αi−1n . . . αin . . . αi+1n .. .. . . . . . αnn

              

A lineáris transzformációk determináns´ anak kiszám´ıt´ as´ ara kapott algoritmus szerint Aij legfeljebb csak el˝ojelben térhet el a lin (x1 , . . . , xj−1 , xj+1 , . . . , xn ) altér azon Bij lineáris transzformáci´ oj´ anak determináns´ at´ ol, amelynek mátrixa az {x1 , . . . , xj−1 , xj+1 , . . . , xn } bázisban       Bij =      

α11 .. . αi−11 αi+11 .. . αn1

. . . α1,j−1 α1,j+1 .. .. .. . . . . . . αi−1,j−1 αi−1,j+1 . . . αi+1,j−1 αi+1,j+1 .. .. .. . . . . . . αn,j−1 αn,j+1

. . . α1n .. .. . . . . . αi−1n . . . αi+1n .. .. . . . . . αnn

           

és az i = j = 1 esetben pedig egyáltal´ an nincs eltérés. Mivel f altern´ al´ o n-lineáris f¨ uggvény, tehát (i, j − 1) · (i, j − 2) · · · (i, 1)f = (−1)j−1 f , azaz f (A(x1 ), . . . , A(xj−1 ), xi , A(xj+1 ), . . . , A(xn )) = = (−1)j−1 f (xi , A(x1 ), . . . , A(xj−1 ), A(xj+1 ), . . . , A(xn )) . Kihasználva a determinánsok (5)-ös tulajdonság´ at és a (6.3.1) áll´ıt´ ast, kapjuk, hogy Aij = (−1)j−1 (−1)i (det Bij ) = (−1)i+j (det Bij ) .


168

6.3.4 Defin´ıci´ o. A det Bij skal´ art az A line´ aris transzform´ aci´ o αij koordin´ at´ aj´ ahoz tartoz´ o aldetermin´ ans´ anak nevezz¨ uk. Most már az A lineáris transzformáci´ o determináns´ anak kifejtése det A =

n X

αij (−1)i+j (det Bij )

j=1

alakban is ´ırható, amelyben Bij a V vektortér egy (n−1)-dimenzi´ os alterének lineáris transzformációja. ´ ıt´ 6.3.5 All´ as. Ha az A line´ aris transzform´ aci´ o valamely b´ azisra vonatkoz´ o m´ atrixa A = [αij ] , akkor n X

αij Aik = δjk (det A) ,

i=1

ahol δjk a Kronecker–szimb´ olum. Bizony´ıt´ as. A j = k esetben δjk = 1 , ´ıgy det A j-edik oszlopa szerinti kifejtést kapjuk. Ha j 6= k , akkor pedig egy olyan lineáris transzformáci´ o determináns´ anak j-edik oszlop szerinti kifejtését, amely az xj és xk bázisvektorokhoz ugyanazt a képvektort rendeli. Minthogy egy ilyen lineáris transzformáci´ o nyilv´ an szinguláris, determinánsa nulla. Ezzel az áll´ıt´ ast igazoltuk. 2 A (6.3.5) áll´ıtásnak van egy érdekes következménye: Ha az A nemszinguláris lineáris transzformáció mátrixa valamely bázisban A = [αij ] , akkor az A−1 inverz transzformáció mátrixa ugyanebben a bázisban A−1 = 1/(det A)[Aji ] , ahol Aji az αji elemhez tartozó adjungált aldetermináns. (A sor- és oszlopindex felcserélése nem tévedés!) Az áll´ıt´ as igazolás´ at az olvas´ ora bizzuk. 1 P´ elda. Hat´ arozzuk meg egy ´ altal´ anos 4-edrend˝ u m´ atrix determin´ ans´ at 3-adrend˝ u m´ atrixok determin´ ansainak f¨ uggvényében, majd alkalmazzuk a determin´ ansok kifejtési algoritmus´ at a ¯ ¯ ¯ 1 −1 0 1 ¯¯ ¯ ¯ 0 1 −1 1 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 0 1 1 ¯¯ ¯ ¯ 1 1 0 −1 ¯ determin´ ans értékének meghat´ aroz´ as´ ahoz. Legyen C = [γij ] a szóbanforg´ o 4-edrend˝ u mátrix. Fejts¨ uk ki els˝o oszlopa szerint: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ γ22 ¯ ¯ γ11 ¯ γ32 ¯ ¯ γ42

γ11 γ21 γ31 γ41

γ12 γ22 γ32 γ42

γ23 γ24 γ33 γ34 γ43 γ44

γ13 γ23 γ33 γ43

γ14 γ24 γ34 γ44

¯ ¯ ¯ ¯ γ12 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − γ21 ¯ γ32 ¯ ¯ ¯ ¯ γ42

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯

γ13 γ14 γ33 γ34 γ43 γ44

¯ ¯ ¯ ¯ ¯+ ¯ ¯

6.4. KARAKTERISZTIKUS POLINOM ¯ ¯ γ12 ¯ ¯ γ31 ¯ γ22 ¯ ¯ γ42

γ13 γ14 γ23 γ24 γ43 γ44

169

¯ ¯ ¯ ¯ γ12 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − γ41 ¯ γ22 ¯ ¯ ¯ ¯ γ32

γ13 γ14 γ23 γ24 γ33 γ34

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Alkalmazva az általános esetben látott kifejtési algoritmust, kapjuk, hogy ¯ ¯ 1 ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ −1 ¯ ¯ 1 ¯ ¯ −1 ¯ ¯ −1 · ¯ 1 ¯ ¯ 1

0 1 −1 1 0 −1

−1 0 1 1 −1 1 0 1 1 1 0 −1

¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯=1·¯ 0 ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯

−1 1 1 1 0 −1

¯ ¯ ¯ ¯ ¯− ¯ ¯

¯ ¯ ¯ ¯ −1 ¯ 0 1 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − 1 · ¯ 1 −1 1 ¯ = 1 · (−3) − 1 · 0 − 1 · 3 = −6 . ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ 1 1 ¯

A harmadrend˝ u mátrixok determinánsainak kiszám´ıt´ as´ at a Sarrus-szabály alkalmazásával végezt¨ uk. 2

6.4

Karakterisztikus polinom

Ebben a pontban lineáris transzformáci´ okhoz karakterisztikus polinomot rendel¨ unk, és definiáljuk a lineáris transzformáci´ ok sajátértékének, illetve sajátvektor´ anak fogalmát. Legyen A lineáris transzformáci´ oja az n-dimenzi´ os V vektortérnek. Akkor az A − tI a t változótól f¨ ugg˝o lineáris transzformáci´ oja V -nek, amelyet t-transzform´ aciónak nevez¨ unk. (A t-transzform´ aci´ ok a V vektortér minden vektor´ ahoz egy t-t˝ol f¨ ugg˝o vektort rendelnek.) Azt áll´ıtjuk, hogy a k(t) = det(A − tI) determináns a t változó n-edfok´ u polinomja. Valóban, ha X = {x1 , . . . , xn } egy bázis és f nemnulla alternáló n-lineáris f¨ uggvény, akkor (det(A − tI))f (x1 , . . . , xn ) = f (A(x1 ) − tx1 , . . . , A(xn ) − txn ) = n X i=0

(−1)i ti

X

f (y1 , . . . , yn ) ,

j1 ,...,ji ∈{1,...,n}

ahol az yjk = xjk k(= 1, . . . , i)-ra és az yj` = A(xj` ) `(= i + 1, . . . , n)-re. Teh´ at a i i (−1) t egy¨ uthatója f (y1 , . . . , yn ) alak´ u skal´ arok összege, ahol az y-ok köz¨ ul pontosan i a megfelel˝o index˝ u x vektorral egyenl˝ o, m´ıg a többi a megfelel˝o index˝ u A(x) vektorral, és az összegzést az n indexb˝ol kiválasztott minden i elem˝ u részhalmaz esetére el kell végezni. Speciálisan (−1)n tn egy¨ utthat´ oja f (x1 , . . . , xn ) és t0 egy¨ utthat´ oja f (A(x1 ), . . . , A(xn ) = (det A)f (x1 , . . . xn ) . 6.4.1 Defin´ıci´ o. A k(t) = det(A − tI) polinomot az A line´ aris transzform´ aci´ o karakterisztikus polinomj´ anak nevezz¨ uk, m´ıg a k(t) = 0 egyenletet az A karakterisztikus egyenletének h´ıvjuk. Az A karakterisztikus egyenletét kielég´ıt˝ o skal´ arokat az A saj´ atértékeinek nevezz¨ uk. Ha a λ skalár kielég´ıti az A line´ aris transzformáci´ o karakterisztikus egyenletét, tehát det(A − λI) = 0 , akkor az A − λI szingul´ aris lineáris transzformáci´ oja V -nek. Tudjuk, hogy szinguláris lineáris transzformáci´ onak a magtere tartalmaz

170


nemzéró vektort. A ker (A − λI) nemzér´ o vektorait az A λ sajátértékéhez tartozó saj´ atvektorainak nevezz¨ uk. Megjegyezz¨ uk, hogy a lineáris transzformáci´ ok sajátértékének, illetve sajátvektorának fogalmát az invari´ ans alterekr˝ol szól´ o fejezetben a determináns fogalmának felhasználása nélk¨ ul is definiáljuk. Ezt az teszi lehet˝ové, hogy ha v ∈ ker (A − λI) (v 6= 0) , akkor A(v) = λv , azaz a v vektor által generált alteret az A lineáris transzformáció önmag´ ara képezi, tehát lin (v) u ´gynevezett A-invari´ ans altér.

7. Fejezet

Invari´ ans alterek Ennek a fejezetnek az a célja, hogy a véges dimenziós vektorterek lineáris transzformációit jellemezz¨ uk. Milyen jellemzésre gondolunk? A 2-dimenziós térbeli lineáris transzformációk, mint a ny´ ujtás, t¨ ukr¨ ozés, elforgatás, vet´ıtés és párhuzamos affinitás, hatásáról jól kialakult elképzelés¨ unk van. Nagyobb dimenziój´ u terekben persze nem várhatjuk, hogy egy lineáris transzformáci´ o hatás´ at ugyan´ ugy ”lássuk” mint a s´ıkon, de arra törekedhet¨ unk, hogy meg tudjuk mondani azok hatás´ at a tér szemléltethet˝o alterein. Tehát a tér altereit használjuk a vizsgált lineáris transzformáci´ ok jellemzésére. Persze ehhez csak olyan alterek használhat´ ok, amelyeknek vektorai a transzformáció során az altérben maradnak. Ezek az u ´gynevezett invari´ ans alterek. Ha az egész vektorteret fel tudjuk bontani olyan invari´ ans alterek direktöszegére, amelyeken már tudjuk a lineáris transzformáci´ o hatás´ at, akkor a transzformáci´ ot ismertnek mondhatjuk. Kider¨ ul, hogy szoros kapcsolat van a lineáris transzformációk polinomjainak faktorizációi és a tér invari´ ans altereinek direktösszegére val´ o felbontása között. Ez sz¨ ukségessé teszi, hogy ismertess¨ unk néh´ any a polinomok faktorizációjával kapcsolatos nélk¨ ul¨ ozhetetlen eredményt. Ezeket k¨ ul¨ on alpontban gy˝ ujt¨ ott¨ uk össze, amit a ter¨ ulettel ismer˝os olvas´ o nyugodtan kihagyhat.

7.1

Invari´ ans alterek, transzform´ aci´ ok polinomjai

Mint azt a fejezet bevezet˝ojében eml´ıtett¨ uk a lineáris transzformáci´ okat u ´gy k´ıv´ anjuk jellemezni, hogy felbontjuk a teret olyan alterek direkt összegére, amelyen a lineáris transzformáció hatásáról már jó elképzelés¨ unk van. Az ilyen altereknek persze a lineáris transzformációra nézve ”zártnak” kell lennie. A lineáris transzformáci´ ora vonatkozó zártság fogalmát az alábbi defin´ıci´ oban rögz´ıtett¨ uk. 7.1.1 Defin´ıci´ o. Legyen V egy F test feletti vektortér és A line´ aris transzform´ aci´ oja V -nek. A V vektortér egy M alterét A-ra nézve invari´ ansnak (z´ artnak) mondjuk, ha minden v ∈ M -re az A(v) képvektor is M -ben van. Hangs´ ulyoznunk kell, hogy azt nem követelt¨ uk meg a defin´ıci´ oban, hogy M minden eleme el˝oálljon valamely V -beli vektor képeként, és azt sem, hogy ha egy w vektor A(w) képe M -ben van, akkor w-nek is M -ben kell lennie, csupán azt, hogy az M -beli vektorok képe M -ben kell maradjon. A rövidség kedvéért sokszor az A-ra nézve invariáns alterekre az A-invari´ ans jelz˝ovel h´ıvatkozunk. Id˝onként nem 171

´ 7. FEJEZET INVARIANS ALTEREK

172

igazán logikusan ugyan, de röviden a vektortér A-invari´ ans altere kifejezés helyett azt mondjuk, hogy az A invari´ ans altere. Tetsz˝oleges A transzformációnak nyilv´ an invari´ ans altere a zérusaltér, ker (A), im (A) és maga a V vektortér. Kevésbé triviális A-invariáns altereket kaphatunk a következ˝ o konstrukci´ oval: kiválasztunk egy tetsz˝oleges v ∈ V vektort, majd képezz¨ uk a {v, A(v), A2 (v), . . .} vektorok által generált alteret, amelyet lin (v, A)-val fogunk jelölni. Ha V n-dimenziós, akkor a {v, A(v), A2 (v), . . . An (v)} vektorrendszer biztosan lineárisan összef¨ ugg˝ o, k hiszen n + 1 vektort tartalmaz, és még az is igaz, hogy ha A (v) (1 ≤ k ≤ n) kifejezhet˝o a v, A(v), . . . , Ak−1 (v) vektorok lineáris kombin´ aci´ ojaként, akkor minden pozit´ıv egész m-re az Ak+m (v) is el˝o´ all´ıthat´ o, mint a v, A(v), . . . , Ak−1 (v) vektorok lineáris kombinációja. Az áll´ıtás m szerinti teljes indukci´ oval k˝onnyen igazolható. Valóban, ha Ak (v) =

k−1 X

αi Ai (v) ,

i=0

akkor k+1

A

(v) =

k−1 X

i+1

αi A

(v) =

i=0

k−2 X

i

αi A (v) + αk−1

Ãk−1 X

k−1 X

αi A (v) =

i=0

i=0

= αk−1 α0 v +

! i

(αi−1 + αk−1 αi )Ai (v) ,

i=1

tehát m = 1-re igaz az áll´ıtás. Ha m − 1 ≥ 1-re k+m−1

A

(v) =

k−1 X

βi Ai (v) ,

i=0

akkor a k+m

A

(v) =

k−1 X

i+1

βi A

(v) =

i=0

k−2 X

i

βi A (v) + βk−1

Ãk−1 X

i=0

= βk−1 β0 v +

! i

βi A (v)

=

i=0

k−1 X

(βi−1 + βk−1 βi )Ai (v) ,

i=1

Ak+m (v)

számolással kapjuk, hogy is kifejezhet˝o a¡ v, A(v), . . . , Ak−1 (v)¢ vektorok lineáris kombinációjaként. Így lin (v, A) = lin v, A(v), . . . , An−1 (v) . Tulajdonképpen ezért használjuk a lin (v, A) jelölést. Nem nehéz belátnunk, hogy lin (v, A) az a legsz˝ ukebb A-invari´ ans altér, amely a v vektort tartalmazza. Tekintve, hogy egy vektortér lineáris transzformáci´ oi nemcsak vektorteret alkotnak, de lineáris transzformációk szorzata is lineáris transzformáci´ o, és ´ıgy egy lineáris transzformáció nemnegat´ıv egész kitev˝os hatványainak lineáris kombin´ aci´ oja is a tér lineáris transzformációja, tetsz˝oleges A ∈ L(V ) esetén a p(A) = α0 A0 + α1 A + · · · + αk Ak

´ ´ OK ´ POLINOMJAI 7.1. INVARIANS ALTEREK, TRANSZFORMACI

173

polinom is lineáris transzformáci´ oja V -nek. Könnyen igazolható, hogy az A és p(A) transzformációk szorzata f¨ uggetlen a tényez˝ ok sorrendjét˝ ol. Ezt ismerve, meg tudjuk mutatni, hogy a p(A) transzformáci´ o magtere és képtere is A-invari´ ans altér. Val´ oban, ha v ∈ ker (p(A)), azaz p(A)(v) = 0, akkor p(A)(A(v)) = A(p(A)(v)) = A(0) = 0, tehát A(v) ∈ ker (p(A)). Hasonlóan, ha v ∈ im (p(A)), azaz létezik olyan w ∈ V , amelyre p(A)(w) = v, akkor p(A)(A(w)) = A(p(A)(w)) = A(v), igazolva, hogy A(v) ∈ im (p(A)) is teljes¨ ul. Utóbbi példánk sugallja, hogy sz¨ ukség¨ unk lesz a lineáris transzformáci´ ok polinomjaira, azok invariáns altereinek konstru´ al´ asakor. Ezért most egy kis kitér˝ ot tesz¨ unk, és összefoglaljuk a polinomokkal kapcsolatos azon fogalmakat és áll´ıt´ asokat, amelyekre az alábbiakban sz¨ ukség¨ unk lesz.

7.1.1

Polinomok

Az el˝oz˝o fejezetekben, már szerepeltek a val´ os egy¨ utthat´ os polinomok, ´ıgy kicsit meglep˝o lehet, hogy az azokra vonatkoz´ o fogalmak és eredmények összefoglalására csak most ker¨ ul sor. Ennek az a magyar´ azata, hogy eddig a polinomokat mint egy vektortér elemeit vizsgáltuk, és ezért a polinomok összead´ as´ aval és skalárral való szorzásával kapcsolatos tulajdonságaik játszottak els˝odleges szerepet. Az alábbiakban a polinomok szorzás´ aval kapcsolatos fogalmakat és eredményeket gy˝ ujt¨ ott¨ uk össze. Mindenekel˝ott fogalmazzuk meg u ´jra, hogy mit kell érten¨ unk egy tetsz˝oleges F test feletti polinomon, majd meg kell ismerkedn¨ unk a polinomok maradékos osztásával. R˝ogz´ıt¨ unk egy változónak nevezett szimb´ olumot, legyen ez mondjuk t, és az F test feletti t változós polinomok F[t] halmazát alkoss´ ak a p(t) = α0 + α1 t + · · · + αn tn alak´ u formális kifejezések, ahol az α0 , α1 , . . . , αn az F test elemei, n pedig nemnegat´ıv egész szám. A p(t) polinomot n-edfok´ unak mondjuk, ha a legnagyobb kitev˝oj˝ u nem nulla egy¨ utthatój´ u t-hatvány a tn . Jelekkel: deg p(t) = n . Az αn 6= 0 skal´ art a polinom f˝ oegy¨ utthat´ oj´ anak nevezz¨ uk és p(t)-t norm´ altnak h´ıvjuk, ha f˝oegy¨ utthat´ oja 1. Ugyan´ ugy, mint azt a valós egy¨ utthat´ os polinomok esetében láttuk, tetsz˝oleges F test feletti polinomok halmaz´ an is értelmezhet˝ o összead´ as és az F test elemeivel, mint skalárokkal való szorzás. (F operátortartom´ anya F[t]-nek.) Könnyen ellen˝orizhet˝o, hogy F[t] ezekkel a m˝ uveletekkel az F test feletti vektortér. De az összead´ ason és a skalárokkal való szorzáson k´ıv¨ ul értelmezhet˝ o a polinomok szorzása is. Egy p(t) = α0 + α1 t + · · · + αn tn és egy q(t) = β0 + β1 t + · · · + βm tm polinom szorzatán értve a p(t) · q(t) = α0 β0 + (α0 β1 + α1 β0 ) t + · · · + αn βm tn+m polinomot. A szorzatban a tk -t tartalmazó tag egy¨ utthat´ oja a X i+j=k

αi βj (0 ≤ i ≤ n; 0 ≤ j ≤ m) .


174

Nem nehéz ellen˝orizni, hogy a polinomok szorzása kommutat´ıv, asszociat´ıv, az összeadásra nézve disztribut´ıv m˝ uvelet. A szorzás defin´ıci´ oj´ ab´ ol következik, hogy deg p(t)q(t) = deg p(t) + deg q(t). Azt mondjuk, hogy a q(t) ∈ F[t] polinom osztója a p(t) ∈ F[t] polinomnak, jelekkel q(t) | p(t), ha létezik olyan s(t) ∈ F[t], amelyre p(t) = s(t) · q(t) teljes¨ ul. Egy p(t) ∈ F[t] polinomot irreducibilisnek nevez¨ unk, ha nincs olyan q(t) ∈ F[t] osztója, amelyre 0 < deg q(t) < deg p(t) teljes¨ ul. Bár a polinomok szorzásra vonatkozó inverze által´ aban nem létezik, de végezhet˝ o, u ´gynevezett maradékos osztás. Konkretizálva, igaz a következ˝ o áll´ıt´ as. ´ ıt´ 7.1.2 All´ as. Ha p(t), q(t)(6= 0) ∈ F[t] tetsz˝ oleges polinomok, akkor léteznek olyan egyértelm˝ uen meghat´ arozott h(t), r(t) ∈ F[t] polinomok, hogy p(t) = h(t) · q(t) + r(t) , és ha deg q(t) 6= 0, akkor 0 ≤ deg r(t) < deg q(t) . Bizony´ıt´ as. Legyenek p(t) = α0 + α1 t + · · · + αn tn αn 6= 0 és q(t) = β0 + β1 t + · · · + βm tm βm 6= 0 . Ha n < m, akkor a h(t) = 0 és r(t) = p(t) polinomok eleget tesznek a k´ıv´ ant feltételnek. Ha n ≥ m, akkor képezz¨ uk a p1 (t) = p(t) −

αn n−m t q(t) = βm

α10 + α11 t + · · · + αn1 tn1 αn1 6= 0; (0 ≤ n1 ≤ n − 1) n1 -edfok´ u polinomot. Ha n1 < m, akkor legyen h(t) =

αn n−m t βm

és r(t) = p1 (t).

Ellenkez˝o esetben képezz¨ uk a p2 (t) = p1 (t) −

αn1 n1 −m t q(t) = βm

= α20 + α21 t + · · · + αn2 tn2 αn2 6= 0; (0 ≤ n2 ≤ n1 ) n2 -edfok´ u polinomot. Ha n2 < m, akkor legyen h(t) =

αn n−m αn1 n1 −m t + t βm βm

és r(t) = p2 (t) .

Ha p2 (t) foka még nem kisebb q(t) fokán´ al, akkor hasonlóan p1 (t) és p2 (t) kiszám´ıtásához, képezz¨ uk a p3 (t) = p2 (t) −

αn2 n2 −m t q(t) βm


175

n3 -adfok´ u polinomot, és ´ıgy tov´ abb. Mivel a p(t), p1 (t), p2 (t), . . . polinomok fokszámai monoton csökken˝o n > n1 > n2 > . . . sorozatot alkotnak, véges szám´ u lépés után elér¨ unk egy αn pk (t) = pk−1 (t) − k−1 tnk−1 −m q(t) βm polinomhoz, amelynek nk foka már kisebb m-nél, és µ

pk (t) = p(t) −

¶

αn αn n−m αn1 n1 −m t + t + · · · + k−1 tnk −m q(t). βm βm βm

Ebb˝ol azonnal adódik, hogy a αn αn n−m αn1 n1 −m h(t) = t + t + · · · + k−1 tnk −m βm βm βm

és r(t) = pk (t)

polinomok felhasználásával p(t) a k´ıv´ ant alakban áll el˝o. Az egyértelm˝ uség igazolása végett tegy¨ uk fel, hogy a h0 (t) és r0 (t) polinomokra is teljes¨ ul, hogy p(t) = h0 (t)q(t) + r0 (t) Akkor

¡

és

0 ≤ deg r0 (t) < deg q(t).

¢

h(t) − h0 (t) q(t) = r0 (t) − r(t) .

Az egyenl˝oség jobboldalán lév˝o polinom fokszáma kisebb mint q(t) foka, m´ıg a baloldalán lév˝o polinom foka akkor és csak akkor kisebb q(t) fokán´ al, ha h(t)−h0 (t) = 0 0 0, azaz h(t) = h (t). Akkor viszont r(t) = r (t) is teljes¨ ul. Ezzel bizony´ıtásunk teljes. 2 Két polinom p(t), q(t) ∈ F[t] legnagyobb köz¨ os osztój´ an olyan d(t) ∈ F[t] normált polinomot ért¨ unk, amely mind p(t)-nek, mind q(t)-nek osztója és ha c(t) is osztója p(t)-nek is és q(t)-nek is, akkor c(t) | d(t). Azt mondjuk, hogy a p(t) és q(t) polinomok relat´ıv pr´ımek , ha legnagyobb köz¨ os osztójuk a konstans 1 polinom. Két polinom p(t), q(t) ∈ F[t] legkisebb köz¨ os többsz¨ or¨ ose pedig olyan k(t) ∈ F[t] normált polinom, amelynek mind p(t), mind q(t) osztója, és ugyanakkor osztója p(t) és q(t) minden közös többszörösének. Megmutathat´ o, hogy két polinom legkisebb közös többszöröse egyenl˝o a polinomok szorzatának és legnagyobb köz¨ os osztójuk hányadosával. A maradékos osztás birtokában, adhatunk olyan algoritmust, amellyel tetsz˝oleges két p(t), q(t) ∈ F[t] polinom legnagyobb köz¨ os osztója meghatározhat´ o. Az eljár´ as a következ˝o: Elvégezz¨ uk az alábbi maradékos osztások sorozatát, mindaddig, am´ıg a maradék zéró nem lesz. Mivel a maradék polinomok fokszámai szigor´ uan csökken˝ o sorozatot alkotnak véges szám´ u lépés után a maradék zér´ o lesz. p(t) = h1 (t)q(t) + r1 (t) ahol 0 ≤ deg r1 (t) < deg q(t) q(t) = h2 (t)r1 (t) + r2 (t) ahol 0 ≤ deg r2 (t) < deg r1 (t) r1 (t) = h3 (t)r2 (t) + r3 (t) ahol 0 ≤ deg r3 (t) < deg r2 (t) .. . rn−2 (t) = hn (t)rn−1 (t) + rn (t) ahol 0 ≤ deg rn (t) < deg rn−2 (t) rn−1 (t) = hn+1 (t)rn (t)

(7.1)


176

Az utolsó nemzéró rn (t) polinomot sz¨ ukség esetén normáljuk, megszorozva f˝oegy¨ utthatója reciprokával. Jelölje az ´ıgy kapott polinomot d(t) . Azt áll´ıtjuk, hogy d(t) a p(t) és q(t) polinomok legnagyobb köz¨ os osztója. d(t) | rn (t), és az utolsó egyenl˝oség miatt rn (t) | rn−1 (t) akkor viszont az utolsó el˝otti egyenl˝ oség miatt rn (t) | rn−2 (t) és ´ıgy tovább haladva kapjuk, hogy rn (t) osztója q(t) és p(t)-nek is. Másrészt ha c(t) osztója mind p(t)-nek mind q(t)-nek, akkor az els˝o egyenlet alapján c(t) | r1 (t), amib˝ol a második egyenl˝ oség alapján c(t) | r2 (t) és ´ıgy tov´ abb egyenl˝oségr˝ol egyenl˝oségre haladva vég¨ ul kapjuk, hogy c(t) | rn (t). Minthogy d(t) és rn (t) csak konstans szorzóban k¨ ul¨ onb¨ oznek rn (t) | d(t) is telejes¨ ul, ahonnan már a c(t) | d(t) is következik. A polinomok legnagyobb közös osztój´ anak meghatároz´ as´ at szolgál´ o algoritmus alkalmas arra, hogy megmutassuk, hogy amennyiben a p(t) és q(t) polinomok legnagyobb közös osztója d(t), akkor találhat´ ok olyan f (t) és g(t) polinomok, hogy d(t) = f (t)p(t) + g(t)q(t) .

(7.2)

Ezt könnyen beláthatjuk, ha figyelembe vessz¨ uk a (7.1) algoritmus egyenl˝ oségeinek átrendezésével kapott r1 (t) = p(t) − h1 (t)q(t) r2 (t) = q(t) − h2 (t)r1 (t) r3 (t) = r1 (t) − h3 (t)r2 (t) .. . rn−1 (t) = rn−3 (t) − hn−1 (t)rn−2 (t) rn (t) = rn−2 (t) − hn (t)rn−1 (t) egyenleteket. Ebb˝ol láthatjuk, hogy r1 (t) a p(t) és q(t) polinomszorosainak összege. Ezt helyettes´ıtve a második egyenl˝ oségbe r2 (t) = q(t) − h2 (t)(p(t) − h1 (t)q(t)) = h2 (t)p(t) + (1 + h1 (t)h2 (t))q(t) , tehát r2 (t) is a p(t) és q(t) polinomszorosainak összege. Tegy¨ uk fel, hogy már igazoltuk az r1 (t), . . . , rn−2 (t), rn−1 (t) polinomok mindegyikér˝ ol, hogy kifejezhet˝ok a p(t) és q(t) polinomszorosainak összegeként. Akkor az utolsó egyenlet mutatja, hogy ez lehetséges rn (t)-re is. Minthogy d(t) az rn (t) polinom skal´ arszorosa, ´ıgy val´ oban léteznek olyan f (t) és g(t) polinomok, hogy d(t) = f (t)p(t) + g(t)q(t) . 1 P´ elda. Hat´ arozzuk meg a p(t) = t4 − 5t2 + 4 és a q(t) = t3 + 3t2 − t − 3 polinomok legnagyobb k¨ oz¨ os oszt´ oj´ at és keress¨ uk meg azokat az f (t) és g(t) polinomokat, amelyekkel a legnagyobb k¨ oz¨ os oszt´ o fel´ırhat´ o f (t)p(t) + g(t)q(t) alakban! t4 t4 + 3t3 − 3t3 − 3t3

− 5t2 + 4 ÷ t3 + 3t2 − t − 3 = t − 3 , 2 − t − 3t − 4t2 + 3t + 4 − 9t2 + 3t + 9 5t2 − 5


177

amib˝ol t4 − 5t2 + 4 = (t − 3)(t3 + 3t2 − t − 3) + 5t2 − 5 . t3 + 3t2 − t − 3 ÷ 5t2 − 5 = t3 − t 3t2 − 3 2 3t − 3 0

1 5t

+ 35 ,

következésképpen

1 3 t3 + 3t2 − t − 3 = ( t + )(5t2 − 5) . 5 5 Mivel az 5t2 − 5 polinom az utolsó nemzér´ o maradék, a t2 − 1 normált polinom a legnagyobb közös osztó. 1 1 3 t2 − 1 = (t4 − 5t2 + 4) + (− t + )(t3 + 3t2 − t − 3) , 5 5 5 tehát f (t) = 15 és g(t) = − 15 t + 35 . 2 Amint azt anal´ızis tanulm´ anyaink során láttuk, egy p(t) ∈ F[t] polinom seg´ıtségével értelmezhet¨ unk F −→ F alak´ u f¨ uggvényt, az α −→ p(α) hozzárendeléssel. Az α ∈ F elemet a p(t) polinom gy¨ okének nevezz¨ uk, ha p(α) = 0. Persze nem biztos, hogy egy F feletti polinomnak van gyöke F-ben, de ha α gy¨ oke p(t)-nek, akkor az els˝ofok´ u t − α polinom osztója p(t)-nek. A p(t)-nek t − α-val val´ o maradékos osztása p(t) = h(t)(t − α) + r(t) és 0 ≤ deg r(t) < 1 , alak´ u, tehát r(t) = β konstans polinom, α-t helyettes´ıtve kapjuk, hogy p(α) = h(α)(α − α) + β = β . Ebb˝ol következik, hogy t − α pontosan akkor osztója p(t)-nek, ha p(α) = 0. Ha F[t] minden polinomj´ anak van gyöke F-ben, akkor az F testet algebrailag z´ artnak nevezz¨ uk. A valós számok teste, mint tudjuk algebrailag nem zárt, de a komplex számok teste már igen. A komplex számhalmaz azonban tartalmazza a val´ os számokat is, azok a komplex számtest u ´gynevezett résztestét alkotj´ ak. Bizony´ıtott az az — algebra alaptételével lényegében ekvivalens — áll´ıt´ as, hogy minden F test részteste valamely algebrailag zárt testnek. Egy algebrailag zárt testben tehát, minden irreducibilis polinom els˝ofok´ u. A polinomok szorzási szabálya alapján nyilv´ anval´ o, hogy akkor egy n-edfok´ u polinom n darab els˝ofok´ u irreducibilis polinom szorzatára bontható, megengedve, hogy ugyanaz az irreducibilis faktor többsz¨ or is szerepeljen a szorzatban. Ha (t − α) m-szer szerepel egy p(t) polinom ilyen faktorizáci´ oj´ aban, akkor azt mondjuk, hogy az α m multiplicit´ as´ u gyöke p(t)-nek. Egy algebrailag zárt test feletti n-edfok´ u polinomnak tehát n gyöke van, ha mindegyiket annyiszor vessz¨ uk figyelembe, mint amennyi a multiplicit´ asa. Ha F tetsz˝oleges test, akkor egy p(t) ∈ F[t] polinom faktorizálhat´ o, nem feltétlen¨ ul els˝ofok´ u, de irreducibilis polinomok szorzatára. Persze ebben az esetben is lehet ugyanaz az irreducibilis polinom többszörös multiplicitás´ u tényez˝ oje p(t)-nek. Így az által´ anos esetben p(t) irreducibilis polinomok szorzatára való felbont´ asa p(t) = (p1 (t))m1 · · · · · (pr (t))mr


178

alak´ u, ahol pi (t) ∈ F[t] (i = 1, . . . , r) irreducibilis polinomok. Felh´ıvjuk az olvas´ o figyelmét a polinomok irreducibilis polinomok hatványainak szorzatára val´ o felbontása és az egész számok pr´ımhatv´ anyok szorzataként val´ o el˝o´ all´ıt´ asa köz¨ otti analógiára.

7.1.2

Line´ aris transzform´ aci´ ok ´ es m´ atrixaik polinomjai

Egy p(t) ∈ F[t] polinom nemcsak F → F alak´ u f¨ uggvények értelmezéséhez használható, de minden olyan algebrai strukt´ ura önmag´ aba val´ o leképezéseinek definiál´ as´ ahoz is, amelyben szorzás van értelmezve és amelynek az F test operátortartom´ anya. Ilyen egy F feletti V vektortér lineáris transzformáci´ oinak L(V ) tere is és persze az F elemeib˝ ol képzett dim V × dim V tipus´ u mátrixok Fdim V ×dim V mátrixok tere is, amely mint jól tudjuk izomorf L(V )-vel, és a mátrixok szorzás´ at u ´gy értelmezt¨ uk, hogy minden Φ : L(V ) → Fdim V ×dim V izomorf leképezés felcserélhet˝o a szorzásm˝ uvelettel is. Minden A ∈ L(V ) lineáris transzformációhoz a p(t) = α0 + α1 t + · · · + αn tn polinom seg´ıtségével hozzárendelhetj¨ uk a V vektortér p(A) = α0 A0 + α1 A + · · · + αn An lineáris transzformációját és hasonlóan minden A ∈ Fdim V ×dim V m´ atrixhoz egy p(A) = α0 A0 + α1 A + · · · + αn An ∈ Fdim V ×dim V mátrixot. Látható, hogy a p(A) lineáris transzformáci´ o az A line´ aris transzformáci´ o hatványainak lineáris kombináci´ oja, és hasonlóan a p(A) mátrix a A m´ atrix hatványainak lineáris kombinációja. A lineáris transzformáci´ ok és mátrixaik vektorterének izomorfiája biztos´ıtja, hogy egy A lineáris transzformáci´ o bármely p(t) polinomjának mátrixa valamely rögz´ıtett bázisban megegyezik az A transzform´ aci´ o A m´ atrix´ anak p(A) polinomjával. Nem nehéz belátni, hogy egy lineáris transzformáci´ o (mátrix) polinomjaira igazak a következ˝o számolási szabályok: ha p(t) + q(t) = r(t)

és

p(t) · q(t) = s(t) ,

p(A) + q(A) = r(A)

és

p(A) · q(A) = s(A) ,

p(A) + q(A) = r(A)

és

p(A) · q(A) = s(A).

akkor illetve Mivel a polinomok szorzása kommutat´ıv, egy lineáris transzformáci´ o (egy mátrix) két polinomjának szorzata is f¨ uggetlen a tényez˝ ok sorrendjét˝ ol. Azt mondjuk, hogy az A lineáris transzformáció (egy A mátrix) gy¨ oke a p(t) polinomnak, ha p(A) = 0 (p(A) = 0). Egy lineáris transzformáci´ o pontosan akkor gyöke egy p(t) polinomnak, ha mátrixa gyöke annak. Minthogy egy lineáris transzformáci´ onak k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o bázisokban k¨ ulönböz˝o, egymáshoz hasonló mátrixai vannak azonnal kapjuk, hogy


179

hasonló mátrixok ugyanazoknak a polinomoknak a gyökei. Ezt az eredményt persze közvetlen¨ ul is megkaphatjuk, figyelembe véve, hogy ha B invert´ alhat´ o mátrix, akkor minden p(t) polinomra p(B−1 AB) = B−1 p(A)B . Ezek az észrevételek lehet˝ové teszik, hogy feladatok numerikus megoldásakor lineáris transzformációk polinomjai helyett a transzformáci´ ok valamely bázisra vonatkoz´ o mátrixainak polinomjaival számolhassunk. A következ˝okben áll´ıtásainkat csak a lineáris transzformáci´ ok polinomjaira mondjuk ki, azzal az el˝orebocsájtott megjegyzéssel, hogy azok átfogalmazhat´ ok a mátrixok polinomjaira is. Ha V n-dimenziós F feletti vektortér, akkor minden A ∈ L(V ) gyöke valamely F[t]-beli nemz´ eró polinomnak, hiszen dim L(V ) = n2 lévén az A0 = I, A, . . . , An

2

n2 + 1 elem˝ u lineáris transzformáci´ o rendszer lineárisan összef¨ ugg˝ o, ´ıgy van olyan nemtriviális lineáris kombinációjuk, hogy 2

α0 A0 + α1 A + · · · + αn2 An = 0 . Akkor a p(t) = α0 + α1 t + · · · + αn2 tn

2

nemzéró polinom olyan, amelynek A gyöke. Nyilvánval´ o, hogy ha A gyöke egy m p(t) = α0 + α1 t + · · · + αn t m-edfok´ u polinomnak, akkor gyöke az 1/αn · p(t) ugyancsak m-edfok´ u normált polinomnak is. 7.1.3 Defin´ıci´ o. Azt a legkisebb foksz´ am´ u norm´ alt polinomot, amelynek A gy¨ oke, az A transzform´ aci´ o minim´ alpolinomj´ anak nevezz¨ uk. Minden lineáris transzformáci´ o minimálpolinomja egyértelm˝ uen meghatározott, hiszen ha m(t) és m0 (t) is minimálpolinomja egy A transzformáci´ onak, akkor A gyöke az m(t) − m0 (t) polinomnak is, holott m(t) − m0 (t) foka kisebb mint m(t) fokszáma, ellentmondva a m(t) értelemezésének. ´ ıt´ 7.1.4 All´ as. Az A line´ aris transzform´ aci´ o minim´ alpolinomja oszt´ oja minden olyan polinomnak, amelynek A gy¨ oke. Bizony´ıt´ as. Legyen f (t) tetsz˝oleges olyan polinom, amelynek az A transzformáció gyöke, azaz f (A) = 0. Végezz¨ unk maradékos osztást, f (t) = h(t)m(t) + r(t) ahol 0 ≤ deg r(t) < deg m(t). Helyettes´ıtve az A transzformáci´ ot, kapjuk, hogy 0 = f (A) = h(A)m(A) + r(A) = r(A) , ami csak akkor lehet igaz, ha r(t) ≡ 0 , mert A nem lehet gyöke egyetlen m(t) fokszámánál alacsonyabb fok´ u nemzér´ o polinomnak sem. Ezzel áll´ıt´ asunkat igazoltuk. 2 Az alábbi tétel egy lineáris transzformáci´ o invari´ ans altereinek dimenziój´ ar´ ol ny´ ujt felvilágos´ıtást. 7.1.5 T´ etel.


180

(1) Ha az A ∈ L(V ) line´ aris transzform´ aci´ o minim´ alpolinomj´ anak van k-adfok´ u irreducibilis faktora, akkor van a V vektortérben k-dimenzi´ os A-invari´ ans altér. (2) Ha p(t) egy k-adfok´ u irreducibilis faktora az A minim´ alpolinomj´ anak, akkor ker (p(A)) k-dimenzi´ os A-invari´ ans altér, vagy k-dimenzi´ os A-invari´ ans alterek direkt¨ osszege. Bizony´ıt´ as. (1) Jelölje m(t) az A minim´ alpolinomját és legyen az m(t) = p(t)q(t) szorzatként való el˝oáll´ıt´ asban p(t) k-adfok´ u irreducibilis tényez˝ o. A ker (p(A)) altér invariáns A-ra nézve. Legyen v 6= 0 egy tetsz˝oleges vektora ker (p(A))-nak (ilyen van, mert k¨ ul¨ onben már a q(t) polinomnak gyöke lenne A). Meg fogjuk mutatni, hogy lin (v, A) k-dimenzi´ os A-invari´ ans altere ker (p(A))-nak, következésképpen V -nek is. Tekints¨ uk a {v, A(v), . . . An (v)} vektorrendszert, ahol n = dim V . Ez nyilvánvalóan lineárisan öszzef¨ ugg˝ o rendszer. Legyen m(≤ n) az a legnagyobb pozit´ıv egész, amelyre a {v, A(v), . . . , Am−1 (v)} vektorrendszer még lineárisan f¨ uggetlen, azaz Am (v) már kifejezhet˝o a v, A(v), . . . , Am−1 (v) vektorok Am (v) = ε0 v + ε1 A(v) + · · · + εm−1 Am−1 (v) lineáris kombinációjaként. Az s(t) = −ε0 − ε1 t − · · · − εm−1 tm−1 + tm polinomra tehát teljes¨ ul, hogy s(A)(v) = 0 , de az m sz´ amra tett kikötés¨ unk alapján a´ll´ıthatjuk, hogy m-nél alacsonyabb fok´ u nemzér´ o polinomja A-nak a v vektort nem transzformálja a nullvektorba. Mivel v eleme volt ker (p(A))-nak, tehát p(A)(v) = 0 , ezért m = deg s(t) ≤ deg p(t) = k . Maradékos osztást végezve a p(t) és s(t) polinomokkal, kapjuk, hogy p(t) = h(t)s(t) + r(t)

és

0 ≤ deg r(t) < deg s(t) = m ,

és ´ıgy p(A) = h(A)s(A) + r(A) . Akkor 0 = p(A)(v) = h(A)s(A)(v) + r(A)(v) = r(A)(v) , és ebb˝ol következik, hogy r(t) ≡ 0 és p(t) = h(t)s(t) . Mivel feltevés¨ unk szerint p(t) irreducibilis, a h(t) polinom csak¡ konstans polinom lehet, ezért s(t) és p(t) fok¢ száma egyenl˝o, tehát k = m . A lin v, A(v), . . . , Am−1 (v) = lin (v, A) altér tehát k-dimenziós és A-invariáns. (2) A második áll´ıtás igazolása: ker (p(A)) két k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o nemzér´ o v és w vektorára lin (v, A) és lin (w, A) vagy diszjunktak (csak a nullvektor a köz¨ os elem¨ uk), T vagy egyenl˝ok, mert ha x ∈ lin (v, A) lin (w, A) nemzér´ o vektor, akkor az {x, A(x), . . . , Ak−1 (x)} vektorrendszer lineárisan f¨ uggetlen, és mind lin (v, A)-nak, mind lin (w, A)-nak részrendszere azok A-invarianci´ aja miatt. Mivel dim lin (v, A) = dim lin (w, A) = k

´ ´ SAJAT ´ ERT ´ EKEK ´ 7.2. SAJATVEKTOROK ES

181

azt is kapjuk, hogy az {x, A(x), . . . , Ak−1 (x)} vektorrendszer mind lin (v, A)-nak, mind lin (w, A)-nak bázisa, és ´ıgy lin (v, A) = lin (w, A) . Már most ker (p(A)) direktösszegre val´ o felbontása a következ˝ oképpen történhet: választunk egy nemzéró v1 ∈ ker (p(A)) vektort és képezz¨ uk a lin (v1 , A) alterét. Ha ker (p(A)) \ lin (v1 , A) nem u ¨res, akkor választunk bel˝ole egy v2 vektort és képezz¨ uk a lin (v1 , A) ⊕ lin (v2 , A) 2 · k-dimenziós alterét ker (p(A))-nak. Ha ez még val´ odi altér, akkor választhatunk v3 ∈ ker (p(A)) \ lin (v1 , A) ⊕ lin (v2 , A) vektort és képezhetj¨ uk a lin (v1 , A) ⊕ lin (v2 , A) ⊕ lin (v3 , A) alteret, és ´ıgy tovább. ker (p(A)) véges dimenziós volta biztos´ıtja, hogy létezik olyan r ≥ 1 egész, hogy ker (p(A)) \ lin (v1 , A) ⊕ · · · ⊕ lin (vr , A) = ∅ , és akkor az eljárás befejez˝odik. Hangs´ ulyoznunk kell, hogy er˝osen kihasználtuk, hogy amennyiben egy x 6= 0 vektor eleme valamely lin (y, A) altérnek, akkor lin (x, A) = lin (y, A), amib˝ol már következik, hogy ha vi 6∈ lin (v1 , A) ⊕ · · · ⊕ lin (vi−1 , A) , akkor lin (vi , A)

\

lin (v1 , A) ⊕ · · · ⊕ lin (vi−1 , A) = {0} .

Ezzel a bizony´ıtást befejezt¨ uk. 2 Ismert, hogy minden val´ os egy¨ utthat´ os irreducibilis polinom legfeljebb másodfok´ u, m´ıg minden komplex egy¨ utthat´ os irreducibilis polinom els˝ofok´ u. Így az el˝oz˝o tétel értelmében a véges dimenziós val´ os vektorterek minden lineáris transzformációjának van legfeljebb 2-dimenziós, a komplex vektorterek lineáris transzformációinak pedig 1-dimenziós invari´ ans altere.

7.2

Saj´ atvektorok ´ es saj´ at´ ert´ ekek

Ebben a pontban a vektorterek olyan lineáris transzformáci´ oit tanulm´ anyozzuk, amelyekre nézve létezik a térnek 1-dimenziós invari´ ans altere. Legyen az F test feletti V vektortérnek A ∈ L(V ) lineáris transzformáci´ oja. Ha az A m(t) minimálpolinomjának λ ∈ F gy¨ oke, akkor a (7.1.5) tétel szerint a ker (A−λI) 1-dimenziós A-invariáns altér, vagy 1-dimenziós A-invari´ ans alterek direktösszege. Az A lináris transzformáció minimálpolinomjának az F testben lév˝ o gyökeit, az A saj´ atértékeinek nevezz¨ uk. Ha λ sajátértéke A-nak, akkor a ker (A − λI) altér minden nemzéró s vektorát az A lineáris transzformáci´ o saj´ atvektor´ anak h´ıvjuk. Magára

182


a ker (A − λI) altérre gyakran a λ-hoz tartozó saj´ ataltér néven h´ıvatkozunk. A sajátaltér tetsz˝oleges s vektorára A(s) = (A − λI)(s) + λs = λs teljes¨ ul. Másrészt, ha A − λI szinguláris transzformáci´ oja V -nek, akkor van nemzér´ ov vektora ker (A − λI)-nek. Az m(t) minimálpolinomnak a t − λ ∈ F[t] els˝ofok´ u polinommal való maradékos osztását végezve m(t) = q(t)(t − λ) + γ adódik, hiszen a maradék csak 0-adfok´ u, azaz skal´ ar lehet. Akkor az m(A) = q(A)(A − λI) + γI transzformációval 0 = m(A)(v) = q(A)(A − λI)(v) + γI(v) = γv , amib˝ol kapjuk, hogy γ = 0, azaz t − λ osztója m(t)-nek. De akkor m(λ) = 0 , azaz λ gyöke a minimálpolinomnak. A (7.1.5) tétel kiegész´ıtve a fenti észrevétellel a következ˝ o áll´ıt´ ast verifik´ alja: 7.2.1 T´ etel. Ha V az F test feletti vektortér és A line´ aris transzform´ aci´ oja, akkor az A minim´ alpolinomj´ anak a λ ∈ F skal´ ar pontosan akkor gy¨ oke, azaz λ pontosan akkor saj´ atértéke A-nak, ha az A − λI ∈ L(V ) line´ aris transzform´ aci´ o szingul´ aris. A (7.2.1) tételb˝ol azonnal adódik: 7.2.2 K¨ ovetkezm´ eny. Egy line´ aris transzform´ aci´ onak akkor és csak akkor saj´ atértéke a 0, ha a transzform´ aci´ o szingul´ aris. Sok esetben használhatók a következ˝ o észrevételek: ´ ıt´ 7.2.3 All´ as. (a) Az A ∈ L(V ) (V -ben értelmezve van skal´ aris szorzat) line´ aris transzform´ aci´ onak λ akkor és csak akkor saj´ atértéke, ha transzpon´ altj´ anak saj´ atértéke. (b) Az A ∈ L(V ) (V unitér tér) line´ aris transzform´ aci´ onak λ akkor és csak akkor ¯ adjung´ saj´ atértéke, ha λ altj´ anak saj´ atértéke. (c) Ha az A ∈ L(V ) line´ aris transzform´ aci´ onak λ saj´ atértéke, akkor tetsz˝ oleges p(t) ∈ F[t] polinomra a p(A) line´ aris transzform´ aci´ onak saj´ atértéke p(λ), és ha A invert´ alhat´ o, akkor az A−1 line´ aris transzform´ aci´ onak saj´ atértéke λ1 . Bizony´ıt´ as. Az (a) áll´ıtás annak a következménye, hogy a lineáris transzformáció és transzponáltjának egyenl˝o a rangja és mivel (A − λI)∗ = A∗ − λI , az A − λI lineáris transzformáció pontosan akkor szinguláris, ha az A∗ − λI line´ aris transzformáció szinguláris. A (b) áll´ıtás igazolása hasonló. Mivel a lineáris transzformáci´ o és adjungáltj´ anak egyenl˝o a rangja, továbbá ¯ , (A − λI)∗ = A∗ − λI

´ ´ SAJAT ´ ERT ´ EKEK ´ 7.2. SAJATVEKTOROK ES

183

¯ ´ıgy az A − λI lineáris transzformáci´ o pontosan akkor szinguláris, ha az A∗ − λI lineáris transzformáció szinguláris. (c) Az A lineáris transzformáci´ onak λ pontosan akkor sajátértéke, a (7.2.1) tétel szerint, ha van olyan s(6= 0) ∈ V vektor, hogy A(s) = λs . Akkor A2 (s) = A(A(s)) = A(λs) = λA(s) = λ2 s , és általánosan minden k természetes számra Ak (s) = λk s teljes¨ ul. Ebb˝ol már következik, hogy bármely p(t) ∈ F[t] polinomra p(A)(s) = p(λ)s, igazolva els˝o áll´ıtásunkat, hogy p(λ) sajátértéke a p(A) transzformáci´ onak. Az utolsó áll´ıtás következik az s = A−1 (A(s)) = A−1 (λs) = λA−1 (s) egyenl˝oségb˝ol, mert a (7.2) következmény alapján λ 6= 0 és ´ıgy A−1 (s) =

1 s. λ

2 Az alábbi példa azt mutatja be, hogy a (7.2.1) tétel hogyan használhat´ o egy vektortér sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatároz´ as´ ara. 2 P´ elda. Hat´ arozzuk meg a 3-dimenzi´ os val´ os V vektortér azon A line´ aris transzform´ aci´ oj´ anak saj´ atértékeit és saj´ atvektorait, amely a tér egy V = {v1 , v2 , v3 } b´ azis´ anak vektorait rendre az A(v1 ) = v2 + v3 , A(v2 ) = v1 + v3 , A(v3 ) = v1 + v2 vektorokba viszi! Az A, illetve az A − λI transzformáci´ ok V b´ azisra vonatkoz´ o mátrixai 





0 1 1   A= 1 0 1  1 1 0



−λ 1 1   A − λI =  1 −λ 1  1 1 −λ

és

´ Allap´ ıtsuk meg, hogy a λ paraméter mely értékei esetén lesz a A − λI m´ atrix szinguláris. Az elemi bázistranszform´ aci´ os technika most is alkalmazhat´ o, hiszen kérdés¨ unk u ´gy is feltehet˝o, hogy a λ praméter milyen értékei mellett van nemtrivi´ alis megoldása az A − λE egy¨ utthat´ om´ atrix´ u homogén lineáris egyenletrendszernek. Az ismeretlenekre bevezetve a ξ1 , ξ2 , ξ3 jelölést a ξ1

ξ2

ξ3

v1 −λ

1

1

−λ

1

v2 v3

1 1

−→

1 −λ

ξ2

ξ3

v1

1 − λ2

1+λ

ξ1

−λ

1

v3

1+λ

−λ − 1

táblázatokból leolvashatjuk, hogy λ = −1 esetén a 

ξ1





    ξ2  = 

ξ3

−1 −1



1

 0 ·

0

1

"

τ2

#

τ3

koordináta vektor´ u vektor nemtrivi´ alis megoldás, ha a τ2 , τ3 szabadon választhat´ o skalárok köz¨ ul legalább az egyik nem nulla. Péld´ aul az  

s1 = 

−1

 

1  0



és



s2 = 

−1

 

0  1


184

koordináta vektor´ u lineárisan f¨ uggetlen vektorok a transzformáci´ o λ = −1 sajátértékéhez tartozó sajátvektorai. Visszatérve a tábl´ azathoz, láthat´ o, hogy ha λ 6= −1, akkor további báziscsere hajtható végre és kapjuk a ξ3 v1 2 + λ − λ2 ξ1

1−λ

ξ2

−1

táblázatot, miszerint λ = 2 esetén is van nemtrivi´ alis megoldás, amelynek alakja 

ξ1





1



     ξ2  =  1  · τ3 (τ3 6= 0) .

ξ3

1

Igy a λ = 2 sajátérték, és egy ehhez tartozó sajátvektor koordináta vektora az  

1

 

s3 =  1  . 1 A feladathoz nem tartozik ugyan, de érdemes meghatározni az A transzform´ aci´ o mátrixát a sajátvektorok alkotta S = {s1 = −v1 + v2 , s2 = v1 + v3 , s3 = v1 + v2 + v3 } bázisban. Mivel A(s1 ) = −s1 , A(s2 ) = −s2 és A(s3 ) = 2 · s3 , kapjuk, hogy 



−1 0 0   AS =  0 −1 0  0 0 2 diagonális mátrix, amelynek diagonális´ aban éppen az A sajátértékei vannak.

2

A fenti példában azt láttuk, hogy a vizsgált lineáris transzformáci´ o sajátvektorai bázisát alkották a tárgyvektortérnek, és ebben a bázisban a lineáris transzformáci´ o mátrixa diagonális mátrix lett. Ez által´ anosan is igaz, nevezetesen: 7.2.4 T´ etel. Ha az n-dimenzi´ os F test feletti V vektortér A ∈ L(V ) line´ aris transzform´ aci´ oj´ anak saj´ atvektoraib´ ol ´ all´ o S = {s1 , . . . , sn } vektorrendszere b´ azis, akkor az A m´ atrixa az S b´ azisban diagon´ alis m´ atrix, melynek diagon´ alis´ aban éppen az egyes saj´ atvektorokhoz tartoz´ o saj´ atértékek vannak. Bizony´ıt´ as. Jelöljék az egyes sajátvektorokhoz tartozó sajátértékeket rendre λ1 , . . . , λn . Akkor, tekintve, hogy A(si ) = λi si

(i = 1, . . . , n) ,

´ ´ SAJAT ´ ERT ´ EKEK ´ 7.2. SAJATVEKTOROK ES kapjuk, hogy

        A(si )S =       

0 .. . 0 λi 0 .. . 0

185

        ,      

ahol éppen az i-edik koordináta a λi , a többi pedig zér´ o. Mivel az A line´ aris transzformáció AS mátrixának i-edik oszlopa éppen A(si )S minden (i = 1, . . . , n)-re,    AS = B =   

λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 .. .. . . . . .. . . 0 0 . . . λn

     

amint áll´ıtottuk.

2

Egy vektortér olyan lineáris transzformáci´ oj´ at, amelynek sajátvektorai generálj´ ak a teret, tehát mátrixa diagonalizálhat´ o, egyszer˝ u , vagy más elnevezéssel diagonaliz´ alhat´ o lineáris transzformációnak h´ıvjuk. Megjegyzend˝o, hogy az egyáltal´ an nem biztos, hogy a k¨ ulönböz˝o sajátvektorok k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sajátértékekhez tartoznak, amint az (2) példa is mutatta, (a −1 sajátértékhez két egymást´ ol lineárisan f¨ uggetlen sajátvektor tartozott). Másrészt viszont igaz, hogy k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan f¨ uggetlen rendszert alkotnak. Ezt az áll´ıt´ ast fogalmaztuk meg a következ˝o tételben. 7.2.5 T´ etel. Ha a V vektortér A line´ aris transzform´ aci´ oj´ anak λ1 , . . . , λk k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o saj´ atértékei, akkor a hozz´ ajuk tartoz´ o s1 , . . . , sk saj´ atvektorok line´ arisan f¨ uggetlen rendszert alkotnak. Bizony´ıt´ as. A k¨ ulönböz˝o sajátértékek száma szerinti teljes indukci´ oval igazoljuk az áll´ıtást. Ha k = 1, akkor a sajátvektor nem nullvektor lévén lineárisan f¨ uggetlen egyelem˝ u rendszer. Tegy¨ uk fel, hogy a λ1 , . . . , λk−1 k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sajátértékekhez tartozó sajátvektorok {s1 , . . . , sk−1 } rendszere lineárisan f¨ uggetlen és legyen λk az eddigiekt˝ol k¨ ulönböz˝o sajátérték és sk a hozzá tartozó sajátvektor. Indirekt tegy¨ uk fel, hogy (a)

sk =

k−1 X

αi si ,

i=1

azaz, hogy az {s1 , . . . , sk−1 , sk } vektorrendszer már lineárisan összef¨ ugg˝ o. Ha alkalmazzuk az A transzformációt az (a) egyenlettel adott sk vektorra, akkor azt kapjuk, hogy λk sk = A(sk ) =

k−1 X i=1

αi A(si ) =


186

(b)

=

k−1 X

αi λi si .

i=1

Igy az (a) egyenlet λk -szorosát kivonva a (b) egyenletb˝ ol a 0=

k−1 X

αi (λi − λk )si

i=1

adódik. Ez lehetetlen, hiszen sk 6= 0 (mert sajátvektor), ´ıgy az αi skal´ arok valamelyike nemnulla. Másrészt a sajátértékek k¨ ul¨ onb¨ oz˝ osége miatt a λi − λk , (i = 1, . . . , k − 1) skalárok is k¨ ulönböznek null´ at´ ol és az indukci´ os feltevés szerint az {s1 , . . . , sk−1 } rendszer lineárisan f¨ uggetlen volt. Ez az ellentmond´ as abból eredt, hogy feltételezt¨ uk, hogy az {s1 , . . . , sk−1 , sk } vektorrendszer lineárisan összef¨ ugg˝ o, tehát lineárisan f¨ uggetlen kell legyen. 2 Ha egy n-dimenziós V vektortér A lineáris transzformáci´ oj´ anak n k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sajátértéke van, akkor A egyszer˝ u. Ez a feltétel elegend˝o, de nem sz¨ ukséges, amint azt a (2) példa is mutatta.

7.3

Val´ os vektorterek komplexifik´ aci´ oja

Amint azt már többször eml´ıtett¨ uk, a val´ os vektorterek nem minden lineáris transzformációjának létezik sajátvektora, mert a val´ os egy¨ utthat´ os polinomoknak nem feltétlen¨ ul van valós gyöke. A komplex egy¨ utthat´ os polinomoknak ezzel szemben mindig van komplex gyöke, tehát abban a speciális estben is, amikor az egy¨ utthat´ ok történetesen valós számok, s˝ot ilyen esetben még az is igaz, hogy a komplex gyök¨ ok konjugáltjai is gyökei ugyanazon val´ os egy¨ utthat´ os polinomnak. Ezért célszer˝ u a valós vektortereket komplex vektortérbe ”beágyazni” és abban meghatározni a lineáris transzformációk sajátvektorait. Ebben a pontban azt mutatjuk meg, hogy ez a ”beágyazás” lehetséges. Ez majd lehet˝ové teszi, hogy bizonyos lineáris transzformációkkal kapcsolatos vizsgálatokat a komplex vektorterekben végezhess¨ unk és a val´ os vektorterekre vonatkozó eredményeket ezekb˝ol származtassuk. Legyen V tetsz˝oleges valós vektortér és képezz¨ uk a V × V Descartes–szorzatot. ´ Ertelmezz¨ unk V × V -ben összead´ ast az def

(x, y) + (v, w) = (x + v, y + w) definiáló egyenl˝oséggel, és komplex α + iβ komplex számmal val´ o ”szorzást” pedig, 2 ahol i a képzetes egység (i = −1), az def

(α + iβ)(x, y) = (αx − βy, βx + αy) defin´ıcióval. Ezáltal V ×V a definiált m˝ uveletekkel komplex vektortérré válik. Ennek igazolását az olvasóra bizzuk. A rövidség kedvéért jelölj¨ uk az ´ıgy kapott komplex vektorteret Vb -al. A Vb (x, 0) alak´ u elemeinek halmaza és V vektorai köz¨ ott nyilvánvalóan létezik kölcsönösen egyértelm˝ u x ↔ (x, 0) megfeleltetés, ami az összead´ as b m˝ uveletével, s˝ot a valós skalárokkal val´ o szorzás operáci´ oval is felcserélhet˝ o. Ha V -t valós vektortérként tekintj¨ uk (csak val´ os skal´ arokkal val´ o szorzásra szor´ıtkozunk)

´ VEKTORTEREK KOMPLEXIFIKACI ´ OJA ´ 7.3. VALOS

187

akkor az x ↔ (x, 0) megfeleltetés izomorfizmus V és Vb tekintett altere köz¨ ott. Ezért V u ´gy tekinthet˝o, mint Vb részhalmaza. Mivel (0, y) = i(y, 0), Vb elemeire (x, y) = (x, 0) + i(y, 0) teljes¨ ul, ´ıgy az x ↔ (x, 0) egy-egyértelm˝ u megfeleltetés alapján Vb minden vektora x + iy alakban ´ırhat´ ok. Tekintve, hogy az (x, 0), illetve a (0, y) alak´ u vektorok V és iV halmazában egyed¨ ul a (0,0) (a Vb zér´ ovektora) köz¨ os, ezért a b b V vektorainak x + iy alakban val´ o el˝o´ all´ıt´ asa egyértelm˝ u. A V komplex vektorteret a V valós vektortér komplexifik´ altj´ anak nevezz¨ uk. ´ Erdekes és fontos az alábbi áll´ıtás: ´ ıt´ 7.3.1 All´ as. A val´ os V vektortér és a komplex Vb vektortér dimenzi´ oja egyenl˝ o. Bizony´ıt´ as. Azt fogjuk megmutatni, hogy ha X = {x1 , . . . , xn } b´ azisa V -nek, akkor bázisa Vb -nek is. El˝oször is mutassuk meg, hogy X vektorainak komplex egy¨ utthatós lineáris kombinációja is csak u ´gy lehet zérus, ha minden egy¨ utthat´ o zéró. Mivel n X

(αj + iβj )xj =

j=1

n X

αj xj + i

j=1

n X

βj xj = 0

j=1

pontosan akkor, ha n X

αj xj = 0 és

j=1

n X

βj xj = 0 ,

j=1

és X bázis V -ben, kapjuk, hogy α1 = . . . = αn = β1 = . . . = βn = 0 . Másrészt, ha x + iy tetsz˝oleges vektora Vb -nek, akkor x, y ∈ V , ennélfogva el˝o´ all´ıthatók X vektorainak x=

n X

ξj xj

és y =

j=1

n X

ψj xj

j=1

lineáris kombinációjaként, és akkor x + iy =

n X

(ξj + iψj )xj .

j=1

Ezzel az áll´ıtást bebizony´ıtottuk. 2 b A V vektortér A ∈ L(V ) lineáris transzformáci´ oj´ at kiterjeszthetj¨ uk a V komplex vektortér Ab ∈ L(Vb ) lineáris transzformáci´ oj´ av´ a, minden x + iy ∈ Vb vektorhoz az def

b + iy) = A(x) + iA(y) A(x

vektort rendelve. Nem nehéz igazolni, hogy az ´ıgy értelmezett Ab leképezés val´ oban lineáris transzformációja Vb -nek. Ha V -ben definiálva van skal´ aris szorzat, akkor azt felhasználva Vb -ben is értelmezhet˝o komplex skaláris szorzat az def

hx + iy, v + iwi = hx, vi + hy, wi + i(hx, wi − hy, vi)


188

defin´ıcióval. Az olvasóra bizzuk annak ellen˝orzését, hogy az ´ıgy definiált skal´ aris szorzat kielég´ıti a komplex skaláris szorzat axióm´ ait. A Vb vektortér egy x + iy vektorának normája a kiszám´ıtható a V térben definiált euklideszi-norma seg´ıtségével, hiszen kx + iyk2 = hx + iy, x + iyi = hx, xi + hy, yi = kxk2 + kyk2 . Egyszer˝ u igazolni a lineáris transzformáci´ ok köz¨ otti A ↔ Ab megfeleltetés következ˝ o tulajdonságait: d = αA b , ahol α val´ (a) αA os, b b \ (b) A + B = A + B , b, \ (c) A · B = Ab · B és ha V -ben skaláris szorzat is értelmezett, akkor c∗ = A b∗ . Meg kell jegyezn¨ (d) A unk, hogy (d)–ben Ab∗ a Ab lineáris transzformáci´ o transzponáltját jelöli, nem az adjungáltj´ at. Mutatóba bebizony´ıtjuk a (d) tulajdonságot, a többi igazolását az olvas´ ora bizzuk. El˝obb azonban még egy megjegyzést kell tenn¨ unk; a bilineáris f¨ uggvényekr˝ ol ´ırott fejezetben [x, y] jelölte az x és y vektorok bels˝o szorzatát, és ennek megfelel˝oen egy A ∈ L(V ) lineáris transzformáció transzponáltj´ at a (∀v, w ∈ V ) : [A∗ (v), w] = [v, A(w)] egyenl˝oséggel értelmezt¨ uk. De mint kider¨ ult, véges dimenziós val´ os és komplex terekben a vektorok bels˝o szorzata, illetve komplex bels˝o szorzata mindig skal´ aris szorzat és bármely skaláris szorzat a tér egy ortonormált bázis´ ara vonatkoz´ o koordináta vektorok bels˝o szorzatára, illetve komplex bels˝o szorzatára redukál´ odik. Ezért az alábbiakban szögletes zár´ ojelek helyett az euklideszi és unitér terekr˝ol szól´ o fejezetben bevezetett hegyes zárójeleket használjuk a skal´ aris szorzat jelölésére. Legyen x + iy, v + iw két tetsz˝oleges vektora Vb -nek. Akkor D

E

b + iw) = hx + iy, A(v) + iA(w)i = x + iy, A(v

= hx, A(v)i + hy, A(w)i − i(hx, A(w)i − hy, A(v)i) = = hA∗ (x), vi + hA∗ (y), wi − i(hA∗ (x), wi − hA∗ (y), vi) = D

E

= hA∗ (x) + iA∗ (y), v + iwi = Ab∗ (x + iy), v + iw , és éppen ezt kellett megmutatnunk. Igen fontos áll´ıtást mondunk ki az alábbi tételben: 7.3.2 T´ etel. Az A line´ aris transzform´ aci´ o és az Ab line´ aris transzform´ aci´ o minim´ alpolinomja egyenl˝ o. Bizony´ıt´ as. Tegy¨ uk fel, hogy az A line´ aris transzformáci´ o minimálpolinomja a val´ os egy¨ utthatós m(t) polinom. Akkor minden x ∈ V -re m(A)(x) = 0 , ezért bármely v + iw ∈ Vb -re b m(A)(v + iw) = m(A)(v) + i · m(A)(w) = 0 ,

˝ LINEARIS ´ ´ OK ´ ∗ 7.4. EGYSZERU TRANSZFORMACI

189

b amib˝ol következik, hogy az Ab m(t) minimálpolinomja osztója m(t) . Másrészt minden x + iy ∈ Vb -re b b A)(x b b m( + iy) = m(A)(x) + i · m(A)(y) = 0,

akkor b m(A)(x) =0

és

b m(A)(y) = 0,

Így, tekintve, hogy mindkét polinom b amib˝ol következik, hogy m(t) osztója m(t)-nek. b normált polinom, kapjuk, hogy m(t) = m(t) . 2 Ha az A lineáris transzformáci´ oja V -nek és a megfelel˝o Ab line´ aris transzformációnak α + iβ sajátértéke és s + it saj´ atvektora (α, β ∈ R , s, t ∈ V ), akkor (i)

A(s) = αs − βt ,

(ii)

A(t) = βs + αt ,

azaz lin (s, t) a V térnek A-invari´ ans altere. Ebb˝ol azt is azonnal kapjuk, hogy ha Ab saj´ atértéke valós (β = 0), akkor s és t az A-nak α-hoz tartozó sajátvektorai, (az (i) és (ii) egyenl˝oségek alapján A(s) = αs és A(t) = αt). Fontos a problémák numerikus megoldása szempontj´ ab´ ol, hogy mivel a V tér egy X bázisa egyszersmind a Vb komplex vektortérnek is bázisa, bármely A ∈ L(V ) lineáris transzformáció mátrixa az X bázisban megegyezik az Ab ∈ Vb line´ aris transzformáció X bázisra vonatkozó mátrix´ aval.

7.4

Egyszer˝ u line´ aris transzform´ aci´ ok∗

A következ˝o pontban vizsgálatainkat véges dimenziós komplex terekre korl´ atozva megnézz¨ uk, hogy milyen lineáris transzformáci´ oknak vannak olyan sajátvektorai, amelyek az egész teret generálják. Mivel a véges dimenziós komplex terek mindig unitér térré tehet˝ok, nem jelent tov´ abbi megszor´ıt´ ast, ha feltessz¨ uk, hogy a térben rögz´ıtett egy skaláris szorzat. Ez lehet˝ové teszi, hogy a lineáris transzformáci´ ok és adjungáltjaik kapcsolatát is kihasználhassuk vizsgálatainkban. Az olvasó jogosan veti fel a kérdést, hogy miért nem koncentr´ aljuk figyelm¨ unket inkább az euklideszi terek diagonalizálhat´ o lineáris transzformáci´ oira. A válasz egyszer˝ u; sajnos az euklideszi terek lineáris transzformáci´ oinak nem mindig vannak sajátvektorai, mivel minimálpolinomjaiknak nem biztos, hogy van val´ os gyöke. Ezzel szemben a komplex számtest algebrailag zárt, ´ıgy az unitér terek lineáris transzformációinak vannak sajátértékei a komplex számtestben, következésképpen vannak sajátvektorai is. Ez azt jelenti, hogy az euklideszi terek lineáris transzformáci´ oinak vizsgálata nehezebb feladat, ezért azt kés˝ obbre halasztjuk. Az unitér terek lineáris transzformációira kapott néhány eredmény ugyanakkor felhasználhat´ o az euklideszi terek lineáris transzformációinak vizsgálat´ aban is a komplexifik´ aci´ o felhasznál´ as´ aval.

7.4.1

¨ Onadjung´ alt line´ aris transzform´ aci´ ok

A bilineáris alakok tanulmányoz´ asakor találkoztunk a komplex vektorterek önadjungált lineáris transzformációinak fogalmával. Emlékeztet˝ ou ¨l megismételj¨ uk, hogy egy


190

komplex V vektortér A ∈ L(V ) lineáris transzformáci´ oj´ at akkor nevezz¨ uk ¨ onadjung´ altnak, ha kielég´ıti az A∗ = A feltételt. Másszóval ez azt jelenti, hogy bármely v, w ∈ V vektorp´ ar esetén D

(a)

E

hv, A(w)i = A∗ (v), w = hA(v), wi

teljes¨ ul. Megjegyezz¨ uk, hogy egy komplex vektortér lineáris transzformáci´ oja pontosan akkor önadjungált, ha a hozzátartoz´ o bilineáris alak hermitikus, ezért sokszor ezeket a transzformációkat hermitikus transzformáci´ oknak is nevezik. ¨ 7.4.1 T´ etel. Onadjung´ alt line´ aris transzform´ aci´ o saj´ atértékei val´ osak. Bizony´ıt´ as. Legyen λ az A önadjung´ alt lineáris transzformáci´ o sajátértéke (létezését biztos´ıtja, hogy az A minim´ alpolinomjának a komplex számok testében biztos van gyöke) és s egy hozzá tartozó sajátvektor, azaz A(s) = λs ,

ahol

s 6= 0 .

Akkor egyrészt (i)

hs, A(s)i = hs, λsi = λ hs, si ,

másrészt az (a) összef¨ uggés szerint (ii)

¯ hs, si . hs, A(s)i = hA(s), si = hλs, si = λ

¨ Osszehasonl´ ıtva az (i) és (ii) egyenl˝ oségeket, kapjuk, hogy ¯ hs, si , λ hs, si = λ ¯ = λ ad´ amib˝ol, tekintve, hogy az hs, si = ksk 6= 0 , a λ odik. Ez pedig azt jelenti, hogy a λ sajátérték valós. 2 A hermitikus bilineáris alakokhoz mindig lehet a térnek olyan bázis´ at találni, amelyben az alak mátrixa diagonális mátrix. Az alábbi tétel azt mondja, hogy ilyen bázist a megfelel˝o önadjungált transzformáci´ o sajátvektoraib´ ol is összerakhatunk. 7.4.2 T´ etel. Ha A ∈ L(V ) a V vektortér ¨ onadjung´ alt line´ aris transzform´ aci´ oja, akkor vannak A-nak olyan saj´ atvektorai, amelyek a térnek ortonorm´ alt b´ azis´ at alkotj´ ak. Bizony´ıt´ as. Megmutatjuk teljes indukci´ oval, hogy minden olyan k számra, amely kisebb vagy egyenl˝o, mint a tér dimenziója, van k elem˝ u sajátvektorokb´ ol álló ortonormált rendszer. A k = 1 esetén ez abból következik, hogy unitér tér minden lineáris transzformációjának van sajátvektora és minden sajátvektor nemnulla skalárszorosai is sajátvektorok, ´ıgy unitér tér minden lineáris transzformáci´ oj´ anak van egységnyi normáj´ u sajátvektora is. Tegy¨ uk fel, hogy már megmutattuk, hogy A-nak van s1 , s2 , . . . , sk−1 (k − 1 ≥ 1) sajátvektora, ami a tér ortonormált vektorrendszere. Jelölje M az általuk generált alteret. Az M ⊥ ortogonális kiegész´ıt˝ o bármely v vektorára és minden i(= 1, . . . , k − 1)-re hA(v), si i = hv, A(si )i = λi hv, si i = 0


191

teljes¨ ul, ahol λi -vel az si sajátvektorhoz tartozó sajátértéket jelölt¨ uk. Ez azt mutatja, hogy az A önadjungált transzformáci´ onak M ⊥ invari´ ans altere. Az A transzformáció M ⊥ -ra való lesz˝ uk´ıtésének van egységnyi normáj´ u sk ∈ M ⊥ saj´ atvektora és ezzel kiegész´ıtve az s1 , s2 , . . . , sk−1 ortonormált vektorrendszert a tér k elem˝ u A sajátvektoraiból álló ortonormált vektorrendszeréhez jutunk. Ezzel a tétel bizony´ıt´ as´ at befejezt¨ uk. 2 A (7.2.4), (7.4.1) és (7.4.2) tételek alapján áll´ıthatjuk, hogy minden önadjung´ alt A lineáris transzformációhoz van a térnek olyan bázisa, amelyben A m´ atrixa val´ os elem˝ u diagonális mátrix. Ez az áll´ıt´ as megford´ıthat´ o; ha az A lineáris transzformáció mátrixa valamely bázisban val´ os elem˝ u diagonális mátrix, akkor A ¨ onadjung´ alt. Ez abból következik, hogy A adjungáltj´ anak mátrixa, (lévén az A m´ atrix´ anak adjungáltja) megegyezik A mátrixával, márpedig akkor A és A∗ is egyenl˝ o, mert a lineáris transzformációk és a mátrixok köz¨ otti megfeleltetés (rögz´ıtett bázis mel´ lett) kölcsönösen egyértelm˝ u. Erdemes ezeket az észrevételeket az alábbi áll´ıt´ asban kiemelni. ´ ıt´ 7.4.3 All´ as. Az A ∈ L(v) line´ aris transzform´ aci´ o pontosan akkor ¨ onadjung´ alt, ha van a V térnek olyan ortonorm´ alt b´ azisa, amelyben A m´ atrixa val´ os elem˝ u diagon´ alis m´ atrix. Az önadjungált lineáris transzformáci´ ok jellemzését az alábbi tétel igazolás´ aval fejezz¨ uk be: 7.4.4 T´ etel. Unitér terek ¨ onadjung´ alt line´ aris transzform´ aci´ oj´ anak k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o saj´ atértékeihez tartoz´ o saj´ atalterek ortogon´ alisak. Bizony´ıt´ as. Legyen az A önadjung´ alt lineáris transzformáci´ onak λ és µ két k¨ ulönböz˝o sajátértéke, továbbá s ∈ ker (A − λI) és t ∈ ker (A − µI) . Akkor λ ht, si = ht, λsi = ht, A(s)i = = hA(t), si = hµt, si = µ ¯ ht, si , amib˝ol következik, hogy (λ − µ) ht, si = 0 . Mivel λ − µ 6= 0 , kapjuk, hogy ht, si = 0 , és ezt kellett bizony´ıtanunk.

7.4.2

2

Unit´ er transzform´ aci´ ok

A komplex V vektortér egy U lineáris transzformáci´ oj´ at akkor nevezz¨ uk unitér transzform´ aci´ onak, ha adjungáltja megegyezik az inverzével. Ez pontosan azt jelenti, hogy tetsz˝oleges v, w ∈ V vektorokra D

E

hv, wi = (U ∗ U )(v), w = hU (v), U (w)i , tehát az unitér tereknek olyan lineáris transzformáci´ oi az unitér lineáris transzformációk, amelyek meg˝orzik a skal´ aris szorzatot. Vizsgáljuk meg, hogy ha V = {v1 , . . . , vn } a tér rögz´ıtett ortonormált bázisa, akkor mi jellemzi az U unitér transzformáci´ o U m´ atrix´ at ebben a bázisban. Tudjuk, hogy U oszlopai éppen az U (v1 ), . . . , U (vn ) vektorok V-re vonatkoz´ o koordináta vektorai,


192

és az U ∗ adjungáltjának mátrixa u ´gy kaphat´ o, hogy a U m´ atrix elemeit konjug´ aljuk, majd a mátrixot transzponáljuk. Mivel U unitér transzformáci´ o, az következik, hogy U(vi )∗ · U(vj ) = hU (vi ), U (vj )i = hvi , vj i = δij , azaz unitér lineáris transzformáci´ o ortonormált bázisra vonatkoz´ o mátrix´ anak oszlopai ortogonálisak és egységnyi normáj´ uak, vagy ami ugyanaz más szavakkal, az unitér lineáris transzformáció az ortonormált bázis vektorait ortonormált bázis vektoraira képezi. Megford´ıtva, ha egy U lineáris transzformáci´ onak a V = {v1 , . . . , vn } bázisra vonatkozó mátrixa rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy oszlopai páronként ortogonálisak és egységnyi normáj´ uak, (ami azt jelenti, hogy az U (v1 ), . . . , U (vn ) vektorok is ortonormált bázist alkotnak) akkor U unitér lineáris transzformáci´ o. Val´ oban, mivel tetsz˝oleges v, w ∈ V vektorok a V = {v1 , . . . , vn } vektorainak ugyanolyan lineáris kombinációi, mint az U (v) és U (w) vektorok az U (v1 ), . . . , U (vn ) vektoroknak, és utóbbi is ortonormált bázis, ezért hU (v), U (w)i = hv, wi is teljes¨ ul. Tehát az U lineáris transzformáci´ o a tér vektorainak skal´ aris szorzatát nem változtatja meg. ¨ Osszefoglalva ezeket az eredményeket áll´ıthatjuk, hogy ´ ıt´ 7.4.5 All´ as. A V unitér tér egy U ∈ L(V ) line´ aris transzform´ aci´ oja akkor és csak akkor unitér line´ aris transzform´ aci´ o, ha a tér ortonorm´ alt b´ azis´ at ortonorm´ alt b´ azisra képezi, vagy ami ezzel ekvivalens, ha ortonorm´ alt b´ azisra vonatkoz´ o m´ atrix´ anak oszlopai ortogon´ alisak és egységnyi norm´ aj´ uak. Az önadjungált transzformáci´ ok sajátértékeit az jellemezte, hogy azok val´ osak. Ennek megfelel˝o jellemzés unitér transzformáci´ ok esetén, hogy 7.4.6 T´ etel. Unitér line´ aris transzform´ aci´ ok minden saj´ atértéke egységnyi abszol´ utérték˝ u komplex sz´ am Bizony´ıt´ as. Ha λ az U unitér lineáris transzformáci´ o sajátértéke, és s egy hozzátartozó sajátvektor, akkor ¯ hs, si , hs, si = hU (s), U (s)i = hλs, λsi = λλ ¯ = 1 , azaz |λ| = 1 . és s 6= 0 lévén hs, si 6= 0. Ebb˝ol következik, hogy λλ Unitér lineáris transzformáci´ okra is igaz, hogy

2

7.4.7 T´ etel. Az U ∈ L(V ) unitér line´ aris transzform´ aci´ onak vannak olyan saj´ atvektorai, amelyek a V tér ortonorm´ alt b´ azis´ at alkotj´ ak. Bizony´ıt´ as. Az áll´ıtás igazolása ugyan´ ugy történik, mint az önadjung´ alt linea´ris transzformációk esetében, ezért a bizony´ıt´ ast csak vázoljuk. Ha az U unitér lineáris transzformációnak s1 , . . . , sk−1 (1 ≤ k − 1 < dim V ) páronként ortogonális egységnyi normáj´ u sajátvektorai, akkor az M = lin (s1 , . . . , sk−1 ) altér M ⊥ ortogonális kiegész´ıt˝oje U -invariáns altér. Val´ oban tetsz˝oleges v ∈ M ⊥ -ra és minden i(= 1, . . . , k − 1)-re D

hsi , U (v)i = U

−1

E

(si ), v =

¿

À

1 1 si , v = ( ) hsi , vi = 0 . λi λi


193

Ezért az U lineáris transzformáci´ o M ⊥ -ra val´ o lesz˝ uk´ıtésének van sk ∈ M ⊥ egységnyi normáj´ u sajátvektora. Igy teljes indukci´ oval megmutathat´ o, hogy minden a tér dimenziójánál nem nagyobb k számra van az U saj´ atvektoraib´ ol áll´ o ortonormált vektorrendszere a V térnek. 2 A (7.2.4), (7.4.6) és (7.4.7) tételek alapján azt áll´ıthatjuk, hogy van olyan ortonormált bázisa a térnek, amelyben az U unitér lineáris transzformáci´ o mátrixa olyan diagonális mátrix, amelynek diagonális´ aban az elemek egységnyi abszol´ utérték˝ uek. A (7.4.5) áll´ıtás szerint az is igaz, hogy ha egy lineáris transzformáci´ o mátrixa valamely ortonormált bázisban olyan diagonális mátrix, amelynek diagonális´ aban a skalárok egységnyi abszol´ utérték˝ uek, akkor a transzformáci´ o unitér lineáris transzformáció.

7.4.3

Norm´ alis line´ aris transzform´ aci´ ok

Az önadjungált és unitér lineáris transzformáci´ ok esetében azt a módszert követt¨ uk, hogy az adjungált transzformációkra tett kikötéssel biztos´ıtottuk, hogy volt a térnek olyan bázisa, amelyben a tekintett transzformáci´ ok mátrixa diagonális lett. Induljunk most a másik irányból, és vizsgáljuk meg, hogy ha van a térnek olyan bázisa, amelyben a lineáris transzformáci´ o mátrixa diagonális, akkor mi kell teljes¨ ulj¨ on a lineáris transzformáció adjungáltj´ ara. Tegy¨ uk fel ezért, hogy az N line´ aris transzaltj´ anak formáció mátrixa valamely bázisban diagonális mátrix. Akkor N ∗ adjung´ is diagonális a mátrixa ebben a bázisban, mert u ´gy kaphat´ o, hogy N m´ atrix´ anak diagonálisában lév˝o elemeit konjug´ aljuk (a transzponál´ as a diagonális mátrixokat nem változtatja meg). Mivel a diagonális mátrixok szorzata f¨ uggetlen a tényez˝ ok ∗ aris transzformáci´ okra is, mert sorrendjét˝ol, ez kell, hogy teljes¨ ulj¨ on az N és N line´ rögz´ıtett bázis mellett a mátrixok és a lineáris transzformáci´ ok köz¨ ott kölcs¨ on¨ osen egyértelm˝ u megfeleltetés létezik. Másrészt egy diagonális mátrix és adjungáltj´ anak szorzata olyan diagonális mátrix, amelynek diagonális´ aban az elemek val´ osak, ami mint tudjuk azt jelenti, hogy a mátrix önadjung´ alt lineáris transzformáci´ o mátrixa. Ezért N és N ∗ ki kell, hogy elég´ıtse az alábbi feltételeket: (a)

N · N ∗ önadjung´ alt lineáris transzformáci´ o,

és (b)

N · N∗ = N∗ · N .

Könnyen beláthatjuk, hogy az (a) feltételnek minden lineáris transzformáci´ o eleget tesz, mert ∗ (N · N ∗ )∗ = N ∗ · N ∗ = N · N ∗ . Ezért a (b) feltétel következményeit kell megvizsgálnunk. A (b) feltételnek eleget tev˝o N lineáris transzformációkat norm´ alisnak nevezz¨ uk. Az önadjungált és az unitér lineáris transzformáci´ ok speciális normális lineáris transzformációk. A normális lineáris transzformáci´ ok egyik jellemz˝oje, hogy ´ ıt´ 7.4.8 All´ as. Ha N norm´ alis line´ aris transzform´ aci´ o, akkor b´ armely saj´ ataltere invari´ ans altér adjung´ altj´ ara nézve is, és adjung´ altj´ anak b´ armely saj´ ataltere N -invari´ ans altér is.


194

Bizony´ıt´ as. Legyen az N line´ aris transzformáci´ o egy sajátértéke λ és s tetsz˝oleges eleme a ker (N − λI) sajátaltérnek. Akkor (N − λI)(N ∗ (s)) = (N · N ∗ )(s) − λN ∗ (s) = N ∗ (N (s) − λs) = N ∗ (0) = 0 , bizony´ıtva, hogy N ∗ (s) ∈ ker (N − λI) . Mivel N ∗ adjung´ altja éppen N , a ford´ıtott áll´ıtás már következik az els˝ob˝ol. 2 A (7.4.8) áll´ıtás alapján könnyen igazolhatjuk a következ˝ ot: ´ ıt´ 7.4.9 All´ as. Ha N norm´ alis line´ aris transzform´ aci´ o, akkor van N -nek és N ∗ -nak olyan k¨ oz¨ os saj´ atvektora, melyhez tartoz´ o saj´ atértékeik egym´ as konjug´ altjai. Bizony´ıt´ as. Mivel N egy tetsz˝oleges sajátaltere invari´ ans N ∗ -ra nézve, az N ∗ nak erre a sajátaltérre való lesz˝ uk´ıtése annak lineáris transzformáci´ oja, ezért van ∗ benne sajátvektora, ami akkor köz¨ os sajátvektora N -nek és N -nak. Jelölje s1 az N és N ∗ egy köz¨ os sajátvektor´ at. Akkor egyrészt (i)

hs1 , N (s1 )i = hs1 , λs1 i = λ hs1 , s1 i ,

másrészt, ha N ∗ -nak s1 -hez tartozó sajátértéke µ, akkor E

D

(ii)

¯ hs1 , s1 i . hs1 , N (s1 )i = N ∗ (s1 ), s1 = hµs1 , s1 i = µ

Az (i) és (ii) egyenl˝oség sorozatok baloldalai egyenl˝ ok és hs1 , s1 i 6= 0 , ezért, a jobboldalak egyenl˝oségéb˝ol kapjuk, hogy λ és µ egymás konjug´ altjai. 2 Az a normális lineáris transzformáci´ ok bevezetéséb˝ ol nyilv´ anval´ oan következik, hogy sajátvektoraik generálják a teret, hiszen egyébként nem lehetne olyan bázisa a térnek, amelyben mátrixuk diagonális. A következ˝ o tételben tehát csak az az u ´j, hogy a normális lineáris transzformáci´ oknak is csak´ ugy, mint az önadjung´ alt és unitér lineáris transzformáci´ oknak, vannak olyan sajátvektoraik, amelyek a tér ortonorm´ alt bázisát alkotják, ráad´ asul ezek az adjungált transzformáci´ oval köz¨ os sajátvektorok. 7.4.10 T´ etel. Ha N ∈ L(V ) norm´ alis line´ aris transzform´ aci´ o, akkor vannak oz¨ os saj´ atvektorai, amelyek V -nek ortonorm´ alt b´ azis´ at N -nek és N ∗ -nak olyan k¨ alkotj´ ak. Bizony´ıt´ as. Teljes indukci´ oval megmutatjuk, hogy minden k ≤ dim V természetes számra van a térnek k elem˝ u N és N ∗ köz¨ os sajátvektoraib´ ol áll´ o ortonormált vektorrendszere. A (7.4.9) áll´ıt´ asb´ ol következik, hogy k = 1-re van ilyen vektorrendszer. (Ha a közös sajátvektor nem egységnyi normáj´ u, akkor normáljuk, az is közös sajátvektor.) Tegy¨ uk fel, hogy az s1 , . . . , sk−1 (k − 1 ≥ 1) páronként ortogonális és egységnyi normáj´ u köz¨ os sajátvektorok. Legyen M az általuk generált altere V -nek és jelölje M ⊥ az ortogonális kiegész´ıt˝ ot. Megmutatjuk, hogy M ⊥ mind N -re, mind N ∗ -re nézve invariáns. Ha v ∈ M ⊥ egy tetsz˝oleges vektor, akkor bármely i(= 1, . . . , k − 1)-re D

E

hsi , N (v)i = N ∗ (si ), v = λi hsi , vi = 0 és

D

E

si , N ∗ (v) = hN (si ), vi = λ¯i hsi , vi = 0 ,

´ ´ OI ´ 7.5. EUKLIDESZI TEREK LINEARIS TRANSZFORMACI

195

ahol λi az si -hez tartozó sajátértéke N -nek Teh´ at N (v) is és N ∗ (v) is M ⊥ -ban ⊥ ∗ van. Az N -nek és N -nak, mint M line´ aris transzformáci´ oinak, a (7.4.9) áll´ıt´ asnak megfelel˝oen, van közös egységnyi normáj´ u sk saj´ atvektora, amivel kiegész´ıtve az s1 , . . . , sk−1 vektorrendszert V -nek k elem˝ u ortonormált vektorrendszerét kapjuk. 2 Ha összevetj¨ uk a fenti tételt és a normális lineáris transzformáci´ ok bevezetésekor ´ırottakat, azonnal kapjuk, hogy 7.4.11 K¨ ovetkezm´ eny. Egy N line´ aris transzform´ aci´ o pontosan akkor norm´ alis, ha van a térnek olyan ortonorm´ alt b´ azisa, amelyben az N m´ atrixa diagon´ alis. 1. Gyakorlatok, feladatok 1. Mutassuk meg, hogy unitér, vagy normális lineáris transzformáci´ ok k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sajátértékeihez tartozó sajátalterek is ortogonálisak. 2. Legyenek A és B a V unitér térnek felcserélhet˝ o lineáris transzformáci´ oi, azaz A · B = B · A . Mutassuk meg, hogy A minden sajátaltere B-invari´ ans altér és B minden sajátaltere A-invari´ ans altér. 3. Mutassuk meg, hogy unitér tér felcserélhet˝ o lineáris transzformáci´ oinak van közös sajátvektora. 4. Igazoljuk, hogy ha egy önadjung´ alt és egy unitér lineáris transzformáci´ o szorzata felcserélhet˝o, akkor a szorzat normális lineáris transzformáci´ o. 5. Bizony´ıtsuk be, hogy minden normális lineáris transzformáci´ o el˝o´ all´ıthat´ o egy önadjungált és egy unitér lineáris transzformáci´ o szorzataként, amelyek szorzása felcserélhet˝o. 6. Mutassuk meg, hogy egy lineáris transzformáci´ o pontosan akkor normális, ha bármely invariáns alterének ortogonális kiegész´ıt˝ oje is invari´ ans altere.

7.5

Euklideszi terek line´ aris transzform´ aci´ oi

Az euklideszi terek lineáris transzformáci´ or´ ol azt lehet tudni a (7.1.5) tétel alapján, hogy van a térnek 2-dimenziós, a transzformáci´ ora nézve invari´ ans altere. Sajnos ha M az A transzformációnak invari´ ans altere és az M ⊥ az M -nek ortogonális kiegész´ıt˝oje, akkor az általános esetben M ⊥ nem feltétlen A-invari´ ans altér. Ezért az euklideszi tereknek vannak olyan lineáris transzformáci´ oi, hogy a tér nem bonthat´ o fel a tekintett transzformációra invari´ ans 2-dimenziós altereinek direktösszegére. Ez azt jelenti, hogy kénytelenek vagyunk lemondani arról, a fejezet bevezet˝ ojében megcélzott törekvés¨ unkr˝ol, hogy minden lineáris transzformáci´ ot a tér szemléltethet˝ o invariáns alterein való hatásával jellemezz¨ unk, ebb˝ol a szempontb´ ol a tekintett lineáris transzformációk körét sz˝ uk´ıten¨ unk kell. Annak érdekében, hogy megállap´ıthassuk, hogy melyek azok a lineáris transzformáci´ ok, amelyeket lehet alterein val´ o hatásukkal ”vizuálissá” tenni, bizony´ıtjuk a következ˝ o minden skal´ aris szorzatos vektortérben igaz tételt:

196


7.5.1 T´ etel. Ha a skal´ aris szorzatos V vektortér M altere az A ∈ L(V ) line´ aris transzform´ aci´ ora nézve invari´ ans, akkor M ⊥ , ortogon´ alis kiegész´ıt˝ oje invari´ ans A∗ ra nézve, ahol A∗ az A transzpon´ altj´ at jel¨ oli. Bizony´ıt´ as. Legyen w tetsz˝ oleges vektora M ⊥ -nak és v bármelyik vektora M nek. Akkor hA∗ (w), vi = hw, A(v)i = 0 , hiszen A(v) ∈ M , igazolva, hogy A∗ (w) ortogonális bármely v ∈ M vektorra, azaz A∗ (w) ∈ M ⊥ . 2 A fenti eredmény ismeretében vizsgálatainkat olyan lineáris transzformáci´ okra korlátozzuk, amelyekre nézve invari´ ans alterek egyszersmind transzponáltjaikra nézve is invariánsak. Ha az A line´ aris transzformáci´ oja az E euklideszi térnek ilyen, akkor a tér felbontható ”szemléltethet˝ o” A-invari´ ans alterei direktösszegére. Ezt igazoljuk az alábbi tételben. 7.5.2 T´ etel. Ha az E euklideszi térnek az A line´ aris transzform´ aci´ oja rendelkezik azzal a tulajdons´ aggal, hogy minden invari´ ans altere transzpon´ altj´ ara nézve is invari´ ans, akkor E legfeljebb 2-dimenzi´ os, A-invari´ ans, p´ aronként ortogon´ alis altereinek direkt¨ osszege. Bizony´ıt´ as. Az E dimenziója szerinti teljes indukci´ oval bizony´ıtjuk az áll´ıt´ ast. Ha E dimenziója nem nagyobb mint kett˝ o, akkor nyilv´ anval´ oan igaz rá a tétel. Tegy¨ uk fel, hogy n-nél alacsonyabb dimenziój´ u euklideszi terekre már tudjuk, hogy felbonthatók a feltételezett tulajdonság´ u transzformáci´ ora nézve invari´ ans, páronként ortogonális, legfeljebb 2-dimenziós alterei direktösszegére. Ezek után legyen E n-dimenziós. Az A transzformációnak a (7.1.5) tétel szerint, van legfeljebb 2-dimenziós invari´ ans M 6= {0} altere E-ben, és ez A∗ -ra nézve is invari´ ans. Alkalmazva a ∗ ⊥ (7.5.1) tételt A helyett A -ra, kapjuk, hogy M A-invari´ ans altér, és dimenziója legfeljebb n − 1. Akkor az indukci´ os feltevés szerint M ⊥ felbomlik páronként ortogonális legfeljebb 2-dimenziós A-invari´ ans alterei direktösszegére és ezek az alterek ´ mind ortogonálisak M -re is. Igy az M altérrel egy¨ utt az E k´ıv´ ant direkt felbont´ as´ at szolg´ altatják. 2 Az euklideszi terek két olyan lineáris transzformáci´ o tipusával foglalkozunk, amelyek kielég´ıtik a fenti tétel feltételét. Ilyenek nyilv´ anval´ oan a szimmetrikus transzformációk (A∗ = A) és az ortogonális transzformáci´ ok (A∗ = A−1 ).

7.5.1

Szimmetrikus line´ aris transzform´ aci´ ok

Azok számára, akik a valós vektorterek komplexifik´ aci´ oj´ ar´ ol és az unitér terek önadjungált lineáris transzformáci´ oir´ ol tanultak, megjegyezz¨ uk, hogy ha A ∈ L(V ) szimmetrikus lineáris transzformáci´ oja a V euklideszi térnek, akkor Ab ∈ L(Vb ) önadjungált lineáris transzformációja a Vb unitér térnek, és ´ıgy az alábbi tételek azonnal adódnak az önadjungált lineáris transzformáci´ okra bizony´ıtott által´ anosabb eredményekb˝ol. Megmutatjuk, hogy a szimmetrikus lineáris transzformáci´ ok diagonalizálhat´ ok. Ehhez a fenti (7.5.2) tétel szerint elegend˝o azt igazolnunk, hogy ha A szimmetrikus és M az euklideszi tér kétdimenzi´ os A-invari´ ans altere, akkor van M -ben A-nak sajátvektora. Vegy¨ uk észre, hogy ha s ∈ M sajátvektora A-nak és t ∈ M ortogonális

´ ´ OI ´ 7.5. EUKLIDESZI TEREK LINEARIS TRANSZFORMACI

197

s-re, akkor hA(t), si = ht, A(s)i = ht, λsi = λ ht, si = 0 , ami csak u ´gy lehet (mert M 2-dimenziós), ha A(t) a t vektor skal´ arszorosa, azaz t is sajátvektora A-nak. A sajátvektor létezését bizony´ıtand´ o, legyen e és f a két bázisvektora M -nek. Akkor A(e) = αe + βf

és

A(f ) = βe + γf

alak´ u, mert A szimmetrikus. Határozzuk meg az A M -re val´ o lesz˝ uk´ıtésének minimálpolinomját. Mivel A2 (e) = αA(e) + βA(f ) = (α2 + β 2 )e + (αβ + βγ)f és A2 (f ) = βA(e) + γA(f ) = (αβ + βγ)e + (β 2 + γ 2 )f , némi számolással ellen˝orizhet˝o, hogy az A2 − (α + γ)A + (αγ − β 2 )I line´ aris transzformáció az M mindkét bázisvektor´ at a zér´ ovektorba transzformálja, tehát az A M -re való lesz˝ uk´ıtésének minimálpolinomja, ami az A minim´ alpolinomjának nyilván osztója mM (t) = t2 − (α + γ)t + αγ − β 2 . Ennek a polinomnak a gyökei val´ osak, mert diszkriminánsa D = (α + γ)2 − 4(αγ − β 2 ) = (α − γ)2 + 4β 2 ≥ 0 . Ez biztos´ıtja, hogy A-nak van sajátvektora M -ben. Akkor viszont, mint azt el˝obb beláttuk, az M erre a sajátvektorra ortogonális nemzér´ o vektora is sajátvektora Anak, és M két ortogonális egydimenziós altér direktösszege. A (7.5.2) tétellel összevetve a most kapott eredményt, áll´ıthatjuk, hogy az euklideszi terek szimmetrikus lineáris transzformációinak vannak olyan sajátvektorai, amelyek a tér ortonormált bázisát alkotják. Másrészt, ha egy lineáris transzformáci´ onak a sajátvektoraib´ ol összerakható az euklideszi tér egy ortonormált bázisa, akkor abban a bázisban a transzformáció mátrixa diagonális mátrix, amib˝ol következik, hogy a transzformáció szimmetrikus. Gy˝ ujts¨ uk össze a kapott eredményeket az alábbi tételben: 7.5.3 T´ etel. Az E euklideszi tér A line´ aris transzform´ aci´ oja pontosan akkor szimmetrikus, ha vannak olyan saj´ atvektorai, amelyek a tér ortonorm´ alt b´ azis´ at alkotj´ ak.

7.5.2

Ortogon´ alis line´ aris transzform´ aci´ ok

Ezt az alpontot is ugyanazzal a megjegyzéssel kell kezden¨ unk, amivel a szimmetrikus lineáris transzformációkról szóló alpontot kezdt¨ uk, az ortogonális lineáris trnaszformációk komplexifikáltjai az unitér lineáris transzformáci´ ok, ezért az alábbi eredmények származtathatók az unitér lineáris transzformáci´ okra bizony´ıtott eredményekb˝ol. Már eml´ıtett¨ uk, hogy ha A ortogonális lineáris transzformáci´ oja az E euklideszi térnek, E akkor is felbomlik legfeljebb 2-dimenziós A-invari´ ans alterei direktösszegére.


198

Az ortogonális lineáris transzformáci´ ok karakterisztikus tulajdonsága, hogy a skaláris szorzatot változatlanul hagyják. Ha A ortogonális lineáris transzformáci´ o, akkor tetsz˝oleges v, w ∈ E vektorokra hA(v), A(w)i = hA∗ A(v), wi = hv, wi . Másrészt ha A változatlanul hagyja a skal´ aris szorzatot, akkor hv, wi = hA(v), A(w)i = hA∗ A(v), wi . ami tetsz˝oleges vektorpár estén csak u ´gy teljes¨ ulhet, ha A∗ = A−1 . Ez ekvivalens azzal a feltétellel, hogy egy lineáris transzformáci´ o pontosan akkor ortogonális, ha a tér ortonormált bázisát ortonormált bázisba viszi. Ezért bármely ortonormált bázisra vonatkozó mátrixa i-edik és j-edik oszlopának bels˝o szorzata δij . Ha M a tér 2-dimenziós A-invari´ ans altere, akkor most nem feltétlen¨ ul van A-nak sajátértéke M -ben, de ha s ∈ M sajátvektor, akkor az M s-re ortogonális nemzér´ o vektorai is sajátvektorok, mint azt az D

E

hs, A(t)i = A−1 (s), t =

1 hs, ti = 0 λ

egyenl˝oség mutatja. (λ-val az s-hez tartozó sajátértéket jelölt¨ uk.) Feltehetj¨ uk, hogy s egységnyi normáj´ u. Akkor 1 = hs, si = hA(s), A(s)i = λ2 , tehát ortogonális lineáris transzformáci´ o sajátértéke 1 vagy −1. Ha nincs A-nak M -ben sajátvektora, akkor az i és j ortonormált bázisvektorokra A(i) = αi + βj

és

A(j) = γi + δj (β 6= 0 6= γ) ,

ahol az A ortogonalitása miatt a skal´ aregy¨ utthat´ ok ki kell elég´ıtsék az (a)

α2 + β 2 = 1 ,

(b)

αγ + βδ = 0 ,

(c)

γ 2 + δ2 = 1

egyenleteket. Jelölje φ az A(i) vektor i vektorral bezárt szögét, akkor cos φ = hi, A(i)i = α és az (a) egyenlet szerint β = sin φ, vagy β = − sin φ. A (b) egyenletb˝ ol átrendezéssel kapjuk, hogy −δ = αγ/β , amit a (c) egyenletbe helyettes´ıtve γ2 +

α2 γ 2 γ 2 (β 2 + α2 ) γ2 = = = 1. β2 β2 β2

Akkor ebb˝ol γ = β és ´ıgy a (b) egyenlet alapján δ = −α , vagy γ = −β és δ = α következik. Mivel A nem szimmetrikus, hiszen akkor lenne sajátvektora, csak a második eset állhat fenn. Így az A ortogonális transzformáci´ o M -re val´ o lesz˝ uk´ıtésének mátrixa az i, j ortonormált bázisban az alábbiak egyike: "

A=

cos φ − sin φ sin φ cos φ

#

"

vagy

A=

cos φ sin φ − sin φ cos φ

#

,

ami pozit´ıv irány´ u, vagy negat´ıv irány´ u φ szöggel val´ o forgatást jelent.

´ ´ OI ´ 7.6. A S´ıK ELEMI LINEARIS TRANSZFORMACI

7.6

199

A s´ık elemi line´ aris transzform´ aci´ oi

Minden kétdimenziós valós vektortér izomorf a s´ık egy rögz´ıtett pontj´ ab´ ol kiinduló helyvektorok terével. Mivel a a véges dimenziós val´ os terek lineáris transzformáci´ oit azzal k´ıvánjuk jellemezni, hogy hogyan viselkednek a tér szemléltethet˝ o alterein, célszer˝ unek látszik áttekinteni, hogy melyek a sik helyvektorainak elemi lineáris transzformációi. Az elemi jelz˝ovel itt arra akarunk utalni, hogy csupán azokat a lineáris transzformációkat k´ıvánjuk felsorolni, amelyek szorzataként a s´ık minden lineáris transzformációja el˝oáll´ıthat´ o. Ahhoz, hogy egy lineáris transzformáci´ o hatás´ at, geometriai jelentését jól érzékelhess¨ uk, által´ aban speciális bázist (koordinátarendszert) kell választanunk. Az alábbiakban a középiskol´ ab´ ol már jól ismert egységnyi hossz´ uság´ u és egymásra mer˝oleges {i, j} helyvektorok alkotta bázisban jellemezz¨ uk a s´ık elemi lineáris transzformáci´ oit: (1) Ny´ ujt´ as/zsugor´ıt´ as: Kétféle ny´ ujt´ asr´ ol/zsugor´ıt´ asr´ ol beszélhet¨ unk, (a) k¨ oz´ eppontos ny´ ujtásr´ ol/zsugor´ıt´ asr´ ol, amikor a s´ık minden helyvektor´ at a transzformáció pozit´ıv λ-szoros´ aba viszi, illetve (b) tengelyes ny´ ujtásról, amikor csak az egyik tengely irány´ aba es˝o összetev˝o ny´ ulik meg/zsugorodik össze, azaz egy %i + θj vektor képe a λ%i + θj vektor (λ > 0) . (2) T¨ ukr¨ oz´ es: A t¨ ukrözés is lehet (a) k¨ oz´ eppontos, amikor minden vektor az ellentettjébe transzformál´ odik, vagy (b) tengelyes t¨ ukrözés esetén, pontosabban a j irány´ u tengelyre val´ o t¨ ukr¨ ozés esetén a %i + θj vektor képe a −%i + θj vektor. (3) Vet´ıt´ es: (a) k¨ oz´ eppontra való vet´ıtésen értj¨ uk, azt, amikor minden vektort az origóra, azaz a nullvektorba transzformálunk, és (b) tengelyre való vet´ıtés az amikor minden vektort az egyik, mondjuk az i irány´ u tengellyel párhuzamosan a j irány´ u tengelyre vet´ıt¨ unk. Ez a lineáris transzformáció a %i + θj vektort a θj vektorba viszi. (4) P´ arhuzamos affinit´ as: az egyik mondjuk az i ir´ any´ u tengely pontjainak j-vel párhuzamos eltolása a két bázisvektor szögfelez˝ o egyenesébe. Ez a transzformáció a %i + θj vektort a %i + (% + θ)j vektorba transzformálja. (5) Forgat´ as: minden vektort forgassunk el φ szöggel (az i vektort j felé mozgatva). Ekkor az i vektor képe cos φi+sin φj, m´ıg a j vektor képe − sin φi+cos φj lesz, ´ıgy egy tetsz˝oleges %i + θj vektor a (% cos φ − θ sin φ)i + (% sin φ + θ cos φ)j vektorba transzformálódik. Az olvasó könnyen beláthatja, hogy a s´ık felsorolt transzformáci´ oi val´ oban line´ aris transzformációk. Javasoljuk, hogy mindegyik transzformáci´ onak állap´ıtsa meg a mátrixát az i, j bázisban.


200

Következ˝o feladatunk annak igazolása, hogy val´ oban a s´ık minden lineáris transzformációja a fentiekben felsorolt transzformáci´ ok szorzatára bonthat´ o. Ennek érdekében a s´ık transzformáci´ oit annak megfelel˝oen osztályozzuk, hogy hány k¨ ulönböz˝o irány´ u sajátvektoruk van. (a) Egyetlen saj´ at´ ert´ ekhez tartoz´ o k´ et line´ arisan f¨ uggetlen saj´ atvektor esetén a s´ık minden nemzéró vektora ugyanazon sajátértékhez tartozó sajátvektor. Valóban, ha e és f a s´ık A lineáris transzformáci´ oj´ anak két lineárisan f¨ uggetlen sajátvektora és mindkett˝o a λ sajátértékhez tartoznak, azaz A(e) = λe és A(f ) = λf , akkor a s´ık minden v vektora kifejezhet˝o v = αe + βf alakban, és akkor A(v) = A(αe + βf ) = αA(e) + βA(f ) = αλe + βλf = λ(αe + βf ) = λv , alátámasztva kijelentés¨ unket. Akkor az A transzformáció ny´ ujt´ as (λ ≥ 1), vagy zsugor´ıt´ as (0 < λ < 1)), vagy középpontos vet´ıtés (λ = 0), vagy középpontos t¨ ukr¨ ozés és ny´ ujt´ as/zsugor´ıt´ as szorzata (λ < 0). (b) Ha k´ et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o saj´ at´ ert´ ek van. Jel¨ olje megint A a lineáris transzformációt és e a λ-hoz tartozó, m´ıg f a µ saj´ atértékhez tartozó sajátvektorokat. Az e, f vektorok most is bázist alkotnak, hiszen lineárisan f¨ uggetlenek a (7.2.5) tétel szerint. Bontsuk fel A-t a B(e) = λe, B(f ) = f és a C(e) = e, C(f ) = µf egyenl˝oségekkel meghatározott lineáris transzformáci´ ok szorzatára. Akkor mind B, mind C az e, illetve f irány´ u tengely irány´ aba történ˝ o ny´ ujt´ as/zsugor´ıt´ as, vagy a rájuk mer˝oleges tengelyre való t¨ ukr¨ ozés és a fentiek szorzata, esetleg valamelyik¨ uk középpontos vet´ıtés, és A mindezek szorzata. (c) Egy saj´ atvektor van. Jelölje e a sajátvektort és legyen t erre mer˝oleges vektora a s´ıknak, akkor e, t bázis. Ha λ a megfelel˝o sajátérték, akkor A(e) = λe és A(t) = αe + βt és α 6= 0, mert k¨ ulönben t is sajátvektor lenne. Megmutatjuk, hogy β = λ . Tekints¨ uk a αe + (β − λ)t vektort. A(αe + (β − λ)t) = αλe + (β − λ)(αe + βt) = βαe + (β − λ)t) , ami mutatja, hogy β − λ = 0 , mert k¨ ul¨ onben az αe + (β − λ)t vektor sajátvektor lenne, és nem lenne e irány´ u. Azt kaptuk tehát, hogy A(t) = αe + λt . (1) ha λ = 0 akkor A = B · C · D, lineáris transzformáci´ ok szorzata, ahol B(e) = αe, B(t) = αt ny´ ujtás/zsugor´ıtás középpontos t¨ ukr¨ ozés, vagy ezek szorzata, C(e) = any´ u tengellyel −t, C(t) = e π2 szöggel való forgatás, és D(e) = 0, D(t) = t az e ir´ párhuzamos vet´ıtés. (2) ha λ 6= 0, akkor az u = αλ e, t ortogonális bázisban A(u) = λu, A(t) = λu + λt felbontható A = B · C szorzatra, ahol B(u) = u, B(t) = u + t p´ arhuzamos affinitás és C(u) = λu, C(t) = λt középpontos ny´ ujt´ as/zsugor´ıt´ as, vagy t¨ ukr¨ ozés és az el˝obbi szorzata. (d) Ha nincs saj´ atvektor, akkor az azt jelenti, hogy az A transzformáci´ o minimálpolinomjának gyökei komplex számok. Ebben az esetben A azonos´ıt´ asa, mint

´ ´ OK ´ REDUKAL ´ ASA ´ ∗ 7.7. LINEARIS TRANSZFORMACI

201

elemi lineáris transzformációk szorzata a val´ os térben maradva igen nehézkes, pontosabban annak a bázisnak a megkeresése, amelyben ez az azonos´ıt´ as bemutathat´ o nem könny˝ u. Ezért felhasználjuk, hogy az s´ık A lineáris transzformáci´ oj´ ahoz tartozik a 2-dimenziós komplex tér egy Ab line´ aris transzformáci´ oja, amelynek minimálpolinomja megegyezik A minimálpolinomjával. Így, ha A minim´ alpolinomjának komplex ¯ = α − iβ konjug´ gyökei λ = α + iβ és λ alt komplex számok, akkor azok a Ab line´ aris transzformációnak is sajátértékei és a hozzá tartozó komplex sajátvektorok x = a+ib és x ¯ = a − ib alak´ uak. Ez abból következik, hogy (Ab − λ)(a + ib) = A(a) + iA(b) − λ(a + ib) = 0 , és akkor konjugálva mindkét oldalt, kapjuk, hogy ¯ − ib) = (Ab − λ)(a ¯ 0 = A(a) − iA(b) − λ(a − ib) . ¨ Osszehasonl´ ıtva a valós és képzetes részeket bármelyik egyenl˝ oségb˝ ol A(a) = αa − βb és A(b) = βa + αb adódik, ahol α, β ∈ R és a, b ∈ V és β 6= 0, tov´ abb´ a a és b lineárisan f¨ uggetlenek, mert A-nak nincs valós sajátértéke. Az α2 + β 2 = δ 2 jelöléssel az αδ és βδ egy egyértelm˝ uen meghatározatt φ szög koszinusza, illetve szinusza és az A line´ aris transzformáci´ o egy forgatás és ny´ ujtás/zsugor´ıtás egyidej¨ u végrehajtás´ at jelenti.

7.7

Line´ aris transzform´ aci´ ok reduk´ al´ asa∗

Line´ aris transzform´ aci´ ok kanonikus alakjai Ebben a pontban a vektorterek lineáris transzformáci´ oira nézve invari´ ans alterek direktösszegére való felbontásaival foglalkozunk. Vizsgálatainkban kihasználjuk, hogy — amint azt látni fogjuk — szoros kapcsolat van a lineáris transzformáci´ o minimálpolinomjának faktorai és a tér invari´ ans alterei köz¨ ott. A következ˝o tételben arra mutatunk rá, hogy milyen kapcsolat van egy A lineáris transzformáció minimálpolinomjának faktorai és a tér A-invari´ ans alterek direktösszegére való felbontása köz¨ ott. 7.7.1 T´ etel. Legyen V F feletti véges dimenzi´ os vektortér és A ∈ L(V ) line´ aris transzform´ aci´ oja. Ha az A transzform´ aci´ o m(t) minim´ alpolinomja a relat´ıv pr´ım p(t) és q(t) polinomok szorzata, akkor V = ker p(A) ⊕ ker q(A) , teh´ at V A-invari´ ans altereinek direkt¨ osszege. Bizony´ıt´ as. Az világos, hogy bármely p(t) polinomra ker p(A) A-invari´ ans altere V -nek. Így azt kell már csak megmutatnunk, hogy a ker p(A) és ker q(A) alterek egyetlen közös eleme a nullvektor, és hogy V minden vektora egy ker p(A)-beli és egy ker q(A)-beli vektor összege. Legyen v ∈ ker p(A) ∩ ker q(A) és tegy¨ uk fel indirekt módon, hogy v 6= 0. Legyen s(t) az a minimális fokszám´ u normált polinom, amelyre s(A)(v) = 0 . A p(t)-nek s(t)-vel val´ o maradékos osztása legyen p(t) = h(t)s(t) + r(t) és 0 ≤ deg r(t) < deg s(t) .


202 Ebb˝ol következik, hogy

p(A) = h(A)s(A) + r(A) , és ´ıgy e transzformációt a v vektorra alkalmazva azt kapjuk, hogy 0 = p(A)(v) = h(A)s(A)(v) + r(A)(v) = r(A)(v) . De ez s(t) fokszámára tett kikötés¨ unk szerint csak u ´gy teljes¨ ulhet, ha r(t) ≡ 0 a konstans zérópolinom. Tehát s(t) | p(t) és teljesen hasonló indoklással kaphat´ o, hogy s(t) | q(t) . Mivel p(t) és q(t) relat´ıv pr´ımek s(t) ≡ 1, azaz s(A) = I. Ez viszont a 0 = s(A)(v) = I(v) = v egyenl˝ oséghez vezet ellentmond´ asban indirekt feltevés¨ unkkel, hogy v 6= 0. Meg kell még mutatnunk, hogy tetsz˝oleges V -beli vektor egy ker p(A)-beli és egy ker q(A)-beli vektor összege. Mivel p(t) és q(t) relat´ıv pr´ımek legnagyobb közös osztójuk, az 1 el˝o´ all´ıthat´ o f (t)p(t) + g(t)q(t) alakban. Akkor ebbe a polinomegyenletbe helyettes´ıtve az A transzform´ aci´ ot kapjuk, hogy I(= A0 ) = f (A)p(A) + g(A)q(A) . Igy tetsz˝oleges v ∈ V vektorra v = I(v) = (f (A)p(A))(v) + (g(A)q(A))(v)

(7.3)

teljes¨ ul. Tekintettel arra, hogy q(A)(f (A)p(A)(v)) = f (A)(m(A)(v)) = 0 és hasonlóan p(A)(g(A)q(A)(v)) = g(A)(m(A)(v)) = 0 , azt mutatja, hogy f (A)p(A)(v) ∈ ker q(A) és g(A)q(A)(v) ∈ ker p(A) , a v vektor (7.3) egyenl˝ oség szerinti vektorok összegére való felbontása éppen a k´ıv´ ant el˝o´ all´ıt´ as. Ezzel a tétel bizony´ıtása teljes. 2 ´ Erdemes megvizsgálni az A transzform´ aci´ o mátrix´ at V egy olyan bázis´ aban, amely ker p(A) és ker q(A) egy–egy bázis´ anak egyes´ıtése. Legyen X = {x1 , . . . , xr } bázisa ker p(A)-nak és Y = {y1 , . . . , ys } b´ azisa ker q(A)-nak. Az A m´ atrixa a V {x1 , . . . , xr , y1 , . . . , ys } bázisában "

A=

A1

0

0

A2

#

alak´ u, ahol A1 r ×r tipus´ u és A2 s×s tipus´ u mátrixok, és minden más eleme A–nak nulla. Azt mondjuk, hogy az A mátrix az A1 és A2 m´ atrixok direkt¨ osszege. Az, hogy az A mátrixa ilyen alak´ u ebben a bázisban egyszer˝ uen abból adódik, hogy A(xi ) =

r X

αij xj (i = 1, . . . , r)

j=1

és A(yk ) =

s X

βk` y` (` = 1, . . . , s) ,

`=1

mert ker p(A) és ker q(A) A-invari´ ans alterek. A (7.7.1) tétel általános´ıthatósága érdekében megmutatjuk, hogy


203

´ ıt´ 7.7.2 All´ as. Ha m(t) = p(t)q(t) az A ∈ L(V ) minim´ alpolinomj´ anak relat´ıv pr´ım, norm´ alt tényez˝ okre val´ o felbont´ asa, akkor p(t) a minim´ alpolinomja az A transzform´ aci´ o ker p(A)-ra val´ o lesz˝ uk´ıtésének és hasonl´ oan q(t) a minim´ alpolinomja az A ker q(A)-ra val´ o lesz˝ uk´ıtésének. Bizony´ıt´ as. Ha az A transzform´ aci´ o ker p(A)-ra val´ o lesz˝ uk´ıtésének a p(t) fokszámánál alacsonyabb fok´ u s(t) lenne a minimálpolinomja, akkor az s(t)q(t) polinomnak is gyöke lenne az A transzform´ aci´ o, holott az s(t)q(t) polinom foka kisebb, mint az m(t) minimálpolinom foka. Ennek igazolás´ ara használjuk ki, hogy a (7.7.1) tétel szerint minden v ∈ V fel´ırhat´ o v = x + y (x ∈ ker p(A) , y ∈ ker q(A) o¨sszegként. (Lásd a (7.3) egyenletet!) Alkalmazva az s(A)q(A) lineáris transzformációt v-re, kapjuk, hogy (s(A)q(A)(v) = s(A)q(A)(x) + s(A)q(A)(y) = 0 , mert s(A)(x) = 0 miatt az els˝o tag is és q(A)(y) = 0 miatt a második tag is a zéróvektor. Ez viszont csak u ´gy lehet igaz minden v ∈ V -re, ha s(A)q(A) = 0 . Teljesen hasonló érveléssel kaphat´ o, hogy q(t) minimálpolinomja az A transzformáció ker q(A)-ra való lesz˝ uk´ıtésének, és ezzel a bizony´ıt´ as kész. 2 A (7.7.1) tétel és a (7.7.2) áll´ıt´ as alapján igaz az alábbi 7.7.3 K¨ ovetkezm´ eny. Ha az A ∈ L(V ) line´ aris transzform´ aci´ o minim´ alpolinomja felbonthat´ o m(t) = p1 (t) · p2 (t) · · · · · pr (t) p´ aronként relat´ıv pr´ım norm´ alt polinomok szorzat´ ara, akkor a V vektortér az A-invari´ ans ker p1 (A), ker p2 (A), . . . , ker pr (A) altereinek direkt¨ osszege. Ekkor az A mátrixa abban a bázisban, amely az egyes ker pi (A) direktösszeadandók bázisainak egyes´ıtése 

A1

  0  A= .  .. 

0

0

...

0

A2 . . . .. . . . .

0 .. .

0

      

. . . Ar

alak´ u. Az Ai az A transzformáci´ o ker pi (A)-ra val´ o lesz˝ uk´ıtésének a mátrixa. Mint tudjuk bármely F[t]-beli polinom, tehát egy tetsz˝oleges F test feletti véges dimenziós V vektortér egy A line´ aris transzformáci´ oj´ anak m(t) minimálpolinomja is felbontható páronként relat´ıv pr´ım irreducibilis polinomok pozit´ıv egész kitev˝os hatványainak m(t) = (p1 (t))m1 · · · · · (pr (t))mr szorzatára. A (7.7) következmény biztos´ıtja, hogy akkor a V vektortér is felbomlik mr 1 V = ker pm 1 (A) ⊕ · · · ⊕ ker pr (A)

204


A-invariáns altereinek direktösszegére. vezess¨ uk be a következ˝o jelöléseket:

A könnyebb követhet˝ oség érdekében

i ker pm i (A) = Vi (i = 1, . . . , r) ,

és a pi (A) transzformáció Vi -re val´ o lesz˝ uk´ıtését jelölje Bi . Teh´ at Bi a Vi vektortérnek a lineáris transzformáci´ oja, éspedig olyan, hogy mi -edik hatványa a zér´ o transzformáció. Ezeket nilpotens transzformáci´ oknak nevezz¨ uk. Ha B egy nilpotens transzformáció, akkor azt a legkisebb m pozit´ıv egész kitev˝ot, amelyre B m = 0 a B nilpotencia fok´ anak nevezz¨ uk, és azt mondjuk, hogy B m-edfokban nilpotens. Meg fogjuk mutatni, hogy amennyiben az irreducibilis pi (t) polinom fokszáma ki , akkor a Vi vektortér dimenziója nem kisebb, mint ki · mi . Ezt az áll´ıt´ ast fogalmaztuk meg az alábbi tételben. 7.7.4 T´ etel. Ha az A ∈ L(V ) line´ aris transzform´ ac´ o minim´ alpolinomja pm (t) , ahol p(t) k-adfok´ u irreducibilis polinom, akkor V dimenzi´ oja legal´ abb k · m . Bizony´ıt´ as. Mivel A minim´ alpolinomja pm (t) , biztosan van olyan v ∈ V vektor, m−1 hogy p (A)(v) 6= 0 . Meg fogjuk mutatni, hogy a A(v), . . . , Ak−1 (v), (p(A)A)(v), . . . , (p(A)Ak−1 )(v), .. . . .. . . . m−1 m−1 m−1 k−1 p (A)(v), (p (A)A)(v), . . . , (p (A)A )(v) v, p(A)(v), .. .

vektorrendszer lineárisan f¨ uggetlen. Az áll´ıt´ assal ellentétben tegy¨ uk fel, hogy a m−1 X k−1 X

(∗)

βij (pi (A)Aj )(v) = 0

i=0 j=0

lineáris kombinációban van nemzér´ o egy¨ utthat´ o. Legyen `(≥ 0) az a legkisebb index, amelyre van olyan j, hogy β`j 6= 0 . Alkalmazva a (*) vektoregyenlet mindkét oldalára a pm−`−1 (A) transzformációt, kapjuk, hogy 

p

m−`−1

m−1 X k−1 X

(A) 

 i

j

βij (p (A)A )(v) =

i=0 j=0

k−1 X

β`j (pm−1 (A)Aj )(v) = 0 ,

j=0

és van olyan j index, hogy β`j 6= 0 . De ez lehetetlen, mert pm−1 (A)(v) 6= 0 vektor benne van a p(A) transzformáció magterében és p(t) irreducibilis k-adfok´ u polinom, ennélfogva a ³

´

³

´

pm−1 (A)(v), A pm−1 (A)(v) , . . . , Ak−1 pm−1 (A)(v)

vektorrendszer lineárisan f¨ uggetlen, amint azt a (7.1.5) tétel bizony´ıt´ asa során láttuk. Az ellentmondás abból az indirekt feltevésb˝ ol származott, hogy a (*) lineáris kombinációban van nemnulla βij egy¨ utthat´ o. Ezzel igazoltuk, hogy V -nek van m · k elem˝ u lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszere, következésképpen dimenziója legalább m · k . 2


205

Az éppen bebizony´ıtott tételnek van egy érdekes következménye. Azt láttuk, hogy egy n-dimenziós V vektortér minden A ∈ L(V ) lineáris transzformáci´ oja gyöke valamely legfeljebb n2 fok´ u polinomnak. Ezt az eredményt lényegesen éles´ıteni lehet, ami a fokszámot illeti. 7.7.5 K¨ ovetkezm´ eny. Ha V n-dimenzi´ os vektortér, akkor b´ armely A line´ aris transzform´ aci´ oj´ anak minim´ alpolinomja legfeljebb n-edfok´ u. Bizony´ıt´ as. Az A minimálpolinomja felbonthat´ o páronként relat´ıv pr´ım irreducibilis polinomok pozit´ıv egész kitev˝os hatványainak m(t) = (p1 (t))m1 · · · · · (pr (t))mr szorzatára. A V vektortér ennek megfelel˝oen felbomlik mr 1 V = ker (pm 1 (A)) ⊕ · · · ⊕ ker (pr (A))

direktösszegre. Bevezetve a deg pi (t) = ki (i = 1, . . . , r) jelöléseket, az el˝oz˝ o tétel alapján kapjuk, hogy deg m(t) = m1 · k1 + · · · + mr · kr ≤ mr 1 ≤ dim ker (pm 1 (A)) + · · · + dim ker (pr (A)) = dim V = n .

2 Ezideig nem mutattunk arra péld´ at, hogy egy lineáris transzformáci´ o minimálpolinomját hogyan határozhatjuk meg. Most, hogy már tudjuk, hogy egy n-dimenzi´ os V vektortér minimálpolinomja legfeljebb n-edfok´ u lehet, kevesebb számol´ assal jár´ o feladat példát adni egy transzformáci´ o minimálpolinomjának meghatároz´ asa. 3 P´ elda. Tekints¨ uk a 3-dimenzi´ os val´ os V vektortér azon A line´ aris transzform´ aci´ oj´ at, amely a tér egy X = {v1 , v2 , v3 } b´ azis´ anak vektorait rendre az A(v1 ) = v1 + v2 + v3 , A(v2 ) = v1 + v2 és A(v3 ) = v1 vektorokba viszi. Hat´ arozzuk meg az A minim´ alpolinomj´ at! A megoldás lényege az, hogy az A lehet˝o legkisebb kitev˝os hatvány´ at kell megtalálnunk, amely kifejezhet˝o az alacsonyabb kitev˝oj˝ u hatványok lineáris kombinációjaként. Kihasználva, hogy L(V ) izomorf a 3 × 3 tipus´ u mátrixok terével, a szám´ıtásokat végezhetj¨ uk az A hatványainak az X bázisra vonatkoz´ o mátrixaival. Ezek     1 1 1 1 0 0     A0 =  0 1 0  A =  1 1 0  1 0 0 0 0 1 







6 5 3 3 2 1     3 2 A = 2 2 1  A = 5 4 2  3 2 1 1 1 1 Annak érdekében, hogy használhassuk az elemi bázistranszform´ aci´ os technik´ at, a mátrixok terében rögzitj¨ uk az M3×3 = {Eij (i, j = 1, 2, 3)} b´ azist, ahol Eij az a 3 × 3 tipus´ u mátrix, amelynek i-edik sorának j-edik eleme 1, minden más eleme


206

pedig nulla és a fenti mátrixok e bázisra vonatkoz´ o koordináta vektor´ aval számolunk, amelyek egyszer˝ uen a mátrixok elemeinek oszlopba rendezésével kaphat´ ok. E11 E12 E13 E21 E22 E23 E31 E32 E33

A0 A A2 A3 1 1 3 6 E11 0 1 2 5 E12 0 1 1 3 E13 0 1 2 5 E21 → 1 1 2 4 E22 0 0 1 2 E23 0 1 1 3 E31 0 0 1 2 E32 1 0 1 1 A0

E11 E12 E13 E21 E22 E23 A E32 A0

A A2 A3 1 2 5 1 2 5 1 1 3 1 2 5 1 1 3 → 0 1 2 1 1 3 0 1 2 0 1 1

A2 A3 A3 1 2 E11 0 1 2 E12 0 0 0 E13 0 1 2 E21 0 0 0 → E22 0 2 A 2 1 2 A 1 1 3 E32 0 1 2 0 A −1 1 1

Az utolsó táblázatból kiolvashat´ o, hogy A3 = 2A2 + A − A0 vagy átrendezés után A3 −2A2 −A+A0 = 0 , amib˝ol kapjuk, hogy a minimálpolinom m(t) = t3 −2t2 −t+1 . 2 Amint a példából is kider¨ ul, sajnos a módszer hátr´ anya, hogy viszonylag kicsi dimenziój´ u vektorterek esetén is igen nagyméret˝ u, a dimenzióval négyzetesen növekv˝ o komponens˝ u vektorokkal kell dolgoznunk, ami még szám´ıt´ ogép alkalmaz´ asa mellett is kényelmetlenné válhat, minthogy által´ aban a tömb¨ ok mérete korl´ atozott. Az alábbiakban néhány nagyon egyszer˝ u áll´ıt´ asra támaszkodva bemutatunk egy másik lehetséges módszert a minimálpolinom meghatároz´ as´ ara, ami nem feltétlen jár ugyan kevesebb számolással, de a dimenzióval egyenl˝ o komponens˝ u vektorokkal dolgozhatunk. A módszert alátámasztó áll´ıtások a következ˝ ok: ´ ıt´ 7.7.6 All´ as. Legyen V az F test feletti vektortér és A line´ aris transzform´ aci´ oja. Tetsz˝ oleges nemzér´ o v ∈ V vektorra legyen p(t) ∈ F[t] az a minim´ alis foksz´ am´ u (norm´ alt) polinom, amelyre p(A)(v) = 0 . Akkor p(t) oszt´ oja az A m(t) minim´ alpolinomj´ anak. Bizony´ıt´ as. Maradékos osztást végezve kapjuk, hogy m(t) = q(t)p(t) + r(t)

és

0 ≤ deg r(t) ≤ deg p(t) ,

amibe A-t helyettes´ıtve m(A) = q(A)p(A) + r(A)


207

adódik az A megfelel˝o polinomjaira. Alkalmazva az m(A) transzformáci´ ot a v vektorra, kapjuk, hogy 0 = m(A)(v) = q(A)p(A)(v) + r(A)(v) = r(A)(v) , ami a p(t) polinom fokszámára tett kikötés¨ unk szerint csak akkor teljes¨ ulhet, ha r(t) ≡ 0 , és ezzel igazoltuk az áll´ıt´ ast. 2 ´ ıt´ 7.7.7 All´ as. Legyen az F test feletti V vektortér egy b´ azisa X = {v1 , . . . , vn } és A ∈ L(V ). Minden vi ∈ X b´ azisvektorhoz legyen pi (t) ∈ F[t] az a minim´ alis foksz´ am´ u (norm´ alt) polinom, amelyre pi (A)(vi ) = 0 . Akkor az A m(t) minim´ alpolinomja a p1 (t), . . . , pn (t) polinomok norm´ alt legkisebb k¨ oz¨ os t¨ obbsz¨ or¨ ose. Bizony´ıt´ as. Jelölje k(t) a pi (t) (i = 1 . . . , n) polinomok normált legkisebb köz¨ os többszörösét, és legyen v ∈ V tetsz˝ oleges vektor. Akkor v = ε1 v1 + · · · + εn vn , és k(A)(v) = ε1 k(A)(v1 ) + · · · + εn k(A)(vn = 0 , mert minden i(= 1, . . . , n)-re k(t) = qi (t)pi (t) , és ´ıgy k(A)(vi ) = qi (A)pi (A)(vi ) = 0 . Tehát A gyöke a k(t) polinomnak. Mivel mindegyik pi (t) osztója m(t)-nek, k(t) | m(t) is teljes¨ ul a legkisebb közös többsz¨ or¨ os definiciója értelmében. Másrészt a minimálpolinom minden olyan polinomnak osztója, amelynek A gy¨ oke, ezért m(t) | k(t) is fennáll. Akkor, minthogy mindkét polinom normált k(t) = m(t) , amint áll´ıtottuk. 2 Az el˝oz˝o két áll´ıtásra támaszkodva bemutatunk egy másik péld´ at minimálpolinom meghatározásra. 4 P´ elda. Legyen V megint 3-dimenzi´ os val´ os vektortér és az X = {v1 , v2 , v3 } b´ azis´ anak vektorait vigye az A transzform´ aci´ o az A(v1 ) = v1 + 2v2 , A(v2 ) = v1 − v2 és A(v3 ) = −v1 + v3 vektorokba. Hat´ arozzuk meg az A minim´ alpolinomj´ at! El˝oször meghatározzuk a v1 vektort a nullvektorba képez˝o minimális fokszám´ u polinomját A-nak. Mivel A2 (v1 ) = A(v1 ) + 2A(v2 ) = v1 + 2v2 + 2(v1 − v2 ) = 3v1 , azonnal kapjuk, hogy p1 (t) = t2 − 3 . Tekintve, hogy az X bázisban A, A2 , illetve p1 (A) = A2 − 3I m´ atrixai 







3 0 −2 1 1 −1     2 A =  2 −1 0  A =  0 3 −2  0 0 1 0 0 1


208 és





0 0 −2   A2 − 3E =  0 0 −2  0 0 −2 azonnal látható, hogy p2 (t) = p1 (t), de p1 (A)(v3 ) 6= 0 , és az is kiolvashat´ o, hogy 2 A (v3 ) = −2v1 − 2v2 + v3 . Az utóbbi felhasznál´ as´ aval azonnal kapjuk, hogy A3 (v3 ) = −2A(v1 ) − 2A(v2 ) + A(v3 ) = −2(v1 + 2v2 ) − 2(v1 − v2 ) + (−v1 + v3 ) = −5v1 − 2v2 + v3 . Az X bázisra vonatkozó koordináta vektorokkal dolgozva határozzuk meg a p3 (t) polinomot. Nem szabad elfeledj¨ uk, hogy a v3 vektort a bázisban kell hagyjuk az elemi bázistranszformációknál! Av3 A2 v3 A3 v3 v1

−1

v2

0

v3

1

−2 -2 1

−5 −2 1

Av3 A3 v3 →

v1 A2 (v

-1

−3

3)

0

1

v3

1

0

A3 v3 →

A(v3 ) A2 (v

3

3)

1

v3

−3

Az utolsó táblázatból kiolvashat´ o, hogy A3 (v3 ) = A2 (v3 ) + 3A(v3 ) − 3v3 , amit átrendezve kapjuk, hogy A3 (v3 ) − A2 (v3 ) − 3A(v3 ) + 3v3 , tehát p3 (t) = t3 − t2 − 3t + 3 = (t2 − 3)(t − 1) . Most könnyen megállap´ıthatjuk, hogy p3 (t) a három polinom legkisebb köz¨ os többszöröse, és ´ıgy az A transzformáci´ o minimálpolinomja. 2 Fel kell h´ıvjuk az olvasó figyelmét, hogy ha valamely bázisvektort a transzformációnak csak a tér dimenziójával egyenl˝ o fokszám´ u polinomja képezi a nullvektorba, akkor az biztosan a transzformáci´ o minimálpolinomja, hiszen annak foka nem nagyobb a tér dimenziójánál, ´ıgy nincs sz¨ ukség a tov´ abbi bázisvektorokat a nullvektorba képez˝o transzformáció polinomok meghatároz´ as´ ara. Péld´ aul, ha az el˝oz˝ o példában el˝oször a v3 vektor ”polinomját” határoztuk volna meg, azonnal kaptuk volna a trnszformáció minimálpolinomját.

7.7.1

Nilpotens transzform´ aci´ ok

Azt láttuk, hogy ha egy A lineáris transzformáci´ o minimálpolinomjának p(t) irreducibilis faktora m-szeres multiplicit´ as´ u, akkor p(A)-nak az A-invari´ ans ker pm (A) altérre való B lesz˝ uk´ıtése m-edfokban nilpotens. Ezért célszer˝ u a nilpotens transzformációkat kicsit részletesebben vizsgálni. 7.7.8 T´ etel. Legyen B m-edfokban nilpotens line´ aris transzform´ aci´ oja a W vektortérnek. (1) Ha v olyan vektora W -nek, hogy B m−1 (v) 6= 0 , akkor a {v, B(v), . . . , B m−1 (v)} vektorrendszer line´ arisan f¨ uggetlen, (2) van olyan B-invari´ ans W1 altere W -nek, hogy W = lin (v, B) ⊕ W1 , és (3) W ezen direkt felbont´ as´ aban szerepl˝ o alterek izomorfi´ at´ ol eltekinve egyértelm˝ uen meghat´ arozottak.


209

Bizony´ıt´ as. Az (1) áll´ıtás igazolása. Van W -nek olyan v vektora, amelyre B m−1 (v) 6= 0 , mert k¨ ulönben B nilpotencia foka legfeljebb m−1 lehetne. Igazolandó, hogy a {v, B(v), . . . , B m−1 (v)} vektorrendszer lineárisan f¨ uggetlen. Legyen m−1 X

αi B i (v) = 0 .

i=0

Ha ebben a lineáris kombinációban lenne nemnulla skal´ aregy¨ utthat´ o, és mondjuk αj (0 ≤ j ≤ m − 1) a legkisebb index˝ u nemzér´ o egy¨ utthat´ o, akkor B

m−j−1

Ãm−1 X

! i

αi B (v)

= αj B m−1 (v) = 0 ,

i=0

ellentmondana a B m−1 (v) 6= 0 feltételnek. Ezért α0 = α1 = . . . = αm−1 = 0 kell teljes¨ uljön, s ez igazolja a {v, B(v), . . . , B m−1 (v)} vektorrendszer lineáris f¨ uggetlenségét. A tétel (2)-es áll´ıtását a B nilpotencia foka szerinti teljes indukci´ oval bizony´ıtjuk. Ha m = 1 , akkor W tetsz˝oleges nemzér´ o vektora játszhatja v szerepét, és azt kiegész´ıtve W bázisává, a kiegész´ıt˝ o vektorrendszer által generált W1 B-invari´ ans altérrel W = lin (v) ⊕ W1 . Tegy¨ uk fel, hogy m − 1-edfokban nilpotens transzformációkra az áll´ıtás igaz. Az im (B) W -nek B-invari´ ans altere, amelyre val´ o lesz˝ uk´ıtése B-nek m − 1-edfokban nilpotens, ezért az indukci´ os feltevés szerint, van olyan W0 B-invariáns altér, hogy im (B) = lin (B(v), B) ⊕ W0 . Fel kell h´ıvjuk az olvasó figyelmét arra, hogy im (B) direkt-összegként val´ o el˝o´ all´ıt´ as´ aban az els˝o tagot a képtérb˝ol való lineárisan f¨ uggetlen {B(v), . . . , B m−1 (v)} vektorrendszer generálja. oan W 0 altere W -nek és invari´ ans Legyen W 0 = {w ∈ W | B(w) ∈ W0 } . Nyilvánval´ B-re nézve. Megmutatjuk, hogy lin (v, B) ∪ W 0 gener´ alja az egész W vektorteret. Tekints¨ unk egy tetsz˝oleges x ∈ W vektort. Mivel B(x) ∈ im (B) , el˝o´ all´ıthat´ o B(x) =

m−1 X

αi B i (v) + w w ∈ W0

i=1

alakban, amit átalak´ıthatunk és a B(x) = B

Ãm−2 X

! i

αi+1 B (v) + w

i=0

kifejezést kapjuk. Ebb˝ol átrendezéssel nyerj¨ uk, hogy Ã

B x−

m−2 X

! i

αi+1 B (v)

= w.

i=0

Akkor W 0 értelmezése alapján, következik, hogy x−

m−2 X

αi+1 B i (v) ∈ W 0 ,

i=0

Pm−2

és mivel i=0 αi+1 B i (v) ∈ lin (v, B) , igazoltuk, hogy W tetsz˝oleges x vektora el˝o´ all´ıtható egy lin (v, B)-beli és egy W 0 -beli vektor összegeként. Sajnos lin (v, B) ∩ W 0


210

tartalmazhat nemzéró vektort, ezért nem választhatjuk egyszer˝ uen W 0 -t W1 -nek. Ugyanakkor, ha x ∈ lin (v, B) ∩ W0 akkor B(x) ∈ lin (B(v), B) ∩ W0 , amib˝ol következik, hogy B(x) = 0 . Akkor viszont x csak a B m−1 (v) skal´ arszorosa lehet és ezért x ∈ lin (B(v), B) ∩ W0 = {0} is teljes¨ ul, tehát x = 0 , igazolva, hogy lin (v, B) ∩ W0 = {0}. Mivel lin (v, B) ∩ W 0 és W0 diszjunkt altere W 0 -nak, W 0 egy bázis´ at megkaphatjuk u ´gy, hogy a lin (v, B) ∩ W 0 altér valamely V b´ azis´ anak és W0 egy W b´ azis´ anak egyes´ıtését további w1 , . . . , w` vektorokkal egész´ıtj¨ uk ki. Legyen W1 = lin (W ∪ {w1 , . . . , w` }) . Akkor nyilvánvalóan W = lin (v, B) ⊕ W1 teljes¨ ul, ´ıgy csupán az szorul még bizony´ıt´ asra, hogy W1 is invari´ ans B-re nézve. Ez abból következik, hogy mivel W0 ⊆ W1 ⊆ W 0 , a W1 -beli vektorokat a B transzformáció W0 -ba képezi, ami az indukci´ os feltevés szerint B-invari´ ans altér. (3) Nem nehéz belátni azt sem, hogy ha v˜ ∈ W egy másik olyan vektor, hogy f1 direkt¨ lin (˜ v , B) is m-dimenziós, akkor W = lin (˜ v , B) ⊕ W osszegre bont´ as´ aban szf1 alt´ erepl˝o B-invariáns W er izomorf W1 -gyel. Ez egyszer˝ uen abból a tényb˝ ol adódik, hogy lin (v, B) és lin (˜ v , B) dimenziója egyenl˝ o, nevezetesen m és ´ıgy dim W1 és f1 dimenzi´ dim W oja is egyenl˝o, márpedig azonos test feletti egyenl˝ o dimenziój´ u vektorterek izomorfak. Ezzel a bizony´ıt´ ast befejezt¨ uk. 2 Ha az el˝oz˝o tételben igazolt felbont´ ast tov´ abb folytatjuk, most már a W1 vektorteret — amelyre való lesz˝ uk´ıtése B-nek nyilv´ an m1 (≤ m)-edfokban nilpotens — el˝oáll´ıtjuk W1 = lin (v1 , B) ⊕ W2 direktösszegként, majd W2 -t bontjuk hasonlóan tovább, aztán W3 -t és ´ıgy tovább. Véges lépésben el kell jussunk egy Wr B-invariáns altérhez, amely már lin (vr , B) alak´ u. Ezt fogalmaztuk meg az alábbi tételben. 7.7.9 T´ etel. (1) Ha B m-edfokban nilpotens line´ aris transzform´ aci´ oja a véges dimenzi´ os W vektortérnek, akkor vannak olyan (m ≥)m1 ≥ . . . ≥ mr pozit´ıv egész sz´ amok és v0 , v1 , . . . , vr ∈ W vektorok, hogy a v0 , B(v0 ), . . . , B m−1 (v0 ) v1 , B(v1 ), . . . , B m1 −1 (v1 ) .. .. .. . . . m −1 r vr , B(vr ), . . . , B (vr ) vektorrendszer W -nek b´ azisa és W = lin (v0 , B) ⊕ lin (v1 , B) ⊕ · · · ⊕ lin (vr , B) .


211

(2) Az (m ≥)m1 ≥ . . . ≥ mr pozit´ıv egész sz´ amok sorrendt˝ ol eltekintve egyértelm˝ uen meghat´ arozottak a W vektortérre és a B nilpotens transzform´ aci´ ora jellemz˝ ok. Figyelemre méltó a B mátrixa a fenti tételben adott bázisban. A B m´ atrix majdnem minden eleme nulla, csak közvetlen¨ ul a f˝odiagon´ alis alatt vannak rendre m − 1, m1 − 1, . . . , mr − 1 1-esekb˝ol áll´ o láncok, és mindegyik ilyen láncot egy 0 követ.

7.7.2

A Jordan-f´ ele kanonikus alak

Ha a V vektortér F operátortartom´ anya algebrailag zárt test, akkor mivel minden F[t]-beli polinom els˝ ofok´ u irreducibilis polinomok pozit´ıv egész kitev˝os hatványainak szorzata, ´ıgy bármely A ∈ L(V ) lineáris transzformáci´ o minimálpolinomja is m(t) = (t − λ1 )m1 · · · · · (t − λr )mr alak´ u, ahol λ1 , . . . , λr ∈ F . Ekkor V = ker (A − λ1 I)m1 ) ⊕ · · · ⊕ ker (A − λr I)mr ) a vektortér megfelel˝o direktösszegre val´ o felbont´ asa, és a Wi = ker (A − λi I)mi ) altérre való lesz˝ uk´ıtése az A − λi I transzformáci´ onak mi -edfokban nilpotens. A (7.7.9) tétel szerint minden i(= 1, . . . , r)-re, léteznek olyan (mi0 ≥)mi1 ≥ . . . ≥ mis pozit´ıv egész számok és vi0 , vi1 , . . . , vis ∈ Wi vektorok, hogy a vi0 , (A − λi I)(vi0 ), . . . , (A − λi I)mi0 −1 (vi0 ) vi1 , (A − λi I)(vi1 ), . . . , (A − λi I)mi1 −1 (vi1 ) .. .. .. . . . vis , (A − λi I)(vis ), . . . , (A − λi I)mis −1 (vis ) vektorrendszer Wi -nek bázisa és Wi = lin (vi0 , (A − λi I)) ⊕ lin (vi1 , (A − λi I)) ⊕ · · · ⊕ lin (vis , (A − λi I)) . Vegy¨ uk észre, hogy most a lin (vij , (A − λi I)) (j = 0, . . . , s) alterek invari´ ansak nemcsak A − λi I-re, de A-ra nézve is. Az A transzformáció Wi -re val´ o lesz˝ uk´ıtésének Ai m´ atrixa a fenti bázisban k¨ ulön¨ osen figyelemre méltó. Mivel minden j(= 0, . . . , s)-re A((A − λi I)k )(vij ) = (

=

((A − λi I)k+1 )(vij ) + λi ((A − λi I)k (vij ) ha 0 ≤ k < mij − 1, λi ((A − λi I)k (vij ) ha k = mij − 1

az Ai mátrix f˝odiagonálisában minden¨ utt a λi skal´ ar találhat´ o, közvetlen¨ ul alatta pedig mi0 − 1, mi1 − 1, . . . , mis − 1 hossz´ us´ ag´ u egyesekb˝ ol áll´ o láncok melyeket


212

egy–egy 0 követ, és a mátrix minden más eleme nulla. Teh´ at 

λi 0 . . . 0 0  1 λ ... 0 0  i  . .. ..  . ..  0 1 .   .. . . .. .. λ 0  . i    0 0 . . . 1 λi   ..  . 0 Ai =   . ..  .. .    0 0 ... 0 0   0 0 ... 0 0       

0 .. .

0

0

0

... ...

0 0

... ... ... ... ... ... ... ... .. . .. . ... 0 ... ...

0 .. .

... ...

0

... ...

0 0 0 0 .. . .. . 0 0 .. . .. . λi 0 1 λi 0 .. .

1 .. .

0

0

... ...

0 0

...

0

... ... .. .

0 0

..

0

0 0 .. . .. . 0 .. . .. . 0 0



              .          0     0 

. λi . . . 1 λi

Véve a V vektortér azon bázis´ at amely minden (i = 1, . . . , r)-re a Wi alterek fentiekben le´ırt bázisainak egyes´ıtése, abban az A transzformáci´ o A m´ atrixa az Ai (i = 1, . . . , r) mátrixok direktösszege, tehát olyan mátrix, amelynek f˝odiagonálisában a λ1 , . . . , λr skal´ arok állnak, a λi pontosan mi0 + mi1 + · · · + mis szer, a f˝odiagonális alatt elhelyezked˝ o elemek pedig egyesekb˝ ol áll´ o láncok, melyeket egy–egy zéró választ el egymástól, és a mátrix minden más eleme nulla. Ez a mátrix az A transzformáció Jordan–féle kanonikus alak´ u m´ atrixa. Hangs´ ulyoznunk kell, hogy a transzformáci´ o Jordan–féle kanonikus alak´ u mátrixa kizárólag a transzformáci´ ot´ ol f¨ ugg. Erre azért kell felh´ıvjuk az olvas´ o figyelmét, mert numerikus meghatároz´ asakor a transzformáci´ o mátrix´ at használjuk mind a minimálpolinom megkeresésére, mind a vektortér direktösszegre bont´ as´ ahoz, és mint tudjuk a transzformáci´ o mátrixa attól f¨ ugg, hogy a tér mely bázis´ ara vonatkozik. Azonban bármely két mátrixa egy lineáris transzformáci´ onak hasonló és hasonló mátrixok minimálpolinomjai egyenl˝ ok és hasonló egy¨ utthat´ om´ atrix´ u homogén lineáris egyenletrendszerek megoldásterei izomorfak. Az el˝oz˝oekben bemutatott konstrukci´ ob´ ol azt is kiolvashatjuk, hogy egy A transzformáció Jordan–féle kanonikus alak´ u mátrixa pontosan akkor diagonális mátrix, ha minden i(= 1, . . . , r)-re mi0 = 1, vagyis ha az A transzformáci´ o minimálpolinomjának minden gyöke egyszeres multiplicit´ as´ u. Ekkor a (t − λi ) gyöktényez˝ohöz tartozó ker (A − λi I) direktösszeadand´ o az 1-dimenziós lin (vi0 , A − λi I), . . . , lin (vis , A − λi I) A-invariáns alterek direktösszege. Ez az eredmény karakteriz´ alja a diagonalizálhat´ o transzformációkat, ezért az alábbi következményben ki is emelj¨ uk: 7.7.10 K¨ ovetkezm´ eny. Legyen V az F test feletti vektortér és A ∈ L(V ). Az A line´ aris transzform´ aci´ o egyszer˝ uségének sz¨ ukséges és elegend˝ o feltétele, hogy A minim´ alpolinomja felbonthat´ o legyen k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o F[t]-beli gy¨ oktényez˝ ok szorzat´ ara.

8. Fejezet

Differenci´ alsz´ am´ıt´ as Ez a fejezet az eddig tanult lineáris algebra tananyag alkalmaz´ asaként megmutatja, hogy hogyan vihet˝o át a derivált fogalma többv´ altoz´ os f¨ uggvényekre. Látni fogjuk, hogy a derivált tulajdonképpen az els˝o félévben megismert érint˝ o approxim´ aci´ o fogalmának természetes kiterjesztése a lineáris algebra eszközeivel. Tárgyalni fogjuk a derivált legfontosabb tulajdonságait, majd rátér¨ unk a többv´ altoz´ os f¨ uggvények széls˝oértékeinek meghatározására.

8.1

M´ atrixok norm´ aja

Ebben a bevezet˝o jelleg˝ u szakaszban a lineáris leképezések, illetve a mátrixok normájával, és azok legfontosabb tulajdonságaival ismerked¨ unk meg. Amint azt látni fogjuk, ezzel a normával ellátva a leképezések vektortere ugyanolyan normált teret alkot, amilyenre már számos péld´ at láttunk az anal´ızis tanulm´ anyaink során. Igy lehet˝oség¨ unk ny´ılik a mátrixok terének topológiai jelleg˝ u vizsgálat´ ara, amelyre az alkalmazások (például Neumann-sorok) szempontj´ ab´ ol is nagy sz¨ ukség¨ unk lesz. Lényeges szempont a továbbiakban, hogy az euklideszi terek egy ortonormált bázis´ at rögz´ıtettnek tekintj¨ uk, és nem tesz¨ unk k¨ ul¨ onbséget egy lineáris leképezés, illetve annak az adott bázisban vett mátrixa köz¨ ott. Ugyanarra gondolunk tehát, ha akár leképezésr˝ol, akár mátrixról beszél¨ unk. Ez elvi problém´ at sem okozhat, hiszen izomorf vektorterek azonos´ıtásár´ ol van szó. Ha valamikor a bázis megváltoztat´ asa ker¨ ulne szóba, akkor erre k¨ ulön felh´ıvjuk a figyelmet. Egyébként, hacsak mást nem mondunk, vektortéren mindig val´ os test feletti vektorteret ért¨ unk. Legyenek tehát a továbbiakban X és Y euklideszi terek, és dim X = p, illetve dim Y = q. Továbbra is használjuk az L(X, Y ) jelölést az X téren értelmezett, Y térbe képez˝o lineáris leképezések vektorterére. Ha történetesen X = Y , akkor a rövidebb L(X) jelölésmóddal él¨ unk. Tekints¨ unk egy A ∈ L(X, Y ) lineáris leképezést. 8.1.1 Defin´ıci´ o. Az A leképezés normáj´ an az egységg¨ omb felsz´ınén felvett értékei abszol´ ut értékeinek fels˝ o hat´ ar´ at értj¨ uk, azaz kAk = sup kAxk . kxk=1

213

´ ´ ıTAS ´ 8. FEJEZET DIFFERENCIALSZ AM´

214

Világos, hogy a defin´ıcióban supremum helyett maximum is ´ırhat´ o, hiszen egy folytonos f¨ uggvény egy kompakt halmazon Weierstrass tétele értelmében felveszi a legnagyobb értékét. (Lásd az 1. gyakorlatot.) Els˝o pillantásra nem világos, hogy a normát miért éppen ´ıgy értelmezz¨ uk. Amint azt látni fogjuk, ez a defin´ıció val´ oban normát definiál, de ezt nagyon sok más módon is meg lehetne tenni. Mondhatnánk péld´ aul azt, hogy a normát definiáljuk a legnagyobb abszol´ ut érték˝ u oszlop abszol´ ut értékével, azaz kAk = max

Ã q X

1≤j≤p

!1/2

a2ij

,

(8.1)

i=1

vagy éppen vehetnénk normának az elemek abszol´ ut értékeinek maximum´ at is, tehát kAk =

max

1≤i≤q,1≤j≤p

|aij | .

(8.2)

Nem nehéz belátni, hogy a (8.1) és (8.2) reláci´ ok tényleg kielég´ıtik a norma axióm´ ait (lásd a 2. gyakorlatot). Az általunk bevezetett defin´ıci´ o mellett az szól, hogy, amint azt látni fogjuk, igen praktikus tulajdonságai vannak, valamint szimmetrikus mátrixokra nagyon szép algebrai jelentése is van. Tov´ abbi érv az, hogy a fenti két reláció a normát a mátrix elemeinek seg´ıtségével értelmezi, ´ıgy a norma f¨ ugghet a bázis megválasztásától. A 8.1.1 Defin´ıci´ o azonban a leképezés normáj´ at vezeti be, amely nem változik u ´j bázisra történ˝ o áttéréskor, ha a skal´ aris szorzatot már rögz´ıtett¨ uk. Térj¨ unk tehát rá az általunk értelmezett norma tulajdonságainak összefoglalására. ´ ıt´ 8.1.2 All´ as. Az L(X, Y ) vektortér a 8.1.1 Defin´ıci´ oban bevezetett norm´ aval norm´ alt teret alkot, azaz kAk ≥ 0 ,

és

kAk = 0 akkor és csak akkor, ha A = 0 ,

tov´ abb´ a kA + Bk ≤ kAk + kBk ,

(8.3)

illetve kλAk = |λ| · kAk b´ armely A, B ∈ L(X, Y ), és λ skal´ ar mellett. Bizony´ıt´ as. A (8.3) egyenl˝otlenség abból adódik, hogy sup kAx + Bxk ≤ sup kAxk + sup kBxk , kxk=1

kxk=1

kxk=1

m´ıg a másik két reláció a defin´ıci´ o nyilv´ anval´ o következménye. 2 Megjegyezz¨ uk, hogy a (8.3) egyenl˝ otlenséget a szokásoknak megfelel˝oen háromszögegyenl˝otlenségnek nevezz¨ uk. ´ ıt´ 8.1.3 All´ as. Minden x ∈ X esetén kAxk ≤ kAk · kxk .

´ ´ 8.1. MATRIXOK NORMAJA

215

Bizony´ıt´ as. Az áll´ıtás triviális ha x = 0. Ha x 6= 0, akkor, minthogy x/kxk egységnyi normáj´ u vektor, a defin´ıci´ o alapján azt kapjuk, hogy ° µ ¶° ° x ° ° ° , kAk ≥ °A kxk °

ami az áll´ıtásunkat igazolja. 2 Az is könnyen belátható a defin´ıci´ o alapján, hogy kAk éppen azzal a legkisebb λ nemnegat´ıv számmal egyezik meg, amelyre minden x mellett érvényes az kAxk ≤ λkxk egyenl˝otlenség (lásd a 3. gyakorlatot). ´ ıt´ 8.1.4 All´ as. Ha A és B olyan leképezések, hogy a BA szorzat értelmes, akkor kBAk ≤ kBk · kAk .

Bizony´ıt´ as. Valóban, bármely x vektor mellett k(BA)xk = kB(Ax)k ≤ kBk · kAxk ≤ kBk · kAk · kxk az el˝oz˝o áll´ıtásunk alapján. Innen azonnal adódik az áll´ıt´ as. 2 A norma néhány praktikus tulajdonság´ anak megismerése után térj¨ unk rá annak vizsgálatára, hogy vajon milyen algebrai jelentést hordoz egy mátrix normája. Amint azt látni fogjuk, sok esetben könnyebb a norma meghatároz´ asa az algebrai jelentése, mint közvetlen¨ ul a defin´ıció alapján. ´ ıt´ 8.1.5 All´ as. Tekints¨ unk egy q × p méret˝ u A m´ atrixot. Akkor kAk megegyezik az ∗ A A m´ atrix legnagyobb saj´ atértékének négyzetgy¨ okével. Bizony´ıt´ as. A lineáris algebráb´ ol jól ismert, hogy A∗ A szimmetrikus pozit´ıv szemidefinit mátrix, tehát a sajátértékei nemnegat´ıv val´ os számok. Legyen most v1 , . . . , vp az X vektortérnek egy olyan ortonormált bázisa, amelyben A∗ A diagon´ alis ∗ alak´ u. A v1 , . . . , vp vektorok az A A mátrix sajátvektorai, a megfelel˝o sajátértékeket jelölje λ1 , . . . , λp . A sajátértékek köz¨ ott azonosak is el˝ofordulhatnak, mindegyiket annyiszor ´ırtuk ki, amennyi a multiplicit´ asa. Tegy¨ uk fel, hogy ott √ a sajátértékek köz¨ a legnagyobb éppen λk . Azt kell igazolnunk, hogy kAk = λk . Tekints¨ unk egy tetsz˝oleges x ∈ X vektort, amely egységnyi normáj´ u, és amelyet a v1 , . . . , vp bázisban az x=

p X

xi vi

i=1

lineáris kombináció áll´ıt el˝o. Ekkor p X

kAxk2 = hAx, Axi = hx, A∗ Axi = h

i=1

=

p X i=1

λi x2i

≤

p X

xi vi ,

p X

λi xi vi i

i=1

λk x2i = λk ,

i=1

√ hiszen kxk = 1. Ez azt jelenti, hogy kAxk ≤ λk minden egységnyi normáj´ u x √ vektor esetén, azaz kAk ≤ λk . Másrészt ha a fenti levezetésben az x vektornak éppen a vk bázisvektort választjuk, akkor azt kapjuk, hogy kAvk k2 = hvk , A∗ Avk i = hvk , λk vk i = λk ,


216 azaz kAk ≥

√ λk , ami az áll´ıtásunkat bizony´ıtja.

2

8.1.6 K¨ ovetkezm´ eny. Tegy¨ uk fel, hogy A szimmetrikus m´ atrix. Jel¨ olje λmin , illetve λmax az A legkisebb, illetve legnagyobb saj´ atértékét. Ekkor λmin kvk2 ≤ hv, Avi ≤ λmax kvk2 minden v ∈ X esetén. Nevezetesen kAk megegyezik a |λmax | és |λmin | k¨ oz¨ ul a nagyobbikkal. Bizony´ıt´ as. Tekints¨ uk az X egy olyan ortonormált bázis´ at, amely az A sajátvektoraiból áll. Ebben a bázisban a fenti kvadratikus alak négyzet¨ osszegként áll el˝o, azaz ha a v vektor koordinát´ ai ebben a bázisban v1 , . . . , vp , akkor hv, Avi =

p X

λi vi2 ,

i=1

ahol a λi egy¨ utthatók az A megfelel˝o sajátértékei. Innen azonnal adódik a fenti P egyenl˝otlenség, hiszen pi=1 vi2 = kvk2 . ´ ıt´ Az kAk el˝oáll´ıtása a 8.1.5 All´ as közvetlen következménye, hiszen ekkor A∗ A = 2 2 A , és A sajátértékei éppen az A sajátértékeinek négyzetei. 2 A kés˝obbiekben egy feltételes széls˝ oértéken alapuló módszerrel is találkozunk majd a norma meghatározására. 8.1.7 P´ elda. A norma seg´ıtségével megfogalmazhatjuk a geometriai sorok összegképletének mátrixokra érvényes által´ anos´ıt´ as´ at is. Megmutatjuk, hogy ha kAk < 1, akkor I − A invertálhat´ o, ahol I az egységm´ atrix, tov´ abb´ a (I − A)−1 =

∞ X

Ak .

(8.4)

k=0

Itt a végtelen sor konvergenci´ aja normában értend˝ o, azaz azt mondjuk, hogy P∞ Pn k sor konvergens, ´ k a A e s az ¨ o sszege az S m´ a trix, ha az Sn = k=0 k=0 A részletösszegekre igaz, hogy lim kSn − Sk = 0 .

n→∞

Az abszol´ ut konvergens sorokról szól´ o tételhez teljesen hasonlóan megmutathat´ o, P k sor konvergenci´ A a j´ a nak el´ e gs´ e ges (de nem sz¨ u ks´ e ges) felt´ e tele a hogy a ∞ k=0 P∞ k aja. Ez utóbbi azonban eset¨ unkben nyk=0 kA k numerikus sor konvergenci´ ilvánvaló, hiszen nemnegat´ıv tag´ u sorról van szó, és a részlet¨ oszszegek az kAk k ≤ P k ´ ıt´ kAkk egyenl˝otlenség alapján (lásd a 8.1.4 All´ ast) fel¨ ulr˝ ol becs¨ ulhet˝ ok a ∞ k=0 kAk konvergens geometriai sor részlet¨ osszegeivel. Teh´ at az összehasonl´ıt´ o kritérium szerint a (8.4) alatti végtelen sor konvergens. Megmutatjuk, hogy a fenti sor összege éppen az I − A m´ atrix inverze. Az eddigi jelöléseinket használva Sn (I − A) = I − An+1 → I , hiszen An+1 → 0 a feltétel¨ unk szerint. Másrészt nyilv´ anval´ oan Sn (I −A) → S(I −A), hiszen kSn (I − A) − S(I − A)k ≤ kI − Ak · kSn − Sk → 0 .

´ ´ AG ´ 8.2. DIFFERENCIALHAT OS

217

Ez azt jelenti, hogy S(I − A) = I, azaz S = (I − A)−1 , amit igazolnunk kellett. Megjegyezz¨ uk, hogy a (8.4) formula fontos szerepet játszik az elméleti közgazdaságtanban. Az irodalomban a (8.4) alatti végtelen sort Neumann-sornak is nevezik . A közgazdasági input-output modellekben, ha A jelöli a fajlagos ráford´ıtási mátrixot, akkor az (I − A)−1 m´ atrixot az A Leontief-inverzének nevezik. Fontos kérdés ezekben a modellekben, hogy melyek azok a mátrixok, amelyeknek létezik csupa nemnegat´ıv elem˝ u Leontief-inverze. Az ilyen mátrixokat produkt´ıvnak nevezik. Amint azt a (8.4) formul´ ab´ ol azonnal láthatjuk, a nemnegat´ıv elem˝ u A fajlagos ráford´ıtási mátrix produkt´ıv, ha teljes¨ ul rá az kAk < 1 feltétel. 8.1.8 P´ elda. Az elméleti közgazdas´ agtan irodalmában gyakran el˝ofordul a domináns sajátérték fogalma, amely egy mátrix abszol´ ut értékben legnagyobb sajátértékét jelenti. Kés˝obbi tanulm´ anyainkban látni fogjuk, hogy egy nemnegat´ıv elem˝ u mátrix produktivitásának sz¨ uséges és elégséges feltétele az, hogy a domináns sajátértéke kisebb, mint 1 (ez a nevezetes Perron-Frobenius-tétel). Nem árt felh´ıvni a figyelmet arra, hogy ez a fogalom által´ aban nem egyezik meg a mátrix normáj´ aval. Ha λ jelöli az A mátrix domináns sajátértékét, akkor mindenesetre |λ| ≤ kAk , ám egyenl˝oség pontosan akkor érvényes, ha A alkalmas bázisban diagonális alakra hozható (lásd a 7. gyakorlatot). Tekints¨ uk péld´ aul a nem diagonalizálhat´ o "

A=

1 1 0 1

#

´ as mátrixot. Ekkor az A mátrixnak λ = 1 kétszeres √ sajátértéke, de a 8.1.5 All´ıt´ alapján könnyen ellen˝or´ızhet˝o, hogy kAk = (1 + 5)/2.

8.2

Differenci´ alhat´ os´ ag

Ebben a szakaszban bevezetj¨ uk a többv´ altoz´ os f¨ uggvények deriváltj´ anak fogalmát. Vegy¨ uk észre, hogy a fogalom természetes által´ anos´ıt´ asa az els˝o éves anal´ızisben megismert érint˝ o approxim´ aci´ o fogalm´ anak, és tulajdonképpen semmi u ´jat nem tartalmaz. Pusztán a lineáris leképezés fogalmát használjuk az egydimenziós esetnél általánosabb értelemben. 8.2.1 Defin´ıci´ o. Legyenek X és Y euklideszi terek, és tekints¨ uk az f : X → Y leképezést, amely értelmezve van az x ∈ X pont egy k¨ ornyezetében. Azt mondjuk, hogy f differenciálható az x pontban, ha tal´ alhat´ o olyan A ∈ L(X, Y ) line´ aris leképezés, hogy b´ armely v ∈ X, x + v ∈ Df esetén f (x + v) = f (x) + Av + r(v) , ahol limv→0 kr(v)k/kvk = 0. Ebben az esetben az A leképezést az f deriv´ altj´ anak 0 nevezz¨ uk az x pontban. Jel¨ olése A = f (x). Megjegyezz¨ uk, hogy az érint˝ o approxim´ aci´ o fogalmához hasonlóan a fenti defin´ıció azt fogalmazza meg, hogy az x pont egy környezetében az f f¨ uggvény

218


jól, azaz kis ordó nagyságrendben közel´ıthet˝ o az A line´ aris leképezéssel. Világos ugyanis a defin´ıcióból, hogy az r : X → Y f¨ uggvény kis ordó nagyságrend˝ u az x környezetében. Nem látszik a defin´ıcióból, hogy a derivált egyértelm˝ uen meghatározott, azaz csak egyetlen olyan A lineáris leképezés létezhet, amely kielég´ıti a fenti defin´ıci´ ot. Erre ad választ az alábbi áll´ıtás. ´ ıt´ 8.2.2 All´ as. A deriv´ alt egyértelm˝ uen meghat´ arozott. Bizony´ıt´ as. Tegy¨ uk fel, hogy az A és B line´ aris leképezések egyar´ ant eleget tesznek a defin´ıció követelményeinek, azaz, ha x + v ∈ Df , u ´gy f (x + v) = f (x) + Av + r(v) f (x + v) = f (x) + Bv + q(v) , ahol r és q kis ordó f¨ uggvények. Ekkor a C = A − B jelöléssel a Cv = r(v) − q(v) = o(v) egyenl˝oséghez jutunk, amely ugyancsak kis ordó f¨ uggvény. Teh´ at tetsz˝oleges v 6= 0 vektor mellet kC( n1 v)k ko( n1 v)k kCvk = = →0, kvk k n1 vk k n1 vk ha n → ∞. Ez azt jelenti, hogy Cv = 0, azaz C = A − B = 0. 2 Nyilvánvaló, hogy ha f differenci´ alhat´ o az x pontban, akkor ott folytonos is. (Lásd a 8. gyakorlatot.) Azt is belátjuk, hogy egy lineáris leképezés minden¨ utt differenciálható, és a deriváltja saját maga. ´ ıt´ 8.2.3 All´ as. 0 f (x) = f .

Ha f line´ aris, akkor minden x ∈ X pontban differenci´ alhat´ o, és

Bizony´ıt´ as. Valóban, alkalmazzuk a defin´ıci´ ot az A = f , r = 0 szereposztás mellett. 2 8.2.4 P´ elda. Tekints¨ uk az f : X → R, f (x) = hx, Bxi kvadratikus alakot, ahol B ∈ L(X) szimmetrikus transzformáci´ o. Megmutatjuk, hogy f minden x ∈ X 0 pontban differenciálható, éspedig f (x) = 2Bx. Valóban, bármely v ∈ X vektor mellett f (x + v) − f (x) = hx + v, B(x + v)i − hx, Bxi = hv, Bxi + hx, Bvi + hv, Bvi = hv, 2Bxi + hv, Bvi , ´ ıtásunk igazolás´ hiszen B szimmetrikus. All´ ahoz tehát elég megmutatni, hogy hv, Bvi kis ordó nagyságrend˝ u. Ez azonban egyszer˝ uen láthat´ oa |hv, Bvi| ≤ kBk · kvk2 egyenl˝otlenségb˝ol. Megjegyezz¨ uk, hogy ebben a péld´ aban 2Bx azt az L(X, R) = X ∗ térbeli lineáris f¨ uggvényt jelenti, amelynek mátrixa az a sorvektor, amelynek elemei éppen a 2Bx koordinátái. Nevezetesen 2Bx(v) = hv, 2Bxi

´ ´ AG ´ 8.2. DIFFERENCIALHAT OS

219

bármely v ∈ X esetén. Az alábbiakban összefoglaljuk a derivált legfontosabb tulajdonságait. A következ˝o áll´ıtás egyszer˝ uen adódik a defin´ıci´ ob´ ol. ´ ıt´ 8.2.5 All´ as. Tegy¨ uk fel, hogy az f és g f¨ uggvények egyar´ ant differenci´ alhat´ ok az x ∈ X pontban, és legyen λ ∈ R tetsz˝ oleges. Akkor f + g, illetve λf is differenci´ alhat´ ok az x pontban, és (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) (λf )0 (x) = λf 0 (x)

Az alábbi tétel az összetett f¨ uggvény derivál´ asi szabály´ at által´ anos´ıtja euklideszi terekre. Vegy¨ uk észre azonban, hogy e tétel bizony´ıt´ asa szinte szó szerint megegyezik az anal´ızisben tanulttal. Legyenek tehát X, Y és Z euklideszi terek, és tekints¨ uk az f : X → Y , valamint a g : Y → Z f¨ uggvényeket. Tegy¨ uk fel, hogy x bels˝o pontja az f értelmezési tartományának, és f (x) is bels˝o pontja a g értelmezési tartomány´ anak. 8.2.6 T´ etel. Ha f differenci´ alhat´ o az x pontban, tov´ abb´ a g differenci´ alhat´ o az f (x) pontban, akkor g ◦ f is differenci´ alhat´ o az x pontban, éspedig (g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x) .

Bizony´ıt´ as. A feltételeink azt jelentik, hogy f (x + v) = f (x) + f 0 (x)v + r(v) , illetve g(f (x) + u) = g(f (x)) + g 0 (f (x))u + q(u) , ahol r és q egyaránt kis ordó nagyságrend˝ uek. Ha most v ∈ X tetsz˝oleges, akkor az u = f (x + v) − f (x) jelöléssel g(f (x + v)) − g(f (x)) = g 0 (f (x))u + q(u) = g 0 (f (x))(f (x + v) − f (x)) + q(u) = g 0 (f (x))(f 0 (x)v + r(v)) + q(u) = g 0 (f (x))f 0 (x)v + g 0 (f (x))r(v) + q(u) . Azt kell igazolni, hogy g 0 (f (x))r(v) + q(u) kis ordó nagyságrend˝ u v szerint. Ezt tagonként mutatjuk meg. Az els˝o tagra ez a megállap´ıt´ as nyilv´ anval´ o, hiszen kg 0 (f (x))r(v)k kr(v)k ≤ kg 0 (f (x))k lim =0. v→0 v→0 kvk kvk lim

A második tag kis ordó nagyságrend˝ u u szerint. Ez azonban v szerint is igaz, ugyanis kq(u)k = kvk

(

0, kq(u)k kf (x+v)−f (x)k kuk kvk

,

ha f (x + v) − f (x) = 0 ha f (x + v) − f (x) 6= 0

.


220

Mivel az f folytonossága miatt v → 0 esetén u → 0 is fennáll, azért kq(u)k =0, v→0 kvk lim

hiszen az kf (x + v) − f (x)k kf 0 (x)v + r(v)k kr(v)k = ≤ kf 0 (x)k + kvk kvk kvk tört korlátos. 2 0 Ha eset¨ unkben dim X = p, dim Y = q és dim Z = r, akkor g (f (x)) r × q, illetve f 0 (x) q × p méret˝ u mátrixok, és ennek megfelel˝oen a (g ◦ f )0 (x) szorzatmátrix r × p méret˝ u. 8.2.7 T´ etel. Legyen f : X → R differenci´ alhat´ o az x pontban, és tegy¨ uk fel, hogy az x pontban az f f¨ uggvénynek lok´ alis széls˝ oértéke van. Akkor f 0 (x) = 0. Bizony´ıt´ as. A feltétel¨ unk mellett tetsz˝oleges v ∈ X esetén a g : R → R, g(t) = f (x + tv) f¨ uggvénynek a 0 pontban lokális széls˝ oértéke van. Másrészt a 8.2.6 Tétel szerint g differenciálható a 0 pontban, és 0 = g 0 (0) = f 0 (x)v . Ez éppen azt jelenti, hogy f 0 (x) = 0. 2 A f¨ uggvény értelmezési tartomány´ anak azon pontjait, ahol a f¨ uggvény differenciálható, és a derivált zérus, kritikus pontoknak nevezz¨ uk. 8.2.8 P´ elda. Legyen B ∈ L(X) szimmetrikus transzformáci´ o, és tekints¨ uk a Q(x) = hx, Bxi kvadratikus alakot. Keress¨ uk meg a Q széls˝ oértékeit. A 8.2.4 Példa szerint Q differenciálható, és Q0 (x) = 2Bx. A 8.2.7 Tétel alapján a kritikus pontok a Q0 (x) = 2Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai, azaz a ker B altér elemei. Világos, hogy ezek a kritikus pontok minimumhelyek, ha B pozit´ıv szemidefinit, maximumhelyek, ha B negat´ıv szemidefinit, illetve egyik¨ uk sem széls˝ oértékhely, ha B indefinit.

8.3

Parci´ alis deriv´ altak

Természetes kérdés a derivált fogalmának bevezetése után, hogy vajon hogyan határozható meg a derivált mátrixa. Ezt a kérdést vizsgáljuk meg ebben a szakaszban. Legyenek tehát a továbbiakban X és Y olyan euklideszi terek, amelyekre dim X = p, és dim Y = q. Tekints¨ unk egy olyan f : X → Y f¨ uggvényt, amely

´ ´ 8.3. PARCIALIS DERIVALTAK

221

differenciálható az x ∈ X pontban. Ekkor a a mátrixa q × p méret˝ u. Mivel  f1   f2 f =  ..  .

defin´ıci´ o szerint f 0 (x) ∈ L(X, Y ), azaz     ,  

fq ahol az fi f¨ uggvények az f koordinátaf¨ uggvényei, azért az f 0 (x) mátrix sorait az egyes koordinátaf¨ uggvények deriváltjai alkotj´ ak, azaz   

f 0 (x) =   

f10 (x) f20 (x) .. .

    .  

fq0 (x) Elegend˝o tehát megvizsgálni, hogy hogyan áll´ıthat´ o el˝o egyetlen koordin´ ataf¨ uggvény deriváltjának a mátrixa. Ezért feltehet˝o, hogy Y = R. Megjegyezz¨ uk, hogy az f differenci´ alhat´ os´ ag´ ab´ ol következik a koordinátaf¨ uggvények differenciálhatósága, és ford´ıtva, ha az f minden koordinátaf¨ uggvénye differenciálható, akkor f is differenciálhat´ o (lásd a 9. gyakorlatot). Tekints¨ unk tehát egy f : X → R f¨ uggvényt, és jelölje e1 , . . . , ep az X rögz´ıtett ortonormált bázisát. 8.3.1 Defin´ıci´ o. Legyen x ∈ X az f értelmezési tartom´ any´ anak bels˝ o pontja. Azt mondjuk, hogy f parci´ alisan differenci´ alhat´ o az i-ik v´ altoz´ o szerint az x pontban, ha létezik a 1 lim (f (x + tei ) − f (x)) = Di f (x) t→0 t hat´ arérték, és ez véges. A Di f (x) hat´ arértéket az f parci´ alis deriv´ altj´ anak nevezz¨ uk az x pontban. Ha bevezetj¨ uk a g(t) = f (x+tei ) f¨ uggvényt a számegyenesen, akkor az f parci´ alis differenciálhatósága az i-ik változ´ o szerint az x pontban azt jelenti, hogy g differenciálható a 0 pontban, és g 0 (0) = Di f (x). Ennek az a szemléletes tartalma, hogy az f f¨ uggvényt csak az i-ik változ´ oj´ aban vizsgáljuk, a többi változ´ ot rögz´ıtett konstansnak tekintj¨ uk az x pontban. 8.3.2 P´ elda. A defin´ıció figyelmes átolvas´ as´ aval láthatjuk, hogy el˝osz¨ or a behelyettes´ıtést végezz¨ uk el, csak utána a formális derivál´ ast. Tekints¨ uk péld´ aul az 2 f : R → R, q

f (x, y) = ex−y+2 3 + x2 + y 2 (2x − 3y − 6)5 sin2 (π + x) cos2 (π + y) f¨ uggvényt, és határozzuk meg az y szerinti parciális deriváltj´ at az origóban. Minden számolás nélk¨ ul azonnal láthat´ o, hogy D2 f (0, 0) = 0, ugyanis az x = 0 tengely mentén az f f¨ uggvény azonosan nulla. ´ ıt´ 8.3.3 All´ as. Ha f differenci´ alhat´ o az x pontban, akkor f minden v´ altoz´ oja szerint parci´ alisan differenci´ alhat´ o az x pontban, éspedig Di f (x) = f 0 (x)ei .


222

Bizony´ıt´ as. Valóban, a differenciálhat´ os´ ag miatt 1 1 r(tei ) (f (x + tei ) − f (x)) = (f 0 (x)(tei ) + r(tei )) = f 0 (x)ei + , t t t amib˝ol t → 0 mellett azonnal adódik az áll´ıt´ as.

2

8.3.4 P´ elda. Megjegyzend˝o, hogy a fenti áll´ıt´ as nem ford´ıthat´ o meg. Nevezetesen nem nehéz példát mutatni olyan f¨ uggvényre, amely valamely pontban parciálisan differenciálható az összes változója szerint, de a f¨ uggvény még csak nem is folytonos abban a pontban. Tekints¨ uk péld´ aul a s´ıkon az (

f (x, y) =

2xy x2 +y 2

,

0,

ha x2 + y 2 6= 0 k¨ ul¨ onben

f¨ uggvényt. Könnyen látható, hogy D1 f (0, 0) = D2 f (0, 0) = 0, azonban f nem folytonos az origóban. Valóban, f a koordinátatengelyek mentén zérus, m´ıg a 45◦ -os egyenes mentén 1, ´ıgy f az origó bármely környezetében egyar´ ant felveszi a 0 és az 1 értékeket is. A parciális deriváltak ismerete már lehet˝ové teszi a derivált mátrix´ anak felép´ıtését. Amint láthatjuk, ha f : X → R az x pontban differenciálhat´ o f¨ uggvény, akkor f 0 (x) olyan 1 × p méret˝ u mátrix, amelynek i-ik eleme éppen Di f (x). Ezen észrevétel alapján a keresett mátrix már könnyen megadható. 8.3.5 K¨ ovetkezm´ eny. Tegy¨ uk fel, hogy az f : X → Y f¨ uggvény differenci´ alhat´ o az x pontban. Akkor az eddigi jel¨ oléseinket megtartva    f (x) =    0

D1 f1 (x) D2 f1 (x) . . . Dp f1 (x) D1 f2 (x) D2 f2 (x) . . . Dp f2 (x) .. .. . . D1 fq (x) D2 fq (x) . . . Dp fq (x)

     

Megjegyezz¨ uk, hogy a derivált fentebb megadott mátrix´ at néha az f Jacobimátrixának nevezik az x pontban. Amikor f val´ os számérték˝ u f¨ uggvény, tehát a Jacobi-mátrixa csak egyetlen sort tartalmaz, akkor a Jacobi-mátrix helyett elterjedt a gradiens vektor elnevezés is. Mi azonban a tov´ abbiakban is kizár´ olag a derivált elnevezést használjuk. 8.3.6 P´ elda. Tekints¨ uk péld´ aul azt az f : R2 → R2 f¨ uggvényt, amely a s´ık pontjainak poláris koordinátáit deréksz¨ og˝ u koordinát´ akra váltja, azaz "

f (r, θ) =

r cos θ r sin θ

#

,

és legyen g : R2 → R3 a következ˝ o: 



x2 − xy   2 g(x, y) =  y − xy  . 2xy

´ ´ AG ´ 8.4. FOLYTONOS DIFFERENCIALHAT OS

223

Határozzuk meg a (g ◦ f )0 (1, π/3) mátrixot. A 8.3 Következmény szerint "

f 0 (r, θ) = továbbá

cos θ −r sin θ sin θ r cos θ



#

, 

2x − y −x   0 2y − x  . g (x, y) =  −y 2y 2x

Igy a 8.2.6 Tétel alapján  

(g ◦ f )0 (1, π/3) =   

= 

 √ " # √ 1 −√ 3/2 √ −1/2 1/2 − 3/2  − √3/2 3 − 1/2  · √ 3/2 1/2 3 1  √ √ 1/2 − √3/2 1/2 − √3/2  3/2 − √ 3/2 1/2 + 3/2  , 3 1

amely természetesen 3 × 2 méret˝ u. 8.3.7 P´ elda. Az összetett f¨ uggvény derivál´ asi szabály´ anak gyakorta használt p p speciális esete az, amikor f : R → R és g : R → R differenciálhat´ o f¨ uggvények. Ekkor p (g ◦ f )0 (t) =

X

Di g(f (t))fi0 (t) ,

i=1

ahol t ∈ R, és az fi f¨ uggvények az f koordinátaf¨ uggvényei. 8.3.8 P´ elda. A 8.2.7 Tétel szerint a széls˝ oértéknek nyilv´ an sz¨ ukséges feltétele a 2 parciális deriváltak elt˝ unése. Keress¨ uk meg péld´ aul az f : R → R, f (x, y) = 5x2 + xy 2 − y 4 formulával definiált f¨ uggvény széls˝ oértékeit. A kritikus pontokat a D1 f (x, y) = 10x + y 2 = 0 D2 f (x, y) = 2xy − 4y 3 = 0 egyenletrendszer megoldásával nyerj¨ uk. Ennek egyetlen megoldása az origó, amely azonban nyilván nem lokális széls˝ oérték, hiszen az f f¨ uggvény az origó bármely környezetében egyaránt felvesz pozit´ıv és negat´ıv értékeket is. Ezért az f f¨ uggvénynek nincs széls˝oértéke.

8.4

Folytonos differenci´ alhat´ os´ ag

Az el˝oz˝o szakaszban már láttunk péld´ at arra, hogy a parciális deriváltak létezése nem feltétlen¨ ul jelenti a f¨ uggvény differenciálhat´ os´ ag´ at. Most azt fogjuk megvizsgálni, hogy milyen pótlólagos feltételek mellett igazolható a differenciálhat´ os´ ag.


224

Mindenekel˝ott megjegyezz¨ uk, hogy ha f : X → R differenci´ alhat´ o valamely x pontban, akkor f 0 (x) a defin´ıció szerint az X ∗ du´ alis tér egy eleme. Azonban X ∗ és X természetes módon izomorfak, ezt az izomorfizmust az X b´ azisa, illetve az X ∗ duális bázisa közötti bijekció adja meg. Ezért az f 0 : X → X ∗ leképezés u ´gy is tekinthet˝o, mint egy f 0 : X → X leképezés. Form´ alisan nézve itt arról van szó, hogy az f 0 (x) sorvektorokat oszlopvektorok gyan´ ant kezelj¨ uk. 8.4.1 Defin´ıci´ o. Legyen M az X euklideszi tér valamely ny´ılt részhalmaza, és tegy¨ uk fel, hogy az f : X → R f¨ uggvény differenci´ alhat´ o az M halmaz minden pontj´ aban. Azt mondjuk, hogy f folytonosan differenci´ alhat´ o az x ∈ M pontban, ha f 0 : X → X folytonos az x pontban. 8.4.2 T´ etel. Az f f¨ uggvény akkor és csak akkor folytonosan differenci´ alhat´ o az x ∈ M pontban, ha itt a parci´ alis deriv´ altjai léteznek és folytonosak. Bizony´ıt´ as. El˝oször a sz¨ ukségességet igazoljuk. Tekints¨ uk az x ∈ M pontot, és legyen ² > 0. Ekkor az f 0 folytonossága miatt létezik olyan δ > 0, hogy x, y ∈ M , ´ ıt´ kx − yk < δ esetén kf 0 (x) − f 0 (y)k < ². Ekkor a 8.3.3 All´ as folytán a parciális deriváltak léteznek, és |Di f (x) − Di f (y)| = k(f 0 (x) − f 0 (y))ei k ≤ kf 0 (x) − f 0 (y)k < ² bármely i = 1, . . . , p mellett. Ez éppen a parciális deriváltak folytonosság´ at jelenti. Térj¨ unk rá az elegend˝oség bizony´ıt´ as´ ara. Legyen adott x ∈ M és ² > 0. Ekkor a parciális deriváltak folytonossága alapján van olyan δ > 0, hogy minden x, y ∈ M , kx − yk < δ esetén |Di f (x) − Di f (y)| < ²/p bármely i = 1, . . . , p mellett. (Ez nyilv´ an megtehet˝o u ´gy, hogy minden i esetén választunk egy ilyen δ számot, majd az ´ıgy kapott p darab δ k¨ oz¨ ul kiválasztjuk a legkisebbet.) Válasszunk ezután egy olyan v ∈ X vektort, amelyre kvk < δ. Ha v koordinát´ ai rendre a v1 , . . . , vp valós számok, u ´gy vezess¨ uk be a 



v1  .   .. 

   vi =     

vi 0 .. .

    ,    

0 és v 0 = 0 jelöléseket (i = 1, . . . , p). Ekkor a Lagrange-féle középérték-tétel szerint vannak olyan 0 < ti < 1 számok, hogy f (x + v) − f (x) = =

p ³ X i=1 p X i=1

´

f (x + v i ) − f (x + v i−1 ) =

Di f (x + v i−1 + ti vi ei )vi =

´ ˝ DERIVALTAK ´ 8.5. MASODREND U p X

Di f (x)vi +

i=1

p ³ X

225 ´

Di f (x + v i−1 + ti vi ei ) − Di f (x) vi .

i=1

Itt a második szumma kis ordó nagyságrend˝ u v → 0 esetén, hiszen ¯ p

¯

´ ¯ X ² |v | 1 ¯¯X ³ i ¯ Di f (x + v i−1 + ti vi ei ) − Di f (x) vi ¯ ≤ <². ¯ ¯ kvk ¯ i=1 p kvk i=1 p

Ez éppen azt jelenti, hogy f differenciálhat´ o az x ∈ X pontban. Mivel f 0 (x) = [D1 f (x), . . . , Dp f (x)], azért az összetett f¨ uggvény folytonossága szerint f 0 folytonos is az x pontban. 2

8.5

M´ asodrend˝ u deriv´ altak

Már láttuk, hogy az egyváltoz´ os esethez hasonlóan a derivált zérus volta a széls˝oértéknek csak sz¨ ukséges feltétele. Ebben a szakaszban bevezetj¨ uk a második derivált fogalmát, amelyre sz¨ ukség¨ unk lesz az elégséges feltételek megfogalmazás´ ahoz. Tekints¨ unk egy X euklideszi teret és egy f : X → R differenci´ alhat´ o f¨ uggvényt. Amint azt már eml´ıtett¨ uk, ilyenkor a derivált f¨ uggvény olyan f 0 : X → X f¨ uggvénynek is tekinthet˝o, amelynek koordinátaf¨ uggvényei a Di f parciális deriváltak. 8.5.1 Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy f kétszer differenci´ alhat´ o az x ∈ X pontban, ha f 0 : X → X differenci´ alhat´ o az x pontban. Világos, hogy ha f kétszer differenciálhat´ o az x pontban, akkor f 00 (x) ∈ L(X) az X euklideszi tér egy lineáris transzformáci´ oja. Ez azt jelenti, hogy a mátrixa egy p × p méret˝ u négyzetes mátrix. Mivel 



D1 f  ..  0 f = .  , Dp f azért f 00 (x) mátrixa fel´ırható a parciális deriváltf¨ uggvények parciális deriváltjaival, azaz a másodrend˝ u parciális deriváltak seg´ıtségével. 8.5.2 K¨ ovetkezm´ eny. Ha f : X → R kétszer differenci´ alhat´ o az x pontban, akkor itt léteznek a m´ asodrend˝ u parci´ alis deriv´ altjai, és    f (x) =    00

D11 f (x) D12 f (x) . . . D1p f (x) D21 f (x) D22 f (x) . . . D2p f (x) .. .. . . Dp1 f (x) Dp2 f (x) . . . Dpp f (x)

    .  

ahol Dij f (x) = Dj (Di f )(x). ´ Erdemes megjegyezni, hogy a fenti mátrixot az irodalomban néha az f f¨ uggvény Hesse-mátrixának nevezik az x pontban. Mi azonban tov´ abbra is a második derivált elnevezést használjuk.


226

8.5.3 P´ elda. Legyen f : X → R kétszer differenciálhat´ o az x ∈ X pont egy környezetében, és legyen v ∈ X adott. Tekints¨ uk a g(t) = f (x + tv) f¨ uggvényt a számegyenesen. Ekkor az összetett f¨ uggvény derivál´ asi szabálya alapján g is kétszer differenciálható a 0 pont egy környezetében, és itt g 00 (t) = hv, f 00 (x + tv)vi , ahol t ∈ R. 8.5.4 P´ elda. Legyen például f : R3 → R az f (x, y, z) = 2x2 y + xyz − y 2 z 2 formulával értelmezett f¨ uggvény. A 8.5 Következmény szerint a második deriváltat az   4y 4x + z y   −2z 2 x − 4yz  f 00 (x, y, z) =  4x + z 2 y x − 4yz −2y mátrix adja meg. A fenti példában az f 00 (x) mátrix szimmetrikus. Megmutatjuk, hogy ez által´ aban is érvényes. 8.5.5 T´ etel. (Young t´ etele) Tegy¨ uk fel, hogy f : X → R kétszer folytonosan differenci´ alhat´ o az x ∈ M pontban. Akkor f 00 (x) szimmetrikus m´ atrix. Bizony´ıt´ as. Nyilván elég a bizony´ıt´ ast kétv´ altoz´ os f¨ uggvényekre elvégezni. 2 Tegy¨ uk fel, hogy f : R → R kétszer folytonosan differenciálhat´ o az (x, y) pontban. Legyen v ∈ R rögz´ıtett, és tekints¨ uk az F (t) = f (t, y + v) − f (t, y) ,

G(t) = f (x + v, t) − f (x, t)

f¨ uggvényeket. A feltevés¨ unk szerint ezek differenciálhat´ ok az x, illetve az y pont egy környezetében, és F (x + v) − F (x) = G(y + v) − G(y) . (8.5) A Lagrange-féle középértéktétel szerint találhat´ o olyan 0 < t < 1 szám, amelyre F (x + v) − F (x) = F 0 (x + tv)v , azaz az F defin´ıciójára tekintettel F (x + v) − F (x) = (D1 f (x + tv, y + v) − D1 f (x + tv, y)) v = (D12 f (x + tv, y)v + o(v)) v . Innen a második derivált folytonossága alapján lim

v→0

F (x + v) − F (x) = D12 f (x, y) . v2

Teljesen hasonló gondolatmenettel az adódik, hogy G(y + v) − G(y) = D21 f (x, y) . v→0 v2 lim

´ ˝ DERIVALTAK ´ 8.5. MASODREND U

227

Ezért a (8.5) egyenl˝oségb˝ol azonnal következik, hogy D12 f (x, y) = D21 f (x, y) , azaz a második derivált szimmetrikus mátrix. 2 A következ˝o tétel¨ unk lényegében a Taylor-formula kiterjesztése többv´ altoz´ os f¨ uggvényekre. 8.5.6 T´ etel. Tegy¨ uk fel, hogy f kétszer folytonosan differenci´ alhat´ o az x ∈ X pont egy k¨ ornyezetében. Akkor 1 f (x + v) = f (x) + f 0 (x)v + hv, f 00 (x)vi + o(kvk2 ) , 2 ahol

o(kvk2 ) =0. v→0 kvk2 lim

Bizony´ıt´ as. Legyen adott ² > 0. A második derivált folytonossága miatt az x pontnak van olyan környezete, amelyben kf 00 (x + v) − f 00 (x)k < ² . Vezess¨ uk be a számegyenesen a g(t) = f (x + tv) f¨ uggvényt. Mivel ekkor g egy els˝ofok´ u f¨ uggvény és az f kompoz´ıci´ ojaként áll el˝o, az összetett f¨ uggvény differenciálhat´ os´ aga alapján világos, hogy g kétszer folytonosan differenciálható a 0 egy környezetében, és g 0 (0) = f 0 (x)v

g 00 (0) = hv, f 00 (x)vi .

Alkalmazzuk a g f¨ uggvényre a Taylor-formul´ at, akkor találhat´ o olyan t ∈ [0, 1] pont, amelyre 1 g(1) = g(0) + g 0 (0) + g 00 (t) . 2 Mivel g 00 (t) = hv, f 00 (x + tv)vi, innen azt kapjuk, hogy 1 1 f (x + v) = f (x) + f 0 (x)v + hv, f 00 (x)vi + hv, (f 00 (x + tv) − f 00 (x))vi . 2 2 Itt az r(v) = 1/2hv, (f 00 (x + tv) − f 00 (x))vi jelöléssel világos, hogy 1 |r(v)| ≤ kf 00 (x + tv) − f 00 (x)kkvk2 < ²kvk2 2 Ez éppen azt jelenti, hogy r(v) = o(kvk2 ), amit igazolnunk kellett.

2


228

8.6

A sz´ els˝ o´ ert´ ek m´ asodrend˝ u felt´ etelei

Egyváltozós f¨ uggvények esetében a derivált valamely zérushelye biztosan széls˝ oértékhely, ha ott a második derivált nem nulla, s˝ot az el˝ojel azt is eldönti, hogy maximumról, vagy minimumról van szó. Ebben a szakaszban látni fogjuk, hogy többváltozós f¨ uggvényekre analóg feltételek érvényesek, csupán a második derivált el˝ojele helyett a megfelel˝o szimmetrikus mátrix definitségével van dolgunk. Tekints¨ unk tehát egy X euklideszi teret, valamint egy f : X → R kétszer folytonosan differenciálható f¨ uggvényt. Els˝o tétel¨ unk a széls˝ oérték sz¨ ukséges feltételét fogalmazza meg. 8.6.1 T´ etel. m´ atrix.

Ha x az f lok´ alis minimumhelye, akkor f 00 (x) pozit´ıv szemidefinit

Bizony´ıt´ as. Legyen v ∈ X tetsz˝oleges vektor, és tekints¨ uk a g(t) = f (x + tv) egyváltozós f¨ uggvényt. A feltétel¨ unk szerint a 0 pont a g lokális minimumhelye. Másrészt a 8.2.6 Tétel szerint g kétszer differenciálhat´ o, ezért 0 ≤ g 00 (0) = hv, f 00 (x)vi , és éppen ezt kellett igazolnunk. 2 Természetesen analóg tétel érvényes maximum esetére is, akkor a második derivált negt´ıv szemidefinit. Ezután rátér¨ unk az elégséges feltétel bizony´ıt´ as´ ara. 8.6.2 T´ etel. Tegy¨ uk fel, hogy f : X → R olyan kétszer folytonosan differenci´ alhat´ o 0 00 f¨ ugvény, amelyre f (x) = 0, valamint f (x) pozit´ıv definit. Akkor x az f lok´ alis minimumhelye. Bizony´ıt´ as. A Taylor-formula alapján (lásd a 8.5.6 Tételt) az x valamely környezetében 1 (8.6) f (x + v) − f (x) = hv, f 00 (x)vi + o(kvk2 ) 2 Jelölje λ az f 00 (x) mátrix legkisebb sajátértékét, akkor a feltétel¨ unk szerint λ pozit´ıv, és a 8.1 Következmény alapján hv, f 00 (x)vi ≥ λkvk2 minden v ∈ X vektor mellett. Legyen δ > 0 olyan, hogy bármely kvk < δ esetén ¯ ¯ ¯ o(kvk2 ) ¯ λ ¯ ¯ ¯ ¯< . ¯ kvk2 ¯ 3

Ezeket a (8.6) egyenl˝oségbe visszahelyettes´ıtve azt kapjuk, hogy f (x + v) − f (x) ≥

λ kvk2 > 0 , 6

hacsak kvk < δ, v 6= 0. Ez éppen azt jelenti, hogy x az f lok´ alis (szigor´ u) minimumhelye. 2 Magától értet˝od˝oen az f 00 (x) negat´ıv definitsége lokális maximumot jelent. 8.6.3 P´ elda. Felvet˝odhet a kérdés, hogy miért nem használtuk a 8.6.1 Tétel bizony´ıtásának módszerét a 8.6.2 Tételre is. Abból ugyanis az adódna, hogy bármely

´ O ˝ ERT ´ EK ´ MASODREND ´ ˝ FELTETELEI ´ 8.6. A SZELS U

229

v ∈ X mellett a g(t) = f (x + tv) f¨ uggvénynek a 0 pontban lokális minimumhelye van. Ebb˝ol azonban nem következik, hogy az f f¨ uggvénynek az x pontban lokális mimimumhelye lenne, amint azt az alábbi példa is mutatja. Tekints¨ uk a s´ıkon az f (x, y) = (y − x2 )(y − 2x2 ) f¨ uggvényt. Könnyen ellen˝or´ızhet˝ o, hogy az origó kritikus pont. Másrészt e f¨ uggvény az y = x2 , és y = 2x2 parabolák köz¨ ott negat´ıv értékeket, azokon k´ıv¨ ul pedig pozit´ıv értékeket vesz fel. Ezért bármely, az origón átmen˝ o egyenesre lesz˝ uk´ıtve a 0 pontban az f f¨ uggvénynek lokális minimuma van, de az origó az f f¨ uggvénynek nem lokális minimumhelye, hiszen f az origó bármely környezetében egyar´ ant felvesz pozit´ıv és negat´ıv értékeket is. Mellesleg " 00

f (0, 0) =

0 0 0 2

#

nyilvánvalóan pozit´ıv szemidefinit. 8.6.4 P´ elda. Vizsgáljuk most meg a háromv´ altoz´ os f (x, y, z) = xy 2 z 3 (7 − x − 2y − 3z) f¨ uggvényt. Ekkor a kritikus pontokra a D1 f (x, y, z) = y 2 z 3 (7 − 2x − 2y − 3z) = 0 D2 f (x, y, z) = 2xyz 3 (7 − x − 3y − 3z) = 0 D3 f (x, y, z) = 3xy 2 z 2 (7 − x − 2y − 4z) = 0 egyenletrendszer adódik, amelynek egyik megoldása az a második derivált  −2 −2 −3  00 f (1, 1, 1) =  −2 −6 −6 −3 −6 −12

(1, 1, 1) pont. Ezen a helyen   .

Az A − λI mátrix elemi bázistranszform´ aci´ oj´ anak elvégzése után az utolsó sorban a λ3 + 20λ2 + 59λ + 42 polinomhoz jutunk. Ennek természetesen csak val´ os gyökei vannak, amelyek sz¨ ukségképpen mind negat´ıvok, hiszen a polinomnak minden egy¨ utthat´ oja pozit´ıv. Ez azt jelenti, hogy a második derivált negat´ıv definit, azaz az (1, 1, 1) pontban az f f¨ uggvénynek lokális maximuma van. 8.6.5 P´ elda. Kétváltozós f¨ uggvények esetében a második derivált definitsége egyszer˝ uen ellen˝or´ızhet˝o. Tekints¨ uk ugyanis az "

f 00 (x, y) =

D11 f (x, y) D12 f (x, y) D21 f (x, y) D22 f (x, y)

#

mátrixot az (x, y) kritikus pontban, és vezess¨ uk be a D(x, y) = D11 f (x, y)D22 f (x, y) − (D12 f (x, y))2 kifejezést. Ekkor a következ˝o esetek lehetségesek.


230

• D(x, y) < 0 esetén a karakterisztikus polinom gyökei ellenkez˝ o el˝ojel˝ uek, ´ıgy a második derivált indefinit. Ilyenkor az (x, y) pontban nincs széls˝ oérték. • D(x, y) > 0 esetén a karakterisztikus polinom gyökei azonos el˝ojel˝ uek, ´ıgy a második derivált definit mátrix. Méghozz´ a pozit´ıv definit, ha D11 f (x, y) > 0 (azaz (x, y) lokális minimumhely), illetve negat´ıv definit, ha D11 f (x, y) < 0 (azaz (x, y) lokális maximumhely). • D(x, y) = 0 esetén minden lehetséges. Az f (x, y) = x3 + y 3 esetében az origó nem széls˝oértékhely, m´ıg az f (x, y) = x4 + y 4 , illetve ennek negat´ıvj´ anak esetében az origó minimumhely, illetve maximumhely. Könnyen ellen˝or´ızhet˝ o azonban, hogy mindhárom esetben D(0, 0) = 0. 8.6.6 P´ elda. Tegy¨ uk fel, hogy valamely k´ısérlet kimenetelére p sz´ am´ u megfigyelést végezt¨ unk, és az x1 , . . . , xp k¨ ulönb¨ oz˝ o helyeken az y1 , . . . , yp értékek adódtak. Az az elképzelés¨ unk, hogy ezekre a tapasztalati adatokra lineáris modell illeszthet˝o, azaz egy olyan y = mx + b egyenlet˝ u egyenest keres¨ unk, amelyre mx1 + b = y1

...

mxp + b = yp

Természetesen az adatok nem követik a mi hipotézis¨ unket, ezért által´ aban ilyen egyenes nem létezik. Ha ezt “mérési hibának” tudjuk be, és megelégsz¨ unk egy jó közel´ıtéssel, akkor egy olyan egyenest keres¨ unk, amely az adatainkat “jól” közel´ıti. Jó közel´ıtésen azt értj¨ uk, hogy az f (m, b) =

p X

(mxi + b − yi )2

i=1

négyzetösszeg minimális. Ezt a közel´ıt˝ o eljár´ ast legkisebb négyzetek módszerének nevezz¨ uk. A minimumhelyre a parciális deriváltakb´ ol a D1 f (m, b) = D2 f (m, b) =

p X i=1 p X

2xi (mxi + b − yi ) = 0 2(mxi + b − yi ) = 0

i=1

egyenletrendszer adódik. Innen a p X

x i yi = m

i=1 p X i=1

yi = m

p X i=1 p X

x2i + b

p X

xi

i=1

xi + bp

(8.7)

i=1

egyenletrendszert kapjuk, amib˝ol az m és b ismeretlenek már könnyen meghatározhatók. Világos, hogy ´ıgy minimumhoz jutunk, hiszen f teljes négyzetek összegeként áll el˝o.

¨ ´ ´ 8.7. AZ IMPLICITFUGGV ENY-T ETEL

231

Ezt a minimumhelyet derivál´ as nélk¨ ul, pusztán algebrai eszköz¨ okkel is megkaphatjuk. Ha bevezetj¨ uk az 





x1 1  ..  A =  . ...  , xp 1



x1  ..  x= .  , xp





y1  ..  y= .  , yp

"

z=

m b

#

jelöléseket, akkor az Rp térben f (z) = kAz − yk2 alakban ´ırható. Ez nyilván pontosan akkor minimális, ha az Az−y vektor ortogonális az im A altérre. Ez azt jelenti, hogy az R2 mindkét ei bázisvektor´ ara hy − Az, Aei i = 0. Innen egyszer˝ u átalak´ıtással az hA∗ y, ei i = hA∗ Az, ei i egyenlet adódik i = 1, 2 mellett, amib˝ol A∗ y = A∗ Az . Itt A∗ A nyilván invertálható, hiszen 2 rang´ u 2 × 2-es mátrix. Következésképpen "

m b

#

= z = (A∗ A)−1 A∗ y .

A kijelölt m˝ uveletek elvégzésével könnyen ellen˝or´ızhet˝ o, hogy ´ıgy is a (8.7) alatti egyenletrendszer megoldásához jutottunk.

8.7

Az implicitf¨ uggv´ eny-t´ etel

Számos feladatban felmer¨ ul˝o probléma, hogy valamely implicit módon megadott f (x, y) = 0 egyenletb˝ol az y változó mikor fejezhet˝o ki mint az x f¨ uggvénye. Másként megfogalmazva, mikor található olyan g adott tulajdonság´ u f¨ uggvény, amelyre a fenti egyenlet azonosság lesz, azaz f (x, g(x)) = 0 teljes¨ ul. Például a mikroökonómiában kézenfekv˝ onek t˝ unik (bár nem nyilv´ anval´ o) az a feltevés, hogy a hasznossági illetve a termelési f¨ uggvény szintvonalai (köz¨ omb¨ osségi görbéi) két termék közötti f¨ uggvénykapcsolatot fejeznek ki. Ezzel a kérdésk¨ orrel foglalkozunk a következ˝o szakaszban. 8.7.1 T´ etel. (Implicitf¨ uggv´ eny-t´ etel) Legyenek X, Y és Z euklideszi terek, dim X = p, dim Y = dim Z = q, legyen (x0 , y0 ) ∈ X × Y adott pont, legyen f : X × Y → Z adott f¨ uggvény, f (x0 , y0 ) = 0, legyen f folytonosan differenci´ alhat´ o az (x0 , y0 ) pont egy k¨ ornyezetében, és tegy¨ uk fel, hogy D2 f (x0 , y0 ) ∈ L(Y ) m×m-méret˝ u invert´ alhat´ o m´ atrix. Akkor létezik az x0 pontnak olyan U , az y0 pontnak olyan V k¨ ornyezete, és létezik pontosan egy olyan g : U → V folytonosan differenci´ alhat´ o f¨ uggvény, amelyre


232

• U × V ⊂ D(f ), D(g) = U , R(g) = V , • g(x0 ) = y0 , • ∀x ∈ U esetén f (x, g(x)) = 0 , • ∀x ∈ U esetén g 0 (x) = −D2 f (x, g(x))−1 D1 f (x, g(x)). ´ Atfogalmaz´ as: Az f −1 (0) ∩ (U × V ) = {(x, y) ∈ X × Y : f (x, y) = 0} ∩ (U × V ) ⊂ X × Y halmaz (rel´ aci´ o) az U halmazon értelmezett differenci´ alhat´ o f¨ uggvény, azaz f −1 (0) ∩ U × V = g : U → Y folytonosan differenci´ alhat´ o f¨ uggvény. 8.7.2 Megjegyz´ es. • A fenti tétel igaz a 0 helyett ∀ z ∈ Z esetén: az f −1 (z) ∩ (U × V ) ⊂ X × Y halmaz (reláció) az U halmazon értelmezett differenciálhat´ o f¨ uggvény. • A tétel nem áll´ıtja, hogy az f −1 (z) az egész X-en f¨ uggvény, csupán azt, hogy az x0 egy környezetében az. • A tételt ilyen általánosan most nem bizony´ıtjuk. A közgazdas´ agtanban azonban sokszor elég a fenti tétel kétdimenzi´ os speciális esete is, amely viszonylag könnyen belátható. 8.7.3 T´ etel. (Implicitf¨ uggv´ eny-t´ etel, speci´ alis eset) Legyenek I, J ⊆ R ny´ılt intervallumok, (x0 , y0 ) ∈ I × J adott pont, legyen f : I × J → R adott f¨ uggvény, amelyre f ((x0 , y0 )) = 0, tegy¨ uk fel, hogy az f : I × J → R f¨ uggvény folytonosan diffhat´ o az (x0 , y0 ) ∈ I × J egy k¨ ornyezetében, és a D2 f ((x0 , y0 )) 6= 0. Akkor létezik az x0 pontnak olyan U = [x0 − δ, x0 + δ] és az y0 pontnak olyan V = [y0 −ε, y0 +ε] k¨ ornyezete, és létezik pontosan egy g : [x0 −δ, x0 +δ] → [y0 −ε, y0 +ε] folytonosan differenci´ alhat´ o f¨ uggvény, hogy • [x0 − δ, x0 + δ] × [y0 − ε, y0 + ε] ⊂ I × J, és R(g) ⊂ [y0 − ε, y0 + ε] , • g(x0 ) = y0 , • ∀x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] esetén f (x, g(x)) = 0 , D1 f (x,g(x)) . • ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) esetén g 0 (x) = − D 2 f (x,g(x))

Bizony´ıt´ as. Nyilván feltehet˝o, hogy D2 f (x0 , y0 ) > 0. Mivel az f folytonosan differenciálható az (x0 , y0 ) ∈ I × J pont egy környezetében, azért ∃ γ, ε > 0 számok, hogy ∀ (x, y) ∈ [x0 − γ, x0 + γ] × [y0 − ε, y0 + ε] esetén D2 f (x, y) > 0, ´ıgy ∀ x ∈ [x0 − γ, x0 + γ] esetén az [y0 − ε, y0 + ε] intervallumon D2 f (x, ·) > 0, ´ıgy az f (x, ·) : [y0 − ε, y0 + ε] → R f¨ uggvény szigor´ uan monoton növeked˝ o. Mivel f (x0 , y0 ) = 0 , azért f (x0 , y0 − ε) < 0 és f (x0 , y0 + ε) > 0. Mivel az f folytonos, azért ∃δ ∈ (0, γ), hogy ∀x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] esetén f (x, y0 − ε) < 0 és f (x, y0 + ε) > 0.


233

Mivel az f (x, ·) : [y0 − ε, y0 + ε] → R f¨ uggvény folytonos, azért a Bolzano-tétel szerint létezik, mivel szigor´ uan monoton, azért pontosan egy yx ∈ [y0 − ε, y0 + ε] létezik, amelyre f (x, yx ) = 0. Legyen g : [x0 − δ, x0 + δ] → [y0 − ε, y0 + ε] az a f¨ uggvény, amelyre ∀x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] esetén g(x) := yx . A g defin´ıciójából következik, hogy ∀x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] esetén f (x, g(x)) = 0, mivel ∀x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] esetén pontosan egy fenti tulajdonság´ u yx tal´ alhat´ o, azért pontosan egy ilyen g f¨ uggvény létezik. Megmutatjuk, hogy a g f¨ uggvény differenciálhat´ o ∀ x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) pontban. Legyen z ∈ (x0 − δ, x0 + δ) tetsz˝oleges pont, ekkor a Lagrange-középértéktétel szerint létezik olyan u az x és a z köz¨ ott, valamint v a g(x) és a g(x) köz¨ ott, melyekre 0 = f (z, g(z)) − f (x, g(x)) = = f (z, g(z)) − f (x, g(z)) + f (x, g(z)) − f (x, g(x)) = = D1 f (u, g(z)) · (z − x) + D2 f (x, v) · (g(z) − g(x)). Így D2 f (x, v) 6= 0 miatt g(z) − g(x) D1 f (u, g(z)) =− . z−x D2 f (x, v) Ha most tudnánk, hogy a fenti egyenl˝ oség jobboldala korl´ atos, akkor abból már adódna, hogy a g f¨ uggvény folytonos. Ez sajnos az eddigiekb˝ol nem következik, de könnyen látható, hogy ha a bizony´ıt´ as elején kör¨ ultekint˝ obben választjuk meg a δ-t és az ε-t, akkor a fenti egyenl˝oség jobboldala korl´ atos lesz. Nevezetesen a D1 f és a D2 f (x0 , y0 )-beli folytonossága és D2 f ((x0 , y0 )) > 0 miatt a δ és ε > 0 számok vállaszthatók olyan kicsire, hogy ∀ (x, y) ∈ [x0 − δ, x0 + δ] × [y0 − ε, y0 + ε] esetén D2 f ((x, y)) ≥

D2 f ((x0 , y0 )) és |D1 f (x, y)| ≤ |D1 f (x0 , y0 )| + 1. 2

Ekkor ∀ (x, y), (u, v) ∈ [x0 − δ, x0 + δ] × [y0 − ε, y0 + ε] esetén ¯ ¯ ¯ D1 f (x, y) ¯ |D1 (x0 , y0 )| + 1 ¯− ¯ ¯ D f (u, v) ¯ ≤ 2 D f (x , y ) =: K, 2

2

0

0

amit éppen akartunk. Ezek szerint ha a δ-t és az ε-t a fentiek szerint választjuk meg, akkor a g f¨ uggvény folytonos. Továbbá mivel az f 0 és a g folytonos f¨ uggvények, azért ∀ α > 0 esetén létezik az x-nek olyan W környezete, hogy ∀ z ∈ W esetén ¯ ¯ ¯ D1 f (x, g(x)) D1 f (u, g(z)) ¯¯ ¯ ¯ D f (x, g(x)) − D f (x, v) ¯ < α, 2

Mivel pedig

g(z)−g(x) z−x

2

1 f (u,g(z)) = − DD , azért 2 f (x,v)

¯ ¯ ¯ g(z) − g(x) D1 f (x, g(x)) ¯¯ ¯ + < α, ¯ z−x D2 f (x, g(x)) ¯

ezért a g f¨ uggvény differenciálhat´ o az x pontban és g 0 (x) =

D1 f (x, g(x)) . D2 f (x, g(x))


234

Innen pedig a g, a D1 f és a D2 f folytonoss´ aga alapján adódik, hogy g 0 is folytonos. Mivel f (x0 , y0 ) = 0 , ´ıgy a g(x0 )-ra vonatkoz´ o egyértelm˝ uségi feltétel miatt g(x0 ) = y0 . Ezzel a tételt bebizony´ıtottuk. 2 8.7.4 P´ elda. Tekints¨ uk a s´ıkon az f (x, y) = ex+y + x + y − 1 = 0 egyenletet. Világos, hogy f (0, 0) = 0, és D2 f (0, 0) = 2, ´ıgy teljes¨ ulnek az implicitf¨ uggvény-tétel feltételei. Tehát találhat´ o egyetlen olyan folytonosan differenciálható y = g(x) f¨ uggvény a 0 pont környezetében, amelyre a fenti egyenlet azonosság. Erre a f¨ uggvényre a tétel¨ unkb˝ol g 0 (x) = −

1 ex+g(x)

+1

(ex+g(x) + 1) = −1

adódik, azaz g(x) = −x, amelyet y helyére ´ırva val´ oban azonossághoz jutunk. 8.7.5 P´ elda. Az y változó kifejezhet˝oségét nem algebrai értelemben kell érten¨ unk, tehát el˝ofordulhat, hogy a g f¨ uggvény létezését igazolni tudjuk, de azt algebrai átalak´ıtásokkal a fenti egyenletb˝ ol nem tudjuk el˝o´ all´ıtani. Tekints¨ uk péld´ aul az ex+y − 2 cos y + 1 = 0 egyenletet. Meg lehet mutatni, hogy ez az egyenlet egy folytonosan differenciálhat´ o f¨ uggvényt definiál, azaz létezik pontosan egy olyan g folytonosan differenciálhat´ o f¨ uggvény, amelyre g(0) = 0, és ex+g(x) − 2 cos g(x) + 1 = 0 minden x esetén, de persze az y v´ altoz´ o a fenti egyenletb˝ ol algebrai átalak´ıt´ asokkal nem fejezhet˝o ki. 8.7.6 P´ elda. (Egy mikroökon´ omiai példa: A helyettes´ıtési határar´ any): A mikroökonómiában a hasznossági f¨ uggvény a jósz´ agtéren értelmezett olyan f¨ uggvény, amely a fogyasztó preferenciáit fejezi ki. Feltéve, hogy két jósz´ agunk van, legyen u : R2+ → R egy hasznossági f¨ uggvény, ekkor egy adott α ∈ R hasznoss´ agi szinthez tartozó közömbösségi görbe az u−1 (α) = {(x1 , x2 ) : u(x1 , x2 ) = α} ⊂ R2+ szinthalmaz. Ez a halmaz (reláci´ o) nem biztos, hogy f¨ uggvény, de ha az u-ra teljes¨ ulnek a fenti tétel feltételei, akkor egy U környezetben az, azaz u−1 (α) = g : U → R f¨ uggvény, ami differenciálható is, és g 0 (x1 ) = −

D1 u(x1 , g (x1 )) D2 u(x1 , g (x1 ))

(a mikroökonómiában a g f¨ uggvényt x2 -vel szokták jelölni, ekkor az el˝obbi D1 u(x1 ,x2 (x1 )) 2 ıtési összef¨ uggés a következ˝o alak´ u: x02 (x1 )(= dx dx1 ) = − D2 u(x1 ,x2 (x1 )) ), azaz helyettes´ határráta megyegyezik a határhasznok hányados´ anak az ellentettjével.


235

Ebb˝ol adódik az is, hogy ha u : R2+ → R f¨ uggvény monoton növeked˝ o, (a deriváltja nemnegat´ıv) akkor a g : U → R f¨ uggvény monoton csökken˝ o. Könnyen látható továbbá, hogy ha az u : R2+ → R f¨ uggvény konk´ av, akkor a g : U → 0 R f¨ uggvény konvex, ´ıgy a g derivált f¨ uggvény n˝o, mivel g 0 negat´ıv, azért abszol´ utértékben csökken, azaz a helyettes´ıtési határar´ any abszol´ utértékben csökken. Ugyanez mondható el a termelési f¨ uggvények esetében: Egy f : R2+ → R termelési f¨ uggvényre feltéve a fenti tétel feltételeit, azt kapjuk, hogy egy környezetben az f −1 (α) halmaz f¨ uggvény, azaz f −1 (α) = D1 f (x1 ,g(x1 )) g : U → R f¨ uggvény, ami differenciálhat´ o is, és g 0 (x1 ) = − D , (a 2 f (x1 ,g(x1 ))

D1 f (x1 ,x2 (x1 )) 2 mikroökonómiában megszokott jelölésekkel: x02 (x1 )(= dx dx1 ) = − D2 f (x1 ,x2 (x1 )) ,) azaz a technikai helyettes´ıtési határráta megyegyezik a határtermékek hányados´ anak az ellentettjével.

8.7.7 P´ elda. (Egy makroökon´ omiai példa: Az IS és az LM görbék): 1. Az IS (investment–saving) görbe: A beruházás a kamatlábtól f¨ ugg: I(i), a megtakar´ıt´ as a kibocsát´ ast´ ol f¨ ugg: S(Y ). Legyen F : R+ × R+ → R az a f¨ uggvény, amelyre ∀ Y, i ∈ R+ esetén F (Y, i) := S(Y ) − I(i), ekkor az S(Y ) = I(i) egyenl˝ oségnek eleget tév˝ o kamatl´ ab–j¨ ovedelem párok halmaza az F −1 (0) = {(Y, i) ∈ R2+ : F (Y, i) = 0} ⊂ R2+ halmaz (reláció), amely, ha az F f¨ uggvényre igazak a fenti tétel feltételei, akkor egy környezetben differenciálható f¨ uggvény: F −1 (0) = i : U → R. Kérdés, hogy milyen az i f¨ uggvényalakja? Mivel a fenti tétel szerint az i0 (Y )(= S 0 (Y ) D1 F (Y,i(Y )) ) = − D2 (Y,i(Y )) = − I 0 (i) , ezért feltéve, hogy S 0 (Y ) > 0 és I 0 (i) < 0, (azaz a megtakar´ıtás a kibocsátás esetén n˝o, a beruház´ as a kamatl´ ab növekedése esetén csökken,) adódik, hogy i0 (Y ) < 0, azaz az i csökken˝ o f¨ uggvény. (Ha a korm´ anyzat a kibocsátást növeli, akkor a kamatl´ ab csökken.) 2. Az LM (liquidity–money) görbe: A pénzkereslet a kibocsátástól és a kamatl´ abt´ ol f¨ ugg: MD (Y, i), a pénzk´ın´ alat állandó: M/P. Legyen F : R+ × R+ → R az a f¨ uggvény, amelyre ∀ Y, i ∈ R+ esetén F (Y, i) := MD (Y, i) − M/P , ekkor az MD (Y, i) = M/P egyenl˝ oségnek eleget tév˝ o kamatláb-jövedelem párok halmaza az di dY

F −1 (0) = {(Y, i) ∈ R2+ : F (Y, i) = 0} ⊂ R2+ halmaz (reláció), amely, ha az F f¨ uggvényre igazak a fenti tétel feltételei, akkor egy környezetben f¨ uggvény: F −1 (0) = Y : U → R, D2 M (Y (i),i) D2 F (Y (i),i) amely differenciálhatóés Y 0 (i)(= dY ert feltéve, di ) = − D1 F (Y (i),i) = − D1 M (Y (i),i) , ez´ hogy D1 M (Y, i) > 0 és D2 M (Y, i) < 0, ( azaz a pénzkereslet a kibocsát´ as növekedése esetén n˝o, a kamat növekedése esetén csökken,) adódik, hogy Y 0 (i) > 0, azaz az Y növekv˝o f¨ uggvény. (Ha a központi bank a kamatl´ abat növeli, akkor a kibocsát´ as n˝o.)


236

8.8

Felt´ eteles sz´ els˝ o´ ert´ ek

Számos széls˝oérték probléma vezet olyan feladathoz, amelyben az f f¨ uggvény széls˝oértékét egy adott K halmazon kell meghatározni. Ilyen esetekben az f 0 (x) = 0 feltétel már nem feltétlen¨ ul sz¨ ukséges feltétele a széls˝ oértéknek, hiszen elképzelhet˝ o, hogy az f f¨ uggvény a széls˝oértékét a K halmaz határ´ an veszi fel. Tekints¨ uk például az f (x, y) = x + y f¨ uggvényt, és keress¨ uk az f minimum´ at az |x| ≤ 1, |y| ≤ 1 feltételek mellett. Ha bevezetj¨ uk a n

o

K = (x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1

halmazt (amely egy origó középpont´ u, két egységnyi oldal´ u négyzet), akkor a feladatunk az f minimumhelyének megkeresése a K halmazon. Könnyen láthat´ o, hogy f a minimumát ezen a halmazon az (x, y) = (−1, −1) pontban veszi fel, de f deriváltja természetesen sehol sem nulla. Az f f¨ uggvénynek persze az egész R2 téren nincs minimuma. Legyenek tehát X és Y valós euklideszi terek, dim X = p, dim Y = q, és tegy¨ uk fel, hogy q ≤ p. Tekints¨ uk az f : X → R és F : X → Y folytonosan differenciálhat´ o f¨ uggvényeket. Legyen a ∈ Y tetsz˝oleges adott pont. Keress¨ uk az f f¨ uggvény lokális minimumhelyét az F (x) = a feltétel mellett, jelölésben f (x) → min

(8.8)

F (x) = a . Ha bevezetj¨ uk a K = {x ∈ X : F (x) = a} = F −1 (a) jelölést, akkor a fenti feladat az f (x) → min x∈K alakban is fel´ırható. 8.8.1 Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az x0 ∈ X pont a (8.8) feladat megold´ asa, ha egyrészt F (x0 ) = a, másrészt az x pontnak van olyan U környezete, hogy f (x0 ) ≤ f (x) bármely x ∈ U ∩ K esetén. 8.8.2 Defin´ıci´ o. A (8.8) feladat Lagrange-f¨ uggvényén az L : X × Y → R, L(x, y) = f (x) + hy, F (x)i f¨ uggvényt értj¨ uk. Nyilvánvaló, hogy a Lagrange-f¨ uggvény mindkét változ´ oja szerint folytonosan differenciálható. Az egyszer˝ ubb jelölésm´ od érdekében a következ˝ okben az L els˝ o, illetve második változó szerinti parciális deriváltj´ an az x, illetve az y szerinti deriváltakat értj¨ uk.

´ ´ O ˝ ERT ´ EK ´ 8.8. FELTETELES SZELS

237

8.8.3 T´ etel. (Lagrange-f´ ele multiplik´ ator-t´ etel) Tegy¨ uk fel, hogy x0 a (8.8) feladat megold´ asa, és im F 0 (x0 ) = Y , azaz az F 0 (x0 ) m´ atrix sorai line´ arisan f¨ uggetlenek. Ekkor tal´ alhat´ o olyan y ∈ Y vektor, hogy D1 L(x0 , y) = f 0 (x0 ) + F 0 (x0 )∗ y = 0 .

(8.9)

Legyenek az Y egy ortonormált bázis´ ara nézve az y ∈ Y vektornak a koordinát´ ai λ1 , ...λq , ekkor a (8.9) egyenletet az 0

f (x0 ) +

q X

λi fi0 (x0 ) = 0

(8.10)

i=1

alakban is fel´ırhatjuk, ahol az fi f¨ uggvények az F koordinátaf¨ uggvényei. Ezek szerint a fenti tétel u ´gy is fogalmazható, hogy az optimális pontban a feltételi f¨ uggvények deriváljainak van olyan lineáris kombin´ aci´ oja amely a célf¨ uggvény deriváltj´ at áll´ıtja el˝o. A λ1 , ...λq egy¨ utthatókat Lagrange-féle multiplik´ atoroknak nevezz¨ uk. A fenti tételben természetesen a D2 L(x0 , y) = a feltétel is teljes¨ ul, hiszen D2 L(x0 , y) = F (x) = a. Ha ezt az egyenletet a (8.10) egyenlethez csatoljuk, akkor az x és y koordinátáiból álló p + q darab ismeretlenre p + q darab egyenlet adódik, azaz 











D1 f (x0 ) D1 fi (x0 ) 0 q   X    .. . .  .. λi   +  =  ..  . i=1 Dp f (x0 ) Dp fi (x0 ) 0 





(8.11)



f1 (x0 ) α1    ..  ..   =  .  . . fq (x0 ) αp A Lagrange-féle multiplikátor-tételt is csak a kétdimenzi´ os speciális esetben bizony´ıtjuk be. Ekkor a tételnek igen szemléletes a tartalma. Legyenek I, J ⊂ R ny´ılt intervallumok, legyenek f0 : I ×J → R és f1 : I ×J → R adott f¨ uggvénynyek, tekints¨ uk a fenti (8.8) feladatnak a következ˝ o speciális esetét: f0 (x, y) → min

(8.12)

f1 (x, y) = α . 8.8.4 T´ etel. (Lagrange-f´ ele multiplik´ ator-t´ etel, speci´ alis eset) Legyen (x0 , y0 ) ∈ I × J a (8.12) feladat megold´ asa, legyen az f0 : I × J → R f¨ uggvény differenci´ alhat´ o az (x0 , y0 ) pontban, legyen az f1 : I × J → R f¨ uggvény olyan, amelyre teljes¨ ulnek az implicitf¨ uggvény-tétel feltételei, azaz folytonosan differenci´ alhat´ o az (x0 , y0 ) pont egy k¨ ornyezetében és a D2 f1 (x0 , y0 ) 6= 0. Akkor ∃ λ ∈ R Lagrange-szorz´ o, hogy D1,2 L((x0 , y0 ), λ) = (0, 0), azaz f00 (x0 , y0 ) + λf10 (x0 , y0 ) = (0, 0), azaz


238

D1 f0 (x0 , y0 ) + λD1 f1 (x0 , y0 ) = 0 és D2 f0 (x0 , y0 ) + λD2 f1 (x0 , y0 ) = 0, tov´ abb´ a λ=−

D2 f0 (x0 , y0 ) , D2 f1 (x0 , y0 )

valamint feltéve, hogy D2 f0 (x0 , y0 ) 6= 0, teljes¨ ul, hogy D1 f0 (x0 , y0 ) D1 f1 (x0 , y0 ) = D2 f0 (x0 , y0 ) D2 f1 (x0 , y0 ) Bizony´ıt´ as. Mivel az f1 f¨ uggvényre, ´ıgy az f1 − α f¨ uggvényre is fennállnak az implicitf¨ uggvény-tétel feltételei, azért ∃ [x0 − δ, x0 + δ] környezet, hogy az f1−1 (α) ⊂ [x0 − δ, x0 + δ] × J halmaz (reláci´ o) f¨ uggvény, azaz ∃! g : [x0 − δ, x0 + δ] → J f¨ uggvény, hogy g(x0 ) = y0 , ∀x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] esetén f1 (x, g(x)) = α, valamint 1 f1 (x0 ,y0 ) g 0 (x0 ) = − D D2 f1 (x0 ,y0 ) . Legyen h : [x0 − δ, x0 + δ] → R az a f¨ uggvény, amelyre ∀ x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] esetén h(x) := f0 (x, g(x)). Mivel az f0 differenciálhat´ o az (x0 , y0 ) pontban és g(x0 ) = y0 , azért a h is differenciálható az x0 pontban, és " 0

h (x0 ) =

f00 (x0 , g(x0 ))

·

1 0 g (x0 )

#

= [D1 f0 (x0 , y0 ), D2 f0 (x0 , y0 )] ·

"

1 g 0 (x0 )

#

= D1 f0 (x0 , y0 ) + D2 f0 (x0 , y0 ) · g 0 (x0 ) D1 f1 (x0 , y0 ) = D1 f0 (x0 , y0 ) − D2 f0 (x0 , y0 ) · D2 f1 (x0 , y0 ) D2 f0 (x0 , y0 ) . = D1 f0 (x0 , y0 ) − D1 f1 (x0 , y0 ) · D2 f1 (x0 , y0 ) Továbbá, mivel egyrészt az (x0 , y0 ) a fenti feladat megoldása, másrészt g(x0 ) = y0 és ∀x ∈ [x0 −δ, x0 +δ] esetén f1 (x, g(x)) = α, azért az x0 a h f¨ uggvény minimumhelye. Ezért h0 (x0 ) = 0, azaz D1 f0 (x0 , y0 ) − D1 f1 (x0 , y0 ) ·

D2 f0 (x0 , y0 ) = 0. D2 f1 (x0 , y0 )

(8.13)

D2 f0 (x0 ,y0 ) választ´ assal egyrészt a λ defin´ıci´ oj´ ab´ ol nyilv´ an Ezek szerint a λ := − D 2 f1 (x0 ,y0 )

D2 f0 (x0 , y0 ) + λD2 f1 (x0 , y0 ) = 0, másrészt a 8.13 szerint D1 f0 (x0 , y0 ) + λD1 f1 (x0 , y0 ) = 0 . Szintén a 8.13 szerint ha D2 f0 (x0 , y0 ) 6= 0, akkor D1 f0 (x0 , y0 ) D1 f1 (x0 , y0 ) = . D2 f0 (x0 , y0 ) D2 f1 (x0 , y0 )

2


239

8.8.5 Megjegyz´ es. A fenti tételben tegy¨ uk fel, hogy nem csak az f1 : I × J → R f¨ uggvényre, hanem az f0 : I × J → R f¨ uggvényre is teljes¨ ulnek az implicitf¨ uggvénytétel feltételei. Ekkor a tétel jelentése igen szemléletes és u ´gy fogalmazható, hogy ha az (x0 , y0 ) a fenti feladat megoldása, akkor a két f¨ uggvény szintvonalai érintik egymást az (x0 , y0 ) pontban. Ugyanis ekkor egyrészt, mint a bizony´ıt´ asban már láttuk, mivel az f1 f¨ uggvényre, ´ıgy az f1 −α f¨ uggvényre is fennállnak az implicitf¨ uggvény-tétel feltételei, azért ∃ [x0 − δ, x0 + δ] környezet, hogy az f −1 (α) ⊂ [x0 − δ, x0 + δ] × J halmaz (reláci´ o) differenciálható f¨ uggvény, azaz ∃! g1 : [x0 − δ, x0 + δ] → J f¨ uggvény, hogy g1 (x0 ) = y0 , D1 f1 (x0 ,y0 ) ∀x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] esetén f1 (x, g1 (x)) = α, valamint g10 (x0 ) = − D . 2 f1 (x0 ,y0 ) Másrészt, ha az f0 f¨ uggvényre is fennállnak az implicitf¨ uggvény-tétel feltételei, akkor ugyan´ıgy ∃ [x0 −δ0 , x0 + δ0 ] környezet, hogy az f −1 (f0 (x0 , x0 )) ⊂ [x0 −δ0 , x0 + δ0 ] × I halmaz (reláció) differenciálhat´ o f¨ uggvény, azaz ∃! g0 : [x0 − δ0 , x0 + δ0 ] → I f¨ uggvény, hogy g0 (x0 ) = y0 , ∀x ∈ [x0 − δ0 , x0 + δ0 ] esetén f0 (x, g(x)) = f0 (x0 , y0 ), 1 f0 (x0 ,y0 ) valamint g00 (x0 ) = − D D2 f0 (x0 ,y0 ) . A tétel szerint D1 f1 (x0 , y0 ) D1 f0 (x0 , y0 ) = , ezért D2 f0 (x0 , y0 ) D2 f1 (x0 , y0 ) g00 (x0 ) = g10 (x0 ) , mivel g0 (x0 ) = y0 = g1 (x0 ), azért ez azt jelenti, hogy a két f¨ uggvény szintvonalai érintik egymást az (x0 , y0 ) pontban. Az itt elmondottak jól illusztrálhat´ ok a következ˝ u péld´ an kereszt¨ ul. 8.8.6 P´ elda. Oldjuk meg a következ˝ o feladatot: x · y → max 2

(8.14)

2

x +y =1. A fenti tétel jelöléseivel f0 (x, y) = x · y és f1 (x, y) = x2 + y 2 . A feladat Lagrangef¨ uggvénye L(x, y) = x · y + λ(x2 + y 2 ) , tov´ abb´ a D1 f0 (x, y) = y és D2 f0 (x, y) = x, továbbá D1 f1 (x, y) = 2x és D2 f1 (x, y) = 2y. Ezért ha (x0 , y0 )megoldása (8.14) -nak, akkor a Lagrange-elv szerint létezik λ ∈ R, hogy D1,2 L((x0 , y0 ), λ) = [y0 , x0 ] + λ · [2x0 , 2y0 ] = (0, 0), azaz [y0 , x0 ] = −λ · [2x0 , 2y0 ]. Az x0 szám nyilván nem lehet 0, mivel ekkor y0 is 0 lenne, ellentmond´ asban az x20 + y02 = 1 feltétellel. Így x0 = (−λ) · 2y0 = (−λ) · 2 · (−λ) · 2x0 = 4λ2 · x0 alapján 4λ2 = 1. Innen λ = ± 21 , tehát x0 = y0 vagy x0 = −y0 . Behelyettes´ıtve az egyenl˝oség-feltételbe, mindenképpen azt kapjuk, hogy 2x20 = 1, azaz a megoldások csak r ¶ µ r r ¶ µr r ¶ µ r r ¶ µr m m m m m m m m , , − ,− , ,− , − , 2 2 2 2 2 2 2 2 m köz¨ ul ker¨ ulhetnek ki. Az f f¨ uggvény értéke az els˝o két helyen 2 , a második . Mivel kompakts´ agi megfontol´ asok miatt 8.14 -nak u ´gyis van két helyen − m 2


240

megoldása, ezért a fenti els˝o két számp´ ar val´ oban a megoldásokat szolgáltatja. A má³q sik kétqszá´mpár a minimum feladat megold´ asa. Láthat´ o tov´ abb´ a, hogy péld´ aul ³q q ´ m m m m 0 0 g0 2, 2 = −1 = g1 2, 2 og szögeire 8.8.7 P´ elda. Mutassuk meg, hogy egy háromsz¨ cos α cos β cos γ ≤

1 , 8

és egyenl˝oség csak szabályos háromsz¨ ogekre érvényes. Eset¨ unkben legyen f (α, β, γ) = cos α cos β cos γ, és F (α, β, γ) = π − α − β − γ. Ekkor a Lagrange-f¨ uggvény az L(α, β, γ, y) = cos α cos β cos γ + y(π − α − β − γ) alakot ölti. A megoldásra tehát a − sin α cos β cos γ − y = 0 − cos α sin β cos γ − y = 0 − cos α cos β sin γ − y = 0 sz¨ ukséges feltétel adódik. Ha még figyelembe vessz¨ uk, hogy F (α, β, γ) = π − α − β − γ = 0, akkor az egyenletrendszer egyetlen megoldása α = β = γ = π/3, azaz a feltételt csak a szabályos háromsz¨ ogek elég´ıtik ki. Könnyen belátható, hogy ebben a péld´ aban a feladat feltétel nélk¨ uli széls˝ oértékfeladattá alak´ıtható át. Valóban, az F (α, β, γ) = 0 egyenletb˝ ol γ = π − α − β. Ezt az f f¨ uggvénybe helyettes´ıtve f (α, β) = − cos α cos β cos(α + β) . Ekkor a széls˝oérték sz¨ ukséges feltétele D1 f (α, β) = sin α cos β cos(α + β) + cos α cos β sin(α + β) = 0 D2 f (α, β) = cos α sin β cos(α + β) + cos α cos β sin(α + β) = 0 . Ennek az egyenletrendszernek 0 és π k¨ oz¨ ott egyetlen megoldása van, méghozz´ aα= β = π/3. Azonnal látható, hogy ez val´ oban maximumhely, hiszen itt " 00

f (π/3, π/3) =

−1 −1/2 −1/2 −1

#

ami nyilvánvalóan negat´ıv definit. 8.8.8 Megjegyz´ es. A fenti péld´ ak nagyon egyszer˝ uek voltak, inkább csak szemléltették a tételt. Ha a feltételi halmaz több egyenletb˝ ol áll, akkor a (8.11), 0 azaz az L (x0 , y) = 0 egyenletrendszer olyan bonyolult, amelyb˝ol a megoldás am´ ugy sem határozható meg. Ezért a Lagrange-féle multiplik´ ator-tétel az alkalmaz´ asok szempontjából inkább elvi jelent˝ oség˝ unek tekinthet˝ o, azaz az igazi feladata az, hogy más tudományokban adott elméleteket alát´ amasszon. Erre mutatunk péld´ at a következ˝okben a mikroökonómiáb´ ol.


241

8.8.9 P´ elda. A mikroökonómi´ aban központi szerepet játszanak a feltételes széls˝oérték feladatok, ´ıgy a Lagrange-féle multiplik´ ator-tétel, ugyanis a fogyaszt´ okr´ ol felteszik, hogy a hasznosságukat maximalizálj´ ak, a termel˝okr˝ ol pedig felteszik, hogy a profitjukat maximalizálják. I. A fogyaszt´ oi viselked´ es 1. A Marshall-f´ ele megk¨ ozel´ıt´ es: A fogyaszt´ o adott jövedelem szint mellett a hasznosságát maximalizálja. Legyen a fogyasztó hasznossági f¨ uggvénye u : Rn+ → R, legyen p ∈ Rn+ az árak vektora, ekkor a költségf¨ uggvénye a hp, .i : Rn+ → R lineáris funkcion´ al, (adott x ∈ R termék költsége hp, xi,) legyen m ∈ R a fogyaszt´ o jövedelme. A feladat: u(x) → max

(8.15)

hp, xi = m . A feladat Lagrange-f¨ uggvénye az az L : Rn+ × R → R f¨ uggvény, amelyre ∀ x ∈ n R+ , ∀ λ ∈ R eset´ en L(x, y) = u(x) + λ · (hp, xi − m) . Ha az x0 ∈ intRn+ a 8.15 feladat megoldása, és a feladat f¨ uggvényeire fennálnak a Lagrange-féle multiplikátor-tétel feltételei, akkor u0 (x0 ) + λ · p = 0, azaz ∀i = 1, ..., n esetén λ=−

Di u(x0 ) , pi

amely szerint az optimális pontban minden termék parciális határhaszn´ anak és az árának az aránya megegyezik. Továbbá ebb˝ol adódik az is, hogy ∀i, j = 1, ..., n esetén Di u(x0 ) pi = , Dj u(x0 ) pj amely szerint az optimális pontban bármely két termék határhaszn´ anak az aránya megegyezik az árak arányával. A továbbiakban kövess¨ uk a fenti 8.8.5 Megjegyzés menetét: Legyen i, j = 1, 2, ..., n tetsz˝oleges, és tekints¨ uk csupán az i és j-dik terméket, azaz a többi termék mennyiségét rögz´ıts¨ uk valamely adott szinten, ekkor u : R2+ → R. Az egyszer˝ uség kedvéért legyen i = 1, j = 2. A feladat ekkor az el˝oz˝ o (8.15) feladatnak a következ˝o speciális esete: u(x1 , x2 ) → max

(8.16)

p1 x1 + p2 x2 = m . as. Az el˝obb láttuk, hogy ebben a pontban Legyen (x01 , x02 ) ∈ intR2+ megold´ D1 u(x01 , x02 ) p1 = . p2 D2 u(x01 , x02 )


242

Tegy¨ uk fel, hogy az u : R2+ → R f¨ uggvényre fennállnak az implicitf¨ uggvénytétel feltételei, ekkor (mint a 8.7.6 Péld´ aban már láttuk,) az u−1 (u(x01 , x02 )) ⊂ R2+ közömbösségi görbe az x01 egy környezetében differenciálhat´ o f¨ uggvény, azaz ∃! g0 0 0 0 differenciálható f¨ uggvény, hogy g0 (x1 ) = x2 , az x1 egy környezetében u(x1 , g0 (x1 )) = u(x01 , x02 ), valamint D1 u(x01 , x02 ) . g00 (x01 ) = − D2 u(x01 , x02 ) Továbbá (most ebben a speciális esetben az implicitf¨ uggvény-tétel alkalmaz´ asa nélk¨ ul is) látható, hogy f1 : R2+ → R, f1 (x1 , x2 ) = p1 x1 + p2 x2 k¨ oltségvetési f¨ uggvényre az f1−1 (m) = g1 : R → R (affin) f¨ uggvény, amelyre g1 (x1 ) = − pp21 x1 + pm2 , ´ıgy p1 g10 (x1 ) = − . p2 Mivel a Lagrange-féle multiplik´ ator-tétel szerint g00 (x01 ) = −

D1 u(x01 ,x02 ) D2 u(x01 ,x02 )

=

p1 p2

, azért

D1 u(x01 , x02 ) p1 = − = g10 (x01 ) . 0 0 p2 D2 u(x1 , x2 )

A mikroökonómiában szokásos jelölésekkel le´ırva: g00 (x01 )(= x02 (x01 ) =

dx2 p1 )=− , dx1 p2

azaz megkaptuk a mikroökonómia egy sarkalatos törvényét, amely szerint az optimális pontban a 2. terméknek az 1. termékre vonatkoz´ o helyettes´ıtési határr´ at´ aja megegyezik árarányaik reciprokának az ellentettjével. Mivel g0 (x01 ) = x02 = g1 (x01 ), azért ez azt jelenti, hogy az optimális pontban a hasznossági f¨ uggvény közömb¨ osségi görbéje érinti a költségvetési egyenest. Így szemléletesen az optimális pontot u ´gy ”kapjuk meg”, hogy a hasznossági f¨ uggvény közömbösségi görbéit addig toljuk, am´ıg nem érinti a költségvetési egyenest. 2. A Hicks-f´ ele megk¨ ozel´ıt´ es: A fogyaszt´ o adott hasznossági szint mellett a költségét (kiadását) minimalizálja. Ez mondható a fenti megközel´ıtés duális´ anak. Legyen u ˆ ∈ R adott hasznossági szint. A feladat: u(x) → max

(8.17)

hp, xi = u ˆ. uggvény, amelyre ∀ x ∈ A feladat Lagrange-f¨ uggvénye az az L : Rn+ × R → R f¨ n en R+ , ∀ µ ∈ R eset´ L(x, y) = hp, xi + µ · (u(x) − u ˆ) . uggvényeire fennálnak a Ha az x0 ∈ intRn+ a 8.17 feladat megoldása, és a feladat f¨ Lagrange-féle multiplikátor-tétel feltételei, akkor p + µ · u0 (x0 ) = 0, azaz ∀i = 1, ..., n esetén µ=−

pi , Di u(x0 )


243

azaz a (8.15) feladat Lagrange szorzój´ anak a reciproka. A levonhat´ o következtetédek ´ıgy ugyanazok. Például végs˝o következtetésként azt kapjuk, hogy az optimális pontban a költségvetési egyenes érinti a hasznossági f¨ uggvény köz¨ omb¨ osségi görbéjét. Azonban most ez azt jelenti, hogy az optimális pontot u ´gy ”kapjuk meg”, hogy a költségvetési egyenest addig toljuk, am´ıg nem érinti a hasznossági f¨ uggvény közömbösségi görbéjét. II. A termel˝ oi viselked´ es A k¨ olts´ egminimaliz´ al´ asi feladat Legyen a termel˝o termelési f¨ uggvénye f : Rn+ → R, legyen p ∈ Rn+ az árak vektora, legyen y ∈ R adott termelési szint. A feladat: f (x) → max

(8.18)

hp, xi = y . Ez formálisan ugyanaz a feladat, mint a (8.17). A feladat Lagrange-f¨ uggvénye az az n n L : R+ × R → R f¨ uggvény, amelyre ∀ x ∈ R+ , ∀ µ ∈ R esetén L(x, y) = hp, xi + µ · (f (x) − y) . Ha az x0 ∈ intRn a 8.18 feladat megoldása, és a feladat f¨ uggvényeire fennálnak a Lagrange-féle multiplikátor-tétel feltételei, akkor p + µ · f 0 (x0 ) = 0, azaz ∀i = 1, ..., n esetén

pi . Di (x0 ) A levonható következtetések ugyanazok, mint az el˝oz˝ o feladatok esetében. Egyrészt az optimális pontban minden minden termelési tényez˝ o parciális határtermékének és az árának az aránya megegyezik. Másrészt ebb˝ol adódik az is, hogy ∀i, j = (x0 ) = ppji , amely szerint bármely két termelési tényez˝ o parciális 1, ..., n esetén DDijf(x 0) határtermékének az aránya megegyezik az áraik arány´ aval. Vég¨ ul csak két terméket vizsgálva, ha az f f¨ uggvényre teljes¨ ulnek az implicitf¨ uggvény-tétel feltételei, akkor p1 dx2 g00 (x01 )(= x02 (x01 ) = dx ) = − , azaz az optim´ a lis pontban a 2. terméknek az 1. p2 1 termékre vonatkozó helyettes´ıtési határr´ at´ aja megegyezik árar´ anyaik reciprokának az ellentettjével, amely szerint az optimális pontban a költségvetési egyenes érinti a hasznossági f¨ uggvény közömbösségi görbéjét. µ=−

8.8.10 Megjegyz´ es. Meglep˝ onek t˝ unhet, hogy azt a roppant egyszer˝ u rajzolgatást, ami a mikroökonómia egyik kiindulópontja, csak két félév matematika tanulás után lehet elmagyarázni (s˝ot a magyar´ azatunk egy kicsit hiányos is abban az értelemben, hogy mind az implicitf¨ uggvény-tételt, mind a Lagrange-féle multiplikátor-tételt csak a speciális kétdimenzi´ os esetben bizony´ıtottuk be). Vegy¨ uk észre azonban, hogy olyan egyszer˝ unek t˝ un˝ o és szemléletes fogalomnak, mint a középiskolából jól ismert számegyenesnek a gondos bevezetése az anal´ızis egyik legmélyebb ter¨ ulete, továbbá a szintén nagyon egyszer˝ unek t˝ un˝ o, már az által´ anos iskolában megismert érint˝o fogalmának, azaz a deriváltnak – amely az anal´ızis egyik központi fogalma – a bevezetése rengeteg munk´ at igényel, k¨ ul¨ on¨ osen a többv´ altoz´ os esetben.


244

1. Gyakorlatok, feladatok 1. Mutassuk meg, hogy az Rp tér egységg¨ ombjének felsz´ıne kompakt halmaz, és az x → |Ax| leképezés folytonos ezen a halmazon bármely q × p méret˝ u A mátrix esetén. 2. Bizony´ıtsuk be, hogy a (8.1) és (8.2) egyenl˝ oségek val´ oban normát definiálnak a lineáris leképezések terén. 3. Igazoljuk a norma következ˝ o karakteriz´ aci´ oj´ at: kAk = inf{λ > 0 : |Ax| ≤ λ|x|

∀x ∈ X } .

´ ıtás, ha a normát a (8.1), vagy (8.2) alatti normák 4. Igaz marad-e a 8.1.4 All´ valamelyikére cserélj¨ uk? 5. Mutassuk meg, hogy minden ortogonális mátrix egységnyi normáj´ u. 6. Bizony´ıtsuk be, hogy normális mátrixok esetében a norma megegyezik a sajátértékek abszol´ ut értékeinek maximum´ aval, azaz kAk = max{|λ| : λ az A sajátértéke} .

7. Jelölje λ az A mátrix domináns sajátértékét. Igazoljuk, hogy |λ| ≤ kAk, és az egyenl˝oség pontosan akkor teljes¨ ul, ha A diagonalizálhat´ o. (Vesd össze a 6. gyakorlattal.) 8. Közvetlen¨ ul a defin´ıció alapján ellen˝orizz¨ uk, hogy ha az f : X → Y f¨ uggvény differenciálható az x ∈ X pontban, akkor ott folytonos is. 9. Mutassuk meg, hogy ha az f koordinátaf¨ uggvényei f1 , . . . , fq , u ´gy f akkor és csak akkor differenciálható az x pontban, ha itt mindegyik koordinátaf¨ uggvénye is differenciálható. 10. Mutassuk meg, hogy a g(t) = f (x + tv) differenciálhat´ os´ aga bármely v mellett a 0 pontban nem feltétlen¨ ul jelenti az f differenci´ alhat´ os´ ag´ at az x pontban. Tekints¨ uk ugyanis az (

f (x, y) =

1 0

ha y = x2 , (x, y) 6= (0, 0) k¨ ul¨ onben

f¨ uggvényt. Igazoljuk, hogy ekkor bármely v ∈ R2 mellett a g(t) = f (tv) f¨ uggvény differenciálható a 0 pontban, és g 0 (0) = 0. Azonban f még csak nem is folytonos az origóban, hiszen annak bármely környezetében egyar´ ant felveszi a 0 és az 1 értékeket is. 11. Határozzuk meg az f (x, y) = f¨ uggvény széls˝oértékeit.

1 2 + + 8xy x y


245

12. Mutassuk meg, hogy a 8.6.4 Péld´ aban az (1, 1, 1) pont kivételével egyetlen más kritikus pont sem széls˝oérték. 13. Tekints¨ uk az X valós euklideszi téren az f (x) = kxk f¨ uggvényt. Vizsgáljuk meg, hogy f milyen pontokban differenciálhat´ o, és adjuk meg a deriváltj´ at. 14. Határozzuk meg az f (x, y, z) = xyz f¨ uggvénynek a maximum´ at az egységgömbb˝ol az x + y + z = 0 s´ık által kimetszett halmazon. Ebben az esetben a feltételt az # " x2 + y 2 + z 2 − 1 F (x, y, z) = x+y+z f¨ uggvény határozza meg. 15. Határozzuk meg az

"

A=

1 1 0 1

#

mátrix normáját feltételes széls˝ oérték feladatként. Legyen f (x) = kAxk2 , és 2 2 F (x) = kxk − 1, ahol x ∈ R , és keress¨ uk meg a megfelel˝o feladat megoldás´ at. ´ ıt´ 16. Az el˝oz˝o feladat gondolatmenetét felhasználva bizony´ıtsuk be a 8.1.5 All´ ast a 8.8.3 Tétel seg´ıtségével. A normát az kAxk2 → max kxk2 = 1 feltételes széls˝oérték feladat megoldásaként áll´ıtsuk el˝o. 17. Irjunk egy adott körbe olyan háromsz¨ oget, amely oldalainak négyzet¨ osszege maximális. Oldjuk meg a problém´ at feltételes széls˝ oérték feladatként.

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

Recommend Documents