Matematika el˝oad´ as elm´eleti k´erd´esein´el k´erdezhet˝o k´epletek
Line´aris Algebra GEMAN 203-B
A h´arom dimenzi´os t´er vektorai, egyenesei, s´ıkjai
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki az a = (a1 , a2 , a3 ) ´es b = (b1 , b2 , b3 ) vektorok sz¨og´et?
a) Hogyan sz´amoljuk ki az a vektor b vektorra es˝o mer˝oleges vet¨ uleti vektor´at?
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki az a = (a1 , a2 , a3 ) ´es b = (b1 , b2 , b3 ) vektorok skal´aris szorzat´at?
f) Hogyan sz´amoljuk ki egy v = (v1 , v2 , v3 ) vektor abszol´ ut ´ert´ek´et?
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki az a = (a1 , a2 , a3 ) ´es b = (b1 , b2 , b3 ) vektorok vektori´alis szorzat´at?
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki az a = (a1 , a2 , a3 ) ´es b = (b1 , b2 , b3 ) vektorok ´altal kifesz´ıtett paralelogramma ter¨ ulet´et?
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki az a = (a1 , a2 , a3 ) ´es b = (b1 , b2 , b3 ) vektorok ´altal kifesz´ıtett h´ aromsz¨ og ter¨ ulet´et?
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki az a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) ´es c = (c1 , c2 , c3 ) vektorok ´altal kifesz´ıtett has´ab t´erfogat´ at?
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki az a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) ´es c = (c1 , c2 , c3 ) vektorok vegyes szorzat´at?
b) ´Irja fel az n = (A, B, C) norm´alvektor´ u azon s´ık egyenlet´et, amelyik illeszkedik a P0 = (x0 , y0 , z0 ) pontra!
b) ´Irja fel a v = (v1 , v2 , v3 ) ir´anyvektor´ u azon egyenes egyenlet´et, amelyik illeszkedik a P0 = (x0 , y0 , z0 ) pontra!
Val´os vektorterek b) Legyen (V, +, ·) egy val´ os vektort´er. Defini´alja a b1 , . . . , bn ∈ V vektorrendszer egy line´ aris kombin´ aci´ oj´ at!
os vektort´er. Mikor mondjuk, hogy a b1 , . . . , bn ∈ V vektorb) Legyen (V, +, ·) egy val´ rendszer line´arisan f¨ uggetlen?
b) Legyen (V, +, ·) egy val´ os vektort´er. Mikor mondjuk, hogy a b1 , . . . , bn ∈ V vektorrendszer line´arisan f¨ ugg˝ o?
b) Legyen (V, +, ·) egy val´ os vektort´er. Mikor mondjuk, hogy a b1 , . . . , bn ∈ V vektorrendszer gener´atorrendszer?
b) Legyen (V, +, ·) egy val´ os vektort´er. Mikor mondjuk, hogy a b1 , . . . , bn ∈ V vektorrendszer b´azis?
b) Legyen (V, +, ·) egy val´ os vektort´er. Mikor mondjuk, hogy a b1 , . . . , bn ∈ V vektorrendszer maxim´alisan f¨ uggetlen?
b) Legyen (V, +, ·) egy val´ os vektort´er. Mikor mondjuk, hogy a b1 , . . . , bn ∈ V vektorrendszer minim´alis gener´atorrendszer?
b) Mondja ki a kicser´el´esi t´etelt!
b) Defini´ alja egy (V, +, ·) val´ os vektort´er dimenzi´oj´at!
Rn vektorai a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki az x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ´es az y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn vektorok ¨osszeg´et?
a) Hogyan sz´am´ıtjuk ki egy x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn vektor λ ∈ R val´os sz´ammal val´o szorzat´ at?
a) Defini´ alja az x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn vektor norm´aj´at!
a) Defini´ alja az x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ´es az y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn vektorok skal´aris szorzat´ at!
b) Mondja ki a Cauchy-Bunyakowszkij-Schwarz egyenl˝otlens´eget!
b) Mondja ki a Minkowski egyenl˝otlens´eget!
Komplex sz´amok
e) Hogyan sz´amoljuk ki a z = r(cos φ + i sin φ) komplex sz´am n-edik hatv´any´at? zn = e) Hogyan sz´amoljuk ki a z = r(cos φ + i sin φ) komplex sz´am n-edik gy¨okeit? √ n z= e) Hogyan sz´amoljuk ki a z1 = r1 (cos φ + i sin φ) ´es a z2 = r2 (cos ψ + i sin ψ) komplex sz´ amok szorzat´at? z1 · z2 =
e) Hogyan sz´amoljuk ki a z1 = r1 (cos φ + i sin φ) ´es a z2 = r2 (cos ψ + i sin ψ) komplex sz´ amok al´abbi h´anyados´ at? z1 = z2 e) Hogyan sz´amoljuk ki a z = a + bi komplex sz´am abszol´ ut ´ert´ek´et? |z| = e) Defini´ alja a z = a + bi komplex sz´am konjug´altj´at! z= Polinomok e) Defini´ alja egy p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 val´os egy¨ utthat´os polinom gy¨ okt´enyez˝ os alakj´at!
b) Mondja ki az Algebra alapt´etel´et val´os egy¨ utthat´os polinomokra!
b) Mondja ki val´ os egy¨ utthat´ os polinomokra vonatkoz´oan a marad´ekos oszt´as t´etel´et!
e) Hogyan sz´amolhatjuk ki egy p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ Z[x] eg´esz egy¨ utthat´ os polinom eg´esz megold´asait?
e) Hogyan sz´amolhatjuk ki egy p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ Z[x] eg´esz egy¨ utthat´ os polinom racion´alis x = pq , l.n.k.o(p, q) = 1 megold´asait?
M´atrixok n n e) Hogyan sz´amoljuk ki a A = (aij )m es a B = (bij )m atrixok ¨osszeg´et? i=1,j=1 ´ i=1,j=1 m´
n e) Hogyan sz´amoljuk ki a A = (aij )m atrixoknak a λ ∈ R val´os sz´ammal val´o i=1,j=1 m´ szorzat´ at?
n k e) Hogyan sz´amoljuk ki a A = (aij )m es a B = (bij )ni=1,j=1 m´atrixokok szorzat´anak i=1,j=1 ´ i-edik sor´anak j-edik elem´et?
(A · B)ij =
e) Legyen n ∈ N. Defini´alja az n-ed rend˝ u egys´egm´atrixot!
e) Defini´ alja egy A ∈ Mn×n m´atrix inverz´et!
Line´aris egyenletrendszerek e) Mikor mondjuk, hogy egy line´aris egyenletrendszer ellentmond´asos?
e) Mikor mondjuk, hogy egy line´aris egyenletrendszer hat´arozott?
e) Mikor mondjuk, hogy egy line´aris egyenletrendszer hat´arozatlan?
e) Adja meg egy line´aris egyenletrendszer vektoros alakj´at!
e) Adja meg egy line´aris egyenletrendszer m´atrixos alakj´at!
Determin´ansok e) Defini´ alja a det : Mn×n → R determin´ans f¨ uggv´enyt!
e) Milyen kapcsolatot ismer egy A ∈ Mn×n m´atrix invert´alhat´os´aga ´es determin´ansa k¨oz¨ ott?
e) Mondja ki a determin´ansok sor szerinti kifejt´esi t´etel´et!
e) Mondja ki a determin´ansok oszlop szerinti kifejt´esi t´etel´et!
e) Hogyan sz´amoljuk ki egy A ∈ Mn×n nem nulla determin´ans´ u m´atrix determin´ans´at pivot´ al´ assal?
e) Hogyan sz´amoljuk ki egy A ∈ Mn×n nem nulla determin´ans´ u m´atrix A−1 inverz m´ atrix´ anak i-edik sor´anak j-edik elem´et?
(A−1 )ij = n alja egy A = (aij )ni=1,j=1 m´atrix aij elem´ehez tartoz´o adjung´alt algebrai aldetere) Defini´ min´ ans´ at!
