Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory
Matematick´a statistika
Nez´ avislost Kovariance a korelace
ˇarka Hudecov´ S´ a Katedra pravdˇ epodobnosti a matematick´ e statistiky Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta Univerzity Karlovy
letn´ı semestr 20121
1
Zaloˇzeno na materi´ alech doc. Michala Kulicha
N´ahodn´y vektor Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
ˇcasto potˇrebujeme vyˇsetˇrovat vz´ ajemn´y vztah nˇekolika n´ahodn´ych veliˇcin mus´ıme sledovat jejich chov´ an´ı spoleˇcnˇe“ ” pˇr´ıklad: vztah hmotnosti, tlaku a koncentrace urˇcit´e l´atky v krvi u ˇclovˇeka apod. Definice Uspoˇr´adanou n-tici X n´ ahodn´ych veliˇcin X1 , X2 , . . . , Xn naz´yv´ame n´ahodn´y vektor.
N´ahodn´y vektor Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
N´ahodn´y vektor budeme znaˇcit velk´ym tlust´ym p´ısmenem (napˇr. X) anebo v´yˇctem jeho sloˇzek, tj. X1 .. X = . nebo X = (X1 , . . . , Xn )T Xn Vˇetˇsinou se omez´ıme ahodn´e vektory d´elky 2, tj. budeme na n´ X1 X uvaˇzovat X = X2 anebo X = Y .
N´ahodn´y vektor: pˇr´ıklad Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
Pˇr´ıklad (Dˇeti) Uvaˇzovali jsme rodinu, kter´ a m´ a tˇri dˇeti, a zavedli n´ahodnou veliˇcinu X , kter´ a urˇcuje poˇcet dcer, a n´ ahodnou veliˇcinu Y , kter´a ˇr´ık´a, kolik m´ a nejmladˇs´ı sourozenec starˇs´ıch bratr˚ u. zaj´ım´a n´as rozdˇelen´ı n´ ahodn´eho vektoru X =
X Y
odtud lze poˇc´ıtat tzv. sdruˇzen´e pravdˇepodobnosti typu P(X = 0, Y = 1), P(X ≤ 2, Y = 0) apod. jak´y je vztah mezi X a Y ? souvis´ı hodnoty X s hodnotami Y ?
Dalˇs´ı pˇr´ıklady Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
Pˇr´ıklady n´ahodn´ych vektor˚ u: v´yˇska a hmotnost n´ ahodnˇe vybran´eho ˇclovˇeka teplota, mnoˇzstv´ı sr´ aˇzek a s´ıla vˇetru ve vybran´y den HDP, m´ıra inflace, . . . (jin´e ekonomick´e ukazatele) n´ahodnˇe vybran´e evropsk´e zemˇe pohlav´ı a plat n´ ahodnˇe vybran´eho ˇclovˇeka vzdˇel´an´ı a politick´y n´ azor n´ ahodnˇe vybran´eho ˇclovˇeka porodn´ı hmotnost d´ıtˇete a vˇek jeho matky ...
Rozdˇelen´ı n´ahodn´eho vektoru Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
Rozdˇelen´ı n´ahodn´eho vektoru X =
X Y
rozliˇsujeme n´ ahodn´y vektor se spojit´ym a diskr´etn´ım rozdˇelen´ım spojit´ e rozdˇelen´ı pop´ıˇseme hustotou je ted’ funkc´ı R2 → [0, ∞) hodnota fX (x, y ) ud´av´a, jak ˇcasto n´ahodn´y vektor pad´a kolem bodu (x, y ) m´a vlastnosti analogick´e hustotˇe n´ahodn´e veliˇciny
diskr´ etn´ı rozdˇelen´ı pop´ıˇseme tzv. sdruˇzen´ymi pravdˇepodobnostmi P(X = xi , Y = yk ) pro vˇsechna moˇzn´a xi a yk
Hustota n´ahodn´eho vektoru Matematick´ a statistika
Pˇr´ıklad hustoty spojit´eho dvourozmˇern´eho rozdˇelen´ı:
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
0.20 0.15 f
0.10 3 2 1 0 −1
0.05
y
0.00 −3
−2
−1
0 x
−2 1 2 3
−3
Hustota n´ahodn´eho vektoru Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory
Obr´azek: Hustota z pˇredchoz´ıho obr´azku nakreslen´a pomoc´ı vrstevnic. 3
Nez´ avislost Kovariance a korelace
2
1
0
−1
−2
−3 −3
−2
−1
0
1
2
3
Sdruˇzen´e a margin´aln´ı rozdˇelen´ı Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
X obsahuje nˇ eco Rozdˇelen´ı n´ ahodn´eho vektoru X = Y nav´ıc, neˇz kdybychom znali jen rozdˇelen´ı samotn´e n´ahodn´e veliˇciny X a samotn´e n´ ahodn´e veliˇciny Y . To, co je tam nav´ıc, je informace o vz´ ajemn´em vztahu obou veliˇcin. Terminologie X naz´ yv´ame Rozdˇelen´ı n´ ahodn´eho vektoru X = Y sdruˇzen´e rozdˇelen´ı n´ ahodn´ych veliˇcin X a Y . Rozdˇelen´ı samotn´eho X a samotn´eho Y naz´yv´ame margin´aln´ı rozdˇelen´ı n´ ahodn´ych veliˇcin X a Y .
Sdruˇzen´e a margin´aln´ı rozdˇelen´ı Matematick´ a statistika
Interpretace: N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
sdruˇzen´e rozdˇelen´ı n´ am ˇr´ık´ a, jak se chov´a (X , Y ) spoleˇcnˇe (jakoˇzto dvojice) margin´aln´ı rozdˇelen´ı popisuje chov´ an´ı jedn´e veliˇciny bez ohledu na hodnoty druh´e Vztah sdruˇzen´eho a margin´ aln´ıho rozdˇelen´ı: ze sdruˇzen´eho rozdˇelen´ı lze vˇzdy urˇcit margin´aln´ı opaˇcnˇe to obecnˇe nen´ı moˇzn´e, tj. z margin´aln´ıho nelze jednoznaˇcnˇe urˇcit rozdˇelen´ı sdruˇzen´e (k dan´e dvojici margin´ aln´ıch rozdˇelen´ı dokonce existuje nekoneˇcnˇe mnoho odpov´ıdaj´ıc´ıch sdruˇzen´ych rozdˇelen´ı)
Diskr´etn´ı n´ahodn´y vektor: pˇr´ıklad Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
Pˇr´ıklad (Dˇeti – viz dˇr´ıve) Uvaˇzovali jsme rodinu, kter´ a m´ a tˇri dˇeti a zavedli n´ahodnou veliˇcinu X , kter´ a urˇcuje poˇcet dcer, a n´ ahodnou veliˇcinu Y , kter´a ˇr´ık´a, kolik m´ a nejmladˇs´ı sourozenec starˇs´ıch bratr˚ u. X : Dostali jsme diskr´etn´ı n´ ahodn´y vektor X = Y ω SSS SSD SDS DSS DDS DSD SDD DDD
X (ω) Y (ω) 0 2 1 2 1 1 1 1 2 0 2 1 2 1 3 0
Pˇr´ıklad dˇeti Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
Jiˇz dˇr´ıve jsme zkoumali rozdˇelen´ı X a Y zvl´aˇst’, tj. margin´aln´ı rozdˇelen´ı: x P(X = x)
0
1
2
3
1 8
3 8
3 8
1 8
y P(Y = y )
0
1
2
1 4
1 2
1 4
X je d´ ano pravdˇepodobnostmi Rozdˇelen´ı X = Y asleduj´ıc´ı tabulce: pij = P[X = xi , Y = yj ], kter´e jsou v n´ X \Y 0 0 0
1 0
1 0
1 4 1 4
0
0
0
2 3
1 8 1 8
2 1 8 1 8
Jak lze ze sdruˇzen´eho rozdˇelen´ı spoˇc´ıtat margin´aln´ı?
Pˇr´ıklad dˇeti Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
Sdruˇzen´e rozdˇelen´ı:
X \Y 0 0 0 1 0 2 18 3 18
1 0 1 4 1 4
0
2 1 8 1 8
0 0
Pˇr´ıklad dˇeti Matematick´ a statistika
Sdruˇzen´e rozdˇelen´ı:
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
Odtud
X \Y 0 0 0 1 0 2 18 3 18
1 0 1 4 1 4
0
2 1 8 1 8
0 0
P[X = 0] = P[X = 0, Y = 0] + P[X = 0, Y = 1]+ 1 1 + P[X = 0, Y = 2] = 0 + 0 + = 8 8 P[X = 1] = P[X = 1, Y = 0] + P[X = 1, Y = 1]+ 1 1 3 + P[X = 1, Y = 2] = 0 + + = 4 8 8 a analogicky P(X = 2) = 3/8 a P(X = 3) = 1/8.
Sdruˇzen´e a margin´aln´ı rozdˇelen´ı Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
Vˇeta X je diskr´ Necht’ X = Y etn´ı n´ ahodn´y vektor s rozdˇelen´ım urˇcen´ym pravdˇepodobnostmi pij = P[X = xi , Y = yj ]. Margin´aln´ı rozdˇelen´ı veliˇcin X a Y pak jsou X ∞ ∞ X P X = xi , Y = yj = pij , P[X = xi ] = P[Y = yj ] =
j=1 ∞ X i =1
P X = xi , Y = yj =
j=1 ∞ X i =1
pij .
Sdruˇzen´e a margin´aln´ı rozdˇelen´ı Matematick´ a statistika
Pro spojit´e rozdˇelen´ı plat´ı analogie pˇredchoz´ıho tvrzen´ı: N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
Vˇeta X je n´ ahodn´y vektor se spojit´ Necht’ X = Y ym rozdˇ elen´ım se sdruˇzenou hustotou fX (x, y ). Margin´ aln´ı hustoty veliˇcin X a Y pak jsou Z ∞ fX (x) = fX (x, y ) dy , Z−∞ ∞ fX (x, y ) dx. fY (y ) = −∞
Nez´avislost n´ahodn´ych veliˇcin Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
v praxi n´as ˇcasto zaj´ım´ a, zda je mezi veliˇcinami X a Y nˇejak´y vztah spec. se m˚ uˇzeme pt´ at, zda jsou nez´ avisl´e ! hodnoty jedn´e veliˇciny nez´ avis´ı na hodnot´ ach druh´e Pˇr´ıklad Necht’ X je zn´amka z Matematick´e statistiky a Y je poˇcet navˇst´ıven´ych pˇredn´ aˇsek n´ ahodnˇe vybran´eho studenta. Jsou tyto dvˇe veliˇciny nez´ avisl´e? nez´avislost ! zn´ amka nez´ avis´ı na poˇctu navˇst´ıven´ych pˇredn´aˇsek ! P(X = i |Y = j) nez´ avis´ı na hodnot´ach j, tj. P(X = i |Y = j) = P(X = i ) uˇz v´ıme, ˇze toto odpov´ıd´ a podm´ınce P(X = i , Y = j) = P(X = i , Y = j) pro vˇsechna i , j
Nez´avislost n´ahodn´ych veliˇcin Matematick´ a statistika
Definice N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
N´ahodn´e veliˇciny X a Y nazveme nez´ avisl´e, pokud pro kaˇzd´e dvˇe mnoˇziny A, B ∈ R plat´ı P[X ∈ A, Y ∈ B] = P[X ∈ A] · P[Y ∈ B]. Nez´avisl´e veliˇciny: P[X ∈ A | Y ∈ B] = P[X ∈ A] tj. hodnoty jedn´e n´ahodn´e veliˇciny nejsou ovlivnˇeny hodnotami druh´e. ze znalosti hodnoty jedn´e veliˇciny nic nev´ıme o druh´e veliˇcinˇe
Charakterizace nez´avislosti Matematick´ a statistika
Vˇeta N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost
1
Kovariance a korelace
Diskr´etn´ı n´ ahodn´e veliˇciny X a Y jsou nez´avisl´e, pr´avˇe kdyˇz plat´ı P[X = xi , Y = yj ] = P[X = xi ] · P[Y = yj ] pro kaˇzd´e xi , yj , kter´ych X a Y nab´yvaj´ı.
2
Spojit´e n´ahodn´e veliˇciny X a Y jsou nez´avisl´e, pr´avˇe kdyˇz plat´ı fX (x, y ) = fX (x) · fY (y ) pro kaˇzd´e x, y ∈ R.
Pˇr´ıklad dˇeti Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
Sdruˇzen´e rozdˇelen´ı:
X \Y 0 0 0 1 0 2 18 3 18
1 0 1 4 1 4
0
2 1 8 1 8
0 0
Veliˇciny X a Y nejsou nez´ avisl´e . Zd˚ uvodnˇen´ı: napˇr. P[X = 3, Y = 2] = 0 a P[X = 3] = 18 , P[Y = 2] = 83 . Takˇze 0 = P[X = 3, Y = 2] 6= P[X = 3] · P[Y = 2] = Tud´ıˇz poˇcet dcer a poˇcet starˇs´ıch bratr˚ u nejmladˇs´ıho sourozence jsou z´ avisl´e veliˇciny.
3 . 64
Nez´avislost — pozn´amka Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
definici nez´ avislosti lze snadno rozˇs´ıˇrit na v´ıce neˇz dvˇe n´ahodn´e veliˇciny plat´ı obdobn´e charakterizace nez´ avislosti (sdruˇzen´a hustota je souˇcinem margin´ aln´ıch hustot apod.)
Stˇredn´ı hodnota souˇctu a souˇcinu Matematick´ a statistika
Vˇeta Necht’ X =
N´ ahodn´ e vektory
1
, kde X , Y jsou libovoln´e n´ahodn´e veliˇciny. E (X + Y ) = E X + E Y .
Nez´ avislost Kovariance a korelace
Plat´ı
X Y
2
Pokud jsou X a Y nez´ avisl´e, pak plat´ı E XY = (E X )(E Y ).
stˇredn´ı hodnota souˇctu dvou (nebo v´ıce) n´ahodn´ych veliˇcin je rovna souˇctu jejich stˇredn´ıch hodnot pro nez´avisl´e n´ ahodn´e veliˇciny je stˇredn´ı hodnota jejich souˇcinu je rovna souˇcinu jejich stˇredn´ıch hodnot pro z´avisl´e veliˇciny tomu tak m˚ uˇze, ale nemus´ı b´yt
Kovariance Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
Jsou-li veliˇciny X a Y z´ avisl´e jejich z´avislost
budeme cht´ıt popsat
Definice X . Kovarianc´ Uvaˇzujme n´ahodn´y vektor X = Y ı n´ahodn´ych veliˇcin X a Y rozum´ıme hodnotu cov (X , Y ) = E [(X − E X )(Y − E Y )] kovariance vyjadˇruje vz´ ajemn´y vztah X a Y evidentnˇe plat´ı cov (X , Y ) = cov (Y , X ) a cov (X , X ) = var X .
Vlastnosti kovariance Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory
Vˇeta 1
Nez´ avislost
Kovariance m˚ uˇze nab´yvat jak´ychkoli re´aln´ych hodnot, ale pro dvˇe konkr´etn´ı veliˇciny mus´ı platit
Kovariance a korelace
cov 2 (X , Y ) ≤ var X · var Y . 2
Plat´ı cov (X , Y ) = E XY − E X · E Y .
3
Pokud jsou X a Y nez´ avisl´e, pak cov (X , Y ) = 0. pozor, tvrzen´ı 3 neplat´ı opaˇcnˇe (tj. z nulov´e kovariance nelze obecnˇe nic usuzovat o nez´ avislosti) 3 plyne z 2, nebot’ pro nez´ avisl´e veliˇciny E XY = E X E Y .
Interpretace kovariance Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
cov (X , Y ) > 0 ! n´ ahodn´e veliˇciny X a Y jsou z´avisl´e v pozitivn´ım smyslu“ ” vyˇsˇs´ı hodnoty X jsou sv´az´any s vyˇsˇs´ımi hodnotami Y (a niˇzˇs´ı hodnoty X s niˇzˇs´ımi hodnotami Y ) pˇr´ıklad: v´yˇska a v´aha ˇclovˇeka.
cov (X , Y ) < 0 ! n´ ahodn´e veliˇciny X a Y jsou z´avisl´e v negativn´ım smyslu“ ” vyˇsˇs´ı hodnoty X jsou sv´az´any s niˇzˇs´ımi hodnotami Y (a niˇzˇs´ı hodnoty X s vyˇsˇs´ımi hodnotami Y ) pˇr´ıklad: hloubka dez´enu pneumatiky a brzdn´a dr´aha
cov (X , Y ) = 0 neznamen´ a, ˇze by mezi X a Y nebyl nutnˇe ˇz´adn´y vztah (jeˇstˇe se o tom zm´ın´ıme pozdˇeji)
Kovariance: pˇr´ıklad Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
Pˇr´ıklad (Dˇeti) Uvaˇzovali jsme rodinu, kter´ a m´ a tˇri dˇeti, a zavedli n´ahodnou veliˇcinu X , kter´ a urˇcuje poˇcet dcer, a n´ ahodnou veliˇcinu Y , kter´a ˇr´ık´a, kolik m´ a nejmladˇs´ı sourozenec starˇs´ıch bratr˚ u. Dostali jsme n´ahodn´y vektor X = YX s rozdˇelen´ım X \Y 0 0 0 1 0 2 18 3 18
1 0 1 4 1 4
0
2 1 8 1 8
0 0
Spoˇc´ıt´ame kovarianci n´ ahodn´ych veliˇcin X a Y . K v´ypoˇctu pouˇzijeme vzorec cov (X , Y ) = E XY − E X E Y .
Pˇr´ıklad: Dˇeti Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory
V´ıme: X nab´yv´a hodnot 0, 1, 2, 3 s pstmi po ˇradˇe 81 , 38 , 38 , 18 , Y nab´yv´a hodnot 0, 1, 2 s pstmi po ˇradˇe 41 , 12 , 14 . Z margin´aln´ıch rozdˇelen´ı m´ ame
Nez´ avislost Kovariance a korelace
3 3 1 3+6+3 1 +1· +2· +3· = = 1.5, 8 8 8 8 8 1 1 1 2+2 EY = 0 · + 1· + 2 · = = 1. 4 2 4 4 EX = 0 ·
Ze sdruˇzen´eho rozdˇelen´ı E XY = 0 · P[X = 0 ∪ Y = 0] + 1 · P[X = 1, Y = 1] +
+ 2 · (P[X = 1, Y = 2] + P[X = 2, Y = 1]) = 3 1 3 1 = 1 · + 2 · = + = 1. 4 8 4 4
Pˇr´ıklad: Dˇeti Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
Odtud cov (X , Y ) = E XY − (E X )(E Y ) = 1 − 1.5 · 1 = −0.5 Takˇze cov (X , Y ) = −0.5 < 0 tj. poˇcet dcer a poˇcet starˇs´ıch ˇ ım v´ıce je bratr˚ u nejmladˇs´ıho sourozence nejsou nez´ avisl´e. C´ dcer, t´ım m´enˇe je starˇs´ıch bratr˚ u.
Korelace Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory
hodnoty kovariance se ˇspatnˇe interpretuj´ı z hodnoty cov (X , Y ) 6= 0 pozn´ ame, ˇze X a Y jsou z´avisl´e a jak´ym smˇerem, ale nepozn´ ame, jak silnˇe jsou z´avisl´e
Nez´ avislost Kovariance a korelace
Definice X . Korelac´ Uvaˇzujme n´ahodn´y vektor X = Y ı n´ahodn´ych veliˇcin X a Y rozum´ıme hodnotu cov (X , Y ) cor (X , Y ) = √ . var X var Y
korelace se nˇekdy znaˇc´ı ̺(X , Y ) nebo ρXY nˇekdy mluv´ıme o korelaˇcn´ım koeficientu.
Vlastnosti korelace Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory
Vˇeta 1
Korelace ρXY vˇzdy leˇz´ı mezi −1 a 1 a
Nez´ avislost
ρXY = 0 ⇔ cov (X , Y ) = 0.
Kovariance a korelace
2
Pokud jsou X a Y nez´ avisl´e, pak cor (X , Y ) = 0.
3
Plat´ı ρXY = 1 ρXY = −1
pr´ avˇe kdyˇz Y = a + bX pro nˇejak´e a ∈ R a b > 0.
pr´ avˇe kdyˇz Y = a + bX
pro nˇejak´e a ∈ R a b < 0.
Interpretace korelace Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory
korelace mˇeˇr´ı s´ılu line´ arn´ı z´ avislosti mezi X a Y
Nez´ avislost
znam´enko korelace ud´ av´ a smˇer z´ avislosti
Kovariance a korelace
jsou-li X a Y silnˇe line´ arnˇe z´ avisl´e (tj. hodnoty t´eto dvojice padaj´ı nejˇcastˇeji nˇekde kolem pˇr´ımky v R2 s nenulovou smˇernic´ı), pak je korelace bl´ızko 1 nebo −1. nez´avisl´e veliˇciny maj´ı vˇzdy nulovou korelaci je-li korelace nulov´ a, neznamen´ a to, ˇze X a Y jsou nutnˇe nez´avisl´e (korelace je m´ırou pouze line´ arn´ı z´ avislosti)
Interpretace korelace Matematick´ a statistika
ρ = 0.5
Y
0
2
0 1 2
Y
N´ ahodn´ e vektory
ρ = 0.2
−2
−2
Nez´ avislost
0
1
2
−2
−1
0
1
Y
ρ = 0.9
ρ = −0.7
2
−2
Y
2
0 1 2
X
−2
Y
−2 −1
0
Kovariance a korelace
−2 −1
0 Y
1
2
−2
−1
0 Y
1
2
Interpretace korelace Matematick´ a statistika
Je-li korelace nulov´ a, neznamen´ a to, ˇze X a Y jsou nutnˇe nez´avisl´e: 0.8
N´ ahodn´ e vektory
0.0
0.2
Y = X2
Kovariance a korelace
0.4
0.6
Nez´ avislost
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
X
Pˇr´ıklad M´a-li X rozdˇelen´ı symetrick´e kolem 0, pak E X = 0 a E X 3 = 0. Vezmeme-li Y = X 2 , pak Y a X nejsou nez´avisl´e a z´aroveˇ n cov (X , Y ) = 0 a tud´ıˇz i ρXY = 0.
Hustota dvourozmˇern´eho rozdˇelen´ı s r˚ uzn´ymi korelacemi Matematick´ a statistika
Obr´azek: Hustota dvourozmˇern´eho rozdˇelen´ı, cor (X , Y ) = 0.
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost
4
0.08
Kovariance a korelace
2 0.06 0 0.04 −2 0.02 −4 0.00 −3
−2
−1
0
1
2
3
Hustota dvourozmˇern´eho rozdˇelen´ı s r˚ uzn´ymi korelacemi Matematick´ a statistika
Obr´azek: Hustota dvourozmˇern´eho rozdˇelen´ı, cor (X , Y ) = 0.3.
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost
0.10 4
Kovariance a korelace
0.08 2 0.06 0 0.04 −2 0.02 −4 0.00 −3
−2
−1
0
1
2
3
Hustota dvourozmˇern´eho rozdˇelen´ı s r˚ uzn´ymi korelacemi Matematick´ a statistika
Obr´azek: Hustota dvourozmˇern´eho rozdˇelen´ı, cor (X , Y ) = 0.6.
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost
4
0.10
2
0.08
0
0.06
Kovariance a korelace
0.04
−2
0.02 −4 0.00 −3
−2
−1
0
1
2
3
Hustota dvourozmˇern´eho rozdˇelen´ı s r˚ uzn´ymi korelacemi Matematick´ a statistika
Obr´azek: Hustota dvourozmˇern´eho rozdˇelen´ı, cor (X , Y ) = 0.95.
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost
0.30 4 0.25
Kovariance a korelace
2
0.20
0
0.15 0.10
−2
0.05 −4 0.00 −3
−2
−1
0
1
2
3
Vlastnosti stˇredn´ı hodnoty a rozptylu Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e vektory Nez´ avislost Kovariance a korelace
Necht’ X , Y jsou n´ ahodn´e veliˇciny, a, b ∈ R. Pak 1
E (a + bX ) = a + bE X ,
2
E (X + Y ) = E X + E Y ,
3
var (a + bX ) = b 2 var X ,
4
var (X + Y ) = var X + var Y + 2cov (X , Y )
5
pro nez´avisl´e veliˇciny var (X + Y ) = var X + var Y
Vlastnosti kovariance Matematick´ a statistika
D˚ ukaz bodu 4: N´ ahodn´ e vektory
M´ame
Nez´ avislost Kovariance a korelace
var (X + Y ) = E (X + Y )2 − [E (X + Y )]2 = = E (X 2 + 2XY + Y 2 )−
− [(E X )2 + 2E X E Y + (E Y )2 ] =
= E X 2 − (E X )2 + E Y 2 − (E Y )2 + + 2[E XY − E X E Y ] =
= var X + var Y + 2 cov (X , Y ).
