Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
Matematick´a statistika ˇarka Hudecov´ S´ a Katedra pravdˇ epodobnosti a matematick´ e statistiky Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta Univerzity Karlovy
letn´ı semestr 2012
Opakov´an´ı Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
t-testy vs. neparametrick´e testy Wilcoxon˚ uv jednov´ybˇerov´y test
Opakov´an´ı Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
t-testy vs. neparametrick´e testy Wilcoxon˚ uv jednov´ybˇerov´y test Wilcoxon˚ uv jednov´ ybˇ erov´ y test: Situace: X1 , . . . Xn v´ybˇer ze spojit´eho symetrick´eho rozdˇelen´ı H0 : mX = m0 ,
proti
H1 : mX 6= m0
norm´aln´ı rozdˇelen´ı → jednov´ybˇerov´y t-test poruˇsen´ı normality → jednov´ybˇerov´y Wilcoxon˚ uv test
Opakov´an´ı – Wilcoxon˚ uv jednov´ybˇerov´y test Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
test sleduje vzd´ alenosti (resp. jejich poˇrad´ı) pozorov´an´ı X1 , . . . , Xn od bodu m0 Postup vylouˇc´ıme pˇr´ıpady Xi = m0 (a dle toho uprav´ıme n) Yi = Xi − m0 → uspoˇr´ ad´ ame |Yi | dle velikosti sledujeme Ri+ poˇrad´ı |Yi | a a z´ aporn´a Yi mˇely b´yt za H0 by souˇcty Ri+ pro kladn´ srovnateln´e vezmeme W souˇcet poˇrad´ı Ri+ pro Yi > 0 ֒→ pˇresn´y test ֒→ asymptotick´y test zaloˇzen´y na statistice Z ֒→ asymptotick´y test s korekc´ı pro spojitost
P´arov´y Wilcoxon˚ uv test Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
Situace: P´arov´ a pozorov´ an´ı (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ), zaj´ım´a n´as, zda jsou veliˇciny X a Y co do polohy stejn´e na kaˇzd´em subjektu mˇeˇr´ıme dvˇe veliˇciny ! jejich porovn´an´ı pˇr´ıklady: vˇek rodiˇc˚ u, s´ıla stisku lev´e a prav´e ruky, hmotnost pˇred a po dietˇe, . . .
P´arov´y Wilcoxon˚ uv test Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
Situace: P´arov´ a pozorov´ an´ı (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ), zaj´ım´a n´as, zda jsou veliˇciny X a Y co do polohy stejn´e na kaˇzd´em subjektu mˇeˇr´ıme dvˇe veliˇciny ! jejich porovn´an´ı pˇr´ıklady: vˇek rodiˇc˚ u, s´ıla stisku lev´e a prav´e ruky, hmotnost pˇred a po dietˇe, . . . Postup zavedeme Zi = Xi − Yi budeme cht´ıt testovat, zda Zi kol´ısaj´ı kolem nuly, tj. zda mZ = 0 → probl´em pˇreveden na jednov´ybˇerov´y pˇr´ıpad
P´arov´y Wilcoxon˚ uv test Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
maj´ı-li Z1 , . . . , Zn norm´ aln´ı rozdˇelen´ı
t-test
poruˇsen´ı normality jednov´ybˇerov´y Wilcoxon˚ uv test pˇredpoklad: Z1 , . . . , Zn spojit´e symetrick´e rozdˇelen´ı Postup: ֒→ vylouˇc´ıme pˇr´ıpady Zi = 0 ֒→ urˇc´ıme poˇrad´ı Ri+ absolutn´ıch hodnot |Zi | ֒→ W souˇcet poˇrad´ı Ri+ , kde Zi > 0 ֒→ testov´a statistika W− Z =q
n(n+1) 4
n(n+1)(2n+1) 24
za H0 m´a Z pˇribliˇznˇe N(0, 1) rozdˇelen´ı
Pˇr´ıklad – porovn´an´ı dvou metod uˇcen´ı nazpamˇet’ Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
Pˇr´ıklad Porovn´an´ı dvou metod uˇcen´ı (poslouch´ an´ı vs. ˇcten´ı). studie zahrnuj´ıc´ı 9 osob
pozorov´ an´ı (Xi , Yi )
chceme vˇedˇet, zda je mezi obˇema zp˚ usoby rozd´ıl i Xi Yi
1 90 85
2 86 87
3 72 70
4 65 62
5 44 44
6 52 53
7 46 42
H0 : rozdˇelen´ı X a Y je stejn´e
8 38 35
9 43 46
Pˇr´ıklad – pokraˇc. Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
zavedeme rozd´ıly Zi = Xi − Yi H0 : mZ = 0 i Zi |Zi | Ri+
1 5 5 8
2 -1 1 1.5
3 2 2 3
4 3 3 5
5 0 − −
pˇredpoklad symetrie 6 -1 1 1.5
7 4 4 7
8 3 3 5
9 -3 3 5
W = 8 + 3 + 5 + 7 + 5 = 28 W− Z =q
n(n+1) 4
n(n+1)(2n+1) 24
28 − = q
8·9 4
8·9·17 24
= 1.4
test: |Z | < z0.975 = 1.96 nelze zam´ıtnout H0 program R: oprava na spojitost, bere ohled na shody p-hodnota 0.18
Dvouv´ybˇerov´y Wilcoxon˚ uv test Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
Situace: dva nez´ avisl´e n´ ahodn´e v´ybˇery X1 , . . . , Xn a Y1 , . . . , Ym , oba ze spojit´eho rozdˇelen´ı, chceme testovat H0 : rozdˇelen´ı X a Y jsou stejn´a (tj. i medi´any se rovnaj´ı)
Dvouv´ybˇerov´y Wilcoxon˚ uv test Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy
Situace: dva nez´ avisl´e n´ ahodn´e v´ybˇery X1 , . . . , Xn a Y1 , . . . , Ym , oba ze spojit´eho rozdˇelen´ı, chceme testovat
P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
H0 : rozdˇelen´ı X a Y jsou stejn´a (tj. i medi´any se rovnaj´ı) Postup udˇel´ame spoleˇcn´y (tzv. sdruˇzen´y) v´ybˇer X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym a uspoˇr´ ad´ ame jej podle velikosti za H0 jsou v´ybˇery X a Y
dobˇre prom´ıchan´e“ ” urˇc´ıme poˇrad´ı v r´ amci spojen´eho v´ybˇeru za H0 by se pr˚ umˇern´ a poˇrad´ı X a Y nemˇela velmi liˇsit
Dvouv´ybˇerov´y Wilcoxon˚ uv test Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
vezmeme W souˇcet poˇrad´ı X1 , . . . , Xn proti H0 svˇedˇc´ı velmi velk´e a velmi mal´e hodnoty W testov´ a statistika: W− Z = q
Anal´ yza rozptylu
n(n+m+1) 2
nm(n+m+1) 12
m´a za H0 pˇribliˇznˇe N(0, 1) rozdˇelen´ı Test: hypot´ezu H0 o shodˇe rozdˇelen´ı zam´ıtneme, pokud |Z | > z1−α/2 lze uvaˇzovat i jednostrann´e alternativy
Pozn´amky Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
test se nˇekdy naz´yv´ a Mann˚ uv-Whitney˚ uv test obecnˇe formulovan´ a hypot´eza: test citliv´y zejm´ena v˚ uˇci posunut´ı, m´enˇe citliv´y na nestejn´y rozptyl pˇri vˇetˇs´ım poˇctu shod Xi a Yi
korekce ve jmenovateli Z
existuj´ı i pˇresn´e postupy (bez pouˇzit´ı aproximac´ı)
Pˇr´ıklad — v´ynos pˇsenice Matematick´ a statistika
Pˇr´ıklad Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
Vliv nov´eho zp˚ usobu hnojen´ı na v´ynos pˇsenice: 13 pol´ı stejn´e kvality standardnˇe
8 nov´y zp˚ usob, 5 oˇsetˇreno
mˇeˇreny v´ynosy v tun´ ach na hektar Xi nov´y zp˚ usob: 5.7, 5.5, 4.3, 5.9, 5.2, 5.6, 5.8, 5.1 Yi standardn´ı hnojivo: 5.0, 4.5, 4.2, 5.4, 4.4 Chceme testovat: H0 : zp˚ usob hnojen´ı nem´ a vliv na v´ynos pˇsenice
Pˇr´ıklad – grafick´e zn´azornˇen´ı dat Matematick´ a statistika
5.5 5.0
Anal´ yza rozptylu
4.5
P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Vynos psenice [t/ha]
Neparametrick´ e testy
novy
tradicni Zpusob
Pˇr´ıklad – ˇreˇsen´ı Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
Pouˇzijeme popsan´y postup: 4.20 1
4.30 2
4.40 3
4.50 4
5.00 5
5.10 6
5.20 7
5.40 8
5.50 9
5.60 10
5.70 11
W = 2 + 6 + 7 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 70 testov´a statistika 70 − Z= q
8(5+8+1) 2
5·8·(5+8+1) 12
|Z | > z0.975 = 1.960
= 2.050
zam´ıt´ ame H0
5.80 12
5.90 13
ˇ sen´ı v programu R Reˇ Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
f poˇrad´ı Y , zde W f = 21 R poˇc´ıt´a W
uv´ad´ı Mannovu-Whitneyovu statistiku 1 f U = mn + n(n + 1) − W 2
pak U ud´av´ a poˇcet pˇr´ıpad˚ u, kdy Xi > Yj > wilcox.test(x,y,correct=F,exact=F) Wilcoxon rank sum test
data: x and y W = 34, p-value = 0.04042 alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
Shrnut´ı Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
jeden v´ybˇer p´arov´a pozorov´an´ı dva nez´avisl´e v´ybˇery
norm´ aln´ı rozdˇelen´ı jednov´ybˇerov´y t-test p´ arov´y t-test
spojit´e rozdˇelen´ı jednov´ybˇerov´y Wilcoxon
dvouv´ybˇerov´y t-test
dvouv´ybˇerov´y Wilcoxon
p´ arov´y Wilcoxon
D´ale: Testy v binomick´em rozdˇelen´ı jednov´ybˇerov´ a situace dvouv´ybˇerov´ a situace Nyn´ı: srovn´an´ı stˇredn´ıch hodnot v k v´ybˇerech
Motivaˇcn´ı pˇr´ıklad – zneˇciˇstˇen´ı ˇreky Matematick´ a statistika
pˇet r˚ uzn´ych m´ıst na ˇrece vyloveno vˇzdy 7 ryb zjiˇst’ov´ana koncentrace mˇedi v j´ atrech
Neparametrick´ e testy
liˇs´ı se zneˇciˇstˇen´ı ˇreky na zkouman´ych m´ıstech?
P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
0.5 Log(Cu)
0.0
1.5
−0.5
1.0
Cu
2.0
2.5
Anal´ yza rozptylu
A
B
C Misto
D
E
A
B
C Misto
D
E
Motivaˇcn´ı pˇr´ıklad – zneˇciˇstˇen´ı ˇreky Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Cu pr˚ umˇer smˇer.odch.
A 1.84 0.53
B 1.68 0.46
M´ısto C D 1.71 0.97 0.51 0.26
E 1.40 0.20
A 0.57 0.31
M´ısto B C D 0.48 0.50 -0.06 0.28 0.32 0.29
E 0.33 0.14
Anal´ yza rozptylu
log Cu pr˚ umˇer smˇer.odch.
porovn´an´ı stˇredn´ıch hodnot 5 n´ ahodn´ych v´ybˇer˚ u zobecnˇen´ı dvouv´ybˇerov´eho t-testu anal´ yza rozptylu (ANOVA)
Anal´yza rozptylu jednoduch´eho tˇr´ıdˇen´ı Matematick´ a statistika
Situace: Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
k nez´avisl´ych n´ ahodn´ych v´ybˇer˚ u z norm´aln´ıch rozdˇelen´ı se shodn´ymi rozptyly Y11 , . . . , Y1n1 v´ybˇer z N(µ1 , σ 2 ) Y21 , . . . , Y2n2 v´ybˇer z N(µ2 , σ 2 ) .. . Yk1 , . . . , Yknk v´ybˇer z N(µk , σ 2 ) Chceme testovat na hladinˇe α H0 : µ1 = µ2 = · · · = µk proti H1 : neplat´ı H0 .
Znaˇcen´ı Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
Oznaˇc´ıme Y 1• v´ybˇerov´y pr˚ umˇer v 1. v´ybˇeru Y2• v´ybˇerov´y pr˚ umˇer v 2. v´ybˇeru ... Yk• v´ybˇerov´y pr˚ umˇer v k. v´ybˇeru Y •• celkov´y (spoleˇcn´y) v´ybˇerov´y pr˚ umˇer n = n1 + · · · + nk aˇzen´y, pokud n1 = n2 = · · · = nk model nazveme vyv´
Celkov´y souˇcet ˇctverc˚ u Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Celkov´a variabilita v datech: ni k X X (Yij − Y •• )2 ST = i =1 j=1
(celkov´y souˇcet ˇctverc˚ u)
−0.5
0.0
log(Cu)
0.5
1.0
Anal´ yza rozptylu
A
B
C Mista
D
E
Rozklad souˇctu ˇctverc˚ u Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
Idea: rozklad celkov´eho souˇctu ˇctverc˚ u ni ni k k X k X X X X 2 2 ni (Y i • − Y •• ) + (Yij − Y •• ) = (Yij − Y i • )2 i =1 j=1
|
{z
ST
}
|i =1
ST = SA + Se
{z SA
}
i =1 j=1
|
{z Se
(celkov´a variabilita) = (variabilita mezi) + (variabilita uvnitˇr)
}
Rozklad souˇctu ˇctverc˚ u Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
Idea: rozklad celkov´eho souˇctu ˇctverc˚ u ni ni k k X k X X X X 2 2 ni (Y i • − Y •• ) + (Yij − Y •• ) = (Yij − Y i • )2 i =1 j=1
|
{z
ST
}
|i =1
ST = SA + Se
{z SA
}
i =1 j=1
|
{z Se
}
(celkov´a variabilita) = (variabilita mezi) + (variabilita uvnitˇr) za H0 poch´ az´ı vˇsechny v´ybˇery z jednoho stejn´eho rozdˇelen´ı variabilita mezi by mˇela b´yt menˇs´ı neˇz variabilita uvnitˇr do u ´vahy je tˇreba br´ at tzv. stupnˇe volnosti fT = fA + fe (n − 1) = (k − 1) + (n − k)
Rozklad souˇctu ˇctverc˚ u – pokraˇc. Matematick´ a statistika
(celkov´a variabilita) = (variabilita mezi) + (variabilita uvnitˇr)
i =1 j=1
i =1 j=1
0.5
1.0
i =1
log(Cu)
Anal´ yza rozptylu
ni ni k X k k X X X X 2 2 (Yij − Y •• ) = ni (Y i • − Y •• ) + (Yij − Y i • )2
0.0
P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
−0.5
Neparametrick´ e testy
A
B
C Mista
D
E
Testov´a statistika Matematick´ a statistika
M´ame rovnost ST = SA + Se
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
Testov´ a statistika FA =
SA fA Se fe
proti H0 svˇedˇc´ı velk´e hodnoty FA za H0 m´a FA tzv. F -rozdˇelen´ı s fA = k − 1 a fe = n − k stupni volnosti H0 zam´ıtneme, pokud FA ≥ Fk−1,n−k (1 − α), kde Fk−1,n−k (1 − α) je 1 − α kvantil Fk−1,n−k rozdˇelen´ı
F -rozdˇelen´ı Matematick´ a statistika
Fisherovo-Snedecorovo rozdˇelen´ı dva parametry m, n: Fm,n rozdˇelen´ı rozdˇelen´ı na kladn´ych ˇc´ıslech
Neparametrick´ e testy
1.2
P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
0.2
0.4
0.6
F(30,30) F(10,5) F(10,20) F(5,10) F(3,10)
0.0
f
0.8
1.0
Anal´ yza rozptylu
0
1
2 x
3
4
Tabulka anal´yzy rozptylu Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
variabilita v´ybˇery rezidu´aln´ı celkov´a
f fA = k − 1 fe = n − k fT = n − 1
S SA Se ST
S/f SA /fA Se /fe
F FA
p-hodnota p
S – souˇcty ˇctverc˚ u f – poˇcet stupˇ n˚ u volnosti S/f – pr˚ umˇern´e ˇctverce p-hodnota odpov´ıdaj´ıc´ı testu H0 : µ1 = · · · = µk
Pˇr´ıklad – zneˇciˇstˇen´ı Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
variabilita m´ısto rezidu´aln´ı celkov´a
f 4 30 34
S 1.80 2.28 4.08
S/f 0.45 0.08
F 5.90
p-hodnota 0.0013
vyˇslo FA = 5.9 > F4,30 = 2.69 na hladinˇe v´yznamnosti 5 % zam´ıt´ ame H0 , tj. prok´azali jsme v´yznamn´y rozd´ıl ve zneˇciˇstˇen´ı
Pˇredpoklady metody Matematick´ a statistika
1 Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
nez´avislost v´ybˇer˚ u mˇelo by b´yt zajiˇstˇeno proveden´ım (pl´anem) pokusu pˇredpoklad nelze nahradit
2
normalita dat nutn´e ovˇeˇrit, zda Yij − Y i • maj´ı norm´aln´ı rozdˇelen´ı N(0, σ 2 ) pro vˇsechna i, j ! standardn´ı postupy pro ovˇeˇren´ı normality vyv´aˇzen´y model nen´ı velmi citliv´y na poruˇsen´ı pˇri v´yrazn´em poruˇsen´ı existuj´ı neparametrick´e postupy
Anal´ yza rozptylu
3
shoda rozptyl˚ u neform´aln´ı posouzen´ı smˇerodatn´ych odchylek testy: Leven˚ uv, Bartlett˚ uv vyv´aˇzen´y model nen´ı velmi citliv´y na poruˇsen´ı
Pˇr´ıklad – zneˇciˇstˇen´ı Matematick´ a statistika
normalita: Shapir˚ uv-Wilk˚ uv test: p-hodnota 0.068 Neparametrick´ e testy 0.4 0.2 0.0 −0.4
Anal´ yza rozptylu
Normal Q−Q Plot
Sample Quantiles
P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
−2
−1
0
1
2
Theoretical Quantiles
shoda rozptyl˚ u: Leven˚ uv test p-hodnota 0.648, Bartlett˚ uv test p-hodnota 0.453
Mnohon´asobn´a porovn´an´ı Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
Pˇr´ıklad zneˇciˇstˇen´ı: prok´azali jsme, ˇze je statisticky v´yznamn´y rozd´ıl ve zneˇciˇstˇen´ı jednotliv´ych m´ıst zat´ım ale nev´ıme, kter´ a m´ısta se od sebe navz´ajem v´yznamnˇe liˇs´ı metody mnohon´ asobn´eho porovn´an´ı
Mnohon´asobn´a porovn´an´ı Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
Pˇr´ıklad zneˇciˇstˇen´ı: prok´azali jsme, ˇze je statisticky v´yznamn´y rozd´ıl ve zneˇciˇstˇen´ı jednotliv´ych m´ıst zat´ım ale nev´ıme, kter´ a m´ısta se od sebe navz´ajem v´yznamnˇe liˇs´ı metody mnohon´ asobn´eho porovn´an´ı Tukeyho metoda kter´e dvojice µi , µj se od sebe liˇs´ı? posouzen´ı rozd´ılu Y i • a Y j• : s
|Y i • − Y j• | ≥ qk,n−k (α)
Se 2fe
1 1 + , ni nj
kde qk,n−k (α) je tabelovan´ a kritick´ a hodnota.
Pˇr´ıklad – zneˇciˇstˇen´ı Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
M´ısto poˇcet (ni ) pr˚ umˇer (Y i • )
A 7 0.568
B 7 0.484
C 7 0.495
D 7 −0.063
E 7 0.329
q5,30 (α) = 4.102 , Se /fe = 0.076 kritick´a mez: s r Se 0.076 2 1 1 + · = 0.428 = 4.102 · qk,n−k (α) 2fe ni nj 2 7 nejniˇzˇs´ı pr˚ umˇer m´ısto D -0.063+0.428=0.365 na hladinˇe 5 % se od m´ısta D liˇs´ı vˇsechna dalˇs´ı m´ısta s pr˚ umˇerem alespoˇ n 0.365 m´ısto D se tedy v´yznamnˇe liˇs´ı od A, B a C
Pˇr´ıklad – obr´azek Matematick´ a statistika
Grafick´e zn´azornˇen´ı Tukeyho porovn´ an´ı: Neparametrick´ e testy
Differences in mean levels of Misto
0.5
0.0
B−A C−A D−A E−A C−B D−B E−B D−C E−C E−D −0.5
Anal´ yza rozptylu
95% family−wise confidence level
−1.0
P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Pozn´amky Matematick´ a statistika
Neparametrick´ e testy P´ arov´ y Wilcoxon˚ uv test Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test
Anal´ yza rozptylu
lze sloˇzitˇejˇs´ı modely anal´yzy rozptylu vliv v´ıce faktor˚ u anal´yza dvojn´eho tˇr´ıdˇen´ı, trojn´ehop tˇr´ıdˇen´ı, . . . existuj´ı i dalˇs´ı metody mnohon´ asobn´eho porovn´an´ı existuj´ı neparametrick´e postupy, kter´e lze pouˇz´ıt pˇri poruˇsen´ı pˇredpoklad˚ u ANOVA
