Legfontosabb bizonyítandó tételek
1. A binomiális tétel Tetszőleges kéttagú kifejezés (binom) bármely nem negatív kitevőjű hatványa polinommá alakítható a következő módon:
nem más, mint egy olyan n tényezős szorzat, amelynek minden
Az
tényezője (a+b), azaz:
= (a+b)*(a+b)*…(a+b) (n>=2) esetében.
Ha mindegyik (a+b) tényezőből az a-t szorozzuk össze Ha n-1 tényezőből az a-t, egyből a b-t szorozzuk össze,
adódik. lesz a szorzat. de
mivel ilyen szorzatot n esetben kapunk, mert az n tényező bármelyikéből választhatjuk a b-t, tehát n*
lesz az eredmény.
Ha n-2 tényezőből a-t, kettőből b-t veszünk, b-t
lesz a szorzat. Mivel azonban a
-féleképpen választhatjuk ki az n darab (a+b) tényezőből, összesen
lesz az eredmény. Végül az egyik tényezőből sem választunk a-t, mindegyikből b-t választunk, akkor
lesz az eredmény.
így: bizonyítottuk.
ezzel a tételt
2. Két halmaz uniójának valószínűségére vonatkozó tétel: Tétel: Ha A és B két tetszõleges esemény, akkor annak a valószínûsége, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik, P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) . Bizonyítás: Az (A B) esemény előállítható két egymást kizáró esemény összegeként, azaz és Ezért a III.axióma szerint
A B esemény is előállítható két egymást kizáró esemény összegeként, azaz és Ismét a III.axióma alapján Innen
Ez utóbbit a
3.
összefüggésbe helyettesítve
Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel tételei: Adott N különböző elem, közülük M db kitüntetett (N, M∈N, M≤N). Kiválasztunk közülük n dbot (n∈N, n≤N). Annak a valószínűsége, hogy a kiválasztottak között k db kitüntetett (k∈N, k≤n, k≤M) van n M visszatevéses módszernél Pk = p k q n−k , ahol p = , q = 1 − p ; N k M N − M k n − k visszatevés nélküli módszernél Pk = N n
Visszatevéses mintavétel: Tegyük fel, hogy N elemű halmazban, pl. egy N golyót tartalmazó urnában, M fekete és N− M piros golyó van. Húzzunk ki egymás után találomra n számú golyót úgy, hogy a kihúzott golyót miután a színét feljegyeztük, visszadobjuk az urnába.
Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy egy ilyen n húzásból álló sorozatban a fekete golyók száma k (a többi n− k pedig nyilván piros). Jelöljük Ak-val azt az eseményt, hogy az n golyók közül k fekete van. A fekete golyók számára kiválasztott k lapra a fekete golyók húzását Mk-féleképp, a többi n− k helyre a piros golyók húzását (N−M)n−k-féleképp lehet feljegyezni. Így az összes lehetőség száma Mk(N− M)n− k. A k lap kiválasztása -féle módon lehet bárhogy is jelöljük ki a k lapot, a feladatnak megfelelő eredmény mindig Mk(N− M)n− k . n k
Így az Ak esemény
n k M k
(
− M
N
)
n− k
módon jöhet létre. Az összes elemi
események száma Nn, így annak a valószínűsége, hogy az n kihúzott golyó között pontosan k darab fekete van:
Vezessük be a
P
M ( Ak ) = n k
k
(N
és a
−M N
n
) n −k
.
jelöléseket, ahol p a fekete, q a piros
golyók húzásának a valószínűsége. Ekkor
P
k ( A k ) = n ∗ p k
∗g
n −k
(k=0, 1, 2, … n). Ezt a
képletet Bernoulli-féle képletnek nevezzük.
Mintavétel visszatevés nélkül: Tekintsünk egy N elemű halmazt (pl. egy N golyót tartalmazó urnát), amelyben M fekete és N− M piros golyó van. Vegyünk ki találomra n számú golyót az urnából, de úgy, hogy egyetlen golyó sem kerülhet többször kiválasztásra. Kétféle módon tehetjük meg: vagy egyszerre emeljük ki az n golyót vagy egymás után húzzuk ki az urnából, de egyiket sem tesszük vissza. Mindkét eljárást visszatevés nélküli mintavételnek nevezik. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy az n golyó között a fekete golyók száma k, a pirosaké pedig n− k. Az eseményt Ak-val jelöljük. A két esetet külön vizsgáljuk. Az első esetben az elemi események száma az n− k számú pirosat k=0,1…n. ; n
N − M n − k
N n
. A k számú fekete golyót
-féleképpen lehet kiválasztani.
M k
,
M N − M ∗ k n − k P (A k ) = N n
min (M,N-M)
Ha az M és az N értéke nagy az n-hez képest, akkor Pk értékek a gyakorlat számára kielégítő pontossággal közelíthetők a visszatevéses mintavételnél megismert
valószínűségértékekkel, azaz
4. Teljes valószínűség tétele
Tétel: Ha a H eseménytér B1, B2, … Bn eseményei teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bk)>0 (k=1,2,.,n), akkor bármely a H-hoz tartozó A esemény valószínûsége:
teljes valószínűség tétele, mert egy A esemény valószínűségét (teljes) feltételes valószínűségekből (részvalószínűségek) határozzuk meg. Bizonyítás: Az, hogy a Bk (k=1,2,.,n) események teljes eseményrendszert alkotnak, azt jelenti, hogy egymást követő páronként kizárják és összegük biztos események összegeként az alábbi módon: és ezért
Alkalmazva a szorzási szabályát) az egyes
képletet (a valószínségek valószínűségekre, a bizonyítandó álltást kapjuk.
5. Bayes-tétel Tétel: Ha a H eseménytérhez tartozó B1 , B2 ,... Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és P ( Bk ) >0, (k=1, 2, … n) akkor bármely, a H-hoz tartozó pozitív valószínűségű A eseményre igaz, hogy:
P ( Bk | A) =
P( A | Bk ) P ( Bk ) n
∑ P ( A | B ) P( B ) i =1
i
, (k=1, 2, …n).
i
Bizonyítás: A valószínűségek szorzási szabálya értelmében a és a összefüggéseket jelen esetre alkalmazva kapjuk, hogy
Innen pedig
A teljes valószínűség tétele szerint azonban
Amit az előző tört nevezőjébe helyettesítve a bizonyítandó tételhez jutunk.
6. Várható érték négyzetes minimum tulajdonsága Tétel: Adott a ξ valószínűségi változó és az „a” valós szám. Az M [(ξ-a)2 ] érték pontosan akkor minimális, ha a=M(ξ).
7. A binomiális eloszlás definíciója valószínűség-eloszlást határoz meg, illetve várható értékének meghatározása Tétel:
Adott a ξ valószínűségi változó. Ha ξ lehetséges értékei 0, 1, 2 …n és
n k n− k P(ξ = k) = p q k
, ahol 0
eloszlás valóban valószínűség-eloszlást határoz meg és az eloszlás várható értéke: M(ξ)=n*p. Bizonyítás:
A valószínűégi változó eloszlásának képlettel történő definiálásakor legelőször azt kell tisztázni, hogy a képlet tényleg valószínűségeloszlást határoz-e meg: a ξ egyes értékeihez nemnegatív számoknak kell tartozniuk és ezek összegének 1-nek kell lennie. A karakterisztikus és egyenletes eloszlásnál ezt a hozzárendelés módja biztosította. A binomiális eloszlásnál a negatív nem lehet, mert a p 0 és 1 közötti szám; továbbá a binomiális tételből ismert, hogy:
Tehát a ξ egyes értékeihez tartozó valószínűségek összege:
hiszen q = 1-p
8. A Poisson-eloszlás definíciója valószínűség-eloszlást határoz meg, illetve várható értékének meghatározása Tétel: Adott a ξ valószínűségi változó. Ha ξ lehetséges értékei 0, 1, 2 … és P(ξ = k ) =
λk k!
e −λ ,
ahol λ>0 és k=0, 1, 2, … akkor az így
definiált Poisson eloszlás valóban valószínűség-eloszlást határoz meg és az eloszlás várható értéke: M(ξ)=λ.
9. Folytonos egyenletes eloszlás várható értéke
Tétel:
Ha a ξ valószínűségi változó az ]a;b[ intervallumon
egyenletes eloszlású, akkor várható értéke: M (ξ ) =
a +b . 2
Bizonyítás:
A várható érték: A folytonos egyenletes eloszlás a diszkrét egyenletes eloszlás folytonos megfelel ője, és olyan esetekben alkalmazzuk, amikor az ]a;b[ intervallum bármely, részintervallumába az intervallum hosszával arányos valószínűséggel esik.
10. Exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye valóban sűrűségfüggvény Tétel: Adott a ξ valószínűségi változó. Ha sűrűségfüggvénye
λ e− λ x , ha x〉 0 , ahol λ>0, x valós szám, akkor az így definiált f ( x) = 0, ha x ≤ 0 exponenciális eloszlás valóban valószínűség-eloszlást határoz meg. Bizonyítás:
11. Kapcsolat az N(m,σ) és az N(0,1) normális eloszlás függvényei között
Tétel: A normális eloszlású valószínűségi változó várható értéke m, − 1 szórása σ, sűrűségfüggvénye f ( x) = e σ 2π
1 eloszlásfüggvénye F ( x) = σ 2π
x
∫e
−
( x −m ) 2 2σ 2
,
( x −m ) 2 2σ 2
dx , akkor a standard
−∞
normális eloszlású valószínűségi változónak, melynek várható értéke 0, szórása 1, sűrűségfüggvénye f ( x) = eloszlásfüggvénye F ( x) =
1 2π
x
∫e
−
x2 2
x2
− 1 e 2 , 2π
dx .
−∞
12. Várható értékre szimmetrikus konfidencia-intervallumba esés valószínűsége normális eloszlás esetén
Tétel: Adott a ξ normális eloszlású valószínűségi változó, m a várható értéke, σ a szórása. Annak a valószínűsége, hogy ξ értéke δ
[m-δ;m+δ] intervallumba esik 2Φ σ − 1 . (δ>0, valós szám.) A ξ normális eloszlású valószínűségi változó szimmetrikus konfidencia-intervallumba esése csak a „t” paramétertől függ:
Bizonyítás:
(1) t =1
(egy szigma szabály) esetén
valószínűséggel esik környezetbe.
(2) t =2 esetén valószínűséggel esik 2 környezetbe. (3) t = 3 esetén valószínűséggel esik 3 környezetbe.
13.
Markov - Csebisev egyenlőtlenség
Markov: Legyen η olyan nemnegatív valószínűségi változó, amelynek létezik várható értéke: M(η)>0 és legyen t >1. Ekkor P (η ≥ t ⋅ M (η)) ≤
1 . t
Az a = t * M(η) jelölést bevezetve a tétel más, ezzel
ekvivalens alakban is felírható; tetőszelges a >0
Bizonyítás: Ha η diszkrét valószínűségi változó és lehetséges értékei y1, y2, … (yi
Ha
0), akkor
folytonos g sűrűségfüggvénnyel, akkor
Csebisev: Legyen ξ olyan valószínűségi változó amelynek létezik szórása. Ha D(ξ)>0, akkor tetszőleges t>1 esetén P ( ξ − M (ξ ) ≥ tD(ξ ) ) ≤
1 t2
(D(ξ)> 0)
Bizonyítás: Alkalmazzuk a Markov-egyenlőtlenséget az változóra és t helyett t2-re.
valószínűségi
,
Ekkor a egyenlőtlenséget kapjuk. Mivel azonban
,
így Amiből már gyökvonással következik a bizonyítandó állítás
P ( ξ − M (ξ ) ≥ tD(ξ ) ) ≤
Komplementer eseménye:
1 (t > 0) t2
