kde m je hmotnost kmitajiciho t8lesa. Pro periodu matematickbho kyvadla plati vztah
-
Kmitani mechanick4ho oscil~toru(nap?. kmitAni t6lesa na pruiin8) charakterizuje perioda T , frekvence f a Ghlovd frekvence w. Mezi t6mito veliEinami lat ti vztahy
Nejjednoduiii kmitavf pohyb je hamonzck~pohyb kmitavd. Okumiztd v$chylka, okamirt6 rychlost a okamiitk zrychleni harmonickhho kmitavkho pohybu je urEeno vztahy y = ymsinwt, v = vmC O S = ~ WYm C O S W ~ , a = -a, sinwt = - w sinwt ~ = ~ -w2y, ~ kde wt je f6ze kmitdni a veliEiny y, v,,, = wym a am = -waym jsou amplitudy vy'chylky, rychlosti a zychleni. Je-li v Ease t = 0 poE8teEni f A e yo rfizn8 od nuly, plati pro okamzitou vfchylku, rychlost a zrychleni vztahy
+
FAze kmitbni je tomto pfipadg wt -. Harmonickf pohyb mechanickdho oscil6toru zpilsobuje sila, j e j l velikost je piimo bm6rnA okamiit4 vfchylce a mb opaEnj. sm8r
kde 1 je ddka matematickeho kyvadla a g tihove zrychleni. PEL harmonickern kmitavdm pohybu se periodicky m6ni potencidni energie oscilbtoru Ep = $ky2 v kinetickou energii Ek = i m v 2 a naopak. Pro celkovou energii E mechanickeho oscildtoru plati
-
-
Podle zikona zachovhi energie je celkov6 energie mechanickdho osci16toru vykonivajiciho harmonickf krnitavf pohyb konstantni.
KINEMATIKA HARMONICKEHO KMITAVEHO POHYBU
Oloha 153 Amplituda vichylky harmonickkho kmitavgho pohybu zfivaii n a pruiin6 je 0,02 m a doba kmitu 1 s. ReSte tyto Gkols: a) NapiSte rovnici pro okamiitol~vGchylku. b) Jak dlouho trv6 pohyb zavail i rovnovGn6 polohy do polohy krajni? c) Za jakou dobu vylton&z k a i i prvni polovinu tkto drbhy? d) Za jakou dobu vykon6 druhou polovinu uvaiovand drbhy? f2es'eni y, = 0,02 m, T = 1 s; tl = ?, t2 = 7 , ts = ? a) Rovnice pro okamZitou vfchylku mb tvar
KnlitBli tgleso na pruiin8, pak konstanta k je tuhost pruiiny. Pro 6hlovou frekvenci w, periodu T a frekvenci f harmonickeho oscil&toru plati vztahy 7
{y) = 0,02sin 2rc{t), kde {y) a {t) jsou Ciselnk hodnoty okarniith vjlchylky a Emu.
Pro okamiitou vgichylku hmmonickkho k m i t a ~ h opohybu s nulovou p e EiteEni f&i plati vztah
b) OznaEme dohu, za kterou se zavaii dostane z rovnovA5nk polohy do krajni, tl; jeho vfchylkaza tuto dobu je yl = y, = 0,02 nl. Plati tedy:
y = y,sinwt
2n =yn,sin-t
T
'
2n Ciseln~ y = 0,1 sin - . 0,2 m i 0,059 m. 2 Okamiitou rychlost harmonickbho kmitavkho pohyhu lze vyjkdtit vztahem
2x cos 2 t v = wy", coswt = p, Zkv&i se dostane 7, rovnov&tn6 polohy do krajni za f s Tento v$sledek i~vAak samozfeimq, . . nebot: perioda kmitaveho pol~ybu~e 1 s a zavaii za dohu tl vykonA $ kmitu.
J-
~~
c) OznaEme dobu, za kterou ziv&i vykoni prvni polovinu drAhy z rovn v&5nk polohy do krajni, lz; jeho vj'chylka za tuto dobu j e yz = ym/2 = n.01 -,.- m. Po dosaneni do r-ice pro vj'chylku harmonick6ho kmitavklru pohybu dostidme: 0,01 = 0,02sin Z x { t z } 1 sin2n{t2} = 2
a = -w 2y,,, s. m wt = Ciselne
1
- 4n2 -y, T2
dn g t T .
4n2 277 la( = .O , l sin .0,2 m . sW2; 0,58 m . s-2.
Poznimky 1. Pro vfpolet zrychlenj harmonickdho kmjtav4ho pohybu he vyuiir take vztah
'= - w a y
Z h a i i vykonb prvni polovinu dr6hy z rovnova2nb polohy do krajni za 5 d) Druhou polovinu sv6 d r a y z rovnovGnb polohy do krajni vykc ziva5i za dobu 1 1 1 tO=tl-tz=-S--S=-S. 4 12 6
'
22 2 Uvaiovanf bod kmitajici harmonickqm kmitavfm pohyhem m i v Ease 0,2 s vqchylku 0,059 m, rychlost 0,25 m . s-' a zrychleni 0,58 m .s - ~ . Q%
1 2n{t2) = -n 6 1 t z = -12 s
T
-
2x Ciselni. u = 2n .0,1 cos .0,2 m . s-' + 0,25 m .s-'. 2 2 Pro okamiitk zrychleni harmonickkho kmitavbho pohybu plati
Cisdna
lo/ =
= - 4n2 -y.
T2
4n2 . 0,059 m . s-2 -' 0,58 m . s-2. F
2. Pii v)ipoau hodnot ganiometrickfch funkci uiitfm kalkulaEky je tleba kalkulatkv nejprve nastsvit na poElt6ni s uhly m6knj.mi v miie obloukavC (tj. v radiinech).
Oloha 155 Hmotnj' hod vykonha harmonickq kmitavj. pohyb. Pro jeho vfd~ylku plati
Oloha 154 Hmotnj. bod kond harmonick? kmitavf pohyb s a~nplitudouvqchylL\ 10 cm a s periodou 2 s. UrEete vfchylku, rychlost a zrychleni hodu v F I I ~ ~ ~ 0,2 s ad zaEAtku pohybu. PoEiteEni Fine kmitavbho pohyhu je rovna I I I I I ~ ,
UrFete amplitudu vfchylky, periodu a poFbteEni fizi kmitav6ho pohybu. VBechny veliEiny jsou uvedeny v hlavnich jednotkach soustavy SI. Reieni PorovnBniln s rovnici pro vfchylku harmonickkho kmitavbho pohybu
Y = ym sin(wt f qo) 135
ilr
dostbvbme y, = 0,2 m, w = rad . s-' a cpo = i n rail. Periodu T vypoEteme ze vztahu w = 2n/T, odkud T = 2n/w a po dosazeni za w 2iT
T = -xs = ~ s . 3
Hmotnf bod kmitb s amplitudou vfchylky 0,2 m a s periodou 6 s. PoEAteFni f6ze kmitav6ho pohybu je i n rad.
aloha 156 UrEete f5zi hmotnbho bodu vykonfivajiciho harmonickg kmitavjr pohyb s periodou 0,5 s, jestliie od za&tku kmit6ni uplynula doba 0,05 s. Pot& teEni f6ze kmitavCho pohybu je rovna nule.
Ciseln& f =
1
12.0,l Hmotnf bod h i t 6 s frekvenci 0,83 Hz.
s-1 = 0,83 s-'.
oloha 158 Na obr. 27 je Easovf diagram harmonickhho kmitaveho pohybu dvou zbvaZi zavi53enfch na dvou pruZinhch. Napigte rovnice pro vfchylky obou harmonickfch kmitavfch pohybb.
FAzi hmotnCho bodu kmitajiciho harmonickfm kmitavfm pohybem vypoEteme ze vztahu
2iT
Ciselnil cp = - .0,05 rad = 0,63 rad. 0,5 FAze kmitavkho pohybu po uplynuti doby 0,05 s je 0,63 rad.
aloha 157 TJrFete harmonickkho krnitaveho pohybu hmotnCho bodu, jest1 - - - - .frekvenci . se za dobu 0,l s po prdchodu rovnovanou polohou jeho vfchylka rovn; polovinE amplitudy vfchylky. PoEAteEni f6ze kmitavkho pohybu se rov nule. ~
~
1 sin2lrft = 2
.-..
Z graffi na obr. 27 vyplyvA TI = 4 s, ym, = 0,l m,T2= 6 s, y,2
= 0,15 m.
Pro LhlovC frekvence obou harmonickfch kmitavfch pohybd plati
Regeni 1 t = 0 , l s, y = 5ym; f =? Za dobu t = 0,l s je vfchylka hmotnkho bodu y = rovnice y = ,y sin 2nf t proto dostaneme: 51y m = y m sin 2nft
Obr. 27 Re~eni Rovnice pro v~%hylkuharrnonickhho kmitav6ho pohybu s nulovou poEk teEni fAzi mb tvar
iy,.
Po dosazenl "
Po dosazeni do rovnice pro vfchylku harmonick6ho kmitaveho pohyb~l dostbvbme
.
.
VZTAH PRO PERIODU A FREKVENCI HARMONICKEHO KMITAVEHO POHYBU
aloha 159 Napiste rovnici pro okamiitou vf chylku harmonickkho kmitaveho pohybu hmotn6ho bodu, jehoi Easovl diagram je na obr. 28.
aloha 160 ZAvaii, kter6 viselo v ltlidu na pruiin6, ji prodlouiilo o 4 cm. Jestliie se z t6to polohy vychjllilo vnlijsi silou smlirem dolfi, zaEalo vyltonavat harmonick9 kmitavf pohyb. UrFete jeho periodu. Tihovk zrychleni je 10 m . s - ~ .
Res'eni A l = 4 - 1 0 - ~m, g = 1 0 m . s - ~ T ; =? Perioda harmonickeho kmitavPho pohybu zhvaii pi3pevnln6ho k pruiin6 je 7
kde m je hmotnost zSvaii a k tuhost pruiiny. Sila pdsobici na pruEinu je pEimo iimerna jejimu prodlouieni. Ponlivadi zAv.vaji, kterk viselo v klidu na pruiin6, ji prodlouiilo o Al, plati
Obr. 28
Reieni Podle Easoveho diagramu je v Ease 1 = 0 poFAteFnl vfchylka yl (a v d& sledku toho i poE&teEni f&ze a)r6znA od nuly. Pro okamiitou vjichylkl proto plati vztah v" = ym sin(wt q o ) . -
+
Z Easov6ho diagramu dBle vypllv5 pro amplitudu vfchylky ym = 0.2 a pro periodu T / 2 = 0,55 s - 0,25 s = 0.3 S, tedy T = 0,6 S. Ohli frekvence je pal< w = 2n/T = (2n/0,6) rad . s-' = rad . s-I. PonEv; podle grafu je v Ease t = 0, y = y, = 0 , l m, dostaneme PO dosazeni vztahu (a) 51 01 1 0.1 = 0,2 sinqo a odtud sin90 = 0,2 = 2 , 'Po = 6'
Vyjbdr'ime-li z tPto rovnice podil m/A = Al/g a dosadime-li ho do vztahu pro periodu T, dostaneme
YK
Po dosazeni za ym, w a y o do vztahu (a) dostaneme y = O,Zsin ( y n { t )
+ i)m.
.
--
ZBvaii po uvolnlni zaEne vykon&vatharmonickf kmitavi pohyb s periodou 0,4 s. Jak se zm6ni perioda harrnonicMho kmitaveho pohybu, jestliie k pruiin6 misto m8d6ne kuliFky pr'ipevnime hlinilcovou kuliEku o temie prbmGru? Hustota m6di je 8 930 kg . m-3, hustota hliniku 2 700 kg . n ~ - ~ .
Re~eni Pro periody rnEdEn6 a hlinikov6 lculiEky stej~khoobjemu, kterk lcmitaji na stejnjrch pruiinbch, plati
,;
Mz/MM= 81, Rz/RM= 3,7; TM/Tz= ? kde k je tuhost pruZiny. Dglenim levfch a pravfch stran obou rovnic dostaneme
MIdGnA kulieka kmita s 1,8krAt vZt5i periodou ne5 hlinikovfi.
Ze vztahfi pro periody matematickeho kyvadla na Zemi a n a MEsici vyplyv6 r
Pomer gz/gM tihovfch zrychleni na Zemi a na MLici u r E h e pomoci gravitaEniho zakona a druheho pohybovkho zBkona. Pro tihove sily, kterfmi phsobi Zem6 a MBsic na tBleso o hmotnosti m, plati
.,,
aloha 162 Jak se z m k i doba kmitu matematick6ho kyvadla, jestliie zkrAtime jeho dClku o 25 % pdvodni dblky? -
..
D61enim pravjich a levfch stran obou rovnic dostAvhe
~
l2 = l1 - i l l = all; T1/T2= ? Pro periodu matematickeho kyvadla piR1 zkrficenin~a po zkr6ceni jek ddky plati
T, =
27/$,
i2 =
2xfi2nE =
''
a po dosazeni do vztahu pro p o m h period matematickeho kyvadla ,
=2 . g .
Pro pomgr period T1/T2odtud dostAv6me r;--
l7-
Perioda matematickbho kyvadla na MBsici je 2,4krAt v6tii nei perioda t6hoi kyvadla na Zemi.
Po zkrAceni dklky matematickeho kyvadla o 25 % prlvodni d6lky plat( I pomBr jeho period = t j T2 = $TI = 0,87T1.
3 A,
Oloha 163 Jak se zrnIni perioda matematick6lto kyvaclla, jestlile ho p?enesnr~l(* Zeme na Mesic? Hmotnort MEsice je 8ll;rAt men5i nel hmotnost %(%I polom6r Zem6 je 3,ikrat v5tSi neZ polom6r MBsice.
ZBvaZi o hmotnosti 0,3 kg zav6benC na pruiine vykonfivA harmonicky knlitav9 pohyb danf rovnici
UrEete maximdni silu, ktera pdsobi b&hem pohybu na zAvaii.
,
8
0
a
2 0
1
52
.".-> 2 'I" V
.LdN d
;3 E
2
2
" * E
G
:.
5 2 '"
g2
3 5 6
", N
0
a
> .% '6
3
'8'Z Q)
a
2 3
w 3 c 2
45 8> 2 'd
d
3>
0
z
-0,
2 :2c
p 5>
w 0 m La
Ze vztahu pro frekvenci mechanickhho oscil~toruf = k = 4 4f2m
&f i dostavhe (b)
a po dosazeni (b) do (a) 2 2 1 E = ;4n2 j 2 r n y i = 2x2mf ym. 5,
Ciseln6 E = 2 .3,14' .0,2 5' . 0 , 0 2 ~J + 0,039 J. Celkovb energie ti5lesa vykonbvajiciho harmonickf kmitavf pohyb je % Pozndmka Uvedme jest5 drub$ zpfisob ie9eni t6to (lohy. PR prtlchodu t5lesa rovnovAdnou polohou je jeho potendAlni energie rovna nule a podle vztahu E = Ep Ek se jeho celkovk energie v tomto bod5 rovnA jeho energii kinetick6
+
.
E = E~= Am.;. 2
po dosmeni amplitudy rychlosti urn = w y , do tohot0 vztahu dostivame 2 2 1 1 = -m(uy,)2 2 = kmw2y', = -2m ( 2 ~ j ) ' y : = 2 x 2 m j Y..,
Mechanicke' vlngni je d6j, pfi n6mi se kmitbni p f e n s i lbtkovfm prostfedim. Pfi postupnh vlne'ni kmitaji vSechny body se stejnou amplitudou vfchylky, se stejnou frekvenci, ale rGznou, na Ease zbvislou f h i . K a i d i nkledujici bod dosahuje stejnC vychylky pozd6ji nei bod pPedchbejici. PFi s t o j a t h vlneizi kmitaji vSechny body se stejnou, popf. opaEnou fbzi, se stejnou frekvenci, ale s rdznou amplitudou vjrchylky, kterb zbvisi na poloze bodu. Mista s nejvgtgi arnplitudou vfchylky jsou krnitny, body, kterC jsou v klidu, se nazjrvaji uzly. Mechanickt5 vln6ni lze takt5 rozdglit na pHc'ne' (hmotnC body kmitaji kolmo na smgr, kterjrm vlngni postupuje) a podklne' (hmotn6 body kmitaji ve smgru, kterjrm vln6nf postupuje). Postup116 vln8ni je charakterizovbno rychlosti s'ii:eni vlneizi v, periodou T , frekvenci f, Ghlovou frekvenci w a vlnovou de'lkou A. Mezi tEn~itoveliFinami pIati vztahy
coi je ve shod&s piedchbzejicim v9sledkem.
Rovnici harrnonicke' postupne' vlny, kterb se Sili Fadou hmotnfch bodb, lze vyjbdfit vztahem
kde y je okamiitd vfchylka hmotneho bodu, kterf leii ve vzdblenosti x vpravo od poEAtku, v Ease t. Pfitom pFedpoklbdzime, i e v poEAtku je harmonicky kmitajici bodovf zdroj vln6ni a vzniklC vlnkni neni tlumen6. Interference vlngni je d6j, pfi n6mZ se v urzitkm bod6 prostfedi, kterfm se SiN vlnEni, sklAdaji okamiitt5 vichylky dvou a vice vlnEni. Interferenci dvou stejnfch vln6ni vznikb vfslednC vlngni, jehoi amplituda je nejvktgi v mistech, v nichi se vln6ni setkbvajji se stejnou f&i (interferenzni maximum), a nejmensi (popi. nulovb) je v mistech, v nichi se vlnEni setkhvaji s opaEnou fbzi (interferencni minimum). Mechanick6 vlngni v prostoru se SiFi ve vlnoplochdch. Vlnoplocha postupn6ho vln6ni je plocha, jejii body kmitaji se stejnou fbzi.
I
Pro 5iFeni vln6ni plati HuygensGv princip, podle kter6ho kaidf bod vlnoplochy, do nBhoi dospBlo vlnBni v urEit6m okamiiku, mhieme povaiovat za zdroj elementbrniho vln&ni, kter6 se z nBho SiPi v elementbrnich vlnoploch8ch. Vlnoplocha v dalSim Easov6m okamiiku je vnBjSi obalovb plocha vSech elementbrnich vlnoploch. Zvukove' vlneizi je mechaniclc6 vlnBni o frekvenci pfibliinr! 16 Hz a2 16 kHz, kter6 vnimbme sluchem. Zdrojem zvuku je chvBni pruinfch tBles. Rychlost zvuku ve vzduchu zbvisi na teplotr! t podle vztahu vt = (331,82 0,61{t)) m . s-l.
+
V kapalinbch a pevnfch l&tkbchje rychlost zvuku vBtSi nei ve vzduchu.
( -:),
y1 =ymsinw t -
y2=ymsinw
Fbzovf rozdil obou bodd je Ill
V
. CiselnB A y = 2 ~2.0,75 rad = sc rad. 3 Fbzovi rozdil obou kmitajkich bodfi je K rad. % Pozncimka Pon6vodl fizovq rozdil obou kmitajicich bod( opdn6ho sm6ru.
j e n, maji oba
body stejn6 velk6 vichylky
Jakd je amplituda vfchylky, perioda, frekvence, vlnovb d e k a a rychlost vlny vyjbdlen6 rovnici 2n(8{t} - 5{x))? VSechny veliEiny jsou uvedeny v hlavnich jednotkach soustavy SI. {y} = 4.10-'sin
loh ha
167 Jakou rychlosti se Si?i vlna, jestliie mS vlnovou ddlku 0,425 m a kmitoEet
all
2scf Ax v
aeieni Porovnhim rovnice dan6 vlny s obecnou rovnici vlnBni
11: I
1
11,
1 ,,, I
1.
I
'' :..
I
. ,
ReSeni A = 0,425 m, f = 2,5 . lo3 Hz; v = ?
Y = Ym sin 2x
(- - I)
Pro vlnovou d6lku A plati A = v/f a odtud v = f = 2,s. lo3 .0,425 m . s-' = 1,l . lo3 m . s-l. Vlna se 5iPi rychlosti o velikosti 1,l km . s-l.
aloha 1 6 8 Jak9 je ftizovf rozdil dvou bod6 postupn6 vlny o frekvenci 2 Hz, kterS sc 3IfI pod61 pryiov6 hadice rychlosti o velikosti 3 m . s-l? Vzbjemnb vzd6le11(1!11 bodh je 75 cm.
ReSeni f = 2 Hz, v = 3 m-s-', Ax = 0,75 m; A y = ? Pro vfchylky obou bod5 v postupnk vlnB 5ifici se pod61 hadice v kl;rtl111;111 smgru osy x plati
Dan5 vlna mb amplitudu vfchylky 4 . m, periodu vlnovou d6lku 0,2 m a velikost rychlosti 1,6 m . s-l.
s, frekvenci 8 Hz,
Jakou rovnici mA vlna, jejii frekvence je 30 Hz a amplituda 2 cm, jestliie postupuje v kladn6m smBru osy x rychlosti 3 m . s-l?
Protoie ym = 0,02 m, T = l/f = 8 O s a h = vT = 3 . $ m = 0.1 m, lze rovnici postupndho vlngni y = y, sln2n(t/T - x/X) napsat ve tvaru
Oloha 171 Na obr. 30 je znborncna v u r ~ t 6 m~asovdmokamQku pfznb postupna ' ' sinusova villa, ktera se $iff v kladndm s m h u OSY 2 rychlosti 20 Eetejeji ,,lnovou d,gku a stanovte periodu, frekvenci a amplitudu vfchylky bodfi A a B. NapiSte rovnici U V & O Vpostupn6 ~ ~ ~ vlny.
"T
m
a odtud po dosazeni za ,y
TaA
{y} = 0,02 sin 2n - - - = 0,02 sin 2n(2,5{t) - 0,125{x}). (0,4 8 ) V1na mbzorngn6 na obr. 30 mb vlnovou &lku 8 m, ~ o A da B ~kmitaji s ~eriodou0,4 3, s frekvenci 2,5 Hz a s amplitudou v$chylky 0 0 2 m.
oloha 172 Harmonickb (sinusovb) vlna se 5ii.i od zdroje v]ngni, kter$ je umistgn v ~oE&tku soufadnicov6 soustavy v kladndm smgru osy X. UrEete okamiitou vfch~lkuhmotndho bodu vzdaendho a: = & A od zdroje vlngni ease t = = QT.Amplituda vjichylky je 0,05 m.
Regeieni = 0,05 m, x = &A, t = iT;y = ?
y,
Harmonickou vlnu mfiieme popsat rovnici y = y, sin 2n (4 T
-2) X
(X)
Ciselng {y) = 0,05 sin 2x 6 - 2 Obr. 30
Regeni Z obr. 30 vypl$vb, Ze vlnovb d6lka dand sinusovd vlny je h = 8 m. 0 body A a B vykonbvaji harmonickji kmitav$ pohyb se stejnou periodou, frekvenci a se stejnou amplitudou v$chylky, Pon5vadZ h = vT,pro period~ T odtud dostAvhe
Frekvence f je pak
Podle obr. 30 je amplituda v$chylky obou bodfi y, = 0,02 m. Rovnici dank postupnd vlny mfifeme ps&t ve tvaru
1 6
(:a)-
= 0,05 sin 2n - - -
-
1 2
= 0,05sin -x = 0,05 . - = 0,025 y = 0,025 m = 2,5 cm.
Hledanb okarniitb vjichylka hmotndho bodu je 2,5 cm.
Oloha 173 Zdroj vlngni konb netlumend harmonickd kmity, kterd lze popsat rovnici {y) = 0,04 sin 600n(t}. Z tohoto zdroje se v kladndm smEru osy x SiPi vlnEni rychlosti o velikosti 300 m . s-l. NapiSte rovnici vzniklCho harmonickdho vlncni. Jakou okan~iitouvjichylku m& bod vzdblenf 75 cm od zdroje v Ease 0,01 s? Gas p o E i t h e od z&&tku k m i t h i zclroje.
.&S 2 C .z.%, 2
a
u V ) % ,
'a, 0 >a, -0
m m s 1
p."x
% a >
1 > g
2 ;c 7 s
;z
a
a 3 'a N a E
z s g = 'a 0 > r d & N y D 4 g
(
d
? %a C >N \a &
,2 2 'rd > a ,a, + '6 ;cgZ$ i&
a T -a
aloha 177 Jakh je vzdaenost mezi sousednimi uzly stojatg pod6ln6 zvukov6 vlny ve vzduchu, mb-li zvuk ve vzduchu rychlost 342 m s-I a frekvenci 440 Hz? Regeni v = 342 m . s-', f = 440 Hz; 1 = ? Podle obr. 31 hledanB vzdiilenost 1 je 1 = $A. PonGvadi X = v/f, dostb viime v X
Rychlost, kterou se mdie strunou SiPit postupn6 vlngni, je 2 km . s-I. VInovA delka zvukov6ho vlngni, ktere se pii tom (iii vzduchem do okoll struny, je 0,34 m. % Pozndmka Pii Meni tMo Glohy je tfeba rozliSovat mezi rychlosti v , kterou se m l t e strunou Siiit postupn6 vlnsni, a rychlosti v z , kterou se Sifi ve vzduchu do okoli struny zvukov6 vlneni. DUe je tFeba rozliSovat mezi vlnovou ddlkou A stojatCho vlnkni na strune a vlnovou dilkou A*, zvukov6ho vlnlnl ve vzduchu. Frekvence f je pro oba druhy vlnlni stejnl.
"
Trubice o dace 1 m je na jednom konci uzavfena. UrEete frekvence, se kterfmi mGZe kmitat vzduch uvnitf trubiee. Rychlost zvuku ve vzduchu je 340 m s-l.
342 Ciseln5 1 = -m = 0,39 m. 2.440 VzdAlenost mezi sousednimi uzly dan6ho stojat6ho vln6ni je 0,39 m.
e l X
1
Obr. 31
7
Obr. 32
aloha 178 Struna daky 1 m mii zAkladni t6n o frekvenci 1000 Hz. UrEete ryehlost, kterou se mdie strunou Sifit postupnd vlngni. JakA je vlnovb d6lka zvuku, kterf se 5iii vzduchem do okoli struny? Rychlost Eiieni zvuku ve vzduchl~
= 21
Podle obr. 32 je vlnovii d6lka stojat6 vlny vznikl6 na strung PonBvadi X = v l f , dostAvBme pro rychlost, se kterou se mfiie stru~tr,~l Sifit postupn6 vlngni, v=Xf = 2 1 f = 2 ~ 1 ~ 1 0 0 O m ~ s ~ ~ = 2 0 0 0 m - s ~ ' . Pro vlnovou d6lku zvuku, kterjl se SGi vzduchem do okoli struny, l ~ l r t l l A, = v,/f, kde vz je rychlost zvuku ve vzduchu a f jeho frekvenc.(-. dosazeni dostBviime 1'11
k=3;1=5+ Obr. 33
Z obr. 33 je patrnd, Ze uvnitf trubice se vytvoR stojat6 vln6ni; pii tom na otevienem konci trubice vznikb vZdy kmitna, na uzavfendm uzel. Z obr. 33 d 8 e vyplfvti, Ze na d6lku trubice 1 pfipadh vidy lichf nbobek hvrtvln:
1 = (2k - 1)-X k Ic = 1,2,3, . . . 4 ' Dosadime-li do tohoto vztahu Ak = V/fk, d o s t h v b e 1 = (2k - 1 ) -
v
4.fk
a odtud
fk
Po dosazeni lze tento vzorec psAt ve tvaru
= (2k - 1)-v
41 '
340 = (2k - 1 ) HZ = (2k - 1)85 Hz. 4.1 Frekvence, se kterfmi mfiie kmitat vzduch uvniti trubice uzavfenk na jednom konci, je urEena vztahem f k = (2k - 1)85 Hz. fk
I 1
Pozndmka Uvniti trubice se vzduchem vznikaji vidy podbln6 kmity; na obr. 33 jsou kmity pro v5t3 nbornost znizorn5ny jako piiEnC.
I
I
I I
nloha 180 Ve vzd&lenosti 1094 m od pozorovatele udefilo do piimjrch kolejnic kladivo. Pozorovatel, kterjr p~iloiilucho ke kolejnici, uslySel zvuk E i c i se kolejnici o 3 s diive nei zvuk, kterjr se SiTil vzduchem. UrEete rychlost zvuku v ocelovk kolejnici. Pfedpoklfid&me, i e rychlost zvuku ve vzduchu
I
I I I
) I
I I I II
,
u = 2 4 4 8 km.h-'=68Om.s-',
v =340m-s-l; a = ?
Z bod13 0, 1, 2, 3 trajektorie stiely se rozSiiuji do okolniho prostoru element5rni kulovk vlnoplochy (obr. 34). Podle Huygensova principu Eelo qklednb zvukov6 vlny je vnZjjSi obalovou plochou tfchto vlnoploch; toto Eelo mb tvar kuiele.
Pro 'iiieni zvuku ve vzduchu a v kolejnicich plati kde tl je doba, po kterou se zvuk Sifil ve vzduchu, t2 doba, po kterou se Sifil v kolejnicich, v je rychlost zvuku ve vzduchu a u hledani rychlost zvuku v kolejnicich. Z obou rovnic vypljrvS
I I
ut2 = vtl
a odtud
u = v-.t 1
t2
Dobu tl mcieme vypotitat z rovnice tl = slv. Pon6vadi rozdil mezi dobami Siieni zvuku je At = tl - t z = 5 - t z , vypl9vzi odtud
Obr. 34
Zs dobu t urazi stiela rychlosti u drahu 1201 = ut, zvukov6 vlna Siiici se z bodu 0 rychlosti v urazi za stejnou dobu dr6hu JOPI = vt. Z pravoiihl6ho trojGhelniku AZPO pak dostAvdme
S
t z = - - At. v
I
I I I I
Dosadime-li za tl a t z do rovnice (a), dostaneme S sv u = v L = 2
- At
s -vht'
cr = 340 m .s-l - 1 Ciseln~ sin 2 680m.s-1 2' a tedy Ohel a u vrcholu kuiele, kterjr se vytvdii za letici
cr = 30°, a = GO0. 7
stielou, je 60'
@&. Pozncimka
I I
Ocelovou kolejnici se 3iii zvuk rychlosti o velikosti 5 km . s-'
loh ha
181 Stfela letici rychlosti 2448 km - h-' vytv6fi za sebou zvukovou vlnu ~ I I ielovBho tvaru. VysvGtlete, proE Eelo vjrslednb zvukov6 vlny md kuielovi tvar, a urEete ~ h e al u vrcholu tohoto kuiele. Rychlost zvuku ve vzd~~c-l~ll je 340 m - s-l.
Analogickfm zplbobern rndteme take vypoiitat iihel dvou piimkovych vlnoploch, kteri se na vodni hladine vytv5Peji za pohybujicim se Elunem.
