(1) 2 kde m je klidová hmotnost a q je náboj elektronu. + -

Učební text k přednášce UFY102

Vnější fotoefekt a Comptonův rozptyl. Pojem fotonu.

Vnější fotoefekt a Einsteinovo pojetí fotonu Fotoelektrický jev (fotoefekt) byl objeven na základě zjištění, že se zinek po osvětlení ultrafialovým zářením nabíjí kladně. Časem se ukázalo, že podobným způsobem se chovají i jiné materiály. Experimentálně je možno fotoelektrický jev studovat tak, že se čistý povrch kovu (fotokatoda) ve vyčerpané baňce ozařuje světlem a uvolněné elektrony (tzv. fotoelektrony) se elektrostaticky přitahují k elektrodě, která má proti fotokatodě kladný potenciál (anoda). Spojíme-li fotokatodu i anodu do obvodu, můžeme měřit fotoelektrický proud přenášený vakuem uvolněnými fotoelektrony. Má-li naopak anoda proti fotokatodě záporný potenciál, brzdí uvolňované fotoelektrony, až při určité hodnotě záporného napětí fotoproud zcela ustane. Fotoelektrický jev – shrnutí experimentálních poznatků: 1. z osvětlovaného povrchu jsou emitovány elektrony s rychlostmi mezi nulou a maximální rychlostí vmax . Maximální rychlost lze určit z brzdného napětí V0 podle vztahu

1 2 m0vmax = qeV0 2

(1)

kde m0 je klidová hmotnost a qe je náboj elektronu. světlo

elektrony

A V

+ -

Obr. 1. Schéma měření brzdného napětí V0 při vnějším fotoelektrickém jevu.

2. fotoproud roste lineárně s intenzitou dopadajícího záření; 3. emise fotoelektronů je pozorována bez ohledu na to, jak nízká je intenzita dopadajícího záření; 4. velikost brzdného napětí V0 (a tedy maximální kinetická energie fotoelektronů) nezávisí na intenzitě dopadajícího záření; 1



5. fotoefekt je prahový jev, tj. pro fotoemisi existuje mezní frekvence ν 0 , která závisí na osvětlovaném materiálu; je-li frekvence dopadajícího záření ν < ν 0 , potom nedochází k uvolňování fotoelektronů; 6. je-li ν > ν 0 , potom maximální kinetická energie fotoelektronů roste lineárně s frekvencí

ν dopadajícího záření. Podle klasických představ by však fotoemise neměla záviset na frekvenci dopadajícího záření nýbrž na jeho intenzitě a nemělo by se jednat o jev prahový. Vysvětlení podal Einstein na základě představy, že pole záření je kvantováno a tedy energie může být pohlcována pouze po kvantech hν , která byla později nazvána fotony. Na základě této představy lze mechanismus fotoelektrického jevu velmi jednoduše vysvětlit: elektron v blízkosti povrchu materiálu absorbuje foton hν . Část energie spotřebuje na to, aby se dostal k povrchu a další část energie potřebuje na uvolnění z povrchu materiálu. Označíme-li celkovou energii potřebnou k jeho uvolnění z povrchu Φ , potom rozdíl mezi hν a Φ se objeví jako kinetická energie, tedy hν =

mv 2 +Φ 2

(2)

Vztah (2) nevyjadřuje nic jiného než zákon zachování energie. Pokud elektron bude na povrchu, potom Φ bude mít minimální hodnotu Φ 0 , kterou nazýváme výstupní práce a která odpovídá energii potřebné k uvolnění elektronu z povrchu materiálu. V tomto případě potom bude hν =

2 mvmax + Φ0 2

,

(3)

což je tzv. Einsteinova (fotoelektrická) rovnice. Mezní frekvence ν 0 odpovídá potom emisi elektronu s nulovou kinetickou energií, a tedy

ν0 =

Φ0 h

(4)

Jeden foton o dostatečné energii stačí na uvolnění jednoho fotoelektronu. Vyšší intenzita dopadajícího záření znamená větší počet fotonů a tedy více uvolněných fotoelektronů. S rostoucí intenzitou roste fotoproud, ale nikoliv maximální kinetická energie fotoelektronů a tedy ani brzdné napětí V0 . Vztah (3) lze s užitím (4) upravit do tvaru 2 mvmax = h (ν − ν 0 ) 2

,

(5)

2



který říká, že maximální kinetická energie ( = qeV0 ) je lineární funkcí frekvence se směrnicí rovnou h a protínající vertikální osu v bodě −Φ 0 (viz obr. 2). Platnost vztahu (5) potvrdil rozsáhlou experimentální studií Millikan. Různé kovy mají různé charakteristické hodnoty

Φ 0 a ν 0 , avšak pro všechny má lineární závislost shodnou směrnici rovnou Planckově konstantě h (viz obr. 3). Ve své době to byl dobrý způsob experimentálního stanovení Planckovy konstanty. 1 2

1 2

2 mvmax

2 mvmax

hν ν0

ν

Φ0

qeV0 (eV)

Obr. 2. Graf ilustrující vztah (5).

2

100 -2

-6

300

500

700

900

1100

frekvence (THz)

cesium berylium titan nikl

Obr. 3. Graf ilustrující Mullikanovy výsledky.

3



kov

ν 0 (THz)

Φ 0 ( eV )

cesium berylium titan měď nikl platina

460 940 990 1100 1210 1530

1,9 3,9 4,1 4,5 5,0 6,3

Tab. 1. Mezní frekvence a výstupní práce některých kovů.

Foton

Podle Maxwellovy teorie platí mezi energií E a hybností p elektromagnetické vlny vztah

E = cp

(6)

Energie a hybnost částice s klidovou hmotností m0 jsou svázány (podle speciální teorie relativity) vztahem E=c

(m c

2 2 0

+ p2 )

(7)

Aby vztahy (6) a (7) platily i pro foton, musí být nulová jeho klidová hmotnost. Potom je celková energie fotonu dána, stejně jako pro ostatní částice, relativistickým výrazem

E = mc 2 , kde m=

m0 v2 1− 2 c

(8)

Protože foton má konečnou relativistickou hmotnost m a protože m0 = 0 , může existovat jenom při rychlosti c a jeho energie je čistě kinetická. Ze vztahu (6) plyne, že hybnost fotonu může být vyjádřena jako

p=

E hν h = = c c λ

(9)

V případě dokonale monochromatického paprsku světla vlnové délky λ bude mít každý foton hybnost h λ , respektive (s uvážením vztahů = = h 2π ; k = 2π λ ) G G p = =k

(10)

Vztah (9) pro hybnost fotonu byl experimentálně potvrzen v roce 1923 Comptonem. Comptonův rozptyl

Compton studoval rozptyl rentgenového záření na elektronech (schéma viz obr. 4).

4



odražený elektron

dopadající foton

elektron

φ θ

rozptýlený foton

Obr. 4. Geometrie Comptonova rozptylu.

Dopadající foton má energii Ei = hν i a hybnost pi = energii Es = hν s a hybnost ps =

hν i h = , rozptýlený foton bude mít λi c

hν s h = . Předpokládejme pro jednoduchost, že k rozptylu c λs

dochází na elektronu v klidu. Při vysvětlení vyjdeme z platnosti zákona zachování energie a zákona zachování hybnosti (před a po srážce fotonu s elektronem), tedy

hν i + m0c 2 − hν s =

(m c ) + ( p c) 2 2

0

e

G G G pi = ps + pe

2

(zákon zachování energie)

(11)

(zákon zachování hybnosti)

(12)

G kde m0 je klidová hmotnost elektronu a pe je hybnost elektronu po srážce.

Pomocí (12) můžeme vyjádřit G G G G G G pe2 = ( pi − ps ) . ( pi − ps ) = pi2 + ps2 − 2 pi . ps = pi2 + ps2 − 2 pi ps cosθ

(13)

Vynásobením obou stran rovnice (13) c 2 a dosazením za ( pi c ) a ( ps c ) dostaneme 2

( pec )

2

= ( hν i ) + ( hν s ) − 2h 2ν iν s cosθ 2

2

2

(14)

Vyjádříme ( pe c ) pomocí vztahu (11) 2

( pec )

2

= ( hν i ) + ( hν s ) − 2h 2ν iν s + 2m0c 2 ( hν i − hν s ) 2

2

(15)

Ze vztahů (14) a (15) potom dostáváme

1 1 1 − = (1 − cosθ ) hν s hν i m0c 2

(16)

5


λs − λi = Δλ =

nebo


h (1 − cosθ ) m0c

(17)

Vztah (17) představuje Comptonovu rovnici udávající vztah mezi změnou vlnové délky a rozptylovým úhlem θ (a klidovou hmotností m0 částice, na které k rozptylu dochází). Výraz

h m0c se nazývá Comptonova vlnová délka rozptylující částice. Comptonova vlnová délka je tím větší, čím menší je klidová hmotnost rozptylující částice. Avšak i pro lehkou částici jakou je elektron je Comptonova vlnová délka (2,43.10-3 nm) malá ve srovnání s vlnovou délkou viditelného záření. Proto je téměř nemožné pozorovat Comptonův rozptyl pro viditelné záření. Avšak pro rtg záření (typické vlnové délky 0,1 ÷ 0,01 nm) je možné posun vlnové délky při Comptonově rozptylu bez problémů měřit. Z Comptonovy rovnice je zřejmé, že Δλ nezávisí na vlnové délce λi dopadajícího záření a že roste s rostoucím rozptylovým úhlem θ . Comptonův rozptyl představuje jeden z nejpřesvědčivějších projevů částicové povahy elektromagnetického záření. Vlnově korpuskulární dualismus

Youngův pokus, difrakční jevy – důkaz vlnové povahy světla fotoelektrický jev, Comptonův rozptyl – důkaz částicové povahy světla energie

E = hν

hybnost

p=

h

λ

frekvence vlnová délka

Na levé straně výrazů výše jsou částicové charakteristiky světla ( E , p ), na pravé straně potom vlnové charakteristiky světla (ν , λ ). Vlnová teorie je vhodná k popisu šíření světla, zatímco kvantová teorie je nutná k popisu interakce záření s látkou. Dualita spočívá v tom, že světlo se chová buď jako vlna nebo jako

částice v závislosti na povaze experimentu. Vlna a částice (foton) jsou dva fyzikální modely umožňující vysvětlit optické jevy. Střední tok fotonů

Φ=

A S P = hν 0 hν 0

,

kde A označuje plochu, kterou fotony tečou, S je zářivost (časová střední hodnota velikosti Poyntingova vektoru), θ je energie fotonu a P je světelný výkon svazku ve wattech. Střední hustota toku fotonů znamená průměrný počet fotonů dopadající za jednotku času. Například pro svazek emitovaný 1 mW He-Ne laserem generujícím na vlnové délce λ = 632,8 nm dává střední fotonový tok

6



1,0.10−3 W )( 632,8.10−9 m ) ( P Pλ Φ= = = = 3, 2.1015 fotonů za sekundu −34 8 -1 hν 0 hc ( 6,626.10 Js )( 2,998.10 ms )

Pravděpodobnostní interpretace rozložení pravděpodobnosti ~ (amplituda)2

Vlnově-částicový dualismus je typický nejen pro foton, ale i pro další hmotné částice, kdy vlnová délka částice o hybnosti p = mv je rovna

λ=

h h = p mv

(de Brogliova hypotéza)

(18)

Protože Planckova konstanta h = 6, 626.10−34 Js je malá, je i vlnová délka makroskopických objektů extrémně malá a tudíž vlnové projevy makroskopických objektů nejsou měřitelné.

7

(1) 2 kde m je klidová hmotnost a q je náboj elektronu. + -

Recommend Documents