55
LAMPIRAN
56
LAMPIRAN Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Berbagai macam kejadian diperoleh melalui pengamatan dari serangkaian percobaan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Dalam banyak kasus, hasil percobaan tersebut bergantung pada faktor kebetulan dan tidak dapat diprediksi dengan tepat. Tetapi, kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil untuk setiap percobaan. Definisi A.1 (Ruang contoh) Himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh dan dinotasikan dengan Ω. (Grimmett dan Stirzaker, 2001) Definisi A.2 (Kejadian) Kajadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. (Grimmett dan Stirzaker, 2001) Definisi A.3 (Medan-σ) Medan-σ adalah himpunan
yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari
Ω yang memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: a) b
jika
c)
jika
,
,
,…
maka .
Medan-σ terkecil mengandung semua selang berbentuk
∞,
,
, disebut
medan Borel, dan anggotanya disebut himpunan Borel. (Grimmett dan Stirzaker, 2001)
57
Definisi A.4 (Ukuran Peluang) Ukuran peluang P pada Ω, 0, dan
a) b
Jika
,
,
adalah suatu fungsi
Ω
:
0,1 yang memenuhi
1.
, … adalah himpunan angota
lepas yaitu
anggota
yang saling
untuk semua pasangan , dengan
maka:
.
Definisi A.5 (Kejadian saling bebas) Kejadian-kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika: ;
Secara umum, himpunan kejadian
dikatakan saling bebas jika:
untuk semua himpunan bagian terhingga J dari I. (Grimmett dan Stirzaker, 2001) Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi A.6 (Peubah acak) Peubah
acak
adalah
Ω
suatu
:Ω
fungsi
untuk setiap
dengan
sifat
bahwa
. (Grimmett dan Stirzaker, 2001)
Peubah acak dinotasikan dengan huruf capital seperti X, Y, dan Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, dan z. Setiap peubah acak mempunyai sebaran, sebagaimana didefinisikan berikut ini. Definisi A.7 (Fungsi Sebaran) Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah fungsi
0,1 diberikan oleh
. (Grimmett dan Stirzaker, 2001)
58
Definisi A.8 (Peubah acak diskrit) Peubah acak X disebut diskrit jika nilainya hanya pada himpunan bagian tercacah ,
,…
dari
. (Grimmett dan Stirzaker, 2001)
Definisi A.9 (Fungsi kepekatan peluang) Fungsi kepekatan peluang dari peubah acak diskrit X adalah fungsi
:
0,1
yang diberikan oleh: . (Grimmett dan Stirzaker, 2001) Definisi A.10 (Peubah acak Poisson) Jika suatu peubah acak X nilai-nilainya dalam himpunan {0,1,2,…} dengan fungsi kepekatan peluang ! dengan
, untuk
0,1,2, …
0 , maka X dikatakan memiliki sebaran Poisson dengan parameter . (Grimmett dan Stirzaker, 2001)
Nilai Harapan, Ragam, Momen Definisi A.11 (Nilai harapan, momen, ragam) Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan fungsi kepekatan peluang p(x). Nilai harapan dari peubah acak X adalah . Moment ke-k, dengan k merupakan bilangan bulat positif, dari suatu peubah acak X adalah . Misalkan momen ke-1, acak X adalah .
. Maka momen pusat ke-k atau
dari peubah
59
Nilai harapan dari peubah acak X merupakan momen pertama dari X, sedangkan ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X. Ragam (Varian) dari X, atau
dan dilambangkan dengan
adalah nilai harapan dari kuadrat
perbedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya, yaitu . (Hogg et al, 2005) Penduga dan Sifat-sifatnya Definisi A.12 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak bergantung pada satu atau beberapa parameter. (Hogg et al, 2005) Definisi A.13 (Penduga) ,
Misalkan ,
,…,
adalah
,…,
contoh
acak.
Nilai ,…
statistik
yang digunakan untuk menduga fungsi parameter
dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi .
Suatu
,
,…,
dari
U
, yang dinotasikan sebagai
dengan nilai pengamatan
disebut sebagai dugaan (estimate) bagi
,
. (Hogg et al, 2005)
Definisi A.14 (Penduga tak bias) a)
Suatu statistik
yang nilai harapannya sama dengan parameter
dituliskan
, disebut penduga tak bias bagi
,
. Selainnya
statistik dikatakan berbias. b)
Jika lim
, maka penduga
disebut penduga tak
bias asimtotik. (Hogg et al, 2005)
60
Definisi A.15 (Penduga konsisten) Suatu statistik
yang konvergen dalam peluang ke suatu parameter, disebut
penduga konsisten bagi
. (Hogg et al, 2005)
Definisi A.16 (MSE suatu penduga) Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga W untuk parameter dari
yang didefinisikan oleh
adalah fungsi
. Dengan kata lain MSE adalah nilai
harapan kuadrat dari selisih antara penduga W dan parameter
.
Dari sini
diperoleh: . (Cassella dan Berger, 2002) Definisi A.17 (O(.)) Simbol O(.) dibaca “big-o-h”, ini merupakan suatu cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi
dan
dengan x menuju suatu limit L. Notasi
, Menyatakan bahwa
terbatas, untuk
. (Serfling, 1980)
Definisi A.18 (o(h)) 0. Hal ini berarti bahwa
0, jika lim
Suatu fungsi f disebut o(h), 0 lebih cepat daripada
0. (Ross, 2007)
Dengan menggunakan definisi 31 dan 32 maka didapatkan hal-hal sebagai berikut: a)
Suatu
barisan
bilangan
1 untuk
nyata
{an}
disebut
terbatas
dan
ditulis
∞ , jika ada bilangan terhingga A dan B sehingga
untuk semua bilangan asli n. b)
Suatu barisan 1 , untuk
yang konvergen ke nol untuk
∞, dapat dituliskan
∞. (Purcell and Varberg, 1998)
61
62Definisi A.19 (Fungsi indikator) Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi Ω
0 , 1 , yang diberikan oleh 1 , 0 ,
jika ω jika ω
. (Grimmett and Stirzaker, 2001)
Definisi A.20 (Konvergen dalam peluang) ,
Misalkan Ω, ,
,…,
adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang
. Barisan peubah acak
dinotasikan |
dikatakan konvergen dalam peluang ke X, 0 berlaku:
, jika untuk setiap
|
0, ∞.
untuk
(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Definisi A.21 (Konvergen dalam sebaran) ,
Misalkan Ω, ,
,…,
adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang
. Barisan peubah acak
dikatakan konvergen dalam sebaran ke X,
, jika untuk setiap x pada fungsi
dinotasikan
yang
kontinu berlaku , ∞.
untuk
(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Definisi A.22 (Titik Lebesque) Suatu titik s dikatakan titik Lebesgue dari fungsi lim
1 2
|
|
jika
0. (Wheeden and Zygmund, 1977)
62
Lema A.1 (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan g memiliki turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x. Maka |
! untuk
| ,
.
Bukti:
Lihat Serfling (1980)
Lema A.2 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan
dari ragam
, maka untuk
setiap k > 0, berlaku: |
|
. (Ross, 2007)
Bukti:
Lihat Lampiran 2.
Lema A.3 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika X dan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas maka
dan akan bernilai “sama dengan” jika dan hanya jika
0
1 atau untuk
suatu konstanta a. Bukti: Lihat lampiran 3 Lema A.4 (Momen dan momen pusat peubah acak Poisson) Jika X adalah peubah acak Poisson dengan parameter μ , maka i.
.
(A.1) .
ii. iii.
3
iv.
7
v.
(A.2) . 6 3
.
(A.3) .
(A.4) (A.5) (Grimmet dan Stirzaker, 2001)
Bukti:
Lihat lampiran 4.
63
Lampiran 2. Lema A.2 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan
dari ragam
, maka untuk
setiap k > 0, berlaku: |
|
.
Bukti: adalah peubah acak tak negatif, maka dapat digunakan
Karena
pertidaksamaan Markov di atas, dengan a = k, sehingga diperoleh |
|
dan akhirnya dipeoleh |
|
.
Jadi Lema A.2 terbukti.
64
Lampiran 3. Lema A.3 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika X dan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas maka
0
dan akan bernilai “sama dengan” jika dan hanya jika
1 atau untuk
suatu konstanta a. Bukti: Pilih salah satu dari
0
1 atau
0
1.
Pada kasus pertama, persamaan akan terpenuhi karena kedua ruas mempunyai nilai nol, sehingga kita dapat mengasumsikan
0
1, yang berarti bahwa
0 dengan peluang positif, sehingga
X mempunyai suatu nilai 0. Didefinisikan fungsi kuadrat
2
.
Fungsi kuadrat di atas akan bernilai minimum pada saat
sehingga 0
.
Untuk setiap yang real ganti
dengan
2 2
sehingga 0 Di satu sisi, hal ini berimplikasi bahwa
.
65
Dan di sisi lain jika sama akan 0. Jika
menempati nilai yang tidak nol dengan peluang yang positif, akan
didapatkan 0. Hal ini mengakibatkan kontradiksi, maka haruslah Jadi terbukti
.
0
1.
66
Lampiran 4. Lema A.4 (Momen pusat) Jika X adalah peubah acak Poisson dengan parameter μ , maka .
i.
(A.1) .
ii. iii.
3
iv.
7
(A.2) . 6 3
v.
(A.3) .
(A.4)
.
(A.5)
Bukti: Untuk membuktikan persamaan-persamaan di atas digunakan fungsi pembangkit peluang
untuk peubah acak Poisson dan Teorema A.1 adalah sebagai
berikut .
!
A. 6
Teorema A.1 Jika X memiliki fungsi pembangkit peluang
, maka
i. ii.
1 …
Secara umum dapat ditulis
1
1 .
Bukti: (Grimmet dan Stirzaker, 2001) Berdasarkan teorema dan persamaan (A.6) maka (A.7) 1
(A.8)
1
2
1
2
(A.9) 3
.
(A.10)
Dari persamaan (A.7) secara langsung dapat membuktikan persamaan (A.1). Kemudian akan dibuktikan persamaan (A.2), (A.3), (A.4), dan (A.5). Untuk membuktikan persamaan (A.2) digunakan persamaan (A.7) dan (A.8) sehingga 1
67
. Untuk membuktikan persamaan (A.3) digunakan persamaan (A.7), (A.8), dan (A.9) sehingga 1
2 3
2
3
2 3
.
Untuk membuktikan persamaan (A.4) digunakan persamaan (A.7), (A.8), (A.9), dan (A.10) sehingga 1
2
3 6
11
6
6
3 7
11 6
6
.
Dengan menggunakan persamaan (A.1), (A.2), (A.3), dan (A.4) maka dapat dibuktikan persamaan (A.5) sebagai berikut 4
6
4 3
6 6
7 .
4 4 4
3
6
4
68
Lampiran 5. Program-program Simulasi A.
Program membangkitkan realisasi proses Poisson periodik untuk interval pengamatan [0,500]
Random<-function(wsize,tau) { maxlambda<-5.693564 LAB<-(maxlambda)*wsize N<-rpois(1,LAB) points<-runif(N,0,wsize) lambda<-2*exp(sin((2*pi*points)/tau))+0.02*points p<-lambda/maxlambda p[p<0]<-1e-06 p[p>=1]<-0.999999 hold<-rbinom(N,1,p)==1 selected<-points[hold] return(selected) } # Bangkitkan Proses Poisson dgn wsize=500 dan tau=10 Data<-Random(500,5) Data
B.
Program membangkitkan Penduga dan grafiknya untuk interval pengamatan interval pengamatan [0,500]
Duga<-function(Data,wsize,titik,band,tau) { K<-floor((wsize-titik)/tau) vdt<-1:K for(k in 1:K) { pusat<-titik+(k-1)*tau bawah<-pusat-band atas<-pusat+band sample<-Data[Data>=bawah&Data<=atas] vdt[k]<-length(sample)/(2*k*band) } Dugaan<-((sum(vdt)/log((wsize/tau),base = exp(1))) -(0.02056*((wsize/log((wsize/tau),base = exp(1)))))) return(Dugaan) } Penduga<-function(Data,wsize,a,b,band,tau) { x<-seq(a,b,0.1) yduga<-seq(a,b,0.1) K<-length(yduga) for(k in 1:K) { titik1<-x[k] yduga[k]<-Duga(Data,wsize,titik1,band,tau)
69
} return(yduga) } #a,b adalah batas bawah dan batas atas interval yang dievaluasi #Program menampilkan gambar fungsi sebenarnya VS fungsi dugaan Gambar<-function(a,b,tau) { x<-seq(a,b,0.1) ytrue<-2*exp(sin((2*pi*x)/tau))+0.02056*x plot(x,ytrue,xlim=c(0,10),ylim=c(-2,6),type="l",col=4) par(new=T) plot(x,yduga,xlim=c(0,10),ylim=c(-2,6),type="l",col=6) } # Untuk me-run program gunakan # yduga<-Penduga(Data,wsize,a,b,band,tau) # Untuk meng-create gambar fungsi sebenarnya VS fungsi dugaan gunakan: # Gambar1<-Gambar(a,b,tau) # Nilai variabel a dan b pada Penduga dan Gambar harus sama # Evaluasi penduga pada selang [0,10], n=500, band=0.8, tau=10 yduga<-Penduga(Data,500,0,10,0.8,10) Gambar1<-Gambar(0,10,10)
C.
Program memeriksa kenormalan asimtotik
Penduga<-function(wsize,titik,band,tau,L) { Dugaan<-1:L for(l in 1:L) { Data<-Random(wsize,tau) Dugaan[l]<-Duga(Data,wsize,titik,band,tau) } return(Dugaan) } dugaan<-Penduga(1000,12,0.600308,10,500) mean(dugaan) var(dugaan) qqnorm(dugaan,col=4) qqline(dugaan)
D.
Program Menentukan lambda dan bandwith optimum untuk interval pengamatan interval pengamatan [0,500]
### Menentukan Bandwith Optimum untuk wsize=500 ### Isikan data tentang tau dan titik s tau<-10 s<-12 lambda<-2*exp(sin((2*pi*s)/tau))+0.02056*s lambdaturunan2<-0.32*(pi^2)*((cos((2*pi*s)/tau))^2 -sin((2*pi*s)/tau))*exp(sin((2*pi*s)/tau))
70
bandwith<-(((9*lambda*tau)/(2*(lambdaturunan2)^2))/500)^(1/5) lambda bandwith
E.
Program pendekatan asimtotik nilai harapan dan ragam penduga
### Pendekatan Nilai Harapan untuk tau=5 n=500&1000, ### Isikan data tentang "s" dan "band" s<-6 band<-0.5214091 lambdaC<-2*exp(sin((2*pi*s)/5)) lambdaCturunan2<-0.32*(pi^2)*((cos((2*pi*s)/5))^2sin((2*pi*s)/5))*exp(sin((2*pi*s)/5)) PendekatanNilaiHarapan<-lambdaC+(lambdaCturunan2*(band^2))/6 PendekatanNilaiHarapan
