15
LAMPIRAN
16
Lampiran A. Diagram Alir Penelitian
Mulai
Penelusuran literatur
Sudah siap
Penurunan solusi soliton DNA model PBD Aplikasi maple 11 dan MATLAB
Analisa hasil perhitungan solusi soliton DNA model PBD dengan menggunakan maple 11 dan MATLA B
Penyusunan laporan / Skripsi
Selesai
17
Lampiran B. Solusi Soliton DNA Model PBD Bentuk u mu m Hamiltonian
………………………………………………….…………………...(A.1) Transformasi koordinat pusat massa ,
…………………………………………...………………………(A.2)
Bentuk persamaan (A.1) setelah di transformasi ke koordinat pusat massa ...(A.3) dan
…………………………………………………………………….…………….(A.4) Mencari persamaan gerak dengan menggunakan Lagrangian untuk xn ……………………………………………………………… ………………...……(A.5) dengan ………………………………………………………………………………………(A.6a) …………………………..(A.6b ) Substitusi persamaan (A.6a) dan (A.6b) ke persamaan (A.5) ……………...(A.7) Persamaan untuk mencari persamaan gerak dengan menggunakan Euler Lagrange ………………………………………………………………..……………(A.8) Substitusi persamaan (A.7) ke persamaan (A.8)
18
………………………………….……..(A.9) mengambil asu msi ………………………………………………………………...………………..(A.10) Substitusi persamaan (A.10) ke persamaan (A.9) dipero leh persamaan linear …………………………………..(A.11) Mencari persamaan gerak dengan menggunakan lagrangian untuk y n kembali ke persamaan (A.5) dengan ………………………………………………………..………..…………..………(A.12a)
……………(A.12b ) Substitusi persamaan (A.12a) dan (A.12b) ke persamaan (A.5) dip ero leh .……(A.13) Persamaan untuk mencari persamaan gerak dengan menggunakan Euler Lagrange untuk yn ……………………………………………..…………………………….(A.14) Substitusi persamaan (A.13) ke persamaan (A.14)
...…….(A.15) dengan mengambil asumsi ………………………………………...………………………………………...(A.16) Substitusi persamaan (A.16) ke persamaan (A.15) diperoleh persamaan nonlinear ….(A.17) Melakukan transformasi untuk osilasi dengan amplitudo sang at kecil
19
atau
………………………………....………………………………(A.18)
Substitusi persamaan (A.18) ke persamaan (A.17)
...(A.19) Ekspansi Deret Taylor untuk ponensial morse pada persamaan (A.19) ……………………………………………………………………………(A .20) ……………………………………………...………………(A .21)
……………………...(A.22)
……………………….……(A.23) Kurangkan persamaan (A.22) dengan persamaan (A.23)
……………………..…(A.24)
20
Kalikan persamaan (A.24) dengan
……………………(A.25) Substitusi persamaan (A.25) ke persamaan (A.19)
…………………………………………………...……………………...(A.26) dimana
,
,
,dan
……………………..….………(A.27)
substitusi persamaan (A.27) ke persamaan (A.26)
…………………………………………………………………..……….….(A.28) Pendekatan solusi gelo mbang soliton DNA model PBD ...(A.29) dan ……………………………………………………………………………(A.30)
21
Lampiran C. Penurunan Persamaan NLS Soliton DNA Model PBD Transformasi ,
diterapkan untuk kasus kontinu ……………………………………………………………..…………………...(B.1)
Fungsi F untuk kasus kontinu ………………………...……….(B.2) Berdasarkan persamaan (A.28) maka harus dicari
….(B.3a)
………...(B.3b)
….(B.3c) (B.3d)
………(B.3e)
……..…..(B.3f)
…....….(B.3g) maka
22
…………………………………….(B.3h)
……………………..…..(B.3i) Kembali ke persamaan (B.3a) namun konjugat ko mpleksnya diperhitungkan
……………………………………….………………………………….(B.3j)
……………………………………………….………….(B.3k) .……..(B.3l) …………………...…………...…(B.3m) Substitusi persamaan (B.3a- (B.3m) ke persamaan (A.28) maka dipero leh
,
,
untuk koefisien .(B.4a)
…….…………………………………………………......(B.4b)
…………………………………………………….………………..(B.4c)
23
Persamaan (B.3h ) dan persamaan (B.3i) untuk kasus semi diskrit mengacu ke persamaan (B.2)
……….(B.5a)
……………………..….(B.5b) Substitusi persamaan (B.5), (B.4) dan (B.3c) ke persamaan (A.28)
…………………………………………….………………………...…………(B.6) Persamaan (B.6) dapat di pecah menjad i dua persamaan antara koefisien
,
dan
Untuk koefisien
………………………………………………………………....(B.7a)
24
Untuk koefisien
…………………………………...(B.7b) Untuk koefisien
………………………(B.7c) Berdasarkan persamaan (B.7a) untuk koefisien F1
………………………………..…….…….(B.7d) Asumsikan
dan
……………………………………………………...…...…………………(B.7e) .………………………………………………......……..…………..….(B.7f) maka …………………………...……………………………………………....……....(B.7g) Asumsikan
untuk koefisien
25
……………………...……..…...(B.7h)
……………………...…………………………(B.7i)
dengan
……………………………………………...………….………….(B.7j) Asumsikan
untuk koefisien
……………………………………...…...…….…(B.7k) Substitusi persamaan (B.7i) ke persamaan (B.7j) ………………………..…………………..……....…..(B.7l)
dengan
……………………………………....………(B.7m) ……………………………………………………………………..……….……….(B.7n)
Substitusi persamaan (B.7g) dan (B.7i) ke persamaan (B.4a) sampai (B.4c)
……………………………………...…...(B.8a)
26
…………………………………..……......(B.8b )
……………………………………...……………(B.8c) Substitusi persamaan (B.8a), (B.8b) dan (B.8c) ke persamaan (B.7a)
………………...(B.9) Persamaan (B.9) dengan mentransformasi ………………………………………………….……………………(B.10) Berdasarkan persamaan (B.10) maka persamaan (B.9) dapat di ubah
…………………………….……………………………..……………………….(B.11a) …………………………………………………………………………………….(B.11b)
………………………………………………………(B.11c)
27
Substitusi persamaan (B.11b) dan (B.11c) ke persamaan (B.9)
…………………………………………………….......…....(B.12) dengan mengambil orde O( 3 )= O( 4 )=0 art inya ………………………..……………………………………….…….(B.13) Persamaan (B.12) men jadi bentuk
……………………………………….. (B.14) Kalikan persamaan (B.14) dengan
diperoleh persamaan NLS
………..................................................... (B.15) Agar terbentuk persamaan NLS maka harus dipenuhi
………………………………………………………….(B.16) Substitusi persamaan (B.16) ke persamaan (B.15) maka d iperoleh
………......................…(B.17)
28
misalkan ……………………………….…(B.18a) ………………………………………….…………(B.18b ) …………………………………………….….……...(B.18c) Substitusi persamaan (B.18a), (B.18b ) dan (B.18c) ke persamaan (B.17) …………….………………………………..….…(B.19) Persamaan (B.19) merupakan persamaan NLS kubik -kuintik untuk fungsi F1 .
29
Lampiran D. Penurunan Solusi Persamaan NLS Soliton DNA Model PB D Persamaan anzats traveling dari persamaan NLS kubik -kuintik tersebut diberikan ……………………………………………………………...……………...(C.1) Substitusi persamaan (C.1) ke persamaan (B.19) ……………………………………..……………………...…(C.2) Selanjutnya kalikan persamaan (C.2) dengan
………………………………………...………….(C.3) Persamaan (C.3) dapat dituliskan kembali dalam bentuk: …………………………………………...…….…..(C.4) yang mengindikasikan bahwa: …………….…………………….......…………………....(C.5) dimana c merupakan sebuah konstanta. Selanjutnya kita kembali membatasi diri pada solusi yang memiliki kondisi
0 dan u
0 pada S
±∞ dan mengimp likasikan c = 0.
Persamaan (C.5) dapat diatur kembali menjadi:
……………………………..………………………...…(C.6) atau …………………………………..………………………………..(C.7)
30
Integrasikan persamaan (C.7) untuk mencari solusi …………………………..……………………….…………....(C.8) Untuk menyelesaikan ruas kiri dari persamaan (C.8) harus menggunakan pemisalan atau
……………………...………………………….………………..……..(C.9a)
……………………………………………..……………………………………….(C.9b) Substitusi persamaan (C.9a) dan (C.9b) ke persamaan (C.8)
…………………..………………………………………..…(C.10) Persamaan (C.10) untuk ruas kiri dapat diubah men jadi ……………………………………...….…………..(C.11a) Ruas kanan Persamaan (C.11a) adalah ……………………………………...……………………(C.11b) ……………………...…….……...(C.11c)
dengan maka persamaan (C.11a) menjadi
………………….....(C.11d) Integrasikan persamaan (C.8) ruas kanan terhadap S …………………………………………….……………………….….………(C.11e) Substitusi persamaan (C.11d) dan (C.11e) ke persamaan (C.8)
……………………...…………………...(C.12)
31
Untuk menghilangkan fungsi logarit ma natural pada persamaan (C.12) maka kedua rusa harus di eksponensialkan
……………………….…(C.13) Agar tanda akar pada persamaan (C.13) h ilang maka kedua ruas harus di kuadratkan
…………………………………..………….…….(C.14)
Substitusi persamaan (C.14) ke persamaan (C.9a)
32
……………………………….……………....(C.15)
Substitusi persamaan (C.15) ke persamaan (C.1) maka dipero leh solusi F1 (S, )
…………………………...……….(C.16a)
Artinya untuk konjugat ko mpleknya adalah
……………………...………….(C.16b)
Untuk memperoleh fungsi gelombang ( ) hanya dalam fungsi F1 maka lakukan substitusi persamaan (B.7f), (B.7i) dan (B.7m) ke persamaan (B.3a)
………………………………………………………………………..(C.17) Substitusi persamaan (C.16a) dan (C.16b) ke persamaan (C.17)
33
34
…………(C.18)
………………………………………….(C.19)
misal
Persamaan (C.19) dapat disederhanakan menjadi …………………………………………...…………….……..(C.20)
Persamaan (C.20) men jadi lebih sederhana
……………………………………………………….……………………….(C.21) untuk kasus amplitudo yang besar
……………………………………………………………………………...……...(C.22) Persamaan (C.22) merupakan Solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD untuk amplitudo yang besar.
35
Lampiran E. Program Analisa Solusi Gel ombang Soliton Traveling DNA Model PBD clear all clc %Definisi nilai parameter tau=0; T2=40e-8; n1=200; k=24; K=8; h=4; N=1000; a=3e-2; m=5.1e-13; e2=0.01; % untuk ekspansi hingga orde-4 dan e2=0.001 untuk ekspansi potensial morse hingga orde-3 sigma=1e10; T0=tau/e2; D = 0.1*1.6e5; wg =2*a*sqrt(D/m); l=340; lamda=10*l; q=2*pi/lamda; t1=1e-8; %Definisi hubungan dispersi w=sqrt(wg+(2*k*(1-cos(q*l))+2*K*(cos(q*l*h)+1))/m); %Definisi koefisien orde-1 sampai orde-4 alfa =(-3*a)/sqrt(2); beta =7*a^2/3; gamma=0; % solusi hingga orde-3 gamma =(-(sqrt(2)*31*(a^3))/12); % solusi hingga orde-4 %Definisi hubungan F1 dengan F0, F2 dan F3 miu=-2*alfa/(1+4*K/(m*wg.^2)); delta=(wg.^2)*alfa/(4*w^2+2*k*(cos(2*q*l-1)/m2*K*(cos(2*h*q*l)+1)/m-wg^2)); eta=((2*(wg.^2)*alfa*delta)/((2*k*(cos(3*q*l)-1)/m)(2*K*(cos(3*q*h*l)+1)/m)+9*(w^2))); %Definisi kecepatan group Vg=(l*(k*sin(l*q)-K*h*sin(l*q*h))/(m*w)); %Definisi koefisien dispersi(P) dan koefisien nonlinear(Q dan R) Q=(-wg.^2*(2*alfa*(miu+delta)+3*beta)/(2*w)); R=(-wg.^2*e2*delta*2*gamma)/w; P=((((l^2)*(k*cos(l*q)-K*(h^2)*cos(l*q*h))/m)-Vg^2)/(2*w)); %Definisi kondisi awal dan inkrimen nmax=abs(Vg*t1/l); counter=0; n0=-nmax; n2=-2*n0; dT=(T2-T1)/N; dn=(n2-n1)/N;
36
%Running program for i=1:N counter=counter+1 n(i)=n0+(i-1)*dn; for j=1:N T(j)=T0+(j-1)*dT; S(i,j)=e2*n(i)*l-Vg*T(j); Psi(i,j)=sqrt((4*sigma)/(sqrt(((16*sigma*R)/3)+Q^2)*cosh(2*(S(i,j))*sqrt(sigma/P))+Q)); theta(i,j)=n(i)*l*q-(w*T(j)/e2); yn(i,j)=e2*Psi(i,j)*(2*cos(((sigma*e2*T(j))+theta(i,j)))) +(e2^2)*(Psi(i,j)^2)*(miu+2*delta*cos(2*((sigma*e2 *T(j))+theta(i,j)))+(2*e2*eta*Psi(i,j))*cos(3*((si gma*e2*T(j))+theta(i,j)))); end end un=yn; t=T*1e7; %Grafik 3 dimensi gelombang DNA Traveling figure surf(t,n,yn); view(90,-90); colorbar shading interp xlabel ('T(ps)'); ylabel ('nl(pm)'); zlabel ('Yn(pm)'); %Grafik hubungan yn terhadap nl figure plot(S,e2*(yn(:,1))); xlabel ('nl(pm)'); ylabel ('Yn(pm)');
