Laboratorní měření 1 Seznam použitých přístrojů 1. Generátor funkcí 2. Analogový osciloskop 3. Měřící přípravek na „RLC“ ČVUT FEL, katedra Teorie obvodů
Popis měřicího přípravku Přípravek umožňuje jednoduchá měření časových průběhů proudu a napětí u základních obvodových prvků – rezistoru, kapacitoru a induktoru. Na Obrázek 1 – schéma zapojení měřícího přípravku, na Obrázek 2 – realizace přípravku.
Obrázek 1 – schéma zapojení měřícího přípravku
Obrázek 2 – realizace přípravku
Strana 1
Popis zapojení Přípravek umožňuje měření závislosti časových průběhů napětí a proudu u základních obvodových prvků – rezistoru, kapacitoru a induktoru. Vzhledem k tomu, že se nejedná o ideální obvodové prvky, je bezpodmínečně nutné dodržet doporučenou frekvenci zdroje, jinak by měření nedávalo smysl. Jako zdroj napětí je použit laboratorní generátor funkcí. Zdroj proudu je realizován jednoduchým způsobem – v sérii zapojeným rezistorem o relativně velkém odporu 11 k. (Srovnejte voltampérovou charakteristiku skutečného zdroje napětí a proudu – jsou ekvivalentní; čím vyšší vnitřní napětí a odpor, tím více se vlastnosti zdroje napětí blíží zdroji proudu).
Obrázek 3 – realizace zdroje proudu
Význam zkratovacích propojek S1 – S6 je následující: Zapojená propojka
Zdroj
Měření
S1 S2 S3 S4 S5 S6
Napětí Napětí Napětí Proudu Proudu Proudu
Proudu Proudu Proudu Napětí Napětí Napětí
Doporučená frekvence [kHz] 10 10 10 2 2 2
Tabulka 1 – význam zkratovacích propojek
Obrázek 4 - BNC adaptér
Strana 2
Měřený obvodový prvek R L C R L C
Postup měření Příprava 1. Na výstup generátoru připojte BNC adaptér (Obrázek 4 - BNC adaptér). 2. Na vstup přípravku J1 (IN) připojte koaxiálním kabelem generátor funkcí. 3. Druhý výstup BNC adaptéru z generátoru funkcí připojte k prvnímu vstupu osciloskopu. 4. Výstup přípravku J2 (OUT) připojte koaxiálním kabelem ke druhému vstupu osciloskopu. 5. Na osciloskopu nastavte zobrazení obou kanálů současně (režim Dual). Zdroj napětí, měření časových průběhů proudu 1. Na generátoru funkcí nastavte napětí o amplitudě 5 V. 2. Na generátoru funkcí nastavte podle Tabulky 1 frekvenci 10 kHz. 3. Na generátoru funkcí nastavte obdélníkový průběh napětí. 4. Zkratovací propojku zapojte do polohy S1. 5. Do tabulky zakreslete ve shodném měřítku času průběh proudu podle osciloskopu. 6. Bod 5 opakujte pro zkratovací propojky S2 a S3. 7. Na generátoru funkcí nastavte trojúhelníkový průběh napětí. 8. Opakujte body 4 – 6. 9. Na generátoru funkcí nastavte sinusový průběh napětí. 10. Opakujte body 4 – 6. Zdroj proudu, měření časových průběhů napětí 1. Na generátoru funkcí nastavte napětí o amplitudě 5 V. 2. Na generátoru funkcí nastavte podle Tabulky 1 frekvenci 2 kHz. 3. Na generátoru funkcí nastavte obdélníkový průběh napětí (realizuje zdroj proudu, viz Obrázek 3). 4. Zkratovací propojku zapojte do polohy S4. 5. Do tabulky zakreslete ve shodném měřítku času průběh napětí podle osciloskopu. 6. Bod 5 opakujte pro zkratovací propojky S5 a S6. 7. Na generátoru funkcí nastavte trojúhelníkový průběh napětí. 8. Opakujte body 4 – 6. 9. Na generátoru funkcí nastavte sinusový průběh napětí. 10. Opakujte body 4 – 6.
Strana 3
Změřený časový průběh proudu: Časový průběh zdroje napětí:
R
L
C
Změřený časový průběh napětí: Časový průběh zdroje proudu:
R
L
C
Strana 4
Simulace v programu Microcap Úkol: Simulujte časové průběhy napětí a proudu na základních obvodových prvcích. Srovnejte chování ideálních obvodových prvků s chováním modelu měřícího přípravku, a to pro různé frekvence / periody časových průběhů ze zdroje.
Postup: 1.
V Microcapu nakreslete obvodové schéma měřícího přípravku podle obrázku. Hotové schéma pod názvem „zdroj I pripravek.cir“ můžete stáhnout přímo ze stránek předmětu na adrese http://moodle.kme.feld.cvut.cz. Schéma může být již uložené lokálně v pracovním adresáři, pamatujte ale na to, že kdokoli před vámi v něm mohl cokoli změnit!!! 11k R1
11k R2
11k R3
V1 68 R5 1k R4
27m L1
100n C1
Obrázek 5: Obvodové schéma pro simulaci závislosti časových průběhů napětí při buzení ze zdroje proudu Zdroj napětí je ve vzorovém souboru nastaven na obdélníkový časový průběh s periodou 500 s (2 kHz nastavené při měření na přípravku na zdroji). Nastavení parametrů zdroje a jejich význam je patrný z obrázku 6. První řádek (DC, AC magnitude, AC phase) nemá pro analýzu časových průběhů význam, volby se týkají stejnosměrné analýzy, resp. Analýzy frekvenčních charakteristik obvodu.
Obrázek 6: nastavení parametrů zdroje napětí a jejich význam Strana 5
2.
Spusťte analýzu v časové oblasti (volba Analysis / Transient). Parametry nastavte podle obrázku.
Obrázek 7: nastavení parametrů transientní analýzy Význam jednotlivých parametrů: Time Range Maximum Time Step
Operating Point
Auto Scale Ranges Sloupec P Y Expression
3. 4. 5. 6. 7.
Maximální čas, do kterého Microcap provádí simulaci (obvykle maximum na ose x) Maximum časového intervalu, ve kterém Microcap provede simulaci Microcap simulaci provádí numericky v diskrétních časových okamžicích; je-li Maximum Time Step = 0, pak se program pokusí nastavit tento maximální interval automaticky; někdy se ale stane, že program zvolí malý počet bodů, takže je časový průběh „kostrbatý“. Pak je potřeba tuto hodnotu nastavit ručně. Při Time Range = 2 ms je vhodná hodnota cca 1u (1 s), tedy cca 2000 bodů simulace. Má význam pro analýzu obvodů s tranzistory. V obvodech s R, L, C obvodovými prvky nemá zatržení význam (resp. naopak výjimečně může vést k chybnému výsledku – zrušit zatržení). Microcap nastaví automaticky měřítko na obou osách. Čísla určují, do jakého okna se vykreslí časový průběh veličiny, zadané ve sloupci Y expression. Pokud číslo vymažeme úplně, časový průběh se vůbec nezobrazí. Veličina, kterou chceme vykreslit. Na obrázku 7 to jsou po řadě napětí zdroje, napětí na rezistoru R4, napětí na induktoru a napětí na kapacitoru. Odpor vinutí cívky je na obrázku 5 simulován rezistorem 68 . Napětí na cívce by pak muselo být definováno např. výrazem „v(4,0)”, kde čísla 4 a 0 jsou čísla uzlů, mezi které je sériová kombinace zapojena.
Porovnejte s naměřenými časovými průběhy. Nastavte 100× delší periodu časového průběhu zdroje, tedy PER = 50m, PW = 25m, Time Range = 200 m. Pokuste se vysvětlit rozdíl v pozorovaných průbězích. Nastavte 100× kratší periodu časového průběhu zdroje, tedy PER = 5u, PW = 2.5u, Time Range = 20u m. Pokuste se vysvětlit rozdíl v pozorovaných průbězích. Zopakujte body 2 – 5 pro sinusový a trojúhelníkový časový průběh. Pro simulaci buzení ze zdroje napětí nakreslete obvodové schéma (stáhněte ze stránek předmětu soubor „zdroj U pripravek.cir“) podle obrázku 8.
Strana 6
11 k R1
10 0m L1
22 0p C1
68 R5
V1
51 0 R4
51 0 R2
51 0 R3
Obrázek 8: Obvodové schéma pro simulaci závislosti časových průběhů napětí při buzení ze zdroje napětí
Strana 7
Příloha – teoretický rozbor měření Cílem měření je ověřit si vztah napětí a proudu na základních obvodových prvcích. Nejprve se zaměříme na ideální obvodové prvky.
A. Vztah mezi elektrickým napětím a proudem u ideálních obvodových prvků I.
Rezistor
Vztah mezi elektrickým napětím a proudem na rezistoru je popsán Ohmovým zákonem u(t) = Ri(t), kde R je elektrický odpor v Ohmech. Protože R je konstanta, časové průběhy napětí i proudu jsou tvarem identické, poměr amplitud je v každém časovém okamžiku roven velikosti odporu (nesmíme ale zapomenout, že napětí je ve voltech, proud v ampérech – jedná se o různé fyzikální jednotky). Nezáleží na tom, zda je rezistor napájen z (ideálního) zdroje napětí, nebo proudu.
II.
Kapacitor
Kapacitor je setrvačný prvek, do vztahu mezi napětím a proudem vstupuje čas – úvahy musíme rozdělit zvlášť na napájení zdrojem napětí, a napájení zdrojem proudu.
Napájení ideálním zdrojem proudu:
Obdélníkový časový průběh: a) Víme, že v kapacitoru uložený náboj je přímo úměrný napětí q = Cu b) Konstantní elektrický proud přinese do kapacitoru za dobu t náboj q = It c) Srovnáním obou výše uvedených vztahů zjistíme, že při napájení konstantním proudem se bude napětí lineárně zvyšovat u(t) = I¢t C ; pokud otočíme směr toku proudu (znaménko), bude se napětí naopak zmenšovat napětí na kapacitoru má trojúhelníkový časový průběh, maximální amplituda napětí bude přímo úměrná velikosti proudu I a periodě T, nepřímo úměrná kapacitě C. Vyšší frekvence zdroje proudu znamená menší amplitudu napětí d) Ke stejnému závěru bychom samozřejmě došli i z obecného vzorce, který popisuje vztah mezi napětím a proudem Z Z 1 t 1 t I ¢t u(t) = i(¿ ) d¿ + uc (0) = I d¿ + 0 = C 0 C 0 C Strana 8
u(t) = u(0+) + = u(0+) +
Im C t Im T 2C
t 2 h0; T2 ) ¡
Im C t
t 2 h T2 ; T )
Trojúhelníkový časový průběh: a) Proud je možné popsat rovnicí i(t) = 4ITm t t 2 h0; T4 ) = 2Im ¡ 4ITm t t 2 h T4 ; 3T 4 ) = ¡4Im + 4ITm t t 2 h 3T 4 ;T) b) Vzhledem k tomu, že je proud funkcí času, je potřeba k výpočtu použít obecný vzorec (pro 1. čtvrtinu periody): 1 u(t) = C
Z 0
t
4Im 2Im 2 ¿ d¿ + uc (0) = t + uc (0); T CT
t 2 h0;
T ) 4
(bylo by možné postupovat podobně, jako u obdélníka podle bodů a – c, ale vzhledem k tomu, že je proud závislý na čase, museli bychom napětí počítat jako součet řady – jinak by byl výsledek 2× větší) mT , je tedy c) Napětí na kapacitoru je funkcí druhé mocniny času, je to tedy parabola. Amplituda je I8C
přímo úměrná velikosti proudu I a periodě T, nepřímo úměrná kapacitě C. Opět tedy platí – vyšší frekvence zdroje proudu znamená menší amplitudu napětí.
Sinusový časový průběh: Z 1 t Im u(t) = Im sin !¿ d¿ + uc (0) = (1 ¡ cos!t) + uc (0) C 0 !C Opět stejný výsledek – vyšší frekvence zdroje proudu znamená menší amplitudu napětí. Strana 9
Výsledek můžeme interpretovat několika způsoby: ti studenti, kteří přišli z průmyslovek, jistě znají poučku o tom, že na kapacitoru se elektrický proud předbíhá před napětím o ¼2 . To je u sinusového časového průběhu zjevně splněno. Fázový posun můžeme ale měřit pouze u funkce sinus; u obdélníkového či trojúhelníkového časového průběhu můžeme měřit maximálně posun v čase – např. T4 .
Pokud si uvědomíme, že kladná orientace zdroje proudu znamená dodávku náboje do kapacitoru, a záporná naopak, že zdroj náboj z kapacitoru odčerpává, (resp. přesouvá elektrony z jedné desky kapacitoru na druhou) vidíme, že v první polovině periody je kapacitor nabíjen – napětí se zvyšuje, ve druhé je opět vybíjen – napětí klesá zpět k nule.
Napájení ideálním zdrojem napětí:
Obdélníkový časový průběh: a) Víme, že v kapacitoru uložený náboj je přímo úměrný napětí q = Cu b) Tento náboj je dodán ze zdroje napětí za dobu t elektrickým proudem I, opět platí vztah q = It. c) Protože je zdroj napětí ideální a v obvodu není žádný elektrický odpor, elektrický proud bude nekonečně velký. Kapacitor se nabije za nekonečně krátkou dobu. d) Nekonečně velký, nekonečně krátký impuls s jednotkovou plochou je – Diracův impuls ±(t). e) Ke stejnému závěru bychom samozřejmě došli i z obecného vzorce, který popisuje vztah mezi napětím a proudem dU i(t) = C du(t) dt = C dt = 0
= §CUm ±(t ¡
nT 2 )
Strana 10
v bodech nespojitosti
Trojúhelníkový časový průběh: a) Napětí na kapacitoru lineárně roste. Uvědomíme-li si opět vztah k elektrickému náboji Q = Cu a Q = IT , je zřejmé, že ideální zdroj napětí musí dodávat konstantní proud – výsledkem je obdélníkový časový průběh proudu. b) Ke stejnému závěru bychom samozřejmě došli i z obecného vzorce
i(t) = C
d 4Um 4CUm du(t) =C ( t) = dt dt T T
pro 1. ·ctvrtinu periody
Vyšší frekvence zdroje napětí znamená větší amplitudu proudu. To není nijak překvapivý závěr, pokud si uvědomíme, že trojúhelníkový průběh napětí s kratší periodou má větší strmost (směrnici), např. zdroj napětí s amplitudou 1 V má při periodě 1 ms strmost 4000 V/s, při periodě 1 s již 4 MV/s… Zdroj napětí pak musí dodat stejný náboj za kratší dobu.
Sinusový časový průběh:
i(t) = C
d (Um sin !t) = !CUm cos !t dt
Amplituda proudu je tedy přímo úměrná amplitudě napětí U, kapacitě C a frekvenci . S frekvencí zdroje napětí elektrický proud tekoucí kapacitorem roste klesá jeho „odpor“ – již brzy budeme tento „odpor“ nazývat impedance.
Proud se tedy předbíhá o ¼2 (90) před napětím. Proč? Zpočátku napětí rychle roste – do kapacitoru je potřeba dopravit velký proud. Strmost nárůstu napětí postupně klesá – klesá tedy i velikost dodávaného proudu. Ve druhé čtvrtině periody začíná napětí klesat musí klesat náboj, uložený v kapacitoru, směr toku proudu se tedy musel otočit – proto záporné znaménko u proudu (klesne pod osou). Pak se celý děj znovu periodicky opakuje. Strana 11
III.
Induktor
Induktor je rovněž setrvačný prvek, do vztahu mezi napětím a proudem tak opět vstupuje čas – úvahy musíme rozdělit zvlášť na napájení zdrojem napětí, a napájení zdrojem proudu. Induktor se chová opačně, nežli kapacitor – zatímco nabitý kapacitor je zdrojem napětí, nabitý induktor je zdrojem proudu.
Napájení ideálním zdrojem proudu:
Obdélníkový časový průběh: a) Elektrický proud, tekoucí induktorem vyvolá v induktoru magnetický tok © = L ¢ i b) Elektrické napětí na svorkách induktoru je naopak, vzhledem k magnetické indukci, úměrné změnám magnetického toku, u = ¢© ¢t . c) Obdélníkový časový průběh proudu je, až na okamžiky, kdy se mění jeho polarita, konstantní hodnota – napětí na svorkách je nulové. V okamžiku změny směru toku proudu ale musí být napětí nekonečně velké – vzpomeňte na fyzikální analogii, která přirovnává induktor k vodní turbíně. Pokud máme za nekonečně krátkou dobu otočit směr toku vody v turbíně, musíme vyvinout nekonečně velký tlak… d) Nekonečně velký, nekonečně krátký impuls s jednotkovou plochou je – náš starý známý, Diracův impuls ±(t). e) Ke stejnému závěru bychom samozřejmě došli i z obecného vzorce dI u(t) = L di(t) dt = L dt = 0
= §LIm ±(t ¡
nT 2
)
v bodech nespojitosti
Trojúhelníkový časový průběh: a) Trojúhelníkový časový průběh proudu má konstantní strmost = konstantní rychlost změn, a proto i indukované napětí je konstanta obdélník. b) Ke stejnému závěru bychom samozřejmě došli i z obecného vzorce
u(t) = L
di(t) d 4Im 4LIm =L ( t) = dt dt T T
pro 1. ·ctvrtinu periody
Amplituda napětí je tedy přímo úměrná velikosti proudu I a indukčnosti L, nepřímo úměrná periodě T. U induktoru tedy platí – vyšší frekvence zdroje proudu znamená větší amplitudu napětí. Strana 12
Sinusový časový průběh:
u(t) = L
d (Im sin !t) = !LIm cos !t dt
Maximální amplituda napětí je tedy přímo úměrná amplitudě proudu I, indukčnosti L a frekvenci . S frekvencí zdroje proudu velikost napětí na svorkách induktoru roste roste jeho „odpor“ (neboli impedance).
Napájení ideálním zdrojem napětí:
Obdélníkový časový průběh: a) V uvedeném případě nelze využít poučku o chování ideálního induktoru ve "stejnosměrném obvodu" (L se chová se jako zkrat). Termín "stejnosměrný obvod" je třeba přesně definovat jako "obvod ve stacionárním ustáleném stavu", tedy obvod, v němž jsou VŠECHNY obvodové veličiny trvale stejnosměrné (= konstantní). Obvod je v ustáleném stavu až po nabití induktoru – v obvodu, který je složen pouze z ideálního zdroje napětí a ideálního induktoru není proces nabíjení nikdy ukončen. b) Konstantní napětí, vnucené svorkám induktoru, vyvolává konstantní změnu magnetického toku u=
¢© ¢t .
Pokud lineárně roste velikost magnetického toku, musí lineárně růst i elektrický proud,
neboť © = L ¢ i. Výsledkem je trojúhelníkový časový průběh. c) Ke stejnému závěru bychom samozřejmě došli i z obecného vzorce Z Z 1 t 1 t U ¢t i(t) = u(¿ ) d¿ + iL (0) = U d¿ + 0 = L 0 L 0 L Strana 13
S rostoucí frekvencí zdroje napětí maximální velikost proudu, tekoucího induktorem, klesá. Za kratší dobu je celková změna energie (magnetického toku) menší.
Trojúhelníkový časový průběh: a) Pokud se napětí, které samo je úměrné změnám magnetického proudu u =
¢© ¢t
lineárně mění, musí
mít odpovídající změny proudu o 1 vyšší řád funkce – budou kvadratické. Nicméně v tomto případě bude jednodušší odvození z obecného vztahu Z 1 t 4Um 2Um 2 T i(t) = t 2 h0; ) ¿ d¿ + iL (0) = t + iL (0); L 0 T LT 4
Sinusový časový průběh: Z 1 t Um i(t) = Um sin !¿ d¿ + iL (0) = (1 ¡ cos!t) + iL (0) L 0 !L Maximální amplituda proudu je tedy přímo úměrná amplitudě napětí U, nepřímo úměrná indukčnosti L a frekvenci . S frekvencí zdroje napětí amplituda proudu, tekoucího induktorem klesá roste jeho „odpor“ (neboli impedance).
Strana 14
B. Chování obvodových prvků v reálném obvodu měřícího přípravku Kapacitor Napájení zdrojem napětí:
K zobrazení časového průběhu měřených veličin slouží osciloskop. Ten ale dokáže zobrazit pouze časový průběh napětí, ne proudu. Chceme-li sledovat časový průběh proudu, musíme ho převést na napětí – k tomu slouží rezistor R s odporem 510 . Vnitřní odpor zdroje můžeme oproti odporu R zanedbat. Namísto ideálního kapacitoru tak máme sériové spojení kapacitoru a rezistoru. Při napájení konstantním zdrojem napětí nemůže do kapacitoru téct nekonečně velký proud (viz kapacitor napájený z obdélníkového zdroje napětí), ale velikost proudu je omezena odporem rezistoru R nabíjení kapacitoru bude určitou dobu trvat. V okamžiku připojení zdroje napětí k (vybitému) kapacitoru (bez náboje) poteče obvodem elektrický : (Ui ¡Uc )¢t . Proud tekoucí obvodem proud I = URi . Za dobu ¢t se ale kapacitor nabije na napětí ¢u = I¢t C = RC tak klesne. Tím se nabíjení kapacitoru zpomalí. Integrací dostaneme rovnici ¡t
uc (t) = Ui (1 ¡ e RC );
resp. i(t) =
Ui ¡t e RC . R
Jak počítat tyto časové průběhy obecně se dozvíme později v tomto semestru, v kapitole o přechodných dějích. Časový průběh proudu je tedy:
To samozřejmě není Diracův impuls. Pokud ale bude perioda obdélníkového průběhu napětí T À 1¹s, pak můžeme s přijatelnou chybou takový časový průběh za aproximaci Diracova impulsu považovat. K obdobnému závěru můžeme dojít i v ostatních případech. Pokud např. u induktoru T ¿ ¿ , pak
Strana 15
Induktor Napájení zdrojem proudu: K obdobným závěrům jako u výše popsaného chování kapacitoru v (derivačním) RC obvodu bychom dospěli i u ostatních studovaných obvodů s kapacitorem a induktorem. Úkolem tohoto měření není studovat tyto tzv. přechodné děje, proto nebudou ostatní případy samostatně řešeny. S jedinou výjimkou: Při měření nemáme k dispozici ideální prvky. Zatímco parazitní indukčnost a odpor u kapacitoru jsou při tomto měření zanedbatelné, totéž se nedá říci o odporu u induktoru. Cívka se skládá z izolovaného vodiče, který je navinut v řadě závitů. Pokud se nejedná o supravodič, je nedílnou součástí skutečné cívky elektrický odpor vodiče. Z toho důvodu nebudeme měřit na ideální indukčnosti, ale pro dané měření bude modelem cívky sériová kombinace ideálního rezistoru (kde vztah mezi napětím a proudem je daný Ohmovým zákonem a je frekvenčně nezávislý) a ideálního induktoru (kde je vztah mezi napětím a proudem popsán integrálem, resp. derivací času a je proto závislý na frekvenci / periodě). Z toho důvodu může při nevhodně zvolené frekvenci během měření vliv odporu maskovat vliv induktoru.
Trojúhelníkový zdroj proudu, T = 250 s (4 kHz na zdroji): pozorovaný průběh napětí na sériové kombinaci L, R2 má přibližně obdélníkový časový průběh
Trojúhelníkový zdroj proudu, T = 5 ms (200 Hz na zdroji): pozorovaný průběh napětí na sériové kombinaci L, R2 je výrazně ovlivněn trojúhelníkovým časovým průběhem napětí na rezistoru R2, amplituda napětí indukovaného na induktoru je menší, nežli napětí na R2 Strana 16
Trojúhelníkový zdroj proudu, T = 25 s (40 kHz na zdroji): amplituda napětí indukovaného na induktoru je větší, nežli napětí na R2, přesto není napětí obdélníkové – při tomto měření nemáme k dispozici zdroj proudu (s ním by napětí na induktoru bylo obdélníkové); zdroj proudu je pouze aproximován zdrojem napětí s relativně velkým vnitřním odporem. Ve skutečnosti v tomto případě pozorujeme nabíjení induktoru ze zdroje napětí přes rezistory R1 a R2.
Strana 17
