LICHOB
ŽNÍK
(2 HODINY) ? Co to vlastn lichob žník je ? Podívej se nap íklad na následující obrázky:
Na obrázcích je vyobrazena hospodá ská budova a židli ka, kterou ur it mají tvoji rodi e na chodb nebo na chat . Barevn jsou zde vyobrazeny r zné rovinné útvary. ernou, žlutou a zelenou barvou jsou vyobrazeny Tob dob e známé rovnob žníky ( ty úhelníky, jejichž protilehlé strany jsou rovnob žné a stejn dlouhé. Všimni si dále mod e vyzna ených rovinných útvar . ? Co mají tyto útvary spole ného ? Mají jednu dvojici prot jších stran rovnob žnou a druhou dvojici r znob žnou, což je krásn vid t p edevším u hospodá ské budovy
Zapamatuj si:
Lichob žník je ty úhelník, jehož dv prot jší strany jsou rovnob žné a další dv zbývající r znob žné Úkol: Hledej ve svém blízkém okolí další lichob žníky ? Co všechno lze v lichob žníku vyzna it ?
A, B, C, D - vrcholy lichob žníku a, b, c, d - strany lichob žníku AB, CD - základny lichob žníku (jsou rovnob žné) BC, AD - ramena lichob žníku (jsou r znob žné) v - výška rovnob žníku (vzdálenost rovnob žných p ímek p, q) AC, BD - úhlop í ky lichob žníku , , , - vnit ní úhly lichob žníku ? Jaké druhy lichob žníku rozlišujeme ? 1. Pravoúhlý lichob žník: lichob žník, který má jedno rameno kolmé k ob ma základnám
? Kolik pravých vnit ních úhl má pravoúhlý lichob žník ? Dva pravé úhly ? M že mít pravoúhlý lichob žník jiný po et pravých úhl než dva ? Ne. Pokud by m l ty i pravé úhly, jednalo by se o tverec nebo obdélník (rovnob žník). Pokud by m l t i pravé úhly, jednalo by se op t o tverec nebo obdélník (musel by mít pravý i tvrtý úhel – pro asi?). Pokud by m l jeden pravý úhel, jednalo by se o obecný ty úhelník (nikoliv rovnob žník ani lichob žník) 2. Rovnoramenný lichob žník: lichob žník, jehož ramena jsou shodná
? Co platí pro vnit ní úhly p i základnách rovnoramenného lichob žníku ? Vyzna si na obrázku výšky lichob žníku vedené z vrchol C a D, jejich pr se íky se základnou AB si ozna X, Y. ? Co m žeš íci o trojúhelnících AXD a BYC ? Oba jsou pravoúhlé a shodné podle v ty S(v tší strana)s(menší strana)u(úhel naproti v tší strany) ? Co tedy platí pro vnit ní úhly p i vrcholech A, B ? Jsou shodné (viz p edchozí odpov ) ? Co platí pro úhly ADX a BCY ? Jsou shodné (viz p edchozí odpov ) ? Co platí pro vnit ní úhly p i vrcholech C a D ? Jsou op t shodné. Skládají se totiž se shodných úhl ADX a BCY a pravých úhl XDC a YCD
Zapamatuj si:
Vnit ní úhly p i každé základn rovnoramenného lichob žníku jsou shodné ? Je rovnoramenný lichob žník osov soum rný rovinný útvar ? Hledáme takovou p ímku o (osu soum rnosti), podle které se lichob žník zobrazí sám na sebe. Nejlépe je za ít zkoušet, zda náhodou nejsou hledanými osami úhlop í ky lichob žníku nebo spojnice st ed stran.
Úkol: Vyzkoušej si zmi ované možnosti a rozhodni, zda se podle n které p ímky rovnoramenný lichob žník zobrazí sám na sebe. ? Našel jsi takovou p ímku ?
O (o ) : A O (o ) : X O (o ) : C
B......v osové soum rnosti podle osy o se bod A zobrazí do bodu B Y D
? Na jaké rovinné útvary nám osa soum rnosti rozd lí rovnoramenný lichob žník ? Na dva shodné pravoúhlé lichob žníky ASABSCDD a SABBCSCD
Zapamatuj si:
Rovnoramenný lichob žník je osov soum rný podle osy, která prochází st edy obou základen Úkol: Sestroj si úhlop í ky v rovnoramenném lichob žníku a porovnej jejich velikost. Co jsi zjistil?
Zapamatuj si:
Úhlop í ky v rovnoramenném lichob žníku jsou shodné 3. Obecný lichob žník: lichob žník, který má r zn dlouhá ramena a ani jeden jeho vnit ní úhel není pravý
? Jaký je sou et všech vnit ních úhl lichob žníku ABCD ? Lichob žník je ty úhelník. Ur it z p edchozích kapitol víš, že sou et vnit ních úhl ty úhelníku je 360˚. Vzpomeneš si, jakým zp sobem by si to dokázal ? Pokud ne, napovím Ti následujícím obrázkem:
Lichob žník jsem si pomocí úhlop í ky rozd lil na dva trojúhelníky. Sou et vnit ních úhl v každém z nich je 180˚. Sou et vnit ních úhl v celém lichob žníku je tedy 360˚.
Zapamatuj si:
Sou et vnit ních úhl v lichob žníku je 360˚. P ehledné shrnutí Lichob žníky Obecný
Pravoúhlý
Rovnoramenný
Dv prot jší strany jsou rovnob žné, dv r znob žné
Dv prot jší strany jsou rovnob žné, dv r znob žné
Dv prot jší strany jsou rovnob žné, dv r znob žné
Sou et vnit ních úhl je 360˚
Sou et vnit ních úhl je 360˚
Sou et vnit ních úhl je 360˚
Nemá žádný vnit ní úhel pravý
Má dva vnit ní úhly pravé
Vnit ní úhly p i základnách nejsou shodné
Vnit ní úhly p i základnách nejsou shodné
Úhlop í ky nejsou shodné
Úhlop í ky nejsou shodné
Nemá žádný vnit ní úhel pravý
Vnit ní úhly p i základnách jsou shodné Je osov soum rný Není osové soum rný Není osov soum rný podle spojnice st ed obou základen
CVI
Úhlop í ky jsou shodné
ENÍ
Jelikož jsi se v této kapitole dozv d l pouze základní charakteristiku, vlastnosti a druhy lichob žníku a informaci o vnit ních úhlech již znáš z d ív jších kapitol, neuvádím zde podrobn ešení vzorových p íklad formou otázek a odpov dí. Nabízím Ti n kolik úloh, které se pokus sám vy ešit. Na n které budeš znát odpov p ímo, n které si budeš muset nejprve spo ítat a pop emýšlet o nich. Po seznamu úloh následuje kapitolka výsledky cvi ení a nápov dy k n kterým z nich. Zde si zkontroluješ svá ešení s mými. P eji Ti hodn št stí p i ešení úloh. Úloha 1: Na obrázku je n kolik ty úhelník . Pojmenuj je:
Úloha 2: Narýsuj si libovolný lichob žník ABCD. Vyzna v n m:
a) b) c) d) e)
strany lichob žníku a, b, c, d vnit ní úhly , , , úhlop í ky AC a BD aspo t i výšky lichob žníku pr se ík ramen X
Úloha 3: Na obrázku je nakreslen lichob žník ABCD:
Vyhledej a zapiš: a) b) c) d)
základny lichob žníku ramena lichob žníku dvojice sousedních vrchol dvojice protilehlých vrchol
Úloha 4: Narýsuj si libovolný rovnoramenný trojúhelník ABC. Poté sestroj st ední p í ku A1B1, kde A1 je st ed strany BC a B1 je st ed strany AC. Popiš rovinný útvar ABA1B1. Úloha 5: V p edchozí úloze jsi sestrojil rovnoramenný lichob žník pomocí st ední p í ky. Je st ední p í ka nutná ke konstrukci rovnoramenného lichob žníku. Pokus se sestrojit do p edchozího obrázku další aspo dva rovnoramenné lichob žníky, aniž by si užil st ední p í ky trojúhelníku Úloha 6: Ješt jednou se vra k narýsovanému rovnoramennému lichob žníku v úloze 5. Porovnej dvojice barevn si odpovídajících vnit ních úhl (viz. obr.). Svou odpov vždy zd vodni.
Úloha 7: Na obrázku je vyzna en lichob žník, který není ani rovnoramenný, ani pravoúhlý:
Odpovídej na následující otázky: a) b) c) d)
Úhel YXC je shodný s jedním vnit ním úhlem. Se kterým? Ur i sou et úhl XYC a Ur i sou et vnit ních úhl a Ur i sou et vnit ních úhl , a XCY
Úloha 8: Ur ete velikosti neznámých vnit ních úhl lichob žníku UVXY z obrázku:
Úloha 9: Ur ete velikosti neznámých vnit ních úhl lichob žníku ABCD z obrázku:
Úloha 10: Ur ete velikosti neznámých vnit ních úhl lichob žníku ABCD z obrázku:
Výsledky cvi ení a nápov dy k n kterým z nich Úloha 1: Obrázek 1: Obdélník Obrázek 2: Pravoúhlý lichob žník Obrázek 3: Konvexní ty úhelník Obrázek 4: Kosodélník Obrázek 5: Lichob žník Obrázek 6: Nekonvexní ty úhelník Obrázek 7: Lichob žník Obrázek 8: Koso tverec Úloha 2: Na obrázku jsou barevn vyzna eny strany lichob žníku a, b, c, d, vnit ní úhly , , , , úhlop í ky AC a BD, aspo t i výšky lichob žníku v, pr se ík ramen X
Úloha 3: základny lichob žníku – AD a BC ramena lichob žníku – AB a CD dvojice sousedních vrchol – AB a BC; BC a CD; CD a DA; DA a AB dvojice protilehlých vrchol – A a C; B a D Úloha 4:
Získal jsi rovnoramenný lichob žník
Úloha 5: St ední p í ka není nutná ke konstrukci rovnoramenného lichob žníku. Rovnoramenných lichob žník lze z rovnoramenného trojúhelníku získat nekone n mnoho:
Na obrázku jsou rovnoramenné lichob žníky ABXY a ABLK Úloha 6: Žlut vyzna ené vnit ní úhly jsou shodné – je to vlastnost rovnoramenných lichob žník (vnit ní úhly p i základnách jsou shodné). Zbývající vyzna ené vnit ní úhly ( erné a modré) jsou také shodné, protože to jsou úhly souhlasné. Úloha 7: a) úhel XYC je shodný s vnit ním úhlem (souhlasné úhly) b) sou et úhl je 180˚ (vedlejší úhly) a je 180˚ - úhel je totožný s úhlem YXC a sou et úhl c) sou et vnit ních úhl YXC a je 180˚ (vedlejší úhly) d) sou et vnit ních úhl v každém trojúhelníku je 180˚ Úloha 8: Užijeme získané dovednosti z úlohy 7. Podívej se na obrázek k úloze 8 a najdi v n m další úhel o velikosti 75˚. Poda ilo se Ti to stejn jako mn ? Na obrázku je hledaný úhel vyzna en ernou barvou:
Nyní již bez problém dopo teš neznámé vnit ní úhly. Vnit ní úhel u vrcholu Y má velikost 180 75 105 ; vnit ní úhel u vrcholu V má velikost 180 122 58 . Ov íme ješt , zda sou et všech vnit ních úhl nám dá 180˚: 105
122
58
75
360
Úloha 9: V pravoúhlém lichob žníku jsou dva vnit ní úhly pravé, t etí je zadán. K výpo tu posledního vnit ního úhlu užijeme nap . vlastnost o sou tu vnit ních úhl v libovolném ty úhelníku. Pro velikost vnit ního úhlu p i vrcholu B tedy platí: ABC
360
(90
90
ABC
360
316 24´
ABC
359 60´ 316 24´
ABC
43 36´
136 24´)
Úhel p i vrcholu B lze také spo ítat obdobn jako v úlohách 7 a 8 (pomocí souhlasných a vedlejších úhl ). Pak by výpo et vypadal následovn : ABC
180
136 24´ 43 36´
Úloha 10: Zde využiji vlastnosti rovnoramenného lichob žníku – vnit ní úhly p i základnách jsou shodné. Proto má úhel p i vrcholu D velikost 112˚. Pro úhly p i druhé základn pak platí: DAB
ABC
360
(112 2
112 )
360
224 2
136 2
68
Op t však lze k výpo tu úhl p i vrcholech A a B užít souhlasných a vedlejších úhl (úlohy 7, 8 a 9)
