Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné
- 7.1 -
L’HOSPITALOVO PRAVIDLO LIMITY TYPU 0/0 PŘÍKLAD 1 Pomocí L´Hospitalova pravidla určete lim x →0
sin x . x
Řešení
Ověření předpokladů L´Hospitalovy věty 1 Přímočarým použitím věty o limitě podílu získáváme sin x 0 sin x lim = x →0 = . x →0 x lim x 0
lim
x →0
Jedná se tedy o neurčitou limitu typu 0/0 a můžeme použít L´Hospitalova pravidla. Použití L´Hospitalova pravidla 2 sin x )′ ( sin x cos x lim = lim = lim = lim cos x = cos 0 = 1 . x →0 x → 0 x → 0 x →0 x x′ 1
PŘÍKLAD 2
1 − cos x . x →0 x2
Pomocí L´Hospitalova pravidla určete lim Řešení
Ověření předpokladů L´Hospitalovy věty
(1 − cos x ) 0 1 − cos x lim x →0 = = . x →0 x2 lim x 2 0
lim
x →0
Použití L´Hospitalova pravidla
(1 − cos x )′ = lim 0 − ( − sin x ) = 1 lim sin x . 1 − cos x lim = x →0 x →0 x →0 x2 2x 2 x →0 x x2 ′
lim
( )
Použitím L´Hospitalova pravidla jsme tedy dospěli k limitě z příkladu 1. O té ale víme, že je rovna jedné. Můžeme proto psát 1
Použití L´Hospitalova pravidla, ať již v základní verzi podle L´Hospitalovy věty nebo v některé z verzí rozšířených, zahrnuje vždy dva kroky: a) ověření předpokladů, za nichž lze výpočet provést, b) samotný výpočet. Na místě je upozornění, že první krok je rovnocenný kroku druhému a není jej možno vynechat. 2 Uvedený příklad je pouze jednoduchou ilustrací použití L´Hospitalovy věty. Ve skutečnosti bychom takto uvedenou limitu počítat nemohli, neboť k výpočtu potřebujeme znát derivaci funkce sinus a k určení této derivace zase počítanou limitu. Pohybujeme se tedy v kruhu. Stejná výhrada platí i pro příklad následující.
L´Hospitalovo pravidlo
- 7.2 1 − cos x 1 1 = ×1 = . 2 x →0 x 2 2
lim
Pokud bychom ale výsledek příkladu 1 neměli k dispozici, museli bychom použít L´Hospitalova pravidla ještě jednou.
CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 1 A 2 1. Pomocí L´Hospitalova pravidla určete následující limity. e) lim x →0
1 − cos x
ex −1 − x x →0 x2
f) lim
1+ x −1 x
c) lim
tg x x →0 x
d) lim
b) lim
e x − (1 + x )
ex −1 x →0 x
x sin x x → 0 1 − cos x
a) lim
x →0
g) lim x →0
arctg x arcsin x
(1 + x)100 − (1 + 100 x) x → 0 (1 + x ) 99 − (1 + 99 x )
h) lim
LIMITY TYPU ∞/∞ PŘÍKLAD 3
ln x . x →+∞ x
Pomocí L´Hospitalova pravidla určete lim Řešení
Ověření předpokladů L´Hospitalovy věty Přímočarým použitím věty o limitě podílu získáváme 3 ln x +∞ ln x xlim . = →+∞ = x →+∞ x +∞ lim x lim
x →+∞
Jedná se tedy o neurčitou limitu typu ∞/∞ a můžeme použít L´Hospitalova pravidla. Použití L´Hospitalova pravidla ln x )′ ( ln x 1/ x 1 1 = lim = lim = lim = = 0. lim x →+∞ x x →+∞ x →+∞ x →+∞ x′ x +∞ 1
CVIČENÍ K PŘÍKLADU 3 1. Pomocí L´Hospitalova pravidla určete následující limity. ln 2 x x →+∞ x
a) lim
5
ln x x →+∞ x
b) lim
3
c) lim
x →−∞
ln x x
log 2 x x →+∞ x
d) lim
(1 + x)100 x →+∞ x5
ex x →+∞ x
g) lim
ex , n∈` x →+∞ x n
h) lim
e) lim f) lim
(1 − 2 x)3 x →−∞ (1 + 2 x ) 3
Stačilo by ovšem ověřit jen, že lim | x | ≡ lim x = +∞ ( viz Breviář, L´Hospitalova věta). x →+∞
x →+∞
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné
- 7.3 -
LIMITY TYPU 0.∞ PŘÍKLAD 4 Určete lim+ ( x ln x ) . x →0
Řešení
Převedení na L´Hospitalovu limitu Limita, kterou se máme zabývat nyní, není ani neurčitou limitou typu 0/0, ani limitou typu ∞/∞. L´Hospitalova pravidla nemůžeme tedy použít, aniž provedeme jisté úpravy limitovaného výrazu. V tomto případě vede k cíli úprava x ln x =
ln x , 1/ x
která uvedenou limitu převádí na limitu typu ∞/∞. Platí totiž
lim+ ln x = −∞ a lim+
x →0
x →0
1 = +∞ . x
Použití L´Hospitalova pravidla ln x )′ 1 x2 ( ln x 1/ x = lim+ = lim+ = − lim+ × = − lim+ x = 0 . lim ( x ln x ) = lim+ 2 x → 0+ x →0 1/ x x →0 x →0 x →0 x 1 (1/ x )′ x→0 −1/ x
PŘÍKLAD 5
(
2
)
Určete lim x 2 e − x . x →+∞
Řešení
Převedení na L´Hospitalovu limitu Úprava 2 − x2
xe
=
převádí uvedenou limitu na typ ∞/∞. Platí totiž
x2 ex
2
,
2
lim x 2 = +∞ a lim e x = +∞ .
x →+∞
x →+∞
Při výpočtu této limity již můžeme použít L´Hospitalovo pravidlo. Použití L´Hospitalova pravidla
(
2 − x2
lim x e
x →+∞
) = lim e
x2
x →+∞
x2
( x )′ 2
= lim
x →+∞
( e )′ x2
= lim
x →+∞
2x 2 xe
x2
= lim
x →+∞
1 e
x2
=
1 = 0. +∞
L´Hospitalovo pravidlo
- 7.4 -
CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 4 A 5 1. Určete následující limity. a) lim− ( x 2 log | x |) x →0
b) lim+ ( ln x × arctg x )
(
2
)
1 d) lim x arctg x →−∞ x
c) lim x n e − x , n ∈ `
x →0
x →+∞
LIMITY TYPU 1∞, 00 a ∞0 PŘÍKLAD 6 1/ x Určete lim+ (1 + ax ) , a ∈ \ . x →0
Řešení
Převedení na L´Hospitalovu limitu Ani při výpočtu této limity nelze použít L´Hospitalovo pravidlo přímo (jedná se o limitu typu 1∞) a je nutno nejdříve provést úpravu 4
(1 + ax )
1/ x
=e
ln (1+ ax )
1/ x
=e
ln (1+ ax )
Pak můžeme psát lim (1 + ax )
1/ x
x → 0+
= lim+ e
ln (1+ ax ) x
x →0
.
x
=e
lim
ln (1+ ax )
x→0+
x
.
Použití L´Hospitalova pravidla Především platí lim+
x →0
ln (1 + ax ) ln (1 + ax )′ = lim+ = lim+ x →0 x →0 x x′
1 1+ ax
a
1
= lim+ x →0
a = a, 1 + ax
a proto i lim+ (1 + ax )
1/ x
x →0
= ea .
PŘÍKLAD 7 Určete lim+ x x . x →0
Řešení Dříve, než použijeme L´Hospitalovo pravidlo, musíme provést úpravu
x x = e x ln x , pomocí které již můžeme psát lim x ln x
lim+ x x = lim+ e x ln x = e x→0+
x →0
4
viz Breviář, kap. 1.6
x →0
.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné
- 7.5 -
Tím je původní limita převedena na výpočet limity lim+ x ln x z příkladu 4, kde je ukázáno, že x →0
lim ( x ln x) = 0 , a proto platí i
x → 0+
lim x x = e0 = 1.
x → 0+
PŘÍKLAD 8 1/ x Určete lim (1 + ax ) , a > 0 . x →+∞
Řešení
Převedení na L´Hospitalovu limitu Úprava, kterou použijeme před aplikací L´Hospitalova pravidla, je stejná jako v příkladech 6a7
(1 + ax )
1/ x
= eln (1+ ax )
1/ x
Můžeme tedy psát lim (1 + ax )
1/ x
x →+∞
= lim e
=e
ln (1+ ax ) x
x →+∞
ln (1+ ax ) x
=e
lim
x→+∞
. ln (1+ ax ) x
.
Použití L´Hospitalova pravidla Samotné L´Hospitalovo pravidlo použijeme na výpočet limity v exponentu 1 ln (1 + ax ) ln (1 + ax )′ a a a a = lim = lim 1+ ax = lim = = =0. x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ 1 1 + ax 1 + a (+∞) +∞ x x′
lim
Pro původní limitu takto získáváme lim (1 + ax )
1/ x
x →+∞
= e0 = 1 .
CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 6 – 8 1. Určete následující limity. 1/ x
1+ x a) lim+ x →0 1 − x
b) lim − ( sin x ) x →π / 2
tg x
c) lim+ (sin x) x x →0
d) lim x n / x , n ∈ ` x →+∞
L´Hospitalovo pravidlo
- 7.6 -
LIMITY TYPU ∞ – ∞ PŘÍKLAD 9 1 − tg x . Určete lim + x →π / 2 cos x Řešení
Převedení na L´Hospitalovu limitu Pomocí úpravy 1 1 sin x 1 − sin x − tg x = − = cos x cos x cos x cos x převedeme původní limitu (typu ∞ – ∞) na novou limitu lim
x →π / 2+
1 − sin x , cos x
která je typu 0/0. Při výpočtu této nové limity můžeme tedy použít L´Hospitalovo pravidlo. Použití L´Hospitalova pravidla lim +
x →π / 2
(1 − sin x )′ = lim 0 − cos x = lim cos x = 0 = 0 . 1 − sin x = lim + x →π / 2 x →π / 2+ − sin x x →π / 2+ sin x cos x cos x′ 1
CVIČENÍ K PŘÍKLADU 9 1. Určete následující limity. 1 a) lim+ − cotg x x → 0 sin x
5
1 1 b) lim+ − x →0 x tg x
(5)
c) lim
x →+∞
(
3+ x − 2+ x
)
(6)
1 1 − d) lim− x →1 1− x 1− x
(7)
Po použití L´Hospitalova pravidla využijte v závěrečných úpravách vhodně znalosti limity lim sinx x = 1 . x→ 0
6
A nakonec něco z jiného soudku. Limita, kterou máte počítat, je sice limitou typu ∞ − ∞ , tentokrát je ale vhodnější úprava poněkud odlišná od té, kterou jsme provedli v předcházejících dvou cvičeních – limitovaný výraz vynásobte jednotkovým zlomkem 3+ x + 2+ x . 3+ x + 2+ x 7
I zde limitovaný výraz vhodně upravte a při výpočtu použijte lim− x →1
1 1− x
= +∞ .
