Diferencia´l funkce Derivace vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚ L’Hospitalovo pravidlo Jirˇ´ı Fisˇer
22. a 23. brˇezna 2011
Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
22. a 23. brˇezna 2011
1 / 18
y
ω(h)
dy
O
x
Obra´zek: Geometricky´ vy´znam diferencia´lu funkce.
Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
22. a 23. brˇezna 2011
2 / 18
Definice Diferencia´lem funkce f v bodeˇ x0 nazy´va´me vy´raz df (x0 ) = f ′ (x0 ) · dx, kde dx(= ∆x) je konstantnı´ prˇ´ıru˚stek (diferencia´l) neza´visle promeˇnne´. Diferencia´lem funkce f na mnozˇineˇ M nazy´va´me funkci dy = f ′ (x) · dx, kde x ∈ M.
Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
22. a 23. brˇezna 2011
3 / 18
Ze vztahu dy = f ′ (x) · dx vidı´me, dy zˇe Leibnizu˚v symbol pro derivaci funkce dx je skutecˇny´m zlomkem — podı´lem diferencia´lu funkce a diferencia´lu neza´visle promeˇnne´. Take´ vzorce pro derivaci slozˇene´ funkce a inverznı´ funkce lze cha´pat jako operace se skutecˇny´mi zlomky.
Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
22. a 23. brˇezna 2011
4 / 18
Uzˇitı´ diferencia´lu
Uzˇitı´ diferencia´lu v prˇiblizˇny´ch vy´pocˇtech je zalozˇeno na prˇiblizˇne´ rovnosti f (x0 + ∆x) = f (x0 ) + ∆y ≈ f (x0 ) + dy = f (x0 ) + f ′ (x0 )∆x.
Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
22. a 23. brˇezna 2011
5 / 18
´ loha U Pomocı´ diferencia´lu funkce vypocˇteˇte prˇiblizˇnou hodnotu
√
0, 982.
ˇ esˇenı´. R p 0, 982 = f (0, 982) = f (1 − 0, 018) = f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )∆x, p √ 1 0, 982 ≈ f (1) + f ′ (1) · (−0, 018) = 1 + √ (−0, 018) = 0, 991. 2 1
Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
22. a 23. brˇezna 2011
6 / 18
Derivace vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚ Funkce y = sin x ma´ derivaci y ′ = cos x. Toto je opeˇt funkce, ktera´ ma´ derivaci a platı´ (y ′ )′ = − sin x.
Definice Ma´-li funkce f ′ v bodeˇ x (na mnozˇineˇ M) derivaci (f ′ )′ , oznacˇı´me tuto derivaci f ′′ a nazveme derivace druhe´ho rˇa´du (druha´ derivace) funkce f . Podobneˇ derivaci n-te´ho rˇa´du (n-tou derivaci) f (n) definujeme vztahem ³ ´′ f (n) = f (n−1) .
Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
22. a 23. brˇezna 2011
7 / 18
d2 f (cˇti „d dveˇ f podle dx na druhou“), dx 2 µ n ¶ d2 f d2 dn f d f , (f (x)), , , apod. dx n dx n x=x0 dy 2 dx 2
Oznacˇenı´ podle Leibnize:
Oznacˇenı´ podle Cauchyho: D 2 f , D n y, apod.
Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
22. a 23. brˇezna 2011
8 / 18
´ loha U Urcˇete vsˇechny derivace funkce y = 3x 2 − 2x − 1.
´ loha U Urcˇete 2. derivaci funkce y = sin x v bodeˇ x0 = π2 .
Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
22. a 23. brˇezna 2011
9 / 18
Neˇktere´ vzorce pro n-tou derivaci elementa´rnı´ch funkcı´ 1) Funkce ex : ∀n ∈ N je
(ex )(n) = ex ; (ax )(n) = ax (ln a)n .
podobneˇ pro funkci ax ma´me
2) Funkce sin x, cos x. Platı´: f (n+4) = f (n) , takzˇe takto lze zjistit derivaci libovolne´ho rˇa´du. Platı´ te´zˇ vzorec ³ π´ (sin x)(n) = sin x + n . 2 3) Funkce sh x, ch x. Zde f (n+2) = f (n) . 4) Funkce x n , n ∈ N. (m)
(x n )(n) = n!, (x n )
Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
= 0, ∀m ∈ N, m > n.
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
22. a 23. brˇezna 2011
10 / 18
Leibnizovo pravidlo pro n-tou derivaci soucˇinu:
(n)
(uv)
µ ¶ µ ¶ n n (n−1) ′ = u v+ u v + u (n−2) v ′′ + · · · 1 2 µ ¶ n ··· + u ′ v (n−1) + uv (n) . n−1 (n)
´ loha U Urcˇete 120. derivaci funkce y = x 2 ex .
ˇ esˇenı´. R ex (x 2 + 240x + 14280).
Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
22. a 23. brˇezna 2011
11 / 18
L’Hospitalovo pravidlo · ¸ 0 Na´sledujı´cı´ veˇta se ty´ka´ vy´pocˇtu limit typu . Podobne´ tvrzenı´ lze 0 h∞i a obeˇ pak pouzˇ´ıt k vy´pocˇtu neˇkolika vyslovit i pro limity typu ∞ dalsˇ´ıch typu˚ limit.
Veˇta (L’Hospitalovo pravidlo) Necht’ 1) funkce f , g majı´ derivace v P(a), kde a ∈ R∗ , 2) lim f (x) = 0, x→a
lim g(x) = 0,
x→a
3) existuje vlastnı´ nebo nevlastnı´
f ′ (x) =K . x→a g ′ (x)
f (x) x→a g(x)
lim
lim
Pak existuje i Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
a rovna´ se
K
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
. 22. a 23. brˇezna 2011
12 / 18
L’Hospitalovo pravidlo ´ loha U arctg(x − 2) . x→2 x2 − 4
Vypocˇteˇte lim
£1¤ 4
´ loha U ln x . x→1 x − 1
Vypocˇteˇte lim
[1]
´ loha U 6x 2 + 5x + 4 . x→+∞ 3x 3 + 2x 2 + 1
Vypocˇteˇte lim
Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
[2]
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
22. a 23. brˇezna 2011
13 / 18
L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo platı´ i pro jednostranne´ limity.
´ loha U ln x . x→0+ cotg x
Vypocˇteˇte lim
Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
[0]
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
22. a 23. brˇezna 2011
14 / 18
L’Hospitalovo pravidlo L’Hospitalovo pravidlo neplatı´ naopak a to v tomto smyslu: z existence limity podı´lu funkcı´ neplyne existence limity podı´lu jejich derivacı´ nebo, cozˇ je tote´zˇ, z neexistence limity podı´lu derivacı´ jesˇteˇ neplyne neexistence limity podı´lu funkcı´. sin |x| Naprˇ´ıklad lim = 1. x→0 |x| Neˇkdy je potrˇebne´ pouzˇ´ıt l’Hospitalovo pravidlo i vı´cekra´t, prˇ´ıpadneˇ prova´deˇt prˇi vy´pocˇtu u´pravy, ktere´ postup zjednodusˇ´ı.
´ loha U 1 − cos 3x £ 9 ¤ . 2 x→0 sin2 x
Vypocˇteˇte lim
Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
22. a 23. brˇezna 2011
15 / 18
L’Hospitalovo pravidlo Prˇi vy´pocˇtu limit typu soucˇin funkcı´ na podı´l f 1 g
[0 · ∞]
soucˇinu funkcı´ f · g upravı´me
nebo naopak
g 1 f
tak, aby to bylo vhodne´ pro pouzˇitı´ l’Hospitalova pravidla tedy naprˇ´ıklad funkci logaritmickou je zpravidla nejvhodneˇjsˇ´ı nechat v cˇitateli.
´ loha U Vypocˇteˇte lim x ln x. x→0+
Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
[0]
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
22. a 23. brˇezna 2011
16 / 18
L’Hospitalovo pravidlo Pocˇı´ta´me-li limitu typu [∞ − ∞] rozdı´lu funkcı´ f − g, upravı´me rozdı´l funkcı´ na podı´l: 1 1 1 1 g − f f −g = 1 − 1 = 1 . f
g
fg
´ loha U Vypocˇteˇte lim
x→0
µ
¶ 1 cotg x − 2 . x 2
ˇ esˇenı´. R 2 − ; prˇed pouzˇitı´m l’Hospitalova pravidla nejprve zı´skany´ zlomek 3 vhodneˇ rozlozˇ´ıme na soucˇin funkcı´.
Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
22. a 23. brˇezna 2011
17 / 18
L’Hospitalovo pravidlo U limit typu [00 ], [∞0 ] a [1∞ ] pro funkce fg postupujeme tak, zˇe tuto funkci nejprve upravı´me na tvar eg·ln f (x) , limitu prˇeneseme do exponentu (podle veˇty o limiteˇ slozˇene´ funkce) a [0 · ∞] . v exponentu dostaneme limitu typu
´ loha U Vypocˇteˇte lim x sin x . x→0+
Jirˇ´ı Fisˇer (KMA, PrˇF UP Olomouc)
[1]
KMA–MAT2 Prˇedna´sˇka cˇ. 6
22. a 23. brˇezna 2011
18 / 18
