Közepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Bessenyei Mihály Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék
Regionális Matematika Szakkör Megnyitója Debrecen, 2015. szeptember 7.
Bessenyei Mihály
Közepek Gauss-kompozíciója
AGH-egyenl®tlenség
Tétel Értelmezzük az x és y pozitív számok harmónikus, mértani (geometriai) illetve számtani (aritmetikai) közepét rendre az alábbi módon: H (x , y ) := Ekkor
2xy , x +y
G (x , y ) :=
√
xy ,
A(x , y ) :=
H (x , y ) ≤ G (x , y ) ≤ A(x , y ).
Továbbá, egyenl®ség pontosan akkor teljesül, ha x = y .
Bessenyei Mihály
Közepek Gauss-kompozíciója
x +y . 2
Két rokon probléma Feladat: meghatározandó H ⊗ A Legyenek x < y pozitív számok, és tekintsük az alábbi sorozatokat: x1
=
x,
xn+1 = H (xn , yn );
y1
=
y,
yn+1 = A(xn , yn ).
Határozza meg mindazon α valós számokat, amelyre minden n pozitív egész esetén α ∈ [xn , yn ] teljesül! Jelölés: α = H ⊗ A. Feladat: meghatározandó G ⊗ A Legyenek x < y pozitív számok, és tekintsük az alábbi sorozatokat: x1
= x,
xn+1 = G (xn , yn );
y1
= y,
yn+1 = A(xn , yn ).
Határozza meg mindazon α valós számokat, amelyre minden n pozitív egész esetén α ∈ [xn , yn ] teljesül! Jelölés: α = G ⊗ A. Bessenyei Mihály
Közepek Gauss-kompozíciója
H ⊗ A meghatározása Megoldás Tegyük fel, hogy α és β olyan különböz® valós számok, amelyek eleget tesznek a feladatban foglaltaknak. Ekkor |α − β| > 0; másrészt
|α − β| ≤ yn+1 − xn+1 ≤
yn − xn y1 − x1 yn + xn − xn = ≤ ··· ≤ . 2 2 2n
Vagyis, 2n ≤ |y − x |/|α − β|, ami lehetetlen, hiszen itt a bal oldal fölülr®l √ nem korlátos. Másrészt, xn+1 yn+1 ∈ [xn+1 , yn+1 ] teljesül minden n pozitív egész esetén. Azonban 2xn yn xn + yn · = xn yn = · · · = x1 y1 = xy . xn + yn 2 √ Ez azt jelenti, hogy α = xy az egyetlen olyan szám, amely benne van a szóbanforgó intervallumok mindegyikében. xn+1 yn+1 =
Bessenyei Mihály
Közepek Gauss-kompozíciója
G ⊗ A meghatározása Megoldás els® felvonás Tegyük fel, hogy α és β olyan különböz® valós számok, amelyek eleget tesznek a feladatban foglaltaknak. Ekkor |α − β| > 0; másrészt
|α − β| ≤ yn+1 − xn+1 ≤
yn − xn y1 − x1 yn + xn − xn = ≤ ··· ≤ . 2 2 2n
Vagyis, 2n ≤ |y − x |/|α − β|, ami lehetetlen, hiszen itt a bal oldal fölülr®l nem korlátos. Megoldás második felvonás Legfeljebb egyetlen közös α eleme van a kérdéses intervallumoknak. Legalább egy közös α eleme van a kérdéses intervallumoknak. Pontosan egyetlen közös α eleme van a kérdéses intervallumoknak. Hogyan kapható meg az α valós szám?
Bessenyei Mihály
Közepek Gauss-kompozíciója
Carl Friedrich Gauss (17771855)
Bessenyei Mihály
Közepek Gauss-kompozíciója
A Bernoulli-féle lemniszkáta: (x 2 + y 2 )2 = 2p 2 (x 2 − y 2 )
Bessenyei Mihály
Közepek Gauss-kompozíciója
A számtani-mértani közép
G ⊗ A(1,
√
2)
√ Ha L jelöli a p = 1/ 2 paraméter¶ Bernoulli-féle lemniszkáta pozitív síknegyedbe es® ívének hosszát, akkor G ⊗ A(1,
√
2) · L =
π . 2
G ⊗ A(x , y ) Ha x és y pozitív számok, akkor ezek számtani-mértani közepe eleget tesz az alábbi összefüggésnek: G ⊗ A(x , y ) ·
Z 0
π 2
dt π p = . 2 2 2 2 2 x cos t + y sin t
Bessenyei Mihály
Közepek Gauss-kompozíciója
Önemészt® iteráció: egy elv két köntös Feladat (KöMal P4080/2009) Határozza meg az ábrán látható, 2015 fokú fémlétra ered® ellenállását!
Megoldás (Szikszay László, Debrecen) A létra jobb oldali végén lév® sorosan kapcsolt ellenállások kicserélhet®k egyetlen 24Ω-os ellenállásra. Ez, valamint a vele párhuzamosan kapcsolt ellenállás helyettesíthet® egyetlen 6Ω-os ellenállással. Így olyan 2014 fokú létrát kapunk, mint amilyen az eredeti volt. Az eljárást ismételve és a fokokat lépésenként elfogyasztva, 24Ω ered® ellenállás adódik.
Bessenyei Mihály
Közepek Gauss-kompozíciója
Irodalom
Besenyei, Á. A számtani-mértani közép és egyéb érdekességek I., KöMal 59 (2009) no. 2, 7280. Besenyei, Á. A számtani-mértani közép és egyéb érdekességek II., KöMal 59 (2009) no. 3, 130138. Borwein, J. M., Borwein, P. B. Pi and the AGM: a study in analytic number theory and computational complexity, John Wiley, New York, 1987. Daróczy, Z. Gaussian iteration of mean values and the existence of √ 2, Teaching Math. Comp. Sci., 1 (2003) no. 1, 3542. Daróczy, Z., Páles, Zs. Gauss-composition of means and the solution of the MatkowskiSuto problem, Publ. Math. Debrecen, 61 (2002) no. 1-2, 157218.
Bessenyei Mihály
Közepek Gauss-kompozíciója
Köszönöm a gyelmet!
Bessenyei Mihály
Közepek Gauss-kompozíciója
