KRITERIA LAPLACE PADA PENCARIAN SOLUSI PROGRAM LINIER FUZZY SKRIPSI ELISABETH ARITONANG

i

KRITERIA LAPLACE PADA PENCARIAN SOLUSI PROGRAM LINIER FUZZY

SKRIPSI

ELISABETH ARITONANG 050803067

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009

Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.

i


SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

ELISABETH ARITONANG 050803067

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009 Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.

ii

PERSETUJUAN

Judul Kategori Nama Nomor Induk Mahasiswa Program Studi

: KRITERIA LAPLACE PADA PENCARIAN SOLUSI PROGRAM LINIER FUZZY : SKRIPSI : ELISABETH ARITONANG : 050803067 : SARJANA (S-1) MATEMATIKA

Diluluskan di Medan,

September 2009

Komisi Pembimbing: Pembimbing I

Pembimbing II

Dra. Esther S. M. Nababan, M.Sc

Drs. Henry Rany Sitepu, M.Si

NIP. 19610318 198711 2001

NIP. 19530303 198303 1002

Diketahui/Disetujui oleh: Departemen Matematika FMIPA USU

Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 19640109 198803 1004


iii

PERNYATAAN


SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan langsung yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

September 2009

Elisabeth Aritonang 050803067


iv

PENGHARGAAN

Terima kasih kepada Yesus Kristus atas anugerah terindah dan kasih yang melimpah yang telah diberikan-Nya kepada penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan sebaik mungkin. Ucapan terima kasih juga saya sampaikan kepada ibu Dra. Esther S.M. Nababan, M.Sc dan bapak Drs. Henry Rany Sitepu, M.Si, selaku pembimbing yang telah memberikan panduan dan kepercayaan kepada saya untuk menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih juga saya tujukan kepada bapak Dr. Saib Suwilo M. Sc, selaku ketua Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, Dekan dan pembantu Dekan FMIPA USU, dan teman-teman seperjuangan jurusan Matematika USU stambuk 2005 yang telah mendukung saya untuk tetap berusaha dalam penulisan skripsi ini. Akhirnya tidak terlupakan kepada Ayah dan Ibu yang sangat saya kasihi, Daniel abang saya, Donna dan Kristiani adik-adik saya yang selama ini selalu setia mendoakan dan mendorong saya untuk tetap bertekun di dalam doa dan dalam setiap pencobaan. Kasih Yesus Kristus selalu menyertai kita semua. Amin.


v

ABSTRAK

Model pemrograman linier yang memiliki fungsi objektif fuzzy maupun kendala fuzzy dikenal sebagai pemrograman linier fuzzy. Pencarian solusi program linier fuzzy memerlukan langkah-langkah dimana pengambilan keputusan kriteria Laplace yaitu suatu kriteria pengambilan keputusan dibawah ketidakpastian akan digunakan dalam perumusan tujuan yang bersifat multiobjektif menjadi tujuan tunggal dan pada akhirnya menyelesaikannya dengan metode simpleks. Pada tulisan ini kriteria keputusan Laplace memberikan rata-rata nilai keanggotaan yang cukup besar pada persoalan program linier fuzzy yaitu sebesar µ = 0,72. Penelitian ini membahas program linier fuzzy dengan koefisien fungsi objektifnya fuzzy yang didefinisikan dengan bilangan fuzzy triangular dan kendala crisp.


vi

KRITERIA LAPLACE PADA PENCARIAN SOLUSI PROGRAM LINIER FUZZY ABSTRACT

Linear programming model which has fuzzy objective function or fuzzy constraints are known as fuzzy linear programming model. In the case to find the solution of fuzzy linear programming (FLP) needs some steps where the decision criterion of Laplace will be used to formulate the multiobjective function to be single objective function, and then solve it with Simpleks method. In this research, Laplace decision criterion gives a large number of expected membership value in fuzzy linear programming problem that is µ = 0,72. This research is about FLP in the case where objective function coefficients are in the form of triangular fuzzy number and crisp constraints.


vii

DAFTAR ISI

Persetujuan

Halaman ii

Penyataan

iii

Penghargaan

iv

Abstrak

v

Abstract

vi

Daftar Isi

vii

Daftar Tabel

ix

Daftar Gambar

x

BAB I

PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

2

1.3 Pembatasan Masalah

2

1.4 Maksud dan Tujuan Penelitian

2

1.5 Metodologi Penelitian

3

1.6 Tinjauan Pustaka

3

BAB II LANDASAN TEORI

5

2.1 Program Linier

5

2.2 Metode Simpleks

8

2.3 Teori Himpunan Fuzzy

20

2.4 Fungsi Keanggotaan Fuzzy

21

2.4.1 Bilangan Fuzzy Triangular

21

2.4.2 Bilangan Fuzzy Trapezoidal

22

2.5 Himpunan Penyokong (Support set)

23

2.6 Nilai Alfa-Cut

24

2.7 Operasi-operasi pada Himpunan Fuzzy

25

2.7.1 Interseksi Himpunan Fuzzy

25

2.7.2 Union Himpunan Fuzzy

26


viii

2.7.3 Komplemen (Negasi) 2.8 Masalah Keputusan

26 27

2.8.1 Kriteria Maximin Wald

28

2.8.2 Kriteria Optimis-pesimis Hurwicz

28

2.8.3 Kriteria Minimax Savage

29

2.8.4 Kriteria Prinsip ketidakcukupan Laplace

29

BAB III PEMBAHASAN

31

3.1 Program Linier Fuzzy

31

3.2 Fungsi Objektif Fuzzy dan Batasan Crisp

32

3.3 Usulan Langkah-langkah Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy dengan Pengambilan Keputusan Kriteria Laplace

34

3.4 Ilustrasi Numerik

36

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN

43

4.1 Kesimpulan

43

4.2 Saran

43

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


ix

DAFTAR TABEL

TABEL

Halaman

2.1

Bentuk tabel simpleks

8

2.2

Bentuk tabel awal simpleks sebelum pivoting

10

2.3

Bentuk tabel simpleks sesudah pivoting

13

2.4

Tabel simpleks untuk solusi awal

15

2.5

Tabel simpleks untuk solusi yang baru

16

2.6

Tabel simpleks untuk solusi akhir

17

2.7

Tabel simpleks untuk solusi awal

18

2.8


19

2.9

Bentuk umum tabel keputusan

27

3.1

Tabel simpleks awal

39

3.2

Tabel simpleks untuk solusi yang baru

40

3.3

Tabel simpleks untuk solusi yang baru-2

41

3.4

Tabel simpleks untuk solusi yang baru-3

41

3.5


42


x

DAFTAR GAMBAR

GAMBAR 2.1

Halaman

Flowchart penyelesaian program linier dengan metode simpleks

14

2.2

Bilangan fuzzy Triangular

21

2.3

Himpunan fuzzy : BERAT (kurva triangular)

22

2.4

Bilangan fuzzy Trapezoidal

23

2.5

Himpunan fuzzy : BERAT (kurva trapezoidal)

23

2.6

Support set untuk himpunan fuzzy BERAT

24

2.7

Nilai Alfa-Cut untuk himpunan fuzzy BERAT

24


xi


1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang

Semua masalah dalam dunia nyata erat hubungannya dengan masalah manusia yang mengandung ketidakpastian. Dari kebutuhan untuk menggambarkan keadaan dunia nyata yang tidak pasti inilah muncul istilah fuzzy, yang pertama kali dikemukakan oleh Zadeh (1962). Teori ini dapat digunakan untuk menangani ketidakpastian dalam masalah dunia nyata. Teori ini memperkenalkan himpunan yang keanggotaannya dinyatakan dengan derajat keanggotaan tertentu dalam selang tertutup antara nol dan satu [0,1]. Program Linier Fuzzy adalah Program Linier yang dinyatakan dengan fungsi objektif dan fungsi kendala yang memiliki parameter fuzzy dan ketidaksamaan fuzzy. Tujuan dari program linier fuzzy adalah mencari solusi yang dapat diterima berdasarkan kriteria yang dinyatakan dalam fungsi objektif dan kendala. Program linier fuzzy membutuhkan langkah-langkah dalam pencarian solusinya dimana pada pendekatan program linier fuzzy menjadi program linier biasa dengan fungsi objektif tunggal, digunakan kriteria Maximin. Pada tulisan ini akan digunakan kriteria Laplace of insufficient reason criterion pada langkah pencarian solusinya untuk menggantikan kriteria Maximin, dimana kriteria Laplace dan kriteria Maximin sama-sama kriteria pengambilan keputusan dibawah ketidakpastian. Hanya saja kriteria Laplace mengasumsikan bahwa setiap kejadian memiliki nilai peluang untuk terjadi namun apabila informasi untuk kejadian itu tidak mencukupi maka peluang untuk setiap kejadian diasumsikan sama. Kriteria Laplace ini dapat dituliskan sebagai berikut : Jika peluang akan keadaan sesungguhnya/keadaan masa depan tidak diketahui, asumsikan bahwa mereka memiliki kesempatan yang sama untuk muncul atau terjadi. Nilai peluang untuk kejadian dari s1, s2, s3, .....,sn tidak diketahui, maka tidak diperoleh informasi yang mencukupi untuk menyimpulkan bahwa peluang dari kejadianElisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.

2

kejadian tersebut akan berbeda. Sehingga kesimpulannya nilai peluang setiap state dianggap sama, dimana P{s1}=P{s2}=. . . = P{sn}=

1 . Diberikan v(ai , s j ) yang n

menyatakan perolehan, maka pilihan terbaik dapat didefinisikan sebagai berikut :

max ai Dimana

1.2

1 n   ∑ j =1 v(ai , s j ) n 

1 adalah peluang bahwa s j (j = 1,2,3,...,n) terjadi. n

Perumusan Masalah Permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana menyelesaikan suatu

masalah program linier fuzzy dengan mentransformasikan kriteria pengambilan keputusan Laplace pada langkah-langkah pencarian solusinya. 1.3

Pembatasan Masalah Tulisan ini dibatasi untuk masalah program linier fuzzy dengan fungsi objektif

fuzzy dan kendala crisp. Sedangkan fungsi keanggotaannya dibatasi pada bilangan fuzzy triangular untuk parameter fuzzy yang terdapat pada fungsi objektif.

1.4

Maksud dan Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk menemukan solusi program linier fuzzy dengan menggunakan kriteria Laplace sebagai kriteria pengambilan keputusan dibawah ketidakpastian dalam langkah-langkah pencarian solusinya, dengan tidak bermaksud untuk membandingkan antara kriteria Laplace dan kriteria Maximin mengingat setiap kriteria memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing.


3

1.5

Metodologi Penelitian

Penelitian ini dilakukan dalam bentuk studi literatur dari berbagai buku teks dan jurnal. Usulan langkah-langkah pencarian solusi bagi program linier fuzzy adalah sebagai berikut :

Langkah 1 :

Menentukan nilai-nilai berikut : z1min = min (c*-c-) x z1max = max (c*-c-) x z2min = min c* x z2max = max c* x z3min = min (c+- c*) x z3max = max (c+- c*) x

Langkah 2 :

Mendefinisikan fungsi keanggotaan segitiga dengan menggunakan fungsi-fungsi objektif diatas.

Langkah 3 :

Mendefinisikan ketiga fungsi keanggotaan diatas dengan pengambilan keputusan kriteria Laplace.

Langkah 4 :

Mendefinisikan fungsi tujuan dengan kendala adalah penggabungan dari langkah-3 dengan kendala awal permasalahan.

Langkah 5 :

1.6

Penyelesaian dengan menggunakan Metode Simpleks (Big M Method).

Tinjauan Pustaka Zimmerman (1991), dalam tulisannya mengemukakan tujuan dan batasan-

batasan dipresentasikan dengan himpunan fuzzy dan pembuat keputusan dapat menetapkan sebuah tingkat ide untuk nilai dari fungsi objektif yang ingin dicapai. Selain itu dibicarakan juga tentang bentuk umum model program linier fuzzy.

Tanaka dan Asai (1984), dalam tulisannya menganggap koefisien dari A, b, dan c sebagai bilangan fuzzy dan batasan-batasan sebagai fungsi fuzzy. Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.

4

Sri Kusumadewi (2002), dalam tulisannya mengemukakan jika diasumsikan bahwa keputusan linier programming akan dibuat pada lingkungan fuzzy maka model program linier klasik akan mengalami sedikit perubahan yaitu : 1.

Bentuk imperatif pada fungsi objektif tidak lagi benar-benar “maksimum” atau “minimum”, karena adanya beberapa hal yang perlu mendapat pertimbangan dalam suatu sistem.

2.

Tanda ≤ (pada batasan) dalam kasus maksimasi dan tanda ≥ (pada batasan) dalam kasus minimasi tidak lagi bermakna crisp secara matematis, namun sedikit mengalami pelanggaran makna. Hal ini juga disebabkan karena adanya beberapa hal yang perlu dipertimbangkan dalam sistem yang mengakibatkan batasan tidak dapat didekati secara tegas.


5

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibicarakan beberapa konsep dan teorema tanpa bukti yang akan digunakan pada bab pembahasan.

2.1

Program Linier

Program linier merupakan model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya, dimana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Secara sederhana dapat diambil contoh bagian produksi suatu perusahaan yang dihadapkan pada masalah penentuan tingkat produksi masing-masing jenis produk dengan memperhatikan batasan faktor-faktor produksi : mesin, tenaga kerja, bahan mentah, dan sebagainya untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang minimal. Dalam memecahkan masalah diatas, program linier menggunakan model matematis. Sebutan " linier " berarti bahwa semua fungsi matematis yang disajikan dalam model ini haruslah fungsi-fungsi linier. Dalam program linier dikenal dua macam fungsi, yaitu fungsi tujuan ( fungsi objektif ) dan fungsi-fungsi batasan ( kendala ). Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuan / sasaran di dalam permasalahan program linier yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber daya-sumber daya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z. Fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.


6

Menurut Nasendi ( 1985, p13-14 ), agar dapat merumuskan suatu permasalahan ke dalam program linier, maka ada syarat-syarat yang harus dipenuhi yaitu : 1.

Tujuan Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dicari jalan

keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut Fungsi tujuan. Fungsi tujuan tersebut dapat berupa dampak positif, manfaat-manfaat, keuntungankeuntungan, dan kebaikan-kebaikan yang ingin dimaksimumkan, atau dampak negatif, kerugian-kerugian, risiko-risiko, biaya-biaya, jarak, waktu, dan sebagainya yang ingin diminimumkan. 2.

Alternatif Perbandingan Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan ;

misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah; atau antara alternatif padat modal dengan padat karya; atau antara kebijakan A dengan B; atau antara proyeksi permintaan tinggi dengan rendah; dan seterusnya. 3.

Sumber Daya Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas.

Misalnya keterbatasan waktu, keterbatasan biaya, keterbatasan tenaga, keterbatasan luas tanah, keterbatasan ruangan, dan lain-lain. Keterbatasan dalam sumber daya tersebut dinamakan sebagai kendala atau syarat ikatan. 4.

Perumusan Kuantitatif Fungsi tujuan dan kendala tersebut harus dapat dirumuskan secara kuantitatif

dalam apa yang disebut model matematika. 5.

Keterkaitan Peubah Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus

memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan. Hubungan keterkaitan tersebut dapat diartikan sebagai hubungan yang saling mempengaruhi, hubungan interaksi, interdependensi, timbal-balik, saling menunjang, dan sebagainya.


7

Model Dasar Model dasar atau model baku PL (Program Linier) dapat dirumuskan sebagai berikut : Fungsi tujuan : Maksimalkan atau minimalkan : Z = c1 x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n

(2.1)

Kendala : a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n ≤ atau ≥ b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n ≤ atau ≥ b2 .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

(2.2)

a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n ≤ atau ≥ bm x j ≥ 0,

untuk j = 1,2,..., n

(syarat non-negatif)

(2.3)

Bentuk diatas dapat juga ditulis sebagai berikut : Fungsi tujuan : Maksimumkan atau minimumkan : n

Z = ∑cj xj

(2.4)

j =1

Kendala : n

∑a j =1

Dan x j ≥ 0

ij

x j ≤ atau ≥ bi ,

untuk i = 1,2,..., m

j = 1,2,..., n

(2.5) (2.6)

Untuk : cj

= Parameter yang dijadikan kriteria optimisasi, atau koefisien peubah pengambilan keputusan dalam fungsi tujuan.

xj

= Peubah pengambilan keputusan atau kegiatan (yang ingin dicari; yang tidak diketahui).

aij

= Koefisien teknologi peubah pengambilan keputusan dalam kendala ke-i.


8

= Sumber daya yang terbatas, yang membatasi kegiatan atau usaha yang

bi

bersangkutan; disebut konstanta atau ‘ nilai sebelah kanan ‘ dari kendala ke-i. = Nilai skalar kriteria pengambilan keputusan; suatu fungsi tujuan .

Z

Model dasar yang dirumuskan dalam (2.1)-(2.3) atau (2.4)-(2.6) dapat diformulasikan lagi dalam notasi matriks, yaitu :

Fungsi tujuan : Maksimumkan atau minimumkan : Z = C' X

(2.7)

Kendala : AX ≤ atau ≥ b

(2.8)

Dan X ≥ 0 Dengan C, X,0 ∈ R n , b ∈ R m , A ∈ R mxn

2.2

(2.9)

Metode Simpleks

Tabel 2.1 Bentuk tabel simpleks Cj

c1

...

ck

...

x B1

...

xk

...

xn

Basis

...

a1k

...

a1n

b1

cn

Jawab

Variabel

Harga

Basis

Basis

x B1

c B1

a11

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x Br

c Br

a r1

a rn

br

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x Bm

c Bm

a m1

a mn

bm

z n − cn

cBb

zj −cj

z1 − c1

...

...

a rk

a mk z k − ck

...

...


9

Sebelum menyelesaikan suatu tabel simpleks terlebih dahulu menginisialisasikan dan merumuskan suatu persoalan keputusan ke dalam model matematik persamaan linier, caranya adalah sebagai berikut :

1.

Konversikan semua ketidaksamaan menjadi persamaan. Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian pada daerah

kelayakan (feasible) maka untuk model program linier diubah menjadi suatu model yang sama dengan menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan (artificial variable) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol kepada tiap koefisien c -nya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut : Untuk batasan bernotasi ( ≤ ) dapat dimodifikasi kepada bentuk persamaan

1)

dengan menambahkan variabel slack kedalamnya. Untuk batasan bernotasi ( ≥ ) dapat dimodifikasi kepada bentuk persamaan

2)

dengan mengurangkan variabel surplus dan kemudian menambahkan variabel buatan (artificial variabel) kedalamnya. 3)

Untuk batasan bernotasi (=) diselesaikan dengan menambahkan variabel buatan (artificial variabel) kedalamnya. Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal

ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Jika persoalan maksimal maka dibuat – M sebagai harga, dan jika persoalan minimal dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method).

Penambahan variabel slack dan variabel buatan (artificial variable) pada tiap batasan (constraint) untuk persoalan maksimal dapat dirumuskan sebagai berikut : Maksimalkan : n

Z = ∑cj xj − M j =1

m

∑B

i = m1 +1

(2.10)

i

Dengan batasan : n

∑a j =1

x j + xi = bi ,

i = 1,2,..., m1

ij

x j + Bi = bi ,

i = m1 + 1,..., m1 + m2 (untuk batasan bernotasi =) (2.12)

n

∑a j =1

(untuk batasan bernotasi ≤ )

ij

(2.11)


10

n

∑a j =1

ij

x j − x j + Bi = bi , i = m1 + m2 + 1,..., m (untuk batasan bernotasi ≥ )(2.13)

x j ≥ 0, xi ≥ 0, Bi ≥ 0, bi ≥ 0 untuk semua harga i dan j x j = 0, j = 1,2,..., n xi = bi , i = 1,2,..., m1 Bi = bi , i = m1 + 1,..., m

2.

Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel awal simpleks

Tabel 2.2 Bentuk tabel awal simpleks sebelum pivoting Cj

c1

cj

cm

cr

ck

Jawab Basis

Variabel

Harga

Basis

Basis

x B1

x B1

...

x Br

...

x Bm

...

c B1

1

...

0

...

0

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x Br

c Br

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x Bm

c Bm

0

zj −cj

...

...

0

1.

0 0

...

...

...

xk

...

a1k

b1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a rk

br

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a mk

bm

z k − ck

cBb

0

1

...

...

0

xj a1 j

a rj

a mj zj −cj

...

...

Langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaikan suatu tabel simpleks adalah sebagai berikut : Langkah 1

:

Mengecek nilai optimal imbalan. *

Untuk persoalan maksimal : z k − c k = minimal { z j − c j : j ∈ R } Jika z k − c k ≥ 0 maka selesai, berarti jawab atau solusi sudah optimal.


11

*

Untuk persoalan minimal : z k − c k = maksimal{ z j − c j : j ∈ R } Jika z k − c k ≤ 0 maka selesai, berarti jawab atau solusi sudah optimal.

Harga-harga imbalan ( z j − c j ) dapat diperoleh dengan rumus : zj −cj =

m

∑c j =1

Bi

aij − c j

(2.14)

Untuk : c j = Harga dari semua variabel dalam z . aij = Koefisien dari semua variabel dalam sistem batasan. c Bi = Harga dari variabel basis.

Langkah 2

:

Menentukan variabel yang akan masuk dalam basis.

Untuk persoalan maksimalkan jika terdapat beberapa z j − c j ≤ 0 maka kolom yang menjadi kolom pivot adalah kolom dengan z j − c j terkecil, dan variabel yang sehubungan dengan kolom pivot adalah variabel yang masuk ke dalam basis. Untuk persoalan minimal jika terdapat beberapa z j − c j ≥ 0 maka kolom yang menjadi kolom pivot adalah kolom dengan z j − c j terbesar, dan variabel yang sehubungan dengan kolom pivot adalah variabel yang masuk ke dalam basis. Jika pada baris z j − c j terdapat lebih dari satu kolom yang mempunyai nilai negatif yang angkanya terbesar dan sama pada persoalan maksimal atau terdapat lebih dari satu kolom yang mempunyai nilai positif terbesar dan sama pada persoalan minimal maka terdapat dua kolom yang bisa terpilih menjadi kolom pivot. Untuk mengatasi hal ini, dapat dipilih salah satu dari z j − c j secara sembarang.

Langkah 3

:

Menentukan variabel yang akan keluar dari basis.

Menetapkan variabel yang keluar dari basis yaitu :

b  br = min imum i : aik > 0 a rk  aik 


12

Variabel yang sehubungan dengan baris pivot yang demikian adalah variabel yang keluar dari basis. Jika terdapat dua baris atau lebih nilai

br maka ada beberapa baris yang dapat ark

terpilih sebagai baris pivot. Dapat dipilih baris pivot secara bebas diantara keduanya dan hasilnya akan sama.

Langkah 4

:

Menyusun tabel simpleks baru .

Untuk menyusun tabel simpleks yang baru, maka harus mencari koefisien elemen pivot dari tabel simpleks sebelumnya. Koefisien elemen pivot dapat dicari dengan menghubungkan kolom pivot dengan baris pivot sedemikian rupa sehingga titik potong kedua pivot ini menunjukkan koefisien, yang disebut elemen pivot. Koefisien-koefisien baris pivot baru dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut :

a rj

(2.15)

a rk

Untuk menghitung nilai baris baru lainnya dilakukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut : aij −

Langkah 5

:

a rj a rk

aik

(2.16)

Mengecek nilai optimal imbalan dari tabel simpleks yang baru.

Jika imbalan sudah optimal maka tafsirkan hasil penyelesaian, jika belum optimal maka kembali kepada langkah 2.


13

Tabel 2.3 Bentuk tabel simpleks sesudah pivoting

Cj Variabel

Harga

x B1

...

...

x Br

cj

cm

cr

c1

ck Jawab Basis

...

x Bm

...

...

0

...

xj

...

xk

...

0

Basis

Basis

x B1

c B1

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

xBr

c Br

0

1

br a rk

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x Bm

c Bm

0

...

...

−

a rj a rk

1 a rk

− a mk a rk

...

...

0

1

a rk

a1k

a rj

...

...

a rj

aij −

...

a rk

a mj −

a rj a rk

a mk

...

0

(z j − c j ) − zj −cj

0

ck − z k a rk

0

a rj a rk

(z k − ck )

b1 −

bm −

a1k br a rk

amk br ark

cBb − 0

( z k − ck )


br ark

14

Langkah-langkah penyelesaian Program Linier dengan metode simpleks dapat digambarkan dalam bentuk flowchart berikut :

Mulai

Konversikan semua ketidaksamaan menjadi persamaan, gunakan peubah disposal (slack dan surplus atau artificial).

Menyusun persamaan di dalam tabel awal simpleks.

Tidak

Untuk Z Maksimum : {z k − ck ≥ 0 ?}

Ya

 br  > 0 ?   a rk 

Lakukan lagi iterasi dan bentuk tabel simpleks baru. Ya

Tidak Penyelesaian kelayakan sudah optimal.

Tidak ada penyelesaian (tidak layak / tidak optimal)

Selesai

Gambar 2.1 Flowchart penyelesaian Program Linier dengan metode simpleks


15

Contoh 2.1 : Maksimumkan :

Z = 8 x1 + 9 x 2 + 4 x3

Kendala :

x1 + x 2 + 2x3 ≤ 2 2 x1 + 3 x 2 + 4 x3 ≤ 3 7 x1 + 6 x 2 + 2 x3 ≤ 8 x1 , x 2 , x3 ≥ 0

Agar persamaan diatas memenuhi persyaratan penyelesaian dalam daerah kelayakan (feasible), maka pada sisi kiri persamaan batasan ditambahkan variabel slack. Sehingga bentuk bakunya sebagai berikut :

Maksimumkan :

Z = 8 x1 + 9 x 2 + 4 x3 + 0 x 4 + 0 x5 + 0 x6 x1 + x 2 + 2 x3 + x 4

Kendala :

2 x1 + 3 x 2 + 4 x3

=2 + x5

7 x1 + 6 x 2 + 2 x3

=3 + x6 = 8

x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 ≥ 0

Model diatas dapat dibawa ke dalam tabel simpleks sebagai berikut :

Tabel 2.4 Tabel simpleks untuk solusi awal 8

Cj

9

4

0

0

0 Harga

Variabel

Harga

Basis

Basis

x4

x1

x2

x3

x4

x5

x6

Jawab

0

1

1

2

1

0

0

2

x5

0

2

3

4

0

1

0

3

x6

0

7

6

2

0

0

1

8

-8

-9

-4

0

0

0

0

zj −cj


16

Dari tabel 2.4 diatas, tampak bahwa penyelesaian optimal belum dicapai dimana harga z j − c j terkecil dari tabel diatas adalah -9, sehingga variabel yang masuk basis adalah

variabel x 2 . Kolom variabel x 2 menjadi kolom pivot dan perhitungan untuk indeks (I) adalah :

3 8 2  I min =  = 2, = 1, = 1,33 3 6 1  Diperoleh I min =1, maka variabel yang meninggalkan basis adalah variabel x5 kemudian digantikan dengan variabel x 2 . Angka kunci (elemen pivot) yang diperoleh = 3, maka tabel simpleks yang baru adalah :

Tabel 2.5 Tabel simpleks untuk solusi yang baru Cj

Harga

8

9

4

0

0

0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

1 3

0

1

Jawab Variabel

Harga

Basis

Basis

x4

0

1 3

0

2 3

1

x2

9

2 3

1

4 3

0

1 3

0

1

x6

0

3

0

-6

0

-2

1

2

-2

0

8

0

3

0

9

zj −cj

−

Dari tabel 2.5 diatas tampak bahwa penyelesaian optimal belum tercapai dimana harga z j − c j terkecil dari tabel diatas adalah -2, sehingga variabel yang masuk basis adalah

variabel x1 . Kolom variabel x1 menjadi kolom pivot dan perhitungan untuk indeks (I)

adalah :

I min

  =  

1 = 3; 1 3

 2 1 = 1,5; = 0,67  2 3  3 

Diperoleh I min = 0,67 maka variabel yang meninggalkan basis adalah variabel x6 kemudian digantikan oleh variabel x1 . Angka kunci (elemen pivot) yang diperoleh =3, maka tabel simpleks yang baru adalah : Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.

17

Tabel 2.6 Tabel simpleks untuk solusi akhir Cj

8

9

4

0

0

0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

Variabel

Harga

Basis

Basis

x4

0

0

0

4 3

1

x2

9

0

1

8 3

0

x1

8

1

0

-2

0

0

0

4

0

zj −cj

−

1 9

7 9 −

2 3

5 3

Harga Jawab

−

1 9

7 9

−

2 9

5 9

1 3

2 3

2 3

31 3

Dari tabel 2.6 tidak ada lagi z j − c j <0, dengan demikian telah dicapai penyelesaian optimal yaitu :

2 = 0,67 3 5 x 2 = = 0,56 9 x3 = 0 x1 =

2 5 Z = 8  + 9  + 4(0 ) =8(0,67) + 9(0,56) = 5,36 + 5,04 = 10, 04 3 9


18

Contoh 2.2 : Maksimumkan :

Z = 3 x1 + 2 x 2 + x3

Kendala :

3 x1 + 4 x 2 + 5 x3 ≥ 5 2 x1 + 6 x 2 + x3 ≤ 6 x1 + x 2 + 5x3

≥7

x1 , x 2 , x3 ≥ 0 Agar persamaan diatas memenuhi persyaratan penyelesaian dalam daerah kelayakan (feasible), maka pada sisi kiri persamaan batasan ≤ ditambahkan variabel slack sedangkan untuk persamaan batasan ≥ dikurangkan dengan variabel surplus dan ditambah dengan variabel buatan (artificial variable). Sehingga bentuk bakunya sebagai berikut : Z = 3 x1 + 2 x 2 + x3 + 0 x 4 + 0 x5 + 0 x6 − Mx7 − Mx8

Maksimumkan : Kendala :

3 x1 + 4 x 2 + 5 x3 − x 4 + x7

=5

2 x1 + 6 x 2 + x3 + x6

=6

x1 + x 2 + 5 x3 − x5 + x8

=7

x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 , x7 , x8 ≥ 0 Model diatas dapat dibawa ke dalam tabel simpleks sebagai berikut :

Tabel 2.7 Tabel simpleks untuk solusi awal Cj

3

2

1

0

0

0

-M

-M

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

Jawab

Harga

Variabel

Harga

Basis

Basis

x6

0

3

4

5

-1

0

0

1

0

5

x7

-M

2

6

1

0

0

1

0

0

6

x8

-M

1

1

5

0

-1

0

0

1

7

-3M-3

-7M-2

-6M-1

0

M

-M

M

0

-13M

zj −cj


19

Cara perhitungan tabel simpleks ini sama dengan cara perhitungan tabel simpleks pada contoh 2.1.

Tabel 2.8 Tabel simpleks untuk solusi akhir Cj

3

2

1

0

0

0

-M

-M

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

Jawab

Harga

Variabel

Harga

Basis

Basis

x3

1

3,24

6,05

1

0

0

1,01

0

0

6,45

x5

0

5,35

29,41

0

0

1

5,08

0

-1

23,38

x4

0

3,72

26,35

0

1

0

-4,04

-1

0

25,33

0,24

4,05

0

0

0

1,01

M

M

6,44

zj −cj

Dari tabel 2.8 tidak ada lagi z j − c j <0, dengan demikian telah dicapai penyelesaian optimal yaitu : x3 = 6,45 x5 = 23,38 x 4 = 25,33 x1 = x 2 = x6 = x7 = x8 = 0

Z = 3(0) + 2(0) + 1(6,45) = 6,45


20

2.3

Teori Himpunan Fuzzy

Himpunan A dikatakan crisp jika sebarang anggota-anggota yang ada pada himpunan A tersebut dikenakan suatu fungsi, akan bernilai 1 yakni jika a ∈ A maka fungsi a=1. Namun jika a∉A, maka nilai fungsi yang dikenakan pada a adalah 0. Nilai fungsi yang dikenakan pada sebarang anggota himpunan A dikatakan sebagai nilai keangotaan. Jadi pada himpunan crisp, hanya mempunyai 2 nilai keanggotaan yaitu 0 atau 1. Tetapi pada himpunan fuzzy, nilai keanggotaan dari anggota-anggota nya tidak hanya 1 dan 0 saja. Tapi berada pada interval tertutup [0,1]. Dengan kata lain himpunan A dikatakan fuzzy selama fungsi µ : A → [0,1]. Misalkan diketahui klasifikasi dari harga sebuah barang sebagai berikut : MURAH

harga < 35.000

STANDARD

35.000 ≤ harga ≤ 55.000

MAHAL

harga > 55.000

Dengan menggunakan pendekatan crisp, amatlah tidak adil untuk menetapkan harga STANDARD. Pendekatan ini bisa saja dilakukan untuk hal-hal yang bersifat diskontinu. Misalkan klasifikasi untuk harga 55.000 dan 56.000 sangat jauh berbeda, harga 55.000 termasuk STANDARD, sedangkan harga 56.000 sudah termasuk MAHAL. Demikian pula untuk kategori MURAH dan MAHAL. Barang yang berharga 34.000 dikatakan MURAH, sedangkan barang yang berharga 35.000 sudah TIDAK MURAH lagi. Barang yang berharga 55.000 termasuk STANDARD, barang yang berharga 55.000 lebih 1 rupiah sudah TIDAK STANDARD lagi. Dengan demikian pendekatan crisp ini sangat tidak cocok diterapkan pada hal-hal yang bersifat kontinu, misal harga barang. Selain itu, untuk menunjukkan suatu harga pasti termasuk STANDARD atau tidak termasuk STANDARD, dan menunjukkan suatu nilai kebenaran 0 atau 1, dapat digunakan nilai pecahan, dan menunjukkan 1 atau nilai yang dekat 1 untuk harga 45.000, kemudian perlahan menurun menuju ke 0 untuk harga dibawah 35.000 dan diatas 55.000.


21

2.4

Fungsi Keanggotaan Fuzzy Sebuah himpunan fuzzy A dari bilangan riil ℜ didefinisikan oleh fungsi

keanggotaannya (dinotasikan oleh A)

µA : ℜ

[ 0,1 ]

Jika x ∈ ℜ maka µ A ( x ) dikatakan sebagai derajat keanggotaan x dalam A. Himpunan fuzzy dalam ℜ disebut normal jika terdapat x ∈ ℜ sehingga µ A ( x ) =1. Himpunan fuzzy A adalah himpunan fuzzy dari bilangan riil dengan normal, (fuzzy) convex dan fungsi keanggotaan yang kontinu dari penyokong yang terbatas.

2.4.1 Bilangan Fuzzy Triangular

Sebuah himpunan fuzzy A disebut bilangan fuzzy triangular dengan nilai tengah a , sebelah kiri α > 0, dalam ℜ disebut convex jika A adalah unimodal (sebagai sebuah fungsi). Bilangan fuzzy dan sebelah kanan β > 0. Fungsi keanggotaannya adalah sebagai berikut :

 a−x 1 − α   x−a µ A (x ) = 1 − β  0  

a −α ≤ x ≤ a jika, a ≤ x ≤ a + β

(2.17)

lainnya

Penyokong A adalah ( a − α , a + β ). Bilangan fuzzy triangular dengan nilai tengah a dilihat sebagai nilai kwantitas fuzzy. “ x dekat terhadap a “ atau “ x hampir sama dengan a “.

µ (x) 1 Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.

22

a −α

a+β

a

x

Gambar 2.2 Bilangan Fuzzy Triangular Contoh 2.2 : Fungsi keanggotaan triangular untuk himpunan BERAT pada variabel berat badan (kg) seperti terlihat pada gambar 2.3.

µ BERAT [23] = (23-15)/(25-15) = 8/10 = 0,8

BERAT

µ [x ] 1 0,8

0

15

23

25

35

x

Gambar 2.3 Himpunan fuzzy : BERAT (kurva triangular)

2.4.2 Bilangan Fuzzy Trapezoidal

Sebuah himpunan fuzzy A disebut bilangan fuzzy trapezoidal dengan interval toleransi [ a, b ], sebelah kiri α dan kanan β . Fungsi keanggotaannya adalah sebagai berikut :  a−x 1 − α  1 µ A (x ) =  1 − x − b β   0

a −α ≤ x ≤ a

jika,

a≤ x≤b a ≤ x≤b+β

(2.18)

lainnya


23

Penyokong A adalah ( a − α , b + β ). Bilangan fuzzy trapezoidal dapat dilihat sebagai kwantitas fuzzy. “ x mendekati pada interval [ a, b ] “.

µ (x) 1

a −α

a

b

b+β

x

Gambar 2.4 Bilangan Fuzzy Trapezoidal Contoh 2.3 : Fungsi keanggotaan trapezoidal untuk himpunan BERAT pada variabel berat badan (kg) terlihat seperti gambar 2.5.

µ BERAT [32] = (35-32)/(35-27) = 3/8 = 0,375

µ (x)

BERAT

1

0,375

0

15

24

27

32 35

x

Gambar 2.5 Himpunan fuzzy : BERAT (kurva trapezoidal)

2.5

Himpunan Penyokong ( Support Set )

Terkadang bagian tidak nol dari suatu himpunan fuzzy tidak ditampilkan dalam domain. Sebagai contoh, domain untuk BERAT adalah 30 kg hingga 50 kg, namun kurva yang ada dimulai dari 33 kg hingga 47 kg (gambar 2.6). Daerah ini


24

disebut dengan himpunan penyokong (support set). Hal ini penting untuk menginterpretasikan dan mengatur daerah fuzzy yang dinamis.

BERAT

1

µ (x)

30

35

40

45

50

x

Support set Gambar 2.6 Support set untuk himpunan fuzzy BERAT

2.6

Nilai Alfa – Cut

Salah satu teknik yang erat hubungannya dengan himpunan penyokong adalah himpunan level-alfa ( α -cut). Level-alfa ini merupakan nilai ambang batas domain yang didasarkan pada nilai keanggotaan untuk tiap-tiap domain. Himpunan ini berisi semua nilai domain yang merupakan bagian dari himpunan fuzzy dengan nilai keanggotaan lebih besar atau sama dengan α .

BERAT

µ (x) 1

α =0,5

30

34

40

45

50

x

Gambar 2.7 Nilai alfa-cut untuk himpunan fuzzy BERAT Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.

25

α - cut lemah dapat dinyatakan sebagai : µ A (x ) ≥ α α -cut kuat dapat dinyatakan sebagai :

2.7

µ A (x ) > α

Operasi – operasi Pada Himpunan Fuzzy

Seperti halnya himpunan biasa, ada beberapa operasi yang didefinisikan secara khusus untuk mengkombinasi dan memodifikasi himpunan fuzzy. Berikut ini beberapa operasi logika fuzzy yang didefinisikan oleh Zadeh :

Interseksi

:

µ A∩ B = min (µ A [x ], µ B [ y ])

Union

:

µ A∪ B = max(µ A [x ], µ B [ y ])

Komplemen

:

µ A (x ) = 1 − µ A (x )

(2.19)

'

Karena himpunan fuzzy tidak dapat dibagi dengan tepat, seperti halnya pada himpunan crisp, maka operasi-operasi ini diaplikasikan pada tingkat keanggotaan. Suatu elemen dikatakan menjadi anggota himpunan fuzzy jika : 1.

Berada pada domain himpunan tersebut.

2.

Nilai kebenaran keanggotaannya ≥ 0

3.

Berada diatas α - cut yang berlaku.

2.7.1 Interseksi Himpunan Fuzzy

Pada himpunan crisp, interseksi antara dua himpunan berisi elemen-elemen yang berada pada kedua himpunan. Hal ini ekivalen dengan operasi aritmatik atau logika AND. Pada logika fuzzy konvensional, operator AND diperlihatkan dengan derajat keanggotaan minimal antar kedua himpunan. Berikut adalah aturan dasar Zadeh untuk interseksi fuzzy, daerah diantara dua himpunan ditentukan oleh aplikasi operasi tersebut :

µ A∩ B = min (µ A [x ], µ B [ y ])

(2.20)


26

2.7.2 Union Himpunan Fuzzy

Union dari dua himpunan dibentuk dengan menggunakan operator OR. Pada logika fuzzy konvensional, operator OR diperlihatkan dengan derajat keanggotaan minimal antar kedua himpunan. Operator fuzzy OR jarang sekali digunakan dalam pemodelan sistem, karena operasi OR pada dasarnya dapat dibentuk sebagai gabungan dari 2 proposisi fuzzy. Sebagai contoh : If x is A OR y is B then z is C Dapat dibentuk : If x is A then z is C If y is B then z is C Pada kedua kasus, kekuatan nilai keanggotaan antara konsekuen z dan daerah fuzzy C oleh

max(µ A [x ], µ B [ y ]) . Seperti halnya pada operator AND, dapat juga

memvisualisasikan proses ini sebagai peng-OR-an bit pada vector Boolean yang merepresentasikan kebenaran dari ekspresi himpunan karakteristik untuk tiap-tiap kategori.Untuk membangun himpunan fuzzy menggunakan union dari dua himpunan berikut digunakan aturan Zadeh dasar untuk union fuzzy, ditentukan oleh operasi sebagai berikut :

µ A∪ B = max(µ A [x ], µ B [ y ])

(2.21)

2.7.3 Komplemen (Negasi)

Komplemen atau negasi suatu himpunan A berisi semua elemen yang tidak berada di A dan direpresentasikan dengan :

µ A (x ) = 1 − µ A (x ) '


27

Pada logika fuzzy, komplemen dihasilkan dengan cara menginversikan fungsi kebenaran untuk tiap-tiap titik pada himpunan fuzzy tersebut.

2.8 Masalah Keputusan

Banyak masalah keputusan dapat disajikan dalam bentuk tabel keputusan seperti dibawah ini: Tabel 2.9 Bentuk umum tabel keputusan Kondisi Masa Depan Akibat

Tindakan

S1

S2

...

Sn

a1

x11

x12

...

x1n

a2

x 21

x 22

...

x2n

.

.

.

.

.

.

.

.

am

x m1

xm 2

...

x mn

Ide yang mendasari hal ini adalah akibat dari sebarang tindakan ditentukan tidak hanya oleh tindakan itu sendiri tetapi juga oleh jumlah faktor-faktor luar.Faktorfaktor luar ini adalah diluar kendali dari pembuat keputusan dan tidak diketahui oleh mereka pada waktu membuat keputusan. Dengan kondisi masa depan (state of nature), maka akan diperoleh gambaran yang lengkap dari faktor-faktor luar ini. Sehingga jika pembuat keputusan mengetahui kondisi masa depan yang harus dipegang, maka orang tersebut dapat memprediksikan konsekuensi dari sebarang tindakan dengan penuh kepastian. Namun bagaimana halnya apabila pembuat keputusan tidak dapat berkata apa pun tentang kondisi masa depan yang sebenarnya karena informasi yang diperolehnya tidak mencukupi untuk membuat keputusan yang optimal. Ini artinya pembuat keputusan dihadapkan pada suatu pengambilan keputusan dibawah ketidakpastian. Ada 4 kriteria yang dipergunakan dalam pengambilan keputusan dibawah ketidakpastian (uncertainty) yaitu : Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.

28

1.

Kriteria Maximin Wald

2.

Kriteria optimis-pesimis Hurwicz

3.

Kriteria minimax Savage

4.

Kriteria prinsip ketidakcukupan Laplace

2.8.1 Kriteria maximin Wald

Dibawah tindakan ai akibat buruk yang mungkin terjadi memiliki nilai kepada pembuat keputusan dari ;

S i = min xij

(2.22)

j =1, 2 ,..., n

S i dapat disebut sebagai level keamanan dari ai , contohnya ai menjamin pembuat keputusan dalam pengembalian paling sedikit S i . Wald (1950) menyarankan bahwa pembuat keputusan seharusnya memilih a k sehingga

mempunyai

level

keamanan

sebesar

mungkin.

Sehingga

kriteria

pengembalian maximin Wald adalah :

Pilih a k sehingga s k = max S i = max min xij i =1,..., m

i

j

(2.23)

Kriteria ini adalah kriteria pemilihan yang sangat pesimis, dimana filsafat umumnya adalah mengasumsikan bahwa yang terburuklah yang akan terjadi.

2.8.2 Kriteria optimis-pesimis Hurwicz

Definisikan tingkat optimis dari ai menjadi ; Oi = max xij j =1,..., n

Sehingga Oi merupakan nilai dari konsekuensi terbaik yang diperoleh jika ai diambil. Kriteria pengembalian maximax adalah ; memilih a k sedemikian hingga

Ok = max Oi = max max xij j =1,..., n

i

j

(2.24)


29

Hurwicz (1951) menganjurkan bahwa pembuat keputusan seharusnya memberi rank pada tindakan menurut rata-rata pembobotan dari level keamanan dan level optimis :

αS i + (1 − α )Oi , dimana 0 ≤ α ≤ 1 , adalah indeks optimis-pesimis dari pembuat keputusan. Hurwicz merekomendasikan aturan dalam keputusan; memilih a k sedemikian hingga

αS k + (1 − α )Ok = max{αS i + (1 − α )Oi } i

(2.25)

2.8.3 Kriteria minimax Savage

Savage mendefinisikan penyesalan dari sebuah akibat yaitu :

rij = max {xlj }− xij

(2.26)

l =1,..., m

Bahwa perbedaan diantara nilai berdasarkan dari tindakan terbaik yang diberikan dimana S j adalah kondisi masa depan yang sebenarnya dan memperoleh nilai dari ai dibawah S j . Savage menyarankan bahwa rij seharusnya memindahkan xij dalam tabel keputusan dan pada tabel regret yang baru, pembuat keputusan seharusnya memilih dengan mengikuti pendekatan pesimis Wald, tetapi dengan mengingat bahwa penyesalan adalah 'kehilangan' bukan 'perolehan'. Setiap tindakan diberikan indeks :

ρ i = max rij

(2.27)

j =1,.., n

Bahwa penyesalan terburuk dapat terjadi dari tindakan ai dan sebuah tindakan seharusnya dipilih untuk meminimisasi ρ i , contohnya memilih a k sedemikian hingga;

ρ k = min ρ i = min max rij j =1,.., m

i

j

(2.28)

2.8.4 Kriteria prinsip ketidakcukupan Laplace

Laplace (1825) menyarankan bahwa "dengan tidak mengetahui apa-apa tentang kondisi masa depan yang sebenarnya" adalah ekivalen terhadap "setiap state memiliki peluang yang sama untuk terjadi". Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.

30

Jika tindakan ai dipilih dan jika semua state memiliki peluang yang sama, maka pengambil keputusan memperoleh nilai rata-rata dari akibat yang tidak pasti sehingga dia seharusnya memaksimasi nilai rata-rata dari pilihannya. Aturan keputusan Laplace : 1.

Menetapkan p j = P (S j ) = 1

2.

Untuk setiap Ai (matriks baris payoff), hitung nilai rata-ratanya :

n

untuk j = 1, 2, . . . , n

E ( Ai ) = ∑ j p j (xij ) = p j ∑ j (xij ) 3.

(2.29)

Pilih tindakan dari E ( Ai ) yang memberikan nilai terbaik sebagai keputusan yang optimal sehingga ; n

( )

E ( Ai ) = max ∑ 1 xij n i =1,..., m j =1

(2.30)


31


32

BAB III

PEMBAHASAN

3.1

Program Linier Fuzzy Model Program linier adalah suatu hal khusus dari model keputusan, dalam hal

ini daerah keputusan didefinisikan oleh : 1.

Batasan-batasan

2.

Maksud dari fungsi tujuan

3.

Jenis keputusan yaitu pengambilan keputusan dibawah ketentuan.

Dari bab landasan teori dikatakan bahwa model program linier biasa untuk persoalan maksimum dinyatakan sebagai berikut : Maksimumkan :

Z = C' X

(3.1)

Dengan batasan :

AX ≤ b

(3.2)

X≥0

(3.3)

Dengan C, X ∈ R n , b ∈ R m , A ∈ R mxn

Jika model program linier klasik diatas dibuat ke dalam himpunan fuzzy maka bentuk model klasik dari program linier akan mengalami sedikit modifikasi (perubahan) yaitu

1.

Batasan-batasan mungkin saja menjadi tidak jelas, yaitu notasi “ ≤ ” dalam kasus maksimasi tidak diartikan secara matematik, tetapi pelanggaran lebih kecil dapat diterima. Dengan kata lain jika batasan-batasan menunjukkan kebutuhan yang diukur dengan perasaan berarti tidak bisa dikemukakan secara tepat oleh batasan crisp. Dalam hal ini koefisien dari A, b dan c bersifat fuzzy.

2.

Pembuat keputusan mungkin tidak benar-benar ingin memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan melainkan ingin mencapai beberapa tingkat ide yang tidak bisa didefinisikan secara tegas (crisp).


33

Masalah program linier fuzzy tidak didefinisikan secara unik. Masalah fuzzy tergantung pada jenis-jenis fuzzy yang diberikan dan ditetapkan

oleh pembuat

keputusan. Secara garis besar masalah program linier fuzzy dapat diklasifikasikan sebagai berikut : 1.

Masalah program linier fuzzy dengan fungsi objektif crisp dan batasan fuzzy.

2.

Masalah program linier fuzzy dengan fungsi objektif fuzzy dan batasan crisp.

3.

Masalah program linier dengan fungsi objektif fuzzy dan batasan fuzzy.

Dalam skripsi ini penulis hanya membahas masalah program linier dengan fungsi objektif fuzzy dan batasan crisp.

3.2

Fungsi Objektif Fuzzy dan Batasan Crisp

Bentuk umum dari program linier dengan fungsi objektif fuzzy dan batasan crisp adalah sebagai berikut : Maksimumkan : z = c~1 x1 + c~2 x 2 + ... + c~n x n Kendala :

(3.4)

ai1 x1 + ai 2 x 2 + ... + ain x n ≤ bi

(3.5)

x j ≥ 0 , j = 1,2,..., n , i = 1,2,..., m

(3.6)

Bilangan fuzzy triangular c~ adalah sebuah himpunan fuzzy dengan batas bawah a dan batas atas d serta fungsi keanggotaan triangular yang didefinisikan sebagai : ( x − a ) (c − a )  (d − x) µ (x; a, c, d ) =  (d − c)  0 

jika

a≤x≤c

jika

c≤x≤d

jika

x>d

(3.7)

atau x < a

Bilangan fuzzy triangular c~ pada (3.4) dilambangkan dengan c~ = (c − , c 0 , c + ) atau

c~ = (a, c, d ) dalam hal ini c − = a, c 0 = c, dan c + = d . Bilangan fuzzy c~ dicirikan oleh fungsi keanggotaan (3.7) yang menggambarkan derajat keanggotaan suatu bilangan terhadap himpunan bilangan yang nilainya "sekitar c j " atau "kurang lebih c j ".


34

Berikut ini adalah langkah-langkah pembentukan program linier fuzzy untuk kasus dengan fungsi objektif fuzzy berbentuk maksimasi :

Langkah-1 : Tentukan model program linier yang akan diubah ke dalam model program linier fuzzy.

Langkah-2 : Tentukan jenis bilangan fuzzy bagi setiap koefisien fungsi objektif (yaitu bilangan fuzzy triangular (3.7)).

Langkah-3 : Tentukan : a).

c * = c = (c1 ...c j ...c n ) , yaitu vektor koefisien fungsi objektif

yang komponen ke-j nya adalah koefisien fungsi objektif variabel x j . b).

c − = (c1− ...c −j ...c n− ) , yaitu vektor yang komponen ke-j nya

adalah batas bawah dari bilangan kabur c j . c.)

c + = (c1+ ...c +j ...c n+ ) , yaitu vektor yang komponen ke-j nya

adalah batas atas dari bilangan kabur c j .

Langkah 4 : Rumuskan pemrograman linier yang multiobjektif berfungsi objektif memaksimumkan nilai bilangan fuzzy triangular sebagai berikut :

max c − x

max c * x

max c + x

dengan kendala (3.5)-(3.6)


35

3.3

Usulan langkah-langkah pencarian solusi program linier fuzzy dengan

pengambilan keputusan kriteria Laplace

Langkah-1

: Menentukan nilai-nilai berikut : z1min = min (c*-c-) x z1max = max (c*-c-) x z2min = min c* x z2max = max c* x z3min = min (c+- c*) x z3max = max (c+- c*) x

Langkah-2

: Mendefinisikan ketiga fungsi keanggotaan berikut :

(c * − c − ) x ≤ z1min 1  max * − z1min ≤ (c * − c − ) x ≤ z1max  z − (c − c ) x jika, µ Z1 ( x) =  1 max min  z1 − z1 0 (c * − c − ) x ≥ z1max c * x ≥ z 2max

1  * min  c x − z2 µ Z 2 ( x) =  max min  z2 − z2 0

jika,

:

Mendefinisikan

z 2min ≤ c * x ≤ z 2max

(3.9)

c * x ≤ z 2min

1  + * min  (c − c ) x − z 3 µ Z 3 ( x) =  max min  z3 − z3 0

Langkah-3

(3.8)

ketiga

(c + − c * ) x ≥ z 3max jika,

z 3min ≤ (c + − c * ) x ≤ z 3max

(3.10)

(c + − c * ) x ≤ z 3min

fungsi

keanggotaan

diatas

dengan

pengambilan keputusan kriteria Laplace yaitu :

µ ( x) =

1 n ∑ µ zi (x ) n i =1

µ ( x) =

1 ( µ z1 ( x) + µ z 2 ( x) + ... + µ zn ( x)) n

Persamaan diatas adalah ekivalen dengan persamaan berikut :

µ zn ( x) = nµ ( x) − ( µ z1 ( x) + µ z 2 ( x) + ... + µ zn −1 ( x))

(3.12)


36

Langkah-4

:

Mendefinisikan

fungsi

tujuan

dengan

kendala

adalah

penggabungan dari (3.12) dengan (3.5)-(3.6) yaitu : Maksimumkan :

µ (x )

Kendala :

nµ ( x) − ( µ z1 ( x) + µ z 2 ( x) + ... + µ zn −1 ( x)) = µ zn ( x) ai1 x1 + ai 2 x 2 + ... + ain x n

≤ bi

x j ≥ 0 , j = 1,2,..., n , i = 1,..., m Langkah-5

: Penyelesaian dengan menggunakan Metode Simpleks.


37

3.4

Ilustrasi Numerik Sebagai ilustrasi numerik bagi Model Program Linier Fuzzy, diambil kasus

berikut : PT.X memproduksi tiga macam produk, yaitu bangku, meja, dan kursi. Pembuatan ketiga jenis produk tersebut membutuhkan bahan dasar berupa kayu, jam kerja untuk proses finishing serta jam kerja untuk proses carpentry. Kebutuhan ketiga jenis sumber daya per unit produk disajikan pada tabel berikut :

Tabel. Kebutuhan Sumber Daya untuk Kasus PT. X Sumber Daya

Bangku

Meja

Kursi

Kayu

8 Lembar

6 Lembar

1 Lembar

Jam finishing

4 Jam

2 Jam

1,5 Jam

Jam carpentry

2 Jam

1,5 Jam

0.5 Jam

Saat ini PT.X memiliki persediaan kayu 48 lembar kayu, 20 jam kerja finishing, dan 8 jam kerja carpentry. Bangku, meja, dan kursi berturut-turut dapat dijual seharga Rp 60, Rp 30, dan Rp 20. PT. X bermaksud memaksimasi pendapatannya.

Masalah PT. X dapat dimodelkan sebagai berikut : -

Definisikan variable-variabel keputusan berikut : X1 = banyaknya bangku yang diproduksi X2 = banyaknya meja yang diproduksi X3 = banyaknya kursi yang diproduksi

-

Merumuskan fungsi tujuan sebagai berikut : Max Z = 60 x1 + 30 x2 + 20 x3

-

(3.13)

Merumuskan kendala-kendala sebagai berikut : 8 x1 + 6 x 2 + x3 ≤ 48

(3.14)

:

4 x1 + 2 x 2 + 1,5 x3 ≤ 20

(3.15)

Ketersediaan jam carpentry :

2 x1 + 1,5 x 2 + 0,5 x3 ≤ 8

(3.16)

Ketersediaan kayu

:

Ketersediaan jam finishing

x1 , x 2 , x3 ≥ 0 (Kendala non-negatifitas variabel)


38

Misalkan selanjutnya didapatkan informasi tambahan dari PT. X bahwa sebenarnya : -

Harga jual bangku tidaklah tepat sebesar c1 = Rp60 , melainkan berada pada *

−

+

rentang antara c1 = Rp55 sebagai batas bawahnya, dan c1 = Rp62 sebagai batas atasnya. -

Harga jual meja tidaklah tepat sebesar c 2 = Rp30 , melainkan berada pada *

+

−

rentang antara c 2 = Rp 28 sebagai batas bawahnya, dan c 2 = Rp35 sebagai batas atasnya. -

Harga jual kursi tidaklah tepat sebesar c3 = Rp 20 , melainkan berada pada *

+

−

rentang antara c3 = Rp17 sebagai batas bawahnya, dan c3 = Rp 22 sebagai batas atasnya.

Informasi tambahan ini, menuntut perumusan model yang baru, dengan catatan bahwa hanya fungsi objektifnya sajalah yang berbentuk fuzzy (kabur).

Langkah 1 :

z1

min

= min 5 x1 + 2 x 2 + 3 x3 = 0 (Kendala (3.14)-(3.16))

z1

max

= max 5 x1 + 2 x 2 + 3 x3 = 40 (Kendala (3.14)-(3.16))

z2

min

= min 60 x1 + 30 x 2 + 20 x3 = 0 (Kendala (3.14)-(3.16))

z2

max

= max 601 + 30 x 2 + 20 x3 = 280 (Kendala (3.14)-(3.16))

z3

min

= min 2 x1 + 5 x 2 + 2 x3 = 0 (Kendala (3.14)-(3.16))

z3

max

= max 2 x1 + 5 x 2 + 2 x3 = 30,4 (Kendala (3.14)-(3.16))

Langkah 2 :

Ketiga fungsi keanggotaannya ;

, jika5 x1 + 2 x 2 + 3 x3 ≤ 0 1  40 − (5 x + 2 x + 3 x ) , jika0 < 5 x + 2 x + 3 x ≤ 40  1 2 1 2 3 µ z1 ( x ) =  − 40 0   0 , jika5 x1 + 2 x 2 + 3 x > 40 


39

1 , jika 60 x1 + 30 x 2 + 20 x3 ≥ 280  (60 x + 30 x + 20 x ) − 0  , jika 0 < 60 x1 + 30 x 2 + 20 x3 < 280 1 2 3 µ z 2 ( x) =  − 280 0   0 , jika 60 x1 + 30 x 2 + 20 x3 < 0  1  (2 x + 5 x + 2 x ) − 0  2 3 µ z 3 ( x) =  1 30,4 − 0   0 

Langkah 3 :

, jika 2 x1 + 5 x 2 + 2 x3 ≥ 30,4 , jika 0 < 2 x1 + 5 x 2 + 2 x3 < 30,4 , jika 2 x1 + 5 x 2 + 2 x3 ≤ 0

Ketiga fungsi keanggotaan diatas akan dirumuskan ke dalam pengambilan keputusan Kriteria Laplace yaitu :

µ ( x) =

1 3 ∑ µ zi ( x) 3 i =1 1 3

µ ( x) = ( µ z1 ( x) + µ z 2 ( x) + µ z 3 ( x)) Persamaan diatas adalah ekivalen dengan relasi berikut :

µ z1 ( x) = 3µ ( x) − µ z 2 ( x) − µ z 3 ( x) 3µ ( x) − 0,155 x1 − 0,221x2 − 0,062 x3 = 1

Langkah 4 :

(3.17)

Definisikan fungsi dengan kendala adalah penggabungan dari (3.17) dengan (3.14)-(3.16) yaitu :

Max

µ

S.t :

3 µ ( x) − 0,155 x1 − 0,221x2 − 0,062 x3 = 1 8 x1 + 6 x 2 + x3 4 x1 + 2 x 2 + 1,5 x3 2 x1 + 1,5 x 2 + 0,5 x3

≤ 48 ≤ 20 ≤8

x1 , x 2 , x3 , µ ≥ 0


40

Untuk menyelesaikan persamaan diatas maka diperlukan penambahan variabel slack dan variabel buatan, sehingga program linier akan berbentuk sebagai berikut : Max

µ

S.t :

µ ( x) − 0,155 x1 − 0,221x2 − 0,062 x3 + x7 = 1 8 x1 + 6 x2 + x3 + x4 4 x1 + 2 x2 + 1,5 x3

=48 + x5

2 x1 + 1,5 x2 + 0,5 x3

=20 + x6 =8

x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 , x7 , µ ≥ 0 Program Linier ini akan diselesaikan dengan Metode M besar (Big M Method) karena persoalannya adalah memaksimalkan. Jika persoalan meminimalkan dan terdapat variabel buatan pada persamaan pembatasnya, maka lebih baik diselesaikan dengan metode dua fase dengan tujuan untuk menghindari tingkat error yang besar akibat dari nilai M. Sehingga model diatas dapat dibawa ke bentuk tabel simpleks sebagai berikut :

Tabel 3.1 Tabel simpleks awal 1

0

0

0

0

0

0

-M

Basis

Cj

µ

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x4

0

0

8

6

1

1

0

0

0

48

x5

0

0

4

2

1,5

0

1

0

0

20

x6

0

0

2

1,5

0,5

0

0

1

0

8

x7

-M

3

-0,155

-0,221

-0,062

0

0

0

1

1

-3M-1

0,155M

0,22M

0,062M

0

0

0

0

-M

zj −cj

NK

Dari tabel awal diatas tampak bahwa penyelesaian optimal belum dicapai, karena nilai z j − c j < 0 (bernilai negatif). Harga z j − c j terkecil dari tabel awal diatas adalah -

3M-1, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalah variabel µ , kolom variabel

µ menjadi kolom pivot, dan perhitungan untuk indeks (I) adalah : 1  I min =  = 0,33 3  Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.

41

Untuk nilai kolom kunci yang berharga negatif atau nol, maka pembagian NK terhadap nilai kolom kunci tersebut tidak diikut sertakan dalam I min . Dari I min =0,33, maka variabel yang meninggalkan basis adalah x7 , kemudian digantikan oleh variabel µ , selanjutnya baris µ menjadi baris pivot, diperoleh angka kunci (elemen pivot) = 3, maka tabel simpleks yang baru adalah :

Tabel 3.2 Tabel simpleks untuk solusi yang baru 1

0

0

0

0

0

0

-M

Basis

Cj

µ

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x4

0

0

8

6

1

1

0

0

0

48

x5

0

0

4

2

1,5

0

1

0

0

20

x6

0

0

2

1,5

0,5

0

0

1

0

8

µ

1

1

-0,05

-0,074

-0,021

0

0

0

0,33

0,33

0

-0,05

-0,074

-0,021

0

0

0

0,33+M

0,33

zj −cj

NK

Dari tabel diatas penyelesaian optimal belum dicapai, karena nilai z j − c j < 0 (bernilai negatif). Harga z j − c j terkecil dari tabel awal diatas adalah -0,021, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalah variabel x3 , kolom variabel x3 menjadi kolom pivot, dan perhitungan untuk indeks (I) adalah : 20 8   48 I min =  = 48, = 13,33, = 16 1,5 0,5  1 Diperoleh I min = 13,33 maka variabel yang meninggalkan basis adalah variabel x5 kemudian digantikan oleh variabel x3 . Selanjutnya baris x3 menjadi baris pivot, diperoleh angka kunci (elemen pivot) = 1,5 maka hasil tabel simpleks yang baru adalah :


42

Tabel 3.3 Tabel simpleks untuk solusi yang baru -2 1

0

0

0

0

0

0

-M

Basis

Cj

µ

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x4

0

0

5,33

4,67

0

1

-0,67

0

0

34,67

x3

0

0

2,67

1,33

1

0

0,67

0

0

13,33

x6

0

0

0,66

0,83

0

0

-0,34

1

0

1,33

µ

1

1

0,006

-0,046

0

0

0,014

0

0,33

0,61

0

0,006

-0,046

0

0

0,014

0

0,33+M

0,61

zj −cj

NK

Dari tabel diatas tampak bahwa penyelesaian belum optimal karena masih ada z j − c j < 0 (bernilai negatif). Harga z j − c j terkecil dari tabel diatas adalah -0,046 sehingga variabel yang masuk dalam basis adalah variabel x 2 , kolom variabel x 2 menjadi kolom pivot, dan perhitungan untuk indeks (I) adalah : 13,33 1,33  34,67  I min =  = 7,42; = 10,02; = 1,602 1,33 0,83   4,67 Diperoleh I min = 1,602 maka variabel yang meninggalkan basis adalah variabel x6 kemudian digantikan oleh variabel x 2 . Selanjutnya baris x 2 menjadi baris pivot, diperoleh angka kunci (elemen pivot) = 0,83 maka tabel simpleks yang baru adalah :

Tabel 3.4 Tabel simpleks untuk solusi yang baru -3 1

0

0

0

0

0

0

-M

Basis

Cj

µ

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x4

0

0

1,594

0

0

1

1,244

-5,622

0

x3

0

0

1,606

0

1

0

1,215

-1,601

0

11,2

x2

0

0

0,8

1

0

0

-0,41

1,204

0

1,602

µ

1

1

0,042

0

0

0

-0,004

0,055

0,33

0,684

0

0,042

0

0

0

-0,004

0,055

0,33+M

0,684

zj −cj

NK 27,18 9


43

Dari tabel diatas, tampak bahwa penyelesaian optimal belum dicapai, karena masih ada z j − c j < 0 (bernilai negatif). Harga z j − c j terkecil dari tabel diatas adalah -0,004, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalah variabel x5 . Kolom variabel x5 menjadi kolom pivot, dan perhitungan untuk indeks (I) adalah : 11,2   27,189 I min =  = 21,86; = 9,218 1,215   1,244 Diperoleh I min = 9,218 maka variabel yang meninggalkan basis adalah variabel x3 kemudian digantikan dengan variabel x5 . Selanjutnya baris x5 menjadi baris pivot, diperoleh dengan angka kunci (elemen pivot) = 1,215 maka tabel simpleks yang baru adalah :

Tabel 3.5 Tabel simpleks untuk solusi akhir 1

0

0

0

0

0

0

-M

Basis

Cj

µ

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x4

0

0

1

0

x5

0

0

1,321

0

0,823

0

1

x2

0

0

1,342

1

0,337

0

0

µ

1

1

0,047

0

0,003

0

0

0,047

0

0,003

0

zj −cj

-

0

0,049

1,024

3,984 -

0

NK 15,72 2

0

9,218

0,665

0

5,381

0

0,05

0,33

0,72

0

0,05

0,33+M

0,72

1,317

Dari tabel diatas tidak ada lagi z j − c j < 0, dengan demikian telah dicapai penyelesaian yang optimal dengan jawab :

x 2 = 5,381

x 4 = 15,722

x5 = 9,218

µ = 0,72 x1 = x3 = x6 = x7 = 0 Z max = 60 x1 + 30 x 2 + 20 x3 = 60(0) + 30(5,381) + 20(0) Elisabeth Aritonang : Kriteria Laplace Pada Pencarian Solusi Program Linier Fuzzy, 2009.

44

= 161,43

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1

KESIMPULAN

1.

Kriteria Laplace yaitu kriteria pengambilan keputusan dibawah ketidakpastian dalam tulisan ini ternyata memberikan nilai µ yang cukup besar. Namun ini tidak berarti bahwa kriteria Laplace sangat sesuai untuk dipakai dalam pengambilan keputusan pada program linier fuzzy mengingat prinsip ketidakcukupan yang diterapkan yaitu ‘peluang setiap state adalah sama’.

2.

Perlu diperhatikan bahwa penggunaan kriteria Laplace secara tidak tepat ketika kondisi masa depan (states of nature) pada kenyataannya tidak memiliki peluang yang sama untuk terjadi.

3.

Program linier fuzzy dapat mendefinisikan batasan berdasarkan kebutuhan yang diukur dengan perasaan/subjektifitas yang tidak bisa dikemukakan secara tepat oleh batasan crisp (program linier klasik).

4.2

SARAN

1.

Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut mengenai penerapan kriteria Laplace secara tepat dalam pengambilan keputusan pada langkah-langkah penyelesaian program linier fuzzy.

2.

Untuk penelitian selanjutnya dapat dicoba penggunaan kriteria pengambilan keputusan yang lain, misalnya kriteria Hurwicz, kriteria Savage, dan lain-lain.


45

DAFTAR PUSTAKA

Bazaraa, Mokhtar S. 1997. Linier Programming and Network Flow, Canada: John Wiley and Sons Inc. Nasendi, B. D. Dan Effendi Anwar. 1985. Program Linier dan Variasinya, Jakarta : P. T. Gramedia. Pandian Vasant. Diakses tanggal 3 April, 2009. Optimization in Product mix Problem Using Fuzzy Linear Programming. http://www.generation5.org/content/2004/data/ product Mix.pdf. Rahmat, B. dan Panca Rahardianto, Aplikasi Fuzzy Linier Programming untuk Optimasi Hasil Perencanaan Produksi: Seminar Nasional “Soft computing , Intelligent systems and Information Technology” (SIIT 2005). Sitorus, P. 1997. Program Linier, Penerbit Universitas Trisakti. Sri Kusumadewi. 2002. Analisis dan Desain Sistem Fuzzy Menggunakan Toolbox Matlab, Yogyakarta: Graha Ilmu. Sulistyawati, Eka, SE. MM, 2004. Catatan kuliah: Operation Research I, URL: http://www.agungpurbayana.mutiaracyber.com. Susanto, S., et al., Pemodelan Pemrograman Linier dengan Koefisien Fungsi Objektif Berbentuk Bilangan Kabur Segitiga dan Kendala Kabur Beserta Usulan Solusiny Jurnal Teknik Industri vol.8, No.1, Juni 2006: 14-27. Tutorial, www..springerlink.com/index/x685G2W58853181T/pdf., Decision Making Under Uncertainty, tanggal 13 Juni 2009. Tutorial, http://terpconnect.umd.edu/~sandborn/courses/8085_projects/reynolds.html. Decisions Under Uncertainty, tanggal 24 Juli 2009. Zimmermann, H. J. dan Robert Fuller. Diakses tanggal 24 Maret, 2009. Approximate Reasoning for Solving Fuzzy Linear Programming Problems. http://www.abo.fi/ ~rfuller/ acift92.pdf.


46

Lampiran A : Penyelesaian Max 5x1 + 2x2 + 3x3 dengan kendala (3.14 – 3.16)


47

Lampiran B : Penyelesaian Max 60x1 + 30x2 + 20x3 dengan kendala (3.14 – 3.16)


48

Lampiran C : Penyelesaian Max 2x1 + 5x2 + 2x3 dengan kendala (3.14 – 3.16)


49

Lampiran D : Penyelesaian

Max µ


50


KRITERIA LAPLACE PADA PENCARIAN SOLUSI PROGRAM LINIER FUZZY SKRIPSI ELISABETH ARITONANG

Recommend Documents