Kosárra dobás – I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. A feladat Az 1. ábrán – [ 1 ] – egy tornaterem hosszmetszetét rajzolták meg.
1. ábra A teremben egy kosárlabdapálya van. Megadták a kosár magasságát, átmérőjét, a terem méreteit. A labda átmérője 25 cm. ( A kosár - gyűrű átmérőjének mértékegysége az ábrán helytelenül lett megadva! ) 1.) A büntetődobást 5,80 m - ről dobják. Tételezzük fel, hogy a labda a dobás pillanatában a B pontban van. Határozzuk meg azt a legalacsonyabb labdaívet, amellyel a labdát a hálótartó vasgyűrű érintése nélkül – „csont nélkül” – a hálóba dobhatják! 2.) A terem méreteit figyelembe véve állapítsuk meg, hogy lehet - e „csont nélkül” kosarat dobni egy teremhossznyi távolságból, például egyik kosártól a másikba! A megoldás A labda tömegközéppontja egy függőleges síkú másodfokú parabola - pályán halad, ha úgy tekintjük, mintha a labda légüres térben mozogna. 1.) Először azt kell meghatározni, hogy a d = 25 cm átmérőjű labda milyen legkisebb szög alatt tud átesni a D = 45 cm átmérőjű gyűrűn. A 2. ábrán – ld. [ 1 ] is! – ilyen szélső helyzethez tartozó e érintőket szerkesztettek / szerkesztettünk meg, αmin hajlással. Ugyanis a jellegzetes szélső pályaérintő - helyzetekben az e érintő egyenesek: ~ függőlegesek; ez érdektelen, hiszen a ferde hajítás végérintője nem ilyen;
2
~ olyanok, mint a 2. ábrán; itt az e érintők belülről érintik a gyűrűt, kívülről a d átmérőjű kört, és az érintési pontban merőlegesek a labda - sugárra. Derékszögű háromszögből:
2. ábra
sin min
d/2 d 25 cm 0,5556, D / 2 D 45 cm
innen
(1)
min 33,75 . Az 1.) részfeladat most már a következő. Adott: a parabola - pályának az 1. ábrán bejelölt B kezdő és K végpontja, valamint végérintőjének αmin hajlása. Keresett: a labda íve ( a legalacsonyabb röppálya egyenlete ). A megoldáshoz tekintsük a 3. ábrát is!
3. ábra A másodfokú parabola általános egyenlete:
3
y x a b x c x 2 .
(2)
Az ( a, b, c ) állandók meghatározására az alábbi feltételek szolgálnak.
y( x = 0 ) 0;
(3)
dy(x) tg K tg 180 min tg min tg min ; dx xx K
(4)
y( x = x K ) yK .
(5)
Végezzük el az előírt műveleteket! ( 2 ) és ( 3 ) - mal:
0 a b 0 c 0,
innen:
a 0.
(6)
Most ( 2 ) differenciálásával:
dy(x) b 2 c x ; dx
(7)
majd ( 4 ) és ( 7 ) - tel:
b 2 c x K tg min , innen:
b 2 c x K tg min .
(8)
Ezután ( 2 ), ( 5 ) és ( 6 ) - tal:
y K b x K c x K2 ,
(9)
majd ( 8 ) és ( 9 ) - cel:
yK 2 c x K tg min x K c x K2 c x K2 tg min x K , innen:
c
y K tg min x K . 2 xK
Most ( 8 ) és ( 10 ) - zel:
( 10 )
4
y tg min x K x K tg min b 2 c x K tg min 2 K 2 x K 2
y K tg min x K y tg min 2 K tg min , xK xK
tehát:
b 2
yK tg min . xK
( 11 )
Most ( 2 ), ( 6 ), ( 10 ), ( 11 ) - gyel a parabola egyenlete:
y y tg min x K 2 y( x ) 2 K tg min x K x , x K x K2
( 12 / 1 )
vagy
y( x )
2 y K tg min x K y tg min x K 2 x K x , xK x 2K
( 12 / 2 )
vagy
x x y( x ) 2 y K tg min x K y K tg min x K . x K xK 2
( 12 / 3 )
A pályagörbe ábrázolásához az adatok az 1. ábráról: x K 5,80 m 1, 60 m 4, 20 m;
y K 3, 05 m h (m); minthogy h értékét nem adták meg ( !?! ), ezért azt felvesszük: h = 2,05 m; ezzel is: yK 1, 00 m; továbbá ( 1 ) - gyel is:
tg min tg33, 75 0, 6682. Ezen adatokkal és ( 12 ) - vel a pályagörbe egyenlete:
y(x) 1,1444 x 0, 2158 x 2 . E függvény alakja a 4. ábrán szemlélhető meg.
Megjegyzések: M1. A K pont a kosárgyűrű középpontja.
( 13 )
5
M2. A pálya B kezdőpontjának magassága függ a játékostól is. M3. A röppálya érintőjének hajlásszöge a + x tengelyhez képest értendő. y
A kosárlabda pályagörbéje
2.5
2
1.5
K
1
0.5
x -0.5
0≡B
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
-0.5 f(x)=1.1444*x-0.2158*x^2
-1
4. ábra 2.) Annak eldöntésére, hogy lehet - e „csont nélkül” kosarat dobni egy teremhossznyi távolságból, egyik kosártól a másikba, tekintsük az 5. ábrát is! Képzeljük el, hogy a Kb középpontú bal oldali kosárból lőjük ki a labdát, a legalacsonyabb labdaíven – lásd a 2. ábra jobb oldali részét is! Ekkor a másodfokú parabolára vonatkozó ismert képlettel és adatainkkal:
l 22,80 m h tg min 0, 6682 3,81 m , 4 4 vagyis a pálya tetőpontján a mennyezet szinte már érinti a labdát. ( Lehet, hogy pont így tervezték a tornatermet? )
6
5. ábra Ez azt jelenti, hogy a szimmetria miatt a labda a másik kosárba esik, „csont nélkül”; vagyis a kosarak alól indítva a labdát nem lehet „csont nélküli” kosarat dobni a másik kosárba, hiszen a labda ekkor a másik kosár alá esik, vagy érinti a gyűrűt.
Megjegyzések: M1. Ebben a feladatban, a másodfokú parabola - közelítés miatt a három állandó ( a, b, c ) meghatározásához három feltételt kellett megadni, illetve kielégíteni. M2. Ne felejtsük el, hogy a labda és a levegő kölcsönhatása valamennyire megváltoztatja a röppálya alakját, vagyis a fentiek csak közelítőleg igazak! M3. Nem vitás, hogy nem igazán könnyű megoldani a játék izgalmában ezt a – bizonyos értelemben vett – optimalizációs feladatot, ott a helyszínen, másodpercek alatt. A dobás síkja, kezdőpontja, az irány, a kezdősebesség nagysága; bizonyára átlagon felüli képességek kellenek hozzá, hogy a „csont nélküli” kosár akárhányszor sikerüljön. M4. Ebben a feladatban a legalacsonyabb labdaívet határoztuk meg, tisztán geometriai feltételek alapján. Felvethető a kérdés: mekkora a kezdősebesség – hajlása és nagysága – az itteni hajításkor? A válaszhoz idézzük fel a ferde hajítás általános összefüggését – [ 2 ] – , az itteni jelölésekkel:
2 g x . y(x) tg 0 x 2 v 2 cos 2 0 0
( 14 )
Ezt összevetve ( 13 )
y(x) 1,1444 x 0, 2158 x 2 alakjával, az együtthatók összehasonlításával megállapíthatjuk, hogy a röppálya kezdeti érintőjének meredeksége:
7
tg 0 1,1444, innen az elhajítás hajlásszöge:
0 arctg 1,1444 48,85 ;
( 15 )
majd a kezdősebesség nagyságának meghatározásához:
g 0, 2158 1 / m ; 2 v cos 2 0 2 0
innen:
9,81 m / s 2 v 52, 492 m 2 / s 2 , 2 2 0, 21581/ m cos 48,85 2 0
végül pedig
v 0 7, 245 m / s.
( 16 )
Ezek az adatok és eredmények azt jelentik, hogy kosárlabda - játékosunk a sikeres, „csont nélküli” büntetődobás során a következőket teszi: ~ beáll a palánkra merőleges, K - n átmenő függőleges síkba, a kosártól 4,20 m - re; ~ felemeli a labdát 2,05 m magasra; ~ „kilövi” a labdát a vízszintessel mintegy 49° - os szöget bezáró irányban, kb. 7,25 m / s nagyságú sebességgel. Ezzel a feladatot megoldottuk.
Irodalom: [ 1 ] – Edőcs Ottó: Ábrázoló geometria II. Bolyai könyvek sorozat, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1965. [ 2 ] – Tasnádi Péter ~ Skrapits Lajos ~ Bérces György: Mechanika I. Dialóg Campus Kiadó, Budapest - Pécs, 2004.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2010. július 30.
