Konfigurační síly jako základní koncept fyziky kontinua (E.Gurtin) Motivace a užití Plastická deformace, lom, fázové přechody v materiálu, tuhnutí slitin, heterogenní struktura materiálu, atd. 1. zkouška tahem – křehké materiály / tvárné materiály Re mez kluzu – dislokace nahromaděny na hranicích zrn. Napětí jde nad hranici meze kluzu Re → 1. plastická deformace – energie spotřebována na šíření dislokací (měkká ocel) 2. lom - energie spotřebována na vytvoření nového povrchu (sklo). ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Gibbs: „ Solid surface can have their physical area changed in two ways, either by creating or destroying surface without changing surface structure and properties per unit area, or by an elastic strain … along the surface keeping the number of surface lattice sites constant…” The creation of surface involves configurational forces, while stretching the surface involves standard forces.
a) hranová dislokace b) šroubová dislokace 1)
2)
1) creating – destroying – No change in properties and structure , 2) elastic strain – lattice sites constant
Síla Pojem “síla” se objevuje v 1. polovině 17. století a vyjadřuje příčinu všech změn pohybu objektu. Vzkaz od E. Gurtina: „ Kdo věří, že pojem síla je zřejmý, by se měl vrátit do doby po Newtonovské a přečíst si tehdejší vydávanou vědeckou literaturu.“ D’Alambert, citováno z Truesdell (1966): Síla je pojem NESROZUMITELNÝ, METAFYZIKÁLNÍ. Přináší zatemnění do vědy, která je jasná sama o sobě. Jammer (1957) : Mluvíme o síle, jen abychom zakryli naši neznalost. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Truesdell, Toupin: Nemělo by se uvádět, bohužel tomu tak není, že Newtonovské zákony jsou dostatečným základem pro mechaniku kontinua. Gibbs: Síla není primitivní veličina. Je založena na variačním principu.
Standardní a konfigurační síly Jsou-li od začátku řešeného problému uvažovány jak standardní (klasické, Newtonovské) síly, tak konfigurační (neklasické, kreativní) síly, pak je potřeba určit cosi, co sjednotí oba typy sil. Tímto cosi je MÍRA VYKONANÉ PRÁCE = WORKING {working} = {síla} · {zobecněná rychlost} STANDARDNÍ { Newtonovské síly} – konzistentní se silovými a momentovými podmínkami rovnováhy. KONFIGURAČNÍ { přírustkové} – mohou být potřebné při popisu jevů vztažených na materiálovou strukturu objektu. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Standardní síly - síly vnějšího působení na objekt B
síly objemové b (body force)
síly povrchové Sn (traction force) ∂Ψ S= ∂F
Working
W (P ) =
∫ Sn ⋅ y& da + ∫ b ⋅ y& dv ∂P
P
y& - prostorová rychlost
Pro vyjádření nezávislosti kinematických veličin je potřeba nezávislého pozorovatele k vyhodnocení zobecněných rychlostí. Neměnnost vzhledem k prostorovému pozorovateli y& → y& + w + ω × (y − o ) ,
kde w + ω × (y − o ) je rychlost k okamžiku splynutí pozorovatele a pozorovaného objektu. INVARIANTNOST vzhledem k prostorovému pozorovateli
∫ Sn⋅ y& da + ∫ b ⋅ y& dv = ∫ Sn⋅ (y& + w + ω × (y − o)) da + ∫ b ⋅ (y& + w + ω × (y − o)) dv ∂P
∂P
P
P
0 = ∫ Sn da + ∫ b ⋅ dv ⋅ w + ∫ (y − o ) × Sn da + ∫ (y − o ) × b dv ⋅ ω P P ∂P ∂P
div S + b = 0 − silova pod min ka rovnovahy
(*)
SF T = FS T − momentova pod min ka rovnovahy Rovnice (*) a podmínka divergenčního teorému vedou k relaci mezi mírou vykonané práce vnějších sil a mírou vykonané práce vnitřních sil = tzv. virtuální výkon.
∫ Sn ⋅ y& da + ∫ b ⋅ y& dv = ∫ S ⋅ F& dv ∂P
P 1444 424 444 3
P
1424 3 int ernal working
external working
kde S ⋅ F& je výkon napětí S. Pohyb tuhého tělesa: F je ortogonální, tzv. FF T = I → F& F T je antisymetrický. Z momentové podmínky rovnováhy, je SF T symetrický. Ve vztahu virtuálního výkonu pak člen na pravé straně rovnice vymizí. A pohyb tuhého tělesa splňuje podmínku noluvosti virtuálního výkonu
∫ Sn ⋅ y& da + ∫ b ⋅ y& dv = 0 ∂P
P
Konfigurační síly Vyjadřují přenos materiálu ve sledovaném objektu B. Konají práci při přenosu materiálu a při vývoji strukturálních defektů. 3 podmínky
1) Invariantnost vzhledem k materiálovému pozorovateli. 2) Předpoklad kontrolního objemu P*, který se stěhuje objektem B a tím je vyjádřen přesun materiálu do kontrolního objemu P* přes jeho hranici ∂P * . Rychlost hranice ∂P * - q. Pohybuje –li se objekt B rychlostí y& , pak se kontrolní objem pohybuje celkovou rychlostí y * = y& + Fq 3) Časově závislá změna referenční konfigurace B def
F = ∇y
B re f
x∈B x = y (X, t ) X∈B
B * re f
(
y * X* , t
)
F * = F K −1 X * = κ ( X, t )
K = ∇κ
Ad 1) Materiálový pozorovatel Body, které se vůči tzv. Galileinovskému pozorovateli pohybují rychlostí a jsou viděny, jako body stacionární Neměnnost vzhledem k materiálovému pozorovateli
q → q + a, y * → y *
KONFIGURAČNÍ SÍLY – jsou vnitřní vzhledem k objektu B
C – napětí
C=−
g – vnitřní objemová síla
∂Ψ ∂X
e – vnější objemová síla
g, e – síly potřebné pro udržení materiálového bodu objektu B referenční konfigurace na jednom místě, při časové změně referenční konfigurace.
Working g – drží materiálové body na jednom místě – nekoná práci. e - drží materiálové body na jednom místě – nekoná práci. C – migrace hranice kontrolního objemu rychlostí q. S – migrace hranice kontrolního objemu. Kontrolní objem se s objektem B pohybuje rychlostí y*. B – Objekt B se pohybuje rychlostí y& . ⋅ q da + ∫ Sn ⋅ y da + ∫ b ⋅ y& dv ∫( Cn ) () *
W (P( t )) =
∂P t
∂P t
INVARIANTNOST vzhledem k materiálovému pozorovateli ⋅ q da + ∫ Sn ⋅ y da + ∫ b ⋅ y& dv = ∫( Cn ) () *
∂P t
∂P t
⋅ (q + a ) da + ∫ (g + e ) ⋅ a dv + ∫ Sn ⋅ y da + ∫ b ⋅ y& dv ∫( Cn ) () *
∂P t
∂P t
P( t )
Div C + g + e = 0
Předpoklad: working W(P(t)) nezávisí na způsobu přenosu materiálu hranicí ∂P * . Tento předpoklad je splněn je –li
W (P( t )) =
∫( ()F
T
)
Sn + Cn ⋅ q da +
∫ Sn ⋅ y& da + ∫ b ⋅ y& dv
∂P ( t )
∂P t
∫( ()F
∂P t
T
)
Sn + Cn ⋅ t da = 0
Hranice kontrolního objemu ∂P * i rychlost q jsou libovolné. Pak každý vektor n musí být vlastním vektorem F T S + C = A . Pak také existuje skalární pole π a platí FTS + C = π 1
(**)
C = π 1 − FT S
zde (**) je vztah vyjadřující vnitřní napětí závislé na deformaci a napětí vnějších sil.
π vyjadřuje objemové napětí, které působí na zvětšování objemu vlivem toku materiálu přes hranici. Připomíná Eshelbyho materiálový tensor, ale je mnohem obecnější, protože závisí pouze na vyjádření práce a síly. Závěrem: Virtuální výkon je určen
⋅ q da + ∫ Sn ⋅ y da + ∫ b ⋅ y& dv = ∫ S ⋅ F& dv + ∫ πU da ∫( Cn ) () *
∂P t
∂P t
P
∂P
