Komplexní číslo Cíl kapitoly: seznámení s použitím komplexního čísla v pythonu
Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem
Komplexní číslo Opakování z matematiky Nejdříve si musíme zopakovat základní pojmy o komplexních číslech, důvody jejich zavedení a základní pravidla pro jejich počítání.
Důvody zavedení komplexního čísla Rovnice x2 – 32 = 0 nemá v reálných číslech řešení. x2 + 45 = 0 x2 = - 45 x=
− 45
Abychom tuto rovnici mohli vypočítat, zavedeme množinu komplexních, která bude mít vlastnosti: 1. množina všech reálných čísle je podmnožinou všech čísel komplexních. 2. operace zavedené pro reálná čísla se musí shodovat s operacemi s reálnými čísli i v této množině 3. v množině všech komplexních čísel bude mít každá kvadratická rovnice řešení
Komplexní číslo Komplexní číslo definujeme jako uspořádanou dvojici reálných čísel a = [a1,a2]. Komplexní číslo znázorňujeme v Gausově rovině neboli v rovině komplexních čísel. a to buď jako bod nebo jako vektor. a1 – reálná složka komplexního čísla a2 – imaginární složka komplexního čísla Komplexní číslo lze psát i ve tvaru a = a1+ a2i (algebraický tvar)
11/9/2012
Komplexní číslo
1/5
Obr.1: Znázornění komplexního čísla na číselné ose
Tyto komplexní čísla rozdělte lze rozdělit na: •
reálná (1, 0) imaginární část se rovná nule
•
ryze imaginární (0, 4) reálná část se rovná nule
•
imaginární (2, 4) žádná z částí se nerovná nule
Absolutní hodnota: je vzdálenost bodu od počátku soustavy - dle nákresu vycházíme z Pythagorovy věty Číslo opačné c = a + bi je koplexní číslo, potom -c = - a - bi je opačné číslo k číslu c Číslo komplexně sdružené: Jestliže c = a + bi je komplexní číslo, potom c = a - bi je číslo k němu komplexně sdružené. Je osově souměrné k číslu c v Gausově rovině podle osy x.
Matematické operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru
Sčítání a odčítání komplexních čísel Na komplexní číslo v algebraickém tvaru se můžeme dívat jako na dvojčlen a proto sečítání a odčítání v algebraickém tvaru se provádí jako s dvojčleny. a = a 1+ a 2i b = b 1+ b 2i a + b = (b1+ b2i) + (a1+ a2i) = (a1 + b1) + (a2 + b2) i a + b = (a1+ a2i) - (b1+ b2i) = (a1 - b1) + (a2 - b2) i
Násobení komplexních čísel Násobení dvou komplexních čísel provádíme jako násobení dvou dvojčlenů, každý člen prvního dvojčlenu s každým členem druhého dvojčlenu. Po vynásobení sečteme imaginární části a reálné (i2 = -1.) a * b = (a1+ a2i) * (b1+ b2i) = a1b1 + a1b2i + a2i b1 + a2i b2i
11/9/2012
Komplexní číslo
2/5
Dělení komplexních čísel: - zlomek rozšíříme číslem komplexně sdruženým, tak aby ve jmenovateli jsme získali reálné číslo, příklad tak změníme v násobení komplexních čísel
Kvadratická rovnice a komplexní číslo: Uveďme si alespoň jeden příklad výpočtu kvadratické rovnice s výsledkem komplexních čísel.
11/9/2012
Komplexní číslo
3/5
Komplexní číslo v pythonu Python nám umožnuje přímo pracovat s komplexními čísly. Obecný tvar komplexního čísla je x + jy, x a y mohou být libovolná čísla. Např.: a = 6 + 3j Imaginárn číslo je zapisováno s příponou "j" nebo "J". Komplexní čísla zapisujeme ve tvaru "(Re + Imj)" nebo je můžeme vytvořit pomocí interní funkce "complex(Re, Im)": Pro načtení komplexního raw_input slovo complex.
čísla
ze
vstupu
používáme
v pythonu
v příkazu
a = complex(raw_input(„zadej komplexni číslo „))
S komplexní i čísly můžeme provádět také matematické operace. Uveďme si základní příklady:
Obr. 1: Základní příklady
Zápis komplexního čísla Pro zápis komplexního čísla můžeme zadat dvěma způsoby. Zadáním v algebraickém tvaru. Místo používaného i pro označení imaginární části se používá j. Nebo pomocí určení typu proměnné pomocí complex a zadáním do závorky hodnoty reálné a imaginární části čísla - complex(reálná část, imaginární část).
Obr. 2: Typ zápisu komplexních čísel
11/9/2012
Komplexní číslo
4/5
Základní algebraické operace Mezi základní algebraické operace patří sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel. Dále take vyčíslit jenotlivé části komplexního čísla a jeho absolutní hodnotu.
Obr. 3: Základní algebraické opece s komplexními čísly
Obr. 4: Získání jednotlivých částí komplexního čísla
Obr. 5: Absolutní hodnota komplexního čísla
11/9/2012
Komplexní číslo
5/5
