Klíčová slova: vtokový vír, sací jímka, modelová podobnost, digitální zpracování obrazu

Abstrakt Cílem předkládané práce je přispět k prohloubení poznatků o vířivém pohybu kapaliny ve vtokových objektech vodních elektráren, se zvláštním zaměřením na Vírovou turbínu. Vodní víry se vyskytují hlavně při výtoku otvorem ve dně nebo ve stěnách nádrží. Souhrnně se nazývají vtokové víry. Podle formy, kterou nabývají, je můžeme rozdělit do čtyř hlavních kategorií. Při modelovém výzkumu vtoků vodních elektráren jde zpravidla o dostatečně spolehlivé stanovení podmínek, za kterých nedochází k strhávání vzduchu vírem do vtoku. Pro tyto účely bylo v laboratoři Fluidního inženýrství navrženo a realizováno experimentální zařízení umožňující pozorování vzniku, šíření a zániku vtokových vírů, které z dlouhodobého hlediska negativně působí na životnost stroje.

Abstract The objective of this project was to contribute to deepen the piece of knowledge about swirling movement of the water in the hydraulic power plants’ water intakes, especially in case of the Swirl Turbine. The vortexes mostly occur near outflow holes in the bottom or walls of water tanks. Collectively they are called inflow vortices. According to the form they take they can be divided into four main categories. By the model research on hydraulic power plants’ inflow it is generally concerned on determination enough infallible conditions, under which the pulling-in of the air by a vortex into an inflow does not happen. For this purpose has been in the Fluid engineering laboratory projected and realized an experimental device enabling observation of creation, spread and extinction of the inflow vortices.

Klíčová slova: vtokový vír, sací jímka, modelová podobnost, digitální zpracování obrazu Key words: vortex, suction tank, model conformity, digital image processing

2

BIBLIOGRAFICKÁ CITACE Hudec, M. Optimalizace projektu hydraulických systému z hlediska časové změny parametrů. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, 2013. 59 s. Vedoucí disertační práce doc. Ing. Miloslav Haluza, CSc.

3

PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že dílo je původní, vypracované pouze autorem za podpory a výsledků Odboru fluidního inženýrství Victora Kaplana.

V Brně dne 30.8.2013

………………………………. Ing. Martin Hudec

4

PODĚKOVÁNÍ Chtěl bych na tomto místě především poděkovat doc. Ing. Vladimíru Habánovi, Ph.D. za cenné rady, pomoc a oporu během studia, tak i při navazujícím angažmá na Odboru fluidního inženýrství. Můj dík patří rovným dílem všem ostatním pracovníkům odboru, kteří během mojí práce vytvářeli podmínky pro tvůrčí činnost a současně přátelskou atmosféru. V neposlední řadě bych se chtěl obrátit s poděkováním směrem ke svým rodičům a přítelkyni Ladě, kteří mě po celou dobu studia podporovali a v rozhodujících chvílích mi byli pevnou oporou.

5

6

1 OBSAH 1 OBSAH ......................................................................................................................................... 7 2 ÚVOD ........................................................................................................................................... 9 3 KINEMATIKA TEKUTIN ........................................................................................................... 9 3.1 3.2 3.3

3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

Znázornění pohybu a volba souřadného systému ................................................................ 9 Trajektorie, proudnice a proudová trubice ......................................................................... 10 Rovnice kontinuity ............................................................................................................. 10 3.3.1 Proudění kapaliny v tlakovém systému .................................................................. 10 3.3.2 Proudění kapaliny s volnou hladinou .................................................................... 11 Pohybová rovnice kapaliny ................................................................................................ 12 Nevířivý pohyb .................................................................................................................. 13 Rychlostní potenciál ........................................................................................................... 13 Vířivý pohyb ...................................................................................................................... 13 Cirkulace vektoru rychlosti ................................................................................................ 15

4 DEFINICE VÍROVÉHO POHYBU ........................................................................................... 16 4.1

4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Základní modely vírů ......................................................................................................... 16 4.1.1 Model tuhého tělesa ............................................................................................... 16 4.1.2 Potenciální vír ........................................................................................................ 16 4.1.3 Rankinův model víru .............................................................................................. 17 4.1.4 Lambův model víru................................................................................................. 17 Rozdělení rychlosti ve vtokových vírech ........................................................................... 18 Určení profilu vtokového víru............................................................................................ 20 Experimentální určení profilu vtokového víru ................................................................... 22 Proudění na trajektorii vtokového víru .............................................................................. 24 Analýza proudění na trajektorii.......................................................................................... 25

5 MODELOVÁ PODOBNOST PŘI VZNIKU VÍRŮ ................................................................... 30 5.1

5.2

Mechanická podobnost skutečné kapaliny ......................................................................... 31 5.1.1 Froudovo číslo ....................................................................................................... 31 5.1.2 Reynoldsovo číslo ................................................................................................... 32 5.1.3 Weberovo číslo ....................................................................................................... 32 5.1.4 Strouhalovo číslo.................................................................................................... 32 Modelová podobnost při vzniku vtokových vírů ............................................................... 33 5.2.1 Grafické vyjádření kritéria modelové podobnosti ................................................. 35

6 VZNIK A VÝVOJ HLADINOVÝCH VÍRŮ ............................................................................. 36 6.1 6.2 6.3 6.4

Hydraulické problémy sacích jímek s volnou hladinou ..................................................... 37 Optimální uspořádání sací jímky ....................................................................................... 40 Experimentální zařízení VÚV, VÚVH, VÚ Sigma ........................................................... 42 Experimentální zařízení VUT ............................................................................................ 43 7

Metodika modelového výzkumu ........................................................................................ 45 Vyhodnocení modelového výzkumu VUT vers. ostatní autoři .......................................... 46 Digitální zpracování obrazu ............................................................................................... 49 6.7.1 Vysokorychlostní kamera Olympus I-SPEED 2 ..................................................... 49 6.7.2 Digitální zrcadlovka NIKON D90.......................................................................... 49 6.8 Postup zpracování obrazu .................................................................................................. 50 6.9 Praktické využití digitální zpracování obrazu .................................................................... 52 6.9.1 Frekvenční analýza paprsku .................................................................................. 54 6.10 Nepříznivé účinky vtokových vírů [9] ............................................................................... 55 6.11 Nunerické modelování proudění [12] ................................................................................ 55 6.5 6.6 6.7

7 ZAVĚR ........................................................................................................................................ 56 8 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ ........................................................................................ 58 9 LITERATURA ............................................................................................................................ 59

8

2 ÚVOD Cílem práce je přispět k prohloubení poznatků o vířivém pohybu kapaliny ve vtokových objektech hydrotechnických děl (čerpacích stanic, vodních elektráren atd.), s důrazem na praktické využití výsledků modelového výzkumu v praxi. V úvodní části jsou stručně vyjádřeny základní poznatky z odborné literatury o zákonitostech vzniku a vývoji vtokových vírů a o problémech modelové podobnosti vířivého pohybu ve vtokových objektech. Další část práce pojednává o výsledcích rozsáhlého výzkumu vírů ve vtokových objektech vertikálně umístěných sacích potrubí. Jsou zde vyhodnocené základní parametry – průtok a minimální dovolená hloubka vody v nádrži, při které se ještě netvoří víry, které by mohly ohrozit provoz a spolehlivost technického zařízení. Vhodně navržená vtoková nádrž vytváří spojovací článek mezi soustavou, kterou se kapalina přivádí a soustavou, kterou se odvádí do nasávacích prostor turbíny, resp. čerpadla. Všechny části tohoto systému se navzájem ovlivňují a jejich hydraulické řešení může mít rozhodující vliv na provoz celého zařízení. Vířivé proudění ve vtokové nádrži s volnou hladinou je velmi složité a v současnosti nelze analyticky přesně vyjádřit. Proto převážná část odborné literatury řeší problémy vířivého proudění pomocí numerického modelování nebo na základě experimentálního výzkumu. Práce, které mají význam pro problematiku vtokových vírů, lze rozdělit do několika skupin:    

Teoretické a experimentální práce o vzduchovém víru v kapalině Práce týkající se tvaru sací jímky a umístění sacího potrubí z hlediska hydraulických ztrát Práce zabývající se zákony podobnosti proudění v sacích jímkách Práce popisující konkrétní případ navržené, provedené nebo rekonstruované sací jímky

3 KINEMATIKA TEKUTIN 3.1

Znázornění pohybu a volba souřadného systému

Abychom určili pohyb tekutiny, můžeme volit pro jeho znázornění dvojí pojetí souřadného systému:  Lagrangeovo 𝑥 = 𝐹1 (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑡) 𝑦 = 𝐹2 (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑡) 𝑧 = 𝐹3 (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑡) (1) Jestliže označíme a,b,c jako souřadnice na počátku v čase t=0, pak x,y,z jsou souřadnice v okamžiku t≠0 jako funkce souřadnic a,b,c a času t. 

Eulerovo 𝑢 = 𝑓1 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑣 = 𝑓2 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑤 = 𝑓3 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) (2) 9

Vektor rychlosti v vyjádříme pomocí třech navzájem pravoúhlých průmětů rychlosti u,v,w jako funkci souřadnic x,y,z a času t. Langrangeovo pojetí souřadného systému se vyznačuje počátkem os souřadnicového systému pevně spojeného s pohybující se soustavou, na rozdíl od Eurelova, které je nehybné v uvažovaném prostoru.

3.2

Trajektorie, proudnice a proudová trubice

Pohyb tekutiny je velmi složitý, proto si nevystačíme pouze s pojmy z obecné mechaniky pro pohyb hmotného bodu. Obyčejně nemůžeme sledovat dráhu jediné částice, protože ji nerozeznáme v množství ostatních částic od ostatních. Proto definujeme pojem proudnice (3), jako čáry, která sleduje směr proudění a jejíž tangenta má všude směr vektoru rychlosti. Jestliže v uvažovaném prostoru vykreslíme vektory rychlostí ve všech bodech, dostáváme rychlostní pole. 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = = 𝑢 𝑣 𝑤 (3) Všechny proudnice, které procházejí plochou dS uzavřenou křivkou σ, tvoří proudovou trubici.

3.3

Rovnice kontinuity

3.3.1 Proudění kapaliny v tlakovém systému Uvažujeme proudění výhradně uvnitř proudové trubice, dále uvažujeme neustálené proudění stlačitelné kapaliny v této trubici, definované dvojicí průřezů 1 a 2, které jsou od sebe vzdáleny o délku s (obr. 5-7) Za časový úsek dt vstoupí do uvažovaného úseku proudové trubice průřezem 1 hmota 𝜌1 𝑣1 𝑆1 𝑑𝑡 a průřezem 2 vystoupí za stejnou dobu hmota 𝜌2 𝑣2 𝑆2 𝑑𝑡. Protože uvažujeme stlačitelnou kapalinu, 𝜕𝜌 změní se za čas dt v každém profilu mezi 1 a 2 měrná hmotnost z počáteční hodnoty ρ na 𝜌 + 𝜕𝑡 𝑑𝑡. Celková změna hmoty v prostoru ohraničeném profily 1 a 2 za čas dt se rovná 𝑠

𝑑𝑡 ∫ 0

𝜕𝜌 𝑆 𝑑𝑆. 𝜕𝑡 (4)

Podmínka kontinuity vyžaduje, aby 𝑠

𝜌1 𝑣1 𝑆1 𝑑𝑡 = 𝜌2 𝑣2 𝑆2 𝑑𝑡 + 𝑑𝑡 ∫ 0

𝜕𝜌 𝑆 𝑑𝑆. 𝜕𝑡 (5)

10

Po zkrácení a derivaci dostáváme 𝜕(𝜌𝑣𝑆) 𝜕𝜌 +𝑆 = 0. 𝜕𝑆 𝜕𝑡 (6) Tento tvar rovnice je rovnice kontinuity pro neustálené proudění stlačitelné kapaliny v proudové trubici. Je-li proudění ustálené, platí 𝜕𝜌 =0 𝜕𝑡 (7) 𝜌𝑣𝑆 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. (8) Je-li navíc tekutina nestlačitelná, pak je ρ rov. (4) ρ = konst. a rovnice kontinuity se zjednoduší na tvar 𝑣𝑆 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. (9) Obdobně jako je odvozena rovnice kontinuity pro proudovou trubici lze psát její tvar pro neomezený prostor s uvažováním elementárního hranolu s rozměry dx, dy, dz. Pro neustálené proudění stlačitelné kapaliny dostaneme rovnici 𝜕𝜌 𝜕(𝜌𝑢) 𝜕(𝜌𝑣) 𝜕(𝜌𝑤) + + + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (10) Obdobně pak pro ustálené proudění nestlačitelné kapaliny dostaneme rovnici kontinuity ve tvaru 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤 + + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (11) Rovnici kontinuity lze vyjádřit taktéž pomocí divergence vektoru rychlosti jako 𝑑𝑖𝑣 𝑣⃗ =

𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤 + + = 0. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (12)

3.3.2 Proudění kapaliny s volnou hladinou Obdobně jako při proudění v tlakových systémech při pohybu kapaliny v otevřených korytech vycházíme ze základního předpokladu kontinuity proudění. Dále předpokládáme, že lze zanedbat příčné složky rychlostí v jednotlivých bodech průtočného profilu a že základní charakteristikou proudění v daném profilu je střední rychlost. V časovém intervalu dt přitéká řezem A-A´ (obr. 23-3) do prostoru ohraničeného řezy A-A´, BB´, jejichž vzdálenost od je sebe je dS, a volnou hladinou, objemové množství vody Q dt, kde Q je 11

průtok za jednotku času v profilu A-A´. V témže okamžiku řezem B-B´ odtéká z uvažovaného prostoru množství (𝑄 +

𝜕𝑄 𝑑𝑆) 𝑑𝑡. 𝜕𝑆 (13) 𝜕𝑄

V intervalu dt se změní objemové množství vody v uvažovaném prostoru o − 𝜕𝑆 𝑑𝑆 𝑑𝑡, což vzhledem k předpokladu spojitosti kapaliny musí nutně vyvolat změnu polohy volné hladiny, tj. 𝜕𝑆 𝜕𝑆 změnu plochy průtočného průřezu o 𝜕𝑡 𝑑𝑡, takže objem uvažovaného prostoru se změní o 𝜕𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑆. Kontinuita kapaliny vyžaduje, aby obě objemové změny byly sobě rovny. Po vykrácení dS dt dostáváme rovnici kontinuity pro neustálené proudění kapaliny v otevřeném korytě ve tvaru 𝜕𝑆 𝜕𝑄 + = 0. 𝜕𝑡 𝜕𝑆 (14)

3.4

Pohybová rovnice kapaliny

Pro úplný popis proudění kapaliny nestačí pouze rovnice kontinuity, ale je nezbytné také popsat silové poměry v tekutině, Obr. 1. K tomu slouží Navier-Stokesova rovnice, která je odvozena pro viskózní stlačitelnou kapalnu ve tvaru 𝜕𝑐𝑖 𝜕𝑐𝑖 1 𝜕𝑝 𝜗 𝜕 𝜕𝑐𝑗 𝜕 2 𝑐𝑖 + 𝑐𝑗 = 𝑔𝑖 − + ( )+𝜗 𝜕𝑡 𝜕𝑥𝑖 𝜌 𝜕𝑥𝑖 3 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑗 (15)

Obr. 1 Síly v kapalině

12

3.5

Nevířivý pohyb

Částice tekutiny může být při svém pohybu buď sunuta ve směru proudění, nebo kromě translace může se ještě otáčet, rotovat či vířit. Pohyb translační a zároveň rotační, při němž se částečka pohybuje ve směru proudění a zároveň se otáčí, uvažujeme jako superpozici obou pohybů. Pro rovinný nevířivý pohyb platí, že dvojice rychlostních gradientů, představujících úhlové rychlosti, jimiž je částečka otáčena okolo bodu se rovnají. 𝜕𝑣 𝜕𝑢 − =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (16)

3.6

Rychlostní potenciál

V případě že obdržíme pomocí parciálních derivací podle proměnných souřadnic x, y, z složky rychlosti u, v, w pak existuje funkce φ(x,y,z) označovaná jako rychlostní potenciál. 𝑢=

𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜑 ,𝑣 = ,𝑤 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 (17)

Vektorový tvar můžeme psát jako 𝑣⃗ = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑. (18) Rychlostní potenciál existuje, jsou-li splněny podmínky nevířivosti. Proto nevířivé proudění nazýváme potenciálním prouděním a naopak potenciální proudění musí být nevířivé.

3.7

Vířivý pohyb

Můžeme zaujmout libovolný pohled na vířivý pohyb, ale všechny bude spojovat jediná základní vlastnost, kterou je rotační pohyb. Mezi nejcitovanější definice patří tyto dvě: 

Vír je rotující pohyb velkého počtu hmotných bodů kolem společného středu [1]



Pojmem vír je označovaná taková oblast tekutiny, ve které převažuje vířivost nad smykovými deformacemi.

Charakteristickým rysem vířivého pohybu je rotační pohyb částice. Vektor v unášivé rychlosti je dán momentem vektoru úhlové rychlosti ω k libovolnému bodu. ⃗⃗⃗⃗ × 𝐫⃗ 𝐯⃗⃗ = 𝛚 (19)

13

Jsou tedy složky vektoru v obvodové rychlosti kolem os x, y, z 𝑢 = 𝜔𝑦 𝑧 − 𝜔𝑧 𝑦, 𝑣 = 𝜔𝑧 𝑥 − 𝜔𝑥 𝑧, 𝑤 = 𝜔𝑥 𝑦 − 𝜔𝑦 𝑧, (20) z kterých pak plynou parciálními derivacemi rovnic tyto vztahy: 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 = 0, = −𝜔𝑧 , = 𝜔𝑦 , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 = 𝜔𝑧 , = 0, = −𝜔𝑥 , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑤 = −𝜔𝑦 , = 𝜔𝑥 , = 0, 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (21) Jsou tedy složky úhlové rychlosti kolem os x, y, z: 𝜕𝑤 𝜕𝑣 =− 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑤 𝜔𝑦 = =− 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝜔𝑧 = =− 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜔𝑥 =

(22) Dle rovnice (21) lze psát

1 𝜕𝑤 𝜕𝑣 ( − )=𝜉 2 𝜕𝑦 𝜕𝑧 1 𝜕𝑢 𝜕𝑤 𝜔𝑦 = ( − )=𝜂 2 𝜕𝑧 𝜕𝑥 1 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝜔𝑧 = ( − ) = 𝜁 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜔𝑥 =

(23) Potom vektor  se složkami ξ, η, ς nazýváme vírovým vektorem rychlostního pole. Rotorem nazveme výraz 𝜕𝑤 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑤 𝜕𝑣 𝜕𝑢 ⃗⃗ ( − ), − ) + 𝑗⃗ ( − )+𝑘 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦

 = 𝑟𝑜𝑡 𝑣⃗ = 𝑖⃗ (

(24) kde i, j, k jsou jednotkové vektrory ve směrech os x, y, z. Z toho plyne ⃗⃗⃗ = 𝜔 𝛀 ⃗⃗ =

1 𝑟𝑜𝑡 𝑣⃗ 2 (25) 14

Z toho plyne, že vektor úhlové rychlosti čili vírový vektor rychlostního pole se rovná polovině rotoru obvodové rychlosti. Budeme-li derivovat rov. (24) podle x, y, z a derivace následně sečteme, obdržíme 𝜕𝜔𝑥 𝜕𝜔𝑦 𝜕𝜔𝑧 + + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (26) ve vektorovém tvaru 𝑑𝑖𝑣 𝜔 ⃗⃗ = 0 (27) nebo dle rov. (27) můžeme také psát 𝑑𝑖𝑣 𝑟𝑜𝑡 𝑣⃗ = 0. (28) Z rov. (28) plyne závěr, že při pohybu vířivém je divergence vektoru úhlové rychlosti rovna nule a současně divergence rotoru obvodové rychlosti je rovna nule.

3.8

Cirkulace vektoru rychlosti

Další veličinou definující vířivé proudění je cirkulace rychlosti . Cirkulace rychlosti je definována jako křivkový integrál vektoru rychlosti kolem uzavřené křivky C: Γ = ∮ 𝑣⃗𝑑𝑙⃗ 𝐶

(29) Aplikací Stokesovy věty lze křivkový integrál pro výpočet cirkulace převést na plošný integrál s využitím vektoru vířivosti [3]: Γ = ∮ 𝑣⃗𝑑𝑙⃗ = ∫ 𝑟𝑜𝑡𝑣⃗𝑛⃗⃗𝑑𝑆 = ∫ 𝜔 ⃗⃗𝑛⃗⃗𝑑𝑆 𝐶

𝑆

𝑆

(30) Z uvedeného vztahu (3) vyplývá, že velikost cirkulace rychlosti je závislá na velikosti vířivosti. Je-li proudění v celé vyšetřované oblasti nevířivé je cirkulace rychlosti rovna nule podél libovolně uzavřené křivky ležící v dané oblasti. Hodnotu cirkulace rychlosti stejně jako vířivost nelze přímo měřit, lze ji určit z naměřeného nebo vypočteného rychlostního pole.

15

4 DEFINICE VÍROVÉHO POHYBU 4.1

Základní modely vírů

Pro popis rychlostního pole v blízkosti sacího potrubí čerpadla, resp. turbíny se využívá různých modelů založených na teoretických profilech základních vírů. Mezi základní patří následujících pět:

Obr. 2 Reálný profil tangenciální rychlosti v závislosti na radiálním směru r

4.1.1 Model tuhého tělesa Model tuhého tělesa předpokládá, že celý objem rotuje, tudíž tangenciální rychlost lineárně narůstá se vzdálenosti od středu rotace r. Je zde nenulový vektor vířivosti, tedy vířivé proudění. 𝑣𝜃 (𝑟) = 𝜔𝑟 (31)

4.1.2 Potenciální vír Potenciální vír je definován jako nevířivé proudění mající tu vlastnost, že jeho hodnota vířivosti ω je uzavřena do singulárního bodu, kolem kterého tekutina potenciálně proudí. Singulární bod, který má určitou hodnotu vířivosti, je vyloučen z tohoto proudění, a proto lze toto proudění považovat za nevířivé (ω=0). Z těchto vlastností vyplývá méně používány, avšak výstižný název, potenciální proudění kolem víru. Pro průběh obvodové rychlosti 𝑣𝜃 potenciální víru platí následující vztah: 𝑣𝜃 (𝑟) =

𝐾 𝑟 (32)

kde K je konstanta s rozměrem (m2.s-1) a r je vzdálenost od středu rotace. Velikost tangenciální rychlosti je nepřímo úměrná vzdálenosti od středu rotace. To znamená, že funkční závislost tangenciální složky rychlosti 𝑣𝜃 a vzdálenosti od středu rotace r je hyperbolická. Potenciální vír neboli potenciální proudění kolem víru je proudění, které se v běžných podmínkách nemůže vyskytnout. Vířivost není nikdy v reálném světě uzavřena do singulárního bodu, ale vždycky se vyskytuje na nějaké oblasti s konečnými rozměry. Nicméně při splnění určitých předpokladů lze reálné vírové proudění nahradit modelem potenciální víru a tím řešenou úlohu výrazně zjednodušit. Oním předpokladem jsou vysoké hodnoty Reynoldsova čísla.

16

4.1.3 Rankinův model víru Tento model víru je složen ze dvou průběhů tangenciální složky rychlosti. Důležitým předpokladem pro tento model je existence jádra víru o poloměru a. Tento hraniční poloměr odděluje jádro víru, které je v blízkosti osy rotace, od vnějšího proudění. Jádro víru rotuje podobně jako tuhé těleso, viz. kap. 4.1.1. Ve vzdálenosti větší než a se nachází proudění potenciální. Průběh tangenciální rychlosti v této oblasti je hyperbolický, podobně jako je tomu v kap. 4.1.2. K velkému zjednodušení u tohoto modelu dochází především v okolí poloměru a, kde je ostré maximum (Obr. 3), což neodpovídá reálnému průběhu tangenciální rychlosti. Tangenciální rychlost je Rankinova modelu víru definována následovně:

𝑣𝜃 (𝑟) = 𝜔𝑟 ; 𝑟 < 𝑎 (33)

𝑣𝜃 (𝑟) =

𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 𝜔𝑎2 = ; 𝑟>𝑎 𝑟 𝑟 (34)

kde ω je úhlová rychlost vzhledem ke středu víru, a je hraniční poloměr oddělující jádro víru od okolního proudění a r je proměnná vzdálenost od středu víru. 𝑣𝑟 = 𝑣𝑧 = 0 (35) Axiální rychlost je základních modelů uvažována jako konstantní, radiální rychlost je obvykle nulová.

Obr. 3 Průběh rychlosti a vířivosti Rankinova víru

4.1.4 Lambův model víru Lambův model víru lépe popisuje tangenciální rychlosti v okolí poloměru a. V okolí tohoto poloměru je průběh tangenciální rychlosti zaoblen a Lambův model víru se tímto velice přibližuje k reálnému průběhu tangenciální rychlosti Obr. 4, jehož zaoblení je způsobeno viskozitou. Tangenciální rychlost Lambova modelu víru je definována následujícím způsobem: 17

𝜔𝑎2 𝑟2 𝑣𝜃 = [1 − 𝑒𝑥𝑝 (− 2 )] 𝑟 𝑎 (36) kde ω je úhlová rychlost vzhledem ke středu víru, a je hraniční poloměr oddělující jádro víru od okolního proudění a r je proměnná vzdálenost od středu víru.

4.2

Rozdělení rychlosti ve vtokových vírech

Jak bylo řečeno v kapitole 4.1, uvedené vztahy platí pro ideální kapalinu. Reálná kapalina je charakterizována viskozitou, která ovlivňuje proudění a jeho zákonitosti. Navzdory této skutečnosti mnozí autoři vliv viskozity zanedbávají nebo ji uvažují pouze v oblasti vírového jádra, kde předpokládají rozdělní rychlosti dle zákona 𝑣 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑟 (37) Rozdělení rychlosti podle uvedeného zákona předpokládají mnozí autoři, jako například při sestrojení kombinovaného vírového vtokového víru dle Rankina, Lamba a dalších. Z pozdějších prací autorů ( Chalpachčjan, Issakjovaná, Polikovski, Perelman a Einstein) je patrné, že neodpovídají tyto předpoklady fyzikálním procesům při vzniku vtokového víru v reálné kapalině. Zvlášť novější autoři se touto otázkou zabývali a zavedli vliv existence turbulence otáčejícího se proudu.

Obr. 4 Průběh rychlostí pro jednotlivé modely vírů [3]

18

Z novějších autorů se jedná především o rozdělení rychlosti při proudění ve vtokových vírech (V.I. Polikovskij a R.G. Perelman) [8], kteří uvažovali případ výtoku z dna kruhové nádoby. Použili impulzovou větu a vycházejíc z výrazu pro určení napětí působícího na elementární plošku otáčejícího se vtokového vírů, takže oproti podmínce (37) zavedli viskózní kapalinu (Obr. 5) a dospěli k výsledné rovnici 1 1

1

𝜔 ⃗⃗ = 𝐵 𝐴 𝑟⃗ 𝐴 + (1 − 𝐵 𝐴 ) 𝑟⃗ −2 (38) která určuje pole rychlosti v oblasti vtokového víru. Uvedení autoři odvodili dále rovnici určující gradient tlaku okolo vtokového víru. Na základě vlastních měření, navrhli způsob výpočtu rozdělení rychlostí v reálné kapalině, otáčejícího se vtokového víru tak, že oproti podmínce (9) zavedli vztah 𝑟0𝜅 𝑣0 = 𝑟 𝜅 𝑣 = 𝑐 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. (39) Hodnotu exponentu předpokládali v rozmezí 01 a má vyjadřovat tlakové ztráty v důsledku vnitřního tření, stejně jako tření na hranici proudění, přičemž hodnota tohoto exponentu může být určena na základě měření.

Obr. 5 Znázornění závislosti ω=f(r) [4]

19

Odlišný přístup pro určení rozdělení rychlosti ve vtokových vírech zvolili autoři (H.A. Einstein a Huon Li) [11]. Vycházeli při odvození ze základních pohybových rovnic Navier-Stokesových pro reálnou kapalinu, vyjádřených pomocí válcových souřadnic a z rovnice kontinuity. Řešením této soustavy rovnic, při uvažování zjednodušujících předpokladů, došli k rovnicím rozložení rychlosti ve vtokovém víru pro laminární proudění mající tvar 𝐴

𝑟 ∗𝑣 ∗ =

[𝐴 − 2 (1 − 𝑒 − 2 )] (1 − 𝑟 ∗−(𝐴−2) ) 𝐴 [1 −

𝐴 𝐷 (𝐴−2) − 𝑒 2( ) ]

2

− 2 (1 −

𝐴 𝑒 −2 )

+ 𝑟 ∗−(𝐴−2) (40)

Podobným způsobem byl odvozen vztah pro rozdělení rychlosti při turbulentním proudění, který ukázal, že vliv turbulence je ekvivalentní vlivu viskozity kapaliny. Autoři pro tyto podmínky doporučují taktéž použít rovnici (40) s tím rozdílem, že hodnota A se nahradí efektivní hodnotou Ae, která je dána vztahem 𝐴𝑒 =

𝑄𝑜𝑡𝑣 2𝜋𝑙(𝜀𝑡 + 𝑦) (41)

kde t představuje koeficient vlivu turbulence formou zvýšení vlivu viskozity. Výsledky těchto poměrně složitých teoretických rozborů autoři ověřili experimentálně na zařízení, které se skládalo ze skleněné válcové nádoby s výtokem ve dně, čím se vytvořily různé formy vtokových vírů, které se měnily v důsledku změn rychlostí otáčení nádoby.

4.3

Určení profilu vtokového víru

Kromě hydraulických vlastností vtokového víru, kterými jsou rozložení tlaku a rychlosti, je neméně důležitá znalost geometrických vlastností zmíněného jevu. Nejčastěji se v literatuře [2] setkáváme s případem výtoku kruhovým otvorem ve dně nádrže. Toto odvození vychází z Bernoulliho rovnice, aplikované mezi body A, B, Obr. 6. Toto odvození se týká ideální kapaliny, kde se zanedbává tření.

20

Obr. 6

Výsledný tvar profilu vtokového víru bude 𝑣02 𝑟02 1 1 𝑧0 − 𝑧 = ( 2 − 2) 2𝑔 𝑟 𝑟0 (42) Další způsob jak odvodit profil víru vede na Eulerovu rovnici hydrostatiky, která má v diferenciálním vyjádření tvar 𝑑𝑝 = 𝜌(𝑎𝑥 𝑑𝑥 + 𝑎𝑦 𝑑𝑦 + 𝑎𝑧 𝑑𝑧) (43) s uvažování vztahu pro rotaci ideální kapaliny a vztahu pro zrychlení 𝑣𝑟 = 𝐶; 𝑟 2 𝜔 = 𝐶 (44) dostáváme výslednou rovnici pro profil vtokového víru v ideální kapalině 𝐶 2 𝑟 2 − 𝑟02 𝑝 − 𝑝0 𝑧= − 2𝑔 𝑟 2 𝑟02 𝜌 (45) Na povrchu vzduchového jádra víru můžeme uvažovat v běžných podmínkách tlak po celé výšce praktický rovný atmosférickému tlaku, tudíž druhý člen rovnice (46) můžeme při praktických výpočtech zanedbat s vědomím, že při sání vzduchu v jádru víru dochází vlivem spirálního proudění

21

k ovlivňování tlakových poměrů. Z tohoto pohledu představuje rovnice (46) všeobecnější vyjádření zkoumaného jevu, než-li uvádí ostatní autoři pro neviskózní kapalinu. Při rozboru cirkulačních rychlostí na stykové ploše vtokového víru se vzduchovým jádrem jsme v předchozím odstavci 4.2 dospěli k rovnici (39). [2] Další úvaha vede k využití rovnice (39) a její dosazení do Bernoulliho rovnice (42) a po úpravě a dosazení za z0=0 dostáváme vztah pro výpočet profilu vtokového vírů pro skutečnou kapalinu ve tvaru 𝑣02 𝑟02 𝑟 2𝜅 − 𝑟02𝜅 𝑝 − 𝑝0 𝑧= − 2𝑔 𝑟 2𝜅 𝑟02𝜅 𝜌 (46) Rovnice (46) nám udává vztah pro výpočet profilu vtokového víru pro skutečnou kapalinu.

4.4

Experimentální určení profilu vtokového víru

Pro zkoumání některých zákonitostí vtokových víru bylo zhotoveno experimentální zařízení ve VÚV v Bratislavě [4] zařízení s válcovou nádrží o průměru 600 mm a výšce 700 mm Obr. 7. Přívod byl vedený z tlakové nádrže. Pro rovnoměrný přívod kapaliny bylo vytvořené kruhové napájecí potrubí.

Obr. 7 Experimentální zařízení VÚV Bratislava [4]

22

Kromě toho byly při vnitřních stěnách nádrže samostatné 4 tangenciální otvory tlakové vody, které vyvolávaly rotační impulzy v nádrži, které bylo možné regulovat. Na dně nádrže byl uložený vyměnitelný kroužek vyměnitelný kroužek s ostrohranným výtokovým otvorem, který dovoloval používat výtokové otvory v rozsahu do 80 mm. Horní hrana nádrže byla přizpůsobena tak, aby se tam mohly umístit zařízení na měření rotačních rychlostí a dotykové měřidlo, kterým se měřil profil vzduchové jádra. Z předchozích teoretických rozborů pro ideální kapalinu vyplývá pro rozdělení rychlostí rovnice rovnoosé hyperboly. Skutečná kapalina vlivem viskozity zaujme odlišné rozložení rychlostí v okolí vtokového víru dle rovnice (39) přepsané do tvaru 𝑣 = 𝑐𝑟 −𝜅 = 𝑐𝑟 𝑏 (47) která po logaritmování bude log 𝑣 = log 𝑐 + 𝑏 log 𝑟 (48)

Obr. 8 Ukázka charakteristického tvaru vtokového víru [4]

23

4.5

Proudění na trajektorii vtokového víru

S uvažováním předešlých výsledků teoretického rozboru kinematiky proudění ve vtokových vírech se pokusme pohlédnout na danou problematiku z jiné strany. Proudění po spirále je charakterizováno nenulovou složkou víru rychlosti Ω , který je definován vztahem (25), kde  je vektor rychlosti pohybu kapaliny. Tento druh proudění obvykle závisí na počátečních podmínkách, závislých na obvodové složce rychlosti v . Obvodová složka rychlosti vyvolá v prostoru radiální proudění (proudění ve směru radiálním ve válcovém souřadnicovém systému), které je příčinou pohybu částice kapaliny po trajektorii tvaru spirály (Obr. 9). Tvar trajektorie charakterizují dvě její křivosti, první křivost, jejíž směrový vektor leží v hlavní normále křivky a druhá křivost, tzv. zkroucení.

Obr. 9 Při analýze tohoto druhu proudění vyjděme z Navier Stokesových rovnic a rovnice kontinuity (12). Princip analýzy vysvětlíme na zjednodušeném problému Eulerových rovnic, při uvažování nestlačitelné kapaliny. Navier Stokesovy rovnice:

p 1 2  v  rotΩ  v  Ω  grad   v  g  x   0 t  2  (49)

p 1 2  V rovnici (49) označme vztahem Y =   v  g  x  lokální měrnou energii v bodě x, t  .  2 

24

x  xx1 , x2 , x3  .

Polohový vektor X má složky : Rovnice (49) mají po úpravě tvar:

v  rotΩ  v  Ω  gradY  0 t

(50) Zanedbejme nyní účinky viskozity a analyzujme Eulerovy rovnice tvaru: v  v  Ω  gradY  0 t

(51) a rovnici kontinuity (12)

4.6

Analýza proudění na trajektorii Zavedeme-li jednotkový vektor e ve směru tečny k trajektorii, Obr. 10, lze psát:

v  ve (52) kde v =

v udává velikost rychlosti.

Obr. 10 Na základě vztahu (52) upravme rovnici (51):  ve  vxrotve  gradY  0 t

(53) Vynásobme předchozí rovnici vektorem e. Obdržíme:  ve e  vxrotve e  gradY  e  0 t

(54) Upravme jednotlivé členy:

25

 

 ve e   e  e  v e  e  v  1 v  e 2  v t t t t 2 t t

(55)

vxΩ  vxrotv  vxrot ve  

 vxgradvxe   vrote 

 v  e gradv  v  gradve  vxroe  v   vgradv  e  gradve  vexrote.

(56) Ale rote  e  k je vektorem první křivosti trajektorie [19] vxΩ  vgradv  e  gradve  vk 

(57)

vxΩ e  vgradv  e  e  gradv  0. (58) Na základě (55), (58) lze tedy psát rovnici (54) v jednoduchém tvaru: v  gradY  e  0 t

(59) Upravíme-li rovnice (59), a s uvážením ortogonality

e, t1 , t 3 , získáme:

v Y  0 t s

(60) kde s je obloukem souřadnicové křivky u2 . Na základě rovnic (60) řešme zdánlivě jednoduchý případ proudění, kdy je měrná energie v každém bodě trajektorie (proudnice při stacionárním proudění) konstantní a platí:



Y  0  Y  Y u1 , u 3 , t s

 (61)

Poznamenáváme, že tento vztah lze předpokládat na povrchu vtokového víru. Na základě tohoto předpokladu z (60) obdržíme:

26



v  0  v  v u1 , u 2 , u 3 t

 (62)

nebo vyjádření v závislosti na délce oblouku souřadnicové křivky



v  v s1, s 2 , s 3

 (63)

Výraz (63) lze zapsat i obecněji: v

v x2  v 2y  v z2

(64) kde v x , v y , v z jsou složkami kartézského souřadnicového systému. Z předchozího řešení vyplynula podmínka 2

2

 dx   dy   dz  v  0 ;v        t  dt   dt   dt 

2

(65)

v 2 dv  2v  0 2 dt t (66) Odtud a z (65) plyne: 2

2

 dx   dy   dz  v  K        dt   dt   dt  2

2

vz

2

2

2

 dx   dy   K      dt   dt 

2

2

(67) Poloměr R=f(x,y):

x  R(t ) cos(t   ) y  R(t ) sin(t   ) (68)

27

dx dR(t )  cos(t   )  R sin(t   ) dt dt dy dR(t ) vy   sin(t   )  R cos(t   ) dt dt

vx 

(69) 2

2

2

2

2

2

2

 dx   dy   dR(t )   dR(t )  2 2 2 2 2       cos (t   )  R  sin (t   )    sin (t   )  dt dt dt dt         dR(t ) dR(t )  R 2 2 cos 2 (t   )  2 R sin(t   ) cos(t   )  2 sin(t   ) R cos(t   ) dt dt  dx   dy   dR(t )  2 2        R  dt   dt   dt  (70)

Po dosazení do (67) platí:

 dR(t )  2  2 2 v  K     R   dt   2 z

2

(71) Předpokládejme, že pro souřadnici z platí:

z  z 0  v0 t (72)

dz  v z  v0 ; v z2  v02 dt (73) Je-li rychlost vz konstantní, lze z (71) odvodit tvar R:

 dR(t )  2  2 2 v  v  K     R   dt   2 z

2 0

2

(74) Rovnice má více řešení: a) R=konst.=R0

v02  K 2   2 R02 (75) odtud

R0 

1



K 2  v02  K  v0 (76)

28

Částice kapaliny se pohybuje na válcové ploše, rovnicí trajektorie je šroubovice, neboť z (68) a (87) plyne:

x  R(t ) cos(t   ) y  R(t ) sin(t   ) z  z 0  v0 t

(77) b) předpokládejme řešení (72) ve tvaru

R  A sin(t   )  B cos(t   ) R 2  A 2 sin 2 (t   )  B 2 cos 2 (t   )  2 AB sin(t   )  cos(t   ) dR  A cos(t   )  B sin(t   ) dt 2

 dR  2 2 2 2 2 2 2     A cos (t   )   B sin (t   )  2 AB sin(t   )  cos(t   )  dt  (78) Po dosazení do (74) platí:



v02  K 2   2 A 2  B 2 A2  B 2 

K 2  v02

2



; K  v0 (79)

Rovnice trajektorie má v tomto případě tvar:

x  R cos(t   ) y  R sin(t   )  R  A cos(t   )  B sin(t   ) z  z 0  v0 t (80) Dokážeme nyní, že pro t=konst. představují první dvě rovnice v (89) posunutou kružnici. Rovnice posunutí kružnice má tvar:

x  m2   y  n2  x 2 (81) Dosaďme ze (68):

R cos(t   )  m2  R sin(t   )  n2  r 2 R 2 cos 2 (t   )  R 2 sin 2 (t   )  m 2  n 2  2 R cos(t   )  2 R sin(t   )  r 2 (82) Položme: 29

m2  n2  r 2 (83) Upravme (82):

R 2  2 Rm  cost     n  sin t     0 R  2m  cost     n  sin t   

(84)

Po dosazení z (78) platí: 2m cos(t  )  2n sin(t  )  Aisn(t  )  B cos(t  )  0

(85) Porovnáním koeficientů obdržíme:

m

B A ; n 2 2 (86)

Dosaďme do (83):

B 2 A2 1  ; r A2  B 2 4 4 2 Závěr: Je-li vz=v0=konst. může vzniknout pouze vírový cop ve tvaru válce. r2 

5 MODELOVÁ PODOBNOST PŘI VZNIKU VÍRŮ V předchozích kapitolách byl uveden popis pro pohyb skutečné kapaliny pomocí NavierStokesových rovnic a rovnicí kontinuity. Avšak přitom jsme uvedli, že jen v jednoduchých případech dovedeme pohyb podle uvedených rovnic určit. V praktických případech bývá proudění vazké tekutiny velmi složité. Proto využíváme experimentu. Pokusy lze provádět na skutečných hydraulických dílech nebo na modelech ve zmenšeném měřítku. Druhý uvedený způsob šetří nejen čas a náklady, nýbrž umožňuje i předvídat před dokončením skutečného díla zákonitosti těch jevů, které se tam vyskytnou. Na skutečném díle se setkáváme opět s celou složitostí problému, kdežto na modelu můžeme jednotlivé činitele při uváženém experimentování studovat odděleně. Ovšem až měření na skutečném díle ověřuje s konečnou platností teoretické úvahy i modelové zkoušky. Měření na zmenšeném modelu skutečnosti musíme extrapolovat. Pro tuhé části modelu volíme měřítko geometrického zmenšení. S měřítkem pro rychlost, zrychlení, síly atd. je to složitější. Složité proudění ve vtokových objektech nelze doposud přesně řešit analytickými metodami, a proto je třeba využít zmenšených modelů v experimentálním výzkumu. Hlavní problém spočívá v otázce, které kritérium modelové podobnosti použít?

30

5.1

Mechanická podobnost skutečné kapaliny

Při studiu pohybu jde vždy o to, abychom vyšetřili jeho změnu, která se projevuje změnou vektoru rychlosti. Změnu pohybu může způsobit pouze síla. Jak již bylo uvedeno dříve, naším záměrem bude sledovat a modelovat pouze síly mechanické.

5.1.1 Froudovo číslo Z kapitoly 0 víme, že na kapalinu působí tři druhy sil. Objemové, viskózní a od povrchového napětí. Každá z těchto sil se dá vyjádřit podle Newtonovy definice síly součinem hmoty a zrychlení čili setrvačnou silou. Budeme-li uvažovat pouze vliv objemových sil pro hmoty m1, m2 a zrychlení a1=a2=g ve skutečnosti a na modelu, pak můžeme psát bezrozměrné číslo ve tvaru 𝑣2 𝐹𝑟 = 𝐿𝑔 (87) a nazvat ho Froudovým číslem. Froudovo číslo vyjadřuje poměr dvojnásobné rychlostní výšky k charakteristické délce. Z toho plyne zápis úměrnosti některých často používaných veličin: 

Poměr rychlostí 𝑣1 𝑙1 = √ = √𝜆 𝑣2 𝑙2 (88)

Ze vztahu plyne, že rychlosti mechanicky podobných pohybů podle Frouda jsou v poměru druhé odmocniny podílu charakteristických délek. 

Poměr průtoků

𝑄1 𝑣1 𝑆1 = = √𝜆𝜆2 𝑄2 𝑣2 𝑆2 (89)

kde průtoky Q vyjádříme součinem střední rychlosti v a průtočné plochy S. Z takto definovaného vztahu plyne, že podobnosti průtoků jsou v poměru měřítka délek λ2,5. 

Poměr měrných tlaků

𝑝1 𝜚𝑔𝑧1 𝑧1 = = =𝜆 𝑝2 𝜚𝑔𝑧2 𝑧2 (90)

Pro tutéž kapalinu ve skutečnosti i na modelu, při stejném g a hloubce pod volným povrchem kapaliny jako z je poměr tlaků roven λ. 

Poměr úhlových rychlostí 31

𝜔1 1 1 𝑙2 = = =√ 𝜔2 𝜏 √𝜆 𝑙1 (91) Úhlové rychlosti jsou v obráceném poměru charakteristických délek. Z toho vyplývá, že jsouli dva různě velké modely mechanicky podobné podle zákona Frouda, má malý model větší otáčky než velký. Analogicky vířivá rychlost vodního víru, čili jeho úhlová rychlost je při Froudově podobnosti větší pro model než ve skutečnosti. Obvodová rychlost je však na modelu menší než ve skutečnosti.

5.1.2 Reynoldsovo číslo Reynoldsovo číslo je podíl ze součinu charakteristické rychlosti s charakteristickou délkou a kinematického součinitele vnitřního tření (viskozity). Charakteristickou délkou nazýváme např. při pohybu tekutiny v potrubí jeho světlý průměr. Charakteristickou rychlostí při proudění v potrubích je podíl průtoku a průtočné plochy. 𝑅𝑒 =

𝑣𝐿 𝜐 (92)

5.1.3 Weberovo číslo Podobnost jevů závisejících výhradně na působení kapilárních sil je modelováno pomocí Weberova čísla, které je podílem součinu čtverce rychlosti s charakteristickou délkou a povrchového napětí. 𝑊𝑒 =

𝐿𝑣 2 𝜚 𝜎 (93)

5.1.4 Strouhalovo číslo Strouhalovo číslo je nejobecnějším fyzikálním kritériem pro kinematickou podobnost v teorii hydromechaniky a aeromechaniky. Strouhalovo číslo lze použít k posouzení a hodnocení problémů pohybové hybnosti, při níž základní charakteristické veličiny jsou: vzdálenost, čas a rychlost. [6] 𝑆ℎ =

𝑓𝑙 𝑣 (94)

Strouhalovo číslo se vyskytuje v různých tvarech. Je to dáno tím, že jde o kritérium, které se týká především periodických jevů. Tyto jevy jsou charakterizovány dobou kmitu T, frekvencí f, počtem otáček za sekundu n, kruhovou frekvencí . Výskyt těchto periodických veličin umožňuje přepsat Strouhalovo číslo pro periodické jevy na rovnocenné tvary:

32

𝑆ℎ =

𝑓𝑑 𝑛𝑑 𝑑 𝑑 ; 𝑆ℎ = ; 𝑆ℎ = ; 𝑆ℎ = 𝑣 𝑣 𝑣𝑇 𝑣 (95)

Rovnice kontinuity a pohybové Navierovy-Stokesovy rovnice mají základní význam v hydromechanice pro proudění stlačitelné a nestlačitelné vazké kapaliny. Pro posouzení a zhodnocení podobnosti dvou kinematických systémů se používá buď Reynoldsovo nevo Froudovo číslo podle toho, které síly převládají, zda-li vazké či setrvačné. Jejich platnost pro podobná posouzení není universální. Proto k obecnému hodnocení podobnosti dvou kinematických systémů je nutno použít Strouhalova čísla. Lze odvodit Strouhalovo číslo pro Navier-Stokesovy rovnice za předpokladu laminárního proudění vazké nestlačitelné kapaliny pro model a dílo. [6] Mají-li být dva pohybové systémy podobné, v tomto případě model a dílo, musí být podobné i jejich základní veličiny, které jsou pojaty do těchto pohybových systémů. Z toho plyne, že geometrické, časové, kinematické a dynamické veličiny v systémech model a dílo si musí odpovídat. Detailní odvození lze najít v [6]. 𝜋1 =

𝑘2 𝑘3 𝑡𝐷 𝑢𝐷 𝑥𝐷 𝑆ℎ𝐷 = ( )( )( ) = =1 𝑘1 𝑡𝑀 𝑢𝑀 𝑥𝑀 𝑆ℎ𝑀 (96)

Odkud ShD=ShM, neboli Strouhalovo číslo pro dílo se rovná Strouhalovu číslu pro model. Po dosazení příslušných fyzikálních veličin za koeficienty, které jsou seskupeny u 2, obdržíme Froudovo číslo, obdobně pro 3, obdržíme Reynoldsovo číslo. Tím bylo prokázáno, že Strouhalovo číslo pro laminární proudění vazké nestlačitelné kapaliny, které je popsáno systémem Navier-Stokesových rovnic, je konstantou, rovnající se jedné. Převádíme-li experimentální výsledky z modelu na dílo či prototyp, pak Strouhalovo číslo u modelu se rovná Strouhalovu číslu u díla. Obdobně lze ukázat platnost Strouhalova čísla pro rovnici kontinuity, jejíž tvar pro neustálené proudění stlačitelné kapaliny je dán vztahem 𝜕𝜌 𝜕(𝜌𝑢) 𝜕(𝜌𝑣) 𝜕(𝜌𝑤) + + + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (97) Definováním Strouhalova čísla pro systém diferenciálních pohybových rovnic pro prostorové proudění a Strouhalova číslo pro rovnice kontiunity jasně dokazují univerzální platnost tohoto čísla v teorii podobnosti mechaniky kontinua, a tím i v hydromechanice.

5.2 Modelová podobnost při vzniku vtokových vírů Uvažujme nyní podobnost mezi prouděním ve skutečné jímce a v geometricky podobném modelu. Pro každou ze zmíněných sil (objemové, viskózní, tečné) platí odlišné zákony

33

podobnosti mezi dvěma různě velkými. Pro hodnoty vztahující se k modelu zavedeme označení index m, pak můžeme vyjádřit míru délek jako poměr 𝜆𝐿 =

𝐿 𝐿𝑀 (98)

Důležitým parametrem vířivého pohybu je cirkulace víru (25). Při geometrické podobnosti v měřítku délek L by byla cirkulace víru  v modelové podobnosti jen při současném splnění všech třech základních kritérií Fr, Re a We (92), (93), (94). Z toho vyplývá, že tato podmínka při modelovém výzkumu dodržet nelze. [4] Proto se dodnes nejčastěji používá kompromisní řešení, které při výzkumu vírů realizuje na modelu stejné rychlostní podmínky (98), jako budou ve skutečnosti na díle: 𝜆𝐿 =

𝑣 =1 𝑣𝑀 ( 99)

Tento postup použilo postupně několik autorů, roku 1953 W.H. Fraser a N.J. Harrison, k obdobnému závěru dospěli i D.F. Denny a A.G. Young, stejně tak J.P. Berge. Všichni autoři se shodující na základě výsledků experimentálního výzkumu, že kritérium Frouda by mělo platit při vytváření horní hyperbolické části vtokového víru se vzduchovým jádrem.

Obr. 11 Model sací jímky Naopak autoři Paciga, Strýček a Gančo vyslovili názor, že v prostoru vtokové nádrže by se mělo zachovat Froudovo číslo, neboť převládající vliv na tvorbu vírů mají síly gravitační. Výsledkem úvah autorů je návrh nové kombinace Froudova a Weberova kritéria pro modelovou podobnost tvorby vírů. Autoři [4], [5] doporučují provádět modelový výzkum vírů jen při vyšších Reynoldsových číslech na dostatečně velkých modelech. Výsledné doporučené vztahy: 

Délkové rozměry: 34

𝐿 = 𝜆𝐿 𝐿𝑀 (100) 

Průtok: 𝑄 = 𝜆2,5 𝐿 𝑄𝑀 (101)



Krtitická výška nad okrajem sacího zvonu: ℎ0 = 𝜆2,5 𝐿 ℎ0𝑀 (102)

Z uvedených vztahů vyplývá, že při podobnosti geometrických rozměrů nádrže i vtokového objektu a nastavení průtoku dle Froudova kritéria je třeba na modelu použít přísnější kritéria pro tvorbu vírů než na díle.

5.2.1 Grafické vyjádření kritéria modelové podobnosti Z celé řady experimentů jejich autoři vyhodnotili parametry pro počáteční stádium vzniku kuželových a vtokových vírů jako funkční závislost ℎ 𝑣 = 𝑓( ) 𝑑 (103) kde v reprezentuje střední průřezovou rychlost v nasávacím potrubí o průměru d a h kritickou hloubku vody v nádrži pro začátek tvorby vírů. Příklad grafického vyjádření této závislosti pro průměr zvonu d = 256 mm je na Obr. 12. Závislost je platná pro pravoúhlou nádrž dle Obr. 11.

Obr. 12 Závislost rychlostí v od poměrné hloubky h/d

35

6 VZNIK A VÝVOJ HLADINOVÝCH VÍRŮ Vír spojující hladinu s vtokem potrubí se nevytváří náhle, ale je výsledkem postupného vývoje, v němž vír prochází mnoha vývojovými stádii. Počáteční podnět ke vzniku víru mohou dát vírová vlákna přinesená proudem do blízkosti sacího potrubí. Jiným zdrojem vírových vláken jsou mrtvá zákoutí, kde se proud výrazně zpomaluje, dále mezní vrstva u stěn nádrže a úplav vznikající obtékáním sacího potrubí.

Obr. 13 Dvojitý vtokový vír se vzduchovým jádrem kombinovaný s vírem ode dna sací jímky [VÚ Sigma] Počáteční vír při vhodných podmínkách zesílí a prochází dalšími stádii až do konečného, kterým je nálevkový sací vír – vortex. Obvyklý vývoj vtokového víru má tato stádia Obr. 14. Vznikající vír se z počátku projevuje jako pomalé kroužení na hladině. Jestliže vír zesiluje, objevuje se zprvu nepatrná, později však stále zřetelnější prohlubeň na hladině, tzv. hladinový vír Obr. 14a. Zesilováním cirkulace se mění tvar víru, zvětšuje se jeho hloubka a vzniká tzv. kuželový, jasně ohraničený vír, s ostrým hrotem Obr. 14b. Další stádium víru je charakterizováno tím, že délka víru se dále zvětšuje a jednotlivé vzduchové bubliny nebo tuhé částečky se oddělují od hrotu víru a vnikají do sacího potrubí. Tento typ víru se obecně označuje jako neúplný nálevkový vír Obr. 14c. Pokračuje-li růst víru dále, dosáhne souvislé vzduchové jádro do sacího potrubí a umožní tak plynulý tok vzduchu z atmosféry do potrubí, mluvíme o úplném nálevkovém víru se vzduchovým jádrem neboli vortex Obr. 14d. Vortex je poměrně stabilní forma víru. Pro provoz čerpadla je vortex

36

škodlivý, neboť množství vzduchu, které s sebou strhává do potrubí, může činit dle některých autorů až 30% objemu z průtoku vody. [9]

Obr. 14 Jednotlivá stádia vtokových vírů

6.1

Hydraulické problémy sacích jímek s volnou hladinou

Schéma sací jímky je na Obr. 15. Jde o podélně souměrnou jímku pravoúhlého půdorysu, v jejíž osové rovině je umístěno svislé sací potrubí čerpadla (turbíny). Stejné uspořádání bylo použito i většině dřívějších experimentů, zabývajících se hydraulikou sacích jímek. Jímka má vodorovné dno s půdorysnými rozměry B a E. Poloha vtoku do sacího potrubí je určena vzdálenostmi A osy potrubí od zadní stěny a C dna jímky, ponoření vtoku Z a hloubkou H. Základní podmínkou pro dobrou hydraulickou funkci čerpadla (turbiny) je co nejrovnoměrnější přítok vody k čerpadlu (turbině). Tvar jímky by měl zajistit převedení vodorovně přitékajícího proudu v ideálním případě s rovnoměrným rozdělením rychlostí po profilu na radiální přítok sacího nástavce N, rovnoměrně rozdělený po jeho obvodu. Tuto ideální představu může jímka splnit jen částečně. Ve skutečnosti vznikají v jímce oblasti se zpomaleným prouděním a samotný tvar neumožňuje ani teoreticky dosáhnout plynulého nárůstu rychlosti v celém profilu. Hydraulickou funkci čerpadla (turbiny) nepříznivě ovlivňuje nerovnoměrné rozložení rychlostí v oblasti nátoku. Příčinou nerovnoměrnosti mohou být nepravidelnosti v geometrickém tvaru kanálu, výstupky, dutiny, křivé nebo nepravidelně drsné stěny, šikmý přítok proudu do kanálu, nesouměrně umístěné čerpadlo a další. Tvarové nepravidelnosti deformují rychlostní pole přitékajícího proudu a dávají vznik vírům, které jsou proudem unášeny až do blízkosti čerpadla (turbiny). Důsledkem stranově nesymetrického rychlostního profilu může být nežádoucí předrotace, 37

dále nerovnoměrné rozložení rychlosti na vtoku do čerpadla (turbiny) a intenzivní vytváření prostorů, v nichž víry vznikají.

Obr. 15 Jímka se svislým sacím potrubím Jímka má vodorovné dno s půdorysnými rozměry B a E. Poloha vtoku do sacího potrubí je určena vzdálenostmi A osy potrubí od zadní stěny a C dna jímky, ponoření vtoku Z a hloubkou H. Základní podmínkou pro dobrou hydraulickou funkci čerpadla (turbiny) je co nejrovnoměrnější přítok vody k čerpadlu (turbině). Tvar jímky by měl zajistit převedení vodorovně přitékajícího proudu v ideálním případě s rovnoměrným rozdělením rychlostí po profilu na radiální přítok sacího nástavce N, rovnoměrně rozdělený po jeho obvodu. Tuto ideální představu může jímka splnit jen částečně. Ve skutečnosti vznikají v jímce oblasti se zpomaleným prouděním a samotný tvar neumožňuje ani teoreticky dosáhnout plynulého nárůstu rychlosti v celém profilu. Hydraulickou funkci čerpadla (turbiny) nepříznivě ovlivňuje nerovnoměrné rozložení rychlostí v oblasti nátoku. Příčinou nerovnoměrnosti mohou být nepravidelnosti v geometrickém tvaru kanálu, výstupky, dutiny, křivé nebo nepravidelně drsné stěny, šikmý přítok proudu do kanálu, nesouměrně umístěné čerpadlo a další. Tvarové nepravidelnosti deformují rychlostní pole přitékajícího proudu a dávají vznik vírům, které jsou proudem unášeny až do blízkosti čerpadla (turbiny). Důsledkem stranově nesymetrického rychlostního profilu může být nežádoucí předrotace, dále nerovnoměrné rozložení rychlosti na vtoku do čerpadla (turbiny) a intenzivní vytváření prostorů, v nichž víry vznikají. Vodní víry se vyskytují hlavně při výtoku otvorem ve dně nebo ve stěnách nádrží, při výtoku pod pohyblivými hradicími tělesy přelivů, výpustí a vtokových objektů, při proudění s volnou hladinou do proudění s tlakovou hladinou (přivaděče turbín, obtoky plavebních komor apod.), dále u násoskových přelivů a sacích orgánů čerpadel. Všude tam se setkáváme s víry, které souhrnně označujeme jako vtokové.

38

Předrotace vstupního proudu znamená negativní dopad na pracovní režim čerpadla (turbiny). Odsud plyne snaha vytvořit přítokový kanál i sací jímku dokonale souměrné, čímž se sleduje snaha o dosažení symetrického zatížení vtoku do čerpadla (turbiny). Vzniku vírových struktur v jímce se nedá úplně zabránit. Vyskytují se všude tam, kde se proudění výrazně zpomaluje a samy víry jsou důkazem disipace části kinetické energie a její přeměny na teplo. Činnost čerpadla (turbiny) mohou ovlivnit především ty víry, které zasahují do sacího potrubí. Typy vírů, které se vyskytují v sacích jímkách ilustruje Obr. 14 Nejznámějším typem je úplný nálevkový sací vír se vzduchovým jádrem. Jeho intenzita za jinak stejných podmínek roste s rostoucím průtokem nebo s klesající hloubkou vody v jímce. Tento typ víru je škodlivý zejména tím, že přivádí do hydraulického stroje vzduch. Při extrémně malých hloubkách vody může vzniknout vír koncentricky situovaný kolem sacího potrubí. Z hlediska provozního je tento typ víru nepřípustný. Podle Quicka [18] je nutné rozlišovat podle příčiny vzniku dva typy vtokových vírů: a) Vtokové víry, jejichž zdrojem je velká vnější cirkulace vody v nádrži, vyvolaná nesymetrickým přítokem vody do předpolí vtoku. Proudění ve víru se účastní prakticky veškerá voda přitékající do vtoku. Tento typ vírů může dosahovat velké stability a může být prakticky ustálený. Můžeme se s ním setkat zejména při výtoku otvorem nebo potrubím ve dně nádrže. V praxi se těmto podmínkám blíží ponořené vtokové objekty v horních nádržích přečerpávacích vodních elektráren. V tomto případě mohou vznikat mohutné vtokové víry se vzduchovým jádrem o průměru srovnatelným s průměrem vstupního profilu vtoku. Kapacita vtoku může poklesnout až o jeden řád [9] a i ostatní průvodní jevy mohou dosahovat mimořádné intenzity. b) Vtokové víry, které získávají cirkulační energii od vírových vláken vznikajících v mezní vrstvě u stěn nádrže a na dělících plochách mezi tranzitním prouděním a úplavy v předpolí vtoku (např. při náhlém rozšíření proudu). Pro možnost vzniku tohoto typu vtokového nálevkového víru má zásadní význam existence zóny stagnace proudu před vtokem nebo nad ním, zóny, které voda jen pomalu odtéká. Tento typ víru je již ve své podstatě málo stabilní. Jeho horní konec nepravidelně putuje po hladině před vtokem, kde vír zaniká. Vzduchové jádro úplného vtokového víru tohoto typu mívá průměr nejméně o řád menší než jsou rozměry vtokového otvoru. Předrotaci vstupujícího proudu do sacího prostoru hydraulického stroje způsobuje i dnový vír, který vzniká při malých hloubkách vody. Mívá mohutné rozměry a je poměrně stabilní. Dále mohou existovat víry spojující vtok se stěnou (stěnový vír) nebo v jímce s více čerpadly se tvoří spojovací víry mezi sacími potrubími jednotlivých čerpadel. Poslední tři jmenované typy vírů jsou hůře zjistitelné, nicméně nejsou provozně tolik nebezpečné, protože nestrhávají s sebou vzduch. Víry, přivádějící do čerpadla (turbiny) vzduch, nelze při provozu těchto zařízení připustit. Je zjištěno, že vzduch unášený čerpanou kapalinou výrazně snižuje účinnost. V literatuře se uvádí, že 1% obsah vzduchu ve vodě může snížit výkon čerpadla až o 15%. Mezi další nepříznivé účinky strhávaného vzduchu patří vibrace technologických zařízení, koroze potrubí a kavitační poškození.

39

Při modelovém výzkumu sacích jímek se proto věnuje hlavní pozornost vnikání vzduchu do sacích prostor čerpadel (turbiny) a hledají se vhodná opatření proti tomuto nebezpečí.

6.2

Optimální uspořádání sací jímky

Tvar jímky a umístění sacího potrubí v ní je téma, kterému se věnují snad všichni autoři publikací zabývajících se prouděním v sacích prostorách čerpadel a turbin. Uveďme v krátkosti chronologický výčet nejvýznamnějších prací. Hlavní výčet problémů spojených s funkcí čerpadla v sací jímce poprvé definovali H. W. Iversen (1953) a Fraser s Harrisonem (1953). Provedli měření na zmenšeném modelu i prototypu a dali základní pokyny pro konstrukční řešení sacích jímek. Účinnost čerpadla a kritickou hloubku v závislosti na poloze sacího potrubí zkoušel Iversen na prototypu a zmenšeném modelu (λ=2,85). V obou případech měřil i množství vzduchu vnikajícího do čerpadla. Pro modelové zkoušky doporučuje užít průtok vyšší, než vychází podle Froudova kritéria. Frazer a Harrison se zabývali podmínkami přítoku k čerpadlům, zvláště zrychlením na vtoku do sacího potrubí a účinkem předrotace. Při modelových měřeních doporučují převýšit rychlosti až do hodnoty rychlosti na prototypu. Významnou práci o základních problémech sacích jímek publikoval D. F. Denny (1956), který zkoumal podmínky vzniku vortexu v jímkách se souměrným i nesouměrným nátokem. Na modelech užíval sací potrubí bez nástavce. Vliv nesouměrného přítoku ilustruje příkladem, v němž zvětšení asymetrie přítoku z nuly na maximum (simulováno pomocí přítoku jednostrannou polovinou šířky kanálu) vyvolává zvýšení kritické hloubky téměř na trojnásobek.

Obr. 16 Schéma experimentálního zařízení VÚVH Bratislava Pokusy v několika jímkách značně různých rozměrů vedly k závěru, že s rostoucí šířkou jímky roste i její kritická hloubka. V geometricky podobných jímkách vzrůstá kritická hloubka lineárně až 40

do vzdálenosti sacího potrubí od stěn asi 5D. Při dalším zvětšování půdorysných rozměrů jímky přírůstek kritické hloubky klesá a při vzdálenostech věších než 10D zůstává její velikost téměř konstantní. S rostoucí vzdáleností vtoku potrubí ode dna kritická hloubka roste, ač samo kritické ponoření klesá. O podobnosti vzniku vtokových vírů Denny zjistil, že rychlosti na změnšeném modelu je třeba zvětšit nad hodnoty plynoucí z Froudova kritéria a tím potvrdil závěry Frasera a Harrisona.

Obr. 17 Schéma experimentálního zařízení VÚV Praha E. Blau (1957) provedl pokusy s modely sacích jímek, provozovanými podle Froudova zákona podobnosti. Jeho výsledná doporučení obsahují pokyny pro konstrukci celé hydraulické části čerpací stanice včetně sací jímky. Dosud citování autoři pracovali téměř se shodnou metodikou, při níž se posuzuje, zda při zkoumaném uspořádání vortex v určitém časovém intervalu vznikne, či nikoliv. J. P. Berge (1959) užil odlišný postup a za kritérium podobnosti vírů zvolil frekvenci jejich výskytu. Porovnáním prototypu a modelu zmenšeného v poměru 1:4 dostal poměr rychlostí

𝑣𝑚 = 1,25. 𝑣𝑠 (104) tedy rychlosti na modelu převýšené proti rychlostem v prototypu. Účinkem excentrického přítoku do sací jímky a jeho vlivem na velikost předrotace v sacím potrubí čerpadla se zabýval G. Wonsak (1966). Zvolená metodika umožnila posoudit účinnost základních parametrů sací jímky i dodatečně vestavěných prvků pro usměrnění proudu v jímce.

41

Problematice sacích jímek se věnovaly pracoviště VÚV Praha, P. Hoření (1972), SVŠT Bratislava, Paciga a kol. (1975), VÚVH Bratislava, Žajdlík (1981), VUT-FAST, J. Šulc (1991), VÚ Sigma Lutín, J. Hallama (1989). Výsledky, dosažené při řešení výzkumných úkolů a zakázek pro praxi, jsou většinou publikovány formou závěrečných zpráv. Shrneme-li doporučení různých autorů, kteří se věnovali zkoumání vlastností sacích jímek, dostaneme přehled uvedený v Tab. 1 se symboly podle Obr. 15.

E/D

B/D

A/D

C/D

ε

5-6

2,0

0,75

0,33-0,55

λ0,5

FRASER+HARRISON

-

2,5

1,5

0,5-0,75

λ0

IVERSEN

-

1,5-2,0

0,75-1,0

0,5

< λ0,5

STEPANOFF

7

2,0

0,75

0,33

< λ0,5

Norma USA

-

2,0

0,75

0,5

-

DENNY

-

-

-

-

λ0

BLAU

-

2-4

0,5

0,33-0,66

λ0,5

BERGE

-

-

-

-

λ-0,16

FILOTTI

3,5-4,5

2-3

≤1

0,5-0,75

λ0

≥5Q/(D2H)

3,0

1,5

0,75

-

3,5-4,5

2,0-2,5

0,5-1,0

0,7

-

WONSAK

6-7

2,0

0,75

0,33-0,5

λ0,5

ŽAJDLÍK

-

-

0,7

0,5

f (λ,H/d)

6,0

1,6-2,0

0,75

0,5

-

Autor BRKICH

FLORINSKIJ MOMČILOV+POPOV

HALLAMA

Tab. 1 Přehled doporučených rozměrů sací jímky dle jednotlivých autorů Jak vyplývá z Tab. 1, doporučení různých autorů vykazují určitý rozptyl hodnot, který je pravděpodobně způsoben odlišnými podmínkami užitých při jednotlivých experimentálních studiích i nestejným způsobem hodnocení stejného jevu. Nepříznivě se zde projevuje i ta skutečnost, že v publikovaných materiálech někdy nejsou dostatečně jednoznačně definovány podmínky pokusů.

6.3

Experimentální zařízení VÚV, VÚVH, VÚ Sigma

Základní rozměry modelů byly často odvozeny od konkrétních požadavků díla, např. VÚV Praha Obr. 17, dle rozměrů skutečných sacích jímek pro čerpadla Sigmy Lutín, typ SSK10 atd. Výzkum sací jímky VÚV byl pojat tak, že jímka byla považována za objekt zkoumání sám o sobě. Chcemeli určit rozměrový vztah k čerpadlům Sigma, vychází měřítko geometrického zmenšení základního modelu =6,67. Šírka jímky byla odvozena z rozměru B=280 cm, který se v Sigmě používá pro čerpadlo SSK 10 (DN100). Vlastní délka jímky představuje vzdálenost E=3 m mezi půdorysným

42

lomem levé stěny a zadní stěnou jímky. Délka E=13.D je dostatečná k tomu, aby se vliv šikmé složky rychlosti na vtoku do jímky na vznik sacích vírů nemohl projevit. Pro účely experimentálního výzkume vtokových objektů rozličné konstrukce se na půdě VÚVH Bratislava vybudoval speciální zařízení dle Obr. 16. Na tomto zařízení proudila voda v rámci uzavřeného okruhu. Čerpadlo typu D-250 v paralelním zapojení s menším čerpadlem typu NN-6a nasávalo vodu z modelu násosky vtokové nádrže a dopravovalo ji skrz průtokoměr o průměru 200 mm a regulační uzávěr do zásobní nádrže o rozměrech 1,5x2x4 m. Z této nádrže proudila voda skrz uklidňovací rošty do přilehlého žlabu o rozměrech 1,5x6x2 m. Stěny i dno byly z plexiskla. Na konci žlabu byly umístěné zkoumané modely vtokových nádrží se sacími nástavci. Modely bylo možné jednoduchým způsobem přemisťovat do různých poloh. Experimentální zařízení umožnilo pokusy na modelech vtokových nádrží s maximálním průtokem Qmax=220 l.s-1.

Obr. 18 Schéma experimentálního zařízení VÚ Sigma

6.4

Experimentální zařízení VUT

Pro účely experimentální části byl v Těžké hydraulické laboratoři Odboru fluidního inženýrství Victora Kaplana navržen a zkonstruován základní model (Obr. 15) vycházející z výsledků a doporučení optimálního uspořádání sací jímky předchozích autorů viz. kap. 6.2. Okruh se skládal z otevřené nádrže o objemu 2 m3 o rozměrech (2000x1000x1000 mm). Stěny nádoby tvoří plexisklové desky o síle 10mm z opticky čirého materiálu. Základní nosnou kostru nádrže tvoří hutní profily, do kterých jsou vsazeny plexisklové čtverce. Všechny čiré stěny jsou libovolně demontovatelné a nahraditelné za jiný materiál, který v případě potřeby vytváří vhodné 43

pozadí pro potlačení odrazů světla. Sací potrubí tvoří řada nástavců o rozměrech 40, 50, 80 a 100mm taktéž z průhledného materiálu, osazených jednotnou velikostí přírub, pro snazší a rychlejší výměnu a montáž sacího potrubí za jiný rozměr. Pro vyvolání sacího efektu bylo zvoleno odstředivé čerpadlo Beta 12 z důvodu menší prostorové náročnosti na rozdíl od ostatních autorů [7] [9], kteří využívali efektu násosky umístěného v několika podlažích laboratoře. Vlivem rotujícího oběžného kola čerpadla na iniciaci vtokových vírů se zabýval A. Paciga [4] a dospěl k závěru, že při délce sacího potrubí alespoň 0,6.D je možno na modelu užít čerpadla. V okruhu byl dále osazen indukční průtokoměr DN32 a regulační ventil DN40. Pro kontinuální měření výšky vodní hladiny v nádrži byl nainstalován ponorný diferenční snímač tlaku firmy BD Sensors.

Obr. 19 Experimentální zařízení – sací jímka

Obr. 20 Pozorovaná stádia vtokových vírů na experimentální zařízení VUT. Zleva kuželový vír, neúplný nálevkový vír a úplný nálevkový vír se vzduchovým jádrem.

44

Okrajové podmínky reprezentují stěny nádoby, volně stavitelné dno a sací potrubí uchycené k pohyblivé rampě, tak aby bylo možno průběžně měnit geometrii sacího prostoru a tím tak simulovat různé kritéria rozměrové podobnosti.

6.5

Metodika modelového výzkumu

Jako základní případ uvažujeme podélně symetrickou pravoúhlou sací nádrž charakterizovanou vlastními rozměry. Na proudění v nádrži mohou mít vliv geometrické, hydraulické i fyzikální veličiny. Po redukci zůstává z původních 14 (A, B, C, D, d, E, H, Z, Q, v, g, , , ) veličin následujících 10: A, B, C, D, H, Q, g, , , , z nichž první čtyři charakterizují rozměry nádrže, H a Q proud vody a ostatní jsou fyzikální konstanty. Při zkoumání proudění v nádrži jde především o stanovení vztahu mezi Q a H pro určitý typ víru, v našem případě úplného nálevkového se vzduchovým jádrem Obr. 21.

Obr. 21 Úplný nálevkový vír se vzduchovým jádrem Původní počet geometrických veličin jsme redukovali na počet nutný pro další rozbory. Můžeme vynechat hloubku ponoření, neboť Z=H-C. Délku jímky E považujeme za neměnnou a tak velkou, že neovlivňuje obraz proudění v jímce. Při daném tvaru sacího potrubí je i poměr d/D=konst. Vztah mezi průtokem a rychlostí je jednoznačně určen, stejně tak rychlost v potrubí. Hledáme závislost ve tvaru: 𝐻 = 𝑎𝑄 𝑏 (105) kde součinitel a je funkcí všech zbývajících veličin a závisí i na typu víru a druhu úpravy provedené v nádrži. Závislost mezi Q a H je dána tak, že stanovíme příslušnou dvojici Q, H pro různé průtoky.

45

Pro získání porovnatelných výsledků byl aplikován tentýž postup. Po naplnění sacího potrubí vodou se pomalu otvíral regulační ventil. Hladina se při rostoucím průtokem udržuje na předem stanovené výšce H. S rostoucím průtokem se mění proudění v jímce takovým způsobem, že se postupně objevují typy vírů, popsané na Obr. 14. Jako jediné sledované stádium vtokového víru byl zvolen souvislý vtokový vír se vzduchovým jádrem, který sahal od hladiny až do sacího nástavce. Při dalším zvyšování průtoku se objevovaly ještě další formy vírů (např. dnový), ty však nebyl systematicky sledovány. Za upozornění stojí fakt, že všechny typy vírů včetně vybraného jsou místně i časově nestabilní, neboť proces tvorby a vývoje je výrazně stochastický. Pro rozhodování typu víru byla aplikována zásada, že Q označuje nejmenší zaznamenaný průtok, odpovídající stavu, kdy sledovaný typ víru existoval alespoň po polovinu pozorovací doby, přičemž ve zbylém čase mohla existovat nižší forma víru nebo proudění mohlo být bez vírů.

6.6

Vyhodnocení modelového výzkumu VUT vers. ostatní autoři

Uvedeným postupem byla sestavena grafická závislosti Obr. 22 výskytu úplného nálevkového vírů se vzduchovým jádrem pro sací nástavec 80mm. Výsledná závislost hloubky zanoření na rychlosti v sacím potrubí má tvar 𝐻 = 1,44𝑄 0,68 (106)

Obr. 22 Hranice výskytu nálevkového víru se vzduchovým jádrem pro sací nástavec DN80 Výše uvedenou grafickou závislost lze interpretovat jako množina bodů příslušejících buď kritické hloubce pro zvolený průtok, nebo kritickému průtoku pro zvolenou hloubku by měla vytvořit čáru ohraničující spojitou oblast, v níž se vyskytují víry daného typu. Protože však výskyt vírů je výrazně stochastický jev, musíme předpokládat, že při provedeném měření nevznikly všechny víry, a je vhodnější vést mezní čáru, která shora a zleva ohraničí oblast možného vzniku vírů daného typu a tak přispěje k větší bezpečnosti. Kvalitativně podobných výsledků pro tutéž konfiguraci sací jímky bylo dosaženo v případě modelu číslo 2 v rámci VÚV Praha, Obr. 23 při konfiguraci sací jímky dle Obr. 17, dále pak pro sají 46

jímku s jedním čerpadlem realizovanou VÚ Sigma Lutín, a konečně VÚVH Bratislava. Srovnání bylo provedeno nad množinou bodů definovaných z intervalu v=(1-3) m.s-1 a parametru H/D=(1-3). Protože vírové jevy jsou silně variabilní, je klasifikace vírů při experimentech záležitostí značně subjektivní a časově náročná. Z toho důvodu bylo využito metody zpracování obrazu, tak aby byl pokud možno eliminován subjektivní vliv pozorovatele.

Obr. 23 Křivky počátku vzniku kuželového vtokového víru, Model 2, VÚV Praha

Obr. 24 Křivky počátku vzniku kuželového vtokového víru, pro různé šířky a délky sací jímky, VÚ Sigma Lutín 47

Obr. 25 Křivky počátku vzniku kuželového vtokového víru v sací jímce s optimálními rozměry dle Pacigy , SVŠT Bratislava

Obr. 26 Křivky počátku vzniku kuželového vtokového víru v sací jímce s průměrem násosky d=256 mm, VÚVH Bratislava 48

6.7

Digitální zpracování obrazu

Digitální zpracování obrazu je obor, který se zabývá zpracováním digitálních obrazových dat různého původu. Data z kamery, fotoaparátu, data z ultrazvuku či jiných zobrazovacích technik. V rámci oboru bylo vyvinuto značné množství obecnějších ne speciálních algoritmů pro různé úlohy:        

Vylepšení obrazu Odstranění šumu Detekce hran Registrace obrázků PCA analýza a rozklad obrazů Segmentace obrazu Korespondence obrazů Detekce geometrických primitiv

6.7.1 Vysokorychlostní kamera Olympus I-SPEED 2 Olympus I-SPEED 2 je vysokorychlostní kamera, která zvládá maximálně 33 000 snímků za sekundu. Snímací čip kamery je vyroben pomocí technologie CMOS. Tato technologie umožňuje sběr dat ze snímacího čipu frekvencí až 480 MHz. Při snímkovacím kmitočtu 1000 snímků za sekundu lze dosáhnout rozlišení 800x600 obrazových bodů. Kamera umožňuje také snímání vyšším obrazovým kmitočtem, než 1000 snímků/s. Protože nelze dosáhnout vyššího datového toku, zmenšuje se rozměr snímaného okna. Pro maximální rychlost snímání je rozlišení pouze 96x72 bodů. Při snímání děje je potom nutné volit kompromisně mezi rychlostí a rozlišením, tak, aby snímané kontury byly dostatečně viditelné při dané rychlosti snímání, Tab. 2. Rychlost kamery [snímků/s]

1 000 1 500 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 8 000 10 000 15 000 20 000 33 000

Rozlišení X [bod]

800

672

576

448

384

320

288

256

224

160

128

96

Rozlišení Y [bod]

600

504

432

336

288

240

216

192

168

120

96

72

Tab. 2 Při měření rychlých dějů je možné dále využít funkce nastavení expoziční doby (ang. shutter). Snížení doby expozice vede k tomu, že pokud se objekt pohybuje rychle, tak by při větší době expozice mohl být rozmazaný. Proto je možné nastavit kratší dobu expozice. Použití této funkce má však nevýhodu v tom, že díky nižší době dopadne méně světla na čip a díky tomu je snímek tmavší. Hodnotu nastavení expoziční doby je tedy nutné zvolit jako kompromis mezi rychlostí děje a množstvím světla. Pro tuto kameru je možné jako nejmenší čas expozice nastavit 5 μs (uvedeno jako čas závěrky). Při tomto měření byla nastavena rychlost kamery na 1000 snímku/s při rozlišení 800 na 600 bodů.

6.7.2 Digitální zrcadlovka NIKON D90 Digitální zrcadlovka Nikon D90 Objektiv Nikon 18-105 mm

49

Rozlišení 4822x2840 bodu.

6.8

Postup zpracování obrazu

Průměr víru byl stanoven pomocí digitálního zpracování obrazu získaného z digitálního fotoaparátu NIKON D90 a z vysokorychlostní kamery OLYMPUS I-SPEAT 2. Při tomto zpracování bylo nutno navrhnout okno na snímku, kde budou hranice paprsku hledány. Následně byly tyto hranice (x-ové souřadnice) stanoveny z maximální změněny intenzity světla. Toto bylo provedeno pro všechny souřadnice y dle zvoleného okna. Následně byly stejným způsobem zpracovány všechny snímky jak z kamery, tak z fotoaparátu.

Obr. 27 Výřez fotografie s kótami Na Obr. 27 je znázorněn výřez z fotografie víru v blízkosti sacího potrubí. Červeně je zde naznačena zájmová vybraná oblast. V této oblasti bude stanovena intenzita světla v závislosti na souřadnici x, to je v závislosti na obrázkových bodech ve směru x. 𝑛

𝑧𝑘 = ∑ (𝑛 − 𝑎𝑏𝑠(𝑖)) ∙ (𝐻(𝑖) − 0.5) ∙ 𝐼(𝑘 + 𝑖) 𝑖=−𝑛

(107) kde

H I

Heavisideova funkce Intensita světla

Intenzita světla podél červené čáry Obr. 27 byla získána prostým součtem RGB intenzit světla obrázkových bodů. Změna intenzity byla vypočtena z intenzity světla a z filtru pro stanovení změny

50

intenzity, viz (107) Hranice víru potom byly stanoveny v místech s maximální změnou intenzity světla dle Obr. 27. Rozměr jednoho obrázkového bodu v x-ovem i y-ovém směru byl stanoven pomocí známých rozměrů měřítka umístěného za dýzou. V tomto případě pro snímky z fotoaparátu z rozměru sací trubky, Obr. 27.

Obr. 28 x-vzdálenost osy víru od osy trubice v rovině kolmé na směr snímání kamery

Obr. 29 Časová závislost průměru paprsku pro hodnoty H=(10-70)mm

51

Obr. 30 Závislost poloměru víru na hloubce pod hladinou pro 3 časové okamžiky

6.9

Praktické využití digitální zpracování obrazu

V rámci projektu MPO (FR-TI2/517) s názvem Horizontální třídýzová Peltonova turbína bylo využitou metody digitální zpracování obrazu pro proudění s volnou hladinou při vyšetřování změny tvaru paprsku za dýzou Peltonovy turbíny. Byly vyhodnoceny průměry paprsku a jejich směrodatné odchylky pro jednotlivá nastavení otevření, dále byla z vysokorychlostní kamery vyhodnocena závislost průměru paprsku na frekvenci pomocí DFT transformace.

Obr. 31 Dýza Peltonovy turbíny Na Obr. 31 je znázorněn výřez z fotografie paprsku v poloze pod dýzou. Červeně je zde naznačena zájmová vybraná oblast. V této oblasti bude stanovena intenzita světla v závislosti na souřadnici x, to je v závislosti na obrázkových bodech ve směru x.

52

Obr. 32 Intenzita světla na vyšetřované oblasti Hranice paprsku potom byly stanoveny v místech s maximální změnou intenzity světla dle Obr. 32, stanovené hranice jsou znázorněny černou čarou.

Obr. 33 Fotografie a vyhodnocený průměr paprsku (modře) a směrodatná odchylka průměru paprsku (červeně) v závislosti na vzdálenosti od dýzy ze série 20 fotek.

53

Obr. 34 Snímek z vysokorychlostní kamery a vyhodnocený průměr paprsku (modře) a směrodatná odchylka průměru paprsku (červeně) v závislosti na vzdálenosti z videozáznamu 1000 snímku po dobu 1 s. Na uvedených obrázcích Obr. 33 a Obr. 34 můžeme pozorovat postupný rozpad paprsku v závislosti na vzdálenosti od dýzy pro provozní bod definovaný spádem H=60m a zdvihem dýzy z=21mm. Obdobným způsobem byly proměřeny všechny kombinace spádů a otevření.

6.9.1 Frekvenční analýza paprsku Vzhledem k předpokladu, že průměr paprsku bude závislý na čase a po provedení Fourierovy transformace boudou na frekvenčním spektru významné amplitudy při vlastní frekvenci kmitání paprsku, případně budou zřetelné amplitudy na otáčkové nebo lopatkové frekvenci čerpadla, byla provedena frekvenční analýza průměru paprsku. Ze sekvence fotek získaných fotoaparátem NIKON, není možno provést vykreslení časové, ani frekvenční závislosti průměru paprsku. Záznam z vysokorychlostní kamery OLYMPUS kde byla zaznamenána posloupnost obrázků s vzorkovací frekvencí 1000 snímku/s po dobu 1s ,bylo možno zpracovat a znázornit průměr paprsku v závislosti na čase i v závislostní na frekvenci. DFT byla provedena ze všech snímků, po dobu 1s z čehož plyne krok na frekvenci 1Hz. Záznamy jsou znázorněny pro 3 polohy y-ové souřadnice, to je vzdálenosti od konce dýzy a to 50, 100 a 150 mm (uvedeno v legendě grafu).

Obr. 35 Časová závislost průměru paprsku ve třech zvolených úrovních 54

Obr. 36 Frekvenční analýza paprsku Z předchozích obrázků Obr. 35 a Obr. 36 je stanovení frekvence kmitání velmi problematické. Na frekvenčním záznamu nejsou zřetelné žádné významné amplitudy. Toto může být způsobeno malou citlivostí digitálního záznamu, kde citlivost byla 0,4mm na jeden obrázkový bod. Z toho plyne, že kmitání průměru paprsku s menší amplitudou než 0,4mm nemůže být zaznamenáno a následně vyhodnoceno.

6.10 Nepříznivé účinky vtokových vírů [9] Úplné (nálevkové) vtokové víry se projevují zvláště u nízkotlakých vodních elektráren, u reverzních turbín a u čerpacích stanic velmi nepříznivými účinky. Zejména dochází k snížení průtokové kapacity a k pulzacím průtoku, k zhoršení účinnosti turbín a čerpadel, ke zvýšené korozi a k vibraci zařízení vtoků i vlastních vodních strojů, k vysoké intenzitě hluku. V potrubí se mohou vytvořit velké vzduchové bubliny a při jejich úniku z potrubí mohou vznikat rázové jevy se značnými změnami tlaku. Zvýšený obsah volného vzduchu v potrubí vede ke změně frekvenčních charakteristik soustavy. Obecně nelze říci, zda tato změna bude mít kladné či záporné důsledky. Denny a Young [11] uvádějí, že při objemovém obsahu vzduchu v sacím potrubí rovnému jednomu procentu průtoku, poklesla účinnost odstředivého čerpadla o 15%. I v případech, kdy vzniká před vtokem neúplný vír (obr.5), příliš slabý na to, aby strhával vzduch do vtoku, je jeho vliv na provoz vodních elektráren a čerpacích stanic obvykle záporný, již z toho důvodu, že vyvolává v přivaděči za vtokem příčnou cirkulaci proudu, která zejména při svislé poloze vtokového potrubí nabývá formu rotace. [11] Na závěr musíme konstatovat, že kromě vtokových vírů, jejichž jeden konec je fixován na hladinu, mohou existovat formy víry s koncem fixovaným na dno, nebo na stěny. Tyto víry sice nemohou strhávat vzduch do přivaděče, mohou však napomáhat vnikání dnových splavenin a usazenin do potrubí.

6.11 Nunerické modelování proudění [12] Numerické modelování proudění je založeno na principu řešení diferenciálních rovnic na definované síti skládající se z plošných útvarů v případě 2D a prostorových těles v případě 3D. Numerický řešič si objemy buněk automaticky diskretizuje, tzn.v káždé buňce spočítá polohu těžiště a v tomto bodě pak následně řeší základní rovnice RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes 55

equations) a rovnici kontinuity. Rovnice RANS vychází z Navier-Stokesových rovnice s tím rozdílem, že veličiny tlak a rychlost jsou časově středované. Při odvození RANS se do NS rovnic a rovnice kontinuity dosazují okamžité hodnoty rychlostí a tlaku získané součtem středované hodnoty turbulentní fluktuace. Při numerickém řešení proudění pomocí rovnic RANS a rovnice kontinuity dostaneme tři vektorové rovnice RANS a jednu skalární rovnici kontinuity. Z těchto čtyř rovnic vyplývá deset neznámých veličin (tlak, rychlost ve 3 směrech a 6 složek tenzoru turbulentních napětí), což nelze vyřešit a nastává problém uzavření rovnic. Tento problém se řeší nejčastěji pomocí Boussinesquovy hypotézy, která částečně řeší určení tenzoru turbulentních napětí. Její nevýhodou je, že předpokládá izotropní turbulenci, tzn. Složka rychlosti je ve všech směrech stejná. Poslední neznámou veličinou je turbulentní viskozita, která se určí zavedením modelů turbulence. Modely turbulence doplňují rovnici RANS. V některých turbulentních modelech je tenzor turbulentních napětí nahrazen Boussinesquovou hypotézou a v jiných modelech se složky tenzoru musí spočítat, čímž dochází ke značnému nárůstu výpočetní náročnosti. Pomocí výše popsaného principu numerického modelování existují desítky prací, které mají jeden společný jmenovatel a tím je simulační část a následná validace výsledků simulace pomocí nejrůznějších experimentálních metod (PIV, LDA, UVP) [14], [15], [16], [17], která vše vrací na začátek k otázce potřeby hydraulického modelu.

7 ZAVĚR V práci jsou shrnuty podstatné výsledky nejvýznamnějších autorů, kteří se danou problematikou vtokových vírů v jednoduché sací jímce s vertikálním potrubím zabývali v uplynulých 50 letech. Na základě analýzy jejich prací byly uvedeny teoretické modely a rozbory rychlostních, tlakových a tvarových funkcí. Četné práce popisovaly přípravu, organizaci, pozorování a vyhodnocení experimentů, vedoucí k sestavení grafických závislostí vyjadřující podmínky vzniku pozorovaného jevu v předem daném časovém okamžiku. Na základě jejich výsledků bylo navrženo vlastní experimentální zařízení, v rámci kterého se podařilo ověřit hypotézu modelové podobnosti pro měřítko rychlosti =f(n), kde n náleží intervalu (0-0,5). Z důvodu finanční a časové náročnosti rozsáhlých modelových měření a pozorování byla původně zamýšlená oblast vztažena pouze na problematiku výskytu úplných vtokových vírů se vzduchovým jádrem pro případ samostatné vertikální sací roury. Množství kombinací, které bylo nutné zrealizovat v rámci jediné měřené varianty vyústilo v návrh zcela nové metodiky s využitím počítačového zpracování obrazu a současně s potlačením subjektivního vlivu pozorovatele. Následným zpracováním obrazových dat byla odhalena přidaná hodnota zvoleného přístupu, která spočívala v určení základních rozměrů pozorovaného jevu v závislosti na čase a poloze nebo z ní bylo možné určit stabilitu vírové struktury. Byl vypracován teoretický rozpor pohybu částice kapaliny po trajektorii prostorové spirály ve formě obecné rovnice víru (71), za předpokladu konstantní měrné energie ve směru proudnice. V rámci další experimentální činnosti autora byla opakovaně využita nová procedura pro měření obtížně popsatelných jevů, jakými jsou např. vtokové víry, utržení vodního sloupce vlivem náhlé změny průtoku za horním uzávěrem v soustavě dvou nádrží nebo rozpad paprsku vystupující z dýzy Peltovy turbiny. Všechny pozorované děje hrají z hlediska časové změny parametrů (výška hladiny, eroze materiálu) důležitou roli ve funkcionalitě hydraulických systémů. Výhodou takto získaných

56

dat je jejich archivace a možnost dalšího zpracování metodou vlastní ortogonální dekompozice, která stejně jako diskrétní Fourierova transformace je schopna poskytnou nový pohled ve frekvenčním spektru.

57

8 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ Veličina

Jednotka

Význam

A,B,C,D v F g h l m n p Q R,r S t u V x y α  Γ η θ π Π ρ σ τ ω

[-] [m/s] [F] [m/s2] [m] [m] [kg] [-] [Pa] [m3/s] [m] [m2] [s] [m/s] [m3] [-] [-] [°] [J/m2] [m2] [Pa.s] [°] [-] [N/m2] [kg/m3] [N/m2] [N/m2] [rad/s]

integrační konstanty rychlost síla, gravitační konstanta výška délka hmotnost jednotkový vektor tlak průtok poloměr plocha čas unášivá složka rychlosti objem souřadnice souřadnice úhel povrchové napětí/energie plocha viskozita úhel Ludolphovo číslo tenzor napětí hustota napětí složka tenzoru napětí úhlová rychlost

Seznam indexů Index D M i, j, k 1, 2, 3

Význam dílo model směr i, j, k směr 1, 2, 3

58

9 LITERATURA [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

[8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15]

[16]

[17]

[18]

[19]

LUGHT, Hans J. Vortex Flow in Nature and Technology. United States of America : Wiley & Sons, 1983. 297 s. ISBN 0-471-86925-2. ROHAN, K.: Vodohospodářský časopis: K určovaniu profile lievikového víru. (1966) HLAVÁČEK, D.: Kavitující proudění v konvergetně-divergentní trysce.(2012) Vedoucí diplomové práce doc. Ing. Pavel Rudolf, PhD. PACIGA, A. Projektovanie a prevádzka čerpacej techniky. 1. vyd. Bratislava: Alfa, 1990. 440 s. PACIGA, A., STRÝČEK, O., GANČO, M., VARCHOLA, M. Vtokové nádrže čerpacích staníc. Záverečná zpráva. Bratislava 1976. CUREV, A.: Vodohospodářský časopis: Strouhalovo číslo jako universální kinematické kritérium podobnosti v hydromechanice. (1978) ŠULC, J. Experimentální výzkum kritické hloubky ponoru vtoku. In Sborník z konference X. Vědecká konference, odborná sekce Hydraulika a hydrotechnika. Brno : VUT-FAST, 1989, s. 39-44. POLIKOVSKIJ, V.I., PERELMAN, R.T., Voronkoobrazovani je židkosti s odkrytoj poverchnosťju. Gosenergoizdat, Moskva 1959. SKALIČKA, J. Výzkum proudění s vtokovými víry na zmenšených fyzikálních modelech. Vodní hospodářství, 1983, roč. 32, č. 1, s. 5-11. SLAVÍČEK, E. Teoretické základy chemického inženýrství. 1. vyd. Praha: SNTL, 1969. 369 s. EINSTEIN, H.A., Le vortex permanent dan un fluide réel. La Houile Blanche, 4, 1955. 36 KOZUBKOVÁ, M. Modelování proudění tekutin – Fluent, CFX., VŠB Ostrava, 2008. 36 DORNAUS, W., HEALD. CH. Intekas, Suction piping and Strainers. Power Engineering Magazine, 1960, p.89, s. 1-37 RAJENDRAN, V.P., PATEL. V.C.: Experiments on flow in a model water-pump intake sump to validate a numerical model. Proceedings of FEDSM’98, 1998, Washington, s. 10 NAGAHARA, T., OKAMURA. T., SATO, T.: Measurement of the flow around the submerged vortex cavitation in a pump intake by means of PIV. International Symposium on Cavitation, 2003, Osaka, s. 1-7 MANSA, K., WU YULIN, LI YOUNG, LI XIAOMING, XU YU.: Flow measurement in the model pump suction sump with baffle by means of LDV and PIV. Hydromech, 2003, Beijing, s. 138-1437 FUNAKI, J., NEYA, M., HATTORI, M., TANIGAWA, H., HIRATA, K.: Flow measurement in a suction sump by UVP. Journal of Fluid Science and Technology, Vol. 3, No. 1, 2008, s. 68-79 QUICK, M. C.,: Scale relationships Between Geometrically Similar Free Spiral Vortices. Civil Engineering and Public Works Review, Sept. 1962,,s. 1135-1138, Oct. 1962, s. 13191320 SMIRNOV, V. I.: Kurs vysšej matematiky. Nauka, Moskva 1974

59